六、恒星的终结理论

爱丁顿在对宇宙的最初模式理论进行研究的时候，离不开对宇宙中的质点——恒星的研究，而恒星的最终状态如何，也是他探讨的一个重要问题。他对于这方面的研究成果，集中地体现在他于 1936 年夏天，在哈佛大学文学

与科学 300 周年纪念大会上所做的发言：

“⋯⋯在恒星内部，1 千万度的高温使大多数电子脱离原子而远走高飞，所以原子中所剩下的只是一个极其微小的结构。原子或者说离子的尺寸大大地缩小，它们越挤越紧，直到密度增大 100 万倍。正因为如此，在恒星内部密度大大增高之时仍然继续保持着理想气体状态。太阳以及其他一些密度比较高的恒星始终服从适用于理想气体的理论，这是很自然的，因为组成它们的物质是理想气体。

因此，没有什么因素能阻止恒星物质不断压缩，到达极高的密度；这本身意味着对于称为白矮星的一类恒星利用观测资料所算得的密度尽管高得使人感到不可接受，但也许完全是真实的。

在得出这一结论的过程中，我并不是没有一点疑虑的。我在担心这些超密星最终会发生什么情况。恒星似乎自行处于一种进退维谷的难堪状态。最后，恒星中所储存的亚原子能量总是会用完的，而这时恒星似乎必然地会冷却下来。但是一定会这样吗？巨大的密度可能是原子粉身碎骨的高温造成的。如果物质冷却了，它也许会回到地球的密度。但是这意味着恒星必然要膨胀到大约现在体积的 5 千倍那么大。然而，膨胀需要能量——克服重力做功；而恒星看起来已没有任何可供消耗的能量储备了。如果恒星不断地失去热量，而又没有足够的能量来使自己冷却，那么它究竟要干什么呢？

亚当斯教授及时地证实了天狼星伴星有着很高的密度，但这个谜仍未解开。不久，福勒教授在他的一篇论文中，应用了刚发现的波动力学的一个新成果，对亚当斯教授的理论给予了支援。但我认为这显然是一个巧合；就在天文学上发现了超高密度的物质之时，数学物理家们也正完全独立地将注意力转向了同一个课题。

物理学家们不会满足于现状而止步不前的，他们现在正着手对福勒公式加以改进。他们指出，以白矮星的条件而论，电子的速度会接近于光速，因而应当存在着一些福勒所没有考虑到的相对论效应。结果，被称为普通简单公式的福勒公式后来为一个新的公式所代替，后者称为相对论简并公式。一切看来都很好，可是后来钱德拉塞卡博士所作的某些研究又表明了这样一个事实，即相对论公式又把恒星的生命终点放回到了困境之中。在他看来，小的恒星可以冷却下来，这是不成问题的，它们以一种合理的方式结束其一生， 最后变为暗星；但是当超过某个临界质量（太阳质量的 2 倍）后，恒星将不会冷却下来，而一定是继续发出辐射，并且继续收缩，直到天知道它会变成什么东西，然而这并没有使钱德拉塞卡感到担扰，他似乎喜欢恒星以这种方法演变，并且相信这就是实际上所发生的情况。但是我和 12 年之前一样，反对这种有关恒星的玩笑；至少这是非常奇怪，从而使我怀疑所用到的物理公式一定在什么地方出了差错。

我对钱德拉塞卡在研究中所用的公式——所谓的相对论简并公式，作了仔细的检查，我所得出的结论是：它是相对论和非相对论性量子论的某种混合物。但我认为由这种结合而产生的后代是不合法的。相对论简并公式、也

就是目前所应用的公式，实际上是没有根据的；而且，也许令人颇为吃惊的是，正确应用相对论所导出的公式是普通公式，也就是已经被人所改进了的福勒的原始公式。

我要冒昧地提到这项研究中的个人方面问题，因为它表明了不同的科学分支是如何密切地连结在一起的。当我因钱德拉塞卡的研究成果而对相对论简并公式产生怀疑时，要我挤出时间来把这个问题追究到底，却是一件相当麻烦的事，因为当时我正全力以赴地从事着属于不同思想领域的一项长期研究。这项工作用去了我 6 年的时间，已接近于完成，剩下的只有一个问题需要加以解决，那就是对宇宙常数作精确的理论计算。但是在这一点上，我被完全难住了。然而，我有 4 个月的轻松时间，这是我曾想在这一问题上狠下一番苦功——进行最后的努力。可是由于开始思考简并公式时没有谨慎从事，所以我又不可能把公式丢开不管，这就花去了我大量的时间。

几个月一晃就过去了，但在有关宇宙常数的问题上我却什么事也没有做。后来，有一天在我试图用各种观点来检验我的简并性结果时，发现在一种极限情况下，它成为了某个宇宙问题的一部分。这正好对被我撇在一边的那个问题开辟了一条新的研究途径，而通过这条新途径，问题就可以得到解决而没有太多的困难。现在我可以理解，用其他任何方法都是很难做到这一点的；如果我把 4 个月的时间要是仅花在问题的最后解决上，要想取得大的进展，可能性微乎其微，这也算是歪打正着吧。

几天前，我向数学部提交了一篇论文，其中根据简并方程计算了旋涡星云的退行速度以及宇宙中的粒子数，这篇论文有着天文学的血统。然而，它并非仅是因为对旋涡星云的考虑而提出来的。它是研究天狼伴星以及其他一些白矮星的结果。”

在这段发言中，爱丁顿的恒星终结理论与钱德拉塞卡的理论表现出了两种不同的倾向。

作为福勒关于白矮星物质状态讨论基础的简并电子状态理论，同索夫菲的金属电子论的理论一样，受这样一种状态方程的支配：

1 3 2 h²

P = ( ) 3 n ⁵ ①

20 π ²

式中 P 表示压力，n 表示每立方米的电子数，mε表示电子的质量，h 表示电子的体积。对于普遍情况下白矮星中心所具有的密度条件来说，那些处于费米阈值的电子开始具有能与光速相比的运动速度。如果就这种环境条件加以修正，修正时所用的方法在当时是很普通的，而且到今天仍然广为采用，这样，经过修改后的状态方程与方程①所给出的形式有所不同。当电子浓度非常高时，极端情况下的方程形式趋向于：

1 3 1 4

P = 8 ( π ) 3 hcn 3 (n → ∞) ②

爱丁顿所以认为的“不合法”的相对论简并方程正是这一修正形式。

以上的两种方程，一种是应用状态方程的非相对论性形式方程①，另一种则是应用严格形式的方程；即对于低密度极端情况是方程①而对于高密度极端情况为方程②。

根据非相对论性的状态方程①，人们发现处于平衡状态中恒星物质的半径与质量的立方根成反比。因此，对于各种质量来说都有可能达到有限的平

衡结构。爱丁顿所满意的也正是这个事实。然而，如果应用高密度极端情况的严格形式状态方程②，研究者发现一旦恒星的质量超过下面的公式极限， 则任何形式的平衡状态也不可能达到了：

hc 3 1

M = 0.197( ) = 5.76M⁻²M ③

G (M H) ^{2 ε θ}

式中 Mε是每个电子的平均分子量，Mθ表示太阳的质量。

爱丁顿正是把这样的一个事实——对于超过公式③的极限质量来说明不存在有限的简并状态恒星结构，并将其看作是“恒星玩笑”。正如他在自己的一篇论文中所写道的：

“钱德拉塞卡博士应用最近 5 年来一直为人们所接受的相对论公式，证明了质量大于某个极限的一颗恒星将始终保持理想气体状态，它永远不可能冷却。这颗恒星一定会不断地发出辐射，同时不断地收缩变小，我想，这一过程将一直会进行到恒星半径缩小为几公里时才会停止，这时引力强大得足以使辐射受到压抑，而恒星也终于可以归于平衡了。

钱德拉塞卡博士是在早些时候得到这一研究成果的，但他只是在最近才多次讲到这一点；而当我就这个问题与他进行讨论时，我感到不得不得出这样的一种归谬证法。可能会因各种偶然事件的介入，而使这颗恒星在它生命的最后免遭极限坍塌的厄运，但是我想得到比这更强的保护机制。我认为应该存在某种自然的规律，它会防止恒星按照这种恐怖的方式发展演变！”

从这段话中可以看出，爱丁顿在 1936 年时就已经充分地认识到，如果对于简并结构的质量存在着某个上限；那么，超过这一极限的某颗恒星在其演变过程的最后将极度压缩，密度增加到令人不可思议的地步。这样，爱丁顿实际上已接近了当代对于恒星终结的理论之一——“黑洞”理论。但不知出于什么原因，爱丁顿并没有接受一个如此有预见地得出的结论；而是认为： “应该存在某种自然的规律，它会防止恒星按照这种恐怖的方式演变！”他所说的恐怖的演变方式，就指的是“黑洞”。

爱丁顿对于恒星最终演变过程的研究，有着他的开创性意义。他认识到了大多数的恒星演变的最后一个阶段将是白矮星，也意识到了“黑洞”的存在可能性。然而由于认识和理解的偏差，他没能进一步发展自己的理论，但这并不影响他对于恒星演变理论的巨大贡献。

比爱丁顿稍后的物理学家克劳瑟是这样评价爱丁顿的科学工作的：“爱丁顿的工作大都是极其重要的。他的理论除了难以理解这一点外，所解释的内容也实在太多了；事实上它对什么都作了解释。但是，迄今为止学者们通常会认为他的理论对什么也没有作出透彻的解释，充其量它也只是片断性的工作；然而我认为，爱丁顿的工作研究，就如同达·芬奇的科学研究一样，它所包含的深邃的洞察力，只有在通过完全不同的途径与方法将其中有重大意义的内容充分发掘出来以后，才有可能为后代人所明了它的巨大价值。”是的，在今天的天体物理学科中，许多奠基性的理论就是爱丁顿所作出

的。

另外，在宇宙模式的安全检查探索过程中，爱丁顿作为一位天体物理学家，也展示了自己深厚的数学功底。比如在处理狄拉克方程的过程中，爱丁顿改进了 E 数算法，这基本上是有 16 个元素的群代数，这些元素满足狄拉克矩阵的反射易定则。这一改进是一项很了不起的成就，它对于学者们加深对克利福德代数的认识，起到了重要的作用。

爱丁顿是这样改进 E 数算法的基本元素的，首先，他用下列的表示定义了五个 E 数：

iσ1

E1 = 0

0

iσ1

iσ3

E 2 = 0

0

iσ3

E3 =

E5 =

0

σ2

0

iσ2

− σ2

0 ，

iσ2

0

iσ2

E4 = 0

0

− iσ2

其中σ1、σ2 与σ3 是 2×2 泡利矩阵。这些 E 数满足对易定则： EμEv＋EvEμ=-28μv（μ，v=1，⋯⋯，5）

和 E1E2E3E4=iE5

爱丁顿代数的 16 个元素就是： i，Eμ和 EμEv（μ，v=1，⋯⋯，5）

接着，爱丁顿又进一步将 E 代数的平方定义为 16×16 的复矩阵。这一“双重 E 标架”是与九维基本空间中的三种克利福德代数中的一种相对应。爱丁顿在这一方面的研究，已经远远地走在了同时代数学家的前面。在今天，有关于超对称规范场方面的研究是以八维或九维克利福德代数为基础的，毋庸置疑，爱丁顿为奠基者之一。

在研究过程中，爱丁顿还相当重视去寻找幂等 E 数，也就是寻找克利福德代数中满足等式 E²=E 的那些元素 E，这些元素是量子电动力学中有关动量和自旋的基本组成。另外，由于他意识到在实数范围内 E 代数是五维的，这样他就在粒子物理学领域内第一次引入了“手征性”的概念，从而使计算方法更加清晰、明了。

尤其应该指出的是，爱丁顿还是认识到 4×4 实数矩阵代数及其意义的第一个人。这一代数矩阵后来被马约喇纳所推广；被称为“马约喇纳旋量”。