

2πe²

mc fab (ω − ω

( γ / 2)dω

γ / 2

)² + (γ / 2) ²

= π

−∞ (ω − ω )² + (γ / 2) ²

∞ 2π²e²

∴ σ = ∫ −∞ σab (ω)dω =

mc fab

2πe² 1

7.11 σmax =

γ

式中

mc fab γ / 2 e2 ω 2

= ab ，ω

= 2πc

2 3c ³m

3 λ²

ab λ

∴ σ max = 2

π fab

I cb

ω +γ / 2

(γ / 2)dω

I ab

7.12 I1 =

π ∫ ω

ab

−γ /2

ab

(ω − ωcb

) ² + ( γ / 2)² = 2

I = Iab ∞

(γ / 2)dω = I

2 π ∫ −∞ (ω − ω

) ² + (γ / 2) ^{2 ab}

I1 / I 2 = 1 / 2

2 e²

2 e²

4π²c² 1

7.13 γ = ω ² ~ ~

3 mc3 ab

3 mc³ λ²

5λ²

7.14 F

= σ(ω) I(ω)dω =  σ I

= σ L⊙

辐射 ∫

c ∆c ^总

c 4πr ²∆

这儿△是频带宽度。

GM⊙ m

2π²e² 2π²e²

F引 = r 2

，σ =

mc f ~ mc

F (σ / ∆c)( L / 4πr ² ) σL

∴ 辐 射 = ⊙ = ⊙

F GM m / r ²

∆4πcGM⊙ m

7.16 在方程(7.63)和(7.65)中，我们记每一种粒子在每秒钟内所吸收的具有一定极化态的光子数为 n（v，T）cB(v)。在确定σ的过程中， 我们谈到了有两种不同极化态的光子，所以σ(v)=2B(v)。

I = ∫ A(v)dv = A (7.66)

hv

I(ω) = I ab

π

(ω − ω

ab

γ / 2

)² + (γ / 2) ²

(7.42)

σ(ω) =

2πe ²

mc

f ab (ω − ω

γ / 2

)² + (γ / 2) ²

(7.59)

1 A ( γ / 2) 8πv²

∴ A(ω) = ^ab ，A(v) =

B(v)

π (ω − ω )² + (γ / 2) ² c²

2ω ²

∴ A(ω) =

πc²

ω 2

B(ω)

= πc2 σ(ω) 8π³e² v²

∴ Aab =

mc³

fab

第八章 恒 星

1. 观测

我们既不知道恒星是怎样形成的，又不知道它们究竟怎样地死去。但是，我们相信我们掌握了大多数现已发现的普通恒星的结构及其产能机制，这种能量为我们所看到的就是星光。

我们有多大的把握能确信关于这方面的知识呢？恒星结构理论的可靠程度又是怎么样呢？诸如此类的问题是很难给以回答的。许多最重要的物理过程发生在恒星内部的深处，而对我们来说可以做到的观测工作主要是和它们的表面特征发生关系。所以，有关恒星中心区域内的物理状态必然是推论出来的，因而我们的论据也就是间接的。

一般说来，一种理论的价值要由它所能解释的、彼此无关的观测现象的数目来加以鉴定，而如果这些观测工作是间接性的话，那么所需要的观测资料就应该更多一些。对于恒星结构和演化理论来说，我们有若干种不同类型的观测资料：

1. 我们测得了各种不同类型恒星的质量。但是，其中测得很准确的只是少数；每一次精确的测定都需要对双星系统作详细的分析（见 3.5 节）。

2. 我们可以相当精确地测定恒星的光度，其前提条件是恒星要靠近太阳，这样它们的距离就容易测量，而星际消光则可以忽略不计。但是即便如此，对热星等还是没有测得很准，原因是远红外流量和紫外星等要从火箭上进行测量，而只有一小部分恒星做了这方面的工作。从这些为数不多的观测资料发现，恒星的辐射特性往往同黑体的特性有相当大的偏离。

3. 恒星的表面温度可以通过三条不同的途径来求得。(i)我们可以观测某种色温度（4.13

   节）；

1. 如果知道了恒星的角直径或者线直径，我们就可以确定它的有效温度（4.13 节）；或者

2. 我们可以观测谱线的强度，而谱线则是表示了各种不同的激发原子态之间的跃迁情况。由于各种激发态的总相对数是由（与温度有关的）玻耳兹曼因子所决定的，因此只要知道了有关的跃迁几率我们就可以直接算出温度。这些几率是可以计算的，也可以在实验室内通过观测取得，其中后者更要好些。

这三种独立的方法可以对恒星表面温度给出令人满意的估计；但是恒星内部的温度还是观测不到。

1. 我们可以通过干涉测量的办法测定恒星的角直径（4.12 节）。如果恒星的视星等和温度这两者都知道的话，角直径也可以通过间接的方法求得。但是，只有同时知道了角直径和恒星的距离我们才能确定它的线直径。在某些场合中，食双星的观测资料也可以给出恒星的直径。

要是恒星的光谱十分简单，从而可以对恒星给定某个单一的、有代表性的温度，那么恒星的光度、直径和表面温度这三者是相互有关联的， 其中独立参数仅仅只有两个。

1. 恒星的化学组成是通过分光观测来加以确定的，用这种方法所得

到的不同元素的丰富度仅仅适用于恒星的表面层。利用现有的观测技术还不能直接证实我们对于恒星内部化学成份的种种猜测。

我们发现这种表面元素丰富度随着恒星类型的不同而有所不同。通常情况下，氢含量遥遥领先，它是最丰富的成分，以质量计它的浓度接近 70%。氦是次一个最丰富的元素，以重量表示的浓度为 25～30%。按照丰富度递减的次序接下去就是氖、氧、氮、氩；它们的含量加在一起约为总质量的 2%再下去是碳、镁、硅、硫和铁，其中每一种元素以重量计的大致丰富度约为千分之一。

恒星演化理论的一项重要任务就是必须对不同类型恒星中的化学元素丰富度作出正确的预言，恒星内部看来是较重元素最有可能出现的地方，这些元素或者是从比较纯的氢形成的，或者是从某种氢? 氦混合物形成的，后者的可能性更大些，而氢看来是球状星团中最早的恒星形成时的银河系的主要成分。

无论在恒星中，星际介质中，陨星碎片中，或者是地壳中，我们都一再发现不同元素各类同位素的相对丰富度具有类似的比例。这些比例上的类似性不可能是偶然的，因而详细解释数百种已知的丰富度比的问题，便向恒星演化理论提出了一项严肃的任务。

1. 对于为数不多的恒星我们已测得了它们的表面磁场。A 型特殊星是其中研究得最好的一种，它们的磁场强度可以高达 1 万高斯左右，这种磁场是比较容易测量的。估计白矮星也会有一个强磁场，B 值在 105 到108 高斯之间的也许并不鲜见，而对这类天体进行详细的研究可能是有价值的（Ke70）。恒星演化理论最终必将把磁场也考虑进去，而现有的理论还没有给磁场的影响以任何足够的重视。

2. 恒星的表面自转速度可以用统计的方法通过对不同光谱型星的研究来加以确定。尽管投影效应给单颗恒星自转速度的研究造成了一定的困难，然而大量恒星的统计研究表明，年轻的 O、B 型星的自转速度极高，到晚期 A 型星速度逐渐地减慢，而从 G 型到 M 型这些比较红的星其自转速度则非常缓慢（见图 1.9 及表 A.4）。关于自转对恒星演化的影响问题我们才刚刚开始加以考虑。

3. 同样，银河系内恒星速度的统计研究（见表 A。6）告诉我们，不同光谱型星的起源必然是不一样的。看来，这些恒星是在银河系一生中的不同时期形成的。恒星演化理论最终一定要考虑恒星在年龄上的这种差异；而且也一定要考虑到随着银河系年龄的增长，形成恒星的星际气体的化学组成也必然在起着变化。

4. 对于若干种不同的恒星，特别是 K 型巨星、O 型星以及行星状星云的核，我们现在已经取得了有关它们质量损失的观测资料。其中前两种天体的资料来自对外流气体的光谱测量、对行星状星云而言，我们确实观测到了抛射气体的累积效应。这类证据对于以下两个问题的研究都是很重要的：(i)恒星的不稳定状态；(ii)当恒星内部的物质在经历了核反应之后回到星际空间时，星际气体所可能发生的化学变化。新星和超新星爆发也为这方面工作提供了重要的观测资料。遗憾的是到目前为止，我们还没有足够的资料去判断那些剧烈然而少见的爆炸事件，对于恒星和星际空间之间的物质循环是起着支配作用呢，还是仅仅有一些影响而已。

5. 对于太阳，我们也取得了有关其内部自转速度的观测资料（Di 67b），这是从太阳扁率的研究得到的；我们还知道太阳的中微子发射比预期的要少（Da68）。有关其他恒星的这方面资料则完全是一无所知。同样，我们已取得了关于太阳宇宙线和 X 射线发射的资料；我们也确实得到了少数其他恒星的间接形式的 X 射线观测资料。然而，无论哪一种情况，我们所观测到的这类辐射都来自恒星周围的区域，至于对恒星内部起着支配作用的条件是怎样影响着这部分区域的问题我们是不清楚的。

6. 最后，从赫罗图和颜色? 星等图中（见图 A.3，1.4，1.5 和 1.6） 可以找到一批非常重要的统计资料。

恒星在赫罗图上的分布范围是很狭窄的，这个事实确立了一种比较详细的判据，而这种判据是任何恒星结构和演化理论所必须满足的。在这种理论中，具有相应于图中空区那些特征的恒星是不能出现的。还有， 赫罗图上密集区中恒星的相对密度也必须由理论作出解释。最后，一颗模型星的理论演化途径必须始终保持从图上一个比较密集的部分走向另一个比较密集的部分，它不会闯入空区，也不会在恒星稀少的区域逗留太长的时间。因为，要是一颗正确的模型星会偶而跑入上述区域的话， 那么对于真实的恒星我们肯定会观测到类似的情况。

由此可见，赫罗图的详细结构为我们提供了一种真正严密的观测上的判据，恒星演化理论必须满足这一判据。一种理论要能成立，它必须解释主星序的含义，为什么会存在红巨星分支和水平分支，对于不同的星群主星序和红巨星分支在不同部位相联接的可变转折点的含义是什么，以及种种别的特征。因此，我们发现，关于恒星的质量和直径我们所知道的实在是太少了，以至没能使这两个参数在恒星结构理论中发挥它们的关键作用；但是，对于不同的星群和星族。已有大量的赫罗图可用，加之对许多天体已编纂了它们的化学元素丰富度表，这就为估计我们理论的价值提供了丰富的观测细节。

本章的目的就是要对我们现有的恒星结构理论中所述及的基本思想作一扼要的介绍，同时指出这些理论同观测事实符合的程度。

恒星能量的来源

我们已经说明了怎样来确定恒星的总体特征——它们的半径、质量，以及光度。知道了这些之后，我们就要问问自己是什么原因使恒星会发出如此明亮的光辉？发光显然是因为它们是炽热的，但它们又为什么是炽热的呢？是什么样的能源能够使恒星得以加热、并不断补充以星光形式迅速消耗了的能量呢？

在这些问题可以进行讨论之前，我们也许先要回答一个性质稍有不同的问题：一颗典型的恒星在它的整个一生中要辐射出多少能量？在这点上我们也许就要知道恒星的平均光度以及它死亡时的年龄——不管其死亡的形式如何。要确定某颗恒星的年龄有多大这是不容易的，因为可靠的天文观测只有数百年的历史，而恒星的年龄比这要大得多；但是， 有两种资料是有用的。

第一，大约一个世纪以来，照相技术已经取得了充分的发展；在这段时间内，我们发现象太阳那样位于赫罗图上主星序下部的恒星，无论

在亮度或者颜色上都没有发生显著的变化。

第二，太阳的年龄一定比地球来得大，而从放射性同位素 U238 及其衰变产物的丰富度可以判断地球的年龄大于 40 亿年。我们相信太阳的年

龄在 45 亿年左右。我们从古生物证据推测出太阳的温度在过去 3×109 年内没有发生很大的变化，而地球上的生命便存在于这段时期之内。我们今天所发现的化石遗迹表明，在整个这段时间内地球上的水必然以液态形式出现。如果在这一期间内太阳曾经一度变得更冷或者更热，那么大洋中的水就会冻结或蒸发掉，因而我们所观测到的早期的生命形式就要灭绝。

因此，我们可以十分粗略地假定，太阳以它现有的速率己经辐射了大约 50 亿年。由于太阳的光度是 L⊙=4×1033 尔格·秒−1，所以到目前为止太阳所发出的总辐射能大约等于 6×1050 尔格。因为太阳的质量是 M⊙

=2×1033 克，相应的能质比为 3×1017 尔格·克−1。

我们要问自己，这么多的能量能否由化学反应提供，不然的话会不会是来自缓慢的引力收缩；从方程(4.136)可知，后者所产生的大量的辐射能大致上等于收缩中天体势能绝对值的增加数。

我们发现这两种能源都是不够用的。化学反应所产生的能量通常不超过 100 千卡·克−1，或说约 4×1012 尔格·克−1。要是太阳只能依赖于化学能源的话，它的总年龄不会超过～5×104 年，这个数字太小了，比实际年龄短了 105 倍！

如果说，作为一种大致的估计，我们假定太阳内部的密度是均匀的， 那么它的总势能就是

R． 4π G

3 M² G

V = −∫ ( )ρr ³ (4πρr ² )dr = ^⊙

(8.1)

0 3 r

5 R⊙

大致等于 2×1048 尔格。这相当于 1015 尔格·克−1，还是比所需要的能量小 2～3 个数量级。即使恒星中心的密度增大 100 倍，也不可能使这一结果有显著的改变。

仅仅根据这些讨论还不能排除这样的一种可能性，即有一个极其致密的中央核，ρ～1015 克·厘米−3，半径 R～105 厘米；这时大致上就有足够数量的引力能可资应用了。但是，尽管这种能源对于非常致密的恒星似乎很重要，然而对普通恒星来说看来是不会有多大作用的。

剩下的唯一能源就是核反应了。我们发现宇宙中氢和氦的丰富度很高，这一点显然说明了氢可能在恒星中心嬗变为氦。在这个反应中每一克氢所释放出来的能量是非常大的。

我们注意到四个氢原子和一个氦原子之间的质量差是4mH? mHe=0.029mH (8.2)

因此在氢嬗变为氦的过程中出现了质量损失，每转变一克氢的质量损失约为 7×10−3 克。因为质量为 m 的物质在湮没中所释出的能量是 mc2，这就等于释放了 6×1018 尔格·克的能量——即使恒星中只有一部分氢转变为氦，这个数目与所需要的能量相比也已足够了（Be39）。如果我们现在要问恒星在主星序上所停留的时间以及恒星生成的速率，那么可以采用以下的方法：首先假定我们知道某种给定类型主序星 i 的生存时间为τi，设这类恒星在银河系中的数密度为φi。然后我们就可以定义一个出

生率函数——通常称为萨尔佩特（Salpeter）出生率函数ψi

ψ = φ i i τ

(8.3)

i

它给出了银河系单位体积内恒星的生成速率。盘族恒星的生成率当然只是在银盘上以及银盘附近才比较高，在银晕中它的出生率可以忽略不计。

我们也可以对恒星在离开主星序时的年龄作一番极其粗略的估计。假定恒星在进入红巨星分支之前耗去的氢在恒星质量中所占的比重为f(M)；如果在恒星物质的初始成分中，可用作核转化的氢所占的比例（以质量计，而不是以原子个数计）为 X，那么当恒星还停留在主星序上时所释出的能量ε是

ε=6.4×1018f(M)XM（ 尔 格 ） (8.4)

式中数字部分是一克氢转化为氦时所释出能量的尔格数。用掉这些能量所花的时间就等于能量ε除以恒星的光度 L。图 8.1 说明了主序星的质光关系大致为 L=L⊙(M/M⊙)a，其中 3≤α≤4。如取α～3.5，恒星在主星序上的寿命τ就是

τ = 6.4×10¹⁸ Xf ( M)( M⊙ )^5/2 M⊙

(8.5)

M L⊙

对于化学组成类似太阳的那些恒星来说，f(M)约为 15%，而 X～0.7。把这两个数字代入上式，再一次运用质光关系，并把时间化为以年为单位， 我们发现

τ ~ ( L⊙ )^5/7 ×10¹⁰ 年

L

(8.6)

因此太阳的总生存时间应该是 1010 年，而比太阳亮几万倍的 O 型星应该只能生存几百万年。

图 8.1 主序星的质量——光度图（Sc58b）

恒星模型所必须满足的要求

即使从氢“燃烧”(8.2)——也许还要从别的核反应——可以取得足够的能量，我们仍然需要研究有关核能转化的假设是否同时满足恒星中所观测到的所有其他的特征。这些特征是：

1. 恒星内部的条件必须同足够的核反应速率相一致，这种速率必须保证产能率大体上同所观测到的恒星光度相一致；而且，恒星表面所释出的能量必须主要是作可见光、紫外以及红外形式的辐射，因为大部分普通恒星的辐射实际上都是在这些波段发出的。如果核反应所产生的大部分能量是作其他形式的发射，比如说中微子发射的话，那么我们仍然面临着要对可见星光作出解释的问题。

2. 我们将会看到，核反应速率取决于恒星内部物质的温度、密度以及它们的化学组成，而重要的是要看这些参数值在满足于维持某种确定光度的同时是否能与稳定的恒星结构协调一致。

例如，整个恒星必须保持压力平衡。但是，这种压力是由两方面因素决定的。第一，任何区域内的压力由局部温度、密度及化学组成所决

定。这些量之间的关系可归结为某种物态方程，如理想气体定律或某种类似的表达式。第二，局部压力必须刚好能够支持上部物质的重量，这里的上部指的是离恒星中心径向距离较远的那一部分。这就是所谓流体静力学平衡条件。

如果温度和密度过高，那么局部压力就太大，恒星就会膨胀。要是压力太低，恒星就会收缩。我们将会看到，对于压力平衡出现任何显著的偏离都会导致恒星内部状态的某种重新调整，这种调整所需的时间不会超过一个小时。因此，存在了好几十亿年的恒星必然始终是非常接近于压力平衡状态的，除非恒星有脉动。

1. 恒星中心所产生的能量必须能很快地到达恒星表面，所经历的时间与宇宙年龄或恒星演化年龄相比应该是很短的；不然的话，恒星的整个生命就不得不用一些瞬变条件来加以描述，我们也就无法解释主序星的稳定特性。

2. 离恒星中心任何给定距离处的温度不仅必须形成适当的压力（条件 b），而且必须与适当的能量转移率取得一致，这样才能保证光度正好等于产能率（条件 c）。

3. 在恒星中心光度必须为零。这意味着从恒星中心周围的一个无穷小体积内，既没有任何有限的外流能量，也没有任何会发出能量的神秘的能源。

同时，在恒星中心周围无穷小体积内只能有无穷小的质量，这两个条件给表达(a)到(d)四项要求的微分方程加上了边界条件。

1. 在恒星表面，压力和温度通常可以取非常小的值，这是同中心区域相比而言的。这个条件来自物态方程及条件(b)，它们要求整个恒星保持压力平衡。这个条件说明了下面的事实；恒星内部压力很高，而恒星和它周围虚无空间之间的分界面是比较明确。尽管如此，应用最后这一个条件时必须谨慎小心；在早型星和晚型星之间会有一些差别，前者把能量输送到表面各层去的主要方式是辐射，后者的表面则处于对流状态。

理论的数学方程表达式

上述各项要求可以归纳为若干个微分方程。在给出这些公式的过程中，我们将会看到把 8。3 节中的顺序稍加变动是会有好处的。

1. 从恒星中心朝外方向上移动一段距离dr 所造成的压力变化dP 为

dP = − ρGM( r) dr (8.7)

r 2

这儿ρ是局部密度，而 M(r)是半径为 r 的球面所包含的那部分质量。式中的压力增量是由 M(r)和质量ρdr 之间的万有引力所产生的，其中ρdr 是单位底面积上高度为 dr 的体积增量所围的质量，G 是引力常数。

1. 从中心朝外方向上运动 dr 距离所引起的质量变化 dM(r)是dM(r)=4πr2ρdr

   (8.8)

2. 离开恒星中心 r 距离处增量 dr 内光度 L(r)的变化为dL(r)=4πr2ρεdr (8.9)

式中ε是每单位质量的产能率。

1. 一般说来，这一产能率是局部密度ρ，温度 T 以及第 i 种元素的

质量浓度 Xi 的某个函数。氢和氦的质量浓度通常分别以 X 和 Y 表示： ε=ε（ρ，T，X，Y，Xi），i=1，⋯，n (8.10)

这儿氢、氦以外的 n 种元素的含量应该是显著的。

1. 局部温度与压力、密度以及化学组成有关。我们发现这一关系式写成如下形式是方便的

P=P（ρ，T，X，Y，Xi），i=1，⋯，n (8.11)

因为这样一来很容易把表达式(8.7)和(8.11)所导出的压力加以比较。上述方程的右边是物态方程的一种表达形式，用理想气体定律(4.37)来近似地表示这个式子往往是比较恰当的。

1. 接下来，温度梯度必须同保证整个恒星具有某种稳定光度轮廓的一些参数联系起来。这儿有两种可能性：

1. 如果恒星的不透明度 很低，

= （ρ，T，X，Y，Xi），i=1，⋯，n (8.12)

则光线在被吸收或散射之前可以在恒星内部通过一段很长的距离，于是不可能出现很大的温度梯度。这种情况下，只能通过辐射来实现能量的转移。光子被发射、散射、吸收以及多次地再发射；它们通过复杂的随机游动在恒星内部扩散开来，在这个过程中光子的能量和数密度不断地改变，最终从中心到达恒星的表面，从那儿光子开始了它们在宇宙空间的长途旅行。

1. 如果不透明度很高，这一随机游动就可能进行得极其缓慢。这时，恒星中心会变得很热；同时，恒星内部的物质便开始进行对流。于是就建立起一种热量转移的对流图形，而且正如我们下面将要看到的那样，温度梯度由所谓绝热递减率给出，后者取决于物质的热容量之比，

   r=cp/cv（见 4.18 节）。

对应于这两种不同的情况，我们可以导出下列形式的温度梯度：

或

对于对流转移

dT = F (T，P，r，γ )

(8.14)

dr ²

1. 8.3 节中(e)和(f)所确定的两个边界条件是

(i)在 r=0 处，M(r)=0，及 L(r)=0． (8.15) (ii)在 r=R 处，T<<T 中心，及 P<<P 中心 (8.16)

这儿 R 是恒星的半径。为了计算流体静压力，关系式(8.16)可以改写为T(R)≈0，P(R)≈0 (8.17)

方程(8.7)到(8.17)构成了恒星结构理论的基础。在整个这一章内， 我们要用相当大的篇幅对它们进行比较深入的研究。但是有一点特别重要，因此现在就应该把它提出来：这些方程并没有对有关所产生的能量的物理来源给以任何的说明。因此，核反应是否确实是造成恒星光度的原因，或者有什么特定的反应在任何给定的演化阶段起着支配的作用， 对于这方面的问题，恒星的总体结构和外形是不可能为之提供任何线索的。我们只能通过间接的方法来取得这方面的资料——主要是通过观测恒星变得不稳定时所抛出的碎片，或者是对能够把早先已在中心部分经

过演化了的物质暴露于表面层的那些恒星进行光谱分析。

弛豫时间

假设我们可以任意改变恒星内部的温度或者压力，那么在这种扰动停止之后，恒星便再度回复到它初始的温度和压力平衡状态。

恢复过程所需要的时间称为弛豫时间。我们将会看到，因压力改变而来的弛豫时间要比重新建立温度平衡所需的时间快得多。

1. 我们首先来估计一下达到压力平衡所需的时间。设扰动压力Pp(r) 同平衡压力 P(r)的相对差为 f，即

Pp(r)? P(r)=fP(r) (8.18)

这个压力作用在径向距离大于 r 处的一部分质量 M? M(r)之上，作用力为F=4πr2fP(r)。结果，所引起的物质运动的加速度为

•• 4πr ²fP(r)

r = M − M(r) (8.19)

我们假定解除这一压力差所需要的位移△r，等于总半径 R 的 g 倍，这儿g 是一个小于 1 的正数，即

△r=gR (8.20)

那么以方程(8.19)给出的加速度走过这段位移所需的时间为

τ ~ ( 2∆r )1/2 = [ gR[M − M(r )]]1/2

(8.21)

P ••

r

2πr ²fP(r)

让我们来估计一下τP 的大致数值。在估计 P(r)和 M(r)时可以假定整个恒星内部的密度是均匀的；考虑这样一个恒星，其质量等于太阳的质量， M=M⊙=2×1033 克，半径等于太阳的半径，R=R⊙=7×1010 厘米。这时密度ρ～1，而从(8.7)式有

P(r) = −∫ r 4π ρ²rGdr = 2π ρ²G(R² − r ² ) (8.22)

R 3 3

我们选取 r～R/2，这时

R 15 − 2

P( 2 )～10 达因·厘米

M(R) − M( R)～2×10³³ 克

2

及 τP

～5×10³ g 秒

f

对于小的扰动来说，g/f 可望在 1 左右，因而弛豫时间大约为 1 小时。我们知道压力信息的传播速度大致等于(P/e)1/2（见方程(4.31)），

这一速度约为 3×107 厘米·秒−1。因此，压力信息可以在～2×103 秒内传过整个距离 R⊙，这段时间和压力调整所需的时间是同数量级的。

问题 8.1 (a)证明在上述的假定条件下，温度 T（R/2）～107K。(b)在行星和恒星之间有一点是不同的（Sa70a），对于行星来说，

作用在电子和离子上的库仑力要比引力来得重要，而恒星的情况则恰恰相反。设εc 是典型的库仑式相互作用能，试证明行星的质量 Mp 约为

(c)如果εc 大致等于固体物质的结合能（约为 10−11 尔格），试证明主要由氢所组成的木星的质量已接近行星质量范围的上限。

1. 下一步我们要估算一下热量从恒星内部的一点传到另一点所花

的时间。如果传输过程是辐射性的，这一时间可以作为某种随机游动过程来加以计算；我们只须知道辐射的平均自由程，而平均自由程则由物质的不透明度 给出（见 7.12）。当由 n 个光子所组成的一束光通过厚度为 dl 的一层物质时，其中一部分光子 dn 将被该层物质所吸收或散射。因此，这束光中的光子损失可以表达为

dn=−n ρdl (8.24)

式中ρ是物质的密度。请注意我们没有对散射过程作详细的考虑。某些过程对光线朝前方散射非常有利，这种散射体使介质的不透明度比各向同性散射中心所造成的不透明度要小得多。我们在这儿假定散射是各向同性的。换句话说，如果光束中的某个光子经过大量的碰撞之后，它的前进方向与原始传播方向之间的交角增加到某个比较大的数值，比如说是 90°，这时原始方向的全部记忆均已失去，仅仅在这种情况下我们才能算这个光子是从光束中损失掉了。对于式(6.16)中的电子散射我们也作过类似的假设。我们就是要计算在这种条件下光子的平均自由程。对方程(8.24)进行积分后得到

n=n0e− ρl (8.25)

因此，光子在被吸收或强烈散射前所通过的平均距离〈l〉是

对于一颗象太阳那样的恒星来说， ρ约等于 1，因而平均自由程差不多是 1 厘米。如果要通过大致相当于太阳半径 R～1011 厘米那么一段距离，就需要游动 1022 步，游动的总距离约为 1022 厘米。如果不计入吸收和重新发射之间所需的时间，则完成上述过程所花的总的时间约为 R2 ρ/c 秒。因此时间常数至少约为 1011 秒，也就是几千年。

1. 能量也可以通过对流来传输，条件是只要能建立起足够高的温度梯度。在这种情况下，浮力使一团一团热的物质朝上加速，同时较冷的物质便向恒星中心沉落。对于非简并物质来说，我们可以把冷、热物质的密度差△ρ取为

∆ρ ~ ρ ∆T (8.27) T

作用在单位体积较热物质上的向上的力是

F(r，ρ，∆T) = M( r)G ρ ∆T (8.28)

r ² T

由此产生的对流运动的加速度为

•• M(r)G ∆T

r = r 2 T

(8.29)

如果热物质团通过的距离约为十分之一太阳半径，所需的时间就是

t = [ 2R⊙ ]^1/2 ~ 3×10⁶ 秒～1个月

10 r

计算中取 Mr～1033 克，T～107K，及△T～1K。

(8.30)

这种传输速度是相当快的。只要辐射热转移过慢，以至不能维持恒星内部的热平衡状态，那么这种情况就会出现。在 8.9 节中我们要对这种稳定性问题再一次进行讨论，同时我们在该节中还要证明选择△T～1K 是正确的。

1. 如果恒星中心是简并状的，电子传输热量的速度就很容易大大地超过辐射或对流方式所可能有的速度，其原因是电子不可能把它们的能量传给别的粒子。所有较低的电子能态都已处于饱和，留给别的随时可以放出能量的那些电子的位置已经没有了。因此，电子的平均自由程变得很长很长，热量传输过程便进行得异常迅速。极端情况下电子可以通过整个简并区，在到达非简并外围部分之前不会出现能量损失。如果我们所讨论的这个范围相当于大约

   R⊙/102 的一段距离，那当 T～107K 时的渡越时间为 1 秒左右。这个数字就代表了恒星简并核的热弛豫时间。

   1. 物态方程

物态方程用来确定压力同温度、密度及化学组成之间的关系，它取决于(i)恒星中心的状态是简并性的还是非简并性的，以及(ii)温度是否高到足以造成相对论性状态。

1. 非简并等离子体

在恒星内部所处的高温条件下，除了最重元素外的所有其他元素都已完全电离。这时，电子和离子间的距离远远超过它们本身的半径，因为电子和裸核的半径约为 10−13 厘米。因此，预期在这种情况下理想气体定律是可以成立的：

P=nkT (4.38)

式中 n 为单位体积中的粒子数。

表 8.1 中我们列举了各类粒子对于数密度的贡献

表 8.1 数密度

符号 X，Y，Z 个别代表以质量计的氢、氦和较重元素的浓度，〈A〉是较重元素的平均原子量。表内最后一栏中，较重元素所贡献的电子数是在每个原子的电子数为〈A〉/2 的假设下取得的，对于不太重的元素来说这种近似是完全合理的。较重元素所贡献的离子数只占总数中的很少一部

分——差不多只有千分之一，它们可以忽略不计。因此，代入理想气体定律关系式中的粒子总数密度大致为

ρ 3 1

而物态方程为

n =

H

[2X + 4 Y + 2 Z] (8.31)

ρkT 3 1

P =

H

[2X + 4 Y + 2 Z] (8.32)

初看，我们也许会以为 P 就代表了总的压力；实际上并非如此，它只是由粒子所贡献的那部分压力。由于电磁辐射的存在还会有另一种压力，必须把后者同粒子压力相加才能给出总的压力，无论非简并态还是简并态都应如此。

在 4.7 节中我们已经看到辐射压的数值等于能密度的三分之一。恒星内部的能密度为 aT4；折射系数实际上等于 1，问题(4.21)的关系式便简化为方程(4.72)，因此

P辐射 =

aT⁴ 3

(8.33)

于是，非简并物质的物态方程为

ρkT 3 1 aT⁴

P 总 =

m (2X + 4 Y + 2 Z) + 3

(8.34)

1. 简并等离子体

单位体积内可能有的极大电子数（见 4.11 节）是

8π p ³

n = 0

(8.35)

e 3 h 3

式中 p0 是对应费米能的动量。电子数密度同样可以写成

1 1 ρ 1 ρ

其中因为

n_e = (X + 2 Y + 2 Z) m

≡ (1 + X)

H H

(8.36)

X+Y+Z=1 (8.37)

这时，作各向同性运动的电子所贡献的压力由(4.27)，(4.28)和(4.30) 三个方程给出：

Pe = ∫ 0

2 π π/2

0 0

2ne (p)pcosθv cos θsinθdθdφdp

(8.38)

1 p 8πp²

= 3 ∫ 0 0 h3

pvdp

(8.39)

这里 ne(p)是动量范围在 p 到 p+dp 之间的电子的数密度。(i)在非相对论性情况中，v=p/me，电子压力是

8π p⁵

P = 0

(8.40)

^e 15 m h³

其中 p0 以(8.35)和(8.40)两式代入，方程(8.40)变为

Pe =

h2

20m m

3

( πm

) 2 /3 (

(1 + X)

2

ρ) 4/3

(8.41)

e H H

(ii)在相对论性情况中 v～c，方程(8.38)积分得

P = 2πc p4

(8.42)

e 3h3 0

用同样的方法消去 p0，我们得到

P = hc ( 3 )^1/3( 1 + X ρ) ^4/3

(8.43)

^e 8m πm 2

H

为了求得总压力我们需要加上由单个离子所贡献的压力 Pi；这些离子通常是非简并态的，这点在（4.15 节）中已经指出过。

1 ρkT

P_i = (X + 4 Y) m

(8.44)

最后，我们还必须加上方程(8.33)所给出的辐射压，于是得到P 总=Pe+Pi+P 辐射 (8.45)

光度

我们已对一颗恒星经受某种热扰动后恢复原状所需的时间进行了估算，并就支配恒星内部物理状态的各种不同条件分别作了说明。但是， 我们仍然必须对自己提出这样一些问题：“这些不同的条件各自在什么时候起支配作用的呢？在什么样情况下辐射热的转移占主要地位？在什么时候对流是主要的贡献者？有利于简并性的条件又是什么？”这些就是我们下一步所必须弄清楚的问题。当我们找到了某种答案时，我们也就能定量地表达能量转移的速率，同时就给出了恒星的总光度。

离恒星中心径向距离为 r=r0 处的总流量，就是向外、向内两个方向的能流之差。设 r0 处的温度为 T0。辐射沿着各个不同的方位角θ通过 r0 处的球面——这个球面可以看作是一个平面，因为辐射的平均自由程与r0 相比是非常小的（图 8.2）。在距离为 l 处沿着方向θ所发出的无衰减流量为

aT⁴ (l，θ)·c cosθ· 2π sinθdθ

4π

(8.46)

它在单位时间内通过 r0 球面，式中

T(l，θ) = T0

• dT l cosθ dr

(8.47)

ccosθ表示单位时间内通过球面单位面积的辐射所构成的圆柱体的体积，而 2πsinθdθ/4π给出（l，θ）处总立体角中的一部分，这部分立体角所包含的辐射将通过 r0 处相应的单位面积。

图 8.2 本图说明了光度和温度梯度之间的关系

实际上从（l，θ）处所发出的辐射并不是无衰减地到达 r0 球面，从相距 l 的地方出发的光子到达 r0 球面的几率仅为

π(l)= ρe− ρl (8.48) 此式由方程(8.24)而来，并且也作了适当的规范化

∞

∫ 0 π(l)dl = 1 (8.49)

现在，我们就可以正式给出通过单位面积的辐射流为

F( r ) =

∞ π

a(T

• > dTl cosθ)⁴ ·c cosθ· 2π sin θdθ π(l)dl

(8.50)

0 ∫ 0 ∫ 0

⁰ dr 4π

但是，为了求得实际辐射流，我们还必须确定方程(8.48)中的 应取什么样的值。方程(8.24)并没有把受激发射考虑在内，而这种发射是重要的，7.12 节中已对这一点作了说明。另一方面，如果我们采用式(7.71) 所得的 *(v)，那就必须对所有的频率适当地取平均以能求得一个比较合理的平均不透明度。这步工作将在下面的 8.8 节中进行。

问题 8.2 恒星内部任意径向距离处的光度 L(r)是

L(r)=4πr2F(r) (8.51)

试通过积分证明，作为一级近似有

恒星内部的不透明度

在 7.12 节中我们已经讨论了造成不透明性的四种原因：电子散射， 自由—自由跃迁，自由—束缚跃迁，以及束缚—束缚跃迁。但是，我们还没有说明怎样从这四种作用因素来计算平均不透明度，而在计算表达式(8.52)时一定要用这种平均不透明度。

在考虑这个表达式中所用的平均不透明度时要注意两个因素。第一，我们必须要对所有的辐射频率取平均；但是很明显，如果要用这个不透明度给出对于辐射转移率的精确估计，那么辐射密度梯度为最大的那些频率在平均过程中应该给以较大的权。第二，不透明度最小的那些频段对能量转移的贡献最大。因此，我们所关心的是对 1/ (v)而不是对 (v)取平均。

让我们用更基本的形式来表达(8.52)式，其中要涉及到频率为 v，温度为 T 时辐射的能密度ρ(v)（见方程(4.71)）。

这儿我们所确定的是频率 v 对距离 r 处的总光度 L(r)的贡献 L（r，v)； 同时我们规定总的能密度 U 等于黑体能密度。 *(v)是频率为 v 时的不透明度，其中已考虑了受激发射：

∞

L(r) = ∫ L(r，v)dv 及 U = ∫ ρ(v)dv = aT⁴ (8.54)

0 0

我们可以略去束缚? 束缚跃迁，因为它在恒星内部所起的作用是微不足道的。所以，方程(7.71)便简化为

*(v)=[ bf(v)+ ff(v)](1−e−hv/k)+ e (8.55) 于是我们可以确定某种平均不透明度

称为罗斯兰（Rosseland）平均不透明度，式中 dρ(v)/dT 可用式(4.71) 来代替。从(8.53)式可以看出，在罗斯兰平均不透明度中，对转移过程起重要贡献的那些频率的权重确实是比较大的，因为式中用能密度梯度 d

ρ(v)/dr 作为 1/ *(v)的权函数，而 1/ (v)即是频率为 v 时平均自由程的某种量度。任何频率处的不透明度就是束缚? 自由(bf)、自由? 自由(ff)以及电子散射(e)这三者的贡献之总和。

恒星内部径向距离为 r 的地方存在有各种各类的原子及离子 A，它们各又处于某种激发态 n，因而 bf(v)和 ff(v)本身就是全部（A，n）对不透明度所作贡献之总和：

这儿，XAρ/AmH 就是 A 类原子的数密度，XA 是以质量数为 A 的原子或离子的质量来表示的丰富度，mH 是氢原子的质量，而 NA，n 是处于第 n 激发态的那些原子或离子所占的比例。ne(v)是速度在 v 附近、速度范围为dv 的那部分电子的数密度。αaf 和αff 是原子吸收系数，由式(7.74)和(7.75)给出。正如式(7.72)所表明的那样

_eρ=σene (8.59)

式中右端就是电子数密度和汤姆孙（或者，在高能情况下是康普顿）散射截面的乘积。

为了估算 NA，n，我们利用萨哈方程(4.105)，对于高度电离情况来说由该方程得出

NA，n

= n ²[n

h3

^e 2(2πm kT) ^3/2

e xn / kT ]

(8.60)

这儿我们认为大部分离子处于 r+1 次电离态。我们可以通过如下的方式来理解这个方程：

xn 是使 A 类原子从第 n 激发态电离所需要的能量；me 是电子质量。如果用玻尔原子模型，这一能量就是(7.5)

2π²e⁴m Z'²

x ~ e

(8.61)

n h2 n2

式中 Z′是有关离子的有效电荷。方程(8.61)假定了在距恒星中心径向距离为 r 的地方，给定某一类原子 A 中所有受激原子都具有相同的电离状态。在我们现在所用的记号中，这就意味着方程(4.105)内 nr/nr+1=NA，n。n.我们注意到 NA，n 与 n2 成正比，这是因为第 n 激发态的统计权重 gr（亚能级的数目）为 2n2（见问题(7.2)）。由 4.16 节我们也有 ge=2。类似地， 离子也可以表现出两种极化态 gr＋1=2。但是，对于任何给定的终态来说， 极化的可能组合情况就只有两种

gr+1ge＝2．

利用方程(7.75)来求αbf，并把由式(8.61)所求得的 xn 代入这一表达式，于是我们就可以得到

这儿 Z 是金属丰富度，以它在总质量中所占的比例来表示。由于氢

和氦对于束缚? 自由跃迁没有太大的贡献，因而我们在求(8.57)的和式时就只需考虑其中的金属成份。对于各能态取和也都已略去，这是因为贡献最大的通常就是最低能态 n。我们取表 8.1 中的电子密度：

1 ρ

n_e = 2 (X + 1) m

(8.63)

要是我们只需要计算不透明度的近似值，那么方程(8.62)便可以大大地简化。例如，我们可以只考虑 xn/kT～1，hv/kT～1 的那些能级，因为这样已经把对不透明度贡献最大的那些频率和电离电势包括在内了。

那些在比较低的温度下就会电离的成份（xn<<kT）已经差不多全都

电离了，它们实际上对电子几乎已毫无束缚作用，而那些 xn 值较高的成份对于所碰到的光子则很少有什么吸收。类似地，频率为 v～kT/h 的光子在罗斯兰平均值中的权重最大。

对于大多数元素我们也可以选择一个典型数值 Z'2/A～6。

通过这些近似，我们对束缚? 自由吸收得到克雷默（Kramer）不透明度定律：

式中〈gbf〉是平均冈特因子，它总是近似地等于 1，而 f 中已包括了由我们所作的近似引起的各种改正因子，它们同样都近似地等于 1。对于自由? 自由跃迁，我们类似地可以得到一些表达式（Sc58b）*：

式中〈gff〉为平均冈特因子(7.74)。我们看到，如果取方程(6.137)中的(v)，并用它代替式(8.56)中的 *(v)，那么由此所得到的不透明度表 达式就正比于 e6n2c−1(mekT)−1.5 ，而权平均函数正比于 v−2 ，后者又与 h2(kT)−2 成比例，这正好就是(8.65)式所表达的关系。对于电子散射来

说，由(8.59)式并利用式(8.63)的自由电子数，我们便得到

图 8.3 不透明度作为星族 I 恒星的密度和温度的函数。图上分为四个区域，分别表征不同的能量传输机制。这些机制也就是造成不透明性的原因，它们分别是电子散射、束缚? 自由跃迁、自由? 自由跃迁，以及由简并电子承担能量传输作用的有效不透明度。图中的点划线表示简并性参数α（见方程(4.93)）等于零的位置(Ha62c)

电子散射是低密度、高温度条件下对不透明度的主要贡献因素，因为在这种条件下电子和离子间的相互作用是很弱的。

图 8.3 表示在不同的密度和温度条件下，散射与吸收过程的相对重要性。在密度很高的地方，电子是简并性的，热量可以通过这些电子的传导作用极其迅速地转移出去。

图 8.4 把不透明度表示为温度的函数，其中所考虑的恒星的化学组成是和太阳类似的。

图 8.4 和太阳有类似化学组成的恒星的不透明度。每条曲线代表不同密度ρ，单位是克·厘米−3(Ez65)

迄今为止我们所讨论的只是恒星内部的辐射转移。但是，辐射转移方程在能量通过恒星大气的传输过程中同样起着支配的作用（7.13 节）。问题 8.3 利用方程(8.7)，(8.52)及理想气体定律，证明恒星的光

度大致应该与 M3 成正比。

实际上我们发现，主序星很好地服从质光关系（图 8.1） L∝Mα 3 a r (8.67)

这一关系之所以对主序星成立大概是因为辐射转移在那里起着支配作用，而在巨星中对流转移（下面的 8.9 节）更为重要，至于在致密星以及致密的星核中起主要作用的就是简并电子的转移了。

不过，即使别的过程在起着支配作用的话，辐射转移始终是存在的。因此，总的能量转移率便是所有各种转移率之总和。

对流转移

要是温度梯度变得很大，以至介质开始发生对流，那么对恒星中心呈球对称的温度分布便会处于不稳定状态。现在，我们就来建立出现上述情况的条件。

考虑一个密度为ρ'1，压力为 P'1 的物质元，其周围区域的特征(ρ

₁，P1)和它完全相同（见图 8.5）

ρ'1=ρ1 P'1=P1 (8.68)

然后，这个物质元运动到一个新的位置，以下标 2 表示，它在新位置处的最终压力 P'2 等于周围环境的压力 P2：

P'2=P2 (8.69)

利用(8.30)式我们发现，这类对流运动同热的辐射转移所需要的时间相比是进行得很快的，因此，我们可以把这个过程作为绝热过程来考虑。这时，方程(4.123)意味着

ρ'₂ = ρ'₁

( P2 )1/ γ

P1

(8.70)

对于恒星内部高度电离了的等离子体来说，热容量之比为

γ=cp/cv=5/3。

如果物质元的初始位移是朝上的，而且我们知道ρ'2＞ρ2，那么这个物质元就会受到一种朝着初始位置 1 的向下的力的作用；这时，介质是稳定的。但是，如果ρ'2＜ρ2，那么初始的位移就会导致物质元继续沿着同一方向（朝上）运动，这时介质就是不稳定的。在后一种情况下对流就可以建立起来了。

图 8.5 一个低密度“物质泡”向外作对流运动。当温度梯度很大时这种对流运动就会建立起来并且成为热量传输的主要方式

因此，稳定性的条件就是

ρ ＜ρ' = ρ' ( P'2 ) ^cv /cp

= ρ ( P2 )^cv / cp

(8.71)

2 2 1

P'1 P1

其中我们已用到了表达式(8.68)，(8.69)和(8.70)。上式可以改写为

dρ ＜( P + dP) cv /cp − 1 = cv dP

(8.72)

ρ P cp P

如用径向梯度表示便成为

1 dρ cv dP

＜

(8.73)

ρ dr cp P dr

考虑到理想气体方程(4.37)，上式引出稳定性条件

dT ＞ T (1 − cv ) dP

(8.74)

dr P cp dr

式中 dP/dr 和 dT/dr 均为负数。式(8.74)的右端称为绝热温度梯度，因而我们的结论是：当温度梯度的绝对值小于绝热梯度的绝对值时，稳定性在恒星内部占主要地位。当 dT/dr 的绝对值变得大于绝热梯度的绝对值时，不稳定性便开始出现，于是热量就通过对流进行转移。

为了计算热量转移率我们必须知道四个量：浮动物质元的速度 v，它的热容量 C，它的密度，以及它和周围物质间的温度差△T——浮动物质元最终要把温度传给它周围的物质。因此，每单位面积的热传输率为

H=Cρv△T (8.75)

这儿的 C 就是在我们所假定的绝热条件下的热容量。利用方程(8.29)给出的加速度，并假定传输距离为十分之一太阳半径，则平均速度 v 约为

•• R ⊙

1/2

[ r 10 ]

H ~ Cρ[ GM(r) R⊙ ]^1/2 (∆T) ^3/2

Tr ² 10

~ Cρ[ GM(r ) ]^1/2 ( d∆T) ^3/2 ( R⊙ )²

(8.76)

Tr² dr 10

距离 R⊙/10 的选择是带有某种随意性的，因为我们不知道怎样来估计单元的大小；对流理论目前正在设法解决这一问题。我们取 d△T/dr 作为实际梯度与绝热梯度之差。这儿所得到的方程对于热的物质向上对流或者冷的物质向下对流同样都是成立的。就某个给定的梯度 d△T/dr 而言， 如果知道了热容量，那么我们现在就可以求得 H 的量级。尽管上面我们假定了某种理想气体定律，但是至今还没有对物态方程进行讨论。对于完全电离的等离子体来说，热容量是大致知道的，即使这儿所述的过程既不是在等压力也不是在等体积条件下进行的也没有关系。但是，我们如果取每克 2RT 也不会有太大的错误，这儿 R 是气体常数（见方程(4.34)）。

我们现在要弄清楚在什么样的梯度条件下对流流量将超过辐射转移。为了做到这一点，我们可以计算一下当总对流流量等于光度时 d△ T/dr 的值为多少。取 r~R⊙/2，M(r)~M/2，C~2×108 尔格·克−1，p~1 克·厘米−3，T~107K 以及 L~1034 尔格·秒−1。我们有

L = 4πR² H ~ 4πR² Cρ( GM(r))^1/2 ( R ⊙ ) ² ( d∆T) ^3/2 ，

⊙ ⊙ Tr2

10 dr

d∆T ~ 10−10

dr

(8.77)

对恒星而言，平均温度梯度约为 Tc/R～107/1011～10−4，这儿Tc 是中心温度。所需要的剩余梯度仅为总梯度的百万分之一左右。在△r～R⊙/10 这么一段距离上，剩余温度降相当于～1K，这就是我们在前面方程(8.29) 和(8.30)中建立对流传输的时间常数时所采用的数字。

所有 8.4 节中所讨论过的各个微分方程我们现在都已用到了；但是， 我们还必须推算恒星中心所发生的核反应的产能率，这便是下一节中所要做的工作。

核反应的速率

在恒星内部所发生的核反应的基本方式是两个粒子彼此充分接近并互相结合在一起，同时就释出能量。这种放能过程是恒星能量的最主要来源。

我们来研究一下决定核反应速率的各方面因素。下面我们假定问题所涉及到的有两类粒子，并分别以下标 1 和 2 表示之。于是，反应速率正比于：

(i)第一类核的数密度 n1， (ii)第二类核的数密度 n2，

1. 碰撞频率，这一频率又取决于彼此接近的粒子间的相对速度v，以及取决于

2. 与相互作用截面σ(v)有关的速度，σ(v)通常则与 1/v2 成正比。但是，为使反应得以发生，阻碍带正电荷粒子向核接近的库仑壁垒必须穿透。因此，反应速率就正比于

3. 穿透库仑壁垒的几率 Pp(v)，该几率具有以下的指数形式

4π² Z Z e²

P (v) ∝exp(− ^{1 2} ) (8.78)

^p hv

这儿 Z1e 和 Z2e 是核电荷。

一旦核壁垒被穿透以后，就有可能发生核相互作用，其几率为 PN。PN 与粒子的能量或速度没有多大关系，但却取决于所涉及到的核的类别。因此，我们引进一个因子，它正比于

1. 发生核相互作用的几率 PN。对于两个质子间的相互作用来说，

其作用情况是可以从理论上知道的。至于所有其他形式的反应，就只能用实验室的观测资料来估计这一几率的大小。相互作用过程的速率还正比于

1. 粒子的速度分布。由于核通常是非简并性的，我们就可以假定它们服从麦克斯韦分布。方程(4.59)给出

D(T，v)∝ v

1. m A' v²

exp(− ^H ) (8.79)

T3/ 2

1. kT

式中 A′=A1A2/（A1+A2），为原子的约化质量，以原子质量单位为单位。

我们现在可以写出单位体积内的总反应速率为

• ∞

r = ∫ 0 n1n 2 vσ(v)Pp (v)PN D(T，v)dv (8.80)

这个积分是容易估算的。因为在一个很窄的速度范围内，Pp 和 D 的乘积很大，而在这一范围外被积函数的值很小，对积分没有多大的贡献。我们用下面的方法来处理这个问题。方程(8.80)中的积分具有形式

∫ ∞ v exp[−( a + bv² )]dv

(8.81)

0 v

在指数取极小值时被积函数有一个很明显的极大值。我们把指数对 v 求导并令其等于零，于是给出 vm 值为

v = (

a 4π² Z Z e²kT

)1/3 = ( 1 2 ) 1/3

(8.82)

^m 2b hm A'

H

不过，为了估算这个积分，我们仍然需要估计积分时必须考虑的有效速度范围。因为我们的目的只是追求数量级的概念，于是只要取使被积函数值下降 e 倍的两点之间的范围就够了。为此 v 值应满足下式

a 2 a 2

( v + bv ) − ( v + bv _m ) = 1 (8.83)

由于 v 的变化是个小量，我们令

v=vm+△ (8.84)

把上式代入方程(8.83)后△的线性项消去，保留△2 项可得

a + b)∆² = 3b∆² = 1 (8.85)

m

∆ = ± = ±

(8.86)

现在，式(8.80)的积分就很容易计算了。不过，我们首先要把所有的比例常数合并为单一常数 B，并把每个因子中的速度和温度联系起来。

我们注意到

△∝T1/2 (8.87)

以及被积函数正比于

1 v ² v

v · · m = m = T− 7/6

(8.88)

m 2 3/ 2

m

T3/2

其中我们已经用到了关系式(8.82)。由上式可知 r∝T−7/6△∝T−2/3。我们可以设

n = ρ1 =   ρ X 及 n =   ρ X (8.89)

¹ m m

1 2 m 2

1 1 2

式中 X1 和 X2 为 1，2 类核的浓度，m1 和 m2 是它们的质量。把因子 m1 和 m2 并入比例常数 B，于是反应速率

• 2π⁴e⁴ m Z² Z²A'

r = Bρ² X X T^−2/3exp[−3( ^{H 1 2} )]^1/3

(8.90)

1 2 h2 kT

到目前为止，我们在推导反应速率的估值时并没有很好地考虑到问题所涉及的各个反应的情况，反应时所需要的温度和密度，以及最终的能量释放率。现在我们回过头来考虑这几方面的问题。

我们首先要问自己，要使两个粒子发生相互作用应赋予多大的能量。很明显，核反应只有当粒子间接近到大约等于核的直径（D～10−13 厘米）那么一段距离时才有可能发生。但是，对两个都带正电荷的核来说，它们之间有一种相互排斥的倾向，而克服斥力所需的功为

Z Z e²

E = ^{1 2} ～2×10⁻⁶ Z Z 尔格～Z Z 百万电子伏特 (8.91)

D 1 2 1 2

因此，我们也许会以为进行核反应所需的温度应为 1010K，这要比我们在问题(8.1)中所算得的温度（107K）高得多。

有两个因素使实际核反应温度可以下降到 107K。第一，在热分布为 D

（T，v）的核中，有一小部分核的能量要远远超

图 8.6 核反应中所涉及的能量

过平均值。第二，如果粒子的能量虽然不足以克服库仑势垒，但是能借助隧道效应穿过它，那么两个粒子也就可以彼此接近，出现这种情况的几率虽小但是却很重要。这一几率由量子力学所确定，它包括在函数Pp(v) 之中。

由于这两个因素的存在，尽管平均能量比实验室中产生核的相互作用时所用的能量大约小一千倍，也已足以使核反应持续下去。两者的主要差别在于：实验室里速度是一个关键问题，而对恒星来说反应是缓慢地进行的。要是反应有可能使某个给定粒子经大约 100 亿年之后发生嬗变，那么这对于产生许多象太阳那样的恒星所具有的光度来说就已经是足够快的了。但是，在实验室内我们希望有比较高的反应速率，以能在几分钟或者最多在几小时内就取得结果。可利用的时间延长了约 1014 倍，这便是主要区别之所在；这一差异使得核能可以在较低的温度条件下产生，使种种元素可以在恒星中心发生嬗变，而从宇宙的角度来说这种产能和嬗变的速率是具有重大意义的。

基本粒子及其相互作用

恒星内所发生的大多数核反应涉及到若干种基本粒子，我们在表 8.2 中列出了它们的一些性质。

粒子的自旋说明了它所服从的统计法类型。整数自旋意味着该粒子服从玻色? 爱因斯坦统计法，而半整数值自旋表明粒子是一种费米子。

所有的核反应都要受若干基本守恒定律的支配： (a)质能必须守恒（5.6 节）。

1. 相互作用中的粒子的总电荷是守恒的。

2. 粒子数和反粒子数必须守恒。粒子不可能由反粒子形成，反之亦然。但是粒子?

   反粒子对可以形成或者消失，这

表 8.2 参与恒星内多种核反应的某些粒子

并不违反上述的规则。具体来说：

1. 轻子数和反轻子数之差必须守恒（轻子守恒）；以及(e)重子数和反重子数之差必须守恒（重子守恒）。

记住了这些规则之后，我们就来对恒星中所发生的某些最为普遍的核反应情况逐一加以介绍。

1. β衰变

中子，作为自由粒子或者是原子核内的一种核子，它可以衰变而生成一个质子、一个电子以及一个反中微子：

N→P + e + v (8.92)

这一反应通常是放能的，它可以自发地进行下去。如果式(8.92)以相反的方向进行，我们就称为逆β衰变。

P+e−1→N+v (8.92)

1. 正电子衰变

这里，由一个质子生成一个中子、一个正电子和一个中微子。这个过程是吸能的，也就是需要某种输入阈能，这是因为中子的质量加上正电子的质量要比质子的质量大好多。

P→N+e++v (8.93)

原则上说，所有这类反应可以从左向右，也可以从右向左进行；但是， 在通常情况下可予利用的中微子或反中微子数目是很少的，因此我们就只需要考虑从左向右方向的反应。

(iii)（P，γ）过程

在这个过程中，一个质子同一个电荷数为 Z、质量为 A 的核发生反应，生成一个电荷为（z+1）、质量较大的粒子，而能量以光子的形式释出：

ZA+P→(Z+1)A+1+γ (8.94)

这类反应中的一个典型例子涉及到碳同位素 C12 和氮同位素 N13

C12+H1→N13+γ (8.95)

(iv)（a，γ）和（γ，a）过程

在这类过程中，一个 a 粒子（氦核）同核相结合，或者从核放出一个 a 粒子。结合 a 粒子时所释出的剩余能量为一个光子所带走，从核分裂出一个 a 粒子时所需要的能量同样可以由一个光子来提供。这两种过程对于质子和中子数均为偶数（偶−偶核）来说显得特别重要。这类核特

别稳定，它们在形成重元素的过程中起着主要的作用。(v)（N，γ）和（γ，N）过程

这类过程包括一个中子同核相结合，或者从核中放出一个中子。在反应过程中放出或吸收一个光子，从而保证能量取得平衡。

恒星内的产能过程

在恒星中可以有各种各样不同的产能过程，我们将按照它们在恒星一生中先后出现的次序——我们相信有这样一种次序——逐一加以说明。

1. 当恒星从星际介质形成之初，它是一边收缩，一边把引力能辐射出去，收缩过程中所获得的能量已由式(8.1)作了计算。在这个阶段中没有发生任何的核反应。

2. 当恒星中心的温度达到一百万度左右时，第一轮核反应便开始出现。通过 8.10 节的讨论已经清楚地认识到，当温度超过某个给定数值时这些反应并不是一下子出现的。从这个意义上说，即使要涉及到阈值能量，上述温度也不是阈值。我们采用另一种概念，即可以设想有一个临界温度，到达这一温度时反应便以某种确定的速率进行下去。我们选取的标准是定义平均反应时间缩短到 50 亿年时的温度为临界温度 Tc。由于反应速率随温度而迅速地增加，因此，一旦温度超过 Tc，反应就会在一个很短的时间（十亿年左右）内全部进行完毕。首批出现的核反应破坏了最初存在于星际介质中的许多轻元素，并把它们转变为氦的同位素。下面我们列出了这些反应以及每一种反应中所释放出来的能量（Sa55）。请注意，这部分能量是由光子或中微子带走的，但是我们在这儿并没有作具体的说明：

D² + H ¹→He³

Li⁶＋H ¹→He³＋He⁴

Li⁷ + H¹→2He⁴

Be⁹ ＋2H¹→He³＋2He⁴

10 1 4 +

5.5（百万电子伏特）

4.0

17.3

6.2 

两步反应

(8.96)

B ＋2H →3He + e 19.3

B¹¹＋H ¹→3He⁴

8.7

这些反应的寿命约为 5×104 年，反应时的温度分别为～106，3×106，4

×106，5×106，8×106 及 8×106(K)。当温度大致在五十万度到五百万度范围内时，上述反应进行得很快，而恒星便沿着林忠四郎轨迹收缩（图8.11）——这是在恒星的主序前收缩中的一个全对流阶段。由于这些温度是很低的，元素到处都在燃烧，其中包括恒星的表面层，由于对流作用的存在元素可以在表面层中遭到破坏。

除少数情况外，一般说来在恒星表面层内所找到的这些元素的浓度都是很低的。但是，比方说锂在某些恒星中的浓度却很高；这些星就称为锂星，它们成了恒星之谜！恒星演化理论要能解释这种反常现象，就必须同有关化学元素起源的思想密切结合起来。

式(8.96)中所列出的任何一种反应对于恒星在一生中所放出的总能量都没有太大的贡献。但是，就元素的形成理论来说它们是很有意义的；

而且，这些化学元素的低丰富度实际上为判断我们概念的准确性提供了一项检验的标准。

1. 当恒星中心的温度达到一千万度左右时氢便开始燃烧（Be39）。下面给出了 T=3×107K 时对于任何给定粒子所发生的反应以及平均反应时间，同时还给出了每一步反应中所放出的能量。

H1＋H1→D2＋e+＋v，

1.44 百万电子伏特，14×109 年D2＋H1→He3＋γ，

5.49 百万电子伏特，6 秒 (8.97) He3+He3→He4+2H1，

12.85 百万电子伏特，106 年

其中第三个反应每发生一次，第一、第二两种反应必须发生两次。反应中所放出的能量并没有全部贡献给恒星的光度，第一步反应所释出的能量中有 0.26 百万电子伏特是被中微子带走的，因而就损失掉了。所以，

每形成一个氦原子对于光度的总贡献为 26.2 百万电子伏特。

这组反应是质子—质子反应中的主要分支，另外一些分支在图 8.12 中作了说明。氢燃烧也可以按另一种略为不同的方式进行，其时要用到碳同位素 C12 的催化作用。这组反应由碳循环组成，说得更准确些有时叫做 CNO 双循环，这是因为在反应过程中要涉及到碳、氮、氧三种元素； 其中 CN 部分从放热作用来说是比较重要的部分（C168）*。下面给出了15×106 及 20×106K 两种条件下的反应时间

这里有好些反应的时间仍然是不太确定的。循环第二部分出现的机会为第一部分的 4×10−4 倍，这是因为 N15（P，a）C12 反应的可能性比 N15

（P，γ）O16 反应要大 2.5×103 倍左右。

在 N13 粒子衰变中有 0.71 百万电子伏特的能量为中微子所带走；而在 O15 衰变中平均损失 1.00 百万电子伏特。因此，每形成一个氦原子， 恒星可以获得的总能量只有 25.0 百万电子伏特，这要比从质子? 质子反应所获得的能量略为少一些。这儿所给出的反应速率是就碳、氮同位素总浓度 XCN 为～0.005 而言的。图 8.7 中给出了作为温度的函数的质子? 质子反应和碳循环的相对优势。同别的、质量数为 4n+1 的粒子一样，在CN 循环中生成的 C13 可以起中子源的作用，在下面的反应(8.102)和(8.103)中我们将会看到这一点。作为一个例子，N21 可以通过如下的反应产生：

Ne20+H1→Na21+γ

2.45（百万电子伏特）109 年（3×107K） Na21→Ne21+e++v (8.99)

2.5（百万电子伏特）23 秒

图 8.7 核能产生率作为温度的函数（其中ρX2=100。对于 p? p 反应和碳循环来说 XCN=5×10−3X，但对 3a 过程来说ρ2Y3=108）（Sc58b）

我们在这里所讨论的氢燃烧反应，就是恒星停留在主星序上的漫长岁月中能量的贡献者。一旦恒星中心的氢基本用完，氦燃烧就会出现， 这个过程将在下一段中予以说明。一般说来，核内的氢用完之后，氢燃

烧将会在核周围的一个壳层中继续进行。

1. 当恒星的氢燃烧阶段完成时，在一段时间内可能没有任何别的核能产生过程出现，这时恒星作缓慢的收缩（图 8.8）。结果，中心的温度就继续上升，当温度达到 108K 左右时氦燃烧就开始出现（Sa52）。在这个过程中三个α粒子嬗变为一个碳核。反应分两步进行：

He4+He4→Be8+γ ? 95 千 电 子 伏 特Be8+He4→C12+γ +7.4 百 万 电 子 伏 特 (8.100)

第一个反应是吸热的，要使反应进行下去就必须补充能量。Be8 核是不稳定的，它衰变后重新形成两个α粒子。于是在α粒子和 Be8 粒子间就会建立起某种平衡，其中 Be8 的浓度是相当低的，大约为α位子浓度的 10−10 倍。决定这样一种特定的丰富度的因素有：亚稳态 Be8 的寿命，氦的密度和能量（温度），以及（负）结合能的大小（? 95 千电子伏特）。

1. 恒星核在氦燃烧阶段内停留的时间是不会太长的，这是因为同氢燃烧阶段所产生的能量相比，氦燃烧可用的能量是很少的（～10%）。在较高的内部温度下可以出现一系列的（α，γ）过程，并形成 O16，Ne20 及 Mg24。这类过程被称为α过程。核内的氦用完之后氦燃烧可以在该核周围的一个壳层中继续进行，而在它的外面就是氢燃烧壳层。

2. 温度再高，到 109K 时反应就可以在 C12，O16 和 Ne20 这些核之间进行。到这一阶段，游离态的氦已全部用完，但是这种粒子可以通过（γ， α）反应得到。这一阶段中的密度约为ρ 106 克·厘米 3。下面是一种有代表性的反应

2Ne20→O16+Mg24，4.56 百万电子伏特 (8.101)

Mg24 可以通过俘获α粒子而形成 Si28，S32，A36 和 Ca40。

这些同位素的天然丰富度要比元素周期表中同样物质或相邻元素的丰富度来得高，这一点也许部分地证实了上述过程确实是存在的（图8.10）。

图 8.8 红巨星的壳层结构，其中中心区的氢已经用完（Ib70）。左剖面图为右图中心部分小圆点放大后的情况

这一链式反应最终以形成稳定性最高的铁族元素的核而告结束，铁族元素内每个核素的质量对这些元素来说是最小的。在这些偶? 偶核之间的浓度取得某种平衡的那段时间内，温度和密度的预期值为

T～4×109 和ρ～108 克·厘米−3

这个过程称为平衡过程或 e 过程、α过程和 e 过程可以很迅速地——也许是爆发式地出现。

1. 在第二代恒星——由含有相当数量较重元素的星际气体所形成的恒星——中，我们也许会找到 Ne21。这时，在高温的氦核内就可以出现吸热反应

Ne21＋He4→Mg24＋N，2.58 百万电子伏特 (8.102) 同样，从碳循环会产生出某些 C13，因而就有可能发生下述反应

C13＋He4→O16＋N，2.20 百万电子伏特 (8.103)

反应中所产生的中子首先为重核、特别是为铁族中的核所俘获，从而就可以合成更重的核。每个铁族元素可以分配到上百个 C13 和 Ne21 核， 因此中子之多可谓比比皆是。象 Bi209 这样的重元素可能就是通过这种方

式合成的。这一链式反应到 Po210 才告结束，Po210 是不稳定的，会发生α 衰变。另外，也可以合成象 Ne22 这样的轻核，而且除了偶质子? 偶中子核外，我们相信大多数 24 A 50 的核就是通过中子俘获过程合生的。这种中子过程是缓慢的，因此称为 s 过程。在这一阶段中，中子俘获过程通常需要几年到几千年时间，同β衰变的速率相比，这段时间就显得很慢，而且只能合成那些由中子和比较稳定的核相结合所构成的元素。

中子丰富度曲线在质量数 A～90，138 和 208 时达到峰值，这便证明了具有大量中子的阶段是存在的。这些核具有 N=50，82 和 126 的封闭中子壳层。

在图 1.6 这张赫罗图中，线段 EF 可能就代表了恒星演化过程中由 s 过程起有效作用的那个阶段。在这个第二红巨星阶段中，壳层内的一系列氦闪可能会产生某种对流状态，结果使氦燃烧层外的富氦壳层同富碳的核发生混合，最终甚至可以使最外面的富氢层通过对流进入星核

（Sc70）。在这种情况下 C12 和 H1（见方程(8.98)）就可以生成 C13，后者通过同 He4 的相互作用产生所需要的中子。

1. 看来，除了缓慢的中子过程外，中子同样能在一种快速过程（γ 过程）中同重核相结合，至少在某些恒星中有这种情况发生。如果要用化学元素的合成理论来解释比 Po210 更重的元素的存在（Po210 发生α衰变的半衰期只有 138 天），那么某种这一类的过程无论如何是少不了的。要是恒星用完了它的全部能源，那就会以自由落体的速度很快地向

内压缩，正如我们在前面的章节中所看到的那样，这一过程所经历的时间大约为 1000 秒。于是，极其高的温度便出现了，铁族核就能分裂为α

粒子和中子；因为，在 Fe56 中除了有 13 个α粒子外还有 4 个剩余中子， 所有这一切都发生在大约 1010K 温度的条件下，中子的流量约为 1032 厘米−2·秒−1。γ过程可以合成重到 A～260 的元素，这时，进一步的中子辐照会引起裂变，结果使物质发生循环，从而回复到比较小的原子量范围。

在铁族元素分裂成氦的过程中，比热之比γ变得小于 4/3，从而出现向内的压缩（4.20 节）。伴随而来的是γ光子的产生，粒子对的形成， 以及电子? 正电子对的湮没，在这样的高压之下湮没反应可能会产生大量的中微子流。接着，中微子流从恒星的外层逸出，同时发生快速中子过程，而恒星便再度膨胀——爆发式的膨胀。我们认为，至少有一些超新星在

图 8.9 就太阳系估算的 r 过程丰富度，其中已从观测所得到的核质量总丰富度中扣除了经计算后求得的 s 过程的贡献量。某一种元素的同位素用线联在一起，偶数 Z 值用的是虚线，奇数 Z 值用的是实线。图上最显著的特征是有三个峰值及一段宽的稀土元素隆起带。问号表示在产生氪的过程中，对 r 过程和 s 过程两者的相对作用大小是很不确定的（Se65）

爆发中会发生这样的过程，而中央部分收缩着核便形成了一颗中子星。

根据中子俘获截面及核衰变时间——这两个参数都是在实验室里测定的——所作的详细计算表明，在 A=80 到 A=200 这段范围内的丰富度曲线的许多特征可以用 r 过程的出现来加以解释（图 8.9）。这使我们相信

上述一系列事件至少是大致正确的。也许还要作两点有关的说明：

1. 富质子的同位素比较少见，尽管它们可以在（P，γ）过程（有时称为 p 过程）或（γ，N）反应中产生。要是恒星外层的氢可以在对流过程中同来自星核内的炽热物质相接触，那么这类核是可以产生的。但是，一般说来，r 过程可以半定量地说明许多较重元素的丰富度比。

(ii)可以预料，铀同位素 U235 和 U238 在 r 过程中以大致相等的丰富度出现。但是，它们现有的比例（如在地球上所发现的那样）约为 0.0072。如果我们假定这二者大约在 60 亿年前同时形成，由于它们的半衰期分别

为 7.1 和 45 亿年，那么预期的丰富度比也必然就是这个数字。这就为我们在确定地球上物质起源时间的问题上提供了某种方法。我们仍然面临着许多不确定的因素，其中有一些将由 10.13 节中的问题(10.14)加以说明。

质量范围为 20 到 40M⊙的恒星在爆发过程中温度会越来越高，于是碳、氧和硅便接连发生燃烧，有人认为（Ar70）这个短暂的阶段可能就是造成 20 A 64 范围内所观测到的元素丰富度的原因。最初，在用完了氦的星核内碳必然会经历这样一类的聚变反应：

图 8.10 通过爆发燃烧所产生的元素。圆圈表示以质量计的太阳系丰富度，+字记号为计算值。碳的爆发燃烧温度为 2×109K，密度ρ～2×105 克·厘米−3，所贡献的最大原子量为 A～30。氧燃烧时的温度为 3.6× 109K，密度～5×105 克·厘米−3，所贡献的最大原子量是 A～50。硅燃烧时温度范围为 4.7～5.5×109K，密度 2×107 克·厘米−3，并生成质量更大的核，其丰富度如图所示。本图系由阿内特（Arnett）和克莱顿

（Clayton）两人的工作所合成（Ar70），我们也许可以从瓦戈纳

（Wagoner）的爆发式核聚变工作获得类似的丰富度（见 8.16 节）（Wa67）。注意，实线联结的是同一元素的不同同位素

这些反应是在 2×109K 温度下发生的，初始密度约为 105 克·厘米−3。假定这些反应持续十分之一秒左右，在这之后所出现的爆发便会把恒星物质冷却到足以使这个过程停止。在较高的温度（3×109K）下，氧也燃烧起来，随后硅 Si28 发生裂变。后一个过程中硅分裂为七个α粒子，这些α粒子又为别的 Si28 核吸收，从而形成质量越来越大的核，这个过程一直进行到 Fe56。如果核燃料在用完了氦的核内温度为～5×109K、峰值密度为 2×107 克·厘米−3 条件下点火，上述过程就会发生。爆发过程结束时元素丰富度比的具体情况部分取决于中子剩余，也就是原始状态核内中子对于质子的相对剩余数。例如，要是中子剩余

η = ( nN − n P )

(n N + nP )

(8.105)

在 0.002 左右，则所得到的结果就会同图 8.10 表示的情况符合得相当好。至于在这种爆发期间恒星应该具有什么样的结构我们是不清楚的。不同的物质是不是排列成若干个同心壳层，或者还是因为某种什么原因在整个核内作不规则的分布呢？我们对这些过程的了解是不够充分的。

赫罗图和恒星演化

我们相信，恒星是从星际介质形成的。最初，冷的星际气体云一面收缩，一面在远红外区发出热辐射。随着收缩过程的进行，云的温度就不断上升。根据林忠四郎的观点，那个时候的表面温度在一个长期内保持不变，而恒星则越来越小。这意味着在这个阶段中恒星的亮度在减小， 但颜色却一直没有变化。因此，恒星在赫罗图上的林忠四郎轨迹是一条近乎垂直的线。依本（Iben）指出，在这一阶段以后恒星大致沿着水平方向往左朝着主星序运动（图 8.11）。当轻元素燃烧时，这条轨迹可能出现某些短暂的变化，但最后恒星总要进入主星序，并在那儿作长时间的停留。

实际上，正如图 1.6 所表示的那样，甚至在整个氢燃烧阶段中恒星在赫罗图上的运动也是微乎其微的。在整整几十亿年时间内，恒星只是从初始的零龄主序运动到 B 点，恒星变得更亮也更大。我们相信，太阳的零龄光度为 2.78×1033 尔格·秒−1，半径为 6.59×1010 厘米；作为比较，经过 45 亿年之后，目前这两个量为 3.90×1033 尔格·秒−1 和 6.94

×1010 厘米（St65）。

图 8.11 恒星向主星序收缩。恒星在这张赫罗图上的路径是向左进行

的，曲线的左端大致与主星序重合。质量为 15M⊙的恒星大约在 6×104

年内完成图上所示的过程；0.5M⊙的恒星需历时 1.5×108 年。曲线右端的陡直部分称为林忠四郎轨迹（Ha66，Ib65）

当氢燃烧在恒星中心完成之时，这一过程仍然可以在中央氦核周围

的一个薄薄的壳层中继续进行。核不断收缩直至温度高到足以引起氦的燃烧。在这一阶段中恒星在膨胀，它变得更亮也更红。图 1.6 中的轨迹BC 说明了恒星是怎样向上运动并到达颜色—星等图的右方。图上的这一分支便是红巨星分支。

到这一步为止，理论工作已经相当完善，而下一步发生了什么还不很清楚。不知什么原因，红巨星把它的一部分质量抛了出去，并且在主星序的左下方以白矮星的形式结束了它的一生。

我们相信（Sc70）*，当恒星到达图 1.6 中的 C 点时便通过 3α过程开始了它的氦燃烧。这种燃烧可能是以某种闪烁的方式出现的，并迫使恒星膨胀；但是在对流着的中央核内保持了速率比较慢的氦燃烧，而氢燃烧则在外部壳层中进行。环路 DE 可能就代表了这一个阶段，对于质量约为 1.2M⊙的恒星来说，这个阶段要持续 108 年左右。正如 1.5 节中所指出的那样，对于在这以后连续发生的一系列快速阶段我们是不太清楚的。也许存在某个碳燃烧阶段，并且正如已经指出的那样，这个过程可能进行得很快。我们把氦燃烧在壳层中进行、同时在它的外围又有一个氢燃烧壳层的这些阶段同水平分支恒星联系在一起。这种过程必然是短暂的，因为我们所观测到的水平分支恒星为数甚少，造父变星也许同这一阶段的核演化有关；这种恒星的光变周期是在变化的，大约在一百万年时间内其变光周期会有显著的改变。

恒星演化的理论使我们能对球状星团恒星的年龄问题作出一种有意义的结论。利用合理的恒星模型，我们可以计算出不同质量恒星所应

有的氢燃烧时间尺度。在一个星团内包含了质量大小各不相同的许多恒星；但是，对任意给定的时间来说，只是那些具有一定颜色和星等的恒星才会处于即将离开主星序而进入红巨星分支的地位。既然恒星的光度和质量是相互有关的（见问题(8.3)），那么我们就可以利用恒星离开主星序时的转折点位置作为刚好完成氢燃烧阶段的那些恒星质量的标志。于是便可以计算这些恒星的年龄，而这就确定了星团最初形成时所应有的时间——当然，这儿要假定所有的恒星大致上是同时诞生的。

用这种方法推算出来的球状星团年龄大约是 100 亿年。各种不同的星团所算得的年龄并不一致，这说明它们是在不同的历元形成的，也许是在银河系一生中的不同阶段形成的。

小质量恒星在演化中的最后阶段看来就是白矮星阶段，这时恒星的内部变成了简并态，它不再会发生更进一步的收缩。于是，恒星便在一个漫长的时期内逐渐冷却下来，但是再不会发生进一步的核反应了。

大质量恒星并不经历白矮星阶段，它们的最终归宿是不清楚的。也许它们在发生爆炸后只留下一小块残迹，这个残迹可能就变为一颗白矮星。也许它们只是非爆发式的把质量抛射出去；也许它们继续收缩，直到成为简并中子星。在 8.16 节中我们将对这几种恒星作比较详细的介绍。

从某些恒星的表面化学组成所观测到的、有关恒星演化的证 据

正如 1.6 节中已讨论过的那样，从好多种恒星的光谱可以看出，它

们的大气组成是和太阳非常相似的。表 8.3 说明了这一点，其中少许差异也是在观测和资料归算的预期误差范围之内。表中列出了较重元素相对于氢的数密度之比的对数值，为比较起见，所有恒星的 lognH 值都规定等于 12.00。

恒星在年龄上的差异极为悬殊：B0 型星大概只不过是在几百万年前才形成的，而红巨星或行星状星云应该列入银河系内最年老的天体之内，它们的年龄在七十亿年以上。但这些不同年龄恒星的元素丰富度却是类似的，这说明在这些不同恒星的形成期之间的这段时间内星际介质也许没有发生多大的变化。尽管介质在化学组成上的不变性可以归因于恒星表面层没有同它的内部物质相混合，然而关于化学演化方

表 8.3 “正常”恒星的相对丰富度，设 lognH=12(Un69)*

（续表）

面这种证据不足的事实仍然有点使人感到迷惑不解。我们必须把这一点同下面的事实联系起来：每当超新星或别的不稳定恒星抛射物质之时， 只有恒星的表面物质重新变成星际介质。当然（见表 1.1 或 1.6 节）， 我们知道某些金属含量非常贫乏的恒星是存在的，而从这些特殊天体也确实体现了化学演化的可能性。显然，这种证据还是含糊的。

在我们所观测到的恒星中，有那么一小部分恒星，它们中心的某些物质看来是能够到达表面部位的，而且数量相当可观。在某些密近双星内，这类现象也许是经常发生的：一颗子屋的表面物质源源不断地流向

它的伴星，结果就把核演化已经进行得相当充分的内层暴露了出来。也可能还存其他的一些过程会使单颗恒星的内部物质对流到表面层去

（Un69）*。

不管具体程度怎样，密近双星的某些子星总是表现出含有丰富度特别高的氦、碳或者金属元素。对于这些天体来说，分光观测所确定的丰富度比是和已经提到过的那些过程相一致的：氢燃烧通过质子—质子反应或 CNO 循环生成氦，氦燃烧变为碳，而碳燃烧又生成更重的元素。有关 e，s 和 r 这三种过程的证据看来也在逐步累积之中。

与表 8.3 所列出的那些恒星相比，氦星（表 8.4）的氦丰富度普遍地显得偏高。事实上，如果初始氢丰富度假定为 lognH=12.00，而初始氦丰富度取为 lognHe=11.2，同表 8.3 中列出的那些数值相当，那么表 8.4 上所取的名义丰富度 lognHe=11.61 就是表示每组四个氢核已完全燃烧而产生出一个氦核。

两张表的比较也说明了下面这样的事实：尽管恒星 HD160641 中 CNO 的组成几乎保持不变，恒星 HD30353 中的碳和氧相对氮来说已显示出某种程度的减少。这也许说明了质子? 质子反应支配了所提到的第一颗星中的氢燃烧，而第二颗

表 8.4 氦星内的元素丰富度，取 lognHe=11.61（Un69）

星则已经历了 CNO 循环，这后一种过程把大部碳和氧变成了氮。无论在什么情况下，这个循环中氮的预期平衡丰富度总是高的，因为式 (8.98) 中所表明的从 N14 向 O15 的转换是一种缓慢的过程。某些恒星的光谱表现出碳①的丰富度比较高，这说明别的一些过程可能也在发挥作用。HD168476 和 HD124448 中的情况也都是如此，在这些恒星中氦燃烧可以使CNO 双循环中转换掉的碳重新得以补充。

碳星是一些红巨星，它们呈现异常高的表面碳丰富度，其中碳或者以原子的形式出现，或者是作为某些小原子团的一个成员；这类恒星证明了 3α过程在起着重要的作用。各种各样的碳星表现出不同的历史。有些碳星的重元素丰富度相对氢要低一个数量级；这些碳星还含有钡以后的一些元素，其丰富度要比铁高一个数量级，这种超额丰富度必然是由中子补充过程产生的。

由双原子基的光谱所确定的 C12 对 C13 之比值，同样可以得到有意义的资料。在表示同位素 C12 的谱线附近，我们发现了含有 C13 的原子团所产生的一种较弱的谱带结构。在地球上以及太阳内，C12/C13 这一比值约为 100。但是对 CNO 双循环来说，8.11 节中所给出的寿命表明平衡比值在 5∶1 左右，大部分碳星中实际观测到的就是这个数值；其他碳星则呈现太阳的化学丰富度。在比值低的那些地方，说明由氦燃烧所生成的碳不知为什么原因后来又经历了 CNO 双循环。但是，由于在各个碳星中所发现的碳、氮、氧三者丰富度之比常常同 CNO 双循环不一致（Th72）， 因而也许只能求助于另外的一些解释。

钡星是又一类恒星，它们在波长为 4554 和 4934 埃处呈现出特别强的钡双重线。一般说来，对这类恒星而言，原子序数 Z＞35 的那些元素特别丰富，要比太阳上的丰富度高约一个数量级。在这些恒星中，Z=26 的铁的含量还是正常的，然而 Z=38 的锶已经是特别丰富了。这些观测事实是同中子辐射相一致的。

类似的特征也适用于 S 星，在那儿又一次出现高强度的 ZrO，LaO， YO 谱带，以及原子态锆、钡、锶、镧和钇的谱线，这就表明了高 Z 值范围内的超额丰富度。这些元素起源于中子过程，这一点也是和锝谱线的存在相一致的。Tc99 的半衰期为 2×105 年，和沿红巨星分支恒星演化所算得的演化寿命相似。这种同位素可以在 S 过程中产生出来。因此，我们就可以推测出这种同位素是在最近二、三十万年内、甚至在更近一些时候从恒星表面形成的；不然的话那就是在这个时期中它于恒星内部形成，然后再带到恒星表面。但是，如果它出现于几十亿年前恒星最初形成之际，那么到今天所能剩下的少许痕迹已经是不可能观测出来了。这一点为现有的恒星核聚变理论提供了直接的证据，而且因为我们只知道中子过程能形成这类重元素，上述情况就更使我们相信在恒星内部确实是发生了 S 过程。

稀土元素钷已在 HR465 的大气中推测性地得到证认，这一元素最长命同位素的半衰期只有 18 年；HR465 还显示出许多别的稀土元素谱线。这表明核反应必然在对衰变中的钷不断地加以补充（A170）。因为对流时间(8.30)约为一个月，这种钷就不一定要求在很靠近恒星表面的地方产生，尽管这类可能性也是存在的。这些观测结果仍然有待于作进一步

的证实。

直接观测恒星内部核过程的可能性

迄今为止，我们按照人们所普遍预测的先后次序，介绍了在恒星内部可能进行着的种种核事件，并且把这些事件同赫罗图上不同部分所代表的恒星一生中的各个阶段紧紧地联系在一起。由于事件发生的顺序、可能的核反应种类，以及所需要的假设的数目都是很大的，因而亟须对我们所假定的核反应进行直接的验证。

在这一方面可以做的、最有希望的观测工作就是测量核反应所放出的中微子。正如业已指出的那样，中微子大约带走了氢? 氦转换能的 2～ 6%，具体数值取决于起支配作用的是质子—质子反应还是 CN 循环。中微子实际上可以毫无阻碍地从恒星中逸出，因为在底面积为 1 厘米 2、深为一个恒星半径的柱体内，中微子通常会碰到ρR/mH～1035 个核，这儿ρ～ 1 克·厘米−3，R～1011 厘米，及 mH～10−24 克。由于中微子同核的相互作用截面通常约为 10−45 厘米 2，所以在恒星内部所走过的路上只有百亿分之一的中微子被截走。

布鲁克黑文（Brookhaven）国立实验室的小戴维斯（Davis，Jr．） 和他的同事们完成了一项直接观测来自太阳的中微子的工作（Da68）。他的实验的基础是下述反应中氯同位素 Cl37 对中微子所表现出来的很大的吸收截面：

Cl37＋v→Ar37+e− (8.106)

这个反应要求中微子的最小能量为 0.81 百万电子伏特。氩同位素 Ar37 是有放射性的，这使我们可以记录到半衰期为 34 天的 2.8 千电子伏特俄歇（X 射线）跃迁，因而就很容易发现 Ar37 的存在。但是，这一过程中的反应截面只是对那些高能量的中微子来说才是大的，因而用这种方法就不可能记下太阳所发出的全部中微子。实验者们通过计算表明，他们只能观测到硼同位素 B8 在衰变中所产生的中微子，核理论预测到这种核素形成的数量是非常少的。在这一衰变中所放出的中微子的能量可以高达 14 百万电子伏特。图 8.12 中表示了首次产生硼的过程，图中还列出了每项反应所出现的几率。

为了探测这一过程，该小组人员所用的氯化物是 520 吨 C2Cl4。他们用氦气把这种液体中所产生的氩从槽内清洗出来，再在低温下使氩与氦分离从而把氩回拢，然后把收集到的氩送入一架计数箱。硼衰变中所产生的中微子俘获截面为σ～1.35×10−42 厘米 2，因而预期的俘获数大约是每天 2～7 个。实际上观测到的、因 Ar37 衰变所引起的中微子计数上限比这个数字要略为低些，并说明了地球上从这一反应所得到的中微子流量不会超过 2×106 厘米−2·秒−1。对于0.86 百方电子伏特的中微子来说， σ～2.9×10−46 厘米−2，因而由 Be7 电子俘获所作的贡献要比 Be8 来得少。

图 8.12 引起太阳中 B8 的产生和衰变的核反应，其中标明了各个核反应出现的相对几率以及所产生的中微子的能量。分叉时的比例是由温度决定的，相应于图中所示比值的预期温度在 1.5×107K 左右，浓度为X=0.726，Y=0.26，Z=0.014（Ba72）

这个实验显然还得到另一个结果，那就是 CNO 循环对太阳产能所作

的贡献的上限约为 10%。如果这一过程起着更大的作用的话，那么在这个循环中由 O15 衰变所产生的中微子也必然会被我们观测到。

在这项实验完成之后，理论家们根据对太阳化学组成以及核反应几率的进一步测定，重新对他们的预报进行了研究，但是预期的流量并没有显著的改变。同时，用数量较多的 C2Cl4（610 吨）继续进行了实验， 结果所得到的产生率为 0.3±0.2 个 Ar37 原子，其中已扣除了由宇宙线及快中子所产生的每天 0.2 个 Ar37 原子（Da71）。预期的数值是太阳来的中微子每天应产生 2 个 Ar37 原子。人们对这种矛盾正在进行深入的研究； 这个问题一旦得到解决，也许会使我们对恒星内核演化的情况取得更为深入的了解！

初始温度为 1010 K 的爆发天体中元素合成的可能性

人们在银河系内所能找到的最年老恒星的大气中探测到了某些重元素，对于这个观测事实恒星演化理论还不能给出令人满意的解释。由此说明，作为球状星团成员的这些恒星，包含有已经经历过某种核过程的物质。这一点意味着银河系内最早形成的恒星并不是仅仅由氢或氢? 氦混合物所生成的，它们必然是从那种已经掺入了较重元素的物质生成的。从宇宙学的观点来看，这一点可能具有重大的意义。如果我们所知道的最老的恒星包含有较重的元素，那么它们是从哪儿来的呢？这些元素是否一定要——或者甚至有可能——在宇宙的某种原初爆发状态中形成呢？或者我们能不能通过别的途径来对它们的存在作出解释呢？

在深入了解这一问题之前，我们先应该考虑到这样一种可能性：我们所观测到的重元素不过只是一种表面污染而已，我们要问，恒星有没有可能吸积到足够数量的星际物质，比如说能不能就在通过稠密星际云时做到这一点。星际物质现有的化学组成中，肯定有足够丰富度的重元素可以很好地解释我们所观测到的现象。但是，经计算之后（计算方法与问题(3.8)类同）我们发现，对于星际物质的吸积率，或说俘获率是很低的，它不能形成所观测到的金属丰富度。

瓦戈纳（Wa67）以及其他一些人的计算表明，球状星团恒星中所观测到的重元素丰富度可以用下面的假设来加以解释：在球状星团恒星形成前的某个时候，银河系中的氢集聚到一个或几个大质量天体之中，当它们的中心温度升高到 1010K 后便发生爆炸，结果把物质抛回银河系。爆发之后接着就是膨胀，在恰当的膨胀条件下就会形成应有的丰富度比。这里所设想的是这类爆发可以在星系那么大的尺度上出现，也许它就代表了某种类星射电源型——非常致密而又非常明亮——的现象。于是， 通过这一阶段循环的物质便可以用来下一步形成球状星团中的恒星。这些大质量天体可以包括整个星系的质量，也可以比这来得小——这就是说，它们可能就是球状星团或者甚至只有一颗大质量恒星那么大。无论哪一种情况，这条思路可以解释我们银河系内最年老恒星中较重元素的存在问题。

这个理论同样可以解释在最老的恒星——银河系内的晕族恒星

（Wa71）*——中氦大量存在的问题，尽管演化宇宙模型的支持者们认为这种氦可能是在宇宙演化的初期阶段（这时物质处于高密度和高温度条件之下）中形成的。

如果大质量天体所代表的是初始致密状态下的整个宇宙，那么我们可以证明，目前所观测到的 3K 黑体背景辐射（要是这种辐射在原初时间就存在的话）规定了最早期演化阶段的温度。我们可以计算宇宙半径的变化速率，以及与半径有关的温度和密度的变化率。然后就可以用核反应速率来确定密度最终变得很低以至不再进一步发生核变化时物质的化学组成。

当然，这种化学组成与宇宙中各种初始成份有关。具体来说，最后的中子? 质子比在很大程度上取决于初始存在的中微子和反中微子的数目。如果电子中微子十分丰富，那么反应

v+N P+e− (8.107)

主要朝右端进行并产生出大量的质子。当中微子密度比较低时，另外两个反应也将发挥作用

e++N P+v (8.108)

N P+e−+v (8.109)

它们所产生的中子和质子的密度大致相等。要是反中微子的丰富度很高，这些反应就从右向左进行。当然，这儿所考虑的中微子是电子中微子而不是μ介子中微子；μ介子中微子只是通过它们对宇宙膨胀速度—

—这与物质的总的密度有关——的贡献，给反应的进展以非常间接的影响（10.9 节）。

质子与中子之比决定了现存元素的最后丰富度。在大多数宇宙学模型中，演化过程终止于质量为 7 个原子质量单位的地方，因为质量数为 8 的原子核是不稳定的。这儿，因为密度太低，不可能出现 3α过程。图

8.13 说明了可能发生的核过程。

图 8.13 演化宇宙早期的各阶段内，核聚变中所发生的重要反应。箭头表示放热的方向，不过反应速率通常在两个方向上都是很高的。括号中表示在反应过程中被吸入和放出的其他一些粒子，它们在方框中没有加以说明。虚箭头表示β反应。有时从一类核变为另一类核可以有几种反应，它们处于互相竞争之中（Wa67）

通过改变各种基本粒子的初始密度所作的详细计算，可以预测出 D， He4，He3 以及 Li7 的不同丰富度，而这些丰富度也许可以在现阶段通过对星系际介质的观测来加以测定。这类观测是十分困难的，直到今天我们还没有证认出任何星系际气体。但是，随着天文观测方法的改进，对于这些气体的证认应该是有可能做到的。

致密星

迄今为止我们所谈到的恒星的密度大体上都同太阳差不多，例外的情况出现在恒星一生中的晚期，那时它们的中心部分会变得十分致密。现在，我们来谈谈那些密度高几个数量级的恒星，也就是白矮星和

中子星。这里，同样可以用我们理解普通恒星内部过程的一般观点来考虑这些恒星的结构状况。但是，在着手这样做之前，我们应该重温一下专门用来阐明恒星内部核反应重要性的那段论述。在 (8.1)式中我们说明了单位质量恒星物质的势能是～3MG/5R，而可用的核能约为 10−2c2；这里不考虑物质? 反物质的湮没反应。因此，非常致密的恒星所释出的引

力能也许会超过一般情况下的可用核能。对于一个太阳质量的恒星来说，只要

就会出现这种情况。这个数值仍然比史瓦西半径 Rs 来得大，半径为 Rs 时单位质量势能的通式即等于 C2：

R = 2MG

(8.111)

s c2

因为典型的白矮星质量约为 1033 克，相应的史瓦西半径为

Rs～105 厘米=1 公里

这要比下面 8.18 节中所算得的白矮星半径来得小，但是同 8.19 节中所要讨论的中子星半径（～10 公里）比较接近。

白矮星

我们认为致密星的密度很高，以至它们内部的物质变成了简并态。白矮星的表面密度是比较低的，这类恒星的外层不会出现任何简并物质，但是，非简并层的实际厚度是很薄的，所以我们可以把这种恒星里里外外都当作简并态来处理。

在进行这类计算的时候，我们首先要记着恒星内部的大部分压力必然由简并电子所提供，核造成的那部分压力是非常小的。这是因为在简并条件下，电子气体的最低动量状态总是填满的。恒星越是致密，电子的费米能越高，电子气体的压力也就越大。因为只有电子是简并的，这一点在 4.15 节中已作了讨论；所以，核子的压力相对说来就比较低。这儿，我们就把这部分压力略去，认为总压力等于电子压力，P=Pe。

在 8.6 节中我们已给出了非相对论性及完全相对论性电子气体的电子压力，它们分别是：

非相对论性电子气体

h2

P =

20me m H

及

( 3

πmH

) 2/3 (

(1 + X)

2

ρ)5/3

(8.41)

相对论性电子气体

P = hc ( 3 ) 1/3 ((1+ X) ρ)4 /3

(8.42)

8mH πm H 2

一般说来，还应存在一个重要的过渡区域，那儿的气体既不是高度相对论性、又不是完全非相对论性状态。我们可以证明（问题(8.4)），这部分区域中的压力具有形式

8πm⁴c⁵

P = ^e f(x)，ρ = μ

3h3 e

其中

8πm m³c³

H e x3

3h³

(8.112)

函数 f(x)为

μ = 2

^e 1 + X

(8.113)

1 2

f(x) = 8 [x(2x

这儿

− 3)(x

2 + 1)1/2

• 3sinh⁻¹ x]

(8.114)

x = p 0

mec

(8.115)

问题 8.4 对于某简并相对论性气体，所有的动量状态(4.65)均已填满，且方程(5.30)成立。试以与(4.27)至(4.30)诸式相类似的方程为线索，证明

1 p

P = 3 ∫ 0 0 pv(p)n e (p)dp (8.116)

8π p

= 3 0

p⁴dp

2 1/2

(8.117)

3me h 0

如设 sinhu=p/mec，证明

8πm⁴c⁵

[1 + (p / mcc) ]

u

P = ^e

3h³

0 sinh⁴ udu

0

(8.118)

我们看到，式(8.118)的系数与式(8.112)相同。同样，我们可以通过积分的办法证明式(8.118)中的积分等于 f(x)的表达式(8.114)。

小的 x 值(x<<1)相应于密度较低的部分，那儿的气体是非相对论性的；而大的 x 值则对应于总是处于相对论性状态的恒星中心部分。

问题 8.5 就 x<<1 和 x>>1 两种情况计算 f(x)，并证明由此得到方程(8.41)和(8.43)。

方程(8.112)是以统计力学为基础求得的，并不牵涉到有关恒星的任何假定。它是一个对部分相对论性简并气体普遍适用的物态方程，至于这类气体可能出现在什么地方对方程本身是没有影响的。我们应该注意，在这个方程中压力同温度无关；它仅仅依赖于 x，而 x 则是对具有费米能电子气体的动量的一种量度；因而压力只同密度有关。所以，计算恒星中心有关条件的数学问题可以分为两个部分，即流体静力学部分和热力学部分。

流体静力学平衡条件同以前所导得的结果是相同的：

dP = −ρ GM(r ) ， dM(r) = 4πr 2 ρ



(8.7，8.8)

dr r ² dr

为了对这两个方程进行积分，我们假定白矮星的化学组成为已知，这是因为化学组成决定了方程(8.113)中μe 值的大小。接下来任意选择一个

ρc 作为恒星的中心密度，然后对流体静力学方程进行积分，从恒星中心开始直到使压力降低为零的半径 r 处为止。在这个模型计算中，上述半径即代表了恒星的表面。这一径向距离处的 M(r)值相应于恒星的总质量，而 r 的大小就代表了恒星的实际半径。

显然，这一过程可以在某个范围内对不同的中心密度重复进行，因而我们便可以得到具有不同中心密度的、一套完整的恒星模型。同样， 取不同的化学组成可以获得一套新的模型；但是，这时无须重新进行计算，因为化学组成的改变在数学上相当于简单地换一组变量。下面我们来说明这一点：

如果初始计算值以带撇的符号表示，而相应于新化学组成的新变量

以不带撇的符号表示，那么我们发现所需要的关系式是

P = P'

ρ = μe ρ'

μ'e

M(r) = ( μ'e )² M(r') (8.119)

μe

r = ( μ'e )r'

μe

容易看出，把这些表达式代入方程(8.112)、(8.7)和(8.8)后，原方程的形式保持不变；这说明化学组成的改变相当中心密度的某种改变， 于是所涉及的只是单一参数的一套模型，这是因为有关某个给定恒星各种情况完全可以用某个等值中心密度来加以描述。我们以表 8。5 的形式来说明上述计算所得的结果。

表 8.5 不同白矮星模型的中心密度、总质量和半径， 取μe=2（氢的浓度可以忽略不计）*

*参见（Sc58b）

在迄今所作的推论中略去了若干改正因子，它们会使表中最后几个质量值减少约 20%（Sc58b）。但是，我们在这儿主要关心的不是影响精度的因素，而是这些恒星的总体性质，这些性质是：

1. 白矮星的质量越大，它的半径就越小。

2. 质量和太阳差不多的白矮星，其半径要比 R⊙小 102 倍左右。

   (3)存在某个质量上限——钱德拉赛卡极限，超过这一上限的白矮

星就不能保持稳定的结构，因为即使中心压力为无穷大也不能阻止恒星

作进一步的坍缩。考虑上面所提到的 20％的改正量后，实际的上限值应该在 1.2M⊙左右。

如果我们考虑到相对论性和非相对论性两种情况下中心的压力和密度间所具有的完全不同的关系，那么存在质量上限的原因就很清楚了。从式(8.41)和(8.43)：

非相对论性情况：

P∝ρ^5/3， dP ∝ρ^2/3( dρ) (8.120) dr dr

相对论性情况：

P∝ρ^4/3， dP ∝ρ^1/3 ( dρ) (8.121) dr dr

同时，引力所造成的压力梯度是

dP ρ(r)

∝ −

^rρ( r' )4πr'² dr' (8.122)

dr r ² ∫ 0

作为最粗略的近似，我们可以认为密度等于恒星的质量除以半径 R 的三次方，所以

非相对论性情况相对论性情况

dP ∝

dr

dP ∝

dr

dP

M5/3 R 6 M 4/3 R5

M 2

(8.123)

引力的压力梯度

dr ∝ R⁵

我们看到，相对论性压力梯度与半径的关系和引力的压力梯度具有相同的幂次，两者都随着恒星的收缩按 R−5 增加。这意味着一旦相对论性白矮星核在流体静压力作用下受迫收缩，那么因收缩而产生的反力就会增加，其增加的速率同引力的增长率相同，结果恒星就可以继续收缩下去。所以，恒星无论如何也不可能出现平衡状态，另一方面，白矮星中心的非相对论性气体总是可以随着收缩过程的进行而实现自身调节，一直到压缩恒星的引力受到抵销为止。

这样，我们就有下面的情况：质量比较小的恒星可以用非相对论性近似较好地确定它们的中心压力，而恒星总可以到达某种稳定的平衡状态。对于质量比较大的天体来说，它们的中心密度在收缩过程会变得很高，结果就形成相对论性的结构，而进一步的收缩再也不会导致某种平衡状态的出现。因此，钱德拉赛卡极限表征着从主要是非相对论性气体的中心核向主要是相对论性气体的中心核过渡的界限（Ch39）*。

我们还必须考虑一下白矮星在赫罗图上的情况。我们记得，恒星有效温度的定义是

L = σT⁴ (4πR² ) (4.76)

用太阳的光度和表面温度改写上式就有

L

log

⊙

= 4log Te

Te⊙

R

+ 2log

⊙

(8.124)

然后，如果我们应用表 8.5 所列出的白矮星半径和质量，就可以得到作为不同质量的函数的 L－Te 图。我们选择了大小不同的五个有代表性的质量值，所得的曲线表示于图 8.14。

图 8.14 白矮星的赫罗图。图中所画的是等半径线，并注明了根据完全简并核模型所算得的质量，对核内所含的元素有μe=2（We68）

这些结果同观测的符合情况是令人满意的，因而我们可以有充分的信心认为这儿所作的讨论至少是大致正确的。这一点至关重要！因为， 在银河系内太阳附近的区域，白矮星的局部数密度约为每立方秒差距 2.5

×10−2 个——相当于总质量的 10％到 20%（We68）。如果我们要想知道恒星的归宿何在，那么白矮星正是我们应该加以充分认识的天体！

中子星和黑洞

有这么一些恒星，它们在演化的最后阶段好象是形成了一个密密麻麻地挤满了中子的核，我们可以按下面的过程来想象它们朝着这一状态的演化情况（Sa67）*。

凡是涉及致密星的问题都可以应用(8.112)中的两个方程，不过，随着恒星的演化μe 值的大小是在变的。我们知道，氢用完时μe 所取的值为 2；例如，对于主要成份是 C12 的恒星来说情况就是这样。但是，随着化学成份朝着中子较多的那些元素演化的时候，方程式(8.36)便不再成立，因而(8.113)式也不再成立；对一颗富有 Fe56 的恒星来说，我们发现

μ = 2.15。既然钱德拉赛卡极限质量与μ ⁻²成正比——这一点可由式

(8.119)看出，于是我们就可以作出若干条质量? 中心密度曲线，如图

8.15 所示。在这些曲线中我们假定了一个最低可能温度，而不同的曲线表示了不同化学组成恒星的有关情况。与每一种化学组成相应的是恒星中心电子的不同费米能 EF，而费米能的不同则是恒星中心密度改变后的直接结果。

就某种给定的化学组成而言，随着中心密度的增高，电子的费米能始终是增高的，一直到逆β衰变出现，而同时电子则被驱入原子核内。其结果是产生含中子越来越多的一些元素，表 8.6 中所列出的是其中的一部分。用符号表示的反应

图 8.15 冷星的质量作为中心密度的函数。图中的完整曲线对应于某种有代表性的初始化学组成，同时假定恒星处于相对论性流体静力平衡。注有 C 和 Fe 的两条曲线是假定恒星的组成为纯碳和纯铁（Ru71a，Sa67）。曲线中斜率为负的部分表示不存在流体静力稳定结构的范围。密度单位是克·厘米−3。曲线在中心密度约为 1018 克·厘米−3 处的虚线部分是很不确定的，因为物质在这种密度时的物理状态是不确定的（取自 Lecturas in Applied Mathematics 第 10 卷第 3 部分，“Stellar Structure”。） 式是

P+e→N+v (8.125)

如果费米能足够高，逆反应便不可能发生，因为使放射性核可以实现衰变的全部电子状态都已占满了；这就使本来不稳定的核处于一种由周围环境所造成的稳定状态。

表 8.6 不同化学组成致密星的极大中心密度和电子费米能（Sa67）

作为每个自由电子有效核质量的μe 值，在收缩过程中也是增加的。当费米能达到 24 百万电子伏特时，密度为ρ～1011.5 克·厘米−3，而μe～ 3.1。在这一阶段自由中子的能量变得很高，以至密度的进一步增大会导致中子部分的密度增高，而离子的密度实际上保持不变，电子费米能也

就维持在 24 百万电子伏特。

随着密度的增高，EF 增大到使反应(8.125)迅速地进行，电子被驱入核内，结果造成中央核的坍缩，这是因为在收缩过程中电子的压力不会再以足够高的速率增大了。

在图 8.15 中，含有 C12 和 F56 的恒星的那两条曲线呈现有某个极大质量，此时的中心密度为ρc，逆β衰变在这个地方首次出现，而μe 是在增大的。图中右下方所表示的自由中子的曲线，它在略大于ρc ～1015 克·厘米−3 的地方有一个极大值。

如果我们就非相对论性中子气体及极端相对论性气体分别计算预期的质量，那么出现这一极大值的原因是比较容易理解的（Sa67）*。

维里定理给出以恒星质量表示的压力 P 对密度ρ之比为

3 < P >~ M ∝M ^2/3 < n^1/3 >

(8.126)

ρ R

式中尖括号表示平均值，而 n 是中子的数密度。正如我们可以从(8.35)、(8.40)及(8.42)三式所看出的那样

对非相对论性气体 P∝n5/3 (8.40a)

极端相对论性气体 P∝n4/3 (8.42a) 同样，质量密度对数密度之比为

非相对论性气体

极端相对论性气体

< ρ > / < n >~ m N

< ρ > / < n >~ E F

c2

(8.127)

(8.128)

这是因为在极端情况下，静质量能是可以忽略的。但是由于 EF∝n1/3，于是就有

极端相对论性气体 <ρ>∝<n>4/3 (8.129)

然后从方程(8.126)我们有

P < n^1/3 > 非相对论性气体

M^2/3∝3 < >< n^1/3 >⁻¹ ∝

(8.130)

ρ < n^1/3 >⁻¹ 极端相对论性气体

因而这意味着随着密度的不断增加，质量先是按<n>1/3 增大，然后按

<n>−1/3 减小。

在大质量中子星的核内，除了中子外可能还有各种各样的介子、重子和超子。在这种极高的密度条件下还必须考虑广义相对论效应，因为， 举个例子来说，势能的牛顿表达式在这时已经没有意义了。这个领域最引人注意，因为恒星可能就是在这些最后演化阶段中把它的绝大部分能量充分地释放出来，释放的途径是把很大一部分质量转变为某种形式的辐射，也许是转化为引力辐射。然后，恒星就转变为黑洞。不过，在着手讨论恒星死亡的这一最终形式之前，应该对我们所忽略掉的若干重要因素作一些说明。

在中子星内所具有的这种甚高密度条件下，核本身便排列成一种晶格，因而我们所假定的物态方程和结构特性就不是严格正确的了。在中子星的某些区域内还可以出现超流体状态。图 8.16 是一个模型星，它表示在一个超流体层上浮着一圈固态的核壳。总而言之，在恒星内不同深度的地方可能存在各种各样不同的晶相或液相。只有在对这些细节情况

作比较彻底的了解之后，我们才能进一步认识中子星的结构（Sa70a 和Ru71b）。

另外一个重要问题就是磁场。要是象太阳那样的一颗恒星会坍缩到半径几公里那么大，那么它的磁场就大约是 1012 高斯。中子星内的磁场真有这么强吗？而如果是的话，那么这个强磁场是否贯穿于整个星体内部，或者只是存在于恒星的表面呢？如果在中子星的核内出现了超导效应，那么磁场

图 8.16 白矮星和中子星的密度与结构。左图是白矮星模型，右边的壳

层结构代表中子星。注意，白矮星半径是 6400 公里，而中子星半径仅为

15 公里（Ru72b）。在中子星的中心部分我们预期会找到介子和超子就有可能受到摈斥，实验室超导体内的情况正是如此。但是，在一个迅速坍缩中的恒星内部怎样才能发生这种摈斥作用呢？

我们也知道，一颗普通的恒星要是突然发生坍缩，那么如果要保持角动量守恒的话它就必然要作快速自转。我们认为，在中子星外围区域内，这种快速自转着的磁场便是使带电粒子加速到具有宇宙线能量的原因，它也许还会把一部分恒星自转能辐射出去。自转可能也会影响恒星的结构，因为这时不会再保持完整的球对称性。

如果蟹状星云确实有代表性的话，那么中子星、脉冲星和超新星这三种现象看来就有着一个共同的起源。当然，可能存在着若干种导致超新星爆发的不同过程，因为我们已经观测到几种不同类型的超新星。也许只有其中的某几种会继而形成中子星和脉冲星；另一些则可能是形成重元素并使其回复到星际介质中去的原因（Ar70），但它们并不一定也产生某种致密态的遗迹。事实上，在这些内容中提出了超新星和下面一系列天体间相互关系的全部问题：这里有普通新星或者还有再发新星； 有行星状星云恒星，它们抛出了大量物质并在中心留下一颗炽热的中央星；以及最后还有白矮星，它们也许是行星状星云的遗迹。所有这些天体是怎样联系起来的呢？在白矮星和中子星这两种归宿形式之间，起决定因素是否仅仅在于恒星的最终质量是小于还是大于钱德拉赛卡极限质量呢？对这些问题我们至今还无可奉告！

同样，我们对黑洞知道得也不多。要是一颗中子星的质量足够大， 它是否会进而坍缩到某种最后状态，同时（正如第五章中所讨论过的那样）就不再可能发出任何形式的辐射，因而在这颗恒星之外也就接收不到任何辐射了呢？黑洞形成之时磁场的情况怎么样？电荷的情况又怎么样？一旦发生这种形式的坍缩，全部重子都消失得无影无踪；留下的只有光子或引力辐射和中微子；这时，关于宇宙中重子的守恒我们还能谈些什么呢？这类坍缩中正确的动力学方程是什么？它们是否就是广义相对论中的方程呢？对此还需要不断地进行详细的讨论；我们只不过是刚刚在开始摸索我们解决问题的路子（OP39a，Op39b，Ru71a，Pe71，Ke 63）！

8.20 恒星的脉动和自转

我们从维里定理知道，势能的绝对值等于每单位质量动能的两倍。在恒星中这一动能以原子粒子的热运动来表示，它们的运动速度大致等

于声速 us。因此，我们可以写出

GM ~ v2

(8.131)

R S

式中 G 是引力常数，M 是质量，而 R 是恒星的半径。现在我们可以对恒星脉动频率作非常粗略的数量级的估计；这儿要记着，周期 Pvib 应该同有关压力变化的信息传过整个恒星那么一段距离所需要的时间相当。这段时间等于 2R/vs，于是我们可以写出（Sa69）

P⁻¹ = v ~ vS ~ ~

(8.132)

vib

vib 2R

式中ρ是恒星物质的密度。

我们还要记着，极大自转频率由离心力与引力间的平衡所决定，因为频率过高恒星就会土崩瓦解。在非相对论情况下

2

rot， max

及

GM

= (2πR)²

(8.133)

−1

rot， min

我们发现中子星的脉动周期应该在十分之一毫秒左右，而白矮星的脉动周期应该为秒级。当然，这些恒星的密度范围变化很大，表 8.7 中所给出的只是有代表性的周期值，它们可以变化一个量级以上。蟹状星云脉冲星被发现时，它的周期仅为 33 毫秒，这就很清楚地说明了它的脉冲星现象不可能是白矮星在起作用，因为白矮星的脉动频率要比这低得多。另一方面，中子星的自转周期也可能为几个毫秒。蟹状星云脉冲星的周期一直在增加，因此在公元 1054 年的超新星爆发后不久，它的周期可能接近中子星自转周期的预期极小值；这一发现进一步证实了关于脉冲星是高速自转着的中子星的理论，这样的中子星正在不断失去自己的角动量，并随着岁月的推移而越转越慢。由于磁压有使快速自转着的中子星发生分裂的趋向，所以实际极小自转周期要比表 8.7 所列的值略为大一些。

表 8.7 也说明了天琴 RR 型变星及造父变星的周期与本节所讨论的、十分简单的脉动图象相一致。这些恒星确实是在不断脉动，这一点可以由周期性的多普勒谱线位移和色温度的变化来加以证明。我们所观测到的周期性就是这种脉动周期。新星遗迹 DQ Her（武仙座新星，1934）的周期是 71 秋；在某些白矮星内已观测到具有周期性的特点，不过这些周期太长，所以不能作为基本脉动现象的代表。

表 8.7 恒星密度、脉动周期和极小自转周期三者之间的近似关系

补充问题

在下面的一组问题中我们使用了一些大大简化了的恒星模型，主要想说明即使不作复杂的计算，我们也能对恒星的光度和寿命的数量级大小作出合理的估计。

质子? 质子反应和碳循环的反应速度具有方程(8.90)所给出的形式。史瓦西给出了质子? 质子反应中单位时间、单位质量物质的产能是

（Sc58b）

E = 2.5×10⁶ρX ² (

10⁶

T

)^2/3 exp[−33.8(

10⁶

T

)^1/3 ] (8.134)

克莱顿就 CN 循环给出了一个类似的表达式（Cl68）

E = 8×10²⁷ ρXX

10⁶

( T

) ^2/3 fexp[−152.3(

10⁶

T

)^1/3] (8.135)

式中 f 是电子屏蔽因子，有 f～1。

对问题(8.6)到(8.8)，假定初始浓度 XCN=0.005X 及 Y＝0.12。

1. 设有如下 B1 型模型星，这是一个大质量年轻恒星：质量 M=10M

_{⊙，半径 R=3.6R⊙，中心密度为 10 克·厘米−3，且主要产能区的径向距离为 0.1R。假定在这—区域内的密度为常数，温度是 2.7×107K。试确定这颗恒星的产能率及其表面温度；计算中可以认为恒星的辐射是同样半径的黑体辐射。在核燃烧不使其发生显著变化的前提下，恒星以目前的状态可以存在多久？也就是说，恒星中央核内的氢按现有的燃烧率燃烧可以维持多长时间？}

1. 对于处在主星序早期阶段中象太阳样的一颗恒星重复上述计算，这儿假定中央燃烧区域外伸到

   0.2R。中心密度大致取 55 克·厘米−3， 中心温度 107K；假定进行的是氢燃烧。

2. 目前，太阳中心以质量计的氢浓度约为 70％，整个中央区域范围大致为

   0.11R，中心密度约为 102 克·厘米−3，整个这一区域的平均温度取 1.5×107K。对于这么一颗恒星重新计算上列参数。

3. 有一颗红巨星，半径是太阳的一百倍，它处于核内的氢已全部用完而氦燃烧尚未建立这么一个演化阶段，主要能源是发生在惰性氦核周围一个薄的壳层中的氢燃烧（图

   8.8）。设氢燃烧发生区域的径向距离范围为 1.8～2×109 厘米，该层中的平均密度约为 50 克·厘米−3，温度是 5×107K。试计算上述参数，取 XCN=10−3X，X～0.5。

4. 设想有一颗白矮星靠它所贮备的热能在发光。假定它的质量是

   0.45M⊙，半径为 0.016R⊙，而整颗星的密度大致均匀（但是，要参见图 8.16）。试计算这颗星以它现有的发光本领可以辐射多久。它的光度

是 10−3L⊙。

1. 有一颗恒星，它的内部以辐射转移为主；即使辐射流

   L(r)主要方向是从恒星中心朝外进行，它在每一点上（所有频率ν处的）能密度仍十分接近黑体辐射密度。试说明就某一给定的不透明度值 (ν)而言，辐射密度ρ与黑体辐射的实际差异有多大？这儿在方程(8.50)中要考虑到高阶项。

2. 在 8.2

   节中我们论证了太阳的能量一定是核能，因为按方程(8.1)所得的势能不足以提供过去几十亿年内的总太阳光度。试证明这一推论实际上是不正确的，因为如果有大约一半的太阳质量均匀分布在半径为 R⊙的整个球内，而另一半质量是集中在半径为 10 公里的一个核内， 这样一种结构就可以满足所需要的势能值。有趣的是，在几年前天体物理学家们深信宇宙中的大部分辐射能直接与热核反应有关；随着脉冲星的发现，这种想法有了改变，至少说引力坍缩有可能贡献出核反应所能提供的那么多能量。

问题解答

8.1 (a) P=nkT

R 15

− 2 ρ 1 −3

P( 2 ) ~ 10

达因·厘米 ，n =

H

= 1.67×10⁻²⁴ 厘米

R

T( 2 ) =

10¹⁵ ·1.67×10⁻²⁴

1.38×10⁻¹⁶

~ 10⁷ K

1. dP∝ρ

M(r)dr r 2

(8.7)

P = nkT所以有dP∝ρdT

∴ dT ∝ M(r) 及T(r)∝ M( r)

dr r ² r

M 4

L( R)∝

r=R

∝ ∝M³

ρR ³

1. 单位时间、单位立体角内落入一个假想表面上的粒子数为n（θ，φ，P）vcosθdΩ

这时压力为

P = ∫

2π π/2

0

0 0 0

2p cos θ·v cosθn(θ，φ，p)dΩdp

如果气体是各向同性的，就有

n(p) 1 p

n(θ，φ，p) = 4π ，P = 3 ∫ 0 pvn(p)dp

0

这儿 n(p)由式(4.65)给出，因为所有的状态均已填满。既然 P=mυ γ(υ)，我们可以由此解得 v 为

p

v =

8π p p ⁴

∴ P = 3mh2 ∫ 0 0 dp

如果 p/mc=sinhu，dp/dθ=mccoshu，于是

8πm⁴c⁵

P = 3h 3

^u sinh⁴ udu

0

1. 8.5

f ( x) = 1[ x(2x ² − 3)(x² + 1)^1/2 + 3sinh⁻¹ x]，x =

8

p 0

mec

如果x << 1，

₋ x³ 3

sinh ¹ x = x − +

6

把上式展开有

x⁵ −

40

x2 x4

x ³ 9

8f(x) ≈ x(2x² − 3)(1 + −

2 8

) + 3x − 2 +

x⁵ −

40

≈ 8 x⁵

5

(x << 1)

把 f(x)和式(8.113)代入(8.112)后则给出(8.41)。

e x

如果x >> 1， sinh x ~

，而sinh⁻¹ x = ln( 2x)

2

x 4

∴ f (x) = 4

(x >> 1)

代入式(8.112)得出(8.43)。

8.6 在方程(8.134)和(8.135)中，温度取 2.7×107K，密度ρ=10 克·厘米−3，于是给出

Epp=27 尔格·克−1·秒−1 ECN～3×103 尔格·克−1·秒−1

所以总的产能为为（4π/3）ρECN（0.54R⊙）3～7×1036 尔格·秒−1。恒星的总表面积为 4π（0.36R⊙）2～8×1023 厘米 2，因此单位截面积的流量为 0.9×1013 尔格·厘米−2·秒−1；再利用黑体定律 T4σ=单位截面积流量，就有

T～20000K

每个氢原子的总可用能量约为 10−5 尔格，而 n～6×1024 厘米−3；由此得出每立方厘米的总可用能量约为 6×1019 尔格，因而星核能够维持能量供应的总的时间约为 7×107 年。

8.7 由温度为 107K，密度 55 克·厘米−3 以及氢燃烧的范围为 0.2R⊙， 我们看出质子? 质子反应起主要作用，其产能率为 190 尔格·厘米−3·秒

−1。由此求得表面温度约为 5000K。

8.8 利用 X＝0.7 和ρ=102 克·厘米−3，以及 T=15×107K，我们再一次发现 pp 反应居支配地位，得产能率约为 2300 尔格·厘米−3·秒−1。总的产能为～4×1033 尔格·秒−1，这一数字给出表面温度为 5900K

1. 在 5×107K 时碳循环起主要作用。如果我们假定发生燃烧的薄壳层范围为 1.8×109～2×109 厘米，则可求得在 1028 厘米 3 体积内碳循环产能率为 4×108 尔格·厘米−3·秒−1。因此光度为 4×1036 尔格～103L

_{⊙，而在 R=7×1012 厘米处的表面温度是}

T＝(L/4πR2σ)1/4=3300K

1. 白矮星所能辐射的仅是其内部离子的动能，因为电子是简并性的，所以不可能释出能量，它们是支持流体静压力的主要因素。在电子简并压力开始起主要作用之前不久，离子的动能约为白矮星势能的十分之一。由维里定理可以推知应该有一半的能量是动能，但是每个离子可以分配到两个以上电子，而因为部分简并性的出现电子会具有较高的能量。所以，总的可用离子能量约为 0.1M2G/R，而寿命约为 0.1M2G/RL。也许我们还应该对光度的推算方法作一番说明。白矮星的非简并外层可以进行辐射转移，利用方程(8.52)，并顾及

T~0.1Mgmi/kR 及 dT/dr~T/R，

如果不透明度已知的话我们就可以求得光度。尽管图 8.4 好象说明了在高密度条件下不透明度几平与密度无关，在我们所关心的温度范围内其值很接近于～108/T，但是不透明度应该用克雷默表达式计算。因此，冷却时间可以唯一地表达为恒星质量、半径及化学组成（离子质量）的函

数。如果一颗质量为 0.45M⊙的恒星，其光度约为 10−3L⊙，半径是 1.1× 109 厘米，则τ～0.1M2G/RL～1.2×1018 秒，因而冷却时间约为 400 亿年。文献（Sc 58b）中对这一问题有比较严格的讨论。

下面一项是

这就是恒星内部实际状态对于黑体能量密度的偏差。

8.12 对于一个致密球体，若 R=106 厘米，M=1033 克，则

3 GM²

v = 5 R ~ 4×10 尔 格

52

第九章 宇宙气体和尘埃

1. 观测

在这一章中我们要尝试确立某种带有普遍意义的框架，以便能在这一框架中正确理解有关宇宙气体和尘埃云的大多数物理过程。不过，在可以这样做之前，我们应该对这类云的温度、密度、电离状态以及线度大小有一定的了解，并且应该对有关尘埃微粒的观测资料作一番概略的介绍。

表 9.1 所列出的是一些大致的数值，在确定这些数值时我们所用的方法对于不同类型的介质是很不一样的。因此，对如何取得这些资料的方法作一些定性的说明也许是有用的。

河外介质

有关河外介质的内容我们知道得很少。关于粒子密度或场密度的全部数据都是一些上限；也许星系际的空间完全是空无一物。

由于在类星体所发出的连续光谱中观测不到赖曼α吸收谱线，我们就可以由此确定星系际空间内中性氢密度的某个上限。在这个推论中我们假定类星体是一些河外天体，它们的距离由红移所标志，可以按哈勃的红移? 距离关系加以计算。然而，哈勃关系式也许只适用于普通星系。还有，在我们和类星体之间也许处处都有中性氢存在，它们会吸收红移量不同的辐射，而这种形式的吸收可能就不会形成一条清晰的谱线。这种情况下，在类星体的赖曼α线和我们这儿的赖曼α线（波长 1216 埃） 间的整个波长范围内，吸收的程度必然是大致均匀的。

如果假定电子处于高温状态之下，那我们就可以从 X 射线背景观测推算星系际空间内电子数的某个上限，因为高温状态下在电子的自由? 自由发射中会有相当数量的 X 射线成分。但是，如果电子的温度不高， 则自由－自由发射所造成的 X 射线背景就比较低，因而也就观测不到任何的 X 射线流。这儿所得到的上限的正确数值取决于对膨胀宇宙所用的模型（见第十章）。我们可以为河外气体中电离成分的密度确定又一个上限，其前提是认为实际电离强度可以由那些我们所知道的紫外辐射源来求得，后者主要是类星体。由此求得的上限又同我们选用的宇宙学模型有关；但是一般说来数密度值的范围为 10^{? ? 厘米? ? 。}

关于河外磁场的上限同样取决于我们所作的假设。这些场不可能强到会使它们的压力超过我们银河系内的气体压力，否则的话星际氢必然会实际上受到压缩。这种压力也不可能大到使得从某些星系伸展出去的延伸射电源受到压缩。不过这些射电源的特性是很不确定的，因此，相对说来它们所提供的资料就显得很少。一个粗略的上限是 B 10^{? ? 高斯， 这个数字可能会偏高好几个量级。}

类星体

为了阐明各种类星体所表现出来的观测特征，已经提出了许多不同的模型。我们必须说明它们的射电、红外和 X 射线光度，还应该对它们的可见光发射线作出解释。而且，所有类星体的性质是否基本相同也还不清楚。

有一个模型（Ca70b，Cr64）假定类星体具有宇宙学距离，它指出类星体可能是一个电子密度约为 3×10⁶ 厘米^{? ? 、半径}

表 9.1 气体和尘埃集团的大致特征

−

（续表）

在 1 秒差距左右的气体云，云内离子高度激发，从而造成了可见光发射线。至于其余的辐射，有相当大一部分是由云核心部分内的相对论性粒子的发射所造成的，核内磁场强度高达 10⁵ 高斯左右。在这类计算中所取的实际磁场强度总是有误差的。首先，在所观测到的辐射中有一些可能由逆康普顿散射产生，这时就不需要有任何的磁场。至于剩下的部分我们常常认为主要来自同步加速辐射；但是，观测到的波谱通常并没有包括全部有关的波长，因而要准确地确定磁场用迄今所得到的部分性资料是不够的。基本上来说，就象式(6.159)中所表明的那样，这儿的问题有两个独立参数：相对论性粒子的能量指数γ和磁场强度。如果γ不知道， 磁场强度同样还是确定不了。

类星体内部的法拉第旋转是确定磁场强度的一种可行的方法。但是，如果对场的不规则性没有掌握，那我们所得到的也不过只是一个上限（6.12 节）。要用法拉第旋转来确定磁场强度还必须知道电子密度的大小，而如果有了复合线的观测资料，或者观测到了自由? 自由发射， 我们才能求得电子的密度（见 6.16，6.17，7.12 三节）。

银河系

我们可以通过 21 厘米波长原子氢吸收线或发射线，来观测银河系及某些河外天体内的中性氢。在银河系内我们还观测到了由 O 型星和 B 型星所发出的赖曼α吸收线。这两类观测资料有时并不一致，但是它们说

明太阳附近的中性氢数密度大约是每立方厘米 0.1 到 0.7 个氢原子。旋臂之间的密度要比过低一些（Je70）（Ke65）。

用脉冲星作为射电发射源，从它们的色散资料可以确定电子的数密度（6.11 节）；不同频率的射电波在通过脉冲星和地球之间这段距离的过程中所产生的时间延迟(6.58)是不同的。

除了蟹状星云脉冲星外，其他源的距离都是很不准确的。但是，从统计学的角度来看，要是假定脉冲星都聚集在旋臂附近，那么就可以得到一个自洽的模型（Da69）。由此求得的电子密度为 0.03 厘米^{? ? ，这是对太阳所处的那部分银盘中、旋臂和旋臂间区域所求得的平均数。}

尘埃微粒的数密度和半径是用下面的方法进行计算的。由不同波长光线的较差消光来估计微粒的大小，如果对红光的消光作用没有蓝光那么厉害，我们就认为微粒的大小至少应该小于红光的波长。这个道理同样可以推广到紫外波长，由此求得微粒的半径 10^{? ? 厘米；从反射星云内的微染色效应和极化效应也得到了同样的结果。就任意给定大小的微粒来说，我们可以计算它们的有效消光截面，然后再利用距太阳几千秒差距内恒星的消光资料就可以大致确定太阳附近尘埃微粒的数密度。}

HII 区和行星状星云

从射电区域所观测到的自由? 自由发射很容易确定电子的温度和密度（6.17 节），目视和射电复合谱线的观测资料可以互相进行比较。这种复合强度可以按以下的方法从式(7.75)算得。设温度为 T 的气体内电子的复合截面为 Qn(T)，这儿 n 是类氢离子中终态的主量子数。考虑某种理想化的热平衡状态，内中同一能级的电离数和复合数相等。速度范围dv 内每个电子的复合强度正比于电子的速度 v～（3kT/m）^1/2，截面 Qn(v) 以及电子的数密度 ne(v)和电离原子的数密度 nr+1。电离强度则正比于 c， αbf(7.75)、处于低一级电离态的原子数密度 nr，以及光子的数密度；其中光子的频率ν应足够高，以既能使电离发生又可使电子具有速度 v。如果 Xr 是致电离能，

ν = 1 ( m v² + x h 2 ^r

) (9.1)

那么我们就可以把电离和复合间的平衡条件大致地写为

8π ν²α ( ν)

n ( v)n vQ (v)dv = c·n

• bf dν

(9.2)

e r+1 n r

c3 (e hν/kT − 1)

式中对光子的数密度ρ(ν)/hν已经用了黑体谱(4.71)。然后，应用萨哈方程(4.105)和表达式(7.75)所给出的吸收系数，即得到关系式

g_r+1g _e (2πmkT) ^3/2

e − xr / kTQ

( v)vdv

g h³