微积分学

后来牛顿在他晚年回顾他的科学生涯中，这段最富有研究成果的时期时写道：“这一切都是在鼠疫流行的两年（1665～1666）中发生的，因为那是我一生中最旺盛的发明年龄，而且是我一生中最专心于数学与科学的时期。”在数学研究方面，牛顿在自己的回忆录中记下了这样一段话：“1665 年

初，我发现近似级数的方法，并得到将任何方次的二项式展开为级数的规则； 同年 5 月发现了如何画曲线的切线；11 月发现流数术的直接法；次年 1 月创立色彩的理论；5 月我得到了流数术的反演法⋯⋯”

牛顿所称的“流数术”，实际上就是现在我们所称的微分学；而“流数术的反演法”，是一种表示事物不断变化的“数学语言”。

要是没有微积分，现代数学将受到极大的阻碍。为了研究自然界的事物， 人们必须处理许多不断变动着的数量。事物处在变化之中——这一点是人们对事物所能作出的最真实可信的论断之一。例如，在处理物理学热问题时， 研究人员就得处理温度的变化率——冷却与加温。他们要仔细计算物体作功的变化速度或运动体的位置与变速。如果离开微积分，是根本无法进行这样的计算问题。

在数学上，数学家时常要计算两个变数，为了能更好地理解这两个变数之间的关系，他们采用坐标图解或者绘制关系曲线来表示——两坐标线交于0 点呈 90 度。这时。数学家们就可以应用微积分算出他所要计算的两变量—

—不论是任何数量或任何特定位置，两者间互相关系的变化数据。

牛顿利用他的“流数术”所解决的第一个问题是“开口曲线”问题，即双曲线下平面的求积问题。在他的科学日记中，他写道：“⋯⋯我用流数术计算双曲线的面积⋯⋯到 52 位数字。”这就是说，为了得到精确的答案，他

一直计算到小数点后的第 52 位数。在他的运算过程中，二项式定理与微积分都应用上了。

在研究“流数术”的过程中，牛顿应用了他的前辈数学家，如意大利的卡瓦利里、德国的开普勒等人提出的数学概念，并进一步发展了这些概念。正是有了前人的研究基础，牛顿才得以最终创立微积分学的理论。

牛顿在其研究的进程里发现，凡是涉及微小数量的问题，他的流数术在推理与计算上非常有用。例如计算长率、厚度、面积、体积以至涨缩等变化的时候，是不能单用静止的欧几里德几何学所能解决的。别人对于这些无限小的数量变化认为是微不足道的、虚无飘缈的。但在牛顿看来，它们正如家乡小河里的流水，无时无刻不在流动；又像家乡的花草树木，每天都有新的变化。所有这一切，都是真实的、都是充满活力的。

虽然牛顿发现了“流数术”这个价值巨大的计算方法，但出于谨慎的考虑，他没有把这一方法公诸于世，就连他最亲密的朋友也不知道。直到 30 多年后，牛顿才正式发表了自己的微积分学理论。