数学理论体系的建立

《九章算术》问世之后，我国的数学著述基本上采取两种方式：一是为《九章算术》作注；二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。其中刘徽的《九章算术注》被认为是我国古代数学理论体系的开端。

祖冲之的数学研究工作在南北朝时期最具代表性，他在刘徽《九章算术注》的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。我国古典数学理论体系至此建立。

一位农妇在河边洗碗。她的邻居闲来无事，就走过来问：“你洗这么多碗，家里来了多少客人？”

农妇笑了笑，答道：“客人每两位合用一只饭碗，每3位合用一只汤碗，每4位合用一只菜碗，共用65只碗。”然后她又接着问邻居，“你算算看，我家里究竟来了多少位客人？”

这位邻居也很聪明，很快就算了出来。

这是《孙子算经》中有一道著名的数学题“河上荡杯”。荡杯在这里是洗碗的意思。

很明显，这里要处理的是65个碗共有多少人的问题。其中有能了解客数的信息是两人共碗饭，3人共汤碗，4人共菜碗。通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。

《孙子算经》有3卷，常被误认为春秋军事家孙武所著，实际上是魏晋南北朝时期前后的作品，作者不详。这是一部数学入门读物，通过许多有趣的题目，给出了筹算记数制度及乘除法则等预备知识。

“河上荡杯”，包含了当时人们在数学领域取得的成果。而“鸡兔同笼”这个题目，同样展示了当时的研究成果。

鸡兔同笼的题意是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

这道题其实有多种解法。

其中之一是：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。同理，也可以假设全是兔子。

《孙子算经》还有许多有趣的问题，比如“物不知数”等，在民间广为流传，向人们普及了数学知识。

其实，魏晋时期特殊的历史背景，不仅激发了人们研究数学的兴趣，普及了数学知识，也丰富了当时的理论构建，使我国古代数学在理论上有了较大的发展。

在当时，思想界开始兴起“清谈”之风，出现了战国时期“百家争鸣”以来所未有过的生动局面。与此相适应，数学家重视理论研究，力图把从先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然的可靠的基础之上。

而刘徽和他的《九章算术注》，则是这个时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。

刘徽生活在“清谈”之风兴起而尚未流入清谈的魏晋之交，受思想界“析理”的影响，对《九章算术》中的各种算法进行总结分析，认为数学像一株枝条虽分而同本干的大树，发自一端，形成了一个完整的理论体系。

刘徽的《九章算术注》作于263年，原10卷。

前9卷全面论证了《九章算术》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章算术》的某些不精确的或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径，创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术。

用十进分数逼近无理根的近似值等，使用了大量类比、归纳推理及演绎推理，并且以后者为主。

第十卷原名“重差”，为刘徽自撰自注，发展完善了重差理论。此卷后来单行，因第一问为测望海岛的高远，名称《海岛算经》。

我国古典数学理论体系的建立，除了刘徽及其《九章算术注》不世之功和《孙子算经》的贡献外，魏晋南北朝时期的《张丘建算经》、《缀术》也丰富了这一时期的理论创建。

南北朝时期数学家张丘建著的《张丘建算经》3卷，成书于北魏时期。此书补充了等差级数的若干公式，其百鸡问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例，这是过去我国古算书中所没有的。

百鸡问题的意思是：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱。用100文钱买100只鸡，问：这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？

这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。

百鸡问题还有多种表达形式，如“百僧吃百馒”和“百钱买百禽”等。宋代数学家杨辉算书内有类似问题。此外，中古时近东各国也有相仿问题流传，而且与《张丘建算经》的题目几乎全同。可见其对后世的影响。

与上述几位古典数学理论构建者相比，祖冲之则重视数学思维和数学推理，他将传统数学大大向前推进了一步。

祖冲之写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学课本。

祖冲之将圆周率的真值精确到3.1415926，是当时世界上最先进的成就。他还和儿子祖暅一起，利用“牟合方盖”圆满地解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。

祖冲之还在462年编订《大明历》，使用岁差，改革闰制。他反对谶纬迷信，不虚推古人，用数学方法比较准确地推算出相关的数值，坚持了实事求是的科学精神。

[旁注]

孙武　（约公元前535年～？）。春秋时期吴国将领。历史上著名军事家。其著有巨作《孙子兵法》13篇，为后世兵法家所推崇，被誉为“兵学圣典”，置于《武经七书》之首，成为国际间最著名的兵学典范之书。

清谈　指是魏晋时期，承袭东汉时期清议的风气，就一些玄学问题析理问难，反复辩论的文化现象。魏晋名士以清谈为主要方式，针对本和末、有和无、动和静、一和多、体和用、言和意、自然和名教的诸多具有哲学意义的命题进行了深入的讨论。

刘徽　（225年～295年），魏晋期间数学家，在我国数学史上占有重要地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，方法灵活，既提倡推理又主张直观。是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，给我们中华民族留下了宝贵的财富。

张丘建　我国著名的大数学家。一生从事数学研究，造诣很深。著有《张邱建算经》3卷。算经的体例为问答式，条理精密，文词古雅，是我国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份遗产。

杨辉　宋代数学家和数学教育家。由他署名的数学书共5种21卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、朱世杰并称宋元数学四大家。

国子监　是我国隋代以后的中央官学，为古代教育体系中的最高学府，又称“国子学”或“国子寺”。明代时期在南京、北京分别都设有国子监。南京国子监始建于258年，当时很有国际影响。北京国子监始建于1306年，是我国元明清三代国家管理教育的最高行政机关和国家设立的最高学府。

岁差　在天文学中是指一个天体的自转轴指向因为重力作用导致在空间中缓慢且连续的变化。“岁差”这个名词通常只针对长期运动，其他在地轴准线上的变动规模要小了许多。这里所说的变动就是章动和极移。

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祖冲之的儿子祖暅从小爱好数学，巧思入神，极其精微。专心致志之时，雷霆不能入。

有一次，祖暅边走路边思考数学问题，走着走着，竟然一头撞在了对面过来的仆射徐勉身上。“仆射”是很高的官，徐勉是朝廷要人，倒被这位年轻小伙子碰得够戗，不禁大叫起来。这时祖暅之方才醒悟。

祖暅发现了著名的等幂等积定理，又名“祖暅原理”，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。在当时的世界上处于领先地位。