=

1 = vx γ(v)

cdt

γ( v)

(5.26)

¹ dt

c

v2 c

1 − c2

u2 = v y γ (v) / c u 3 = v z γ(v) / c u4 = γ(v)

或

(5.27)

ui=[λ(v)dxi/dt]c−1 (5.28)

如果用 5.3 节引入的记号，我们就可以看到，u 是一个无量纲量，它不具有速度的单位：厘米·秒−1。我们还可求得各 u 的大小的平方为：

u² + u² + u² − u² = −1

(5.29)

1 2 3 4

它具有不变量的性质，下面我们要用到它。

我们常常对粒子的动量感兴趣。动量可表为

p=m0vλ(v) (5.30) 它包括三个分量，相应为

p1=m0cu1，p2=m0cu2，p3=m0cu3 (5.31)

m0 是在静止时测得的粒子质量——静质量。因此，作为一个四维矢量， 其前三个分量乃是动量，其第四个分量就是 m0cu4。在相对论中，这第四个分量通过下面方式与粒子的能量ε发生关系

ε

p4 = c = m0 cu4

(5.32)

整个相对论性动量四维矢量的分量就是

(px，py，pz，ε/c) (5.33)

显然，在 v<<c 的条件下，前三个分量就给出了经典动量 p=m0v。但是， 能量采取了新的形式，明显写出来，能量方程就是

m c²

ε = = m c²γ (v) (5.34)

当速度为零时就简化为

ε=m0c2 (5.35)

这个表达式说明，质量和能量是等价的（EiO5b）*。正是这种等价性才使得恒星能够发出辐射。因为最终造成恒星辐射的核反应，总是在能量以光子或中微子形式释放的同时，伴随着质量的损失。因为质能守恒， 恒星在发出辐射的同时质量就变得越来越小。

如果速度不大，方程(5.34)可近似展开为

ε = m c ² + 1 m v² +

(5.36)

0 2 0

上式第二项代表动能。下一个高阶项应当为 m0v4/c2 量级。在力学和化学

过程中 m0 基本上保持不变，在正常情况下我们看到的仅仅是 mv2/2 项的变化。因而尽管这一项比粒子质量所含的能量小得多，在经典理论中却是十分重要的。

方程(5.34)表明，当 v→c 时ε→∞，这就意味着一个粒子若要加速到光速就需要对它做无限大的功。因为在一切狭义相对论效应中，上述结论在惯性系内才是正确的，而在其他情况下就不见得一定成立，所以， 这个结论与下列观测是不矛盾的。即遥远的星系以接近于光速的速度运动，而且，倘若它们相对于银河系运动的速度大于光速，某一些星系还可能穿过宇宙地平线。由于相对这些遥远星系静止的参考系相对于银河系在作加速运动，因此在这种情况下狭义相对论并不成立。因而，除非使用广义相对论等更普遍的理论，否则就不能对速度极限作出一般的规定。

还应该指出两个重要的关系。第一，方程(5.30)和(5.34)表明

p = ε v c 2

(5.37)

第二，若把四维矢量的分量写成如下形式

pi=m0cui (5.38)

那么我们得到四动量矢量长度的平方为

ε2

− (p² + p² + p² − p² ) = −p² + = m²c²

(5.39)

1 2 3 4

c2 0

它也是不变量。方程(5.39)还可写为

ε ² = p²c ² + m ²c ⁴

(5.40)

既然光子的静质量为零，速度为 c，式(5.37)和(5.40)就变为

p = ε (5.41)

c

宇宙线粒子能量可高达～1020 电子伏特，因此在宇宙线物理中关系式(5.37)和(5.40)具有特别重要的意义。这么大能量的一个质子，其静质量能仅为931 百万电子伏特，因此宇宙线粒子的总能量将是静质量能的～ 1011 倍。正是由于这一性质，一个原宇宙线粒子入射到地球上层大气后经过碰撞就会产生数以百万计的粒子簇射，它们的总静质量超过原始质子静质量的好几个数量级。虽则经典的质量守恒概念在这儿不再成立了，但是更广泛的质能守恒原理却容许这类过程发生！

多普勒效应

既然能量是四维矢量（P，ε/c）的第四个分量，那么，当相对运动方向沿 x 轴时，其变换形式就是（见式(5.19)和(5.33)）

ε = γ (V)[ε'+Vp'x ]

(5.42)

我们来看光子的能量变换形式。若光线相对 x′轴的方向角为θ′， 那么(5.42)就成为

ε = ε'+(ε' V / c) cosθ' = ε'[1 + βcos θ' ]γ( V) (5.43)

θ′如图 5.5 所示。但我们必须记得，光子运动的方向是与观测者的视

线方向相反的。从量子力学可知，能量ε等于辐射频率ν乘上普朗克常数 h，普朗克常数是一个普适常量。把这个关系用到方程(5.43)中得到

v=v'(1+βcosθ')γ(V) (5.44)

上式就给出了运动光源所发出的辐射的多普勒频移。与经典情况相反， 我们看到，即使光源的运动是完全横向的（cosθ=0，cosθ′=? V/c） 也会有红移。它相当于时间膨胀，也就是频率减小了。当光源的辐射方向与运动方向相反，即βcos′θ＜0 时，v＜v′γ(V)；而当辐射方向向前时，v＞v′。

在许多类星射电源中我们常常观测到经过红移后的频率

图 5.6 多普勒效应。探测器以速度 V 相对于光源运动。辐射频率的测定 从时刻 t′1 开始，结束于时刻 t′2。在这段时间内探测器离光源后退了， 从位置 x′1 移到 x′2。所以，在 t′2 应该到达 x′1 的波并没有被计测 到，在 x′1 到 x′2 之间的全部光波在 t′2 时刻也没能计测到。因此探测 器感受到的是一个较低的频率ν′。上述解释基本上只给出了经典情况 下也存在的与 V/c 成正比的一阶多普勒效应。而如方程

(5.44)所示，正确的相对论性表达式还应包含额外的因子(

) −1

为ν0 的一些发射线，同时又有一组对应于同一跃迁的吸收线，它们的频率为ν0+△1，ν0+△2，⋯，都比ν0 高。这里△是相应于每秒几百到一千公里的频移。它们极其可能是沿视线方向上以不同速度运动着的冷云的吸收线，其中某些冷云可能还是从类星体中喷射出来的。

在银河系内，恒星速度的视向分量一般就是由光谱中所观测到的多普勒频移来确定的。类星体有很大的频移，有人认为这种频移的成因是由于我们银河系的爆炸而把这些天体向外抛去，但大部分天文学家则认为类星体红移主要是远距离星系的宇宙红移。总之，它们可能完全是一种多普勒位移现象，也可能还有其他方面的原因。

微粒的坡印廷? 罗伯逊阻力

考虑一个在行星系空间绕太阳作轨道运行的尘埃微粒。它吸收太阳光并以各向同性方式把这个能量再发射出来。我们可以从两种不同的观点来考察这个两步过程。

1. 从太阳来看，粒子吸收了太阳从径向射来的光线，并在其自身的静止参考系中以各向同性方式重新辐射出去。这种再发射的光子所带走的角动量正比于下面几个量值：(i)光子的等效质量 hv/c2，(ii)微粒的速度 R ，以及(iii)微粒离太阳的距离 R。光子的能量被微粒吸收并再发射，或者在粒子的静止参考系内被微粒各向同性地散射；如果我们仅考虑 V/c 的线性项而忽略全部高次项，那么当微粒受到每一个光子这样作用后轨道角动量 L 的损失率就是

dL = hv • R ²

(5.45)

c2 θ

1 dL = hv

(5.46)

L mc²

其中 m 是粒子质量。

1. 从微粒来看，太阳发出的辐射不是与运动方向成θ=270°角，而是以受到光行差影响后的θ′方向射到粒子上的（见方程(5.22)）。

cos θ'+ V

cos θ = c = 0 V

1+ c cos θ'

cosθ' = − V

c

(5.47)

这里 V 就是 R，即微粒的轨道速度。由此可知光子给于微粒的角动量为pRcosθ′=（hν/c2）R2 。

对截面为σg 的粒子就有

dL = −

dt

L⊙

4πR²

σg

mc² L

(5.48)

式中 L⊙是太阳的光度。

由上可知，无论从哪一个观点来看，微粒在吸收光线后其速度都是减慢了。从第一种观点看，是因为微粒增加了质量，而在再发射中又失去了这个质量。从第二种观点看，是因为动量的转移。

问题 5.6 微粒的 m～10−11 克，σg～10−8 厘米 2，在—个天文单位处绕太阳作圆轨道运动。假定在以后所有时间内轨道都近似为圆形，试计算它掉进太阳，即到达太阳表面所需的时间。

问题 5.7 假定太阳光度的108 分之一被环绕太阳的微粒所吸收或各向同性散射掉，试问每秒钟内落进太阳的这类微粒的总质量是多少？

在宇宙微波背景辐射场中的运动

我们可以推导出在运动天体参考系中作各向同性发射的光线的表观角分布。设天体在 K'系统中是静止的。于是对一切方向θ'，强度 I(θ ')取相同的值 I'（图 5.7）。单位时间内辐射到立体角环 2πsinθ'dθ' 内的能量是 2πI'sinθ'dθ'。

图 5.7 在球面极坐标中所观察到的辐射分布

在参考系 K 中，强度分布是 I(θ)，现在我们要找出 I(θ)和 I′之间的关系。我们知道，接收到的总能量与观测时间、强度 I(θ)和立体角Ω三者成正比：

ε∝△t·I(θ)·Ω (5.49)

但ε和△t 两者都按四维矢量的第四个分量那样变换，因此它们的比值是不变量。于是 I(θ)·Ω也必定是不变量。这是非常重要的！它意味着所观测到的一个源的总辐射功率，在任何惯性系内的观测者看来都是一样的。在 6.19 节中我们将利用这个事实去计算绕磁场旋转的相对论性电子所发射的总功率。于是从方程(5.22)我们可得

I(θ)

I'

= sinθ' dθ' = [(1 + β cosθ') γ(V)]² (5.50) sin θdθ

这就是(5.44)式多普勒位移的平方。

由此我们看到，一个快速运动的各向同性辐射体，看起来其辐射大部分都是朝前进方向（βcosθ′～1）发射的，而只有一小部分能量向后方（βcosθ′～ 1)辐射。

现时的观测表明，整个宇宙存在着一个各向同性的微波辐射场。有

趣的是，由于这种辐射场的存在，应该使我们能在局部性测量的基础上去确立一个绝对静止参考系。这个绝对静止参考系完全不会破坏狭义相等论的正确性，因为如前所述，狭义相对论对不同的惯性系之间是不加区分的。绝对静止参考系的建立将更强调这样一个事实，即狭义相对论实际上仅适用于处理小尺度的现象，而大尺度的现象则可使我们去确定一个更好的参考系，在这个参考系中，宇宙过程看起来就是各向同性的。

在各向同性宇宙（在 10.5 节中我们将要讨论这样的宇宙模型）中每个地方都必定存在有一个参考系，从这个参考系看来，宇宙在各个方向上都是相同的。当然这种各向同性只要求在邻近星系成群的尺度以外的大尺度内满足。在任何观测者近旁，在星系团尺度上总是各向异性的。微波辐射场的有趣特性就是它使我们能够测定地球相对任何这样一个坐标系的运动速度，在该坐标系中宇宙辐射流是各向同性的。预期地球相对这种坐标系的运动速度大约为 300 公里·秒−1 的数量级。因为太阳绕银心的运动速度约是 250 公里·秒−1 的数量级，此外我们知道，星系相互之间的表观随机速度为 100 公里·秒−1 的数量级，这两个速度的矢量和可达 300 公里·秒−1 的数量级。

根据相对性原理，一个物体若在一个惯性系中是热平衡的，那么在任何其他惯性系中也应当是热平衡的。因此一个辐射黑体在一切惯性系中将都呈现黑色。如果宇宙辐射流的各向同性微波分量有一个黑体谱(4.71)(Pe65)*：

I(v) =

2hv³

c2

[ 1 ]

ehv/ kT − 1

(5.51)

那么由于多普勒位移，就会使地球运动方向上所观测到的辐射频率变高。这个效应会使方程(5.51)中的因子 v3 系统地变大，但不改变括号中表达式给出的光谱曲线形状。由于这时比值ν/T 保持不变，因此观测者看到的仍是黑体谱，但相应的黑体温度提高了，温度的增量同多普勒频率位移的增量相同。

如果观测者相对宇宙辐射场有相对运动，那么他在运动前进方向上所观测到的黑体辐射流的温度要比相反方向上的温度来得高。事实上所观测到的辐射流温度是方向角的函数，运动方向相反时其值极小，以后慢慢增加，直到与运动方向一致时取极大值。在相对运动方向的每一个角度上，观测者所看到的都是一种黑体谱，然而黑体的温度是与角度有关的，其关系如方程(5.44)所示。

前向和后向黑体辐射流之间的差别在接近谱的峰值处最为明显。对目前所认为的 3K 宇宙背景温度来说，与这个谱峰频率相应的波长在亚毫米波段。

康克林（Conklin）(Co69)在射频 8000 兆赫处观测了这种背景辐射。由于仪器限制，他只能观测到赤纬δ～32°的天区，他发现在时角α=13h 时讯号最大。在这一方向上的地球速度分量看来是 160 公里·秒−1。

问题 5.8 对极端相对论性的宇宙线粒子来说，洛伦兹收缩是一项重要的效应。例如对能量为 1020 电子伏特的质子，银盘看起来是显得很薄。在相对银河系处于静止状态的观测者所在的参考系来说银盘宽度约为100 秒差距，试证明对于随着宇宙线质子运动的观测者说来，这个宽度只有～3×109 厘米，也即仅仅与地球的周长相近。

问题 5.9 对宇宙线能量来说，时间膨胀因素同样是重要的。假定中

子的能量与我们已观测到的质子能量 1020 电子伏特相近，试考虑这种中子的衰变时间。试问这种中子在发生β衰变之前能穿越银河系的距离有多远？在中子的静止参考系中这个衰变时间大约是 103 秒，但在相对银河系静止的参考系中的观测者看来，这个时间要长得多。试证明这个中子足以穿过整个银河系。

问题 5.10 如果高能宇宙γ射线的能量足够大，它就能与低能光子碰撞并产生电子? 正电子对。根据对称性考虑，这个电子? 正电子对的运动速度必须等于这两个光子动量中心的运动速度。粒子对形成的能量大约是 1 百万电子伏特，而 3K 宇宙背景光子的典型能量约为 10−3 电子伏特。试问能与背景光子碰撞并产生电子? 正电子对的γ光子的最低能量应是多少？再证明在产生电子? 正电子对的静止参考系中，由能量守恒可得出

hv (1 − v) hv

+

(1 + v)

= 2m c ²

(5.52)

而动量守恒则要求上式左面的两项相等。由这两个要求给出：

(hv )( hv ) = ( m c ² )²

hv1

~ 1 ×10¹⁵ 电子伏特 (5.53)

4

有趣的是这一过程的截面是如此之大，以致如果γ射线能量超过 hν1， 而其原始位置又在一万秒差距以外，即在银心以远的地方，那么这种γ 射线就不可能到达地球！

高能粒子

宇宙线是运动在宇宙空间中的一些能量极高的光子、原子核或亚原子粒子。这种粒子或光子有时会闯入地球大气或与寻常的星际原子碰撞。这种相互作用会发生什么结果呢？

因为我们在实验室中仅能把粒子加速到大约 3×1011 电子伏特的能

量，因此我们还无法得到能量高达 1020 电子伏特的粒子的实验数据。可是根据相对性原理，就使我们能够洞察这种相互作用的某些方面。例如， 我们可以问，1020 电子伏特的质子将与星际或星系际的低能光子怎样发生相互作用，这类 3K 黑体光子的频率是 v～3×1011 赫。

从质子的角度看来，这些毫米波长的光子就象是一些高能γ射线。这是因为质子的静质量能仅有 9.31×108 电子伏特，因而质子的γ(v)必须高达～1011；根据同样原因，从质子看来，光子多普勒位移的因子约1011（(5.34)及(5.44)）。在宇宙线质子的静止参考系中看来，光子的频率是～3×1022 赫。这就相当于能量约为 100 百万电子伏特的γ光子。因

此，质子就象受到 100 百万电子伏特的光子轰击一样。

这样一来问题就大大地简化了。100 百万电子伏特的光子是可以在实验室中产生的。事实上我们发现，在这个能量上的光子? 质子碰撞的主要效应是通过下列反应产生π介子：

P+γ→P+π° (5.54)

P+γ→N+π+ (5.55)

在第一个反应中，质子—光子(P，γ)碰撞后产生一个中性π介子π°和一个能量改变了的质子，第二个反应中产生一个中子和一个带正电荷的π介子。

这些反应的截面是可以在实验室中加以测定的，所得结果可直接用来解决我们原来提出的问题。结果发现截面非常大，以致即使星系外的光子仅仅只有 3K 微波光子流那么多，最高能量的宇宙线质子恐怕也不能在星系际空间穿过大于 20 百万秒差距的距离（Gr66，St68）。

因为人们曾经认为类星体是高能宇宙线质子的最可能来源，而类星体又比 20 百万秒差距远得多，因此上面算得的结果在一段时间内就成了一个令人怀疑的不解之谜。可是由于提出了脉冲星有可能产生足够大能量的质子（Gu69），就部分地克服了上述的困难，因为这样一来，宇宙线质子可以认为是较为局部的现象了。

在其他许多涉及宇宙线粒子的问题中类似的相对论性讨论也是很有用的。在第六章中我们要讨论涉及到光子和电子碰撞的康普顿

（Compton）效应和逆康普顿效应，我们还将考虑其他几种相对论性效应。如果我们能够选择合适的惯性参考系去观察问题，那么就往往可以大大简化一个物理问题。相对论原理就告诉我们应该怎样做，同时能使我们对种种物理过程的对称性取得许多新的理解。

高能碰撞

考虑一个低能粒子与一个原来处于静止状态的同类粒子发生弹性碰撞的情况。假如我们从静止粒子的参考系来观察这种相互作用，并假定两个粒子的质量均为 m，那么质心将如图 5.8 所示以速度 v/2 运动。由于运动粒子的原始速度为 v，根据动量守恒，两个粒子相对于质心的运动速度在碰撞后仍与碰撞前一样，即是 v/2，在碰撞后任意时刻均可以通过两个粒子的位置 1 和 2，以及碰撞点 I 作一个圆，1 和 2 的连线是圆的直径。这就意味着，两个质点对碰撞点所张的角度总是直角。

图 5.8 同类粒子弹性碰撞示意图

到目前为止的讨论还都是非相对论性的。在相对论性情况中，质心仍在 1，2 的连线上。实际上粒子 1 和 2 是从质心沿相反方向散射出去的。可是从静止参考系看来，它们主要是向前散射的。这正是我们所看到的情况：一个快速运动的光源在其本身所在的静止参考系中是各向同性发射出辐射的，而我们看上去却觉得其辐射集中在朝前的方向上（见方程(5.50)）。

当宇宙线质子与自由运动的星际原子的核或与作为星际微粒组成部分的某个原子碰撞时，就可能把原子核中的一部分剥裂出来。这些剥裂物可以是质子或中子，也可以是如 He3 核那样的较重的碎片。这些撞击出来的粒子主要是沿靠近原来质子运动方向向前抛出的。

同样，当原宇宙线粒子在空间经过长途跋涉而到达地球上层大气后，它将与大气中的原子核碰撞而产生高能的次级碎片、介子、重子以及它们的衰变物。这些东西又衰变为介子、γ射线、电子? 正电子对或中微子，或者它们可以再与其他原子碰撞，直到最后形成一阵粒子簇射

雨降落下来。这样一种宇宙线空气簇射包括电子、γ射线、分子和其他 粒子。即使原始粒子的高度达到 10 公里或更高，当这些空气簇射到达地面时，它们仍局限在一片直径不大于几百公尺的范围内，这种前向的集中性是如此强烈，以致尽管簇射中有时多达 109 个粒子，它们仍能局限在一定的范围之内！

正因为簇射局限在很小的范围之内，因此我们只需抽样测定射到面积相当小的若干探测器上的能量，就可以推得原始粒子开始时所携带的总能量。事实上我们关于高能宇宙线的许多知识正是利用宇宙线簇射探测器阵所做的这类研究中得到的。尽管麻省理工学院小组用了 3.6 公里那样大的探测器阵，但通常这种探测器阵的抽样面积的直径并不大于几百米。从这些抽样结果中可以确定簇射的总能量，而根据每个探测器上簇射到达的时间，就可定出原始粒子射来的方向（Ro64a）。图 5.9 示明了宇宙线空气簇射的一些成分。

图 5.9 宇宙线空气簇射的成分。这里画出的原始粒子是质子，它与大气原子核碰撞后产生许多次级粒子，后者又会经受核碰撞、衰变、粒子对的产生或轫致辐射；所谓轫致辐射是带电粒子发射一个γ光子后减速的过程。有一系列这类的事件发生。当簇射到达地面时，我们所观测到的大部分带电粒子是电子、正电子和μ介子。尽管原始核中的大部分是质子，但仍还有百分之几的 a 粒子（氦核）和约为百分之一的重核。电子和正电子也可能是原始粒子。空气簇射是能量转化为静质量的一个重要例子。有时，一个原始粒子的能量足以产生 109 个簇射粒子

超光速粒子

当爱因斯坦首次发现狭义相对论概念时，他明确指出物体运动速度不可能大于光速。他认为静质量和能量之间的关系(5.35)式已经说明， 为了把物体加速到光速就需要无限大的能量，因此如果粒子静质量不是零，粒子就不可能达到光速，当然更谈不上超过光速。

近年来，许多研究工作者却又重新提出了这个问题。他们认为连续的加速确实是无法达到光速的，但单凭这一点还不能排除超光速物质的存在，这是通过其他手段产生出来的。他们把以大于光速 c 的速度运动的粒子称为快子，并研究了这类实体可能具有的性质。

主张应该对超光速粒子存在的可能性进行研究的基本论点是：对于速度大于和小于光速的两种情况，洛伦兹变换在形式上是相似的，此外交换本身并未排除快子存在的可能性。

当然变换的相似性并不意味着粒子和超光速粒子的表观性质完全一样。如果我们看一下方程(5.34)，我们就发现当粒子运动的速度 V＞c 时分母中的量就是虚数。因此如果超光速粒子的质量是实数，那么其能量就应当是虚数。实际上，人们把超光速粒子的质量取为虚数，其主要的依据就是观测上不能排除这样的选择。也许这是一种消极的途径，但如果我们不作这种假设，我们就更难取得进展，即更没有办法对实验可能取得的结果作出某些预言。

把质量选为虚数后就能使能量ε变为实数，同时如式(5.37)所示， 动量也是实数。

现在把方程(5.34)和(5.40)结合起来，我们得到

ε ² = m²c ⁴γ ² (V) = p ²c ² + m²c⁴

(5.56)

0 0

当 V 变大时，看来ε就会变小。在速度趋于无穷大的极限情况下能量变为零。但此时动量仍为有限值，并不断地朝|m0c|这个值逼近。

至此，我们不过是在把质量取为虚数这一点上脱离了正统观念。 但是，现在我们来看一下在前几年内引起概念上相当大困难的一个

论述。这个论述所考虑的是：如果快子可以作为信息的载体，事情发生的顺序将会怎样。考虑两个观测者 O 和 O′的世界线，如图 5.10 所示。令 O 向 O′发射出第一个快子。在世界图上这轨线的斜率比光子斜率小。快子进入了图 5.1

图 5.10 说明快子传递情况的世界图所示的“绝对不可到达”区域。

从 O′的原点来看，快子 1 是从 x′轴的上面到来的，它明显地是随着时间后退的。这当然是糟透了，但我们不妨再看下去。O′也能发送出快子，原则上讲，他向 O 发射的快子可以比快子 1 运动得更快。

现在我们可以提出下面的佯谬（Th69）：观测者 O 等待了很长时间， 但根本没有看到任何事件发生。于是他在时刻 A 发出了一个超光速粒子1。事先规定当 O′接收到从 O 来的快子后要马上再发出一个高速快子。于是现在 O′观测者这样做了，他发出了快子 2，因为时间是后退的，于是就在观测者 O 认为没有事件发生的那段时间内的时刻 B，快子 2 却到达观测者 O 了。这样一来原因和后果就完全混乱了！即使认为吸收了一个沿着逆时间方向运动的快子与发射一个顺时间方向的快子完全等价，上述情况仍然得不到多少改善。

那么我们是不是应该从根本上抛弃快子呢？这种极端的做法并不必要，因为我们这里所引用的因果论点受到了传统狭义相对论过分的影响，荒唐的结论也许是因为限制过严而产生的。例如在论述中所用到的同时性概念同信息传布不能大于光速的观念有关。在 5.4 节我们看到， 如果信息传递的速度大于光速 c，那么闵可夫斯基图的结果就会完全改观：图 5.4 中的ψ角就会变小，而在光速无穷大的极限时，即在伽利略极限时，我们得到ψ=0。于是我们应当看到，对快子来说ψ角预期会比狭义相对论时要小。即在图 5.10 中 ct′和 x′轴之间的夹角将趋于直角。这样一来，上述的因果佯谬就不存在了，因为随着快子的轨迹和 x

′轴之间夹角的增加，就不可能再把信号传送到另一观测者的过去时间中去了。当然这类论述仍没有解决快子的存在与否的问题。如在第十章和第十一章将要看到的那样，快子的存在将会对宇宙学以及银河系内或河外宇宙空间的远距离快速通讯方面产生重要的结果。

人们已经为探索快子进行了初步的实验（Al68）。但是至今还没有探测到，不过，或许将来有一天会发现它们。

强引力场

前面早已讲过，要引入引力场，就需要有一种比狭义相对论更为普遍的理论。因为狭义相对论仅限于惯性系。要研究包括引力在内的更为普遍的问题，就必须应用广义相对论（Ei16）或类似的引力理论（Di67），

然而只要我们记得，在引力场可认为是局部均匀的小尺度范围内，自由落体参考系也包括在惯性参考系内，那么即使不用这一类理论也能得到某些简单的引力结果。我们将考虑在中心对称引力势Φ中的两个这样的局部惯性系。

如图 5.11 所示，设观测者 O′离开中心质量的距离是 r，我们要知道线元 ds2 在这参考系中会取什么样的形式。我们假定观测者原来是静止的，他仅仅是刚刚开始向质量中心自由下落。因此他的速度实质上还只是零，但他已开始向中心

图 5.11 靠近质量 M 的自由下落观测者

加速了。换一种讲法，我们也可以假设 O′原来是背离恒星朝外运动，但是他的速度小于逃逸速度，其动能只能使他到达离中心 r 的地方。于是在 r 的地方他的速度就变为零，并且刚刚开始他的返回中心的行程。我们正好是在他的速度为零时观测他的。

因为 O′是自由下落，在他自身看来他的线元具有方程(5.3)的形式，在球面极坐标中这个线元是

ds² = c²dt' ² −r'² (sin²θ'dφ'² +dθ'² ) − dr'²

(5.57)

可是我们要问，如果观测者 O 离开质量分布足够远，以致Φ实质上为零或者是小得可以忽略时，O 所看到的 ds2 应有怎样的形式。这里用到的Φ 就是式(3.54)中 V 的负值。

我们当然可以假定 O 是通过光讯号得到关于 O′系统的所有信息的。但是并不是非这样不可的，因为 O 和 O′之间的物理关系与观测信息的传递方式毫无关系。

因此我们设想 O 进行了一次自我追踪旅行。我们可以假定 O 原来离中心质量分布很近，此时，他开始离质量中心往外运动。而且我们假定他的运动不耗费动力的，即沿着径向自由地外抛，其能量正好够使他跑到无穷远的地方。

O 走到径向距离 r 时与 O′靠拢了，就在这个时刻，O′正好处于零速度并开始他的下落运动。既然两个观测者都在惯性系中，当然就可以用洛伦兹变换来确定，从 O 看来 O′的线元究竟应有怎样的形式。注意与相对运动方向相垂直的分量仍然是不变的，因此有

r2(dθ2+sin2θdφ2)=r'2(dθ'2+sin2θ'dφ'2) (5.58)

可是因为有相对运动，径向分量看来就会有变化。如果引力势很弱，那么根据下列事实立即就可得到 O 相对 O′的速度：O 的动能仅仅够使他跑到无穷远，因而，动能就等于势能。对于单位质量就有

1 V ² = Φ (5.59)

2

因此现在方程(5.12)和(5.14)应当变成为

∆t =

∆x = ∆x'

(5.60)

其实当势Φ很强时上述关系也是对的，不过这时经典动能概念就不再具有明确的意义。因此，我们可以把 O 所看到的线元(5.57)写为如下形式：

ds² = (c² − 2Φ)dt ² − r ² (sin² θdφ ² + dθ² ) −

dr ²

1 − (2Φ / c² )

(5.61)

此式表示了观测者 O 的坐标系中所看到的 O′系内的长度和钟速的变化。观测者 O 把这些结果记下来，在他到达无穷远时，他就可以把这些印象传送出去。在整个这段时间内他都在惯性系内运动，因此他的结果是无可怀疑的。

(5.61) 式所描绘的线元，或说 度 规 ，常称为 史 瓦 西

（Schwarzschild）线元。如果势Φ是由质量 M 所产生，则我们还可将(5.61)式改写为

ds² = (c² − 2MG )dt ² − (1 − 2MG )⁻¹dr ²

r

− r ² (sin² θdφ ² + dθ ² )

我们看到在位于史瓦西半径

rc²

(5.62)

1. = 2MG

2. c2

(5.63)

的地方必定会发生某种奇怪的事情。

根据(5.60)式在这里的钟看上去将会走得无限地慢。在某个时刻 t0 发出的信号除非经过无限长的时间，否则不会到达这个半径以远的地方。事实上，在 r＜rs 的地方发出的讯号永远跑不出 rs 以外去。因此完全包围在 rs 以内的一个大质量天体是不可能将其辐射发射到宇宙的其余地方去的，它就成了一个见不到的天体。这种天体称为黑洞。只能通过这些天体的引力场和电磁场才能探测到它们，而不可能通过它们所发出的辐射来发现它们（Ru71a）。一颗恒星可以有一颗黑洞伴星绕着它作轨道运动。

对普通恒星那么大的质量来说，从中子星阶段坍缩后其 rs～3×105

厘米。这数值比中子星本身的半径小得不很多。对星系那么大的质量来说，相应的 rs～1016 厘米。这半径比所想象中的类星体的半径要小些—

—如果类星体是在宇宙学距离那么远的话。

后面我们还要再提到黑洞。然而现在还有两件事值得讨论。

第一，在银河系内，黑洞在数量上是不可能占优势的。因为根据目视和射电观测，我们可以粗略地认为银河系约 60%的质量是普通恒星和星际物质。只有约 40%的质量看来还没观测到，而其中可能还包括了不发光的天体，如冷星、星际分子氢等。可是我们也不能排除，约有三分之一的银河系质量可能是以黑洞形式存在的。

第二，宇宙空间的旅行者必须十分小心。一旦他们进入了黑洞，他们将永远无法返回。这类天体的内部就象一个独立的宇宙一样，与我们是永世隔绝的！

问题选答

5.3 根据(5.10)

c(2 − δ − ∆)

v = (2 − δ − ∆ + ∆δ) ＜c。

对于反向速度我们得到如下形式的表达式

− c＜v = ( ∆ − δ)c

δ + ∆ − δ∆

(∆² − δ² )c

= ∆² + δ² + δ∆(2 − δ + ∆) ＜c 。

5.4 x=x'+Vt'，y=y'，z=z'，t=t'，此外只因 dx=dx'+Vdt'，dt=dt'。因此 vx=v'x+V，vy=v'y 以及 vz=v'z。

dL L L⊙ σg

5.6 dt = − R2 ·( 4π )· (mc 2 ) ，

因为 L=mvR 以及 v2／R=GM⊙/R2，

dL = dR 。

L 2R

1  2π

mc² 

所以 t =

R₀

天文单位

RdR ·

 ⊙ σ g

 = 5×10³ 年。



1. 根据问题(5.6)，对每一个微粒 i 有

σg

m c² = t

^{i i} π(R² − R²

) L⊙

1 ⊙

式中 R1 是微粒的原始位置。

对一切微粒 M 总c2≈t 总·(10−8L⊙)。

(10⁻⁸ )(4×10³³ 尔格·秒⁻¹ )

∴ 每秒钟落进太阳的质量是

=4.5×104 克。

9×10²⁰ 厘米²·秒⁻²

1. ε=γ(V)m0c2；因为ε=1020 电子伏特，所以

γ(V)=1011 以及△x′=△x/γ(V)=3×1020/1011～3×109 厘米。5.9 △t′=γ(V)△t～1014 秒。当 v～c 时，运动的距离为 3×1024

厘米=1 百万秒差距。

第六章 空间电磁过程

1. 库仑定律及电介质位移

在前几章中我们已经看到，带电粒子间相互吸引的库仑定律与质量间相互吸引的牛顿定律有相似点。两者都出现服从平方反比律的作用力。库仑定律指出，两个带电粒子 q1 和 q2 之间的引力是：

F = ( q1q 2 )r (6.1)

r 3

电荷 q 既可以是正的也可以是负的。在一般情况下，当有许多分离的电荷对某一给定电荷 q 产生静电力时，这合力就等于诸如(6.1)形式的一系列项的矢量和

F = q ∑[ q i ]r

(6.2)

电场 E 就定义为

3 i

i i

F

E = q

(6.3)

可以认为电场就是力所在的场所。上述讨论中都假定电荷 qi 及 q 静止在真空中。如果电荷 qi 在运动，那么电荷 q 还要受到一个附加力的作用。这个附加力具有磁的性质。再如果电荷不在真空中，而在可极化的电介质中，那么电介质内部就会自行调整以抵消一部分电场力。因此真正作用在电荷 q 上的力就小于方程(6.2)给出的值。

因此为了对这情况作出完整的说明，我们再定义一个电介质位移矢 量 D，它与电荷所在处物质的性质无关。D 是一个严格的几何量，假定所有的电荷都在真空中，这时的电场就规定为 D。当电荷位于均匀电介质内时，方程(6.2)变为

F = q ∑ q i r

(6.4)

ε i 3 i

此时方程(6.3)依然成立，因为事实上它就是电场的定义；但这时电介质位移就变为

D=εE (6.5)

可见 D 与ε无关，而仅与电荷的位置及大小有关，也即仅与 qi 及 ri 有关。ε称为介电常数，当电场强度在临界值以下时，大部分实际材料的ε与E 无关。

如果在电荷 q1 周围作一个球面，电荷在球表面上产生的电介质位移

服从下列关系：

D = ( q1 )r = ( 4πq1 )r (6.6)

r ³ 4πr ³

因而

D·n = ( 4πq1 )r·n

rA

(6.7)

式中 n 是通过点 r 的表面法线，A 是封闭曲面总面积。点号表示标积。当存在许多电荷，或电荷为连续分布时，可用比方程(6.7)更一般的表达

式

∫ D·ds = ∫ 4πρdV = ∫ ∇·DdV

(6.8)

上面最后的等式是根据矢量积分的高斯定理得到的。高斯定理指出，对任何矢量 X，有

∫ X·ds = ∫ ∇·XdV (6.9)

这里左端积分是面积分，ds 是积分表面的面积元。 ·是散度算符。读者可能要问，为什么在开始讨论空间电磁过程时就这么仔细地去

强调 D 和 E 之间的关系。由于宇宙是如此地空无一物，我们或许会认为 D 和 E 总是完全相同的。然而事实并非如此；相反，我们对星际空间内的物质的许多知识就是依据 E 和 D 之间的微小差别而得到的。我们再定义一个以后用得着的矢量，即极化场 P，它是电介质位移和电场之间差别的某种量度：

P = [ D − E] = (ε − 1) E

(6.10)

4π 4π

4πP 是可极化物质中电荷重新排列所建立的场。它与外加场的方向相反，从而使外场的值从 D 减小到 E。因子 4π是一种约定的用法，其意义是：使得在单位面积电荷密度为σ的平面边界上 D 值正好为 4πσ。另外，极化场与每单位面积的感应电荷密度σ′有关。P 就是每单位体积内的电偶极矩。如果在这体积中有 n 个电荷为 q、距离为 d 的偶极子，那么P=nqd。我们可以想象一个由 d−1 个偶极子层组成的单位立方体，每层厚为 d，包含 nd 个偶极子，于是电荷密度σ′就等于 nqd。这就使 P 在数值上等于σ′——而不出现因子 4π！

至此我们把静电场还当作是在宇宙尺度上好象也是很重要的一样来处理。一般地讲这种想法很可能是不对的，因为在近乎真空的状态下电荷往往能够很快地自行重新排列，结果全部电场都会被中和掉，就是说会成为一种中性的结构，内中任意一个小体积元内基本上包含了相同数量的正电荷和负电荷。这种小体积元的大小由第四章讨论的德拜屏蔽距离给出。这种一般规律有一个例外，而且是很重要的例外！在下一节中我们将要阐明，电荷通常是与空间磁力线联系在一起的；如果在与宇宙磁场相垂直的方向上施加一个电场，那么电荷就不可能穿越磁力线而流动，并去抵消外加电场。在这种情况下，大规模的电场仍可得到维持。

宇宙磁场

当电荷 q 穿越宇宙磁场而运动时，它就受到洛伦兹力 F 的作用：

F = qv∧B

c

(6.11)

式中 v 是电荷速度，B 是磁场强度，c 是光速。方程(6.11)中的矢积说明了力，因而也就说明了电荷所受的加速度是与速度和磁场两个方向都垂直的。因而电荷沿磁力线旋转（见图 6.1），但能量不改变。（因为若要对粒子做功，力必须在运动方向有分量）。在不变磁场中，粒子描绘出一种等螺距的螺旋运动。沿磁场方向的速度分量 vz 是运动的一个常数分量，它与绕磁力线的圆周运动速度 vc 一起定出了螺距角θ，因而

tanθ = vc

v z

(6.12)

图 6.1 磁场中的螺旋运动示意图

只要令磁场力等于作用在粒子上的离心力，就很容易求得这种运动的回转半径或拉莫尔（Larmor）半径 RL。如果粒子横向动量为 pc，回转频率ωc=vc/RL，那么力的大小为

• pc vc

qBv c

pcc

v c qBv c

p = =

L

1. ，R_L =

qB 以及ω _c = R =

p cc

(6.13)

回转频率有时也称为回旋频率。

问题 6.1 当质子以 10 公里。秒−1 速度穿越 10−6 高斯的磁场而运动时，证明其拉莫尔半径比星际距离甚至于行星际距离都要小。

因为拉莫尔半径比我们所预料的星际和行星际磁场的尺度都要小， 因而带电粒子以宇宙气体的特征热运动速度运动时，它们将有效地为磁力线所约束。它们能够沿磁力线运动，但不可能穿越出磁力线外太大的距离。我们说粒子“冻结”在磁场中了。这种粒子和场结合的运动称为冻结流。磁流体动力学就是这样的一门学科，它专门处理由这种流所引起的问题（Co57）。

我们看到，粒子摆脱磁力线冻结的唯一途径是通过与其它粒子的碰撞。碰撞后每个粒子就会有全新的轨道。如果这种碰撞足够频繁，粒子就能穿越磁场而扩散。

因为宇宙磁场起源于粒子有组织的运动，所以冻结流就不仅由磁场存在而产生，而且反过来会起到维持这个磁场的作用。这种电荷的自洽运动并不是明显地可以看出来的，但磁流体动力学可证明它是真实的。因此上面提到的碰撞过程就不仅会妨碍粒子被冻结，而且其结果也会导致由冻结流所维持的磁场受到破坏。因而在稠密的气体中，由于碰撞频繁冻结场就不能维持。这些电荷与周围粒子的碰撞产生了电阻，进而耗散了粒子运动以及贮存在磁场中的能量。因而在耗散介质中冻结流是短命的（Sp62）。

磁流体动力学还告诉我们，当存在有引力、静电力等一类力的作用时，如果力的作用方向同磁场的方向正交，就会使电荷产生一种漂移运动，运动方向与作用力和磁场方向两者均相垂直。在组成地球磁层的带电粒子的范艾仑（Van Allen）带中就出现有这种粒子漂移运动。但是除非漂移粒子受到碰撞，否则这种漂移并不直接引起宇宙磁场的耗散。

欧姆定律和耗散作用

电流这个术语一般包括两种意思。第一种意思表示电荷响应外加电场所作的真实运动。第二种用法代表同外加电场变化相应的等效电流， 这种电场的变化也会象运动着的电荷一样产生磁场（见 6.5 节）。这是非常重要的！我们把电流写为：

j = ρv + 1 ∂D

4π ∂t

(6.14)

式中速度 v 值由两种相反的作用所决定。外加电场不断使电荷得到加速， 而与其他电荷的远碰撞则不断使粒子减速。介质的电阻率就是这种速度

减小的量度。电阻率的倒数是电导率σ。利用 E 和σ可将方程(6.14)写为

j = σE + 1 ∂D

4π ∂t

(6.15)

一般地讲，电导率与气体的密度、温度、电离态有关，因此也就与气体的化学成分有关。远碰撞是使空间带电粒子运动减慢的主要过程，σ值即由此确定。在 3.13 节及 3.14 节已讨论了这种碰撞。在 6.16 节中还要对此作全面的阐述。

粒子的磁加速

法拉第对电磁学的贡献之一是他发现随时间变化的磁场会在环绕磁场的导电介质中产生电流。电流流动的平面与磁场变化分量的方向垂直。法拉第定律的积分形式为

1 ∂ ∫ B·ds = −∫ E·dl (6.16)

上式左端积分是面积分，它在电流流动的环所围的面积上求积（图6.2a）。右端是线积分，它在环圈上求积。在积分式中法拉第所观测到的电流已由与方程(6.15)相应的产生电流的

图 6.2 法拉第定律及安培定律示意图。(a)法拉第定律指出，导电环中的电流以及相关联的电场由环所包围的磁力线条数的变化率所确定（见方程(6.15)及(6.16)）。穿过单位面积的磁力线条数与磁场 B 成正比； (b)安培定律指出，沿一个围绕电流的环进行积分所得到的磁场由穿过该封闭面积的总电流所确定（见方程(6.17)）

电场来代替。现在我们可以看到，如果星际空间任何区域突然受到增加着的磁场的影响，那么电荷就会经受与 B 的时间变化率成正比的有效电场 E 的作用。在实验室里常利用这个效应把电荷提高到很高的能量上。克斯特（D.W.Kerst）在 1940 年建造的电子感应加速器是第一个成功地完成这种电子加速的装置。在这以后，许多天体物理学家提出，电子感应加速过程可能也会在星际空间中起作用，从而把带电粒子加速到宇宙线中所观测到的那么高能量。

磁场强度的迅速增加可能是由宇宙云在与云内磁场相垂直的方向上的压缩所产生的。星际云碰撞时就可能出现这种压缩，这里或者是星际云相互碰撞，或者是与爆发着的超新星所喷发出的高速气体相碰撞。这种过程会产生低能宇宙线，有时也称为超热粒子。但这种过程还不足以产生能量极高的粒子。下面 6.6 节中将讨论更有效的机制。

问题 6.2 假定在空间某个区域中，在 10−7 年内磁场从 10−6 增加到10−5 高斯。如果电子和质子与磁场垂直运动且不发生碰撞，那么电子和质子将会加速到多大的能量？最后能量与初始能量之间有什么关系？先根据(6.13)及(6.16)两式推导能量与磁场的关系 dε/ε=dB/B，这对求解上述问题是有用的。

安培定律以及宇宙电流和磁场间的关系

在 6.2 节中我们已经看到，宇宙磁场依靠冻结在磁场中的回转电荷

而存在。安培定律更精确地表达了这个概念，该定律指出电流能够产生环形磁场（图 6.26）：

4π ∫ j·ds = ∫ H·dl (6.17)

这里方程左边仍是面积分，右边为线积分，线积分在磁力线上进行，面积分在磁力线所包围的整个面积上进行。

我们相信宇宙磁云将形成一定的结构，其中任何局部地区均服从方程(6.17)。因此电流和磁场的形状可能是很复杂的。可以想象，初始状态是一种“无力”磁场，在这里磁场和电荷流的排列方式不会产生破坏这种结构的力。这种无力状态也许恰当地代表了宇宙磁场的结构。由方程(6.11)可知，“无力”结构中必须处处满足 jΛB=0。

磁镜、磁瓶和宇宙线粒子

在 6.4 节中我们对电子感应加速过程加速带电粒子的情况作了说明。费米提出了另一种宇宙线粒子磁加速的设想。在费米机制中，认为宇宙线粒子是在宇宙气体云之间运动的，而每一块云的内部都有一个磁场。当一个粒子靠近云并从垂直云的磁场方向进入磁场时，由于受到方程(6.11)所给出的磁场力的作用，粒子就要被折回。因为当粒子经过半圈圆周运动后，可能再一次到达云的边缘，并且朝向它刚才进来的方向。如图 6.3 所示，当粒子沿磁力线方向接近云时就会出现类似这样的反射， 对此下面还要再作解释。

如果粒子所撞击的云是离开粒子的，在相遇后粒子的动量就比碰撞前减少；反之如果粒子所撞击的云是接近粒子的，那么最后的动量就比碰撞前大。一般地讲当云和粒子接近时碰撞的几率比云和粒子背离时的几率大。（这与生活经验是一致的。在公路上遇见迎面开来的汽车数量总比遇见与我们同向行驶的汽车来得多。）

图 6.3 磁瓶中带电粒子的轨线。

细线条表示磁力线，磁力线密表示磁场强

因而从统计上讲，粒子在与许多云相遇后动量将会增加，并且可以加速到很高的能量。这个过程与乒乓球在两块慢慢地接近的球拍中加速的情况相似。当球在两拍之间多次弹跳后，球的速度就要比任何一块反射面（球拍）的速度快得多了。

为了说明宇宙线粒子的加速情况，人们还在费米过程的基础上提出了若干种稍有不同的解释机制，然而还没有一种足以克服下述的困难。只要受到下列任何一种抵制加速的过程的作用，宇宙线粒子就会最

终遭到某种破坏性的碰撞，比如它与其他粒子的非弹性碰撞，粒子离开银河系因而也就失去与加速它的云接触的机会等等。由于这些原因，两次破坏性过程之间粒子所经过的加速反射次数是有限的。因而，为了使宇宙线粒子确实达到很高的能量，粒子注入加速场时的初始能量就应该相当高。可能这种具有足够能量的粒子是由超新星爆发所提供的。当然类星体也可能在上述过程中产生高能宇宙线粒子，最高能量的宇宙线粒子可能就是从这些遥远的天体到达我们银河系来的。

总之费米机制不再认为是产生宇宙线的主要过程。首先，我们知道

能量最高的质子具有约为 1020 电子伏特的能量，其回转半径可与星系半径相当。因而这些粒子不可能在银河系停留足够的时间以使粒子在这段时间内最后加速到我们所观测到的能量值。所以这些粒子必定是河外的，要不然就是在银河系某些磁场非常强的区域内产生的。

其次，我们知道重原子核组成了宇宙线流的很大部分。因为费米加速机制的加速过程很慢，这种重核在星际空间呆这么长的时间就会遭到破坏性的碰撞。可是至少来说，宇宙线中能量达到 1012～1013 电子伏特的铁核仍然是丰富的。在这些能量以上有关宇宙线粒子化学丰富度的情况我们知道得还很少。因此我们不得不再次去寻找能够快速提高这些粒子能量的机制。

当前，认为脉冲星以及或许是在作快速自转的白矮星可能是宇宙线的来源。进一步的观测可能会对这种假设作出说明。我们也希望，通过对太阳耀斑的研究至少可使我们对这种高能粒子加速的一种机制有较好的理解，因为太阳耀斑是太阳宇宙线成分的来源。

一般地讲，带电粒子沿磁力线运动时就会发生回转。其螺距角由方程(6.12)给出。如果粒子进入磁力线更为密集的磁场区域，那么它所经受的磁场强度就会增加，根据法拉第定律(6.16)，粒子的圆周运动速度vc 就增加。但是，因为磁场本身没有对粒子做功，vc 的增加必然会消耗原始纵向运动的动能，也即 vc 增加的代价是 vz 的减小。当粒子在强磁场中进入一定深度后，所有的动量就都用在作圆周运动上了，此时螺距角θ变成π/2，粒子就受磁场反射，往相反方向回旋出去。

当粒子开始往逐渐加强的磁场中旋进时，它对于运动对称轴的角动量是守恒的。因而磁矩 M：

M = j∧r ，j = qv (6.18) 2c

也是守恒的。r 用(6.13)式拉莫尔半径代入，得到沿磁场方向的磁矩

M = vc pc

2B

(6.19)

由此得知横向动能与磁场强度 B 正比。因此如果粒子在磁场 B 中的初始螺距角为θ，那么除非粒子达到磁场强度为 B0 的区域，使得 sinθ0=1：

B = B

(6.20)

⁰ sin²θ

否则粒子就会一直穿越磁场。而当到达磁场 B0 后，粒子就反射回去并从强磁场中旋出。

一个磁瓶是由两个这种磁镜组成的，粒子在两镜间来回反射而不允

许逃离。费米乒乓加速机制可能包含着一个（收缩中的）磁瓶，其中两块磁镜在互相接近。

我们有时用磁刚性 BRL 来表征宇宙线粒子。当运动严格与磁场垂直时磁刚性就等于 pc/q(6.13)式）。磁刚性的量纲是每单位电荷的能量。问题 6.3 考虑以速度 V 运动的星际云。其作用相当于磁镜，因此粒

子每次从云反射出去时除了其原有的初速度外还要加上ΔV=2V 的速度变化。当两块云互相接近时就可能发生连接的碰撞。试利用速度合成规则计算当质子原来能量为ε时，要经过多少次碰撞其能量才能提高一倍。

计算中令 V=7 公里·秒−1，这是星际云的典型速度，同时令两块接近中的云（磁镜）之间距离为 1017 厘米以及ε=1010 电子伏特。再问粒子能量增加一倍要多少时间？对质子和电子这个时间的差别大吗？

问题 6.4 当前人们认为脉冲星至少是某些宇宙线粒子的来源，粒子是被与脉冲星中心的中子星共旋的磁力线所加速的，假定磁场速度就是ωr，其中ω是中子星角速度，r 是离中子星的距离。此外还认为粒子是冻结在磁力线中被拖着在一起运动的。假如在这问题中狭义相对论近似正确，试求粒子的能量与径向距离的函数关系是什么？在多大半径以外粒子就与磁场不共旋了？

图 6.4 在中子星附近宇宙线的加速情况

麦克斯韦方程

用四个电磁方程就可以推导出所有的经典电磁效应，这四个方程是：

∇·D = 4πρ（见方程(6.8)）

∇∧E = − 1 ∂B （与方程(6.16)等价）

(6.21)

(6.22)

c ∂t

∇∧H = 4π j（与方程(6.17) 等价）

c

(6.23)

以及最后一个

∇·B = 0 (6.24)

最后一个方程表明不存在与电荷相类似的磁单极子（磁荷）。自然界中只能出现磁偶极子以及磁多极子的形式。在这方面请对照比较方程(6.24) 及(6.21)。

尽管有上面这种讲法，但从狄拉克以来，对磁单极子的探索却一直没有停止过。狄拉克指出（Di31），只要在自然界中存在几个甚至那怕只有一个磁单极子，电荷的量子化就好理解了。至今还没有发现过这种狄拉克单极子。

通常还须要用四个辅助表达式来补充前面四个麦克斯韦方程。D=εE（方程(6.5)）

B=μH (6.25)

1

j = σE + 4π

∂D

∂t （方程(6.15)）

∇·j = 0 (6.26)

方程(6.25)表达了磁向量 B 和 H 之间的关系，它与 D 和 E 之间的关系相类似。方程(6.26)表明，在方程(6.15)定义下的电流是连续的，它既无源也无潭。磁导率μ的值可以大于 1 也可以小于 1，这取决于介质是顺磁的还是抗磁的。对所有的实用目的来说，可以认为大部分宇宙气体μ

=1，但（见 9.8 节）星际空间的顺磁微粒可能就会使被观测到的星光出现少量的极化。

波动方程

根据方程(6.22)及(6.23)以及根据关系式(6.15)及(6.25)，可得以

下表达式

∇∧(∇∧E) = − 1 ∂ ∇∧B

c ∂t

= − 4πμ ∂ (σE +   ε ∂E ) (6.27)

c² ∂t 4π ∂t

式中假定介电常数ε和磁导率μ不随时间变化，并假定μ是标量。事实上μ和ε都是张量，但它们的作用经常就象标量一样。利用恒等式

∇∧(∇∧E) = ∇(∇·E) − ∇ ²E (6.28)

此外只考虑空间电荷为中性的区域，即∇·E = 0及

με ∂²E

∇ ²E = +

4πμσ ∂E

(6.29)

c² ∂t ² c² ∂t

在非导电介质中σ=0，故

με ∂²E

∇ ²E −

= 0 (6.30)

这即是以速度

c ² ∂t ²

c

V =

(6.31)

传播的波动方程。

问题 6.5 试对磁场推导类似的表达式

με ∂ ²H

∇ ²H = = 0 (6.32)

c² ∂t ²

特别注意在推导这结果时对ε、μ及σ所加的限制。

我们以前假定（6.3 节）空间导电率很大，而现在却又同时在方程(6.30)和(6.32)中令σ=0。这里顺便指出，这两者是不矛盾的，因为导电率与频率有关。在可见光以及甚至在射频范围内，σ通常很低。毫无疑问在可见光区电磁波的波长比电荷间距离小，波就可以有效地在真空中传播。在较长的射电波长中情况就完全变了，介质中的电荷可以对传播着的波的电场和磁场起响应，因此σ就变成有限值。当方程(6.29)右边第二项起主要作用时，表达式就变成了漫射方程形式，波就被阻尼了。

我们注意，传播的波是横波（图 6.5）。如果一个平面波传播的方向是 x 方向，那么由对称性可知，对 y 和 z 方向的所有偏微分均应为零。由散度关系知

∂E x = 0 及

∂x

∂H x

∂x

= 0 (6.33)

由旋度方程(6.22)以及(6.23)得到

图 6.5 电磁波

(a)波沿 x 方向传播，电场平面沿 y 方向极化；(b)沿 x 方向传播的圆极化波。为了简化起见这儿仅画出电场方向。E 矢量方向绕 x 轴转动。在这图中所表示的自转方向称为左旋圆极化（LHP）。任何电磁波都可以认为

是由左旋圆极化和右旋圆极化经过适当的叠加而构成。例如 LHP 波和 RHP 波以同样的振幅叠加即得平面极化波。它们相对的相位差就决定了 E 矢量所在的平面（见图 6.7）

∂E y

= − 1 ∂Hz ， ∂Hy

= 1 ∂E_z

∂x c ∂t ∂x c ∂t

∂E z

= 1 ∂H y ， ∂Hz

= − 1 ∂Ey

(6.34)

∂x c ∂t ∂x c ∂t

0 = ∂Hx ，0 = ∂E x

∂t ∂t

如果 n 是沿波传播方向的单位矢量，那么只要下面形式的表达式H=n∧E (6.35)

成立，则(6.33)及(6.34)式就均被满足了。因而 E 和 H 这两个场总是垂直的，并且波动方程(6.30)的解具有下列形式

fi=Acos(2πvt−kx)，i=y，z (6.36)

率。k 是波数——即沿波传播方向每单位长度中波的数目。fi 代表电场和磁场分量。

相速和群速

我们写出角频率分别为ω? Δω和ω+Δω的两个波 f−和 f+的传播方程：

f−=Acos[(ω? Δω)t? (k? Δk)x]

f+=Acos[(ω? Δω)t? (k? Δk)x] 这两个波的叠加给出

f=f−+f+=A｛cos[(ω? Δω)t? (k? Δk)x]+cos[(ω+Δω)t? (k+

ΔK)x]｝

f=2Acos（ωt? kx）cos[（Δω）t? （Δk）x] (6.37)

这说明存在一个载波，其频率由 cos(ωt? kx)代表，其振幅受到波cos（tΔω? xΔk)的振幅调制。载波速度称为相速，即(6.31)，由(6.36)得

V = ω

k

(6.38)

而调制速度称为群速：

U = ∂ω

∂k

(6.39)

下面将会看到，从物理上讲，量 U 是更令人感兴趣的。它代表信息传递或能量传输的速度。只要介质是纯色散性的，也即ω=ω(k)，那么对定义 U 就没有困难。但若导电率相当可观，介质具有吸收，量 A 就变成复数，U 就不再具有明显的物理意义。对长波宇宙射电波，由于有这种吸收存在，就使它不能穿透地球的电离层，因此只能从火箭或卫星上对这种长波波段的射电波进行观测、至于更长的波长时，星际介质就会对它产生吸收，因此这种波就根本不能传到地球上来。在 6.11 节中我们还要回过来再讨论这一问题。

能密度、压力和坡印廷矢量

将(6.23)式与 E 的标积减去(6.22)式与 H 的标积得

1 ∂B E ∂D 4πσE·E

c H· ∂t + c · ∂t + c

= −(H·∇∧E) + (E·∇∧H)

利用矢量恒等式

(6.40)

我们得到

∇·（A∧B） = B·∇∧A − A·∇∧B (6.41)

1 ∂ (εE² + μH ² ) = −σE² − ∇·S 8π ∂t

(6.42)

式中 S=（c/4π）E∧H。S 称为坡印廷（Poynting）矢量。如果再利用表示体积分与面积分之间关系的高斯定理(6.9)，则式(6.42)可写为

∂ εE² + μH ²

∂t 8π

dV = −∫ σE²dV − ∫ S·ds

(6.44)①

右边第一项等价于运动电荷的动能变化率。它涉及到作用在粒子上的力与粒子运动速度的标积，因为σE 代表电流，即带电粒子的流动：

∫ σE²dV→∑ev·E = ∑v· p (6.45)

这就是所有粒子总动能对时间的导数。(6.44)中另两项代表电磁能流。方程(6.44)左边是体积中能量的变化率，（εE2+μH2）/8π是场的能密度。右面第二项代表通过表面的能流，因而 S 就是电磁流量密度。方程(6.44)指出，某个体积中能量的变化率等于电荷动能变化率加上能量辐射率。

原先我们已知道，随机取向电磁波所引起的压力 P 正好是能密度数值的 1/3。在 4.7 节我们根据动力学原理求出了这一关系：

P = 1 1 (εE² + μH ² ) (6.46)

3 8π

静止场的情况是相似的，只是有一点例外，即现在的磁压力可以脱离电压力而单独存在。此时导电率σ是高的，磁场由电流σE 维持。由于电荷的流动存在一个动压力，这压力取决于σE。因为磁压力实际上是取决于磁场方向的一个张量，因此情况就更复杂了。对任何一个磁场总存在有一个沿磁力线方向的张力和一个垂直于力线的向外压力。

下面就来说明这一点。单位立方体中的磁能密度为μH2/8π。如果立方体在平行于磁力线的方向压缩一个量 dl，此时场强不变但体积减少了 dl。既然体积变小而能密度又不变，立方体中的总能量就将减小（μ H2/8π）dl，这一部分能量是在收缩时失去的。这意味着压缩立方体时做的功是? （μH2/8π）dl，也就说明沿磁力线方向有一个压力? μH2/8 π。

如果立方体在与磁力线垂直的某个方向上被压缩，该体积中的力线数不变，那么压缩Δl 后就使场强增加到 H/（1? Δl）。此时的能密度就变为～(μH2/8π)(1+2Δl)，又因体积减少到（1? Δl)，因此由压缩产生的总能量变化就是～（μH2/8π)Δl。在这种情况下，为了压缩立

方体就要作（μH2/8π)Δl 的功，而抗拒压缩的压力值是μH2/8π。当一个体积中包含有随机取向的磁力线束时，两个横向压力和一个纵向压力平均后所得到的净效应是一个向外的总压力 P=（μH2/8π)/3。

正是这个原因，使得磁场存在时恒星形成的问题产生了理论上的困难（4.18 节）。解释物质怎样沿磁力线方向的收缩比较容易，但要理解怎样才能够在垂直磁场的方向上产生物质凝聚是比较困难的。因为气体是冻结在磁力线中，而磁场的压力会抵制任何收缩。我们看到横向压力高达 H2/8π，由此可见问题的严重性。

问题 6.6 静磁场的横向压力是 Ps=H2/8π，辐射压(6.46)中磁场作

用

的部分是Pr

= 1 H ² / 8π。试问因子1 / 3的意义。3

典型的初始磁场强度可能是 10−6 高斯，因而 P 初始～10−13 达因·厘米

−2。当原恒星从～1018 厘米收缩到 1011 厘米时，若要磁力线数保持不变则需要 H∝r−2，因而 H2∝r−4。如果确是这样的话，最后的结论是原恒星竟然就要具有 108 高斯的磁场以及 1015 达因·厘米−2 的磁压力。引力太微弱了，根本不足以产生这样强的场。于是我们可以肯定的说，从这种思路去看问题总是有错误的。不管这些困难有多大，事实上恒星仍在形成。

在稀薄电离介质中波的传播

考虑一个没有电场或磁场的电离介质。设介质很稀薄，因而离子和电子间很少碰撞。当稍稍偏离平衡态时，位于电磁波中的电场就会使介质中电子相对于比电子重得多的离子而加速：

••

m r = eE(r，t) (6.47)

这里 e 及 m 为电子的电荷和质量，E 是与波相关联的电场。令波的形式为

E(r，t) = E (r)e^iωt（实部）

(6.48)

式中只考虑复数的实部。于是电子对平衡位置的位移就是

r = − e mω ²

E (6.49)

这个结果同时满足方程(6.47)及(6.48)。这种电子位移有效地建立了许多偶极子，再如 6.1 节所述，它将会产生极化场 P．如果 n 是电子数密度， 则极化场可表示为由通过介质的波所产生的单个偶极子场的总和

ne²

P = mer = − mω 2 E (6.50)

根据方程(6.10)对极化场的定义，介质的介电常数应是

ε = 1−

4πne²

mω ²

(6.51)

因为相位传播速度与频率ω处的折射率 nω=ε1/2 成反比（在处理宇宙波传播的所有问题中可令μ=1），等离子体中的相速就会大于光速！但这个速度既不传递信息也不传递能量。因此并不破坏狭义相对论。更为重要的群速总是小于光速 c 的。

如果一个波沿 x 方向在宇宙介质中传播，E 和 B 场的横向分量的形式为(6.36)：

f=f0cos（kx±ωt） (6.52)

以及

k 2c 2

ω ² = =

ε

k 2 c2

1− (4πne ² / mω ² )

(6.53)

推导中用到方程(6.51)，并要求μ=1。上式可进一步写为

4πne²

ω ² = k ²c² +

其中

4πne ²

≡ k ²c² + ω ²

m p

(6.54)

ω ≡ ( )^1/2 p m

~ 5.6×10⁴ n^1/2赫 (6.55)

称为等离子体频率。它与德拜长度 L 有关（见方程(4.156)），其关系为

(mL² / kT)^1/2 = ω⁻¹。而ω⁻¹又是速度为(kT / m)^1/2 的电子穿过德拜长度所

需要的时间。

如若ω＜ωp，k 就变为虚数，波也就不能在介质中传播。

在 6.9 节中已提到在电离层以下进行低频的射电天文观测是不可能的。当射电波的频率低于电离层的等离子体频率时它就不能再传输了。因为电离层的电子密度是不均匀的，这个等离子体频率也在变化。不过这种截止频率的典型值为 n 兆赫。

如果ω＞ωp，波就能传播。波的群速为

dω c

U = dk =

(6.56)

因此传播速度与频率有关。在关于脉冲星所发射的脉冲的传播问题中， 这种频率相关现象是重要的（He68b）*。如果所发射的脉冲包含一定范围的频率分量，那么频率越低的分量到达地球的时间延迟越长。

我们可将式(6.56)写为

c

U = (6.57)

脉冲运动一段距离 D 后到达的时间是 D/U，到达时间与频率的关系是

d(D / U)

D ω 2

~ − ^p (ω >> ω

) (6.58)

dω c ω ^{3 p}

脉冲星的观测表明，脉冲到达时间的确与频率有关，并且观测到的到达时间的延迟也的确具有式(6.58)的形式。由此我们得出结论，在等离子体频率低于辐射频率的介质中会发生时间延迟。因此，方程(6.55) 就给出了在色散介质中电子数密度的上限。但是更重要的结论是时间延迟同频率的关系直接与 Dn 正比，Dn 就是沿发射天体视线方向单位截面积上的总电子数。这个有用的关系式直接可由(6.55)及(6.58)式得出。沿视线 S 积分而得出的电子数密度称为色散量 D：

D

D ≡

0

n(s)ds = D < n >

(6.59)

如果星际介质的平均电子数密度已知，由(6.58)的色散

图 6.6 1972 年初所知道的 63 颗脉冲星的色散量与银纬关系

关系就可得出脉冲星的距离。反过来如果从其他来源得知距离 D，那么就可求得沿视线方向的 n 平均值。由这种方法求出的平均值除了包括真正的星际电子外，还包括发射区域周围的任何电子以及发射天体所贡献的那部分电子。然而脉冲星内部的色散量应当与频率无关，而星际介质产生的色散则与频率有关。根据这一点，我们就可区分这两种贡献，我们发现脉冲星本身的贡献可忽略不计。根据在距离已知的发射源的视线方向上所观测得到的色散量，求出平均电子密度约为<n>=0.03 厘米−3。这个值视不同的源而不同，它与沿视线方向的亮星、热星、电离星的数目有关。利用星际空间量值约为 0.03 厘米−3 的电子数密度平均值，我们发现近距离的脉冲星的分布与银河系较近的旋臂的距离相符合（Da69）。这些脉冲星还表现出在银道平面附近成团的趋势（图 6.6）。

在整个这一节中我们都假定离子和电子间的碰撞频率 v0 是低的。但是如果 vc 变高，由耗散引起的能量损失再不能忽略不计。这个问题将在

6.16 节中讨论。

法拉第旋转

通过波的极化平面的法拉第旋转也可以得到宇宙介质中电子数密度的信息。为了理解这个效应，我们来看一个在与磁场 B 方向垂直的平面上运动的电子。它会被(6.11)式所示的力所偏转

F = ev∧B

c

如果电子还受到电磁波的影响，那么电子还会受到波的电场 E 所施加的作用力。最后在电磁场综合影响下的回转必然同向外的离心力平衡。这三个力间的关系由式

eE ± eBωr = −mω² r (6.60) c

给出。式中 E 是垂直于磁场的电场矢量分量，当沿 B 场方向看去电子为逆时针旋转时，左端第二项就取负号。它是平行于 B 方向传播的右旋圆极化电磁波 RHP 所感应产生的运动。左旋圆极化 LHP 产生的力是+eBω r/c，它的方向与电子离开平衡位置位移的方向相同。但是应该注意，对电子而言 e 是负的。根据上式求解 r 得

e

r = − m (

1

eBω )E (6.61)

ω ² ±

mc

此时(6.50)式所示的电介质极化场就变为 P=ner，由此造成的介电常数为

4πne²

ε = 1 − mω(ω ± ω

，ωc

c

≡ eB

mc

(6.62)

式中ωc 是回转频率或回旋频率（见(6.13)式）。因为折射率ε1/2 不同， 于是左旋及右旋极化辐射在纵向磁场中穿过电离介质时的速度就不同。

如果原来的波是具有一定极化方向的平面极化波，那么极化角就可

以表达为两个振幅相同，相位差一定（比如为θ0）的圆极化波的叠加。当波传播时，因为一个波相对另一个波有延迟，因此两波间的相位差就

会发生改变，极化方向因而也就发生旋转。两个 E 矢量有时同相，其他时间就有相位差。

图 6.7 圆极化波相叠加造成平面极化辐射。时刻 t=0 时的相位差是θ0 图 6.7 表示相反转向圆极化波的两种叠加方式。左面一组θ0=180°；

右面一组θ0=90°。相应波在一个周期 P 中不同的时刻，图中画出了两个 E 矢量及它们的合成矢量。合成矢量用虚线表示。我们可以看到，相位延迟的半角定出了平面极化波的方向。但是还必须对两个 E 矢量中的一个的初始方向作出规定。例如在图 6.7 中我们取 t=0 时的左旋极化 E 矢量指向右方。

现在回过头来看传播速度和折射率。我们发现折射率 nL 及 nR 之差Δ

n 为：

n² − n² = ε − ε = 2n

∆n (6.63)

L R L R ω

记

4πne²

nω ~ 1 − 2mω2

(6.64)

这里假定 nω? 1<<1，于是就可由方程(6.5l)求出(6.64)式。再把(6.62) 介电常数代入(6.63)式得

4πne² (2ω )

mω(ω ² − ω² )

∆n = ^c

2πne²

(6.65)

2(1−

若ω>>ωc 及 ne2/mω2<<1，则

mω ² )

4πne²ω

∆n = ^c

mω³

单位时间的距离延迟为c△n / n²

(6.66)

~ c△n因而LHP波相对RHP波的相位延

迟就变为ω△n，而单位时间内极化平面就转过了这个角值的一半：

∆θ ~ ω∆n

2

(6.67)

由此，传播速度差以及极化矢量旋转率就与数密度 n 和 B 正比。当速度差一定时，相位旋转速率就与波长λ成反比，因为波长越长，两个波之间的延迟距离就越大。另一方面，根据式(6.66)，两波间的速度差与ω

^{? 3 成正比，也即与λ3 成正比。因此经过距离 D 后极化平面所转过的角度θ(D)就与λ2 正比。在观测发射极化辐射的遥远射电源时，我们就能把θ角作为波长的函数来确定。由此给出电子密度 n 和视线方向磁场分量的乘积值（假定路径长度已知)。因为旋转既有赖于一个有恰当取向的磁场又有赖于磁场所在地的区域性粒子密度，因而更确切地说旋转角θ实际上给出的是磁场强度和粒子密度的乘积沿视线方向的积分值。}

如果象有时所设想的那样，粒子和场实际不在空间相同的位置，而是物理上互相分离的，那么法拉第旋转仅能给出场强和粒子密度的下限。尽管这样，由于我们对星际介质所知甚微，因此就是这么一点信息， 在当前天体物理中也是很有意义的了。

对脉冲星来说，色散量可告诉我们关于视线方向平均电子数密度的情况（6.11 节）。于是法拉第旋转就可用来求定在视线方向上磁场强度分量的平均值。在求银河系局部磁场时就是根据这个方法（见图 9.9）。因为在这条路径上磁场方向有变化，因此由这方法仅能求得真实磁场强度的统计估值。

问题 6.7 假定磁场强度到处为 B，其方向依不同区域而随机地变化，但在长度为 L 的任一区域内方向是不变的。如果源的距离为 NL，电子数密度为 n，试根据随机游动过程证明

2πne³B

θ ~ NL( m2 c 2ω 2 )

为方便起见假定 B 总是直接指向或离开观测者。

慢运动电荷的光发射

假若使一个电荷作加速运动，它就能发出辐射。如果运动是由入射的电磁波感应产生的，我们就能发现，电荷或者带电粒子群会吸收或散射辐射能。为说明这一点，我们来考察一个与加速电荷有关的电流。这个电流将在离电荷所在位置的一定距离处感应出磁场，但磁场强度的变化与电流变化之间通常会有少量的相位差，这是因为电流强度信息从一个位置传播到另一位置时会发生时间延迟。这个信息只能以光速传播。我们暂且认为电荷和电流就是电磁场的源。如果我们应用真空中的麦克斯韦方程(6.22)及(6.23)，此时 E=D，及 H=B，再用符号 jc 表示传导电流σE，那么可得到

∇∧H = 4π j + 1 ∂E

(6.68)

c ^c c ∂t

∇∧E = − 1 ∂H

(6.69)

c ∂t

现在认为磁场是由矢势 A 产生的，而电场是由标势φ和 A 联合产生的， 那么就有

H = ∇∧A (6.70)

及

1 ∂A

E = −∇φ − c ∂t

(6.71)

这方程与上面麦克斯韦方程是一致的。再假定式

∇·A + 1 ∂φ

c ∂t

= 0 (6.72)

成立，则可得到两个分离的方程，每个方程仅依赖一个势。方程(6.72) 就称为洛伦兹条件。

问题 6.8 试直接把方程(6.70)，(6.71)及(6.72)代入麦克斯韦方程以检核上述论述的正确性。由此可得

1 ∂²A 4π

∇ ²A − = −

j (6.73)

c 2

以及

∇ ²φ − 1

c2

∂t ²

∂²φ

∂t

c c

= −4πρ

(6.74)

在虚无空间中方程(6.73)及(6.74)的右端为零；仅在电荷和电流真实所在的那些地方右端才不为零。再进一步对静止场来说，对时间的导数项也没有了，于是φ就服从(4.142)的泊松方程。这一方程在前面讨论等离子体时已用到过了。在解泊松方程时，位势是通过分布电荷的体积内的积分除以电荷到需要求势的那个位置之间的距离来表示的。鉴于这些， 我们把势写为

φ(R

，t) = 1 ρ(t − R 0 + r·n)dV (6.75)

0 ∫

0

式中 R0 是离电荷中心的距离，r·n 是电荷分布中一个点的投影距离，这距离从电荷中心出发，沿电荷中心到点 R 的连线方向量度（见图 6.8）。n 就是沿这个方向的单位矢量。方程(6.75)告诉我们，任一给定时刻的势由比这时刻早 R/c=（R0−n·r）／C 时间的电荷分布所确定。方程(6.73) 与(6.74)的相似性表明我们还可以有

A(R

，t) = 1 × j (t − R0 + r·n)dV (6.76)

0 cR ∫ c c c

图 6.8 偶极子辐射示意图。参见方程(6.85)及(6.86) 我们看到真空中的平面波服从关系式(6.35)

H=n∧E (6.35)

因而只要磁场强度是在离电荷分布很远的地方量度的，也即∇φ可以

忽略不计，那么由式(6.71)就可导得

1 •

H = c A ∧n (6.77)

现在再来求运动电荷所辐射出的能量就很容易了。从方程(6.35)及(6.43)立即可求得坡印廷矢量。

S＝ c 4π

H ² n (6.78)

对偶极子——即两个略为分开的异性电荷——这种简单辐射情况来说，我们可认为(6.76)式对电流分布的积分就等于偶极矩的变化率

1 •

A = cR d (6.79)

式中

• d

d = dt ∑er (6.80)

这里 d=∑er 是电荷分布的偶极矩；时间导数是对时间 t＇=t? （R0/c） 取的，偶极子的尺度必须小于辐射波长λ；因为此时

r·n << λ = P (6.81)

c c

且在方程(6.76)中忽略 r·n/c 项等于只忽略了比振荡周期 P 小得多的一个时间增量。从(6.77)及(6.35)两式可见，在离偶极子距离为 R0 处的场强为

H = 1

c² R

••

d ∧n

(6.82)

E = 1

c² R

••

(d ∧n)∧n

(6.83)

而包含在立体角 dΩ内的辐射强度 dI 是由坡印廷矢量在这个角度上积分而得：

dI = 1

••

∧n)² dΩ

(6.84)

4πc³ (d

再对所有的立体角 dΩ=sinθdθdφ进行积分就得

••

d2

I = ∫∫

4πc³

sin³ θdθdφ

(6.85)

2 ••

= 3c3 d

(6.86)

对相距 r 的两个异性电荷 e 及? e，其偶极知为

d＝er (6.87)

而每秒钟的总辐射能就是

••

2e² r ²

I = 3c 3 (6.88)

问题 6.9 可以把磁偶极子想象是由相距为 a 的两个假想磁荷 Q 及

? Q 组成。此时磁偶极矩应当为 M=Qa。试证明：(a)沿这一结构轴向的磁场为 H=2aQ/r3。(b)脉冲星的 r～106 厘米，ω～102，其表面磁场就是 H～ 1012 高斯。类似于方程(6.88)同样证明，当 a 与恒星自转轴垂直时，辐射强度为(Pa68)：

••

2 36 −1

I = 3c3 M ~ 10 尔格秒

(6.89)

我们还应注意，如果一个系统是由荷质比相同的带电粒子构成，则这系统就不可能有偶极子辐射。对这种系统来说电荷中心和质量中心是

••

重合的；如果质心∑mr保持不动，则导数 d 就都消失了：

•• ••

e ••

d = ∑e r = ∑ m m r = 0 (6.90)

然而对这种电荷系集，我们仍可得到电四极辐射或更高的电或磁的多极过程所产生的辐射。这一过程需要我们把原来忽略的项 r·n/c 重新引进，这时电流 jc 就用 r·n/c 的级数来表示：

j (t'+ r·n) = j (t') + ∂ ( r·n)j (t' ) + (6.91)

c c c

∂t c ^c

这里如以前一样 t′=t? R0/c。如果只保留级数的前两项，并对所有电荷

求和，由方程(6.76)得到

A = ∑ev + 1 ∂ ∑ev(r·n) (6.92)

cR 0 c R ∂t

2

式中第一项仍然是由随时间变化的偶极矩所产生。现在我们懂得，v 和 r 值都是对时间 t＇量度的，尽管为了书写方便所有的撇号都省去了。可以证明（见 La51）这就导至

•

d 1 ∂² 1 •

A = cR + 6c²R

式中

∂t ² D − cR

(M ∧n) (6.93)

M = 1

2c

∑er∧v

及 D = ∑e(3r(n·r) − nr ² ) (6.94)

分别为磁偶极矩及电四极矩。注意当所有粒子的荷质比相同时磁偶极

•

子项也消失了。这是因为角动量与M成正比，角动量守恒意味着M

=0。方程(6.93)右端第二项称为电四极项。

高阶多极项比偶极子辐射项小，因为它们明显地展开为 v/c 的级数项，而如式(6.81)所示，当系统的尺度比波长小时 v/c 是小量。

这里，经典理论中所作的种种考虑同样也适用于量子辐射理论。在量子辐射中，我们不讲运动电荷系统所产生的辐射强度，而讲辐射的发射几率。同样在荷质比并不消失的场合下，电偶极辐射的发射几率通常要比多极辐射的几率大得多。如果系统中所有构成系统的粒子具有相同的 e／m 比，则根据量子力学的选择定则，电偶极辐射是“被禁戒的”。例如在宇宙中可能有大量的星际或星系际分子氢 H2。但通过红外观测却没能满意地确证这些气体的存在，主要就是因为氢分子的对称性，迫使我们不得不去寻找那些只能由极微弱的电四极过程所产生的发射或吸收线。（紫外跃迁打破了这种对称性，因此实际上已被观测到了，见 Ca70a)。

由此附带给出一个极为重要的结论：辐射的发射就是吸收的逆过程，在一个原子系统中吸收的几率恒等于感应发射的几率（见 7.10 节）。当原子或分子受到与原子所能够发射的波的频率精确相等的光波所激发时就会发生相应的辐射，这种过程称为感应发射。我们发现，激发辐射和致激发辐射具有完全相同的性质，也就是说其光子全都属于同一相格。这种感应发射与量子力学自发发射不同，后者与吸收无直接相似性。自发发射相应于未微扰的原子或分子产生的发射，它是原子或分子不受外界影响自己发出的辐射。

同样很有意义的是，这里所给出的导至辐射过程的一般途径与引力辐射有关，如以前几节所讨论的那样，引力和静电力都随离开质量或电荷的距离平方而减小。这就使我们在处理引力辐射时能够采用多少与电磁理论相似的形式。根据这种思路得出的一个直接结果是关于预期的引力辐射强度的说明。因为一切物质的惯性质量与引力质量之比为常数， 故引力偶极辐射是不允许存在的。很微弱的四极辐射就是第一项可允许的多极发射过程。此外，在任一给定的多极水平上所能预料的辐射量也必定是很小的，道理很简单，因为引力质量与惯性质量之比值，较电荷

? 质量之比值要小得多。如果采用电子的荷质比，那么两者强度之比估

计会差约 e2/m2G～1042 倍。由此显见，只有质量很大而且加速度也很大时，才可能会有引力辐射。这就要求在宇宙中存在很密集的质量系统。我们现在正在探索寻求这种天体，看这种天体是否存在。通常双星的质量及致密程度还不够，不足以产生能测量得到的引力辐射量。但对某些致密双星，引力辐射能在 1010 年期间内对其轨道产生相当的影响(Fa71)。

问题 6.10 试利用方程(6.77)以及四极矩的表达式(6.93)求定(6.78)形

•••

式的坡印廷矢量，并证明四极辐射的辐射强度与(D)² 及C⁻⁵成正比。

三个点号表示对时间的三阶导数。

引力四极辐射的实际强度为（La51）：

•••

2

I = 45c5 D (6.95)

式中 D 是具有(6.94)形式的张量，但应以质量代替原式中的电荷 e。四极

与旋转轴垂直，则有（Ch70）

这里假定( ? 1)<<1。

如果脉冲星 a～106 厘米，M～1033 克 ～10−5 以及ω～102，那么引力辐射强度就是 3×1032 尔格·秒−1。这个值比磁偶极辐射小。但在脉冲星一生的最早期，当其旋转周期约为 1 毫秒时，由于强度依ω6 增加，此外在早期可能也还要大些，因此引力辐射可能等于甚至超过磁偶极子辐射。

除了脉冲星外，超新星、类星体及星系核可能也是引力辐射源。

无束缚电荷的光散射

当沿 z 方向运动的平面极化电磁波入射到质量为 m，电荷为 e 的带电粒子上时，粒子就要受到形式为

E=E0cos（K·r? ωt+a） (6.97)

的电场的作用。如果电场足够弱，使得它赋于电荷的速度总是小的， 即 v<<c，那么电场力 eE 就总要比作用在粒子上的力 ev∧H/c 大。这一结果从式(6.35)看是很显然的。粒子受到的加速度为

••

m r = eE (6.98)

由电荷位移产生的偶极矩 d=er 具有对时间的二阶导数

•• e2

d = m E (6.99)

现在我们知道，方程(6.84)就预示了沿 n 方向单位立体角内所散射的光强度

dI =

e4

4πm²c³

(E∧n)² dΩ

(6.100)

我们说微分散射截面为

dσ(θ，φ) = dI(θ，φ) = [ e

]² sin²θdΩ

(6.101)

S mc ²

式中θ是散射方向 n 及入射波电场方向 E 之间的夹角。而 S 由(6.43)式给出。我们看到：

1. 辐射频率不因散射而改变。(b)散射光的角分布与频率无关。

1. 总截面积与频率无关。总截面积是由 dσ（θ，φ）对一切角度θ，φ求积分而得：

π 2π

对电子而言

σ = ∫ 0 ∫ 0

8π e²

σ(θ，φ) sinθdφdθ

σe =

3 ( mc²

)² = 6.65×10⁻²⁵ 厘米²

(6.102)

这就是所谓的汤姆孙（Thomson）散射截面。

1. 微分散射截面对θ角是对称的，对称轴在θ  π 处。

2

1. 质子的σ值比电子小（mp/me)2～106 倍。

我们再考虑 E 矢量的极化对辐射的实际角分布的影响。如果原始入射在粒子上的波是无极化的，我们可得到一个散射截面，该截面与Φ无关，但与入射波方向与散射波方向间所夹的极角Θ有关（见图 6.9）。由此可知θ角必定是Φ及Θ角的函数，即

cosθ=sinΘcosΦ (6.103)

图 6.9 入射波和散射波的方向（见方程(6.101)及(6.105)） 对任一给定的Θ角就有

∴ < sin²θ >= 1 − sin² Θ < cos²Φ >= 1 −

sin ² Θ

2

1 2

= 2 (1 + cos

Θ) (6.104)

式中应用了这样一个事实，即对一切Φ角取平均值时〈cos2Φ〉=1/2。因此对非极化辐射就有

dσ =

1. e ²

2. ( mc ²

) ² (1 + cos²Θ)dΩ

(6.105)

由此得到下述重要结果

1. 对非极化辐射，散射截面在正向及后向两个方向上达到峰值，也即大部分光线是沿波原来运动方向或背离波原来的方向被散射掉了。

问题 6.11 证明作用在散射粒子上的力沿波传播方向上的分量为

F(Θ) = (1 − cosΘ)dσ S

c

并证明对—切Θ角取平均得到沿入射方向总的作用力 F 为：

F = 2

3

e2

( mc²

)² E² = σS (6.106)

c

在明亮的热星附近，上述的力可能是作用在电子上主要的力。从日

冕中射来的相当大一部分可见光看来也是由电子散射产生的。但是，黄道光，即在黄道平面上漫散射的太阳光，是由在行星轨道平面上环绕太阳转动的微小固体微粒散射出来的。黄道光一直延伸到日冕中，使日冕亮度略为增加。

现在我们同样可以来考虑谐和束缚电荷所引起的散射。这种电荷通常以自振频率ω0 振荡，而电场力则欲强使这种振子作频率为ω的振动。这种受迫振动的运动方程为

•• 2 eE

r + ω 0 r = m (6.107)

如果 E=0，即得频率为ω0 的振动。如果 E 的形式如(6.97)，则方程(6.107)的解为

eE 1

r = m (ω ² − ω ² )

及

(6.108)

•• e2

d = m E(

1 ) (6.109)

1 − (ω0 / ω )

于是（见方程(6.99)）散射截面显然就是

σ = σ 汤姆孙

(1 − ω ² / ω ² ) ²

(6.110)

当ω>>ω0 时，电子就象自由电子一样，我们再一次得到σ−σ汤姆孙。如果ω0>>ω则有

σ = 8π e⁴ ω ⁴

3 m²c⁴ ω ⁴

(6.111)

上式称为瑞利（Rayleigh）散射截面。瑞利散射造成了可见光在白天天 空的散射。此时电子紧紧地为其母分子所束缚，所以ω0 比可见光频率ω 大。蓝光的(ω/ω0)4 大约是红光的约(24)=16 倍，因而蓝光的散射更强烈。也正因为如此红光就更容易直接穿过大气而不受偏折，而蓝光则易从直线路径上散射出去，因而当我们看太阳以外的天空时，天空就呈现蓝色。

在天文学中还有一种令人感兴趣的散射情况，这就是由细小的尘埃微粒所引起的散射。对折射率为 n 的球状微粒，如果球半径 a 比波长λ 小得多，那么可以证明其散射截面是

σ = 24π³[

n² − 1

n ² + 2

V 2

]2

λ4

(6.112)

V 是体积，等于（4π/3）a3。我们看到，上式中因子λ−4 与瑞利散射有相似之处，事实上这两种散射是有关系的。由汤姆孙散射或由瑞利散射所求得的微分截面与角度的关系是完全相同的（见式(6.105)）。这类散射近似地表明了上述黄道（行星际）微粒散射的特征，因而也就说明了下一节中所要讨论的星际微粒的散射特征。

星际微粒消光

星际微粒对辐射有吸收和散射作用，因此星光不是直接到达观测者

的。我们来讨论微粒的消光（Gr68）。消光这个名词表示光线中被阻挡而到达不了观测者的那一部分。要是我们无法知道有多少辐射被散射， 有多少被吸收，那么这时消光这个名称就成了一个有用的概念。有时被散射的辐射可以在反射星云中观测到，所谓反射星云就是由亮星所照亮的尘埃微粒云。这些云的光谱与照射它的亮星的光谱极其相似。由此看来，辐射的散射部分与雪的散射极相似。从这个意义上讲，粒子基本上是白色的或灰色的。另一方面当我们观测穿过星际云的星光时，我们发现作为一阶近似，消光量是与波长λ成反比的。图 6.10 给出了有关的观测资料。λ−4 形式的散

图 6.10 星际消光曲线，它表明消光的星等是波长倒数的函数。这些资料是从英仙座ζ及ε两颗星的观测得到的，并已经过 V～0 及一个星等的消光差（B－V）的标准化。因此这曲线大致表征了通过银河平面光程约为 1 千秒差距时的消光特性（St69）

射可能是主要的散射过程；微粒大小也许大致与辐射波长相近，而微粒的大小分布可能又是如此凑巧，使得视散射截面对所有不同大小粒子积分后得出的总平均截面正好与λ−1 正比。这些想法都是很不可靠的！

根据现有观测还不清楚这些微粒代表什么样的物质。有些天体物理学家相信石墨粒子象是一种组成成分。另一些人则更倾向于认为这些粒子是冰或硅酸盐。最新的一些红外光谱观测显示在 3μ波长处有一个微弱的吸收带，这一波长相当于冰晶体可能产生吸收的位置。于是推测有这种可能性，即微粒是由覆盖在石墨核上的冰所构成：在碳星的稠密大气中石墨可能凝聚成微粒；当这些石墨微粒往外流向星际空间时，在恒星大气外层较冷的部分，水就可能冻结在它的上面。一般大家都有一种强烈的感觉，即认为星际微粒应该在宇宙中某些密度比较高的区域内形成，比如在恒星大气中，或在稠密的星云中形成。因为一般的星际介质太稀薄了，分子间简直很少有机会相撞，因而物质不可能生长成微米大小的微粒。在 9.4 节中还要进一步讨论这个问题。

还应提一下另外一个因素。至今我们讨论的都是球形纯电介质微粒。但是微粒也可能具有金属性质；于是它们就能吸收和发出辐射—— 也即它们不是单纯的散射。对金属性微粒介电常数还有虚数分量，此时我们就说是复折射率 m。这时对尺度比波长小的微粒来说，吸收就超过散射，而消光由式（Gr68）

给出。其中 是单位入射能量的总消光量，符号（IP）表示在计算时应该使用括号中的虚数部分。

当粒子的大小与被消光的辐射波长相当时，即使对球形粒子来说消光的表达式也是十分复杂的；对非球形粒子建立消光理论更是极其麻烦。

我们也许会认为星际消光仅仅是由金属性的吸收所产生的，因为如果是这样的话 1/λ的关系就可直接得到了。然而事情并不如此简单。折射率 m 和 n 是与波长有关的，而这种波长相关性由微粒的化学成分所确定。如果这些参量都可任意变动，那么 1/λ关系当然能够比较容易确立，

——但其代价是：天文学家为了说明星际微粒而造出了为数很多的理论模型。如同天文学的其他部分一样，模型数量之多正反映了不确定程度之大。

最后一点说明涉及到散射光的总体极化，这即是散射与再发射光线的差别。来自星际尘埃或拱星尘埃的热再发辐射应该是非极化的，但上 述三种过程中任何一种所散射的辐射应该是极化辐射，且可以证明极化与Θ有关

sin ²Θ

P = 1 + cos² Θ

(6.114)

此外椭长形的粒子也会引起散射光的极化。我们相信位于银道面附近的遥远恒星射向我们的光线就是由这种过程引起极化的。在 9.8 节中将讨论小微粒怎样排列才能产生一致的极化辐射。微粒和辐射的相互作用是一个复杂的课题。在参考文献（Gr68）及（vdHu57）中可找到有关的详细讨论。

等离子体辐射的吸收和发射

在 6.11 节讨论了辐射在稀薄电离介质中的传播问题。然而，在有些天体物理场合中所遇到的等离子体是稠密的，在这种等离子体中离子和电子间碰撞以比较高的频率 v0 出现。在这种意义下讲，一个介质对高频波可能是稀薄的，而对较低频率的波则可能是稠密的。这正是常见的情况。由于在这两种情况下介质的透射性的差异是如此之大，因此从同一个源接收到的辐射谱在高频和低频处也是很不一样的。通过谱的这种比较突然的变化，再加上其他的资料，我们就能够确定出碰撞频率，同时还能确定介质的密度，这一点下面还要说明。因此射电天文学就为测定星际电离气体的密度提供了极有用的手段。

为了说明所有这一切是如何发生的，我们就来考察一个电离介质， 同时定义碰撞频率 vc 为电子运动方向出现 90°偏折的频率，通常这种偏折是通过与离子的一系列小的碰撞而实现的。我们之所以选择 90°是因为电子在原先碰撞前所具有的方向动量经过 90°偏折后就完全丧失了； 也就是说，原来施加在电子上的力所产生的加速度方向通过 90°偏折后就完全失去作用了。此外我们只考虑电子与离子的碰撞，因为我们感兴趣的只是通过碰撞引起的能量耗散。当一个电子和另一个电子相撞时产生对称偶极子运动，在这种过程中没有能量辐射掉。因此电子? 电子碰撞是可以忽略的。

我们现在考虑电子被外加电场 E 加速的情况——在这里 E 是电磁波的电场分量。当粒子受电场感应而达到一定速度时，它就会受到碰撞并失去其所有的方向动量。这就表明由于电磁波穿过介质运动因此使电子产生加速，而又由于碰撞使电子造成减速。这两种作用抵消后余下的净效应就等于在电子上施加一个力，即

•• •

m r = eE(r，t) − m r vc

(6.115)

这里 m 是电子的约化质量。右端第二项表示的动量损失等于电子每出现一次碰撞时的瞬时动量 m ，或者说每单位时间间隔的损失为 m vc。以前我们形式上对 vc 作了定义，而我们的问题是要计算实际的 vc 值。然而

在求 vc 之前，我们可以先解方程(6.115)，以求得在与 vc 相应的不同频率范围内等离子体的透射性能。

我们已经看到，由电磁波传输给电子的一部分动量在碰撞中失去

了。这意味着从波传递到粒子的能量耗散掉了，既然电磁波的能量与波的振幅的平方，即与 E2 有关，因此我们可以预计，当波在介质中传播时E 会减小。于是我们就可以把形式如

E(r，t)=E0e−Kx/2cosωt (6.116)

的 E(r，t)函数应用到方程(6.115)中去，这里 K 是吸收系数。在阻尼项的指数中出现 2，是为了使得经过距离 x=1/K 后，波的能量而不是波的振幅减小为 1/e 倍。注意吸收系数的量纲总是（长度）−1。

因为波中能量的损失率是由单位体积内碰撞总数所确定的，因此我们可将方程(6.115)改写为

•• • −Kx/2

nm r + nmvc r = neE0 e cosωt

式中 n 是电子密度。

(6.117)

如果用复数场强 E 代替方程(6.117)中的实数场，那么微分方程的解就要简单得多。但是在这种情况下为了记住仅仅是方程的实部才有物理意义，我们就加上记号(RP)

•• •

nm r + nmvc r = neE0 e = neE(RP) (6.118)

问题 6.12 用代入法证明式(6.118)的一个特解为

r = −( eE 0 )e^{(iωt−Kx/2)} [ ivc + ω ] (6.119)

mω v² + ω ²

我们现在就可以把由单位体积内 n 个粒子所产生的电流写为：

•

j = ne r =

ne ²

m

[ v c − iω ]E (RP) (6.120)

v ² + ω²

如同方程(6.50)式一样，ner 为感应极化场，因而式(6.120)右端括号中第二项是感应极化电流

dP = iωP = iω ε − 1 E (RP) (6.121)

dt 4π

由于假设场的形式如(6.118)，因此这里自然就出现了虚数i，而式(6.121)则是(6.10)式这个定义的直接结果。(6.120)式括号中的实数项就是由电荷流动产生的电流σE。我们看到方程(6.120)有两个特点。右面与 vc 成正比的项代表能量耗散，因而就与吸收系数 K 直接有关。第二项与 iω成正比，依赖于介质中的介电常数，因此使波通过介质时以速度 cε−1 传播。形式上可写出

j = (σ + iω ε − 1)E (RP) (6.122) 4π

其中

ε = 1 −

4πe²n

m(ω² + v² )

e²nv

和 σ = ^c

m(ω ² + v ² )

(6.123)

如果再把虚介电常数和复介电常数写为

ε = − i4πσ 和

i ω

ε c = ε + εi

(6.124)

那么方程(6.122)就可写为纯介电性质的形式。事实上一切麦克斯韦方程都取这种形式。只要注意 j 仅在麦克斯韦微分方程组的(6.15)及(6.23) 两式中出现，也就可以直接看出这一点。对如(6.118)式那样的复数场， 传播中的波将取以下形式（见方程(6.36)）

ωε1/ 2 x

E = E expi[ωt ± ^c ] (RP) (6.125)

因而如果有

0

K = iω ε1/2

c

(RP) (6.126)

2 c ^c

则(6.118)式就会成立。我们总可将εc 写为下面形式

εc=(N+iQ)2 (6.127)

只要我们选择

ε i

= 2NQi = −( 4πσ)i

ω

及 ε = N ² − Q ²

(6.128)

那么式中 N 和 Q 就是实数。因此我们感兴趣的是量值

K = − ωQ = 4πσ

(6.129)

2 c 2Nc

事实上对射电天文中所碰到的任何情况来说有ω>>vc，ωp，故由(6.123)及(6.128)两式给出

4πσ

｜ε｜ >> ω

及 N ~ ε^1/2

(6.130)

因此在同样的近似程度下还可得

4π(e² n / mω ² )v / c

v (ω ² / ω ² ) / c

K = ^c = c p

(6.131)

式中ωp 是等离子体的频率(6.55)。

我们还需要计算碰撞频率 vc，但因大部分准备工作都已做好余下事情就简单了。每单位体积内有密度为 n 的散射中心，使粒子在平方反比律场中产生一个叠加的偏折，方程(3.72)即给出了在约化质量为μ的粒子上的这种偏折作用力。式(3.72)中的符号μ与这里的磁导率容易混淆。为避免这种混淆，我们仍用符号m 表示电子的约化质量。在方程(6.115) 中我们已定义了阻力 m v，我们现在就把它代入式(3.67)的右端。同时， 注意 是碰撞前的速度，它与式(3.67)中 v0 的作用相同，因此

mv v = m2πnv²

smax

s(1 − cos Θ)ds

(6.132)

0 c

当偏折Θ很小时有

0

min

Θ

Ze ²

1 − cosΘ ≈ 2 tan² = 1[

2

v²sm ]

(6.133)

上面近似式的后半部分是根据与方程(3.69)类似的情况得出的。但这里用库仑力代替了引力。式中 Z 是一个离子的典型电荷。由此可得

1 1 Z²e⁴

smax

vc = 4πn < >

0

< v ² > m ²

∫ smin

s⁻¹ds

= 3 n

Z2 e4

ln smax

smin

(6.134)

推导上式时利用了表达式(4.109)及(4.110)。再从(6.131)及(6.134)两式得

K(ω) =

32π 3/ 2 e6 n2 Z2

ln smax (6.135) smin

这里假定有许许多多很微弱的偏折发生，致使最小碰撞参数 s′min 也足够大，因而就使势能比动能小。特别当 Z=1 时有

2e ²

s'min >> mv2

(6.136)

星际介质中 s 很少会小于 10−2 厘米，而 2e2=5×10−19；此外在电离区域中典型的 mv2 值为 10−12 尔格。这就说明，一般说来(6.136)式是充分满足的。小碰撞参数的情况只是少有的例外。

s 的第二个下界由电子的德布罗意（de Broglie）波长λe=h/mv 所给出。当电子距离比这波长更近时，电子的性质就不再象是点电荷。因此可用 s"min＞λe/2 作下限。我们还可确定 S 的两个上界。第一，我们要求碰撞是瞬即出现的，即时间 1/ω>>s'max/v0；电场改变的时间要比电子碰撞或说电子通过最短行程所需的时间长。第二个上限是 s"max=L，L 是方程(4.156)表达的德拜长度。当距离大于 L 时，由于邻近电子的屏蔽作用，电荷效应被隔开了。对星际电离物质应用极限 s'max 及 s'min 就可写出

s' mv² v (2kT)^3/2

max = 0 0 ~

s'min

2e² ω

2e 2ωm1/2

对电离氢有 Z=1，此时完整的表达式为

K(ω) =

32π3/2

3 2

e6 n2

c(ckT) ^3/2 ω ² ln[

1.32(kT) ^3/2

e2 m1/2 ω ]

8 e⁶n² 1.32(kT)^3/2

K(v) = 3 2π c( mkT) 3/ 2 v 2 ln[ 2πe2 m1/2 v ] (6.137)

热射电源的辐射

现在来看上一节所得的结果，我们发现我们已得到了一个吸收系数K(v)，它告诉我们穿越电离介质每单位长度后的吸收量。当一束电磁波

τ(v) = ∫ K(v)dx (6.138)

如果整个区域内温度不变，而仅有密度随位置 x 而改变，那么我们有

τ(v) = F(T，v) ∫ n ²dx

(6.139)

这里函数 F 就是 K(v)/n2（见方程(6.137))，而积分

εm = ∫ n²dx =< n²

> D (6.140)

称为发射量度；它是在 D 这么一段距离上所预期的吸收和发射量的某种量度。在射电天文中习惯用厘米−3 为单位来表达电子密度 n，而所经过的路径长度 D 则用秒差距表示。因此发射量度的单位是厘米−6·秒差距。

发射量度是这样的一种量度，它告诉了我们在给定区域内沿视线方向上原子粒子互相密切接近的频繁程度。根据这种理解，某些量值，如产生某一条发射线的原子的复合数等，也应该与εm 成正比。通常对某一给定谱线 v1，其复合线强度 R1 也还是温度的已知函数。因此有

R(v1)=F1(T)εm (6.141)

由此如果我们既测得了复合线的强度——这在可见光谱部分是可能做到的，同时又测得了射电热发射，那么该区域内的发射量度和温度就都能求出。如果真能这样做的话，射电测量就最好在这样的频率上进行，使这个区域对这个频率来说光学上是薄的。这样一来由云所产生的辐射自吸收作用就可不必考虑了。

光学薄云产生自吸收的一个有趣性质是其亮度应该与频率 v 无关。这是因为如果忽略式(6.137)中对数项与频率的微弱相关性，那么吸收率K(v)与 v2 成反比。同时相应气体温度为 T 时黑体的射电波能密度在波长很长时应当为

ρ(v) ~

8πkTv²

c3 hv << kT (4.80)

因此只要区域是光学上薄的，气体区域的光学深度或有效发射率与黑体强度 I(v)=ρ(v)c/4 的乘积就与频率无关。在低频时τ(v) 1，这性质就不再满足。此时有效发射率仍保持接近于 1，而与频率有关的项仅是I(v)。因此在这种低频时，热源应该呈现与 v2 成正比的谱。

在谱的平坦部分，乘积 S(v)=τ(v)I(v)与 T−1/2εm 成正比；而这后一个乘积则可直接由测量这频率范围内任意地方的表面亮度而求得。在谱的陡峭部分，区域是不透明的。在频率 D 处测得的表面亮度仅与 T 有关（见方程(4.81)）。这两组数据放在一起就既可提供温度的信息又可提供发射量度εm 的信息。图 6.11 画出了某些很致密的电离氢区域的谱， 这些图清楚地表明我们所期望的曲线形式。

在这幅对数? 对数图上，低频部分谱的斜率的期望值是 2，高频部分是平坦的。

NGC7027 是一个行星状星云。曼兹格（Mezger）（Me68）发现其发射量度为 5.4×107 厘米−6·秒差距，温度为～1.1×

图 6.11 在致密 HII 区域若干次观测所得到的数据。

（见正文说明）（Me68）

104K（见图 6.11 的数据）。如果假定这个天体在视线方向的光学深度与观测到的直径相近，那么就可以计算出它的实际密度。曼兹格给出这天体的密度值为 n～2.3×104 厘米−3。根据密度和总体积我们还能计算出星云的质量，在本例中星云质量约为 0.25M⊙或 5×1032 克。观测得到的NGC7027 的直径约为 0.1 秒差距。

在银河平面上明亮的年轻星附近可能找到的其他一些致密 HII 区域，其温度较上述温度略为低些，而密度则几乎相同，但有时质量比上述质量要大得多——可达到几个恒星质量。我们相信这个数值就代表了星云形成大质量恒星后的残余质量。当大质量原恒星接近主星序而变亮时，它就发射出强烈的紫外辐射流，这辐射流加热了气体并使之电离。这类 HII 区域将在第九章中讨论。

同步加速辐射

当带电粒子以相对论性速度穿越磁场时，它就描述出某种螺旋运动。螺旋线的轴沿磁场方向，粒子所受到的加速是沿垂直磁力线的方向。当粒子运动时，加速度矢量的方向不断地在改变。

我们首先考虑作相对论性运动的粒子在垂直于磁场的平面上的轨道运动情况。这并不失一般性，因为沿磁力线方向的恒定速度分量并不会影响辐射率。

图 6.12 相对论性带电粒子在磁场中的轨道运动。磁力线方向从纸外指向纸面

只要我们记得力代表动量的变化率，我们就可用式(6.111)去计算粒子的偏转率。把图 6.12 中的运动方向视为 x 方向，径向代表 y 方向。在Δt0 时间内，沿 y 方向的动量变化将达

∆py

= evB ∆t

c 0

(6.142)

因为初始相对论性动量 px 为

p_x =

由此可见在Δt0 时间内的角偏转为

∆py

(5.30)

eB∆t

δ = =

x

∆t 0

= 0

m0cγ (v)

(6.143)

式中 m0 是粒子的静质量。由此得出，为了使粒子偏转一个弧度（δ=1） 所需要的时间Δt1 为：

∆t1

= m0 c γ(v) eB

(6.144)

如果用(5.40)式的m0γ(v)去代替(6.13)式中的pc/vc，则可知方程(6.13)给出的回转频率就是Δt1 的倒数。

得到粒子回转频率后，我们或许会认为问题已经完全解决了，粒子就将简单地以这个频率辐射能量。但事实并非如此。运动电荷辐射的谱的频率实际上往往比ωc 高几个量级。造成这个现象的直接原因是因为粒子所发出的辐射是高度集中在运动前进方向附近角半宽度为（由方程(5.50)可得）：

∆θ ~

= γ( v) ⁻¹

(6.145)

的窄束内。正因为如此，粒子回转运动的每一圈内除了在很短暂的时间

间隔：

∆t 2 = 2∆θ∆t 1

= 2m0 c

eB

(6.146)

内之外，在其余时间内观测者不能恰当地定向接收到粒子所发出的辐射。

但在时间间隔Δt2 所发出的辐射到达观测者所在的地方时，实际上变成了更短的时间间隔Δt。这是因为在Δt2 之初粒子发射的辐射比Δt2 之末发射的辐射需要移动更长的距离才能到达观测者，在Δt2 之末粒子离观测者当然更近些。如果粒子在Δt2 时间内移动距离为 L，那么在Δt2 之末发出的辐射将仅仅比Δt2 间隔之始发出的辐射晚一个时间Δt：

∆t ~ −( L − L) (6.147)

c v

又因

我们得到

L~v△t2 (6.148)

∆t ~ (1 − v)∆t ~

c 2

m0 c eB

v2

(1− c2 ) (6.149)

又因为对高度相对论性粒子有

v 1 v v 1 v ²

(1 − c) ~ 2 (1 + c )(1 − c) = 2 (1− c2 ) (6.150)

与△t 时间间隔成倒数关系的辐射频率就是

ω 1 eB

v −1 2

eB ε 2

_m ~ ∆t ~ m c (1 − c2 ) = γ (v) ωc = m c ( m c2 ) (6.151)

0 0 0

式中ε是粒子总能量，ε >>m0c2，ω是在磁场中运动的非相对论性粒子的辐射频率。对在磁场中运动的相对论性粒子，我们可以指望在ωm 这个频率量级上看到辐射。因（1—v2/c2）是一个很小的量，显然ωm 就要比回转频率大几个数量级

ω _m >> ω _c

eB

= m c

(6.152)

我们来总结一下：

1. 首先，我们计算在磁场中运动的粒子的轨道频率。

2. 其次，我们在观测者所在的参考系中计算粒子能够向观测者方向发出辐射的时间。

3. 最后，计算电磁波列初始和最后部分到达观测者位置所经过的时间间隔。这个时间间隔与粒子在磁场中的回转周期相比是很小的，因此与这时间间隔相应的频率ωm～1/△t

   就比这磁场中非相对论性粒子的回转频率高(ε/m0c2)2 倍。

   1. 同步加速辐射谱

对单能电子进行上面所概述的严格计算后，就可实际得出预期的同步加速辐射谱，这种谱在回转频率高谐波处排得非常致密的一组谱线。谱分布的峰值出现在频率ω=0.5ωm 处。图 6.13 表明了谱函数 p（ω/ωm）

的形状。p 的极大值是 p(0.5)=0.1。这方面的理论细节在参考文献（Gi64）

*及（Sh60）*中有讨论。

可以证明，在单位时间单位频率区间 dv 内，能量为ε的粒子的实际辐射能量为

P(v，ε)dv = P(ω，ε)2πdω =

16e³B

m c²

p(ω / ω m )dω

(6.153)

在频率很高及很低的两种极端情况下 p(ω/ωm)的渐近值为

p(ω / ω

) = 0.256(  ω )^1/3 ，ω << ω

ω m

p(ω / ω

) = 1 ( πω )^1/2 exp( − 2ω )，ω >> ω



(6.154)

^m 16 ω 3ω

m m

图 6.13 在同步加速谱中致密分布的谱线的包络线。粒子的频率ω

_m=(eB/m0c)(ε/m0c2)2。在实际情况中粒子能量可能有一定范围的变化，

因此致密分布的谱线实际上是看不见的，所能见到是连续包络线的形状

（Sh60）

问题 6.13 在 5.9 节中我们看到，只要源和观测者两者都在惯性参考系内运动，那么天体的辐射功率就与观测者的静止参考系无关。我们利用这个事实来求以同步加速辐射形式所发射的总功率，其中在计算回转电荷的发射时，应从随电荷的瞬时速度运动着的某个惯性系来观测电荷。当电荷垂直磁场运动时，如电荷总能量为ε，其总功率就是

对一个电子来说

P(ε) =

1. e⁴B²

2. m²c³

( ε )²

m c²

(6.155)

P(ε) = 1.58×10⁻¹⁵ B² (  ε )² 尔格·秒⁻¹

m c²

B² ε

= 2.48×10⁻² ( )( ) ² 电子伏特·秒⁻¹

8π m c²

注意，粗略地说 P(ω，ε)ωm 是与 P(ε)相应的，试证明上述表达式至少与表达式(6.151) ，(6.153)及(6.154)是近似一致的。并证明方程(6.153)在图 6.12 的曲线下进行数值积分后所得的结果与上面结果是相同的。

问题 6.14 蟹状星云是同步加速辐射起着重要作用的一个天体。取蟹状星云中某些明亮纤维云的磁场强度约为 10−4 高斯，证明经典运动电子应该大约在频率 300 赫处发出辐射。这个值与能量无关。反过来如果

电子能量变为 109 电子伏特，即比静质量能约大 2×103 倍，那么辐射峰

值就将出现在 600 兆赫左右。而如果能量再变为 1012 电子伏特，则辐射峰值就将出现在谱的可见光部分，即频率为 6×1014 赫的地方。

显然，观测到的谱的具体形式既要取决于辐射粒子的能谱又取决于函数 P（ν，ε）。如果我们对沿视线不同距离γ上来的辐射进行积分， 一直积到某个距离 R，那么在频率ν处合成的谱强度为

ε max R

I v dv = ∫ 0 ∫ 0

P(v，ε) n(ε，r)drdεdv

(6.156)

式中 n(ε，r)是距离 r 处能量为ε的粒子数密度。

经常遇到的情况是 n(ε)∝ε−γ，也即电子具有指数值－γ为常数的指数谱，这时强度服从正比关系 Iγ∝γ−α，这里α=（γ－1）/2，为了证明这个关系，我们从图 6.13 及(6.153)式看到，因为带宽为△v=△ ω，2π~3ωm/2π所以 P(v，ε)等于 16e3B/m0c2 乘幅度 0.1 再乘 2π。

现在我们假定每个电子把它的全部辐射功率贮存在频率ωm 处。方

程(6.151)表明ε ∝ω^1/2，因而ε^−γ ∝ω ^{−γ /2} ，以及∆ε ∝∆ω / ω^1/2，而如果

谱的形式沿积分途径不变，(6.156)式中的总辐射功率就服从正比关系：

由此得到

I(v)∆v∝ω ε^−γ ∆ε ∝ω^(1−γ)/2 ∆ω

I(v)∝v^−α ，α = (γ − 1)

2

(6.157)

(6.158)

α就称为源的谱指数。为了求出这个电子能量和电磁辐射谱之间的关系，要求源必须是光学上薄的。光学上厚的（自吸收）源在后面讨论。许多非热宇宙源 0.2 α 1.2。对河外天体谱指数可大到α=2。当频率范围低于几千兆赫时，许多类星体α＜0.5；但它们常包含光学上厚的分量。大部分射电星系α＞0.5（Co72）。某些河外源的谱如图 9.13 所示。

上述这些一般概念对银河系是符合得很好的。我们观测到一个γ～

2.6 的银河宇宙线电子谱。它是在地球的位置处所测量到的值，但电子是从很远的地方来的。同时射电波也表明有一个谱指数α～0.8 的总银河射电谱——这个观测值是符合(6.158)式的。

方程(6.158)在天体物理中具有重要意义，因为当我们观测了遥远天区来的同步射电发射后，就可利用这公式估计相对论性电子的能谱。但是射电波的总强度不仅是沿视线方向电子总数的函数，它也与产生相对论性电子辐射的区域内的磁场强度有关。另外，质子的同步加速辐射可能也是重要的（Re68b）。

问题 6.15 证明 I(ν)与 B(γ+1)/2 成正比。对随机取向的场 B2 取垂直视线方向分量的（磁场强度）2 平均值。因此

I(v)∝B(γ+1)/2v−(γ−1)/2

∝Bα+1v−α (6.159)

作为这些讨论的总结我们还应指出，同步加速发射象其他任何发射过程一样，也具有相应的吸收过程。我们相信某些强河外射电源的辐射是由同步加速发射方式产生的。然而这些源的谱却在同步加速辐射本应是具有最高发射率的地方呈现黑色。这一点可解释（见 7.10 节）为这些

源对它们自己的辐射是不透明的。图 9.13 表明许多非热源在低频处的流量就是高。另一方面在这些低频处的流量不可能超过黑体的流量

I(v)dΩ = 2kT v²dΩ

c2

(4.81)

这里温度 T 是由电子能量 kT～ε来确定的.方程(6.151)给出了ε和源的磁场 B 以及发射频率 v～ωmax/2π三者之间的关系。把由此得到的 kT 值代入(4.81)式即得

8πv⁵m³c I(v)dΩ = ( ⁰ )^1/2 dΩ

eB

它表达了根据频率ν处观测到的流量值所求得的源的磁场强度与源的角直径之间的关系。这种情况下的低频谱不再是黑体辐射谱，因为在较低的辐射频率处电子的能量减小了。实际上电子的温度ε/k 是与频率有关的。计算源的磁场所必需要的资料可用射电干涉仪（Ke71）收集到，这种具有峰值的同步加速自吸收谱正是射电源 3C147 的特征（图 9.13）。

康普顿效应和逆康普顿效应

当高能光子射到带电粒子上时，它常把动量传递给粒子，使粒子在光子原先传播的方向上获得一个冲量分量。在处理低能汤姆孙散射过程时我们是忽略这一效应的。尽管我们在讨论低能电磁辐射与带电粒子相互作用时称为汤姆孙散射，而在这里讨论高能辐射时改称为康普顿散射，但我们必须知道这两者的基本过程是完全相同的，我们在这里谈的只是它们在数学处理上的差别。而这样做正是为了便于分析在不同能量范围内的极重要的物理效应。

逆康普顿效应是与康普顿效应相应的完全类似的效应，在这个效应 中是高能粒子将动量传递给低能光子，给与它很大的动量和能量。除了观测它们的坐标系不同外，这两个过程是完全相似的。相对于高能粒子静止的观测者看来，逆康普顿效应就象是某种普通的康普顿散射过程。在他看来好象是高能光子被静止的带电粒子散射了。

正因为这种相似性，我们就只推导讨论康普顿效应所需要的表达式；然后根据坐标转换来讨论逆效应。我们要建立四个支配光子和粒子间相互作用的关系式。这里我们还须注意，在讨论康普顿效应时用光子来描述比用电磁波更方便；当然，这依旧是为了方便而已，并不表明所讨论的辐射有物理上的差别。我们须要考虑的四个因素是：

1. 质能守恒。它由式

m0c2+hv=ε+hv' (6.160)

所表达。这里 v 及 v′分别是碰撞前及碰撞后的辐射频率，m0 是静质量， ε是反冲粒子的相对论性质量能量（见图 6.14）。

1. ε与 m0 之间的关系是式(5.34)：

v2

ε = m c ² (1 −

)− 1/2

≡ m γ (v)c²

(6.161)

0 c2 0

1. 根据沿入射光子方向的动量守恒得到

hv = hv' cosθ + m γ (v) v cosφ



(6.162)

c c ⁰

1. 相应的横向动量表达式为

0 = hv' sinθ − m γ (v)v sin φ

(6.163)

c 0

这样，我们就对四个未知量ν,ν′，θ和φ建立起了四个方程式。问题 6.16 证明解这四个方程可得出表达式

c 1 h ( v'

− 1 ) =

v

1 − cosθ

m0 c

(6.164)

取辐射波长为λ=c/v，λ′=c/v′，我们得到

λ'−λ = 2λ

这里

sin² θ

c 2

(6.165)

λ ≡ h m 0c

(6.166)

称为粒子的康普顿波长。对电子而言λc=2.4×10−2 埃或 2.4×10−10 厘米。我们看到对可见光来说，当波长为 5000 埃时，波长的变化仅约为～

0.05 埃，因此这个效应几乎可忽略。这就是在汤姆孙散射中动量转移可

以忽略的原因。但是在 X 射线区域，比如当波长为 0。5 埃时，我们所遇见的效应就相当于波长的 10%；对更高能量的辐射则预期波长还能有更大的相对移动，（λ′? λ）/λ>>1。

必须用量子力学来计算康普顿散射截面，由此得知截面与入射光子的能量有关。这个截面的表达式（见图 6.15 ）称为克莱因 ? 仁科

（Klein? Nishina）公式，它是

σ = 2π ²

1 + α 2(1 + α) 1

[ − ln(1+ 2α)]

c re { α 2

1 + 2α α

1

+ 2α

ln(1 + 2α) −

1 + 3α

(1 + 2α) ²

} (6.167)

这里 re 是经典电子半径，而α是光子对电子的能量比。对电

子来说

图 6.15 康普顿和汤姆孙散射截面的比较，它是α=hv/m0c2 的函数(Já50)

e² − hv

r ≡ = 2.82×10 ¹³ 厘米，α =

e m c2

m c ²

(6.168)

当能量取两个极端时，式(6.167)的近似式为

σ L = σe

{1 − 2α + 26 α² +

5

}，α << 1，低能

(6.169)

3 1 1

σ H = 8 σe α (ln 2α + 2)，α >> 1，高能

式中

(6.170)

σ = 8π r ²

(6.171)

e 3 e

是汤姆孙散射截面。

因为散射截面与质量成反比，因此质子散射截面就要小得多。这表明康普顿散射主要是一种电子散射现象。原子也会产生散射。就同每个原子有 Z 个自由电子一样，原子散射截面正好是单个电子散射截面的 Z 倍。原子的结合能比康普顿散射中所遇到的光子能量小，电子基本上可认为是自由的。

再来看逆康普顿效应。这时是高度相对论性的电子碰撞到低能光子上，把动量传递给光子使之成为高能光子。我们可以从与电子一起运动的观测者的角度来处理这个过程。这时的观测者将看到入射辐射谱线发

生蓝移，移到（见方程(5.44)）下列波长处

λ D = λ

(6.172)

因为对原来相对电子静止不动的观测者来说这就是一个普通的康普顿过程，因此在这个参考系中散射波的波长为（见方程(6.165)）

λ' = 2λ

sin² θ + λ

c 2 D

(6.173)

当向后散射时有 sin2θ/2=1。

现在如果不从与快速电子一起运动的参考系而从静止的参考系再来观测这个波，那么向后散射光子的波长值将为

λ s ~ λ'

c − v

~ λ( c + v) + 2λc

( c − v)1/ 2

c + v

(6.174)

这是与(6.172)式相同的转换，静止观测者也看到向后散射辐射有蓝移。注意在这里的推导中所有方向性的量都省去了，因此这表达式只是在数量级上是正确的。但是显然在这个过程中光子的波长明显地缩短了，而其能量增加的倍数约为

c + v (1 + v / c) ² ε²

c − v ~ (1 − v ² / c² )

~ m 2 c4

(6.175)

式中ε是粒子的初始能量。9.10 节的讨论将表明，电子在逆康普顿散射中辐射的总功率与以同步加速辐射形式辐射的功率密切相关。总的同步加速发射与空间磁场能密度 B2/8π成正比。这两个过程的比例常数是相同的。

宇宙尺度的同步加速发射和逆康普顿效应

我们发现，大量的迹象表明，我们所观测到的许多从类星体来的辐射是与相对论性过程有关的。首先，我们发现这些能够被观测到的谱线所相应的气体温度约为 106K。这些谱线很宽，这说明存在有约 103 公里·秒

−1 的整体运动速度。这些谱线常常迅速变亮，接着流量又减小，这就表明，在规则辐射的基础上还有短期的激烈事件发生。第二，我们还要补充指出，我们观测到了很强的射电连续流，而且这些天体在可见光区域呈现蓝色。所有这些都说明了在超新星或者可能在更大的质量规模上有激烈的爆发，在这种过程中形成了相对论性粒子。

一部分能量用来产生整体运动，并使气体发生电离。另一部分能量应当在相对论性粒子中，这部分能量就能够通过同步加速发射或者逆康普顿效应产生射电辐射，或者还可能有红外、可见光、X 射线以及γ射线辐射。

例如在图 6.16 中画出了 3C273B 类星射电源的谱。该天体所发出的能量大部分在频率约为 1013 赫的远红外区。各种各样的理论对这种辐射流提出了各种不同的起源，而其中最可信的是同步加速辐射或逆康普顿效应。同步加速发射理论的主要困难是在观测中发现有起伏。一个同步加速辐射电子的寿命是（见方程(6.155)）

ε

τ ~ P(ε)

3m⁴c⁷

= 0

2εe⁴ B²

(6.176)

对 109 电子伏特的电子，当 B～10−3 高斯时，上述寿命大约为 105 年，而 B～ 10−3 的场强是与图 6.16 中的谱曲线相一致的。但是在实际上观测到的辐射强度中，可见起伏所存在的时间却大大地短于一年。还不清楚红外发射是否也有起伏；但是

图 6.16 银河中心和其他红外源的谱。注意这些谱一直从射电波段延伸到紫外区。这是最新修证的结果（Ha72），原图首先是由伯比奇

（Burbidge）和斯坦(Stein）提出（Bu70）

如果红外发射也有起伏，那么看来发出辐射的粒子一定要能够快速地把其大部分能量发射出去，而同步加速发射或逆康普顿效应也许能很好地做到这一点。

此外，还可以用逆康普顿效应来解释银河γ射线、X 射线流以及看来是从银河系外来的各向同性 X 射线流的存在。这里的想法是，由于磁场的加速作用，相对论性电子能够相当容易地产生，但是产生高能光子的方式还很不清楚，除非首先产生高能粒子，然后粒子在某个交换过程中放出能量，由此再产生高能光子。逆康普顿效应就是这种能量转换的最可能机制。银河辐射流可能就是由相对论性电子与电子源处所发出的可能光辐射流碰撞后产生的，而这里的电子源举个例来说，可以是在一次超新星爆发中出现。河外辐射流可能是由于河外电子与 3K 宇宙黑体辐射间的相互作用而造成。

有趣的是在光学上厚的同步加速发射源上可以建立起某个 1012K 的极大亮温度.在这个亮度上，由源内部发出的辐射所产生的逆康普顿散射会使相对论性电子的能量很快地降低，因而也就降低了亮温度。

切仑可夫效应

我们现在来讨论对研究宇宙线粒子来说是头等重要的一个过程，即切仑可夫（Cherenkov）效应。这个效应对研究入射粒子与地球大气的作用是重要的，而对研究宇宙线与宇宙中其他物质相互作用就不那么重要了。切仑可夫效应使宇宙线粒子减速并发出辐射，而所发出的光线就可以用来作为探测这些粒子的灵敏手段。

为了理解这个效应是如何起作用的，我们来考察一个进入地球大气的高度相对论性粒子。因为粒子从密度很低的区域进入到密度比较高的区域，粒子本身的状态就必然会发生某些相应的变化。进入上层大气的带电粒子给大气中的原子一个冲量，并使之产生辐射。这种冲量之所以产生，是因为粒子运动的速度比辐射在这种密度比较高的介质中的传播速度来得快，因而粒子产生的电场对原子来说好象是非常突然地出现的；在受干扰的原子所处的位置上产生了随时间快速变化的电场。这正是引起原子产生辐射的必要条件。相对论性粒子会通过这种方式在它所经过的路上继续影响其他原子，直到它的速度减小到等于区域性的（即所在介质的）光线传播速度为止。此时在原子周围产生的电场不再具有那种快速变化的性质，于是辐射效应也就消失了。

切仑可夫辐射和流体动力学冲击之间有许多共同之点。超声体产生声激励，同时不断损失能量，直到它减慢到区域性声速时为止；宇宙线粒子也正象超声体一样，它会不断地通过切仑可夫效应而失去能量，直

到其速度降到它所在介质中的区域性光速为止。

就象同步加速发射或任何其他的相对论性辐射效应一样，这种方式所产生的辐射也是在一个很小的角度范围内向前发射的，整个角度的大小△θ为（见方程(5.50)及图 6.17）

图 6.17 切仑可夫辐射示意图

∆θ ~ 2

只要象同步加速辐射那样来考虑问题，我们便同样可以求出辐射的到达时间。如果辐射在变得相当慢之前所穿越的介质的厚度为 d,那么波列从第一个光子到最后一个光子先后到达观测者所经历的时间为

∆ d d d v d v

t c ~ ( v − c) ~ v (1 − c) ~ 2c (1 − c2 )

这一点与方程(6.147)是类似的。而相应的频率约为

(6.177)

ω 1 2c v −1 2c ε 2

_c = ∆t ~ d (1 − c2 ) ~

d ( m c² )

(6.178)

如果在上层大气中穿越的距离约是 d～106 厘米=10 公里，所考虑的质子

能量为 3×1014 电子伏特，那么就有ε/mc2～3×105 以及ωc～6×1015 或νc～1015 赫。

在许多场合下一个高能的原宇宙线粒子通过与上层大气中原子的碰撞产生次级粒子的簇射。这些次级粒子也能产生切仑可夫辐射，其切仑可夫辐射谱峰一般不在频率ωc 附近。它更多地取决于大气中气体原子的辐射性质，因此对原粒子能量的关系相对地说就不那么密切了。

切仑可夫探测的一个有趣的性质是，它不仅可证认宇宙线粒子的存在，而且能以相当高的精度给出粒子到达的方向；其测定误差△θ是很小的。

如果γ射线的能量足够大，在它们到达地球时也可以通过切仑可夫辐射来加以探测。这种探测过程是间接的，它取决于上层大气中能量很大的次级带电粒子的形成。

附加问题 6.17 一个自转质量的能量为 Iω2/2，这里 I 是惯性矩， ω是角频率。假定能量变化率与ω的 n+1 次方正比：

•

ε = Kω ⁿ⁺¹

试证明

••

ω ω

n = •

ω2

(6.179)

对蟹状星云脉冲星我们观测到 n～2.5。试问这一结果与磁偶极子理论所预期的结果更一致还是与引力辐射所预期的结果更一致？

问题选答

1. R

= pc c = mp vp c = 10³ 厘米

^L qB qB

1 天文单位=1.5×1013 厘米mp=1.6×10−24 克νp=106 厘米·秒−1

q=4.8×10−10 静电单位B=10−6 高斯

1. 对拉莫尔半径 RL 处的圆周运动有

ε = pc vc

2

= qBvc RL

2c

(6.13)

• • 2 ω

ε = −q B πRL 2π

因为圆周运动使粒子绕磁场转ω/2π圈。

(6.16)

∴

由此知粒子的能量增加了十倍。

dε = dB

ε B

1. △V=2（7 公里·秒−1）=14 公里·秒−1

   是碰撞后给予宇宙线的速度值，它是从静止参考系来测定的。εi=γ(vi)m0c2，它是初始能量值

（εi=1010 电子伏特），这里

γ(v _i ) =

vi 是初速，

对质子来说，m0c2～109 电子伏特，因而γ(vi)～10。如果能量加倍γ(ve)～20，那末

( vi ) ² ≅ (1 − 0.01) ⇒ vi

= 1 − 0.005

c c

( vf ) ² ≅ (1 − 0.0025) ⇒ v f

= 1 − 0.00125

c c

上式中的 vf 是末速。

由此 vf—vi=(0.0037)c=1.1×103 公里·秒−1。

若 v′是—次弹跳后的速度，根据速度合成法则

现在γ由10 变为20。取平均值γ2～280，△V/γ2～14/280～0.05 公里·秒

−1。于是碰撞次数就是 2×104。

当弹跳一次的距离为 1017 厘米，速度为～3×1010 厘米·秒−1 时，能量增加一倍所需时间对质子来说约需[1017/（3×107×3×1010）]2×104～ 2×103 年。在这段时间内两块云已互相接近甚至快要碰在一起了。电子的γ值更大，在同样这段时间内能量的增加还没这么多。

6.4 ε = m c ²γ(ωr)，γ (ωr) =

在ωr=c 时粒子与场再不能共旋。

6.7 由问题(4.3)得知，步长为 L 的随机游动经 N 步后其均方根偏

离

为 NL。在每一步中法拉第旋转角由θ 1 ω / c)L∆n给出，以(6.66)

(L) = 2 (

式代入，再由(6.62)式的回转频率即可给出最后结果。

6.9 如果我们想象有一些虚假的磁荷，根据与电荷类似的情况有

Q

H = ( r − a / 2) ²

• Q

(r + a / 2) ²

2Qa 2M

= r 3 = r 3

由此 d 和 M 是类似的，用代入法即可导得(6.89)式的结果。

•

6.10 H = A ∧n 及 A = 1 ••

c 6c² R D

••

H = 1 D ∧n

6c ²R c

••

c S = 4π

H²n∝

(D)²

c5

6.13 为了证明这个结果，利用总辐射功率公式(6.86)：

•

2 ^•• 2e² p

d² = ( ) ²

3c³ 3c³ m

再由(6.13)及(5.40)可得

• eB eB ε

p = m c p _c = ( )( )

0

代入上式后可得(6.155)式结果。

6.14 B=10−4 高斯

m0 c c

v = ωc

^c 2π

eB

＝ 2πm c = 300 赫

ωm=γ2ωc=1200 兆赫（在γ＝2×103 时） 谱峰在ω=ωm/2=600 兆赫处。

ε

6.15 I(v)∆v∝∫ 0 P(ε)n(ε)dε （根据(6.156)式）

这里根据(6.155)式有

P(ε)∝ε2B2

∴ I(v)∆v∝B² ∫ ε ε²ε ^−γ dε ∝KB²ε^3−γ

但根据式(6.151)ε ∝[ ω m ]^1/2

B

∴ I(v)∆v ∝B2 B( γ −3)/2 ω( 3−γ )/2

I(v)∝B( γ +1)/2 v(1−γ)/2

6.16 将(6.162)及(6.163)两式平方相加得出

− 2h ²vv'cos θ + h² (v ² + v'² ) = m²v ²γ ²c² = m²c ⁴ (γ ² − 1)

将(6.160)式平方得

m²c⁴ (γ ² − 1) = h² (v² + v'² −2vv') + 2hm c ² (v − v' )

0 0

令这两式相等，由此得到 hvv'(1−cosθ)=(v−v')m0c2，这结果与(6.164) 式是等价的。

• •

6.17 ε = Kωⁿ⁺¹ = Iωω

• K •• K

• •• •

∴ ω =

ωⁿ ， ω =

I

nωn −1 ω

I

及ωω = nω ²

方程(6.88)及(6.96)表明，对磁偶极子 n＋1=4，对引力四极辐射 n＋1=6。因而目前的资料与磁偶极子机制符合得较好。因为脉冲星在其开始形成时可能主要是发出引力辐射，因此在这类天体刚开始形成后就有可能由观测结果得出 n=5。如果是这样的话那就应当是很有意义的了，因为这些观测能够在射频范围进行，但是它却可以给出引力辐射的证据，而引力辐射本身是难以直接观测到的。

第七章 天体物理学中的量子过程

1. 原子系统对辐射的吸收和发射

在第六章中，我们已经考虑了粒子吸收或发出辐射的一系列过程。但是，我们只是把自己限制在经典电动力学的麦克斯韦方程可以适用的范围内。在原子系统的尺度上，这些方程就不适用了。尽管电子有加速运动，它在带正电荷的原子核的束缚下也不会损失能量，而经典辐射理论预期应该有这种能量损失发生。与此相反，举个例子来说，基态氢可以在无限长的时期内处于稳定状态。还有，如果处于某种激发态的原子一旦辐射出能量并最终到达基能态，那么在每次跃迁中所放出的能量始终只能是不连续的。这一点又是同经典的预期结果不相一致。

由于对天文观测结果的解释取决于我们对原子各个能级之间所发生的跃迁的理解，因此就有必要来研究一下跃迁究竟是怎样发生的，而从中我们又能学到些什么。

在这个问题上有一点是十分重要的，那就是我们所知道的有关恒星或星系的几乎每一种知识都是通过分光观测取得的。我们关于太阳化学以及其他恒星化学组成的种种概念，全部建筑在对不同原子、离子或者分子的谱线强度的解释之上。我们对日冕中温度分布的认识，就是以所观测到的几种高度电离了的原子（特别是铁原子）的跃迁强度为基础的。我们有关太阳表面不同部位磁场分布的图象完全建立在用太阳表面的磁场来解释原子谱线的分裂现象之上。还有，我们所得到的关于太阳表面上空不同高度处的气体运动以及气体温度的知识，主要也是以光谱资料为依据的；在这项研究中，从谱线位置的少许位移，谱线的轮廓以及它们的宽度，都会提供许多我们所需要的资料。从谱线的宽度和轮廓，还可以获得有关太阳不同大气层中原子、离子或电子的密度的某些概念。

当然，对太阳来说，这些资料中有一部分是可以通过其他途径取得的，这是因为太阳离我们很近，可以很仔细地加以分辨。所以，我们就能够通过直接观测确定太阳边缘气体云的运动速度，而且我们最终也许可以借助雷达观测来进行视向速度的测定。利用雷达也许还能探测出气体的密度，而测定穿过太阳附近的宇宙射电波的色散度也可以获得许多资料。因此，为了清楚地认识太阳大气中的运动和密度状况，以经典理论为基础的直接的目视和射电观测确实是行之有效的。但是，一旦涉及到象发射线恒星或类星体这一类更为遥远的天体时，由于看来不可能对这种天体加以详细的分辨，为了取得大量的崭新的资料，我们就只能求助于对原子过程的了解，而这些原子过程则要通过分光技术来加以观测。当然，量子过程并不就囊括一切。例如，我们对类星射电源中发出同步辐射的相对论性粒子的认识，就只是建立在经典理论的基础之上。有关星际等离子体云的热射电辐射的许多现象，也可以用经典的方法来加以理解（见 6.16 节）。但是，除此之外，我们所知道的有关这些天体的几乎全部知识，都在一定的程度上同辐射的量子理论有关。

在下面几节中，我们将要介绍量子过程的知识怎样帮助我们认识有关天体物理特征的许多内容。我们力求做到只是用那些作为量子理论基础的基本条件来理解这些过程。一般情况下，这样做对那些我们所需知

道的参数来说只能得到它们的大致数值；然而尽管如此，我们还是能够对量子过程在天文学中所发挥的作用有一个正确的认识。

原子系统的量子化

对于原子那样大小的尺度来说，经典的物理学理论已经不再适用， 因而我们的许多预见就不得不加以改变。但是，有若干重要特征对于量子理论和经典理论却是共同的。具体来说，在一个封闭系统内我们发现：

1. 质能始终是守恒的。

2. 动量和角动量始终是守恒的。(c)电荷始终是守恒的。

在原子尺度上，这些守恒定律的表达形式与经典场合中有某些不同。但是，即使这些差别十分重要，我们仍然可以确信：

(d)如果把原子系统的规模不断放大，那么量子理论所预言的特性就会逼近经典物理学所推得的结果，这叫做对应原理。

与上面这些类似的特性相反，在经典和量子性能之间还存在三个主要差别：

(a′)作用量，这是一个量子化了的量，其单位是（能量×时间）或

（动量×距离）。作用量的最小单位为 。这就是说，在一个束缚原子系统内，作用量只能变化 的整数倍， 等于普朗克常数 h 除以 2π∶ ≡ h/2π。这点说明会带来许多重要的结果，其中某些内容将在本章给以介绍。

(b′)即使某个原子系统各种状态的特征作用量可以相差小于 的某个量——事实上这是不存在的，那么我们也不可能把它们区别开来。这就是海森堡测不准原理。

(c′)具有半整数自旋的两个粒子不可能有相同的性质，就是说不可能有相同的动量、位置和自旋方向。这就是泡利不相容原理（见 4.11 节）。

以上(a′)，(b′)，(c′)三点说明并不是量子力学的公理。应当说， 可以把它们看作是从某种更复杂的量子力学理论所导出的一些有用的法则，而这种复杂的量子力学理论则还可以对电子、原子以及原子核的性能作出定量的预言。

作用量的概念不如角动量概念来得熟悉，后者具有同样的单位并且用同样的方法加以量子化。因此，我们可以简要地观察一下，在原子内部角动量是怎样发生变化的。

在任意一个束缚原子系统内，角动量沿着任意给定方向——我们把这一方向选作为测量方向——的变化数值始终应该为 h，这个角动量的方向是很重要的①。因此，我们要来讨论一下测量角动量分量，这里的前提条件是我们在作每次测量时总要记着有一个确定的方向。

我们可以通过一些比较基本的概念来理解这种角动量的量子化。原子结构中所涉及到的每种基本粒子都有自己确定的测量自旋值。对电子、质子和中子来说，这一数值为± /2。因此，某个原子电子从一种自旋取向变为另一种自旋取向就相当于测量的角动量分量改变一个单位

。这种变化是很容易通过吸收或发射一个光子而产生的，这是因为光子沿着其运动方向的自旋角动量分量即为± 。由于光子自旋分量的量子

化，原子系统在角动量上的任何可能的变化都必然具有一个分量 。因为，只要通过一系列光子吸收或发射过程，或者通过电子或原子核内部的一组自旋变相跃迁，原子便可以从某一种状态转变为任何另一种不同的状态。

但是，不管怎么说，即使没有关于光子的这些说明，量子化也是原子的内禀特征。所以，我们可以肯定，如果某个原子系统具有零角动量状态，那么所有其他的状态必然具有整数值角动量分量。同样，要是最低角动量状态值为 /2，那么所有其他的状态就必然具有半整数值角动量分量（还可见 7.7 节）。

上面提到的说明(a′)，就是通过这样一条途径使我们能深入了解量子化系统的结构状况。另外，原理(b′)给我们提供了某些一般性的定量信息。让我们用这一条原理来考察一下最简单的原子——氢。这时，最低态的能量可以直接估算出来。因为，一个静电束缚原子的最小可能尺度必然通过下式与动量的不准确度联系在一起：

p2r2~<△p2><△r2>~ 2 (7.1)

这儿我们认为径向动量和径向位置的均方值等于这两个参数的不准确度。把维里定理用于受平方反比律力束缚的系统，我们就可以把某一状态的能量或者表达为质子和电子相互作用时的静电势能的一半，或者表达为该系统动能的反号(3.83)。因此，最低能态为

式中μ是电子的约化质量。这儿，在引出式(7.2)最右端部分时我们用到了方程(7.1)。从这个方程消去 r 后立即可以写出

这一均方根半径 r 被称为原子的玻尔（Bohr）半径，而ε1 则是原子的基态能量。对氢来说 Z=1，因而ε1=−13.6 电子伏特，r～5.29×10−9 厘米。这儿我们是根据静电势把电子限制在质子周围，有限体积内这样一个假设来进行推导的，并且得到了一个与测不准原理相一致的解。至于对电子绕着质子运转的可能有的轨道情况则没有作任何的假定；而且， 实际上令位置和动量的均方值等于这两个参数的不准确度的均方值这一事实本身，就意味着在整个上述的体积内都有可能找到电子，而不一定要求电子位于 r 或 p 值范围很窄的某个确定轨道内。

问题 7.1 如果我们想要把具有不同径向位置和动量的一系列状态区分开来，那么对于这些能态来说乘积 pr 就一定要相差 ；不然的话， 它们在海森堡的意义上来说是不可区分的。如设 pnrn=n ，试证明

如果原子的第n径向态的相空间体积正比于4πp² ∆p 和4πr ²∆r ，

试证明主量子数为 n 的可能状态数与 n2 成正比。我们将会看到这一结果

是非常有用的!

为了求得与量子数 n 相应的实际状态数目，我们仍然不得不援用上面说明(c′)中的泡利不相容原理。我们知道，能态 n=1 相应于在相空间中只有一个相格。因此，可能的状态只有两种，一种是核自旋与电子自旋相平行，另一种是两者为逆平行。于是利用问题(7.1)我们便知道第 n 径向态包含有 2n2 种不同的亚态，它们所具有的能量全都和这儿所考虑的近似值相同。

从这里我们知道，仅仅由最基本的概念(a′)，(b′)，(c′)就足以为我们提供有关氢和类氢原子在结构方面的许多情况，这里所谓类氢原子指的是象单次电离氦、五次电离碳或者任何别的在裸核外层只有一个电子的一类原子。

但是我们切不可认为原子结构的全部问题就可以这样简单地得到解决。我们忽略了组成原子的各个粒子自旋的全部相对论效应以及彼此之间的全部相互作用。例如，方程(7.2)就仅仅用到了牛顿力学和静电相互作用。一旦涉及到这类问题，或者涉及到粒子与各种类型的场之间的相互作用问题时，应用量子力学所提供的完整的数学结构就是十分重要的了。不过作为任何这一类结构的基础却是(a)到(d)以及(a′)到(c′)这些基本原理，因而在下面几节中我们将要多次用到它们。

问题 7.2 我们可以证明，原理(a′)～(c′)还可以用来确定原子核的大小。为了说明这一点，我们来考虑核子，也就是被短程引力势彼此束缚在一起的质子和中子。

如果 r＜r0，V=－V0；如果 r r0，V=0 (7.6) 试利用方程(7.1)证明

式中 M 是核子质量，而－εb 是每个核子的结合能，其值大致为 6 百万电子伏特。如果 V0～2εb，试证明典型的核半径约为 10−13 厘米。由此得出核子的特征相互作用截面约为 10−26 厘米 2。在介绍恒星内部核过程的第八章中，我们将会看到这一点是至关重要的。

注意，这一核半径对势与距离间的关系是不敏感的。势阱深度和结合能便决定了核的大小。

原子氢和类氢原子的光谱

有了前面一节所考虑的内容，我们就可以来讨论天文学中所观测到的原子氢光谱的某些主要特征。我们所观测到的谱线能量只是代表了原子的各个能级间的能量差，而在吸收或者发射一个光子时所发生的跃迁便是在这些能级之间进行的。

为了从某种最简单的概念开始，我们注意到(7.3)和(7.5)两式中的能量与氢的约化质量有关。因此，普通氢和氘的约化质量便稍有不同， 前者的核内仅有一个质子，而后者则包含了一个中子和一个质子。氘内的额外中子使它的核的质量为普通氢的两倍，所以氘的约化质量μD 为

μ = mem D

~ 2me mP

~ m (1 −

m

^e ) (7.8)

me + mD

me + 2m P

^e 2m

而 μP ~ me

(1 − me ) (7.9)

m

P

这儿的下标 e，D 和 P 表示电子、氘核和质子。因此，根据普通氢的谱线我们应该可以找到氘的谱线，相对而言它的能量要比前者约大 me/2mP， 即1/3700；在光谱的可见部分这就相当于谱线向波长较短的一端位移1.5埃左右。虽然这样的谱线位移可以很容易地加以确定，然而有趣的是直到目前为止尽管已经做了大量的探索工作，却一直没有在任何地方任何一个天体中找到有氘存在①。相反，地球上的氘丰富度是很容易测到的， 其大约占原子总数的 2×10−4。如果这样的丰富度存在于宇宙中的其他地方，那么氘早就应该被我们探测到了，因为已经做了大量的探索工作。氘的消声匿迹可谓是一个真正的天体演化学之谜。通常在一颗恒星诞生后不久氘就会遭到破坏（第八章），然而不知什么原因在太阳系诞生的过程中却可以形成氘。不然的话氘也许是原初就有的，而且任何氘只要参与恒星内部的循环那就会遭到破坏。如果我们星系内的全部星际物质至少经历过一次这样的循环，那么在银河一生中早期形成的行星也许就是今天可以找到有氘存在的唯一的场所了！

约化质量对于区分氢跃迁和电离氦谱线也是有用的。单次电离氦 He

Ⅱ在核的周围有一个电子，其电荷数为 Z=2。因此，由方程(7.5)可知， 任何给定状态的能量应该正好是相应的氢能量的四倍。有时候可以利用这一整数关系来对那些主量子数为 n 的跃迁进行准确的谱线能量证认， 这儿氦的主量子数为氢的两倍。但是，约化质量上的这种差异足以使这些谱线产生相当大的位移，所以在天文观测中通常就不会把这两种谱线混淆起来。然而如果我们不知道某一运动源的谱线多普勒位移，那么根据一两条谱线也许无法进行证认，在这种情况下就一定要设法寻找与氢光谱不相同的其他熟悉的原子谱线或者氦谱线，也就是寻找在奇主量子数的某一能级和 n 为偶数的某一能级之间进行的那些跃迁。

尽管我们把光谱的这种类似性好象作为一个困难问题提了出来，然而实际上它却往往很有用处。人们从事了多年的理论工作，解释了许多细节现象，从而对氢光谱有了充分的了解。因此，一旦能把复杂原子的性质同氢原子所特有的同一类性质联系起来，我们也就可以同时建立起一套完整的理论知识，而这往往又会导致我们对比较复杂的系统取得进一步的了解。

就在不多几年前，人们对氢光谱的兴趣主要还是集中在至少有一种状态的主量子数是比较低（比如说 n 5）的那些跃迁上。对于非常高的能态人们并没有太多的概念，并且始终认为在这些状态之间所出现的跃迁只会产生非常微弱的谱线。因此，当人们在射电天文领域内观测到了涉及 n=90，104，159，166 的那些状态、以及同一范围内其他许多状态的一类跃迁时就感到非常惊讶（HÖ65）。不仅如此，我们还可以由此证认出相应的氦的电离态，识别的方法同样是以约化质量差为依据。由于这些谱线的存在，使得我们可以对银河系内遥远的电离氢区进行观测。现在，要探测出在照相波段内所无法探测到的电离区是一件很容易的

事，这是因为尘埃云虽然吸收了银河系内除最近部分外的全部可见光， 但是射电波却可以畅通无阻。这些区域往往是事先知道的，因为致密的电离等离子体所发出的连续热辐射很容易给我们测到（6.16 节）。但是， 线辐射的发现可以使我们推算出该区域的视向速度，再根据较差自转模型便可推得它在星系内的距离(3.12)。

为了完整起见，我们还应该介绍一下有关氢光谱的讨论中常常用到的某些术语。涉及 n=1，2，3，4 这几个低态的跃迁分别为赖曼（Lyman） 系、巴耳末（Balmer）系、帕邢（Paschen）系和布喇开（Braoket）系的成员（见图 7.1），知道这一点是有用处的。每一种这类谱系中波长最长的谱线用α来表示；次一条谱线称为β，其余依此类推。因此，由 n=4 到 n=2 的跃迁产生巴耳末β发射线。巴耳末谱的成员有时又记作 Hα，H _β等等，赖曼谱线则记作 Lα，Lβ，⋯或 Ly? α，Ly? β⋯。

图 7.1 原子氢的能级图

在问题(7.1)中，我们证明了与氢原子的第 n 能级有关的共有 2n2 个量子态。我们还必须懂得怎样才能把这些状态彼此区分开来。

最低态或者说基态实际上是由两种不同的成分组成的，分别对应着电子自旋相对于核自旋方向的两种不同的取向。这两种结构的能量稍有不同，因此从高态到低态的跃迁可以自发产生。这种跃迁在射电天文学中占有主导的地位。它发生在频率为1420 兆赫处，相应的能量差约为 0.6

×10−6 电子伏特，或者说不到原子处于基态时结合能（～−13。6 电子伏特）的两百万分之一。人们就是根据 1420 兆赫的观测首次描绘了银河系内氢的分布图。正如上面已经说过的那样，之所以能够做到这一点是因为射电波不会被那些能吸收可见光的尘埃所吸收。有趣的是我们今天已经有了一些表明银河系内气体分布情况的颇为不错的天图，然而却没有可资比较的、能说明恒星分布情况的天图。这完全是因为恒星在波谱的射电区或远红外区所发出的辐射量还不够强。

电子和核的自旋反向时为最低能级，此时总的自旋角动量量子数F=0，而平行自旋取向时 F=1；这两种状态之间的能量差称为基态的超精细分裂（图 7.2）。这种分裂在所有的能级 n 处都存在，从而保证在任何给定能级处状态的总的多重性为 2n2。

图 7.2 说明氢原子基态超精细分裂的能级图。电子自旋和质子自旋取向相同时的状态具有稍高一些的能量

如果我们来观察一下氢原子的第一激发态 n=2，那么就会发现有两种亚能级，它们的能量刚好是很接近的。首先，同基态的情况完全一样， 这儿也有两种超精细态，在这两种状态下的电子对于原子核具有零轨道角动量.从这种状态通过放出一个光子而到达基态的跃迁是禁戒跃迁，因为在这样一种跃迁过程中原子系统的角动量必须保持不变；但是这一点不可能做到，原因是在那样的跃迁过程中光子总要带走角动量。因此， 在星际空间稀薄的电离区域中，处于 n=2 这样一种状态下的原子的寿命就可能很长。最终，原子可以通过放出两个而不是一个光子回复到基态； 但是，这种双光子衰变过程大约需要 0.1 秒时间（Sp51b），这同通常的容许跃迁大不一样，后者一般只要 10−8 秒。类似地，对亚稳态氢原子所

测得的双光子衰变时间约为 2×10−2 秒（Va70）。

我们也许还会提出这样的疑问：如果电子跃迁由从平行结构到逆平行结构的自旋变相过程所引起，那么这类跃迁中的角动量判据是否能得到满足？但是，在电子自旋和电磁辐射之间的耦合几率是很低的，它不足以使那种跃迁出现的可能性有双光子衰变那么多。

在状态 n=2 中，全部第二组能级的轨道角量子数 l 都等于 1，相应的（总角动量）2 为 l（l＋1） 2=2 2。（角动量）2 之所以不是 l2，原因在于除了对于一根（任意）选定的轴的确定角动量分量外，总还有对于两根正交轴的某个不确定的角动量分量。后者使（角动量）2 增大 l 2

（见 7.7 节）。相应于 l=1，存在三种亚能级，每一种又进而分裂为两种超精细态。其中一种亚能级对于某给定方向的角动量分量为 ，另一个沿着这一方向的分量为零，第三者则为− 。这三个分量分别以 m=1，0 和

—1 来表示。标识符 m 称为磁量子数，因为这些状态的原子在外加磁场的作用下会具有不同的能量。在没有磁场作用的情况下，这些状态之间的分裂有的可以达到 10−5 电子伏特左右。这就是所谓原子的精细结构， 图 7.3 说明了这种情况①。

图 7.3 说明氢能级为 n=2 时的精细结构的能级图。左边一栏中符号的含义如下：字母 S 和 P 分别表示总轨道角动量为 0 或 1，字母右下方的数字给出电子角动量和轨道角动量取矢量和后的合成总角动量，左上方的数字为多重项数（2S＋1），现在这儿的 S 代表总电子自旋。S 的这种双重含义有时会引起某种混淆。作为一个例子，2P3/2 态有 l=1，轨道和电子自旋是平行的，总自旋为 3/2；还有，因为单个电子的自旋值为 1/2，故左上标为 2

激发态 n=3 也具有零角动量（l=0）的一种超精细分裂亚能级。对于l=1 有三对这样的状态；而对于 l=2 则有五对，相应的磁量子数为 m=2， 1，0，−1，−2。在通常条件下，这些能级是简并的，这意味着它们的能量完全相同。然而在外加磁场的作用下，这些状态的能量会有少量的改变，如果 H 值较低，各态之间的能量差与场强 H 成正比。这种分裂称为塞曼（Zeeman）分裂。

我们可以通过下面的途径来理解塞曼分裂。电子的轨道角动量意味着存在一种回路电流，同时也就存在一个磁偶极场。这一偶极子可以同外场的方向一致、垂直或者相反，对应这三种情况原子状态的能量分别就减小、不变或者增大。

从定量上来看，电子对于核的轨道角动量产生一个磁偶极矩，其沿着磁场方向的分量为

式中μB 称为波尔磁子。因而位于磁场内的某一状态的能量就是

具有最小能量的状态其角动量与场的方向呈逆平行，就是说在这种结构中量子数 mi 具有最小值。ω L 为拉莫尔频率。ωL 应该与回转频率(6.13)

相对应，后者比ωL 大一倍：ωc=2ωL。

我们注意到磁场内磁偶极子的经典能量为 M·H。但是，如果把这个表达式引入方程(6.18)以求得与磁场方向一致的磁偶极子的能量，我们就得到

ε = M·H = e(v∧r)·H = eLH = ω_c L

(6.18a)

2c 2mc 2

这儿我们已经利用了方程(6.13)以便弄清楚经典能量与ωc 的关系。现在我们就可以看出为什么ωL 只及回转频率的一半。另一方面来说，如果我们利用式(7.11)中的拉莫尔频率，对于 mi=1 来说磁场能就变为ε−ε ₀=hvL= ωL，这个结果是同光子相类似的。

图 7.4 说明了与量子数 l=2 和 l=1 相应的能级分裂情况，并给出由这些状态间的某种跃迁所产生的谱线。

塞曼分裂为我们提供了太阳表面以及遥远恒星内部有关磁场的有用的信息。并已发现，在某些光谱型为 A 型的强磁星中，场强高于 30000 高斯。太阳总的偶极场约为一个高斯，但是局部场强的变化很大。在太阳黑子内，3×103 高斯的磁场也并不罕见。

图 7.4 因外部磁场作用而发生偏移后的能态间的跃迁。这张图既说明了角动量分量相对于作用场方向的取向，又说明了跃迁能量的变化情况。我们注意到沿着场方向的角动量分量的取值始终为 的整数倍。角动量矢的总长度为[l(l+1)]1/2，就是说不是一个整数。σ和π表示所发出的辐射的极化态（见正文）。能级间的水平距离很长，这表示在两种状态之间有很高的跃迁能

通常情况下，仅仅从光谱资料来确定磁场的强度是很困难的，因为谱线很宽，而分裂却很小，于是谱线往往就重迭在一起。但是，幸好图

1. 中用σ标记的谱线与以π标记的谱线具有不同的极化。磁强仪方法就是根据这种极化状况利用一些检偏振器来区分不同成分的谱线，其中每个检偏振器只能使具有某个确定极化方向的光线通过。于是只要对那些具有不同极化分量的谱线的中心位置进行仔细的测定，我们就能够取得状态间的能量分裂，即使这些谱线因干扰因素而被强烈增宽也没有关系。对太阳工作而言，经常用到的是铁或铬的谱线。知道了能量分裂，

   通过方程(7.11)便立即可求得 H。

星际磁场就是按类似的方法利用射电观测来加以测定的，这一技术的原理同太阳工作中所用到的原理完全一致。

由于相当多的理论取决于星际磁场的存在，因此我们在这儿要对测定磁场的唯一直接的方法加以比较详细的介绍。

在星际空间的中性氢区域内，可以利用原子氢的 21 厘米谱线来确定磁场的存在。在磁场内能级会发生分裂，从而可以出现三种不同的跃迁谱线，它们对应于△m=0，±1。沿着磁场方向来看，在频率 v=ω/2π处出现的只有两条谱线，它们分别为（参见方程(7.11)）：

v = v0

eH

± 4πmc ，

v0 = 1420兆赫 (7.12)

这两个分量是方向相反的圆极化分量（图 7.5），它们称为σ分量（图

7.4）。如果沿着垂直于磁场的方向看它们就好象是两个线极化分量，极化的方向与场的方向成直角。

图 7.5 沿磁场方向观测时，1420 兆赫氢线两个圆极化分量位置的塞曼位移

还存在一个无位移分量，即π分量，如果沿着垂直于磁场的方向来看，这一分量便出现在频率为 v0 的地方；它是线极化的，极化方向与场的方向相平行。如果沿着场力线来看的话，这个无位移分量就一点也观察不到了。

由于星际气体原子的快速运动，使得塞曼分裂的观测颇为困难。这种运动造成谱线的多普勒致宽（7.6 节）。1 公里·秒−1 的随机运动所造成的频率位移约为δv/v～3×10−6。21 厘米谱线的频率为 1420 兆赫，其相应的频移大约为 4×103 赫。作为比较，因磁场造成的频率分裂Δv 在两个σ分量之间为 2.8×106H 赫。这意味着强度约为 10−5 高斯的磁场所引起的分裂Δv 大约只有 30 赫。

通常，由于存在迭加的多普勒致宽，这种分裂几乎是不可能观测到的。但是，正如已经指出的那样，极化上的差异可以帮助我们做到这一点。谱线边缘的斜率是比较大的，因而观测谱线的边缘就可以很好地确定两个极化分量的强度差ΔI（图 7.5）。利用这种技术至少已经确定了在猎户座的某些致密星云中有强度高达 5×10−5 高斯左右的磁场存在

（Ve69）。在别的天区中磁场要比 10−5 高斯弱得多。

1. 电离氢的光谱

   1. 正离子

氢可以通过吸收一个能量在 13.6 电子伏特以上的光子而发生电离。一旦达到电子脱离质子所需要的最小能量后，剩余能量总是能够以电子和质子的平移动能形式而被吸收。这一特性对于确定非常炽热的恒星的状态是很重要的。我们决不会观测到超出电离极限——赖曼系限——的紫外光子，任何这类光子一旦它们发射出来就立刻被恒星周围的气体所吸收；而如果在那儿没有足够的气体存在，那么这种吸收也必然会在恒星和地球之间的星际空间中发生。

我们也许会以为，在这种情况下电子和质子的复合一定会再产生出紫外光子。但是，这种情况是很少见的。复合的结果往往使原子保持在它的某个激发态上，接着按级联跃迁的方式经过一些较低的激发态而到达基态。在这一过程中，产生出若干个能量较低的光子。要是在初次复合时没有发生这类能量降级，那么它通常也会在以后的某一次机会中出现。这种机会是很多的，因为对致电离辐射来说平均自由程非常之短， 所以原子发生电离的几率极大。能量略为大于电离极限时的吸收截面约为 10−15 厘米 2。因此，即使星际密度只是每立方厘米 0.1 个原子，吸收的平均自由程也只有 1016 厘米左右，与此相比典型的星际距离约在 1018

厘米以上。由于致电离光子所作的是某种随机游动，因而在通过 1018 厘

米距离的过程中它将会有 104 次机会进行电离和复合；一个致电离光子能

穿过整个 1018 厘米距离而不使任何一个氢原子发生电离的几率约为e−100。

1. 负离子

氢原子不仅可以因失去一个电子而发生电离，也可以因获得一个电子而成为负离子 H−，即氢化物离子

H+e→H−+hv (7.13)

这种离子的结构同中性氦原子有点类似，就是说它们的核都束缚着两个电子。核对第二个电子只有微弱的束缚作用，这是因为第一个电子相当有效地屏蔽了核电荷。结合能为 0.75 电子伏特，而且只存在一种束缚态。因此，从这个状态出发或者到达这一状态的全部跃迁便构成了连续光谱，也就是一个中性氢原子和一个自由电子形成的光谱（图 7.6）。

图 7.6 H−离子的能级图。这儿只有一种束缚态，结合能为 0.75 电子伏特。全部辐射跃迁或者在束缚态和具有一个自由电子的某一状态之间发生，或者在两种自由态之间进行，二者必居其一（波长 1 微米即为 10−4 厘米。）

因为 0.75 电子伏特的结合能是很低的，所以从象太阳那样的冷星所

发出的可见星光就可能被吸收掉。这种吸收一直延续到波长 1.65 微米处，因束缚? 自由跃迁所造成的吸收到这一波长处便不再发生。但是， 波长更长的吸收是可以发生的，因为 H−离子还能够有自由? 自由跃迁—

—在这种吸收中能量被转换为氢原子存在条件下非束缚电子的平动能。这种平动能的影响决不能忽视，H−离子在太阳大气内的能量传输过程中起着重要的作用（Ch58）！

我们还应该解释一下，为什么 H−居然还能存在于冷星的大气之中。造成这一现象的原因在于，象钠、钙、镁这样一类具有低电离势的金属原子，甚至在冷星星光的作用下也很容易发生电离。在这个过程中所产生的电子有一些便自行与氢原子相结合，于是就形成了 H−离子。

当然，在 H−所引起的吸收之后，接下来总是会出现再发射。所以， 下面这一点是很有趣的：我们从太阳那儿所接收到的大部分光线起因于一种连续跃迁，在这一跃迁过程中原子和电子复合而形成了氢化物离子，也就是 H−离子！

许多别的元素当然也会具有那些在天体物理学中起着重要作用的离子，它们的物理性质往往同氢所表现出来的那些典型性质相类似。

二次电离氦的物理性质同单次电离氢十分相象，唯一不同的地方是前者的核电荷较大，因而有关的跃迁能量就有所不同。正如已经说明的那样（7.3 节），单次电离氦表现出许多氢原子所具有的分光性质。但是， 在充满了自由电子的高度电离介质内，这种氦离子也会发挥类似于质子所具有的那种作用，因为这两种粒子都是单电荷粒子。

当然，分子也可以被电离，而分子离子则具有它们自己的特征光谱。

氢分子

总的说来，分子可以有三种量子化状态。第一，分子中的原子可以彼此作相对振动，在这种情况下被量子化的是振动能。第二，可能存在量子化的自转，这意味着量子化了的是角动量。第三，就象在原子中的情况一样，存在不同的量子化的电子态。

相对说来原子间的结合能是比较弱的。这就是说，把形成某个分子

的两个原子分离开来所需要的能量，通常要比使原子电离所需的能量来得小，只有某些大的碱原子所具有的致电离能才低于最高的分子结合能。与此相应，在激发振动态之间所出现的辐射跃迁的能量，就往往要比大部分原子低能级之间的跃迁能量来得低。具体来说，有关原子或分子内部的电子跃迁，或者说电子激发态之间的跃迁，出现于光谱的可见或紫外部分；振动跃迁发生在光谱的近红外部分，其波长大致在 1 到 20

微米之间；而转动跃迁则出现在λ20 微米的远红外区以及微波频谱区。

当然，这仅仅是一种经验规律，实际情况并非严格如此。我们已经知道，氢原子的电子跃迁一直可以延续到与射电波长有关的能量最低的部分，7.4 节中已经对这种情况作了讨论。但是，在通常情况下，纯振动跃迁确实不会发生在对天体物理学研究具有重要意义的那些物质的可见光谱区，而纯转动光谱也不可能出现于短于几个微米的波段。

在许多场合下，两个原子彼此间的相对振动可以作为谐振动来处理；这是量子化了的振动。图 7.7 表明了氢 H2 在分子的最低电子态中的各种能级。如果这种振动变得过分剧烈，分子就分解为两个分离的原子。分解能为 4.48 电子伏特，这个能量正好大于第十四激发振动态的能量。

图 7.7 氢分子 H2 中的振动能级，电子处于基态。平行于横轴的线段的长度和位置表示了分子内核与核之间距离的大小 d。平衡距离以 de 来表示。在连续能区以下只有 14 种振动状态，每一种状态可以分裂为若干个亚态，每一种亚态对应着不同的角动量

基态分子的能量并不为零。说得确切一点，正如在有关光子的讨论中所已经提到的那样（4.13 节），相对于零存在某个特征位移，其值大致等于基态和第一激发态之间能量差的一半。这一位移是全部振动效应所特有的。

氢分子可能是星际空间的主要成分，而且也许是银道面上暗星云的主要成分。遗憾的是我们对此却无所确知！

首先，对气体的探测是有困难的：氢是一种对称的偶极分子，而正如在 6.13 节中我们所已经看到的那样，对称结构充其量也只有当它们具有四极矩时才能发出辐射。氢确实会有这样一种矩，然而这类跃迁的跃迁几率，要比更为普遍的、非对称分子的偶极辐射的跃迁几率小好几个数量级。由于这个原因，分子氢几乎就观测不到，无论是振动光谱或是转动光谱的情况都是如此。

目前，在木星的大气中已经观测到了 H2 的振动光谱，那儿的光学深度非常之厚。但是，关于星际空间的暗区域中是否包含有分子氢的问题仍然存在着很大的疑问。通过电子容许跃迁中光的吸收已经探测到了某些 H2 的存在（Ca70），但是我们不知道银河系内 H2 的实际丰富度是多少。

在正常情况下，我们应该可望有大量的这种气体存在，因为它在低温条件下是稳定的。但是，问题在于氢很容易分解，甚至可以被那些能量还不足以使氢原子发生电离、因而没有太大阻碍就可以穿过中性原子气体的紫外光子所分解。然而，这种辐射仍然可能被星际尘粒所吸收。在暗星云内部，尘粒吸收的程度足以把紫外辐射屏蔽掉，而氢分子在那

儿也许是很丰富的。

图 7.8 振动基态 H2 的转动能级图。各个状态中两个核的自旋按两种取向交替排列：平行、同向(O)，或逆平行、反向(P)

因为直接的目视途径走不通，而我们又不知道中性分子氢的任何射

电跃迁，这就使得 H2 几乎探测不到。又由于四极辐射及吸收都很微弱， 因此振动光谱和转动光谱也就很难观测到。分子氢所具有的转动光谱主要集中在远红外区；从第一激发态跌落到最低态的跃迁（见图 7.8）相当于波长为 84 微米，即 0.084 毫米。鉴于大气对这部分光谱区的吸收非常强烈，必须从大气外进行观测才能探测到这种跃迁（He67）*。

问题 7.3 如果某粒子系统绕其自转轴的转动惯量为

I = Σ m r ²

(7.14)

j j j

试证明，只要我们所谈及的是一个经典的、刚性的非相对论性转子，那么能量和角动量之间就有以下的关系

ε = ωL = L

2 2I

(7.15)

ω是自转角频率。由此证明，由于角动量的量子化 ，每个辐射量子所带走的能量必然为

δε= ω (7.16)

在量子理论中总角动量由 [J(J+1)]1/2（见 7.7 节）给出，试证明每种状态的能量为

而在 J→J−1 跃迁中所释放出来的量子的能量为

试证明：对于高速自转的大质量天体来说，上述公式与经典公式是等效的。

问题 7.4 如果某个星际分子在同周围的气体取得热平衡（比如说T～100K）条件下所具有的转动能量为 kT（4.18 节），那么这一能量便决定了当原子重量典型值取 10−23 克、典型分子半径取 2 埃时，该分子的辐射频率范围。试利用上一个问题中所得到某些表达式来证明，辐射可望出现于远红外和亚毫米波区。

问题 7.5 如果分子同温度为 T 的气体处于热平衡状态，试确定在绕某给定自旋轴的转动惯量为 I 的分子中，转动状态为 J 的分子所能出现的几率。由此你将会相信，在冷星际云（T～100K）内的分子不可能被激发到非常高的转动状态。

问题 7.6 如果星际尘粒同周围的气体（T～100K）处于热平衡状态， 其典型半径为 10−5 厘米，典型质量为 10−15 克，试问这些微粒可能会在什么频率处向周围辐射出角动量？事实上这一过程是不可能实现的。因为，可以预料这些又小又不均匀的尘粒会具有显著的电偶极矩。但是， 观测工作只能在大气外进行，地面上的广播通讯以及星际等离子体吸收可能会妨碍这种观测工作的顺利开展。

问题 7.7 有人认为，可能会存在一些角动量很大、以至不可能收缩成为高密度状态的大质量天体。在这种情况下，天体也许会慢慢地冷却下来，永远不会变为一颗恒星，因为它的中心温度不够高，不足以维持核反应的进行。

但是，这类天体也许能够通过不断地发出圆极化辐射而失去角动量。

象这样一类天体也许还会发出引力辐射。由于引力子所带走的角动量为光子的两倍，试观察一下如果把问题(7.3)中的几个公式用于引力子，那么它们将会有哪些变化。把同样的问题用在中微子上，它所带走的角动量只是光子的一半。在通常条件下，上述任何一种情况中发射出一个量子的几率是相当小的，下面几节中有关跃迁几率的讨论将会说明这一点。如果事实上确有电磁辐射在发射出来，那么它也不会来自星际介质，因为大质量天体的预期自转频率ω总是很低的。那么为什么不会呢？对能量来说又会发生些什么呢？（Be71）

光谱线中所包含的信息

任何受激原子系统，如果没有外界的影响，那就会自发地跃迁到某种低能状态。在这一类跃迁发生之前所需经历的平均时间则随具体情况的不同而异，它同诸如状态的对称性、系统的大小等等因素有关（见 7.7 节）。如果在任意单位时间间隔内系统离开这一激发态的总的几率为 P， 那么它停留在该激发态上的总的寿命就是δt=1/P。因此，我们就不可能对状态的能量作任意高精度的测定。停留在激发态上的有限时间，意味着能量只能确定到由测不准原理所规定的精度δε

因此，跃迁谱线的固有宽度通常就不会很窄。在确定 i 和 k 两种状态之间的跃迁能量时所能达到的精度，同高、低两态的寿命都有关系，因而谱线的总的频宽δv 为这两种能级宽度之和。这一总宽度通常表以

γ称为跃迁的谱线固有宽度。

我们在 7.8 节中将要证明，自发衰变原子所发出的辐射的光谱分布或说谱线轮廓为

γ

I(ω) = I ₀ 2π (ω − ω

1

) ² + γ ² / 4

(7.21)

在频率ω0±γ/2 处强度降低到极大值的一半。

在天文学研究中，谱线固有宽度很少能直接观测到；但是实测宽度和固有宽度之间的偏差可以为我们提供大量的信息，因而列出各种谱线增宽效应对我们将是有用的。

1. 多普勒致宽

这一效应是原子或分子随机运动的结果，而我们所观测到的便是这些原子和分子所发出的辐射。如果运动速度不大，则辐射的频率位移大致与视向速度分量 vr 成正比（见方程(5.44)）：

∆ω = ω 0

v r ，v c r

<< c

(7.22)

引起多普勒致宽的可以有两类运动：云内致发射原子的热速度，以及沿视线方向重迭在一起的各个云块所特有的湍流速度，有时候这两种效应是可以分离的。

例如，我们可以观测星际钠原子对恒星辐射的吸收情况。钠对可见光谱中黄光部分的吸收是很强烈的，在 5890 和 5896 埃处有一对被称为钠 D 线的吸收谱线。要是我们在研究这些谱线时的分辨率高到可以检测出 10−6 的谱线位移，那么我们就能够鉴别出速度小到～3×104 厘米·秒

−1 的运动。这时我们所观测到的将是一系列离散状的增宽吸收线，这些谱线是由吸收了视线方向的光线的各个云块所造成的，同时还能看到对应于每一块星际云的各条谱线都有一个确定的特征宽度。这种各别的谱线宽度可能完全是由热运动造成的，也可能部分起因于每块云内尺度更小的湍流运动，至于究竟是哪一种情况我们现在还不能很快地把它弄清楚（Ho69）。

问题 7.8 如果原子的质量为 m，运动速度服从麦克斯韦? 玻耳兹曼

统计法，那么观测到某一给定视线速度v 的几率同exp（ − v² m / 2kT）

r r

成正比（见方程(4.56)）。试证明，在这样的前提条件下，多普勒致宽的谱线轮廓应该具有的形式为

I(ω)dω = I0 exp[−

mc² ( ∆ω) ²

2ω ²kT

]dω

(7.23)

再注意到问题(4.27)，从而说明谱线宽度怎样可以通过方程(7.22)直接同温度联系起来。

一般来说，因多普勒致宽所造成的半极大值宽度

δ = ω0

[ 2kT(ln2)]1./2

mc²

(7.24)

要比谱线的固有宽度γ大得多。但是，它按照指数规律下降，因此减小的速率要比谱线固有宽度快得多。所以，对非常强的谱线——比如说星际空间的赖曼α线——来说，我们观测到的谱线翼通常是由谱线固有宽度以及下面所列举的其他原因造成的（Je69）。

1. 碰撞致宽

在比较稠密的恒星大气中，处于激发态的原子或者离子常常会遭到碰撞。由于任何一次碰撞都有可能引起向低能态的跃迁，不断碰撞的结果就会使总的跃迁几率增大。因此，如果自发跃迁的几率为γ，而单位时间内引起跃迁的碰撞次数为Γ

所发射的谱线的强度分布和谱线固有轮廓的分布相同，不过γ应代之以γ+Γ。

1. 其他类型的致宽效应

相邻原子之间的相互作用还会产生其他的一些效应，这些效应可以通过电场的影响（斯塔克（Stark）效应）、原子系统间的共振耦合等途径引起能态的位移和分裂。所有这些过程都会导致谱线的增宽，不过在低密度状态下它们的效应是很小的。

问题 7.9 对于从恒星大气所得到的可见光谱来说，为了能对其中多普勒和碰撞两种效应的谱线宽度的相对重要性有一个比较明确的概念， 试证明：如果大气密度为 n，热速度为(3kT/M)1/2，碰撞截面为σ，则就有

Γ nσc

δ ω0

(7.26)

其中数值在 1 左右的因子均已略去。对于可见光ω0～1015，而碰撞截面等于原子的典型大小，即 10−16 厘米 2。在普通的恒星光球中 n<<1021 厘米

−3，由此得Γ<<δ。

选择定则

在 7.2 节中我们已经指出，原子系统与辐射之间的相互作用要服从一定的守恒定律。为了满足这些定律，必然有一些跃迁是禁戒的，而另一些则是容许的。说明容许跃迁的那些定则称为选择定则。前面我们已经看到这些定则大致是怎样得来的，这一节我们就要比较深入地来研究这个问题。

当任何两个原子系统结合而形成一个较大的系统时，它们的角动量就会相加；结果，沿着任意选定方向 z 的最终角动量 Jzf 便是沿着该方向的两个初始角动量之和。

Jzf=Jz1+Jz2 (7.27)

这儿下标 1 和 2 表示两个不同的初始系统。

由于对 z 分量作了精确的测定，这就不可能同时对横向分量也进行精确的测定，因而对 x 和 y 两个方向便不存在(7.27)这种形式的方程。无论把记号 Jzi 解释为角动量的 z 分量，或者只是把它理解为该角动量分量的量子数，上述公式都是成立的，在后一情况下量子数乘以 就表示了实际角动量分量。下面我们就把记号 Jzi 理解为量子数，这些量子数可取的值为零、半整数、或整数。

有关角动量平方的相加问题还可以补充一点说明。（角动量）2 也是一个可精确测定的量，然而它可以与 Jzi 同时加以测定。这条补充说明稍微有点复杂。尽管如此，归根结蒂它就是说（角动量）2 的容许值始终只能取以下的数值

（角动量）²

= J （J

+ 1）h² ，i = 1，2，f，

(7.28)

i i i

其中 Ji 和 Jzi 间的关系要求 Jzi 的取值为Jzi=Ji，Ji−1，Ji−2，⋯，1−Ji，−Ji (7.29)

我们说过，z 方向是可以任意选定的，让我们把这一方向选为光子趋近原子系统时的方向。在这儿所用的标记中可以令下标 1 代表光子，2 代表原子的初态，而 f 则是吸收光子后的原子的状态。于是由 z 方向的这样选择就得到

Jzf=Jz2±1 (7.30)

因为 Jz1=1。这就告诉我们，具有半整数 Jzi 值的原子系统其 Ji 值也必然是半整数，因而通过光子的吸收或者发射不可能产生 Jzi 或 Ji 为整数值的任何跃迁。同样，角动量量子数为整数的系统，在光子吸收过程中始

终将保持它所具有的那些性质。

让我们再来设法弄清楚为什么方程(7.28)会采取它所具有的特定形式。我们知道，Jzi 可取的极大值为 Ji。对于这一特定状态，方程(7.28) 说明了存在一项由横向角动量分量引起的附加角动量 Ji 2。因此，这些分量永远不会等于零，除非 Jzi 本身也为零时它们才必然为零。造成横向角动量分量附加项的原因是，测不准原理不允许同时精确地测定两个或两个以上的角动量分量。

我们注意到，如果换一种方法，则还可以用量子数 Jzf 和 Jz2 来对应

前面以 m 标记的磁量子数。这时，方程(7.30)给出了一条当光子沿磁力线方向发射时说明了Δm=±1 的选择定则，这就是为什么沿着这一方向只能观测到两条塞曼位移谱线的原因。如果发射方向与磁场相垂直，方程(7.30)仍然是正确的，但是这时 Jz2 与 m 的对应关系便不再成立。在这种情况下如果把光子划分为 Jz1=±1 的两组，也就是根据左旋或右旋极化来划分的话，那就会把不同磁能级 m 的影响混淆起来。这种情况是必然会发生的，因为当我们沿着上述方向来看的话，来自不同能级 m 的光子是一些面极化光子；正如 6.12 节中已经说明的那样，面极化光可以看作是左旋或右旋两类极化分量的某种迭加。因此，沿着与磁场相垂直的方向来看的话，即使式(7.30)仍然得到满足，Δm 可能的取值为 0 以及±1。方程(7.30)引出又一条选择定则，它是非常重要的：对于一个原子

系统来说，不可能通过吸收或发射一个光子，来实现取值为零的两种角动量状态之间的任何跃迁。我们很容易看出这一点必然是正确的。如果J2=0，那么 Jz2=0；同样如果 Jf=0，则 Jzf=0。但是根据式(7.30)这两个 z 分量不可能同时为零，因而上面所述的选择定则必然是正确的。无论所述及的是电子跃迁还是振动跃迁，这条定则绝对不可违背，它永远保持正确无误！

J=0 J=0 (7.31)

在量子力学中，象这一类的选择定则是同原子系统的对称性联系在一起的。如果系统的对称性相当复杂，那么选择定则也会相应地变得很复杂。这儿我们只是说明一两个最简单的选择关系，但是应当记着，即使表面上看来是一些比较复杂的定则，实际上就是对基本对称性的一些说明，如果我们用适当的对称性来剖析的话它就会变得比较简单。这儿所讨论的几个角动量选择定则就是建立在原子系统转动对称性的基础之上。

方程(7.31)仅仅对那些涉及到单个光子的跃迁才能成立。在极为罕见的双光子跃迁中，上述跃迁便有可能出现，这时两个光子所带走的角动量是方向相反的。这类跃迁有可能在星际空间的稀薄星云中出现，那儿，处于零角动量激发态的原子，可以毫无干扰地存在很长的一段时间

（Va70，Sp51b）。实验室系统内的压力比较高，这些激发态通常就会通过原子碰撞而变为去激发态。

角动量量子化的一个有趣的特性是，对所有的物质来说，量子化状态的存在就意味着同具有非量子化角动量的辐射之间不存在相互间的作用。因此，无论什么场，不管是电场还是磁场，弱核场还是强核场，引力场或者宇宙中可能存在的其他什么场，它们都应该同量子化了的辐射

联系在一起，它们或者具有半整数自旋角动量，或者其值为 的整数倍。例如，一旦探测到引力波并对它进行了研究之后，我们深信将会发现它们具有量子化的自旋角动量。目前预言引力波的自旋应该是 2 ，即为光子自旋的两倍（Gu54）。

吸收线和发射线的轮廓

如果我们要估计一下在一颗紫外发射星和地球之间、沿着视线方向的天然星际氢的含量，那么就需要知道赖曼α吸收线的轮廓以及它的总强度。有了这两方面的资料以后，我们就可以根据所观测到的吸收线宽度来确定氢的含量。从本质上来说，谱线强度和轮廓的计算是一个量子力学的问题。但是，我们可以用经典理论并根据谐振子模型来计算谱线的轮廓，这个模型还能给出有关谱线强度的数量级的正确估计。不过我们一定要注意，切勿以为这种经典模型是万能的，因为单是用这一模型推导不出原子系统的量子化能态。首先，我们要用一些半经典的方法来导出一个有关发射线轮廓的表达式。

我们从方程(6.88)开始，一个带电振子每秒钟所辐射出的总能量为

••

I = 2e² r ² / 3c³。我们可以看出，与这一强度相应的力为

2 e ⋅⋅⋅

F = 3 c 3 d

因为这时该力在单位时间内所做功的平均值为

(7.32)

•

< F >=<

2e ⋅⋅⋅ • 2

>=<

d • •• −

2 ••2

>= I

(7.33)

• d 3c3 d · r

3c 3 dt (d · d)

3c ³ d

• •• • ••

其中，因为在简谐运动中d 和d 为严格反相，故含有d · d 的一项便等

于零。阻尼力 F 同谐和力相比为一小量；换句话说，振荡可以延续好多个周期。因此，我们可以把运动方程写为

••

m r = −mω ² r +

2 e2 ⋅⋅⋅

3 c ³ r

(7.34)

这个方程同式(6.107)非常相象。不同的只是这儿用的是阻尼力（而不是谐和力）。因为阻尼是微弱的，运动近乎是谐运动，我们就有近似

⋅⋅⋅ •

r = −ω ² r (7.35)

于是式(7.34)可改写为

•• •

r = −ω² r − γ r

2 e²ω ²

其中 γ = ⁰ << ω

(7.36)

0

其近似解为

3 mc^{3 0}

r = r e− γt/ 2 e−iω0 t (7.37)

因为γ<<ω0。

因此振荡偶极子建立了一个以下形式的振荡场

E(t) = E e−γt /2 e −iω0 t

( RP) (7.38)

其中只有实数部分有物理意义。该场已经不是单色场，原因在于它要随时间而变化，而只有不随时间变化的振荡场才可能是严格的单色场。强度随时间的变化对频谱会有影响。既然如此，对全部频率成分取积分而得的总场为

E(t) = ∫ −∞

E(ω)e^−iωtdω

(7.39)

根据傅里叶理论中的一条定理，这一形式的积分可以变换为

E(ω) = 1 ∫ ∞

E( t)e^iωtdt

(7.40)

2π −∞

如果我们现在把场(7.38)引入这一方程，并注意到 E(t)仅对时间 t0 才有定义，那么积分是很容易的，可以得到

E(ω) = 1 E0

(RP) (7.41)

2π i(ω − ω0 ) − γ / 2

于是我们可以求得谱线强度（见图 7.9）：

I(ω) =|E(ω)|² = I

  γ 1

⁰ 2π (ω − ω )² + γ ² / 4

Γ Γ²

I(v) = I 0

( 4π2 )[( v − v 0

)² +

]⁻¹ ，γ ≡ 2πΓ

4

(7.42)

式中 I0 是整个频率空间积分后的总强度，而ω=2πv，ω0=2πv0：

∞

I 0 = ∫ −∞ I(ω)dω

∞

= ∫ −∞ I(v)dv

(7.43)

这种类型的谱线轮廓有时称为洛伦兹轮廓，而Γ和γ称为谱线固有宽 度，它是半极大值处的全频宽。迄今为止我们还没有证明吸收线和发射线具有同样的轮廓，不过这一问题将会在 7.9 节中再一次加以讨论。

图 7.9 谱线的固有宽度。曲线已标准化，使峰值强度为 2I0/πγ

（见方程(7.42)）

量子力学的跃迁几率

许多天体物理信息要根据吸收线或发射线的强度才能取得。从谱线强度可以确定辐射源内、或者沿着辐射源视线方向上的各种原子、离子或分子的密度，而不同谱线的强度之比则可以用来确定气体的激发温度

——其中需要用到萨哈方程（4.16 节）。

但是，要取得这类信息的有效形式，我们首先一定要把吸收线或发射线的强度同各类能级中原子或离子的数密度联系起来；而要做到这一点我们就必须知道系统各状态间的跃迁几率。

大体上说来，跃迁几率同三方面的因素有关：(a)原子系统的对称性质，(b)原子系统对于吸收或发射波长的相对大小，及(c)辐射场的统计性质。其中第一项因素包括 7.7 节中所讨论过的选择定则、6.13 节中关于荷质比的说明以及其他类似的一些限制。第二项因素反映了偶极辐射、四极辐射以及更高的多极辐射的相对几率，这一几率与系统的大小有关，作为一个例子，我们可以在式(6.93)中看到这一点。第三项因素就是现在所要讨论的问题，它仅仅同辐射场有关；不管所涉及的是原子系统还是核系统，对于任何一种跃迁来说这项因素的作用是完全相同的。

如果我们要计算原子系统从某个状态 i 到另一个状态 j 的跃迁几

率，那么这个几率将同光子场内发生某一变化可能取的途径的数目成正比。例如，对于在某一特定方向上极化的光子来说，发射一个径向频率为ω的光子的几率正比于（见方程(4.65a)）

ω ²dωdΩ

(2πc) ³ =

v ²dv

c 3 dΩ

(7.44)

这儿 dΩ为立体角增量。如果孤立的来考虑这一项因素，那么在ω～3× 1015 的光学区中的跃迁几率，比方说就要比ω～3×109 的射电区大得多。

方程(7.38)仅仅对光子自发发射才能成立。一般说来，发射几率与nω+1 成正比，其中 nω为每相格内已经具有表征被发射光子特性的动量和极化态的那些光子的数密度。沿着已经出现在原子附近的那些光子方向上的这种光子的优先发射称为受激发射或感应发射，它与通常的光子吸收严格反向。如果把 nω看作是原子到达高能态后每相格剩余光子的数密度，那么吸收的数目同样与 nω+1 成正比。因而我们知道每单位立体角、单位频率范围内的跃迁几率 P（ω，θ，φ）普遍地服从以下的关系式

ω2

P(ω，θ，φ)dΩdω = [n(ω，θ，φ) + 1] (2πc)3 dΩdω

(7.45)

这儿 n（ω，θ，φ），为原子系统处于高能状态时每单位频率范围内占有某一光子态的几率，而ω是平均跃迁频率。现在让我们回过头来看一下前面所提到的因素(a)和(b)。这两个因素只能用量子力学的方法来加以考虑。一般说来，这类计算的结果是一个矩阵，其元素 Uij 给出了原子系统在任意两个状态 i 和 j 之间的跃迁幅度，这两个状态间的实际跃迁几率与｜Uij｜2 成正比。

为了得到每单位立体角的跃迁几率，规定要用数字系数 2π/ 乘以乘积｜Uij｜2P（ω，θ，φ），因此

因为状态能量的范围是相当窄的，通常情况下 n（ω，θ，φ）在谱线带宽的范围内不会有显著的变化。矩阵的元素已经包括了对方程(7.45)中所显含的频率带宽的积分。因此，跃迁几率(7.46)包括了对整个频率范围ω的积分，具体说来已经考虑到了谱线中心被强烈吸收或发射的光子以及在谱线两翼不太容易吸收和发射的光子。说得更明确一点，它已经考虑到了整个谱线的轮廓(7.42)。

我们还需要建立量子力学的跃迁几率同方程(6.86)之间的关系，后者表示了振荡偶极子所吸收的强度 I，它是由偶极矩 d 对时间取二阶导数求得的

2

I = 3c3

••

d ² =

••

2e² r ²

3c³

(6.86)

因为 r 与时间有关(7.37)，方程(6.86)很容易改写为

2e²ω⁴

I = < r ² >=

3c³

32π⁴

3c³

e²v ⁴ < r ² >

(7.47)

这儿括号＜＞表示对时间取平均。强度 I 与量子力学中的自发跃迁几率有关；因此，如果要同式(7.47)加以比较，我们就必须在方程(7.46)中令 n=0。在偶极近似中，矩阵元素 Uab 的贡献是：

｜Uab｜2=2π ωabe2｜rab｜2sin2θdΩ (7.48)

这儿已经对各种可能的极化方向进行了积分，e2｜rab｜2 的物理意义将在下面加以讨论。在现在的情况下总强度由跃迁几率(7.46)和光子能量ωab 的乘积给出

其中θ表示矢量 r 和所发出辐射的传播方向之间的交角。对全部发射角进行积分后我们便得到自发发射的辐射的总强度为

4 e²

I =

ω ⁴ ｜r

｜ ² =

64 e ²

π⁴ v⁴ ｜r ｜ ²

(7.50)

3 c ³

ab ab

3 c³

ab ab

我们看到，用量子力学方法所得到的公式几乎同经典表达式一模一样。如果要得到完全一致的形式，只需用 2｜rab｜2 取代时间平均值＜r2＞。这个关系是和对应原理相一致的。但是，我们要注意的是量子力学中的e2｜rab｜2 并不与均方偶极矩相严格对应。对于原子系统的每一个个别的状态 a 或者 b 来说，偶极矩应当分别由有关矩阵对角线元素 eraa 或 erbb 的表达式来给出。而量 erab 的情况则不然，由它所代表的性质要同时受到系统的初态和终态两者的影响，它们没有任何与之相严格对应的经典物理量，因而我们就无须为方程(7.51)中所出现的系数 2 而感到奇怪。事实上我们也没有理由要求经典形式同量子力学的形式完全一致。在解释跃迁的不连续性问题上，辐射的量子理论毕竟是比经典结果前进了一步。因此，在某些基本形式上，量子理论的结果必然同经典理论会有所不同。

迄今为止我们所得到的仅仅是一种形式上的解，我们还不能利用它来估算发射线或吸收线的强度。不过，我们还是可以利用方程(7.36)来达到这个目的。我们注意到γ−1 是一个不随时间而变的常数，因而只要取γ这个量就可以等效于某种跃迁几率。所以，只要使γ的数值等于跃迁几率(7.46)，我们就可以估算 Uab 以及辐射的某种吸收截面。我们写出

对于自发发射来说，可以令 n（ω，θ，φ）等于零。这儿所用的γ值当然是根据偶极辐射体模型导出来的。因而，对方程(7.51)右端的积分就会包含有用经典表达式(6.85)计算时已经出现过的同一个系数 2/3

∫ ｜Uab

这儿

｜²dΩ = 2 ｜U

3

｜ ² 4π (7.52)

对我们来说，利用这个结果就可以求得原子系统对辐射的吸收截面。设这一截面为

σ = ∫σ(ω)dω

(7.54)

再假定在原子系统周围的是密度为 n′（ω，θ，φ）的各向同性的光子气体，于是被吸收的光子总数可以表达为

上式的左边表示单位时间内该截面积所截得的某连续光谱中、每单位频率范围内的光子数目，而右边则给出吸收一个光子的几率；这与式(7.46) 所表示的意义是一样的。如果我们还是遵循这样的做法，即用 n（ω，θ， φ）表示原子系统在高能态时所占有的那些光子态的比例，那么就可以在方程(7.55)中把光子的密度消去。因为我们用 n′表示吸收之前、也就是原子系统还处于它的低能态时所存在的光子的数密度，故显然有

ω 2

n' (ω，θ，φ) = [n(ω，θ，φ) + 1] ^ab

(2πc) ³

(7.56)

因子ω² / (2πc)³ 的出现是因为n是每相格的数密度，而n′为三维空间

中每单位体积的密度。

于是从(7.53)和(7.55)两式就得到

2π ²e ²

σ = = 2π²r c

(7.57)

mc ^e

式中

e2

re ≡ mc2

(6.168)

如果我们对方程(6.107)进行修正，使之包括辐射反作用力（见方程(7.32)），

2 e2 ⋅⋅⋅

F 辐 射 = 3 c3 r

(7.58)

那么截面积(7.57)就同经典方法所得到的数值完全一致了，这里的 F 辐射

代表由于辐射存在而对运动电荷所产生的力。

现在我们把一系列应当注意的地方依次说明如下：

1. 这儿所得到的截面仅仅对那些完全可以用一个带电振荡偶极子来代表的原子系统才能成立。我们必须特别强调这一点！每种原子或分子都有它自己的结构，因而也就按其自己的方式同光子相互作用。但是， 许多原子系统所共有的一个基本特性就是电子被束缚在原子核或核心的周围。这时，处于某种稳定量子态的电子就会反抗外加电磁场迫使它离开平衡位置的作用，或者说得更确切一些就是会反抗外场迫使它离开原子系统内的平衡轨道分布的作用。

从这一点来说，电子就好象被束缚在大质量核的周围在作谐运动， 这就证实了可以用经典的偶极近似作为量子处理的先导。然而，只是对那些具有某种偶极矩的原子或分子，并且当波长比原子尺度大时才能这样做。因此，经典辐射体所有的那些限制在量子范围内同样也是成立的。这一点在 6.13 节中指出过，但是也许值得在这里再提一次。

1. 任何一个原子的性能都不会同经典谐振子完全相同，因此，它的截面也就不会精确地等于式(7.57)所给出的值。我们可以定义一个振子强度 f，用它来表示给定谱线的实际吸收强度，f 以 2π2e2(mc)−1 为单位。f=1 就表示吸收等于经典偶极子的吸收。

2. 正如在方程(7.54)中已经注意到的那样，原子系统的截面是随频率而变的。如前所述，频率的分布具有方程(7.42)所示的形式。

问题 7.10 如果吸收截面为

σab (ω) =

2πe²

mc f ab (ω − ω

γ / 2

) ² + (γ / 2) ²

2πe² Γ Γ γ

σab

1. =

mc f

ab 2

[( v − v

) ² + ( ) ² ]⁻¹，Γ =

^ab 2 2π

(7.59)

证明就上式对全部频率积分后所得到的结果等于式(7.57)所求得的总截面乘以振子强度 fab。

1. 吸收和发射截面的一致性已经包含在方程(7.46)所取的形式之中，这一点无论对吸收量还是对它的谱分布来说都是如此。如果任何辐射场都完全不存在，即 n（ω，θ，φ）=0，我们仍然有真空场或说零能级光子族存在；而这个场就会引起辐射的自发发射，关于这一点将在 7.10 节作比较详细的讨论。

2. 吸收截面的大小与不同种类的跃迁有关，这一点也是很有意义的。对应于单位振子强度的吸收截面(7.57)为σ～0.17 厘米 2·秒−1，如果把这个数字乘以单位频率间隔内的辐射流，就得到原子所吸收的总辐 射量。有时候知道谱线中心的极大吸收是有用的，因而峰值吸收截面是一个应该知道的有用的量。

问题 7.11 试证明极大吸收截面的大小为σ(ωab)=（3λ2/2π） fab，所以对于 fab～1 来说，共振时原子的视大小大约比波长λ的平方小一半。

问题 7.12 试问，在发射线或吸收线中，处于谱线固有宽度所确定的带宽γ内的辐射量，在总辐射中所占的比例是多少？

问题 7.13 证明厘米·克·秒制单位内的自发跃迁几率大致为γ～

(5λ2)−1。因此，对可见光来说其值为 108 秒−1。

从另一个不同的角度来说，我们可以用式(7.50)把跃迁几率ω写为

这儿为了大致估计辐射频率ωab ，我们已用到了有关类氢原子的方程(7.3)，并且令波尔半径(7.4)等于｜rab｜。这时，对于精细结构常数

我们取到三次幂，它出现于方程(7.60)的最后一部分中。可见辐射的跃迁几率约为 108 秒−1，与此相应，我们从式(7.60)可以知道，X 射线的跃迁几率应为～1011 秒−1，γ辐射为～1014 秒−1，而射电波的跃迁几率则 104

秒−1。有趣的是式（7—60）与致发射粒子的质量无关，它不一定就是电子，也可以是离子。自然，状态的寿命恰好就是辐射几率的倒数。

振子强度的量值可以有很大的变化，对于氢赖曼系我们有以下的数值：Lα(0.42)，Lβ(0.08)，Lγ(0.03)，Lδ(0.01)等等。f 偶而可以稍大于 1，而在另一个极端有时也可能出现 f 为 10−10 甚至更小。因此，必须针对任何给定的原子或分子具体计算它们的振子强度，这一强度与原子系统的结构特性是很有关系的。

在某个原子或分子内，不同跃迁的 f 值是不独立的。具体来说，给定一个原子，它的强吸收或发射谱线的数目不可能有任意多条：如果我们把原子或离子内各种可能状态之间能够发生的全部跃迁的 f 值相加， 那么其结果应该等于原子内电子的总数。如果原子对内层电子的束缚作用非常强，那么 f 值之和应该等于受核束缚较弱的价电子的数目。这就是托马斯? 库恩（Thomas? Kuhn）求和定则（A163）*。对氢来说，所有 f 值之和应该等于 1。

问题 7.14 许多年来，天文学家们相信原子会受到太阳光的斥力作用，其程度足以形成我们所观测到的很长的彗尾。

对于一个小分子来说，设它的振子强度 f=1，质量 m=5×10−23 克，试计算太阳辐射斥力与引力之比值。就彗尾而言，与所观测到的斥力加速度相当的有效比值约为 102～103。假定全部阳光大致上平均分布在 4× 10−5 到 7×10−5 厘米波长范围之间，试问阳光的辐射作用是否有可能产生这么大的斥力？

现在，人们认为造成彗尾结构的加速度的主要原因是磁流力；但是， 辐射压在彗尾的形成过程中仍然可能起着一定的作用。目前，用任何一种理论来解释都存在一定的困难。

(b)无偶极矩的原子系统充其量也只是通过四极辐射或磁偶极辐射来实现跃迁。这类过程的跃迁几率大约要小(r/λ)2 倍，这儿 r 是原子系统的典型尺度。这一点同我们在 6.13 节中所看到的是一致的，因为 r/ λ～rω/c～v/c。从式(7.60)我们又知道，对原子来说（rω/c）2 ～

（1/137）2。我们发现磁偶极子辐射和四极辐射的实际跃迁几率分别约为 103 秒−1 及 1 秒−1(He50)*，这同上述估计大体上是符合的。

受激发射、相干过程及黑体辐射

受激发射并不是同我们在第六章中讨论过的那些过程（比如说电偶极子、四极子或同步加速发射）具有相同意义的一种机制，这种过程需要通过上述任何一种机制的帮助才能发挥作用。一旦频率为 v=ε/h 的电磁波冲击到一个处于激发态的粒子，而该粒子的能量又要比另外某个状态高ε，这时就可能发生受激发射。

因此，频率为 v 的电磁波或光子可以激发或感应某种附加光子的发射，后者的极化、传播方向以及频率都与致激发光子的相应量严格相同。从 4.11 和 4.13 两节中已经讨论过的意义上来说，这种新生成的光子的特征同致激发光子是无法加以区别的，因而我们称这类辐射为相干辐射。

让我们先来说明受激发射（有时称为感应发射）在黑体发射过程中所起的作用。同样，黑体辐射也不是一种机制。这是与辐射机制的存在

有关的一种过程，而我们可以通过各种各样不同的机制得到黑体谱。也正因为这个原因，对天体物理辐射源的特征黑体谱的形状的分析，只能告诉我们有关该辐射源的表面温度的某些信息，至于实际上造成所观测到的辐射情况的物理过程，从这种分析是无从知道的。

黑体辐射总是一系列发射和吸收过程的综合结果。这儿有两项基本要求：第一，处于发射表面附近的致吸收粒子的温度必须是常数，这样， 从该表面所发出的光子就同具有某个确定温度值的粒子处于热平衡状态；第二，为了建立这样一种平衡状态，我们要求具有常数温度的致吸收粒子系集应足够大，这样才能保证在能量从这一粒子系集的表面逸出之前可以经历一系列的吸收和再发射阶段。

处于某激发能态ε的粒子的数密度n(ε)由n0 按玻耳兹曼分布(4.47) 给出，这儿 n0 为处于某一低能态的粒子数密度：

n(ε)=n0e−ε/kT (7.62)

为了确定光子和粒子之间的平衡条件，我们可以用一种与第四章中所采取的途径不同的方法来加以处理。我们可以来寻找使得被粒子系集所吸收的光子数恰好等于每单位体积所发射的光子数的那些条件，因为这就是平衡的条件。为了分析这种状况，我们要考虑的只是在粒子的给定两个能态之间发生的跃迁，其他状态的存在不会改变我们的结论。

设有一个粒子，处于两个能态中的低态，它可以通过吸收一个光子而跃迁到高能态。处于高能态的粒子或者可以自发地发射出一个光子， 也可以在一定频率的辐射的激发下感应发射出一个光子。平衡时，向下的感应和自发跃迁的总和必然等于向上跃迁的数目。设单位时间间隔内发出频率为 v 的光子的几率为 A(v)。设吸收光子的几率为 n（v，T）cB(v)，这儿 n（v，T）是温度为 T、频率为 v 的光子密度，而 B(v)是单位时间的跃迁几率；于是我们容易看出，对于一个给定的激发粒子来说，其出现受激发射的几率将等于处于低能态的另外一个粒子的吸收几率。正如图

1. 所说明的那样，这是时间反演对称性的必然结果，它对一切电磁过程都是成立的。

现在，我们马上可以写出频率为 v、频率范围为 dv 的光子的吸收和发射之间的平衡方程。

n(v，T)B(v)n0cdv=[A(v)+n(v，T)cB(v)]n(ε)dv (7.63) 把这一方程与方程(7.62)联合起来便得到

n(v，T)dv = A(v) / B( v) dv

ehv /kT − 1

(7.64)

如果我们把自发跃迁看作是基态辐射场所产生的事件，这一点在 4.13 节中已经作了讨论，那么我们就可以令 A(v)等于辐射振子的数密度乘以每单位时间的跃迁几率 B(v)。这一点基本上相当于说明了下面几点：(a) 所有的发射过程都是感应产生的；(b)发射几率同辐射振子的各类状态的总和成正比；(c)每个基态振子（n=1）总是包括在内的；以及(d)某些辐

图 7.10 (a)表示频率为 v 的一个光子激发出一个类似的光子，而粒子的能量则减少ε=hv。(b)表示的是时间反演过程，粒子因吸收一个光子而跃迁到较高的能态ε。(c)说明的是辐射的自发发射，正如本节所讨论的

那样，我们可以认为这种发射是由处于基态的辐射振子所引起的。(d)表示从单激发辐射振子吸收能量的过程，而(d)相当于(c)的时间反演过程射振子包含了我们称之为光子的粒子，这些振子处于高能态 n.因此，通过对频率为 v 的辐射振子的数密度进行相空间计数（方程(4.65a)），我们就知道

A(v) =

8πv²

c2

B(v) (7.65)

为了把这些系数同前面的工作联系起来，我们注意由(7.50)式给出

I 64

hv 3h

e2 v3

c3 ab ab

问题 7.15 根据对应原理，跃迁几率应该同大的原子系统范围内的经典辐射强度有关。在星际空间的电离区内，跃迁常常发生在原子氢的各个高激发态之间（Ka59，HÖ65）。试证明从对应原理可以得到

dε ω ⁴e ²a ²

= hv A = ⁿ

(7.67)

dt n，n −1

3c³

式中 an 为第 n 态的玻尔半径。试证明上式给出

64π⁶m e¹⁰

A = ^e =

5.22×10⁹

(7.68)

n，n −1

3c³h⁶n⁵ n⁵

问题 7.16 说明 B(v)与(7.59)式的σab(v)仅仅差一个因子 2。试导出 Aab 和 fab 之间的关系式。

我们现在知道

n(v，T)dv =

8πv²

c3

dv ehv/ kT − 1

(7.69)

这相当于黑体辐射所用的方程(4.71)，它说明了黑体过程在很大程度上

取决于受激发射的概念。

上面我们所说明的过程是一个稳定的自动调节过程。如果 n（v，T） 低于方程(7.69)给出的值，那么自发发射就会超过吸收和受激发射过程的总和；而光子的总数将会由此而不断增加，直至达到式(7.69)所给出的数值为止。相反，如果 n（v，T）偏高的话，则吸收过程将会使它减小而回复到平衡值。

值得注意的是 A(v)和 B(v)这商个爱因斯坦系数的定义有时候稍为有些不同——例如，它们可以分别按发射或吸收能来定义。只要我们始终保持某种一致的能级图，那么这种差异将是无关紧要的。

受激发射和宇宙微波激射器

我们要问，如果 n0 和 n(ε)之间的关系不遵循玻耳兹曼关系(7.62)， 那将会发生什么样的情况。要是对热平衡有微小的偏离，则光子场往往会使 n0 和 n(ε)回复到平衡状态。但是，如果高能态的粒子数开始超过低能态的粒子数，那么就会出现一种完全不同的过程。很明显，这种状况在热平衡条件下是决不会出现的，因为ε和 T 为正数，exP（? ε/kT） 永远小于 1。因此，粒子数反转，即 n(ε)＞n0 的状况只能由某种人为的过程来引起。有时候我们把粒子数反转描写为一种负温度状态，因为在这种状态下方程(7.62)中的指数项可以大于 1。但是，这主要是一种描

述性的说法，它并不对应着任何的物理过程。

为了了解出现粒子数反转时所发生的情况，我们要注意在这种场合下受激发射的几率总是大于吸收几率。因此，在任何一次给定的跃迁中， 辐射振子到达高能态的几率要比到达低能态来得大。所以，随着辐射在粒子系集中的传播，辐射就得到放大。而且，由于被发射的光子同致激发光子具有相同的特性，放大后的辐射是相干辐射；在实验室内这儿所述的过程就相当于一个微波激射器。因此，当这一过程在某一宇宙尺度上出现时，我们所谈到的就是微波激射器过程。

如果能量不断地注入粒子系集，这就是说高能态的激发率可以跟得上向下的自发跃迁和感应跃迁，因而处于高能态的粒于密度 n(ε)将保持比低能态的粒子密度 n0 来得高，在这样的前提下，宇宙微波激射器的作用就会始终维持下去。

这种能量注入过程可以有若干种形式。也许存在一种能量很高的光子，它们会把粒子激发到某个能态ε'，并且从该能态向基态的跃迁几率比较低，而进一步上升到能量为ε的状态的几率比较高，这一类微波激射器称为三能级微波激射器。化学作用可能是产生粒子数反转的另一条途径。假定在两个原子的相互作用过程中形成了一个分子，而且该分子具有高能状态，那么如果形成的速率足够高，粒子数反转就可以维持下去，而微波激射器的作用也就可以建立起来了。

看来，在星际空间的某些区域中，具有确定能态的 OH 基或者水蒸汽分子 H2O（或两者兼之），会因能量注入而出现粒子数反转。对于这种注入作用我们还没有理解，而且奇怪的是空间的不同区域表现出被反转的OH 能级有很大的不同。因此，好象存在若干种不同的注入机制，它们显然是在不同的条件下各自发挥自己的作用。

宇宙微波激射器发出极强的相干辐射。由于所有的感应光子都沿着同一方向运动，它们看上去就好象是从一块致密程度令人不可思议的区域内发出来的（图 7.11）。到达我们望远镜中的辐射被限制在一个边界非常确定、范围又极小的立体角之内。

图 7.11 观测者不可能根据相干辐射观测到整个粒子云（图中虚线）。他所能看到的只是产生相干波的那一部分区域，这可能是一个非常小的区域，其体积也许小到只有λ3，这儿λ为微波放射器所发出辐射的波长我们所观测到的这样小的立体角很容易使人产生误解。它也许并不

代表星际云的真实大小，而可能只是代表了产生相干辐射的区域的大 小。根据相空间理论我们可以知道，这一范围等于 h3/p3，或说 c3/v3=λ

3，这儿λ是光线的波长。今天，某些微波激射器已经用长基线射电干涉

仪进行了分解，这说明宇宙空间中产生微波激射作用的区域可能是比较大的。

我们已经知道的有两类微波激射器。一种是 OH 微波激射器，它们的位置同 藁型变星相重合。这种微波激射器的光度大约是 10−4L⊙，它们表现出有光变特性，周期为几个月，与恒星的脉动同步。我们还发现一些同 HⅡ区内或 HⅡ区附近的尘埃云有关联的 OH 和 H2O 微波激射器。H2O 微波激射器的光度可达一个 L⊙左右，并表现出周期为几个星期的光变特

性。这种变化实在是太缓慢了，所以它不可能是闪烁——由尘埃云在行星际或星际空间内运动所引起的辐射的折光现象——所造成的。

注入这两类微波激射器的能量都可以来自与微波激射区有关的强红外辐射流。

星际微波激射器有一个特征就是辐射是高度极化的。正如已经所解释的那样，受激发射中所形成的光子的极化方向始终与致激发光子的方向相同。这意味着从某种给定原始粒子所产生的全部光子都具有相同的极化性质，而辐射的极化率达 100%。

设想在某一块星际云内粒子数已经反转，那么一束光在穿过这一云块时它的强度就会增大；为了弄清楚这一过程进行的速度有多快，我们注意到如果每次相互作用的增益为 g，而云内的光学深度为 n，则出射光束的强度为

N=gn

假定增益为 1.1——这就是说，受激发射的几率比吸收几率高 10%。经 100 倍平均自由程后，光束内光子的总数将为 104 倍，而经过 200 次连续这样的吸收? 发射过程后，数目将会达到 108 倍，如此等等。因此，某个发射区域如要能发出极其明亮的脉塞辐射，则它的不透明度并不需要高达几百以上。这些辐射全部集中在谱带宽度很窄的一段范围内，因而它在这样窄的光谱范围内就会有相当于温度 T 高达 6×1013K 这样一个令人不可思议的、极其炽热的天体的亮度（Ra71）*。

恒星的不透明度

在恒星内部物质是高度电离的，光子同物质间的相互作用往往就决定了能量在恒星内部的传输速率。

毫无疑问，从这种光子的相互作用我们无法知道有关中微子能量的传输情况，后者在有一些恒星模型中也许是非常重要的。但是，中微子在以光速离开恒星中央区域时只不过就是一走了事而已。同光子相反， 中微子对恒星的结构不会有什么影响；要说有影响的话，也只是一旦有中微子产生时，恒星中心的核反应对恒星物质的加热程度会有所减少。这时我们就说产生了中微子能量损失。

在没有这种能量损失的情况下，有三种机制可以使能量从发生核反应的恒星中心区传输到恒星的边缘，然后辐射便进入宇宙空间。恒星物质的对流，简并电子气体所产生的热传导作用，或者辐射的转移。这三者都可以实现能量的传输。这些过程将要在第八章中予以讨论，每一种机制在不同类型的恒星中起着重要的作用。这儿我们所关心的只是决定光子传输能量的速率的那些因素。

在核反应中所释放出来的γ光子差不多在瞬息之间就把它的能量转给了恒星物质；这里，或者是通过中性原子或部分电离原子的电离作用， 或者是通过与电子的碰撞。辐射同物质之间的相互作用是很强烈的，以至从恒星中心最初释放出来的能量通常要经过几万年之后才能最终逸出恒星表面。恒星对于辐射是高度不透明的，因而弄清楚造成这种不透明性的原因是很有意义的，需知有关恒星结构和演化的许多特征都同这个物理性质有关。

我们的兴趣在于辐射和物质之间以下四种不同类型的相互作用：(a)

自由电子造成的汤姆孙散射或康普顿散射（6.14，6.20）；(b)自由? 自由吸收或发射（6.16 节）；(c)束缚? 自由相互作用，在这一过程中电子经历了束缚态和自由态之间的某种跃迁；(d)束缚? 束缚跃迁，这就是由光子引起的原子或离子的激发或去激发过程。

为了计算恒星物质的平均不透明度，我们必须分三步来处理。首先， 我们需要知道每一种过程中辐射同物质之间的相互作用截面；这一步通过简单的比例关系给出了各种相互作用所造成的不透明度。但是，恒星物质的总的不透明度并不正好就是各个不透明度的总和，因而必须计算出经过适当选择后的平均不透明度，这儿要对(a)到(d)这四种过程各自所起的作用适当地加权，也还要考虑到感应发射所起的作用。由于受激发射使能量传输率增大，结果是不透明度就会降低。

各种过程对不透明度的贡献同温度有非常密切的关系。在恒星的表面各层中，温度比较低，原子仅仅是部分电离，不透明度可能受束缚? 束缚跃迁和束缚? 自由跃迁所支配。在高温区域，原子可能已近乎完全电离，这时由自由? 自由相互作用所引起的不透明度便成为起支配作用的因素。在温度最高的地方，感应辐射会使(b)，(c)，(d)三种因素所造成的不透明度减小，而电子散射便起着支配作用。

我们用消光这个名词来表示光束因吸收和散射作用所减少的辐射量，于是我们可以定义辐射按垂直入射方向通过单位厚度物质层的消光为

= ρ(7.70)

式中符号 表示物质的不透明度，而ρ代表密度。光谱中某一特定频率v 处的辐射的不透明度用 (v)来表示。因此，把任意给定频率处(a)到(b) 四种过程对不透明度的贡献相加，我们就可以写出频率 v 处的总不透明度 *(v)

*(v)= e+[ ff(v)+ bf(v)+ bb(v)][1−e−hv/kT] (7.71)

式中四个下标的含义分别为电子散射、自由? 自由、束缚? 自由和束缚

? 束缚。 e 与频率无关，因此随着温度的增加它便成为主要因素。 * 表示已考虑了感应发射后的真不透明度。

*就整个频率范围适当取平均的问题将取决于我们工作的目的。对

于第八章中将要讨论的恒星能量传输问题来说，我们实际上需要知道的是辐射通过恒星时的平均自由程。由于平均自由程与不透明度成反比， 我们实际上做的时候是就整个光谱范围对 1/ *(v)取平均。但是，这个平均值还必须考虑到辐射谱不是平谱，因而能量传输率还取决于由恒星内部任意给定点处的局部温度所确定的辐射谱的具体情况；关于这个问题我们将要在后面的第八章中加以考虑。现在，我们只是要说明 *(v) 同原子尺度上所发生的各种过程有什么样的关系，以及各个不透明度同辐射的原子相互作用截面又有着什么样的关系。

1. 自由电子散射

当温度足够低，以致光子的能量与电子的静质量能不相应，也就是说 T<<mc2k−1～1010K，则相对论效应可以忽略，散射截面仅仅就是汤姆孙截面。

σe =

8π (

3

e2

mc²

)² = 6.65×10⁻²⁵ 厘米²

(6.102)

这一结果与频率无关。但是，在密度很高的星核中心，温度可能会变得很高，于是对康普顿散射(6.167)来说，用克莱因? 仁科截面比较精确， 这时截面的大小就同频率有关了。太阳的密度ρ～1 克·厘米−3，每立方厘米电子数约为 1024 个，所以在电子散射事件之间的辐射的平均自由程大约只有 1 厘米。如果 ne 是单位体积内的电子数，则散射所造成的不透明度由下式给出

_eρ=σene (7.72)

1. 自由? 自由相互作用

这一过程已在 6.16 节中就稀薄等离子体的情况进行了讨论，现在则是要用同样的理论来说明恒星内部密度较高的等离子体。我们注意到经典 表 达 式 (6.137) 必 定 很 自 然 地 包 含 有 感 应 发 射 因 子[1? exp(? hv/kT)]，在长波段其值就趋近于 hv/kT。因此，如果我们用这一因子以及数密度来除(6.137)式，就得到对单位密度离子和电子而言的每个离子的吸收系数。该系数的形式为

α ff

= 8

(6π)^1/2

Z2 e6

cm²hv³v ln[ ]

(7.73)

其中我们设 v=（3kT/m）1/2，且假定对数函数的引数与式(6.137)中的引数具有相同的性质。实际上，量子力学的正确结果是（To47）

4πe⁶ Z² g

α = ff

(7.74)

^ff 3 3chm ² v v³

式中 Z 是所考虑的离子的有效电荷，而 gff 是所谓冈特（Gaunt），因子， 它包含了式(6.137)中的对数，对我们所感兴趣的大部分情况来说有 gff

≈1。

1. 束缚? 自由吸收

如果在吸收辐射的过程中每个原子只有一个电子起作用，那么我们还可以用量子力学的方法计算束缚? 自由跃迁的吸收系数，其形式为

（Cl68）*

64π⁴ me¹⁰Z⁴ g

α = bf

(7.75)

^bf 3 3ch⁶n⁵ v ³

这儿 n 为主量子数，而其中的冈特因子 gbf 同样有 gbf≈1，且对 n 和 v 仅有中等程度的相关。当然，这个方程仅当光子能量超过处于第 n 态的电离能 xn 时才能成立，即要求

2π ²me ⁴Z²

hv＞xn ~

1. 束缚? 束缚跃迁

n2 h2

(7.76)

这种情况下的截面大小已在上一节中作了讨论。它们同各个原子的实际结构有很密切的关系，而且同(a)，(b)，(c)这三个因素一样不会产生某种连续的吸收截面。正如下一节中所要讨论的那样，这第四种过程的截面在确定通过恒星大气的辐射转移率时起着重要的作用；但是在恒星的内部它们并不起显要的作用，在那儿由(a)，(b)，(c)三种过程决定

辐射转移率的大小。

低密度电离物质的不透明度也是对给定温度 T 时单位体积所发出的辐射功率的一种量度。如果等离子体的化学组成具有“宇宙丰富度”的特征（图 1.7，表 1.2），则图 7.12 就表示了辐射功率；其中假定等离子体的自吸收作用可以忽略。密度很高时这一假定不再有效，这时，等离子体应当只是以温度为 T 的任何黑体所特有的亮度发出辐射。

我们注意到，对于这些低密度物质来说，以禁线的发射为主。禁戒跃迁指的是选择定则所不容许的偶极辐射跃迁（以及有时还包括更高的多极辐射跃迁）。如果等离子体的密度足够低，以至碰撞很少出现，那么与此相应的禁戒辐射跃迁的跃迁几率就很低，这意味着受激亚稳原子的亚稳寿命为数秒或数年。尽管在低密度介质内碰撞出现的机会很少， 这种跃迁还是可能发生的。随着气体密度的增大，碰撞开始对原子的去激发起支配作用，而禁线也就消失了。

图 7.12 处于碰撞平衡条件下单位体积低密度电离气体的辐射功率。图中所指出的功率是就电子和氢的浓度为 ne=nH=1 厘米−3 而言的，nH 代表氢原子和质子的总数密度。为了求得单位体积所辐射的总功率，必须把纵坐标值乘以 nenH。这儿所考虑的等离子体具有一般宇宙源所有的化学组成（见图 1.2，表 1.7）

如果我们知道了在炽热星际云内若干种不同的亚稳原子的寿命，那么我们常常可以通过对禁线的研究取得有关温度和密度状况的许多结论。

在恒星以及稠密的恒星大气内，原子和离子间的碰撞是很频繁的， 因而也就不会有任何禁线出现；但是即使象地球上层大气那样的稀薄状态，也已足以使氧的禁线在极光光谱中出现。

恒星大气的化学组成——辐射转移问题

为了确定恒星大气中各种化学元素的丰富度，我们一定要能够对所观测到的恒星光谱作出正确的解释；这种解释是一个很复杂的过程。首先，这要取决于恒星大气模型的正确选择。就是说我们必须选择好有效温度 Te，恒星的表面重力值以及表示大气内湍流速度的参数ξt。

设处于某一给定状态的某一类原子或离子 i 的数密度为 ni，我们在用 ni 来解释每一条夫琅和费（Frauenhofer）（吸收）谱线的过程中发现，理论所给出的表达式总是同 nifg 成正比，这儿 f 是跃迁的振子强度，g 表示跃迁发生时粒子所处的低能级的统计权重。对于氢、氦以及其他的单电子或双电子离子来说，f 值可以通过量子力学方法加以计算。然而， 对于诸如铁一类复杂光谱来说，f 值必须通过实验室的实验才能取得。

当吸收线非常强时确定丰富度所必需的另一个重要参数就是阻尼常 数γ，它表示由以下两个原因所引起的谱线增宽：(1)各种状态的内禀寿 命本来就是有限的；(2)由于同电子和原子的碰撞使这一寿命更要缩短。我们可以就每一条夫琅和费线定义一个等值宽度 Wλ，它表示该谱线

所吸收的总能量除以恒星在它的连续光谱中波长为λ的地方每单位波长所发出的能量，图 7.13 说明了这一关系。

对于很弱的谱线来说，所吸收的辐射量——因而也就是等值宽度—

—同丰富度 ni 以及乘积 gfni 线性相关，随着 Wλ趋近于由热运动和湍流运动所造成的多普勒宽度时，吸收线便慢慢饱和，而反映 Wλ随光线所穿越的物质的增加而变大的所谓生长曲线（图 7.14）也就变得比较平坦了。对于更强的谱线来说，它的两翼也可能出现吸收。这儿，参数γ便确定了谱线所吸收的总辐射量。

在确定恒星中各种化学元素丰富度的过程中，我们一定

7.13 夫琅和费线的轮廓和等值宽度，连续谱的强度取为 1。谱线轮廓所围的面积等于光谱中宽度为 Wλ的整个“黑色”带所占的面积，Wλ通常以

毫埃来量度（Un69）

图 7.14 生长曲线，它表明了吸收随着光线所穿过的恒星大气物质的增加而增加的情况。这张图反映了等值宽度 Wλ与 nigf 之间的关系，其中ni 为处于某特定能态下的某一元素的丰富度，f 为夫琅和费线的振子强度，而 g 是致吸收态的统计权重（Un69）

要记着各种原子或离子可能有的能态总数同大气温度有着极其密切的关系，而且在一定程度上也与表面重力有关，后者决定了压力的大小。在这些计算中要用到玻耳兹曼方程和萨哈方程，并假定大气处于热力学平衡状态。通常情况下，我们对某个给定跃迁的 f 值知道得是不够精确的； 不过即使这样，我们有时候也至少可以对给定恒星内元素的相对丰富度取得某种概念，这儿相对的意思是指同太阳内的元素丰富度相比而言。

为了确定恒星或星云所发出的总辐射流同它们的化学及物理性质之间的定量关系，我们按以下方式进行处理：在特定频率 v 处的辐射强度I(v)随辐射所穿过的物质层的厚度 dx 而变，其中包括因吸收引起的辐射强度的损失以及因发射带来的相应的辐射增益。设辐射方向对物质层垂直入射，则总的强度变化为

式中第一项表示消光作用部分（见方程(7.70)，而 j(v)为每单位质量的发射量。j(v)可能与辐射强度本身有着密切的关系，这一点同强散射或感应发射的情况是一样的。当 j(v)完全起因于感应发射时，则式(7.71) 中的不透明度 *即为 (v)和 j(v)/I(v)两个量之差。

方程(7.77)可以改写为

式中 J(v)≡j(v)/ (v)，称为源函数，而式(7.78)称为转移方程（Ch50）

*。

在 8.7 节中我们将要讨论辐射从恒星中心朝边缘的转移过程。为此， 我们不仅要考虑辐射对物质层垂直入射的情况，而且还须考虑以任意方位角θ入射的情况。对于任意入射角（θ，φ），我们可以把辐射的能密度表达为

∫ ρ(v)dv = 1 ∫∫ I(v，θ，φ)dΩdv

(7.79)

这儿 I（v、θ，φ）为方向（θ，φ）上的辐射强度。辐射流同强度之间的关系式是

F = ∫ F(v)dv = ∫∫ I(v，θ，φ) cosθdΩdv

(7.80)

如果我们认为 I（v，θ，φ）是一种分布函数，它说明了频率为 v 的辐射的角分布情况，那么ρ(v)和 F(v)关系到该函数的零阶矩和一阶矩，而二阶矩则引出辐射压

P = ∫ P(v)dv = 1 ∫∫ I(v，θ，φ) cos² θdΩdv

(7.81)

这个关系式是 4.5 和 4.7 两节所讨论内容的必然结果。辐射压在恒星结构理论中是很重要的，因为流体静力平衡要求引力和压力梯度之间达到某种平衡状态。在恒星演化的某些阶段，特别是在形成行星状星云的那些阶段中，上述压力梯度同辐射压的关系要比同气体运动压的关系更为密切。在确定恒星的大气结构、特别是巨星和超巨星的大气结构时，辐射压同样也起着一定的作用。

让我们再来对决定恒星大气中所观测到的吸收线或发射线轮廓的若干因素作一些介绍。我们已经对引起谱线增宽的那些因素作了讨论，但是我们还应该指出的是，对于一定温度 T 的气体来说，发射强度 I(v)一般不会超过相同温度和同一频率 v 的黑体辐射强度。所以，受激发射和自发发射往往会使发射线两翼的光度增大，原因就在于辐射是通过恒星大气转移出去的。在靠近恒星表面的地方，谱线中心可能已经处于饱和状态，也就是达到了它的峰值强度；这一效应就会引起发射线的增宽。同样，在穿过恒星中温度较低的外层大气后吸收线也会增宽，这是因为随着所穿过物质的增加，对谱线两翼吸收的可能性也会越来越增加。我们谈到了谱线的生长曲线，我们用生长曲线图来表示等值宽度 Wλ（图7.13）同乘积 nif 之间的关系，这儿 ni 是大气中单位底面积圆柱体内的原子数，而 f 是跃迁的振子强度。有时候，比如在图 7.14 中，生长曲线所表示的不是 Wλ同 nif 之间的关系，而是 Wλ同其他一些特定函数之间的关系——在图 7.14 中用的是 lognigf，其中 g 是致吸收状态的统计权重。

问题选答

7.3 ε = 1 ∑ m v ²

i i

i

I = ∑m r ²

对于高速自转的大质量天体来说， J~L 及δε=LδL/I

7.4 1 Iω ² = 3 kT，T = 100K

2 2

2 2 2

−23

− 8 2

I ~ 5 mr ~ 5 (10

克)(2×10 )

ω ~ 5×10¹² 秒⁻¹，v =  ω ~ 8×10¹¹ 赫，λ ~ 3 毫米

2π 8

7.5 在 4.18 节中我们说过，转动激发的几率同玻耳兹曼系数成正比，其形式为

当 J 很大 T 又很小时这个量是很小的。

1 2

7.6 E = 2 Iω

= kT～1.4×10

−14

（厘米·克·秒制单位），

2

I = 5 (10

−15

)(10

−10

)克·厘米⁻²

∴ω～8×105 秒−1

v～105 赫，这比调幅射电波段略为低些。

v ²m

7.8 几率 ∝ exp(− ^r )

2kT

m

mv²

f (v

) = ( )^3/2 exp(− ^r )

^r 2πkT 2kT

∆ω

由(7.22)，vr = c

0

I(ω) = I 0 exp(−

mc²∆ω ²

2ω ²kT )

由问题(4.27) < v² >= kT =

< ∆ω² >

c2

r 2

0

7.10 σab (ω) =