●追及问题

就广泛的意义来讲，两个物体在一条直线上运动时相遇的问题，都可以称作追及问题。在前面研究过的几类问题中，都已经涉及到了这类问题。在本节我们主要研究三种模型的追击问题。

模型一：甲、乙两个质点，相距 s，乙在前、甲在后，沿着它们的连线向同一方向同时开始运动。甲以速度 v 作匀速直线运动，乙作初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动（图 1－4）。甲能否追上乙？什么情况下能追上？

什么情况下不能追上？

［分析与解］设开始运动后 t 秒甲追上乙。在时间 t 秒内，甲、乙的位移分别为：

s1 = vt，

1 2

s2 = 2 at

甲追上乙，即甲、乙相遇，应有： s1=s2+s

1 at ² - vt + s＝0，即at ² - 2vt + 2s＝0 2

这是关于时间 t 的一元二次方程，解这个方程，得：

2v ±

t＝

4v² − 8as 2a

= ( a ) ±

v 2

( a )

2s a

由此可见：

（1 v 2 - 2s ＜0，即v＜

2as，方程无解，

）如（ a ） a

表明甲作匀速运动的速度小于 2as时，它不可能追上乙。

如（ a ）

2 - 2s = 0，即v = 2as时，方程有一个唯一的解： a

t = v 。表明甲能追上乙，但它们只能相遇一次。

v ( a )

2 − 2s ＞0，即v＞ a

2as时，方程有两个解：

t1 = ( a ) -

, t 2 = ( a) +

, t 1＜t 2 时刻t 1，

甲的即时速度大于乙的即时速度，甲运动到乙的前面去了；时刻 t2 ，乙的即时速度大于甲的即时速度，乙运动到甲的前面去了。

特殊情况：若 s＝0，即甲、乙同时从同一地点开始向同一方向

运动，则：

vt − 1 at ²

= 0,

即 t (2v − at ) = 0

得t1 ＝0，t 2

＝2（ a ），只能相遇一次，是乙追上甲。

［例题 1］一列火车总长 l＝180 米，以加速度 a＝0．1 米／秒 ² 由静止开始作匀加速直线运动。同时有一个人以速度 v＝6．5 米／秒从车尾向同一方向作匀速直线运动。求人与车头平齐时，火车的位移多大？

[分析与解]与模型一相比，人是质点甲，他作匀速运动，v＝6．5 米

／秒；把火车头看作为质点乙，它在甲前面与甲相距 s＝180 米，它作初速度为零的匀加速直线运动，加速度 a＝0．1 米／秒 ²。根据题意，甲、乙相遇，即人与车头平齐，应有：

vt＝ 1 at ²＋s

即 t²－130t＋3600＝0，即（t—40）（t—90）＝0

解得：t1＝40 秒，t2＝90 秒。即人与车头有两次平齐的机会。这时火车的位移分别为：

s ＝ 1 at ²＝80（米）

1 2 1

s ＝ 1 at ²＝405（米）

2 2 2

讨论：t1＝40 秒时，火车的速度 v1＝at1＝4 米／秒＜6．5 米／秒，是人赶上火车头，人与火车头平齐；t2＝90 秒时，火车的速度 v2＝at2＝9 米／秒＞ 6.5 米／秒，是火车头赶上人，火车头与人平齐。可见，两个解都是有意义的。

由已知条件：

2as＝

= 6(米／秒)＜6．5( 米／秒)，

符合有两个解的条件。如果人行走的速度为 6 米／秒，则只有一个解；

如果人的速度小于 6 米／秒，则无解。

模型二：甲、乙两个质点相距 s，乙在前、甲在后，沿着它们的连线向同一方向同时开始运动。乙以速度 v 作匀速直线运动，甲作初速度为零的匀加速直线运动（图 1—5），加速度为 a。求：（1）甲要用多少时间才能追上乙？（2）甲追上乙时速度多大？（3）甲追上乙之前，何时它们相距最远？相距的最大距离是多大？

［分析与解］（1）设开始运动后 t 秒甲追上乙，在 t 秒内甲、乙的位移分别为：

s = 1 at ²

1 2

s2 = vt

甲追上乙，即甲、乙相遇，应有： S1—S2＝S

1 at ² − vt

= s, 即

at ² − 2vt − 2s = 0

这是关于时间 t 的一元二次方程，解这个方程，得：

2v ±

t =

4v ² + 8as 2a

= a ±

v 2

( a )

2s a

由于时间 t＜0 无意义，可见方程有唯一解：

t = a +

甲追上乙时，甲的速度为：

v' = at = v + > 2v

在甲追上乙之前，甲乙相距：

∆s = ( vt + s) − 1 at ²

= − 1 at ² + vt + s 2

= − a

(t −

v )² + ( v a 2a

可见：当t v

s最大，最大值为：

＝ a 时，Δ

△Smax＝ 2a ＋s

由此可以推知，当甲、乙相距最远，即t v

甲的速度 v1＝at＝v，即甲的速度与乙的速度相等。这个推论十分重要，而且很有实际应用价值。

讨论：（1）若 s＝0，即甲、乙同时从同一地点开始向同一方

向运动，则唯一解是t＝

2( a )；

甲追上乙时，它的速度 v＇＝at＝2v；甲追上乙之前，

v v²

在t＝（ a ）时，它们相距最远，最大距离为△Smax ＝ 2a ，

该时刻甲的速度与乙的速度相等。

（2）模型二与模型一相比，模型二总有唯一解，而模型一可能无解

(v＜

2as)，可能有一个解(v＝

2as) 。也可能有两个解( v＞

2as)。

比较这两个模型的差异对应用这两个模型分析、解决实际问题十分重要。

［例题 2］一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以 8 米

／秒的速度匀速前进的货车有违章行为时，决定前去追赶，经 2．5 秒，警车发动起来，以 2 米／秒 ² 的加速度作匀加速运动。问：（1）警车要多长时间才能追上货车？当警车追上货车时，它的速度多大？（2）警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？

［分析与解］设警车起动后 t 秒追上货车。警车发动起来时，货车在警车前 s＝vt＝8×2．5＝20 米，警车追上货车时，有：

1 at ² = vt + s 2

1 × 2 × t ² − 8t − 20 = 0

即 t²—8t—20＝0，（t—10）（t＋2）＝0 解得 t＝10（秒）时，警车追上货车。

警车追上货车时的速度： v1＝at＝2×10＝20（米／秒）＞2v

（2）警车追上货车之前，它们之间的距离与时间的关系为：

∆s = (vt + s) − 1 at ²

＝ − t ² ＋8t＋20

＝ − （t − 4） ² ＋36

解得 t＝4（秒）时，Δs 最大，ΔSmax＝36（米）。该时刻警车的速度 V1＝8（米／秒），与货车的速度相等。

模型三：甲、乙两个物体，沿同一条直线向同一方向运动，速度分别为 V10 和 V20，且 V10＞V20，乙在前、甲在后（图 1－6）。当它们相距 s 时，甲以加速度 a 作匀减速运动。试分析：在什么情况下，甲才会撞上乙？

［分析与解］设甲开始减速后 t 秒与乙相撞。在 t 秒内，甲、乙的位移分别为：

s = v t − 1 at ²

1 10 2

S2＝v20t

甲撞到乙，则应有：

s - s = s 即 (v − 1 at ² ) − v t − s = 0

1 2 10 2 20

at ² －2（v —v ）t＋2s＝0

解此方程，得：

t = v10 − v20 ±

由题意可以看出，甲在后，甲撞乙时，甲的速度必须大于乙的速度，即 v10－at＞v20，也就是必须有：

t＜ v10 − v 20 。

可见，符合题意的解只有：

t = ( v10 − v 20 ) −

要这个解有意义，还必须满足条件：

( v10 − v20 )² − 2s ≥0 即 (v − v )≥

a a 10 20

可见：只有（v10 － v20 ）≥ 2as时，甲才可能与乙相撞。

［例题 3］一列客车以 v10＝20 米／秒的速度在平直铁道上匀速行驶，一列货车在前面以 v20＝6 米／秒的速度在同一条铁道上同方向行驶。当它们相距 s＝120 米时，客车以 a＝0.8 米／秒 ² 的加速度作匀减速运动，问客车是否会与货车相撞？

［分析与解］方法 1：设客车开始减速后 t 秒两车相撞，两车相撞应当满足条件：

v t − 1 at ² − v t = s

10 2 20

将已知条件代入上式得： t²－35t＋300＝0，即（t—15）（t—20）＝0 得两个解：t1＝15（秒），t2＝20（秒）。

t1＝15 秒时，客车的速度为 v10－at1＝8（米／秒）＞v20；t2＝20 秒时，客车的速度为 v10－at2＝4（米／秒）＜v20；上述计算表明，如果客车与货车在两条平行的轨道上同向运动，在 t1＝15 秒时，

客车赶上货车，两车平齐；在 t2＝20 秒时，货车赶上客车，两车再一次平齐。就本题而言，我们的结论是：客车开始减速后 15 秒与货车相撞。

方法二：以货车为参照物，即假设货车不动，则客车相对于货车的“初

速度”为 v0＝v10－v20＝14（米／秒），即相当于客车以“初速度”v0 朝货车作匀减速运动，要不相撞，

则应有 ⁰ ＜s。

然而就本题而言， ⁰ ＝

可见，两车将相撞。

14 ²

2 × 0.8

= 122．5（米）＞120（米）。

为避免相撞，客车作匀减速运动的加速度值应满足：

a＞ ⁰ =

14²

2 × 120

≈0．82（米／秒²），

本题的加速度值只有 0．8 米／秒 ²，所以会相撞。