八、数学成就

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅在其 41 年的生命历程中，呕心沥血，为数学的发展做出了重要贡献。

索菲娅一生只发表过 10 篇数学论文。这 10 篇论文是在两段时间内完成

的：一是从 1871 年到 1874 年，当时她正在导师魏尔斯特拉斯教授指导下学

习数学。因此，论文重点基本上是放在分析中的理论问题上；二是从 1881 年至去世，这一段时间主要是在欧洲各国四处漂泊，研究重点基本上是在力学和数学物理方法上。

就数学领域而言，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅最重要的贡献有两个：一是关于偏微分方程中现在称为柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理的证明，这是她 1874 年向哥廷根大学提出的三篇论文之一；二是关于刚体统定点旋转问题的工作，这使她在 1888 年获得法国科学院奖。

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的第一项工作属于偏微分方程领域。这些方程牵涉到一个多变量函数。这种函数的一个偏导数就是这个函数关于某一自变量的变化率。由于在应用中总是出现多变量函数，这就导致应用中总是出现偏微分方程，即包含偏导数的方程。原因是关于一个函数最容易获得的信息往往涉及到函数关于某些变量的变化率和这些变化率之间的关系。正是由于这个原因，偏微分方程被看成是纯数学与应用数学的基本领域。在《关于偏微分方程的理论》一文中，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅证明了，在某种条件下一类给定的偏微分方程有且仅有一解。法国科学家柯西在 1842 年已经提出这

个问题，并且给出了一个解答，但是 1873 年至 1874 年间，无论是魏尔斯特拉斯教授还是索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅都不知道他的工作。

实际上，直到 1875 年法国人达布发表了一篇与索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结果类似的论文时，数学家们还没有普遍知道柯西关于这个问题的工作。在一场以魏尔斯特拉斯代表索菲娅为一方，埃尔米特代表达布为另一方所进行的确保优先权的争论中，柯西的解答才得以发现。

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结论及简明扼要的表述赢得了专家们的称赞。柯瓦列夫斯卡娅还曾经考察了热传导方程，发现了某些偏微分方程即使有“形式幂极数”解，也没有分析解。

柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理对于偏微分方程论是基本的，它是偏微分方程方面所有未来研究的起点。当代俄国数学家奥莱尼克对此曾表示同意，并且说：“柯瓦列夫斯卡娅的工作标志着偏微分方程一般理论的发展的开端。”索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅最重要的研究工作中的另一主题是关于刚体绕

定点旋转这一经典问题。摆、陀螺与回转仪是这种类型的运动的例子。索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅基本上是从她开始数学生涯时就对这一问题感兴趣，并且一直感到借助于阿贝尔函数是可以解决这一问题的。

数学家们对于分析刚体相对于定点的运动的研究已经有 100 多年的历史，但都没有解决这一难题，因此，它被称为“数学水妖”。欧拉、勒让德、泊松和雅可比研究了两种经典的情况。柯瓦列夫斯卡娅分析了这个问题的第三种情况。她研究的这类刚体，难度是最大的。

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的答案不但正确，而且推理过程清晰、简洁， 使人一目了然。这是与她对阿贝尔函数透彻的掌握程度有关，这使得她的论证过程显得轻而易举、势如破竹。一位数学家评论了她分析问题的方法说，

“她处理方法的聪明之处，反映在她机敏地想出了从简单逐渐转化为更复杂的路子，反映在她把非常困难的问题转化成不太困难问题的能力。”

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的三篇著名的论文中，有一篇论述的是把阿贝尔积分化简成较简单的椭圆积分。对于这一问题，她使用了一些魏尔斯特拉斯的最新成果。人们评价说她“以高度的技巧性有效地解决了一个很困难的问题”。

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的第三篇论文，是论述土星光环的形状。这是古典天文学的一个问题。她首先假设这个环是流体的，然后在这一假设之下作了运算，她改进了拉普拉斯关于土星环模型的理论。拉普拉斯确认这些土星环是椭圆形的，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅确定这些环必然是卵体形的，并且以某种方式显示出方向性。尽管后来的科学研究表明，她的结论并非完全正确，但她所使用的方法却具有实际意义，并为其他科学家所采用。

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅所发表的这些学术著作具有重要价值，但她对于数学的影响决不只限于这些论文。从一定意义上讲，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅所做的关于数学的工作，要比她的论文更具重要性。

比如在 1874 年至 1891 年一段时间里，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅在把魏尔斯特拉斯学派的理论引进、推广到俄国数学家之间起到了重要的联络作用。她是一位优秀的数学普及家。起初，俄国数学家对德国数学持有偏见甚至有排斥的倾向。但索菲娅坚持认为魏尔斯特拉斯的函数论是有用的。在她的影响下，俄国数学家开始对魏尔斯特拉斯的理论表示出好感。

在一次俄国自然科学家大会上，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅选择了她的一篇论文作为演讲内容。在演讲中，索菲娅用魏尔斯特拉斯的技巧，把某一类阿贝尔积分用较为简单的椭圆积分表示出来。结果，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的演讲使俄国的数学家们开始怀着较少的排斥情绪来看待魏尔斯特拉斯的方法。同时，他们还询问了好多问题，要索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅帮助指点西方已发表的与此有关的数学文献。魏尔斯特拉斯的分析方法终于进入俄国。这使得索菲娅感到很欣慰。

由于对数学研究中一些超前问题的准确把握，柯瓦列夫斯卡娅对未来数学的发展及研究途径作了深入研究，并能触类旁通。因此，尽管她是一位数学分析学家，但她对数学理论工作也很有兴趣，也正因为这一缘故，她能够把阿贝尔函数用于天文学和力学。在索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅逝世将近 100 年之后，人们证实了她对偏微分方程中的一个重要问题的猜测是正确的。因此，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的思想又一次引起数学家们的注意。她正在获得人们的又一次公认和赞美