数学题里的系统原理——线性规划模型

请看下面这个问题：

某工厂一天使用 12 吨煤、 20 度电，生产甲、乙两种产品。如果生产每

一吨甲产品消耗 2 吨煤、6 度电，卖出后可以净赚 4000 元，每一吨乙产品要

消耗 5 吨煤、 4 度电，卖出后可以净赚得 6000 元。问每天甲、乙两种产品要各生产多少吨，才能使工厂净赚的钱最多？

仔细想一想这个问题，我们不难发现乙产品每 1 吨能赚 6000 元，比每 1 吨甲产品的赢利高。如果我们把所有的煤、电尽可能地用来生产乙产品，会得到什么结果呢？从煤的角度考虑，可以计算出每天能生产乙产品

12÷5=2.4（吨）

从用电角度，可以计算出每天生产乙产品20÷4=5（吨）

综合考虑煤、电的消耗，每天能生产 2.4 吨乙产品，相应的净收入为2.4×6=14.4（千元）

每天还会有剩余的电力20-2.4×4=10.4（度）

那么如果我们把每天的煤、电全部用来生产甲产品，结果又会是怎样呢？ 从煤的角度，每天可以生产甲产品

12÷2=6（吨）

从电的角度，每天可以生产甲产品20÷6=3.33（吨）

综合考虑，每天能生产 3.33 吨甲产品，净收入为： 3.33×4=13.32（千元）

这时每天会有剩余的煤12-3.33×2=5.34（吨）

工厂对上述两种安排都不满意，因为这两种方案煤和电力资源都没有充分利用。有人认为，如果每天只生产 2 吨乙产品，则消耗煤 10 吨、电 8 度，

收入 12000 元。省下了 2 吨煤，可生产 1 吨甲产品（同时耗电 6 度），可再

增加收入 4000 元。这两种产品一起可收入 16000 元，比前面只安排一种产品生产的两个方案的赢利都多。除此之外，其实还可以试探其他方案，但试探的方法过于繁琐。

实际上，用线性规划模型可以解决这一类各因素成比例关系的生产安排问题。对于上述只生产两种产品，消耗两种资源的问题，因为因素少，可以用简单的作图法来解决；对于涉及因素众多的线性规划问题，要用所谓的“单纯形法”来求最优解；对于大型工厂、地区、部门，相关因素可能成百上千， 这时就要借助于电子计算机来求解了。通过图形法或单纯形法解决上述工厂的问题时，可以得出：每天安排生产甲产品 2.36 吨，乙产品 1.45 吨，可得

到最大收入 18180 元。

还有一类问题也可以用线性规划模型来解决。例如有甲、乙、丙、丁 4 个糖果厂，生产同一种水果糖供给 A、B、C、D4 个商店零售。若已知 4 个工厂的产量，4 个商店的需要量，而且还知道每个工厂运给每个商店 1 吨水果糖的运费是多少，又叫运输问题，是实际工作中会经常遇到的问题。这些问题，都可以用线性规划模型来解决。