=

(3.47)

方程(3.47)是开普勒第三定律的一种表达形式。

1. 如偏心率 e=1，从方程(3.42)可知总能量为零，而运动是抛物线运动。天文观测表明，某些彗星从很远的地方趋近太阳时，具有实际上是抛物线的轨道，虽然它们可能是细长的椭圆或者是细长的双曲线轨道，因此这些彗星，充其量不过是受到太阳很微弱的束缚作用。一个恒星过客施加在其上的一个小小的引力摄动，显然可以使得某些这类彗星的总能量略大于零，因而它们能从太阳系中逃逸出去，在星际空间漫游。

我们还应注意，由牛顿定理所产生的巨大进展之一，是认识到彗星及行星轨道都可以用同一种引力理论来理解，在此之前，是不知道有这样的联系的。

1. 如偏心率 e＞1，总能量为正，而且两个物体的运动是非束缚的。在一次趋近之后，这两个物体，彼此无限地远退。

2. 如偏心率为零，运动是以某一 R 值为半径的圆周运动，而且从

方程(3.42)所获得的、每单位质量上的能量为? MG/2R，那么方程(3.44) 表示 v2 等于 MG/R，或表示引力 MG/R2 必须等于 v2/R，后者有时称为离心力——是一个假想的力，它假设“尽管 M 有吸引力，但作轨道运行的物体仍保持在半径 R 为常数下作轨道运行。”

至此，我们说明了一个物体绕另一个物体的运动所描绘的一个圆锥曲线，另外我们可以说明，每一个物体绕公共质心的轨道也是一个圆锥曲线。方程(3.19)可以改写如下

•• GM ra

r a = − (1+ m

_a / mb )

₃ (3.19a)

a

这与方程(3.20)的形式一样，因此我们很容易得到在形式上相似的，表

示(3.27)，(3.28)，(3.29)以及最后表示(3.34)的方程。如我们说到的是矢量 rb 时，这个论据也认为是正确的。因此物体 ma 及 mb 绕质心的运动， 都是沿圆锥曲线的运动。

让我们还看看，是怎样来决定分光双星子星的质量，这是我们决定恒星质量中最重要的方法。对于这样的双星，我们可以测量在整个轨道上的这两个星的视向速度（图 3.5）。

图 3.5 双星轨道及两颗星绕公共质心运动时的各自的半长轴

通过查看谱线的来往移动来决定这种双星的周期，是较容易的，于是方程(3.47)给出轨道半长轴的立方与质量之和的比(a3/M)。其次，如果是一个食双星，可知视线是接近于轨道平面的，那末两个子星绕公共质心的轨道半长轴可以找到，以及如利用从方程(3.19a)导致的子星的方程，可给出个别子星的质量。

对于少数几个足够近的，可以进行精确观测的目视双星，如果它们的三角视差也知道的话，则个别子星相对于遥远背景星的运动，使得可以再一次计算出个别子星的半长轴。那么，轨道周期使我们可通过开普勒第三定律及方程(3.19a)来计算个别子星的质量。

我们注意到，(3.85)，(3.36)，(3.44)及(3.47)这样一些表达式， 把可测量的轨道参数与 M 及 G 联系起来，它们往往依乘积 MG 而变，因此可以得到的，既不是这个系统的总质量，又不是引力常数。长时期来， 这无论如何是一个严重的困难。

问题 3.2 试叙述，在利用已知的地球大小及它的密度的某一估算值来决定地球质量后，怎样从落体的实验中，可以获得 G 的粗略测量。在

1. 节中，我们将说明卡文迪许（Cavendish）怎样终于测定了

   G。为了精确地测定地球的密度，注意必须精确地知道 G 之值。

引力常数的确定

十八世纪后期，在牛顿第一个指出行星的运动是怎样依赖于太阳质量之后一百多年，一位英国化学家卡文迪许（1731～1810）发现测量引力常数 G 的方法。在卡文迪许完成他的实验以前，天体的绝对质量是不能精确地测定的，只能由行星的卫星轨道来决定行星质量的相对值。

在卡文迪许的实验中利用了一个扭秤，典型的设计可由一根石英纤维悬挂一根载有质量为 m1 及 m2 的两个小球的杆而组成，如图 3.6a 所示。每个小球距石英纤维的距离 L 相等。当一个小的可测量的扭矩加在这个

系统上时，在石英丝上可以引起扭转，记下这个扭转值可以标定扭秤。我们可以利用这个扭矩，它是由具有恒定的、作用力已知的弹簧在 m2 的位置上施加一个水平的力而组成。

如果质量为 M1 及 M2 的两个物体分别位于与质量为 m1 及 m2 的两个小

球的水平距离很小的位置上，我们可以观测到石英丝的旋转，如图 3.6b 所示。我们可以分别决定 m1 与 M1 以及 m2 与 M2 的距离 r1 及 r2，然后求施加在杆的端点的水平方向上的力，由此确立加在石英纤维丝上的扭矩。这个扭矩 N 为

N = L( m1 M1G + m2 M 2 G) (3.48)

2 2

1 2

从质量 M 的测量所得的偏离，再根据上面所说到的，由石英丝旋转大小而取得的扭秤的标定，我们可以决定 N 之值。由于我们可以测量 N，L， r1，r2 以及所有不同物体的质量，现在在方程(3.48)中除了 G 以外，所有量都是已知的，于是可从方程(3.48)直接决定 G，其值为 G=6.7×10−8 达因·厘米 2·克−2。

一旦 G 的值已知，利用开普勒第三定律，方程(3.47)可以立即决定太阳的质量。开普勒第三定律实际上是包含太阳及行星的总质量 M 的， 但是对不同行星进行计算后，我们可以证实，太阳的质量很接近于 M，而行星的质量仅约为～0.0013M⊙，在近似计算中可以忽略。利用已知的月球轨道及相似的方法，可以导得地球的近似的质量。

图 3.6 决定引力常数 G 的卡文迪许实验

质量的概念

如果检查一下有关质量的测量，我们说了些什么，那我们就会发现， 物体质量的决定，实际上存在着两种截然不同的方法。(i)对应于一个被测定的力（方程(3.4)），我们可以测量物体的加速度。或(ii)当一给定的质量位于指定的距离上，我们可以测量施加在物体上的力——这就是当我们用弹簧秤去称物体时所能做的。

第一种方法是动力测量，第二种是静力的。在第一种方法中测量出来的物体质量，称为惯性质量，而第二种测量方法得出的质量，称为引力质量。

现在我们假设取一引力质量为 m1 的钢球，再取一略微重一点的木球，慢慢地锉去多余的质量，直到其引力质量也等于 m1 为止。如果此时把这两个球放在天秤盘内，它们将使天秤的臂，处于水平位置，因为地球吸引这两个球的力是相等的。

现在的问题是，这两个物体的惯性质量是否经常相同，对于一个给定的力，木球是否象钢球一样，以相同的速率被加速，在做完实验以前， 我们不能肯定。

大约在本世纪初，这个问题，引起了匈牙利贵族罗兰·冯·厄缶

（Roland von E ÖtvÖs）的兴趣。在一个扭秤沿东西方向的水平杆上，他吊两个成份不同，但重量完全相同的砝码，由于地球自转，有两个力作用在每一个砝码上，(i)吸引力，因为重量相等，因此是相等的。(ii)由

于地球自转引起的离心力。如 A 上的离心力，大于或小于 B 上的，这将表示它们的惯性质量不同，杆将旋转，直到在吊线上的扭力，因为离心力的不等而得到补偿为止①。厄缶从来没有观测到杆的这种旋转，因图

1. 厄缶及狄克的实验

图 3.7 厄缶及狄克的实验

此作了在 10−8 范围内，物体的惯性及引力质量是相等的结论。

这个实验现在由狄克及他的同事作了改进。他们用杆在南北方向上吊重物，由于地球绕轴旋转，质量 A 向太阳的吸引力比质量 B 可能多或少一些，于是将观测到天秤的臂，起先在一个方向然后在另一个方向内摆动的周日效应。但没有观测到这种效应，结论是：在 10−11 范围内，引力质量及惯性质量是相等的。这类实验的优点，在于它是动力学而不是静力学的，而且有一个我们可以观测到的、一定的周期性（R064b）。

现在我们可以提问，物质的引力质量与反物质的是否一样。如果存在着由反物质组成的星系，它们将吸引抑或排斥由物质组成的星系。歇夫（L．I．Sohiff）（Sc58a）对这样的问题，曾给出一个推测性答案。他指出，很多原子核放射虚的电子? 正电子对。这意味着，在一部分时间内，总核能的一部分表现的形式为电子及与之相应的正电子。但这样的质点对不断地形成及重新结合，因而事实上从来没有真正发射过。

歇夫计算指出，如果正电子具有负的引力质量，那么，对于许多虚的电子? 正电子对的形成是主要效应的物质来说，惯性质量和引力质量之比将受到影响。这两种类型的质量之比，对于铝、铜、铂分别可与 1 相差 1×10−7，2×10−7，4×10−7。已经完成这种物质的实验，这些大小不等的结果，是厄缶及狄克的实验把它们排除掉的。它的必然的结果是， 物质和反物质的引力质量，应该具有相同的符号，而且星系与反星系的引力相互作用，在力学的范围内，不可能区分。

注意，我们只说过，正电子如同电子一样，它们的惯性及引力质量， 具有相同的符号，但是我们从磁场中的力学实验真正知道，正电子的惯性质量与电子的相等，因此我们上面的结论，应立即得出下列的结果， 物质及反物质都具有正质量。

如歇夫他自己所承认，这个论点有一个困难，即我们还不能绝对肯定，虚的电子? 正电子对的行为，是否准确地与真的相象。真的正电子的引力质量与虚的正电子的是否不同。不幸，直到我们在引力场中做一次正电子运动的直接测量以前，我们还不能绝对肯定它。

惯性参考系——等效原理

早先我们就注意到，牛顿运动定律，只有当运动是在固定的、或者对于遥远星系是恒速运动的坐标系内来描述，才是正确的。这种参考坐标系，如众所周知是惯性坐标系。

当我们试图去理解这些参考系的意义时，某些纠缠不清的问题出现了，它们可用一些简单的实验来描述。

1. 设一人蒙着眼睛坐在旋转木马上，当木马运动时，由于他能感觉到施加在他身上的离心力，因此他能非常精确地决定他是否在旋转。如果他调节机械结构，直到他感觉不到离心力，当他取去蒙眼时，他将发

现，相对于遥远星系，旋转木马是静止的。

1. 在星际空间飞船上的蒙眼人，可以调节他的控制器，直到他感觉不到加在他身上有任何力。仔细看一看，他将发现，他已调节到推力为零。他可以发现，相对于遥远星系，他正以常速在运动着，虽然他可以发现，他漫游在恒星附近，且正在向恒星自由堕落！爱因斯坦第一个假定自由下落、无旋转的坐标系，完全与相对于遥远星系作常速运动的牛顿惯性系等效。在这两种类型的坐标系内，所有物理定律都严格地有相同的形式。这个等效原理，将在 3.9 及 5.13 节中，证明是非常有用的。

当我们说到相对于遥远星系的运动时，真正的意思是，相对于非常遥远的所有星系的平均速度的运动。星系在所有方向上退行，但是就我们所知，往往存在着局部参考系，在这个参考系内，遥远星系的运动呈对称，从什么方向进行观测，问题不大。

加速度为零的局部参考系，可能是由宇宙中星系的分布决定的，这种决定是怎样发生的，是引力理论中还未解答的基本问题。在整个宇宙中，质量的分布应决定一个局部惯性参考系的思想，是马赫（E．Mach） 提出的，这有时称为马赫原理。这里有很多相关的问题，它们包含在相同的基本思想内：“物体的惯性质量是否由宇宙内物质的分布决定的？ 引力常数是不是由遥远星系的分布决定的？作为上述问题的一个结果， 即当星系彼此退行时，引力常数之值，是否随时间而改变？物理学中的原子常数，是否与宇宙的大尺度结构有关？”这些基本问题，目前还没有解答。

引力红移及时间膨胀

爱因斯坦的相对性原理（5.1 节）阐明，质量及能量的相互关系为， 任一静质量 m 有一相当的能量 mc2（Ei07）。爱因斯坦证明，分立的质量守恒及能量守恒定律，合并为一更一般的质能守恒定律。这预示在恒星表面，对于辐射有引力红移。考虑与恒星相距很远的、在静止状态的两个质点，一个是电子而另一个是正电子，每个质点的静质量为 m0，如果质点朝恒星表面下落，每一质点获得的总质量? 能量

E ≡ m c² = ( m c ² + m0 MG ) = m c² (1 + MG ) (3.49)

r 0 r 0 rc2

r 为与恒星的距离。括号内第二项表示势能向动能的转换。现在设这两个质点，在不损失能量或动能下发生偏转，因此它们对撞而湮没。在这个过程中产生两个光子，其频率为

m c ²

v = r r h

(3.50)

现在这些光子可以从 r 处逃逸掉，但是由于从静止的镜子偏转——这使得没有频移产生——我们可以在远离恒星处，使它们再度碰撞。

在这个碰撞中，它们可以形成一个电子? 正电子对，如能量守恒， 则在与恒星相距很远处，频率 v0 必须为

m c²

v = 0

0 h

(3.51)

否则，在再产生处于静止状态的正电子? 电子对时，应当有过多或过少的能量，因此

v0 =

vr

1 + MG / rc²

(3.52)

在离恒星很远处的频率比发射的频率低。对于一颗象太阳的恒星 M～ 2×1033 克，半径 R～7×1010 厘米，因此在太阳表面，MG/RC2～2×10−6。对于一颗中子星，它的质量应与此相等，但是它的半径应小 105 倍，因此相对频移

∆v = v0 − v r

= − MG [1 + MG ]⁻¹

(3.53)

v r v r

rc² rc ²

变得与 1 相差不远，频移△ν与频率本身变得可以相比！

在下一节中，我们将看到，电磁波的频率可以非常精确地测量时间， 因此可以用来作为时钟。一只位于强引力场中的这样的钟，应当走得更慢一些。一般说来，时钟所在地的引力势 V(r)决定一个钟行走的速率， 从一位于引力场之外，也就是说，位于 V=0 的观测者来测量这个钟的周期 P，将有

P = P (1 + V ) (3.54)

0 r c2

在 3.11 节中，我们将略述测量这种时间膨胀的实验，时间膨胀，使得脉冲星的经过太阳附近的脉冲，在到达地球时，发生延迟。

时间的测量

在描述行星绕太阳的轨道运动时，我们曾获得以时间为函数的行星位置表达式。但是时间这个参数，实际上是怎样测量的呢？

测量时间有若干种方法（Sa68a），我们感兴趣的是这些方法之间是怎样相互联系的——这里面包含物理学的某些问题。首先让我们描述某些想象中的钟是怎样制造的，它们可能并不切实可行，但在原则上应能工作。

第一个钟

取若干氚 H3，它衰变到氦的同位素 He3。如果氚保持在温度约 10K 的状态下，氦将扩散而形成，称一称氚，当它的质量下降到它初始值的一半时，我们说，消逝掉一个单位时间 NT，我们可以制造一个当剩下的质量减少一半时敲一下的钟。

第二个钟

取一些铯的同位素 Cs133。在基态的两个超精细能级之间会发生跃迁，我们测量在这个跃迁中发射辐射（无线电波）的频率，这个电磁波的周期，可以作为时间的单位 AT。

第三个钟

我们装置一个一直指向地方天顶的望远镜，一个给定的遥远星系， 精确地重现在望远镜视场中心的时间间隔，称为一个单位时间 UT。

第四个钟

我们注意到，木星在天球上所描绘的平面，是它绕太阳公转的平面。我们记下地球在绕太阳运行时通过此平面的时刻，地球在绕太阳一圈

时，两次通过此平面，一次从北到南，另一次从南到北，如我们定义连续两次从北到南通过的时间间隔为一个时间单位 ET。我们还有其他测量时间的方法。

这些时间——NT，AT，UT 及 ET－—称为核子时，原子时，世界时及历书时，正如我们在这里给它们下的定义那样，其时间单位，分别相当于～12 年，（9，192，631，77O）−1 秒，一天及一年。

这些钟的基本区别在于：第一个钟是用β衰变作为它的基本机制， β衰变是一种弱相互作用。第二个钟是利用电磁过程来测量时间。第三个钟是利用地球自转来测量时间，这是惯性过程，最后，第四个钟是利用引力来测量时间。

由于这些钟所依据的是完全不同的物理过程，我们担心，它们可能并不是测量同一“类”的时间。例如，没有理由认为在上面定义的原子时及历书时所描绘的时间间隔有一个为常数的比，目前，这些时间单位之比约为 3×1017∶1，从现在开始，几十亿年之后，这个比值将相同吗？ 或者引力场的强度或者弱相互作用的强度会随时间而变，使得这些钟中的一个相对于另一个钟变得加速。

我们可用实验来检验这个问题，事实上，这种检验已经被提出过， 它们的结果，对于宇宙学是很重要的。为了要了解宇宙的原子核的历史以及化学元素的形式，我们必须知道，在过去的历史长河中，宇宙的总体上的演化怎样影响恒星内部核反应速率。在读了第八章讨论恒星内部原子核的合成后，这个问题会更清楚一些。

要了解的重点，是我们上面已列举的四种完全不同的定义时间的方法①。如果广义相对论是正确的，则后两种钟是相关的。同时它们的相互关系变为对引力理论的检验。

在实际工作中，比较这些钟是困难的，行星的摄动使得地球绕太阳的轨道是不规则的。地震及其他扰动影响地球自转的速率。对这些效应的了解不完全，使得用原子钟来测量时间的、对世界时及历书时速率的比对很困难。可是，这种实际上的困难应该克服，而时间尺度的相互比对终将成为可能。

脉冲星时间的利用

很多脉冲星发射讯号，其周期在一年内的变化小于 10−8。因此这些讯号可以用来定义一个时间尺度。这个时钟的机制还不了解，但想来这里包含有中子星的自转周期。在任何情况下，它的规律性使我们能把它用于科学的目的。对于很多的目的，只要一个钟的精度能核实，我们并不需要知道它是怎样工作的。

康塞尔曼（Counselman）及夏皮罗（Shapiro）列出了若干种可以利用脉冲星来加以研究的、有趣的引力效应。

1. 地球的轨道可以测定得比现在所知道的更精确。脉冲星的发射其作用象一个“单程”雷达，对不同的脉冲星作脉冲速率计数，使得我们可以相对于某一任意定义的惯性系来测量地球的瞬时速度。在一系列时间间隔内，积分这些速度，可以获得以时间为函数的地球的位置，这就是地球轨道的形状及其取向。

这种测量也可以获得最外面的行星的位置及质量的资料，它们的运

动影响到太阳系引力中心的位置，因此也影响到地球的轨道，这些效应的周期性可以利用行星的轨道周期来决定，而且我们在脉冲计数中应发现相应的周期变化（As71）。

1. 位于黄道面附近的一个脉冲星，每年将接近太阳一次，当光脉冲从非常接近太阳边缘处通过时，由于强引力场的出现所有钟都应变慢， 而在太阳所在的局部地区，光速仍以 c 来量度，因此光脉冲应慢下来。在地球上，脉冲的到达时间因而将延迟约 100 微秒，具体延迟多少，只依辐射经过太阳时靠得有多近而定。通过到达时间的追踪，我们可以计算时间延迟，看看测量所得的延迟与相对论理论的预告是否符合。要做这个，我们不得不首先作由于日冕的相对来说高的折射率引起的在时间延迟上的改正。因为由大气折射引起的延迟是与 v−2 成比例，而引力延迟是与频率 v 无关的，因此这是可行的。几个脉冲星在 1°范围内通过太阳，对于这种检验应该是合适的对象。

2. 由于脉冲星位于银河系内，银河系内恒星的剪切运动，相对于太阳应产生一个加速度，利用脉冲到达时间的追踪观测，可以探测到它。银河系的较差自转，因此可以很精确地被描绘出来。

   1. 银河系自转

银河系的质量分布不均匀，大部分集中在核心附近。由于这个缘故， 银河中心附近恒星的角速度 (r)往往要比离银心较远的恒星的角速度明显地来得大，即 d /dr＜0。为简单起见，假设所有恒星绕银河中心都具有理想化了的圆轨道。令太阳位于离中心 rs 处。相对于太阳，在银经为l，与中心 C 相距 r 处的物质，沿视线的接近速度为叫 v（r，l）（图 3.8）。

图 3.8 讨论较差自转的示意图v(r，l)=[−rs (rs)sinl+r (r)cosθ]

=[ (r)− (rs)]rssinl (3.55)

(3.55)式中最右边的简单形式，是由于有从图 3.8 中可以看出的 rcosθ

=rssinl 这样的关系式。从(3.55)式以及 d /dr＜0，我们注意到，在第Ⅰ及Ⅲ象限，v（r，l）是正的，因此在这些方向上的恒星及气体，将趋近我们，其光谱应蓝移。在Ⅱ及Ⅳ象限，恒星光谱应出现红移。

事实上，这就是所观测到的。1927 年荷兰天文学家奥尔特（Oort） 能够利用这个迹象来证明，在银河系内的恒星，处于绕银河中心作较差自转之中（Oo27a，b）。

在任一给定银经 l 处，在 P 点，即当视向是切线时，应观测到最大的速度。在任一给定距角 l 处，记下极大速度，我们可以建立一个能给出质量分布及太阳与银心距离的银河系的模型。目前的结果给出 rs=9.5 千秒差距±1.5 千秒差距（vd Be 68）。

较差自转倾向于剪切绕银河中心旋转的气体及尘埃聚集体。有时在某些星系中，这种效应，认为是出现旋臂的原因。可是，最近林家翘（Li 67）认为，旋臂结构体现了密度上的局部增加，而且这个增加了的密度旋涡，以不同于恒星的“图案”速度，象波一样绕星系运行。对于银河系，这个速度等于以千秒差距为单位的、离银心的距离再乘以 13.5 公里

/秒。在太阳附近，这个速度应为 135 公里/秒，而银河系自转（恒星的速度）是～250 公里·秒−1。与此相反，在棒旋星系中，棒上的恒星发现如固体一样，与图案一道运动。

在平方反比律场中天体的散射

当流星接近地球时，它的轨道可以发生明显的变化，同样，一颗通过木星与木星很接近的彗星，可以获得足够的能量以逃逸出太阳系。在这两种情况下，小天体被大天体所散射或偏转。当一个质点，起初以θ∞

? θ0 方向接近时（图 3.9），轨道方程由方程(3.34)及(3.40)给出

1 MG

r = h²

[1 +

cos(θ − θ 0 )]

(3.56)

距离散射体很远时，渐近运动是沿下列方向（见方程(3.42)）

cos(θ ∞ − θ0

) = −(1 +

2εh²

M 2G 2

) −1/2 = −

1 ，r →∞

e

(3.57)

对于｜θ∞? θ0｜的两个值而言，这是有解的。一个对应于进入方向，

另一个对应于被散射的渐近方向。物体被偏转的角度为T=2（θ∞? θ0 ）

? π，可见

sin Θ = − cos(θ 2 ∞

− θ 0

) = 1

e

(3.58)

注意到 h 是单位时间内扫过面积的 2 倍h=v0s

其中 s 是碰撞参数（图 3.9），ν0 是被散射质点在距离很大，r→∞时的接近速度，

v2

由于 ε = ⁰ ，h² = 2εs² 2

及

(3.59)

这引导到

sin Θ = [1 + ( 2ε

2 MG

) 2 ]−1/ 2

(3.60)

cos Θ =

2

2εs MG

(3.61)

如果任一碰撞参数界于 s 及 s+ds 间的物体被散射到界于 及Θ+dΘ的角

度内，我们说，对于散射的微分截面σΘ，由下式给出2πsds≡−σ(Θ)dΩ=−2πσ(Θ)sinΘdΘ (3.62)

这个方程左边的表达式是圆环的面积。从一个给定的方向接近的所有粒子，如果它们被散射到一个立体角 dΩ之内，这个立体角包围在两个具有半角分别为Θ及Θ+dΘ的圆锥体之间，就不得不通过这个圆环而流过。方程右边的表达式给出界于这两个圆锥体之间的立体角再乘以微分截面， 因此微分截面，正好是保证获得被散射质点守恒的参数，负号的出现，

图 3.9 在平方反比律吸引场中的散射*

是因为碰撞参数 s 的增加，导致散射角Θ的减小的缘故。由于 2πsds[见方程(3.62)]是碰撞参数值界于 s 及 s+ds 时的相遇几率，因此微分截面

是与散射到角度界于Θ及Θ+dΘ之间的几率成正比。现在我们把(3.62)式重新写成下列形式

σ(Θ) = sds sin ΘdΘ

与对于 s 的表达式(3.60)组合，得

σ(Θ) = 1 ( MG ) ² 1

(3.63)

(3.64)

恒星阻力

4 2ε

sin⁴ (Θ / 2)

如果一颗高速恒星通过低速恒星场周围而运动时，由于在每一次远相遇中，会稍许偏离，因此遭受一个阻力。应用上面导得的散射理论， 能够初步地计算这个阻力。

首先，沿向散射星接近的初始方向上，恒星速度的损失为

△v=v0(1−cosΘ)

其中ν0 是在距离很大时，对于散射中心的接近速度，这并不是整个的速度损失，只是沿接近方向分量上的减小。在动量上的变化为μ△ν，其中μ是约化质量。因此，沿初始运动方向反向上施于高速恒星上的力为

F = ∑ μ i ∆vi

(3.65)

i ∆t

其中△t 是产生速度变化△νi 的时间，在这个时间间隔内，对所有发生相遇的恒星求和，这个求和的形式可以用数密度为 n 的恒星气体来代替。用相遇几率或对于散射进入 角的截面来说，在任何给定的相遇中，力将为

F = 2πμv ²n

Θmin

Θ max (1 − cosΘ) σ (Θ) sin ΘdΘ

(3.66)

这个作了如下的假设：所有与个别恒星相互作用而引起的偏转都是小的，以及沿运动方向的力是线性相加。利用公式(3.62)，我们有

F = 2πμv² n

Θ max

Θ min

(1 + cos Θ)sds

(3.67)

我们对单个恒星在所有可能的碰撞参数 s 值上来积分，然后乘以恒星的密度 n，以此来代替对所有恒星的积分。由于在碰撞参数 s 下，与一个恒星相遇几率是与 s 及 n 成正比的，因此这是一个等效算法。在表达式中出现的额外因子ν0，是考虑到在速度很大时，单位时间内的相遇次数会增加。如我们令θ0≡0 及θ∞≡θ，则

但（见图 3.9）

1 − tan² θ

− cosΘ = cos 2θ ≡ 1 + tan2 θ (3.68)

Θ 2εs sv ²

cot ≡ tan θ = = ⁰ ≡ αs (3.69)

2 MG MG

因此

F = 2πμv² n s 2 ds

(3.70)

0 ∫ 1 + tan² θ

及

F = 4πμv² n sds

(3.71)

0 ∫ 1 + α2 s2

4πμv² n

Smax

F = ⁰ ln(1 + α²s² ) 2α²

我们定义一个减速时间或弛豫时间，τ

τ ≡ μv0

F

Smin

(3.73)

(3.72)

在这个计算中，已作恒星是通过稳定“场”星群而运动的假设。只要这些恒星的随机运动速度与ν0 相比是低的，方程(3.72)就完全适用。不过当恒星随机速度趋近于ν0 时，质点由于碰撞，可以交替地被加速或减速，上面的推导就不再适合了。对于太阳，以速度ν0=20 公里·秒−1 通过周围的恒星场而运动，a=3×10−14 厘米−1，n～10−56 厘米−3，及μ～ 1033 克。如果取 Smax～1019 厘米，粗略地说就等于恒星的平均间隔①，此外再假定 Smin 要小得更多，那么 F～1018 达因。可是即使对这样大的力， τ～1021 秒，比宇宙的估计年龄还大得多。τ的这个大的数值使人困窘， 因为在恒星动力学中，它是一个有代表性的一般问题。我们发现如球状星团那样的聚集天体，与在热力学平衡中所期望的形状相似。这意味着恒星必须激烈地相互作用来彼此传递能量，可是上面的机制，在任何地方都不会以接近于令人满意的速率来完成这种聚集，相同类型的其他机制也不行。这些恒星的相互作用必须用某种我们还不了解的过程来控制。在 3.16 节中，将再讨论这个问题。不过我们必须注意，恒星与气体云或恒星云的相互作用所产生的效应，比个别恒星相遇的要大（Sp 51a）。如果云的质量为 M～106M⊙及 n～10−65 厘米−3，F 增加 103 倍及τ减小 103 倍。此处 Smax 必须选择为～1022 厘米。

碰撞并不往往使质点减速。当恒星位于银河平面且与质量大得多的气体云相互作用时，实际上它们可以加速到高速。在表 A.6 中，我们指出老年星相对于太阳的均方根随机速度比年轻星的要高，这可能是由于与这种气体云相碰撞的结果。如在第四章将要说明的那样，物体的系集， 倾向于把它们自己排列成平动能量相等的形式（能量均分），因此大质量的云往往就会把它的一部分能量传递给质量较小的恒星，这样就把恒星的速度加速到大于气体云的速度ν0。

利用上述的计算方法来处理带电质点，是与此完全不同的另一类问题。静电力的平方反比律使我们也能导得与公式(3.72)及(3.73)完全相似的公式。我们可以计算在快速电子通过星际介质时的静电阻力，以及当星际或行星际带电尘埃以典型速度～10 公里·秒−1 通过部分电离的介质时的静电阻力。这个效应，特别在尘埃质点通过星际介质运行的动力学中起重要作用。在 6.16 节中，我们还看到电子及离子的远碰撞是用如(3.67)那样的公式来描绘，以及电离等离子体的不透明度或发射率，可以用这些方程来计算。从热电离星际气体来的射电发射，也可以直接与等离子体密度，或者更确切地说与通过气体云在视向上圆柱内的碰撞频率相联系。

维里定理

这里我们将要证明的定理仍然是统计性的。它描述一个大的物体系集的总体上的力学表现，而不是属于这个系集中的任何一个给定物体的精确表现。

考虑一个位于 rj 的质量为 mj 的系统。令作用在 mj 上的力为 Fj，现在我们可写出下列恒等式

d • •

dt ∑ Pj·rj = ∑ Pj · r _j + ∑ P _j ·rj

(3.75)

= 2T + ∑ Fj ·rj j

(3.76)

其中 T 为整个系统的动能，以及动量对时间的导数 j 与力 Fj 相等。目前我们并不使方程左边等同于任何在物理上感兴趣的量。在方程两边取对时间的平均，可得

1 ∫ t d

∑ Pj rj dt =< 2T + ∑ Fj·rj >

(3.77)

τ 0 dt j j

其中括号表示对时间的平均。系集内每一个成员对于全部时间仍继续保持为成员的束缚系统，是特别有趣味的一种情况。在这种情况中，由于没有一个质点从这个系统中逃逸出去，所有的 rj 值，必须保持为有限的， 而且由于该系统的总能量为有限的，因此所有的 Pj 值必须保持为有限。

由于∑ Pj rj 保持为有限，对于全部时间，它的导数也必须保持为有限。 j

这意味着(3.77)式中的左边，是由一个有限量被τ相除而组成的。如果我们在很长或无穷大的时期内来进行平均的话，τ可以变得任意大， (3.77)式的左边，因此趋于零。我们可设

< 2T > + < ∑ Fj ·rj >= 0

j

如果力是从引力得来的，这个方程变为

< 2T > − < ∑∇V(rj )·rj >= 0

j

(3.78)

(3.79)

其中 V(rj)是在位置为 rj 时，质量为 mj 的物体的势能。在这种情况下， 力只是位置的函数，而且可以写成如势能梯度∇的负值

Fj=−∇V(rj) (3.80)

如果势能是与 rn 成比例的，梯度位于沿径向的方向，及

∂V(rj )

∑ ∇V(rj )·rj = ∑

∂r rj

(3.81)

j j j

称为整个系集的总势能 V，我们得

< T n V >

2

V ≡ ∑ V(rj )

j

− 2＜n

(3.82)

对于 n＜? 2，由于总能量<T>+<V>应当为正值，这表示这个系统不再为束缚系统，于是这个关系式陷于困境。对于一个平方反比律的力，如在引力或静电力中势能变成与一次方成反比，n=? 1，及

1

< T >= − 2 < V >

(3.83)

这定理在天体物理学中是很重要而且发现是有多种用途的。例如，对于星系团质量而言，它提供当前最好的估算值。这个估算值是利用星系团

中、不同星系间视向多普勒速度弥散度的观测值而得到的。这个弥散度，给出单位质量上的平均动能。方程(3.83)于是给出每单位质量上的平均势能。如果从星系团的距离以及从它在天空中的张角可以知道典型的星系团的直径，我们可以在下述假设下，获得星系团总质量的粗略估算，

V ~ MG

(3.84)

M R

其中，M 为星系团质量，R 为某一加权星系团半径，略小于该星系团的观测半径。如果把实际上星系团的观测半径用于方程(3.84)中，在正常情况下，星系团的估算质量，应有不到一倍的误差（这是太高的）。

当我们用维里定理来决定星系团的质量时，出现一个有

趣的问题。在此星系团中，个别星系的质量可用问题(3.9)中的方法来决定。如果星系团的大小是从视直径及红移距离计算出，从这里我们可以计算整个星系团的势能。如果用个别星系的随机速度来计算 T，从方程(3.83)，仍然可以获得势能的一个独立的估算。这样一来，我们注意从一个星系到另一个星系在红移上的变化，以及估算实际的随机速度， 利用(3.83)式的结果，往往会奇怪地给出<T>，从而<V>比基于个别星系的质量计算的总势能约大一个数量级。我们认为这或者(i)在星系团中有大量未探测到的物质，或者(ii)整个星系团正在瓦解，或者(iii)我们还不了解在这样大尺度上的动力学。例如我们可以提问，星系团内的星系， 是否能不参加整个宇宙的膨胀，能否把这归结为星系瓦解的原因。看来这个答案依赖于我们还不知道的一些因素。如果宇宙中，质能的大部分表现形式是物质，宇宙的膨胀只起小角色作用；但是如果引力或电磁辐射及中微子具有比物体大的能量密度，则宇宙膨胀可起显著的作用

（No71）。问题(4.5)及其后面的那部分讨论就是从观测的观点来处理星系团的问题。

抵制潮汐分裂的稳定性问题

当一大群具有总质量为 m，受引力束缚的质点行近一个质量很大的物体 M 时，这一大群质点往往会被撕裂开。一个用引力保持在一起的固体， 当它行经比它大得多的物体时，可以发生同样的情况。

道理很简单。如果我们考虑这质点群的质心与大质量物体 M 的距离为 r，且笔直地向它坠落。于是向 M 的加速速为? MG·r−2。令 r'为这质点群的半径。在该质点群表面上的一个质点 P0（图 3.10）与 M 的距离最近，要不是从质点群中心来的引力，使该质点以加速度 mGr'−2 离开 M， 则此质点将以加速度? MG(r? r')−2 向 M 运动。为了使质点不断地离开该质点群，必须有下列条件

1 1 mG

MG(− r 2

+ (r − r ') ² ) ＞

r '²

(3.85)

展开上式中的左边，且只保留 r＇的一次项，得

2M ＞ m

(3.86)

r ³ r'³

同样，对于一个绕 M 完全作圆轨道运行的质点群，当下列不等式存在时，发生分裂

3M ＞ m

(3.87)

r ³ r'³

图 3.10 一个受引力束缚的质点群——恒星、原子、分子——与一个质量大的物体 M 相遇很近时，可以被分裂掉

问题 3.3 试导出方程(3.87)。可以设想这个质点群在运动时，没有绕其中心的自转，并考虑其质心以离心斥力

•

F = r θ²

(3.88)

而离开 M。这与在 P0 点的“斥力”(r? r') 2 有所不同。

因此质量 M 与 m 的精确的比率，将依不同的轨道而变化，m 的自转， 也将在决定它的稳定性中起作用。可是值得注意的是，粒子群的密度比单独考虑它的实际质量或大小更为重要。

这里有第二个同样起重要作用的效应。再一次考虑直接的坠落。质点 P1 及 P2（图 3.10）向 M 径向加速并趋于会合，质点 P1 及 P2 的相互间相对的有效加速度，粗略地为

2 MG r' = 2MGr'

r ² r r ³

这种效应由它们本身产生。当它大于由于质点群本身的质量而引起的加速度 mGr'−2，也就是说，当(3.86)式有效时，这个结果是重要的。因此伴随着潮汐分裂，存在着一个横向压缩，它倾向于集中这个质点群，然而潮汐力却试图撕裂开它。在这些综合效应下，实际上会产生什么结果， 最好是利用在第四章的刘维（Liouville）定理来理解。

值得注意的是两个特殊的场合，这种类型的潮汐分裂在那里看来起重要的作用。第一，与太阳十分接近的或与最重的行星木星十分接近的彗星，曾观测到过分裂成两块或更多块碎块的现象。潮汐理论的一般性质，看来被证实了。

同样有兴趣的是在球状星团上看来有潮汐分裂的效应。冯·霍亥纳

（Von Hoerner）（vHo 57）曾用统计方法细查过这些星团的轨道，发现它们的轨道被拉得非常接近银心。质量很大的银核，看来可能会把这类星团的外围束缚得松散的成员星剥夺掉。在星团中心，密度最大，因此分裂效应相对来说是小的。然而在星团边缘，那里 m/r'3 之值小，恒星可以较容易地离开星团。

现在我们也可以看出，在决定星团内恒星最终的速度分布中，为什么球状星团内恒星的相互作用，只可能起有限的作用。3.14 节的论述以及用公式(3.73)表示的、非常大的恒星相遇弛豫时间τ，不可能给出演化到我们所观测到的界限分明的致密的球形聚集体那样一幅星团实际演化的真正图象。与银核的相互作用必定对这个分布有一个明显的、甚至可能是占统治地位的影响。我们将在 4.21 节中，再一次论及这个问题。

在 1.8 节中我们曾说过，本星系群中某些矮星系决不可能十分接近我们的银河系或 M31。根据如(3.86)及(3.87)那样的判别标准，我们可以直接地作出这个结论。

问题

1. 地球绕太阳运动的轨道周期由公式(3.47)给出，太阳的距离可由 2.1 节所叙述的雷达法来精确测定，对地球的偏心轨道取平均值，可得太阳距离的平均值为 1.5×1013 厘米。假设地球质量 mB<<M⊙，试证太阳质量 M⊙=2.0×1033 克。

2. 雷达讯号从发射后经过 2.56 秒钟从月面返回，光速为 3.00× 1010 厘米·秒^{? 1，假设月球公转周期约 27.3 日，在月球质量比地球小的假设下，试求地球的质量。}

附注：用这种方法，可以决定任一带有卫星的行星的质量，当行星没有卫星时，可以从施于附近的行星的摄动中决定它的质量。这种计算很费时，但本质上并无新的物理概念。计算是在牛顿力学范畴内进行。

1. 由于月球及地球绕一公共质心旋转，火星的视运动在它的正规轨道上，叠加有一个周期为一月的运动，月球的距离为 D～3.8×105 公里，火星最接近地球时的距离为 L～5.6×107 公里。在半个月内，火星的视位移为～34 角秒，试求月球的质量。

2. 当流星与地球相距很远时，以速度 v0 接近地球，如碰撞参数 s 由下式给出，试证该流星将冲击地球，至少会擦边而过。

s ≤[R ² + 2MGRv ⁻² ]^1/2

图 3.11 流星或流星云在地球大气上的碰撞

1. 如一个流星云以相对速度 v0 接近地球，试证质量捕获率为

π[R ² v + 2MGR·v⁻¹]ρ，其中ρ为云的质量密度。在问题(3.7)及(3.8)

中，都忽略了太阳对流星的影响。这个问题，在阅读 4.5 节以后来做更为适当。

1. 从侧视来看一个旋转盘状星系。利用分光测量的多普勒谱移， 我们可以决定边缘附近恒星绕星系中心旋转的速度 V。试证用观测到的速度表示的星系的质量为～V2RG−1。R 为星系的半径。

2. 在年轻星团附近，我们偶尔会看见 O 或 B 型逃逸星。显然直到不久以前，它们还是星团的一部分，不过退行迅速而已。布拉乌(Blaauw)(B161)曾认为，逃逸星原先可能是双星的一部分，双星的伴星作为超新星而爆发，只是把一部分质量丢在后面。假设初始运动为圆运动，残存星的初始轨道速度为 v。如伴星的初始质量为 M，爆发后最后的质量仅 M/10，求高爆发很远处逃逸星的最终速度为 V。残存星的质量为m，v 及 V 都是相对于该系统质心而言的速度。

3. 一个自旋迅速的引力束缚天体（但不是处于相对论速度下）， 如其质量为 m，半径为 r，试求该天体分裂时的自转速度。假设直到分裂前，天体的形状保持为球形——即使这个假设一般并不成立。

4. 每年一次太阳掩致密射电源 3C279，试证无线电波在太阳边缘通过时，将会弯曲（Hi 71）。并证这种弯曲是等效原理的推论。

5. 在棒旋星系 NGC7429 中，多普勒频移速度表示棒是如固体那样旋转（Bu 60），即在它的整个棒上，角速度ω为常数。试证当质量的分布事实上是球形（不过只是棒由明亮的恒星组成），以及在半径为 r 的球内的质量 M(r)随离星系中心距离的增加而迅速增加时（图 1.10）这

样的运动可以发生，试证在此情况下。 dM( r) 是与r ² 及ω² 成正比。

dr

不过棒旋星系是否可能以完全不同于这种过程来解析，我们还不清楚！ 阿尔赛斯(Aarseth)(Aa60，61)曾讨论过一个实际的，恒星的圆柱形棒的稳定性。

问题选答

3.1

• 1 • dy dy

r = y2 θ dθ = −h dθ

代入(3.30)，得

• • d2 y

r = −h θ dθ2

d² y +

h2

= − r 2

MG

d ²y

dθ²

dθ²

y = h 2

以 y=Bcos(θ−θ0)+MG/h2 代入满足此式。

••

1. 在高度H << RE 时，m r = GmM E / (RE

• H)² 。如我们取M =

ρ (4 / 3)πR³ ，其中的符号分别代表地球质量、密度及半径，可从测

量的加速度来估算G ~ g[ρ (4π / 3) R ]⁻¹ 。

1. 在一群质点的质心，离心力及引力相等：(r

   )2=GM/r，一位于质点群表面附近的质点 p 所受的离开 M 的离心加速度比中心的要小MGr'/r3 倍，这一质点还承受一较强的向 M 的引力加速度

MG r ²

r ² [−1 + (r − r' )² ]

当发生分裂时，这些加速度必须大于 mG/r'2。展开这个不等式，得

3M ＞ m

(3.87)

r ³ r'³

这个解是在质点群无自转的假设下进行的。

1. 令 m 为月球质量及 M 为地球质量，地球与质心的距离 R 由下式给出：

RM=(D? R)m

火星的视位移为 2R/L，其中 L 为火星的距离。在问题 3.2 中得到 2R=1.7

×10−4L，R=4.8×103 公里，及 M=6.0×1027，因此现在我们可以估算出 m～ 7.4×1025 克。

1. 令 V 为流星擦边而过时的速度，即流星击中地球时与地球相切，那么这个速度是与位置矢 R 垂直的。因此我们可把角动量守恒写成如

每单位流星质量上的能量守恒为

Sv0=RV

v² = v² − MG

2 2 R

从上式消去 V，可得

s = (R ² + 2MGR )^1/2

v2

显然所有碰撞参数小于 s 的流星同样可以冲击地球，这便是所要求的表达式。

1. 每秒钟内冲击地球的流星数目，可由空间流星密度乘以圆柱体的体积而得出。圆柱体的半径是单位时间内碰撞参数 s 所扫过的距离

πs2·v0·ρ

s 由问题 3.7 给出。

1. 假设为圆周运动。一个星系对一颗位于它边缘上的恒星施加引力，它的质量为 M。于是可以恒星单位质量内动能及势能的关系得出

v = MG

2 2R

1. 这个问题有点复杂。每个星绕质心的线动量开始为 mv，如质量为 M 的恒星爆发后，留下质量为 M/10 的残骸，这两个保持下来的恒星将以相对于初始质心以 0.9mv 的动量而运动，这引起质心平移的动能以及这些星围绕新的质心而旋转的附加动能。新的束缚势能只有初始束缚能的十分之一，但如果 m>>M/10，减下来的势能的大部分转化为该系统的平移运动。在这种情况下，两个残存星保持束缚及 V～0.9mv/(m+M/10)， 如果 M/10 还嫌大，势能的降低可使 m 逃逸掉，V 的大部分表现为残存星分离的真速度。

2. 离心力＞重力：

rω ²＞mG / r ²，ω＞

1. 假设一个观测者在空间飞船内向太阳坠落，光线从太阳旁边经过进入飞船的窗口，等效原理认为他应看见光是沿直线运动的，但是由于他是向太阳坠落，这意味看，相对于静止的观测者而言，实际上光线应该沿一抛物线而运动。

2. 对于一个以等角速度ω旋转的固体而言

dv = V = ω

dr r

但利用(3.44)，得

v(r) = ( M(r)G )^1/2

r

其中 M(r)是封闭在半径为 r 的圆内的质量

M( r) =

ω 2 r 3

G

dM(r )

， dr

= 3ω ²r ²

G

第四章 随机过程

1. 随机事件

假如在房间的一端打开一个乙醚瓶，在房间的另一端就立刻可闻到乙醚蒸气的味道。但乙醚分子既不是沿直线穿过房间，也不是一跃而过。它们与空气分子经过无数次的碰撞，按随机游动方式一会儿弹向这边， 一会儿又弹向那边，其中一些分子回到了原来的瓶里，一些穿过了门缝， 而另一些则到达观察者的鼻子附近，当它们被观察者吸入后就产生了嗅觉。

一般地讲，分子通过两种方式向周围扩散：(i)与其它原子或分子的碰撞。(ii)大块的湍流和对流运动，包括整个气槽的传输。这两者也就是使恒星的大气以及行星的大气成分混合起来的机制。这两种过程都产生随机运动，都能用统计方法来描述。

从一个完全不同的角度来看问题，设想有一个宽带放大器，其输入端不与任何讯号源连接。如果在示波器上看其输出，我们会发现输出的仅是一些时大时小的尖峰波，看上去酷似浓密草坪上的草叶。要对这类现象作精细的描述实在太费劲了，但若用尖峰波的平均高度和平均间隔来给以统计概括则是容易的，在许多情况下这也就是实际需要的全部信息了。

这种尖峰波就是任何一种电子测量所固有的噪声。比如我们要探测进入放大器的射电天文讯号，我们就必须把讯号和噪声区分开来。而这只有当我们对噪声的统计量充分了解时才能做到。

再考虑第三种情况，设一颗恒星位于稠密的气体之中。从恒星表面发射出的光线只有穿过气云才能到达云的外层并进而向空间传播。单个光子可能接连多次地被吸收，再发射，再吸收，再发射。光子发射的方向可以与吸收前运动的方向根本无关。因而光子可以在云内以短的步长和随机的方向运动，直到它最终到达气云边缘并离开气云为止。这种随机游动就可以用统计方法来描述。我们能够估计光子逃逸前所经过的总行程，以及就其运动过程中任一给定时刻预期光子离开恒星的近似距离。

上述三种不同的物理过程可以用同一种数学方法来处理。在最简单的情况下，每一个问题都可化为一个随时游动。我们想象有一个人在走步。他可以往前走一步，也可以往后退一步。但为了简单起见，假定他的步长不变。若每一步的方向是随机地决定的，比如由掷硬币来决定， 那么这个人就是在作随机游动。掷硬币后可能决定他第一步应该向后走，第二步向前，随后再向前，向后，向后，向前等等。十步后这个人离开起始位置多远？312 步以后或 10，000，000 步后呢？我们无法给出准确的答复，但我们很容易估计处于离起点任一给定距离上的几率。

随机游动

把出发位置作为零点。我们由掷硬币来决定作随机游动的人是往前还是往后移动。走完第一步后他将停在+1 或? 1 的位置上（图 4.1）。若他停在+1 位置，那么再掷一次硬币后他将到达+2 或 0 的位置，这取决于

掷硬币决定他是向前还是向后。同样从? 1 位置他可以走到 0 或? 2 处。

走两步后有两种可能的途径回到零位，而仅有一种可能途径达到? 2 或+2 的位置。既然所有这些走法是同样可能的，所以经两步后这个人就有 1/4 的几率停在+2 位置上，有

图 4.1 经过 n 步后停在 m 位置上的几率 P(m，n)

1/4 几率停在? 2 位置上，而有 1/2 的几率停在零位上。因而若只允许走两步，那么走到零位的可能性就更大些。因为有两种不同走法可达到该位置，而仅有一种走法能到达+2 或? 2 的位置。

图 4.1 表示一个人共走 n 步后停在离原点距离为 m 步上的可能途径数目 p(m,n)。称 m 为距原点的偏离。我们称 p(m,n)为停在离原点距离 m 处的相对几率。经 n 步停在 m 位置上的绝对几率 P(m,n)为

P(m，n) = p(m，n)

∑ p(k，n)

k

= 到达m位置的可能途径数

到达任一位置k的一切不同途径数总和

(4.1)

图 4.1 表明量值 p(m,n)具有二项分布，它们与展开式

[ 1 + x]ⁿ

x

= xⁿ + nx ⁿ⁻² + n(n − 1) xⁿ⁻⁴ +

2!

n! xn− 2 ， 1

+ (n − r)!r! + + xⁿ

(4.2)

中的系数相同。利用这一点，级数中系数的和即 ∑ p(k, n) 就可容易地

k

求得了。它就等于二项式展式中系数的和，只要在方程(4.2)右边令 x=1 就立即可求得。

式(4.2)左边以 x=1 代入后，可知这些项之和必为 2n：

∑ p(k，n) = 2² (4.3)

k=−n

以及

P(m，n) = p(m，n)

2 n

(4.4)

我们还看到，如果方程(4.2)中某一给定项的指数值代表图 4.1 中的偏离m，则该项的系数就代表其相对几率p(m,n)。在这个意义下，我们可将(4.2)式改写为

( 1 + x) ⁿ =

x

∑p( k，n)x ^k k =−n

(4.5)

这个级数中偶数项系数均为零。现在我们来确定在随机游动 n 步后与零点的平均偏离。所谓平均偏离意味着我们所取的 2n 种可能途径中每一种途径所达到的距离求和后再除以 2n。因为到达距离 k 的可能途径数为p(k, n), 因此平均偏离表达式中的分子是∑ kp(k, n)，而整个 平均偏离

k • • • •

<k>就是

< k >≡ 2 ⁻ⁿ

∑kp( k，n)

k =−n

= 走n步后一切可能的终端距离之和走n步时一切可能的途径数

(4.6)

从图 4.1 及二项分布公式(4.2)可以看到，偏离为 k 时的相对几率 p(k， n)与偏离为? k 时的相对几率相等：p(? k,n)=p(k,n)。因为(4.6)式中是从? n 到 n 求和，k=m 及 k=? m 的项正好一一抵消，余下唯一没有抵消的是 k=0 的项。这表明<k>值必定也是零。因此不管走多少步，离出发点的平均偏离必然为零。

这并不意味偏离的绝对值为零。完全不是这样！但因为到达某一距离的途径数与到达符号相反距离相同处的途径数目相等，平均位置就正好落到出发点上了。

从对称性来看上述结果是显然的。可是通常我们需要知道的是经 n 步后实际达到多远距离。例如我们需要知道从恒星发出的光子在周围星云中经过 n 次吸收和再发射后走过的实际距离。均方根偏离∆便是这种实际距离的一种有效的量度。

 n 1/2

 ∑k² p(k，n) 

∆ ≡< k 2 >1/2 = k =−n 

^ ∑p(k，n)

 k =−n 

 距离平方和 ^1/2

=  一切可能途径之和

(4.7)

 

首先取偏离平方的平均值〈k2〉，然后再把这平均值开方就可得到均方根偏离，这距离是用单位步长值表达的。如不取平方根，则所得的量当然就是要以(步长)2 为单位来量度了；而这与其说是距离或长度还不如说是面积。为了求和

∑ k ²p( k，n)

−n

(4.8)

我们可以用一个简单的办法。在方程(4.5)中以 x=ev 代入，对 y 连续二次求导。当小量 y 取极限时就有

n d 2

∑k ²p( k，n) = lim (e ^−y + e^y ) ⁿ

• y→ 0 dy2

= [n(n − 1)(e^−y + e ^y ) ⁿ⁻² (e^y − e^−y ) ²

• n(e^−y + e^y ) ⁿ ] = n2 ⁿ

(4.9)

最后我们有

n

∑ k ²p( k，n) = n2ⁿ

−n

(4.10)

现在可以把方程(4.3)和(4.10)代入(4.7)得出均方根偏离

∆ = n1/ 2

(4.11)

故经过 n 步后，离初始位置距离的绝对值约为 n1/2 个单位步长。下列四个问题可扩大随机游动概念的应用。

问题 4.1 对不等步长的一维随机游动，试证明经一定步数后的平均偏离也为零，即仍在其出发点上。

注意对有限个数的不同步长，这一个游动可化为一系列随机游动之和，而其中每一个游动只包含一种步长。

问题 4.2 设一个随机游动是一系列游动之和，其中每一个游动的步长为λi，步数为 ni。证明这个游动的均方根偏离为

△=N1/2λrms (4.12)

其中N = ∑ ni ，λrms 为步长均方根值

i

∑ n λ² 1/ 2

λ =  i 

(4.13)

rms  N 

 

问题 4.3 验证在步长为 L0 的三维游动中，经过 s 步后的均方根偏离为 s1/2L0。证明时第 i 步的三个笛卡儿坐标分量（见图 4.2）分别取为

L0cosθi，L0sinθicosφi，L0sinθisinφi (4.14)

图 4.2 用于描述三维随机游动的极坐标系统沿三个坐标的均方偏离分别为

ε

∆² = ∑L² cos² θ ，∆²

ε

= ∑L² sin² θ

cos² φ ，

z 0 i x i=1

ε

0 i i

i= 1

2 = ∑ L² sin² θ

i =1

sin² φ

(4.15)

根据毕达哥拉斯定理可将这三个分量相加求得总的均方偏离为

∆² = sL²

(4.16)

问题 4.4 有一颗热星被一块部分电离、部分中性的氢云所包围。恒星在赖曼 a 线波长处所发出的辐射可被中性原子吸收和再发射。光子在发射和吸收之间经过的平均距离为 L0，令氢云的半径为 R，试问光子约需经过多少次吸收和再发射过程才能最终离开氢云？我们将在 9.6 节中应用这一结果。

随机游动概念为一切辐射转移的计算提供了主要的基础，在后面讨论能量从恒星中心向外传输的方式时我们就要处理这类问题。恒星能量最初就是从其中心释放出来的，然后传输到表面层，再通过恒星大气逸入宇宙空间。在一般辐射转移理论中，物质的不透明度就与我们上面假定的随机游动的步长成反比。每一个光子的平均能量随着从恒星中心往外面传输而变得越来越小，这就使大多数实际问题变得更复杂化了。原始硬伽玛射线在最终离开恒星表面时已成为能量较低的可见光和红外辐射。在恒星中心核反应中所释放出的一个伽玛光子足以提供在恒星表面发射的一百万个光子所需的能量。故从恒星中心出发向外游动的就不仅只是单一的光子，还包括了它的全部为数众多的衍生物。

分公布函数、几率和平均值

在 4.2 节中我们计算了在一个随机游动中经过若干步数后的平均偏离和均方根偏离。我们通常感兴趣的是计算偏离函数的平均值，对二项

分布以外的其它分布我们也有寻求这类平均值的方法。

设一个随机变量可取一组离散的值 xi。在任何一次测量中取得 xi 值的绝对几率为 P(xi)。若选取一个仅与变量 x 有关的函数 F(x)，那么我们可以计算当进行大量的测量后 F(x)应当取得的平均值。只要将 F(xi) 乘上在每次测量中变量 xi 可能出现的几率 P(xi)，再对一切 i 值求和即可得到这个平均值〈F(x)〉

< F( x) >= ∑ P( xi )F(xi )

i

(4.17)

有时绝对几率不是直接给出的，而只有相对几率 p(xi)为已知。此时我们或按(4.1)式计算 P(xi)或直接将公式化为

∑ P(xi ) F( xi )

< F( x) >= ⁱ

∑ P(xi )

i

(4.18)

式中分母是在利用相对几率计算时为归一化目的而必需的。

若 x 可在一定区间内取连续值，相应于式(4.17)及(4.18)的积分表达式为

< F(x) >= ∫ P(x)F( x)dx = ∫ p(x)F( x)dx

∫ p(x)dx

(4.19)

积分对计算平均值〈F(x)〉有关的自变量范围内进行。某些场合中这一范围为? ∞<x<∞。

我们看到式(4.17)到(4.19)是式(4.6)及(4.7)的一般化形式。实际上函数 F(x)在式(4.6)中就是 x 本身，而在(4.7)中则是 x2。我们只要把原来用位置符号 k 表示的量以新的符号 x 代替就可以了。

随机定向杆的投影长度

沿极坐标（θ，φ）的极轴方向考察一个系统（图 4.3）。长为 L 的杆对该轴成某个任意的方向角θ，杆在与视线垂直的方向上的投影长度为 Lsinθ，它与φ无关，而φ的取值范围为 0≤φ＜2π。我们欲求定观测到的投影长度的平均值，该平均值是在杆的一切可能的方向上求取的。杆的方向位于角度θ处增量 dθ范围内的几率与单位半径球面上 dθ 所划出的狭球带的面积成正比。归一化后的几率 P(θ)为

P(θ)dθ = 1 p(θ φ)dθdφ

2π

= sinθdθ

我们看到这个几率确实已经作了归一化，因为

(4.20)

π/ 2

0

P(θ)dθ = − cosθ

π / 2

0

= 1 (4.21)

也即杆的方向角出现在 0 到π/2 范围内的几率为 1①。因而杆的投影长度为 Lsinθ的几率为 sinθ，也即一切方向角的投影长度平均值是

π/ 2

∫ 0 P(θ) Lsin θdθ

π/ 2

P(θ)dθ

0

π/ 2