●竖直方向上的抛体问题

在直线运动中，匀速运动与初速度为零的匀加速直线运动，是两种最简单的运动形态。其它的复杂运动都可以看作是这两种简单运动的合运动。

从运动和力的关系看，作匀速直线运动的物体所受力的合力为零，作匀加速直线运动的物体所受外力的合力为恒力。

竖直方向上的抛体，有竖直向上或竖直向下的初速度 v0。在不计空气阻力的影响时，物体抛出后受恒定的重力作用，有竖直向下的恒定加速度g。因此，竖直上抛运动可归结为两个模型（或称两种过程）。第一个模型把它看作是初速度为 v0、加速度为-g 的匀减速直线运动；第二个模型把它看作是竖直向上、速度为 v0 的匀速直线运动与竖直向下的自由落体运动的合运动。对竖直下抛运动。也有两个模型，第一个模型把它看作是初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动；第二个模型则把它看作是竖直向下的匀速直线运动与自由落体运动的合运动。

如考虑空气阻力的作用，则物体在运动中受重力和空气阻力作用。根

据力的独立作用原理，运动中的物体有两个独立的加速度：一个是重力引起的竖直向下的重力加速度，另一个是空气阻力引起的，其方向与运动方向相反。所以，在考虑空气阻力作用时，竖直方向上的抛体运动，用运动合成的模型来看，它是三个独立运动的合运动：第一个独立运动是竖直向上或竖直向下的匀速直线运动；第二个独立运动是竖直向下的自由落体运动；第三个独立运动是初速度为零的匀变速直线运动，其加速度大小由空气阻力的大小决定，方向总与运动方向相反。

用运动合成的观点（模型）分析复杂的运动，是把复杂的运动分解为简单的运动，认为复杂的运动是简单运动的合成，这既是认识的深化，也是研究问题的方法，是认识论与方法论的统一。

上述分析、解决竖直方向上抛体运动的两个模型，是对同一个具体问题的两种认识，也可以说是从两个不同角度研究同一个物理过程。就整体而言，竖直方向上抛体的运动是一种匀变速运动，因此我们统一用匀变速运动的公式分析、研究竖直方向上的抛体问题。

［例题 1］一只气球从地面由静止开始匀加速竖直上升，加速度 a=2 米/秒 ²，5 秒末有一个物体从气球上掉落下来，问该物体经多少时间落到地面？

［分析与解］方法一：研究对象是从气球上掉落下来的物体，当它从气球上掉下来的那一瞬间，它与气球具有相同的、竖直向上的速度： v0=at=10（米/秒）；这一瞬间，

物体的高度 1 2 （米）。

h = 2 at = 25

物体从气球上掉下以后，只受重力作用，有竖直向下的重力加速度。由于有初速度 v0，物体竖直向上作匀减速运动。经时间 t1，速度减少到

零, 时间t = v0

= 1（秒）。

1 g

v2

在这t = 1秒的时间里，物体上升的高度h′ = ⁰ = 5（米）；

¹ 2g

即当物体速度为零时，它离地面的高度 H=h+h′=30（米）；随后，物体将从 H=30（米）的高度自由下落，自由下落的时间为 t2，

由 1 2

H = 2 gt 2 ，可得t 2 =

≈2.45（秒）。

可见，物体从气球上掉下，到落到地面共用时间：

t = t 1 + t 2 ≈3.45（秒）。

方法二：物体掉高气球时高度 h=25（米）；瞬时速度 v0=10（米/秒）， 竖直向上。物体掉离气球以后，作初速度为 v0、加速度为-g 的匀减速运动。取竖直向上的方向（也就是 v0 的方向）为正方向，当物体落到地面时，它的位移为-h，这个位移所用时间 t，根据匀变速直线运动的公式可得：

1

v0 t - 2 gt

² ＝ - h

代入已知量，可以得到关于时间 t 的一元二次方程： 5t²-10t-25=0

舍去负根，得 t≈3.45（秒）。

［例题 2］一只皮球在离地面 h1=4.5 米高的地方，以速度 v1=12 米/ 秒竖直向下抛出，与地面撞击以后竖直向上弹跳起来，弹跳起来的速度是撞击前速度的 0.8 倍。已知皮球运动中受到的空气阻力是其重力的 0.1 倍， 试求皮球跳起的高度？

［分析与解］皮球抛出后受重力与空气阻力作用，重力使皮球有竖直向下的加速度，其大小为 g=10 米／秒 ²；空气阻力与皮球的运动方向相反， 它使皮球产生竖直向上的加速度，大小为 0.1g=1 米/秒 ²；根据矢量合成原理，皮球抛出后的合加速度为 a1=9 米/秒 ²，方向竖直向下。可见皮球抛出后作初速度为 v1=12 米/秒、加速度为 a1 的匀加速运动，到达地面时位移为 h1=4.5 米，它与地面撞击的速度 v2 可由公式 v22-v12=2a1h1 求得：

v2 = = 15（米 / 秒）

皮球从地面弹跳起来的速度为： v0=0.8v0=12（米/秒）

皮球向上运动时，受到竖直向下的重力和空气阻力作用，合加速度竖直向下，大小为 a2=11 米/秒 ²，由此可得皮球弹跳起的高度为：

v2

h = ⁰ ≈6.55（米）。

² 2a

［例题 3］一个热气球停在空中某一高度 h 处，某时刻甲物体从热气球下的吊篮中自由落下，经时间 t0=3 秒后，吊篮中的人以初速度 v0=40 米

/秒竖直向下抛出乙物体，试求：（1）乙物体经多少时间与甲物体相遇？

（2）如乙物体抛出后 5 秒落到地面上，求吊篮离地面的高度多大？

［分析与解］（1）设乙物体抛出后经 t 秒与甲物体相遇，这时甲物体与吊篮的距离：

1 2

s1 = 2 g（t + t 0 ）

乙物体与吊篮相距：

s = v t + 1 gt ²

2 0 2

甲、乙相遇，则 s1=s2，即：

1 2 1 2

2 g(t - t 0 ) - (v 0 t + 2 gt ）＝0

gt ² 10 × 3²

解得t＝ ⁰ ＝ ＝4.5（秒）

2( v0 − gt 0 ) 2 × (40 − 10 × 3)

（2）吊篮离地面的高度由乙物体 5 秒内的位移大小决定：

1 2 1 2

H = v0 t + 2 gt = 40×5 + 2 ×10×5

= 325（米）

［例题 4］从空中足够高的某点，以相等的速率 v0 竖直向上和竖直向下同时各抛出一个物体，试求这两个物体之间的距离与时间的关系。

［分析与解］设物体抛出时开始计时，抛出后 t 秒，这两个物体相对

于抛出点向上和向下的位移分别为：

1 2

s1 = v0 t - 2 gt

1 2

s2 = v 0 t + 2 gt

时刻 t，这两个物体相距：

s = s1 + s2 = 2v0 t

即 v0 一定时，两物体间的距离与时间成正比。