二、数学天才

1789 年的法国大革命推翻了成为社会发展桎梏的封建制度和专制政

权，促进了科学的发展，使法国在 18 世纪末和 19 世纪初取代英国，一跃而成为世界科学的中心。在这里，只需提一下拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、傅里叶、柯西等著名数学家的名字就可想而知法国科学的盛况了。可是，由于启蒙主义在德国的活跃和以普鲁士为中心的各诸侯国的统一，德国在世界舞台上崭露头角，后来居上，在 19 世纪后半期夺得了科学的主导权。尽管如此，由于彭加勒等人的继往开来，仍使法国有能力自立于世界科学之林。彭加勒被认为是 19 世纪最后 1／4 和本世纪初期的数学主宰，并且是对数学和它的应用具有全面知识、雄观大局的最后一位大师。要知道，当时的许多数学分支都变成了封闭的体系，它们各有其特殊的术语和专门的研究方法，要同时跨越几个领域实在不易，要作个通才，更是难上加难。可是彭加勒就是这样的通才，人们公认他是堪与高斯相媲美的大数学家。

在彭加勒出生后的第二年，高斯就去世了。高斯是德国著名的数学家，被誉为“数学家之王”。他的研究遍及所有数学部门，也是非欧几何学的创始人之一。可以说，19 世纪数学的发展一开始就在数学巨人高斯身影的覆盖之下，而后来却在同样的一位数学大师彭加勒的支配之中。他们两人是最高意义上的广博的数学家，并且都在物理学和天文学上作出重要贡献。事实上，彭加勒在数学的四个主要部门——算术、代数、几何、分析——中的成就都是开创性的。洛夫在评价彭加勒时说过：

他的权威现在已被公认，他能够进入所有时代最伟大的数学家行列之中，未来的几代人将不可能修改这一论断。

彭加勒的首次成功是在微分方程理论方面。这项工作完成于 1876 年 11

月，论文题目是《关于微分方程所定义的函数性质》，其时他只有 22 岁。1878 年，他又完成了同一课题的又一篇论文《自变量的任意个数的偏导数方程的积分》，它涉及到更加困难、更加普遍的问题。这篇博士论文又一次显示了彭加勒卓越的数学才能。论文评审人认为，论文是异乎寻常的，它包含着足以向几篇好论文提供材料的结果，完全值得接受。对于常微分方程的研究促使彭加勒从事超越函数新关系——自守函数——的探讨，自守函数是椭圆函数的推广。彭加勒把自己发现的一类自守函数命名为富克斯函数，但富克斯却没有考虑过，为此克莱因就优先权问题向彭加勒提出抗议。彭加勒的回答是把自己紧接着发现的一类自守函数命名为克莱因函数，因为这类函数正像有人所幽默地注视到的，克莱因从来也未想到过。

1884 年，彭加勒在《数学学报》前五卷发表了关于自守函数的五篇重要

论文，这一划时代的发现使不到 30 岁的彭加勒闻名于世。从此，他一生事业的魔杖被抓住了。阿拉丁的神灯（阿拉丁是阿拉伯神话《天方夜谭》中寻获神灯与魔指环的青年，阿拉丁的神灯即如意神灯，此灯可使持有者百事如意）

被擦亮了。可是，当这组论文的第一篇发表后，克罗内克却警告编辑说，这篇不成熟的和隐晦的论文会把期刊扼杀掉。

自守函数的研究和微分工程定性理论的研究一样，促使彭加勒重视拓扑学。1887 年，33 岁的彭加勒被选入巴黎科学院，像这样年轻的新人进入科学院实属罕见。大多数数学家在签署意见时认为，彭加勒的工作成就超过了通常的赞扬，这必然使我们想起雅科毕描述阿贝尔的情况——他解决了在他之前未曾设想过的问题。事实上必须承认，由于椭圆函数的成功，我们正目睹数学领域里的一次革命，这次革命在每一个方面都可以和半个世纪前出现的革命相比较。

彭加勒说过，数学家具有两种截然不同的倾向。有的人具有不断扩张版图的兴趣，在攻克某个难题后，便抛开这个题目，急着出发进行新的远征。另外的人则专心致志地围绕着这个问题，从中引出所有能够引出的结果。前者像一个乘汽车的旅行家，后者则像一个徒步游客。

彭加勒本人就是这样一个在数学新版图上乘车驰骋的旅行家。法国数学家、彭加勒的传记作家达布谈到彭加勒的这一特点时说：“他一旦达到绝顶，便不走回头路。他乐于迎击困难，而把沿着既定的宽阔大道前进、肯定更容易到达终点的工作留给他人”。彭加勒属于库恩所说的发散式思维的科学家，对于一个科学开拓者来说，这的确是不可或缺的素质。

就这样，彭加勒接二连三地出击，雄心勃勃地进行新的征服。他在函数论，组合拓扑学（又称代数拓朴学）、代数学、微分方程和积分方程理论、代数几何学、发散级数理论、数论、概率论、位势论、数学基础等方面都作出了开创性的贡献，成为后继者拓展和深究的课题，有些至今仍具有诱人的魅力。在数学研究的众多领域中，彭加勒永远走在前面。新问题等待着他，他没有时间仔细琢磨已被攻克的旧问题，他不愿把精力花在那些细枝末节的小问题上，修正、拓广他作过的东西不是他的职责。维托·沃尔泰拉在评价彭加勒这一工作作风时说：“对彭加勒而言，整体即是一切，无所谓细节”。在这方面，彭加勒与高斯迥然不同。高斯的研究成果发表的相对地少，因为他不管作什么工作，都要琢磨修饰，既要求完美，又要求他的证明达到最大限度的简明而不失严密性。关于非欧几何，他没有发表过权威性的著作。而彭加勒却是一位性急而多产的科学家，他甚至说过，他从未发表过一篇既不后悔它的内容、也不后悔它的形式的论文（这当然是自谦的说法）。不过，他们二人有一点则是共同的：他们都没有几个学生，而且都喜欢一人工作。

在数学哲学和数学创造的心理学方面，彭加勒也进行了有意义的探索，发表了富有启发性的看法。彭加勒巨大的权威性，他的文体的优美，以及他打破传统的思想，使他的著作超出范围有限的数学界。有的传记作家估计他的作品有五十万读者，创造了数学界的空前记录，开了一代数学大师的先河。