五、从事大地测量

1818 年以后，高斯开始从事大地测量工作。早在 18 世纪初，欧洲科学家已经开始采用大地测量的方法来计算解决地球究竟是不是一个圆球的问题。1736 年，法国曾在北欧和南美进行过用子午线弧长测量地球的工作。19 世纪以来，由于资本主义经济的不断发展，加上拿破仑统治下的法国与反法联盟间的持续战争，地理考察和地形图的绘制被提到议事日程上来。英、法、俄、德、意等主要资本主义国家都先后组织起庞大的测绘队伍，有计划地进行本国领域的测绘工作。

1817 年，阿尔顿天文台台长、著名天文学家舒马赫（1780—1850）受丹麦政府委托，开始在德国北部进行测量。测量一直延伸到汉诺威公国（前德意志西部邦国）。舒马赫请求他的老师高斯出面向汉诺威政府提出建议。高斯同意后，当年就向汉诺威政府提出了一份详细的报告，说明了进行大地测量的必要性。第二年，汉诺威政府批准了高斯的计划，并拨款表示支持，高斯被丹麦政府和汉诺威政府任命为科学顾问。

1818 年 10 月初，高斯和舒马赫一起进行了三角网合为一体的测量。但是，由于光标信号设备太差，这次测量没有成功。当时的首要问题是要增大光束传输的距离，高斯的目标是让光束从蒙勃朗峰照到威尼斯，也就是说要通过 450 千米的距离。这是一个在技术上和工艺上有一定难度的问题。

一次偶然的机会，高斯在拉丁堡的米哈伊诺夫架上看到了从汉堡标架上一窗户里射出的强烈光束，这引发了他发明日光反射器的想法。1820 年秋， 高斯发明的日光反射器要进行现场实验，人们闻讯赶来，都想亲眼看一看从几百里外反射而来的太阳光束。当远方星状光束出现时，人们都欢呼起来， 他们向高斯表示祝贺，并预祝他大地测量成功。高斯十分珍爱他发明的日光反射器，后来，他不止一次地为原先的设计作出改进，最后还试制成功被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。

汉诺威弧度测量工作一开始，高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测， 夜晚计算。他自己曾作过统计，五六年间，经他亲自计算过的大地测量数据， 超过 100 万次。1824 年，在长期艰苦的野外作业中，高斯因日夜操劳病倒了。他的一些好友听到消息后，写信劝他不要再去野外工作了。但他用客气的口吻回答劝他的贝赛尔说：“您多次来信强调大地测量的成果价值不大，⋯⋯ 好像有点浪费我的宝贵时间，⋯⋯说真的，我也曾考虑过，可能世界上全部测量成果，在一些人眼里抵不上一条定理的发明⋯⋯但在我眼里，却是在追求一个伟大的目标。”

当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上来，并写出了近 20 篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。

《关于保持无穷小部分相似性的曲面向平面投影的条件》是这一系列论文中的重要一篇。在这篇论文中，高斯提出“正形影”的概念，详细地叙述了平面、正圆柱面、球面以及旋转椭圆面在平面上的正形投影方法。在文章的附注中，高斯还介绍了应用椭圆面向球面正形投影理论，解决了大地测量的计算问题。这篇论文 1822 年作为解决丹麦科学院提出的建立地图格网问题的应征论文首先发表。

1827 年，作为大地测量上的又一成果《论曲面的一般研究》一书出版。

这部著作的意义不在大地测量而在数学上，它是微分几何发展史上一块重要的里程碑，标志着以曲面为基本对象的微分几何的创立。

1844 年和 1847 年，高斯先后发表了两篇题为《大地测量学研究》的文章，对如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题作了进一步的回答。在前一篇论文中，高斯提供了椭圆面向球面投影时距离和方向的所有变换公式，并以汉诺威三角网为例证，对公式的具体运用作了详细的介绍。由于通过变换公式计算难以获得精确解，高斯用了近三年的时间，于 1847 年又创立了可直接用于椭圆面的计算方法，这种方法至今仍在大地测量学中保持着它的实用价值。

高斯在大地测量的实践中，不断革新，丰富了大地测量学的理论。他把天文学引进大地测量中，创造了太阳等高测定时间法，太阳近中天高度测纬度法，特别是同时测定时间和纬度的多星等高法，广泛适用于各级精度的大地天文定位，一直沿用至今。他把数学引进大地测量中，使用了最小二乘法进行观测值的平差，在大地计算中推导出内插公式，他创造的高斯正投影（亦称相似投影或等角投影），解决了将椭球曲面图形投影到球面上的问题，使地图数学精度得以提高，从而推导出等角横切椭圆柱投影（即高斯投影）、立体投影、正形标准圆锥投影及双投影等公式。由于他解决了地图投影的难题，1822 年丹麦科学院授予高斯特别奖，以表彰他在大地测量方面取得的成就。

汉诺威大地测量工作直到 1848 年才基本结束。这项大地测量史上的巨大工程，如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理精确，在数据处理上尽量周密细致的出色表现，就不能完成。在当时条件下布设这样大规模的大地控制网，精确地确定 2578 个三角点的大地坐标，可以说是一项了不起的成就。