无限大平面导体表面上的像

4πa ²

{Va − e a(f + a)}

( f − a)²

a² (3f − a)

4πa 2 {E − e

f (f − a) ² }．

(12)

球上离带电点最远的一点处的面密度是

σ2 ＝

4πa ²

{Va − e a(f − a)}

(f + a) ²

a² (3f + a)

当球的电荷 E 介于

4πa 2 {E + e

a² (3f − a)

f (f + a)² }．

a² (3f + a)

(12)

f (f − a) ²

和－e

f (f + a) ²

之间时，靠近带电点处的电将是负的，而远离带电点处的电将是正的。球面上带正电的部分和带负电的部分之间有一条圆形的分界线，而这条线将是一条平衡线。

如果

E＝ea( 1

− 1)， f

(14)

和球相交于一条平衡线的那个等势面就是一个球面，其球心是带电点，

其半径是。

属于这种事例的力线和等势面，在本卷末尾的图四中给出。

图 161.〕如果第 156 节中的两个带电点 A 和 B 是带的相等而反号的电荷，零势面就将是一个平面，而上的每一点都和 A、B 等距。

图 8

因此，如果 A 是一个电荷为 e 的带电点，而 AD 是到平面的垂线，延长AD 到 B，使得 DB＝AD，并在 B 点放一个等于－e 的电荷，则这个位于 B 的电荷将是 A 的像，并将在平面的 A 所在的一侧各点上产生一种效应，等于

平面上的实际电荷所产生的效应。因为，A 侧由 A 和 B 引起的势，满足除在 A 点外到处有∇2V＝0 和在平面上 V＝0 的条件，而只有一种形式的 V 能够满足这些条件。

为了确定平面上 P 点处的合力，我们注意到它是由两个力合成的；两

个力都等于

e AP²

，一个沿着AP的方向，另一个沿着PB的方向。因此这

些力的合力就沿着平行于 AB 的方向，并等于

e AP²

AB ．

因此，从平面向 A 所在的空间中量度的合力 R 就是

而 P 点处的密度就是

R＝－ 2eAD ，

AP³

(15)

σ＝－ eAD

2πAP³

. (16)

论电反演

〕电像法直接导致一种变换法；利用这种变换法，可以从我们已知其解的任一电学问题导出任意多的其他问题和他们的解。

我们已经看到，位于离半径为 R 的球的球心为距离 r 处的一个点，它的像位于同一半径的 r′处，使得 rr′＝R2。因此，一组点、一组线或一组面的像，就是通过在纯几何学中被称为反演法，并由恰斯耳斯、萨耳芒以及别的数学家们描述了的方法来从原体系得出的。

如果 A 和 B 是两个点，A′和 B′是他们的像，O 是反演中心，而 R 是反演半径，则有

OA.OA′＝R2＝OB.OB′.

由此可见，三角形 OAB 和 OB′A′是相似的，且有

AB∶A′B′∷OA∶OB′∷OA.OB∶R2. 如果一个电量 e 被放在 A，则它在 B 的势将是

V＝ e .

图 9

如果 e′被放在 A′，则它在 B′的势是

V′＝

e′

A′B′ ．

在电像理论中有 e∶e′∷OA∶R∷R：OA′.由此即得

V∶V′∷R∶OB，(17)

或者说，A 点的电在 B 点上引起的势和 A 点的电像在 B 的像点上引起的势之比，等于 R 和 OB 之比。

既然比值只依赖于 OB 而不依赖于 OA，任何带电体系在 B 点引起的势和体系之像在 B′点引起的势之比就都等于 R 和 OB 之比。

如果 r 是任一点 A 到中心的距离，r′是 A′到中心的距离，e 是 A 所带的电，e′是 A′所带的电，而且如果 L、S、K 是 A 点上的线段元、面积

元和体积元，L′、S′、K′是他们在 A′点的像，而λ、σ、ρ、λ′、σ′、ρ′是这两个点上对应的线密度、面密度和体积度，V 是由原体系在 A 点引起的势，V′是由反演体系在 A′点引起的势，则有

r′ = L′ = R²

= r ′² S′ = R⁴

= r ′⁴ K′ = R⁶

= r ′⁶ 

r L r ²

R² ， S r ⁴

R ， K r ⁶

6 ，



e′ = R = r ′ ， λ ′ = r = R ， 

e r

σ′ r ³

R λ R r ′ 

R ³ ρ′ r ⁵ R⁵ 

σ V′ V

①(18)

= =

= r =

r ′ ³ ， ρ

R .

r ′

= = ， 

R⁵ r ′⁵ 





如果原体系中有一个曲面是一个导体的表面，从而具有常量势 P，则

在变换后的体系中，该曲面的像将具有势P R 。但是通过在反演中心O上

放一个等于－RR 的电量，变换后的曲面的势就被简化为零。

由此可见，当一个导体在空间中被绝了缘并充电到势 P 时，如果我们知道了该导体上的电分布，我们就可以通过反演来求出另一导体上的电分布，该另一导体是第一个导体的像，处于放在反演中心上的一个电荷等于

－PR 的带电点的影响之下，并且被接了地。

〕下列的几何定理在研究反演事例时是有用的。当反演以后，每一个球都变成另一个球，除非它通过反演中心，那时它就变成一个平面。如果两个球的球心离反演中心的距离是 a 和 a′，他们的半径是 a 和 a

′，而且，如果我们把一个球相对于反演中心的强度定义为该球在通过反演中心的一条直线上截取的两条线段的乘积，则第一个球的强度等于 a2－ a2，而第二个球的强度等于 a′2－a′2，在这一事例中，我们有

a′ = a ′

a a

R 2

= a ² − α²

a ′² − α′²

= R2

， (19)

或者说，第一个和第二个球到中心的距离之比等于他们的半径之比，也等于反演球的强度和第一个球的强度之比，或等于第二个球的强度和反演球的强度之比。

反演中心对一个球而言的像，就是另一个球的球心的反演点。

在反演后的曲面是一个平面和一个球面的事例中，从反演中心到平面的垂直距离和反演半径之比，等于反演半径和球的直径之比。

每一个圆都反演成另一个圆，除非它通过反演中心，那时它就变成一条直线。

两个曲面或两条曲线在相交处的夹角不因反演而变。

任何一个通过一个点及其对一个球而言的像点的圆都和该球相正交。由此可见，任何通过一点并和一球正交的圆也将通过该点的像点。164.〕我们可以利用反演法来从不受任何其他物体影响的已绝缘球上

的均匀分布推出另一个受到一个带电点影响的已绝缘球上的电分布。

① 见 Thomson and Tait′s Natural Philosophy,§515.

如果带电点位于 A，就取该点为反演中心。如果 A 离半径为 a 的球心的距离是 a，则反演图形将是一个球，其半径为 a′，其中心距离为 f′，此处

a′ =

f ′ R²

f = f 2 − a 2 ． (20)

其中一个球的心，对应于另一球的心对 A 而言的反演点，或者说，如果 C 是第一个球的心而 B 是它的反演点，则 C′就是反演点而 B′是第二个球的心。

现在设把一个电量 e′传给第二个球，并设它不受外界影响。这个电量将均匀地分布在球上，其面密度为

σ′＝ e′ . (21) 4πa′ ²

它在球外任何一点的作用，将和放在第二个球心 B′上的一个电荷 e

′的作用相同。

在球面上和球面内，势是

即一个常量。

e′

P′＝，

a′

(22)

现在让我们对这一体系进行反演。球心 B′在反演体系中变成反演点

B，而位于B′的电荷e′变成位于B的e′ R ，而且在和B点由曲面隔开

f ′

的任何点上，势是由位于 B 的这一电荷引起的。

在反演体系中，球面上任一点或和 B 位于同侧的任一点上的势是

e′ R ．

a′ AP

如果现在我们在这一体系上叠加一个位于 A 的电荷 e，此处

e＝－ e ′ R，(23)

a ′

则球面上的势以及和 B 位于同侧的一切点上的势将简化为零。在和 A 位于同侧的一切点上，势将是由位于 A 的一个电荷 e 和位于 B 的一个电荷 e′

e′ R 所引起的。

f ′

但是 e′ R ＝－e a ′ ＝－e a ， (24)

f ′ f ′ f

正如我们在前面求得的 B 上的像电荷那样。

为了求出第一个球上任意点处的面密度，我们有

σ＝σ′ AP3 ． (25)

把σ′代成用属于第一个球的那些量表示的值，我们就得到和第 158 节中的值相同的值

σ＝－

e(f ² − a² )

4πaAP ³

. (26)

论相继电像的有限系列

〕如果两个导电平面相交于一个角，而该角等于两倍直角的一个分数，则将存在一个有限的电像系列，而该系列将完全地确定电分布。

因为，设 AOB 是垂直于二导电平面之交线的一个截面，设交角为 AOB

＝，并设P是一个带电点。那么，如果我们以O为心以OP为半径画一

圆，并从 OB 开始找出作为 P 对两个平面而言的相继电像的各点，我们就将得到作为 P 对 OB 而言的像的 Q1、作为 Q1 对 OA 而言的像的 P2、作为 P2 对OB 而言的像的 Q3、作为 Q3 对 OA 而言的像的 P3，作为 P3 对 OB 而言的像的Q2，余类推。

图 10

如果我们从 P 对 OA 而言的像开始，我们将按照相反的顺序而得到同样的点 Q2、P3、Q3、P2、Q1 等等，如果 AOB 是二直角的分数的话。

因为，带电点和每隔一个的像点 P2、P3 是按照等于 2AOB 的角度间隔而排列在圆周上的，而中间的各点 Q1、Q2、Q3 是按照相同大小的间隔排列的。因此，如果 2AOB 是 2π的一个分数，就将存在有限个像，而其中没有一个会落在角 AOB 中。然而，如果 AOB 不是π的分数，那就不可能作为有限系列带电点的结果来表示实际的带电情况。

如果AOB＝，就将有几个负像Q1 、Q 2 等等，每一个都和P相等而

反号，并有 n－1 个正像 P2、P3 等等，每一个都等于 P，而符号也相同。

符号相同的相继二像之间的角度是2π 。如果我们把其中一个导电平

面看成一个对称面，我们就将发现带电点和正像及负像是对该平面对称排列的，使得对于每一个正像都有一个负像和它位于相同的法线上，并位于平面两侧的相同距离处。

如果我们现在相对于任何一点对这一体系进行反演，两个平面就变成

两个球，或变成以角相交的一个球和一个平面，而P的反演点P′则位

于这个角内。

相继的像点位于通过 P′点并和两个球都正交的圆上。为了找出各像点的位置，我们可以利用一条原理，即一个点和它对一个球而言的像是位于球的同一条半径上的。我们可以从 P′开始画出像点位于其上并交替通过两个球心的弦。为了求出必须指定给每一个像的电荷，在交线圆上任取一点，于是每一个像的电荷就正比于它到此点的距离，而其符号的正负则取决于它是属于第一个或第二个序列。

〕这样我们就求得了一种情况下的像点分布，即当任何空间以一

个导体为边界时的情况，该导体包括相交于角的两个球，保持在零

位，并受到一个带电点的影响。

图 11

我们可以利用反演来推出由以角相交的两个球截体构成的一个导

体的事例，该导体被充电到单位势，并放在自由空间中。

为此目的，我们把二平面体系相对于 P 点进行反演并改变各电像的符号。起先各像点所在的那个圆现在变成了通过球心的直线。

如果图 11 代表通过连心线 AB 的一个截面，而 D、D′是交线圆和纸面相交的点，则为了找出相继的像，可以先画出第一个圆的半径 DA，然后

再画DC 、DE 等等，他们和DA π 2π 等等。他们和连心线的交点

n n

A、C、E 等等将是各正像的位置，而每一个像的电荷将由它到 D 的距离来表示。这些像中的最后一个将位于第二个圆的圆心上。

为了找出各个负像，作DQ、DR π 2π 等等。

n n

这些线和连心线的交点将给出各负像的位置，而每个像的电荷将由它到 D 的距离来表示｛因为如果 E 和 Q 是对球 A 而言的反演点，则角 ADE 和角 AQD 相等｝。

其中任一球上任一点处的面密度，是由这一系列像所引起的面密度之和。例如，球心为 A 的球上任一点 S 处的面密度是

σ = 1 4πDA

{1 + (AD² − AB² ) DB

BS³

+ (AD² − AC² ) DC + }，

CS³

式中 A、B、C 等等是正像系列。

当 S 在交线圆上时，面密度为零。

为了求出其中一个球截体上的总电荷，我们可以求由每一个像在该截体上引起的电感的面积分。

位于 A 点而电荷为 DA 的像在球心为 A 的截体上引起的总电荷是

DA DA + OA = 1 (DA + OA)，

2DA 2

式中 O 是交线圆的圆心。

同样，位于B点的像在同一截体上引起的电荷是1 (DB＋OB)，余类

推 OB 之类从 O 向左测量的线段取负值。

由此即得，球心为 A 的截体上的总电荷是

1 (DA＋DB＋DC＋

)＋ 1 (OA ＋OB＋OC＋ ) 2

－ 1 (DP ＋DQ＋ 2

)－ 1 (OP ＋OQ＋）．

〕电像法可以应用于由平面或球面所限定的任何空间，如果这些边界面都相交于二直角的分数角的话。为了这样一组球面可以存在，图形的每一个立体角都必须是三面体角，它的两个角是直角，而第三个角或是直角或是二直角的分数。

由此可知，像数为有限的事例是： (1)单独一个球面或平面。

两个平面、一个球面和一个球面或两个球面相交于π .

这些面以及可以是平面或球面的第三个面和他们相正交。
这些面和第四个平面或球面，它和前两个面相正交，而和第三个面

交于角。在这四个面中至少有一个必须是球面。我们已经分析了第一

个和第二个事例。在第一个事例中，我们有单独一个像。在第二个事例中，我们有 2n－1 个像，沿着一个圆排列成两个系列，该圆通过影响点并和两个面相正交。在第三个事例中，除了这些像和影响点以外，我们还有他们对第三个面而言的像，也就是说，除了影响点，共有 4n－1 个像。

在第四个事例中，我们首先画一个和前两个面相正交的圆并确定圆上的几个负像和 n－1 个正像的位置和电荷，然后，通过包括影响点在内的2n 个点中的每一个点，我们画一个圆和第三个及第四个面相正交并确定圆上的两系列像，每系列有 n＇个像。用这种办法，除了影响点以外，我们将得到 2nn＇－1 个正像和 2nn＇个负像。这 4nn＇个点是属于一条旋轮线的两组曲率线的那些圆的交点。

如果其中每一点都带有应有的电量，则其势为零的曲面将包括 n＋n＇个球面；他们形成两个系列，其中第一个系列中的相继球面相交于角

π π′

，而第二个系列中的相继球面相交于角，而第一个系列中的每一个

n n

球面都和第二个系列中的每一个球面互相正交。

两个正交球的事例.见本卷书末图四

〕设图12 中的 A 和 B 是互相正交于一个圆的两个球的球心，该圆通过 D 和 D＇，直线 DD＇和连心线相交于 C。于是 C 就是 A 对球 B 而言的

像，也是B对球A而言的像。如果AD＝α, BD ＝β,则AB＝，而

如果我们在A、B、C上分别放上等于α、β和－ αβ

的电量，则两

个球都将是势等于 1 的等势面。

因此，我们可以根据这一体系导出下列各事例中的电分布：

在由二球的较大截体形成的导体 PDQD＇上，它的势是 1，而它的电荷是

α + β − αβ = AD + BD − CD．

因此，这个量就量度了这样一个图形在不受其他物体的感应作用时的电容。

球心为 A 的球上任一点 P 处的密度，以及球心为 B 的球上任一点 Q 处的密度，分别是

4πα

(1 − ( β

)³ )和

4πβ

(1 − ( α

) ³)．

在交线圆上，密度为零。

如果其中一个球比另一个球大得多，小球顶点上的密度最后就将是大球顶点上的密度的三倍。

在由二球的较小截体形成的透镜体 P＇DQ＇D＇上，设电量＝

− αβ

，并在单位势下受到A点和B点上的电量α和β的影响，则任

何点的密度将由相同的公式来表示。

在带有电量α的缺月体 DPD＇P＇上，设受到 B 点和 C 点上的电量

− αβ

β和的作用，则它也是在单位势下处于平衡的。

α ² + β²

在带有电量β并受到 A 和 C 的影响的另一个缺月体
QDP＇D＇上。我们也可以确定下列各内表面上的电分布：

受到圆 DD＇的圆心上的内部带电点 C 的影响的透镜形的空腔。

受到凹面中心上的一个点的影响的缺月形空腔。受到三个点 A、B、C 的影响的由二球的较大截体形成的空腔。但是，我们不想直接算出这些事例的解，而却将利用电像原理来确定由放在 O 上并带有单位电荷的一个点在导体 PDQD＇之外表面上的一点 P 处感应出来的电密度。

令OA＝a,OB＝ b,OP＝ r, BP＝ p,

AD＝α, BD＝β,AB＝．

相对于以 C 为心以 1 为半径的一个球来对体系进行反演。两个球将仍然是互相正交的球，球心在 A 和 B 并有相同的半径。如果我们用带撇的字母来代表对应于反演体系的各量，就有

a＇＝

a² −α ²

, b＇＝

b ² − β²

,α＇＝

a ² − α²

,β＇＝

β ，

b ² − β²

1 ₂ β²r ² + (b² − β² )(p² − β² )

r ′ = , p ′ =

r ² ( b² − β² )² .

如果在反演体系中曲面的势是 1，则 P＇点处的密度是

σ′ =

4πα′

(1 − (β′)))． p′

如果在原体系中 P 点处的密度是σ，则

σ = 1 ，

σ′ r ³

而势是。通过在O点放一个等于1的电荷，原曲面上的势将变为零，而

P 点处的密度将是

σ = 1

4π

a ² − α ²

αr ³

(1−

β³r ³ )

1 ．

(β²r ² + (b ² − β² )(p² − β² )) ²

此式给出由位于 O 点的一个电荷在其中一个球截体上引起的电分布。另一个球截体上的分布可以通过交换 a 和 b、α和β并把 p 换成 q 或 AQ 来得出。

为了求出由 O 点上的带电点在导体上感应出来的总电荷，让我们研究反演体系。

在反演体系中，我们在 A＇有电荷α＇，在 B＇有电荷β＇，在 A＇

B＇上的一点C＇有一个负电荷 α′β′ ，使得

A＇C＇∶C＇∷Bα＇2∶B＇2 如果 OA′＝a＇,OB＝b＇,OC＇＝c＇,我们就得到

c′ ² =

a ′²β′ ² + b′²α′ ² − a ′²β′ ²

a ′² + β′²

对这一体系进行反演，各电荷就变成

α′ = α， β′ = β ，

a ′ a b′ b

− = −

αβ ．

由此可见，由 O 点上的一个单位负电荷在导体上引起总电荷就是

α β αβ

+ − ．

a b α ²β² + b²a ² − α ²β²

三个正交球上的电分布

〕设各球的半径为α、β、γ，则

BC＝

β² + γ ,CA＝

γ ² + α ² , AB＝．

设图 13 中的 PQR 是从 ABC 到对边的垂线的垂足，并设 O 是三条垂线的交点。

于是，P 就是 B 对球γ而言的像，也是 C 对球β而言的像。同样，O 就是 P 对球α而言的像。

设把电荷α、β和γ放在 A、B 和 C 各点上。于是，应该放在 P 点上的电荷就是

− βγ = − ．

同样也有AP＝，从而把O看成P的像，O点上的

电荷就是

αβγ = .

用同样的办法，我们可以找出一组像来在电的方面和相互正交的处于势 1 的四个球面相等价。

如果第四个球的半径是δ而且我们令它的球心上的电荷也等于δ，则任何两个球例如α和β的连心线和他们交面的交点上的电荷将是

− ．

任意三个球心 ABC 的平面和球心 D 上之垂线的交点上的电荷是

+ ．

而四条垂线的交点上的电荷是

− ．

相互正交的四个球，势为零，受到一个单位带电点的作用

〕设四个球为 A、B、C、D，而带电点为 O。画四个球 A1、B1、C1、D1，使得其中任何一个例如 A1 通过 O 并和另外三个球即 B、C、D 相正交。再画六个球(ab)、(ac)、(ad)、(bc)、(bd)、(cd)，使得其中每一个都通过 O 并通过两个原有球的交线圆。

三个球 B1、C1、D1 除 O 点外还交于另外一点。设把此点叫做 A＇，并

设 B＇、C＇、D＇分别是 C1、D1、A1，D1、A1、B1，以及 A1、B1、C1 的交点。这些球中的任意两个，例如 A1、B1，将和六球之一(cd)相交于一点（a＇b＇），共有六个这样的点。

其中任何一个球例如 A1 将和六球中的三球(ab)、(ac)、(ad)相交于一

点 a＇。共有四个这样的点。最后，六个球(ab)、(ac)、(ad)、(cd)、(db)、(bc)除 O 点以外还将相交于另一个点 S。

如果我们现在相对于一个以 O 为心以 1 为半径的球来对体系进行反演，四个球 A、B、C、D 就将反演为球，而其他的十个球则将变成平面。在各个交点中，前四个 A＇、B＇、C＇、D＇将变成球心，而其他各点则将对应于以上所述的十一个点。这十五个点就形成 O 对四个球而言的像。

在作为 O 对球 A 而言的像的 A＇点上，我们必须放上一个等于 O 的像

的电荷，即− α ，此处α是球A的半径，而a是它的球心到O点的距离。

按照同样的办法，我们必须在 B＇、C＇、D＇放上适当的电荷。

其他十一个点上的电荷可以通过在上节的表示式中把α、β、γ、δ 换成α′、β′、γ′、δ′并把有关每一点的结果乘以到 O 点的距离来求得，此处

α′ = −

a² − α²

，β′ = −

b² − β²

，r′ =

c² − γ ²

，δ′ = −

δ ．

d ² − δ²

[在第 169、170 节中讨论的各事例可以处理如下：取三个互相正交的

座标平面，让我们在一组八个点（± 1

2α

，± 1 ，±

2β

1 ）上放上电荷±

2γ

e，在有 1 个或 3 个负座标的点上放负电荷。于是显然可见，各座标面的势为零。现在让我们相对于任何一点来进行反演，于是我们就得到受到一个带电点作用的三个正交球。如果我们相对于其中一个带电点来进行反演，

我们就得到由相互正交而半径为α、β、γ的三个球形成的自由带电导体事例的解。

如果在上述一组带电点上再增加上他们对原点为心的一个球而言的像，我们就看到，除了三个座标平面以外，球面也形成零势面的一个部分。]

不相交的两个球

〕当空间由两个不相交的球面所限定时，这一空间中一个影响点的相继像就形成两个无限系列，其中任一个像都不会位于二球面之间，从而是满足电像法的适用性条件的。

任何两个不相交的球都可以通过取他们的两个公共反演点之一来作为反演点而反演成两个同心球。

因此我们将从两个未绝缘的同心球面的事例开始，他们受到放在他们之间的一个影响点 P 的感应作用。

设第一个球的半径为 b，第二个球的半径为 bew，而影响点到球心的距离为 r＝beu。

于是所有的相继像就都将和影响点位于同一条半径上。

设图 14 中的 Q0 是 P 对第一球而言的像，P1 是 Q0 对第二球言的像，Q1 是 P1 对第一球而言的像，依此类推。于是就有

OPs .OQ s ＝ b ，

OP .Oq ＝b ²e^2w ，

同样也有

由此即得

s s-1

OQ ＝be^-u ，

OP ＝be ^u+2w ，

OQ ＝be^-(u+2)w ，等等。

OP ＝be (u+2sw) ，

OQ ＝be-(u+2sw) .

如果 P 点的电荷用 P 来代表，Ps 点的电荷用 Ps 来代表，则

P ＝Pe ^ω ，Q

＝－ Pe-(u+sω ) .

其次，设 Q1＇是 P 对第二球而言的像，P1＇是 Q1＇对第一球而言的像，依此类推，则有

OQ ′ ＝be^2ω-u ，OP ′ ＝be ^υ-2ω ，

1 1

OQ ′ ＝be ^4ω-u ，OP ′ ＝be^u-4ω ，

2 2

OQ ′ ＝be2sω- u ，OP ′ ＝ beu- 2sω ，

s s

Qs′ ＝−Pe^sω-u ，Ps′ ＝Pe^-sω ，

在这些像中，所有的 P 都是正的而所有的 Q 都是负的；所有

的 P＇和 Q 都属于第一个球，而所有的 P 和 Q＇都属于第二个球。第一个球内的各像形成两个收敛的系列，其和是

eω−u − 1

− P eω − 1 ．

因此这就是第一个球或内球上的电量。第二个球外面的各像形成两个发散的系列，但是由每一系列在球面上引起的面积分却是零。因此，外球上的电量就是

 e^ω−u − 1

eω − eω −u

P  = −P

 e

e^ω − 1 ．

如果用 OA、OB 和 OP 把这些表示式的值表示出来，我们就发现

A上的电荷＝−P OA PB ，

OP AB

B上的电荷＝−P OB AP ．

OP AB

如果我们假设各球的半径变为无限大，我们就得到放在二平行板 A 和B 之间的一个点的事例。在这一事例中，这些表示式变为

A上的电荷＝−P PB ，

B上的电荷＝−P AP ．

〕为了从这一事例过渡到不相交的两个任意球的事例，我们首先找出两个公共反演点 O 和 O＇，而通过这两个点的一切圆都和两个球相正交。于是，如果我们相对于其中一个点来对体系进行反演，两个球就变成第一个事例中那样的同心球。

如果我们取图 15 中的 O 点作为反演中心，则此点将位于图 14 中两个球面之间的某个地方。

喏，在第 171 节中，我们求解了一个带电点位于具有零势的两个同心球之间的事例。因此，通过对于 O 点来对这一事例进行反演，我们将导出由附近一个带电点在一内一外两个球面导体上感应出来的分布。在第 173 节中即将指明，可以怎样应用如此求得的结果来找出只有相互作用的球形带电导体上的分布。

图 14 中各相继像点位于其上的那个半径 OAPB，在图 15 中变成通过 O 和 O＇的圆上的一段弧，而 O＇P 和 OP 之比等于 Ceu，此处C 是一个数字量。

如果我们令θ＝log O′P ，α＝log O′A ，β＝log O′B，就有β− α =

OP′ OA OB

ω，u＋α＝θ①.

P 的一切相继像点都将位于圆弧 O＇APBO 上。P 对 A 而言的像是 Q0，此处

θ(Q0

) = log O′Q0

= 2α − θ．

Q0 对 B 而言的像是 P1，此处

θ(P ) = log O′P1 = θ + 2ω．

¹ OP

① {既然 O＇反演为二球的公共球心 O，我们由第 162 节就有

同理

θ(Ps ) = θ + 2sω ，θ(Qs ) = 2α − θ − 2sω．

同样，如果 P 对 B、A、B 等等而言的相继像是 Q0′、P1′、Q1′等等，就有

θ(Q ′ ) = 2β − θ，θ(P ′ ) = θ − 2ω，

θ(P ′ ) = θ − 2sω ，θ(Q ′ ) = 2β − θ + 2sω，．

为了求出任一像 Ps 的电荷，我们注意到，在反演的图形（14）上，它的电荷是

P ．

在原图形（15）中，我们必须用 OPS 来乘这个值。因此，在偶极图中因为 P＝P/OP，所以 Ps 上的电荷是

如果我们令ξ＝

OP.O′P ，并把ξ叫做P点的参数，我们就可以写出

P = ξ s P，

s ξ

或者说，任何像的电荷都正比于它的参数。如果我们利用曲线座标θ和φ，使得

eθ +

式中 2k 是距离 OO＇，则有

x = −

k sinh θ

cosh θ − cosφ

，y = −

k sinφ

cosh θ − cosφ ；

x² + (y − k cot φ) ² = k ² cos ec²φ，

(x + k coth φ) + y ² = k ² cosech ²θ，

cot φ =

x² + y² − k²

2ky

，cothθ = −

x² + y² + k ²

；

2kx

ξ = ．

①

既然每个像的电荷正比于它的参数ξ，而且是按照它采取 P 的或 Q 的形式而为正或负的，我们就得到②

① {此处φ对各像点所在的那段弧上的各点为常数。}

② 在这些表示式中，我们必须记得而θ的其他函数是通过和对应的三角函数相同的定义而从这些函数导出的。对这一事例利用偶极座标的方法，是由汤姆孙在 Liouville’sJournal for1847 中给出的。见汤姆孙重印的 Electrical Papers;§§211 ，212。在正文中，我曾经引用了 Prof.Betti,Nuovo Cimento,vol.xx，中

Ps =

，

P coshθ − cos φ

Qs = ，

cosh(2α − θ − 2sω) − cos φ

P ′ = ，

Q ′ = ．

现在我们已经得出了两个无限系列的橡的位置和电荷。其次我们就必须通过求出球 A 内具有 Q 和 P＇形式的所有各像之和来定出球 A 上的总电荷。我们可以写出

P cosh θ − cosφΣ ^s=∞ ，

．

同样，B 上总的感生电荷就是

P cosh θ − cosφΣ ^s=∞ ，

P −

cosh θ − cos φΣ^s=∞ ．

〕我们将应用这些结果来确定两个球的电容系数和感应系数，二球的半径是 a 和 b，其球心距离是 c。设 A 的势是 1 而 B 的势是 0。

于是，放在球 A 中心上的一个电荷α的各个相继像就将是实际的电分布。所有的像都将位于二球的极点和球心之间的轴线上，而且也可以看到，在第 172 节中所确定的四组像中，只有第三组和第四组存在于这一事例中。

如果我们令

就有sina

k = ，

k sinh k

a b

球 A 中心的 Q 值和φ值是θ＝2α，φ＝0.

因此，在方程中我们必须把P代成α或－ k 1

sinhα

，把θ代成2α，而

把φ代成零，这时要记得 P 本身就形成 A 的电荷的一部分。于是，关于 A 的电容系数，我们就得到

对分析法的考察，但是我保留了汤姆孙在 Phil.Mag,1853 中所用的对电像概念的原始考察。

s=∞

αa s= 0

sinh(sω − α) ，

关于 A 对 B 或 B 对 A 的感应系数，就有

s=∞

ab s= 0

sinh sω ．

按照同样的方式，我们可以假设 B 的势是 1 而 A 的势是 0，这样就可以定出 qbb。按照现在的符号，我们将得到

s=∞

bb s=0

sinh(β + sω) ．

为了按二球的半径 a 和 b 以及他们的球心距离 c 来计算这些系数，我们注意到，如果

就可以写出

sinh α = −

K =

K ，sinhβ =

2ac

2bc

，sinh ω =

，

2ab

cosh α =

c² + a ² − b²

2ca

，cosβ =

c² + b² − a ²

，cosh ω =

2cb

c² − a ² − b²

2ab ；

而且我们可以利用

sinh( α + β) = sinhα cosh β + cosh α sinh β，

cosh( α + β) = coshα cosh β + sinh α sinh β．

利用这种手续或利用在 W.汤姆孙爵士的论文中论述了的那种相继电像的直接计算，我们就得到

q aa

a + c² − b²

+ a3 b2 +

(c² − b² + ac)(c² − b² − a ) a 2 b2

q ab = − c

− c(c² − a ² − b² ) −

a 3 b3 −

c(c² − a ² − b ² + ab)(c ² − a ² − b ² − ab)

ab²

a2 b3

q bb = b + c ² − a ² + (c² − a² + bc)(c² − a ² − bc) +

〕于是我们就有下列的方程来确定当分别充电到势为 Va 和 Vb 时两个球上的电荷 Ea 和 Eb，

Ea＝Vaqaa＋Vbqab. Eb＝Vaqab＋Vbqbb.

如果我们令

q q − q

² = D =

1 ，p = q D′，p = −q D′，p = q D′

aa bb ab

D′ aa bb ab ab bb aa

从而 paa p bb

pab²

= D′；

则利用电荷来确定势的方程是

Va＝paaEa＋pabEb，

Vb＝pabEa＋pbbEb，式中 paa、pab 和 pbb 是电势系数。

由第 85 节可知，体系的总能量是

Q = 1 (E V + E V )

2 a a b b

= 1 ( V²q + 2V V q + V²q )

2 a aa a b ab b bb

= 1 ( E^2a p + 2E E p + E²p )。

2 aa a b ab b bb

因此，由第 92、93 节可知，二球之间的推斥力是

F = 1 {V ² dq aa + 2V V dq ab + V ² dq bb }

2 a dc

a b dc

^b dc

= − 1 {E ² dpaa + 2E E dp ab + E² dpbb }，

2 a dc

a b dc

^b dc

式中 c 是球心之间的距离。

在推斥力的这两个表示式中，第一个即利用二球的势及其电容系数和感应系数之变化率来表示力的表示式最便于计算。因此我们必须对 c 微分各个 q，这些量是表示成 k、α、β和ω的函数的，而且在微分时应该假设a 和 b 为常量。我们由方程

k = −a sinh a = b sinh β = −c sinh α sinhβ ，

sinh ω

dk = cosh α cosh β，

dc sinh ω

得到

da = sinhα cosh β ，

dc k sinh ω

dβ = cosh α sinhβ ，

dc k sinh ω

dω = 1 ；

dc k

由此就有

dqaa

= cosh α cosh β q _aa

Σs=∞ (sc + b cosh β) cosh( sω − α)，

dc sinh ω k

s=0

c(sinh( sω − α)) ²

dqab

= cosh α coshβ q ab

+ Σ s=∞

scosh sω

dc sinh ω k

s= 0

(sinh sω) ²

dq bb = cosh α cosh β q bb − Σs=∞ (sc + α cosh α) cosh( β + sω) ．

dc sinh ω k

s=0

c(sinh(β + sω)) ²

威廉·汤姆孙爵士曾经计算了半径相同而距离小于各球之直径的两个球之间的力，对于更大的距离来说，是不必用到多于两个或三个的相继电像的。

各个 q 对 c 的微分系数的级数表示式，很容易通过直接的微分计算来求得

dqaa = −

2a ²bc

(c² − b² )²

2a³b²c(2c² − ab² − a² )

(c² − b² + ac)(c² − b² − ac)² ，

dqab dc

= ab +

a ²b² (3c ² − a ² − b ² )

c² (c² − a ² − b² ) ²

a ³b³{(5c² − a ² − b² )(c ² − a ² − b ² ) − a² b²}

c² (c² − a² − b² + ab) ² (c² − a ² − b² − ab) ² ，

dq bb = −

2ab²c

(c ² − a ² )²

2a² b³c(2c² − 2a − b² )

(c² − a² + bc) ² (c² − a ² − bc) ² ．

两个相互接触的球上的电分布

〕如果我们假设处于单位势的两个球是没受任何点的影响的，那

么，如果相对于接触点来对体系进行反演，我们就将得到离反演点为 1

和 1 ）并在该点的一个单位正电荷的作用下带了电的两个平面。

这时将有一系列正像，每个都等于1，到原点的距离是s( 1 ＋ 1 )，此

a b

处 s 可取从－∞到＋∞的任意整数值。

也将存在一系列负像，每一个都等于－1，沿 a 的方向计算的到原点

1 1

的距离是＋s( ＋

a a

1 )。b

当这一体系被反演回去而成为互相接触的两个球时，对应于各个正像

我们将有一系列负像，他们到接触点的距离被表示成

s( 1 + 1 ) a b

，式中s对

球 A 为正数而对球 B 为负数。当各球的势为 1 时，每一个像的电荷在数值上等于它到接触点的距离，而且永远是负的。

也将有一系列正像和两个平面的负像相对应，沿着向 a 球的球心的方

向来量度，各正像到接触点的距离可以写成

1 。

1 + s( 1 + 1 )

a a b

当 s 为零或正整数时，像位于球 A 内。当 s 为负整数时，像位于球 B 内。

每一个像的电荷在数值上等于它到原点的距离，而且永远是正的。因此，球 A 的总电荷就是

E = Σs=∞

1 − ab

Σs=∞ 1 ．

a s= 0

1 + s( 1 + 1) a + b

s= 0 s

a a b

这些级数的每一个都是无限大，但是如果我们把他们合并成

s=∞

a s=1

a ²b

s(a + b){s(a + b) − a}

的形式，级数就会变成收敛的。

用同样办法，我们得到球 B 的电荷

E = ∑s=∞ ab − ab ∑s=∞ 1

^b s=1 s(a + b) − b a + b

s=−1 s

= s=∞ ab

s=1 s(a + b){s(a + b) − b

Ea 的表示式显然等于

b −1

ab ∫1 θ^a+b

− 1 dθ，

a + +b 0 1 − θ

这一事例中的结果就是在这种形式下由泊松给出的。也可以证明(Legendre,TraitédesFonctionsElliptiques,ii.438)上述 Ea 的级数等于

a − {γ + Ψ(

b )} a + b

a + b ，

式中γ =.57712

，而Ψ( x) =

d log Γ(1 + X)． dx

Ψ的值已由高斯制了表(Werke,Bandiii.pp.161－162)。

如果暂时用 x 代表 b÷(a＋b)，关于电荷 Ea 和 Eb 之差我们就得到

− d log Γ(1 − x) ×

a + b ，

= ab a + b

d log sinπx，

= πab a + b

cot

πb a + b

当二球相等时，在单位势下，每一球的电荷就是

E = a s=∞ 1

^a ^s=1 2s(2s − 1)

= a(1 − 1 + 1 − 1 + )

2 3 4

= aloge 2 =.69314718a．

当球 A 比球 B 小得多时，A 上的电荷就近似地是

π 2 a 2

Wa = b

s=∞ 1

s=1 s2

或 Ea = 6 b .

B 上的电荷和 A 被取走时近似地相同，或者说

Eb＝b.

每一个球的平均密度通过用表面积去除电荷来求得。这样我们就得到

σa =

σ b =

E a 4πa ² E b 4πb²

= π

14b

= 1 ，

4πb

π2

a 6 b ．

因此，如果使一个很小的球和一个很大的球接触到一起，则小球上的

π2

平均密度等于大球上的平均密度乘以或1.644936.

反演法对球形碗事例的应用

〕W.汤姆孙爵士的电像法的威力的一个最惊人的例示，是由他对以一个小圆为界的一部分球面上的电分布的研究提供出来的。这种研究的结果被报道给了 M.刘维（但未加证明），并于 1847 年在他的《学报》(Journal)上发表了。完备的研究见重印的汤姆孙的《电学论文集》(ElectricalPapers,文 XW)。我不知道有任何别的数学家曾经给出任何曲面之有限部分上的电分布问题的解。

因为我是想论述方法而不是验证计算，我将不再详细介绍几何情况和积分算法，而只请读者们参阅汤姆孙的著作。

椭球上的电分布

〕已经用一种众所周知的方法证明①，由两个相似的同样取向的同心椭球所限定的一个椭球壳的吸引力是这样的：在壳内任何点上，没有合吸引力。如果我们假设壳的厚度无限地减小而它的密度则增大，我们在最后就得到面密度按从中心到切面的垂直距离而变的观念，而且，既然面密度对椭球内任一点的合吸引力为零，如果电是这样分布在表面上的，它就是处于平衡的。

由此可见，在一个没受外界干扰的椭球上，任一点的面密度都将正比于从中心到该点切面的垂直距离。

圆盘上的电分布

通过令椭球的两个轴相等并令第三个轴趋于零，我们就得到圆盘的事例，并得到当充电到势 V 而不受外来影响时这样一个圆盘的任意点 P 上的面密度的一个表示式。如果σ是圆盘一面的面密度而 KPL 是通 P 点的一个弦，则有

a =

① 见 Thomson and Tait’s Natural Philosophy,§520 ，或本书第 150 节。

电反演原理的应用

〕取任意一点 Q 作为反演中心，并设 R 是反演球的半径，则圆盘的平面将变成通过 Q 点的一个球面，而圆盘本身则变成球面上以一个圆周为界的一部分。我们将把这一部分曲面叫做碗。

如果 S＇是充电到势 V＇而未受外界影响的圆盘，则其电像 S 将是势为零并在一个放在 Q 点的电量 V＇R 的影响下而带电的一部分球面。

因此我们已经利用反演手续求得了势为零的并受到放在球或平面的延伸部分的一个带电点影响的碗或平面圆盘的电分布问题的一种解。

放在球面之空余部分上的一个带电点的影响

利用已经给出的原理和反演几何学而求得的解形式如下：如果 C 是球形碗 S 的中心或极点，而 a 是从 C 到碗边上任一点的距离，那么，如果有一个电量 q 被放在球面延伸部分的一点 Q 上，而且 S 被保持在零势，则碗的任一点 P 上的密度σ将是

σ =

，

式中 CQ、CP 和 QP 是 C、Q 和 P 各点的连线。

很可注意的是这个表示式不依赖于碗作为其一部分的那个球面的半径。因此它可以不加改动地应用于平面圆盘的事例。

任意多个带电点的影响

现在让我们把球看作分成了两部分，其中我们已经定出其电分布的那一部分，我们将称之为碗，而其余的部分，或球的空余部分，则是要放影响点的地方。

如有任意数目的影响点被放在球的空余部分上，他们在碗的任一点上感应出来的电可以通对每一个影响点所分别感应出来的密度求和来得出。 179.〕设球面的其余部分是均匀带电的，其面密度为ρ，则碗的任意

点上的密度可以通在这样带电的曲面上求普通的积分来得出。

这样我们就将得到一种事例的解；在那种事例中，碗处于零势并在密度为ρ的刚性带电的球面其余部分的影响下带了电。

现在，设整个体系被绝缘并放在一个直径为 f 的球内，并设该球均匀而刚性地带了电，其面电荷为ρ＇。

在这个球内，将不会有合力，从而碗上的电分布就不会改变，但是球内各点的势却将增大一个量 V，此处 V＝2πρ＇f。因此现在碗上每一点的势都将是 V。

现在让我们假设这个球与碗作为一部分的那个球是同心的，而且二球的半径只相差一个无限小的量。

现在我们就有一个事例，即碗保持在势 V，并受到表面密度为ρ＋ρ＇的刚性带电的球面其余部分的影响。

〕我们现在只要假设ρ＋ρ＇＝ 0，就得到碗保持在势 V 而未受外

界影响的事例。

如果σ是当碗处于零势并受到带电密度为ρ的球面其余部分的影响时的一个表面上给定点处的密度，则当碗被保持在势 V 时，我们就必须在碗的外表面上把密度增加一个ρ＇，即增加上所假设的外围球上的密度。

这种研究的结果就是，如果 f 是球的直径，a 是作为碗口半径的弦，而 r 是作为从 P 到碗极点之距离的弦，则碗的内表面上的面密度是

σ = V { 2π ²f

f ² − a²

a ² − r ²

− tan ⁻¹ }，

而碗的外表面上同一点处的面密度是

σ + V ．

2πf

在这种结果的计算中，没有用到比在球面的一个部分上求普通积分更深奥的任何运算。为了补全关于球形碗的带电的理论，我们只需要关于球面的反演的几何学。

〕设要找出由放在并不位于球面延伸部分的一点 Q 上的一个电量q
在未绝缘碗的任一点上感应出来的面密度。

相对于 Q 点来对碗进行反演，设反演半径为 R。碗 S 将反演为它的像S＇，而点 P 将以 P＇为它的像。我们现在必须确定 P＇点上的密度σ＇，这时碗 S＇保持在势 V＇，使得 q＝V＇R，而且不受任何外力的影响。

原碗的一点 P 上的密度σ是

σ = − σ′R³

这个碗是保持在零势并受到放在 Q 点的一个电量 q 的影响的。这一手续的结果如下：

设图 16 代表通过球心 O、碗的极点 C 和影响点 Q 的一个截面。D 是一个点,在反演图形中和碗沿的空余极点相对应；这个点可以通过下述作图来找出。

通过 Q 点画弦 EQE＇和 FQF＇，于是，如果我们假设反演球的半

径是一条弦由 Q 点分成的两个线段的比例中项，则 E＇F＇将是 EF 的像。平分弧 F＇CE＇于 D＇，使得 F＇D＇＝D＇E＇，并作 D＇QD 交球面于 D，则 D 就是所求的点。另外，通过球心 O 和 Q 作 HOQH＇交球面于 H 和 H＇。于是，如果 P 是碗上的任一点，则在由完整球面和 Q 点隔开的一侧，由放在 Q 点的电量 q 在 P 点上感应出来的面密度是

q QH.QH ′ PQ CD ² − a ² ¹ ₋ PQ CD ² − a ² ¹

σ = { ( ) 2 − tan ¹[ ( ) 2 ]}，

2π ²

HH′.QP³

DQ a ² − CP²

式中 a 代表从碗的极点 C 画到碗的边沿的弦①。在和 Q 相近的一侧，面密度是

① {关于碗上电分布的进一步研究，见 Ferrer’s Quarterly Journal of Math.1882 ；Gallop.,Quarterly Journal,1886,p.229.在这的那个球的半径，而 a 是通过碗边而顶角在球心上的圆锥面的半顶角。并参阅 Kruseman On the Potential of the Electric Field in the neighbourhood of a Spherical Bowk, xxiv .38, 1887. Basset, Proc. Lond. Math. Soc.xvi.p.286.}

σ + q QH.QH ′ ．

2π HH′.PQ³

第十一章附录

｛互相影响的两个球上的电分布，曾经吸引了许多数学家的注意。用定积分表示出来的最初的解，是由泊松在两篇最有威力和最引人入胜的论文中给出，见 Mem.de l ’Institut,1811,(1)p.1,(2)p.163.除了在正文中提到的以外，下列各作者以及另一些人都考虑过这个问题。Plana,Mem.diTorino7,p.71,16,p.57; Cayley,Phil.Mag.(4),18,pp.119,193;Kirchhoff,Crelle,59,p.89,Wied. Ann.27,p. 673;Mascart, C.R.98,p.222,1884.

给出二球上的电荷的两个级数,曾由基尔霍夫写成最简炼的形式。他们也很容易推导如下。

设以 A、B 为心的两个球的半径是 a、b，他们的势分别是 U、V，那么，假如二球并不互相影响，则其电效应将和放在二球心上的两个电荷 aU、bV 的效应相同。当球心距离 c 为有限时，这种电分布就不会使球上各点的势为常量；例如 A 上的电荷将改变 B 球的势。如果我们想要使这个势保持不变，我们就必须找出 A 对 B 而言的像并在那儿放一个电荷，然而这个电荷将改变 A 的势，从而我们又必须找出这个像的像，依此类推。于是我们就将得出一个无限系列的像，而这些像可以很方便地分成四组α、β、γ、δ。前两组是由球心 A 上的电荷引起的，α包括位于球 A 内的那些像，而β包括位于球 B 内的那些像。另外两组γ和δ是由球心 B 上的电荷引起的； γ包括位于 B 内的而δ包括位于球 A 内的那些像。设 pn、fn 代表第一组中第 n 个像的电荷和到 A 的距离，pn＇、fn＇代表第二组中第 n 个像的电荷和到 B 的距离，我们就有各相继电像之间的关系式如下

′ b² ′ p f ′

fn =

c − fn

，pn

= − n n ，

a ² p ′ f

fn +1 =

c − f n

′ ，pn +1 = − n n+ 1 .

由各式消去 fn＇和 pn＇，我们就得到

p (cf − a² )

pn +1

= n n+1 ，（1）

但是 f = a

，从而cf

− a² =

a2 b2

，

n+ 1

c −

c − fn

n+1

e² − cf

pn +1 = pn c 2 − cf

− b² ，

p c² − cf − b²

或者写成

n = n ；

pn+1 ab

p cf − a²

但是由（1）可知

n = n ，

p n−1 ab

p p c² − b ² − a ²

从而就有

n + n = ，

p n+1

pn−1 ab

或者，如果令pn

= 1 ，p pn

n−1

= 1

Pn−1

，pn+1 =

Pn+1

，我们就得到

Pn+1 + Pn−1 =

c² − b² − a ²

ab Pn

我们由各方程的对称性就能看出，如果令p_n′ =

Pn＇或 Pn 的同样的递推公式。由递推公式可见

P_n′

，就将得到关于

式中 a 和 1/a 是方程

P = Aa ⁿ + B ；

a n

x² − x

(c² − a ² − b ² ) ab

+ 1 = 0

的根。我们将假设 a 是小于 1 的那个根，于是就有

a n

pn = Aa ²ⁿ + B ，

而由这一系列像在球上引起的电荷就是

n=∞

n= 0 Aa²ⁿ + B

为了确定 A 和 B，我们有方程①

P0 = U

= A + B，

由此即得

P1 =

c² − b²

Ua ²b

= Aa + B ；( 第164节)

A = − (a + ba) ²

= −ξ²

B c² ，

2 a n

pn = aU{1 − ξ

}1 − ξ²a ²ⁿ ，

1 a a ²

Σp n

′

= aU(1 − ξ ² ){

a n

1 − ξ²

+ 1 − ξ²a ²

+ 1 − ξ2 a 4 + }；

pn = A′a ²ⁿ + B′ ，

p ′ = − abU = 1 ，

⁰ c A′ + B′

′ a² b²U a

p1 = − c(c² − (a² + b² )) = A′a ² + B′ 。

由此即得

A＇/B＇＝-a2

① {译注：此处的 A 和 B 是两个系数，而不是前面所设的两个球心。}

′ abU ₂ 1 a a ³

以及 Σp n = −

{1 − a

}{1 − a ² + 1 − a⁴

+ 1 − a 6 + }．

因此，如果 E1 和 E2 是二球上的电荷，而且如果

E1＝q11U++q12V，

E2＝q12U+q22V；

则有

q11 = a(1 − ξ ){ 2 2 2 2 4

1 − ξ

q = − ab (1 − a ² ){

1 − ξ a

1 + a

1 − ξ a a 2

+ + }，

12 c

1 − a ² 1 − a ⁴

1 a

1− a ⁶

a 2

q 22 = b(1 − η

){1− η² + 1 − η²a ²

+ 1 − η2 a4 + }，

式中 η²

(b + aa ² )

= c2

这就是由泊松和基尔霍夫给出的那些级数。

∈p

既然 p

+1 = 2 + 4∫∞

sin pt

dt ①，

∈ −1

1 = 1 − 1 − 2 ∞



p 0

sin pt

∈2 πt −1

dt，

1− ∈^p

就有

a n

2 p

= 1 _n

∫0 ∈ 2πt − 1

∞ a ⁿ sin(2n log a + 2 log ξ)

1− ξ ²a²ⁿ

2 a − 2n log a + 2 log ξ − 2∫0

∈2πt −1

dt，

a 1 1 a ⁿ

1 − ξ a = 2 1 − a − ∑ 2n log a + 2 log ξ

∞ n

2∫ ∑ a sin(2n log a + 2 log ξ)tdt．

₀ ∈2 πt −1

a n ∞ ∈2 t log ξ

现在 ∑ 2nlog a + 2 log ξ = ∫0

而且

1− a ∈2t log a dt，

Σan sin(2n log a + 2 log ξ)t = sin(2t log ξ) − a sin(2t log ξ / a) ；

1 − 2a cos(2t log a) + a ²

从而就得到

₂ 1 1

∞ ∈2t logξ

q11 = a(1 − ξ

^){2 1 − a − ∫

1 − a ∈2 t loga dt

2∫∞ sin(2t logξ) − a sin(2t log ξ / a) }dt，

₀ (∈2πt

−1)(1− 2a cos(2t log a) + a ² )

这就是关于这些表示式的泊松积分。}

① {De Morgan,Diff.and Int.Cal.p.672.}

第十二章二维空间中的共轭函数理论

〕电平衡问题已经解出的那些独立的事例是为数很少的。球谐函数法曾被应用于球形导体，而电像法和反演法在他们可以应用的事例中是更强有力的。就我所知，二次曲面的事例是当力线并非平面曲线时人们已知其等势面和力线的唯一事例。

但是，在电平衡理论中，以及在电流的传导理论中，却存在一类重要的问题，即我们只要考虑二维空间的那种问题。

例如，如果在所考虑的整个那一部分电场中以及在它以外的一段相当距离之内，一切导体的表面都是由平行于 z 轴的直线的运动所生成的，而且这种情况不再存在的那一部分场离所考虑的一部分场很远，以致远方场的电作用可以忽略不计，则电将沿着每一条母线而均匀分布，从而如果我们考虑由相距为一单位的两个垂直于 z 轴的平面所限定的一部分场，势和电分布就将只是 x 和 y 的函数。

如果ρdxdy 代表一个体积元中的电量，该体积元的底是 dxdy 而其高为 1，而σds 代表一个面积元上的电荷，该面积元的底是线段元 ds 而其高为 1，则泊松方程可以写成

d² V + d ²V + πρ

dx²

dy²

＝0．

当不存在自由电荷时，此式就简化成拉普拉斯方程

d² V + d ²V

dx²

dy²

＝0．

普遍的电平衡问题可以叙述如下：

给定一个由闭合曲线 C1、C2 等等限定的二维连续空间，试求一个函数V 的形式，使它在这些边界线上的值分别为 V1、V2 等等，且对每一边界线来说为常量，而在空间中，V 则可以是有限的、连续的和单值的，而且是可以满足拉普拉斯方程的。

即使是这个问题，我也不知道有人给出过任何普遍的解，但是在第 190 节中给出的一种变换法却对这一事例是适用的，而且是比适用于三维问题的任何已知方法都更加有力的。

这种变换法依赖于二变数共轭函数的性质。

共轭函数的定义

〕两个量α和β称为x和y的共轭函数，如果α + − 1β是x +

y 的函数。

由这一定义可以推出

dα = dβ 和dα + dβ = 0；(1)

dx dy dy dx

d²α + d²α

＝0，

d ²β

+ d ²β

＝0．(2)

dx ² dy ²

dx²

dy²

由此可见，两个函数都满足拉普拉斯方程，另外还有

dα dβ − dα dβ = dα

2 2 2

d = d + d

= R² ．(3)

dx dy

dy dx dx dx

dx dy

如果 x 和 y 是直角座标，而且 ds1 是曲线β＝常数在曲线(α)和(α＋ dα)之间的段落，而 ds2 是α在(β)和(β＋dβ)之间的段落，则有

dα

而各曲线是互相正交的。

= ds2

dβ

= 1 ，(4) R

如果我们假设势 V＝V0＋kα，或中 k 是某一常量，则 V 将满足拉普拉斯方程，而各曲线(α)就将是一些等势线。各曲线(β)将是一些力线，而在 xy 平面上的投影是曲线 AB 的一段单位长度的柱面上的面积分就将是k(βB－βA)，此处βA 和βB 是β在曲线二端点上的值。

如果在平面上画出一系列曲线来和按算术级数变化的α值相对应，并画出另一系列曲线来和具有相同公共差值的β值相对应，则这两组曲线将到处正交；而且，如果公共差值足够小，平面被分成的面积元最终就将是一些小方块，他们的边在场的不同部分将有不同的方向和大小，即反比于R。

如果两条或更多条等势线(α)是在他们之间围出一个连续空间的闭合曲线，我们就可以把这些曲线看成其势分别为 V0＋kα1、V0＋kα2 等等的一些导体的表面。其中任一表面上在力线(β1)和(β2)之间的电量，

将是 4π

(β 2 －β1 )，

因此，两个导体之间的等势线的数目，就指示他们之间的势差，而从一个导体出发的力线的数目，就将指示导体上的电量。

其次我们就必须叙述几条有关共轭函数的最重要的定理，而在证明这些定理时我们或是利用包含着微分系数的方程组(1)，或是利用涉及虚数符号的原始定义。

〕定理一 如果 x′和 y′是对 x 和 y 而言的共轭函数，而 x″和y″也是对
x 和 y 而言的共轭函数，则 x′＋x″和 y′＋y″也将是对 x 和y 而言的共轭函数。

因为， dx ′ = dy′ ，而dx ′′ = dy′′ ；

dx dy dx dy

故有 d( x′ + x′′) = d(y′ + y′′) ．

dx dy

又因 dx′ = − dy′ ，和 dx′′ = − dy′′ ；

dy dx dy dx

故有 dd( x′ + x′′) = − d( y′ + +y ′′) ；

dy dx

或者说 x′＋x″和 y′＋y″而言的共轭函数。

作为二给定函数之和的一个函数的图解表示法

设 x 和 y 的一个函数(α)在 xy 平面上用一系列曲线表示了出来，其中

每一条曲线对应于一个α值，而各条曲线所对应的值有一个公共差值δ。设 x 和 y 的任一另外的函数(β)按同样的办法用一系列曲线表示了出

来，各曲线对应于一系列和各α值有着同样公共差值的β值。

于是，为了用同样方式把函数(α＋β)表示出来，我们必须画一系列曲线通过(α)曲线和(β)曲线的交点，从(α)和(β)的交点到(α＋δ)(β

－δ)的交点，然后到(α＋2δ)和(β－2δ)的交点，余类推。在其中每一个交点上，函数将有相同的值，即(α＋β)。下一条曲线必须画得通过(α) 和(β＋δ)的交点、(α＋β)和(β)的交点、(α＋2δ)和(β－δ)的交点，等等。属于这条曲线的函数值将是(α＋β＋δ)。

按照这种办法，当 (α)的曲线系列和(β)的曲线系列已经画出时，(α

＋β)的系列就可以被画出。这三组曲线可以分别画在透明的纸上，而当把第一组和第二组适当地重叠起来时，第三组曲线就可以画出。

用这种相加的办法来对共轭函数进行组合，我们就能毫不困难地画出许多有趣事例的图形，如果我们知道怎样画他们所由组成的更简单事例的图形的话。然而我们却有一种更加有力得多的变换解的方法，这依赖于下述的定理。

〕定理二 如果 x″和 y″是对变数 x′和 y′而言的共轭函数，而 x′和
y′是对 x 和 y 而言的共轭函数，则 x″和 y″将是对 x 和 y 而言的共轭函数。

因为 dx′′ = dx′′ dx′ + dx′′ dy′ ，

dx dx′ dx dy′ dx

= dy′′ dy′ + dy′′ dy′ ，

dy′ dy dx′ dy

= dy′′ ；

而且 dx′′ = dx′′ dx′ + dx′′ dy′ ，

dy dx′ dy dy′ dy

= − dy′′ dy′ − dy′′ dx′ ，

dy′ dx dx′ dx

= − dy′′ ；

而这就是 x″和 y″应为 x 和 y 的共轭函数的条件。

这一点也可以根据共轭函数的原始定义来证明。因为x″＋

− 1y″

是x′＋

1y′的函数，而x′＋
1y′是x＋
1y的函数。由此就知道

x″＋

1y″是x＋
1y的函数。

同样我们也可以证明，如果 x′和 y′是 x 和 y 的共轭函数，则 x 和 y 是 x′和 y′的共轭函数。

这一定理可以图解地诠释如下：

设把 x′和 y′看成直角座标，并设在纸上画出了按算术级数取值的 x

″和 y″的曲线。这样就有两组曲线把纸面分成小的方块。设纸上还有一些等距的水平线和竖直线，上面标有对应的 x′值和 y′值。

其次，设用另一张纸，在上面画出 x 和 y 作为直角座标，并画出 x′

和 y′的两组曲线，每一条曲线上都标有对应的 x′值或 y′值。这一个曲线座标系将和第一张纸上的直角座标系 x′、y′一点一点地互相对应。

因此，如果我们在第一张纸上的 x″曲线上取任意数目的点，并注意这些点上的 x′值和 y′值，然后在第二张纸上标出对应的点，我们就将找到变换后的 x″曲线上的若干个点。如果我们在第一张纸上对 x″的和 y″ 的曲线全都这么作，我们就将在第二张纸上得出形式不同的 x″曲线和 y

″曲线，这些曲线具有相同的把纸面分成小方块的性质。

〕定理三 如果 V 是 x′和 y′的任一函数，而 x′和 y′是 x 和y
的共轭函数，则

d ²V

d² V

d ²V

d ² V

∫∫ ( dx2

+ dy 2 )dxdy = ∫∫ ( dx′ 2 + dy′2 )dx′dy′，

式中两端的积分限相同。因为，

dV = dV dx′ + dV dy′ ，

dx dx′ dx dy′ dx

d² V = d ²V dx′ ₂

d ²V dx ′ dy′

d ² V dy′ ₂

dx² dx′ ² ( dx )

+ 2

dx′dy′ dx

dx + dy′² ( dx )

dV d² x′ + dV d ²y′

dx′ dx ² dy′ dx² ；

d ² V

而且 =

dy²

d ²V dx′ ₂

( ) 2

dx′ ² dy

d ²V dx′ dy′ +

dx′dy′ dy dy

d ²V dy′ ₂

( )

dy′² dy

dV d² x′ + dV d ²y′

dx′ dy ² dy′ dy² ．

把最后二式相加并记得共轭函数的定义(1)，我们就得到

d² V + d ²V =



d² V dx ′ ₃ + dx′ ₂

+ d ²V dy′ ₂ + dy′ ₂

dx² dy²

{( ) ( ) }

dx′² dx dy

dy′ 2 {( dx ) ( dy ) }，

d ²V

dx′ dy′

由此就有

( dx′ ² + dy′² )( dx

−

dy dy

dx )．

d ²V

d² V

d ²V

dx′ dy′

∫∫ ( dx2

+ dy 2 )dxdy = ∫∫ ( dx′ 2 + dy′2 )( dx

−

dy dy

)dxdy，

= ∫∫ ( d 2 V + d 2 V)dx′dy′．

dx′ ² dy′²

如果 V 是一个势，则由泊松方程得到

d² V

dx²

d² V

＋ dy²

+ 4πρ＝0，

从而我们可以把结果写成

∫∫ ρdxdy＝ ∫∫ ρ′dx′dy′，

或者说，如果一个体系的座标是另一体系的座标的共轭函数，则二体系的对应部分上的电量是相同的。

关于共轭函数的其他定理

〕定理四 如果 x1 和 y1，以及 x2y2 是 x 和 y
的共轭函数，并有X＝x1x2－y1y2，和 Y＝x1y2＋x2y1，

则 X 和 Y 将是 x 和 y 的共轭函数。因为

X＋ − 1Y＝(x1 ＋

− 1y1 )(x2 ＋

− 1y2 )．

定理五 如果φ是方程

d²φ + d²φ =

的一个解，并有

2 2

dx²

dy2 0，

dφ

2R＝ log( dφ +

)，和Θ = − tan ⁻¹ dx ，

dφ

则 R 和Θ将是 x 和 y 的共轭函数。

因为R和Θ是 dφ 和 dφ 的共轭函数，而这些又是x和y的共轭函数。

dy dx

例一——反演

〕作为普遍的变换法的一个例子，让我们采取二维空间中的反演这一事例。

如果 O 是空间中的一个固定点，而 OA 是一个固定方向，而且 r＝OP＝ aeρ而θ＝AOP，此外并设 x、y 是 P 对 O 而言的直角座标，

ρ＝log 1 x ² + y² ，θ＝tan^-1 y ，

α x

x＝ae ^ρ cosθ，y＝ae^ρ sin θ，

于是ρ和θ就是 x 和 y 的共轭函数。



(5)





如果ρ′＝nρ而θ′＝nθ，则ρ′和θ′将是ρ和θ的共轭函数。在 n＝－1 的事例中，我们有

a 2

r′＝，和θ′＝－θ，(6) r

这就是普通的反演再加上图形从 OA 开始的 180°转动。

二维空间中的反演

在这一事例中，如果 r 和 r′代表对应点到 O 的距离，e 和 e′代表物体的总电量，S 和 S′代表面积元，V 和 V′代表体积元，σ和σ′代表面密度，ρ和ρ′代表体密度，φ和φ′代表对应的势，则有

r ′ = S′ = a²

= r ′² V′ = a ⁴

= r ′⁴ 

r S r ²

e′ = σ′

，

a ² V r ⁴

r ² a ² ρ′



， 

a4 

r a⁴ 

e 1， σ

= a2

= r ′2 ， ρ

= a 4

= r ′ 4 ，

，（7）

而按照假说，φ′是通过用新的变数来表示旧的

变数而从φ得出的，故有φ′ ＝1。 

φ 

例二——二维空间中的电像

图 17

〕设 A 是一个处于零势的半径 AQ＝b 的圆的中心，而 E 是一个位于 A
的电荷，则任一点 P 上的势是

φ＝2Elog b

；(8)

而如果此圆是一个中空导体圆柱的截面，则任意点 Q 上的面密度是

E 。

2πb

相对于一个点 O 来对这一体系进行反演，令

AO＝mb，和 a2＝（m2－1）b2；

则圆反演为它自己，而我们在 A′有一个等于 A 点电荷的电荷，此处

AA′＝ b ．

Q′点的密度是

−

而圆内任一点 P′上的势是

2πb

b ² − AA′ 2

A′Q′ ² ，

φ′＝φ＝2E((logb－logAP)，

＝2E（logOP′－logA′P′－logm）．(9)

这和一个势相等价，该势起源于 A′点的一个电荷 E 和 O 点的一个电荷－E，后一电荷是 A′对圆而言的像。因此 O 点上的想像电荷就和 A′点上的电荷相等而反号。

如果 P′点是用它的相对于圆心的极座标来确定的，而且我们令ρ＝logr－logb，和ρ0＝logAA′－logb，

就有

AP′＝be^ρ ，AA′＝be^ρ0 ，AO＝be ^-ρ0 ；(10)

而点（ρ，θ）上的势就是

φ＝Elog（e^-2ρ0 －2e^-ρ0 e^ρcosθ＋e^2ρ ）

－Elog（e^2ρ0 －2e^ρ 0 e^ρcosθ＋e^2ρ）＋2Eρ0 ．(11)

这就是由放在点（ρ0，0）上的一个电荷 E 所引起的势，其条件是当 P

＝0 时φ＝0。

在这一事例中，ρ和θ就是方程(5)中的共轭函数：ρ就是一点的矢径和圆的半径之比的对数，而θ是一个角。

圆心是这一座标系中的唯一奇点，而沿一条闭合曲线的线积分 dθ

ds 是零或 2π，全看闭合曲线是不包围或包围圆心而定。

例三——这一事例的诺意曼变换①

〕现在设α和β是 x 和 y
的任意共轭函数，使得(α)曲线是由一个体系引起的等势线而(β)曲线是力线；该体系包括放在原点上的每单位长度上为二分之一单位的电荷，和在离原点有一定距离处按任意方式放置的一个带电体系。

让我们假设，势为α0 的那条曲线是一条闭合曲线，而且除了原点处的二分之一单位的电荷以外带电体系的任何部分都不在曲线之内。

于是这一曲线和原点之间的一切(α)线都将是围绕原点的闭合曲线，

而所有的(β)线都将相交于原点并和(α)线相正交。

曲线(α0)内任一点的座标将取决于该点的α值和β值，而如果该点沿着正方向在其中一条(α)线上运动，则每运动一周β值就将增加 2π。

如果现在我们假设曲线(α0)是一个任意形状的中空导体的内表面，并

假设该导体在线密度为 E 的一条以原点为其投影的直线电荷的影响下保持于零势，我们就可以把外部带电体系排除于考虑之外，而关于曲线(α0) 内任一点的势就有

φ＝2E（α－α0），(12)

而关于曲线α0 上任意和β1 及β2 相对应的二点之间的部分上的电量则有

Q＝ 1 2π

E(β

1 − β2

)．(13)

如果利用这种办法或任意别的办法而当电荷放在取为原点的一个给定点上时确定了给定截面上一条曲线上的势分布，我们就可以利用普遍的变换法来过渡到电荷放在任意别的点上的事例。

设电荷所在点的α值和β值是α1 和β2，则在方程(11)中把ρ代成α

－α0，把ρ0 代成α1－α0（在表面α＝α0 上二者都等于零），并把θ代成β－β′，我们就得到座标为α和β的任一点上的势

φ＝Elog(1－2e^α+α1 − 2α 0 cos(β－β ) ＋e^2(α+α1 − 2α 0 ) )

－Elog(1－2e^α−α1 cos( β－β )＋e ^2(α−α1 ) )－2E(α －α )．(14)

这一势的表示式当α＝α0 时变为零，而且在曲线α0 内除（α0，β0）点以外的任何点上都为有限和连续；在（α0，β0）点上，第二项变为无限大，而在该点的邻域中，这一项趋于－2Elogr′，此处 r′是到该点的距离。

因此我们就得到了一种手段，当位于任一其他点上的电荷的问题的解为已知时，可以导出位于一条闭合曲线内的任一点上的一个电荷的格林问

① 见 Crelle’s Journal ，lix.p.335,1861,并见 Schwarz Crelle,lxxiv.p.218,1872.

题的解。

放在一点（α1，β1）上的一个电荷 E 在曲线α0 上介于β和β＋dβ 二点之间的线段元上感应出来的电荷，按照第 183 节的符号就是

1 dφ ds ，

4π ds1

式中 ds 是向内测量的，而且在微分以后要令α等于α0。由第 183 节的(4)式，此式变为

1 dφ dβ，( α＝α )；

即 − E

4π dα

1- e2( α1 −α 0 )

( α −α ) dβ.(15)

2π 1 - 2e^(α1 −α 0 ) cos(β − β

) + e2 1 0

由这一表示式，当闭合曲线的每一点上的势已经作为β的函数而被给出，而在闭合曲线内又不存在电荷时，我们就可以求出闭合曲线内任一点

（α1，β1）上的势。

因为，由第 86 节可知，由于使闭合曲线上的一段 dβ保持在势 V 而在

（α1，β1）上引起的那一部分势是 nV，此处 n 是由（α1，β1）上的一个单位电荷在 dβ上感应出来的电荷。因此，如果 V 是在闭合曲线的一点上作为β的函数而定义的势，而φ是闭合曲线之内的点（α1，β1）上的势，而且该曲线内又不存在电荷，则有

1 2π (1 − e^2(α1 −α 0 ) ) Vdβ

φ＝ 2π ∫0

1 − 2e^(α1 −α 0 ) cos(β − β

) + e2( α1 −α 0 ) ．(16)

例四——两个平面相交而形成的导体的棱线附近的电分布

〕在导体有一个无限平面 y＝0，沿 y
的负方向伸向无限远处并带有面密度为σ0 的电荷的事例中，我们求得离平面的距离为 y 处的势是

V＝C－4πσ0y，式中 C 是势在导体本身上的值。

在平面上取一条直线作为极轴并变换到极座标，我们就得到势的表示

式

V＝C－4πσ0aeσsinθ，

而在宽为一单位而沿着极轴测量的长为 aeσ的一个长方形上，电量就

是

E＝σ0aeσ.

其次让我们令ρ＝nρ′而θ＝nθ′，则由于ρ′和θ′是与ρ和θ

共轭的，方程

V＝C－4πσ ae ^nρ′sinnθ ′

E＝σ ae^nρ′

就表示势和电的一种可能的分布。

如果我们把 aeσ′改写成 r，则 r 将是离轴的距离；我们也可以不用θ

′而用θ来代表角度。于是我们就将得到

r n

V＝C－4πσ a n−1 sinθ，

r n

E＝σ0 a n −1 ．

每当 nθ等于π或π的倍数时，V 就将等于 C。

设棱线是导体的一个凸角，其二平面的夹角是α，则电介质的角是 2 π－α，因此当θ＝2π－α时点就是在导体的另一个面上的。因此我们必须令

于是就有

n(2π－α)＝π，或n＝

2π − α ．

r π πθ

V = C − 4πσ α( ) ^2π−α sin ，

⁰ α 2π − α

r π

E＝σ α( ) ^2π−α ．

0 α

在离棱线任一距离 r 处，面密度是

dE π

r r a−r

σ = =

2π − α α

)σ0

( ) 2π−α ．

当角为一凸角时，α小于π，从而面密度就随离棱线距离 r 的某一负数幂而变，从而在棱线本身上密度就变为无限大，尽管从棱线计算到任何有限距离处的总电荷永远是有限的。

例如，当α＝0 时棱角就是无限尖锐的，像一个数学平面的边沿那样。在这一事例中，密度和离棱线的距离的平方根成反比。

π 2

当α＝时，棱角有如一个等边三棱镜的角，而密度则和距离的

3 5

次幂成反比。

当α＝时，棱角是一个直角，而密度则和距离的立方根成反比。

当α＝ 2π 时，棱角有如一个正六角柱的角，而密度则和距离的四次

方根成反比。

当α＝π时，棱线不存在，而密度则为常量。

当α＝ 4π 时，棱角有如六角柱外面的角，而密度则和离棱线的距离

的平方根成正比。

当α＝ 3π 时，棱角是一个反向直角，而密度正比于离棱线的距离。

当α＝ 5π 时，棱角是60°的反向角，而密度正比于离棱线距离平

方。

事实上，在密度在任一点上变为无限大的一切事例中，都在该点有向电介质中的放电，正如在第 55 节中解释过的那样。

例五——椭圆和双曲线。图十

〕我们看到，如果

x ＝e^φcosψ，y ＝e^φsinψ，(1)

则 x1 和 y1 将是φ和ψ的共轭函数。

另外，如果 x2＝e-φcosψ，y2＝－e-φsinψ，(2) 则 x2 和 y2 将是φ和ψ的共轭函数。由此可知，如果

2x＝x1＋x2＝(eφ＋e-φ)cosψ，2y＝y1＋y2＝（eφ－e-φ）sinψ，(3) 则 x 和 y 也将是φ和ψ的共轭函数。

在这一事例中，φ为常数的各点位于一个椭圆上，椭圆的轴是 eφ＋e-

φ和 eφ－e-φ。

ψ为常数的各点位于双曲线上，其轴为 2cosψ和 2sinψ。在 x 轴上，在 x＝－1 和 x＝＋1 之间，有

φ＝0，ψ＝cos-1x.(4) 在 x 轴上，在上述界限外面的两侧，我们有

x＞1，ψ＝2nπ，φ＝log（x＋

x² − 1），

x＜－1，ψ＝（2n＋＋1）π，φ＝log（

x² − 1－x）.(5)

因此，如果φ是势函数而ψ是流函数，我们就有这样的事例：电在－1 和＋1 二点间的空间中从 x 轴的正侧流向负侧，x 轴上这个界限以外的部分是不允许电通过的。

在这一事例中，既然 y 轴是一条流线，我们可以假设它也是不允许电荷越过的。

我们也可以把各椭圆看成等势面的截线，那些等势面由一个宽度为 2 的无限长的导体片所引起，导体的每单位长度上带有二分之一个单位的电荷。{这里包括导体片的两个表面上带的电荷。}

如果我们令ψ为势函数而φ为流函数，事例就变成这样：在一个无限大的平面上切除了宽度为 2 的一条，剩下的部分一边充电到势π而另一边则保持为零势。

这些事例可以看成在第十章中处理了的二次曲面的特例。各曲线的形式在图十中给出。

例六——图十一

〕其次让我们把 x′和 y′看成 x 和 y 的函数，此处

x′＝blog x ² + y ² ，y′＝btan ^-1 y ，(6)

这时 x′和 y′也将是第 192 节中的φ和ψ的共轭函数。

由相对于这些新座标作出的图十的变换而得到的曲线，在图十一中给出。

如果 x′和 y′是直角座标，则第一个图中的 x 轴的那些性质在第二个图中将属于一系列平行于 x′轴的直线 y′＝bn′π，式中 n′是一个任意整数。

这些线上的正 x′值将和大于 1 的 x 值相对应，而正如我们已经看到的那样，对于这些值有

x²

2x′

ψ＝nπ，φ＝log（x＋

x² − 1）＝log（e b ＋

e b − 1）.(7)

同一些线上的负 x′值将和小于 1 的 x 值相对应，而我们已经看到，对于这些值有

x′

φ＝0，ψ＝cos^-1x＝cos^-1e b ．(8)

第一个图中的 y 的轴的那些性质，在第二个图中将属于一系列平行于x′轴的直线，他们的方程是

y′＝bπ（n

′＋）

.(9)

沿着这些线，ψ的值在一切正的和负的点上都是ψ＝π（n 1

而且

x′ 2x′

φ＝log((y＋

y² + 1)＝log(e ^b

+ e ^b

+ 1)．(10)

[φ和ψ为常数的那些曲线，可按方程

x′ = 1

1 2φ

b log (e 4

+ e− 2φ

+ 2 cos2ψ)，

−1 eφ − e−φ

y′ = btan ( eφ + e − φ tan ψ)．

直接画出。既然图形按 y′值的区间πb 而重复出现，只要在其中一个区间中画出曲线也就够了。

现在，按照是φ还是ψ随着 y′而变号，将有两种事例。让我们假设φ是这样变号的。这时ψ为常数的任何曲线都将对 x′轴为对称，并在负侧的某点上和该轴正交。如果我们从这个φ＝0 的点开始来逐渐增大φ，曲线就将渐渐弯曲，从起初和 x′轴正交而在大的φ值处终于变得和该轴平行。x′轴的正值部分是曲线组的一个轴，就是说，ψ在那儿为零，而

且当y 1 b 1 0 1

2 2 2

的那些线就形成一组包围着正 x′轴的曲线。φ有常数值的那些曲线和ψ曲线组相正交，φ值的范围是从＋∞到－

∞。对于在 x′轴的上方画出的任一条φ曲线来说，φ值都是正的，在负 x

′轴的部分其值为零；而对于在 x′轴的下方画出的任何曲线来说，φ值是负的。

我们已经看到ψ组是对 x′轴为对称的；设 PQR 是任意一条曲线，和

该组正交而在直线y 1 b上的端点为P和R，Q点位于x′轴上。这

＝± π

时，曲线 PQR 是对 x′轴为对称的，但是，如果沿 PQ 的φ值是 c，则沿 QR 的φ值将是－c。这种φ值的不连续性，将在第 195 节所要讨论的事例中用一种电分布来加以说明。

如果我们其次假设不是φ而是ψ随 y′而变号，则φ值的范围是从 0 到∝。当φ＝0 时我们有 x′轴的负值方面，而当φ＝∝时我们有无限远处

的一条垂直于 x′轴的线。在这二者之间，沿着和ψ组正交的任一曲线PQR，φ的值在整条曲线上都是常数，并且是正的。

现在，任何的ψ值在它的等值线越过负 x′轴的地方都会经历一次突然的变化，它的符号将在该处改变。这种不连续性的意义将在第 197 节中给出。

我们已经说明其画法的那些线，已经画在图十一中，如果我们只看那张图的三分之二，而把最上部的三分之一去掉的话。]

〕如果我们把φ看成势函数而把ψ看成流函数，我们就可以认为事例是这样的：一个宽度为πb
的无限长的金属片，有一个不导电的开口从原点向正方向无限延伸，从而把长片的正向部分分成两个分离的通道。我们可以假设这个开口是金属片上的一条狭缝。

如果让一个电流沿着一个通道流走并沿着另一个通道返回，电流的出入点都在原点的正向一方的无限远处，则势和电流的分布将分别由函数φ 和ψ给出。

另一方面，如果我们今ψ为势函数而φ为流函数，则事例将是这样的：一个电流通过一个长片而沿着 y′的普遍方向流动，长片上有若干条平行于 x′的不导电的开口，从 y′轴向负方向延伸到无限远处。

〕我们也可以把结果应用于两个重要的静电事例。(1)设把一个平面片状的导体，以一条直线为边而在其他方向则无限延伸，放在
xz 平面上原点的正侧，并设有两个无限大的导电平面和它平行地放着，在两侧各离

开一个距离 πb。这时，如果ψ是势函数，则它的值在中间导体上是

零，而在两侧导体上则是 2 π。

让我们考虑中间导体的一个部分上的电量，该部分在 z 方向上延伸到一个距离 1 并从原点延伸到 x′＝a。

这一长条的从x ′ 延伸到x

′ 的那一部分上的电量是

4π (φ1 －φ2 )。

因此，从原点到 x′＝a，中间平板的一面上的电量就是

E = 1

4π

log( e b +

2 a

e b − 1)．(11)

如果 a 比 b 大得多，此量就变成

1 a

E＝ 4π log2e ，(12)

＝ a + b log e 2 ．

4πb

由此可见，以一个直棱为界的平面上的电量，大于以它在离边界有一距离的的同一面密度而均匀带电时的电量，而且等于它向实际边界以外延伸一个宽度 bloge2 并具有相同的均匀面密度时的电量。

这种想像的均匀分布在图十一中用虚直线表出。竖直的线代表力线，而水平的线代表等势面，所根据的假说是，在沿各方向延伸到无限远处的两个平面上，密度都是均匀的。

〕电容器有时是这样做成的：一块平板放在两块平行平板的正中

间，而那块平板在各个方向上都比中间的一块延伸得远得多。如果中间平板的边界线的曲率半径比平板间的距离大得多，我们就可以把边界线近似地看成直线，并这样来计算电容器的电容：假设中间平板沿着边界线延伸出去了宽度均匀的一条，并假设延伸了的平板上的面宽度和不靠延边界处的面密度相同。

于是，如果 S 是该板的实际面积，L 是它的周长而 B 是二大板之间的距离，我们就有

而增加的长条的宽度就是

从而延伸面积是

b＝ 1 B，(13)

a＝ loge 2 ．B，(14)

S′＝S＋ loge 2 BL．(15)

中间平板的一面的电容是

1 S′ = 1

S 1

L log

2}．(16)

2π B 2π B π ^e

平板厚度的改正

既然中间平板通常有一个和板间距离相比是不可忽略的厚度，我们就可以通过假设中间平板的截面和曲线ψ＝ψ′相对应，来对这一事例的事实得到一种更好的表示。

在离边沿有一定距离处，平板将具有近似均匀的厚度β＝2bψ′，但是在靠近边沿处则厚度将是渐变的。

平板的实际边沿的位置，通过令 y′＝0 来求得，由此即得

x′＝blogecosψ′.(17)

这一边沿上的φ值是零，而在 x′＝α的一点上（α/b 很大），它近似地是

a + bloge 2 ．

因此，总起来看，板上的电量就和下述情况下的电量相同：板面积增加了宽度为

B （log 2＋log cos πβ ）

π ^e ^e 2B

B πβ

即 π loge（2cos 2B ）(18)

的一条，而面密度则假设为到处都和离边沿有一定距离处的面密度相同。

靠近边沿处的面密度

板上任一点处的面密度是

x ′

1 dφ = 1 e ^b

4π dx′

1 − 2x ′

3 − 4 x′

= 4πb

(1 + e

^b + e ^b +

)．(19)

当 x′增大时，括号中的量很快地趋于 1，因此，在离边沿的距离等

于条宽α的几倍的地方，实际的密度约比标准密度大了标准密度的 1

22 n+1

倍。

同样我们也能计算无限平面上的密度，

x′

= 1

4πb

e b

．(20)

2x′

e ^b + 1

- 1

当x′＝0时，密度是标准密度的2 ² 倍。

在正方向上 n 倍条宽的地方，密度约比标准密度小了标准密度的

22n +1

倍。

在负方向上n倍条宽的地方，密度约为标准密度的 1 倍。

这些结果指示了当把这种方法应用于有限广延的平板或在离边沿不远处有些不规则性的平板时可以指望得到的准确度。在一个无限系列的等距排列的相似平板，而各板的势交替地是＋V 和－V 的事例中，同样的分布也将存在。在这一事例中，我们必须取板间的距离等于 B。

〕(2)我们即将考虑的第二个事例，就是一系列无限多个平行于 x

′z 而距离为 B＝πb 的平面的事例，各平面都被 y′z 平面所截断，从而他们只向这一平面的负侧延伸过去，

让我们考虑φ等于常数的那些曲线。

当 y′＝nπb 时，也就是在每一平面的延伸部分上，我们有

x′＝blog 1 （e^φ ＋e^−φ），(21)

当y′＝（n 1 b时，也就是中间位置上，则有

＋）π

x′＝blog 1 （e^φ －e^−φ）.(22)

因此，当φ很大时，φ为常数的曲线就是一种振动曲线，它离 y′轴的平均距离近似地是

a＝b（φ－loge2），(23) 而在这条线的两侧，振幅是

1 e^φ + e^−φ

2 b log e φ − e−φ ．(24)

当φ很大时，此式变为 be-2φ，从而曲线趋近于一条平行于 y′轴而在正值一侧离该轴一个距离α的直线。

如果我们假设一个平面 x′＝α被保持于恒定的势，而那一系列平行平面被保持于一个不同的势，则由于 bφ＝α＋bloge2，平面上的感生电的面密度将等于由平行于它本身的一个平面所感应出来的面密度，该平面的势等于那一系列平面的势，但是它的距离却比那些平面的边沿的距离大bloge2。

如果 B 是那一系列平面中二平面间的距离，则 B＝πb，于是增加的距离就是

a = B loge 2 ．(25)

〕其次让我们考虑包括在两个等势面之间的空间，其中一个等势面包括一列平行波，而另一个对应于大φ值的等势面则可以看成近似的平面。

如果 D 是这些振动从峰点到谷点的深度，则我们求得的对应φ值是

φ = 1 log e b + 1

(26)

．

e ^b − 1

波峰上的 x′值是

blog 1 （e^φ＋e^−φ ）．（27） 2

由此可见①，如果A 是从波峰到对面平面的距离，则由平面和波形面组成的体系的电容和两个相距为 A＋α＇的平面的电容相同，此处

a ′ = B log 2

1 + e

−π D B

．(28)

〕如果在一个导体上作出单独一条这种形状的沟槽，而其余部分的表面则是平面，而且另一个导体是位于距离
A 处的一个平面，则一个导体相对于另一导体的电容将减小。这一减量将小于由 n 条并列的这种沟槽

所引起的减量的，因为后一事例中导体之间的平均电力将比前一事例

中的为小，从而每一沟槽表面上的感应作用都将由于有相邻的沟槽而减小。如果 L 是沟长，B 是沟宽而 D 是沟深，则对面平面的一个面积为 S 的部分的电容将是

S − LB +

4πA

4π(A + a ′)

= S −

4πA

a ′

A + a′

．(29)

如果 A 比 B 或 a′大得多，则由(28)可知改正量变成

L B² 2

4π²

2 loge D ，(30)

A −π

1 + e ^B

而对于一条无限深的缝来说，令 D＝∞，改正量就是

L B²

4π²

A 2 loge 2．(31)

① 设Φ是平面的势，而φ是波形曲面的势。平面上单位面积的电量是 1÷4 πb，从而电容近似地等于

1÷4 πb（Φ－φ），＝1÷4 π（A＋a），于是 A＋a′＝b（Φ－φ）.但是

为了求得一系列平行平面上的面密度，我们必有当φ＝0 时

σ＝ 1 dψ ，我们得到

4π dx′

σ＝ 1

1 ．(32)

离系列平板的边沿有一距离A的平板上的平均密度是σ＝

4πb ，因

此，在离其中一板的边沿的距离等于na处，面密度是这一平均密度的

1 倍。

〕其次让我们试图从这些结果推出由第 197 节中的图绕 y′＝－R
的轴线旋转而成的图形{一个平面前面的一系列同轴圆柱}中的电分布。在这一事例中，泊松方程的形式将是

d ²V + d² V + 1 dV +



πρ =

dx′² dy′² R + y′ dy′

4 0．(33)

让我们假设 V＝φ，即等于在第 193 节中给出的那个函数，然后由这一方程来确定ρ的值。我们知道前二项等于零，从而就有

ρ = − 1 1 dφ ．(34)

4π R + y′ dy′

如果我们假设除了已经研究过的面密度以外空间中还按照刚刚叙述的规律存在着一种电分布，则势的分布将由图十一中的那些曲线来表示。

现在，由这个图可以看出， dφ 除了在边界附近以外通常是很小

dy′

的，因此新的分布可以用平板边沿附近的某种面电荷的分布来近似地表示。

因此，如果我们在界限y′＝0和y′＝ π b之间以及从x′＝－∝

到x′＝＋∝计算积分∫∫ ρdx′dy′，我们就将求出由曲率引起的平板

一面的总的附加电荷。

既然 dφ ＝－ dψ ，我们就有

dy′ dx′

∫ ρdx′ = ∫ 1 1 dψ dx′

∞ ∞

−∞ −∞ 4π R + y dx′

= 1 1

(ψ − ψ )

4π R + y′

∞ −∞

= 1 1 (2 y′ − 1)．(35)

8 R + y′ B

对 y′求积分，我们就得到

∫ 2 ∫

ρdx′dy′ = 1 −

1 2R + B

log 2R + B (36)

0 −∞

= − 1

8 B 2R

B + 1 B +

32 R

192 R²

．(37)

这就是我们必须假设在其中一个圆柱的单位周长的边沿附近分布在空间中的总电量的一半。既然密度只有在板的边沿附近才是明显的，我们就可以假设所有的电都集中在板的表面上而不会显著地改变它对对面平表面的作用，而且在计算该表面和柱面之间的吸引力时，我们可以假设这种电是属于柱面的。

假如不曾有曲率，则单位长度板的正表面上的表面电荷将是

− 1 dφ dx ′ = 1 (ψ − ψ ) = − 1 ．

∫−∞ 4π dy′

4π 0 −∞ 8

因此，如果我们把前面这一整个的分布加在它上面，这一电荷就必须

乘上一个因子（1＋ 1 B ）才能给出正面的总电荷 ①。

2 R

在一个半径为 R 的圆盘放在两个相距为 B 的两个无限大平行平板的正中间的事例中②我们得到圆盘的电容为

R² log²

+ 2 ^e R +

B π

1 B．(38)

汤姆孙保护环的理论

〕在
W.汤姆孙爵士的某些静电计中，一个大平面被保持于一个势，而在离这个表面的距离为 A 处放了一个半径为 R 的平面圆盘，它被具有半径 R′的并和圆盘同心的一个圆孔的大平板所围绕，这个大平板叫做保护环。圆盘和平板保持在零势。

圆盘和保护环之间的间隔可以看成一条无限深的圆形沟槽，宽度 R′

－R 用 B 来代表。

由大盘上的单位势在圆盘上引起的电荷，如果密度均匀就将是 R .

在一条宽度为 B 而长度为 L＝2πR 的无限深的直沟的一边，电荷可以通过从大盘出发而终止在沟一边的力线数目来估计。因此，参照第 197 节

① {既然板的负面上存在一个等于正面电荷的电荷，看来单位周长的

② [在第 200 节中，当估计总的空间分布时，我们也许可以更正确地圆盘的事例可以处理如下：让第

195 节中的图绕着一条垂直于板面并离中板边沿为＋P 的直线而转动一周。于是，边沿就将包络一个

圆，这就是圆盘的边沿。正如在第 200 节中一样，我们从泊松方程开始，该方程在这一事例中将是现在我们假设 V＝ψ，即等于第 195 节中的势函数。因此我们必须假设，板间的区域中存在电荷，其体密度是总量是现在，如果 R 比板间的距离大得多，则通过检视图十一中的等势线可以看到这一结果大体上和下式相同，如果我们把圆盘的两面都考虑在内，总的面分布就是为了求出后一积分，令于是，如果 R/b 很大，我们就近似地得到

从而板上的电量就是这一结果比正文中的结果约小

0.28。]

和小注，我们看到电荷将是

1 LB ×

4πb ，

即 1 RB ，

4 A + a ′

因为在这一事例中Φ＝1，φ＝0，从而 b＝A＋a′。

但是，既然沟不是直的而是有一个曲率半径 R，结果就应该乘上因子

（1＋ 1 B ）。

2 R

因此，圆盘上的总电荷就是

R + 1 RB (1 + B ) (39)

4A 4 A + a ′ 2R

= R ² + R′ ² − R′ ² − R ² a′

α′的值不可能大于

8A · A + a ′ ．(40)

Blog2 ，＝0.22B，近似地。

如果 B 和 A 或 R 相比是很小的，这一表示式就将给出关于由单位势差在圆盘上引起的电荷的一种足够好的近似。A 和 R 之比可以有任意的值，但是大盘的半径和保护环的半径必须比 R 大出 A 的若干倍。

例七——图十二

〕在他的关于非连续流体运动的论文中②，亥姆霍兹曾经指出了若干公式的应用；在那些公式中，座标被表示成了势及其共轭函数的函数。其中一个公式可以应用于这一事例：一个有限大小的带电板被放得和

一个接地的无限大平面相平行。既然 x1＝Aφ和 y1＝Aφ

以及 x2＝Aeφcosψ和 y2＝Aeφsinψ，

都是φ和ψ的共轭函数，通过把 x1 和 x2 相加以及把 y1 和 y2 相加而得到的函数就也将是共轭的，由此可见，如果

x＝Aφ＋Aeφcosψ，

y＝Aψ＋Aeφsinψ，

则 x 和 y 将对φ和ψ为共轭，而φ和ψ将对 x 和 y 为共轭。现在设 x 和 y 是直角座标，并设 kψ是势函数，这时 kφ就将和 kψ相共轭，k 是任意常数。

让我们令ψ＝π，于是就有 y＝Aπ，x＝A（φ－eφ）。

如果φ从－∞变到 0，然后从 0 变到＋∞，由 x 从－∞变到－A，然后从－A 变到－∞。由此可见，ψ＝π的那个等势面就是在离原点的距离为 b

＝πA 处平行于 xz 平面并从 x＝－∞伸展到 x＝－A 的一个平面。

页的小注，则圆盘上的电荷将比正文中给出的小 B2/16（A＋α′）。}

② Monatsberichte der K(nigl.Akad.der Wiesenschaften,zu Berlin,April23,1868,p.215.

让我们考虑这个平面的一部分，从 x＝－（A＋a）伸展到 x＝－A 并从z＝0 伸展到 z＝c；让我们假设它到 xz 平面的距离是 y＝b＝Aπ，而它的势是 V＝kψ＝kπ。

所考虑的这一部分平面上的电荷，通过确定它的边界上的φ值来求出。

因此我们必须由方程

x＝－（A＋a）＝A（φ－eφ）

来确定φ；φ将有一个负值φ1 和一个正值φ2，在平面的边沿 x＝－A 上， φ＝0。

由此可见，平面的一面所带的电荷是－ckφ1÷4π，而其另一面上的

电荷是 ckφ2÷4π。

这两个电荷都是正的，他们的和是

ck(φ 2 − φ1 ) ．

4π

如果我们假设α比 A 大得多，就有

a − a −1 +

φ = − a − 1 + e

1 A

− −1+e A

φ log{ + 1 + log(

+ 1 +

)}．

² A A

如果略去φ1 中的指数项，我们就将发现负表面上的电荷大于当面密度为均匀并等于离边界有一距离处的密度时的电荷，二者之差等于宽度为

A b

＝ π 并具有均匀面密度的一条面积上的电荷。所考虑的这一部分平面

的总电容是

C＝ c （φ －φ ）．

4π2 2 1

总电荷是 CV，指向方程为 y＝0 而势为ψ＝0 的无限平面的吸引力是

dc ac − a

− V² = V ² (1 + a + e ^A + )

8π³A ²

1 + A log a

a A

= V ²c b b ² aπ

8πb2 {a + π − π2 a log b + }．

等势线和力线在图十二中给出。

例八——平行导线栅的理论。图十三

〕在许多电学仪器中，常用一个导线栅来保护仪器的某些部分，
使之不会由于感应而带电，我们知道，如果一个导体被一个和它本身具有相同的势的金属容器所完全包围，则容器外面的任何带电体都不会在导体表面上感应出任何的电荷。然而，当完全被金属包围起来时，一个导体就不能被看到，因此在某些事例中就要在容器上开一个小口，并用细导线的栅网把它盖住。让我们考察一下这个栅在减弱电感应方面的效应。我们将

假设栅是由在同一平面内等距排列的一系列平行导线构成的，导线的直径比他们之间的距离小得多，而一边的带电体的最近部分和另一边的被保护的导体之间的距离，则颇大于相邻导线之间的距离。

〕设一条无限长的直导线在每单位长度上带有电量λ，则离此导线轴线的距离为γ处的势是

V＝2λlogr′＋C.(1)

我们可以参照一条轴线来用极座标表示此式，该轴线离导线的距离是1；在这种事例中，我们可以令

r′2＝1－2rcosθ＋r2，(2)

而且，如果我们假设参照轴也带有线密度为λ′的电荷，我们就会得

到

V＝－λlog(1－2rcosθ＋r2)－2λ′logr，＋C.(3) 如果我们现在令

则由共轭函数的理论可知，

2π

V＝λlog(1－2 a

cos

2πx a

4πy

＋e a

)－2λ′loge

2πy a

＋C，(5)

式中 x 和 y 是直角座标，这就将是由一系列无限多条导线所引起的势的值，

那些导线在 xz 平面上平行于 z 轴，通过 x 轴上 x 等于 a 的倍数的各点，并平行于和 y 轴相垂直的平面。其中每一条导线都带有线密度为λ的电荷。

含λ′的项表示一种带电情况，即在y方向上引起一个常力 4πλ′ 的

情况。

当λ′＝0 时，等势面和力线的形式在图十三中给出。导线附近的等势面近似地是柱面，因此我们可以认为即使当各导线是直径有限（但比导线间的距离小得多）的圆柱时，解仍然是近似成立的。

离导线较远处的等势面将越来越变得近似于和栅的平面相平行的平面。

如果在方程中令 y＝b1＝一个比 a 大得多的量，我们就近似地得到

V ＝－ 4πb1 (λ＋λ′)＋C．(6)

1 a

如果其次令 y＝－b2，而 b2 是一个比 a 大得多的正量，我们就近似地得到

V ＝ 4πb2 λ′＋C．(7)

2 a

如果 c 是栅上导线的半径，而 c 比 a 小得多，我们就可以假设导线本身和在离 z 轴距离为 c 的地方和 xz 平面相交的的等势面重合，而由此求出栅本身的势。因此，为了求出栅的势，我们令 x＝c 而 y＝0，由此即得

V＝－2λlog 2sin πc ＋C．(8)

e a

205〕现在我们已经得到一些表示式，表示着由一个导线栅和两个平面导电表面所构成的体系的电状态，这时导线的直径比他们之间的距离小得多，两个平面位于导线栅的两侧，到栅的距离比导线间的距离大得多。

第一个平面上的面密度σ1 由方程(6)得出，

4πσ ＝ dV1 ＝－ 4π (λ＋λ′)，(9)

db1 a

第二个平面上的面密度σ2 由方程(7)得出，

4πσ ＝ dV2 ＝ 4π λ′．(10)

如果写出

² db a

a＝－ a log (2sin πc)，(11)

2π ^e a

并由(6)、(7)、(8)、(9)、(10)各式消去 c、λ和λ′，我们就得到

4πσ

(b ＋b ＋ b1b2 ) = V (1 + b2 ) − V − V b2 ，(12)

1 1 2 a 1 a 2 a

4πσ

b b b b

(b ＋b ＋ ¹ ² ) = −V + V (1 + ¹ ) − V ¹ ，(13)

2 1 2 a 1 2 a a

当导线是无限地细时，a 就变成无限大，从而以它为分母的各项就不复存在，从而事例就变成两个平行平面而中间没放导线栅的情况。

如果栅是和其中一个平面接通的，例如是和第一个平面接通的，则 V

＝V1，从而σ1 的方程的右端就变成 V1－V2。由此可见，放上栅时在第一个平面上感应出来的密度σ1 和把栅取走而第二个平面保持相同的势时

所将感应出来的密度之比，等于1比1＋

b1b 2 ．

a(b1 + b 2 )

假如我们曾经假设栅是和第二个表面相接通的，我们也将得到有关栅在减弱第一个表面对第二个表面的电影响方面同样大小的效应。这是显而易见的，因为 b1 和 b2 按相同的方式出现在表示式中。这也是第 88 节中的定理的一个直接的结果。

一个带电平面隔着导线栅对另一个带电平面发生的感应作用，和把导线栅取走并把二平面间的距离从 b1＋b2 增大到

时的感应作用相同。

b1 ＋b2

＋ b1b2 ．

如果两个平面保持在零势，而栅被充电到一个给定的势，则栅上的电量和即将在面积相同并放在相同位置的一个平面上感应出来的电量之比，将是

b1b2∶b1b2＋a(b1＋b2).

这种考察只有当 b1 和 b2 比 a 大得多而 a 比 c 大得多时才是近似成立的。量 a 是一个可以有任意大小的线度。当 c 无限减小时它就变成无限大。

＝，栅上导线之间就没有空隙，从而就将没有感应

作用透过它。因此，对于这种事例应有 a＝0。然而公式(11)在这一事例中却给出

a = − a

2π

loge

2， = −0.11a，

这显然是错误的，因为感应绝不能因有栅而变号。然而，在由柱状导线构

成的栅的事例中，却很容易进行到更高的近似程度。我将只指出这种手续的步骤。

近似方法

〕既然导线是柱状的，既然每一根导线上的电分布对平行于 y 的直径来说是对称的，势的正确展式就有下列形式：

V = C log r + ΣC r ⁱ cosiθ，(14)

式中γ是离其中一条导线之轴线的距离，而θ是γ和 y 之间的夹角；而且，既然导线是导体，当令γ等于半径时 V 就必须是常量，从而每一个θ的倍角余弦的系数必须变为零。

为了方便，让我们采用新座标ξ、η，等等，使得aξ＝2πx，aη＝2πy，aρ＝2πλ，aβ＝2πb，等等，(15)

并令Fβ

于是，如果我们令

= log(e^η+β + e^−(η+β) − 2 cos ξ)．(16)

V = A F + A

dFβ + A

d ²F

(17)

0 β 1 dη

² dη²

则通过给予各个 A 系数以适当的值，我们就可以表示作为η和 cosξ的函数而除了当η＋β＝0 和 cosξ＝1 时以外不会变成无限大的任意势。

当β＝0 时，用ρ和θ表示出的 F 的展式是，

F0 = 2 log ρ +

1 ρ² cos 2θ −

1440

ρ⁴ cos 4θ +

．(18)

对于β的有限值，F 的展式是

_−β 1 + e ^−β

e −β 2

FB = β + 2 log(1− e

) + 1 − e −β ρcosθ − (1 − e−β ) 2 ρ

cos 2θ +

．(19)

在栅和两个导电平面的事例中，设二平面的方程为η＝β1 和η＝－β

₂，而栅的方程为β＝0，这时就有栅的两个无限系列的像。第一个系列将

包括栅本身和位于两侧带有相等而同号的电荷的无限多个像。这些想像的圆柱的轴，位于方程为

η = ±2n(β1 + β2 )，(20)

的平面上，n 是一个整数。

第二个系列将包括无限多个像，他们的系数 A0、A2、A4 等和栅本身的同样系数相等而反号，而 A1、A3 等等则相等而同号。这些像的轴位于方程为

η = 2β2 ± 2m(β1 + β2 )，(21)

的平面上，n 是一个整数。

这种像的任何一个无限系列所引起的势，将取决于像的数目是奇数或偶数。因此由一个无限系列引起的势是不确定的。但是如果我们给它加上

… 只差一个常数，式中γ、γ1、γ2… 是 P 到各导线的距离，就可以得出 F 的展式。我们可以对 F β应用相同的方法，因为这对应于使各导线平行于 y 而移动一个距离－b，然而展式却和正文中给出的不相同。｝

一个函数 Bη＋C，则问题的条件将足以确定电分布。

我们首先可以借助于各系数 A0、A1 等等以及 B 和 C 来确定两个导电平面的势 V1 和 V2，然后我们必须确定这些平面的任一点上的面密度σ1 和σ2。σ1 和σ2 的平均值由下式给出：

4πσ1

= 2π (A

₀ − B)，4πσ2

= 2π (A

α 0

+ B) ．(22)

然后我们必须把由栅本身及一切像所引起的势按ρ和θ的倍角余弦展开，并在结果上加上

Bρcosθ＋C．

于是，不依赖于θ的各项就给出栅的势 V，而令θ的每一倍角余弦的系数等于零，就得出各待定系数之间的一个方程。

用这种办法，就可以求出许多方程，适足以消去所有这些系数，而剩下两个方程用以按照 V1、V2 和 V 来确定σ1 和σ2。这两个方程的形式将是：

V1 − V = 4πσ1 (b1 + a − γ ) + 4πσ2 (a + γ )，

V21 − V = 4πσ1 (a + γ ) + 4πσ2 (b2 + a − γ )．(23)

受到栅的保护的一个平面的感生电量，当另一平面保持在一个给定的势差时将和平面不是位于距离 b1＋b2 处而是位于距离

(a − γ)(b1 + b2 ) + b1 b2 − 4aγ a + γ

处时的感生电荷相同。

a 和γ的值近似地如下：

a a 5

π4 c4

a = 2π

{log

2πc

− 3 · 15a ⁴ + π⁴c⁴

− 4 πb1 +b 2

(1 + e

− 4 πb1

−4 π b2

e ^a +

] + }，(24)

γ = 3πac²

3a ² + π²c ²

−4 π b1

e a −

− 4π b1

− 4 πb2

e a ) +

−4 π b2

①(25)

1 − e a 1− e a

① ｛在补遗卷中，将论述另一种应用共轭函数的方法；利用那种方法，可以计算有限平面表面等等的电容。｝

第十三章静电仪器

关于静电仪器

我们当前必须考虑的仪器可以分成下列几类： (1)用来引起带电并增强带电的起电机。

(2)按已知比例增加电量的倍加器。(3)用来测量电势和电荷的静电计。

(4)用来储存大电荷的集电器{电容器}。

起电机

〕在普通的起电机中，一个玻璃板或玻璃圆筒被转动起来，使它和一个皮革表面相摩擦，皮革上散布着一种锌汞齐。玻璃的表面会变得带正电，而皮革表面则变得带负电。当带电的玻璃表面运动着远离皮革的负电时，它就获得一个高的正势。然后它就来到一组尖端附近，那些尖端和起电机上的导体相连。玻璃上的正电在尖端上感应出一种负电，尖端越尖和它们离玻璃越近，感应的负电就越多。

当机器正常工作时，在玻璃和尖端之间将通过空气而放电，玻璃失去它的一部分正电荷，这些电荷传递到尖端上，并由此而传递到起电机上绝了缘的主要导体上，或传递到和它相连的任何其他物体上。于是，正在向皮革接近过去的那一部分玻璃就比同时正在离开皮革的那一部分玻璃带的电要少一些，于是皮革以及和它相连的导体就会变成带负电的了。

正在离开皮革的那种高度带正电的玻璃表面，将比正在靠近皮革的部分地放了电的表面受到皮革上负电的更大吸引力。因此电力就起了反抗用来使机器转动的那个力的作用。因此，转动机器时所作的功就大于普通的摩擦力和其他阻力所消耗的功，而这一超额功就被用来产生一种带电状态，其能量和这一超额功相等价。

克服摩擦力时所作的功立即转变成互相摩擦的物体中的热量。电能可以或是转变成机械能量，或是转变成热。

如果机器并不储存机械能，则所有的能量都将转变为热，而由摩擦而生的热和由电作用而生的热之间的唯一不同就在于，前者是在互相摩擦的表面上产生的，而后者则可以在远处的导体中产生①。

我们已经看到，玻璃表面上的电荷是受到皮革的吸引的。如果这种吸引力足够强，在玻璃和皮革之间而不是在玻璃和集电尖端之间就会出现放电。为了避免这种事，就在皮革上加了一些绸子条儿。他们变成带负电的而附着在玻璃上，并从而减小皮革附近的势。

因此，当玻璃离开皮革时，势就增加得更慢一些，从而在任一点上就有较小吸引力把玻璃上的电荷吸向皮革，因此向皮革直接放电的危险也就

① 或许可能，在机械能由摩擦而转变为热的许多事例中，一部分能量可以先转变成电能，然后再作为在摩擦表面附近的小电路中保持电流而耗费的电能被转变成热。参阅 Sir W.Thomson，‘On the Electrodynamic Qualities of Metals.’Phil.Trans ，1856.，p.649.

较小。

在某些起电机中，运动部分是用硬橡胶作成而不是用玻璃作成的，而摩擦物则是用羊毛或兽皮作成的。这时摩擦物就会带正电而主要导体则带负电。

伏打的起电盘

〕起电盘包括一个贴在金属板上的用树胶或硬橡胶作的板，和一个同样大小的金属板。其中一个板的背面，可以用螺丝装上一个绝缘柄。硬橡胶板上有一个金属针，当橡胶板和金属板相接触时，这个针就把金属板和橡胶板的金属背壳相接通。

通过把它和羊毛或猫皮摩擦，橡胶板上就会带了负电。然后利用绝缘柄把金属板移到橡胶板附近。橡胶板和金属板之间并没有直接的放电，但是金属板的势却通过感应而变成了负的，从而当它来到和金属针相距某一距离处时，就会有一个火花跳过，而如果这时把金属板拿到远处，它就会被发现带有一个正电荷，这个电荷可以移到一个导体上去。橡胶板背后的金属壳被发现带有一个负电荷，和金属板的电荷相等而反号。

在应用这种仪器来给一个电容器或集电器充电时，其中一个板放在一个接了地的导体上，而另一个板首先放在该板上面，然后被拿走并作用在电容器的电板上，然后再放在第一个板上，如此重复进行。如果像胶板是固定的，则电容器将被充以正电。如果金属板是固定的，则电容器被充以负电。

手在分开两个板时所作的功，永远大于当两板靠拢时电力所作的功，因此对电容器充电时的操作就涉及功的耗费。其中一部分功用充了电的电容器的能量来说明，一部分功被用来产生了火花的响声和热，而其余的部分则用来克服了对运动的其他阻力。

关于用机械功来起电的机器

〕在普通的摩擦起电机中，克服摩擦而作的功远远大于增大带电所作的功。因此，可以完全用反抗电力所作的机械功来产生带电的任何装置就是具有科学重要性的，即使没有实用价值的话。第一个这一类的起电机，似乎就是尼科耳孙的“转动倍加器”；在 1788 年的《哲学会报》

（Philosophical Transactions）上，它被描写成“通过转动一个曲柄来产生两个电状态而不用摩擦或接地的一种仪器”。

〕正是利用一个转动倍加器，伏打作到了从电堆的电得到能够影响他的静电计的电。利用相同原理的仪器也由瓦尔莱①和 W.汤姆孙爵士独立地发明过。这些仪器主要由一些不同形状的绝了缘的导体所构成，其中有些导体是固定的，而其他导体则是活动的。活动的导体叫做“携带器”，而固定的导体则可以称为“感应器”、“接受器”和“再生器”。感应器和接受器被做得合适，以致携带器在转动到某些地方时会几乎完全地被一个导电体包围起来。由于感应器和接受器不能真正完全地包围携带器而同

① Specification of Patent，Jan.27,1860,No.206.

时又不必用一种可动部件的复杂装置就可以允许携带器自由地出入，若没有一对再生器，这种仪器就在理论上是不完善的；这些再生器将把携带器从接受器中出来时所保留着的微小电量储存起来。

然而，我们可以暂时认为携带器当在感应器和接受器之内时是被他们完全包围的，在这种情况下理论就会大为简化。

我们将假设机器包括两个感应器 A 和 C，两个接受器 B 和 D，以及两个携带器 F 和 G。

假设感应器A 带有正电而其势为A，并假设携带器 F 位于A 内并有势F。于是，如果 Q 是 A 和 F 之间的感应系数（取作正的），则携器上的电量将是 Q(F－A)。

如果携带器当在感应器内时被接了地，则 F＝0，而携带器上的电荷将是－QA，即一个负量。设携带器被移过去，以致它进入了接受器 B 内，并设这时它碰到一个弹簧，从而和 B 相接通。于是，正如在第 32 节中所证明的那样，携带器就将完全放电，并把它的全部负电荷传给接受器 B。

携带器随后就将移入感应器 C 中，我们将假设 C 是带负电的。当位于C 内时携带器又被接地并从而获得一个正电荷，而它就把这个正电荷带走并把它传给接受器 D，如此类推。

这样，如果感应器的势永远保持不变，接受器 B 和 D 就会一次一次地得到电荷，而携带器每转一周，他们得到的电荷都相同，于是每一周就在接受器中产生一个相等的电量增量。

但是，通过使感应器 A 和接受器相接通，并使感应器 C 和接受器 B 相接通，各感应器的势就将不断地增高，而在每一周中传给接受器的电量也将不断地增大。

例如，设 A 和 D 的势是 U 而 B 和 C 的势是 V，那么，既然当携带器位于 A 内时因接地而有零势，它的电荷就＝－QU。携带器带着这个电荷进入B 内并把它传给 B。如果 B 和 C 的电容是 B，则他们的势将从 V 变到 V－

Q U。B

如果另一个携带器同时把一个电荷－QV 从 C 带到 D，这就会使 A 和 D

的势从U变到U－ Q′ V，如果Q′是携带器和C之间的感应系数而A是A和A

D 的电容的话。因此，如果 Un 和 Vn 是在 n 个“半周”之后两个感应器的势，而 Un+1 和 Vn+1 是在 n＋1 个半周以后的势，则有

Q′ V ，

n+1

n A n

Q U .

n+1

n B n

如果写出p²＝ Q 和q ²＝ Q′ ，我们就得到

B A

pUn+1 + qVn +1 = ( pUn + qVn )(1 − qp)

= ( pU + qV )(1 − qp) ⁿ⁺¹，

0 0

pUn+1 − qVn +1 = (pUn − qVn )(1 + qp)

= ( pU

− qV )(1 + qp) ⁿ⁺¹．

0 0

由此即得

2U = U ((1 − pq) ⁿ + (1+ pq) ⁿ )

+ q V ((1 − pq) ⁿ − (1 + pq) ⁿ )，

p 2Vn

= p − U q 0

((1 − pq) ⁿ − (1 + pq) ⁿ )

+ V ((1 − pq) ⁿ + (1 + pq) ⁿ )．

由这些方程可以看出，pU＋qV 这个量是不断减小的，从而不论起初的带电状态如何，各携带器最后都将带有相反的电荷，使得 A 和 B 的势成 q 和－p 之比。

另一方面，pU－qV 这个量却不断增大，从而不论起初 pU 比 pV 大或小多么一点点，这一差值都将在每一周中按几何级数的比例而增大，直到电动势大得可以克服仪器的绝缘时为止。这一类仪器可以用于各式各样的目的：

用来在高势下产生一种丰富的供电，就如利用瓦尔莱先生的大机器所作的那样。

用来调节一个电容的电荷，正如在汤姆孙的静电计的事例中一样；那个电容的电荷可以通过一个很小的这种机器的几次转动来加大或减小，那个机器叫做“补电器”。

用于成倍地增大小的势差。感应器起初可能只充电到极小的势，例如由一个温差电偶引起的势；然后，通过机器的转动，势差可以一倍倍地增大到可以用一个普通的静电计来加以测量。通过用实验来测定机器每转一周使势差增大的比例，原先用来使感应器充电的那个电动势就可以根据转数和最后的带电情况推导出来。

在大多数这种仪器中，携带器是通过一个轴的转动而弄得绕一条轴线而转动并达到适当的相对于感应器的位置的。电的连接借助于弹簧来达成，弹簧装得使携带器在适当的时刻和他们接触。

〕然而 W.汤姆孙爵士①却制造了一个用来倍加电荷的机器，机器中的携带器是一些水滴，从一个放在导体中但不和它相接触的未绝缘的容器中滴到一个绝了缘的接受器中。这样，接受器就不断地得到电，其符号和感应器的电的符号相反。如果感应器是带正电的，接受器就将接受到一个不断增大的负电荷。

借助于一个漏斗，可以使水从接受器中逸出；漏斗的出口几乎被接受器的金属所包围。因此，从出口滴下的水滴是几乎不带电的。另一组结构相同感应器和接受器被安装得使一组中的感应器和另一组中的接受器相接通。于是接受器电荷的增加率就不再是常量，而是随着时间而按几何级数增加的，两个接受器的电荷具有相反的符号。这种增大继续进行，直到下落的水滴由于电的作用而偏离了他们的路程，以致落到接受器的外边，甚至打中了感应器时为止。

在这种装置中，电的能量是从下落水滴的能量中得来的。

〕另一些利用电感应原理的起电机也曾经被造出，其中最可注意

① Proc.R.S.,June20,1867.

的就是霍耳兹的起电机。这种起电机中的携带器是一块涂了虫胶的玻璃板，而其感应器是几块硬纸板。在转动携带器玻璃板的两侧有两块玻璃板，以防止在仪器各部分之间打火花。人们发现这种起电机是很有效的，而且不会受到大气状态的太大的影响。所用的原理和转动倍加器以及按同样的想法发展出来的那些仪器的原理相同，但是既然携带器是一个绝缘板而感应器是一些不完善的导体，它的动作的全面解释就比在携带器是形状已知的良导体并在确定的地点充电和放电的那种事例中更困难了①。

〕在上述这些起电机中，每当携带器接触到一个势不相同的导体时就会出现火花，

现在，我们已经证明，每当发生这种事时就会有能量的损失，从而用在转动机器方面的的功并不是以一种可用的方式而全部转化为电能，而是有一部分被消耗在产生电火花的声音和热方面的。

因此我曾想到，有必要说明可以怎样制造一种并无这种效率损耗的起电机。我不想说这是一种起电机的有用形式；这只是一种例子，说明可以把在热机中被称为再生器的那种设计应用在起电机中以防止功的损失的那种方法。

在图 18 中，设 A、B、C、A′、B′、C′代表一些中空的固定导体，排列得使携带器 P 可以逐个地通过他们的内部。其中 A、A′和 B、B′，当携带器通过他们的中点时将把携带器几乎完全包围起来，而 C 和 C′却不会包围得那么多。

我们将假设 A、B、C 和一个电容很大并处于势 V 的莱顿瓶相接，而 A

′、B′、C′则和另一个处于势－V 的莱顿瓶相接。

图 18

P 是其中一个携带器，沿圆周从 A 转向 C′等等并沿途和一些弹簧相接触，其中弹簧 a 和 a′分别接在 A 和 A′上，而 e、e′则接地。

让我们假设，当携带器位于 A 的中点上时，P 和 A 之间的感应系数是

－A。P 在这一位置上的电容大于 A，因为它并不是被接受器 A 所完全包围的。设此电容为 A＋a。

于是，设 P 的势是 U 而 A 的势是 V，则 P 上的电荷将是(A＋a)U－AV. 现在，设 P 当位于接受器 A 的中点上时和弹簧 a 相接触，则 P 的势是

V，即和 A 的势相同，从而它的电荷就是 aV。

如果现在 P 脱离开弹簧 a，则它将把电荷 aV 带走。当 P 离开 A 时，它的势就会减低，而且当它开始受到带负电的 C′的影响时，它的势还会进一步减低。

如果当 P 来到 C′内时它对 C′的感应系数是－C′而它的电容是 C′

＋c′，如果 U 是 P 的势，则 P 上的电荷是

(C＇＋c＇)U＋C＇V＇＝aV.

如果 C＇V＇＝aV，

则在这一点上 P 的势 U 将减小到零。

设 P 在这一点上和接地的弹簧 e′相接触。既然 P 的势等于弹簧的势，

① ｛目前用得最多的感应起电机是沃斯的和维姆胡斯的起电机。这些起电机的描述和图示可见

Nature,vol.xxviii,P.12.｝

在接触时就不会有火花。

通过它来使携带器能够接地而不致发生火花的这个导体 C′，就对应于热机中称为再生器的那种设计。因此我们将称之为“再生器”。

其次让 P 继续运动，仍然和接地弹簧相接触，直到它运动到势为 V 的感应器 B 的中部为止。如果－B 是 P 和 B 在这种位置上的感应系数，既然 U

＝0，P 上的电荷就是－BV。

当 P 从接地弹簧离开时，它会把它的电荷带走。当它从带正电的感应器 B 中出来而转向带负电的接受器 A′，它的势将变得越来越负。在 A′的中点上，假若它保持了自己的电荷，它的势就将是

A′V′ + BV ，

A′ + a′

而且，如果 BV 大于 a′V′，则这个势的数值将大于 V′的数值。由此可见，在 P 到达 A′的中点以前，将有某一点，而 P 在该点上的势是－V′。在这一点上，让它和负电接受器的弹簧 a′相接触。这时不会有火花，因为两个物体是处于相同的势的。让 P 继续运动到 A′的中点，仍然和弹簧接触着，从而和 A′处于相同的势。在这一运动过程中，它向 A′传送一个负电荷。在 A′的中点上它离开弹簧并把一个电荷－a′V′带向带正电的再生器 C，在那里，它的势被降低到零，而且它将和接地弹簧 e 相接触。然后它就沿着弹簧滑入带负电的感应器 B′中，在运动期间它获得一个正电荷 B

′V′，而这个正电荷最后被它传送给带正电的接受器 A，于是动作循环就完成了。

在这一循环中，正电接受器曾经损失了一个电荷 aV 而得到了一个电荷B′V′。因此，总的正电增益就是 B′V′－aV。

同理，总的负电增益是 BV－a′V′。

通过使各导体在绝缘允许的情况下尽可能和携带器的表面靠近一些，B和 B′可以弄成很大；而通过使接受器当携带器位于他们内部时尽可能完全地包围它，a 和 a′可以弄成很校于是两个莱顿瓶的电荷在每一转中都将增大。

再生器所应满足的条件是

C′V′＝aV，和 CV＝a′V′.

既然 a 和 a′很小，再生器就既不能太大也不能离携带器太近。

关于静电计和验电器

〕一个静电计就是可以用来测量电荷或电势的一种仪器。可以用来指示电荷或势差的存在但不能提供数值结果的仪器，叫做验电器。

如果足够灵敏，一个验电器就可以用于电学的测量，如果我们能够把测量结果弄得依赖于电的不存在的话。例如，如果我们有两个带电体 A 和B，我们就可以利用在第一章中描述了的方法来确定哪一个物体带有较大的电荷。设用一个绝缘柄把物体 A 带入一个绝了缘的闭合容器 C 的内部。把C 接地，然后再使它绝缘。这时 C 的外面就不会带电。现在把 A 取走而把 B 放进 C 中来，并用一个验电器来检验 C 的带电情况。如果 B 的电荷等于 A 的电荷，C 就不会带电，但是如果 B 的电荷较大或较小，就会出现和 B 的电荷种类相同或相反的电。

所要观察的是某种现象的不存在，这种方法就叫做零点法。它所要求的只是一种能够指示现象之存在的仪器。

在另一类记录现象的仪器中，仪器可以保证对所记录量的相同值永远显示相同的指示，但是仪器刻度的读数却并不和量的值成正比，而且这些读数和对应值之间的关系是未知的，除了一方面是另一方面的某一连续函数以外，若干种静电计依赖于仪器中同样带电的部件之间的推斥力；这些静电计就属于上述这一类仪器。这种仪器的用处在于记录现象，而不是量度现象。得到的不是所要测量的量的真实值，而是一系列的数字；这些数字在事后可以用来确定那些真实值，当仪器的刻度被适当研究并登记了以后。

在更高的一类仪器中，刻度读数正比于所要测量的量，因此量的完全测量所要求的，只是关于一个系数的知识，把刻度读数乘以这个系数，就得到量的真实值。

制造得本身就包含着确定量的真实值的手段的那种仪器，叫做“绝对仪器”。

库仑的扭秤

〕库仑用以确定其电学基本定律的许多实验，是通过测量两个带电小球之间的力来作出的；其中一个小球是固定的，而另一个小球则在两个力下保持平衡，那就是小球间的力和一个玻璃丝或金属丝的扭转弹性力，见第 38 节。

扭秤包括一个用虫胶制成的水平横杆，用细金属丝或玻璃丝悬挂着，它的一端上有一个平滑地镀了金的小通草球。悬丝的上端固定在一个臂的竖直轴上，那个臂可以沿着一个刻了度的水平圆周而运动，这样就可以使悬丝的上端绕它自己的轴扭转任意的度数。

整个的这套仪器封在一个外壳里。另一个小球适当地安装在一个绝缘杆上，它可以被充电并通过一个小孔被放入外壳中，而且弄得它的中心位于悬挂小球所描绘的水平圆周的一个定点上。悬挂小球的位置通过刻在仪器之柱状玻璃外壳上的一个刻度圆来确定。

现在假设两个球都带了电，而悬挂小球在一个已知位置上处于平衡，以致扭杆和通过固定小球中心的半径成一个θ角。于是球心间的距离就是

2asin 1 θ，此处a是扭杆的半径，而且，如果F是球间的力，则力对扭轴

而言的矩是

Fu cos 1 θ．

使两个球完全放电，设扭杆现在是在和通过固定小球中心的半径成φ 角的位置上处于平衡。

于是，电力使扭杆转过的角度必为θ－φ，而且，如果 M 是悬丝的扭转弹性力矩，则我们有方程

Fa cos 1 θ = M(θ − φ)．

由此可见，如果我们能够确定 M，我们就能够确定 F，这就是二球相

距2asin 1 θ时的实际的力。

为了求出扭力矩 M，设 I 是扭臂的惯量矩而 T 是扭臂在扭转弹性的作用下往返振动两次所需的时间，则有

M = 4π² I ．

在所有的静电计中，最重要的是要知道我们正在测量的是什么力。作用在悬挂小球上的力，一部分来自固定小球的直接作用，但也有一部分来自外壳壁上的电荷，如果有这种电荷的话。

如果外壳是用玻璃做成的，则除了在各点进行很困难的测量以外就不可能确定其表面的带电情况。然而，如果外壳是用金属做成的，或是在小球和玻璃外壳之间放一个几乎完全把仪器包围起来的金属壳来作为屏蔽，则金属屏的内表面上的带电情况将完全依赖于小球的带电情况，而玻璃外壳的带电情况则将对小球毫无影响。

为了用一个我们可以计算其中的一切效应的例子来说明这一点，让我们假设外壳是一个半径为 b 的球，而扭臂运动的中心和球心相重合，其半径为 a；另外假设两个球的电荷是 E1 和 E2，他们的位置之间的角度是θ，固定小球到中心的距离是 a1，而二球之间的距离是γ。

暂时忽略感应对小球上电分布的影响，两球之间的力将是一个推斥力

= EE1 ，

r 2

而这个力对通过中心的竖直轴而言的矩将是

EE1aa1 sinθ ．

r 3

b 2

由外壳的球形表面所引起的E1 的像，是同一半径上距中心为处

的一个点，其电荷是－E b

的矩是

，而E1 和这个像之间的吸引力对悬轴而言

b 2

EE b

a sinθ

1 a

¹ {a² − 2

ab²

4 3

cosθ + ²

= EE aa1 sinθ ．

¹ aa

a 2a 2 3

b³{1 − 2 ¹ cos θ +¹ }2

b2 b4

如果球形外壳的半径 b 比 a 和各球到中心的距离 a1 大得多，我们就可以忽略分母上的第二项和第三项。令使扭杆发生转动的两个力矩彼此相等，我们就得到

EE1aa 1

sinθ{ 1

r 3

− 1 } = M(θ − φ)．

测量电势的静电计

〕在所有的静电计中，活动的部分都是一个带电体，而它的势和周围某些固定部分的势不同，当像在库仑方法中那样所用的是一个带有某一电荷的绝了缘的物体时，电荷是测量的直接对象。然而我们可以利用导线把库仑静电计中的小球和一些不同的导体连接起来。于是球上的电荷就将依赖于这些导体的势的值，并依赖于仪器外壳的势的值。每一小球上的势将近似地等于它的半径乘以它的势比仪器外壳的势高出的值，如果球的半径比球间的距离和到外壳壁面或外壳开口的距离小得多的话。

然而库仑形式的仪器，由于当势差很小时二球在适当距离处的力也很小，所以是不太适宜用于这样一种测量的。一种更方便的形式是“吸引盘静电计”的形式。依据这一原理的最初一些静电计是由 W.斯诺·哈里斯爵士制造的①。从那时起，这些静电计已由 W.汤姆孙爵士在理论上和构造上作出了很大的改进②。

当势不相同的两个圆盘面对面地放在很小距离处时，在相向的面上就会出现近似均匀的电荷，而在背面则几乎没有电荷，如果附近没有别的导体或带电体的话。正盘上的电荷将近似地正比于它的面积，正比于盘间的势差而反比于盘间的距离。因此，通过把盘做得很大而把盘间的距离弄得很小，一个小的势差就可以引起一个可以测出的吸引力。

关于这样摆放的两个圆盘上的电分布的数学理论，已在第

202 节中给出，但是不可能把仪器外壳做得很大以致我们可以假设圆盘是在无限大的空间中被绝缘的，这种形式下的仪器的指示就是不容易进行数值上的解说的。

〕在被吸圆盘上增加一个保护环，这就是 W.汤姆孙爵士对这种仪器作出的主要改进之一。

现在不是把其中一个圆盘整个地悬挂起来并测定作用在它上面的力，而是从圆盘上分出一个中心部分来形成被吸引的圆盘，而形成剩余部分的外围环则保持固定。这样，力就是只在分布得最规律的圆盘部分上被测量的，而边沿附近电的不够均匀则不重要，因为那是出现在保护环上而不是出现在圆盘的悬挂部分上。

图 19

除此以外，通过把保护环和一个包围着被吸引盘的背面及其一切悬挂装置的金属外壳相连接，盘背面的带电就被弄得不可能了，因为它成了一个到处有相同的势的闭合中空导体的内表面的一部分。

因此，汤姆孙的“绝对静电计”基本上就是由两个势不相同的圆盘构成的；其中一个圆盘做得有一部分可以在电力作用下发生运动，而且该部分没有任何地方靠近整个盘的边沿。为了明确我们的想法，我们可以假设被吸引的圆盘和保护环是在上面的。固定的圆盘是水平的，装在一个绝缘

① Phil.Trang.1834.

② 参阅 W.汤姆孙爵士关于静电计的一篇很精彩的报告。Report of the British Associa－tion,Dundee， 1867.

柱上，绝缘柱可以通过一个测微螺旋来得到一种可以测量的竖直运动。保护环至少要和固定圆盘一样大，它的下表面真正是平面并平行于固定的圆盘。在保护环上竖立一个精密天平，天平上挂着一个轻的可以活动的圆盘，它几乎填满保护环上的圆孔而不和孔的边沿相摩擦。悬挂圆盘的下表面必须是真正的平面，而且我们必须有办法知道它的平面何时与保护环的下表面相重合而形成仅仅由圆盘和保护环之间的窄缝隔断的单独一个平面。

为此目的，下面的圆盘被推上去，直到和保护环接触上为止；然后让悬挂的圆盘停止在下面的圆盘上，从而它的下表面就和保护环的下表面位于同一平面上。然后它的相对于保护环的位置就借助于一组基准标记来加以确定。为此目的，W.汤姆孙爵士通常是用一根附属在可动部件上的黑头发。这根头发在一种白釉背景上的两个黑点的正前方移上或移下，并且这根头发和这两个黑点都利用一个平凸透镜来进行观察，透镜上平的一面靠近眼睛。如果通过透镜看到的头发是直的，而且恰好位于两个黑点的正中间，它就算是处于正视位置，而这就表明它随之而动的那个悬挂圆盘在高度方面是处于适当位置的。悬挂圆盘的水平性可以通过比较任何物体的一部分在该盘上表面上的反射和同一物体的其余部分在保护环上表面上的反射来进行检验。

然后调节天平，使得当把一个已知砝码放在悬挂圆盘的中心时，该盘就在它的正视位置上处于平衡，这时通过把仪器的每一部分都用金属连接起来而保证仪器不带电。一个金属外壳被放在保护环的上方，把天平和悬挂盘都笼罩在内，但是留出足够的开口来观察基准标记。

保护环、外壳和悬挂圆盘都是互相接通的，但他们和仪器的其他部分却是绝缘的。

现在假设要测量两个导体的势差。将两个导体用导线分别和上下圆盘连接起来，将砝码从悬挂圆盘上拿开，并借助于测微螺旋把下面的圆盘向上推进，直到电吸引力把悬挂圆拉到它的正视位置时为止。这时我们就知道，圆盘之间的吸引力等于当时把圆盘带到正视位置的那个重力。

如果 W 是那个砝码的数值，而 g 是重力强度，则重力是 Wg；而且，如果 A 是悬挂圆盘的面积，D 是圆盘之间的距离，而 V 是圆盘之间的势差，则有①

V²A

Wg = 8πD2 ，或V = D ．

① 让我们用 R 代表悬挂圆盘的半径，而用 R′代表保护环孔的半径，则圆盘和保护环之间的圆形窄缝的宽度将是 B＝R′－R。如果悬挂圆盘和固定大圆盘之间的距离是 D，而二圆盘之间的势差是 V，则按照第 201 节的考虑，悬挂圆盘上的电荷将是如果保护环的表面和悬挂圆盘的表面并不恰好在同一平面上，让我们假设固定圆盘和保护环之间的距离不是 D 而是 D＋z＝D′，则由第 225 节中的考察可知，由于高度上的差别 z｛译注，原文略误，今改｝，圆盘的边沿附近将出现附加的电荷。因此，这一事例中的总电荷就近似地是而且在吸引力的表示式中我们必须把圆盘面积 A 代成改正后的值

式中 R＝悬挂圆盘的半径，R′＝保护环孔的半径，D＝固定盘和悬挂盘之间的距离，D′＝固定盘和保护环之间的距离，a＝0.220635（R′－R）.当 a 比 D 小得多时，我们可以略去第二项，而当 D′－D 很小时，我们可以略去最后一项。｛关于这一情况的另一种考察，见补遗卷。｝

如果悬挂盘是圆形的，且半径为 R，而且保护环的圆孔的半径是 R′，则有

A = 1 π(R² + R′ ² )，以及V = AD ．

〕既然在确定和 D＝0 相对应的测微螺旋读数时总有某些不准确性，而且当 D 很小时悬挂盘的位置方面的任何误差都是至关重要的，W.汤姆孙爵士就宁愿把他的所有测量结果都弄成取决于电动势 V 之差。例如，如果 V 和 V′是两个势而 D 和 D′是对应的距离，则有

V − V′ = (D − D′) 8πgW ．

例如，为了测量一个伽瓦尼电池的电动势，使用了两个静电计。

借助于一个在必要时用补电器保持为充电的电容器，主静电计的下盘被保持于一个恒定的势。这一点，通过把主静电计的下盘和一个辅静电计的下盘接通来加以检验；辅静电计的悬挂盘是接地的。既然辅静电计的盘间距离和把它的悬挂盘置于正视位置时所需的力都是恒定的，如果我们提高电容器的势，直至辅静电计达到它的正视位置时这止，我们就知道，主静电计下盘的势比地球的

势大一个常量，我们可以把这个常量叫做 V。

如果我们现在把电池的正极接地，把主静电计的悬挂盘和负极接通，则盘间的势差将是 V＋v，奴果 v 是电池的电动势的话。设 D 是这一情况下的测微螺旋读数，而 D′是当悬挂盘接地时的读数，则有

υ = (D − D′)

8πgW

A ．

用这种办法，一个小的电动势 v 就可以用一个静电计来测量，这时静电计的二盘之间有一可以很方便地加以测量的距离。当距离太小时，绝对距离的很小变化就会引起力的很大变化，因为力是和距离的平方成反比的。因此，绝对距离的任何误差都会在结果中引起很大的误差，除非距离比测微螺旋的误差范围大得多。

各盘表面的不规则性和他们之间的间隔的不规则性，其影响是和距离的立方及更高次方成反比的，而且，不论一个摺绉表面是什么形状，它的那些突起点总是正好达到一个平面，而在比摺绉宽度大得多的距离处的电效应，和在突起点平面后面某一距离处的一个平面的电效应相同。参阅第197、198 节。

借助于经过辅静电计检验的辅助电荷，就可以保证一个适当的盘间距离。

辅静电计可以结构比较简单，可以没有按绝对量值来测定吸引力的设备，因为所要求的无非是保证一种恒定的带电而已。这样一个静电计可以叫做一个计量静电计。

除了所要测量的电量还应用一个辅助电量，这种方法叫做量电学的“异势差势”，以别于“同势差法”；在后一方法中，全部的效应都是由所要测量的带电情况引起的。

在某些形式的吸引盘静电计中，被吸引的盘子被放在一个臂的一端，该臂连接在一条通过它的重心并用弹簧保持拉紧的铂丝上。臂的另一端系

有发丝；通过改变盘间的距离来把电吸引力调节到一个常量值，可以把发丝调到一个正视位置。在这些静电计中，这个力通常并不是按绝对量值被定出，而只要知道它是常量，如果铂丝的扭转弹性并不改变的话。

整个的仪器放在一个莱顿瓶中，该瓶的内表面和吸引盘及保护环相连接。另一个盘用一个测微螺旋来调节，而且是接地之后又和要测其电势的那个导体相连接的。读数之差乘以一个对每一静电计都须单独测定的常量，就给出所要测量的势。

〕已经描述过的这些静电计不是自动的，而是每观测一次都要求调节一个测微螺旋，或是要求观测者进行某种别的动作。因此这些静电计都不适于用作必须自己活动到适当位置的自动记录静电计。这一条件是用“汤姆孙象限静电计”来满足的。

这种仪器所根据的原理可以解释如下：

A 和 B 是两个固定的导体，他们的势可以相同或不同。C 是一个处于高势的活动导体，被放得有一部分正对着 A 的表面而另一部分则正对着 B 的表面，而且当 C 运动时这两个部分之间的比例就会改变。

为此目的，最方便的办法就是使 C 可以绕着一个轴运动，而把 A 的和B 的以及 C 的对面表面作成绕同一轴线的旋转曲面的一些部分。

这样，C 的表面和 A 的或 B 的对面表面之间的距离就永远保持相同，而 C 沿正方向的运动就只会增大对着 B 的面积和减小对着 A 的面积。

如果 A 的势和 B 的势相等，就不会有促使 C 从 A 向 B 运动的力。但是如果 C 的势和 B 的势相差较大而和 A 的势相差较小，则 C 将倾向于运动以增大它面对 B 的面积。

通过仪器的适当装配，这个力可以弄得在一定的界限内在 C 的不同位置上接近相同，因此，如果 C 是用一根扭丝悬挂着的，它的偏转就将近似地正比于 A 和 B 间的势差乘以 C 的势和 A、B 的平均势之差。

用一个附有补电器的电容器，C 被保持在一个高势并用一个计量静电计来加以检验，而 A 和 B 则接在须要测量其势差的那两个导体上。C 的势越高，仪器的灵敏度就越大。和所要测量的带电情况无关的这种 C 的带电情况，使静电计成为属于异势差类型的了。

我们可以把第 93、127 节中所给出的关于导体组的普遍理论应用在这种静电计上。

用 A、B、C 分别代表三个导体的势，设 a、b、c 分别是他们的电容，p 是 B 和 C 之间的感应系数，q 是 C 和 A 之间的感应系数，而γ是 A 和 B 之间的感应系数。所有这些系数通常都随 C 的位置而变，而且，如果 C 安装得合适，使得在一定的运动界限之内 A 的和 B 的边沿并不和 C 的边沿离得很近，我们就可以确定这些系数的形式。如果θ代表 C 从 A 向 B 偏转的角度，则 A 对着 C 的那一部分面积当θ增大时就将减小。由此可见，如果 A 被保持于势 1 而 B 和 C 被保持于势 0，则 A 上的电荷将是 a＝a0－aθ，式中 a0 和 a 是常量而 a 是 A 的电容。

如果 A 和 B 是对称的，则 B 的电容是 b＝b0＋aθ。

C 的电容不因运动而变，因这运动的唯一效应就是使 C 的不同部分对准 A 和 B 之间的间隙。由此得到 c＝－c0

当 B 升到单位势时在 C 上感应出来的电是 p＝p0－aθ。

A 和 C 间的感应系数是 q＝q0＋aθ。

A 和 B 间的感应系数不因 C 的运动而变，仍保持为γ＝γ0。因此，体系的电能是

W = 1 A ²a + 1 B²b + 1 C²c + BC

CA + AB ，

2 2 2

p q r

而如果Θ是使θ增大的力矩，则有

Θ = dW ，A、B、C被看成常量，

dθ

= 1 A ² da + 1 B² db + 1 C² dc + BC dp + CA dq + AB dr ，

2 dθ 2

dθ 2 dθ dθ

dθ dθ

= − 1 A ²a + 1 B²a − BCa + CAa；

2 2

或Θ＝a(A—B)｛C－ 1 (A＋B)｝. ①

在现在考虑的这种汤姆孙象限静电计中，导体 A 和 B 作成被

完全分成四个象限的一个圆盒的形状，各象限分别被绝缘，但是用导线把对角的象限连接起来，即 A 和 A′连接，B 和 B′连接。导体 C 被悬挂得可以绕竖直轴旋转，它可以是张在一些半径端点的两个对角的 90°的弧。在平衡位置上，这两个弧应该部分地位于 A 中而部分地位于 B 中，而各个支持着的半径应该近似地位于中空盒子的四个象限的中间平面上，以便盒子的分割线和 C 的边沿及支持半径可以互相离得尽可能地远。

形成仪器外壳的是一个莱顿瓶的内表面；通过和该表面相接，导体 C 被永远保持于一个高势。B 接地，而 A 和要测其势的物体相接。

图 20

如果物体的势是零而且仪器已经调好，那就不应该有使 C 运动的力；但是如果 A 的势和 C 的势同号，则 C 将在一个近似均匀的力下从 A 向 B 运动，于是悬挂装置就受到扭转，直到出现了相等的力并达成了平衡时为止。在一定的界限之内，C 的偏转将和乘积

(A − B{C − 1 (A + B)}

成正比。通过增高C的势，仪器的灵敏度可以提高，而且，当 1 (A＋B)

的值很小时，偏转将近似地正比于(A－B)C.

关于电势的测量

〕为了按照绝对量值来测定一个大的势差，我们可以利用吸引盘静电计并把吸引力和一个砝码的效应相比较。如果我们同时也用象限静电

① ｛这一点也可推导如下：如果针是对称地摆在各象限中的，则当 A＝B 时不会有力偶。既然 dW/d

θ在这种情况下对一切可能的 C 值都为零，我们必有

于是就有如果各象限是把针完全包围起来的，则当把各个势都增大一个相同的量时力偶将不受影响，从而于是示式。读者也应参考 G.霍普金孙博士关于象限静电计的论文，见Phil.Mag.5thseries,xix.p.291，以及 Hallwachs Wied.Ann.xxix.p.11.｝

计来测量相同那些导体之间的势差，我们就将定出象限静电计的刻度的某些读数的绝对值，而利用这种办法，我们就可以按照悬挂部件的势和悬挂装置的扭力矩来得出象限静电计的刻度读数的值①。

为了测定一个有限大小的带电导体的势，我们可以把这个导体接在静电计的一个极上，而其另一个极则接地或接在一个具有恒定的势的导体上。静电计读数将给出导体在把它的电荷和它所连接的静电计部件分享以后的势。如 K 代表导体的电容而 K′代表上述那一部件的电容，而 V、V′ 代表这些物体在互相接通以前的势，则他们在接通以后的共同势将是

V = KV + K′V′ ，

K + K′

因此，导体的原有势就是

V = V + K′ (V − V′)．

如果导体并不比静电计大得多，则 K＇将是可以和 K 相比的，从而除非我们可以确定 K 和 K＇的值，表示式中的第二项就将有一个可疑的值。但是如果我们能够在接通之前把静电计电极的势弄得和物体的势很相近，则 K 和 K＇的值的不准确性将没有多大影响。

如果我们近似地知道物体的势，我们就可以借助于一个“补电器”或其他装置来把电极充电到这个近似的势，而其次的实验就将给出一个更好的近似。用这种办法，我们可以测量其电容比静电计的电容小得多的一个导体的势。

空气中一点上的电势的测量

〕第一种方法.取一个小球，其半径比带电导体的距离小得多，把它的中心放在所给的点上。用一根细导线把小球接地，然后把它绝缘，并把它拿到一个静电计那里去测定它上面的总电荷。

于是，如果 V 是给定点上的势而 a 是球的半径，则球上的电荷将是－ Va＝Q；而且，如果 V＇是当放在四壁接地的房间中时用一个静电计测得的球的势，则有 Q＝V＇a，由此即得 V＝＋V＇＝0，或者说，空气中球心曾放在那儿的一点上的势，和该球接地再绝缘并拿到一个房间中以后的势相等而反号。

这种方法曾被克勒茨纳赫的代耳曼先生用来测量离地面一定高度处的势。

第二种方法.我们曾经假设小球被放在给定点上，起初接地，然后绝缘并被带到一个由势为零的导电物质包围着的空间中。

现在让我们假设，有一条绝了缘的细导线被从静电计的电极拿到了要测其势的地方。设小球首先被完全放电。这可以通过把它放在一个用相同金属作成的几乎完全包围起它来的容器中并让它接触容器来作到。现在设把这样放了电的小球拿到导线端点那儿并让它碰一下导线端点。既然球是不带电的，它就将具有该点处空气的势。如果电极导线处于相同的势，则它不会受到这种接触的影响；但是，如果电极有一个不同的势，则通过和

① ｛大势差可以用威廉·汤姆孙爵士的新伏特计来更方便地加以量度。｝

球接触它的势将变得比以前更接近于空气的势。通过一系列这样的动作，小球交替地放电和接触电极，静电计的电极的势就会不断地趋近于所给点上的空气的垫。

〕为了测量一个导体的势而不碰到它，我们可以测量导体附近一个任意点上的空气的势，并根据结果来算出导体的势。如果有一个几乎被导体包围起来的空腔，则空腔中任一点处的空气的势都将和导体的势很相近。

用这种办法，W.汤姆孙爵士曾经确定，如果有两个互相接触的中空导体，一个用铜做成而另一个用锌做成，则被锌包围着的空腔中的空气的势相对于被铜包围着的空腔中的空气的势来说是正的。

第三种方法.如果我们用任一种办法可以使一系列小物体脱离电极的端点，则电极的势将趋近于周围空气的势。这一点，可以通过让弹丸、碎屑、沙粒或水珠从连在电极上的一个漏斗或管子中漏出而作到。要测量其势的点，就是流注不再是连续的而分裂成分开的部分或小滴的那个点。

另一种方便的办法就是在电极上绑一根慢燃的寻火索。势很快就会变成等于导火索燃烧端处的空气的势。当势差颇大时，甚至一个很细的金属尖端就足以通过空气的粒子（或尘埃？）而造成一次放电，但是，如果想把这个势减低为零，我们就必须使用上述各方法中的一种。

如果我们只想确定两个地方之间的势差的正负而不考虑它的数值，我们就可以让液滴或碎屑从一个和其中一个地方相连的喷嘴中在另一个地方喷出，并把那些液滴或碎屑收集在一个绝了缘的容器中。每一个液滴在下落时都会得到一个电荷，而这个电荷就完全放出在容器中。因此容器的电荷就不断地积累，而在足够多的液滴已经落入以后，容器的电荷就可以用最粗糙的方法来进行检验。如果和喷咀相连的那个地方的势相对于另一个地方的势来说是正的，则电荷的符号也是正的。

电的面密度的测量证明片理论

〕在检验关于导体表面上的电分布的数学理论的结果时，必须能够测量导体的不同点上的面密度。为此目的，库仑应用了一个贴在虫胶绝缘柄上的镀金纸小圆片。他把这个小片放在导体的不同点上，使它尽可能密切地和导体的表面相重合。然后他借助于绝缘柄把小片拿开，并利用他的静电计测量了小片上的电荷。

既然当放在导体上时小片的表面是和导体的表面接近重合的，他就得出结论说，小片外表面上的面密度近似地等于导体表面上那一点的面密度，而当拿开时，小片上的电荷就近似地等于导体表面上和小片一侧的面积相等的一个面积上的电荷。这样使用的一个小片，叫做“库仑的证明片”。因为人们对库仑的使用证明片提出过一些不同意见，我将对实验的理

论进行一些评述。

这个实验就在于使一个小的导电物体在要测密度的点上和导体表面相接触，然后拿开物体并测定其电荷。

我们首先必须证明，当和导体接触着时小物体上的电荷正比于在放上

小物体以前存在于接触点上的面密度。

我们将假设，小物体的各个线度，特别是沿接触点法线方向的线度，比导体在接触点上的哪一个曲率半径都小得多。因此，把导体假设为刚性带电，它所引起的合力在小物体所占空间范围内的变化就可以忽略不计，从而我们就可以把小物体附近的导体表面看成一个平面。

现在，小物体通过和一个平面表面相接触而取得的电荷，将正比于垂直于表面的合力，也就是正比于面密度。我们将针对特殊形状的物体来确定电荷的数量。

其次我们必须证明，当小物体被拿开时，在它和导体之间不会有将使它所带走的电荷发生改变的任何火花。这是显然的，因为当物体相接触时他们的势是相同的，从而离接触点最近的那些地方的密度是极小的。当小物体被拿到离导体有一很短的距离时，如果我们假设导体是带正电的，离小物体最近的那些部分上所带的电就不再等于零而是正的了。但是，既然小物体的电荷也是正的，靠小物体最近的那些部分所带的正电就将比表面上其他邻近点上的正电要少一些。喏，一个火花的通过一般依赖于合力的大小，而合力的大小又依赖于面密度。由此可见，既然我们假设导体的带电没有达到在它表面的其他部分上进行放电的程度，而我们又证明了离小物体最近的表面上的面密度较小，导体就不会从那些部分的表面上向小物体放出火花。

〕现在我们将考虑各种形状的小物体。

假设它是一个很小的半球，用它的平底面的中心和导体相接触。

设导体是一个大球。让我们稍微改动一下半球的形状，使它的表面比半球面稍大一点，并且和球面的夹角是直角。于是我们就得到一个事例，它的精确解我们已经求出了。见第 168 节。

如果 A 和 B 是两个互相正交的球，DD＇是交线圆的一条直径，而 C 是该圆的中心，那么，如果 V 是一个导体的势，而导体的表面和两个球的表面相重合，则球 A 的暴露表面上的电量是

1 V(AD＋BD＋AC－CD－BC)，

而球 B 的暴露表面上的电量是

1 V(AD＋BD＋BC－CD－AC)，

总电量是二者之和，即

V(AD＋BD－CD).

如果α和β是二球的半径，则当α比β大得多时，B 上的电荷和 A 上的电荷之比等于

3 β² 1 β 1β²

4 α ² (1 + 3 α + 6α²

+ 比1．

现在，设σ是当 B 被拿走时 A 上的均匀而密度，则 A 上的电荷是4πa2σ，

从而 B 上的电荷就是

3πβ²σ(1 + 1 β + )，

3 α

或者说，当β远小于 a 时，半球 B 上的电荷等于以面密度σ分布在半

球的圆形底面积上的电荷的三倍。

由第 175 节可知，如果使一个小球和一个带电体相接触然后把它拿到远处，则球上的平均面密度和物体上的面密度之比，等于π2 和 6 之比，或者说是 1.645 和 1 之比。

〕证明片的最方便的形式就是一个圆片。因此我们将指明放在一个带电表面上的圆片上的电荷应该怎样测量。

为此目的，我们将构造一个势函数，使它的等势面像一个扁圆形的突起，其一般形状类似于放在平面上的一个圆盘。设σ是一个平面上的面密度，该平面我们将假设为 xy 平面。

由于这种带电情况而引起的势将是

V＝－4πσz.

现在设有两个半径为 a 的圆盘，刚性地带有面密度为－σ＇和＋σ＇的电。设其中第一个圆盘放在 xy 平面上，圆心位于原点；第二个和它平行，并有一很小的距离 c。

于是可以证明，正如我们即将在磁学理论中看到的那样，这两个圆盘在任意点上引起的势是ωσ＇c，此处ω是圆盘边沿在该点所张的立体角。因此，整个体系的势将是

V＝－4πσz＋σ＇cω.

等势面和电感线的形状如下卷末尾图二十的左边所示。

让我们看看 V＝0 的等势面的形状。这个等势面用虚线标出。令任意点离 z 轴的距离等于 r，当 r 比 a 小得多而 z 也很小时，我们就有

ω = 2π − 2π z + ．

因此，对于远小于 a 的 r 值，零等势面的方程就是

0＝－4πoz0

＋2πσ′c－2πσ′ z0c ＋；

或者 z0 ＝

σ′c ．

2σ + σ′ c

由此可见，这个等势面在中轴附近是扁平的。

在圆片以外，r 大于 a，那 z 为零时ω为零，从而 xy 平面是等势面的一部分。

为了找出这两个部分在何处相接，让我们找出在这个平面的哪一点上

dV ＝0。dz

当 r 很接近于和 a 相等时，立体角ω就接近于一个球上的一部分，该球的半径是 1，而那一部分的顶角是 tan-1｛z÷(r－a)｝，也就是说ω

等于2tan^-1｛z÷(r－a)｝，因此当z＝0时就近似地有 dV = −4πσ + 2σ′c 。

因此，当 dV ＝0时，近似地就有

dz r − a

r = a + σ′c

= a + z0 ．

⁰ 2πσ π

因此，等势面 V＝0 就包括一个半径为 r0 并具有近似均匀的厚度 z0 的

圆盘状的图形，并包括这一图形外面的那一部分无限大的 xy 平面。

在整个圆盘上计算的面积分就给出它的电荷。正如在第四编第 704 节的圆形电流的理论中那样，可以求出这一电荷是

Q = 4πσ′c{log

r − a

− 2} + πσr ² ．

平面表面的一个相等面积上的电荷是πar02，因此，圆盘上的电荷大于平面上相等面积上的电荷，二者之比很近似地是

1 + 8 z0 log 8πr0 比1，

r0 z0

式中 z0 是圆盘的厚度，r0 是圆盘的半径，而 z0 被假设为远小于 r0。

关于集电器及其电容的测量

〕一个集电器或电容器是一个仪器，它包括两个导电表面，被一种绝缘的电介媒质所隔开。

一个莱顿瓶就是一个集电器，它的内层锡箔由构成瓶的玻璃来和外层相隔开。原始的莱顿瓿是一个装了水的容器，水和拿着容器的手被玻璃隔开。

任何一个绝了缘的导体的外表面都可以看成集电器的一个表面，其另一个表面就是地面或导体所在房间中的壁面，而中间的空气就是电介媒质。

一个集电器的电容，由为使二表面间的势差等于 1 而必须充给内表面的电量来量度。

既然任一电势都是若干部分之和，而各部分通过每一电量元除以它到一点的距离来求得，电量和势之比就必须具有长度的量纲，因此静电电容就是一个线量，或者说我们可以用英尺或米来毫不含糊地量度它。

在电学研究中，集电器被用于两个主要目的，即在一个尽可能小的体积内接受或储存大的电量，和借助于一个确定的电量所引起的集电器的势来测量该电量。

为了储存电荷，还没有发明出比莱顿瓶更完善的任何东西。电损耗的主要部分起源于电沿着未覆盖的潮湿玻璃表面从一个表层爬到另一个表层。这一点可以通过瓶内空气的人工干燥和未覆盖玻璃表面的涂油来在很大程度上予以避免。在 W.汤姆孙的静电计中，每过一大损失的电只占一个很小的百分数，而且我们相信当玻璃是好的时，任何的损失都不能归因于通过空气或通过玻璃的直接传导，而主要是起源于沿着仪器中各种绝缘杆和玻璃的表面而进行的传导。

事实上，同一电学家｛指 W．汤姆孙｝曾经把一个电荷传给一个长颈大玻璃泡中的硫酸，然后通过熔化把瓶颈密封了起来，从而电荷就是完全被玻璃所包围的，而过了些年以后，发现电荷还保存在那里呢。

然而，只有当温度较低时，玻璃才有这样的绝缘性，因为只要把玻璃加热到还不到 100℃，电荷立刻就会开始逃逸。

当希望得到小体积的大电容时，以弹性橡皮、石棉或腊纸作为电介质的集电器就是合用的。

〕对于第二类集电器即用于电量的测量的集电器来说，使用任何固体电介质时都要大大留心，因为他们有所谓“电吸收”的性质。

对于这种集电器来说，唯一保险的电介质就是空气，而空气也有一种不方便处，那就是，如果有些尘埃或杂物进入到两个相对表面之间本来只应该被空气所占据的狭窄空间中去，那就不但会改变空气层的厚度，而且可能在相对的表面之间建立一种联系，而那样一来集电器就将不能保留电荷了。

为了用绝对单位即用英尺或米来量度一个集电器的电容，我们必须或是首先确定它的形状和尺寸然后求解它的相对表面上的电分布问题，或是把它的电容和一个已经求解了问题的集电器的电容相比较。

由于这问题是很困难的，最好从一种形状的集电器开始，而对那种形状来说解是已知的。例如，已经知道，无限空间中一个绝了缘的｛导体｝球的电容用球的半径来量度。

挂在房间里的一个球，曾由考耳劳什和韦伯两位先生实际地当成一个绝对标准，他们把其他集电器的电容和这一标准进行了比较。

然而，一个中等大小的球的电容和常用的集电器的电容比起来是太小了，从而球并不是一种方便的标准单位。

通过用一个半径大一些的中空同心球面把它包围起来，球的电容可以大大增大。这时内表面的电容反比于空气层的厚度而正比于二表面的半径

①。

W.汤姆孙爵士曾经利用这种装置作为电容的标准，｛它也曾由罗兰教授和罗斯先生在他们关于电的电磁单位和静电单位之比值的测定中应用过，见 Phil. Mag.ser.v.28，PP.304，315，｝但是把各表面制成真正的球面，把他们弄得真正同心并足够准确地测量他们的距离和半径，这却是相当困难的。

因此我们就被引导着更愿意采用那样一种形式的物体来作为电容的标准单位，其相对的表面是平行的平面。

平行平面的电容很容易测试，他们的距离可以用测微螺旋来测量，而且可以作得能够连续变化，而这是测量仪器的一种最重要的性质。

唯一剩下来的困难来自这样一个事实：平面肯定是有边的，而平面边沿附近的电分布还不曾严格地被求出。确实，如果我们把他们做成圆盘状，而圆盘的半径比他们之间的距离大得多，我们就可以把圆盘的边沿看成直线，并利用在第 202 节中描述过的由亥姆霍兹提出的方法来计算其电分布。但是应该注意到，在这一事例中，一部分电是分布在两个圆盘的背面的，而且在计算中曾经假设附近没有任何导体，而对一个小仪器来说事实却不是也不可能如此。

〕因此我们更愿意采用由 W.汤姆孙爵士发明的下述装置；我们可以把它叫做保护环装置，而利用这种装置，一个绝了缘的圆盘上的电量可以按照它的势来准确地加以确定。

保护环集电器

① ｛译注：这句话的原文意义不明,今略改，但仍欠妥。｝

Bb 是用导电材料制成的一个圆柱形的容器，它的外表面的上面是一个精密的平面。这个上面由两部分构成，一个圆盘 A，和围绕圆盘的阔环 BB，二者之间到处有一个小间隔，刚刚足以阻止火花的通过。圆盘的上表面和保护环的上表面准确地位于同一平面上。圆盘被用绝缘材料做成的支柱 GG 支住。C 是一个金属圆盘，它的下表面是精密的平面并平行于 BB。圆盘 C 比 A 大很多。它到 A 的距离用一个在图中没有画出的测微螺旋来调节和测量。

这种集电器用作一种测量仪器如下：

设 C 处于零势而圆盘 A 和容器 Bb 处于势V。于是圆盘背面上不会有电，因为容器接近闭合并全体处于相同的势。圆盘边沿上的电也将很少，因为Bb 和圆盘处于同势。在圆盘的面上，电将是接近均匀的，从而圆盘上的总电荷将由它的面积乘以平面上的面密度来几乎精确地表示，就如在第 124 节中给出的那样。

事实上，我们由第 201 节的考察就知道，圆盘上的电荷是

R² + R′²

− R′² − R²

a }， A + a

式中 R 是圆盘的半径，R＇是保护环孔的半径，A 是 A 和 C 之间的距

离，而a是62299不可能超过(R′－R) loge 2 的一个量。

如果圆盘和保护环之间的间隙比 A 和 C 之间的距离小得多，则第二项将很小，而圆盘上的电荷就将很接近于

R² + R′²

V ．

｛这就和一个面密度为 V/4πA 的均匀带电的圆盘上的电荷很近似地相同，该圆盘的半径是原有圆盘和孔的半径的算术平均值。｝

现在设把容器 Bb 接地。这时圆盘 A 上的电荷将不再是均匀分布的，但其数量将不改变，而且，如果我们现在使 A 放电，我们就将得到一个电荷，它的值可以根据原来的势差 V 和可以测量的量 R、R＇及 A 来求出。

论集电器电容的比较

〕最适宜根据其各部件的形状及尺寸来用绝对单位确定其电容的那种形式的集电器，通常并不最适合电学实验之用。很重要的是，实际应用中的电容的量度应该是只有两个导电表面的集电器，其中一个表面应该尽可能近似地被另一个表面所包围。另一方面，保护环集电器却有三个独立的导电部分，他们必须按一定的顺序充电和放电。因此，最好能够通过一种电学过程来比较两个集电器的电容，以便检验后来可以用作次级标准的那些集电器。

我首先将指明如何验证两个保护环集电器的电容的相等。

设 A 是其中一个集电器的圆盘，B 是和导电容器的其余部分连在一起的保护环，C 是大圆盘，而 A＇、B＇、C＇是另一个集电器的相应部件。

如果其中一个集电器属于更简单的类型，即只有两个导体，我们就只须略去 B 或 B＇，而假设 A 是内导电表面而 C 是外导电表面，这时 C 被理解为包围着 A。

设接线步骤如下：

B 永远和 C＇相接，B＇永远和 C 相接，就是说，每一个保护环和另一电容器的大圆盘相接。

令 A 和 B 及 C＇相接，并和一个莱顿瓶上带正电的电极 J 相接；令A＇和 B＇及 C 相接，并接地。
令 A、B、C＇和 J 断开。
令 A 从 B 和 C＇断开，A＇从 B＇和 C 断开。(4)令 B、C＇和 B＇、C

相接并接地。

令 A 和 A＇相接。
令 A、 A＇和一个验电器 E 相接。我们可以表示这些接线步骤如下：

(1)0＝C＝B＇＝A＇│A＝B＝C＇＝J. (2)0＝C＝B＇＝A＇│A＝B＝C＇│J. (3)0＝C＝B＇│A＇│A│B＝C＇. (4)0＝C＝B＇│A＇│A│B＝C＇＝0. (5)0＝C＝B＇│A＇＝A│B＝C＇＝0. (6)0＝C＝B＇│A＇＝E＝A│B＝C＇＝0.

在这儿，等号表示电接通而竖线表示绝缘。

在(1)中，两个集电器是相反地充电的，从而 A 为正而 A＇为负，而 A 和 A＇上的电荷是均匀分布在和每一个集电器中的大圆盘所对着的上表面上的。

在(2)中，莱顿瓶被取走，而在(3)中 A 和 A＇上的电荷被绝缘。

在(4)中，保护环和大圆盘接通，从而 A 和 A＇上的电荷尽管量值不变但现在却是分布在他们的整个表面上了。

在(5)中 A 和 A＇接通了。如果电荷是相等而反号的，则带电状态将完全消失，而在(6)中这一点用验电器 E 来进行了检验。

按照 A 或 A＇具有较大的电容，验电器 E 将指示正电荷或负电荷。借助于一个构造适当的开关①，所有的这些动作可以在一秒的一个很小

分数之内按适当顺序完成，而且各电容也可以调节得使验电器检测不到任何电荷；用这种办法，一个集电器的电容可以调节得等于任何另一个集电器的电容或等于若干集电器的电容之和，因此就可以组成一个集电器组，其中每一个集电器的电容都是用绝对单位即英尺或米来测定了的，而同时他们的结构又是最适于电学实验之用的。

这种比较法也许在测定制成板状或盘状的不同电介质的静电比感本领方面将被证实为有用处。如果一个电介质圆盘被插入 A 和 C 之间，而圆盘比 A 大得相当多，则集电器的电容将被改变，并被弄得等于当同一个集电器的 A 和 C 相距较近时的电容。如果加了电介质板而 A、C 之间的距离为 x 的一个集电器，和不加电介质板而 A、C 之间的距离为 x＇的同一个集电器具有相同的电容，那么，如果 a 是板的厚度而 K 是相对于空气而言的电介质比感本领，则有

① ｛这样一个开关曾在霍普金孙博士关于气体和液体的静电电容的论文中加以描述，见 Phil.Trans.， 1881，PartⅡ，p.360.｝

K = a ．

a + x′ − x

在第 127 节中描述了的那种三个柱面的组合，曾被 W.汤姆孙爵士当作其电容可以按可测量的数量增大或减小的一种集电器来使用。

关于吉布孙先生和巴克雷先生用这种仪器作的实验的描述，见Proceedings of the Royal Society，Feb.2，1871，以及 Phil.Trans.， 1871，P.573.他们发现固体石蜡的比感本领是 1.975，这时认为空气的比感本领是 1.

第二篇动电学

第一章电流

〕我们在第 45 节中已经看到，当一个导体处于电平衡时，导体各点的势必然相同。

如果两个导体 A 和 B 被充了电，以致 A 的势高于 B 的势，则当用和他们二者相接触的一条金属线把他们接通时，A 的一部分电荷就会过渡到 B，而 A 和 B 的势就会在很短的时间内变为相等。

〕在这一过程的进行中，在导线 C 中观察到某些现象，这些现象叫做电流①。

其中第一种现象就是正电从 A 到 B 而负电从 B 到 A 的转移。这种转移也可以通过使一个绝了缘的小物体交替地和 A 及 B 相接触而用一种更慢的方式来达成。利用我们可称之为电运流的这种过程，每一个物体所带电的一个个的小部分可以转移到另一个物体上。不论在哪一种事例中，某一电量或带电状态都在物体之间的空间中沿着某一路径从一个地方运动到另一个地方。

因此，不论我们对电的本性有何见解，我们都必须承认所描述的过程构成电的一种流动。这种流动可以描述为正电从 A 到 B 的流动，或负电从B 到 A 的流动，或这两种流动的组合。

按照菲希诺尔的学说和韦伯的学说，这是一种正电的流动和一种恰好相等的负电沿相反方向而通过相同物质的流动的组合。为了理解韦伯关于某些最有价值的实验结果的叙述，记住这种有关电流之组成的极其牵强的假说是必要的。

如果我们像在第 36 节中一样假设，在单位时间之内，有 P 个单位的正电从 A 转移到 B 而有 N 个单位的负电从 B 转移到 A，则按照韦伯的学说，应有 P＝N，而 P 或 N 就应该被取为电流的数值。

与此相反，我们对 P 和 N 之间的关系不作任何假定，而只注意流动的结果，那就是 P＋N 个单位的正电从 A 到 B 的转移，从而我们将把 P＋N 看成电流的真实量度。因此，韦伯将称之为 1 的电流，我们将称之为 2。

论恒稳电流

〕在处于不同势的两个绝缘导体之间的流动事例中，过程很快地就会因二物体的势的相等而停止，从而电流在本质上就是一种“瞬变电流”。

但是也有一些办法可以使导体之间的势差保持恒定，在那种情况下，电流就将以一种均匀的强度作为一种“恒稳电流”而继续流动。

伏打电池组

① ｛译注：原书还引用了“电矛盾”(electricconflict)一词作为“电流”的同义语。｝

产生恒稳电流的最方便的方法是利用一个伏打电池组。为了明确起见，我们将描述丹聂耳的恒势电池组：

一种硫酸锌的溶液放在一个多孔性的素烧瓷瓶子中，而这个瓶子又放在一个装有硫酸铜饱和溶液的容器中。一块锌浸在硫酸锌中，而一块铜浸在硫酸铜中。在液面以上，有导线焊在锌上和铜上。这一套东西，就叫做丹聂耳电池组的一个电池或单元。见第 272 节。

〕如果这个电池通过放在一个不导电的底座上而被绝缘，而使连在铜上的导线和一个绝了缘的导体 A 相接触，使连在锌上的导线和另一个绝了缘的并和 A 用相同金属制成的导体 B 相接触，则可以利用一个精密的静电计来证明，A 的势比 B 的高出某一个数量。这个势差叫做丹聂耳单元的“电动势”。

如果 A 和 B 现在从电池断开并利用一根导线互相连接起来，一个瞬变电流就会从 A 流向 B，而 A 和 B 的势就会变成相等。然后 A 和 B 又可以被电池所充电，而这种过程就可以重复进行，只要电池还能工作就行。但是，如果 A 和 B 用一根导线连接起来，而且像从前那样仍和电池连接着，则电池将在 C 中保持一个恒定的电流，而且也在 A 和 B 之间保持一个恒定的势差。我们即将看到，这个势差并不等于电池的总电动势，因为一部分电动势要被用来在电池本身中保持电流。

若干个电池串联起来，即用金属把第一个电池的锌和第二个电池的铜相接，如此等等，就叫做一个“伏打电池组”，这样一个电池组的电动势是它所由组成的各电池的电动势之和。如果电池组被绝了缘，作为整体它可能带电，但是铜端的势永远比锌端的势大，而二者之差就是它的电动势，不论这两个势的绝对值是什么。电池组中的那些电池可以有很不相同的构造，含有不同的化学溶液和不同的金属，如果当没有电流通过时没有化学反应继续进行的话。

〕现在让我们考虑两端互相绝缘的一个电池组。铜端将带正电或玻璃电，而锌端将带负电或树胶电。

现在设用一根导线把电池组的两端连接起来。于是一个电流就出现，并在一个很短的时间内达到一个恒定值。这时它就叫做一个“恒稳电流”。

电流的性质

〕电流形成一条回路，沿着从铜到锌的方向通过导线，并从锌到铜通过溶液。

如果把任何一条把一个电池的铜和其次一个电池的锌连接起来的导线切断，回路就被切断，电流就会停止，而连在铜上的导线的端点的势就会比连在锌上的导线的端点的势高出一个常量，这就是回路的总电动势。

电流的电解作用

〕只要回路是断开的，电池中就没有化学作用在继续进行，但是一旦回路接通，每一个丹聂耳电池中的锌块就会开始溶解，而在它的铜块上就会有铜沉积下来。

流酸锌的量将增加，硫酸铜的量将减少，除非有更多的硫酸铜不断地

被加进来。

被溶解的锌的量，和所沉积的铜的量，在整个回路中的每一个丹聂耳电池中都相同，不论各锌板的大小如何；而且，如果任何一个电池是具有不同的构造的，它里边的化学作用也会在数量上和丹聂耳电池中的化学作用有一个恒定的比值。例如，如果其中一个电池是由浸在用水稀释过的硫酸中的两个铂板构成的，就会有氧在电流进入液体处的那个板上放出，也就是在和丹聂耳电池的铜用金属连接着的那个板上放出，并有氢在电流离开液体处的板上即和丹聂耳电池的锌相连的那个板上放出。

氢的体积正好是在相同时间内放出的氧的体积的两倍，而氧的重量正好是氢的重量的八倍。

在回路的每一电池中，每一种溶解了的、沉积了的或分解了的物质的重量，等于一个叫做该物质之化学当量的量乘以电流的强度和电流流动的时间。

关于确立这一原理的那些实验，见法拉第《实验研究》的系列七和系列八。关于这一法则的表观例外的考察，见密勒的《化学物理学》和魏德曼的《动电》。

〕用这种方式分解的物质，叫做“电解质”。这种过程叫做“电解”。电流进入和离开电解质的地方叫做“电极”。其中电流所由进入电解质的电极叫做“阳极”，而电流所由离开电解质的电极叫做“阴极”。电解质分解而成的组分叫做“离子”：出现在阳极处的离子叫做“阴离子”，而出现在阴极处的离子叫做“阳离子”。

我相信这些名词是由法拉第在惠威耳博士的协助下制订的。其中前三个即电极、电解和电解质已经得到公认，而其中出现这种组分的分解和传递的导电模式叫做“电解导电”。

如果有一种均匀的电解质放在一根变截面的管子中，而电极装在这根管子的两端，则我们发现当电流通过时阴离子就出现在阳极上而阳离子就出现在阴极上，这些离子的数量是电化学地等价的，而且是共同和电解质的某一个量等价的。在管子的其他部分，不论截面是大是小，是均匀的还是变化的，电解质的成分都保持不变。因此，通过管子的每一截面进行的电解的数量都相同。因此，在截面小的地方，作用必然比在截面大的地方更强，但是在给定时间内通过任一完整截面的每一种离子的数量对所有的截面来说都是相同的。

因此，电流的强度可以用给定时间内的电解数量来量度。可以很方便地测量电解产物的数量的一种仪器叫做“电量计”。

这样量得的电流强度在回路的每一部分处都相同，而且在任一给定时间以后出现在电量计中的电解产物的总量，和在同一时间内通过任一截面的电量成正比。

〕如果我们在一个电池组的回路中接入一个电量计并在任何部分把回路切断，我们就可以假设电流的测量是如下进行的。设断路的两端是 A 和 B，并设 A 是阳极而 B 是阴极，让一个绝了缘的球交替地接触 A 和 B，则它在每一次行程中都会把某一个可测量的电量从 A 带到 B。这个电量可以用一个静电计来测量，它也可以通过用球的静电电容去乘回路的电动势而被算出。就这样，电就在一个过程中被一个绝了缘的球从 A 带到 B，这个过程可以叫做“运流”。与此同时，电解在电量计和电池组的各电池中

持续进行，而每一个电池中的电解数量可以和被绝缘球带过去的电量相比较。被单位电量所电解的物质的量，叫做该物质的“电化当量”。

如果用一个普通大小的球和一个可以摆弄的电池组来这样进行，这个实验就将是极其繁难和麻烦的，因为在一个可觉察数量的电解质被分解以前，必须来来回回搞了许许多多次。因此，实验必须被认为只是一种说明，而电化当量的实际测量则是用不同的方式进行的。但是这个实验也可以看成电解过程本身的一种说明。因为，如果我们把电解导电看成运流的一种，在这种运流中一个电化当量的阴离子携带着负电向阳极方向运动，而一个电化当量的阳离子携带着正电向阴极方向运动，而电的总传递量则是一个单位，那么我们就将得到有关电解过程的一种概念。就我所知，这种概念是和已知的事实并不抵触的，尽管由于我们对电的本性和化学化合物的本性不够了解，它可能只是实际上发生的事情的一种很不完善的表象。

电流的磁作用

〕奥斯特发现，放在直线电流附近的一个磁铁，倾向于使自己变得垂直于通过电流和磁铁的平面。见第 475 节。

假如一个人把自己的身体摆得沿着电流线的方向，使得从铜经过导线到锌的电流将从他的头向脚流，而且他的脸则向着磁铁的中心，则当电流在流时，磁铁的指北极将倾向于指向人的右手。

这种电磁作用的本性和规律，将在我们进行到本书第四编时再行讨论。目前我们所要谈到的是这样一个事实：电流有一种在电流外面起作用的磁效应；通过这种效应，电流的存在可以被确定，电流的强度可以被测量，而不必断开电路或在电流本身中接入任何仪器。

已经确定，磁作用的大小正比于由电量计中的电解产物来测量的电流强度，而和电流所流过的导体的本性完全无关，不论导体是金属还是电解质。

〕通过它的磁效应来指示一个电流的强度的仪器，叫做“电流计”。电流计通常包括一个或多个用丝包线绕成的线圈，线圈内挂着一个轴

线水平的磁铁。当电流在导线中通过时，磁铁就倾向于把自己摆在轴线垂直于线圈平面的方位上。如果我们假设线圈的平面是摆得和地球的赤道面相平行的，而电流是沿着太阳的表观运动方向从东向西在线圈中运行的，则线圈中的磁铁将倾向于把自己摆得使它的磁化和看成大磁铁的地球的磁化方向相同，地球的北极和罗盘指针指向南方的那一端相类似。

电流计是测量电流强度的最方便的仪器。因此我们将假设在电流规律的研究中制造这样一种仪器的可能性，而把仪器的原理留到我们的第四编中再来讨论。因此，当我们说一个电流具有某一强度时，我们就假设测量是用电流计来完成的。

第二章电导和电阻

〕如果我们在一个保持着恒定电流的电路中用一个静电计来测定不同点上的电势，我们就会发现，在由温度均匀的单独一种金属构成的任何一段电路上，任何一点的势都比沿电流方向来看是更远一些的任何其他点的势大一个量，这个量依赖于电流的强度，并依赖于所研究的那一段电路的本性和尺寸。这一路段两端的势差，叫做作用在它上面的“外电动势”。如果所考虑的一段电路不是均匀的而却包含着从一种物质到另一种物质的过渡、从金属到电解质的过渡或从较热部分到较冷部分的过渡，则除了外电动势以外，还可能存在必须考虑在内的“内电动势”。

电动势、电流和电阻之间的关系，是由 G.S.欧姆博士在 1827 年发表的一篇题为《动电序列的数学研究》的论文中首先研究了的，该论文的英译本见泰勒的《科学论文集》(Taylor，ScientificMem-oirs)。在均匀导体的事例中，这些研究的结果通常称为“欧姆定律”。

欧姆定律

作用在电路任一部分的两端之间的电动势，是电流强度和该部分电路的电阻的乘积。

这里引用了一个新的名词，导体的“电阻”，它被定义为电动势和所产生的电流强度之比。欧姆曾经用实验证明，电阻一词是和一个实在的物理量相对应的，就是说，它有一个确定的值，只有当导体的本性改变时这个值才会改变。没有这种证明，名词的引用就将是没有任何科学价值的。

总之，第一，一个导体的电阻不依赖于通过导体的电流强度。

第二，电阻不依赖于导体所在的势，也不依赖于导体表面上的电分布的密度。

它完全依赖于构成导体的材料的本性、导体各部分的聚集态和导体的温度。

导体的电阻可以测量到它的值的万分之一乃至十万分之一的精确度，而且已经测试过的导体是如此之多，以致我们关于欧姆定律之真确性的信心现在是很大的了①。在第六章中，我们将追索它的应用和推论。

电流的生热

〕我们已经看到，当一个电动势使一个电流通过一个导体而流动时，电就从高势的地方转移到低势的地方。假如这种转移是通过运流来进行的，也就是通过在一个球上带着一个个的电荷从一个地方到另一个地方来的运动进行的，电力就会对球作功，而这种功就将需要说明。在一些干

① ｛关于针对各种金属导体对欧姆定律所作的验证，见 B.A.Report 1866p.36 上克里斯陶的文章，他证明了一条导线对无限弱的电流而言的电阻和它对很强的电流而言的电阻约相差百分之 10-10；关于针对电解质对该定律所作的验证，见 B.A.Report1886 上斐兹杰惹和特罗顿的文章。｝

堆电路中，它也确实以一种部分的方式得到了说明；在那些电路中，电极被作成钟形，而运送电的小球则像一个摆似地在两个钟之间运动并交替地敲响他们。用这种办法，电作用被弄得和摆的摆动步调一致并把钟声传到远处。在导线的事例中，我们有同样的从高势处到低势处的电转移而没有任何的外功被作出。因此，能量守恒原理就引导我们到导体中去寻找内功。在一种电解质中，内功部分地表现为电解质组分的被分离。在其他导体中，它完全转化为热。

在这一事例中，转化为热的能量等于电动势和通过的电量的乘积。但是电动势等于电流和电阻的乘积，而电量等于电流和时间的乘积。由此可见，热量乘以热功当量就等于电流强度的平方乘以电阻再乘以时间。

在克服电阻中由电流产生的热量，曾由焦耳博士测定过。他首次确定了，在给定时间内产生的热量正比于电流的平方，而且后来又通过所有各有关量的仔细的绝对测量，证实了方程

JH=C2Rt，

式中 J 是焦耳的热功当量，H 是热量，C 是电流强度，而 t 是电流流动的时间。电动势、功和热之间的这些关系，由 W.汤姆孙爵士在一篇关于机械效应对电动势测量之应用的论文中第一次作出了充分的解释①。

〕初看起来，电的传导理论和热的传导理论之间的类似性是完全的。如果我们取两个在几何上相似的体系，假设第一个体系中任一点上的热导率比个于第二个体系中对应点上的电导率，而且令第一个体系中任一部分处的温度正比于第二部分中对应点上的电势，则通过第一个体系中任一面积的热流将正比于通过第二个体系中对应面积的电流。

于是，在我们已经作出的说明中，既然电的流动对应于热的流动，而电势对应于温度，那么电就倾向于从高势处流向低势处，正如热倾向于从高温处流向低温处一样。

〕因此，电势理论和温度理论可以弄成互相例示的形式，然而在电现象和热现象之间却有一个引人注目的差别。

用一根丝线把一个导电物体挂在一个闭合的导电容器中并使容器带电。容器和它内部所有东西的势将立即升高，但是，不论容器被多么强烈地充了电，不论它里边的物体是否和它相接触，容器内部都不会出现任何带电的迹象，而且当物体被拿出时它也不会显示任何电效应。

但是如果容器被加热到一个高的温度，器内的物体也将达到相同的温度，但那要在一段相当长的时间以后，而且，如果后来把它拿出来，它就会是热的，而且它会保持为热的，直到它继续放了一段时间的热以后。

两种现象的差别在于这样一件事实：物体能够吸热和放热，而在电的方面他们却没有对应的性质。不向物体供应一定量的热，就不可能使它热起来，而所需的热量依赖于物体的质量和比热，但是一个物体的电势却可以用上述方法提高到任何程度而不必把任何的电传给该物体。

〕另外，假设一个物体首先被加热然后被放在闭合容器中。容器的外表面起先将和周围的物体温度相同，但它不久就会热起来，而且将保持为较热，直到内部物体所有的热都被放掉为止。

进行一个对应的电学实验是不可能的。不可能使一个物体带电，然后

① Phil.Mag.，Dec.1851．

把它放在一个中空容器中，而使容器的外表面起初并不显示任何的带电现象，但是后来却带了电。法拉第曾经徒劳地寻求过的所谓“绝对电荷”，正是某种这一类的现象。热可以隐藏在一个物体的内部而没有外部作用，但是却不可能把一个电量隔离起来，以阻止它和一个种类相反的相等电量处于经常的感应之中。

因此，在电现象中就没有任何东西和一个物体的热容量相对应。这可以从本书所肯定的学说中立刻推出来；那学说就是，电和一种不可压缩的流体服从相同的连续性条件。因此就不可能通过把一个附加的电量挤入任何物质中而使它得到一个体电荷。参阅第 61、111、329、334 各节。

第三章

接触物体之间的电动势接触中的不同物质的势

〕如果我们把一个中空导电容器的势定义为器内空气的势，我们就可以借助于在第一编第 221 节中描述了的一个静电计来确定这个势。

如果现在取两个用不同金属例如铜和锌做成的中空容器，并使他们互相处于金属接触之中，然后检测每一个容器中的空气的势，则锌质容器中的空气的势和铜质容器中的空气的势相比将是正的。势差依赖于各容器的内表面的本性；当锌是光亮的而铜上附有一层氧化物时，势差最大。

由此可见，当两种金属互相接触时，通常会有一个电动势从一种金属向另一种金属作用着，以促使一种金属的势超过另一种金属的势。这就是伏打有关“接触电”的理论。

如果我们取一种金属例如铜作为标准，那么，如果铁在和势为零的铜相接触时的势是 I 而锌在和势为零的铜接触时的势为 Z，则锌在和势为零的铁相接触时的势将是 Z—I，如果各金属周围的媒质保持相同的话。

这种结果对任何三种金属都是对的。由这种结果可知，温度相同的任何两种金属相接触时的势差，等于他们和第三种金属相接触时二势之差，因此，如果一个电路由温度相同的任意几种金属所形成，则各金属一经得到了他们的适当的势，电路中就将存在一种电平衡，从而电路中就不会有电流继续存在。

〕然而，如果电路由两种金属和一种电解质所构成，则按照伏打的理论，电解质将倾向于使和它接触着的两种金属的势变成相等，于是金属接触点上的电动势就不再是被平衡掉的，而一个连续的电流就会得到保持。这个电流的能量由发生在电解质和金属之间的化学作用来提供。
〕然而，电效应也可以不用化学作用来产生，如果我们能够用任何别的办法来使相接触的两种金属的势

相互接近的话。例如，在 W．汤姆孙爵士所作的一个实验中①，一个铜漏斗被放在和一个竖直的锌圆筒相接触的位置上，从而当使一些铜屑通过漏斗时，他们就在锌筒的中部互相分开并离开漏斗而落入放在下面的绝缘接收器中。于是接收器就被发现为带负电，而且它的电荷将随着碎屑的不断下落而增加。与此同时，里边放了铜漏斗的那个锌筒就会越来越多地带正电。

如果现在用一根导线把锌筒和接收器连接起来，导线中就会有一个正电流从锌筒流向接收器。每一片铜屑都由于感应而带了负电，而铜屑流就形成从漏斗到接收器的一个负电流，或者换句话说，形成从接收器到铜漏斗的一个正电流。于是正电流就（由铜屑携带着）通过空气从锌流到铜，并通过金属联线而从铜流到锌，正如在普通的电池电路中一样。但是，在这一事例中，保持电流的力不是化学作用而是重力，这种重力使铜屑下落，尽管有带正电的漏斗和带负电的铜屑之间的电吸引力。

① North British Review，1864，p.353；以及 Proc.R.S.，June20，1867.

〕接触电理论的一种引人注目的证实曾由珀耳帖的发现所给出。他曾发现，设有一个电流通过两种金属的接触点，当电流沿一个方向流动时接触点就发热，而当它沿相反方向流动时接触点就变冷。必须记得，一个电流在通过一种金属时永远产生热，因为它会遇到电阻。因此，整个导体中的冷却效应必然永远小于发热效应。从而我们就必须区分每一种金属中由普通的电阻而引起的发热和两种金属接头处的热的产生或吸收。我们将把前者称为由电流引起的热的摩擦产生，而正如我们已经看到的那样，这种热量正比于电流的平方，从而不论电流沿正方向还是沿负方向流动热量都是相同的。我们可以把第二种效应叫做珀耳贴效应，它随着电流的变号而变号。

在由两种金属形成的组合导体的一个部分中，产生的总热量可以表示

成

H = R C² t－ПCt， J

式中 H 是热量，J 是热功当量，R 是导体的电阻，C 是电流，而 t 是时间； П是珀耳帖效应的系数，也就是单位电流在单位时间内在接触点上吸收的热量。

喏，产生的热和在导体中反抗电力所作的功是在力学上等价的；就是说，它等于电流和产生电流的电动势的乘积。由此可见，如果 E 是使电流通过导体而流动的那个外电动势，则有

JH=CEt=RC2t-JПCt，

从而 E=RC-JП.

由这一方程可以看到，推动电流通过组合导体所需要的外电动势，比只由它的电阻所要求的电动势小一个电动势 JП。因此 JП就代表在接触点上沿正方向发生作用的电动势。

由 W.汤姆孙爵士①作出的这种热的动力理论对区域性电动势之确定的应用，具有很大的科学重要性，用导线把组合导体的两个点和一个电流计或验电器的两个极连接起来的那种普通方法，将由于导线和组合导体物质接头处的接触力而成为无用的。另一方面，在热学方法中，我们知道能量的唯一来源是电流，而除了使那一部分导体变热以外电流在电路的一部分中不作任何的功。因此，如果我们能够测量电流的大小和产生的或吸收的热量，我们就能确定促使电流通过那一部分导体时所需要的电动势，而且这种测量是和电路其他部分中的接触力效应完全无关的。

用这种方法测定的二金属接头处的电动势，并不能说明在第 246 节中描述的那种伏打电动势。后者通常是比本节所述的这种电动势大得多的，而且有时是符号相反的。因此，认为一种金属的势应该用和它接触着的空气的势来量度的那种假设就必然是错误的，而且伏打电动势的较大部分不应该到两种金属的接头处去找，而应该到把金属和形成电路之第三种单元的空气或其他媒质的一个或两个分界面上去找。

〕塞贝克发现，当接触点处于不同的温度时，由不同金属构成的电路中出现温差电流；这就表明，一个闭合电路中的接触势并不是永远互相平衡的。然而很明显，在由均匀温度下的不同金属构成的闭合电路中，

① Proc.R.S.Edin.,Dec.15,1851;以及 Trans.R.S.Edin.,1854.

接触势必然互相平衡。因为，假若不是这样，电路中就会出现电流，而这个电流就可以带动一个机器或在电路中产生热，也就是说可以作功，而与此同时却没有能量的任何消耗，因为电路到处的温度相同，而且也没有化学变化或其他的变化发生。由此可见，如果在由两种金属 a 和 b 的接触点上当电流从 a 流到 b 时珀耳帖效应用Пab 来代表，则对由同温下的两种金属构成的电路来说，应用

Пab+Пba=0，

而对由三种 a、b、c 构成的电路来说，我们必有

Пbc+Пca+Пab=0.

由这一方程可知，三个珀耳帖效应并不是独立的，而是其中一个可由另外两个推出。例如，如果我们假设 c 是一种标准金属，并写出 Pa=JПac 和 Pa=JПbc，则有

JПab=Pa-Pb.

Pa 这个量是温度的函数，并取决于金属 a 的本性。

〕马格努斯也曾证明，如果一个电路是由单独一种金属构成的，电路中就不会形成任何电流，不论导体的截面和温度怎么变化①。

既然在这种事例中存在热传导以及由此引起的能量耗散，我们就不能像在以前的事例中那样把这一结果看成显而易见的。例如，电路两部分之间的电动势可能取决于电流是从导体的较粗部分流向较细部分还是相反，也可能取决于它是迅速地或缓慢地从较热部分流向较冷部分还是相反，而这就会使得由一种金属构成的不均匀加热的一个电路中的电流成为可能。因此，利用和在珀耳帖现象的事例中相同的推理，我们就得到，如果

电流在单一金属导体中的通过会引起任何的热效应，而当电流反向时该效应也反向，则这只有当电流从高温处流向低温处或从低温处流向高温处时才是可能发生的，而且，如果当从温度为 x 处流到温度为 y 处时在导体中产生的热是 H，则

JH=RC2t-SxyCt，而倾向于保持这一电流的电动势则是 Sxy。

如果 x、y、ｚ是一个均匀电路中三个点上的温度，则按照马格努斯的结果，我们必有

Syz+Szx+Sxy=0. 因此，如果我们假设 x 是零温度，并令

Qx=Sxz 而 Qy=Syz，

我们就得到

Sxy=Qx-Qy，

式中 Qx 是温度 x 的一个函数，其函数形式取决于金属的本性。

如果我们现在考虑由两种金属 a 和 b 构成的一个电路，设电流从 a 流入 b 处的温度为 x 而它从 b 流入 a 处的温度为 y，则电动势将是

F=Pax-Pbx+Qbx-Qby+Pby-Pay+Qay-Qax，

① ｛勒·罗意曾经证明，当各截面上存在突然的变化，以致在一段可以和分子距离相比的距离上出现有限大小的温度改变时，这一结果就是不成立的。｝

式中 Pax 代表金属 a 在温度 x 下的 P 值，或者说F=Pax-Qax-(Pay-Qay)-(Pbx-Qbx)+Pby-Qby

既然在非均匀加热的不同金属的电路中一般是存在温差电流的，那就可以推知 P 和 Q 一般对同一金属和同一温度来说是不同的。

〕Q 这个量的存在最初是由 W.汤姆孙爵士在我们已经提到的论文中作为由克明①发现的温差电反转的一种推论而证实了的；克明发现，某些金属在温差电系列中的次序在高温下和在低温下是不同的，从而对一个确定的温度来说两种金属可以是无分轩轾的。例如，在由铜和铁构成的一个电路中，如果一个接触点保持在常温而另一个接触点的温度被提高，则有一个电流在热接触点上从铜流入铁中，而且电动势不断增大，直到热接触点达到一个温度 T 时为止，而按照汤姆孙的研究，这个温度约为 284℃。当热接触点的温度进一步升高时，电动势就变小，而到最后，如果温度升得够高，电流就会反向。电流的反向可以通过升高冷接触点的温度来更容易地得到。如果两个接触点的温度都高于 T，则电流在热接触点上从铁流入铜中，也就是和在两个接触点的温度都低于 T 时观察到的电流方向相反。

由此可见，如果一个接触点的温度是中性温度 T，而另一个接触点则较热或较冷，电流就总是将在中性温度的接触点上从铜流入铁中。

〕由这一事实出发，汤姆孙推理如下：假设另一个接触点处于一个低于 T 的温度。电流可被用来带动一个机器或在一根导线中产生热，而能量的消耗必将由从热到电能的转变来补充，也就是说热必许在电路的某个地方消失。现在，在温度 T 下，铜和铁是势均力敌的，从而在热接触点上不会有可逆的热效应，而在冷接触点上则由珀耳帖原理将由电流产生热。由此可见，热可以消失的唯一所在就是电路的铜段或铁段，因此，或是铁中一个从热到冷的电流将冷却铁，或是铜中一个从冷到热的电流将冷却铜，或是两种效应都可能发生。｛这种推理假设温差接触点在有电流通过时只作为一个热机而起作用，而在形成接触点的物质的能量方面没有任何别的变化（例如像电池组中那样的变化）.｝通过一系列精心设计的巧妙实验，汤姆孙成功地探测到了电流在流过温度不同的导体部分时的可逆的热作用，而且他发现电流在铜中和铁中将产生相反的效应①。

当一种物质性的流体在一根管子中从热的部分流到冷的部分时，它就使管子变热，而当它从冷的部分流到热的部分时，它就使管子变冷，而且这些效应依赖于流体的比热。假如我们假设电无论正负都是一种物质性的流体，我们就将可能通过非均匀加热导体中的热效应来量度电流体的比热。现在汤姆孙的实验证明，铜中的正电和铁中的负电都把热从热处带到冷处。由此可见，假如我们假设正电或负电是可以被加热和被冷却并能够把热传给其他物体的一种流体，我们就会发现这种命题对正电而言被铁所否定而对负电而言被铜所否定，从而我们将不得不放弃这两种假说。

关于电流对非均匀加热的单一金属的可逆效应的这种科学预见，又是应用能量守恒学说来指明科学研究新方向的一个很有教育意义的范例。汤姆孙也曾经应用热力学第二定律来指明了我们用 P 和 Q 来代表的那些量之

① Cambridge Transactions,1823.

① Onthe Electrodynamic Qualities of Metals.’Phil.Trans.,Part Ⅲ,1856.

间的关系，而且也研究了沿不同方向有着不同结构的那些物体的可能的温差电性质。他也在实验上研究了这些性质通过压力、磁化等等而得到发展的那些条件。

〕泰特教授①近来研究了接触点温度不相同的由不同的金属构成的电路中的电动势。他发现，一个电路的电动势可以很准确地用公式

E = a(t

－t )[t

－ 1 (t + t )],

1 2 0

2 1 2

来表示，式中 t1 是热接触点的绝对温度，t2 是冷接触点的绝对温度，而 t0 是两种金属相互中立时的温度。因子 a 是取决于构成电路的两种金属的本性的一个系数。这条定律曾由泰特教授和他的学生们在相当大的温度范围内进行了验证，而且他希望把温差电路弄成一种测温仪器，使之可以应用于他的关于热传导的实验中，以及汞温计不便于应用或其温度范围不足的其他事例中。

按照泰特的理论，汤姆孙称之为电的比热的那个量在每一种金属中都和温度成正比，尽管它的量值乃至正负号是随金属的不同而不同的。他由此而用热力学的原理导出了下述的结果。设 kat、kbt、kct 是三种金属 a、b、c 的比热，而 Tbc、Tca、Tab 是每两种金属互相中立时的温度，则方程

(kb-kc)Tbc+(kc-ka)Tca+(ka-kb)Tab=0， JПab=(ka-kb)t(Tab-t)，

E = (k －k )(t －t )[T

－ 1 (t + t )]

ab a b 1 2 ab

2 1 2

将表示一个温差电路的各中立温度、珀耳贴效应的值和电动势之间的关系。

① Proc.R.S.Edin.,Session1870－71,p.308,亦见 Dec.18,1871.

第四章电解导电

〕我已经叙述过，当一个电流在电路的任一部分通过一种叫做“电解质”的化合物时，它的通过就是由一种叫做“电解”的化学过程伴随着的；在这种过程中，化合物被分解成两种叫做“离子”的成分，其中一种叫做“阴离子”，或带负电的成分，它出现在阳极处，或电流进入电解质的地方，另一种叫做“阳离子”，出现在阴极处，或电流离开电解质的地方。

电解的全面考察有很大一部分属于化学，正如也有一部分属于电学一样。我们将从电学的观点来考虑它，而不考虑它在化合物的构造理论方面的应用。

在所有的电现象中，电解似乎是最有可能向我们提供一种关于电流之真实本性的实在识见的现象，因为我们发现普通物质的流动和电的流动都形成同一现象的本质性的部分。

也许正是由于这个原因，在目前还很不完善的我们关于电的概念状况下，电解的理论才是如此不能令人满意的。

由法拉第确立了的并迄已被比茨、希托尔夫等人的实验所证实了的基本电解定律如下：

在给定时间内由一个电流的通过而分解的一种电解质的电化当量数，等于在同一时间由电流所传递的电量的单位数。

一种物质的电化当量，就是通过该物质的单位电流在单位时间内所电解的该物的数量，或者换句话说，就是当单位电量通过时电解的数量。当电量的单位是用绝对单位定义的时，每一种物质的电化当量的值就可以用格令或克来计算。

不同物质的电化当量正比于他们的普通的化学当量。然而，普通的化学当量只是各物质互相化合时的数值比，而电化当量则是物质的一种具有确定量值的性质，它的量值依赖于电量的单位。

每一种电解质都包括两种组分，他们在电解过程中出现在电流进入和离开电解质的地方而不出现在任何别的地方。因此，如果我们设想在电解质的内部画一个曲面，则用沿相反方向通过曲面的各组分的电化当量数来量度的通过该面而进行的电解的数量，将正比于通过该曲面的总电流。

因此，沿相反方向而通过电解质的那些离子的实际传递，就是电流通过电解来传导的那种现象的一个部分。在电流所通过的那种电解质中的每一点上，也有阴离子和阳离子的两个物质流，他们和电流具有相同的流线，并且在量值上和电流成正比。

因此就可以极其自然地假设，离子流就是电的对流，而特别说来，每一个阳离子是带有一个确定的正电荷的；这一电荷在一切阳离子上都相同，而每一个阴离子则带有一个相等的负电荷。

于是，离子通过电解质的反向运动就将是电流的一种完备的物理表象。我们可以把这种离子运动和扩散过程中气体和液体互相通过的运动相比较；这两种过程间有一种区别，那就是，在扩散中，不同的物质只是互相混合的，而且混合物是不均匀的，而在电解中，不同的物质是化合的，

而且电解质是均匀的。在扩散中，一种物质在一个给定方向上的运动的决定性原因就在于每单位体积中的该物质数量沿该方向的减小，而在电解中，每一种离子的运动都起源于作用在带电分子上的电动势。

〕克劳修斯① 曾经在物体的分子骚动理论方面进行过许多的研究；他曾假设一切物体的分子都处于一种经常骚动的状态，但是在固体中，每一个分子永远不会离它的原始位置远于一定的距离，而在流体中，一个分子在从它的原始位置运动离开一定的距离以后，却有同样的可能性来继续远离或开始回向原位置。因此，在表观上静止的一种流体中，各分子是不断地改变着自己的位置，并无规则地从流体的一部分过渡到另一部分的。在化合物的流体中，他假设不仅仅化合物的分子是这样运动的，而且在发生于各化合物分子之间的碰撞中，组成化合物分子的那些分子还常常分开并交换伙伴，从而某一个别原子就时而和某一个种类相反的原子相结合，时而又和另一个那种原子相结合。克劳修斯假设这种过程是一直在液中进行着的；但是当一个电动势作用在液体上时，起先在一切方向并无不同的分子运动就会受到电动势的影响，从而带正电的分子就比趋于正极具有较大的倾向趋于负极，而带负电的分子则有较大的倾向沿相反的方向而运动。因此，阳离子在其自由阶段内就将努力奔向阴极，但是他们却不断因为和阴离子短期配对而耽误行程，而阴离子也是不断地在离子群中挤着前进的，不过是沿着相反的方向。
〕克劳修斯的理论使我们能够理解，尽管一种电解质的实际分解需要一个有限大小的电动势，怎么电解质中的电传导还会服从欧姆定律，使得电解质中每一个哪怕是最微弱的电动势都产生一个量值与之成正比的电流。

按照克劳修斯的理论，电解质的离解和复合即使当没有电流时也是不断进行着的，而最微弱的电动势就足以使这种过程得到某种程度的方向性，并从而产生离子流和作为现象之一部分的电流。然而，在电解质中，离子根本不会以有限的数量被释放，而正是这种离子的释放才要求一个有限的电动势。在电极那儿，离子会积累起来，因为相继到来的那些离子不是在那里找到很容易和他们结合的反号的离子，而却发现自己置身于不能与之结合的同类离子群中。产生这种效应所要求的电动势是有一个有限量值的，而且它也形成一个反向的电动势，并当其他电动势被取消时将产生一个反向的电流。当由于离子在电极上的积累而引起的这种逆电动势被观察到时，电极就叫做被“极化”了。

〕确定一个物体是不是一种电解质的最好的方法就是把它放在两个铂电极之间并给它通一段时间的电流，然后，把电极从电池组切断而把他们接在一个电流计上，并观察是否有一个由电极的极化而引起的反向电流通过电流计。这样一个电流既然起源于不同物质在两个电极上的积累，它也就是物质曾被来自电池组的原有电流所电解的一个证明。当用直接的化学方法来探测分解产物在电极上的出现有困难时，这种方法常常可以应用。见第 271 节。
〕到此为止，电解理论都显得是很令人满意的。它借助于电解质的物质组分流来解释了我们不理解其本性的电流，而那些组分的运动虽然

① Pogg.Ann.ci.p.338(1857).

不能为肉眼所见但却是很容易证实的。正如法拉第所指明的那样，这种理论也解释了为什么在液态下可以导电的一种电解质当凝固以后却不是一种导体。这是因为，除非各分子能够从一个地方运动到另一个地方，就不能出现任何的电解导电，因此，为了成为一种导体，物质就必须通过融解或溶解而处于液态。

但是，如果我们继续下去，并假设电解质中的离子确实带有一定数量的正的或负的电荷，从而电解电流不过是一种对流，我们就会发现这种诱人的假说会把我们引导到很困难的处境中去。

首先，我们必须假设，在每一种电解质中，每一个阳离子当在阴极上被释放时都会传给阴极一个正电荷，而这个正电荷不仅对该阳离子来说而且对所有其他的阳离子来说都应该是相同的。同样，每一个阴离子在被释放时也将传给阳极一个负电荷，其数值和由阳离子传递的正电荷相等而符号相反。

如果我们不是考虑单独一个离子而是考虑形成该离子的一个电化当量的一群离子，则所有离子上的总电荷就像我们已经看到的那样是一个正的或负的单位电量。

〕我们还不知道在任何一种物质的一个电化当量中共有多少个分子，但是由许多物理考虑所制订的化学分子理论却假设一个化学当量中的分子数对一切物质来说都是相同的。因此在关于分子的思索中我们就可以假设一个化学当量中的分子数 N；这在目前还是一个未知的数，但是我们在以后可以设法确定它①。

因此，每一个分子当从化合态中被释放时都带走一个电荷，其量值是

1 ，其符号对阳离子为正而对阴离子为负。我们将把这个确定的电荷叫

分子电荷。假如它是已知的，它就将是最自然的电量单位。

到此为止，我们通过在追索分子的带电和放电方面运用我们的想像而增大了我们的概念的精确性。

离子的释放和正电从阳极被送到阴极是同时的事件。离子当被释放时是不带电的，从而在化合状态下他们就将带有如上所述的分子电荷。

然而，分子的带电虽然谈起来容易，想像起来却并非容易。

我们知道，如果两种金属被放得在任一点上互相接触，则他们的表面的其余部分将带电，而如果这些金属做成平板的形式，而且中间由一个很窄的空气间隙所隔开，每个板上的电荷就可以变得相当大，当一种电解质的两种组分互相化合时，可以设想发生了某种类似的情况。可以假设，每一对分子将在一个点上互相接触，而他们的表面的其余部分则由于接触电动势而带了电。

但是，要想解释电有现象，我们就必须证明为什么这样产生的每一个分子上的电荷具有一个确定的数量，以及为什么当一个氯分子和一个锌分子相结合时，其分子电荷与一个氯分子和一个铜分子相结合时的分子电荷相同，尽管氯和锌之间的电动势比氯和铜之间的电动势大很多。如果分子的带电是接触电动势的效应，为什么强弱不同的电动势应该产生恰好相等的电荷呢？

① 见第 5 节的小注。

然而，假设我们通过简单地肯定分子电荷的常量值来跳过这一困难，并假设我们为描述上的方便而把这个常量分子电荷称为电的一个分子。

这个说法尽管很粗略，而且和本书的其余部分也不协调，但是它却使我们至少能够清楚地叙述关于电解的已知情况，并领会那些突出的困难。每一种电解质必须被看成它的阴离子和阳离子的二元化合物。阴离子

或阳离子或两种离子都可以是组合物体，从而一个阴离子或阳离子可以是由简单物体的若干个分子｛原子｝所构成的。一个阴离子和一个阳离子相结合，就形成电解质的一个分子。

为了在电解质中作为一个阴离子而起作用，起作用的分子必须带有我们已经称之为电分子的一个负电荷，而为了作为一个阳离子而起作用，分子则必须带有一个电分子的正电荷。

这些电荷，只有当各分子作为阴离子和阳离子而在电解质中互相化合时才是联系在分子上的。

当各分子被电解时，他们就把电荷带到电极那儿去，而当从化合中被释放时他们就作为不带电的物体而出现。

如果同一个分子能够在一种电解质中作为阳离子而起作用，而在另一种电解质中则作为阴离子而起作用，而且也能够参加到不是电解质的化合物中去，我们就必须假设当作为阳离子而起作用时它就得到一个正电荷，当作为一个阴离子而起作用时它就得到一个负电荷，而当不在电解质中时它就不带电荷。

例如，碘在金属碘化物和氢碘酸中是作为阴离子而起作用的，但是在碘的溴化物中却据说是作为阳离子而起作用的。

这种分子电荷的学说可以作为一种方法，我们可以用这种方法来记住有关电解的许多事实。然而，当我们终于理解了电解的真实本性时，我们仍然保持任何形式的分子电荷学说的可能性却是非常小的，因为那时我们将已经得到一种可靠的基础来建立一种真实的电流理论，并从而不再依赖于这些暂时性的学说了。

〕我们关于电解的知识的最重要步骤之一曾经是一些次级化学过程的认知；当各离子从电极那儿被放出时，这些次级过程就会出现。

在许多事例中，在电极那儿被发现的并不是电解质的实际离子，而是这些离子对电极的作用的产物。

例如，当一种硫酸苏打溶液被一个也通过了稀硫酸的电流所电解时，在硫酸苏打中的阳极和硫酸中的阳极上将得出相等数量的氧，而在各阴极处就得到相等数量的氢。

但是，如果电解在 U 形管或加了多孔壁障的容器之类的适当容器中进行，从而每一电极周围的物质都可以分别检查的话，那就会发现，在硫酸苏打中的阳极处，既存在一个当量的氧也存在一个当量的硫酸，而在阴极处则既存在一个当量的氢也存在一个当量的苏打。

初看起来，按照盐类构造的旧理论，似乎是硫酸苏打被电解成了它的组分硫酸和苏打，而溶液中的水则同时被电解成了氧和氢。但是这种解释将引导人们承认，通过稀硫酸并电解了一个当量的水的同一个电流，当它通过硫酸苏打的溶液时就既电解一个当量的水又电解一个当量的硫酸盐，而这就将是和电化当量定律相矛盾的。

但是，如果我们假设硫酸苏打的组分不是 SO3 和 Na2O 而是 SO4 和 Na2

（不是硫酸和苏打而是硫酸根和钠），则硫酸根将运动到阳极并被放出；但是由于不能自由存在，它将分解成硫酸和氧，各一当量。与此同时，钠也在阴极上被放出并在那里使溶液中的水分解，形成一当量的苏打和一当量的氢。

在稀硫酸中，收集在两个电极处的气体是水的组分，即一个体积的氧和两个体积的氢。阳极处的硫酸也有所增多，但它的量不等于一当量。

纯水是不是一种电解质是有疑问的。水的纯度越大，它在电解导电中的电阻就越大。极少的一点杂质就足以引起水的电阻的很大的减低。不同观察者所测定的水的电阻很不一致，从而我们还不能认为它是一个确定的量。水越纯电阻越大，从而假如我们能得到真正纯的水，它到底还能否导电就是很可疑的了①。

只要水还被看成一种电解质，而事实上它是被当作电解质的典型的，那就有很强的理由认为它是一种二元化合物，而且两个体积的氢是在化学上和一个体积的氧相等价的。然而，如果我们承认水不是一种电解质，我们就可以自由地假设一个体积的氧和一个体积的氢是在化学上等价的。

气体的分子运动论引导我们假设，在理想气体中，相同的体积中永远包含着相同数目的分子，而且比热的主要部分，即依赖于分子彼此之间的骚动的那一部分，对于一切气体的相同数目的分子来说是相同的。因此我们就更喜欢一种化学体系，在那里，体积相等的氧和氢被认为是等价的，而水是由两个当量的氢和一个当量的氧化合而成的，从而或许是不能直接电解的。

尽管电解现象充分确立了电现象和化合现象之间的密切关系，但是并非每一种化合物都是一种电解质这一事实却表明，化合过程是比任何单纯的电现象复杂程度更高的。例如，尽管金属是良导体，而且他们在接触带电的序列中占据着不同的位置，但是金属的一些结合物却甚至在液态下也不能被一个电流所分解①。作为阴离子而起作用的那些物质的多数结合物都不是导体，从而也不是电解质。此外我们还有许多化合物，他们包含着和一些电解质的组分相同的组分，但不是按当量的比例来包含的；这些化合物也不是导体，从而也不是电解质。

关于电解中的能量守恒

〕试考虑包括着一个电池组、一条导线和一个电解池的任一电

路。

在单位电荷通过电路的任一截面的过程中，不论是在伏打电池中还是

在电解池中，每一种物质都将有一个电化当量被电解。

和任一给定的化学过程相等价的机械能的数量，可以通过把由该过程引起的全部能量转化为热并乘以焦耳的热功当量而换算成力学单位来确定。

在这种直接方法不适用的地方，如果我们能够估计由各物质在归结到

① ｛见 F.Kohlrausch,‘Die Elektrische Leitungsf(higkeit des im Vacuum distillirten Wassers.’Wied. Ann. 24,p.48.Bleekrode Wied.Ann.3,p.161,曾经证明纯盐酸不是导体。｝

① ｛见 Roberts－Austen,B.A.Report,1887.｝

同一末状态的过程中放出的热，即首先考虑它在过程以前的状态，然后考虑它在过程以后的状态，则过程的热当量将是这两个热量之差。

在化学作用保持一个伏打电路的事例中，焦耳发现在伏打电池中发生的热少于由电池中的化学过程所造成的热，而其多余的热量则是在连接导线中发出的，或者，如果电路中有一个电机，一部分热量就可以用机器所作的机械功来说明。

例如，如果伏打电池的两极首先是用短而粗的导线连接，而后改用长而细的导线连接的，则对被溶解的每一格令锌来说，电池中产生的热量在第一事例中将比在第二事例中更大，但是导线中产生的热量在第二事例中却比在第一事例中为大。对于被溶解的每一格令锌来说，在电池中发生的热量和在导线中发生的热量之和在两个事例中是相同的。这一点已由焦耳用直接的实验确证过了。

电池中产生的热量和导线中产生的热量之比等于电池电阻和导线电阻之比，因此，假如导线被做得电阻够大，则几乎全部的热量都将是在导线中产生的，而假如它被做得有够大的导电本领，则几乎全部的热量都将是在电池中产生的。

设导线被做得具有很大的电阻，则以力学单位计的在导线中产生的热量就等于传送过去的电量和传送中所受到的电动势的乘积。

〕现在，在电池中的一个电化当量的物质经历引起电流的那种化学过程的时间之内，一个单位的电量将通过导线。因此，由一个单位电量的通过所产生的热量，在这一事例中就是用电动势来量度的。但是这一热量就是一个电化当量的物质当经历所给的化学过程时所产生的，不论是在电池中还是在导线中产生。

由此就得到首先由汤姆孙证明了的重要定理如下(Phil,Mag,Dec.1851)：

“以绝对单位计的一个电化学仪器的电动势，等于作用在一个电化当量的物质上的化学作用的机械当量①。”

许多化学作用的热当量已由安德鲁斯、赫斯、否尔和则耳伯曼、汤姆孙等人所测定，而由这些热当量就可以通过乘以热功当量而推得他们的机械当量。

这一定理不仅使我们能够根据纯粹的热数据来计算不同的伏打装置的电动势，并计算在不同的事例中达成电解所必需的电动势，而且也提供了实际地测量化学亲和势的手段。

长时间以来人们已经知道，化学亲和势，或者说指向某些化学变化之发生的那种趋势，在某些事例中是比在另一些事例中更强的，但是这一趋势的任何适当的量度却都没能得出，直到证明了这一趋势在某些事例中恰恰和一个电动势相等价，从而可以按照测电动势的相同原理来加以测量时为止。

因此，在某些事例中，化学亲和势被归结成了一个可测量的量的形式；这样一来，化学过程的整个理论，他们的进行速率的理论，一种物质

① ｛只有当电池中不存在可逆的热效应时，这一定理才是适用的；当存在这种效应时，电动势 p 和化学作用的机械当量ω之间的关系用方程来表示，式中θ是电池的绝对温度。见 v.Helmholtx,‘Die Thermodynamik chemischer Vorg(nge.’Wissenschaftliche Abhandlungen,ii.p.958 ．｝

被另一种物质所置换的理论，等等，就变得比化学亲合势被看成一种特别的、不能归结为数字测量的量时更好理解多了。

当电解产物的体积大于电解质的体积时，在电解过程中就要反抗压强而作功，如果一个电化当量的电解质当在压强 p 下被电解时体积增大了 v，则在单位电荷通过时反抗压强所作的功是 vp，而电解所要求的电动势必须包括等于 vp 的用来完成这一机械功的一个部分。

如果电解产物是气体，他们像氧和氢那样比电解质稀薄得多，而且很准确地服从玻意耳定律，则 vp 在相同的温度下将很近似地等于常量，而电解所要求的电动势将不会在任何可觉察的程度上依赖于压强①。因此，曾经发现，通过把气体的分解限制在一个小空间中来核对稀硫酸的电离，是不可能的。

当解产物是液体或固体时，vp 这个量将随着压强的增大而增大，因此，如果 v 是正的、则压强的增大将增大电解所要求的电动势。

同样，电解中所作的任何其他种类的功也将影响电动势的值；例如，如果有一个竖直的电流在一种硫酸锌溶液中的两个锌质电极之间流过，则当电流在溶液中向上流时，将比它向下流时要求一个较大的电动势，因为，在第一种事例中，电流将把锌从下面的电极带到上面的电极，而在第二种事例中则从上面的电极带到下面的电极。为此目的而要求的按每英尺计算的电动势，小于丹聂耳电池的电动势的百万分之一。

① ｛这一结果是和热力学第二定律相矛盾的；按照该定律，压强的增大将增大电解所要求的电动势。见 J.J.Thomson’s‘Applications of Dynamicsto Physicsand Chemistry,’p.86.v.Helmholtz ，‘Weitere Untersuchungen die Electrolysedes Wassers betreffend.’Wied. Ann. 34,p.737. ｝

第五章电解极化

〕当一个电流在以金属电极为边界的一种电解质中通过时，各离子在电极上的积累就引起一种叫做“极化”的现象；这种现象就在于有一个电动势沿着和电流相反的方向发生作用，从而引起电阻的一个表观增量。

当所用的是一个连续的电流时，电阻显示为从电流开始时迅速增大；而最后则达到一个将近恒定的值。如果装着电解质的容器的形状发生改变，则电阻也发生改变，其改变的方式和一个金属导体形状的相似改变将改变其电阻的那种方式相同，但是一个附加的依赖于电极之本性的表观电阻永远必须被加在电解质的真实电阻上。

〕这些现象曾经引导某些人假设，需要一个有限的电动势来使一个电流通过一种电解质。然而，通过楞茨、诺依曼、比兹、魏德曼①、帕耳佐②以及近来的 F.考耳劳什和 W.A.尼波耳特③、斐兹杰惹和特罗顿④等人的研究，已经证明电解质本身中的导电，在和金属导体中的导电相同的精确度下服从欧姆定律，而电解质边界面上和电极表面上的表观电阻则完全是由极化引起的。
〕所谓极化现象在连续电流的事例中通过电流的减小而表现出来；电流减小就表示有一个反对电流的力。电阻也被感受为一种反对电流的力，但是我们可以通过在一瞬间取消或反转电动势来分辨这两种现象。阻力永远是和电流方向相反的，而克服阻力所必需的外电动势则正比

于电流强度，而且当电流的方向改变时它的方向也改变。如果外电动势变为零，电流就干脆停止。

另一方面，由极化所引起的电动势则存一个固定的方向，和引起极化的电流方向相反。如果产生电流的电动势被取消，极化｛电动势｝就沿相反的方向产生一个电流。

两种现象之间的区别可以比拟为通过一个长毛细管和通过一个普通口径的管子把水打入高处的水槽中时的区别。在第一种事例中，如果我们取消打水的压力，水流就会干脆停止。在第二种事例中，如果我们取消压力，水就会从水槽中再向下流。

为了使这种机械比喻更加全面，我们只须假设水槽具有中等的深度，从而当一定量的水被打入时水就会溢出来。这就将代表由极化引起的总电动势有一个最大限度。

〕极化的起因看来是由于在电极上出现了电极之间的流体的电分解产物。电极的表面变得在电的方面不相同了，从而就在电极之间引起了一个电动势，其方向和引起极化的电流方向相反。

由于他们的存在而引起极化的那些离子，并不是处于完全自由的状

① Klektricit(t,i,568,bd.j.

② Berlin.Monatsbericht,July,1868.

③ Pogg.Ann.bd.exxxviii.s.286(October，1869).

④ B.y.Report,1887.

态，而是处于以相当的力附着在电极表面上的状态。

由极化引起的电动势依赖于覆盖电极的离子密度，但却并不正比于这一密度，因为电动势并不像密度增长得那么快。

离子的这种沉积总是倾向于变成自由的而或是扩散到液体中去，或是作为气体而逸出，或是作为固体而下沉。

极化的这种耗散率，当极化程度很小时是非常小的，而在极化接近极限值时则是非常大的。

〕我们在第 262 节中已经看到，在任何电解过程中起着作用的电动势，在数值上等于该过程对物质的一个电化当量所造成的结果的机械当量。如果过程引起参加过程的各物质的内能的一种降低，就像在一个伏打电池中那样，则电动势是沿着电流的方向的。如果过程引起各物质的内能的增高，就像在一个电解池中那样，则电动势是和电流方向相反的，而这种电动势就叫做极化｛电动势｝。

在电解持续进行而各离子是在自由状态下在电极上被分离的那种恒稳电流的事例中，我们只要用适当的手续测量被分出的离子的内能并把它和电解质的内能相比较，就可以计算电解所要求的电动势。这将给出最大的极化。

但是，在电解过程的最初阶段，沉积在电极上的离子并不是处于自由状态，从而他们的内能也小于自由状态中的内能，尽管比他们结合为电解质时的内能要大一些。事实上，当沉积层很薄时，和电极相接触的离子是处于一个可以比拟为离子与电极相化合的那种状态，但是当沉积密度增大时，后来的部分就不再和电极结合得那么紧密，而只是附着在它上面而已了；而到了最后，如果沉积层是气体，它就会作为气泡而逸出；如果是液体，就会通过电解液而扩散；如果是固体，就形成一种沉淀。

因此，当研究极化时，我们必须考虑：

沉积层的面密度，我们用σ来代表它。量σ代表沉积在单位面积上的离子的电化当量数。既然所沉积的每一个电化当量都对应于被电流传递了的一个单位电量，我们就可以把σ或是看成物质的面密度或是看成电的面密度。
极化电动势，我们用 p 来代表它。p 这个量就是当通过电解质的电流非常弱，以致电解质的固有电阻在电极之间并不造成任何可觉察的势差时二电极之间的势差。

电动势p 在任何时刻都在数值上等于在该时刻进行着的那种电解过程的和一个电化当量的物质相对应的机械当量。必须记得，这种电解过程就造成离子在电极上的沉积，而他们在沉积时所处的状态则依赖于电极表面的可以因先前的沉积而改变的实际状态。

由此可见，任一时刻的电动势都依赖于各电动极的以前历史。很粗略地说来，它是沉积密度σ的函数：当σ=0 时 p=0，而且 p 比σ更快得多地趋于一个极限值。然而 p 是σ的函数的说法不能被认为是准确的。更准确一些的说法或许是，p 是沉积物的表面层的化学状态的函数，而且这个状态按照某种和时间有关的规律而依赖于沉积密度。

〕(3)我们必须考虑到的第三个问题就是极化的耗散。当不受外界强制时，极化就减小，其减小率部分地依赖于极化强度或沉积密度，部分地依赖于周围媒质的本性和电极所受到的化学的、力学的或热学的作

用。

如果我们确定一个时间 T，使得按照沉积的耗散率来看，整个的沉积

将在 T 内被消除，则我们可以把 T 叫做耗散时间的模量。当沉积密度很小时：T 是很大的，可能以天计或以月计，当沉积趋于它的极限值时 T 就迅速地减小，而且也许会是一秒的一个很小的分数。事实上，耗散率很快地增加，以致当电流强度保持不变时分离开的气体不是增大沉积密度而是刚一形成就会作为气泡而逸出。

〕因此，当极化很弱时和当极化达到其极限值时，电解池中各电极的极化状态就是很不相同的。例如，如果把一些带有铂电极的稀硫酸电解池串联起来，并且把一个小电动势例如单一丹聂耳电池的电动势接到电路中，这个电动势就会在一段非常短的时间内产生一个电流，因为，在一段很短的时间之后，由各电解池的极化所引起的电动势就会把丹聂耳电池的电动势平衡掉。

在如此微弱的极化状态下，耗散将是很小的，而且它将通过很缓慢的气体吸收和液体中的扩散来进行。这种耗散的速率由一个非常弱的电流来指示，这一电流继续流动而没有任何显著的气体分离。

如果我们在极化状态的很短的建立时间内忽略这种耗散，并且用 Q 来代表电流在这一时间内传递的电量，那么，如果 A 是一个电极的面积，而σ是假设为均匀的沉积密度，就有

Q=Aσ.

如果现在我们把电解装置的电极从丹聂耳电池断开并把他们接在一个能够测量通过它的总电量的电流计上，则当极化消失时就会有一个近似等于 Q 的电量被放掉。

〕因此我们就可以把这种实际上是一种形式的里特尔次级电堆的装置的作用和一个莱顿瓶的作用相比较。

次级电堆和莱顿瓶都能够被充以一定数量的电，然后也可以把电再放掉。在放电过程中，一个近似等于所充电荷的电量将沿相反方向流过去，充入的和放掉的电量之差，部分地起源于耗散；这种过程在少量充电的事例中是很慢的，但是当充电超过某一限度时，过程就变得非常地快，充电和放电之差的另一部分起源于这样一件事实：当二电极连接了一段足以产生一次表观上完全的放电的时间，从而电流已经完全消失以后，如果我们把电极分开，过一段时间以后再把他们接起来，我们就会得到和原先的放电方向相同的第二次放电。这叫做剩余放电，而且是莱顿瓶的一个现象，正如是次级电堆的现象一样。

因此，次级电堆在许多方面都可以和莱顿瓶相比拟。然而也有某些重要的区别。莱顿瓶的电荷精确地正比于充电的电动势，也就是正比于两个表面的势差的，而对应于单位电动势的电荷就叫做瓶的电容，是一个恒量。可以称为次级电堆之电容的对应的量，当电动势增大时却是增大的。

莱顿瓶的电容依赖于相对的两个面积依赖于两个表面之间的距离，并依赖于二者之间的媒质的本性，但是却不依赖于金属表面本身的本性。次级电堆的电容依赖于电极表面的面积，但是却不依赖于电极之间的距离，而且它既依赖于电极之间的流体的本性也依赖于电极表面的本性。次级电堆中每一个单元中的电极之间的最大势差比起充电莱顿瓶的电极之间的最大势差来是很小的，因此，为了得到较大的电动势，就必须使用由许多单

元构成的电堆。

另一方面，次级电堆中的电荷面密度却比可以积累在一个莱顿瓶表面上的电荷面密度大得多，以致竟使瓦尔莱先生①在描述大电容的电容器的制造时从经济观点出发建议使用浸在稀酸中的金片或铂片而不使用由绝缘材料隔开的锡箔感应片。

储存在莱顿瓶中的能量的形式是导电表面之间的电介质的约束状态；我曾经在电极化的名称下描述过这种状态，当时指出了目前已知的和这一状态相伴随的那些现象，并且指示了我们对实际发生的事情的了解方面的不足。参阅第 62、111 节。

储存在次级电堆中的能量的形式是电极表面上的物质层的化学条件，其中包括电解质离子和电极物质之间的从化学结合到表面聚集、机械附着和简单并列的那种变化的关系。

这种能量的所在之处是电极的表面附近而不是电极物质的全部，而且它的存在形式可以叫做电解极化。

在联系到莱顿瓶而研究了次级电堆以后，读者还应该把伏打电池组和某种形式的起电机作一比较，例如和在第 211 节中描述过的那种起电机作一比较。

近来瓦尔莱先生曾经发现①，对于稀硫酸中的铂片来说，一平方英寸的电容是 175 到 542 微法拉以上，而且电容是随着电动势而增加的，当电动势是丹聂耳电池电动势的 0.02 倍时电容约为 175，当电动势是丹聂耳电池电动势的 1.6 倍时电容约为 542。

但是莱顿瓶和次级电堆之间的比较还可以进行得更远，正如在由杜夫

②所作的下述实验中那样。只有当莱顿瓶的玻璃是冷的时，它才能保存电

荷，在不到 100℃的温度下，玻璃就变成一个导体。如果把装有水银的一根试管放入一个装了水银的容器中，并把一对电极分别接在内部的外部的水银上，这种装置就构成一个莱顿瓶，它在常温下可以保存一个电荷。如果把各电极接到一个伏打电池组的电极上，只要玻璃是冷的，就不会有电流通过。但是如果仪器被慢慢加热，一个电流就会开始通过，而且它的强度会随着温度的升高而迅速地增大，尽管玻璃还是像从前那样硬。

这个电流显然是电解电流，因为如果把电极从电池组上断开并把他们接在一个电流计上，就会有一个相当大的由玻璃表面的极化所引起的反向电流通过。

如果当电池组还在起作用时仪器被冷却，电流就会像从前那样被冷的玻璃所阻止，但是表面的极化却还在。水银可以被取走，玻玻表面可以用硝酸和水洗净，然后换上新的水银。如果这时再把仪器加热，则玻璃刚一热到可以导电，极化电流立刻就会出现。

因此，我们可以把 100℃的玻璃看成一种电解质，尽管表面看来它是一种固体。而且有相当的理由可以相信，在一种电介质有一个很小的导电程度的多数事例中，导电都是电解性的。极化的存在可以看成电解的一种决定性的证据，而且如果一种物质的电导率是随着温度而增大的，我们就

① C.F.Varley,‘Klectric Telegraphs, ＆c,’Jan.1860 中的论述。

① Proc.R.S.,Jan.12,1871.至于有关这一课题的其他研究，见 WiedemannsElektricit(t,bd.ii.pp.744—771.

② Annalen der Chemicund Pharmacie,bd.xc.257(1854）.

有很好的理由来推测导电是电解性的①。

关于恒定的伏打元件

〕当用一个内部出现着极化的伏打电池组来作一系列实验时，极化在电流不通的时间内将变小，从而当它再开始流时，电流就会比在它流了一段时间以后时更强一些。另一方面，如果允许电流通过一条短的支路而把电路的电阻减小，则当使电流重新通过普通的电路时，由于使用短电路而引起的大极化，电流强度在一开始时就会比它的正常强度要小一些。

电流方面的这些不规则性，在涉及精密测量的实验中是非常讨厌的。为了消除这些不规则性，必须消除极化，或至少是尽可能地减小极化。

当一块锌板被浸入硫酸锌溶液或稀硫酸中时，它的表面上似乎没有多大的极化。极化的主要部分出现在负金属的表面上，当负金属所浸入的液体是稀硫酸时，就可以看到它的表面布满了由液体的电分解而产生的氢气泡。这些气泡当然会通过阻止液体和金属相接触而减小接触面积并增大电路的电阻。但是，除了可以看到气泡以外，肯定还有一层或许并非处于自由状态的氢膜附着在金属上，而正如我们看到的那样，这层薄膜能够沿相反的方向产生一个电动势，它必然会减小电池组的电动势。

曾经采取了各种方案来消除这个氢膜。它可以通过机械方法而在某种程度上被减小，例如搅动液体或擦拭负金属的表面。在斯密的电池组中，负板是竖直的，而上面涂有很细的铂粉，气泡很容易从这种表面上逸出，而且在上升的过程中引起一种液流，而这种液流就有助于把新形成的其他气泡带走。

然而一种更有效得多的方法就是利用化学手段。化学手段有两种。在格罗夫的和本生的电池组中，负板被浸入于一种富含氧的液体中，从而氢就不是覆盖极板而是和这种物质相结合。在格罗夫的电池组中，极板是浸在强硝酸中的铂板。在本生的电池组中，极板是浸在同一种酸中的碳板。铬酸也被用于同一目的，而且有一个优点就是它没有由硝酸的还原而产生的那种烟雾。

一种不同的除氢方式就是用铜来作为负金属，并在表面上涂一层氧化物。然而当用它作为负极时，这种氧化物会很快地消失。为了更新它，焦耳曾经建议把铜板做成圆盘状，把它的一半浸入液体中并慢慢转动它，于是空气就对轮流暴露出来的部分起作用。

另一种办法就是用一种电解质来作为液体，该电解质的阳离子是比锌负得多的一种金属。

在丹聂耳电池组中，一个铜板被浸在一种硫酸铜的饱和溶液中。当电流通过溶液而从锌流到铜时，没有氢出现在铜板上而只有铜沉积在它上面。当溶液是饱和的而电流并不太强时，铜就作为真正的阳离子而起作用，而阴离子 SO4 则向着锌运动。

当这些条件并不满足时，氢就会在阴极上出现，但是它立刻就会和溶液发生作用，并留下铜而和 SO4 形成硫酸。当出现这种情况时，靠近铜板的硫酸铜就会被硫酸所取代，溶液变成无色的，而氢气就又开始引起极化。

① ｛译注：当时人们显然还不熟悉半导体。｝

用这种方式沉积下来的铜比由真正的电解所沉积下来的铜在结构上更加松脆。

为了保证和铜相接触的液体是被硫酸铜所饱和的，必须在铜附近的液体中放一些硫酸铜的晶体，以便当溶液由于铜的沉积而变得较稀时可以有更多的晶体被溶解。

我们已经看到，靠近铜的液体必须被硫酸铜所饱和。更加必要的是锌所浸入的液体中应该没有硫酸铜。如果任何这种盐跑到锌的表面上去，它就会被还原，而铜就会在锌上沉积下来。于是锌、铜和液体就会形成一种小电路，而电解作用就在该电路中迅速地进行，而锌就被一种对电池组并无任何有用效应的作用所不断地腐蚀掉。

为了避免这一点，锌就被浸在稀硫酸或硫酸锌溶液中，而为了避免硫酸铜溶液和这种液体互相混合，两种液体就被一个用膀胱或素烧瓷作的屏障互相隔开；这种屏障允许电解通过它来进行，但是却很有效地阻止了各液体通过可见的液流而互相混合。

在某些电池组中，是用锯末来阻止液流的。然而格喇汉的实验却证明，如果使用这样一种隔离物，扩散过程就将进行得差不多和液体直接接触但没有可见的液流时同样地快；而且情况或许是，如果采用一个减弱扩散的屏障，它就将按相同的比例增大元件的电阻，因为电解导电是一种过程，它的数学规律和扩散的规律形式相同，从而对一种过程的干预必将同样地干预另一种过程。唯一的区别就在于，扩散是永远进行的，而电流则只有当电池组起作用时才会存在。

在一切形式的丹聂耳电池中，最后的结果都是硫酸铜总有办法到达锌那里并对电池组进行破坏。为了无限期地阻止这种结果，W.汤姆孙爵士① 曾经按照下面的形式制造了丹聂耳电池组。

图 22

在每一个电池中，铜板都是水平地放在底部的，铜板的上面倒上了硫酸锌的饱和溶液。锌被作成格子状，水平地放在溶液的表面附近，一根玻璃管竖直地插在溶液中，其下端刚好在铜板表面的上方，硫酸铜的晶体通过此管被放下去，并溶解在液体中，形成密度比纯硫酸锌的密度还要大的一种溶液，从而除了通过扩散以外不可能达到锌那儿。为了阻滞扩散过程，用玻璃管和棉花做成一个虹吸管，把它的一端放在锌和铜的中间，而其另一端则在电池外面的一个容器中，于是液体就从它的深度的中部被很慢地抽走。为了保证它的位置，在必要时从上面添入水或硫酸锌的稀溶液。这样，通过液体而扩散上来的硫酸铜的一大部分在到达锌以前就会被虹吸管所抽走，而锌就被一种几乎不含硫酸铜的并在电池中缓缓向下流动的液体所包围，而这种流动就会进一步阻止硫酸铜向上运动。在电池组的作用时间内，铜会沉积在铜板上，而 SO4 则通过液体而慢慢地运动到锌，并和锌化合而形成硫酸锌。于是，底部的液体就通过铜的沉积而变稀，而上部的液体则通过锌的加入而变浓。为了阻止这种作用改变各液层的密度顺序并从而在容器中引起不稳定性和可见液流，必须注意保证管子中有充分的硫

① Proc.R.S.,Jan.19,1871.

酸铜晶体，并在上方加入足够稀的硫酸锌溶液，使它比电池中的任一其他液层都要轻。

丹聂耳电池组绝不是常用电池组中的最强大的一种。格罗夫电池的电动势是丹聂耳电池的电动势的 192，000，000 倍，而本生电池的电动势是丹聂耳电池的电动势的 188，000，000 倍。

丹聂耳电池的电阻通常大于同样尺寸的格罗夫电池的电阻和本生电池的电阻。

然而，在一切要求精确测量结果的事例中，这些缺点却抵不过一个优点，那就是，在电动势的恒定性方面，丹聂耳电池胜过一切已知的装置①。它还有能够长时间地正常工作和不放出任何气体的优点。

① {当要求一个标准电动势时，现在最常用的是一个克拉克电池。关于制造和使用这样一个电池的注意事项，见 Lord Rayleigh 的论文‘The Clark Cell as a Staudard of Electromotive Force.,Phil.Trans.part ii.1885.}

第六章线性电流

论线性导体组

〕任何一个导体可以当作一个线性导体来处理，如果它被安排得适当，使得电流在它的表面的两个部分之间永远按相同的方式而通过；那两个部分表面叫做它的电极。例如，设有任意形状的一块金属，除了两个地方以外整个的表面都被一种绝缘材料所覆盖，而在那两个地方，暴露着的导体表面则和用理想导电材料做成的电极相连接；这样一块金属就可以看成一个线性导体。因为，如果使电流从一个电极流入而从另一个电极流出，则流线将是确定的，而电动势、电流和电阻之间的关系将由欧姆定律来表示，因为物体每一部分中的电流都将是 E 的线性函数。但是，如果有多于两个的一些可能的电极，则导体中可以有多于一个的独立电流通过，而这些电流可以并不互相共轭。参阅第 282a 和 282b 节。

欧姆定律

274．]设 E 是一个线性导体中从电极 A1 到电极 A2 的电动势。（参阅第 69 节）。设 C 是沿该导体的电流强度，这就是说，设有 C 个单位的电量在单位时间内沿方向 A1A2 通过每一个截面，并设 R 是导体的电阻，则欧姆定律的表示式是

E=CR.(1)

串联的线性导体

〕设 A1、A2 是第一个导体的电极，并设第二个导体被摆得有一个电极和 A2 相连接，于是第二个导体就以 A2、A3 为其两个电极。第三个导体的电极可以用 A3 和 A4 来代表。

设沿着这些导体的电动势用 E12、E23、E34 来代表，对其他导体依此类

推。

设各导体的电阻是

R12，R23，R34，等等。

于是，既然各导体是串联的从而有一个相同的电流 C 通过他们，我们由欧姆定律就有

E12=CR12，E23=CR23，E34=CR34，⋯.(2)

如果 E 是体系的合电动势而 R 是合电阻，则我们由欧姆定律必有E=CR.(3)

现在

E=E12+E23+E34+⋯=各分电动势之和，(4)

=C(R12+R23+R34+⋯），据方程(2)。

把这一结果和(3)式相比较，我们就得到

R=R12+R23+R34+⋯.(5)

或者说，串联导体的电阻是分别考虑的各导体的电阻之和。

串联导体的任一点上的势

设 A 和 C 是串联导体的电极而 B 是二者之间的一个点，设 a、c 和 b 分别是这些点的势。设 R1 是从 A 到 B 的那一部分的电阻，R2 是从 B 到 C 的那一部分的电阻，而 R 则是从 A 到 C 的整个体系的电阻，那么，既然

a-b=R1C，b-c=R2C，而 a-c=RC，

B 点的势就是

b = R2a + R1c , (6) R

当 A 点和 B 点的势已给定时，此式就确定 B 点的势

并联的线性导体

〕设有一些导体 ABZ、ACZ、ADZ 并排摆放，使得他们的两端都和相同的两个点 A、Z 相接。这些导体被说成是联成一个“多重弧”，或称并联。

设这些导体的电阻分别是 R1、R2、R3，而其电流是 C1、C2、C3，此外并设并联导体的电阻是 R，而其总电流是 C。于是，既然 A 和 Z 上的势对一切导体都相同，我们就有相同的势差，用 E 来代表。于是我们就有

E=C1R1=C2R2=C3R3=CR，

但是

故得到

C=C1+C2+C3，

1 = 1 + 1 + 1

．(7)

R R1 R2

R23

或者说，并联导体的电阻的倒数，等于各分导体的电阻倒数之和。

如果我们把一个导体的电阻的倒数叫做导体的电导，我们就可以说，并联导体的电导是各分导体的电导之和。

并联导体的任一分支中的电流

由以上的各方程可以看出，如果 C1 是并联导体的任一分支中的电流而R1 是该分支的电阻，则有

C = C R

1 R

，(8)

式中 C 是总电流，而 R 是以上确定的并联导体的电阻。

截面均匀的导体的纵向电阻

〕设一块立方形给定材料对平行于它的边棱的电流而言的电阻是ρ，而立方形的棱长为一个长度单位，则ρ叫做“该材料的单位体积的比电阻”｛电阻率｝。

现在考虑一个用相同材料做成的角柱形的导体，其长度为 l 而截面为1。这就相当于 l 个立方体串联在一起。因此这一导体的电阻就是 lρ。

最后，考虑一个长度为 l 而均匀截面为 s 的导体，这就相当于 s 个上面那样的导体相并联。因此这一导体的电阻就是

R = lρ ．

当我们知道了一条均匀导线的电阻时，如果我们能够测量它的长度和截面，我们就能确定制成导线的材料的比电阻。

细导线的截面积可以通过测定样品的长度、重量和比重来最准确地确定。比重的测定有时是不方便的；在那种情况下，就用一根单位长度和单位质量的导线的电阻来作为“单位长度的比电阻”。

如果 r 是一根导线的这种比电阻，l 是它的长度而 m 是它的质量，则

有

l² r

R = ．

关于这些方程中所含各量的量纲

〕一个导体的电阻就是作用在它上面的电动势和所引起的电流之比。导体的电导就是这个量的倒数，或者换句话说就是电流和引起电流的电动势之比。

现在我们知道，在静电单位制中，一个电量和带此电量的导体的势之比就是导体的电容，而且这是用长度单位来量度的。如果导体是一个放在无限场中的球，则这个长度是球的半径，因此，电量和电动势之比就是一个长度，但是电量和电流之比是一个时间，在该时间之内电流传递了那个电量。由此可见，电流和电动势之比就是长度和时间之比，换句话说就是一个速度。

导体的电导在静电单位制中是以速度单位计的；这一事实可以通过假设一个半径为 r 的球被充电到势 V 然后用所给的导体把球接地来加以验证。设球逐渐缩小，使得当电量通过导体而流走时球的势永远保持为 V。

于是球上的电荷就在任何时刻都是rV，而电流就是 − d (rV)；但是V是

一个常量，故电流就是 − dr V，而通过导体的电动势则是V。

导体的电导是电流和电动势之比，或者说是− dr ，也就是说，它就

是当电荷被允许通过导体流到地上时球的半径必须收缩以便保持其势不变的那个收缩速度。

因此，在静电单位制中，导体的电导是一个速度，从而具有量纲[LT-

1]。

的。

因此导体的电阻具有量纲[L-1T]。

单位体积的比电阻具有量纲[T]，而单位体积的比电导则具有量纲[T- 系数的数值只依赖于时间的单位，而这一单位在不同的国家中是相同

单位重量的比电阻具有量纲[L-3MT]。

〕以后我们将发现，在电磁单位制中，导体的电阻是用一个速度

来表示的，从而在该单位制中导体的电阻就具有量纲[LT-1]。导体的电导当然是这个量的倒数。

单位体积的比电阻在这一单位制中具有量纲[L2T-1]，而单位重量的比电阻则具有量纲[L-1T-1M]。

论一般的线性导体组

〕一个线性导体组的最普遍事例就是用 1 n(2 - 1)个线性导体成

对连接起来的 n 个点 A1、A2、⋯An。设连接任何一对点例如 Ap 和 Aq 的那一导体的电导（即电阻的倒数）用 Kpq 来代表。并设从 Ap 到 Aq 的电流是 Cpq。设 Pp 和 Pq 分别是点 Ap 和点 Aq 处的电势，而如果有任何电动势沿着导体从Ap 指向 Aq，就用 Epq 来代表它。

由欧姆定律，从 Ap 到 Aq 的电流是

Cpq=Kpq(Pp-Pq+Epq).(1) 在这些量之间，我们有下列一组关系式：

导体的电导在正反两个方向上是相同的，或者说

Epq=Kqp.(2)

电动势和电流是有方向｛译：应作“正负”｝的量，故有

Epq=-Eqp，和 Cpq=-Cqp.(3)

设 P1、P2、⋯Pn 分别是 A1、A2、⋯An 上的势，并设 Q1、Q2、⋯Qn 是单位时间内分别在这些点上进入体系中的电量。这些电量肯定服从“连续性” 条件。

Q1+Q2⋯+Qn=0，(4)

因为电既不能在体系中无限积累也不能在体系中无限产生。在任一点 Ap 上，“连续性”条件是

Qp=Cpl+Cp2+⋯+Cpn．(5)

利用方程(1)把各电流的值代入此式中，就得到Qp=(Kp1+Kp2+⋯+Kpn)Pp－(Kp1P1+Kp2P2+⋯+kpnPn)+(Kp1Ep1+⋯+KpnEpn)．(6)

符号 Kpp 并不出现在此式中，因此让我们设它的值是

Kpp=－(Kp1+kp2+⋯+Kpn);(7)

也就是说，设 Kpp 是和相聚于 Ap 点的一切导体的电导之和相等而反号的一个量。于是我们就可以把 Ap 点处的连续性条件写成

Kp1P1+Kp2P2+⋯+KppPp+⋯+kpnPn=Kp1Ep1+⋯+kpnEpn－Qp.(8)

在这一方程中令 p 等于 1、2、⋯n，我们就将得到种类相同的 n 个方程，由此就能定出 n 个势 P1、P2、⋯Pn。

然而如果我们把方程组(8)加起来，既然由(3)、(4)和(7)可知结果恒等于零，那就只会有 n-1 个独立的方程，这些方程将足以确定各点间的势差，而不能确定任一点的绝对势。然而在计算体系中的电流时并不需要任何绝对势。

如果我们用 D 来代表行列式

K11，K12 ，

K 21，K 22 ，

K1( n－1) K 2 ( n－1)

(9)

K(n−1) ，K(n−1)2 ， K(n−1)( −1n)

并用 Dpq 代表 Kpq 的子行列式，我们就能求得 Pp-Pn 的值

(Pp －Pn)D=(K12E12+⋯－Q1)Dp1+(K21E21+ ⋯－Q2)Dp2+⋯+(Kq1Eq1+⋯ +KqnEqn

－Qq)Dpq+⋯.(10)

同理也可以定出任一其他点例如 Aq 的势比 An 的势大出的值。然后我们就能由方程(1)定出 Ap 和 Aq 之间的电流，并从而完全地解出问题。

281.〕现在我们将演证体系中任意二导体的一种倒易性，这是和我们已经在第 86 节中演证过的静电倒易性相对应的。

在Pp 的表示式中，Qq

是 − Dpq 。

的系数是 − D pq

。在Pq 的表示式中，Qp

的系数

喏，Dpq 和 Dqp 的区别只在于把 Kpq 代成 Kqp，但是由方程(2)可知这两个符号是相等的，因为导体沿正反方向的电导相同。由此即得

Dpq=Dqp.(11)

由此可知，由于在 Aq 点通入一个单位电流而在 Ap 引起的那一部分势，等于由于在 Ap 点通入一个单位电流而在 Aq 引起的那一部分势。

我们可以由这一定理推出一种更切实用的形式。

设 A、B、C、D 是体系中的任意四点，并设由于一个电流从 A 进入并从 B 离开体系而使 C 点的势比 D 点的势大出一个量 P。于是，如果一个相等的电流 Q 从 C 进入并从 D 离开体系，则 A 点的势将比 B 点的势大出同一个量 P。

如果引入一个电动势 E，使它在从 A 到 B 的导体中起作用，而如果这就引起一个从 X 到 Y 的电流 C，则引入到从 X 到 Y 的导体中的同一个电动势 E 将引起从 A 到 B 的相等的电流 C。

电动势 E 可以是一个伏打电池组的电动势，这时必须注意保证导体的电阻在引入电池组的以前和以后是相同的。

282a.〕如果有一个电动势 Epq 沿着导体 ApAq 起作用，则很容易求出沿着体系中的另一导体 ArAs 引起的电流是

KrsKpqEpq(Drp+Drq－Drq－Dsp)÷D.

如果

Drp+Dsq－Drq－Dsp=0，(12)

那就不会有电流，但是由(11)可知，同样的方程也成立，如果当电动势沿ArAs 起作用时在 ApAq 中没有电流的话。由于这种倒易关系式，所谈到的两个导体就被说成是共轭的。

共轭导体的理论曾由基尔霍夫研究过，他曾按照下面这种避免考虑势的方式叙述了线性导体组的条件。

(1)（“连续性”条件。）在体系的任一点上，流向该点的一切电流之｛代数｝和等于零。

(2)在由一些导体构成的任何完整回路中，沿回路计算的电动势之和等于每一导体中的电流和该导体的电阻的乘积之和。

我们可以通过针对完整回路来把形如(1)的各方程加起来而得到这一结果，这时各个势必然不再出现。

①282b．〕如果一些导线形成一个简单的网络，而且我们假设绕着每

一个网格都有一个电流在周流，则形成两个网格之公共边的那条导线中的实际电流，将是周流于二网格中的二电流之差，这时当电流按反时针的方向运行时就把它算作正的。在这种情况下，很容易建立下列定理：设任意网格中的电流是 x，电动势是 E，而总电阻是 R，并设和 x 在其中周流的那个网格具有公共边的各相邻网格中的周流电流是 y、z、⋯，而各公共边的电阻是 s、t、⋯，则有

Rx-sy-tz-⋯=E.

为了举例说明这一法则的应用，我们将取所谓惠斯登电桥，并采用第347 节中的图形和符号，于是我们就得到三个方程，他们代表这一法则在三个回路 OBC、OCA、OAB 的事例中的应用，而三个回路中的周流电流则分别是 x、y、z；方程就是

（α+β+γ）x-γy-βz=E,

-γx+（b+γ+α）y-αz=0,

-βx-αy+（c+α+β）z=0.

由这些方程，我们现在就可以定出支路 OA 中的电流计电流

z-y 的值，但是读者请参阅第 347 节及以后各节，那里讨论了这一问题以及和惠斯登电桥有关的其他问题。

体系中产生的热

283．〕由第 242 节可知，单位时间内由一个电流 C 在电阻为 R 的一个导体中产生的热量的机械当量是

JH=RC2.(13)

因此我们必须确定体系中一切导体上的 RC2 类型的量的和。对于从 Ap 到 Aq 的导体来说，电导是 Kpq，而电阻 Rpq 则满足

Kpq.Rpq=1(14) 按照欧姆定律，这一导体中的电流是

① [此节摘录 J.A.弗莱明先生所作的麦克斯韦教授的演讲，参阅弗莱明的论文，见Phil.Mag.,xx.p.221,1885.]

Cpq=Kpq(Pp-Pq).(15)

然而我们将假设，电流的值不是由欧姆定值给出而是 Xpq，而且Xpq=Cpq+Ypq. (16)

为了确定体系中产生的热，我们必须求出形如

Rpq X² ，

或 JH = ∑{R pq C² + 2Rpq CpqYpq + R pq Y ² }, (17)

的各量之和。

代入 Cpq 的值并记得 Kpq 和 Rpq 之间的关系，这一关系式就变成

∑[(Pp - Pq )(Cpq + 2Ypq ) + R pq Y ² ]. (18)

现在，既然 C 和 X 都必须满足 Ap 处的连续性条件，我们就有

Qp=Cp1+Cp2+⋯+Cpn,(19) Qp=Xp1+Xp2+⋯+Xpn,(20)

因此就得到

0=Yp1+Yp2+⋯+Ypn.(21)

因此，将(18)式的各项相加，我们就得到

∑ (Rpq X ² ) = ∑Rp Qq + ∑Rpq Y ² .

(22)

现在，既然 R 永远为正而 Y2 也必为正，上式中的最后一项必然是正的。因此，当每一导体中的 Y 都为零时，也就是当每一导体中的电流都由欧姆定律给出时，上式的左端必为极小值①。

由此就得到下列的定理：

〕在任何不包含内电动势的导体组中，由按照欧姆定律而分布的电流所产生的热量，小于由按照和电流的供入和流出的实际条件不相矛盾的任何其他方式而分布的电流所产生的热量。

当欧姆定律得到满足时，实际产生的热量的机械当量是∑PpQp，也就是说，它等于在各个外电极上供入的电量和各该供电处的势的乘积之和。

① {我们可以用同样的办法证明，当不同支路中有电动势时，各电流将满足∑RC2－2ΣEC 为极小值，式中 E 是支路中的电动势而 C 是支路中的电流。我们把这个量叫做 F。如果我们用沿各回路流动的那些独立电流把 F 表示出来，则各导体中的电流分布 x、y、z、可由方程来求出。例如，在第 382 节所考虑的惠斯登电桥的事例中，就有从而该节中的方程就是和等价的。这常常是求出电流按导体的分布的最方便的办法。第 281 节中的倒易性也可以很容易地用这种办法推出。}

第六章附录

在第 280 节中研究了的电流分布规律，可以表示成很容易记住的法则如下。

让我们把其中一个点例如 An 的势取作零势，那么，如果有一个电量 Qs 流入 As 中，则在正文中已经证明一点 Ap 处的势应是

Dps Q ．

D s

D 和 Dps 各量可按下述法则求出：D 就是每次取(n-1)个电导的各乘积之和，而略去所有包括了形成闭合回路的各支路电导的乘积的那些项。Dps 就是每次取(n-2)个电导的各乘积之和，而略去所有包含支路 ApAn 或 AsAn 的电导的那些项，或是包含本身形成闭合回路或借助于 ApAs 或 AsAs 可以形成闭合回路的各支路电导的乘积的那些项。

我们由方程(11)看到，沿支路 AqAr 作用着的一个电动势 Eqr 的效应，

和 Q 处的一个强度为 KqrEqr 的源头以及 R 处的一个相同强度的尾闾的效应相同①，从而上一法则将包括这一事例。然而这一法则的应用结果可以更简单地叙述如下。如果一个电动势 Epq 沿着导体 ApAq 而起作用，则沿另一导体 ArAs 引起的电流是

K rs K pq

∆

D E pq

式中 D 按上述法则得出，而Δ=Δ1-Δ2。这里的Δ1 是这样得出的：在每次

取(n-2)个电导的各乘积的和式中，选取既包含 ApAr 的电导（或和 ApAr 一起形成闭合回路的各支路电导的乘积）又包含 AqAs 的电导（或和 AsAp 一起形成闭合回路的各支路电导的乘积）的那些乘积，而从如此选出的各项中略去所有包含 Ars 或 Apq 的电导的那些项，或是所有包含本身形成或和 ArAs 或 ApAq 一起形成闭合回路的那些支路电导的乘积的那些项。△ 2 和Δ1 相对应，不过要分别取 ApAs、AqAr 来代替 ApAr 和 AsAq。

如果一个电流在 P 进入而在 Q 离开，则电流和 Ap、Aq 之间的势差之

比是 D 。

∆′

这里的△′是每次取 n-2 个电导的乘积之和，而略去所有包含 ApAq 的电导或包含和 ApAq 一起形成闭合回路的支路电导之积的那些项。

在这些表示式中，所有包含形成闭合回路的各支路电导之积的那些项都应略去。

我们可以举例来说明这些法则，即把他们用于一个很重要的事例，那就是用 6 个导体连接起来的 4 个点的事例。让我们用 1、2、3、4 来代表这4 个点。

于是 D=每次取 3 个电导的乘积之和，但是要略去 4 个乘积 K12K23K31、K12K24K41 、K13K34K41 、K23K34K42 ，因为他们对应于四个闭合回路(123)、

① {译注：原意如此，但 Q、P 二符号疑应作 Aq、Ar。下同。}

(124)、(134)、(234)。

于是就有

D= （ K14+K24+K34 ）（ K12K13+K12K23+K13K23 ） +K14K24 （ K13+K23 ）

+K14K34(K12+K23)+K34K24(K12+K13)+K14K24K34.

让我们假设有一个电动势 E 沿着(23)而作用，则通过支路(14)的电流

= Δ1－Δ 2 EK E ,

D 14 23

Δ1 = K13 K24 （根据定义） Δ2 = K12 K43．

由此可见，如果没有电流通过(14)，则 K13K24-K12K43=0，这就是(23)和(14)

可以共轭的条件。通过(13)的电流

K12 (K14 + K 24 + K34 ) + K14 K 24 EK K ．

D 14 23

当一个电流在(2)进入而从(3)流出时，网络的电导

= D ．

(K14 + K 24 + K 34 )( K12 + K13 )K14 (K 24 + K34 )

如果我们有 5 个点，则(23)和(14)相共轭的条件是K12K34(K15+K25+K35+K45)+K12K35K45+K34K51K5

=K13K24(K15+K25+K35+K45)+K13K52K54+K24K51K53.

第七章

三维空间中的导电电流的本性

〕设在任一点取一个面积元 dS 和 x 轴相垂直，并设有 Q 个单位的电量在单位时间内从负侧向正侧通过这一面积，那么，如果当 dS 无限缩

小时 Q 变为等于u，则u叫做给定点上电流沿x方向的“分量”。同样我

们可以定义 v 和 w，分们分别是电流沿 y 方向和 z 方向的分量①。

〕为了定义电流在给定点 O 上沿任一其他方向 OR 的分量，设 l、m、n 为 OR 的方向余弦；于是，如果我们分别在 A、B、C 三点上从 x、y、z 轴上截取等于

r ， r l m

，和 r

的线段，则三角形 ABC 将垂直于 OR。这个三角形 ABC 的面积将是

ds = 1 r ，

2 lmn

而通过减小 r，这个面积将无限地减小。

通过三角形 ABC 而离开四面体 ABCO 的电量，必然等于通过三个三角形 OBC、OCA 和 OAB 而进入这个四面体的电量。

图 23

1 r ²

三角形OBC的面积是 2 mn ，而垂直于它的平面的电流分量是u，故

单位时间内通过这个三角形的电量就是 1 r ² u 。

2 mn

单位时间内分别通过三角形 OCA 和 OAB 而流进来的电量是

r ² v ，和 1 r ² w ．
nl 2 m

如果γ是电流在 OR 方向上的分量，则单位时间内通过 ABC 而离开四面体的电量是

1 r 2

γ ．

lmn

既然这一电量等于通过另外三个三角形流进来的电量，就有

1 r ² γ = 1

2  u

v w 

2 lmn

2 r  mn + nl + lm；

 

① {译注：此处定义的是电流密度的分量。}

乘以 2lmn ，我们就得到

r 2

γ=lu+mv+nw.(1)

如果我们令 u2+v2++w2=Γ2，

并取 l′、m′、n′，使之满足

u=l′Γ，v=m′Γ，和 w=n′Γ；

就得到

γ=Γ(ll′+mm′+nn′).(2)

由此可见，如果我们可以把合电流定义为一个矢量，其量值是Γ，其方向余弦是 l′、m′、n′，而γ则代表沿着和合电流有一夹角θ的一个方向的电流分量，就有

γ=Γcosθ；(3)

这就表明，电流的分解规律和速度、力以及其他矢量的分解规律相同。287.〕为了确定一个给定的曲面可以是一个流面的条件，设

F(x，y，z)=λ(4)

无限大平面导体表面上的像 - 图1 是一族曲面的方程，其中每一个平面通过令 l 取一个常数值来给出。于是，如果我们令

则沿λ增大的方向画出的法线的方向余弦是

l = N dλ ，m = N dλ ，n = N dλ ． (6)

dx dy dz

因此，如果γ是沿曲面法线的电流分量，则有

γ =  dλ dλ dλ 

Nu dx + v dy + w dz ． (7)

 

如果γ=0，就没有电流通过曲面，从而曲面就可以叫做一个“流面”，因为各流线是在这个曲面上的。

288.〕因此，流面的方程就是

u dλ + v dλ + w dλ = 0． (8)

dx dy dz

如果这一方程对一切的λ值都成立，则族中的一切曲面都将是流面。289.〕设有另外一族曲面，其参数为λ′，那么，如果这些曲面也是

流面，我们就将有

u dλ′ + v dλ′ + w dλ ′ = 0．

(9)

dx dy dz

如果有第三族流面，其参数为λ″，则有

u dλ′′ + v dλ ′′ + w dλ′′ = 0．

(10)

dx dy dz

如果在这三个方程中消去 u、v、和 w，我们就得到

dλ dλ dλ

dx ， dy ， dz

dλ′ ， dλ′ ， dλ′

= 0；

(11)

dx dy dz

dλ′′ ， dλ′′ ， dλ ′′

dx dy dz

或者说 λ″=φ(λ,λ′)；(12) 这就是说，λ″是λ和λ′的某一函数。

〕现在考虑四个曲面，其参数是λ、λ+δλ、λ′以及λ′+δ λ′。这四个曲面包围成一个方截面的管子，我们称之为管δλ.δλ′。既然这个管子是由一些没有电流通过的曲面包围而成的，我们就可以称之为一个“流管”。如果我们在管上取两个截面，则通过一个截面流进来的电量必然等于通过另一个截面流出去的电量，从而这个电量就在一切截面上都相同，让我们用 Lδλ.δλ′来代表它，此处 L 是定义特定流管的参数λ和λ′的函数。
〕如果δS 代表由一个垂直于 x 的平面在一个流管上切出的截面，则我们由自变数的变化理论得到

δλ，δλ′ = δλ( dλ dλ′ − dλ dλ′ )， (13)

dy dz dz dy

而由电流分量的定义就得到

由此即得

udS=Lδλ.δλ′(14)

u = L( dλ dλ′ － dλ dλ′ )，



dy dz

dz dy 



同理可有v = L( dλ dλ′ － dλ dλ′ )，

(15)

dz dx dx dz 

w = L( dλ dλ′ － dλ dλ )． 

dx dy dy dx 

〕当函数λ和λ′中的一个函数为已知时，总可以定义另一个函数使它的 L 等于 1。例如，让我们取 yz 平面，在上面画一系列平行于 y 的等距线来代表这一平面在族λ′中切出的截面。换句话说，设函数由当 x=0 时λ′=z 这个条件来确定。那么，如果我们令 L=1，从而（当 x=0 时）

λ = ∫ udy，

则在平面(x=0)上通过任一部分的电量将是

∫∫ udydz = ∫∫ dλdλ′． (16)

由 yz 平面在各流面上切出的截面的本性既已确定，各流面在别处的形状就可以由条件式(8)和(9)来确定。这佯确定的两个函数λ和λ′就足以通过把 L 代成 1 以后的方程(15)来确定每一点上的电流。

关于流线

〕设已经选定一系列λ的值和λ′的值，相邻值之差为 1。由这些值定义的两系列曲面将把空间分成许多方形截面的流管，通过每一流管的将是一个单位电流。通过假设电流的单位很小，电流的细节就可以在任意的精确度下用这些流管来反映。于是，如果画一个任意曲面和这一组流管相交截，则通过这一曲面的电流的数量将由它所交截的流管数目来表示，因为每一个流管载有单位电流。

各曲面的实际交线可以叫做“流线”。当单位取得够小时，和曲面相交的流线就近似地等于和它相交的流管数，因此我们可以认为，各流线不仅表示着电流的方向而且表示着电流的强度，因为通过一个截面的每一条流线都对应于一个单位电流。

关于电流层和电流函数

〕包括在一族流面（例如λ′）中的两个相邻流面之间的一层导体，叫做一个“电流层”。这一层内的流线，由函数λ来确定。如果λA 和λB 分别代表点 A 和点 P 上的λ值，则从右向左越过在层上从 A 画到 P 的任何线的电流是λ -λ ①。如果AP 是在层上画出的的一条曲线上的一个

线段元 ds，则从右向左越过这一线段元的电流是

dλ ds． ds

根据函数λ，可以完全地确定层中的电流分布；这一函数叫做“电流函数”。

两侧以空气或其他非导电媒质为界的任何金层薄层或导电物质薄层，都可以看成一个电流层，层中的电流分布可以利用一个电流函数来表示。参阅第 647 节。

“连续性”方程

〕如果我们把(15)中的三个方程分别对 x、y、z 微分，记得 L 是λ和λ′的一个函数，我们就得到

du + dv + dw = 0．

(17)

dx xy dz

在流体力学中，对应的方程叫做“连续性方程”。它所表示的连续性是存在上的连续性，也就是表示的这样一件事实：一种物质实体不可能离开空间的一个部分到达另一部分而并不经过二者之间的空间。它不能简单地从一个地方消失和在另一个地方出现，而是必须沿着一条连续的路径而运动。因此，如果画一个闭合曲面，包围一个地方而不包围另一个地方，则一种物质实体在从一个地方运动到另一个地方时必将越过这个闭合曲面。流体力学中最普遍的方程形式是

d(ρu) + d(ρv) + d(ρw) + dρ = 0 ；

(18)

dx dy dz dt

① {所谓“越过 AP 的电流”是指通过由曲面λA、λP、λ′和λ′＋1 所包围而成的那一流管的电流。}

式中ρ代表实体的数量和它所占的体积之比，这时体积应是体积元；(ρ u)、(ρv)和(ρw)代表单位时间内越过一个面积元的实体数量和面积元之比，而各面积元分别垂直于 x、y 和 z 轴。在这样的理解下，方程就适用于任何的物质实体，不论是固体还是流体，不论运动是连续的还是非连续的，只要该实体的各部分的存在是连续的就行。如果任何一种东西，尽管不是一种实体，但是却满足在时间和空间中连续存在的条件，则这一方程将表示那种条件。在物理科学的其他部门中，例如在电学量和磁学量的理论中，形式相似的方程也存在。我们将把这样的方程叫做“连续性方程”，以指示他们的形式，尽管我们可能并不认为这些量有什么物质性，甚至并不认为他们在时间和空间中有什么连续存在。

如果在方程(18)中令ρ=1，也就是说，如果假设实体是均匀的和不可压缩的，则我们在电流的事例中求得的方程(17)将和方程(18)完全相同。在流体的事例中，这个方程也可以按照在流体力学中给出的任何一种证明方式来确立。在其中一种证明方式中，我们在某一个数量的流体的运动过程中追索它的变形过程。在另一种方式中，我们把注意力集中在一个空间体积元上，并考虑进入和离开该体积元的一切流体。前一种方法不能应用于电流，因为我们并不知道电在物体中的运动速度，甚至不知道它是沿着电流的正方向还是负方向而运动的。我们所知道的一切，只是在单位时间内越过单位面积的电量的代数值，这是和方程(18)中的(ρu)相对应的一个量。我们没有任何办法来确定因子ρ的或因子 u 的值，从而我们不能追索一部分电量在物体中的运动。另一种研究方法，即考虑通过一个体积元的各壁面的各个电量的方法，对电流是适用的，而且从我们已经给出的形式来看也许是更加可取的，但是既然这种方法可以在任何流体力学著作中找到，我们也就用不着在这里重述的。

通过一个给定曲面的电量

〕设Γ是曲面的任意点上的合电流。设 dS 是曲面的一个面积元，而∈是Γ和曲面的外向法线之间的夹角，则通过曲面的电流将是

∫∫Γcos∈dS, 积分遍及于该曲面。

正如在第 21 节中一样，在任何闭合曲面的事例中，我们可以把这一积分变换成

∫∫ Γcos ∈S = ∫∫∫ ( du + dv + dw )dxdydz (19)

dx dy dz

的形式，三重积分的积分限就是曲面所包括的界限。这就是闭合曲面上的外向通量的表示式。既然在一切恒稳电流的事例中这一通量不论积分限是什么都等于零，被积函数就必须为零，而这样我们就能得到连续性方程(17)。

第八章

三维空间中的电阻和电导

关于电流和电动势之间的最普遍的关系

〕设任意点上的电流分量为 u、v、w。设电动强度的分量为 X、Y、Z。

任意点上的电动强度就是作用在位于该点的一个单位正电荷上的合力。它可以起源于(1)静电作用，这时如果 V 是势，就有

X = － dV ，Y = － dV ，Z = － dV ；

(1)

dx dy dz

或起源于(2)电磁感应，其规律将在以后加以考查；或起源于(3)该点本身上倾向于沿给定方向产生电流的温差电作用或电化学作用。

一般说来，我们将假设 X、Y、Z 代表一点上的实际电动强度的分量，不论力的起源是什么，但是有时我们也将考查假设它完全起源于势的变化时所将得到的结果。

由欧姆定律，电流正比于电动强度。由此可知 X、Y、Z 必然是 u、v、w 的线性函数。因此我们可以采用“电阻方程”如下：

X = R1u + Q3 v + P2 w，

Y = P u + R v + Q w， (2)

3 2 1 

Z = Q2 u + P1v + R2 w． 

我们可以把各个系数 R 叫做沿各座标轴方向的纵向电阻系数。

各系数 P 和 Q 可以叫做横向电阻系数。他们指示的是沿一个方向产生电流时所要求的沿另一方向的电动强度。

假如我们能够假设一个固体可以看成一个线性导体组，则由线性组中任意二导体的倒易性（第 281 节），我们可以证明平行于 y 产生单位电流所要求的沿 z 的电动强度，等于平行于 z 产生单位电流所要求的沿 y 的电动强度。这就将表明 P1=Q1，同理我们将得到 P2=Q2 和 P3=Q3。当这些条件得到满足时，系数组就被说成是“对称的”。当条件不满足时，系数组就被说成是“非对称的”{译注：原文是 Skewsystem，易引起误解，今略改。}。

我们有很强的理由相信在每一个实际事例中系数组都是对称的①，但是我们也将考查承认非对称可能性的某些后果。

〕u、v、w 这些量可以用一组方程来表示成 X、Y、Z 的线性函数，我们把这一组方程称为“电导方程”。

u = r1X + p3Y + q 2 Z， 

v = q X + r Y + p Z，  (3)

3 2 1 

w = p2 X + q1Y + r3Z；

我们可以把各个系数 r 叫做“纵向电导系数”，而把各个 p 和各个 q 叫做“横向电导系数”。

① {参阅第 303 节的注。}

各个电阻系数是和各个电导系数互逆的。这种关系可以定义如下。设[PQR]是电阻系数行列式，而[pqr]是电导系数行列式，于是就有

[PQR]=P1P2P3+Q1Q2Q3+R1R2R3－P1Q1R1－P2Q2R2－P3Q3R3.(4)

[pqr]=p1p2p3+q1q2q3+r1r2r3+p1q1r1－p2q2r2－p3q3r3,(5)

［PQR][pqr]=1，(6) [PQR]p1=(p2p3－Q1R1),[pqr]P1=(p2p3－q1r1)，(7)，等等等等

其他的方程可以通过将各符号 P、Q、R、p、q、r 按各下标 1、2、3 进行轮换来得出。

热的产生率

〕为了求出电流在单位时间内克服电阻而产生热时所作的功，我们把电流分量和对应的电动强度分量相乘。于是我们就得到单位时间内消耗的功 W 的表示式如下：

W=Xu+Yv+zw；(8)

=R1u2+R2v2+R3w2+(P1+Q1)vw+(P2+Q2)wu+(P3+Q3)uv;(9)

=r1X2+r2Y2+r3Z2+(pq+q1)YZ+(p2+q2)ZX+(p3+q3)ZX+(p3+q3)XY.(10)

通过座标轴的适当选择，可以从(9)中消去含 u、v、w 的乘积的各项，或是从(10)中消去含 X、Y、Z 的乘积的各项。然而，把 W 简化成

R1u2+R2v2+R3w2

的座标系通常并不同于把它简化成

r1X2+r2Y2+r3Z2.

的座标系。

只有当系数 P1、P2、P3 分别等于 Q1、Q2、Q3 时两个座标系才会重合。如果我们像汤姆孙①那样写出

p = S + T，Q = S - T；

我们就得到

p = s + t，q = s - t； 

(11)

[PQR] = R1R2 R3 + 2S1S2S3 - S12 R1 - S22 R2 - S32 R3



(12)



+2(S T T + S T T + S T T ) + R T 2 + R T 2 + R T 2 ；

1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 1 2 2 3 3 

因此，如果我们使 S1、S2、S3 不再存在，则各系数 s 并不会也不再存在，除非各系数 T 等于零。

稳定条件

300.]既然电的平衡是稳定的，用于保持电流的功就必须永远是正的。W 必为正的条件是三个系数 R1、R2、R3 和三个表示式

① Trans.R.S.Edin.,1853－4,p.165.

4R2 R 3 - (P1 + Q1 ) ² ， 

4R R - ( P + Q ) ² 

(14)

4R R - (P + Q ) ² ， 

必须都是正的。

1 2 3 3 

关于电导系数也有类似的条件。

均匀媒质中的连续性方程

301.]如果我们把电动强度的各分量写成势的导数，则连续性方程

du + dv + dw = 0

(15)

dx dy dz

在均匀媒质中将变成

d ² V

d² V

d ² V

¹ dx²

+ r2

dy ²

+ r2

dz ²

+ 2s1 dydz + 2s2 dzdx + 3s3 dxdy = 0．(16)

如果媒质是不均匀的，则会有起源于电导系数从一点到另一点的变化的一些项。

这一方程对应于各向异性媒质中的拉普拉斯方程。302.]如果我们令

[rs]=r1r2r3+2s1s2s3-r1s12-r1s22-r3s32,(17) [AB]=A1A2A3+2B1B2B3-A1B12-A2B22-A3B32，(18)

式中

[rs]A = r r - s ² ， 

1 2 3 1 

[rs]B1 = s2s3 - r1s1，





(19)

等等，则 A、B 组将和 r、s 组互逆，而如果我们令A1x2+A2y2+A3z2+2B1yz+2B2zx+2B3xy=[AB]ρ2，(20)

我们就会发现

V = C 1 (21)

4π ρ

是方程的一个解①。

在各系数 T 为零的事例中，各系数 A 和 B 变成与第 299 节中的各系数R 和 S 相等同。当 T 不等于零时，情况并不是这样的。

因此，在电从一种无限的、均匀的然而并非各向同性的媒质中的一个中心流出的事例中，等势面就是一些椭球，对其中每一个椭球来说ρ是常量。这些椭球的轴各沿电导的主轴，而这些轴并不和电阻的主轴相重合，

① {假设通过变换能使(16)式的左端变成

为了作到这一点，我们看到 r1ξ＋r2η2＋r2ξ2＋2s1ηξ＋必须和相等同，我们用 U 来代表此式。如果我们利用方程消去ξ，η，ξ，则因为 AB 组和 rs 组互逆，我们就得到 U＝A1x2＋A2y2＋A3z2

＋2B1yz＋但是我们由(1)和(3)看到由此即得 U＝X2＋Y2＋Z1. 足该方程。}

除非体系是对称的。

通过方程(16)的变换，我们可以取电导的主轴作为 x、y、z 轴。于是形如s 和B 的系数将简化为零，而每一个形如 A 的系数将和对应的形如r 的系数互为倒数。ρ的表示式将是

x2 y 2 z2

+ +

r r r

ρ2

无限大平面导体表面上的像