“祖 定理”成就非凡

祖冲之对于圆周率的精确推算使他留芳青史，祖 对于球体积计算公式的求得，亦使他被后人所纪念。

祖和他父亲一样，年青时代就成为当时的著名数学家。北齐学者颜之推曾对祖的数学才能给予了高度评价。而祖在数学方面所取得的最大成就是最终求得了球体积的计算公式。

在《九章算术》中，就有已知球的体积反求其直径的问题。由此，可推出当时的球体积公式为：

V = 3 πr ³（V代表球积，r为半径）

这个公式与我们现在使用的正确公式V = 3 πr ³相比较，大了16 。

这个不够准确的公式首先被东汉张衡发现它与实际不符，张衡进行了研究， 但没能解决问题。三国时的刘徽也发现的这个问题，经过反复实验研究，他由正方形与其内切圆的面积之比为 4：π，推得正方体与其内切球体体积之比也是 4：π。由此，他先作了一个球的外切正方体，再用两个直径等于球径的圆柱体从立方体内互相垂直贯穿，这时球就被包在两相交圆柱的公共部分，而且和圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公共部分，因为它的外表象两把上下对称的正方形伞，于是把它取名叫“牟合方盖”。古时称伞为“盖”； “牟”是相等的意思。这时当球与“牟合方盖”同时被水平截面所截，两截面积之比就是π：4；它们的体积之比也应是π：4，即

V 球：V 牟台方盖=π∶4，

由此得

V = π V 。

球 4 牟合方盖

如果牟合方盖的体积能够求得，那么球的体积也就得到了解决。但刘徽最终没能求出牟合方盖的体积，只好留下了的遗愿，希望后人能解决这个问题。

刘徽的遗愿，在他逝世二百年后终于得到实现，祖冲之父子完成了这项事业。祖氏父子也是依据刘徽的思路，把牟合方盖做为解决问题的钥匙，经过反复研究，他们发现了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异。”这句话中“势”指高，“幂”指面积，意思也就是：介于两个平行平面之间的两个立体，如果它们的高相等，当两者被任意一平行面所截，而截面相等时， 则两立体的体积也必相等。根据这个原理，考虑到球的外切立方体去掉牟合方盖的剩余部分与牟合方盖体积对比关系，最终求得了牟合方盖的体积公式

为

V = 2 （2r） ³。

牟合方盖

代入刘徽的结果V = π V

3

，经整理得到

球 4 牟合方盖

V球 = 4 πr ³，

这就是球体积的正确公式。当时祖氏父子以π = 22 代入，公式就变形为

V = 11 （2r）³。

球 21

就这样，球体体积计算得到了最后解决，这是我国数学史以及世界数学史上一件重要事情。而前面所提到祖氏父子发现的原理在祖时被最终确 定，所以也被称为“祖定理”。“祖定理”与球体积公式的提出，是可以与圆周率的精确推算相媲美的伟大贡献。在国外，直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦雷利重新提出。晚于祖氏父子一千一百多年。

根据唐朝王孝通的记载，知道祖也作有《缀术》一书，是对祖冲之《缀术》的补充，并且记载了祖与其父推求球体积公式的过程，以及棱台、楔形体等几何方面的内容。这本书在当时得到人们的一致好评，被赞为“精妙之作”。可惜也早已失传。

此外，祖对于建筑和土木工程设计也有研究，担任过梁朝掌管官府中的工匠和建筑工程的材官将军。天监十三年（公元 514 年），梁武帝下令征发军民共二十万人，修筑浮山堰（今安徽凤阳东北），企图阻塞淮河，水灌被北魏占领的寿阳城（今安徽寿阳县）。祖 等有关人员奉命勘测地质情况， 他们发现堰址松软，不宜筑堰，上报梁武帝。梁武帝不听，坚持在原址筑堰。一年半以后，在付出了无数人的生命和大量物资的情况下，浮山堰筑成了。寿阳城虽然被冲毁了，但附近百姓也流离失所，只好住在山岗和高地上。接着，在天监十五年（公元 516 年）秋，此地连降大雨，引起洪水泛滥，浮山堰被冲溃，大水瞬时汹涌而出，吞没了淮河沿岸的村镇，十多万人被夺去了生命，还有更多的人无家可归，到处是一片凄凉的景象。这个悲惨事件的祸首应该是刚愎自用的梁武帝，但他却迁罪于浮山堰的施工负责人员，祖 因此被判刑入狱。

刑满出狱后，祖失去了科研的信心，很少从事科学活动了。后来他把更多的时间转向了研究术数（占卜问卦），著有《天文录》和《天文录经要诀》等有关术数方面的书；此外，他还著有《权衡记》一书，是讲度量衡制度的。但这些书也都早已失传。

读到这里，我们会发现：为什么祖氏父子的著作都失传了呢？究其原因， 既有天灾，又有人祸。我国是一个有着五千年文明历史的国家。随着社会的进步，文化的发展，书籍的品种与数量也在不断增长；但在增长的同时，图书散失，消亡的现象也十分严重。对于这一现象，隋朝的牛弘作出了历史总结，首先提出了“五厄”之说，把图书在较短时间内遭到大规模毁坏称为一厄。按照这一思路，中国古代和近代我国的图书典籍大致遭受了十二厄。

1. 周室衰微

春秋初年，周王室衰微，诸侯势力膨胀。他们认为周王朝的典章制度严重妨碍了自己的政治野心，于是便从记载着这些典章制度的周王室藏书入

手，进行大肆破坏。使得图书损失严重，如《仪礼》最初有三千篇，至二百多年后的孔子时，经搜集整理仅存十七篇。

1. 始皇焚书

秦始皇统一中国后，为了控制人民思想，下令焚烧除秦史、医药、卜筮、种树以外的一切书籍。这次焚书给我国古代文化典籍带来了无法估量的损

失，先秦的典籍，在系统上被无可挽回地破坏了。3．项羽入关

秦朝灭亡后，公元前 207 年，项羽率军进入秦都咸阳，大肆烧杀掠夺。秦始皇焚书时，曾允许自己的博士官收藏部分诸子百家书籍。但至此，博士官收藏的这些书也被付之一炬。先秦的许多书籍也就因而失传。

1. 更始战乱

公元二十五年，农民起义军“赤眉军”在樊崇带领下攻入国都长安。杀死更始帝刘玄，并将长安的宫殿、街市、民房全部烧毁。西汉二百年间所搜集、整理的三万多卷皇家藏书也随之被焚。

1. 元帝焚书

南朝梁元帝萧绎酷爱藏书、读书。公元 554 年，北朝西魏军攻破梁都江陵。梁元帝认为自己读了那么多书，还落得个国破家亡的下场，因此将亡国之恨全发泄到图书之上，将十四余万卷图书全部焚毁，南朝二百余年间收藏的图书至此消亡殆尽。

1. 炀帝焚纬

隋炀帝杨广即位后，派使者搜求天下书籍。但同时又将搜集到的与占卜 （音 chèn）纬有关的图书全部焚毁。占卜纬类图书虽然宣扬迷信，但其中也有不少有用的资料，特别是一些早期的科技知识也因此失传。焚纬后剩下的隋政府藏书中的三十七万卷被炀帝带到江都，这部分图书在隋末战乱 中，全部散佚。

1. 安史之乱

公元 755 年，唐将安禄山、史思明发动叛乱，不久即攻陷了洛阳、长安， 唐王朝在这两处收藏的八万余卷图书被焚毁殆

1. 广明之乱

唐僖宗广明元年（公元 880 年），黄巢率农民起义军攻入国都长安，把长安的宫殿、官署等政府机构全部焚毁。唐政府在安史之乱后所搜集的十二大库五万多卷图书也随之荡然无存。

1. 绍定之灾

南宋理宗绍定四年（公元 1231 年），都城临安发生火灾。大火将收藏图书的秘书省、玉牒所等处全部烧毁。南宋历朝搜集的图书六万余卷在这次火灾中损失大半。

1. 绛云楼灾

绛云楼是明末清初著名学者钱谦益的藏书楼。钱氏藏书名满天下，收藏

之书有七十多大柜，藏书的数量、质量都与当时皇朝内府的藏书所差无几， 更有大量的孤本。1670 年，绛云楼不幸遭到火灾，藏书大部分被焚毁。

1. 乾隆禁书

1772 年，清乾隆帝下诏征求天下书籍，为编修《四库全书》作准备。在征书的同时，又把不利于清朝统治的书籍、书版全部禁毁，十年间就销毁了十余万卷图书，给文化典籍带来了一场巨大浩劫。

1. 八国联军劫难

1900 年，八国联军攻入北京，劫掠财物、屠杀人民，大量的文物典籍或遭焚毁，或被抢劫。历经磨难的我国最大的类书《永乐大典》，经八国联军焚毁、抢掠，散亡殆尽。

在这十二次书厄之外，还有着无数次规模较小的图书被焚毁及散失现 象，它们加起来的总量也是相当惊人的，这都给我国的文化事业造成了无法弥补的巨大损失。

可以看出，图书这十二厄大多是由朝代变更、战争频繁或自然灾害引起的，它们给图书造成的损失是有形的，可以被人们看到。

图书在有形消亡的同时，还存在着无形的消亡，它是由人的主观因素所造成的，有以下两个原因：

一是因人们的好恶而造成的。比如人们都喜欢的文辞优美的图书流传就广，保存下来的可能性也大。

二是古今价值取舍观的差异造成的。古人重经史、轻科技，把科技称为旁支末道，因而古代科技书散失的现象就比较严重。

由此可以发现，祖氏父子的著作除了在天灾人祸方面难逃厄运外，受轻视也是一个重要原因。所以很可惜，我们无法从两人的著作中进一步去研究， 认识他们了。

祖之子祖皓受到家传，也精通数学和天文，继承了父祖的科学事业。梁武帝末年，他任广陵郡（今江苏扬州）太守。不久，发生了北朝降将侯景的叛乱，忧国爱民的祖皓起义声讨侯景，结果兵败被害。三世相继的科学世家到此也就绝后了。