=

16π²

   

 dx 

+  

 dy 

+     

 dz  

+ u² + v² + w ² −

1 u dΨ + v dΨ + w dΨ ，

就有

• (40)

2π  dx dy dz 

现在，首先，u、v、w 满足管状条件，因为由方程(38)就有

du + dv + dw = df + dg + dh - 1

∇ ²ψ ，(41)

dx dg dz dx dy

dz 4π

而根据方程(34)和(32)所表示的那些条件，(41)右端的两部分都等于零。其次，面积分为

∫ ∫ (l1u + m1v + n1w)ds1

= (l f + m g + n h)ds + 1

dΨ ds

，(42)

∫ ∫ 1 1 1 1

4π ∫ ∫ dv ¹

但是由(35)可知右端第一项是 e1，而由(33)可知第二项是－e1，于是就有

∫ ∫ (l1u + m1 v + n1 w)ds1 = 0. (43)

因此，既然Ψ是常量，第 100a 节中的第四个条件就得到满足，从而方程(40)的最后一项就是零，于是方程简化为

W■＝WΨ＋W．（44）

现在，既然积分 W■中的被积分式是三个平方项之和 u2＋v2＋w2，积分就必须为正或为零。如果在场中任一点上 u、v、w 并不各自等于零，积分 W■就必将有一个正值，从而 W■就必然大于 WΨ。只有在每一点上 u＝v

＝w＝0 各值才满足条件。

由此可见，如果在每一点上有

f＝ − 1

4π

则

dψ ，g＝− 1 dx 4π

dψ , h＝− 1 dy 4π

dψ ，

dz

(45)

W■＝WΨ，(46)

而和这些 f、g、h 值相对应的 W■则小于和任何不同于这些值的 f、g、h 值相对应的值。

因此，当每一个导体上的电荷已经给定时，确定场中每一点上的位移和势的问题就有一个而且只有一个解。

在它的一种更普遍的形式下，这条定理是由 W.汤姆孙爵士给出的①。我们在以下将指明它可以有些什么样的推广。

100d〕这条定理可以修改如下：假设矢量■不是在场中每一点上满足管状条件而是满足

df + dg + dh = ρ，

dx dy dz

式中ρ是一个有限的量，它在场中每一点上的值已经给定，可以为正或为负，可以是连续的连续的，然而它在一个有限域中的体积分却是有限的。

我们也可以假设，在场中的某些曲面上，有lf＋mg＋nh＋l＇f＇＋m＇g＇＋n＇h＇＝σ，(48)

式中 l、m、n 和 l＇、m＇、n＇是从曲面上的一点向着位移分别为 f、g、h 和 f＇、g＇、h＇的域中画出的法线的方向余弦，而σ是在曲面的一切点上给定的一个量，它在一个有限曲面上的面积分是有限的。

100e.〕我们也可以改变边界曲面上的条件，即假设在这些曲面的每一点上有

lf＋mg＋nh＝σ，(49) 式中σ是在每一点上给出的。

（在起初的叙述中，我们只假设了σ的积分值在每一个曲面上是给定

① Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Felreary,1848 。

的。在这里，我们假设σ的值在每一个面积元上是给定的；这种假设和在原有假设中把每一个面积元看成一个分离的曲面时意义相同。）

这些修订全都不会影响定理的成立，如果我们记得Ψ必须满足对应的条件，即满足普遍条件

d²Ψ + d ²Ψ + d ²Ψ +



πρ =

和表面条件

dx²

dy²

dz2 4 0，(50)

dΨ + dΨ′ + 4πσ = 0 (51)

dv dv′

的话。

因为，如果像以前那样仍有

f + 1 4π

dΨ = u，g + 1 dx 4π

dΨ = u，h +

dy

1 dΨ = w， 4π dz

则 u、v、w 将满足普遍的管状条件

du + dv + dw = 0，

dx dy dz

和表面条件

lu＋mv＋nw＋l＇u＇＋m＇v＇＋n＇w＇＝0， 而且在外表面上有

lu＋mv＋nw＝0，

由此我们就像从前那样得到

M = ∫ ∫ ∫ u dΨ + v dΨ + u dΨ dxdydz = 0，

 dx dy dz 

以及 W■＝W＋W■

因此，和从前一样，已经证明 W■是当 W■＝0 时的唯一的极小值，这就意味着 u2＋v2＋w2 到处为零，从而就有

f = − 1

4π

dΨ ，g = − 1 dx 4π

dΨ ，h = − 1 dy 4π

dΨ 。

dz

101a.〕在这些定理的叙述中，我们一直只考虑了那样一种电学理论， 它认为带电体系的性质依赖于各导体的形状和相对位置，并依赖于他们的电荷，但是我们却不曾照顾各导体之间的电介媒质的本性。

例如，按照这种理论，在一个导体的面密度和刚好在它外边的电动强度之间，存在着一种不变的关系，就像在库仑定律

R＝4πσ

中表达出来的那样。

但是这只有在我们可以取为空气的标准媒质中才是对的。在其他媒质中，关系是不同的，正如开文迪什在实验上证明了（尽管没有发表）而后又由法拉第独立地重新发现了的那样。

为了全面地表示现象，我们发现有必要考虑两个矢量，他们之间的关系在不同的媒质中是不同的。其中一个矢量是电动强度，而另一个就是电位移。电动强度是通过形式不变的方程而和势联系着的，电位移是通过形式不变的方程而和电的分布联系着的，但是电动强度和电位移之间的关系却依赖于电介媒质的本性，而且必须用一些方程来表示，那些方程的最普

遍的形式是还没有充分确定的，而且是只能通过有关电介质的实验来确定的。

101b.〕电动强度是一个矢量，在第 68 节中定义为作用在一个小电量e 上的机械力并除以 e，我们将用字母 P、Q、R 来代表它的分量，而用■代表矢量本身。

在静电学中，■的线积分永远和积分路径无关，或者换句话说，■是一个势函数的空间改变量。因此就有

P = − dΨ ，Q = − dΨ ， R = − dΨ ，

dx dy dz

或者更简练地用四元数语言表示就是

■＝－∇Ψ。

101c.〕沿任一方向的电位移，在第 60 节中定义为通过一个小面积 A 而运动过去的电量并除以 A，而 A 的平面垂直于所考虑的方向。我们将用字母 f、g、h 来代表电位移的直角分量，而用■来代表矢量本身。

任意点上的体密度，由方程

ρ = df + dg + dh

dx dy dz

来确定，或者，在四元数语言中就是

ρ＝－S.∇。

一个带电曲面的任一点上的面密度，由方程σ＝lf＋mg＋nh＋l＇f＇＋m＇g＇＋n＇h＇

来确定，式中 f、g、h 是曲面一侧的电位移分量，从该侧画起的法线的方向余弦是 l、m、n；f＇、g＇、h＇和 l＇、m＇、n＇是曲面另一侧的电位移分量和法线的方向余弦。

这一点，在四元数中用方程

• σ = −[S.Uv + S. Uv′]

来表示，式中 Uv、Uv＇是曲面两侧的单位法线，而字母 S 表明应取乘积的标量部分。

当曲面是一个导体的表面时，v 就是向外画的法线，而既然这时 f＇、

g＇、h＇和■都为零，方程就简化为

σ＝lf＋mg＋nh;

＝－S.Uv■

因此导体上的总电荷就是

e＝∫ ∫ （ lf ＋mg＋ ng）ds；

■

＝−∫ ∫S.Uv ds.

101d.〕正如在第 84 节中已经证明的那样，体系的电能是各电荷和相应之势的乘积的一半。用 W 代表这个能量，就有

W＝ 1 (eΨ) 2

= 1 ∫ ∫ ∫ ρΨdxdydz + 1 ∫ ∫ σΨds，

2 2

= 1 ∫ ∫ ∫Ψ df

• > dg + dh dxdydz



2  dx dy

dz 

+ 1 ∫ ∫ Ψ(lf + mg + nh)ds；

式中的体积分应该遍及整个电场，而面积分则遍及各导体的表面。在第 21 节的定理三中写出

X＝Ψf，Y＝Ψg，Z＝Ψh，

我们发现，如果 l、m、n 是从曲面向场中画出的法线的方向余弦，就

有

∫ ∫Ψ(lf + mg + nh)ds = −∫∫ ∫ Ψ df + dg + dh  dxdydz ，

 dx dy dz 

• ∫ ∫ ∫  f dΨ + g dΨ + h dΨ dxdydz.

 dx dy dz 

将这个值作为面积分代入 W 中，我们就得到

W = − 1 ∫ ∫ ∫  f dΨ + g dΨ + h dΨdxdydz.

2  dx dy dz 

或

101e.〕现在我们来看■和■之间的关系

电量的单位通常是参照在空气中作的实验来定义的。现在我们由玻耳兹曼的实验得知，空气的电介常数比真空的略小，而且是随密度而变的。因此，严格说来，关于电学量的一切测量结果都应该换算到标准压强和标准温度下的空气中的情况，或是更加科学化地换算到真空中的情况，正如在空气中测量的折射率需要一种类似的改正那样。在这两种事例中，改正量都很小，只有在极端精确的测量中才能觉察到。

在标准媒质中，有

4π■＝■， 或者说 4πf＝P，4πg＝Q，4πh＝R.

在电介常数为 K 的各向同性的媒质中，有

4π■＝K■，

4πf＝KP，4πg＝KQ，4πh＝KR．

然而也有某些媒质，其中玻璃被研究得最为仔细；在这些媒质，■和

■之间的关系更加复杂，而且包括一个或两个量的时间变化率，从而那种关系必将具有下列形式

F（■，■，■，■，■，■，⋯）=0

我们暂时不打算讨论这种更普遍的关系，而是将只讨论■是■的一个线性的矢量函数的情况。

这样一种关系的最普遍形式可以写成

4π■＝φ(■)，

式中的φ在目前的考察中永远代表一个线性的矢量函数。因此，■的各分量是■的各分量的齐次线性函数，并且可以写成

4πf=KxxP+KxyQ+KzzR， 4πg=KyxP+KyyQ+KyzR，

4πh=KzxP+KzyQ+KzzR；

式中每一个系数 K 的第一个下标指示位移的方向，而第二个下标指示电动强度的方向。

最普遍形式的线性矢量函数包括九个独立的系数。当具有一对相同下标的系数彼此相等时，函数就被说成是自共轭的。

如果我们用■来表示■，就得到

■=4πφ-1■

或

P＝4π(kxxf+kyxg+kzxh)， Q＝4π(kxyf+kyyg+kzyh)， R＝4π(kxzf+kyzg+kzzh)，

101f.〕其分量为 P、Q、R 的电动强度在单位体积的媒质中引起分量为

df、dg、dh 的位移时所作的功是

dW＝Pdf＋Qdg＋Rdh．

既然处于电位移状态{在稳定状态}下的一种电介质是一个保守体系，W就必然是 f、g、h 的函数，而既然 f、g、h 可以独立地变化，我们就有

P = dW ，Q = dW ，R = dW .

df dg dh

由此即得

dP = d²W = d ²W = dQ

dg dgdf dfdg df

但是dP ＝4π k

dg yz

就是g在P的表示式中的系数，而dQ＝4πk 就是

df zy

f 在 Q 的表示式中的系数。

因此，如果一种电介质是一个保守体系（而我们知道它是这样的，因为它可以无限期地保持它的能量），则

kzy＝kyz，

而φ-1 是一个自共轭的函数。

由此可以推知，φ也是自共轭的，从而 Kzy＝Kyz.

101g.〕因此，能量的表示式可以写成两种形式中的任何一种：

W■=

¹   

[K P ² + K Q² + K R² + 2K QR +

2Kzx RP + 2Kxy PQ]dxdydz，

或

W■= 2π∫ ∫ ∫ [k zz f ² + k yy g² + k zx h² + 2k yz gh

• 2k zx hf + 2k xy fg]dxdydz，

此处 W 的下标指示用它来把 W 表示出来的那个矢量。当没有下标时，能量就被理解为是用两个矢量表示出来。

于是我们就总共有了电场能量的六种不同的表示式。其中三种涉及导体表面上的电荷和势，这已在第 87 节中给出了。

另外三种是在整个电场中计算的体积分，而且涉及电动强度的或电位

移的或他们二者的各个分量。

因此，前三种属于超距作用理论，而后三种则属于借助于中间媒质而发生作用的理论。

后三种 W 表示式可以写成

W = − 1 ∫ ∫ ∫ S.■ds， W■= − 1 ∫ ∫ ∫ S.■ds， W = −2π∫ ∫ ∫ S.■φ⁻¹■ds，

101h.〕为了把格林定理推广到一种不均匀的各向异性媒质中，我们只

须在第 21 节的定理三中写出



Kxx



dΦ

dx + Kxy

dΦ

dy + Kzz

dΦ，



Y = ΨK dΦ + K dΦ + K dΦ，





Z = Ψ

yx dx

dΦ

yy dy

dΦ

yz dz 

dΦ 

Kzx



dx + K xy

dy + Kzx

dz ，

于是，如果 l、m、n 是曲面的外向法线的方向余弦（并记得各系数的下标

次序可以随意变动），我们就得到

∫ ∫Ψ[(K l + K m + K n) dΦ + (k l + K m + K n) dΦ

xx yx zz dx xy yy zy dy

• (K l + K m + K n) dΦds −

Ψ d

K dΦ + K dΦ + K dΦ

xz yz zz

dz 