  

dx 

xx dx

xy dy

  

K dΨ + d K dΨ + K dΨ +K dΨ 

xz dz 

dy 

yz dx

yy dy

yz dz 

d K dΨ + K dΨ +K dΨ dxdydz.

dz 

zx zy zz 

 dx

dy dz

利用四元数的符号，结果就可以更简洁地写成

∫ ∫ΨS. Uvφ(∇Φ)ds − ∫ ∫ ∫ ΨS.{∇φ(∇Ψ )}ds

= −∫ ∫ ∫S.∇Ψφ(∇Φ)dσ = −∫ ∫ ∫ S.∇Φφ(∇Ψ)ds

= ∫ ∫ ΦS. Uvφ(∇Ψ)ds −∫ ∫ ∫ ΦS.{∇φ(∇Ψ )}ds.

一个导体之电容的上下限

102a.〕一个导体或一个导体组的电容，曾经定义在当升高到势 1 时该导体或导体组上的电荷，这时场中所有其他的导体都应处于零势。

确定电容之上下限的下述方法是 J.W.斯特鲁特勋爵在一篇题为《论共振理论》的论文中提出的(J.W.Strutt，Phil.Trans.1871.)，参阅第 306 节。

设 s1 是我们要确定其电容的那一导体或导体组的表面，而 s0 是所有其他导体的表面。设 s1 的势是Ψ1 而 s0 的势是Ψ0。设 s1 的电荷是 e1。设 s0 的电荷是－e1。

于是，如果 s1 的电容是 q，则

q = e1

Ψ1 − Ψ0

， (1)

而如果 W 是体系在其实际电分布下的能量，则

W = 1 e (Ψ − Ψ )， (2)

2 1 1 2

从而

2W e ²1

q = ( Ψ − Ψ ) ²

= . (3)

2W

1 0

先求电容值的上限：假设一个任意的势函数，它在 s1 上的值是 1 而在s0 上的值是零，并计算在整个场中求的体积分

1  dΨ 2  dΨ  2

 dΨ 2 

WΨ =

∫ ∫ ∫   +   +   dxdydz

8π  dx   dy 

 dz  

于是，既然我们已经证明（第 99b 节）W 不能大于 WΨ，电容 q 就不能大于 2WΨ。

再求电容值的下限：假设任意一组函数 f、g、h 满足方程

df + dg + dh = 0， (5)

dx dy dz

并使得

∫ ∫ (l1f + m1g + n1h)ds1 = e1 .

试计算在整个场中求的体积分

(6)

W■= 2π∫ ∫ ∫ (f ² + g² + h² )dxdydz，

(7)

这时，既然我们已经证明（第 100c 节）W 不能大于 W■，电容 q 就不能小于

2

1

2W■

(8)

求得满足管状条件的一组函数 f、g、h 的最简单方法，就是在曲面 s1 上和 s2 上各设一种电分布，其电荷之和为零，然后计算由这种分布引起的势，以及体系在这种安排下的电能。

于是，如果我们令

f = − 1

4π

dΨ ，g = − 1 dx 4π

dΨ ，h = − 1 dy 4π

dΨ ，

dz

这些 f、g、h 就将满足管状条件。

但是，在这一事例中，我们可以确定 W■而不必经过计算体积分的过程，因为，既然这种解在场中的一切点上都使∇2Ψ＝0，我们就可以在面积分

W■= 1 ∫ ∫

Ψσ1ds1

+ 1 ∫ ∫

Ψσ0 ds0

，(9)

的形式下得出 W■，式中第一个积分在曲面 s1 上求而第二个积分在曲面 s0 上求。

如果曲面 s0 是在离 s1 无限远的地方，则 s0 上的势为零，而第二项也

就不复存在。

102b.〕当各导体的势为给定时，他们的电分布问题的解的一种近似值可用下法得出：

设 s1 是其势保持为 1 的一个导体或导体组的表面，并设 s0 是所有其他导体的表面，其中包括包围着所有各导体的那一中空导体，但是后一导体在某些事例中可以在离其他导体无限远的地方。

开始时先从 s1 到 s0 画一组直线或曲线。

沿着其中每一条线，假设Ψ是分布得在 s1 上等于 1 而在 s0 上等于 0。

于是，如果 P 是其中一条线上的一个点{s1 和 s0 就是这条线和各曲面的交

点}，我们就可以取Ψ ＝ Ps0 作为初阶近似。

s0s1

于是我们就将得到Ψ的一种初阶近似，满足在 s1 上等于 l 而在 s0 上等于 0 的条件。

按Ψ1 算出的 W■将大于 W。

其次，作为对力线的一种二阶近似，让我们假设

f = −p dΨ1 ，g = −p dΨ1 ，h = −p dΨ1 . (10)

dx dy dz

分量为 f、g、h 的矢量是垂直于Ψ等于常量的曲面的。让我们确定能使 f、g、h 满足管状条件的 p。这时我们就得到

 d ²Ψ d ²Ψ d ²Ψ  dp dΨ dp dΨ dp dΨ

p ¹ + ¹ + ¹  + ¹ + ¹ + ¹ = 0. (11)

 dx²

dy²

dz² 

dx dx

dy dy

dz dz

如果我们从 s1 到 s2 画一条线，使它的方向到处到垂直于Ψ1 等于常量的曲面，并且用 s 来代表从 s0 量起的这条线的长度，就有

R dx = − dΨ1 ， R dy = − dΨ1 ，R dz = − dΨ1 ，(12)

ds dx

ds dy

ds dz

式中R是合强度并等于dΨ1 ，于是就有

ds

dp dΨ1 + dp dΨ1 + dp dΨ1 = −R dp ，

dx dx

dy dy

dz dz

= R²

ds dp dΨ1

，(13)

从而方程(11)就变成

由此即得

p∇² Ψ = R²

dp dΨ1

(14)

Ψ ∇ ²Ψ

R2 1

p = C exp. 1

0

积分是沿 s 计算的线积分。

¹ dΨ ， (15)

其次让我们假设，沿着曲线 s，有

− dΨ2

= f dx + g dy + h dz ，

ds ds ds ds

于是就有

= −p dΨ1 ， (16)

ds

Ψ ∇²Ψ

Ψ2 = C

∫ (exp. ∫

¹ dΨ )dΨ ， (17)

R2 1 1

积分永远理解为沿着曲线 s 计算。

常数 C 由一个条件来确定，那就是在 s1 上有Ψ2＝1，当也有Ψ1＝1 时。于是

C∫ {exp.∫

Ψ ∇ 2

R2 dΨ}dΨ = 1.

(18)

这就给出Ψ的一个二阶近似，而且这种手续可以重复进行。

通过计算 WΨ1、W■、WΨ2 等等而得出的结果，给出一些交替地大于和小于真实电容并不断接近真实电容的电容值。上述手续涉及曲线 s 的形式计算和沿这一曲线的积分计算，这些运算通常对实用目的来说是太困难的。

然而在某些事例中我们却可以用更简单的方法来求得一种近似。102c.〕作为这种方法的一种例示，让我们应用此法来求出两个曲面之

间的电场中的等势面和电感线的逐阶近似，该二曲面是近似地而不是绝对地平面的和平行的，其中一个平面的势为零，而另一个的势则为 1。

设在两个曲面中，其势为零的那个曲面的方法是

z1＝f1(x，y)＝a，(19) 而其势为 1 的那个曲面的方程是

z2＝f2(x，y)＝b，(20)

a 和 b 是 x 和 y 的给定函数，其中 b 永远大于 a。a 和 b 对 x 和 y 的一阶导数是一些小量，我们可以忽略他们的二次以上的乘幂或乘积。

我们在开始时将假设电感线平行于 z 轴，在这种情况下就有

f＝0, y＝0, dh ＝0. (21) dz

因此，沿着每一条个别的电感线,h 都是常量，从而

z

Ψ＝－4л hdz＝－4 h(z－a) . (22)

a

当 z＝b 时，Ψ1＝1，因此

h＝－

从而

1

4π(b − a)，

(23)

Ψ＝ z − a ，

b − a

(24)

这就给出势的一阶近似，并指示了一系列等势面，而沿着平行于 z 轴的方向测量的各等势面之间的间隔是相等的。

为了得到电感线的一种二阶近似，让我们假设各电感线到处垂直于由方程(24)给出的那些等势面。

这就和下列条件相等价：

4πf ＝λ dΨ ,4πg＝λ dΨ ,4πh＝λ dΨ , (25)

dx dy dz

式中λ应该适当确定，使得在场中的每一点上有

df + dg + dh = 0， (26)

dx dy dz

并且使得沿着从曲面 a 到曲面 b 的任何电感线计算的线积分

4π∫ (f dx + g dy + h dz )ds， (27)

ds ds ds

都等于－1。

让我们假设

λ＝1＋A＋B(z－a)＋C(z－a)2,(28)

并忽略 A、B、C 的乘幂和乘积，而且在我们的这一工作阶段中也忽略 a 和b 的一阶导数的乘幂和乘积。

于是管状条件就给出

B = −∇²

a，C = −

1 ∇ ² (b − a)

，

(29)

2 b − a

式中

 d²

= -

d² 

+  . (30)

 dx² dy² 

如果我们不是沿着新电感线而是沿着平行于 z 轴的旧电感线计算线积分，第二个条件就会给出

1＝1＋A＋ 1 B(b－a)＋ 1 C(b－a) ² .

2 3

由此即得

A＝ 1 (b - a)∇ ² (2a + b)， 6

以及

(31)

λ = 1 + 1 (b − a)∇ ² (2a + b) − (z − a)∇²a −

6

1 ( z − a)² ∇2

( b − a).(32)

2 b − a

于是我们就发现，作为电位移分量的二阶近似，有

− 4πf =

λ da + d(b − a) z − a， 



b − a dx dx b − a  

− 4πg =

λ da + d(b − a) z − a，



(33)

b − a dy

4πh =   λ ，

b − a

而作为势的二阶近似，则有

dy b − a 







Ψ = z - a

b - a

+ 1 ∇²

6

(2a + b)(z - a) -

1 ∇ ²a

2

(z - a) ²

b − a

- 1 ∇ ² (b - a) 6

(z - a) ³

( b − a)²

. (34)

如果σa 和σb 分别是曲面 a 和 b 上的面密度而Ψa 和Ψb 是他们的势，

则

σ = 1 (Ψ − Ψ ) 1

+ 1 ∇²a + 1 ∇ ²b，

1. 4 a b

 b − a 3 6 

σ = 1 (Ψ − Ψ ) 1

− 1 ∇²a − 1 ∇² 

1. 4 b a

 b − a 6 3 b .

①

① {这种研究并不很严格，而且面密度的表示式也和由适用于两个球面、两个柱面、球和平面或柱和平面放在靠近处的各事例的严格方法求得的结果不相符。我们可以得出面密度的一个表示式如下。让我们假设 z 轴是一个对称轴，则它将和所有的等势面相正交，而如果 V 是势，R1、R2 是一个等势面和 z 轴相交处的主曲率半径，则沿 z 轴的管状条件可以很容易地证明为 如果 Va、Vb 分别是两个曲面的势，t 是二曲面间沿 z 轴的距离，则 或者，如果 ra1、ra2 是第一个曲面的主曲率半径，则从微分方程中求出 但是 式中ρA 是 z 轴和第一个曲面相交处的面密度，于是近似地就有 同理，近似地也有

而且这些表示式和在上述各事例中用严格方法求得的结果相符。}

第五章 两个带电体系之间的机械作用

1. 〕设 E1 和 E2 是两个带电体系，我们想要研究他们之间的相互作用。设 E1 中的电分布由座标为 x1、y1、z1 的体积元的体密度ρ1 来确定。设ρ2 是 E2 中座标为 x2、y2、z2 的体积元的体密度。

于是，由于 E2 体积元的推斥而作用在 E1 体积元上的力的 x 分量将是

ρ1ρ2

x1 − x 2 dx dy dz dx dy dz r 3 1 1 1 2 2 2

式中 r2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.

而且，如果 A 代表由于 E2 的存在而作用在 A1 上的全部力的 x 分量，则有

A = x1 − x2 ρ ρ dx dy dz dx dy dz

， (1)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r 3 1 2 1 1 1 2 2 2

式中对 x1、y1、z1 的积分是在 E1 所占据的整个域中求的，而对 x2、y2、z2 的积分是在 E2 所占据的整个域中求的。

然而，既然除了在体系 E1 中以外ρ1 等于零而除了在体系 E2 中以外ρ2 等于零，如果把积分限扩大，积分的值也不会改变，因此我们可以假设每一个积分限都是±∞。

这一表示式是一种理论在数学符号形式下的忠实翻译，那种理论假设电力在物体之间直接超距地起作用，而对中间的媒质则不予任何注意。

如果我们现在用方程

Ψ = ρ2 dx dy dz ，(2)

2 ∫ ∫ ∫ R 2 2 2

来定义由于 E2 的存在而在一点 x1、y1、z1 上引起的势Ψ2，则Ψ2 在无限远处将为零，并将到处满足方程

∇ ²Ψ = 4πρ ，(3)

2 2

现在我们可以把 A 表示成一个三重积分了

Ψ = dΨ2 ρ dx dy dz

，(2)

2 ∫ ∫ ∫ dx 1 1 1 1

在这里，势Ψ2 被假设为在场中每一点上都有一个有限值，而 A 则是用这个势以及 E1 中的电分布ρ1 表示出来，而没有明显地提到第二个体系 E2 中的电分布。

现在，设用方程

Ψ = ρ1 dx dy dz ，(2)

1 ∫ ∫ ∫ r 1 1 1

来定义由第一个体系引起的表示成 x、y、z 的函数的势Ψ1，则Ψ1 将在无限远处为零，并将到处满足方程

∇ ²Ψ = 4πρ . (6)

1 1

现在我们可以从 A 中消去ρ1 并得到

A = − 1 dΨ2 ∇²Ψ dx dy dz

， (7)

4π ∫ ∫ ∫ dx

1 1 1 1

在此式中，力是只用两个势来表示的。

1. 〕在迄今考虑过的一切积分计算中，指定什么积分限都是无关紧要的，如果积分限包括了整个体系 E1 的话。在下文中，我们将假设 E1 和 E2 安排得合适，以致某一个闭合曲面 s 将包含整个的 E1 而不包含 E2 的任何部分。

让我们写出

ρ＝ρ1+ρ2，Ψ＝Ψ1+Ψ2(8) 于是在 s 之内就有ρ2＝0，ρ＝ρ1，

而在 s 之外就有ρ1＝0，ρ＝ρ2(9) 现在，

A = − dΨ1 ρ dx dy dz

(10)

11 ∫ ∫ ∫ dx

1 1 1 1

就代表由体系本身中的电所引起的作用在体系 E1 上的沿 x 方向的合力。但是，按照直接作用理论这个力必为零，因为任一质点 P 对另一质点Q 的作用是和 Q 对 P 的作用相等而异号的，而既然这两个作用的分量都出现在积分中，他们就将相互抵消。因此我们可以写出

A = − 1 dΨ ∇ ²Ψdx dy dz ， (11)

4π ∫ ∫ ∫ dx

1 1 1

式中Ψ是由两个体系所引起的势，而现在的积分计算则限制在闭合曲面 s 之内的空间中，该曲面包含着整个体系 E1 而不包含 E2。

105.〕如果E2 对 E1 的作用不是通过直接的超距作用来进行，而是借助于从 E2 扩展到 E1 的一种媒质中的胁强分布来进行的，那就很显然，如果我们知道把 E1 从 E2 完全隔开的任何一个闭合曲面 s 上每一点处的胁强，我们就将能够确定 E2 对 E1 的机械作用。因为，如果作用在 E1 上的力不能由通过 s 的胁强来完全地说明，那就必然存在 s 外面的某些东西和 s 里边的某些东西之间的直接作用。

由此可见，如果可能借助于中间媒质中的一种胁强分布来说明 E2 对 E1

的作用，那就必然能够把这种作用表示成在把 E2 和 E1 完全隔开的任何一个曲面上计算的面积分的形式。

由此，让我们想法把

1 dΨ d ²Ψ

d ²Ψ

d ²Ψ 

^{A =} 4π ∫ ∫ ∫ dx

表示成一个面积分的形式。

 dx ²

+ dy ²

+ dz²

dxdydz



(11)

由第 21 节中的定理三，我们可以作到这一点，如果我们可以确定 x、y、z，使得

dΨ  d² Ψ

d² Ψ

d² Ψ

dX dY dZ



dx  dx²

+ dy² + dz

 = +

 dx dy

+ . (13)

dz

分别考虑各项，就看到

dΨ d ²Ψ

1 d  dΨ 2

dx dx ²

= 2 dx  dx  ，

dΨ d ²Ψ

d  dΨ dΨ

dΨ d ²Ψ

dx dy ²

= 

dy  dx

 −

dy 

dy dxdy ，

= d  dΨ dΨ - 1 d  dΨ.

dy 

  

 dx

同理

dy  2 dx  dy 

dΨ d ²Ψ

d  dΨ dΨ

1 d  dΨ 2

dx dz²

= dz  dx dz  −

2 dx  dz  .

因此，如果我们写出

 dΨ 2  dΨ  2

 dΨ 2 

  − 

 −   = 8πpxx ，



 dx 

 dΨ 2

 dy 

 dΨ  2

 dz  

 dΨ 2 

  − 

 − 

 = 8πp ，

 dy 

 dΨ ²

 dz 

 dΨ  ²

 dx 

 dΨ 2

yy 





 dz  −  dx 

−  dy  = 8πpzz ， 

(14).

dΨ dΨ = 4πp

  



= 4πp ，

dy dz

yz zy 



dΨ dΨ = 4πp

= 4πp ， 

dz dx

zx xz

dΨ dΨ = 4πp







= 4πpyx；

dx dy ^xy

就有

A = ∫ ∫ ∫  dpxx

+ dpyz +

dp 

dxdydz，

(15)

 dx dy dz 

积分在 s 内的整个空间中计算。利用第 21 节的定理三来变换体积分，就有

A＝∫ ∫ (lpxx + mp yz

+ npzx )ds，

(16)

式中 ds 是包含整个 E1 而完全不包含 E2 的任一闭合曲面上的面积元，而 l、m、n 是从 ds，向外画的法线的方向余弦。

关于沿 y 方向和 z 方向作用在 E1 上的分力，我们同样得到

B＝ ∫ ∫ (lp xy + mp yy

• npzy )ds，(17)

C＝ ∫ ∫ (lp xz

• mpyz + npzz )ds.

(18)

如果体系 E2 对 E1 的作用确实是通过直接的超距作用来进行而不须任何媒质介入的，我们就必须把 pxx 等等这些量看成只是某些符号表示式的简写，而并没有任何物理意义。

但是，如果我们假设 E2 和 E1 之间的相互作用是借助于他们之间的媒质

中的协强来实现的，那么，既然方程(16)、(17)、(18)给出一个合力的力

量，而该合力起源于其六个分量为 pxx 等等的胁强在曲面 s 外面的作用， 我们就必须认为 pxx 等等是确实存在于媒质中的一种胁强的分量了。

106.〕为了得到关于这一胁强之本性的一种更清楚的看法，让我们改变曲面 s 的一部分的形状，使得 ds 可以成为一个等势面的一部分。（曲面的这种变化是允许的，如果我们并不因此而排出 E1 的任何部分或包入 E2 的任何部分的话。）

设 v 是 ds 上向外画的法线。

设R＝− dΨ 是沿v方向的电动强度的量值，则有

dv

dΨ = −Rl， dΨ = −Rm， dΨ = −Rn．

dx dy dz

由此可见，胁强的六个分量就是

pxx

pyy

pzz

= 1 R² (l ² − m ² − n² )，p =

8π yz

= 1 R² (m ² − n ² − l² )，p =

8π zx

= 1 R² (n ² − l ² − m ² )，p =

8π xy

1 R²mn， 4π

1 R²nl， 4π

1 R²lm． 4π

如果 a、b、c、是作用在 ds 的单位面积上的力的分量，则有

a = lp

• mp + np = 1 R²l，

xx yz zx 8π

b = 1 8π

c = 1 8π

R²m，

R² n．

由此可见，ds 外面的媒质部分作用在 ds 里边的媒质部分上的力，是

垂直于面积元而指向外面的，而它在每单位面积上的值是 1

8π

R² 。

其次让我们假设面积元 ds 和与它相交的等势面相垂直，在这种情况下就有

l dΨ + m dΨ + n dΨ = 0． (19)

dx dy dz

现在，

 dΨ 2

 dΨ 2

 dΨ  2 

8π(lp xx + mp yz

• np zx ) = l

 − 

 −   



 dx 

 dy 

 dz  

+ 2m dΨ dΨ + 2n dΨ dΨ ． (20)

dx dy dx dy

将(19)乘以2 dΨ 并从(20) 中减去此式，就得到

dx

 dΨ 2  dΨ 2

 dΨ 2 

8π(lp

• mp

• np

) = −l  + 

 +    − lR ² ． (21)

xx yx zx

 dx 

 dy 

 dz  

因此，ds 上单位面积的张力的分量是

a＝− 1

8π

b＝− 1

8π

c＝− 1

8π

R ²l，

R ²m，

R²n．

因此，如果面积元 ds 和等势面相正交，则作用在它上面的力和该曲面相垂直，而其单位面积上的数值是和前一事例中的数值相同的，但是力的方向却不同，因为它是一个压力而不是一个张力。

这样我们就完全确定了媒质中任一给定点上的胁强的类型。

一点上的电动强度的方向，是胁强的一个主轴，而这一方向上的胁强是一种张力，其数值是

式中 R 是电动强度。

P＝ 1 R²

8π

(22)

和这一方向相垂直的任一方向也是胁强的一个主轴，而沿着这样一个轴的胁强是一个压强，其数值也是 P。

这样定义的胁强并不属于最普遍的类型，因为它有两个主胁强是相等的，而第三个则具有相同的值而正负号相反。

这些条件使确定胁强的独立普量数从六减少到三，从而它是由电动力的三个分量

− dΨ ，− dΨ ， − dΨ

dx dy dz

来完全确定的。

六个胁强分量之间的三个关系式是

p² = (p + p )(p + p )，

yz xx yy zz xx



p² = ( p + p )( p + p )，

(23)

zx yy zz xx yy

p² = (p + p )(p + p )，

xy zz xx yy zx 

1. 〕现在让我们看看，当把一个有限的电量收集在一个有限的曲面上，使得体密度在曲面上变为无限大时，我们所求得的结果是否需要修订。

在这一事例中，正如我们已经在第 78a、78b 节中证明过的那样，电动强度的分量在曲面上是不连续的。因此胁强的分量也将在曲面上不连续。设 l、m、n 是 ds 上的法线的方向余弦。设 P、Q、R 是画了法线的那一

侧的电动强度的分量，而 P＇、Q＇、R＇是他们在另一侧的值。于是，由第 78a 和 78b 节可知，如果 a 是面密度，就有

P − P′ = 4πσl， 

Q − Q′ = 4πσm， R − R′ = 4πσn． 

(24)

设 a 是由两侧的胁强所引起的作用在曲面之单位面积上的合力的 x 分量，就有

a＝l(p xx − p′xx ) + m(pxy − p′xy ) + n( pxz − p′xz )，

= 1 l{(P² − p′² ) − (Q ² − Q′² ) − (R ² − R′ ² )} + 1 8π 4π

1 n(PR − P′R′)，

4π

m(PQ − P ′Q′) +

= 1 l{P − P′)( P + P′) − (Q − Q′)(Q + Q′) − (R − R′)(R + R′)} 8π

+ 1 m{(P − P′)(Q + Q′) + (P + P′)(Q − Q′)}，

8π

+ 1 n{(P − P′)(R + R′) + ( P + P′)(R − R′)}，

8π

= 1 lσ{(l( P + P′) − m(Q + Q′) − n(R + R′)} 2

+ 1 mσ{(l(Q + Q′) + m( P + P′)} + 1 nσ{(l( R + R′) + n(P + P′)}，

2 2

= 1 σ( P + P′)． (25)

2

由此可见，假设了任一点上的胁强由方程(14)来给出，我们就发现， 作用在单位体积①的带电曲面上的沿 x 方向的合力，等于面密度乘以曲面两侧电动强度之 x 分量的算术平均值。

这就是我们在第 79 节中用基本上相同的手续求得的同一结果。

因此，周围媒质中的胁强的假说，在有限电量收集在有限曲面上的事例中是可以应用的。

作用在一个面积元上的合力，通常是通过考虑其线度远小于曲面之曲率半径的一部分曲面而从超距作用理论推出的②。在这一部分曲面的中点上的法线上取一点 P，它到曲面的距离远小于这一部分曲面的线度。由这一小部分曲面引起的这一点上的电动强度，将和曲面是一个无限大平面时的电动强度近似地相同，就是说近似地等于 2πσ并沿着从曲面画起的法线方向。对于刚刚位于曲面另一侧的一点 P＇，强度将相同，但方向相反。现在考虑由曲面的其他部分和离面积元为有限距离的其他带电体所引

起的那一部分电动强度。既然点 P 和点 P＇是彼此无限接近的，由有限距离处的电所引起的电动强度分量对这两点来说就将是相同的。

设 P0 是由有限距离处的电在 A 或 A＇上引起的电动强度的 x 分量，则对 A 来说，x 分量的总值将是

P＝P0＋2πσl，

而对 A＇来说则是 P＇＝P0－2πσl．

由此即得 P0

= 1 ( P + P ′) 2

现在，作用在一个面积元上的合机械力必然完全起源于有限距离处的

① {译注：应作“单位面积”，原文笔误。}

② 这种方法源于拉普拉斯。见 Poisson，‘Surla Distribution de l’électricité ＆.c.’M é m.del’Institut ，1811，

p.30.

电的作用，因为面积元对它自己的作用必然有零合力。由此可见，单位面积上的这一力的 x 分量必然是

a = σP0 ，

1

= σ( P + P′)．

2

1. 〕如果我们（像在方程(2)中那样）通过假设为给定的电分布来定义势，则由任一对带电质点之间的作用和反作用相等而反向这一事实可知，由一个体系对它自己的作用所引起的力的 x 分量必为零，而且我们可以把这个分量写成

1 ∫ ∫ ∫ dΨ ∇² Ψdxdydz = 0． (26)

4π dx

但是，如果我们把Ψ定义成 x、y、z 的那样一个函数，它在闭合曲面 s 外面的各点上满足方程

∇2Ψ＝0

而且在无限远处为零，则在 s 所包括的任一空间域中计算的体积分为零这件事就会显得是需要证明的。

一种证明方法是建筑在一条定理（第 100c 节）上的；那定理就是，如果∇2Ψ在每一点上已经给定，而且在无限远处Ψ＝0，则Ψ在每一点上的值是确定的，并等于

Ψ ′ = 1 1 ∇ ²Ψdxdydz， (27)

4π r

式中 r 是Ψ的浓度被给定为＝∇2Ψ的那一体积元dxdydz 和需要计算其

Ψ＇的那一点 x＇、y＇、z＇之间的距离。

这就把定理简化成了我们由Ψ的第一种定义推出的结论。

但是，当我们把Ψ看成 x、y、z 的原始函数而认为其他函数都由它导出时，把(26)简化成一个形如

A = ∫ ∫ (lpxx + mp xy + np xz )dS， (28)

的面积分就是更妥当的；而且，如果我们假设曲面 S 到处都和包围了∇2Ψ 不等于零的所有各点的曲面 s 有一个很大的距离 a，我们就知道Ψ在数值上不可能大于 e/a，此处 4πe 是∇2Ψ的体积分；我们也知道，pxx、pxy、pxz 各量没有一个可以大于 p 即 R2/8π或 e2/8πa2。因此，在半径很大并等于 a 的一个球面上计算的面积分就不能大于 e2／2a2，而当 a 无限增大时， 面积分必然终于变为零。

但是这个面积分等于体积分(26)，而不论 S 所包围的空间的大小如何，只要 S 包围了每一个∇2Ψ异于零的点，这个体积分的值就是相同的。因此，既然当 a 为无限大时积分为零，当积分限由任何包围了一切∇2Ψ异于零的点的任何曲面来确定时，积分必将也等于零。

1. 〕本章所考虑的胁强分布，恰恰就是法拉第在研究通过电介质而发生的感应时被引导到的那种分布。他用下列的说法概括了它：

“(1297)可以设想成沿两个界限性的带电导体表面之间的一些线作用着的直接感应力，是由一种侧向的或横向的力所伴随着的，这种侧向力和这些代表线之间的一种膨胀或推斥相等价(1224)；或者说，沿着电感应的方向而存在于电介质粒子之间的吸引力，是由一种沿着横方向的推斥力或

发散力所伴随着的。

“(1298)感应显现为各粒子的一种极化状态，他们是被保持作用的带电体纳入到这种状态之中的；各质点上出现正的和负的端点或部分，这些正负部分彼此之间对引起感应的曲面或质点来说是对称地分布着的。这种状态必然是一种受迫状态，因为它只能由力来引起和保持，而当力被取消时它就又回到正常的或安静的状态。它只能由相同部分的电在一些绝缘体中继续建立，因为只有绝缘体才能承受这种粒子状态。”

这是我们通过数学考察而得出的那些结论的一种精确的论述。在媒质中的每一点上，都存在那样一个胁强状态，使得沿着力线有一个张力而沿一切垂直于力线的方向有一个压力，张力和压力数值相等，而且都和该点的合力平方成正式。

“电张力”一词曾由不同的作者在不同的意义下加以应用。我将永远用它来代表沿着力线的张力，而正如我们已经看到的那样，这种张力是逐点变化的，而且永远正比于该点的合力的平方。

1. 〕在空气或松节油之类的流体电介质中也存在这样一种胁强状态；初看起来，这一假说似乎和已经确立的原理相抵触，那原理就是，在流体中，压强在一切方向上都是相等的。但是，在从关于流体各部分的活动和平衡的考虑推出这条原理时，曾经不言而喻地认为流体中不存在我们在这儿假设为沿着力线进行的那样作用。我们所研究的这种胁强状态，是和流体的活动及平衡完全不矛盾的，因为我们已经看到，如果流体的任何部分都不带电荷，它就不会从它表面上的胁强受到任何合力的作用，不论那些胁强多么强。只有当一部分流体带了电时，它的平衡才会被它表面上的胁强所打乱，而我们知道在这种情况下流体确实倾向于发生运动。由此可见，所设的胁强状态并不是和流体电介质的平衡相矛盾的。

在第四章第 99a 节中研究了的 W 这个量，可以诠释为由于胁强的分布而出现在媒质中的能量。由该章的那些定理可以看到，满足在该章中给出的那些条件的胁强分布，也使 W 有一个绝对最小值。喏，当在任何一个位形下能量有极小值时，那个位形就是一个平衡位形，而且平衡是稳定的。因此，当受到带电体的感应作用时，电介质就将自动采取一种按我们所描述过的方式而分布的胁强状态①。

必须认真地记住，我们只在媒质作用的理论中迈出了一步。我们曾经假设媒质处于一种胁强状态中，但是我们却没有用任何方式来说明这种胁强，也没有解释它是怎样被保持的。然而，在我看来，迈出的这一步却似乎是很重要的一步，因为它利用媒质各相邻部分的作用来解释了以前被认为只能用超距作用来加以解释的那些现象。

1. 〕我没有能够迈出下一步，那就是用力学的考虑来说明电介质中的这些胁强。因此我现在就让理论停止在这个地方，而只说出电介质中感应现象的其他部分是什么。

Ⅰ．电位移 当感应通过电介质而被传送时，首先就沿着电感的方向出现电的位移。例如，在内壳带正电而外壳带负电的一个莱顿瓶中，正电

① {媒质中的胁强这一课题，将在“补遗卷”中进一步加以考虑，然而在此可以指出，求出一套胁强使之产生和存在于电场中的力相同的力的问题，是有无限多种解的一个问题。麦克斯韦所采用的，是不能由弹性固体中的胁变来普遍地引起的一种胁强分布。}

在玻璃材料中的位移方向是从内向外的。

这种位移的任何增加，都在增加过程中相当于正电从内向外的一个电流，而位移的任何减小都相当于一个方向相反的电流。通过固定在电介质中的一个曲面上任一面积而移动过去的总电量，由一个量来量度，而那个量已经作为电感在该面积上的面积分乘以 K/4π来考察过（第 75 节），此处 K 是电介质的比感本领。

Ⅱ．电介质粒子的表面电荷 设想有或大或小的任何一部分电介质由一个闭合曲面（想像地）而和其他部分划分开，于是我们就必须假设， 在这个曲面的每一元部分上，都有一个电荷，由向内计算的电荷通过这一面积元的总移移动量来量度。

在内壳带正电的莱顿瓶的事例中，任何一部分玻璃都将是内侧带正电而外侧带负电的。如果这一部分完全位于玻璃内部，则它的表面电荷将被和它接触着的各部分上的异号电荷所中和；但是如果它是和不能在本身中保持感应状态的导体相接触的，表面电荷就不会被中和而是形成通常被称为“导体的电荷”的那种表观电荷。

因此，在旧理论中被称为“导体的电荷”的那种导体和周围电介质之分界面上的电荷，在感应理论中必须被称为周围电介质的表面电荷。

按照这种理论，所有的电荷都是电介质极化的残余效应。极化在物质内部到处存在，但是它在内部却由于带相反电荷的部分互相靠紧而被中和，因此只有在电介质的表面上电荷的效应才会显示出来。

理论可以完全说明第 77 节中的定理，即通过一个闭合曲面的总电感等于曲面内部的总电量乘以 4π。因为，我们所说的通过曲面的电感，简单的就是电位移乘以 4π，而外向的总电位移必然等于曲面内部的总电荷。理论也能说明传给物质以一个“绝对电荷”的不可能性。因为，电介

质的每一个粒子都在相对的两面带有相等而异号的电荷，或者也不妨说， 这些电荷只是我们可以称之为“电极化”的单独一种现象的表现。

当这样被极化了时，一种电介媒质是电能的所在之处，而单位体积媒质中的能量在数值上等于作用在单位面积上的电张力，二者都等于电位移和合电动强度之乘积的一半，或者说

P＝ ■=

2

1 K■² =

8π

2π ■ 2 ，

K

式中 P 是电张力，■是电位移,■是电动强度，而 K 是比感本领。

如果媒质不是一种完全的绝缘质，则我们称之为电极化的那种约束状态将不断地消退，媒质会对电动强度屈服，电胁强会松弛，而约束状态的势能将转化为热。极化状态的衰减速度依赖于媒质的本性。在某些品种的玻璃中，要过若干天或若干年极化才会衰减到原值的一半。在铜中，同样的变化会在不到百万分之一秒内完成。

我们曾经假设，媒质在被极化后就被放置不顾了。在叫做电流的现象中，电在媒质中的不断通过倾向于恢复极化状态，其速率和媒质的导电性允许其衰减的速率相同。于是，保持电流的外界作用物就永远会在恢复媒质的不断衰退的极化时作功，而这种极化的势能则不断地转化为热，于是为保持电流而消耗的能量的最终效果就是逐渐地提高导体的温度，直到通过传导和辐射而损失的热和电流在相同时间内产生的热一样多时为止。

第六章 论平衡点和平衡线

1. 〕如果电场中任何一点上的合力为零，该点就叫做一个“平衡点”。如果某一条线上的每一点都是平衡点，该线就叫做一条“平衡线”。一点为平衡点的条件就是在该点上有

dV＝0， dV ＝0， dV＝0

dx dy dz

因此，在这样一个点上，势对座标的变化来说就有一个极大值或极小值，或为驻定。然而，只有在一个带正电或负电的点上，或是在由一个带正电或负电的曲面所包围的整个有限空间中，势才能有一个极大值或极小值。因此，如果有一个平衡点出现在场的一个不带电的部分中，势就必然是驻定的，而不是一个极大值或极小值。

事实上，极大值或极小值的条件就是

d² V d ² V d ²V

dx ² ， dy² ，和 dz²

必须全为负或全为正，如果他们取有限值的话。

现在，在一个不存在电荷的点上，由拉普拉斯方程可知三个量的和为零，从而这一条件是不能满足的。

我们将不考虑力的各分量同时为零的那一事例的数学分析上的条件， 而是利用等势面来给出一个普遍的证明。

如果在任一点 P 上存在 V 的真极大值，则在 P 点邻域中的一切其他点上，V 的值都小于它在 P 点上的值。于是 P 就将被一系列闭合的等势面所包围，每一个等势面都在前一个等势面的外面，而且在其中任一等势面的一切点上，电力都将是指向外面的。但是我们在第 76 节中已经证明，在任

何闭合曲面上计算的电动强度的面积分，就给出该曲面内的总电荷乘以 4 π。喏，在这一事例中，力是到处指向外面的，从而面积分必然为正，因此在曲面内部就有一个正电荷，而且，既然我们可以把曲面画得离 P 要多近就多近，那就是说在 P 点上有一个正电荷。

同样，我们也可以证明，如果 V 在 P 点有一个极小值，则 P 是带负电的。

其次，设 P 是一个无电荷域中的一个平衡点，让我们围绕着 P 画一个半径很小的球，这时，正如我们已经看到的那样，这个球面上的势不能到处都大于或都小于在 P 点的势。因此它必然在球面的某些部分上较大而在其他部分上较小。曲面上的这些部分是以一些线为边界的，在那些线上势等于 P 点上的势。沿着从 P 点画到其势小于 P 点之势的点画出的线，电力是从 P 点开始的；而沿着从 P 点到势较大的点画出的线，力是指向 P 点的。因此 P 点对某些位移来说是一个稳定平衡点，而对另一些位移来说则是不稳平衡点。

1. 〕为了确定平衡点或平衡线的数目，让我们考虑其上的势等于一个给定量 C 的那个曲面或那些曲面。让我们把其中的势小于 C 的那些区域叫做负域，而把其中的势大于 C 的那些域叫做正域。设 V0 是电场中最低的势而 V0 是电场中最高的势。如果我们令 C＝V0，则负域将只包括那些具有最低势的点或导体，而这些点或导体必然是带负电的。正域包括空间的其

余部分，而既然它包围着负域，它就是回绕的。参阅第 18 节。

如果我们现在增大 C 的值，负域就将扩大，而且新的负域也将在带负电的物体周围形成。对于这样形成的每一个负域，周围的正域都将要求一个回绕度。

当不同的负域扩大时，其中两个或多个可以在一个点上或一条线上相遇。如果有 n＋1 个负域相遇，周围的正域就失去 n 个回绕度，而各负域相遇的点或线就是一个 n 阶的平衡点或平衡线。

当 C 变得等于 V1 时，正域就只剩了具有最高势的那个点或导体，从而也就失去了它的一切回绕性。因此，如果按照它的阶次把每一个平衡点或平衡线算作 1、2 或 n，则这样由现在所考虑的点或线得出的那个数目将比带负电物体的数目小一。

也有另一些平衡点或平衡线出现在各正域变成互相分离而负域获得回绕性的那种地方。按照他们的阶数来计算的他们的数目，比带正电物体的数目小一。

如果当它是两个或多个正域相遇之处时我们就把一个平衡点或平衡线叫做正的，而当它是一些负域相遇之处时把它叫做负的，那么，如果共有p 个物体是带正电的和 n 个物体是带负电的，则正平衡点及正平衡线的阶数之和就是 p－1，而负平衡点及负平衡线的阶数之和则是 n－1。在无限远处包围着带电体系的那个曲面应该被看成一个物体，它的电荷和体系的电荷之和相等而异号。

但是，除了由不同域的连接而引起的这些数目确定的平衡点和平衡线以外，还可以有另外的一些平衡点或平衡线，关于这些，我们只能断定他们的数目必须是偶数。因为，如果当一个负域扩大时它会和自己相遇，它就会变成一个循球域，而且，通过重复地和自己相遇，它可以获得任意多个循环度，其中每一个循环度都对应于循环性出现处的那个平衡点或平衡线。当负域不断扩大直到它充满了整个空间时，它就会失去其所曾得到的每一个循环度而变成非循环的。因此，就有一组平衡点或平衡线，在他们那里循环性是被失去的，而且他们的数目正等于循环性在那里被获得的那些平衡点及平衡线的数目。

如果带电体或带电导体的形状是任意的，我们就只能断定这些增加的点或线的数目是偶数。但是，如果他们是带电的点或球形导体，则用这种办法得到的数目不能超过(n－1)(n－2)，此处 n 是物体的个数①。

1. 〕靠近任一点 P 处的势可以展成级数

V＝V0＋H1＋H2＋⋯；

式中 H1、H2 等等是 x、y、z 的齐次函数，其次数分别为 1、2 等等。

既然 V 的一阶导数在一个平衡点上为零，就有 H1＝0，如果 P 是一个平衡点的话。

设 Hn 是最先不等于零的那个函数，则在 P 点附近我们可以略去比 Hn

次数更高的一切函数。

现在，Hn＝0 就是一个 n 阶圆锥面的方程，而这个锥面就是和 P 点处的等势面最密接的那个锥面。

① {我没能找到证明这一结果的任何地方。}

因此就看到，经过 P 点的等势面在该点有一个圆锥点，也就是它和一个 2 阶的或 n 阶的锥面相切。这个锥面和以其顶点为心的一个球面的交线， 叫做“节线”(Nodallime)。

如果 P 点并不位于一条平衡线上，则节线不和自己相交，而是由 n 条或较少闭合曲线所构成。

如果有些节线交点并不位于球面的正对面点上，则 P 点是三条或更多条平衡线的交点。因为经过 P 点的等势面必然沿每条平衡线和自己相交。

1. 〕如果同一个等势面有 n

   页相交，他们各自的交角必然等于π/n。因为，设把交线的切线取作 z 轴，就有 d2V/dz2＝0。另外，设 x 轴是

其中一页的一条切线，则又有 d2V/dx2＝0。根据拉普拉斯方程，由此即得d2V/dy＝0，或者说 y 轴是另一页的一条切线。

这里的考虑假设了 H2 是有限的。如果 H2 为零，设把交线的切线取作 z 轴，并令 x＝rcosθ而 y＝rsinθ，那么，既然

d² V =

dz²

d ²V 0， dx2 +

d ²V

dy² 0

d² V

或

dr ²

• 1 dV r dr

1 d² V

r ² dθ ² ；

则写成 r 的升幂级数，比一方程的解就是

V＝V + A rcos( θ + α ) + A r ²cos(θ + α ) + + A r ⁿcos(nθ + α )，

0 1 1 2 2 n n

在一个平衡点上，A1 等于零。如果第一个不为零的项是含 rn 的项，则

有

V－V ＝A r ⁿcos(nθ + α

) + r 的更高次幂。

这个方程表明，等势面 V＝V0 的 n 个页相交，每一交角为π/n。这一定理是由兰金（Rankine）给出的①。只有在某些条件下，一条平衡线才会在空间中存在，但是每当导体的面密度在一部分上是正的而在另一部分上是负的时，导体表面上却必然存在一条平衡线。

为了使导体可以在它表面的不同部分上带有异号的电荷，场中必须有些地方的势高于导体的而另一些地方的势则低于导体的势。

让我们从两个带正电的而势也相同的导体开始。在二物体之间将存在一个平衡点。让第一个物体的势逐渐降低。平衡点就将向它趋近，并在过程的某一阶段和它表面上的一点相重合。在过程的下一阶段中，和第一物体具有相同的势的第二物体周围的等势面将和第二物体的表面相正交，其交线就是一条平衡线。在扫过了导体的整个表面以后，这条闭合曲线将重新收缩成一点；然后这个平衡点就将在第一物体的另一侧越走越远，而且

① ‘Surmmary of the Properties of certain StreamLines,’Phil,Mag.,Oct.1864. 并 参 阅 Thomsonand Tait’s Natural Philoscphy,§780; 以及 Rankine and Stokes,in the Proc.R.S.,1867.p.468;以及W.R.Smith,Proc.R.S.Edin.1869－70,p.79.｛当 d2V/dz2 只沿 z 轴为零时，这里的讨论就是不能令人满意的。兰金的证明是严格的。Hm 可以写成 式中 un、un+1＋1… 分别是 x、y 的 n 次、n＋1 次 的齐次函数，而 z 轴是 n 阶奇线。即然 Hm 满足(2Hm＝0，我们必然就有 或者说 un＝Arncos（nθ＋α）； 但是 un＝0 就是从 z 轴画起的锥面 Hm＝0 的切面的方程，也就是等势面的 n 页的切面方程，因此这些页就以π/n 角相交。

当两个物体的电荷成为相等而异号时这个点将运动到无限远处。

鄂伦肖定理

1. 〕放在一个电力场中的一个带电体不可能处于稳定平衡。

首先，让我们假设可运动物体 A 上的电和周围物体组 B 上的电都是固定在这些物体上的。

设 V 是由于周围物体 B 的作用而在可动物体 A 的任一点上

引起的势，设 e 是可动物体 A 上此点周围的一小部分所带的电。于是A 对 B 而言的势能就将是

M＝Σ(Ve)， 式中的和式遍及于 A 上一切带电的部分。

设 a、b、c 是 A 上任一带点部分相对于固定在 A 中并和 x、y、z 各轴相平行的座标轴而言的座标。设这些座标轴的原点绝对座标是ξ、η、ζ。

让我们暂时假设 A 受到约束，只能平行于自身而运动，于是点(a，b， c)的绝对座标就将是

x＝ξ+a，y＝η+b,z＝ζ+c。

现在物体 A 对 B 而言的势可以写成若干项之和①，在其中每一项中 V 都是用 a、b、c 和ξ、η、ζ表示出来的，从而这些项的总和就是 a、b、c 的函数和ξ、η、ζ的函数；前三个座标对物体的每一点来说都是常量， 而后三个座标则当物体运动时是变化的。

既然拉普拉斯方程是被其中每一项所满足的，它也就是被各项之和所满足的，或者说

d ²M

dξ ²

• d ²M

dη ²

• d ²M =

dζ ²

现在设令 A 发生一个小位移，使得

dξ＝ldr，dη＝mdr，dζ＝mdr； 并设 dM 是 A 相对于周围体系 B 而言的势的增量。

如果这个增量是正的，则要增大 r 就必须作功，从而就有一个倾向于使 r 减小并使 A 恢复其从前的位置的力 R＝dM/dr，从而对这种位移来说平衡就将是稳定的。另一方面，如果增量是负的，力就将倾向于使 r 增大， 从而平衡就将是非稳的。

现在考虑一个以原点为心而以 r 为半径的小球；它是如此之小，使得当固定在物体上点位于球内时，运动物体 A 的任何部分都不能和外部体系B 的任何部分相重合。这时，既然在球内有∇2M＝0，在球面上求的面积分

dM dS， dr

就等于零。

由此可见，如果在球面的任何部分上 dM/dr 是正的，则必然有些其他部分，在那里 dM/dr 是负的，而如果物体 A 沿着 dM/dr 的方向而被移动， 它就将倾向于离开原有位置而运动，从而它的平衡就必然是非稳的。

因此，即使当被约束得只能平行于自身而运动时，物体也是非稳的，

① {译注：由下文可见，此处所说的“势”实系“势能”。}

而无庸赘言，当它完全自由时当然更是非稳的了。

现在让我们假设物体 A 是一个导体。我们可以把这种情况当作一个物体组的平衡事例来处理，即把可运动的电看成体系的一些部分。于是我们就可以论证说，既然当通过电的固定而被剥夺了那么多的自由度时体系都是非稳的，那就无庸赘言，当这种自由度被还给它时，它当然更是非稳的了。

但是我们也可以用更加特殊的方式来考虑这一事例，例如：

第一，设电被固定在 A 中，并让 A 平行于自身而移动一个小距离 dr。由这种原因而引起的 A 的势的增量已经考虑过了。

其次，让电在 A 中运动到它的平衡位置上，这种平衡永远是稳定的。在这种运动过程中，势肯定会减少一个量，我们可以称之为 Cdr。

因此，当电可以自由运动时，势的总增量就将是

 dM − 

 dr C dr ；

而倾向于使 A 回到它的原位置的就将是

式中 C 永远是正的。

dM − C， dr

喏，我们已经证明过 dM/dr 对 r 的某些方向而言是负的，因此当电可以自由运动时，沿这些方向的非稳性就将增大。

第七章 简单事例中的等势面和电感线的形状

1. 〕我们已经看到，导体表面上电的分布的确定，可以弄成依赖于拉普拉斯方程

d² V + d ²V + d² V =

dx²

dy²

dx2 0，

的解；此处 V 是 x、y 和 z 的一个函数，它永远是有限的和连续的，在无限远处为零，而且在每一个导体的表面上有一个给定的恒定值。

通常并不能用已知的数学方法来求解这一方程以使任意给出的条件能够得到满足，但是却很容易写出任意多个能够满足方程的函数 V 的表示式，并在每一事例中确定出函数 V 将是真正解的那些导电表面的形状。

因此，看起来我们很自然地应该称之为逆问题的这种当势的表示式已经给定时要确定导体形状的问题，是比当导体形状已经给定时要确定势的正问题更加容易对付的。事实上，我们已知其解的每一个电学问题，都是通过这种逆过程来得出的。因此，对电学家来说大为重要的就是要知道用这种办法已经得到了一些什么结果，因为他可以指望用来求解一个新问题的唯一方法就是把问题归结成某些事例之一，在那些事例中已经通过逆过程构造了一个类似的问题。

关于结果的历史知识可以通过两种方式来起作用。如果我们被要求设计一种仪器来进行更精确的电学测量，我们就可以选择那样一些带电表面的形状，他们对应于我们已知其精确解的那些事例。另一方面，如果我们被要求估计形状给定的一些物体的带电情况，我们就可以从等势面的形状和所给物体形状相近的某一事例开始，然后我们可以利用尝试的办法来改动问题，直到它和所给的情况更近似地对应。这种方法从数学观点看来显然是很不完善的。但这却是我们所具备的唯一方法，而且，如果不许我们选择自己的条件，我们就只能对电分布进行一种近似的计算。因此，看来我们所需要的，就是在我们所能收集和记住的尽可能多的不同事例中关于等势面和电感线之形状的知识。在某几类事例中，例如在和球有关的那些事例中，存在一些我们可以利用的已知的数学方法。在另一些事例中，我们就不能不用一种更粗浅的方法，那就是在纸上实际地画出一些尝试性的图形，并从中选用和我们所需要的图形相差最小的一种。

我认为，即使在精确解为已知的那些事例中，这后一种方法也可能是有某种用处的，因为我发现，关于等势面形状的一种直观知识，常常导致数学求解方法的一种正确选择。因此我曾经画了若干幅等势面族和电感线族的图，以便学生可以熟悉这些线的形状。可以用来画这种图的方法，将在第 123 节中进行说明。

1. 〕在本卷末尾的第一个图中，我们有两个点周围的等势面的横截面，该二点带有同号电荷，其大小为 20 和 5 之比。

在这里，每一个点电荷都被一系列等势面所包围，当逐渐变小时，他们就变得越来越接近于球形，尽管其中任何一个也不是准确的球面。如果各自包围一个点的两个曲面被用来代表两个近似球形而并不完全是球形的导体的表面，而且假设这两个物体被充以 4 比 1 的同号电荷，则此图将代表他们的等势面，如果我们擦掉画在两个物体内部的所有那些等势面的话。由图可见，两个物体之间的作用和两个带有相同电荷的点之间的作用

相同；这两个点并不位于两个物体轴线的确切中点上，而是各自比中点离另一物体更远一些。

同一个图也使我们能够看到其中一个卵形面上将有什么样的电分布； 这种卵形面一头大一头小，而且包围着两个中心。如果带有 25 个单位的电而且不受外界影响，这样一个物体将在小端具有最大的面密度，在大端具有较小的面密度，而且在离小端比离大端更近的一个圆周上有最小的面密度①。

存在一个等势面，在图中用虚线来代表，它包括两个圈线，在锥面点P 处相遇。这个点是一个平衡点，从而具有这种表面形状的一个物体上的面密度在该点将为零。

在这一事例中，力线形成两个分离的组，由一个六次曲面互相分开； 该曲面用虚线来代表；它通过平衡点，而且和双曲面的一页有点相像。

这个图也可以被看成代表两个有重物质球的力线和等势面，二球的质量成 4 比 1 之比②。

1. 〕在第二个图中我们又有两个点，所带的电荷成 20 与 5 之比，但是一个是正电荷而另一个是负电荷。在这一事例中，有一个等势面，也就是对应于零势的那个面，是一个球面。这个等势面在图中用虚线圆 Q 来代表。这个球面的重要性，当我们进行到电像的理论时就将被看到。

我们由此图可以看出，如果两个圆乎乎的物体带有异号电荷，他们就将像两个点那样地互相吸引；那两个点和他们带的电荷相同，但是放得比两个物体的中点更靠近一些。这儿又有用虚线表示的一个等势面是有两个圈线的，里边一个圈包围着电荷为 5 的点而外边一个圈包围着两个物体， 这两个圈线在锥面点 P 相遇，那是一个平衡点。

如果一个导体的表面具有外面圈线的形状，也就是说，如果它是一个圆乎乎的像苹果似的物体，在一端有一个圆锥形的凹陷，那么，如果这个导体是带电的，我们就将能够确定它的任一点的面密度。凹陷底上的面密度为零。

在这个曲面的周围，我们有另外一些曲面；他们也有一个圆顶的凹陷， 这种凹陷越变越平，并且终于在经过用 M 来表示的一点的那个等势面上完全消失。

在这一事例中，力线形成两组，由经过平衡点的那个曲面所隔开。 如果我们考虑中轴上 B 点外面的一些点，我们就会发现合力越来越

小，直到在 P 点上变为零。然后它就变号，并在 M 点上达到极大值，然后它又继续减小。

然而这个极大值只是一个相对于轴上其他各点而言的极大值，因为， 如果我们考虑一个经过 M 点而垂直于中轴的面，则相对于该面上的邻近各点来说，M 是一个极小力的点。

1. 〕图三表示电荷为 10 并位于力场中的一个点所引起的等势面和电感线，力场在放入点电荷以前在方向和量值上是到处均匀的①。

① {这一点，可以通过在场的不同部分比较等势面之间的距离来看出。}

② {译注：这句话恐怕不对，应移到第 119 节之末。}

① {麦克斯韦没有给出场的强度。然而 M.科纽曾经根据力线计算了均匀场的强度发现在放入带电体之前场的电动强度是 1.5。}

等势面各自都有一个渐近平面。其中用虚线代表的一个有一个锥面点，并有一个围绕 A 点的圈线。这一等势面下面的那些等势面只有一页， 并在轴附近有一个凹陷。上面的那些有一个围绕着 A 的闭合部分，和另外在轴附近稍有凹陷的一页。

如果我们把 A 下面的一个曲面看成一个导体的表面，并把 A 下面很远处的另一曲面看成具有另一个势的另一个导体的表面，则这两个导体之间的那一套曲线和曲面将指示电力的分布。如果下面一个导体离 A 很远，它的表面就将很接近于平面，于是我们在这儿就得到两个全都近似地是平面并相互平行的表面上的电分布的解，不过上面的一个表面在中点附近有一处突起，其重要性或大或小，随所选定的是哪个等势面而定。

1. 〕图四表示由三个点 A、B、C 所引起的等势面和电感线；其中 A 带有 15 个单位的正电荷，B 带有 12 个单位的负电荷，而 C 带有 20 个单位的正电荷。这些点放在一条直线上，使得

AB＝9，BC＝16，AC＝25.

在这一事例中，势为零的曲面是两个球，他们的中心是 A 和 C，而半径是 15 和 20。这两个球相交于一个圆，它和纸面在 D 点及 D′点相正交， 使得 B 成为此圆之心，而圆的半径为 12。这个圆是一条平衡线的例子，因为合力在这条线上的每一点上为零。

如果我们假设以 A 为心的球是带有 3 个单位的正电的导体，并受到 C 处 20 个单位的正电的影响，则这一事例的情况将由本图来表示，如果我们略去球 A 内部所有的线的话。在小圆 DD′下面那一部分球面将在 C 的影响下带负电。球的所有其余的部分将带正电，而小圆 DD′的本身则将是一条无电荷的线。

我们也可以认为本图是表示的一个球的情况，该球以 C 为心，带有 8 个单位的正电，并受到放在 A 点的 15 个单位的正电的影响。

这个图也可以被看成表示一个导体的情况，该导体的表面由相遇于 DD

′的两个球的较大的部分构成，并带有 23 个单位的正电。

我们将回到这一个图，把它看成汤姆孙的“电像理论”的一个例证。参阅第 168 节。

1. 〕这些图应该作为法拉第关于“力线”和“带电体的力”等等的说法的例示来加以研究。

“力”这个词代表两个物质体之间的作用的一个特定的方面；通过这种作用，各物体的运动将变成和没有这种作用时的运动有所不同。当同时考虑两个物体时，这整个的现象就叫做“强制作用”(stress)，并且可以被描述成从一个物体到另一个物体的动量传递。当我们把自己的注意力集中到二物体中的第一个物体上时，我们将把加在这个物体上的强制作用叫做“主动力”，或简单地叫做对该物体作用的力，而且它是用该物体在单位时间内接受到的动量来量度的。

两个带电体之间的机械作用是一种强制作用，而对其中一个物体的作用则是一个力。作用在一个小的带电体上的力正比于它自己的电荷，而单位电荷的力就叫做力的“强度”。

“感应”一词被法拉第用来代表各带电体的电荷之间的联系方式；每一个单位的正电荷都用一条线来和一个单位的负电荷互相连接，那条线的方向在流体电介质中在线的每一部分都和电强度相重合。这样一条线常常

被称为一条“力线”，但更准确地作法是称它为一条“电感线”。现在，按照法拉第的概念，一个物体中的电量是用从它发出的

图 6 力线 等势面作图法

力线和等势面力线的数目或者说电感线的数目来量度的。这些力线必然终止在什么地方，或是终止在附近的物体上，或是终止在房间的墙壁和天花板上，或是终止在地上，或是终止在一些天体上，而不管终止在什么地方， 那里总会存在一个电量，和力线所由出发的那一物体部分上的电量恰好相等而异号。通过仔细观察这些图，可以看到情况正是如此的。因此，在法拉第的观点和旧理论的数学结果之间并没有任何矛盾，而相反地却是，力线的概念给这些结果带来了很大的澄清，而且它似乎可以提供一种手段， 用来通过一种连续的过程而从旧理论的多少有些死板的观念上升到一些可以有很大的扩充余地的想法，这就可以为通过进一步的研究来增加我们的知识留下余地。

1. 〕这些图是按下述方式画成的。

首先，试考虑单独一个力心即一个电荷为 e 的小带电体的事例。在距离为 r 处，势是 V＝e/r；因此，如果我们令 r＝e/V，我们就将求得 r，即势为 V 的那个球面的半径。如果我们现在令 V 取 1、2、3 等等的值，并画出对应的球面，我们就会得到一系列等势面，其对应的势是用各自然数来量度的。这些球在通过其公共球心的一个平面上的截面将是一些圆，我们可以用代表其势的那个数来标明其中每一个圆。在图 6 的右半，用一些虚线半圆来代表了这些等势面。

如果还有另一个力心，我们就可以按相同的方式画出属于它的那些等势面，而如果我们现在想要找出由两个力心共同引起的各等势面的形状， 我们就必须记得：如果 V1 是由一个心引起的势而 V1 是由另一个心引起的势，则由两个心引起的势将是 V1+V2＝V 因此，既然在属于两个系列的各等势面的每一个交点上我们既知道 V1 又知道 V2，我们也就知道 V 的值。因此，如果我们画一个曲面通过所有 V 值相同的各交点，这个曲面就将和所有这些交点上的等势面相重合，而如果原来那些等势面系列画得足够密，新曲面就可以在任何需要的精确度下被画出。由电荷相等而异号的两个点所引起的等势面，在图 6 中的右半用实线表示了出来。

这种方法可以应用来画任何等势面系列，如果势是二势之和，而对于二势我们已经画出了等势面的话。

由单独一个力心引起的力线是从该心辐射而出的一些直线。如果我们愿意利用这些线来在任何点既指示力的方向又指示力的强度，我们就必须那样地画这些线，使他们在各等势面上标出一些部分，而在各该部分上计算的电感的面积分具有确定的值。这样作的最好办法就是假设我们的平面图是一个空间图的截面，那个空间图通过把平面图绕着经过力心的一条轴线旋转一周来形成。这时，任何从力心辐射而出并和轴线成θ角的直线都将描绘一个锥面，而电感通过任一曲面上由此锥面在轴线正向一侧截割下来的部分上的面积分就是 2πe(1—COSθ)。

如果我们进一步假设这个曲面是以它和两个平而的交线为边界，那两

个平面都经过轴线而且彼此的夹角使得该角的弧等于半径的一半，则通过这样限定的一个曲面的电感将是

1 e(1 − cosθ) = Φ，

2

而 θ = cos^-1 (1 − 2 Φ)．

e

如果我们现在给Φ指定一系列值 1、2、3⋯，我们就将得到一系列θ值；而如果 e 是一个整数，则对应的力线包括轴线在内的数目将等于 e。这样我们就有了一种画力线的方法，使得任何力心的电荷用从力心发

出的力线数目来表示，而通过用上述办法截割出来的任一曲面的电感则用通过该曲面的力线数目来量度。图 6 左半的虚线表示两个带电点中每一点

所引起的力线，那两个点的电荷分别是 10 和－10。

如果在图中的轴线上有两个力心，我们就可以针对每一条对应于Φ1 值和Φ2 值的轴线画出力线，然后，通过这些线的Φ1+Φ2 具有相同值的那些交点画出曲线，我们就可以得出由两个力心所引起的力线，而且，利用同样的办法，我们也可以把对同一轴线对称分布的任何两组力线结合起来。图 6 左半的实线，就表示同时起作用的两个带电点所引起的力线。

在用这种方法画出了等势面和力线以后，就可以通过观察这两组曲线是否到处正交以及相邻等势面的间距和相邻力线的间距之比是否等于到轴线的平均距离的一半和所用的长度单位之比，来检验作图的精确性。

在任何这种有限大小的体系的事例中，任何指数为Φ的力线都有一条通过体系电心（第 89d 节）的渐近线，而其对轴线而言的斜角为 1－2Φ/e， 如果Φ小于 e 的话。指数大于Φ的力线是有限的线。如果 e 为零，力线就都是有限的。

和一个平行于轴线的均匀力场相对应的力线是一些平行于轴线的线， 到轴线的距离是一个算术级数的平方根。

当我们讲到共轭函数时①，我们将给出二维空间中的等势面和力线的理论。

① 参阅 Prof.W.R.Smith 的一篇论文，‘On the Flow of Electrictity in－Conducting Sur－faces，’ Proc.R.S.Edin.，1869－70，p.79.

第八章 简单的带电事例两个平行平面

1. 〕首先我们将考虑两个无限大的平行平面的导电表面，他们相距为 c，分别保持于势 A 和势 B。

很显然，在这一事例中，势 V 将是到平面 A 的距离 z 的函数，而且在A、B 之间任一平面的一切点上都将是相同的，除了在带电表面的边沿附近以外，而根据假设，那些边沿部分是离所考虑的点无限地远的。

由此可见，拉普拉斯方程变成

d² V

其积分是

dz²

= 0，

V＝C1＋C2z；

而既然当 z＝0 时 V＝A 而当 z＝c 时 V＝B，就有

V = A + (B − A) z ．

c

对于二平面之间的一切点来说，合强度都垂直于平面，其量值是

R＝ A − B。c

在导体本身的物质中，R＝0。因此，第一个平面上的电分布就有一个面密度σ，此处

4πσ = R = A − B ．

c

在势为 B 的另一个表面上，面密度σ′将和σ相等而异号，从而

4πσ′ = −R = B − A ．

c

其次让我们考虑第一个表面上面积为 S 的一个部分，它被选得没有任何地方是靠近曲面的边沿的。

这一块表面上的电量是 e1＝Sσ，而由第 79 节，作用在每一单位电

量上的力是1 R，于是作用在面积S上并把它吸向另一个平面的总力就是

2

F = 1 RSσ =

2

1 R²S =

8π

S (B − A)

8π c²

这里的吸引力是用面积 S、两个表面的势差(A—D)和表面之间的距离 c 表示出来的。用面积 S 上的电荷 e1 表示出来的吸引力是

F = 2π e² ．

S 1

在这一事例中，力线是垂直于平面的。设通过用一组力线把面积 S 投影到表面 B 上而得到的对应面积为 S′，则由 S 上的和 S′上的电分布所引起的电能是

W = 1 (e A + e B)

2 1 2

= 1 S

(A − B) ²

，

2 4π c

= R2

Sc，

8π

= 2π e²c，

S 1

= Fc．

这些表示式中的第一个，是电能的普遍表示式（第 84 节）。第二个表示式用面积、距离和势差来表示了能量。

第三个表示式用合力 R 和包括在 S、S′之间的体积 Sc 来表示了能量， 而且表明了单位体积中的能量是 p，此外 8πp＝R2。

两块平面间的吸引力是 pS，或者换句话说，存在一个在每单位面积上等于 p 的电张力（或者说是负压强）。

第四个表示式用电荷表示了能量。

第五个表示式表明，电能等于当两个表面平行于自己而运动到一起而保持其电荷不变时电力所作的功。

为了用势差来表示电荷，我们有

e = 1 S (A − B) = q(A − B)．

¹ 4π c

系数 q 代表由等于 1 的势差所引起的电荷。这个系数叫做表面 S 由于它相对于对面表面的位置而具有的“电容”。

现在让我们假设两个表面之间的媒质不再是空气而是比感本领为 K 的某种别的电介质，这时由给定势差所引起的电荷就将是当电介质为空气时的电荷的 K 倍，或者说

e = KS (A − B).

¹ 4πc

总能量将是

W = KS (A − B) ² ，

8πc

= 2π e ²c．

KS ¹

表面间的力将是

KS (A − B) ²

F = pS = ，

8π c²

= 2π e ² ．

KS ¹

由此可见，各具给定之势的两个表面之间的力正比于电介质的比感本领 K，但是带有给定电量的两个表面之间的力却反比于 K。

两个同心球面

1. 〕设半径为α和 b（b 较大）的两个同心球面分别被保持在势 A 和势 B，则很显然，势 V 是到球心的距离ｒ的函数。在这一事例中，拉普拉斯方程变为

这一方程的解是

d² V

dr ²

• 2 dV r dr

= 0．

V＝C1＋C2r-1；

而当 r＝a 时 V＝A 且当 r＝b 时 V＝B 的条件就在二球面之间的空间中给出

V = Aa − Bb +

a − b

A − B

a −1 − b− 1

r −1 ；

R = − dV =

dr

A − B a− 1 − b −1

r − 2 ．

如果σ1、σ2 是一个半径为α的实心球和一个半径为 b 的空心球的相

对表面上的面密度，就有

σ = 1

A − B 1

，σ =

B − A

．

¹ 4πα²

α−1 − b−1 2

4πb ² α⁻¹ − b⁻¹

如果 e1、e2 是这些表面上的总电荷，就有

e = 4πα ²σ =

A − B

= −e ．

1 1 α−1 − b−1 2

因此，被包围的球的电容就是

ab

b − a 。

如果外壳的外表面也是球形的，而且其半径为 c，那么，如果附近没有其他导体，则外表面上的电荷是

e3＝Bc 由此可见，内球上的总电荷是

而外壳上的电荷则是

e1 =

e + e =

ab

b − a

ab

(A − B)，

(B − A) + Bc．

^{2 3} b − a

如果我们令 b＝∞，我们就有一个无限空间中的球的事例。这样一个球的电容是 a，或者说在数值上等于它的半径。内球的单位面积上的电张力是

p = 1

b² (A − B) ²

．

8π a ² (b − a)²

这个张力在一个半球上的合力是πα2p＝F，它垂直于半球的底面，而且如果合力被作用在半球的圆形边界线上的一种表面张力所平衡，而作用在单位长度上的表面张力为 T，则有

F＝2παT。

由此即得

b ² (A − B) ²

F =

e 2

= 1 ，

8 ( b − a)²

b² (A − B) ²

T =

8a²

．

16πα ( b − a)²

如果一个肥皂泡被充电到势 A，如果它的半径是 a，则其电荷将是 Aa， 而面密度将是

σ = 1 A ．

4π a

刚刚在表面之外的地方的合强度将是 4πσ，而在肥皂泡里边则强度为零,于是由第 79 节可知，作用在表面的单位面积上的力将是 2πσ2，方向向外。由此可见，电荷将使泡内的压强减少一个量 2πσ2，或者说减少一个量

1 A ²

8π α² ．

但是可以证明，如果Ｔ0 是液膜作用在单位长度的线上的张力，则阻止肥皂泡崩塌所需要的泡内压强将是 2T0/a。如果当泡内外的空气压强相同时电力适足以使泡保持平衡，就有

A2＝16παT0。

两个无限长的同轴圆柱面

1. 〕设一个导电圆柱的外表面的半径为 a，而和此圆柱同轴的一个中空圆柱的内表面的半径为 b．设他们的势分别是 A 和 B。于是，既然势 V 是离轴线的距离 r 的函数，拉普拉斯方程就变为

d² V

dr ²

由此即得 V＝C2＋C2logｒ

• 1 dV r dr

= 0，

既然当 r＝a 时 V＝A 而当 r＝b 时 V＝B，就有

A log b + Blog r

V = r a ．

log b

a

如果σ1、σ2 是内、外表面上的面密度，则

4πσ1

= A − B ，4πσ

a log b 2

a

= B − A ．

b log b

a

如果 e1 和 e2 是二柱面上相隔 l 处两个垂直截面之间的一段上的电荷，

则

e = 2πalσ = 1 A − B l = −e .

1 1 2

log b 2

a

因此，长度为 l 的一段内柱的电容就是

1. l ．

2. log b

a

如果二柱面之间的空间是由一种比感本领为 K 的电介质而不是由空气所占据的，则长度为 l 的一段内柱的电容是

1. lK ．

2. log b

a

无限长柱上我们所考虑的这一段上的电分布的能量是

1 lK(A − B) ²

．

4 log b a

1. 〕设有两个无限长的中空圆柱形导体 A 和 B，如图 5 所示，他们的公共轴是 x 轴，一个在原点的正侧面，一个在原点的负侧，中间由原点附近的座标上的一个小区间所隔开。

设把长度为 2l 的一个圆住 C 放得使它的中点位于原点正测距离为 x 处，并使它插入两个中空圆柱中。

设位于正侧的中空圆柱的势为 A，位于负侧的那个的势为 B，而中间圆柱的势为 C。让我们用 a 代表 C 的单位长度对 A 而言的电容，而用β代表对 B 而言的同样的量。

如果有相当长的内柱进入每一个中空圆柱中，则各圆柱位于原点附近各固定点处的那些部分上的面密度以及离内柱端点为给定的小距离的各点处的那些部分上的面密度都不会受到 x 值的影响。在中空圆柱的端点附近，以及在内部圆柱的端点附近，将存在二些迄今还无法计算的电分布， 但是原点附近的分布却不会由于内柱的运动而有所改变，如果内部的两端不会达到原点附近的话。因此内柱两端的分布就将随着它一起运动，从而运动的唯一效应就将只是内柱上分布和无限长柱上的分俏相似的那些部分的长度的增减而已。

因此，只要它依赖于x，体系的总能量就将是Q = 1 a(l + x)(C − A)² +

2

1 β(l − x)(C − B)² +不依赖于x的项，而既然能量是用势来表示的，则由 9

2

3b 节可知，平行于柱轴的合力将是

X = dQ = 1 a(C − A) ² − 1 β(C − B)² ．

dx 2 2

如果柱 A 和柱 B 具有相等的截面，则 a＝β，从而

X = α(B − A)(C − 1 (A + B))．

2

由此可见，存在一个作用在内柱上的恒定的力，倾向于把它拉入其势和内柱的势相差最大的那个外柱中去。如果 C 的数值很大而 A＋B 则较小， 力就近似地是

X＝a(B-A)C；

于是两个柱的势差就可以测出，如果我们能够测量 x 的话。这种测量的精确度将由于内柱势 C 的升高而增大。

这一原理在一种修订的形式下已被用于汤姆孙的象限静电计中，见第219 页。

同样三个圆柱的装置可以通过连接 B 和 C 而用作电容的测量仪器。如果 A 的势为零而 B 和 C 的势为 V，则 A 上的电量将是

E13＝(q13+a(l+x)V；

式中 q13 是依赖于圆柱两端的电分布但不依赖于 x 的一个量，于是，通过把 c 向右移动以使 x 变成 x＋ξ，柱 c 的电容就将增大一个确定的量 aξ， 式中

α = 1 ，

2 log b

a

而 a 和 b 是对面的两个柱面的半径。

第九章 球谐函数

1. 〕球谐函数的数学理论曾被当作若干专著的主题。有关这一课题的最完备的著作， E ．海恩博士的《球谐函数手册》(Handbuch der Kugelfunctionen)现在(1878)已经出了两卷本的第二版，而 F．诺依曼博士也发表了他的《关于球谐函数理论的论著》(Beiträge zur Theorie der Kugelfunctionen，Leipzig，Teubner，1878)。汤姆孙和泰特的《自然哲学》中对这一课题的处理在第二版(1879)中得到了颇大的改进，而陶德洪特先生的《关于拉普拉斯函数、拉梅函数和贝塞耳函数的初等论著》(Elementary Treatise on laplace’s Functions，Lamé’s Functions， and Bessel Functions)以及弗勒尔斯先生的《关于球谐函数及其有关问题的初等论著》(Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subject connected with them)已经使得没有必要在一部关于电的书中在这一课题的纯数学的发展方面花费太多的篇幅了。

然而我却保留了用它的极点来对球谐函数作出的确定。

论势在那里变为无限大的奇点

1. 〕如果一个电荷 A0 均匀地分布在中心座标为(a，b，c)的一个球面上，则由第 125 节可知，球外任一点(x，y，z)上的势是

V = A0 ， (1)

r

式中 r2＝(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2．(2)

由于 V 的表示式不依赖于球的半径，这个表示式的形式就将是相同的，如果我们假设半径为无限小的话。表示式的物理诠释将是，电荷 A0 是放在一个无限小的球的表面上的，这个小球近似地和一个数学点相同。我们已经证明（第 55，81 节）电的面密度有一个极限，从而在物理上是不可能把一个有限的电荷放在半径小于某值的一个球上的。

不过，既然方程(1)表示的是势在一个球周围的空间中的一种可能的分布，我们为了数学的目的就可以把它看成是由集中在数学点(a，b，c)上的一个电荷 A0 所引起的，而且我们可以把这个点叫做一个零阶的奇点。

还有另外一些种类的奇点，他们的性质我们不久就会研究。但是，在那样作以前，我们必须定义某些表示式，而我们即将发现，在处理空间中的方向以及球上和各该方向相对应的那些点时，这些表示式是有用的。

129.〕一个轴就是空间中的任何一个确定的方向。我们可以假设它是由在球面的一点上画出的一个记号来定义的，该点就是从球心沿轴的方向画出的半径和球面相交的那个点。这个点叫做轴的“极点”。因此一个轴只有一个而不是两个极点。

如果μ是轴 h 和任一矢量 r 之间的夹角的余弦，而且

P＝μr，(3) 则 p 是 r 分解在轴 h 方向上的分量。

不同的轴用不同的下标来区分，而两个轴之间夹角的余弦用λmn 来代表，此处的 m 和 n 就是标明各轴的下标。对方向余弦为 L、M、N 的一个轴

h 求导数，表示为

d = L d dh dx

• M d

dy

• N d

dz

． (4)

由这些定义显然可得

dr = pm = μ ，

dhm r

dpn

dhm

= λ mn

= dp m ，

dh n

dμm

dh m

= λ mn

− μmμn ． (7) r

如果我们现在假设由位于原点上的一个任意阶次的奇点在点(x，y，z) 上引起的势是

Af(x，y，z)，

那么，如果这样一个点是位于轴 h 的端点上的，则(x，y，z)上的势将

是

Af[(x－Lh)，(y－Mh)，(z－Nh)]，

而如果除了 A 变号以外在一切方面都相同的一个点被放在原点上，则

由这一对点所引起的势将是

V＝Af[(x－ Lh)，(y－Mh)，(z－Nh)]－Af(x，y，z)，

＝－Af d

dh

f(x，y，z)＋含h² 的项。

如果我们现在无限制地减小 h 而增大 A，使他们的乘积保持有限并等于 A′，则这一对点的势的终极值将是

V′＝－A′ d

dh

f(x，y，z)． (8)

如果 f(x，y，z)满足拉普拉斯方程，则由于这一方程是线性的，作为各自满足方程的两个函数之差的 V′也必满足该方程。

1. 〕现在，由一个零阶奇点引起的势

V = A 1

0 0 r

(9)

满足拉普拉斯方程，因此，由这一函数通过对任意数目的轴逐次求导数而得到的每一个函数也必满足方程。

取两个零阶点，具有相等而异号的电荷 A0 和 A0，把第一个点放在原点上而把第二个点放在轴 h1 的端点上，然后令 h1 的值无限减小而令 A0 的值无限增大，但使乘积 A0h1 永远保持等于 A1；这样就可以构成一个一阶的点。这一手续的最后结果，即当两个点互相重合时，就是一个矩为 A1 而轴为 h1 的一阶的点。因此，一个一阶的点是一个双重点。它的势是

V = −h d V

1 1 dh 0

= A μ 1 ． (10)

1 r 2

通过把一个矩为—A1 的一阶点放在原点上，把另一个矩为 A1 的一阶点

放在轴 h2 的端点上，然后减小 h2 而增大 A1，使得

A 1h2

= 1 A

2 2

，(11)

我们就得到一个二阶的点，其势是

V = −h d V

2 2 dh 1

= A 1 3μ1μ 2 − λ12 ． (12)

2 2 r 3

我们可以把一个二阶的点叫做一个四重点，因为它是通过使四个零阶点互相趋近来构成的。它有两个轴 h1 及 h2，和一个矩 A2。这些轴的方向和这个矩的量值就完全地定义了点的本性。

通过相对于 n 个轴逐次求导数，我们就得到由一个 n 阶点引起的势。它将是三个因子的乘积，一个常量，若干余弦的一个数组合和 r-(n+1)。为了以后即将说明的理由，将常量的数值适当调整，使得当一切轴都和矢量相重合时矩的系数为 r-(n+1)是方便的。因此，当我们对 hn 求导数时就要除以 n。

按照这种办法我们就得到一个特定势的确定数值，我们称这种势为－ (n＋1)阶的“体谐函数”，即

V = (−1) ⁿ

1

1.2.3

d · d

n dh dh

d 1

• ．

dh r

(13)

1 2 n

如果这个量被乘上一个常量，它仍然是由某一个 n 阶点引起的势。129.〕运算(13)的结果具有下列形式

V = Y r −( n+1) ，

n n

式中Y 是r和n个轴之间的n个夹角余弦μ μ 和每两个轴之间的1 n

n 1 n 2

(n－1)个夹角余弦λ12 等等的函数。

如果我们认为 r 的方向和 n 个轴的方向是由球面上的点来确定的，我们就可以把 Yn 看成在该面上逐点变化的一个量，也就是各轴的 n 个极点和矢量的极点之间的距离的一个函数。因此我们把 Yn 称为 n 阶的“面谐函数”。

1. 〕其次我们必须证明，和每一个 n

   阶面谐函数相对应的，不仅有一个—(n＋1)阶的体谐函数，而且还有一个 n 阶的体谐函数，或者说

H = Y r ⁿ = V r ²ⁿ⁺¹

n n n

是满足拉普拉斯方程的。因为，

dHn

dx

d² H

= (2n + 1) r ²ⁿ⁻¹xV

• r 2 n+1 dVn ，

dx

n = (2n + 1)[(2n − 1)x² + r ² ]r ²ⁿ⁻³V

dx²

n

dV d ²V

+ 2(2n + 1)r ²ⁿ⁻¹x ^m + r ^{2n+1 n} ．

dx dx²

由此即得

d² H d ²H d ²H

n + n + n =

dx dy ² dz²

(2n + 1)(2n + 2)r ²ⁿ⁻¹V

+ 2(2n + 1)r ²ⁿ⁻¹ x dVn

• y dVn

• z dVn 

 dx dy dz 

 d² V d ²V d ²V 

+ r 2 n+1  n + n + n  ．

 dx² dy² dz ² 

现在，既然 Vn 是 x、y、z 的一个负 n＋1 次的齐次函数，就有

x dVn

dx

• y dVn

dy

• z dVn

dz

= −(n + 1)Vn ．

(17)

因此，方程(16)右端的前两项互相抵消，而既然 Vn 满足拉普拉斯方程，第三项就是零，因此 Hn 也满足拉普拉斯方程，从而它就是一个 n 阶的体谐函数。

这是普遍的电反演定理的一个特例，该定理断定，如果 F(x，y，z)是x、y、z 的一个满足拉普拉斯方程的函数，则存在另一个函数

a  a² x F

r  r ²

a ²y

，

r 2

a ²z

， ，

r 2

也满足拉普拉斯方程。见第 162 节。

130b.〕面谐函数 Yn 有 2n 个任意变数，因为它是由它在球面上的 n 个极点的位置来确定的，而每一个极点则是由两个座标来确定的。

由此可见，Vn 和 Hn 也都包含 2n 个任意变数。然而，这些量中的每一

个量当乘以一个常数时都将满足拉普拉斯方程。

为了证明 AHn 是可以满足拉普拉斯方程的最普遍的 n 次齐次有理函数，

我们注意到普遍的n次齐次有理函数K共包含 1 (n + 1)(n + 2)项。但是∇² K

2

是一个n－2次的齐次函数，从而共包含 1 n(n－1)项，而∇² K＝0这个条

2

条件就要求其中每一项必须等于零。因此，在满足拉普拉斯方程的 n 次齐

次函数的最普遍形式中，在函数K的1 (n＋1)(n＋2)项的各系数之间就

2

存在1 n(n－1)个方程，还剩下2n＋1个独立常数。但是，当H

2 n

被乘以一

个常数时，它就满足所要求的条件并有 2n＋1 个任意常数。因此它就是最普遍的形式。

1. 〕现在我们能够构成一种势的分布，使它本身及其一阶导数在任一点上都不变为无限大了。

函数 Vn ＝Ynrn 满足在无限远处为零的条件，但却在原点上变为无限大。

函数 Hn＝Ynrn 在离原点为有限距离处是有限的和连续的，但在无限远

处不为零。

但是，如果我们令 anYnr-(n+1)等于以原点为心以α为半径的一个球的外面各点上的势，而令 a-(n+1)Ynrn 等于球内各点上的势，并且假设在球的本身上分布着一种电的面密度，使得

4πσa2＝(2n＋1)Yn，(18)

则关于由一个如此带电的球壳所引起的势的一切条件都将得到满足。

因此，势在到处都是有限的和连续的，而且在无限远处为零；它的一阶导数除了在带电球面上以外到处都有限而连续，在球面上则满足

dV + dV′ + 4πσ = 0，

dv dv′

而且拉普拉斯方程在球面各点和球外各点都是得到满足的。

因此，这确实是满足条件的一种势分布，而由第 100c 节可知，它就是能够满足这些条件的唯一的分布。

131b.〕半径为 a 而面密度由方程

4πα2σ＝(2n＋1)Yn，(20)

给出的一个球所引起的势，在球外各点和对应的 n 阶奇点所引起的势相等同。

现在让我们假设，在球外，有一个我们可称之为 E 的带电体系，而Ψ 是这个体系所引起的势，让我们来针对奇点求出Σ(Φe)的值。这就是依赖于外部体系对奇点的作用的那一部分电能。

如果 A0 是一个零阶奇点的电荷，则所谈的势能是

W0＝A0Ψ(21)

如果存在两个这样的奇点，一个负点位于原点而一个数值相等的正点位于轴 h1 的端点上，则势能将是

 dΨ 1 ₂ d ²Ψ 

− A 0 Ψ + A 0 Ψ + h1 dh + 2 h1 dh 2 + ，

 ₁ 1 

而且，当 A0 无限增大而 h1 无限减小但保持 A0h1＝A1 时，一阶点的势能值就将是

W = A dΨ ． (22)

1 1 dh

同理，对于一个 n 阶点，势能将是

1 d ⁿΨ

Wn = 1.2 n An dh dh

131c.〕如果我们假设外部体系的电荷是由一些部分构成的，其中任一部分用 dE 来代表，而 n 阶奇点的电荷则是由一些部分 de 构成的，那就有

Ψ = ( 1 dE)． (24)

r

但是，如果 Vn 是由奇点引起的势，就有

① 以后我们将发现，用 n！来代表各整数的连乘积 1.2.3…n是方便的。

V =  1 de ，

n ∑ r 

从而由 E 对 e 的作用所引起的势能就是

W = (Ψde) =  1 dEde = ( V dE)，(26)

n ∑ ∑∑ r  ∑ n

最后一个表示式就是由 e 对 E 的作用所引起的势能。

同理，如果σds 是球壳的一个面积元上的电荷，则由于球壳在外部体系 E 上引起的势是 Vn，我们应有

W = ( V de) =  1 dEσ  =

(Vσds)，(27)

n ∑ n

∑∑  r

ds ∑

最后一个表示式包括一个在球的表面上计算的和式。把它和 Wn 的第一个表示式相等起来，我们就有

∫ ∫Ψσds = ∑(Ψde)

= 1 dⁿΨ

n! A n dh dh

． (28)

如果我们记得4πσα ² = (2n + 1)Y 和A = αⁿ ，此式就变为

∫ ∫Ψ

Y ds = 4π a

ⁿ n!(2n + 1)

n+ 2

d ⁿ Ψ

dh1 dhn

． (29)

这个方程把按半径为 a 的球上各面积元来计算ΨYnds 的面积分的过程，简化成了对谐函数的 n 个轴求Ψ的导数并在球心上取微分系数的值的过程，如果Ψ在球内各点满足拉普拉斯方程而 Yn 是一个 n 阶的面谐函数的话。

1. 〕现在让我们假设Ψ是一个正 m 阶的体谐函数，其形式是

Ψ＝a-mYmrm (30)

在球面上，r＝a 而Ψ＝Yn，从而方程(29)在这一事例中变为

∫ ∫YmYn ds =

4π

n!(2n + 1)

a n −m+ 2

d ⁿΨ(Y r^m )

dh dh

，(29)

1 n

式中微分系数的值应在球心上取。

当 n 小于 m 时，求导数的结果是 x、y、z 的一个 m－n 次的齐次式，它在球心上的值是零。如果 n 等于 m，求导数的结果就是一个常数，它的值我们将在第 134 节中加以确定。如果进一步求导数，结果就是零。由

此可见，只要m和n不相等，面积分∫ ∫YmYn ds就等于零。

我们用来得到这一结果的那些步骤，全都是纯数学性的，因为，尽管我们利用了电能之类的具有物理意义的术语，但是每一个这种术语却不是被看成一个有待研究的物理现象，而是被看成一个确定的数学表示式，一个数学家同样有权应用这些术语，正加他有权应用他可能觉得有用的任何别的数学函数一样，而当一个物理学家必须进行数学计算时，如果各计算步骤可以有一种物理诠释，他就会理解得更加清楚。

1. 〕现在我们将确定面谐函数 Yn 作为球面上一点 P 相对于该函数之n

   个极点的位置的函数形式。我们有

Y = 1，Y = μ ，Y

= 3 μ μ

− 1 λ ， 

0 1 1 2

2 1 2

2 12  (32)

等等。

Y3 =

5

2 μ1μ 2 μ 3 −

1 

2 (μ1λ 23 + μ 2 λ31 + μ 3λ12 ，

因此，Yn 的每一项都包括一些余弦的乘积，其中带有一个下标的μ是P 和不同极点之间的夹角余弦，而带有两个下标的λ则是极点之间的夹角余弦。

既然每一个轴都是通过 n 次微分中的一次而被引入的，该轴的符号就必然在每一项的余弦下标中出现一次，而且只出现一次。

因此，如果任一项中包含 s 个具有双下标的余弦，那就必然包含 n— 2s 个具有单下标的余弦。

设把一切包含着 s 个具有双下标的余弦的乘积之和简写为

∑(μn− 2s λσ )．

在每一个乘积中，所有的下标都出现一次，而且没有任何下标会重复出现。

如果我们愿意表明一个特定的下标 m 只出现在μ中或只出现在λ中， 我们就把它作为一个下标写在μ旁或λ旁。例如，方程

Σ(μ^n-2sλ^s) = Σ(μ^n−2sλ^s ) + Σ(μ^n−2sλ^s )

(33)

m m

就表示，整套的乘积可以分成两部分；在其中一部分中；下标 m 出现在变动点 P 的方向余弦中，而在另一部分中 m 则出现在各极点之间的夹角余弦中。

现在让我们假设，对于一个特定的 n 值，有

Y = A

Σ(μⁿ ) + A

Σ(μⁿ⁻²λ¹) + + A

Σ(μ^n−2sλ^s ) +

，(34)

n n.0

n.1

n.s

式中的各个 A 是一些常数。我们可以把级数简写成

Y = S[A Σ(μ^n−2sλ^s )]， (35)

n n.s

式中的 S 表明一个连加式，在连加时所取的是包括零在内的一切大于

1 的s值。

2

为了得出负 n 阶的和 n 阶的对应体谐函数，我们用 r-(n+1 去乘，并得

到

V = S[A r ^2s−2n−1Σ(p ^n−2sλ^s )]， (36)

n n.s

此处正如在方程(3)中一样，曾令 rμ＝p。

如果把 Vn 对一个新轴 hm 求导数，我们就得到－(n－1)Vn+1，从而就有

(n + 1)Vn+1

= S[A

n.s

(2n + 1 − 2s)r ^2s−2n−3Σ(p

n− 2s+1λs )，

− A r 2 s−2 n−1 Σ(p

n− 2s−1λs+1 )]

(37)

如果想求得包含 s 个具有双下标的余弦的各项，我们必须在最后一项中令 s 减小 1，于是就得到

(n + 1)Vn+1

= S[r 2 s− 2 n− 3 {A

_n.s (2n − 2s + 1)Σ(p m

n− 2s+1λs )，

• An.s−1

Σ(p

n−2 s+1 s

1. m

)}]． (38)

现在，两类乘积在别的方面并无区别，只不过下标 m 在一类乘积中出现在 p 中而在另一类乘积中出现在λ中。因此他们的系数必然相同，而既然应该能够通过在 Vn 的表示式中把 n 换成n＋1 并乘以n＋1 来得到相同的结果，我们就得到下列的方程

(n + 1)An +1· s = (2n - 2s + 1)A n· s = -A n· s− 1 ．

如果我们令 s＝0，就得到

(39)

(n + 1)An +1· s = (2n + 1)An ·0

因此，既然 A1.0＝1，就有

(40)

n· 0

= 2n! ；

2 ⁿ (n!) ²

(41)

而我们由此就得系数的普遍值

n· s

= ( −1) ^s

(2n − 2s)! 2^n−s n!( n − s)

(42)

而最后就得到面谐函数的三角函数表示式

Y = S[(−1)^s

(2n − 2s)! 2 ^n−s n!(n − s)

Σ(μ^n−2sλ^s )] ■①(43)

这一表示式借助于 P 点到不同极点的距离的余弦以及各极点彼此之间的距离的余弦来给出了球面的任一点 P 上的面谐函数的值。

很容易看出，如果其中任何一个极点被移到球面上正对面的那个点， 谐函数的值就会变号。因为涉及这个极点的下标的任何一个余弦都会变号，而在谐函数的每一项中，极点的下标都出现一次并只出现一次。

因此，如果两个或任何偶数个极点被移到正对面的点上，函数的值就并不改变。

西耳外斯特教授曾经证明(Phil.Mag.，Oct.1876)，当面谐函数已经给定时，寻求和各轴相重合的直线的问题有一个解并只有一个解，尽管正如我们所看到的那样，沿着这些轴所取的正向各自可以有两种选择。

134.〕现在我们能够确定当两个面谐函数的阶次相同时面积分∫ ∫ Ym

Ynds 的值了，尽管二函数各轴的方向通常是不同的。

为此目的，我们必须写出体谐函数 Ymrm 并对 Yn 的 n 个轴中的每一个轴求导数。

Y r^m 的任一形如r ^mμ^m−2sλ^s 的项都可以写成r ^2sp^m−sλ⁵ 。把此式对Y

m m mn n

的 n 个轴逐次求导数，我们就发现，当其中 s 个轴求 r2s 的导数时，我们就会引入 s 个 Pm 和一个数字因子

2s(2s－2)⋯2，或者说是 2ss！.

当继续对其次的 s 个轴线求导数时，各个 pm 就变成λm，但是没有数字因子被引入；当对其余的 n－2s 个轴求导数时，各个 pm 就变成各个λmn，

从而结果就是2 ^ss！λ^s

s m−2s

mm mn

因此，我们由方程(31)就得到

① {我们由此可以推出

∫ ∫YmYn ds =

4π n!(2n + 1)

αn −m+ 2

d ^m (Y r ^m ) dh dh

， (44)

1 n

而由方程(43)就有

Y r^m = 

_s (2m − 2s)!

2s m− 2s s 

_m S(−1)



2 ^m−s m!(m − s)! Σ( r pm

λmm ．(45)



于是，完成微分计算并记得 m＝n，我们就得到

∫ ∫Y Y ds =

4πα ²

(2n + 1)( n!)²

S(−1) ^s



(2n − 2s)!s! 2^n−2s(n − s)!

Σ(λ^s

s n− 2s

nn mn



(45)



135a.〕如果我们假设其中一个面谐函数 Ym 的所有各轴都互相重合， 从而 Ym 变成我们以后将定义的 m 阶带谐函数，用符号 Pm 来代表，则两个面谐函数之积的面积分表示式(46)将采取一种引人注意的形式。

在这一事例中，所有形如λnm 的余弦都可以写成μn，此处μn 代表 Pm

的公共轴和 Yn 的一个轴之间的夹角的余弦。形如λmm 的余弦将变成等于 1， 因此我们必须把Σλsmm 代成 s 个符号的组合数，其中每一符号都由 n 个下标中的两个下标来互相区别，任何下标都不重复出现。于是就得到

_s n!

^mm 2 ^ss!(n − 2s)!

(47)

Pm 各轴的其余 n－2s 个下标的排列数是(n－2s)！于是就有

Σ(λ^n−2s) = (n − 2s)!μ^n−2s ． (48)

因此，当 Ym 的所有各轴互相重合时，方程(46)就变成

4πα ²  (2n − 2s)! 

∫ ∫Y Pmds =

S(−1)^s Σ(μ^n−2sλ^s (49)

n (2n + 1)(n!)  2 ^n−s(n − s)! 

= 4πα ²

2n + 1 Yn ( m) ，据方程(43)，

式中 Yn(m)表示 Yn 在极点 Pm 上的值。

(50)

我们可以按下列较短的手续得出相同的结果。

设取一个直角座标系，使 z 轴和 Pm 的轴相重合，并把 Ynrn 展成 x、y、z 的 n 次齐次函数。

在极点 Pm 上，x＝y＝0 而 z＝r，从而如果 Czn 是不包括 x 和 y 的项，

则 C 是 Yn 在极点 Pm 上的值。

在这一事例中，方程(31)变成

4πα² 1 d ^m _n

∫ ∫Yn Pmds = 2n + 1 n!· dzm (Yn r )．

当 m 等于 n 时，求 Czn 的导数的结果是 n！C，而其他各项的导数为零。于是就有

列，就可以看到这一点。下标有 s 组，每组两个。通过改变各组的次序，我们得到 s！种排列，而通过交换组内的数字，又可以从每一种排列得 2s 种排列，因此由每 s 组下标可得 2ss！种排列。于是， 如果 N 是级数

4πα ²

Yn Pmds = 2n + C，

1

C 是 Yn 在极点 Pm 上的值。

135b.〕这一结果是球谐函数理论中一种很重要的结果，因为它表明了怎样确定表示着一个量的值的一系列球谐函数，那个量在一个球面的每一点上具有任意指定的有限而连续的值。

因为，设 F 是那个量的值，而 ds 是球面上一点 Q 处的面积元，于是， 如果我们把 Fds 乘以极点为同一球面上P 点的那个带谐函数Pn 并在球面上求积分，则结果可以看成 P 点位置的一个函数，因为它是依赖于 P 点的位置的。

但是，因为以 Q 点为极点的带谐函数在 P 点上的值等于以 P 点为极点的带谐函数在 Q 点上的值，所以我们可以假设，对于每一个面积元，都能构造一个以 Q 点为极点而以 Fds 为其系数的带谐函数。

于是我们就可以有一套互相叠加的带谐函数，他们的极点位于球面上F 有值的每一点上。既然其中每一个都是一个 n 阶面谐函数的倍数，他们的和式也是一个球谐（不一定是带谐）函数的倍数。

因此，看成P点的函数的面积分∫ ∫ FPn ds就是一个面谐函数Yn 的倍

数，于是

2n + 1

4πα ²

Fln ds

也就是属于用来表示 F 的那一系列面谐函数的那个特定的 n 阶面谐函数，如果 F 可以这样被表示的话。

因为，如果 F 可以表示成

F＝A0Y0＋A1Y1＋⋯＋AnYm＋⋯

那么，如果我们乘上 Pnds 并在整个球面上求面积分，则所有包括不同阶次的谐函数之积的各项都将为零，只剩下

4πα²

FPn ds = 2n + 1 A n Yn ．

由此可见，F 的唯一可能的球谐函数表示式就是

1

F＝ 4πα ²

[∫ ∫ FP0 ds＋ ＋(2n＋1)∫ ∫ FPnds＋ ]

(51)

共轭谐函数

136.〕我们已经看到，阶次不同的两个谐函数之积的面积分永远是零。但是，即使两个谐函数是阶次相同的，他们的乘积的面积分也可以是零。这时两个谐函数就被说成是互相共轭的。两个同阶谐函数互相共轭的条件，通过在方程(46)中令各项为零来表示。

如果其中一个是带谐函数，则共轭条件是另一个谐函数在带谐函数的极点上的值必须为零。

如果我们从一个给定的 n 阶谐函数开始，则为了使第二个谐函数可以和它共轭，那个谐函数的 2n 个变数必须满足一个条件式。

如果第三个谐函数应该和这两个谐函数都共轭，它的 2n 个变数就必须

满足两个条件式。如果我们继续构造一些谐函数，使每一个都和以前的谐函数的共轭，则每个谐函数所满足的条件式的数目将等于已经存在的谐函数的数目，因此，第(2n＋1)个谐函数就将通过 2n 个变数来满足 2n 个条件式，从而就将是完全确定的。一个 n 阶面谐函数的任何倍数 AYn，可以表示成任何一组 2n＋1 个同阶谐函数的倍数之和，因为 2n＋1 个共轭谐函数的系数，是其数目等于 Yn 的 2n 个系数和 A 的一组可以选择的量。

为了求出任一共轭谐函数例如Y^σ 的系数，可以假设

AY ＝A Y^σ ＋ ＋A Y^σ ＋

n 0 n σ n

乘以Y^σds并在球上求面积分，所有包括相互共轭的谐函数之积的项都将

为零，只剩下

A∫ ∫

Y Y^σds = A

σ ∫ ∫

(Y^σ )² ds，

(52)

这是一个确定着 Aσ的方程。

由此可见，如果我假设一组 2n＋1 个共轭谐函数已经给定，则每一个别的 n 阶谐函数都可以用他们表示出来，而且只有一种表示方式。

1. 〕我们已经看到，如果一组完备的 2n＋1 个全都互相共轭的 n 阶谐涵数已经给定，则任一个其他的同阶谐函数可以用这些谐函数表示出来。在这样 2n＋1 个谐函数的组中，共有 2n(2n＋1)个变数由 n(2n＋1)个方程联系着，因此就有 n(2n＋1)个变数可以认为是任意的。

我们可以就像汤姆孙和泰特所建议的那样把一组函数选作共轭谐函数组；在这组函数中，每一个谐函数的 n 个极点都是这样分布的：有 j 个极点和 x 轴的极点相重合，k 个极点和 y 轴的极点相重合，而 l(＝n－j－k) 个极点和ｚ轴的极点相重合。于是，当 n＋1 个 l＝0 的分布和 n 个 l＝1 的分布已经给定时，所有别的谐函数就都可以用这些谐函数表示出来。

实际上被一切数学家（包括汤姆孙和泰特）所采用了的是那样一个函数组，即其中有 n－σ个极点被放得和可以叫做“球的正极”的一个点相重合，其余的σ个极点当σ为奇数时等距地被放在赤道上，而当σ为偶数时则等距地被在赤道的一半上。

在这一事例中，μ1、μ2⋯μσ中的每一个都等于 cosθ，我们将用μ 来代表它。如果我们也用 v 来代表 sinθ，则μn-σ+1⋯μn 具有 vcos(φ－ β)的形式，此处β是其中一个极点在赤道上的方位角。

另外，如果 p 和 q 都小于σ，则λpq 的值也是 1；如果 p 和 q 中有一

个大于σ而另一个小于σ，则λpq 为零；当 p 和 q 都大于σ时，λpq 的值是 cossπ/a，此处 s 是一个小于σ的整数。

1. 〕当所有的极点都和球的极点相重合时，σ＝0，而函数就叫做一

个带谐函数。由于带谐函数是有很大重要性的，我们将给它保留一个符号， 即 Pn。

我们可以由三角函数表示式(43)或是更直接地通过求导数来得出带谐函数的值，于是就有

n r n+1

d ⁿ  1

Pn ＝(－1)

n! dz ⁿ  r  ，

(53)

P ＝1.3.5 (2n − 1)  _n

n(n − 1)

n− 2

ⁿ 1.2.3 n

μ − μ

 2.(2n − 1)

+ n(n − 1)(n − 2)(n − 3) μn− 4 − ，

2.4.(2n − 1)(2n − 3)

= Σ −1) ^p



(2n − 2p)! μ

2 ⁿ p!(n − p)(n − 2p)!

n− 2 p ， (54)



式中p必须取从零到不超过1 n的最大整数的每一个整数值。

2

有时把 Pn 表示成 cosθ和 sinθ或我们所写的μ和 v 的齐次函数是方便的，这时

P ＝μn − n(n − 1) μn− 2 v2 + n(n − 1)(n − 2)( n − 3) μn− 4 v 4 − ，

n

= Σ

2.2

_p n!

n− 2 p

2.2.4.4

2 p 

(−1)



2^2p (p!) ² (n − 2p)! μ

v .



(55)

在有关这一课题的数学著作中已经证明，Pn(μ)就是

- 1

(1－2μh＋h² ) 2

的展式中hⁿ 项的系数｛而且也等于 1

d (μ ² − 1) ⁿ ｝。

带谐函数平方的面积分是

2 2

2ⁿ n! dμⁿ

+1 2 4πα ²

由此即得

∫ ∫ (Pn )

ds = 2πa

∫− 1 (Pn (μ))

dμ =

2n + 1

(56)

+1 2 2

∫−1 (Pn (μ))

dμ =

2n + 1

(57)

139.〕如果我们把一个带谐函数简单地看成μ的函数而并不和球面进行任何的联系，它就可以被称为一个勒让德系数。

如果我们把带谐函数看成存在于一个球面上，球面上的各点用座标θ 和φ来确定，并假设带谐函数的极点位于一点(θ′，φ′)上，则带谐函数在(θ，φ)点上的值将是四个角θ′、φ′、θ、φ的函数，而因为它是(θ，φ)和(θ′，φ′)之间的连接弧的余弦μ的函数，如果将θ和θ

′互换并把φ和φ′互换，它的值就不会改变。这样表示的带谐函数曾被称为“勒让德系数”。汤姆孙和泰特称之为“双轴谐函数”。

任何 x、y、ｚ的能够满足拉普拉斯方程的齐次函数可以叫做一个“体谐函数”，而一个体谐函数在一个以原点为心的球面上的值就可以叫做一个“面谐函数”。在本书中，我们曾借助于一个面谐函数的 n 个极点来定义它，从而它只有 2n 个变数。具有 2n＋1 个变数的更广义的面谐函数就是更狭义的面谐函数乘以一个任意常数。当用θ和φ表示出来时，更普遍的面谐函数叫做“拉普拉斯系数”。

140a.〕为了得到对称体系的其他谐函数，我们必须对σ个轴求导数，

各该轴位于 xy 平面上，彼此之间的夹角等于π/a。这可以最方便地借助于在汤姆孙和泰特的《自然哲学》第一卷第 148 页｛或第二版的第 185 页｝ 上定义了的虚数座标来作到。

如果我们写出ζ＝x＋iy，η＝x－iy，式中i表示 − 1，如果一个

轴和 x 轴成 a 的角，则当σ为奇数时，对σ个轴求导数的运算可以写成

 _in d

− in

d 

i  α+ 2 π d

−i  α+ 2 π

d   

i α+ 4π  d

−i  α+ 4 π

d 

e dζ + e

e 

dη

σ    + e 

dζ

σ      e 

dη

σ    + e 

dζ

σ    

dη

此式等于

 d^σ

d^σ 

 d^σ

d^σ 

cosσα dζσ + dησ ＋sinσα.i dζσ + dηs 

(58)

   

如果σ是偶数，我们就能证明求导数的运算可以写成

σ +2 

 d ^σ

d ^σ 

 d^σ

d ^σ  

(-1) ²

cosσα.i σ −

σ  − sinσα σ +



 (58)



于是，如果

 dζ

dη 

 dζ

dη^s  

 d^σ

d^σ 

(α)

 d^σ

d^σ 

( σ )

i σ −

σ  = D s ， σ +

s  = D c ， (58)

 dζ

dη 

 dζ

dη 

我们就可以利用 Ds(σ)、Dc(σ)来把对σ个轴求导数的运算表示出来。这些当然是实数运算，从而是可以不用虚数符号来表示的，例如

σ −1 ( σ)

d σ−1 d

σ(σ − 1)(σ − 2)

d σ −3 d 3

2 Ds = σ dxσ −1 dy −

1.2.3

+

dxσ− 3 dy2

(60)

σ −1 ( σ)

d ^σ σ(σ − 1)

dσ −2 d 2

2 Dc = σ dx σ −

1.2.

dxσ− 2

+

dy²

(60)

σ −1 ( σ)

d ^σ σ(σ − 1)

d σ− 2 d2

2

我们也将写出

Dc = dxσ −

1.2

dxσ −2

+

dy²

d n −σ

( σ ) ( σ )

d n −σ

( σ) (σ )

dzn−σ Ds = Ds，和 dxn−σ Dc = Dc；(62)

( σ ) ( σ)

于是Ds和Dc就代表对n个轴求导数的运算，其中n－σ个轴和ｚ轴相重

n n

合，而其余的σ个轴则在 xy 平面上互成相等的角，这里当 y 轴和其中一个

( σ ) ( σ )

轴相重合时用Ds，而当y轴平分二轴之间的夹角时用Dc。

n n

两个σ型的 n 个阶田谐函数现在可以写成

( σ)

n 1 n +1

( σ) 1

Y s = (−1)

n

r D s

n! n

，(63)

r

( σ)

n 1 n +1

( σ) 1

Y c = (−1)

n

r D c

n! n

r ． (64)

写出μ＝cosθ，v＝sinθ，ρ2＝x2＋y2，r2＝ζη＋ｚ2，从而 ｚ＝ μr，ρ＝vr，x＝cosφ，y＝sinφ，

我们就有

( σ ) 1

D s

r

= (−1) ^σ

(2σ)! i(η 2^2σ σ!

σ − ζσ

) 1 ，(65)

r 2σ +1

( σ ) 1

D c

r

在这里我们可以写出

= (−1) ^σ

(2σ)! i(ζ 2^2σ σ!

σ + ησ

) 1 ，(66)

r 2σ +1

i (η ^σ －ζ ^σ )＝ρ ^σ sinσφ， 1 (ζ ^σ ＋η ^σ )＝ρ ^σ cosσφ(67)

2 2

我们现在只须对ｚ求导数了，这一点我们可作得或是得出含 r 和ｚ的结果，或是得出作为ｚ和ρ除以 r 的某次幂的一个齐次函数的结果

dn−σ

1 = (−1)

_n−σ (2n)! 2^σ σ! 2

dzn− σ

r 2 σ+1

2ⁿ n! (2σ)! r ²ⁿ⁺¹

×zn−σ − (n − σ)(n − σ − 1) zn −σ −2 r 2 +

 ，(68)





d n−σ

2(2n − 1) 

1 _n−σ (n + σ)! 1

或dzn −σ

r 2σ+1

= (−1)

(2σ)!

r 2 n+1 ×

 n−σ

z



− ( n − σ)(n − σ − 1 4(σ + 1)

zn −σ −2 ρ2 + 



(69)

如果我们写出

σ = vσ 

n 

_n−σ − (n − σ)(n − σ − 1) μn−σ− 2

2(2n − 1)

+ (n − σ)( n − σ − 1)( n − σ − 2)(n − σ − 3) μn−σ −4 − ，(70)

2.4(2n − 1)(2n − 3) 

( σ) n

= v^σ 



_n−σ − ( n − σ)(n − σ − 1) μn −σ −2 v2

4(σ + 1)

+ (n − σ)(n − σ − 1)( n − σ − 2)(n − σ − 3) μn−σ− 4 y 4 − ，(71)

就有Θ^(σ) =

4.8(σ + 1)(σ + 2)

2^n−σ !( n + σ)!

ϑ( σ ) ，





(72)

ⁿ (2n)!σ! ⁿ

从而这两个函数只差一个常数因子。

现在我们可以利用Θ和ϑ来写出两个σ型的 n 阶田谐函数表示式了，

( σ)

Y s =

(2n)!

n+σ

( σ) n

2 sinσφ =

( n + σ)!

2σ

( σ) n

2 sinσφ，(73)

n 2 n! n!

2 n!σ!

( σ)

Y s =

(2n)!

n+σ

( σ) n

2 cosσφ =

(n + σ)!

2σ

( σ ) n

2 cos σφ．

n

②(74)

2 n! n!

2 n!σ!

我们必须注意，当σ＝0 时 sinσφ＝0 而 cosσφ＝1。

对于包括从 1 到 n 的每一个σ值，都有一对田谐函数，但是当σ＝0

(0) ( σ)

时却有Y s ＝0而Y c ＝P＝带谐函数。因此，正如应该有的那样，n阶谐

n n

函数的总数就是 2n＋1。

140b.〕本书所采用的 Y 是我们当对 n 个轴求，r-1 的导数并除以 n！ 时所得到的值。它是四个因子的乘积，即σφ的正弦或余弦、vσ、μ（或μ和 v）的一个函数和一个数字系数。第二和第三部分的乘积，也就是依赖于θ的那一部分，曾经利用三种不同的符号表示出来，他们只在数字因子方面有所不同。当把它表示成 vσ和一个μ的降幂级数的乘积时，既然第一项是μn-σ，它就是我们仿照汤姆孙和泰特用Θ来代表的那个函数。

海恩（《球谐函数手册》，§47）用P^{(n) 来代表的那个函数，被称“eine zugeordnete Function erster Art”，按照陶德洪特的翻译，即}“第一类缔合函数”，它是通过下列方程来和Θ相联系的：

σ

Θ^(σ) ＝(－1) ² P ⁽ⁿ⁾ . (75)

n σ

从μ ^n−σ 开始的μ的降幂级数，曾被海恩表示成■^{( n) 而被陶德洪特写}

成ω(σ，n)。

这个级数也可以写成另外两种形式

( n)

(n − σ)!

dn+σ 2 n

• σ = ω(σ，n) =

= 2 ⁿ (n − σ)! n!

(2n)!

dσ

(μ

dμn+σ

− 1)

(2n)!

dμσ Pn ．

(76)

在最后一种形式中，级数是通过对μ求带谐函数的导数而得出的；这

种形式似乎引导弗勒尔斯采用了T^{(σ) 这个符号，他是这样定义它的：}

( σ)

σ dσ

(2n)!

( σ)

Tn = v

dμ^σ Pn

= 2ⁿ (n − σ)! n! Θn

． (77)

当同一个量被表示成μ和v的齐次函数并除以μ ^n−σ v^σ 的系数时，它就是我们已经定义为ϑ^{(σ) 的那个函数。}

140c.〕对称体系的谐函数曾由汤姆孙和泰特按照各函数在其上变为零

的球面曲线的形式来进行分类。

带谐函数在球面上任一点的值是极距离的余弦的函数；如果令它等于零，就得到一个 n 次方程，该方程的所有各根都介于－1 和＋1 之间，从而就对应于球面纬线的 n 条平行线。

由这些平行线划分而成的环带交替地为正或为负，球极周围的圆永远为正。

因此带谐函数就适于用来表示一个函数，该函数在球面纬线的某些平行线上或在空间的某些圆锥面上变为零。

对称体系的其他谐函数是成对出现的，一个函数包括σφ的余弦，而另一个则包括其正弦。因此他们在球面的σ条子午线上和 n－σ条纬线平行线上变为零，于是球面变被划分成 2σ(n－σ－1)个正四边形或田字格，另外还有极点处的 4σ个三角形。因此，在关于球面上由经纬线分成的正四边形或田字格的研究中，这些函数是有用的。

他们全都称为田谐函数，只有最后一对除外。最后一对函数只在 n 条子午线上为零，这些子午线把球面分成 2n 瓣。因此这一对函为数称为“瓣谐函数”。

141.〕其次我们必须求出任何田谐函数的平方在球面上的面积分，我们可以用第 134 节中的方法来作到这一点。我们通过用 rn 来乘面谐函数 Y Y^{(σ) 而把它化成一个体谐函数，把这一体谐函数对它自己的n个轴求导数}

4πα²

然后取x＝y＝z＝0，并且将结果乘以 。

n!(2n + 1)

按照我们的符号，这些运算由下式来表示：

(σ ) 2

4πα ²

( σ)

n ( σ )

∫ ∫ (Yn

) ds = n!(2n + 1) Dn

(r Yn )

(78)

把体谐函数写成 z 和ξ及η的齐次函数的形式，即

( σ)

n

(n + σ)! _{σ a}

r Y s

n

= 22 σ

n!σ!

i(η

- ζ ) ×

 n-σ

z



− (n − σ)( n − σ − 1) 4(σ + 1)

z n−σ− 2

ζη + 



(79)

我们发现，当对 z 求导数时，除了第一项以外所有的项都不复存在， 而且还引入一个因子(n－σ)的！。

逐次对ξ和η求导数，我们就也将消除这些变数并引入一个因子－zi σ！，因此最后的结果就是

(σ )

2

8πα ² (n + σ)!( n − σ)!

∫ ∫ (Y s )

ds = 2n + 1 2^2σ n! n!

(80)

我们将用符号[n，σ]来代表这一方程的右端。这一表示式对于包括 1 到 n 的一切σ值都是对的，但是却不存在和σ＝0 相对应的包含 sinσφ的谐函数。

同理我们可以证明

(σ )

2

8πα ² (n + σ)!( n − σ)!

∫ ∫ (Y c )

ds = 2n + 1 2^2σ n! n!

(81)

对包括从 1 到 n 的σ值都成立。

当σ＝0 时，谐函数变成带谐函数，从而

( 0)

∫ ∫ (Y c )

2 ds = ∫ ∫ (Pn ) ²

4πα ²

ds = ；

2n + 1

(82)

这个结果可以通过在方程(50)中令Yn＝Pn 并记得带谐函数在其极点上的值是 1 来直接得出。

142a.〕现在我们可以应用第 136 节的方法来确定球面一点位置的任意

一个函数的展式中任一给定田谐面函数的导数。因为，设 F 是任意函数，

并设A ^σ 是这一函数的对称组面谐函数展式中Y^{(σ) 的系数，那就有}

FY( σ ) ds = A( σ)

(Y^(σ) ) ² ds = A^(σ)[n,σ]，

(82)

∫ ∫ n n ∫ ∫ n n

式中[n，σ]是在方程(80)中给出的那个面积分的值的简写。

142b.〕设Ψ是一个任意函数，满足拉普拉斯方程，并在离一点 O 为 a 的一段距离之内没有奇值，而这个 O 点就可以取作座标原点。把这样一个函数展成以 O 为原点的一些正阶的体谐函数的级数永远是可能的。

这样作的一个办法就是以 O 为心画一个球，其半径小于 a，然后把球面上的势的值展成面谐函数的级数。把每一个这种谐函数乘以幂次等于面

谐函数之阶次的 r/a 的乘幂，我们就得到一些体谐函数，而所给的函数就是这些体谐函数之和。

但是，一个更方便的而且不涉及积分计算的方法就是对各个对称组谐函数的各轴求导数。

例如，让我们假设在Ψ的展式中有一项的形式是Ac^{(σ) Yc(σ) r n} 。

n n

如果我们对Ψ并对它的展式进行下一运算

dn−σ

 d^σ

d^σ 

dzn− σ 

_σ + dη 

( σ)

并在求导数以后令x、y、z等于零，则除了包含Ac的一项以外展式中的

n

中的所有各项都为零。

借助于对各实轴求导数的算符来把作用在Ψ上的算符表示出来，我们就得到

d n−σ

 d ^σ

− σ(σ − 1)

d σ −2 d + Ψ

dzn− σ dx σ

1.2

dxσ− 2

dy² 

= ( σ) (n + σ)!( n − σ)

Ac σ ，

n 2 n!

(84)

由此方程，我们就可以借助于Ψ在原点上的对 x、y、z 的各个微分系数来

确定级数中任一谐函数的系数。

143.〕由方程(50)可见，永远可能把一个谐函数表示成极点分布在球面上的一系列同阶带谐函数之和。然而，这一函数组的简化却似乎大非易易，然而，为了直观地显示球谐函数的一些特点，我曾经计算了第三阶和第四阶的带谐函数，并且按照已经描述过的函数相加的方法来针对一些谐函数画出了球面上的等势线，各该函数就是两个带谐函数之和。见本卷末尾的图六到图九。

图六表示两个三阶带谐函数之差，该二函数的轴在纸面上成 120°之角，而这个差就是σ＝1 的第二种类型的谐函数，其轴垂直于纸面。

在图七中，谐函数仍是三阶的，但它却是轴线互成 90°角的两个带谐函数之和，而所得结果并不是任何类型的对称体系。节线之一是一个大圆， 但是和大圆相交的另外两条节线却不是圆。图八代表轴线互成直角的两个四阶带谐函数之差。结果是 n＝4、σ＝2 的一个田谐函数。

图九代表同样两个带谐函数之和。结果可以提供有关一种更普遍的四阶谐函数的一些概念。在这种类型中，球面上的节线包括互不相交的六条卵形线。谐函数在卵形线内部为正，而在位于卵形线外的那一部分六连通的球面上则为负。

所有这些图都是球面的正交投影。

我也在图五中画了一个经过球轴的平面截面，以显示按照一阶球函数的值而带电的一个球面所引起的等势面和力线。

在球内，等势面是一些等距的平面，而力线是一些平行于轴线的直线， 各直线到轴线的距离是自然数的平方根。球外那些线可以看成将能代表由地球的磁性所引起的情况，假如磁性是按最简单的型式分布的话。

144a.〕现在我们能够确定受到势已给定的电力作用的一个球形导体上的电分布了。

按照已经给出的方法，我们把所给电力的势Ψ展成原点在球心上的一些正阶次的体谐函数的级数。

设 AnrnYn 是其中一个体谐函数，则由于势在导体球内部是均匀的，就必有起源于球面上电分布的一项－AnrnYn，于是，在 4πσ的展式中必有一项

4πσ＝(2n＋1)an－1AnYn

用这种办法，我们就能确定面密度展式中除了零阶以外的一切阶次的谐函数的系数。和零阶相对应的系数依赖于的电荷 e，并由 4πσ0＝a-2e 来给出。

球的势是

e V＝Ψ 0 ＋ a 。

144b.〕其次让我们假设，球位于一些接地的导体附近，而格林函数 G 已经针对球所在的域中任何两点的座标 x、y、z 和 x′、y′、z′被确定了。

如果球上的面电荷被表示成球谐函数的一个级数，则由球上的这一电荷在球外引起的电现象，和由全都位于原点上的一系列假想的奇点所引起的电现象相等同；其中第一个奇点是单独一个点，所带的电荷等于球的电荷，而其他的奇点是不同阶的多重点，他们和表示面密度的那些谐函数相对应。

设格林函数用 Gpp′来代表，此处 p 指示座标为 x、y、z 的点而 p′指示座标为 x′、y′、z′的点。

如果有一个电荷 A0 放在 p′点，则当把 x′、y′、z′看成常数时 Gpp

′就变成 x、y、z 的一个函数；而由 A0 在周围物体上感应出来的那些电所引起的势就是

Ψ＝A0Gpp′．(1)

假如电荷 A0 不是放在 p′点而是均匀分布在一个以 p′为心、以 a 为半径的球上，Ψ在球外各点上的值还将是相同的。

如果球上的电荷不是均匀分布的，设它的面密度被表示成球谐函数的

一个级数（因为这永远可能），就有

4πa2σ＝A0＋3A1Y1＋⋯＋(2n＋1)AnYn＋⋯(2) 由这种分布的任何一项例如

4πa2σn＝(2n＋1)AnYn，(3)

所引起的势，对球内的点来说是

Yn 。

r n

a n+1

An Yn

而对球外的点来说是 ^{an A}

r n+1 n

喏，由第 129c 和 129d 节中的方程(13)和(14)可知，后一表示式等于

_n a ⁿ d ⁿ 1

(−1)

A ；

ⁿ n! dh dh r

1 n

或者说，由球上的电荷引起的球外的势，是和由某一个多重点所引起的势相等价的，该多重点的轴是 h1⋯hn 而其矩是 Anan。

由此可见，周围各导体上的电分布以及由这种分布所引起的势，和将由这样一个多重点所引起的电分布及势相同。

因此，周围物体上的感生电在 p 点即(x，y，z)点上引起的势就是

n a n

d ′ⁿ

Ψ n ＝(－1) A n

n! d′h d ′h G 1

(4)

式中 d 上的撇号表示导数是对 x′、y′、z′求的。这些座标在事后应被弄成等于球心的座标。

假设Y 分解成它的2n＋1个对称组分量是方便的。设A (^σ)Y^{(σ) 是其中}

n n n

一个分量，就有

d′h1

d ′ⁿ

d′h n

= D′

( σ)

n． (5)

这里用不着再写上指示出现在谐函数中的是 sinσφ或 cosσφ的角注 s 或 c。

现在我们可以写出由电感生电引起的势Ψ的完备表示式了：

 a ⁿ 

Ψ = A G + ΣΣ (−1) ⁿ A^(σ) D′^(σ) G． (6)

 n! ⁿ 

但是，势在球内是常量，或者说

1  r ⁿ1

( σ ) ( σ ) 

Ψ + A

a 0

+ +ΣΣan1 +1

1 1

n1 n1

＝常量 (7)



现在对这一表示式进行运算D^(σ1 ) ，这里的微分是对x、y、z进行

1

的，而n

和σ 的值独立于n和σ的值。(7) 式中的一切项，除了含Yn^(σ1 )

1

的一项以外都为零，从而我们就得到

− 2 (n1 + σ1 )!( n1 − σ1 )!

1 A( σ1 )

2 ^2σ n !

a n1 +1 n 1

= (σ1 )

 n σ a n

( σ1 ) ( σ ) 

A 0 Dn

G′ + ΣΣ(−1)



An n! Dn

D′n G



(8)

于是我们就得到一组方程，其中每一方程的左端都包含着我们所要确定各系数之一。右端第一项包含 A0，即球的电荷，而且我们把这一项看作主项。

暂时忽略其他各项，我们就作为初级近似而得到

1 2^2σ1 n !

A^(σ1 ) = − ¹ A a ⁿ1 +1D^(σ1 ) G． (9)

n1 2 (n + σ )!( n − σ )! ^{0 n}1

1 1 1 1

如果从球心到周围最近的导体的最短距离用 b 来代表，就有

a n +1 D( σ ) G＜n ! a

n1 +1

．

1 1  

n1 1  b

因此，如果和球的半径 a 相比 b 是很大的，则其他球谐函数的系数比

A0 小得多。因此，方程(8)中第一项后面某一项和第一项之比，将和

 a 2n +n1 +1

 b

有相同的数量级。

因此我们在初级近似下就可以忽略那些项，而在二级近似下则可以把在初级近似下得到的系数值代到这些项中去，依此类推，直到我们达到了所要求的近似程度为止。

近似球形的导体上的电分布

145a.〕设导体表面的方程是

r＝a(1＋F)，(1)

式中 F 是 r 的方向即φ的一个函数，而且是在研究中可以忽略其平方项的一个量。

设 F 被展成面谐函数的级数的形式

F＝f0＋f1Y1＋f2Y2＋⋯＋fnYn。

(2)在这些项中，第一项依赖于平均半径超过 a 的数量。因此，如果我们假设 a 就是平均半径，也就是说，假设 a 近似地是体积等于所给导体的体积的一个球的平径，则系数 f0 将等于零。

第二项，即系数为 f1 的一项，依赖于导体质心离原点的距离（假设导体具有均匀的密度）。因此如果我们取该质心作为原点，则系数 f1 也将等于零。

在开始时，我们将假设导体有一个电荷 A0 而且没有外来的电力作用在

它上面。因此，导体外面的势必将形式如下：

V＝A

1＋A Y′ 1 ＋ ＋A Y′ 1 ＋ ，(3)

0 r 1 1 r 2 n n r n +1

式中各面谐函数并不被假设为和 F 的展式中那些面谐函数属于相同的类型。

在导体的表面上，势就是导体的势，即等于常量 a。

因此，把 r 的乘幂按 a 和 F 展开并略去 F 的二次及更高次项，我们就

有

a＝A 1 (1－F)＋A

0 a

1

1 a 2

Y′1(1－2F) ＋

1

＋A n a n+ 1

Y′ n

(1－(n＋1)F)＋

(4)

既然各系数 A1 等等显然比 A0 小得多，我们在开始时就可以忽略这些系

数和 F 的乘积。

于是，如果我们把 F 换成它的球谐函数展式中的第一项，并使包含同阶谐函数的各项等于零，就得到

a＝A 1 ，

0 a

(5)

A 1Y′1 ＝A 0 af1Y1 ＝0，

(6)

A Y′ ＝A a ⁿ f Y ．

(7)

n n 0 n n

由这些方程可见，各个 Y′必然和各个 Y 属于相同的类型，从而就和他们相等同，从而就有 A1＝0 和 An＝A0anfn。

为了确定表面上任一点的密度，我们近似地有一个方程

4πσ＝－ dV ＝－ dV cos ∈，

dv dr

(8)式中 v 是法线而∈是法线和半径之间的夹角。既然在这一研究中我们假设 F 及其对θ和φ的第一阶微分系数都很小，那就有

4πσ = - dV = A 1 +

+ (n + 1)A Y 1 +

(9)

dr ⁰ r ²

n n r n +2

将 r 的乘幂按 a 和 F 展开并略去 F 和 An 的乘积，我们就得到

4πσ = A 1

0 a 2

(1- 2F) +

+ (n + 1)A

1

1. an+ 2 Yn +

(10)

把 F 按球谐函数展开并令 An 等于已经求得的那些值，我们就得到

4πσ = A 1 [1 + f Y + 2f Y +

0 a 2 2 2 3 3

• ( n − 1)fnYn A n ]

(11)

由此可见，如果表面和一个球面相差一薄层，该层的厚度按照 n 阶球谐函数而变，则任意二点面密度之差和面密度之和的比值，将是该二点处半径之差和半径之和的比值的 n－1 倍。

145b.〕如果近似球形的导体(1)受到外来电力的作用，设由这些力引起的势 U 被展成以导体的体积中心为原点的正阶球谐函数的级数

U = B + B rY ′ + B rY ′ + + B rY ′ + ，(12)

0 1 1 2 2 n n

式中 Y 上的撇号表明这个谐函数不一定和 F 展式中的同阶谐函数属于相同的类型。

假如导体确切地是球形的，由它的面电荷在导体外面一点上引起的势就将是

1 a³ ′



a2 n+ 1 ′

V = A 0 r − B1 r 2 Y1

− − Bn

r n+1 Yn −

(13)

设由面电荷引起的实际势为 V＋W，此处

W = C

1 Y ″ + + C

1 r 2 1

1

m rm+1

Y ″ +

； (14)

带着双撇的谐函数和出现在 F 或 U 中的不相同，而且各系数 C 很小，因为F 很小。

必须满足的条件是，当 r＝a(1＋F)时，

即等于导体的势。

U＋V＋W＝常量＝A

1＋B ，

0 a 0

把 r 的乘幂按 a 和 F 展开，当和 A 或 B 相乘时保留 F 的一次项，但忽略它和小量 C 的乘积，我们就得到

F− A 1 + 3B aY ′ + 5B a ²Y ′ + + (2n + 1)B a ⁿY ′

• 

 0 a

1 1 2 2

n n 

+ C 1 Y ″ + + C 1 Y ″ + = 0．

(15)

1 a 2 1 m am+1 m

为了定出系数 C，我们必须完成上式第一行中所表示的乘法并把结果表示成球谐函数的级数。这个级数经过变号，将是导体表面上的 W 的级数。

n 阶和 m 阶的两个球谐函数的乘积，是 x/r，y/r 和 z/r 的一个 n＋m

次的有理函数，从而可以展成阶次不超过 n＋m 的球谐函数的一个级数。因此，如果 F 可以按阶次不超过 m 的球谐函数展开，而由外力引起的势可以按阶次不超过 n 的球谐函数展开，则由面电荷所引起的势将只包含阶次不超过 m＋n 的球谐函数。

然后面密度就可以利用近似方程来由势求出，

4πσ＋ d (U＋V＋W)＝0. (16) dr

145c.〕包围在一个近似球形的近似同心的导体电容器中的一个近 似球形的导体。

设导体表面的方程是

r＝a(1＋F)，(17)

式 中 F＝f Y ＋ ＋f ^{( σ)}Y^(σ) ．(18)

设容器内表面的方程是

r＝b(1＋G)．(19)

式 中 G＝g y ＋ ＋g^(σ) Y^{( σ)} ，(20)

1 1 n n

而各个f 和各个g都远小于1，Y^{(σ) 是σ型的n阶面谐函数。}

设导体的势是α而容器的势是β。设把导体和容器之间任一点上的势按球谐函数展开，例如

Ψ = h + h Y r + + h^(σ)Y^(σ) r ⁿ +

0 1 1

+ k 1 + k Y 1

n n

+ + k ( σ) Y( σ) 1 + ，

(21)

0 r 1 1 r 2 n n r n +1

于是我们就必须确定各系数 h 和 k，以使当 r＝a(1＋F)时Ψ＝α而当r＝b(1＋G)时Ψ＝β。

由以前的讨论显然可知，除了 h0 和 k0 以外，所有的 h 和 k 都将是小量， 他们和 F 的乘积可以忽略。因此我们可以写出

α＝h

+ k 1 (1 − F) + + (h^(σ)a ⁿ + k^(σ)

1 )Y( σ) +

， (22)

0 0 a n n a n+1 n

β＝h + k 1 (1 − G) + + (h^(σ)b ⁿ + k^(σ)

1 )Y( σ) +

． (23)

0 0 b

因此我们就有

n n

α＝h ＋k 1 ，

b n+1 n

(24)

0 0 a

β＝h ＋k 1 ，

(25)

0 0 b

k 1 f ( σ) = h ( σ) + k ( σ) 1

，(26)

0 a n n n a n+1

k 1 g( σ ) = h ( σ) bn + k ( σ)

1 (27)

0 b n n n b n+1

由此我们就得到 k0，即内部导体的电荷

k ＝( α－β) ab

⁰ b - a

，(28)

而关于 n 阶谐函数的系数，就有

h ( σ) = k

bn g( σ ) − a n f ( σ)

ⁿ ，(29) b2n +1 − a 2n +1

bn +1f (σ ) − a n+1g( σ )

k ^(σ) = k a ⁿ b^{n n n} ，(30)

n 0 b 2n+ 1 − a 2n +1

这里我们必须记得，各系数f (^{σ) 、g(σ) 、h(σ) 、k(σ) 是属于相同的阶}

次和相同的类型的。

n n n n

内部导体的面密度由下列方程给出：

4πσa ² = k

式中

(1+

A Y( σ) +

f ^(σ) {(n + 2)a²ⁿ⁺¹ + (n − 1)b ²ⁿ⁺¹} − g^(σ) (2n + 1)aⁿ⁺¹bⁿ

A = ^{n n} ．(31)

n b2 n+1 − a 2 n+1

1. 〕作为带谐函数之应用的一个例子，让我们来考察两个球形导体上的电的平衡。设 a 和 b 是二球的半径，而 c 是他们中心之间的距离。为了简单起见，我们也将写出 a＝cx 和 b＝cy，从而 x 和 y 就是小于 1 的数字。

设取二球的连心线作为带谐函数的轴，并设属于每一个球的带函数的极点就是离另一个球最近的那个点。

设 r 是任意点离第一球的球心的距离，而 s 是同一点离第二球的球心的距离。

设第一球的面密度σ1 由下列方程给出， 4πρ1a2＝A＋A1P1＋3A2P2＋⋯＋(2m+1)AmPm，(1)

于是 A 就是该球的电荷，而 A1 等等就是带谐函数 P1 等等的系数。由这一电荷分布所引起的势，对球内各点来说可以表示为

1  r r ² r ^m 

U′ = a A + A1P1 a + A2 P2 a2 + + A mPm am 

而对球外各点来说可以表示为

(2)

1  a a ² a^m 

U = r A + A1P1 r + A2 P2 r 2

• + Am Pm

rm 

(3)

同样，如果第二球上的面电荷由下列方程给出， 4πρ2b2＝B＋B1P1＋⋯＋(2n+1)BnPn，(4)

则在此球之内和之外由这一电荷所引起的势可以表示成下列形式的方

程

1  s

sn 

V′ = b B + B1P1 b + + Bn Pn bn ，

(5)



1  b



bⁿ 

V = s B + B1 P1 s + + Bn Pn

式中的几个谐函数是联系在第二个球上的。各球的电荷分别是 A 和 B。

sn ，

(6)

第一球内每一点的势是常量，并等于该球的势 a，从而在第一球的内部就有

U′＋V＝a．(7)

同理，如果第二个球的势是β，则对该球内部各点有

U＋V′＝β．(8) 对于两个球外面的各点，势是Ψ，而

U＋V＝Ψ．(9) 在轴上，在二球心之间，有

r＋s＝c．(10)

于是，对 r 求导数而在求导数以后令 r＝0，并且记得每一个带谐函数在极点上部等于 1，我们就得到

A 1

1 a 2

2!

− dV = 0， 

ds 

d² V 

A2 a3 +

m!

ds²

= 0，

d^m V

 (11)





A m am+1 + (−1) dsm

式中在求导数以后应令 s 等于 c。

= 0，



如果我们完成微分计算并写出 a/c＝x 和 b/c＝y，这些方程就变成



0 = A + Bx² + 2B x²y + 3B x² y² + + (n + 1)B x²y ⁿ ， 

1 1 2 n

3 3 3 2 1 3 n

0 = A

+ Bx + 3B x y + 6B x y + + (n + 1)(n + 2)B x y ， 

2 1

m+ 1

2 2

m+1 1

n

m+1 2



 (12)



0 = A m + Bx

+ (m + 1) B1 x y + 2 (m + 1)(m + 2)B2 x y

+ +



(m + n) B xm+1 ym 

m! n! ⁿ 

通过对第二个球进行对应的运算，我们得到



0 = B + Ay² + 2A xy² + 3A x²y² + + (m + 1)A x^my ² ， 

1 1 2 m

3 3 2 3 1 m 3

0 = B2

• Ay

  • 3A 1 xy

  • 6A 2 x y

+ + 2 (m + 1)(m + 2)A m x y ，





(12)

n+1

n +1 1



2 n +1

0 = Bn + Ay + (n + 1)A 1xy + 2 (n + 1)(n + 2)A 2 x y + + 

(m + n)! A xm yn +1 

m!n! ^m 

为了确定两个球的势α和β，我们有方程(7)和(8)，现在我们可以把

他们写成

cα＝A 1 ＋B＋B y＋B y ² ＋ ＋B y ⁿ ，(14)

1. 1 2 n

cβ＝B 1 ＋A＋A x＋A x ² ＋ ＋A x .(15)

1. 1 2 m m

因此，如果只注意系数 A1 到 Am 和 B1 到 Bn，我们就有 m＋n 个方程，而由这些方程就可以解出这些量，把他们用两个球的电荷 A 和 B 表示出来。然后，把这些系数的值代入(14)和(15)中，我们就可以用二球的电荷把他们的势表示出来。

这些运算可以用行列式的形式来表示，但是从计算的目的来看，更方便的是按下述方式来进行。

根据方程(13)把 A1⋯Bn 的值代入(12)中，我们就得到A1＝-Bx2＋Ax2y3[2.1＋3.1y2＋4.1y4＋5.1y6＋6.1y3＋⋯]

＋A1x3y3[2.2＋3.3y2＋4.4y4＋5.5y6＋⋯]

＋A2x4y3[2.3＋3.6y2＋4.10y4＋⋯]

＋A3x5y3[2.4＋3.10y2＋⋯]

＋A4x6y3[2.5＋⋯]

＋⋯ (16)

A2＝-Bx3＋Ax3y3[3.1＋6.1y2＋10.1y4＋15.1y6＋⋯]

＋A1x4y3[3.2＋6.3y2＋10.4y4＋⋯]

＋A2x5y3[3.3＋6.6y2＋⋯]

＋A3x6y3[3.4＋⋯]

＋⋯ (16)

A3＝-Bx4＋Ax4y3[4.1＋10.1y2＋20.1y4＋⋯]

＋A1x5y3[4.2＋10.3y2＋⋯]

＋A2x6y3[4.3＋⋯]

＋⋯ (16)

A4＝-Bx5＋Ax5y3[5.1＋15.1y2＋⋯]

＋A1x6y3[5.2＋⋯]

＋⋯ (16)

通过把 A1 等等的近似值代入这些方程的右端并重复上述过程以求得更进一步的近似，我们可以按照 x 和 y 的乘积的升幂式把对这些系数的逼近进行到任意的程度。如果我们写出

An＝pnA－qnB，

Bn＝－rnA＋snB，

就得到p1＝x2y3[2＋3y2＋4y4＋5y6＋6y8＋7y10＋8y12＋9y14＋⋯]

＋x5y6[8＋30y2＋75y4＋154y6＋280y8＋⋯]

＋x7y6[18＋90y2＋288y4＋735y6＋⋯]

＋x9y6[32＋200y2＋780y4＋⋯]

＋x11y6[50＋375y2＋⋯]

＋x13y6[72＋⋯]

⋯⋯

＋x8y9[32＋192y2＋⋯]

＋x10y9[144＋⋯]

⋯⋯ (20)

q1＝x2

x5y3[4＋9y2＋16y4＋25y6＋36y8＋49y10＋64y12⋯]

＋x7y3[6＋18y2＋40y4＋75y6＋126y8＋196y10＋⋯]

＋x9y3[8＋30y2＋80y4＋175y6＋336y8＋⋯]

＋x11y3[10＋45y2＋140y4＋350y6＋⋯]

＋x13y3[12＋63y2＋224y4＋⋯]

＋x15y3[14＋84y2＋⋯]

＋x17y3[16＋⋯]

⋯⋯

＋x8y6[16＋72y2＋209y4＋488y6＋⋯]

＋x10y6[60＋342y2＋1222y4＋⋯]

＋x12y6[150＋1050y2＋⋯]

＋x14y6[308＋⋯]

⋯⋯

＋x11y9[64＋⋯]

+⋯ (21)

在以下的运算中，把这些系数用 a、b、c 表示出来并按照这三个量的幂次来排列各项是更加方便的。这将使对 c 求导数更容易些。于是我们就得到

p1＝2a2b3c-5＋3a2b5c-7＋4a2b7c-9＋(5a2b9＋8a5b6)c-11

＋(6a2b11＋39a5b8＋18a7b6)c-13

＋(7a2b13＋75a5b10＋90a7b8＋32a9b6)c-15＋(8a2b15

＋154a5b12＋288a7b10＋32a8b9＋200a9b8＋50a11b6)c-17

＋(9a2b17＋280a5b14＋735a7b12＋192a8b11＋780a9b10

＋144a10b9＋375a11b8＋72a13b6)c-19＋⋯ (22) q1＝a2c-2＋4a5b3c-8＋(6a7b3＋9a5b5)c-10

＋(8a9b3＋18a7b5＋16a5b7)c-12

＋(10a11b3＋30a9b5＋16a8b6＋40a7b7＋25a5b9)c-14

＋(12a13b3＋45a11b5＋60a10b6＋80a9b7

＋72a8b8＋75a7b9＋36a5b11)c-16

＋(14a15b3＋63a13b5＋150a12b6＋140a11b7＋342a10b8

＋175a9b9＋209a8b10＋126a7b11＋49a5b13)c-18

＋(16a17b3＋84a15b5＋308a14b6＋224a13b7＋105a12b8

＋414a11b9＋1222a10b10＋336a9b11＋488a8b12＋196a7b13

＋64a5b15)c-20＋⋯ (23)

p2＝3a3b3c-6＋6a3b5c-8＋10a3b7c-10＋(12a6b6＋15a3b9)c-12

＋(27a8b6＋54a6b8＋21a3b11)c-14

＋(48a10b6＋162a8b8＋158a6b10＋28a3b13)c-16

＋(75a12b6＋360a10b8＋48a9b9＋606a8b10

＋372a6b12＋36a3b15)c-18＋⋯ (24) q2＝a3c-3＋6a6b3c-9＋(9a3b3＋18a6b5)c-11

＋(12a10b3＋36a8b5＋40a6b7)c-13

＋(15a12b3＋60a10b5＋24a9b6＋100a3b7＋75a6b9)c-15

(18a14b3＋90a12b5＋90a11b6＋200a10b7

＋126a9b8＋225a8b9＋196a6b13)c-17

＋(21a16b3＋126a14b5＋225a13b6＋350a12b7＋594a11b8

＋525a10b9＋418a9b10＋441a8b11＋196a6b13)c-19＋⋯ (25) p3＝4a4b3c-7＋10a4b5c-9＋20a4b7c-11＋(16a7b6＋35a4b9)c-13

＋(36a9b6＋84a7b8＋56a4b11)c-15

＋(64a11b6＋252a9b8＋282a7b10＋84a4b13)c-17＋⋯ (26) q3＝a4c-4＋8a7b3c-10＋(12a9b3＋30a7b5)c-12

＋(16a11b3＋60a9b5＋80a7b7)c-14

＋(20a13b3＋100a11b5＋32a10b6＋200a9b7＋175a7b9)c-16

＋(24a15b3＋150a13b5＋120a12b6＋400a11b7＋192a10b8

＋525a9b9＋336a7b11)c-18＋⋯ (27) p4＝5a6b3c-8＋15a5b5c-10＋35a5b7c-12＋(20a8b6＋70a6b9)c-14

＋(45a10b6＋120a8b8＋126a5b11)c-16＋⋯ (28) q4＝a5c-5＋10a8b3c-11＋(15a10b3＋45a8b5)c-13

＋(20a12b3＋90a10b5＋140a8b7)c-15

＋(20a13b3＋100a11b5＋32a10b6＋200a9b7＋175a7b9)c-16

＋(25a14b3＋150a12b5＋40a11b6＋350a10b7＋350a8b9)c-17＋⋯

(29)

p5＝6a6b3c-9＋21a6b5c-11＋56a6b7c-13

＋(24a9b6＋126a6b9)c-15＋⋯ (30) q5＝a6c-6＋10a9b3c-12＋(18a11b3＋63a9b5)c-14

＋(24a13b3＋126a11b5＋224a9b7)c-16＋⋯ (31)

p6＝7a7b3c-10＋28a7b5c-12＋84a7b7c-14＋⋯ (32)

q6＝a7c-7＋14a10b3c-13＋(21a12b3＋84a10b5)c-15＋⋯ (33)

p7＝8a8b3c-11＋36a8b5c-13＋⋯ (34)

q7＝a8c-8＋16a11b3c-14＋⋯ (35)

p8＝9a9b3c-12＋⋯ (36)

q8＝a9c-9＋⋯ (37)

各个 r 和 s 的值，可以通过分别在各个 q 和 p 中将 a 和 b 互换来写出。现在如果我们在下列形式下按照这些系数来计算两个球的势，

α＝lA＋mB，(38) β＝mA＋nB，(39)

则 l、m、n 是电势系数（第 87 节），其中m＝c-1＋p1ac-2＋p2a2c-3＋⋯(40)

n＝b-1－q1ac-2－q2a2c-3－⋯(41) 或者，按 a、b、c 展开，就有

m＝c-1＋2a3b3c-7＋3a3b3(a2＋b2)c-9＋a3b3(4a4＋6a2b2

＋4b4)c-11＋a3b3[5a6＋10a4b2＋8a3b3＋10a2b4＋5b6]c-13

＋a3b3[6a8＋15a6b2＋30a5b3＋20a4b4＋20a4b4

＋30a3b5＋15a2b6＋6b8]c-15

＋a3b3[7a10＋21a8b2＋75a7b3＋35a6b4＋144a5b5＋

35a4b6＋75a3b7＋21a2b8＋7b10]c-17

＋a3b3[8a12＋28a10b2＋154a9b3＋56a8b4＋446a7b5

＋102a6b6＋446a5b7＋5ba4b8＋154a3b9＋28a2b10

＋8b12]c-19＋a3b3[9a14＋36a12b2＋280a11b3＋84a10b4

＋1107a9b5＋318a8b6＋1668a7b7＋318a8b6＋1668a7b7

＋318a6b8＋1107a5b9＋84a4b10＋280a3b11

＋36a2b12＋9b14]c-21＋⋯ (42) n＝b-1-a3c-4-a5c-6-a7c-8-(a2＋4b3)a6c-10

-(a5＋12a2b3＋9b5)a6c-12-(a7＋25a4b3＋36a2b5＋ 16b7)a6c-14-(a9＋44a6b3＋96a4b5＋16a3b6＋80a2b7

＋25b9)a5c-16-(a11＋70a8b3＋210a6b5＋84a5b6

＋260a4b7＋72a3b8＋150a2b9＋36b11)a6c-18

-(a13＋104a10b3＋406a8b5＋272a7b6＋680a6b7

＋468a5b8＋575a4b9＋209a3b10＋252a2b11

＋49b13)a6c-20-(a15＋147a12b3＋720a10b5＋693a9b6

＋1548a8b7＋1836a7b8＋1814a6b9＋1640a5b10＋1113a4b11

＋488a3b12＋392a2b13＋64b15)a6c-22＋⋯ (43)

l 的值可以通过在 n 中把 a 和 b 互换来求得。根据第 87 节，体系的势能是

W = 1 lA ² + mAB + 1 nB² ，(44)

2 2

而根据第 93a 节，二球之间的推斥力是

• dW = 1 A 2

dl + AB dm + 1 B² dn ． (45)

dc 2 dc dc 2 dc

任一球上任一点处的面密度，由方程(1)和(4)而通过各系数 An 和 Bn 来给出。

第十章 共焦二次曲面①

1. 〕设一个共焦族的普遍方程是

x2 y2 z2

λ² − a ² + λ² − b ² + λ² − c²

= 1， (1)

式中λ是一个变化的参数。我们将用λ的下标来区分二次曲面的品种，即用λ1 表示双页双曲面，用λ2 表示单页双曲面，而用λ3 表示椭球面。各量a，λ2，b，λ2，c，λ3

是按数值递增的次序排列的。a 这个量是为了形式对称才被引入的，但是在我们的结果中我们将永远假设 a＝0。

考虑一下参数各为λ1、λ2、λ3 的三个曲面，我们就发现，通过在他们的方程之间消去变数，他们的交点上的 x2 的值满足方程

x2(b2－a2)(c2－a2)＝(λ12－a2)(λ22－a2)(λ32－a2)．(2)

y2 和 z2 的值可以通过把 a、b、c 互相轮换来得出。把这个方程对λ1 求导数，我们就得到

dx =

dλ1

λ1

λ ² − a ²

x． (3)

如果 ds1 是夹在曲面λ1 和λ2＋dλ1 之间的λ2 和λ3 的交线的截距长度，则有

■

这个分式的分母，就是曲面λ1 的各个半轴的平方乘积。如果我们令D12＝λ32－λ22，D22＝λ32－λ12，和 D32＝λ22－λ12，(5)并令 a＝0，

就有

ds1 =

dλ1

(6)

很容易看到，D2 和 D3 就是λ1 的中央部分的半轴，该部分和通过给定点的直径相共轭，而且，D3 平行于 ds2 而 D2 平行于 ds3。

如果我们也把三个参数λ1、λ2、λ3 代成他们通过下列方程而由三个函数α、β、γ来定义的值，

α＝ λ1

0

λ21

β＝

b

λ₃

γ＝ c

则有

，

，(7)

；

① 这种考察主要采自一本很有趣的著作，即 Levns sur les Fonctions Inverses des Transcen－dantes et les Surfaces Isothermes Par G.Lamé,Paris,1857.

ds ＝ 1 D D dα，ds

＝ 1 D D dβ，ds

＝ 1 D D dγ． (8)

1 c 2 3 2

c 3 1 3

c 1 2

1. 〕现在，设 V 是任一点α、β、γ上的势，则沿 ds1 的合力是

R ＝− dV = − dV da

= − dV

c ． (9)

¹ ds

da ds

da D D

1 1 2 3

既然 ds1、ds2 和 ds3 是互相垂直的，面积元 ds2ds3 上的面积分就是

R ds ds = - dV c · D 3D1 · D1 D 2 ·dβdy

1 2 3

da D 2 D 3 c c

dV D 2

= − ¹ dβdγ ．

(10)

da c

现在考虑介于各曲面α、β、γ和α＋dα、β＋dβ、γ＋dγ之间的体积元。共有八个这样的体积元，每一空间卦限中有一个。

我们已经得出力的法向分量（向内测量）在由曲面β和β＋dβ、γ和γ＋dγ从曲面α上截下的面积元上的面积分①。曲面α＋dα的对应面积元上的面积分将是

dV D ² d ² V D ²

＋ ¹ dβdγ＋ ¹ dαdβdγ

da c

da ² C

因为 D1 是不依赖于α的。体积元的两个对面表面上的面积分将是

d² V D ²

¹ dαdβdα.

da² c

同样，另外两对表面上的面积分将是

d² V D ² d ²V D ²

² d αd βd γ和 ³ d αd βd γ.

dβ² c dγ ² c

这六个表面包围了一个体积元，其体积是

D 2 D 2 D 2

ds1ds2 ds3

＝ ^{1 2 3} dαdβdγ，

c3

而且，如果体积元中的体密度是ρ，则我们由第 77 节得到，这一体积元表面的总的面积分加上它里面的电量乘以 4π，应等于零，或者除以 d αdβdγ就有

d² V

da²

D ² ＋

d ²V

dβ²

D ² ＋

d ²V

dγ ²

D 2 D 2 D 2

D ² ＋4πρ ^{1 2 3} ＝0． (11)

3 c3

这就是椭球座标下的拉普拉斯方程的泊松推广形式。

如果ρ＝0，第四项就不存在，而方程就和拉普拉斯方程相等价。

关于这一方程的普遍讨论，读者可以参阅已经｛在前面的小注中｝提到的拉梅的著作。

1. 〕为了确定α、β、γ各量，我们可以通过引用辅助角θ、φ、ψ来把他们写成普通的椭圆积分的形式，此处

① ｛译注：这里所说的“面积分”显然就是后人所说的“通量”。｝

λ1 ＝bsinθ，

λ2 ＝

(12)

(13)

λ3 ＝csecψ. (14)

如果令 b＝kc 和 k2＋k′2＝1，我们就可以把 k 和 k′叫做共焦族的两个互补模数，而且我们得到

a＝ θ dθ

0

，(15)

这是一个第一类的椭圆积分，我们可以按照通常的符号把它写成 F(k， θ)。

同样我们得到

β＝∫ dφ ＝F(k ′)— F(k ′，φ) ，(16)

0

式中 F(k′)是关于模数 k′的完备函数，

γ＝∫ dψ ＝F(k)—F′(k，ψ)． (17)

0

在这里，α被表示成角θ的一个函数，从而它是参数λ1 的函数；β是φ的从而是λ2 的函数；γ是ψ的从而是λ3 的函数。

但是这些角和这些参数可以看成α、β、γ的函数。这些反函数及其有关函数的性质，在拉梅的有关著作中进行了说明。

很容易看到，既然各函数是各辅助角的周期函数，他们也将是α、β、γ这些量的周期函数：λ 1 和λ3 的周期是 4F(k)，而λ2 的周期是 2F(k′)。

特殊解

1. 〕如果 V 是α、β或γ的线性函数，方程就是满足的。因此我们就可以从方程推出同族中保持在给定的势的任何两个共焦曲面上的电分布，以及二曲面之间任一点上的势。

双页双曲面

当α为常数时，对应的曲面是双页双曲面。让我们把α的符号取为和所考虑的一页上的 x 的符号相同。这样我们就可以每次考虑其中的一页。设α1、α2 是和两个单独页相对应的α值，这两页可以属于相同的或

不同的双曲面。另外又设 V1、V2 是这两页被给予的势。于是，如果我们令

V＝σ1V2 − σ2 V1 + a(V1 − V2 )

a1 − a

(18)

条件就会在两个曲面上和他们之间的全部空间中得到满足。如果我们今 V 在曲面α1 的外侧空间中等于常量并等于 V1，而在曲面α2 的外侧空间中等于 V2，我们就将得到这一特殊事例的完备解。在某一页的任一点上，合力是

±R ＝− dV = − dV da ，

(19)

ds1

或R ＝ V1 − V2

da ds1

c . (20)

¹ a − a D D

2 1 2 3

如果 p1 是从中心到任一点的切面的垂直距离，而 p1 是曲面的半轴的乘积，则有 p1D2D3＝P1.

由此我们得到

R ＝ V1 − V2 cp1 ，

(21)

¹ − a P

或者说，曲面上任一点上的力，垂直于从中心到切面的垂线。面密度σ可由下列方程求出：

4πσ＝R1.(22)

方程为 x＝d 的一个平面从双曲面的一页上切割下一个部分，这一部分曲面上的总电量是

Q＝ c V1 − V2 ( d —1）．

(23)

2 a2 − a1 λ1

从而整个无限大的一页上的电量就是无限大。曲面的一些极限形式是：

(1)当α＝F(k)时，曲面就是 xz 平面上位于方程为

x2 z 2

b2 − c2 − b2 ＝1．

(24)

的双曲纷正支的正侧的那一部分平面。(2)当α＝0 时，曲面是 yz 平面。

(3)当α＝－F(k)时，曲面是 xz 平面上位于同一双曲线负支的负侧的那一部分平面。

单页双曲面

令β等于常数，我们就得到单页双曲面的方程。因此，形成电场之边界面的那两个曲面必然属于两个不同的双曲面。其他方面的考察和在双页双曲面的事例中相同，从而当势差给定时，曲面上任一点处的密度将正比于从中心到切面的垂直距离，而无限大页上的总电量将是无限大。

极限形式

1. 当β＝0 时，曲面就是 xz 平面上介于双曲线之间的那一部分平面， 该双曲线的方程已在前面写出，即(24)。

2. 当β＝F(k′)时，曲面就是 xy 平面上于方程为

x2 y2

c2 ＋ c2 − b2 ＝1 (25)

的椭圆外面的那一部分平面。

椭球面

对于任一给定的椭球面，γ是常数。如果两个椭球面γ1 和γ2 被保持在势 V1 和 V2，则在二者之间的空间中的任一点γ上，我们有

V＝ γ 1 V2 − γ 2 V1 + γ (V1 − V2 ) ．

γ 1 − γ 2

(26)

任一点上的面密度是

σ＝− 1

V1 − V2 cp 3 ，

(27)

4π γ 1 − γ 1 P3

式中 p3 是从中心到切面的垂直距离，而 p3 是半轴的乘积。每一曲面上的总电荷由下式给出，

Q ＝c V1 − V2 ＝-Q ，

(28)

² λ − λ

1 2

从而是有限的。

当γ＝F(k)时，椭球的表面在一切方向上都在无限远处。

如果令 V1＝0 而γ2＝F(k)，我们就得到位于一个无限广阔的场中的保持在势 V 的一个椭球面上的总电量，

Q＝c V F(k) - γ

. (29)

椭球面的极限形式出现在γ＝0 时，其时曲面是 xy 平面位于一个椭圆内的那一部分平面，该椭圆的方程已在前面写出，即(25)。

方程为(25)而离心率为 k 的椭圆形平板的每一面上的面密度是

σ＝ ， (30)

而其电荷是

Q＝c V

F(k)

.(31)

特 例

1. 〕如果c 保持不变，而 b 从而还有 k 则无限地减小而终于变为零， 曲面族就会变化如下：

双页双曲线的实轴和其中一个虚轴都无限减小，而曲面最后就和相交于 z 轴的两个平面相重合。

量α变为和θ相等同，而第一族曲面退化成的那一族子午面的方程就

是

x 2 y 2

(sin α)² － (cosα)² ＝0．

(32)

至于β这个量，如果采用在第(259)页上由(7)式给出的定义，我们就会在积分的下限处被引导到积分的无限大值。为了避免这一点，我们在这一特例中把β定义为下列积分的值，

c cdλ2 ．

2

如果我们现在令λ2＝csinφ，则β变成

^π dφ

φ sinφ

于是

，即 logcot 1 φ；

2

eβ − e −β

cosφ＝ eβ + e −β ，

从而

(33)

sinφ＝

2

eβ + e−β

．(34)

如果我们把指数1 (e^β ＋e^−β 叫做β的双曲余弦并写成cosh β，而且把

2

1 (e^β －e^−β )叫做β的双曲正弦并写成sinh β，而且如果我们按相同的

2

相同的方式应用一些在特点上和其他那些简单三角函数相类似的函数，则λ2＝csechβ，而单页双曲线族的方程则是

x ² + y ² z² ₂

(sec hβ) ² － (tanhβ) ² ＝c ．

(35)

量γ简代成了Ψ，从而λ3＝csecγ，而椭球族的方程就是

x ² + y² z² ₂

(sec γ )² － (tan γ) ² ＝c ．

(36)

这是一些绕共轭轴的旋转图形。这一类椭球叫做“行星椭球”。无限场中一个保持在势 V 的行星椭球上的电量是

Q＝c V

1 π − γ

2

，(37)

式中 csecγ是赤道半径，而 ctanγ是极向半径。如果γ＝0，图形就是半径为 c 的圆盘，而且

σ＝ V

，(38)

Q＝c V

1 π

2

. (39)

152.〕第二个事例。设 b＝c，则 k＝1 而 k′＝0，a＝logtan

π + 2θ ，由此即得λ ＝ctabha.(40)而双页旋转双曲面的方程变为

4 1

x² y² + z² ₂

(tanh a) ² － (sec ha) ² ＝c

． (41)

量β被简化为φ，而每一个单页双曲面则退化为一对交于 x 轴的平面，其方程是

y2 z2

(sin β) ² － (cosβ)² ＝0．

这是一族子午面，而β即其经度。

(42)

在第 259 页的(7)式中定义的量γ，在此事例中在积分下限处变为无限大。为了避免这一点，让我们把它定义为下列积分的值，

∫λ 3 λ

cdλ 3 ．

2 − c2

如果令λ ＝csecψ，我们就得到γ＝

ψ dψ

，由此即得λ

= c coth λ

3

，而椭球族的方程就是

x 2

y² + z²

∫π sin ψ  ³

2

(coth γ) ² ＋ (cosechγ) ² ＝c ．

(43)

这些以短轴为其旋转轴的椭球叫做“卵形椭球”。在这一事例中，由(29)式即得，无限场中一个保持在势 V 的卵形椭球上的电量是

^π dψ

cV÷ 2 ，

ψ 0 sin ψ

式中 csecψ0 是极向半径。

(44)

如果我们用 A 代表极向半径而用 B 代表赤道半径，则刚刚求得的结果变成

A² − B²

V ．

(45)

log A +

A² − B²

B

如果和极向半径相比赤道半径是很小的，就像在圆头导线的事例中那样，则有

Q＝ AV

log 2A − log B

． (46)

当 b 和 c 都变为零而他们之比则保持有限时，曲面族就变成两个共焦锥面族和半径反比于γ的一个球面族。如果 b 和 c 之比是零或一，曲面族就变成一个子午面族、一个共轴正锥面族和一个半径反比于γ的同心球面族。这就是普通的球极座标系。

柱 面

1. 〕当 c 为无限大时曲面是柱面，其母线平行于 z 轴，一族柱面是双曲柱面，也就是由双页双曲线所生成的柱面。既然当 c 为无限大时 k 为零，从而θ＝α，可见这一族柱面的方程是

x2 y 2 2

sin² a－ cos² a＝b

． (47)

另一族是椭圆柱面，而既然当 k＝0 时β变成

λ 2

，或 λ ＝bcoshβ，

b

这一族柱面的方程就是

x2

y 2 2

(cosh β) ² ＋ (sinhβ) ² ＝b

． (48)

这两族曲面在本卷末尾的第十图中表示了出来。

共焦抛物面

1. 〕如果我们在普遍方程中把座标原点移到 x 轴上离曲面族中心的距离为 t 的一点，并把 x、λ、b 和 c 分别改写成 t＋x、t＋λ、t＋b 和 t

＋c，然后使 t 无限增大，则我们在极限情况下得到一族抛物面，其焦点位于 x＝b 和 x＝c 二点，就是说，方程是

y 2 z2

4(x－λ) ＋ λ − b ＋ λ − c＝0． (49)

如果第一个椭圆抛物物面族的变动参数是λ，双曲抛物面族的变动参数是μ，而第二个椭圆抛物面族的变动参数是 v，则我们有按数值递增的次序排列的λ、b、μ、c、v，而且 x＝λ＋μ＋v－c－b,



x = λ + μ + v - c - b， 

y2 = 4 (b − λ)(μ − b)(v − b) 

c − b 

x2 = 4 (c − λ)(c − μ)(v − b)， 

(50)

c − b 

为了避免积分(7)中的无限大值，抛物面族中的对应积分是在不同的积分限之间计算的。

我们在这一事例中写出

α＝∫b dλ ，

λ (b − λ)(c − λ)

由此即得

β＝ μ dμ ，

b

γ＝ v dv .

c

λ＝ 1 (c＋ b)－ 1 (c－b)coshα, 



2

1

μ＝ 2

2

(c＋ b)－ 1

2





(c－b)cosβ, 



(51)

v＝ 1 (c＋b) ＋ 1 (c－ b)coshγ；

2 2 

x＝ 1 (c＋b) ＋ 1 (c－ b)(cosh γ－cosβ－coshα 

2 2

α β γ

),



y＝2(c－ b)sinh 2

sin

2

cosh , 2

 (52)



z＝2(c－

α β γ

b)cosh cos sinh .

2 2 2 

当 b＝c 时，我们有绕 x 轴的旋转抛物面的事例，而且｛见附注｝

x＝a(e^2a －e^2γ ),

y＝2ae^a+γ cosβ, (53) z＝2ae^a+γ sinβ.

β为常数的曲面是一些通过轴的平面，β就是这样一个平面和通过轴

的一个固定平面之间的夹角。 α为常数的曲面是一些共焦抛物面。当α＝－∞时，抛物面退化成一

条以原点为端点的直线。

我们也可以利用以焦点为原点而以抛物面的轴为θ轴的球极座标γ、θ和φ来给出α、β、γ的值，

1

α＝log(r ²cos

1 θ),

2

β＝φ, (54)

1

γ＝log(r ²sin

1 θ)．

2

我们可以把势等于α的事例和带体谐函数 riQi 相比较。二者都满足拉普拉斯方程，而且都是 x、y、z 的齐次函数，但是在从抛物面导出的事例中在轴上有一种不连续性｛因为当把θ改写成θ＋2π时α是改变的｝。

无限场中一个带电抛物面（包括在一个方向上为无限的直线事例）上的面密度，反比于离焦点的距离的平方根，或者，在直线的事例中是反比于离端点的距离的平方根①。

① ｛第 154 节中的结果可以推导如下。从 x、y、z 到λ、μ、v 换变数，拉普拉斯方程就变成 或者， 如果 则拉普拉斯方程变成 因此，α、β、γ的一个线性函数就满足拉普拉斯方程。当 b＝c 时，我们可以取 由(51)就有 于是由(50)就得到 由此就可以得出具有(54)形式的方程。既然由这些方程可知沿半径的力是像 1/r 那样变化的，法向力从而还 于是面密度就像 1/p 那样地变化，从而就是反比于 r 的平方根的。｝

第十一章 电像和电反演的理论

1. 〕我们已经证明，当一个导体球受到一种已知的电分布的影响时， 球表面上的电分布是可以用球谐函数的方法来确定的。

为此目的，我们需要把被影响体系的势展成以球心为原点的一些正阶体谐函数的级数，然后我们求出一些负阶体谐函数的一个对应的级数，它表示由球上的电所引起的势。

通过这种很有威力的分析方法的应用，泊松确定了在给定的电体系影响下的一个球的带电情况，而且他也解决了确定互相影响下的两个导体球上的电分布这一更困难的问题。这些研究曾由普兰纳等人详细进行，他们证实了泊松的精确性。

当把这种方法应用于受到单独一个带电点的影响的一个球这一最基本的事例时，我们要求把由带电点引起的势展成体谐函数的级数，并定出表示着由球上的电在球外空间中引起的势的第二个体谐函数级数。

看来任何一个数学家都不曾注意到，这第二个级数表示着由一个想像的带电点所引起的势；那个想像的点绝不像一个带电质点那样有其物理的存在，但它却可以叫做一个电像，因为表面对外界一点的作用，是和球面被取走时即将由该想像的带电点所起的作用相同的。

这种发现似乎是直到 W.汤姆孙爵士才作出的，他曾经把这种发现发展成一种求解电学问题的很有威力的方法，而同时又能用初等几何的形式表示出来。

他的原始研究见《剑桥和都柏林数学期刊》(Cambridge and Dublin Mathematical Journal,1848)；那些研究是用普通的超距吸引力的理论表示出来的，而并没有用到势和第四章中各定理的那种方法，尽管那些研究也许是利用这些方法来发现了的。然而，只要能够把问题弄得更清楚易懂， 我就不想遵循原作者的方法而将不受限制地应用势和等势面的概念。

电像理论

1. 〕设图 7 中的 A 和 B 代表无限大的均匀电介媒质中的两个点。设A 和 B 的电荷分别是 e1 和 e2。设 P 是空间中的任意点，它到 A 和 B 的距离分别是 r1 和 r2。于是 P 点处的势就是

V＝e1 + e2

(1)

r1 r2

这种电分布所引起的等势面，当 e1 和 e2 同号时由（本卷末尾的）图一来表示，当 e1 和 e2 异号时由图二来

图 7

表示。我们现在必须考虑 V＝0 的曲面，这是等势面族中唯一的球面。当 e1 和 e2 同号时，这个曲面完全位于无限远处。但是当 e1 和 e2 异号时， 却存在一个位于有限距离处的平面或球面，而面上各点的势为零。

这一曲面的方程是

e1 + e2 ＝0． (2)

r1 r2

它的中心位于 AB 延线上的一点 C，使得

AC∶ BC∶∶e ² ∶e ² ，

而且球的半径是

AB e1e2

e ² − e ²

A、B 二点是相对于这一球面而言的反演点。这就是说，他们位于同一半径上，而半径就是他们到球心的距离的比例中项。

既然这个球面位于零势，如果我们假设它由金属薄片制成并已接地， 则球外或球内任一点的势都不会改变，而任何地方的电作用将仍然只是由两个带电点 A 和 B 引起的。

如果我们现在使金属壳保持接地而把 B 点取走，则球内的势将到处变为零，而球外的势则仍和以前一样。因为球面将仍然有相同的势，而外部带电情况也没有任何改变。

由此可见，如果一个带电点 A 被放在一个势为零的球形导体外面，则球外一切点上的电作用将是由点 A 和球内另一点 B 所共同引起的那种作用；这个点 B 就可以叫做 A 的电像。

同样我们也可以证明，如果 B 被放在球壳里边，则球内的电作用｛可以看成｝是由 B 和它的电像 A 所共同引起的。

1. 〕电像的定义 一个电像就是一个或一组位于一个曲面一侧的带电点，它在曲面的另一侧将和曲面上实际上带的电引起相同电作用。

在光学中，一个镜面或一个透镜一侧的一个或一组点，如果存在时将发射和实际存在于镜面或透镜的另一侧的光线，就叫做一个虚像。

电像对应于光学中的虚像，因为它是和曲面另一侧的空间有关的。电像并不是在位置上或只在焦点的近似特性上和光学中的虚像相对应的。

不存在实电像，也就是不存在将在带电曲面的同侧引起和带电曲面的效应相等价的效应的那种想像的带电点。

因为，如果任一空间域中的势等于由同一域中的某种电分布所引起的势，它就必然真是由那种电分布所引起的。事实上，任一点上的电｛密度｝， 可以通过泊松方程的应用而从该点附近的势求出。

设 a 是球的半径。

设 f 是带电点 A 到球心 C 的距离。设 e 是该点的电荷。

于是此点的像就位于此球的同一半径上的一点B，到球心的距离是

a ，而像的电荷是−e a。f f

图 7

我们已经证明，这个像将在球的另一面和球面上的实际电荷引起相同的效应。其次我们将确定这种电荷在球面任一点 P 处的面密度；为此目的， 我们将利用第 80 节中的库仑定理，就是说，如果 R 是一个导体表面上的合力，而σ是面密度，则

R＝4πσ,

R 是由表面向外测量的。

我们可以把R看成两个力的合力，其中一个是沿AP作用的推斥力

e AP²

，而另一个是沿PB作用的吸引力e a

f

1

PB² 。

把这些力分解在 AC 和 CP 方向上，我们就发现，推斥力的分力是

吸引力的分力是

ef AP³

沿AC，

ea AP³

沿CP．

－e a 1 BC沿AC，－e a

1 沿CP．

f BP³

a a ²

f BP³

喏，BP＝

f

AP而BC＝ ，从而吸引力的分力可以写成

f

1 f ² 1

－ef AP3 沿AC ，－e a AP3 沿CP．

吸引力和推斥力沿 AC 的分力是相等而反号的，从而合力是完全沿着半径 AC 的方向的①。这只不过肯定了我们已经证明的结论，就是说，球面是一个等势面，从而是一个到处和合力相垂直的曲面。

沿着 CP，也就是沿着向 A 所在的一侧画去的曲面的法线测量的合力是

f ² − a ² 1

R＝－e

a AP3 ． (3)

如果 A 是取在球内的，f 就小于 a，而我们就应该向内测量 R。因此， 对于这一事例就有

a² − f ² 1

R＝－e

a AP3 ． (4)

在一切事例中，我们都可以写出

① ｛译注：原书笔（或印）误，AC 应作 CP。｝

R＝－e AD.Ad

CP

1

AP ³

(5)

式中 AD、Ad 是任一条过 A 的直线和球面相交而成的线段，而且他们的乘积在一切事例中都应取为正。

158.〕利用第 80 节中的库仑定理，由此即得 P 点处的面密度，

σ＝－e AD． Ad

4π． CP

1

AP ³

(6)

球面任一点上的电密度反比于该点到 A 点距离的三次方。这一表面分布的效应，和 A 点的效应一起，应该在 A 点所在的曲面一侧引起由 A 点上

的e和B点上的电像－e a 所引起的效应，而在曲面的另一侧则势到处为

f

零。因此，表面分布本身的效应就应该在 A 点一侧引起和 B 点上的电像－

e a的势相同的势，而在另一侧则引起和A点上的e的势相反的势。

f

球面上的总电荷显然是－e a ，因为它和B点上的电像等价。因此我

f

们就已经得到了关于一个球面上电分布的作用的下列各定理，该球上的面密度反比于离开球外或球内一点 A 的距离的立方。

设面密度由方程

σ＝ C

AP³

(7)

给出，式中 C 是某一常量，则由方程(6)得到

C＝－e AD． Ad

4πa

(8)

这一表面分布在和 A 由此表面隔开的任一点上的作用，等于集中在 A 点上的一个电量－e 或

的作用。

4πaC

AD ． Ad

它在和 A 位于曲面同侧的任一点上的作用，等于集中在 A 的像点 B 上的一个电量

的作用。

4πCa²

f ． AD． Ad

球面上的总电量，如果 A 在球内则等于第一个电量，如果 A 在球外则等于第二个电量。

这些命题都是由 W.汤姆孙爵士在他参照球形导体上的电分布所作的原始几何研究中确立的，读者应参考他的原著。

159.〕如果把一个已知其电分布的体系放在一个半径为 a 的导体球附近，该球通过接地而保持其势为零，则球上由体系之各部分所引起的电荷将互相叠加。

设 A1、A2 等等是体系中的带电点，f1、f2 等等是各点到球心的距离， e1、e2 等等是他们的电荷，则这些点的像 B1、B2 等等将和各点本身位于

a² a

相同的半径上，到球心的距离将是 、 ² 等等，而他们的电荷将是

f1 f2

－e a 、－e a 等等。

1 2

1 2

球面电荷在球外引起的势，将和像体系 B1、B2 等等所将引起的势相同。因此这个体系就叫做体系 A1、A2 等等的电像。

如果球不是保持在零势而是保持在一个势 V，我们就必须在它的外表面上叠加上一个具有均匀面密度

σ＝ V

4πa

的电分布。这种分布在球外各点的效应，将等于集中在球心上的一个电量Va 的效应，而在球内的各点上则势将简单地增加一个值 V。

由外部各影响点 A1、A2 等等的体系在球上引起的总电荷是

E＝ V －e a －e a － ，(9)

a 1 f 2 f

1 3

由此就可以计算电荷 E 或势 V，当其中另一个已经给定时。

当带电体系位于球面之内时，球面上的感生电荷将和施感电荷相等而反号，正如我们在以前已经在任意闭合曲面的情况下对其内部各点证明了的那样。

①160.〕当位于离球心距离 f 大于球的半径 a 处的一个带电点和在带电点及球上电荷影响下的球面上的电分布之间发生相互作用时，作用能量是

Ee 1

e2 a 3

M＝ f - 2 f ² (f ² − a ² ) ，

(10)

V 是球的势，而 E 是球的电荷。

因此，由第 92 节可知，带电点和球之间的推斥力是

F＝ea( V −

f 2

ef

( f ² − a ² ) ²

= e (E − e f 2

a ³(2f ² − a ² )

f (f ² − a ² ) ² ．

(11)

由此可见，点和球之间的力在下列各事例中永远是一个吸引力： (1)当球不被绝缘时。

1. 当球不带电荷时。

2. 当带电点离球面很近时。

① [如果把问题看成第 86 节的一个例子，正文中的结果也许就会更好懂一些。那么，让我们假设所说的带电点其实是一个小的导体球，其半径为 b 而势为 v。于是我们就有两个球的问题的一个特例，该问题的一种解已在第 146 节中给出，而另一种解将在第 173 节中给出。然而在我们所面临的事例中，b 是如此地小，以致我们可以认为小物体上的电是均匀地分布在它的表面上的，从而除了小物体的第一个电像以外所有的电像都可以忽略不计。既然球上的电荷 E 已经给定，我们除了像点上的电荷－ea/f 以外还必须在球心上有一个电荷 ea/f。于是我们就有 因此体系的能量就是（见第 85 节） 利用以上各式，我们也可以用势把能量表示出来：在相同的近似程度下，能量是

f 3

为了使力可以是推斥性的，球的势必须为正并大于e (f 2 − a2 )2 ，而

a ³ (zf ² − a ² )

球的电荷必须和e同号并大于c

f( f ² − a ² ) ² 。

在平衡点上，平衡是非稳定的；当物体相距较近时力是吸引力，当他们相距较远时力是推斥力。

当带电点位于球面之内时，作用在带电点上的力永远指向远离球心的方向，并等于

e ²af

(a ² − f ² ) ² ．

当带电点位于球外时，球上离该点最近的一点处的面密度是

σ1 ＝