创建垛积术与招差术

垛积术源于北宋时期科学家沈括首创的“隙积术”，用来研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题，即高阶等差级数的研究。后世数学家丰富和发展了这一成果。

招差术的创立、发展和应用，是我国数学史和天文学史上具有世界意义的重大成就。

北宋真宗时，有一年皇宫失火，很多建筑被烧毁，修复工作需要大量土方。当时因城外取土太远，遂采用沈括的方案：

就近在大街取土，将大街挖成巨堑，然后引汴水入堑成河，使运料的船只可以沿河直抵宫门。竣工后，将瓦砾废料充塞巨堑复为大街。

沈括提出的方案，一举解决了取土、运料、废料处理问题。此外，沈括还有“因粮于敌”、“高超合龙”，“引水补堤”等，也都是使用运筹学思想的例子。

沈括是北宋时期的大科学家，博学多识，在天文、方志、律历、音乐、医药、卜算等方面皆有所论著。沈括注意数学的应用，把它应用于天文、历法、工程、军事等领域，得出许多重要的成果。

沈括的数学成就主要是提出了隙积术、测算、度量、运粮对策等。其中的“隙积术”是高阶等差级数求和的一种方法，为后来南宋杨辉的“垛积术”、元代郭守敬和朱世杰的“招差术”开辟了道路。

垛积，即堆垛求积的意思。由于许多堆垛现象呈高阶等差数列，因此垛积术在我国古代数学中就成了专门研究高阶等差数列求和的方法。

沈括在《梦溪笔谈》中说：算术中求各种几何体积的方法，例如长方棱台、两底面为直角三角形的正柱体、三角锥体、四棱锥等，大致都已具备，唯独没有隙积这种算法。

所谓隙积，就是有空隙的堆垛体，像垒起来的棋子，以及酒店里叠置的酒坛一类的东西。他们的形状虽像覆斗，4个测面也都是斜的，但由于内部有内隙之处，如果用长方棱台方法来计算，得出的结果往往比实际为少。

沈括所言把隙积与体积之间的关系讲得一清二楚。同样是求积，但“隙积”是内部有空隙的，像累棋，层层堆积坛罐一样。

而酒家积坛之类的隙积问题，不能套用长方棱台体积公式。但也不是不可类比，有空隙的堆垛体毕竟很像长方棱台，因此在算法上应该有一些联系。

沈括是用什么方法求得这一正确公式的，《梦溪笔谈》没有详细说明。现有多种猜测，有人认为是对不同长、宽、高的垛积进行多次实验，用归纳方法得出的；还有人认为可能是用“损广补狭”办法，割补几何体得出。

沈括所创造的将级数与体积比类，从而求和的方法，为后人研究级数求和问题提供了一条思路。首先是南宋末年的数学家杨辉在这条思路中获得了成就。

杨辉在《详解九章算术算法》和《算法通变本末》中，丰富和发展了沈括的“隙积术”成果，提出了一些新的垛积公式。

沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”。

元代数学家朱世杰在其所著的《四元玉鉴》一书中，把沈括、杨辉在高阶等差级数求和方面的工作向前推进了一步。

朱世杰对于垛积术做了进一步的研究，并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式，这是元代数学的又一项突出成就。他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。

对于一般等差数列和等比数列，我国古代很早就有了初步的研究成果。总结和归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情，是有相当难度的。上述沈括、杨辉、朱世杰等人的研究工作，为此作出了突出的贡献。

“招差术”也是我国古代数学领域的一项重要成就，曾被大科学家牛顿加以利用，在世界上产生深远影响。

我国古代天文学中早已应用了一次内插法，隋唐时期又创立了等间距和不等间距二次内插法，用以计算日月五星的视行度数。这项工作首先是由刘焯开始的。

刘焯是隋代经学家、天文学家。他的门生弟子很多，成名的也不少，其中衡水县的孔颖达和盖文达，就是他的得意门生，后来成为唐代初期的经学大师。

隋炀帝即位，刘焯任太学博士。当时，历法多存谬误，他呕心沥血制成《皇极历》，首次考虑到太阳视运动的不均性，创立“等间距二次内插法公式”来计算日、月、五星的运行速度。

《皇极历》在推算日行盈缩，黄道月道损益，日、月食的多少及出现的地点和时间等方面，都比以前诸历精密得多。

由于太阳的视运动对时间来讲并不是一个二次函数，因此即使用不等间距的二次内插公式也不能精确地推算太阳和月球运行的速度等。因此，刘焯的内插法有待于进一步研究。

宋元时期，天文学与数学的关系进一步密切了，许多重要的数学方法，如高次方程的数值解法，以及高次等差数列求和方法等，都被天文学所吸收，成为制订新历法的重要工具。元代的《授时历》就是一个典型。

《授时历》是由元代天文学家兼数学家郭守敬为主集体编写的一部先进的历法著作。其先进的成就之一，就是其中应用了招差术。

郭守敬创立了相当于球面三角公式的算法，用于计算天体的黄道坐标和赤道坐标及其相互换算，废除了历代编算历法中的分数计算，采用百位进制，使运算过程大为简化。

与此同时，在推算太阳逐日运行的速度以及它在黄道上的经度时，郭守敬还创造了“招差术”，即三次内差法，使天体位置推算得更加精确，比牛顿提出的内差法一般公式早了近400年。

招差术在朱世杰的时候得到了更深入的发展。《四元玉鉴》“如象招数”一门共5问，都是和招差有关的问题。

因为朱世杰比较完善地掌握了级数求和方面的知识，特别是掌握了各种三角垛求和方面的知识的缘故，所以，他在我国数学史上第一次完整地列出了高次招差的公式。

在欧洲，招差术由牛顿加以发展，推出著名的牛顿插值公式。朱世杰所发现的公式与牛顿插值公式在形式上和实质上都是完全一致的，而且比后者要早300多年。

[旁注]

汴水　古河名。北宋时期，开封之所以能成为一个全国统一的“八方辐辏，四面云集”的大都市，其主要原因，就是因为有了这条烟波浩瀚的汴河。它把黄河和长江联系起来，使各地的粮食和物资得以源源不断地运进开封。元代还有“一苏、二杭、三汴梁”的谚语。

方志　记述地方情况的史志。有全国性的总志和地方性的州郡府县制两类。总志如《大清一统志》。以省为单位的方志称“通志”，如《山西通志》，元代以后著名的乡镇、寺观、山川也多有志，如《南浔志》。方志分门别类，取材宏富，是研究历史及历史地理的重要资料。

郭守敬　（1231年～1316年）。元代天文学家、数学家、水利专家和仪器制造专家。郭守敬修订的新历法《授时历》，是当时世界上最先进的一种精良的历法，实行360多年。天文学界有“郭守敬环形山”和“郭守敬小行星”的天体命名。

刘焯　（544年～610年）。隋代天文学家。编有《皇极历》，在历法中首次考虑太阳视差运动的不均匀性，创立用三次差内插法来计算日月视差运动速度，推算出五星位置和日、月食的起运时刻。这是我国历法史上的重大突破。

孔颖达　（574年～648年）。唐代经学家。盛世鸿儒。曾奉唐太宗命编纂《五经正义》，被唐代朝廷颁为经学的标准解释，从而完成了我国经学史上从纷争到统一的演变过程。他是一个对我国经学具有总结和统一之功的大经学家。

[阅读链接]

有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术。”朱世杰号松庭。

一时间，求知者便络绎不绝。

朱世杰曾路见不平，挺身而出，救下一个被妓女院的鸨母追打的卖身女。后来在他的精心教导下，苦命的姑娘颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，两人结成夫妻。

此事至今还在扬州民间流传：“元代朱汉卿，教书又育人。救人出苦海，婚姻大事成。”