=

= ⋅ t

即v =

sinθ

[例题 3]某时刻质点 A、B 处在直线 l 的两端，直线长为 l=15 米（图 3

－20）。质点 A 以速度 vA=4 米/秒沿直线 l 运动，质点 B 以速度 vB=3 米/秒沿垂直于直线 l 的方向运动。求：何时 A、B 相距最近？最近距离多大？ [分析与解]方法一：取地面为参照物。经时间 t，A 运动到 A′，B 运

动到 B′，这时两个质点相距（图 3－21）为：

s = =

=

= 25(t − 12) 2 + 81

5

12

可见，当t = 5 （秒） = 2.4（秒）时，两个质点相距最近，

最小距离为smin = 81（米） = 9（米）。

方法二：分别以 A 或 B 为参照物，用相对速度求解。

  1. 以 A 为参照物。即假设 A 不动，则 B 将作两个分运动：垂直 l 方向上的速率为 vB 的匀速运动；沿 l 方向由 B 向 A 速率为 vA 的匀速运动。B 相对 A 的运动是这两个分运动的合运动（图 3－22），合速度的大小为：

v = + v2 = 5（米 / 秒）

即质点 B 相对于 A 沿 BB′作匀速运动，速度为 v=5 米/秒。显然，只有当质点 B 运动到 B′点，而 AB′⊥BB′，两个质点之间最近，最近距离为：

s = AB'= lsinθ = l· v B

= 9（米）

min v

质点由 B 点到 B′点所用的时间为：

t = lcosθ = 15 × 0.8 （秒） = 2.4（秒）

v 5

  1. 以 B 点为参照物。即假设 B 不动，则 A 沿 l 以速度 vA 向 B 运动的同时，还垂直于 l 以速度-vB 运动（图 3-23）。A 相对于 B 的速度是 vA、

-vB 的合速度。参考（1）的方法，可以求得相同的答案。

[例题 4]房间里离地面 H 高的 A 点有一盏灯，这盏灯可以看作是点光源。一个小球以初速度 v0 从 A 点沿水平方向向墙壁垂直抛出，恰好落在墙角 B 处（图 3－24）。试求：小球在墙壁上的影子是如何运动的？

[分析与解]刚抛出时小球的影子在墙上 F 点，且 AF 与墙壁垂直。时刻t 小球处于位置 P 时，它的影子在墙上 P′处。可见，在时间 t 内，影子由F 运动到 P′点，位移 s=FP′。由 P 作 AF 的垂线，垂足为 E，则直角三角形 AEP 与直角三角形 AFP′相似；由相似三角形知识可得：

FP' = AF ，即FP′ = AF ·EP

EP AE AE

式中FP′ = s，

1

EP = 2 gt

2 ，AE = v t，AF = v

2H ，

g

将各值代入上式并化简，即得：

Hg

s = 2 ·t

式中 为常量。可见，小球的影子从 B 点开始向 F 作匀速运动，运

动速度 v= 恒定不变。

也许有人对上述结果不甚理解，平抛小球在竖直方向作自由落体运动，它在墙壁上的影子怎么会作匀速运动呢？原来：小球不仅在竖直方向上作自由落体运动，而且在水平方向上作匀速运动，并且小球恰好落在墙角处。显然，如果小球没有水平方向上的匀速运动，小球也不是恰好落在墙角处，影子的运动将完全不同。还应注意，本题所研究的是平抛出去的小球与它在墙上影子的运动的相关性，这里的影子是点光源形成的，如果是垂直于墙壁的平行光产生的影子，情况又将如何呢？

可见，在研究相关运动中不同物体的运动量之间的关系时，必须仔细分析相关物体的联系方式和运动所受的限制条件。

[例题 5]长度为 l 的直杆斜靠在墙角处。某时刻起它在竖直平面里开始滑动，当下端 B 与墙角相距 x 时，B 端沿水平方向的速度为 vB（图 3－ 25）。求这时杆子的上端 A 沿墙壁向下滑动的速度（vA）多大？

[分析与解]当杆子在竖直平面里滑动时，B 端的速度沿水平方向，A 端的速度竖直向下。设 B 端与墙角相距 x 时，杆子与地面的夹角为? 。将直杆两个端点的速度 vA、vB 沿杆子的方向和垂直于杆子的方向分解（见图3－26）。由于杆子的长度保持不变，故杆子 A 端和 B 端沿杆子方向的分速度应该相等，即：

vA sinθ = v Bcosθ

由此可得vA = vB

  • ctgθ =

    • v B

，其中x < l。

在分析与解的过程中，我们应用了两个限制条件：①杆子的下端沿水平方向滑动、上端竖直向下滑动；②杆子在滑动过程中长度不变，所以 A 端和 B 端沿杆子方向上的分速度相同。

读者可以将本题与例题 1 进行比较。例题 1 中我们分析滑轮以下那段绳子的变化情况。这段绳子上端 O 的位置不变，绳子的下端 A 沿水平方向运动。通过分析，我们得出两个重要的结论：①A 端相对于 O 的运动，既有沿绳子方向的运动，又有垂直于绳子方向上的运动，A 点的运动是这两个方向上分运动的合运动；②绳上各点沿绳子方向上的运动速度不变。就是人牵引绳子的速度。

通过上述分析、比较，使我们进一步认识到：借助于模型和典型例题的分析，是学好物理的有效方法，也是一条捷径。

[例题 6]汽车在平直的公路上以速度 v1=10 米/秒匀速行驶。在与公路相距 d=50 米的 B 点，有一个人想乘上这部汽车，当这部汽车通过与 B 点相距 l=200 米的 A 点（图 3－27）时，人即以速度 v2=3 米/秒沿某直线奔跑。问：这个人应沿什么方向上的直线奔跑，在他到达公路时，才能恰好赶上汽车，或赶在汽车之前到达公路上某处稍等片刻而乘上汽车？

[分析与解]这是平面上的追及问题，它比直线上的追及问题显然要复杂得多。

解法一：设人沿直线 BC 奔跑，当他到达公路上的 C 点时，汽车也恰好到达 C 点（图 3－28）。设直线 BC 与直线 BA 之间的夹角为 a。由已知条件可知 AB 与公路之间夹角? 的正弦值为：

sinθ = d = 0.25。本题的任务就是求a角的大小。l

设人从 B 到 C 用了时间 t，在同样的时间 t 里汽车从 A 运动到 C，则AC=v1t，BC=v2t，在三角形 ABC 中应用正弦定律：

AC

sina

BC

= sinθ

，即 v1t

sin a

= v 2 t sinθ

得 sina = v1 sinθ = v1 ⋅ d ≈0.8333

v 2 v 2 l

查表可得α有对应的两个解： α1=56.5°，α2=123.5°

从图 3－28 可以看出，当α=56.5°时，人与汽车恰好在 C 点相遇；当α=123.5°时，人与汽车恰好在 C′点相遇。可见，人要赶这部汽车，他奔跑的方向与 BA 之间的夹角必须满足条件：56.5°≤α≤123.5°。

如上所述，α=56.5°与α=123.5°时，人恰好能赶上汽车；而 56.5

°＜α＜123.5°时，人赶到公路边可以稍等片刻后乘上汽车。人从 B 到 C 恰好赶上汽车所用的时间为 t1，根据正弦定律：

sinθ

BC = sin(180°-α - θ) ·l

sin? =0.25，? ≈14.5°；sin（180°-a1-? ）=sin109°=0.9455； l=200 米，代入上式得：

BC≈52.9（米）。

由 BC=v2t1，可得：t1≈17.6（秒）。

根据同样的方法可以求得，人从 B 到 C′恰好赶上汽车应需时间t2=24.9（秒）。

上面的解法是以地面为参照物，人与汽车都相对于地面在运动。如果改变参照物，情况将如何呢？

解法二：以汽车为参照物。即假设汽车不动，则人应沿直线 BA、以速度 v 向汽车奔跑，而 v 应该是 v2 与-v1 的合速度（见图 3－29 和 3－30）。

根据正弦定律：

v1 =

sinα

v2

sinθ ,

即sinα = v1 ·sinθ = 0.8333

v2

得α1=56.5°（图 3－29）和α2=123.5°（图 3－30）。上述两种方法都得到相同的结果：

sina = v1 · d

v2 l

从题目所给的条件：v1=10 米/秒，d=50 米，l=200 米来看，当人的运动速度 v2=3 米/秒时，只要他的运动方向与 AB 间的夹角 a 满足关系式 56.5

°≤a≤123.5°时，他肯定可以赶上并乘上汽车。

如果人的奔跑速度 v2<2.5 米/秒，则 sina>1，本题无解。表明 v2<2.5 米时，人无论如何都赶不上汽车。

若 v2=2.5 米/秒，则 sina=1，a=90°，这时问题有唯一解：人必须沿

垂直于 AB 的方向奔跑，在 C″点与汽车相遇（图 3－31），这时 BC″

=ABtg? =51.7（米），人以 v2=2.5 米/秒从 B 跑到 C″需时间

t = 51.7米 = 20.7（秒）。2.5米 / 秒

从解法二（假设汽车静止，以汽车为参照物）还可以看出，本题相当于：已知一个分速度（-v1）的方向和大小，还知道另一个速度（v2）的大小和合速度（v）的方向，求分速度 v2 的方向与合速度 v 的大小。显然， 这是一个比较复杂的问题。从上面分析与解的结果看，可能无解，可能有唯一解，还可能有两个解。深入研究这个典型例题的解题方法，真正弄懂由图 3－29、图 3－30 和图 3－31 所表示的解题结果，对任何一个初学物理的人来说都是十分有益的。

●思考与练习

  1. 已知河宽为 200 米，两岸平行，河中水流速度是 2 米/秒。一条小艇

相对于静水的速度是 4 米/秒，它要横渡这条河流，求：（1）如小艇的船头始终垂直指向对岸，过河要用多少时间？小艇在何处靠岸？（2）若小艇要到达正对岸，它应如何行驶？过河要用多少时间？

  1. 如题 1，如小艇将船头指向上游且与河岸成

    30°夹角，小艇过河要用多少时间？小艇在何处靠岸？

  2. 小轮船用 5 分钟时间横渡一条 600 米宽的大河，恰好靠上正对岸码

头。已知小轮船本身的速度是 4 米/秒。求小轮船船头的指向与河水的流速。

  1. 汽车以 6 米/秒的速度向东匀速行驶，车上人看到的雨点竖直向下匀

速运动，并测得速度为 4 米/秒。求车停止后，车上的人看到的雨点的运动方向和速度多大？

  1. 人骑自行车以速度 v1=15

    千米/小时向正北方向行驶，行驶中他感到风从正西方向吹来，风速 v=20 千米/小时。试求相对于地面的风速和方向。

  2. 汽车在平直的公路上以速度 v1=10 米/秒匀速行驶。在与公路相距

d=50 米的 B 点，有一个人想赶乘这部汽车。当汽车经过与人相距 l=200 米的 A 点时（图 3－32），人即以 v2=4 米/秒的速度沿直线向公路奔跑追赶汽车。问他向什么方向奔跑，追赶上汽车所需的时间最短？

  1. 河岸边的捕鲨站设在 A 点（图

    3－33），当发现一条大鲨鱼平行于海岸线向正北方向游动到捕鲨站东南方的 B 点时，即发射一枚鱼雷式的小火箭去追杀它。已知鲨鱼游动的速度 v1=12 米/秒，小火箭沿水面以速度v2=24 米/秒匀速前进。为了射中这条鲨鱼，小火箭应向什么方向发射？

  2. 一条走私船正以 v1=20 千米/小时的速度向北偏东 30°的方向逃跑，当它通过

    A 点时，在其正东 5 千米的 B 点我海岸截私快艇奉命前去追截（图 3－34），快艇船速为 v2=25 千米/小时，若要在快艇航线上截住该走私船，我快艇应按什么方向航行？

  3. 在第 8 题中，我截私快艇从 B

    点算起，经多少时间，在其航线上截住该走私船？

  4. 在平地上竖立一根直杆，从地面上某点，在该点与直杆所处的竖直平面里斜抛一个物体，经△t

    秒该物体恰好从直杆的顶端掠过，又经过 3

△t 秒落到地面上。不计空气阻力，求：（1）杆子的高度 h；（2）物体离地面的最大高度 H。（3）物体的落地点到抛出点的距离是杆子到抛出点的距离的几倍？

  1. 在倾斜角为 a 的山坡脚下，以仰角?

    向山坡上发射一枚炮弹，炮弹的初速度为 v0，不计空气阻力，求炮弹沿山坡上的射程 s。

  2. 假设水从消防龙头喷射出来的初速度相等。试求在喷射仰角分别为

60°、45°和 30°的情况下，喷出的水所能达到的最大高度之比和水平射程之比。

  1. 如图 3－35 所示，A、B 是一条大河两岸的两个码头，相距 S=1200

    米，两个码头的连线与水流方向夹角为 60°，水流的速度 v=1.9 米/秒。今有小汽艇在 A、B 间作一次往返航行，不计汽艇掉头所需的时间，共需时

间 5 分钟。已知小汽艇在 A、B 间航行时的实际航线均为连接 A、B 的直线。求小汽艇本身的速度及航行时船头的指向？