康托尔的集合论

科学的道路是崎岖不平的，创立新思想的人，大多受到传统势力的反对、打击和迫害，康托尔创建的集合论，是又一个典型的例子。

1845 年 3 月 3 日，康托尔出生在俄国波得堡一个具有犹太血统的家庭，

11 岁时，与父母移居德国法兰克福。

康托尔从小就学习勤奋，喜欢独立思考问题，并对数学产生强烈的兴趣， 成为一名数学家是他的远大志向。

1863 年，康托尔考入德国著名的柏林大学，按照他父亲的主张学习工程学。当时处于科学研究旺盛时期的数学大师魏尔斯特拉斯，正在柏林大学任教，他对康托尔影响很大。

康托尔越来越不喜欢工程学，在征得父亲的同意后，不久转为学习纯数学。

1867 年，康托尔获得数学博士学位。他的数学论文没有什么独创性的见解，为此产生了是否授予他博士学位的争论。以严厉著称的克罗内克教授提出反对意见；而魏尔斯特拉斯等教授认为，康托尔的论文写得是很出色的， 观点鲜明，证据充分，虽然没有创新，但还是基本符合博士论文的要求的。

为了激励青年人勇攀科学高峰，康托尔最终还是得到了博土学位。

魏尔斯特拉斯把这一情况告诉了康托尔，并勉励他要刻苦钻研，不断进取，多出成果，为母校争光。

康托尔非常激动，决心为数学发展做出贡献，报答母亲的关怀。1869 年，康托尔担任哈勒大学的讲师。

1872 年，康托尔在研究高斯的论著时，将其数论中的一个结论，外推到适合无穷集合的情形，开始了他的集合论的研究。

我们知道，数字 1 的后面是 2，2 的后面是 3，3 的后面是 4⋯⋯那么最后边的是什么呢？数学家称之为“无穷”，从 1 到“无穷”组成的集体，被数学家称为“无穷集合”。

从古希腊以来，人们在讨论集合的时候，有很多问题迷惑不解。

伟大的科学家伽利略也与无穷集合打过交道，提出过一个悖论：一方面， 整数和偶数可以一一对位，从而认为它们同样大；另一方面，偶数又是整数的一部分，这样一来就得出了部分可以等于整体的结论。

伽利略最终以“不可理解”而放弃了对这个问题的研究。

在 19 世纪以前的科学家，对无穷集合这个无底的深渊，绝大多数都是绕着走，躲开它。而康托尔勇敢地对这个深渊进行探秘。

康托尔废寝忘食地进行研究，首先熟悉一下这一领域的历史发展状况，看前人的思路是怎样的，研究不下去的问题是什么，为什么研究不下去。然后，根据自己的研究，解决这些问题，并进一步发现新问题，解决新问题。康托尔的数学思想是有创造性的，提出了一一对应的概念，从而得出了

比较无穷集合大小的方法：

比如，是整数集合大还是偶数集合大？对这个问题，康托尔采取配对的方法，把每一个整数和每一个偶数配成一一对应：

1，2，3，4，5，

2，4，6，8，10⋯⋯

这样的排列和配对将永远进行下去，以至无穷。

康托尔的配对方法不是随意的，而是要所有的元素都恰好配对，如果能找到这种配对，那么这两个集合就有相同的“势”，或称这两个集合是等势的。

从上面的排列和配对来看，整数集合的每一个元素正好对应偶数集合的另一个元素，因此，整数集合和偶数集合是等势的。两者一样大。

于是，康托尔得出结论：如果在两个集合的元素之间可以建立某种一对一的对应关系，则这两个集合就定义为等势的，也就是大小一样的。

这是测量有穷集合和无穷集合大小的一把“尺子”。

无穷集合都是等势的吗？不一定。康托尔证明了，一个正方形面上的点的集合，并不比正方形一边上的点的集合有更高的势；一条线段上的点的集合，比自然数集合有更高的势。

康托尔研究的结果，是非常有趣和怪异的。这使他感到困惑，他说：“我得到了它的结论，但我不敢相信它。”

难道是这个结论错了吗？

康托尔检查了每一步骤，反复运算，无论是研究过程还是研究方法，都是正确的。

摩托尔深信不疑。

1874 年，康托尔发表了无穷集合理论的第一篇论文，标志了集合论的诞生。

对这一篇论文，康托尔是忐忑不安的，自己怪异的结论能使数学界接受吗？同时，他也认为新生事物的产生不是一帆风顺的，过一段时间，自然会得到人们的承认，阿贝尔和伽罗华的理论就是一个例证。

然而，论文发表后，并没有引起普遍的斥责和打击。

康托尔信心倍增，1878 年，又发表了第二篇关于集合论的论文，数学界仍然风平浪静。

紧接着，摩托尔发表了一系列论文。

在论文中，他引进了“可列”一词，把凡能与正整数构成一一对应的任何集合都叫可列集合。他还证明了有理数集合是可列的，所有代数数全体构成的集合也是可列的，而实数集合则是不可列的。

康托尔还提出了“超穷基数”和“超穷序数”的概念，关于它们的理论， 更是一大创举。

随着康托尔发表的集合论的论文不断增多，他立即遭到了一些人的攻击，有人说他“信口开河”，有人说他“无病呻吟”。渐渐地讽刺、嘲笑、围攻接踵而来，几乎压得康托尔透不过气来。

当时的权威克罗内克，对康托尔进行了严厉的批评和打击，更带动了一大批人向康托尔射去了讨伐之箭。

在巨大的压力和打击下，1884 年，康托尔得了精神分裂症，并发展到精神崩溃，成了一个疯子，每天都自言自语地说：“我是对的！”“你们是错的。”

康托尔被送进了医院。

真理毕竟是真理。康托尔的集合论得到了一些数学家的支持，著名的希尔伯特说过：“没有人能把我们从康托尔为我们创建的乐园中赶出去！”

1897 年，康托尔的集合论在第一次国际数学家会议上，最终得到了承认。

康托尔的集合论对现代数学的结构产生了重大影响，它在数学的不少分支得到了应用。

一代数学巨人康托尔于 1918 年 1 月 6 日逝世。