四、皇极历（二）

皇极历还首创了等差级数的表述和计算。如在应用 O 一方法。昼夜漏刻长度表计算任一时日的昼夜漏刻长度（K）时，刘昼夜漏刻长度表计算任一时日的昼夜漏刻长度（K）时，刘焯给出了二十四节气初日的初数（L），又给出相邻两节气间每日增或减的等差数（△），如“每日增大”、“每日增少”等等。已知该日所入节气及入该节后 的 日 数 （ t0 ） 即 可 求 出

t ₀

∑ t 0 = 0.1， ，15）。由昼夜漏刻表查得该节气初日的夜半漏

0

则

1 t 0

K = K 0 ± ( t 0L ± ∑t 0 △)

0

式中 a 为一常数。在坐标变换、交食和五星运动计算的有关问题中，也应用了等差级数的表述与计算法。该法与等间距二次差内插法一样，具有同等重要的意义。

东汉的张衡（78——139）发明了黄赤道差的计算法。张衡的黄赤道差计算法是先要准备好一个天球仪，再用一根竹蔑，穿在天球两极。蔑的长度正与天球半圆周相等。将竹蔑从冬至点开始，沿赤道一度一度移动过去，读取竹蔑中线所截的黄道度数，将此

数与相应的赤道度数相减，即得该赤道度数

（或黄道度数）下的黄赤道差。

刘洪将张衡黄赤道差的计算法首次引人到历法以后，沿用了几百年，到刘焯的皇极历又有了新的算法。

张衡的黄赤道差的计算法以每经赤道五度为一限，刘焯以四度为限，在这一点上没有什么本质区别。但刘焯以为每一限黄赤道差的数值是以等差级数变化的，如“每限增一”、“每限损一”等等，这就比张衡以每一限黄赤道差为一个常数有所改进。

刘焯黄赤道差计算法的误差为 0.24°, 与张衡法的水平相当。

刘焯在坐标变换法方面更主要的贡献是首创了黄白道差（黄道度与白黄度之差） 计算法。对黄白道差计算法的描述方式与黄赤道差计算法相同，误差为 0.13°。这些新算法也对以后产生了很大影响。

张子信曾经在一个海岛上，制作了一架浑仪，专心致志地观测，研究日月交食的发生时刻，发现了太阳运动的不均匀性、五星运动的不均匀性和月亮视差对日食的影响。

张子信的这三大发现，以及给出这三大发现具体的、定量的描述方法,把我国古代对于交食等天文现象的认识推进到一个新的阶段，为一系列历法问题计算的突破性进

展开拓了道路。

刘焯在吸取了张子信等前人的研究成果，并经过自己的长期探索以后，创立了一整套日月交食的推算法。

刘焯首先是创立了月亮入交定日（p） 和太阳入会定日（q）的计算法：

P = 入交平日及余±T ± 交率 ×T

⊙ 交数 月

ｑ = 入会平日及余±T ± 交率 ×T

月 交数 ⊙

以这两个公式计算月亮、太阳与黄白交点的时距（p 和 q）时，既考虑了太阳、月亮运动不均匀性的影响，又虑及了黄白交点退行的影响。它的天文概念十分准确和清晰。

其次，刘焯扩充了交食食限的概念和改进了食分的计算法。

皇极历给出的月食食分（g 月）的算式

为

g = 望差 = {去交日分 -[3K至 + 2（10 + S） + 2K分]}

^月 96

式中望差为朔望月长度与交点月长度之差的一半。去交日分即上述 P 值。K 至为发生在春分（或秋分）前、后的望日所值节气距夏至的节气数（0－12）；K 分为发生在

春分（或秋分）前的望日所值节气距春分（或秋分）的节气数（0－6），如果望日在春分

（或秋分）后，K 分=0。s 为去交日分所相当的时辰

数（0－14）。因为望差 = 1439 4205.5 = 96×15，则上式可以

5923

望差- P

3K至 + 2K分

2S 20

g月 =

望差 ×15 + 96

+ 96 + 96

该式右边首项的分数部分的天文学含义是：月面直径被遮掩部分与月面直径的比，而 15 是指月面直径的总分数，这一项是继承了前代历家的传统算法。第二项是与望日所值节气有关的食分改正项，对皇极历所给定的 K 至和 K 分值的分析显示，它实际上已虑及了发生月食时，太阳与近地点（或远地点）相对位置不同对月食食分的影响， 这是一个极其重要的发现。而第三项则是一个错误的改正值，因为当 S 大时 g 月应当小， 所以加这一项改正是适得其反。如果令 g 月f =15，K 至，K 分和 S 皆为零，代入该式

15 = 96×15 − P ×15 + 20

96×15 96

= 1440 − P ×15 + 20

1440 96

= 1440 − P + 20

96

P+20

20

20 分 = 1242 日

1440=1440-1440-

=1460-P P=1460-1440

=20（分）

= 20

1242

×13.36879度 = 0215°

此为必定发生月全食的最大限度，这也正是该式中第四项的含义。在皇极历以前各历法，均以为只有当 P=0°时，才发生月全食，也就是说，g 月可以大于 15，这又是一个极重要的发现。如果令 g 月=15，K 至=12， K 分=6，S=14，代入该式

15 = 96×15 − P ×15 + 3×12 + 2×6 + 2×14 + 20

96×15 96 96 96

= 1440 − P ×15 + 36 + 12 + 28 + 20

1440 96 96 96

= 1440 − P + 36 + 12 + 28 + 20

96

= 1536 − P

96

P = 1536 - 1440

96

P = 96分 = 1242(日)

96

= 1242 ×13.36879度 = 1.02°

这是可能发生月全食的最大限度，这一概念和数值的阐明，同样具有重要的意义。此外，在该式中，刘焯还包容了前人已经发明的可能发生月偏食和必定发生月偏食的最大限度的概念和数值：令 g 月=0，K 至=12， K 分=6，S=14，

代人该式

0 = 96×15 − P ×15 + 3×12 + 2×16 + 2×14 + 20

96×15 96

= 1536 − P

1536

P = 1536分 = 1242

= 1536 ×13.36879度 = 16..5°

1242

96 96

令 g 月、K 至、K 分、S 均为 0，代人该式

96×15 − P

0 = 96×15

20

×15 + 96

= 1440 − P + 20

96

= 1440 − P + 20

1460

P = 1460分 = 1242 日

= 1460 ×13.36879度 = 15.7°

1242

上述皇极历四种月食食限值的误差均在 4°—5°之间，其中后二种甚至不如前代历法准确，这是意义深远的开拓进程中的失误。

刘焯对于日食食分（g⊙）,也给出了类似的算式：

g = 望差- 去交日分 ×15 ± M

^⊙ 望差 96

式中M 的大小或正负与日食发生时所值的节气以及距午正辰刻的多少有关。月亮视差的大是与月亮天顶距的大小成正比的，月亮天顶距的大小则与所当节气及距午正辰刻的多少相关。这样看来，该式第二项应是虑及月亮视差对日食食的分的影响的。同样的道理，该式也包含有可能发生日偏食的最大限度、必定发生日偏食的最大限度和可能发生日全食的最大限度等日食食限的概念与数值。

刘焯还创立了从定朔时刻求日食食甚时刻的方法。首先，日食食甚时刻不等于定朔时刻这一命题本身，是刘焯对日食深入细致的观测与研究的成果。日食食甚时刻和定朔时刻的差异主要与月亮视差有关，刘焯所提出的算式正是表达了这样一种认识。刘焯的算式是月甚时刻=定朔时刻±N，其中 N 的含义和日食食分算式中 M 的含义相类似，可见刘焯所创立的这种计算方法是合乎科学的。