●匀速运动的合成问题

两个任意方向上匀速运动的合成问题很多。这里仅就运动中的人感觉到的风向问题与过河问题举例，通过所举例题的分析与解的过程，阐述一般的解题方法。

［例题 1］当人以 3 米／秒的速度向东跑时，他感到风是从正北方向吹来的；当他以 6 米／秒的速度向东奔跑时，则感到风从东北方向吹来。求风相对于地面的方向和速率。

［分析与解］空气流动形成风。如空气相对于地面不动，人在走动时， 便会感到有风迎面吹来，这时人感觉到的风向与人的运动方向相反，速率与人运动的速度大小相同。

在有风的情况下，走动的人感觉到的风实际上是空气相对于人的运动，所以我们可以假设人不动，即以人为参照物。

人向东走，以人为参照物，则转化为地面相对于人向西运动。

空气相对于地面运动，地面相对于人运动，则人感觉到的风便是空气相对于人的运动。

可见，人感觉到的风，是空气相对于地面的运动和地面相对于人的运动的合运动。

根据上述分析，题目所述内容可以表述为图 3-1 中的（甲）（乙）两个矢量图。

由（甲）、（乙）两图可知，空气相对于地面的方向是指向东南的，

图中θ = 45°, 而速率v气对地 = 2υ人对地 = 3 2(米 / 秒)≈4．2(米 / 秒)

从图（乙）还可以看出，当人以 6 米／秒的速度向东奔跑时，他感觉

到的东北风的风速，比他以 3 米／秒的速度向东跑时感觉到的风速大，前

者是后者的 倍。

［例题 2］船在水中的速度为 v1，河中流水的速度为 v2，水向东流， 河宽为 d（图 3-2）。（1）若船头指向保持与河岸成θ角不变，船相对于河岸的速度多大？船从南岸要用多少时间才能到达北岸？（2）θ角多大时，过河所用的时间最短？最短时间多少？（3）θ角多大时，船恰好能在正对岸靠岸？这样过河用多少时间。

［分析与解］以河岸为参照物，船参与了两个运动：相对于水的运动， 速度为 v1，方向与河岸夹θ角；与水一起向东运动，速度为 v2。则船相对于河岸的速度是 v1、v2 的合速度：

v =

v 的方向与河岸夹角为 a，由图 3-2，根据正弦定理可知，

v1

sina

v

= sin(180°-θ)

，则得：

a = sin-1（ v1 ·sinθ）

v

船到达对岸所用的时间为：

d d

t = vsina 或 t = v sinθ

d

（2）由t = v sinθ 可知，当θ = 90°，

即船头保持与河岸垂直时，过河所用的时间最短：

d

t min = v

1

这时，船在正对岸下游 s 处靠岸：

s = v t = （ v 2 ）d

2 min

1

（3）要使船恰好能到达正对岸，则应使α=90°，

即 v1 sinθ = sin90° = 1，故sinθ = v ，

v v1

可见，船头应保持与河岸之间的夹角大小为：

v v 2 + v 2

θ = sin-1(

) = sin-1(

v1

1 2 )

v1

d d

这样过河所用的时间为：t = v 或t = v sinθ

显然，要使船能在正对岸靠岸，必须θ＞90°，且 v1＞v2，否则不行。

［例题 3］甲、乙两人在静水中游泳时最大速度分别为 v1 和 v2。他们分别从自西向东流的河的南岸和北岸的 A、B 点向对岸游去（图 3-3）。已知 A、B 相距 s，A、B 连线与河岸夹θ角，水的流速为 v。两人同时、分别从 A、B 点出发，问他们各自应向什么方向游，才能用最短的时间在河中某处相遇？

这最短的时间是多少？

［分析与解］为了用最短的时间在河中某处相遇，显然他们均以最大的速度 v1、v2 游动。

方法一：以河岸为参照物。甲、乙两人游动的方向也就是 v1、v2 的方向，分别用它们与河岸垂直线的夹角α、β表示（图 3-3）。设经过时间 t 他们相遇，在这段时间里，他们两人在垂直于河岸方向上的位移大小分别为 s1 和 s2，而在平行于河岸方向上的位移大小分别为 s’1 和 s2’。用正交分解的方法可知：

s1 = v1cosα·t

s = v cosβ·t

 2 2

s1 ′ = （v1sinα + v）t

 2 ′ = （v 2 sinβ - v）t

甲、乙相遇，则应有：

s1 + s2 = s·sinθ

s ′ + s ′ = s·cosθ

即（v1cosα+v2cosβ）t=s·sinθ ①

（v1sinα+v2sinβ）t=s·cosθ ② 两式平方相加，可得：

[v12+v22+2v1v2cos（β-α）]t2=s2

s

t =

可见，只有当α=β，t 有最小值：

s

t min = v

1 + v2

将α=β代入①②两式，可得 ctgα=ctgβ=tgθ，即α=β=90°-θ， 这表明甲、乙均沿着连接 A、B 的直线向对方游时所用的时间最短。

甲、乙两人沿着连接 A、B 的直线向对方游时，如水静止，则他们将在A、B 连线上的某点 O 相遇；若水以速度 v 流动时，他们将在 O 点下游的 O

′点相遇，而 OO′=vtmin。这种情况下，甲、乙的实际游泳路线分别是直线 AO′与 BO′。

方法二：以河水为参照物。由于甲、乙两人在同一条河中游泳，在相

同的时间里，甲、乙均被水向下游冲去相同的距离 s=vt，所以可以不考虑水流动的影响，而认为甲、乙都在静止的水中以各自最大的游速游动。要在最短的时间里相遇，所以应沿着连接 A、B 的直线分别向对方游去，这样所用的时间最短：

s

t min = v

1 + v2

实际上在这段时间里，由于水流的作用，甲、乙均向下游漂移一段距离：

v

s′ = vt min = v + v ·s

水不流动时甲、乙在 AB 上的 O 点相遇，水流动时他们在 O′点相遇， 甲、乙两人相对于河岸的实际路线分别为 AO′和 BO′（图 3-4）。

方法三：假设水不流动，乙也不游，则相当于甲以速度

v1 和速度- v2 的合速度v12 从A向B游去（图3 - 5）。

由图 3-5 可以看出，只有当α=β=90°-θ时，

v1 与- v2 的合速度v12 才有最大值，

这样，甲从 A 到 B 所用的时间才最短。v12 的最大值为 v1+v2，所以最短的时间为：

s

t min = v + v

上述三种方法的根本区别在于参照物的选择，而计算方法的区别则是非本质的区别。参照物的不同选择，代表了不同的物理思想，也就是分析同一物理过程的不同物理模型。对物理过程的理解，都与特定的模型相联系。对于运动学问题来讲，模型取决于参照物的选择，这反映了运动的相对性特性。