第三章 新世纪的先声新世纪的数学大道

如果说巴甫洛夫的条件反射学说为 20 世纪的到来送上了一束美丽的鲜花，那么，德国数学家大卫·希尔伯特则通过自己对著名的数学难题“果尔丹问题”的研究和解决，为新世纪的数学发展指出了一条康庄大道。

果尔丹是 19 世纪的著名数学家，由于他成功地解决了代数不变量领域里的一个重大问题，被数学界誉为“不变量之王”。

为了纪念他，一个更重要的、仍然没有解决的不变量领域里的难题，被直接命名为“果尔丹问题”。这个问题就是：在某种代数形式下，能否由有限个“基本的”不变量产生出所有的不变量？

问题提出之后，世界上许多著名的数学家都企图去攻克这个问题，但结果都一一败下阵来，不少人还把它看作是无法解决的问题。

希尔伯特却认准了这个目标，并且全身心地迷上了这个数学难题，无论走到哪里，无论在干什么，他的心里都在想着这个刁顽然而调皮的“果尔丹问题”，因为它能唤起自己那种几乎无法思议的完美想象力。

为了解决这个对于他来说，“才下眉头，又上心头”的难题，希尔伯特亲自登门拜访了果尔丹先生，并且找来了所有的果尔丹的数学著作，全面深刻地了解了果尔丹问题的过去和现在，从而出人意料地为自己开辟出了一条全新的途径。

经过大量的分析，他发现，以往数学家们在解决这个问题时，所采用的都是果尔丹的方法，即力图寻找或构造出能产生所有不变量的“有限个基本的”不变量形式，也就是直接求出这个问题的答案。

这种方法被大量的实践证明了，是“死路一条”，所以，希尔伯特觉得，

要想成功地解决“果尔丹问题”，就必须找到一种全新的方法。

又经过无数个不眠之夜，不知流了多少汗，不知花费了多少心血，希尔伯特终于找到了一种全新的办法，即这个问题是否有答案？如果有的话，它应该是怎样的呢？从这个思路（即采用逻辑的必然性法证明这个有限个基本的“不变量”是必定存在的）出发，希尔伯特成功地解决了这个数学难题。这种运用存在性证明代替构造性证明来解决问题的办法，毫无疑问地，

是数学研究中富于独创的思想方法。这正是希尔伯特后来创立数学基础中形式主义学派的方法论前提。

使用存在性方法，是数学方法论的一场重要革命，具有划时代的意义， 它把过去的那种构造性方法，带入了另外一块迷人的地带，为 20 世纪的数学，又开辟了一条金光大道。

从此以后，希尔伯特，这位普通的青年讲师，便如同一颗灿烂的新星， 升起在人类的天空，并以其独特的光明，烛照人类文明。

1862 年 1 月 23 日下午，大卫·希尔伯特这位天才人物诞生于德国的哥厄斯堡。这是一个山青水秀、人杰地灵的海滨小城镇。

希尔伯特出生在一个法律世家里，他的爷爷、父亲及好多亲友都同法律结下了不解之缘。父亲常年在外奔波，因为他是乡村巡回办案的法官。

所以，童年时代，希尔伯特更多的是同母亲在一起，所接受的是母亲的那一套教育。他的母亲身体不太好，一年中乃至一生中的绝大部分时间都是在病榻上度过的。

但是，希尔伯特的母亲对数学和天文学却有着浓厚的兴趣，长期的耳濡目染，使希尔伯特幼小的心灵里，便对数学充满了无限的热爱和向往。在中学时代，他就决心把数学作为自己终身奋斗的事业。

小时候的希尔伯特，是一个公认的大笨蛋。他八岁才上学，比别的孩子要晚两年。上学的第一天，老师要考考学生能数到多少，好多小朋友都数到100 以上了，希尔伯特却连 10 也数不到。

上小学的时候，他的各门功课都没有及格过。他的记性特别差，真是“左耳朵进，右耳朵出”，尤其是需要死记硬背的语言课，他更是感到头疼，老师上课提问的时候，他总是张口结舌说了半天，一句完整的话也说不出来， 引得全班哄堂大笑。

希尔伯特理解概念的反应速度也非常慢，回家以后，常常需要母亲讲一句，他记一句，才能完成老师布置的作文任务，大家一致认为这孩子将来不会有大出息。

然而，希尔伯特自己没有自暴自弃，在上中学的时候，他像换了大脑似的，跟小时候比简直是判若两人。

他对自己的情况进行了认真的分析，觉得自己虽然记忆力比较差，理解能力也较慢，但完全可以下功夫来弥补自己在这一方面的不足。

于是，在他的好朋友闵可夫斯基兄弟的影响下，他找到了他喜爱的科目

——数学。因为数学不需要死记硬背，而理解问题慢则有助于更加深刻地掌握概念的实质。

经过自己的刻苦用功，并且不顾父亲的坚决反对，他终于考取了他向往已久的哥尼斯堡大学，并且选择数学作为自己的终身事业，而他的父亲则一直希望儿子能够上法学院，当一名法官。

但是，希尔伯特的叛逆，却使自己终于成为一名卓越的数学大师。

作为一个与众不同的数学家，希尔伯特数学研究方法的一个重要特征， 就是善于钻研重大而关键的数学问题。

希尔伯特认为，重大而关键的问题是推动数学发展的动力源泉之一，他说过它有三个特点：

其一，清楚、容易理解并且能够吸引人的兴趣； 其二，困难，但有被攻克的希望；

其三，在通向那真理的道路上，它是一盏指路明灯。

希尔伯特不光注意咬定目标，而且还非常注意方法，一种方法不行，就赶紧换另一种方法，他就是这样攻克著名的数学难题“果尔丹问题”的。

1900 年 8 月 8 日，新世纪来临后的第一个夏天。在法国巴黎，这一天天气格外地炎热，仿佛是把全部的热情都倾注出来，欢迎来自世界各地的数学家们。

在巴黎大学的演讲厅内，正举行国际数学家第二次代表大会。

站在讲台上正在演讲的，是一位中等个儿，秃顶，蓄着淡红色络腮胡子， 看上去不到 40 岁的学者，他就是希尔伯特。

希尔伯特那明亮睿智的蓝眼睛里射出灼热而自信的光芒，他那掷地有声的话语，在整个演讲大厅里久久回荡，并重重地敲击着每个与会者的心。

按照惯例，演讲者所报告的一般都是自己的工作情况和研究成果，但是， 希尔伯特的演讲却不是这样。

希尔伯特一共提出了 23 个数学难题，并预示了新世纪整个数学学科的发

展方向。他衷心地希望数学家们在 20 世纪去努力攻克这些难题，并以此推动整个数学学科的发展，创造出新的数学理论和方法。

希尔伯特的这次演讲，以巨大的无可抗拒的磁力，吸引了无数数学家的注意力。这 23 个数学问题左右了数学发展的方向，为无数数学家们带来了无穷无尽的欢乐和苦恼，激发了当时乃至其后一段时间整个数学界的想象力。人们普遍认为，一个数学家在一生当中，只要解决了其中的一个问题，

都是对数学科学的一个无法估量的贡献。同时，随着这些问题的解决，必然大大推动 20 世纪数学的发展，有人形象地把这次演讲称为是新世纪数学的一张导航图。

一直到目前为止，23 个问题中，还有一些问题悬在那里，没有获得解决。中国优秀的数学家陈景润仍在努力攻克的“哥德巴赫猜想”，就是希尔伯特在这次演讲中的第 8 个问题。

在巴黎会议之后，希尔伯特已经开始享有一个数学家所能够享有的最高声誉，但是，他并没有因此而孤芳自赏，固步自封，而是继续把大量的时间和精力都用于研究科学问题上。

几乎所有的主要数学领域里都留下了他具有开创性的辉煌业绩，如关于不变量理论研究；类域论计划；几何基础；狄里克莱原理的起死回生；变分学的重要定理等等。

正如我们在第一回里所看到的那样，20 世纪初期，以物理学的三大发现为序幕，物理学发生了一场史无前例的革命。

在量子力学和相对论两个领域，现代物理学捷报频传，成果累累。但是， 由于新的物理学还无力使经典物理学寿终正寝，在外行人看来，物理学领域多多少少有一点凌乱。

希尔伯特坚信运用公理化方法可以使物理学摆脱混乱状况，他认真地研

究了当时物理学的最新成果，并深入理解了发生在物质微观领域中的事物本质，采用了完全不同的、更为直接的方法，几乎和爱因斯坦同时，独立解决了广义相对论方面的有关问题，从而使物理学的天空不再乌云密布。

希尔伯特不光自己致力于攻克数学道路上的一个个难关险隘，他还是一位优越的数学教育家，他所主持的哥廷根数学讨论班吸引了世界各地的数学家们。

希尔伯特的讲课内容和方式对学生有着巨大吸引力，经常有好几百人挤在大厅里听他的课，许多人甚至坐在窗台上。

正如后来一位数学家所描述的那样：“希尔伯特的乐观、热情，他对于科学的价值的无可动摇的信仰，以及对于简明的问题追求简明答案的推理能力和坚定信心，这一切都有着不可抗拒的魅力，仿佛一个穿彩色衣服的吹笛手吹奏的甜蜜笛声，引诱了一大群老鼠跟着他走进数学的深河⋯⋯

希尔伯特还是非常有名的数学伯乐，在他所执教的哥廷根大学，流传着不少关于他扶植数学新人的轶事。

有一天，他班上的一名旁听生寄给了他一篇数学论文，这篇论文写得既有深度，又有力度，对不少数学问题都提出了自己的真知灼见，并对新世纪的数学去向提出了自己的看法，希尔伯特看后拍案叫绝。

这篇论文的作者，就是从东欧来的犹太人雅可布·格罗美，格罗美本来一门心思想当教士，按照当地的风俗，新的教士必须同老教士的女儿结婚才行。

不幸的是，格罗美得了一种怪病，叫做肢端肥大症，手和腿都严重畸形， 老教士的女儿一看到这种情形，便死活不愿同他结婚，他当教士的美梦像肥皂泡一样地破灭了。

格罗美并没有被不公正的命运所打倒，他开始发奋，半路出家学起了数学，他没想到，因为他是半路出家的，他没有资格得到博士学位。

阅读完格罗美的论文后，希尔伯特觉得这是一块未经雕琢的璞玉，在数学方面这是一个难得的好苗子，他决心为格罗美争取到博士学位。

在评定职称的教授联席会议上，绝大多数人都不同意授予格罗美博士学位，希尔伯特据理力争终于使教授们不得不破例授给格罗美以博士学位。

对于那些才华横溢、有真才实学的青年，希尔伯特也敢于冲破世俗的偏见，大胆地加以提拔和任用。

1915 年，哥廷根来了一位“洗衣妇一般”的女人，她就是爱米·纳脱。纳脱虽然貌不惊人，但才华过人，对某些学科拥有相当可观的知识。

希尔伯特决定大胆任用她，让她留在哥廷根当讲师，辅助相对论的研究工作。

但是，在当时的德国，女性处于受歧视的地位，没有哪一所大学准许女性上讲台授课。所以，希尔伯特的建议，遭到了教授们的一致反对。

他们说：“当我们的士兵从战场上回到大学，发现他们将在一个女人的石榴裙下学习，他们会怎样想呢？”

希尔伯特直接了当地予以驳斥：“我不认为候选人的性别是不能让她当讲师的理由，大学校园毕竟不是一个澡堂子。”

但当时的顽固势力占据了上风，希尔伯特只好以自己的名义开设一些课程让纳脱去主讲。后来，纳脱成为一位优秀的数学家。

由于希尔伯特，哥廷根播下的数学种子到处开花结果。到 1930 年，68

岁的希尔伯特从他担任了 35 年的哥廷根教授的职位上光荣退休时，培养的学生已达上千人，其中著名的数学家、物理学家就有几十名之多，有的在后来还获得了诺贝尔奖金。

希尔伯特在世的时候，正好遭遇了两次世界大战，他实在搞不清楚人类为什么要有战争和杀戮，但是，他对战争又无力阻止。

他用自己的一言一行充分体现了他一生的最高准则，那就是绝对的正直和诚实。他拒绝在当时德国政府发布的所谓“告文明世界书”上签字，当时没有签字的大科学家只有两位，一个是爱因斯坦，另一个就是他，因为那份“告文明世界书”是想让知名的科学家在上面签名来支持德国所发动的侵略战争的。

希尔伯特把自己的一生都献给了他所热爱着的数学事业，他追求确立数学的相容性，追求纯粹数学演绎过程的无矛盾性，成为数学发展中上形式主义流派的创始人。

1943 年 2 月 14 日，81 岁的希尔伯特在哥廷根的街道上摔倒，把手给摔断了，接着又引起了并发症。一代数学巨人，就这样永远地离开了这个精彩而又无奈的人世间。

但是，希尔伯特的精神是不会死的，它将永远引导数学继往开来，不断走向更大的成功。

这种精神，不光镌刻在哥廷根希尔伯特墓地的石碑上，而且将永远回荡在全世界每一个数学工作者的心灵深处：

我们必须知道， 我们必将知道。