二、大学生活

哥廷根大学成立于 1737 年，是当时德国一所著名大学。它以藏书丰富和

教授的知名誉满全国。1795 年 10 月 11 日，高斯到这所大学报到，开始了大学生活。

18 世纪，德国的启蒙运动波及全国，也影响了哥廷根大学的校内生活。在学校里，民主思潮和自然科学的交流空前活跃。许多进步教师开办了讲座，如：曾创立欧洲语言学校的古典语言学家海涅开设艺术史和考古史课程；历史学家施勒策尔发表了批判专制统治体制的专门演说；才华横溢的物理学家李希腾贝尔举办科学讲座。这些学术活动吸引着无数的学生，对高斯自然也起着强烈的熏陶作用。

高斯虽然是个学生，但他边学习边研究前人未曾解开的数学之谜。1795 年，他对数论中的二次互反定律第一个作出严格的证明。二次互反定律是欧拉首次发现的，这是一个了不起的成就。但是，欧拉没有对它进行证明，只举出几个例子作为验证。勒让德在 1785 年独立宣布了这一定理，并且先后给出了两个证明。可惜他的证明并不完备，因为他回避了一些重要的难点。高斯运用数学归纳法证明了这个定律，以致凡是见过这证明的数学家无不拍案叫绝。高斯对此十分重视，称它为“黄金定理”。对于这样重要的定理，高斯认为有一个证明还不够。他反复思考多年，先后给出了 6 个不同的证明。他认为“绝不能以为”获得一个证明以后“研究便告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品”。因为，“有时候，你一开始未能得到一个最简单，最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去。这是我们继续研究的活力，并且最能使我们有所发现。”由此可见，高斯对科学的严谨态度。今天，关于这个定律的证明已有 50 多个，但高斯对这个定律的贡献仍是不可低估的。

高斯是一个兴趣十分广泛的学生，他既喜欢自然科学，也喜爱文学、绘画等社会科学。他在语言学方面有着突出的表现，他不仅能阅读拉丁文和希腊文，而且还能用它们来写文章，文字表达能力极强。在上大学的第一学年中，他对自己究竟是研究数学还是专攻古典文学犹豫不决。因为，这些专业他都爱不忍释。但是，1796 年 3 月 30 日，高斯出色地解决了数学史上的一

个难题——正 17 边形的尺规作图这件事，终于促使他下定了攻读数学的决心。

尺规作图是古希腊学者提出的数学问题。早在欧几里得的时候，人们就已经能仅用直尺和圆规作出正三边形、正四边形、正五边形和正 12 边形。但

是，当他们试图用这两种工具作正 7 边形、正 11 边形或正 17 边形时，便遇到了极大的困难。在后来的两千多年间，人们虽曾作过许多努力，却都未能成功。于是，有关这类图形的尺规作图就成了世界难题，向人类的智慧提出了严峻的挑战。当时的许多数学家都认为这个问题是不能解决的。

1796 年 3 月 30 日这一天，高斯正在故乡布伦瑞克家中休假。清晨起床

后不久，他就用圆规和直尺成功地画出了正 17 边形。之后，他又提出并证明了这种作图的可能性的条件。假期结束后，高斯带着他的结果去见哥廷根大学教授、他的老师克斯特纳。克斯特纳听说高斯正在进行正 17 边形的作图，并且称自己已经解决了，很不相信。他告诉高斯，关于这个问题的精确解是不可能得出的，得出的只能是近似解。他不相信高斯的成果，把高斯赶出了

家门。

事实上，高斯的答案是正确的，他不仅解决了正 17 边形的尺规作图，而且对这类作图问题的可能性作了一揽子回答。他的结论是：“一个正 n 边形能用尺规作出，仅仅在 n 可表示为如下形式时才是可能：n=2m·p1p2⋯pn；其中 p1，p2，⋯，pn 为各不相同之素数，且具有 22k＋1 形式。”特别是，当 n 为素数时，n 具有 22k＋1 形式即为尺、规作正 n 边形的充分条件。根据这个结论，人们就可以毫不费力地断定，哪些正多边形是可用尺规作出的，哪些则不可用尺规作出。比如，正 17 边形虽然能用尺规作出，但边数比它少的正7、9、11、13 边形却不能。这样，困扰了几何学家达 2000 年之久的难题终于被这位 18 岁的德国青年作出了完满的答案。下面是正 17 边形的尺规作法：

正 17 边形的完整作法只需一页篇幅；正 257 边形的尺规作图就要占用

80 页纸；而后来数学家盖尔英斯按照高斯方法作出的正 65537 边形的手稿整整装满了一只手提箱。这份手稿至今仍保存在哥廷根大学的图书馆里。

1796 年 6 月 1 日，在《文献汇报》的知识分子专栏中，通过学校一些教

授的推荐，高斯发表了他关于成功画出正 17 边形的第一篇论文，并将这一最新发现公诸于世，齐默尔曼教授在推荐文中指出：这是数学上的巨大成果，完成这一成果的是一位年仅 18 岁的大学生，而且他在古典文学上的造诣也不亚于高等数学的成就。

这次成功使高斯大为振奋，从此他下决心把毕生精力奉献给数学科学。他十分珍视这一成果，并希望死后能在他的墓碑上刻上正 17 边形的图案。

从 1795 至 1798 年的大学三年间，是高斯思维的旺盛时期。各种神奇般的想法，像喷泉般地涌流出来，它涉及到数论、代数、分析、几何、概率论等各个方面。高斯后来发表的成果都可以在这个时期里追溯到思想的脉络。

1798 年 9 月 29 日，高斯以优异的成绩结束了在哥廷根大学的学习生活。大学毕业后，高斯没有立即找工作。他回到家乡布伦瑞克赶写博士论文。

当时，高斯可选择的论文题目有很多，但他选择了代数基本定理的证明这一难度大影响大的论题。论文第二年完成，题目是：《关于每一单变量代表整函数都可分解为一阶或二阶实因子之积的证明》。论文以十分新颖的思考方式对代数方程根的存在作了严格的论证。高斯的方法不是去计算一个根，而是去证明它的存在。他指出 P（x+iy）＝0 的复根 a＋ib 相当于平面上的点（a，b），如果 P（x＋iy）＝U（x，y）＋iV（x，y），那么（a，b）必定是曲线 U（x，y）＝0 和 V（x，y）＝0 的交点。通过对这些曲线作定性的研究，他证明了一条曲线上的一段连续弧连结着两个不同区域上的点，而这两个区域是被另一条曲线隔开的，所以曲线 U（x，y）＝0 和曲线 V（x，y）

＝0 必相交。

高斯的论文除提交给赫尔姆斯塔特大学外，还分发给了当时他认为有资格对其代数基本定理的论证进行专业评价的 37 个人和机构。由于高斯的论文解决了前数学家达朗贝尔、欧拉和拉格朗日试图解决而没有解决的问题，因此，他的论文受到赫尔姆斯塔特大学校务委员会的肯定。在高斯缺席答辩的情况下，通过了论文。论文评定人是该大学著名的数学教授普法夫。他对高斯的评语是：“这篇论文具有许多优点，说明作者才华突出，通篇叙述充满了完全合理的推论和令人信服的证明。因此，这篇论文出版以后，高斯博士学位将为我们大学增添无比的荣誉。”因此，高斯获得了博士学位。同年，高斯获得讲师职称。

高斯的论文虽然获得了成功，但是，这成功的背后却有着艰辛的历程。高斯大学毕业后，斐迪南公爵承诺的义务即告完成。高斯在找工作中遇

到了困难。他只收了几个学生，时断时续的学费收入仅够他购买每天需要的面包和纸张，至多只允许他偶尔喝上一杯咖啡。像高斯这样一个颇有名望的数学家，为什么收不到学生呢？原因是高斯讲课和他著作一样字斟句酌，言简意赅，他不重复在他看来浅显易懂的道理，这使得一般学生远远跟不上他敏捷的思路。生活的艰辛，终于使他病倒。即使这样，高斯在致斐迪南公爵的信中从未提起自己生活的窘迫。后来，他的朋友巴蒂尔把这个消息告诉了公爵。斐迪南公爵又一次雪中送炭。他不仅为高斯偿还了债务，而且决定继续提供津贴，让高斯安心研究而不致受贫穷的困扰。如果没有公爵的资助，高斯也许不能够顺利地完成研究工作。