五、数学研究

由于朱载堉要确定律管的内外周、内外径、横截面和容积，圆周率取何种数值，是一个很重要的问题。朱载堉在《律吕精义》中叙述了“新法密率算术周径冥积相求”之法，在这里，设径为 d，周为 I，面积为 S，按照朱载堉的说法，则径求周为：

40 d ² / 2

I = 9

周求径为：

d =

面积为：

S = Id = I · d

4 2 2

朱载堉的圆周率在其《乐学新说》中以口诀形式总结道：“诀日：圆周四十方容九，勾股求弦数可知，遂以此求径率、求周、求积亦如之。”这里

的径率即圆周率，其值为

π = = 3.1426968

他把这个数值称之为“周公密率”。

由此看出，朱载堉的“周公密率”远不如祖冲之推算出的圆周率精确。因此，他的关于律管的圆周、面积和容积的计算值也就有误差。可是，在实际使用上，在以寸为单位测量时，毫位数（小数点下三位数）已是估计值了。因此，朱载堉的圆周率数值并不影响他制造发音准确的律管。

朱载堉在数学研究过程中，使用算盘完成了包括开方在内的大量计算。数学与算盘是他从事乐律研究的翅膀。他完成十二平均律之时，也就是他运用算盘进行开方运算成功之日。

一尺为九寸，一寸为九分，称为九进尺。这种尺，一尺中共 81 分。在朱

载堉的《乐律全书》中称它为“纵黍律尺”。据传说，古代人以黍粒纵排 81 粒，刚好为一乐律尺。一尺为十寸，一寸为十分，称为十进尺。这种尺，一尺中共有 100 分。在朱载堉的《乐律全书》中称它为“横黍度尺”。因为它是以黍粒横排百粒，其长度刚好与日常用尺相同。传说，在先秦时期，日常用尺与乐尺相等长度。也就是，一纵黍律尺等于一横黍度尺，这两种尺的长度相同而进位不同。

《乐律全书》中指出了三种不同进位尺：横黍尺即平常十进尺；纵黍尺即九进尺，斜黍尺即混合进位尺。它是以斜排黍粒 90 粒而得到的一种尺，称为“斜黍九十分尺”。它的尺单位长度与横黍尺、纵黍尺相等，但尺以下各单位为每尺九寸，每寸十分。朱载堉在这里的数学贡献是用算盘完成了九进制和十进制的小数换算，在数学史上是一项开创性的工作。

朱载堉的最后一项数学工作是他找到了计算等比数列的方法，并成功地将它应用于求解十二平均律。这一点在数学史和律学史上都是有意义的。朱载堉在《律学新说》和《律吕精义》两书中是采用一种数学表达方式来叙述十二平均律的，这就是：将八度音程比值 2 进行 12 次方根运算，第 12 次方根值即是十二平均律的半音音程；既求得半音音程，那么，只要将起始音音高除以半音音程值，连续作这样的 12 次运算，就得到了十二平均律的各个音高值。实际上，这就是在八度中构成等比数列的方法。