二、创建十二平均律

朱载堉最杰出的贡献就是创立了“新法密率”，即十二平均律。

十二平均律是现在全世界音乐界应用最普遍的一种律制，西方把它作为“标准律制”。十二平均律是一种数理调音体系，它把八度精确地划分为十二个半音，每半音的音程值为2的12次方根，即¹² 2。按音分计算，八度为

1200 音分，十二个半音间各为 100 音分。虽然这种调律是人为的，但它丝毫不影响人的听觉，用这种律制制成的乐器，特别是键盘乐器，可以任意旋宫转调。因此，它的出现对于音乐体系的完善、音乐思维的发展和乐器演奏功能的提高等都具有极大的影响。

今天看来，十二平均律并不是十分深奥的理论，但在东西方音乐史上却经历了漫长的过程，才确立了这种律制。特别是在中国律学史上，朱载堉以前的律学家们曾为此付出过艰辛的劳动，却没有能够解决问题。为了充分阐明朱载堉创立十二平均律的的伟大意义，有必要对中国律学史作一简短的回顾。

律学也称音律学或乐律学，这是声学的一个分支学科，是研究发声体发音高低比率的规律和法则的一门学问。因此，自从有了音律规范就有了律学。

在我国古代音乐史上有三种律制：三分损益律，纯律和平均律。

三分损益律是在中国音乐史上应用最广泛、理论发展最完备的律制。三分损益法是这样来决定各律数值的：将第一个音、即起始音的弦长分为三份， 去其一份为之损，加上一份为之益。在数学上，去其一份即将起始音弦长乘以 2/3，加一份即将起始音弦长乘以 4/3；以起始音的弦长乘以 2/3，得到次律；再将次律乘以 4/3，又得次一律；再乘 2/3，⋯⋯依次乘十二次，就可以完成一个八度中的十二个律的数值计算。由三分损益法计算得到的各律，称为三分损益律。因为三分损益律是乘以 2/3，或 4/3，而 2/3 即上生五度，4/3 即下生五度，所以三分损益法也就是西方所谓的五度相生法，三分损益律也就是五度相生律，或简称五度律。

纯律，在中国古代并无理论，但有充分的实践应用。古代的陶埙，由于模拟自然界中具有纯律倾向。先秦的编钟，在采用三分损益律的同时，也有许多音程倾向于纯律，特别是在强调运用泛音微位的古琴中，纯律音程得到充分应用。

但是，三分损益律与纯律都是不平均律。它们不能旋宫转调。这是因为， 依照它们的定律法得出的十二个音，音程大小不一。若要把它们应用到固定音高的乐器上，并想在这种乐器中得到十二个高度不同的调，几乎是不可能的。这些具有固定音高的乐器只能适用于和它们具有相同音程的音阶，只能奏出某种调式。演唱者若有变调要求，乐器也要立即随之更换。音乐艺术的发展，要求人们对音律加以调整和改造。为了达到旋宫转调的愿望，对平均律的实践与理论探求，就一直成为人们心目中的奋斗目标。

汉代，著名易学家京房是追求平均律理想的先驱，他对“周而复始、旋相为宫”的问题进行了探索。为了达到使黄钟起始律“回归本律”的目的， 京房在按“三分损益”的传统方法生律十一次后继续生律，直到六十律。京房“六十律”所采用的是八度内音律制减少始末律间律差的方法。

以后，南北朝何承天为解决京房“六十律”对遗留的一个“微小音差”， 作了进一步研究，提出了新律制，即将三分损益律的古代音差平均分为十二份，然后将这平均数（0.01）累加到十二个律上，使十二律在差部分形成一个等差数列。这样，他在长度计算音律方面实现了旋宫的愿望，其效果很接近十二平均律，一般人的听觉几乎不能辨别其间的差别。但它仍然不是真正的十二平均律。因为十二平均律是一种等比律，而何承天的新律只是在特定长度内的等差律。

在何承天之后，隋代的刘焯打破了三分损益的传统，他以系数 3 n构成

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振动体长度的等差数列，企图以此达到旋宫的目的。实际上，刘焯不仅不能旋宫，而且十二律的音高也混乱了。虽然如此，他大胆地违背三分损益的定律法却是个创举，他为后人创建平均律提供了一个可贵的失败的例子：以等差数列的方法不能完成平均律。

五代时，律学家王朴也曾从“加减进退”的方法来缓解十二律不能“周而复始”的矛盾；宋代蔡元定也提出“十八律”来求得黄钟“回归本律”。

在平均律的探索史中，我们要特别提出这样一种思考方式：三分损益法， 即 2/3，4/3，人们可以将这二个分数改写为 50/75，100/75；或者 500/750， 1000/750，因为它们都是等效的。但是，如果将后两个分数中的分母作适当的调整，即将其分母减去 1，使之成为 500/749，1000/749。这样一来，三分损益律就倾向于平均律了。我们暂且把这种定律法称之为“749 定律法”。

《淮南子·天文训》中定黄钟数 81，计算中取整数值，它所计算得到的十二数值与三分损益法稍有不同。朱载堉对此作了详细验证，其结果是，《淮南子》或者采用了 4 舍 5 入的简便方法，或者采用了“749 定律法”。因此， 朱载堉指出，平均律的定律思想，“非自古所未有，疑古有之，失其传也”。这一有关平均律的起源问题，是朱载堉最早发现的。

朱载堉没有遵循“749 定律法”这条思维线路而创建十二平均律，而是打破了传统的律学思维和方法，提出了新的数理概念和计算法，创立了“新法密率”——一十二平均律这一划时代的律学理论，解答了千年来的律学命题，不仅给中国古代律学史的终端画下了一个圆满的句号，而且也为世界音律学理论开创了一个新篇章。

朱载堉创建新法密率时，提出了音与数的辩证关系，认为音与数要相吻合，但又不可执一，之间可以变通。这就为他不用三分损益法提出了理论根据。

朱载堉十二平均律理论的创立是合理的和必要的。一方面，由于“平均律”命题的发生和近千年来不断地追求和探索，反映了古代律学家的强烈愿望，对它的解答是必然的；另一方面，在中国封建社会晚期的明清两朝，学术界通过表面的复古形式，对大量的古代经典进行整理、鉴别和考证，引起了对传统文化的怀疑、批判和再认识。朱载堉对传统律学的重新认识、理解和总结，以及进一步批判和扬弃以往律学从未摆脱“三分损益”生律法来追求“平均律”的思维方式，正是在这样的历史背景下萌发起来的。

关于新法密率，朱载堉在《律吕精义》中清楚地写道：度量长度的标准尺是起源于黄钟律的长度，因此黄钟正律的长度，也就是长度标准的一尺。设一尺的平方（100 寸 2）为黄钟正律的冥数，那么，如果依勾股定律，以勾10 寸自乘，得 100 寸 2 为勾冥，以股 10 寸自乘，得 100 寸 2 为股冥。将勾股二者冥数相加，得弦冥为 200 寸 2。这样一来：

= 1.4142 ，1356，2373，0950，4880，1689(尺)

这个数值既是以勾股为正方形的斜边，也是该正方形外接圆的直径，同时也是蕤宾正律的二倍，称为蕤宾倍律的长度。以勾 10 寸乘蕤宾倍律，再将此乘积即平方数开平方，则得：

= 1.189207（尺）

该值为南吕倍律的数值。再将南吕倍律之值乘以勾 10 寸，乘股 10 寸，得三次乘积（即立方积）数值；然后将立方积开立方，得：

= 10¹² 2 = 1.059463（尺）

该值为应钟倍律的数值。十二律黄钟为始，应钟为终，周而复始，循环不止。这是自然真理，就像《易经》八封中的贞后元生、坤尽复来一样。因此，如果要计算十二律中某律的数值，只要以比某律高一律的数值乘以黄钟正律 10 寸，再除以应钟倍律数 10.59463⋯⋯寸，就可以得到某律。其它各律依此类推。那里会有往而不返，不旋宫的道理呢！

朱载堉将表示八度音程的弦长比 2 开平方、又开平方、再开立方，得到

了 2 的 12 次方根的数值 1.059463⋯⋯。这个值就是通常所说的半音，我国

传统说法称之为应钟律数。然后，朱载堉将八度值 2 连续除以应钟值，累除十二次，就得到了相应的平均律中八度内十二个音的音高。因为朱载堉将八度值2累除以¹² 2（应钟值），因此，这个平均律实际上就是以¹² 2为公比数的等比数列。朱载堉将这个公比数称之为“密率”。现在，我们将朱载堉“新法密率”的详细计算结果列于下表中。

朱载堉的十二平均律

朱载堉在《算学新说》一书中列出了十二平均律的计算公式：

Tn Tn+1

= ¹² 2或

= Tn+ 1

（n = 0，1， 2 12）

当 n=0，T1 为黄钟值；当 n=1，T2 为大吕值；当 n=12，T13 为清黄钟值。现在，

人们只要利用他的方法、甚至搬用他的数据结果，就可以制出所期待的任一种符合十二平均律的乐器如钢琴之类，而不管人们愿意取黄钟宫音的绝对高度是多少。

朱载堉还经过多次检验，证明了“密率”在理论上的严密性、科学性和正确性。为了检证“密率”，朱载堉还研制了“均准”测律器，并亲自校点笙来验证“密率”。同时，他还提出了“异径管律”理论，为了这项研究工作，亲自动手种黍、裁竹制管。这些都是他重视律学实验的例证。正由于严密、正确的数理思维方法和重视实验的治学态度，保证了朱载堉计算“新法密率”的精确性和合理性。

朱载堉的“密率”体现了一代代中国律学家的愿望，完成了人们长达十几个世纪的宿愿。这项成就，在中国音乐史、律学史以及算学史上都具有划时代的伟大意义。但由于中国古代的五声单音体系、民族乐器的音律设置， 再加上朱载堉创立“密率”的个人意图等因素，在当时的中国音乐实践中， 对十二平均律的应用不是很迫切，所以朱载堉的新律在当时音乐实践中并没有推广使用。更为遗憾的是，昏庸、愚昧的封建朝廷当时只关心“八股举士” 的科举，当其中包含着“新法密率”的《乐律全书》呈献给朝廷时，竟遭到了冷遇。对此，朱载堉早有预料。他的“新法密率”就像那愚昧社会中将要脱胎的孩子一样，躁动母腹，急不可待，仿佛就要堕地大喊。而母亲在兴奋一时之后更多地却又害怕他的诞生，她自信腹中孕育着一位天才、伟人，但她却要勒紧身带，并为他的未来忧心忡忡。在三分损益律被崇拜为神圣法则的时代，新法密率的诞生确实使朱载堉愁过于喜。

朱载堉创造的如此伟大的业绩，就连《明史》也将其拒之门外。这颗科学和音乐艺术的明珠，就这样被埋没在知识荒漠的王宫殿堂里。尽管朱载堉在他的书中一再呼吁：新法密率“盖 2000 余年之所未有，自我圣朝始也，学者宜尽心焉。”结果，在他的音律理论创建后一个半世纪，却招来了大量的谩骂和攻击。他们不理解、不理睬，更不能容忍朱载堉的“密率”。在他们看来，古人没有说过的不能说，古人没有做过的不能做；创立新说，提倡新事，就都是臆说，是大逆不道，密率就是对传统律学的背叛和反对。为此， 密率被定下了“十大罪状”，结果朱载堉的十二平均率落得了“宣付史馆、以备稽考、未及实行”的结局。在朱载堉之后的 300 年中，对这项重要发明的问津者竟寥寥无几。

朱载堉创建的十二平均律，虽然在中国没有得到任何重视和应用，但它一经传到西方，便引起欧洲音乐界的震惊。在西方，直到 18 世纪前半叶，德

国作曲家巴赫才分别于 1722 年和 1744 年创作了上下两卷的《平均律钢琴曲集》，充分发挥了十二平均律的巨大作用，以创作实践证明了这个律制的合理性和优越性。在此之前，西方音乐为了求得这一音律体系，付出了不亚于中国律学家为此付出的心血，他们不仅在理论上，还在键盘乐器上作了大量实验。这一体系在西方音乐史上的确立，具有很重要的意义，它开创了一个时代的音乐语言和音乐风格，正当西方音乐家为他们的十二平均律理论和实践的优越性感到自豪时，得知遥远的东方古国——中国早在 1581 年就有了十二平均律理论——“新法密率”，他们对此惊讶不已。他们在这方面整整落后了一个世纪！

德国声学家赫尔姆霍尔茨（1821—1894 年）这样说：“在中国人中，据说有一个王子叫朱载堉的，他在旧派音乐家的反对声中，倡导七声音阶。把

八度分成十二个半音以及运用变调方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”那么西方发明十二平均律，会不会受到传播到西方去的朱载堉的密率的影响呢？著名英国科学家李约瑟曾作过这样的评价：“朱载堉的著作曾经得到很高的评价，他的理论在他的国家却很少付诸实践，这真是不可思议的讽刺。⋯⋯平心而论，在过去的 300 年间，欧洲及近代音乐确实有可能曾受到中国的一篇数学杰作的有力影响，但是还没有得到传播的证据。与这个发明相比较，发明者的名字是次要的。毫无疑问，朱载堉本人是第一个愿将荣誉归功于另一个研究者的人，也是为要求优先权而最后与人争吵的人。第一个使平均律数学上公式化的荣誉确实应归之中国。”

朱载堉在创立十二平均律理论的同时，又发现了以管定律与以弦定律的差异，提出了“异径管律”论。这个理论实际上是一种管口校正方法。他在

《律吕精义》一书中指出，各音律以半音进入较高的次一音律时，管不仅要缩短长度，同时要缩小围径，在规定各律管长度的同时，也必须规定律管内径的大小。由于管与弦的振动发音方式不同，管的发音体是气柱，必须要测定出气柱实际振动尺度与管的尺度之间的差数，也就是“管口校正”数，这样才能正确地制造出所需要的律管。朱载堉在“异径管律”理论中，将他的密率理论系统地应用在律管的管口校正上，成功地制造出了符合其理论的律管。比利时声学家马容于 1890 年发表了一篇报告，他 说依照朱载堉提出的律管长度和内径数据，在黄钟的倍律（低八度）、正律和半律（高八度）上加以实验，认为三律在八度关系上都符合要求，完全准确。