三、天文学的剑客

自牛顿以来天文学向数学提出了许多问题。直到 19 世纪之前，天文学家在处理天文学问题时所用的武器实际上是牛顿、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯所发明的武器的改良。但是。从 19 世纪开始，柯西发展了复变函数论，他本人和其他人对无穷级数收敛问题进行了研究，天文学的武库通过数学家的努力正在扩充起来。对于彭加勒来说，他很自然地想到自己的解析学，他把这种从未运用过的数学新武器用来进攻天文学。他所发动的战役在当时是如此地现代化，以致在 40 多年后，还没有几个人能够掌握他的锐利武器。

在 19 世纪，法国在理论物理学和其他学科方面失去了霸主地位，但在理论天文学方面仍然领先一步。彭加勒是这一光荣传统的继承人，他站在他的同胞克莱劳、拉普拉斯、勒维烈这些天文学巨人的肩膀上，当然会看得更远一些。他的主要工作有三个方面：旋转流体的平衡形状（1885 年）；太阳系的稳定性，即 n 体问题（1889 年）；太阳系的起源（1911 年）。

彭加勒对第一个问题的兴趣是被威廉·汤姆逊，即开耳芬勋爵和泰特的

《论自然哲学》一书中的一节激起的。此外，他在讲授流体力学时也对标准教材中关于旋转流体的处理感到不满。

彭加勒在 1885 年发表的长篇论文中讨论了由雅科毕椭球派生出来的、甬动量渐增的新体系的平衡形状，这种形状后来称为梨形。彭加勒定性地描述说：

让我们设想一个因冷却而收缩的旋转流体，但是它慢到足以保持均匀，并且在旋转时，它的所有部分都是相同的。起初，它们是十分近似的球形，逐渐变成旋转椭球，旋转椭球会越来越扁。接着在某一瞬间，它将变为三个轴不等的椭球。后来，图形将不再是椭球，而变成梨形，直到最后图形腰部越来越凹进，分裂成两上独立的、不等的物体。

彭加勒认为，这种体系演化的下一个阶段可能是一大一小彼此绕着旋转的两个天体的平衡状态，该假设肯定不能用于太阳系，某些双星必然会呈现出这样的过渡形式。后来，俄国数学家李亚普诺夫和英国天文学家金斯分别在 1905 年和 1915 年证明：梨形是不稳定的。当然，现在有些人不再相信，彭加勒的梨形能在宇宙演化中起任何作用。但是，至今仍然有人研究，流质经过旋转不稳定后发生的分裂可能导致形成双星体系，甚至有人认为地球也是梨形，因而彭加勒处理问题的一般方法也许可能再度得势。

彭加勒在天文学上的最大成功表现在对“n 体问题”的处理上，这是瑞典国王奥斯卡三世在 1887 年提出的悬赏问题。设 n 个质点以任意方式分布在空间中，所有质点的质量、初始运动和相互距离在给定的时刻假定都是已知的。如果它们之间按照牛顿万有引力定律相吸引，那么在任何时刻，它们的位置和运动速度怎样呢？对于数学天文学来说，一群星系中的每个恒星都可以视为这样的质点，于是 n 体问题就相当于今后天空的情况将是什么样子，

假使我们有足够的观察资料描述目前天空的普遍结构的话。显然，这个天文学问题不仅具有数学特色，而且具有物理学特色。

关于“两体问题”（n＝2），已被牛顿圆满地解决了。著名的“三体问题”（n＝3）后来受到人们的注意，因为地球、月亮和太阳就是三体问题的典型例子。自欧拉以来，人们把它视为整个数学领域最困难的问题之一。从数学上讲，该问题归结为九个联立微分方程组（每个都是线性二阶的）。拉格朗日成功地把这个问题加以简化，可是其解即使存在，也不能用有限个项来表示，而是一个无穷级数。如果级数在形式上满足方程组，并且对于变数的某些值收敛，那么解将存在。彭加勒在他 1889 年的论文中提出了一种新的强有力的技巧，其中包括渐近展开和积分不变性，并且对微分方程在接近奇点附近的积分曲线行为作出了根本性的发现。

尽管彭加勒没有解决 n 体问题，但在三体问题上却获得了明显的突破，因此评审团还是把奥斯卡奖——2500 瑞典克朗和金质奖章——授予他。法国政府不顾瑞典国王的阻拦，也授予彭加勒“宪兵团荣誉骑士”的称号。彭加勒在写给奥斯卡奖评审团的信中说：“你们可以告诉你们的君主，这项工作不能看作是对所提出的问题提供了完美的答案，然而它具有这样的意义：它的公布将在天体力学上开创一个新时代，因此，陛下所期望的公开竞赛的结果可以认为是达到了”。

彭加勒在数学天文学方面的早期工作汇集在他的专题巨著《天体力学的新方法》中，接着该书的是 1905—1910 年出版的另外三卷著作《天体力学教程》，它具有更为实用的性质。稍后又有讲演集《流体质量平衡的计算》和一本历史批判著作《论宇宙假说》。

彭加勒的传记作者达布断言，这些著作中的头一部事实上开辟了天体力学的新纪元，它可与拉普拉斯的《天体力学》和达朗贝尔关于二分点岁差的工作相媲美。乔治·达尔文爵士在评论《天体力学的新方法》时说：“很可能，在即将来临的半个世纪内，一般研究人员将会从这座矿山发掘他们的宝藏”。达布在评价彭加勒的这项工作时写道：

在 50 年间，我们生活在著名德国数学家的定理上，我们从各个角度应用并研究他们，但是没有添加任何基本的东西。正是彭加勒，第一个粉碎了这个似乎是包容一切的僵硬的理论框架，设计出展望外部世界的新窗户。

彭加勒的《论宇宙假设》普遍地被这个领域的研究者看作是经典性的，书中对建立在拉普拉斯星云说上的模型的性质作了全面的分析和认真的尝试。这本书作为回顾太阳系起源的各种理论，即使在今天也值得一提，但是由于忽略了二十世纪初其他天文学家提出的一些理论，因而有某些不足之处。彭加勒关于宇宙演化的观点在 19 世纪末是有代表性的：真实世界的进程是渐变的，不可逆的，不连续的变化也明显的发生，但只是在确实需要时才发生，而且不是以大变动的形式。这种观点显然与今天流行的大爆炸宇宙学格格不入。

像一个直觉主义者所作的那样，彭加勒在天文学研究中的不少工作与其说是定量的，还不如说是定性的，这种特点导致他研究拓朴学。在这方面，他发表了六篇著名的论文，使课题起了革命性的变革。拓朴学方面的工作又转而顺利地应用到天文学的数学之中。

通过研究天文学，彭加勒深深体会到：天文学是有用的，因为它能使我们超然自立于我们自身之上；它是有用的，因为它是宏伟的；这就是我要说的。天文学向我们表明，人的躯体是何等渺小，而人的精神又是何等伟大，因为人们的理性能够包含星辰灿烂、茫无际涯的宇宙，并且享受到它的无声的和谐。在它那里，人的躯体只不过是沧海之一粟而已。于是我们意识到我们的能力，这是一种花费越多收获越大的事业，而这种意识能使我们更加坚强有力。