五、皇极历（三）

刘焯还发明了日月食初亏和复圆时刻计算法。

算式是：初亏时刻=食甚时刻-H；复圆时刻=食甚对刻+H，日月食的全部见食时刻= 复圆时刻-初亏时刻=2H。而

(300 − d)×1242

H = 300×103.5

= (12 − 4 ) 刻

25

d 则是与月食食分大小有关的数值，刘焯是以等差级数来描述它们之间的关系的，d 可由等差级数求和的方法求得，食分越小，d 越大，当食分=15 时，d=0 则

2H=2×12 刻=24 刻

这个数值显然是偏大了，但它对以后的历法却产生了不小的影响。

刘焯对于日应食不食和不应食而食术也进行了十分认真 25 的讨论。

张子信在对交食现象作了长期认真的考察以后，曾经发现，对于日食而言，并不是日月合朔入食限就一定发生日食现象，入食限只是发生日食的必要条件，还不是充分条件。他指出，只有当这时月亮位于太阳之北时，才发生日食；若这时月亮位于太阳之南，就不发生日食。观测者在地面上所观测到的月亮视位置，总要比在地心看到的月亮真位置低，月亮视、真位置的高度差叫做月

亮视差。同理，太阳视、真位置的高度差叫做太阳视差，但它要比月亮视差小得多，几乎可以忽略不计。当合朔时，如果月亮位于太阳之北时，由于月亮视差的影响，月亮的视位置南移，使日、月视位置彼此接近；如果月亮位于太阳之南，同理，将使日、月相对视位置增大。这些就是张子信所发现的上述现象的原因所在。所以，张子信的上述发现实际上就是关于月亮视差对日食是否发生所产生的影响的发现。

刘焯列出了 9 种日应食不食和 7 种日不应食而食的判据，每一种判据又均与朔时月亮去交度分，所值季节和距午正时刻三种要素相关。

刘焯所列的 16 种判据都定性地与月亮视差对日食影响的原理相符合，这是对张子信当年发现的极重要的补充和发展。

刘焯还对交食亏起方位作了论述，分为月亮在黄道南、黄道北两种情况，每一种情况又分为交食发生在观测者的正南、正东、正西、东南和西南前后等 7 种不同的方向时，亏食起始的方位、亏食的走向及亏食终了的方位等内容。这是我国古代对交食亏起方位所作的最详尽的描述。

刘焯的这一整套交食推算法的创立，标志着我国古代的交食研究进入了一个崭新的时代。与交食推算法具有同样划时代意义

的发明，是他所创立的五星位置计算的新方法。欲求任一时日（A）五星的黄道宿度， 刘焯创立了以下步骤：

第一：求出历元到 A 的积日数，减去五星伏日数的一半，其差数以五星会合周期除之，所得余数（B）是为 A 与最临近的一次五星晨始见东方时刻（平凡日）间的时距。由于五星会合周期实际上是相当数量的实测五星会合时间的平均值，所以由它算得的平见日（A-B）可以认为是以五星和太阳均作匀速运动为基础求得的。又以积日数除以回归年长度，所得余数（C）则为所求年冬至夜半与 A 的时距，由此也可以知道 A 值的节气。

第二：求五星运动不均匀引起的改正值。在皇极历中给出了因所处节气不同，五星平见日或者是超前，或者是滞后的时间改正表。以 C 为引数，依照一次差内插法则可由这些表格算得相应的改正值(t0)。

刘焯称 A-B±t0 为常见日。

刘焯对金、水运动不均匀性改正的描述只是定性的；而对于木、火、土三星的近日点、远日点黄经测算和三星运动不均匀性改正的误差见表 1

从表 1 可知，这三项误差的精度还是比较低的。

第三：求太阳运动不均匀引起的改正

值。由日躔表依等间距二次差内插法求算之，以 C±t0 为引数，它相当于计算平朔到定朔的改正（T⊙）值中的“平朔时刻”值。

刘焯称 A-B±t0±T⊙为定见日（E）。第四：求定见日五星所在黄道宿度

（R）。

皇极历以历元年冬至夜半时太阳位于黄道虚宿一度，由此后推积年（自历元到所求年的年数）乘以黄道岁差度，可得所求年冬至夜半时太阳所在黄道宿度（R0）。又以C±t0±T⊙为引数，它相当于计算太阳实行度与平行度之差（T*）值中的“所求时日” 值。则定见日太阳所在黄道宿度为：R0+C± t0±T⊙±T*。又已知五星定见日与太阳的度距（F）分别为木星 14 度，火星 16 度，土

星 16.5 度，金星 11 度和 28 水星 17 度，于是 R=R0+C±t0±T⊙±T*±F0

第五：求所求时五星所在黄道宿度

（I）。以 A-E 为引数，可由五星动态表求得定见日到 A 的五星行度值（V），于是

t=R+V0

在皇极历以前各历法的五星动态表，均由五星晨见始，依次列出前顺、留、逆、留、后顺、伏等动态所经的日数和所行的度数， 它们均与这些动态所值的节气无关。

皇极历的木、土二星动态表与以前的动态表相仿，而对火、金和水三星的动态表则作了重大的改进，对于前顺和后顺两个动态时段，均依照它们所值的节气不同，给出了不同的运动速率，这实际上就是虑及了这三个行星不均匀性的影响。此外，在皇极历的五星动态表中，对各不同动态时段的运动状况，还首次采用了等差级数的描述方法，这就比前代各历的均速运动描述法更切合五星运动的实际状况。譬如对于火星后顺时段，五星动态表中说：

“初日万六千六十九，日益疾百一十分，六十一日行二十度，分万五千四百九。”

其分母即 “气日法四万六千六百四十四” 29

已知等差级数求和公式为nh + （m - 1） n △ ，上列数字中n

2

16069 10

h = 46644 ，△ = 46644 ，代入求和公式

61× 16069 +

46644

( m − 1)61×

2

110

46644

计算结果是25 15409 ，正与术合。因此推知，皇极历采用

46644

求和公式。

由于皇极历精当新奇，驳文有理有据， 很得杨广的称赞。可见，杨广这时刚刚定为太子，立足未稳，而且张胄玄仍是隋文帝的宠臣，所以不敢妄自改作历法，于是以皇极历没有获得考验做为理由搁置不用。对于刘焯也仅仅任以太学博士的职务。这时刘焯已经年近花甲，本来想这一回可以实现历法改革的愿望，并且主持天文历法的工作，可是历法没有被采用，仕途也没有理由升迁，身体情况又欠佳，于是以健康原因自动罢归乡里。这是刘焯参与历法之争的第三次挫折。

就在这次自动罢归乡里以后不久，发生了刘焯一生中最为悲惨的事件。在这一事件当中，刘焯的好友刘炫同时受难，使这次事件更具有了悲剧的色彩。

刘焯和刘炫都以聪明博学称著于世，被废的皇太子杨勇想召来使用。

隋文帝得知杨勇的想法，便敕令刘焯和刘炫入川服事蜀王杨秀，这可能是隋文帝和新立太子杨广惧怕满腹经纶、而且精于天算

之学的刘焯和刘炫被杨勇所使用，就会妨碍他们的政治安排，而作出的迅速果断的决定。也许是由于刘焯和刘炫都已经年老不愿意背井离乡去入川，也许是他们对杨秀有什么成见，都拖延不去，杨秀听说后大怒，便派人把刘焯和刘炫披枷带锁地押解到成都，把刘焯充军，把刘炫置于帐内，让他执杖做门卫，来羞辱他。以后才又命令刘焯和刘炫作典校书籍的工作。这样两位通儒大才因为和他们没有任何关系的政治斗争，蒙受了如此巨大的冤屈，不能不令人悲愤和哀伤。