●相关运动中的运动合成问题

相关运动，是指存在着某种联系的几个物体的运动。这里所讲的联系， 有直接联系与间接联系。码头上的人通过跨在岸边滑轮上的绳子，拉着小船靠岸，在这过程中小船靠岸的速度与人拉着绳子沿水平地面走动的速度之间的关系，是通过绳子联系的，是直接联系。斜靠在墙角处的直杆，当杆子的下端沿水平地面滑动时，杆子的上端必然会沿墙壁向下滑行，由于杆子的长度与形状都不变，杆子下端沿水平地面滑动的速度与杆子上端沿墙壁向下滑行的速度，自然也是直接联系的。人追赶一部开动中的汽车， 猎犬追捕一只兔子，人与汽车、猎犬与兔子自然也有联系，但它们之间没有特定的联系物（如绳子、杆子⋯⋯），这种联系叫间接联系。

研究相关运动中不同物体的运动量（位移、速度、加速度、⋯⋯）之间的关系，显然是比较复杂、比较困难的，因为这种关系与联系方式和运动的限制条件有关。这就需要我们根据运动量的矢量特性，根据实际的联系情况与限制条件，选择合适的参照物，通过分析，找出正确的解题途径， 求得准确的答案。

[例题 1]人在码头上，通过跨在定滑轮上的绳子，拉着小船靠岸（图3-14）。人拉着绳子沿水平方向走动的速度 v0 保持不变，人拉着的这段水平绳子与水面相距 h。求小船与岸边相距 x 时，船靠岸的速度 v 多大？

[分析与解]方法一：人拉着绳子走动时，绳上各点的速率都相等，方向与绳子的方向一致。

对滑轮以下的那段绳子来说，它的运动显然不是平动。这段绳子在船靠岸的过程中与水面之间的夹角θ不断增大，因此这段绳子的运动，既有与这段绳子的长度不断缩短相关的沿绳子方向上的运动，又有绕定滑轮 O 的转动。所以绳上各点的运动速度，是沿绳子方向上的速度 v0 和垂直于绳的方向上的速度 v’的合速度（图 3-15）。可见，当小船与岸边相距 x 时， 绳端 A 点，即小船的靠岸速度为：

v = v

₀ / cosθ = v0 ⋅ x =

⋅ v0

方法二：设小船与岸边相距 x 时靠岸的速度为 v，经过很短的一段时间△t，小船运动到 B 点（图 3-16）。在△t 这段时间里，滑轮以下的那段绳子由位置 AO 运动到 BO，这段绳子绕 O 点转过的角度为 a.在 AO 上取 C 点，使 CO=BO。由于△t 极短，a 很小，所以可以认为 BC 与 AO 垂直，三角形 ABC 可以看作是直角三角形，故得

AC = v0 ∆t = v0

= cosθ = x

AB v∆t v

由此可得：

h 2 ·v 。

v = 1 + ( x) 0

上述两种方法的共同点是分析滑轮以下的那段绳子的变化情况。方法一认为这段绳子既有沿绳子方向上的速度 v0，又有绕 O 点转动垂直于绳子方向上的速度 v′，而小船的速度是 v0 与 v′的合速度。方法二则根据这段绳子在极短的时间△t 内位置变化情况，推断三角形 ABC 为直角三角形，

找出小船靠岸的速度 v 与绳上各点沿绳子方向上的速度 v0 之间的关系，从而求得答案。

从所得答案v =

h 1 + ( x)

² ·v

可以看出，当小船与岸边相距很远，

即 x》h 时，v≈v0，小船靠岸的速度与人拉绳子的速度几乎相等。

[例题 2]同一平面中的两根直杆 a 和 b，夹角为θ，分别以垂直于自身的速度 v1 和 v2 在同一平面中平动（图 3-17）。求这两根杆子交点 O 的速度大小和方向。

[分析与解]方法一：设 b 杆不动、a 杆动，则交点 O 将沿 b 杆以速率v1’运动（图 3-18）：v1’=v1/sinθ。

设 a 杆不动、b 杆动，则交点 O 将沿 a 杆以速率 v2′运动（图 3-18）： v2′=v2／sin?

实际情况是 a、b 两杆同时运动，所以交点 O 的运动速度应是 v1′与v2′的合速度 v：

v =

= sinθ

应特别注意交点 O 的速度不是 v1、v2 的合速度，而是 v1′与 v2′的合速度！

方法二：设某时刻两杆相交于 O，经过时间 t 两杆的交点为 O′（图 3

－19）。可见，两杆的交点是沿 OO′方向运动的。设交点的速率为 v，则：

OO' = vt。

从图 3－19 可以看出：OO′是 a、a′、b、b′构成的平行四边形的对角线。根据题意及图示，可得：

OC = v1 t，OD = v2 t

OA = OC / sinθ = v1 t / sinθ OB = OD / sinθ = v2 t / sinθ OO' =