数学思想闪耀光芒的贾宪

贾宪是北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》和《算法斆古集》均已失传。他的主要贡献是创造了“贾宪三角”和增乘开方法。

贾宪在数学知识的普及和教育过程中，注重数学教育的系统化、纲领化、抽象化及思维的多样化。从这里我们不难发现他的数学教育思想的闪光之处。

贾宪是宋元时期现在知道其成就的第一位著名数学家。据《宋史》记载，贾宪师从北宋前期著名的天文学家和数学家楚衍学习天文、历算。对于《九章算术》、《缀术》、《海岛算经》诸算经的学习尤得其妙。

根据记载，贾宪著有《黄帝九章算经细草》9卷、《算法斅古集》2卷及《释锁》，可惜均已失传。南宋时期著名数学家杨辉著《详解九章算法》中曾引用贾宪的“开方作法本源”图和“增乘开方法”。

此外，贾宪给出的“立成释锁开方法”，完善的“勾股生变十三图”，以及创立的“增乘方求廉法”，都表明他对算法抽象化、程序化、机械化作出了重要贡献。

虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整，但从杨辉缉录的《黄帝九章算经细草》中，我们仍然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主要有抽象分析法和程序化方法。

贾宪在研究《九章算术》过程中，使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题时更为突出。他首先提出了“勾股生变十三图”，具备了勾股弦及其和差的所有关系，并对勾股问题进行了抽象分析。

正是由于贾宪掌握了这一方法，才使他能够使用纯数学的方法改写《九章算术》术文，给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。

程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤。适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法。

贾宪在开立方过程中，已经形成了固定的程序。他的工作则使得开方程序系统化、规范化。贾宪的数学方法论，对宋元数学家产生了深远影响，纵观创造宋元数学主要成就的“宋元数学四大家”，莫不从中吸取精髓。

贾宪的“增乘开方法”开创了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正负开方术”加以完善，使高次方程求正跟的问题得以解决。

加之从李冶的天元术至朱世杰的四元术的建立，终于在14世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学界最有成就的课题。

贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”，1654年为法国数学家B·帕斯卡重新发现。

贾宪三角的给出，开创了高阶等差级数求和问题的研究方向。朱世杰从“三角”的每条斜线上发现了“三角垜”、“撒星形垜”等高阶等差级数求和公式。

“增乘开方法”事实上简化了筹算程序，并使程序化更加合理，这对后世筹算乃至于算具的改进是有启迪意义的。

《黄帝九章算经细草》开创的数学研究方法，被后世数学家广为借鉴。清代学术流派“乾嘉学派”在保存和整理数学著作时，就曾对《黄帝九章算经细草》等一批算书或注释或图说。

古代学者著书立说目的之一就是教育世人。在数学知识的普及和教育过程中，贾宪重视对一般性解法的抽象，注重对知识纲要的概括，注重系统化，注重发散性思维的锻炼。从这里我们不难发现他的数学教育思想的闪光之处。

贾宪重视对一般性解法的抽象。他之所以这样做，应该是深受我国古代早已有之的“授人以鱼不如授人以渔”的教育思想影响。

据现在所知，《黄帝九章算经细草》约成书于1050年前后，此书出版后，在社会上流传较广，在一定程度上逐渐代替了《九章算术》。这也是当时社会对其数学教育思想的认可。

贾宪注重对知识纲要的概括。他在给出“立成释锁开方法”之后，又提出“增乘方求廉法”并给出六阶贾宪三角，解释开各次方之间的联系。讨论勾股问题则先论“勾股生变十三图”，而后谈论问题的解法，给人以清晰的体系感。

他的这些尝试，都体现了对知识纲要的重视。在数学教育上，注重对知识纲要的概括，也不失为一种良好的教学方法。

现存资料显示，贾宪未涉足刘徽的分数和极限理论领域。再加上他在《黄帝九章算经细草》中所讨论的开方问题未涉及开不尽情况，他甚至把《九章算术》中有分数解的问题改题设以得整数解。这些迹象表明他的工作是建立在整数集之上的。

在此基础上，贾宪提纲挈领地概括了勾股和开方问题，给出了诸多其他问题的一般性解法，从中我们隐约可以看到系统化方法的痕迹。

事实上，以贾宪的数学知识水平，他不可能不熟知分数，也不会不了解刘徽的求微数思想，只是他对开方开不尽的问题没有研究透彻。因此在他的著述中才回避了分数，目的是把自己掌握的数学知识，系统地传于世人。

这在古代数学教育史上是难能可贵的。

贾宪注重发散性思维的锻炼。他讨论《九章算术》中诸类问题时，不是固守前人的思路和算法，发现了很多新的计算方法。如“课分法”、“减分法”、“今有术”、“合率术”、“分率术”、“方程术”、“两不足术”、“勾股旁要法”等。

由此可见，贾宪不仅注重概括理论化的研究方法，同时也身体力行地致力于发散性思维的锻炼，这对于知识的创新是大有裨益的。

《九章算术》是11世纪以前我国最著名的数学著作，在其流传过程中，为其作注的人很多。而在数学理论上有突出贡献的主要是3位数学家，即刘徽理论基础的奠定、贾宪理论水平的提高和杨辉理论的基本完善，贾宪起着承前启后的作用。

另一方面，魏晋南北朝兴起的数学研究热潮自唐而中断，贾宪的数学方法论又激发了宋元时期的数学研究热潮，他又起到推波助澜的作用。

贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本质；借助程序化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注重知识系统化，避免产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有很深的影响。

比如：杨辉著《详解九章算法》借鉴了贾宪的抽象和探索成果，对《九章》各题重新纂类；李冶著《测圆海镜》就继承并发扬了这些数学方法，建立了一个逻辑严密的演绎体系；

朱世杰著《四元玉鉴》也用到这些思想方法，成就了我过古代数学史上的巅峰之作；秦九韶著《数术大略》不言具体数字更是师法贾宪，可见其方法论的生命力。

当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，也是历代数学著述、研究、积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。

总之，“贾宪三角”的发现及与之密切相关的“增乘开方法”的创立，对于我国古典数学于宋元时期达到高峰起到了重要的作用。

[旁注]

楚衍　著名历算家，少年时精通四声字母。楚衍对历代算经深有研究，并多次参与或主持历法的修订。楚衍擅长推步术、阴阳术、星历之数。他的门生贾宪和朱吉都是数学家。

宋元数学四大家　我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家。其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”。但目前有人建议，应该把贾宪列入其中，成为“五大家”。

乾嘉学派　是指清代的一个学术流派，因在乾隆、嘉庆两朝达到极盛，故得名。其学术研究采用了汉代儒生训诂、考订的治学方法，所以有“汉学”之称。又因此学派的文风朴实简洁，重证据罗列而少理论发挥，而有“朴学”、“考据学”之称。

极限理论　是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和我国战国时期。但迟至18世纪后人们才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的。

发散性思维　又称“扩散性思维”、“辐射性思维”、“求异思维”。它是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。这是一种方向、途径、角度都不同的一种设想，主要是为了能够探求各种不同的答案，使问题获得的解决方法。

[阅读链接]

北宋时期数学家贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。“贾宪三角”在国际上产生广泛影响。

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

法国数学家布莱士·帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。帕斯卡介绍了这个三角形。并收集了几个关于它的结果，以此解决一些概率论上的问题。

后来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”。