第六章 论空间测定的意义

到此为止，我们一直把模型看作是一个图象式的可想象的结构物。“图象式地”想象，意味着在想象中描绘出那些知觉——这些知觉是人们直接观察或把握该结构物时会得到的。为了使这成为可能，该结构物就既不能太大也不能太小；而且无论在什么情况下它都得是一个空间的结构。因此，为了评价通过模型而得到的知识，就必须懂得空间的性质。此外，由于我们已把自然定义为存在于空间之中的东西，因此，对空间概念的分析无论如何都一定会在自然哲学中占有中心的地位。

我们必须首先把客观的物理的空间和知觉的空间区别开来。我们有多少种感宫知觉类型，我们就有多少种知觉空间，而感官知觉中最重要的就是视觉和触觉。视觉和触觉二者在质的方面完全不同，相互无从比较。但虽然如此，它们却都具有某些相同的形式上及数量上的次序特征。正是这些特征使我们能以某种方式来定义物理空间，该方式以后将要详细描述。

虽然个人的视觉和触觉是主观的（这就是说，关于它们的命题依赖于观察者），但它们仍呈现出一种次序，这种次序可以称之为是“客观的”，因为它是由一些不依赖于观察者感宫知觉模态的命题来描述的，而且这些命题还能够被任意数量的观察者所证实① 。物理空间由这类命题系统所描述。因此，物理空间本身是不可图象式地设想的，——能够想象的仅仅只是某些有次序的知觉序列，它们的次序确切地代表了所设想的结构物的物理空间性质。我们对这个问题所抱的态度，不是去查究空间的“本质”或“内在性质”

（值得注意的是，空间一词并不出现在日常用语中），而是要问：当我们构写关于自然对象或自然过程的某些空间性质的命题时，这样做究竟意味着什么？

为了描述空间情况，我们首先需要点的概念。点概念的知觉基础在于视觉场和触觉场中呈现出有某些特殊位置（奇点）。我们习惯于用没有广延这种说法来描述它们，换句话说，它们没有任何部分是可以被感知的。

这些奇点的特征是，它们可因感宫的些微移动而发生相当大的改变（例如，可以使它们消失）。这就是我们把零维归之于点的原因。另一方面，线则有一个方向，因之其感觉印象在微小的位移下仍保持不变（线是一维的）。那么，当我们把某一确定的长度赋予一条线（即赋予两端点之间的距离）时， 我们的意思是什么呢？我们决不能说这就是在陈述该两点之间虚空的空间的总量——亦即“无”的总量（可比较笛卡儿的一些论点）。要确定关于长度规定的意义，唯一的方法就是考察这种规定是如何制定的。一般说来，要弄清一个命题的意义，除了考察它的真实性是如何确立起来之外，再没有其他方法了。对于自然科学所能应用的唯一有效的方法是观察与实验，也就是某些确定的操作。这一点对于长度的皮量也是对的。比较两条线的长度在原则上是这样进行的：在一个作比较用的标准体上选定两点（分规的针尖或量尺的刻度），使它们与一条线的两个端点重合；然后把它们移到第二条线上， 将此过程重复地进行。这样，问题就在于要确立点与点之间的重合关系或非重合关系。这类重合关系的感觉基础在于知觉场中的特殊的奇点，而那些奇点在我们前面讲过的意义上是具有客观的性质的。

① 这些命题——按照石里克在其他场合所使用的术语——“是在相互感觉上及相互个人间可以证实的”。

极端重要的是要注意到用这一方法不能在真正的重合与十分紧密的接近二者之间确定出完全严格的差别——而在数学中却给出了这两个概念之间的根本性的拓扑差别（本质的区别）。

在应用上述度量方法时，我们假定量尺在移动过程中其长度不变，并假定因此我们就能确定在不同位置上保持恒定的一个长度。但这一假定只有通过应用另一把新的尺子把全部程序从头再来一遍才能加以证明。这一种比较 于是把我们引向无穷的反复，或逻辑上的恶性循环；要克服它唯一的办法就是要认识到两条线的相等根本不是绝对的，——它不是这个世界上的某种被给与的东西，某种完备的东西——这一概念只不过是通过定义性的规定来制定的。

这一规定只能从实践的观点作出而不能在逻辑的基础上作出。它牵涉到“刚体”的概念。如果一个物体上所标的两点和第二个物体上所标的两点重合，而这些重合在所有点上和所有时间内都保持不变，如果这个物体具有这样一种特性时，那么我们说，这一个物体相对于另一个物体是刚性的。经验表明，有一整类的物体具有这样的特性：其中每一个相对于这一类中其他各个都是刚性的。我们把所有这类物体称为是“实际上刚性的”。更严密的考查向我们表明，按照定义，没有一个物体是完全刚性的。而这就妨碍我们在比较长度时无保留地使用任何现实的物体当作标准的量尺；而且因此还促使我们在谈到标准量具时要附上一些条件（修正），例如，我们说：“如果该标准量具处于某种温度下，则必须从它的长度中减去几分之几。”或者说“如果该标准量具受到这种或那种力的作用，则必须把它的长度增加这样那样的一个比例。”通过这类规定，于是可以说，这个现实的尺子就变得相当于一把被认为是完全刚性的理想的尺子了。

如果一个概念是参照了一个实际存在的构架或物体（就象地球的子午线，巴黎的标准米尺等等）而定义的，那么我们就称之为具体定义。但如果 一个概念起源于自然律或普遍的统一性，那么我们就称之为约定（彭加莱）

（狭义的约定，因为按照广义的“一致同意”，任何定义都是约定）。

由于我们假定自然律是不变的（这一假定的意义暂时不予深究），因此， 与具体定义相比，约定有这样一个优点：由它所定义的概念能够在任何时候重新构造出来（比较光的波长）①。

到此为止，我们还只谈到了长度上的相等概念和较大及较小概念。但是， 为了要完成长度的度量——或用确定的数字表征确定的片段的（无歧义的） 特性——，进一步的操作则是必须的。为此，我们需要一把刻有许多刻度的刚性的尺。这些刻度都用数字标出，但对这些刻度的安排和标定从原则上来说都可以是任意的。然后，把这把尺放在待量的线上，其放法是：线的起点与尺上某定点重合。此时，线的终点又与尺上的另一点重合，对该点所标定的数字即被称为线的长度。我们把尺上第一个定点指定为 0。把尺上的分度按如下的要求校准：对应干各个等差数字之间的间隔，彼此相等（按前述的定义）也就是说，使数字 0 与 1，1 与 2，2 与 3，⋯⋯，之间的间隔大小相等。在这种情况下，距离的相加只需要有一个十分简单的和数或有一个加法定理就行了。如果我们把“两线之和”理解为把两条线接在一起后所得的线的长度，那么这一长度就简单地等于两线的度量单位数，即标量数的算术和。

① 由于镉光谱红线易于重复产生，它的波长可被选作长度单位。

最后，剩下长度等于 1 的线要由具体定义（联系到地球的大小）或约定（借助于某些种类的光的波长）来决定。因此，为要决定长度，必须满足如下五项条件。即一定要讲明白：

1. 两条线在什么时候才被认为是相等的；

2. 较大、较小应被理解为什么；

3. 数字 0 应放置在什么地方；

4. 数字 1 应放置在什么地方；

5. 剩下的数字次序应如何排列。

这些条件中前两条一般称为拓扑学条件，后三条称为度量条件①。

在度量中采用光学装置原则上并没有增加什么新东西。它们仅仅与视场中奇点的观察有关，而且还必须作出关于光线行为的假定（直线传播）。虽然如此，值得注意的是光学方法能如此方便地应用而不需要改变任何刚性尺度量所依据的约定。最重要的结果是所有空间情况度量的测定都取决于比较，从而都是相对的。所有的测量操作都是由刚体之间的比较所组成，并通 过观察重合关系而完成。所有空间性的命题仅仅只涉及物体的行为——从不涉及“空间”。和彭加莱相一致，我们坚信所有空间命题的相对性。其理由是：如果我们假定一夜之间世界上一切物体的大小都以同样的比例发生了变化，那时世界也并不会产生可感知的差别。这是因为，按照上述假定，所有供比较用的尺——包括我们自己的身体及其感觉器官——都将同样地发生变化，用任何一种度量——甚至包括眼睛的精度——都绝无可能来确认所假定的变化。只要重合关系得到保持，世界可以承受任意次的可想象的变形，而结果什么也不会改变。

亥姆霍兹早就认识到这一事实。他曾指出，如果有一种生物，其所生活的肚界就象是我们这个世界在哈哈镜里照出来的那种样子，只要它们不能从它们的世界走到我们这世界里来并从而把两个世界作一比较，它们就永远也没有任何办法能觉察到这种畸变①。要说到世界的变形，只有当存在一个不参与该变形的某物，并可通过该物而确认这种变化——显然是根据对重合关系的观察来确认，只有在这种情况下说到世界的变形才有意义。一种保持一切重合关系的畸变（其中既没有新的重合关系产生，也没有任何重合关系消失） 并不代表着世界的一种变化，它仅仅代表着引入一种新的说法——新的术语系统——，例如，就象是用任何一种类型的高斯坐标取代笛卡尔参考系。在一切重合关系都保持的地方，畸变的唯一意义就只是假定刚体的长度发生了变化，因而也就是假定量尺的长度发生了变化。但这一点会与我们的长度定义发生矛盾。根据定义，长度唯一取决于重合关系。

我们至此还只能在物理意义上来谈到点、线及空间形状（这意味着，例如直线，代表一个在物理上明确的对象）。一条线，我们指的是物体（边缘） 上一系列连续的物质点。某种任意的理想参考系的引入，只有当我们给自己设想出一些在物理上可以识别的线系（表面把），并且同意把这些线系用作为坐标时，才是可行的。借助于一种任意的参考系——或者，用习惯的说法

——借助于任意的几何，我就能描述自然。

如果有可能以这样一种方式来构写自然律：使这些自然律无例外地仅仅

① 见卡尔纳普的小册子《物理学的概念图象》，刊于《知与行》丛书，卡尔斯鲁厄

① 见石里克《当代物理学的空间与时间》，柏林 1917（第四版，1922）。

包含只涉及重合关系的命题，而这些重合关系对于无论何种参考系均为真； 如果这种构写是可能的，那么这些自然律将只包含最少的任意描述方法，从而可以说，将以可能有的最忠实的方式来重现自然。

当牛顿宣称几何学是“普通力学中建立和决定度量技艺的那一部分”时， 他已觉察到几何学是物理学的一部分了。而当爱因斯坦宣称几何学是“刚体所有可能的排列或编组的理论”时，他也表达了相同的见解（爱因斯坦：《几何学和经验》，柏林 1921）。我们必须区别开两种几何学：一种是刚体间位置关系的理论，一种是“纯粹的刀或“数学的”几何学，后者可以在我们已经说明过的意义上被描述为一个假设一演绎系统。欧几里得的数学几何是以下述的方式创立的：经验表明，根据对某些位置和量值的观察，再加上某些普遍的假定，就能预言某些另外的（新的！）观察；还表明，这一套程序使实际测量过程变得没有必要。人们发现，为了计算例如一个立方体的体积， 只需要量出其一条边；量出三角形的两个角就得到了第三角。在这些例子中， 预料的结果得到确证，就肯定了普遍假定的正确性。现在假如这些普遍的假定连同可以由之而导出的全部命题，只就它们相互之间的关系来考虑，同时又完全不问在它们中出现的词或符号的意义，那么我们就得到一种“纯粹的” 几何学，或一种纯粹形式的公理与定理系统，它缺乏内容，从而不是真正的命题而是所谓的命题函数。一旦掌握了这种观念，数学家就能想出任何数目的这类系统，并研究它们内部的关系。而自然研究者就能检验它们的适用性

——也就是说，他能弄明白是否存在任何种类的自然对象，这种对象能被用来填补公理所具有的空虚的命题形式，从而得到真实的命题。如果找到了， 那么从这些公理演绎出来的定理显然也是真实的了。

彭加莱认为：我们应当总是在各种可能的几何定理中去追求那种最简单的，从而宁可要欧几里得几何。但是，事实上更重要或更方便的是要这样地来选择约定，即当这些约定应用于自然时——也就是说，从纯粹几何转变为物理几何时——结果会形成最简单的可能的物理系统（如果彭加莱能活着经历到物理学最近的发展，那他就会欢迎非欧几何在描述自然中的应用了）。从纯粹几何到物理几何的转变对应于从语言理论到语言应用的转变。纯

粹几何就是物理几何的语法。

在描述自然时，人们可以把例如“直线”这一术语用于这样一些结构物， 这些结构物遵守支配欧几里得直线的那些公理。在这种情况下，三个这样的结构物所形成的三角形其三内角之和根据定义就等于 180°。但从 1919 年以来，我们就知道对于天文学上光线的情况，这一条件不是始终得到满足。虽然如此，我们还是能够规定把“直线”理解作象光线、绷紧的弦等等之类的结构物。我们还知道，对于天文学上光线的情况，这一条件也不是始终充分的。虽然如此，我们还是可以说，所谓“直线”指的就是光线、绷紧的弦之类的结构物。而这就意味着我们宁可惜助于非欧几何来描述自然。两种可能性都是存在的；有些哲学家主张只有前一种才对应于直线的“真实的性质”， 这种意见是没有意义的。无论何种情况，我们一定得通过定义规定我们认为是“直线”的东西。而这种规定，或日决定，在原则上是完全任意的。

至于那种宣称几何学的基本概念——象直线概念——是不可定义的，它们的内容和普遍性都独立于物理经验而由“纯粹知觉”所给出，这种先天观点是经不住批判的审查的。恰恰相反，这些基本概念在其原始形式下所指的只不过是一些特殊种类的物理结构物。