=

0

Lsin² θdθ = π L

4

(4.22)

这里分子上的积分是在所有方向上得到的长度之总和。分母上的积分可确保结果是由分子部分除以整个几率范围而得到的平均值。这里的分母实际上并不一定需要，因为我们已经作了正确的归一化。但是举个例来说，如果我们只是要求杆对极轴的交角在 0＜θ≤π/4 范围内的投影长度平均值，那么分子和分母中的积分限都应当取 0 到π/4，这时分母中的积分当然就不再是可有可无的了。将前面讨论的问题反过来，我们可以问，若仅能观测到随机投影长度的平均值 D，那么杆的实际长度应为多少。这时我们有

S = 4 < D > (4.23)

π

只要将式(4.22)推得的结果简单地颠倒一下，就可以得出这个结果。我们再提出一个略为不同的问题：给出一个特定观测值 D，各种可能的 S 值的平均值为多少？为回答这个问题，我们以各向同性分布来计算 Dsin θ的平均值，求得〈S〉=πD/2。在求双重星系成员间的平均距离时这个方法是有用的，因为这时我们所观测到的只是它们的投影距离。

同样，我们可以用这个方法去确定椭圆星系到底是扁长的——雪茄形的，还是扁平的——盘状的。为了进行这种分析，我们不得不假定一切椭圆星系都具有大致相同的形状。所以，从这个观点看来，球状星系就不过只是沿其对称轴方向看去的普通椭圆星系而已。

问题 4.5 观测一系列双重星系。每一对的总质量可由我们所测得的两星系间的距离投影值及它们相对运动视向分量的投影值，用统计方法来加以确定。记 R 为由平均红移求得的星系对与观测者间的距离，a 是两星系间的角距离，于是由此可求得投影间距 dp。再由两者红移之差给出轨道速度视向分量投影值 vp。假定星系绕圆形轨道相对运动，并假定一个星系的质量要比另一个大得多，试证明星系对质量的统计表达式为

M星系对

< v² >

= G < 1 / r > =

3π < v² >

2 G < 1 / d p >

(4.24)

先证明 < v² >= 3 < v ² > 及 < 1 / r >= 2π < 1 / d > 是有益的。注意 < r >≠

< 1 / r >⁻¹ 。在这例中投影角实际上与r及v有关。顾及这种相关性后还

可以给出(4.24)的变换形式。

图 4.4 描述估求双重星系总质量的图

当我们考虑星系团质量时，也是利用同样的思路，因为维里定理(3.83)同样说明了平均势能等于（负的）动能的两倍；这时式(4.24)左边以星系团总质量代替，右边则是速度平方平均值及离星系团中心距离倒数的平均值。如 3.5 节所讨论的那样，当用这种方法估算星系团质量

时，所得结果总是比由问题(3.9)所求出的单个星系质量之和大 10 倍左右。在第十章还要回到这个谜一般的问题上来；但即使在那里我们仍无法解决这个难题。

萨皮特（Salpeter）及巴可尔（Bahoall）（Sa69a）利用(4.24)式估求类星体 B264 的质量上限，该类星体看来位于一个星系团之中。他们所求出的上限为 5×1013M⊙。这个估计主要说明了类星体质量必定小于星系团总质量。因为事先我们对类星体质量一无所知，故即使这个上限值

很大，它仍然是令人感兴趣的。

分子运动

一颗星际尘埃微粒周围的分子系集将对微粒表面产生压力。由于分子在作随机运动，有时就会与尘埃相碰撞，压力就是这样产生的。原先向着微粒运动的分子由于碰撞，在微粒表面发生偏折，然后就离开粒子运动。因为粒子速度发生变化，其动量 P 也就变化。根据定义，必须要有一个力的作用才能产生动量的改变，因而在一个很短的时间内微粒表面将有一个力作用在分子上。这个结论是从牛顿定律来的，因为方程(3.4) 可写为

•• •

F = m r = p (3.4)

若微粒在给定的时间段τ内给分子一个力，则分子在这段时间内也必然给微粒以反作用力。于是，在任一给定时间，撞击在微粒单位面积上的所有单个分子的作用力的总和就构成了作用在尘埃上的压力，即单位面积上的作用力。

为了计算这个压力，我们必须先要确定单位时间内有多少分子撞击在微粒上。图 4.5 表示一个球面极坐标系，我们可以用这个坐标系来表示粒子的初始运动方向，这个方向由两个角（θ，φ），给定。如果方向为（θ，φ），立体角增量为 dΩ=sinθdθdφ，且速度范围在 v 及v+dv 间的每单位体积中分子数为 n（θ，φ，v），那么在单位时间内入射在单位面积上的分子数就是

∫∫∫ v cosθn(θ，φ，v) sin θdθdφdv

(4.25)

因子 cosθ必须计入，因为包含一切入射分子的斜圆柱体的体积是其底面积和高的乘积（图 4.6）。

图 4.5 计算压力用的球面极坐标

图 4? 6 在单位时间内，以速度 v 从方向θ撞击到微粒表面上的全部分子所构成的斜圆柱元

式(4.25)与 v 正比，这是因为速度越大，在任何给定的时间间隔内粒子就可能从更远的地方撞击到这个表面上来。

如果我们假定每个分子都是作镜式反射，即如同光线从镜子上反射出来一样，那么这时的入射角就等于离开表面的反射角，而一个被反射粒子动量的总改变为

△p=? 2pcosθ (4.26)

在这类反射中，改变的仅仅是与微粒表面相垂直的动量分量，因此就产生了因子 cosθ。现在我们就可以计算这个压力了，它刚好等于单位时间内入射在单位面积上的分子所引起的总的动量变化（负值）。

2π

P = 0

dφ∫ 0

π/ 2

dv 0

dθ(2p cos θ)v cos θn(θ，φ，v) sinθ

(4.27)

在各向同性气体中，从单位立体角到达表面的分子数与θ及φ无关，故可写为

n(θ，φ，v)dv = n(v) dv

4π

(4.28)

这里 n(v)是速度值在 v 到 v+dv 范围内的分子数密度，因子 1/4π是归一化所用的常数，因为一切可能到达方向的总和为 4π立体弧度。

用(4.28)式就能把(4.27)积分中与速度有关的部分分离出来，这一部分与方向坐标θ和φ无关。假若 v<<c，——对非相对论性气体就属这种情况——那么 p=mv，而 m 是一个分子的质量。由此可得出

n(v) v²dv = n < v² >

0

(4.29)

其中 n 是不顾及速度和方向情况下单位体积内的粒子数密度，<v2>是速度均方值。式(4.29)不过就是均方速度的定义而已。

现在式(4.27)中其余部分的积分可写为

1 ∫ 2π ∫ π/ 2 cos² θ sinθdθdφ = 1 =< cos² θ >

(4.30)

2π 0 0 3

这个积分定义了在半球 0≤θ≤π/2 上的 cos2θ的平均值。撞击在微粒壁上的所有分子全都是从这个半球上来的。因为余弦函数对于θ=π/2 是对称的，因此无论是对半球的积分或者对一切可能方向（即全球）进行积分，其均方值实际上总是等于 1/3。

以方程(4.29)及(4.30)代入(4.27)式，我们即可将压力的表达式改写为

nm < v² >

P = 3 (4.31)

记 n 个粒子的系集所占的体积为 V，将压力 P 乘以 V 即可得表达式

Nm < v² >

PV = 3 = NΘ (4.32)

式中 N=nV，Θ=m<v2>/3。

问题 4.6 星系的随机速度可达 v～100 公里·秒−1，其数密度是 n～ 10−1 百万秒差距−3，典型星系的质量为 3×1044 克。试问由星系产生的宇宙压力是多少？第十章中将要考虑这个压力，在确定宇宙膨胀或收缩的宇宙动力学问题中，需要知道宇宙压力的大小。问题 4.7 在太阳附近， 恒星的数密度为 n～10−57 厘米−3。太阳相对这些恒星的速度是 v～2×106 厘米·秒−1。我们把太阳与其他恒星的碰撞截面积取为σ～5×1022 厘米

2。根据琼斯（Jeans）的太阳系形成理论，行星是因太阳与其他恒星相

遇而产生的。试问在 P=5×109 年时间内，太阳按这种方式产生行星的可能性有多大？假定在银河系中共有太阳那样的恒星 1011 颗，那么银河系中总共应当形成多少个行星系统？

理想气体定律

当温度远远高于凝固温度时，稀薄的气体服从一个简单的定律。这个定律将气体的温度与压力及密度联系起来。既然这个定律只有在十分高的温度以及很低的密度时才是准确的，因此它当然只能代表真实气体的一种理想化情况，于是就称它为理想气体定律。实际上在许多不同的 情况下各种气体的性质与理想状态相差不远，因此这个定律是很有用处的。

为了理解这个定律，我们必须先搞清楚温度的含义是什么？我们可以很容易地“感觉到”一个物体的冷热，但假使要用某个可测定的物理量来描述这种感觉可就不那么容易了。可以应用一种装置，比如普通的水银泡温度计，来作为规定温度的一种方法。温度计插入一碗水中，倘若水是热的，那么水银泡中的水银就会膨胀而沿毛细管上升；而当温度计放入一碗冷水中时，水银就会收缩。我们可以在温度计的毛细管部分刻上任意的标度，于是就可以根据毛细管中水银面的位置读出温度值来。只要想想在西方世界人们至少普遍使用着五种不同的温标，我们就可以看出这种标度的任意程度了。

选定一种水银温度计为标准，我们就可以观测气体的状态，并最终可以得出某种给定气体的密度、压力以及温度之间的关系。这个关系就称为物态方程。其函数形式为：

F（T，P，ρ）=0 (4.33)

有时在公式中用密度的倒数，即单位质量的体积，来代替密度；或者更经常地是使用克分子体积，即每克分子气体的体积。克分子是由 N=6.02

×1023 个分子所代表的物质量。N 是阿伏伽德罗常数。阿伏伽德罗常数就是碳同位素 C12 重量刚好为 12 克时（即一个克原子重 C12）所包含的原子个数。

记克分子体积为 V，我们即可得到下列形式的理想气体定律PV=RT (4.34)

式中 R 称为气体常数。当压力不变时，一定量气体的体积随温度增加而线性增加。而当体积不变时，压力随温度线性变化。某些气体，特别是氮气，其性质很象理想气体，因此就能利用它来定义出一个气体温度计 温标。应该认识到，无论在什么情况下，温度只能用某种方便的装置来加以测定，这一点是很重要的。

我们看到，在式(4.32)及(4.34)间有相似性。当式(4.32)中的 N 选用阿伏伽德罗常数 N 时，我们得到

RT = Θ =

N

m < v ² >

3

= mc²

(4.35)

这里我们引入了一个新的符号 cs，它代表理想气体中的声速。这样做的主要理由是因为声波和压缩波的传播速度就等于气体分子速度沿波传播方向分量的均方根值，注意到这一点是有益的。而在固体和液体中，在传播压缩波时，不可压缩性——劲度——所起的作用胜过了分子运动的作用，因而这时的声速就要比分子运动速度高得多（Mo68）。

我们可以定义一个新的常数k=R/N，称为玻耳兹曼常数。于是式(4.35)就变为

3 kT =

2

m < v ² >

2

(4.36)

上式右端是系集中每个分子的平均动能，由此看出，温度不过是平均动能的一种指标而已。在热的气体中分子运动速度很高，而在较冷的气体中速度则慢得多。玻耳兹曼常数 k 只能通过实验来加以确定。具体的做法是用直接或间接的方法测定一定的温度下气体分子的动能，由此求得k=1.38×10−16 尔格·K−1。

现在，式(4.32)就可改写为

PV=NkT 或 P=nkT (4.37)

当我们所处理的是一种特定的气体或者一种由确定的分子所组成的气体时，上式直接可以应用。但当处理不同分子混合的气体时情况又怎样呢？ 根据前面推导的动能理论，我们可以预期，在这种情况下总的压力仍然应该根据方程(4.37)，由总的分子数密度来确定。如果有 j 种不同的气体分子共处于热平衡之中，每一种分子的数密度为 nj，则完整的关系式为

j i

P = ∑ Pi = ∑n i kT = nkT

(4.38)

j=1 i=1

这里 Pi 是单独由 i 型分子所造成的部分压力。式(4.38)所表达的就是所谓的道耳顿（Dalton）部分压力定理：理想气体的总压力等于各组成成 分的分压力之和。

问题 4.8 星际原子氢经常在中性 HI 云内出现，其温度是 100K·试问此时氢原子运动的均方根速度有多大？如果数密度 n=1 厘米−3，那么星际空间的压力有多大？

问题 4.9 这些云内还含有尘埃微粒，微粒典型直径可能为 5×10−5 厘米，典型密度为单位密度值。若把这些尘埃作理想气体处理，那么尘埃微粒的随机运动速度应有多大？

问题 4.10 如果气体相对尘埃微粒有一个系统性的速度 v，试问单位时间内有多少动量传到每个尘埃微粒上？微粒的加速度是多少？在解题中假定气体密度为 n=1 厘米−3，v=106 厘米·秒−1。且假定每次碰撞后气体原子就附着在微粒上。

问题 4.11 进一步欲问这微粒的质量增益率是多少？要过多久微粒的质量才会增加 1%？

问题 4.12 在电离氢(HII)区域，原子和电子是分离的。如果这种星际气体的温度是 104K，试计算电子和质子的运动速度。

辐射动力学

电磁辐射以光子的形式传播，光子是离散的量子，它具有动量 p 及能量ε。由实验所确定的谱频率 v（即辐射的颜色）与能量和动量之间的关系是

p = hv

c

ε = hv

(4.39)

(4.40)

式中 h 是普朗克常数，c 是光速，v 是谱频率。

将(4.39)代入压力方程(4.27)，用 c 取代 v，又因为所有光子都具有相同的速度 c，故可忽略对速度的积分，于是(4.27)即变为

2 π π/ 2 2hv

P(v)dv = ∫ 0 dφ∫ 0 dθ c cosθc cos θn(θ，φ，v) sinθdv (4.41)

分子分母中两个 c 可以消去，hv 可由ε代替。此外对各向同性辐射场n(θ，φ，v)=n(v)/4π，再利用方程(4.30)就可导出

P(v) = n( v)ε = hvn(v)

3 3

(4.42)

若有 j 种不同谱频率的量子存在，则表达式(4.42)就变为

P = U

3

(4.43)

其中 U 是对所有谱频率求和而得的总能量密度

i

U = ∑ ni hvi i =1

(4.44)

问题 4.13 假若认为在宇宙尺度上原来就有一个 3K 的辐射场存在(4.13)，宇宙中的辐射能密度约是 6×10−13 尔格·厘米−3。试问这一个场所产生的压力是多少？它与问题(4.6)所求出的星系压力相比较又相差多少？

问题 4.14 单位时间内从太阳入射到地球单位面积上的辐射能量是

1.37×106 尔格·厘米−2·秒−1。这个量称为太阳常数。试求在地球距离处一个 10−2 厘米直径的（可全部吸收太阳辐射的）黑色微粒上所受到的辐射斥力。

问题 4.15 一个半径为 10−4 厘米的微粒吸收了入射到其表面的 1/3 太阳辐射，其余部分以各向同性形式散射掉了。假定微粒的密度是6 克·厘

米−3，试计算太阳对微粒的引力和辐射斥力之比。证明不论离太阳多远， 这个比值保持不变。

问题 4.16 假若微粒辐射斥力是太阳引力的 1/3，则我们可定义一

个

“有效”引力常数G

2 ，这里的G是真正的引力常数。由这个

_{有效 = 3 G}

G 有效就可以表明微粒的运动特征。假如微粒位于地球轨道距离处，那么其公转周期应是多少？其轨道速度与地球轨道速度相比相差多少？

等温分布

若气体在它所据有的全部体积内温度都相同，我们就称这气体是等温的。考虑一个球对称空间，内中的气体呈等温分布。离中心距离 r 越大，气体的密度和压力就越小。在 r 及 r+dr 之间的压力变化 dP（图 4.7） 可由作用在 r 及 r+dr 间物质上的引力给出：

dP = −drρ( r)∇V( r) (4.45)

图 4.7 球对称结构的压力? 距离关系

这里ρ(r)=n(r)m，V(r)是半径为 r 的球里面的质量所产生的引力势。对于理想气体（见式(4.38)）P/ρ=kT/m。把这个表达式去除方程(4.45)可得

dP = − m ∇V(r)dr

(4.46)

P kT

求积分后得

P=P0e−mv(r)/kT (4.46) 再应用理想气体定理还可得

n=n0e−mv(r)/kT 或ρ=ρ0e−mv(r)/kT (4.47)

在式(4.46)及(4.47)中的指数项称为玻耳兹曼因子。它在整个统计热力学中起着重要的作用，此外在 4.21 节我们将会看到，它也是描述球状星

团中恒星分布以及原恒星中分子分布的有用出发点。

大气密度

利用方程(4.47)就可以容易地得出恒星、行星或卫星上的大气密度分布。在下面的讨论中，虽然我们取行星为母体，但这个理论对恒星、月球或其他大质量天体无疑也是同样有效的。

大气中任何地方的引力势是

V(r) = − MG

r

(4.48)

式中 r 是从行星中心起算的距离，M 是行星质量。在表达式(4.48)中还假定大气是稀薄的，因而 M 可认为是与 r 无关的常量。记 R 为行星半径， 现在考察离行星表面高度为 x 处的一个点。高度 x 处的引力势与地面引力势的差是

V(R + x) − V( R) = −

MG

R + x

+ MG

R

由此方程(4.47)即变为

= MGx ，x << R (4.49) R2

n=n e−(mMG/kTR2)x=n e−mgx/kT (4.50)

这里 n0 现在代表行星表面处大气的密度，而 MG/R2≡g 是行星表面重力。显然大气密度随高度依指数函数形式而减小。此外我们再定义一个标高

kTR ² kT

∆ = mMG = mg

(4.51)

可见在高度 x+△的地方大气密度是高度 x 处的 1/e。值得注意的是，当气体温度很低，而组成气体的分子又很重（即 m 很大），以及母体密度很大时（即 M 很大而 R 很小时），这个标高△值就很小。

问题 4.17 证明当大气由不同气体成分构成时，每种气体成分有各自不同的标高存在。且证明气体的总压力是

P = ∑ P = ∑ P e ^−(mi gx /kT) (4.52)

i i0

i i

总密度为

ρ = ∑ n m = ∑ n m e ^{−( m}i gx /kT) (4.53)

i i i i i0 i

式中下标 0 表示大气低部（行星表面）的数值。证明时假定大气中无对流存在。（因为对流通常要求整个体积内气体的整体运动，并会产生风， 这就使不同的气体组成部分无法分开。这样一来标高的概念就用不上了。）

地球大气就表现出某些这方面的特性。在上层大气低密度区域里， 就出现随不同标高而产生的一些气体的分离现象。例如氦仅在高度很高的地方才具有相当的浓度。至于在低层大气中，存在有三个特征：即有风、温度梯度及水蒸汽存在，因此使任何分析工作都变得复杂化了。大气中的水蒸汽接近于凝固点，而局部的温度降低就可造成水蒸汽的凝固以及压力的降低，这样就形成了风。更重要的是低层大气内不是等温的， 因此这里的大气性质就不象上面所描述的那样简单。

问题 4.18 大气的质量与地球质量相比可忽略不计，如果地球表面

的重力为 980 达因·克−1，试计算大气的主要成分氮气分子 N2 的标高。

大气中粒子的能量分布

粒子密度随高度依指数形式减小，这对我们考虑粒子的速度分布是一个重要的启示。我们看到，在高度 x1 处的分子，当具有向上的速度分量 vx=(2gh)1/2 时，它们就具有了足够的能量可以上升到高度 x1+h 的地方。至于具体某一个具有这样的瞬时速度的分子是否真会达到高度 x1＋h 还不能预测。这个分子可能会与其它分子相撞而失去其大部分能量。但是只要热平衡存在，气体温度保持不变，那么就可以断定，如果有一个分子因碰撞而失去能量，在其近旁必定会有一个回复碰撞，通过这种碰撞其他分子会获得同样的能量。这个概念有时称为细致平衡，根据这个道理我们在下面的讨论中就可以忽略碰撞效应。

既然在同温大气中，所有各个高度上温度都相同，那么速度分布也必然到处相同，因而随高度变化的仅是粒子的数目。在高度 x1＋h 处与高度 x1 处粒子密度的比是 exp（－mgh/kT）（见式(4.53)）。因为在高度 v1＋h 处所有的粒子都是从较低的 x1 高度上来的，并且它们最终还要落回到 x1 高度处，所以我们可以断定，穿越过高度为 x1 处的一个平面的所有粒子中，速度大于 vh=(2gh)1/2 的粒子所占比例也应是 exp

（? mgh/kT）。因为只有这一部分粒子才具有足够的能量可以到达高度为 x1+h 的地方。因而垂直速度 vx 大于 vh 的粒子数密度可表达为

N( vx ＞v h ) = e − mgh/ kT = e− mv² / 2kT

(4.54)

N( vx ＞0)

注意这里的 N 不是密度，而是在单位时间内穿过单位面积的粒子数。考虑一个各向同性速度分布函数 f(v)，这函数根据下式积分进行归

一化：

∫∫∫ −∞

x y z x y z

我们可用如(4.54)式所给出的 vx 的指数关系作为函数 f 的试验解。因为是各向同性，故 vy 及 vz 也应有相同的关系，因而由方程(4.55)给出的完整的函数为

f (v

，v ，v

) = (

m ) 3/ 2 e−( m/2 kT )( v² +v ² +v² )

(4.56)

x y z

2πkT

x y z

式中的系数是为了满足(4.55)而需要的归一化因子。这函数可对 vx，vy 及 vz 进行变量分离。为验证这结果是否也满足(4.54)式，我们有

2

x

N( v ＞v ) v x x 2

x h = h = e− mv_h / 2kT

(4.57)

N( v

＞0)

∞ v e−( m/2 kT) v² dv

x 0 x x

积分号中 vx 的作用就象它在方程(4.27)中的作用一样。这里考虑到较高速度的粒子可从较大体积内较远距离处到达某个给定的表面。我们还可根据速度

v = (v ² + v² + v² )^1/2 (4.58)

来改写式(4.56)的分布函数，由此得到

f (v) = (

m 2πkT

) 3/2 e − mv ² /2 kT

(4.59)

问题 4.19 证明对 f(v)来说归一化条件是

4π ∞ f (v) v²dv = 1

0

同时证明用动量来表达的分布函数的形式为

(4.60)

f (p) =

及

1

(2πmkT) ^3/2

e −p² /2 mkT

(4.61)

^∞ 4πf(p)p²dp = 1

0

(4.62)

注意，方程(4.56)，(4.59)及(4.61)与原先所规定的引力势都无关。因而这儿所推得的公式除了可解决引力问题外，还有更为广泛的应用。我们将要在 4.15 节中对此作进一步的讨论。

根据两位经典动力学理论的奠基者 L。玻耳兹曼和 J.C.麦克斯韦的名字，我们把(4.59)及(4.61)速度和动量分布函数称为麦克斯韦? 玻耳兹曼分布。在图 4.8 中画出了动量分布的情况。这种分布函数具有极为广泛的应用。

问题 4.20 假想月球大气是由 300K 的气体组成。试计算能够满足式3kT/2<MmG/R 的最轻气体分子的质量。其中 m 是分子质量，M

图 4.8 麦克斯韦? 玻耳兹曼动量分布

及 R 是月球的质量和半径，分别取为 7.3×1025 克及 1.7×108 厘米。注意上式左端的量是与月球上的逃逸速度有关的。再要问月球上的逃逸速度有多大？当然实际上比上面计算所求出的质量 m 还要大的分子也会从月球上逃逸出去，因为(a)在麦克斯韦? 玻耳兹曼分布中，还有许多气体分子的速度大于平均速度，(b)月面有连续两周时间暴露在阳光之中，在这段时间内，向阳的月面温度可达 400K。

尽管麦克斯韦? 玻耳兹曼统计法很有用，但仍然有一些重要的场合不能使用这种统计法。在恒星中心密度很高时，或恒星发出的辐射温度很高时就会出现这些效应。它们是没有经典基础的量子效应，下面几节将涉及这类情况。

相空间

在与经典统计性质不同的量子效应中，常常出现一些性质相同的粒子。例如我们可能须要处理一些在位置、动量和自旋等方面几乎都相同的电子；或者我们所要研究的光子它们在频率、位置、传播方向及极化等方面都相同。

对电子而言，有一个重要的限制性条件在起作用。这就是泡利不相容原理。根据这个原理，任意两个电子不允许具有相同的性质。中子、质子、中微子以及事实上一切自旋量子数是奇半整数

等则是具有整数（包括零）自旋量子数的粒子，无论多少个这种粒子都

可以具有相同的动量、位置和自旋。第一类粒子服从泡利原理的规定， 称之为费米（Fermi）? 狄拉克（Dirac）粒子或费米子；另一类则称为玻色子，其性质服从玻色（Bose）? 爱因斯坦统计法。

至今我们还没有讲清“相同”是什么意思。当然，对任意两个粒子我们总可以想象它们在动量或位置上会有一个无限小的差别。那么这样的粒子是称为相同还是不同呢？海森堡测不准原理对这个问题作了实质性的回答。这个原理指出，当两个粒子的动量差δp 与位置差δr 的乘积小于 h 时，就不可能把这两个粒子区别开。这是因为同时测定任何一个粒子的动量和位置这两个成分时，其不确定性至少为

式中 =h/2π，而 h 是普朗克常数。如果要能区分开两个粒子，则它们的δpxδx 应比 h=6.627×10−27 尔格·秒大些。

如果两个粒子的动量差和位置差不超过下列范围δpxδx=h，δpyδy=h，δpzδz=h (4.64)

且它们的自旋也相同，则从量子力学观点来说这两个粒子是相同的。

根据上面的描述，每个粒子可由六维相空间的一个点（x，y，z，px， py，pz）来表征。它在六维空间占一个相格，其体积为（图 4.9 及 4.10）：

δxδyδzδpxδpyδpz=h3 (4.64a)

在同一相格内的粒子是相同的，即在物理上是不可区分的，而相格外的粒子则可以互相区分。既然δx 是相格的尺度，那么它至少必须是离中心位置均方根偏离值△x 的两倍。δ px 及△px 之间的关系也是如此。这就说明了为什么在方程(4.63)的右端是 ，而在方程(4.64)中却是用比它大的值 h（图 4.9）。

图 4.9 相格尺度间的关系，位置与动量的分布以及这些变量的不确定性。图中画出的仅是相应不同能量的分布函数族中最简单的一种

现在我们可以问，在体积为 V 的盒子中可以放多少电子？回答取决于我们所考虑的粒子动量有多大。如果最大允许动量为 pm，则全部相空间体积是2·4π / 3·p³ ·V。因为自旋不同的电子总是可以区分开

的，因而它们当然是属于不同的相格，上式中的因子 2 就是因为顾及了

不同的自旋极性而加上的。因而所有的相格数为8π / 3·p³ ·V / h³，

这就是在这个盒子内最多能容纳的电子数。

一般而言，在动量 p 到 p+dp 范围内的相格数为

4πp ²dp

Z( p)dp = 2V

h3

(4.65)

图 4.10 相空间是一个六维假想空间，其中动量和空间各占三维。每个相格投影到 px−x 平面上后面积总是 h。尽管相格的形状如图所示可能十分任意，但我们可以把它们想象为方的或长方的。这样做是有利的。它可以使计算工作简化。在 4.14 节的图 4.13 中，我们会看到，原始一个矩形相格是如何变得扭曲的

在恒星中心，电离物质有时是如此密集，以至所有最低的电子态都充满了。这时恒星进一步的收缩可迫使电子取得比通常在稀薄气体中的动量值(3kTm)1/2 高得多的动量。这种密集的费米子气体称为是简并的。我们将要在 4.14 节及第八章中研究这种物质形式，在那里将讨论非常致密的恒星核。

有时我们宁愿用频率空间而不用动量空间。根据 v=pc/h 定义粒子频率 v，我们可求得在频率 v 到 v+dv 范围内的相格数为：

4πv²dv

Z( v)dv = 2[ ]V c 3

恒星的角直径

(4.65a)

两个光子有时会占有同一相格，我们可以利用这个事实来测量恒星的角直径。其思路是：在相距 D 的两处放两个光子计数器，计数器的联线与恒星方向相垂直。若距离 D 足够小，那么同一相格中的两个光子就有可能一个落在一个探测器上，而另一个落在另一个探测器上。由切拍计数器可以发现它们是否同时到达。记恒星直径为 d，距离为 R，恒星所张的角度θ=d/R。撞击到任一探测器上的一对光子具有某种动量分布， 它在沿 D 方向的量值是△pD=pθ=(hv/c)θ，式中 v 是探测器所敏感的辐射频率。因为△pD 为非零的值，这就要求 D 本身很小，只有这样才能使到达两个探测器的光子是来自同一相格的。也即必须要求

这里λ是辐射的波长。当距离 D 增加时，观测到的切拍率就降低，当 D 大到一定值时，切拍不再出现，此时角直径是θ λ/D。由此，在这种观测中求出的恒星角直径为(图 4.11)

图 4.11 汉伯里·布朗−特威斯干涉仪

θ～d/R～λ/D (4.67)

这一技术首先是由 R ．汉伯里·布朗（ HanburyBrown ）及特威斯

（R.Q.Twiss）首先发明的（Ha54）。第二种测定恒星角直径的方法是利用迈克尔逊恒星干涉仪，其基本原理也是依据相同的现象，即都是根据测不准原理所给出的正常衍射的峰值宽度。

炽热天体内部及外部的光谱

任何不透明天体都会被辐射流所渗透。原子、分子或离子、电子都在连续地吸收和再发射光量子。一个光子常常会跑到天体的边缘并随后逃逸掉。光子从炽热天体内部扩散到它的边界，然后再逸入虚无空间之中，这就是恒星内部发生的一个重要过程。在恒星中心产生的能量就这样慢慢地扩散到外面并最终逃逸掉。这些逃逸的辐射流就使恒星闪闪发光。

为了比较仔细地理解这个现象，我们要对天体内部可能出现的辐射

过程作一番介绍。辐射谱总是随温度不同而不同，我们希望对这种辐射谱进行推演分析，并从而对整个辐射场作出全面的描述。

我们首先考虑位于温度为 T 的物质中的光子气体。如果光子有足够的机会通过散射或者通过吸收和再辐射与原子相互作用，那么辐射就会与物质处于热平衡之中。有两个因素必须考虑：

1. 光子是玻色? 爱因斯坦粒子，它们可以集中在一个单一的相格中。

2. 如果集合在一个相格中的光子的频率为 v，并假定该相格中光子数为 n，则我们可以认为在这个相格中的光子系集是处在能量为

（n + 1 ）hv的能态中，当我们描述这类现象时，有时就说这是一个处

2

于第 n 态的量子振动子。即使系集处在基态，相格完全是空的，仍会有量值为 hv/2 的基态残余能量存在。这个能量通常观测不到，因为它不参加吸收和发射过程，[可是，也存在着一些与可变形体的表面有关的过程(Fr46)，在这些过程中，上述基态残余能引起表面张力效应。]

我们可以计算找到一个处在第 n 激发态中的量子振动子的几率。由玻耳兹曼因子 e−(n+1/2)hv/kT 给出了这一激发态的相对几率，而只要把这个相对几率除以一切相对几率的总和，就可以得到绝对几率：

e −( n+1/2) hv/ kT

P(v，T) = ∑ e−( n+1/2 ) hv /kT

n

= e −( nhv/ kT)

∑ e− nhv/ kT n

(4.68)

根据这个几率，我们就可以求出相应于频率 v 的所有相格中，每个相格的平均能量〈ε〉。我们把所有振动子的能量加起来，再除以振动子的总数。取 x=hv/kT，即可得

< ε >= ∑(n + 1 )hve− nhv /kT [∑ e−nhv/ kT ]− 1

n 2 n

kT( xe^−x + 2xe^−2x + 3xe ^−3x + ) hv

= 1 + e ^−x + e^−2x + e^−3x + + 2

(4.69)

方程(4.69)右端的分母值可取为(1? e−x)−1。为估求分子值，可连续两次利用同样的二项展开式。

kT{x(e^−x + e ^−2x + e^−3x +

) + x(e^−2x + e ^−3x +

) + x(e^−3x +

) + }

= kT{

xe− x

−x +

xe− 2x

−x +

xe −3x

_−x + }

1 − e

xe −x

= kT (1 − e^−x ) ²

由此

1 − e

1 − e

< ε >= kTxe^−x

1− e ^−x

• hv

2

= kTx (e ^x − 1)

• hv

2

hv

= (ehv/ kT − 1)

• hv

2

(4.70)

已经知道单位体积内的相格数是 8πv2dv/c3，并且每一个相格中的平均能量也已算出，于是我们就可以用频率和温度的函数形式写出光子的能密度。这就是黑体辐射谱：

ρ( v，T)dv =

8πv²dv

c3

( hv +

e hv /kT − 1

hv) 2

(4.71)

如前所述，hv/2 这一项是不可能依据光子的吸收或发射而被观测得到的。因此往后我们就把它忽略掉，而把注意力集中在另一项上。因为只有该项才会产生天文上观测得到的讯号。现在将方程(4.71)从零到无穷大对一切频率范围积分，我们就可得到总的能密度。总的光子密度也可类似地求得：

ρ(T) =

8 π⁵ k

T4

= aT⁴ = U

15 c³ h³

= 7.6×10⁻¹⁵ T⁴尔格·厘米⁻³

8π n(T) = c3

∞ v²dv

0 e hv /kT − 1

= 20T³光子·厘米⁻³

(4.72)

问题 4.21 注意，上述这些结果只有在介质的折射率 n=1 时才是严格正确的。当 n 为任意值时，试证明

ρ(T)=n3aT4

这是在恒星内部更为一般的情况。试进一步阐明，当折射率与频率有关时（情况通常是这样的），那么所得结果会有什么变化。

方程(4.72)是熟知的定积分。注意，如果把方程(4.71)括号中的第二项也参加积分，就会出现无限大的零点能量了。T4 项前面的系数有时缩写为 a（见方程(4.72)）。我们还可定义另一个有用的斯忒藩? 玻耳兹曼常数σ=ac/4。利用这个常数，我们就可以把炽热黑体在单位时间内单位面积上发射的能量写为

W=σT4 (4.73)

为了证明上式，我们把从物体表面逸出的光子作为靠近这表面的物体内部光子密度的反映。我们仅考虑那些速度方向是指向外面的光子，也就是说只考虑全部光子的一半。记θ为发射方向与表面法线方向的夹角， 则这些光子的速度在法线方向分量的平均值是 c〈cosθ〉。因此，我们必须对一切可能的角度θ取平均值以求出〈cosθ〉值。这个值为

< cosθ >=

2π ∫0

π/2 0

cosθ sin θdθdφ =

π / 2

0

= 1 / 2

∴ c < cosθ >= c

2

(4.74)

但既然只有一半光子方向是朝外的，因此总的能流就为1/2·c/2·aT4=aeT4/4，这就是前面所给出的结果。

大部分恒星的光谱接近于在黑体的光谱上叠加上一些离散的发射和吸收谱线。如果恒星接近于黑体的情况，那么就有可能确定恒星光球的温度，星光大部分是从恒星光球发射出来的。利用两种不同的宽带滤光片，比如在观测上常用的 B 及 V 滤光片，我们就能定出在这些谱段范围内的辐射强度比。这个比值仅仅与温度有关。由此求出的温度称为色温度。下面是一个有用的公式(A163)：

7300

T0 = ( B − V) + 0.73

(4.75)

问题 4.22 假定恒星温度为 600K（光谱型 G）以及 10000K（光谱型

A）。试利用表A.1 所载的有效波长值，再分别根据(4.71)式及(4.75)式， 比较这两种温度下蓝光波段和目视波段强度的预期比值。

另外还有一种确定温度的方法，它要用到恒星的光度。既然单位面积上发射的总功率仅与温度有关，那么只要能确定恒星的表面积及其光度，就可以由此计算其有效温度 Te：

L = σT⁴ 4πR²

(4.76)

如果由第二章所描述的观测方法求出了恒星的距离，那么就可由

4.12 节所叙述的迈克尔逊干涉仪或者汉伯里·布朗? 特威斯干涉仪求得恒星的直径。由式(4.76)易知

L

log

⊙

= 4 log

Te Te⊙

• 2 log R

R⊙

(4.77)

式中有关太阳的量是 Te⊙～5800K，R⊙=6.96×1010 厘米。Te⊙约有 50K 的

不确定性，因为 L⊙中紫外和红外分量还不确切知道。当我们如图 1.5 那样，根据有效温度及光度的对数点出赫罗图时，那么依据方程(4.77)的要求，半径相等的恒星应位于一条等倾斜线上。

有两个典型的天体物理情况值得一提，在这两方面的研究中温度是一个有用的概念。

(a)太阳系的温度

一个黑的行星际天体的温度是由能量平衡方程

L⊙

4πR²

πr ²

= σT⁴ 4πr ²

所确定的。其中 L⊙是太阳光度，B 是离太阳的距离，r 是天体的半径。记εa 为（在可见光波段的）平均吸收效率，εr 为（在红外波段的）再辐射效率，则有

我们看到：

T = ( ε a

εr

L⊙

16πσR²

)^1/4 (4.78)

1. 在地球距离处

8 4×10³³

T ~ ( a )1/4 (

) 1/4

ε 16π(5.7×10⁻⁵)2.3×10²⁶

εa 1/4

~ 282( ) K

r

1. 灰色天体（εa=εr）与黑色天体温度相同。(iii)当离太阳的距离有变化时，T∝R−1/2。

(iv)如果一个天体导热性差且自转很慢，比如月球就是如此，那么

日下点的温度为

T ~ ( ε a

ε r

L⊙

R² 4πσ

)1/4

(4.79)

这温度值约是自转快的同类天体温度值的(4)1/4～1.4 倍。(b)射电天文温度

我们可以借助于温度的概念理解射电天文测量的某些特性。对很低

的频率 v<<kT/h，我们发觉一个源的能密度可（依据(4.71)式）写为：

ρ( r) =

8πkTv ²

c3

= 8πkT (4.80)

cλ²

式中λ≡c/v 是波长值。从单位立体角以及在表面法向单位面积上发出的流量称为在频率 v 处的强度 I(v)。这也就是源的表面亮度，其值为

I(v) =

cρ( v) 4π

= 2v² kT =

c2

2kT (4.81)

λ2

如果通过观测测定了 I(v)值，那么不管这个源是否是热的，我们都可以对这个观测规定一个温度参数。这个温度称为亮温度 Tb，在频率 v 时其值定义为

I(v)c²

T ( v) ≡ =

I(v) λ2

(4.82)

^b 2kv² 2k

图 4.12 天线方向图。图上画出一个主瓣和一组边瓣。θ角是束宽（见正文说明）

于是 Tb 就是在特定的频率范围 v 到 v+dv 内，辐射能量与被观测源所发出的能量相等的理想黑体所具有的温度值。天线温度是与这个概念有关的一个概念。它与天线在环境气候条件下所具有的实际温度值毫不相关。为了阐明这个概念，我们必须先考虑天线的某些实际性质。一般地讲， 由于源的方向不同，天线所吸收的功率值也不同。如果画出一个天线的方向图，那么它的一般形状就如图 4.12 所示。称天线的响应 A（θ，φ） 为天线的有效面积。天线吸收的功率为

P ≡ 1 A(θ，φ)I( v，θ，φ)dvdΩ 2

对一个很小的源则有

P(v，θ，φ)dv ≡ 1 F(v)A(θ，φ)dv，F(v) = I( v)dΩ

2

(4.83)

式中 F(v)是天线上的流量密度，因为天线仅接受一个极化分量，所以要乘上因子 1/2。假若 A 与φ无关，天线图就如图 4.12 所示，在θ=0 这一特殊方向上 A(θ)值最大，在这个方向周围有一个很大的瓣，称为主瓣。图中较小的瓣称为边瓣。还可能出现后瓣。一个设计得很好的射电望远镜其主瓣应该是很窄的，这样可使定位精度最高，同时其边瓣应该极小， 这样可使所需观测的视场之外的那些源产生的干扰最小（Sh60）。

我们可以定出天线在所有方向上的有效面积的平均值，即：

< A >≡ 1 A(θ φ)dΩ

4π

天线的增益是一个无量纲的量

G(θ，φ) = A(θ，φ)

< A >

(4.84)

(4.85)

它给出了天线在某个给定方向的有效面积与平均有效面积之比。当仪器设计得正确时，在θ=φ=0 的方向上，G 值应达到极大。在方向图上与 A=A

（0，0）/2 相应的两个点间所夹的角度θ就称为束宽。

有了这些预备知识，我们现在就可以回过头来讨论天线温度 Ta 的概

念。如果一个源的方向谱亮度为 I（v，θ，φ），那么具有有效面积为A（θ，φ）的射电望远镜所接收到的功率值为

P(v) = 1 A(θ，φ)I(v，θ，φ)dvdΩ 2

(4.86)

另一方面，我们可以用温度为 T 的电阻器连接在接收器上，以代替天线。可以从实验和理论上证明，这样的电阻器会产生量值为

P=kT△v (4.87)

的热噪声功率。其中△v 是接收器带宽。由此，我们就可以把天线温度Ta 定义为

Ta =

1 1

k∆v · 2

A(θ，φ)I(v，θ，φ)dvdΩ

(4.88)

这个方程很有实用意义。利用这个方程可以很容易地比较从天体源接收到的功率与把接收器的输入端开关从天线拨到电阻器后所接收到的功率。式(4.87) 中的噪声有时称为约翰逊 （ Johnson） 噪声 或乃古氏

（Nyquist）噪声。约翰逊（Jo28）及乃古氏（Ny28）分别为导出(4.87) 式提供了实验资料及理论证明。

玻耳兹曼方程及刘维定理

定义函数 f（r，p，t）为相空间中粒子的密度函数。那么在位置 r 处 dr 体积元内，同时动量值又在某个动量空间范围 dp 内的粒子数为 f

（r，p，t）drdp。现在来看函数 f 是怎样随时间而变化的。由于系集中每个粒子由三个动量和三个位置坐标来表达，因此函数 f 随时间变化的一般形式的方程为，

∂f + ∑ ∂f dri + ∑ ∂f

dpi = df

(4.89)

∂t i ∂r_i dt

i ∂p_i dt dt 碰 撞

方程左端是体积单元 drdp 内粒子对时间的变化率，它是 n 个粒子的系集中坐标 ri，pi（i=1，2，⋯，n）的函数。当粒子运动时，包围粒子系集的相空间表面就会受到扭曲，上述表达式给出了由这种扭曲以及其他效应所引起的密度变化率。方程右端给出通过碰撞引起的粒子的损失率或增加率。方程(4.89)就称为玻耳兹曼方程。

假定方程(4.89)右端为零，即没有碰撞存在。为了考察在这种情况下会出现怎样的演化过程，我们来画一个简单的二维图形。在图 4.13 中， 原始粒子系集的位置在 r1 及 r2 之间，动量在 p1 及 p2 之间。过一段时间后粒子的动量并没有变化，而位置移动了：动量高的粒子移动到 r'1 及r'2 之间，而动量低的粒子则移动到 r''1 及 r''2 之间。但既然矩形面积的底和高不变，那么单位面积中粒子的数密度自然也就不变了。

图 4.13 二维相空间中无碰撞粒子系集的演变

当有作用力施加在粒子上时，类似的推论也是成立的。此时粒子的动量也会变化，因而图 4.13 中的平行四边形还会在垂直方向发生位移。但是，可用类似的推论证明粒子所覆盖的面积仍不变化，因此在这种二维情况下粒子的密度是不变的。如果作用在所有的粒子上的力都是相同的，那么上述证明就特别简单。因为在这种情况下 dp/dt 是相同的，故

差值 pa? pb 保持不变。当气体的不同成分上的作用力不同时，每一种气体成分所占的体积仍然保持不变。当力场具有梯度时，上述结论仍然成立。

上述推论可以进一步推广到全部六维的情况。除非存在某些创造或者消灭系集中粒子的方法（如通过碰撞或者通过粒子? 反粒子对的形成），否则在沿着六维空间的轨线上粒子的密度总是不变的。

这就是刘维定理的含义：除非发生碰撞，否则六维空间的粒子系集中密度是不变化的：

df/dt=0 (4.90)

刘维定理对宇宙线粒子的研究有着有趣的应用。许多这种宇宙线粒子的能量大到足够可逃逸出银河系的磁场。因而，只要宇宙线粒子从创生以来巳经具有足够的时间去穿越宇宙尺度那么大的距离，那么它们在银河系外的密度应该与地球附近测得的密度一样。如果我们考虑经过地球附近的高能粒子系集，情况就是这样。这些粒子在磁力线引导下穿过整个银河系（见 6.6 节对这个问题的进一步讨论）。因为银河系磁场不够强， 不足以把这些粒子锁在银河系内，于是它们最终就会逸出银河系外。当这些粒子跑到星系空间去后，它们在相空间中的密度仍应不变。如果可以证明，地球上宇宙线粒子的到达强度为不随时间变化的常量，这就表明在河外星系空间的宇宙线空间密度与地球上测到的值一样。反之，如果低能粒子可以维持在银河系中局部磁场范围内，那么上述论述就不再正确了。但是，如果这种磁场仍会使少量的低能粒子泄漏到河外空间， 那么根据刘维定理，仍要求在整个粒子可以到达的空间范围内，最终的密度仍然是均匀的。根据这个理由，只要对宇宙线粒子的强度进行局部的测试，就可能对整个宇宙内粒子密度给出有用的信息。然而另一方面我们也不能过于乐观，最近发现银河系中的脉冲星可能是我们所见到的宇宙线的主要来源，由此推测，在地球上局部测定的宇宙线密度值不一定与河外空间的宇宙线粒子密度有什么直接关系。因为宇宙线粒子可能还没有足够的时间在河外区域形成均匀分布。

刘维定理的另一个有趣的应用涉及到使用光学望远镜把光束集中在一个很小的探测器上的问题。在许多应用问题中，只要我们能把从宇宙源来的光线集中在尽可能小的探测器上，我们就可以得到极高的仪器灵敏度。记天体所张的立体角为Ω，望远镜面积为 A.那么刘维定理表明， 光线可能聚焦的最小探测器面积为

a = AΩ

4π

(4.91)

而且仅当光线是从一切方向射到探测器上时，上式才是可能的。通常我们只能让光线从一个小得多的立体角Ω′＜4π内射到探测器上，故而探测器的最小面积就变为

a=AΩ/Ω' (4.92)

如果违背上述情况就意味着违背了热力学第二定律。热力学第二定律表明，热量不能自由地从冷的物体流到热的物体。因为倘若探测器的面积可以做得更小，那么在探测器一端的光子相空间密度就变得大于源的密度了。这就意味着源的辐射温度要低于探测器的温度，或者说辐射就变成是从冷的物体流向热的物体去了。

最后我们还应提到在 3.16 节中已讨论过的一个问题，即粒子群在引力场中的运动。在第三章中我们讨论的是球状星团的潮汐瓦解。但同时注意到了当星团沿指向银河系中心方向伸长时，引力也会导致星团的横向收缩。这一收缩又产生附加的横向速度。因此总的演化方式就变得很复杂了。可是，刘维定理至少对我们理解这个总的发展过程给出了可靠的指导。它告诉我们，不管我们采用怎样细致的力学论证，如 3.16 节所做的那样，最后的结果至少必须与刘维定理所提出的相空间密度始终保持不变这一要求相一致。

费米? 狄拉克统计法

在费米? 狄拉克系集中，一个相格中只能容纳一个粒子或没有粒子。任何给定的系集中，存在一个费米能εF，当温度为零度时，该能量值以下的所有能态都是充满的。而当 T＞0 时，就可能激发到更高的能态ε。处于能量ε和 akT 的相对几率分别为

e−(ε−αkT)/kT 和 1 (4.93)

故当温度为 T 时，某个系集中能量为ε的能态被占有的相对几率为

eα−ε/kT

1+ eα−ε/ kT

1

= 1 + e( ε/ kT) −α

(4.94)

在此，我们还没有规定能量 akT。但在温度很低时，即当 T～0 时，akT

必须接近于εF，因为费米函数

F(ε) = [1 + e(ε −ε F) / kT ]−1

具有图 4.14 所示的形式。

(4.95)

我们定义F(ε) = 1 时的能量值为费米能。注意，在T = 0时，若2

ε? εF≠0，在(4.95)式中的指数的绝对值将很大，因而当ε＜εF，F(ε)=1

当ε＞εF，F(ε)=0 (4.96)

这就造成了图 4.14 中的阶梯函数。当所有的能级都充满时，也即意昧着T=0 时，我们就说费米气体完全简并了。当 T＞0 时 F(ε)就不再是阶梯形，而是较平滑地延展的曲线。几率 F(ε)与能量ε的乘积就给出了与能量ε相应的一切相格中所具有的能量的平均值。在求这个平均值时，空格及满格情况均需考虑在内

图 4.14 费米函数 F(ε)

< ε >=

ε

1 + e( ε/ kT )−α

(4.97)

我们知道在某一动量范围 p 到 p+dp 中的状态数为

8πp ²Vdp

Z( p)dp =

h3

但因

ε = p² p

2m ，dε = m dp

8π

∴ Z(ε)dε = h 3 V mdε

= 4πV (2m) ^3/2 ε^1/2dε h3

因而对一切ε值积分求得的粒子总平均能量为

(4.98)

∞ ∞ ε^3/2dε