=

r r r

． (22)

1 2 3 1 2 3

303.]电阻和电导的完整方程组的理论就是三变数线性函数组的理论；这种理论在协变理论①和物理学的其他部门中有其实例。处理这种问题的最合适的方法，就是哈密顿和泰特用来处理一个矢量的线性矢量函数的那种方法。然而我们不准备明显地引用四元数的符号。

各系数 T1、T2、T3 可以看成一个矢量 T 的直角分量，该矢量的量值和方向是固定在物体中的，和座标轴的方向无关。对于 t1、t2、t3 也有相同的情况，他们是另一个矢量 t 的分量。

矢量 T 和 t 的方向通常并不一致。

现在让我们把 z 轴取成和矢量 T 相重合，并相应地变换电阻方程。这时他们的形式将是

X = R1u + S3v + S2 w - tv， 

Y = S u + R v + S w + Tu，(23)

3 2 1 

Z = S2 u + S1v + R3w。 

由这些方程看来，我们可以把电动强度看成两个力的合力；其中一个力依赖于各系数 R 和 S，而另一个力则只依赖于 T，依赖于 R 及 S 的分力和电流的关系，与椭球切面的垂线和矢径的关系相同。另一个依赖于 T 的分力等于 T 和垂直于 T 的电流分量的乘积，其方向垂直于 T 和电流，并永远指向电流分量沿正方向绕 T 转动 90°时所指的方向。

如果我们把电流和 T 都看成矢量，由 T 引起的电动强度分量就是乘积“TX 电流”的矢量部分。

系数 T 可以叫做“旋转系数”。我们有理由相信它在任何已知的物质中都是不存在的。如果存在的话，它应该在一些磁体中被找到，那些磁体有一种沿着一个方向的也许是由物质内的旋转现象所引起的极化①。

304.〕于是，假设不存在任何旋转系数，我们就将指明可以怎样对在第 100a-100e 节中给出的汤姆孙定理进行推广，来证明电流在给定时间内在一个体系中产生的热量是一个唯一的极小值。

为了简化代数计算，设座标轴选得可以把表示式(9)简化为三项，而且在现有的事例中也把表示式(10)简化为三项；然后让我们考虑这时简化为

d ² V

¹ dx²

d² V

+ r

dy ²

+ r3

d² V

dz²

= 0. (24)

的普遍特征方程(16)。

① 见 Thomson and Tait's Natural Philosophy,§154.

① {霍耳先生关于磁性对永久电流的作用的发现(Phil.Mag.ix.p.225;x.p.301,1880)，可以用一种说法来描述，即放在磁场中的一个导体有一个旋转系数。参阅霍普金孙(Phil.Mag.x.p.430,1880)。}

另外，设 a、b、c 是 x、y、z 的满足条件

da + db + dc = 0; (25)

dx dy dz

的三个函数，并设

a = -r

dV + u， 

1 dx 

b = -r dV + v， dy

c = -r dV + w. 

(26)

最后，设三重积分

³ dz 

W = ∫∫∫ (R 1a ² + R 2 b² + R3c³ )dxdydz (27)

遍及于一个空间，该空间的边界如第 100a 节所述；也就是说，在某些部分上，V 是常量而在另一些部分上矢量 a、b、c 的法向分量已经给定，而且前一个条件还附加着一个限制，即这一分量在整个边界面上的积分应为零。于是，当

u=0，v=0，w=0

时 W 将是一个极小值。

因为，我们在这一事例中有

r1R1=1，r2R2=1，r3R3=1；

从而由(26)即得

W = ∫∫∫

(r1

² +r2

² +r3

² )dxdydz +

∫∫∫ (R1u² + R 2 v² + R3 w ² )dxdydz

－2∫∫∫ (u dV + v dV + w dV )dxdudz. (28)

dx dy dz

但是既然

du + dv + dw = 0，

(29)

dx dy dz

第三项就因为积分限上的条件而等于零。

因此(28)式中的第一项就是 W 的唯一的极小值。

1. 〕由于这一定理在电学理论中有很大的重要性，在不用分析运算的形式下给出下述最普遍事例的证明就可能是有用的。

让我们考虑电通过一个任意形状的、均匀或不均匀的导体的传播情

况。

这时我们知道：

1. 如果我们沿着路径并沿着电流的方向画一条线，则这条线必然从

高势的地方引向低势的地方。

1. 如果体系各点的势按一个给定的均匀的比例而变化，则按照欧姆定律，电流也将按相同的比例而变化。

2. 如果某种势分布引起某种电流分布，而第二种势分布引起第二种

电流分布，则其势为第一种和第二种分布中的势之和或差的第三种势分布将引起第三种电流分布，而这种分布通过给定有限曲面的总电流将等于在第一种和第二种分布中通过该曲面的总电流之和或差。因为，由欧姆定律， 由于势的改变所引起的附加电流是和由原有势分布所引起的原有电流无关的。

1. 如果势在整个一个闭合曲面上是常量，而且曲面内没有任何的电极或内禀电动势，则闭合曲面内部不会有电流，而其内部各点的势将等于曲面上的势。

假如闭合曲面中有电流，则电流必然或是形成闭合曲线，或是其起点和终点都位于曲面之内或之上。

但是，既然电流必须从高势处流到低势处，它就不能形成闭合曲线。既然曲面内没有任何电极，电流的起点和终点就不可在闭合曲面之

内，而既然曲面上各点的势都相同，也不可能有任何电流沿着从曲面上一点到另一点的线而流动。

由此可见曲面内部没有任何电流，从而也不可能有任何势差，因为这样一个势差将引起电流，而因此闭合曲面内的势就到处都和曲面上的势相同。

1. 如果没有任何电流通过一个闭合曲面的任何部分，而又没有任何电极或内禀电动势位于曲面之内，则曲面内部将没有电流，而势将是均匀的。

我们已经看到，电流不能形成闭合曲线或是起始或终止于曲面之内， 而既然根据假设它又不通过曲面，那就不可能有任何电流，从而势就是不变的。

1. 如果势在一个闭合曲面的一部分上是均匀的，而曲面的其余部分上又没有电流通过，则根据相同的理由可知势在曲面内部将是均匀的。

2. 如果一个物体的一部分表面的每一点上的势为已知，而在其余部分表面的每一点上通过的电流为已知，则物体内部各点上只能存在一种势分布。

因为，假若在物体内的任一点上可以有两个不同的势值，设在第一种事例中为 V1 而在第二种事例中为 V2，并且让我们设想第三种事例，那时物体每一点的势是第一、二两种事例中的势的差值。那么，在势为已知的那一部分表面上，第三种事例中的势将是零，而在所通过的电流为已知的那一部分表面上，则第三种事例中的电流将为零，于是由(6)可知，曲面内到处的势都将是零，或者说 V1 和 V2 并无差值。因此就只有一种可能的势分布。这一定理是对的，不论固体是以一个还是以若干个闭合曲面为其边界面。

一个形状给定的导体的电阻的近似计算

1. 〕这里考虑的导体，其表面被分成三部分。在其中第一部分上， 势被保持为一个常量。在第二部分上，势有一个不同于第一部分上的值的常量值。表面的整个其余部分都不允许电通过。我们可以假设第一部分和第二部分上的条件是通过在导体上加了两个用理想导电材料做成的电极来满足的，而其余表面上的条件则是通过用一种完全不导电的材料盖住它来

满足的。

在这些条件下，导体任何部分的电流将简单地正比于两个电极之间的势差。把这个势差称为电动势，从一个电极到另一个电极的总电流就等于电动势和整个导体的电导的乘积，而导体的电阻就是电导的倒数。

只有当一个导体近似地处于上述这样的条件下时，它才能被说成有一个确定的整体电阻。两头接在大铜块上的用细导线绕成的线圈就近似地满足这些条件，因为大电极中的势差不多是常量，而同一电极上各点之间的任何势差和二电极之间的势差比起来是可以忽略不计的。

计算这样的导体的电阻的一种很有用的方法，据我所知是由瑞利勋爵最初在一篇论文“关于共振理论”①中提出的。这是建筑在下面的想法上的。

如果导体任一部分的比电阻被改变而其余部分的比电阻保持不变，则整个导体的电阻将变大，如果该部分的电阻是增大了的，而整个导体的电阻将变小，如果该部分的电阻是减小了的。

这一原理可以认为是不言而喻的，但是可以很容易地证明，一个导体组在取为电极的二点之间的电阻表示式的值，是随着组内每一导体电阻的增加而增加的。

由此可以推知，如果在导体物质中画一个任意形状的曲面，而且进一步假设这个曲面是一个由理想导电物质构成的无限薄的层，则整个导体的电阻将减小，除非曲面是导体在自然状态下的一个等势面；在后一情况下， 把该面做成理想导体不会产生任何效应，因为它已经是处于平衡的了。

因此，如果我们在导体内部画出一系列曲面，其中第一个曲面和第一个电极相重合，其最后一个曲面和第二个电极相重合，而中间的各曲面以导体的不导电表面为边界，而且并不相交，另外，如果我们假设这些曲面中的每一个曲面都是一个无限薄的理想导电层，我们就将得到一个体系， 其电阻肯定不大于原有导体的电阻，而且只有当我们所选的那些曲面是自然等势面时，该体系的电阻才等于原有导体的电阻。

计算人为体系的电阻是比原有问题容易得多的一种运算。因为整体电阻就是包括在相邻曲面之间的所有各物质层的电阻之和，而每一物质层的电阻可以求出如下：

设 dS 是物质层表面的一个面积元，v 是层的垂直于面积元的厚度，ρ 是比电阻，E 是完全导电曲面之间的势差，而 dC 是通过 dS 的电流，于是就有

而通过物质层的总电流就是

dC = E

1 dS，(1)

ρv

C = E 1 dS，(2)

ρv

积分遍及以导体的不导电表面为其边界的整个物质层。由此可见，物质层的电导就是

D = ∫∫ 1 dS， (3)

E ρv

① Phil.Trans.,1871,p.77.见第 102a 节。

而物质层的电阻是这个量的倒数。

如果物质层是以两个曲面为其边界面的，而函数 F 在该二曲面上的值分别是 F 和 F+dF，则有

dF dF dF dF ¹

= ΔF = [( )² + ( ) ² + ( ) ² ] 2 ，

(4)

v

而该层的电阻就是

dx dy dz

为了求出整个人为导体的电阻，我们只要对 F 求积分，于是就得到

自然状态下的导体的电阻大于如此求得的值，除非我们所选的曲面全部都是自然等势面。另外，既然 R 的真实值是各个 R1 值的绝对最大值，它就可以这样来求出：所选可曲面对真实等势面的微小偏离，将引起 R 的一个比较小的误差。

这种确定电阻值下限的方法显然是完全普遍的，而且是可以应用于任何形状的导体的，即使比电阻ρ是在导体内以任意方式变化的也无妨。

最熟知的例子就是确定变截面直导线的电阻的普通方法。在这一事例中，所选的各面是一些垂直于导线轴的平面，各物质层具有平行的表面， 而截面为 S、厚度为 ds 的层的电阻就是

dR1

= ρds ，

S

(7)

而长度为 s 的整个导线的电阻就是

R1 = ∫

ρds ，

S

式中 S 是横截面，而且是 s 的函数。

在导线的截面随长度而缓慢变化的事例中，这一方法给出的结果和真实值很接近，但结果其实只是一个下限，因为真实的电阻永远大于这种结果，截面完全均匀的事例除外。

1. 〕为了求出电阻的上限，让我们假设在导体中画出的一个曲面被弄成不导电的。此事的效应必然是增大导体的电阻，除非该曲面是自然电流面之一。借助于两组曲面，我们可以形成一组管子，他们将完全限定电流，而这些不导电曲面的效应，如果有任何效应的话，将是使电阻超过它的自然值。

每一根管子的电阻，可以用已经给出的计算细导线电阻的办法来计算，而整个导体的电阻是所有各管电阻倒数之和的倒数。这样求出的电阻大于自然电阻，除了各管和自然流线相一致时以外。

在已经考虑过的事例中，导体的形状是一个拉长了的旋转体；让我们沿物体的轴来测量 x，并设任一点上的截面半径为 b。设一组非导电曲面是通过轴线的一些平面，对其中每一个平面来说φ是不变的；设另一组曲面是一些旋转曲面，其方程是

y² = ψb ² ，(9)

式中ψ是介于 0 和 1 之间的一个数字。

让我们考虑由各面φ和φ+dφ、ψ和ψ+dψ、x 和 x+dx 限定的一个管子的一段。

垂直于轴线的管子截面是

ydydφ = 1 b ²dψdφ．

2

如果θ是该管和轴线之间的夹角，则有

¹ db

(10)

tan θ = ψ 2 ．

dx

(11)

管子的元段的真实长度是 dxsecθ，而其真实截面积是

1 b ²dψdφ cos θ

2

因此它的电阻是

2ρ dx

sec ²θ = 2ρ

dx (1 + ψ

² )．

(12)

b² dψdφ

令

b² dψdφ

A = ∫  ρ dx，并且B = ∫   ρ ( db )² dx，

(13)

b ² b² dx

积分遍及导体的全部长度 x，则管 dψdφ的电阻是

而其电导是

2

dψdφ

(A + ψB)．

dψdφ

2(A + ψB) ．

整个导体的电导是各管电导之和。为了求出这一电导，我们必须把此式从φ=0 积分到φ=2π，并从ψ=0 积分到ψ=1。结果是

1 = π (1 + B)， (14)

R′ B A

这一结果可以小于但不能大于导体的真实电导。

当 db 永远是一个小量时， B 也将很小，从而我们可以把这个电导

dx

表示式展开，于是

1 π

A

1 B 1 B²

1 B³

R′ = A (1－ 2 A + 3 A2 － 4 A3 + )．

(15)

此式第一项， π ，就是我们用以前的方法所应得到的电导的上限。

A

因此，真实的电导就小于第一项而大于整个的级数。电阻的上限就是此式的倒数，或者说

A 1 B 1 B² 1 B³

R′ =

π (1 + 2 A － 12 A² + 24 A³ －

) ． (16)

如果除了认为电流受到各曲面φ和ψ的限制以外还假设通过每一根管子的电流和 dψdφ成正比，我们就将得到这一附加约束下的电阻值

R′′ = 1 (A + 1 B) ①，(17)

π 2

此值显然大于上一值，而由于附加的约束，这也是理所当然的。在瑞利勋爵的论文中这就是所作的假设，而文中给出的电阻上限就具有(17)的值， 它比我们在(16)中得到的稍大一些。

1. 〕我个现在必须应用相同的方法来求出当一个半径为 a 的圆柱导体的一端和一个很大的电极相接时必须对导体的长作出的改正量。这时我们可以假设电极是用另一种金属制成的。

为了得到电阻的下限，我们可以假设有一个无限薄的用理想导电物质制成的圆片被放在圆柱的一端和大块电极之间，以便使圆柱的端面上具有一个到处相同的势。于是圆柱内部的势将只是它的长度的函数，而且，如果我们假设电极和圆柱接触的部分近似地是平面，而且它的一切线度都比圆柱的直径大得多，则势的分布将是由放在无限媒质中的一个圆盘形导体所引起的那种势分布。见第 151、177 节。

如果 E 是圆片和电极最远部分之间的势差，C 是从圆片的表面出发而进入电极中的电流，而ρ′是电极的比电阻，那么，如果 Q 是我们将假设为像在第 151 节中那样分布在圆片上的电量，我们就看到，电动强度在圆上的积分是

ρ′C = 1 ·4πQ = 2π aE ，据第151节

2 π

2

= 4aE． (18)

因此，如果从一点到电极的导线长度是 L，而导线的比电阻是ρ，则从该点到电极上不靠近接触面的任何一点的电阻是

R = ρ L + ρ′ ，

πa ² 4a

而且此式可以写成

R = ρ (L + ρ′ πa)，(19)

πa 2 ρ 4

此处括号中的第二项就是在计算一根圆柱或导线的电阻时必须加在它的长度上的一个量，而这肯定是一个微不足道的改正量。

为了理解主要误差的本性，我们可以注意，尽管我们曾经假设导线中的电流直到圆片为止是在整个截面上均匀分布的，但是从圆片到电极的电流却不是均匀分布的，而是在任一点上都反比于通过该点的最短弦的(第151 节)。在实际情况下，通过圆片的电流将不是均匀的，但它也不像所假设的情况一样从一点到一点变化得那么快。实际情况下的圆片的势将不是均匀的而是从中间到边沿逐步减小。

1. 〕其次我们将通过把圆片中的电流约束成各点均匀来确定一个大于真实电阻的量。我们可以假设，为此目的而引入的电动势是垂直于圆片的表面而作用着的。

导线中的电阻将和以前相同，但是电极中的发热率将是电流和势的乘

① Lord Rayleigh,Theory of Sound,ii.p.171.

积的面积分。任何一点的流动率将是

表面的势相同，此处

C

πa ²

，而势将和面密度为σ的带电

2πσ = Cρ′ ， (20)

πa ²

ρ′是比电阻。

因此我们必须确定圆片均匀地带有面密度为σ的电荷时的势能。

①密度σ均匀的一个圆片的边沿上的势，很容易求出为 4aσ，在圆片边沿上增加宽度为 da 的一条时所作的功是 2πaσda.4aσ，而圆片的总势能就是此式的积分，或者说是

P = 8π a ³σ ² ． (21) 3

在电传导的事例中，电阻为 R′的电极中的功率是 C2R′。但是，由普遍的导电方程可知，穿过圆片的单位面积的电流应是

• 1 dV

ρ′ dv

2π

或 ρ′ σ．

如果 V 是圆片的势而 ds 是它的面积元，则功率

= C Vds = 2C P ，因为P = 1

Vσds，

πa2 ∫ πa 2 σ 2 ∫

= 4π P（据(20)）。

ρ′

因此我们就有

C² R′ = 4π P，

ρ′

(22)

于是，由(20)和(21)即得

R′ = 8ρ′ ，

3π² a

而必须加在圆柱长度上的改正量就是

ρ′ 8 a，

ρ 3π

这个改正量大于真实值。因此，必须加在长度上的改正量是 ρ′ an，

ρ

n π 8

是一个数字，介于 4 和 3π 之间，或者说介于0.785和0.849之间。

①利用二级近似，瑞利勋爵曾经把上限减小到 0.8282。

① 见 Cayley 教授的论文，London Math.Soc.Proc.vi.p.38.VOL.I.

① Phil.Mag.Now.1872，p.344.随后瑞利勋爵得到了 0.8242 作为上限。参阅 London Math.Soc.Proc.vii.p.74，并见 Theory of Sound,vol.ii.Appendix A.p.291.

第九章

不均匀媒质中的导电

关于在两种导电煤质的分界面上必须满足的条件

1. 〕有两个条件是电流分布必须普遍满足的，即势必须连续的条件和电流的“连续性”条件。

在两种媒质的分界面上，第一个条件要求分界面两侧相距无限近的两个点上的势应该相等。这里所说的势，应理解为借助于一个用给定金属制成的电极而接在所给点上的一个静电计所测得的势。如果势是用第 222、246 节所描述的那种把电极放在金属中一个充有空气的空腔中的办法来测量的，则如此测得的靠近不同金属的点上的势将相差一个量，该量依赖于两种金属的温度和种类。

界面上的另一个条件是，通过任一面积元的电流当在两种媒质中测量时应该相等。

于是，如果 V1 和 V2 是两种媒质中的势，则在分界面的任一点上，有

v1=v2，(1)

而且，如果 u1、v1、w1 和 u2、v2、w2 是两种媒质中的电流分量，而 l、m、n 是分界面法线的方向余弦，则有

u1l + v1m + w1n = u2l + v2 m + w 2 n．

(2)

在最普遍的事例中，各分量 u、v、w 是 V 的导数的线性函数，其形式由方程

u = r1X + p3Y + q² Z， 



v = q 3X + r2Y + p1Z， 

w = p2 X + q1Y + r3Z，

(3)

来给出，此处 X、Y、Z 分别是 V 对 x、y、z 的导数。

让我们考虑一种分界面的事例，分界面一侧的媒质具有这些电导系数，而其另一侧则是电导系数等于 r 的一种各向同性的媒质。

设 X＇、Y＇、Z＇是各向同性媒质中的 X、Y、Z 的值，于是我们在分界面上就有

V=V'，(4)

或 Xdx+Ydy+Zdz=X'dx+Y'dy+Z'dz，(5) 当 ldx+mdy+ndz=0.(6)

这一条件导致X'=X+4πσl，Y'=Y+4πσm，Z'=Z+4πσn，(7)

式中σ是面密度。

在各向同性媒质中，我们还有

u'=rZ'，v'=rY'，w'=rZ'，(8) 从而分界面上的电流条件就是

u'l+v'm+w'n=ul+vm+wn，(9)或 r(lX+mY+nZ+4πσ)

=l(r1X+p3Y+12Z)+m(q3X+r2Y+p1Z)+n(p2X+q1Y+r3Z)，(10)

由此即得

4πσr={l(r1－r)+mq3+np2}X+{lp3+m(r2－r)+nq1}Y+{lq2+mp1+n(r3－ r)}Z. (11)

量σ代表分界面上的电荷面密度。在结晶的和有结构的物质中，它依

赖于分界面的方向和垂直于分界面的力。在各向同性物质中，系数 p 和 q 是零而各个系数 r 都相等，从而就有

4πσ = ( r1 －1)(lX + mY + nZ)． (12) r

式中 r1 是物质的比电导，r 是外部媒质的比电导，而 l、m、n 是向着比电导为 r 的媒质画出的法线的方向余弦。

当两种媒质都为各向同性时，条件可以大为简化，因为，如果 k 是单

位体积的比电阻，就有

u = − 1 dV ，v = − 1 dV ，w = − 1 dV ， (13)

k dx

k dy

k dz

从而如果 v 是分界面任一点上从第一种媒质向第二种媒质画的法线，则连续性条件是

1 dV1

k1 dv

= 1 dV2 ．

k 2 dv

(14)

如果θ1 和θ2 分别是第一种媒质和第二种媒质中的流线和分界面法线所夹的角，则这些流线的切线和该法线位于同一平面上，且在法线的两侧， 而且有

k1tanθ1=k2tanθ2．(15)

此式可以叫做流线的折射定律。

311.〕作为电在穿越两种媒质的分界面时所必须满足的条件的例子， 让我们假设分界面是半径为 a 的球面，球面内、外的比电阻为 k1 和 k2。

设把球面之内和之外的势能都按体谐函数展开，并设其依赖于面谐函数 Si 的部分在球面之内和之外分别是

V1 = (A 1r ⁱ + B1r ^-(i+1) )Si ，

V2 = (A 2 r ⁱ + B2 r ^{-(i +1)} )Si ，

在分界面上，r=a，我们应有

(1)

(2)

1

V1 = V2 ，和

1

dV1 dr

= 1 dV2 ．

k 2 dr

(3)

由这些条件式，我们得到方程

(A1－A 2

)a ²ⁱ⁺¹ + B －B

= 0， 



( 1 A −

k1

1 A )ia²ⁱ⁺¹ − ( 1

2 k1

B1 −

2

B )(i + 1) = 0．



(4)

当我们知道了四个量 A1、A2、B1、B2 中的两个量时，这些方程就足以导出其余的两个量。

让我们假设 A1 和 B1 是已知的，于是我们就得到 A2 和B2 的下列表示式，

{k (i + 1) + k i}A + (k − k )(i + 1)B a^{( −2i+1)} 

A = 1 2 1 1 2 1 ，

k1 (2i + 1)

(k₁ − k₂ )iA ₁a²ⁱ⁺¹ {k₁i + k ₂ (i + 1)}B₁

 (5)



B2 =

k1 (2i + 1) 

用这种办法，我们可以针对由同心球面分成的任意多层媒质来求出势的谐函数展式中每一项所必须满足的条件。

312.〕让我们假设第一个球面的半径是 a1，并设有第二个球面，其半径 a2 大于 a1，而在这个球面以外，比电阻是 k2。如果在这些球面内没有电荷的正负源头，那就不会有 V 的无限值，从而我们将有 B1=0。

于是我们就求得外面媒质中的系数 A3 和 B3 的表示式

A3 k1k2 (2i + 1)² = [{k1 (i + 1) + k2 i}{k2 (i + 1) + k3i}



+i(i + 1)( k − k )(k − k )( a1 ) ^2i_1 ]A ， 

1 2 2 3 1

2

 (6)

B k k

(2i + 1) ² = [i( k − k ){k (i + 1) + k i}a

2i+1 

3 1 2

2 3 1 2 2 

+i(k − k ){k i + k (i + 1)}a ²ⁱ⁺¹]A ． 

1 2 2 3 1 1 

外部媒质中的势值，部分地依赖于外部的电源，这种电源独立于内部不均匀物质球的存在而引起电流，而同时势值也部分地依赖于引入不均匀球而造成的干扰。

第一部分必然只依赖正阶次的体谐函数，因为它不可能在球内有无限值。第二部分必然依赖于负阶次的体谐函数，因为它在距球心无限远处必须为零。

由此可见，由外电动势引起的势必须展成正阶体谐函数的级数。设 A3 是形如

A3Siri

的一个体谐函数的系数。于是我们就就能由(6)求得内球的对应系数 A1， 并由此导出 A2、B2 和 B3。在这些系数中，B2 代表由于引入不均匀球而对外部媒质中的势所造成的影响。

现在让我们假设 k3=k1，于是情况就变成，一个 k=k2 的中间球壳把 k=k1

的一种媒质分成了内外两部分。如果我们令

C =

(2i + 1) ² k k

1

+ i(i + 1)( k

− k )² (1 − ( a1 ) ²ⁱ⁺¹ )

就得到

1 2 2 1

2

A 1 = k1k 2 (2i + 1) ² CA 3， 



A 2 = k2 (2i + 1)( k1(i + 1) + k 2i)CA3， 

B = k i(2i + 1)( k

• k )a

2i+1CA ，

 (7)

2 2 1 2 1 3 

B3 = i(k 2 − k1 )( k1(i + 1) + k 2i)(a 2 2i+1 − a ^2i+a )CA3 ． 

1 

未受干扰的系数 A3 和它在壳内部的值 A1 之差是

A －A = (k - k ) ² i(i + 1)(1 - ( a1 ) ²ⁱ⁺¹ )CA ．

(8)

3 1 2 1 3

2

既然不论 k1、k2 的值是什么这一差值都永远和 A3 同号，那就可以知道，不论球壳的导电性能比其余媒质的性能是好还是坏，球壳所占据的空间中的电作用都是比没有球壳时更弱一些的。如果球壳是比其余其质更好的一个导体，它就倾向于使内球各点的势变为相等。如果它是一个较坏的导体，它就倾向于阻止电流达到内球。

实心球的事例可以通过令 a=0 而由此事例推得，它也可以独立地被算

出。

1. 〕谐函数展式中最重要的项是 i=1 的那一项，对该项来说有

C =

9k k

+ 2(k

1 ， 

− k ) ² (1 − ( a1 ) ³ ) 

1 2 2 1 

2 

A 1 = 9k1k 2 CA3 ，A 2 = 3k2 (2k1 + k 2 )CA3 ，

B = 3k (k − k )a ³CA ， 

2 2 1 2 1 3 

B3 = (k 2 − k1 )(2k1 + k2 )(a 23 − a ³ )CA3． 

比电阻为 k2 的实心球的事例可以通过令 a1=0 而从此式推出，于是我们就有

A 2 =

3k 2

k1 + 2k2

A 3 ，B2

= 0，





B = k 2 − k1

a ³A ． 

k1 + 2k2 

很容易由普遍表示式证明，在由电阻为 k2 的球壳包围的电阻为 k1 的球核的事例中，B3 的值和电阻为 K 而具有外球半径的一个均匀实心球的事例中的值相同，此处

(2k + k )a ³ + ( k − k )a ³

K = 1 2 2 1 2 1 k2 ．

(2k + k )a ³ − 2(k − k )a ³

1 2 2 1 2 1

1. 〕设有几个半径为 a1 而其比电阻为 k1 的球放在一种比电阻为 k2

   的媒质中，各球相距较远，以致他们对电流路线的干扰效应可以看成是相互独立的，那么，如果所有这些球都包括在一个半径为 a2 的球中，则离此球心很大距离 r 处的势将有如下的形式。

式中 B 的值是

V = (Ar + nB

1 ) cosθ， (12)

r 2

B = k1 − k 2

a ³A．

(13)

2k1 + k2

n 个小球的体积和包围他们的大球体积之比是

na ³

p = ¹ ． (14)

3

2

因此，离球很远处的势的值可以写成

V = A(r + pa ³

k1 − k 2

1 ) cosθ． (15)

² 2k + k r 2

1 2

喏，假如半径为 a2 的整个球都是用一种比电阻为 K 的材料制成的，我们就将得到

V =  3

K − k 2 1 

Ar + a2 2K + k r 2 cosθ．

(16)

 2 

为了使一个表示式和另一个表示式相等价，应有

K = 2k1 + k 2 + p(k1 − k 2 ) k

． (17)

2k + k − 2p(k − k ) ²

1 2 1 2

因此这就是一种组合媒质的比电阻，该媒质包括一种比电阻为 k2 的媒质，里边分散着一些比电阻为 k1 的小球，所有小球的体积和整个球的体积之比是 p。为了使这些球的作用可以没有依赖于他们的干涉的效应，他们的半径应该比他们的距离小得多，从而 p 必然是个很小的分数。

这一结果也可以用别的方法来求得，但是此处给出的求法只重复了已经得到的关于单一球的结果。

当各球之间的距离并非远大于他们的半径而且

k1 − k 2

2k1 + k 2

也相当大

时，结果中就会出现一些其他的项；我们现在不考虑那些项。由于这些项的存在，各球的某些分布方法将使组合媒质的电阻在不同方向上有不同的值。

电像原理的应用

315.〕作为例子，让我们考虑由一个平界面分开的两种媒质，并且让我们假设有一个电的源头位于第一种媒质中，离分界面的距离是 a，单位时间内从源头流出的电量是 S。

假若第一种媒质是无限延伸的，任一点 P 上的电流就将沿着 SP 方向

的，而P点的势则将是 E ，此处E = Sk1 ，而r = SP。

r1 4π

在实际事例中，各条件可以通过在第二种媒质取 S 的一个像来加以满足，此时 IS 垂直于分界面并被该面所平分。设 r2 是任一点离开 I 的距离， 则在分界面上有

r1=r2，(1)

dr1 = － dr2 ．

(2)

dv dv

设第一种媒质中任一点的势 V1 是由放在 S 点上的一个电量 E 和放在I 点上的一个电量 E2 所引起的，而第二种媒质中任一点的势 V2 是由放在 S 上的像电量 E1 所引起的，那么，如果

V = E + E2 而 V = E1 ，

(3)

1 r2 r1

则边界条件 V1=V2 给出

而条件

E+E2=E1，(4)

则给出

1 dV1

k1 dv

= 1 dV2

k 2 dv

(5)

1 (E－E ) = 1 E ，

(6)

2 1

1 2

由此即得

E = 2k 2

E，E = k2 − k1 E．

(7)

k1 + k 2 k1 + k 2

因此，第一种媒质中的势就是由 S 处的电荷 E 和 I 处的电荷 E2 按照静电理论而即将在空气中引起的势，而第二种媒质中的势则是由 S 处的电荷E1 所将在空气中引起的势。

第一种媒质中任一点上的电流和该媒质为无限时由源头 S 和放在 I 处

的源头 k 2 − k1 S所引起的电流相同，第二种媒质中任一点上的电流和该k1 + k2

媒质为无限大时由放大S处的源头

2k 2S

(k1 + k 2 )

所起的电流相同。

于是，在由平面边界分开的两种媒质的事例中，我们就有一种完备的电像理论。不论第一种媒质中有些什么性质的电动势，他们在第一种媒质中引起的势都可以通过把他们的直接效应和他们的像的效应结合起来而得出。

如果我们假设第二种媒质是一种理想导体，则 k2=0，而 I 处的像就和S 处的源头相等并异号。这就是汤姆孙静电理论中的那种电像的事例。

如果我们假设第二种媒质是一种理想绝缘体，则 k2=∞，而 I 处的像

就和 S 处的源头相等并同号。这就是流体运动学中当流体以一个刚性平面为界面时的像的事例①。

1. 〕在分界面被假设为一个理想导体的表面时非常有用的反演法， 是不能应用于比电阻不相等的两种导体的分界面的更普遍事例的。然而， 二维空间中的反演法却是适用的，正如在第 190 节中给出的更普遍的变换法一样②。

分隔两种媒质的平板中的导电

① ｛类似的考虑将给出由放在一种电介质中的 S 点上的一个电荷所引起的电场，该电介质的比感本领是 K1，由一个平面和比感本领为 K2 的另一种电介质分平。在这一事例中，如果电荷＝K1E 而 K1k1

＝1＝K2k2，则正文中的 V1 和 V2 将表示势。｝

② 参阅 Kirchhoff,Pogg.Ann.lxiv.497,and lxvii.344;Quincke,Pogg.revii.382;Smith,Proc.R.S.Edin．,1869- 70,p.79.Hozm(ller,Einfuhrung in die Theoris der isogonalen Verwandschaften, Leipzig,1882.Guebhard, Journal de Physique,t.i.p.483,1882.W.G.Adams,Phil.Mag.iv.50,p.548,1876;G.C.Foster and O.J.Lodge,Phil.Mag.iv.49,pp.385,453;50,p.475,1879 and 1880;O.J.Lodge,Phil.Mag.(5),i.373,1876.

1. 〕其次让我们考虑一种厚度为 AB 的平板媒质，其比电阻为 k2； 它分隔开两种媒质，其比电阻为 k1 和 k2；设在第一种媒质｛k2｝中有一个源头 S，试考虑其在该媒质中引起的势的改变。

图 24.

势将等于由一系列电荷引起的势，各电荷放在通过 S 的平板法线上的某些点上。

令 AI=SA，BI1=SB，AJ1=I1A，BI2=J1B，AJ2=I2A，等等，我们就有一系列

点，彼此之间的距离等于平板厚度的两倍。318.〕第一处媒质中任一点 P 上的势是

E + I

PS PI

+ I1

PI1

+ I 2 + PI2

，(8)

在第二种媒质中的一点 P＇上，

E′

P′S

+ I ′

P′I

+ I ′

P′I₁

+ I ′2 P′I₂

+ + J1′ P′J₁

+ J ′2 + ，

P′J ₂

(9)

在第三种媒质中的一点 P″上，

E′ +

P′′S

J ′

P′′J₁

• J 2

P′′J ₂

， (10)

式中 I、I′等等代表放在 I 等点上的假想电荷，而撇号表示势是要在平板内部取的。

于是，按照第 315 节，我们由关于通过 A 点的分界面的条件就得到

I = k 2 − k1 E ，E′ = 2k 2 E． (11)

k 2 + k1 k 2 + k1

对于通过 B 点的分界面，我们有

I ′ = k2 − k2

E′，E′′ = 2k 3

E′．(12)

k 3 + k 2 k 2 + k 3

同样，又是对于通过 A 点的分界面，

I ′ = k1 − k 2 I′ ，I = 2k1

I ′，

(13)

k1 + k 2 k1 + k 2

而对于通过 B 点的分界面则有

I ′ = k 3 − k 2 J

′ ，J

= 2k 3

J ′ ．

(14)

如果令

k 3 + k 2 k 3 + k2

ρ = k1 − k 2 ，ρ′ = k3 − k 2 ，

k1 + k 2 k3 + k 2

则我们得到第一种媒质中的势的表示式如下，

V = E PS

- ρ E

PI

+ (1 - ρ² )ρ′

E PI1

+ ρ′(1- ρ² )ρρ′

E + PI2

+ρ′(1 − ρ² )(ρρ′) ⁿ⁻¹

E

PI n

+ (15)

关于第三种媒质中的势，我们得到

 1 ρρ′ (ρρ′)

V = (1 + ρ′)(1 − ρ)E PS + PJ + + PJ +



． ①(16)

 1 n 

如果第一种媒质和第三种媒质相同，则有 k1=k3 和ρ=ρ′，而平板另一侧的势就将是

₂  1 ρ²

ρ² 

V = (1 − ρ

)E PS + PJ

+ + +

PJ n

． (17)



如果平板是比其余媒质好得多的导体，则ρ很近似地等于 1。如果平

板几乎是一种理想绝缘体，则ρ近似地等于-1，而如果平板在导电性能上和其余的媒质相差很小，则ρ是一个正的或负的小量。

这一事例的理论是由格林在他的《磁感应理论》(Essay,p.65)中首次给出的。然而他的结果只有当ρ近似地等于 1 时才是正确的①。他所引用的量 g 是由下列方程来和ρ相联系的：

g = 2ρ =

3 − ρ

k1 − k 2

k1 + 2k2

，ρ =

3g 2 + g

= k1 + k 2 ．

k1 + k 2

如果令ρ = 2πκ

1+ 2πκ

，我们就将得到一个磁感应问题的解，那种磁感

应是由放在磁化系数为 k 的无限平板中的一个磁极所引起的。

论层状导体

1. 〕设一个导体是由导电系数不同的两种物质的交替层构成的，物质层的厚度为 c 和 c＇。要求的是组合导体的电阻系数和电导系数。

设各层的平面垂直于 z。设和第二种层有关的符号用撇号来区分，并

用横线来标明和组合导体有关的量，例如X。于是就有

X = X = X′，(c + c′)u = cu + c′u′， Y = Y = Y′，(c + c)v = cv + c ′v′； (c + c)Z = cZ + c′Z′， w = w = w ′．

首先我们必须根据第 297 节中的电阻方程或第 298 节中的电导方程，

把u、u＇、v、v＇、Z和Z＇用X、Y和w表示出来。如果用D代表电阻系

系数的行列式，我们就得到

ur3D = R2 X − Q 3 Y + wq 2 D， vr3D = R1 Y − P3 X + wp1D， Zr3 = −p2 X − q1 Y + w．

各符号加了撇号的类似方程就给出 u＇、v＇和 z＇的值。既经借助

① ｛这些表示式可以利用关系式 来简化为定积分，式中 J0 代表零阶贝塞耳函数。由此可见，如果我们把 S 取作座标原点，而把平板的法线取作 x 轴，就有 式中 c 是平板的厚度， 等等。把这些值代入(15)中，我们就看到 V 等于 当 y＝0、x＝2nc 而 n 为整数时，此式的值很容易求出。｝

① 见 Sir W.Thomson’s‘Note on Induced Magnetism in a Plate,’Camb. 和 Dub.Math.Journ,Nov.1845,或Reprint,art.ix.§156.

于X、Y和Z求出u、u和w，我们就可以写出分层导体的电导方程。如

果令h = c

r3

和h＇ =

c′

′ ，我们就得到

3

hp₁ + h′p^′ hq + hq ^′

p1 =

1

h + h′

，q1

= 1 1 ，

h + h′

hp₂ + hp ^′ hq + h′q ^′

p2 −

2

h + h ′

，q 2

= 2 2 ，

h + h′

cp3 + c′p ′3 hh′(q1 − q^′ )(q2 − q^′ )

p3 =

1 2

c + c′ − (h + h′)(c + c′) ，

cq3 + cq3 hh′(p1 − p^′ )(p2 − p^′ )

q 3 =

c + c′ − ，

1 2

(h + h′)(c + c′)

cr1 + c′r1′ h′h( p2 − p^′ )(q 2 − q^′ )

r1 =

2 2

c + c′ − (h + h′)(c + c′) ，

r 2 = cr2 + c′r2′ −

c + c′

h′h( p1 − p^′ )(q1 − q^′ )

(h + h′)(c + c′)

r 3 =

c + c′ ．

h + h′

1. 〕如果构成各层的两种物质都不具备第 303 节的那种旋转性，则

任一 P 或 p 的值将等于和它对应的 Q 或 q 的值。由此可以推知，在分层导体中也有

p1 = q1，p 2 = q 2 ，p 3 = q3 ，

或者说，层化并不会造成任何的旋转性，除非单纯材料的一种或两种具备这种旋转性。

1. 〕如果我们现在假设并不存在任何旋转性，而且 x、y、z 轴是主轴，则 p 系数和 q 系数为零，从而

cr + cr ′

cr + c′r ′

c + c′

r1 = ^{1 1} ， r 2 = ^{2 2} ， r 3 =

c + c′

c + c′

c + c′ r ′

3

如果我们从电导 r 和 r＇不同的两种各向同性的媒质开始，那么，既

然r₁ - r ₃ =

cc′

(r − r ′)²

，分层的结果就将是，电阻在和各层相垂直的

c + c′ (cr′ + c′r)

方向上为最大，而在各层平面上的一切方向上则都相等。

1. 〕试取一种比电导为 r 的各向同性物质，把它切成厚度为 a 的非常薄的薄片，并把这些薄片和一些比电导为 s 而厚度为 k1a 的薄片交替地叠合起来。

设这些薄片垂直于 x 轴。然后把这种组合导体切成厚度为 b 的厚得多并垂直于 y 的片子，并把他们和比电导为 s 和厚度为 k1b 的片子交替起来。

最后，把这种新导体再切成厚度为 c 的更加厚的并垂直于 z 的片子， 并把他们和比电导为 s 而厚度为 k3c 的片子交替起来。

这三次手续的结果，将是把比电导为 r 的物质切成线度为 a、b 和 c

的一些长方体，其中 b 远小于 c 而 a 远小于 b，然后把这些长方体嵌在比电阻为 s 的物质中，使得他们之间的距离在 x 方向上是 k1a，在 y 方向上是 k2b，而在 z 方向上是 k3c。这样形成的导体在 x、y 和 z 方向上的比电导通过按次序应用三次第 321 节中的结果来求得。我们于是就得到

{1 + k₁(1 + k ₂ )(1 + k ₃ )}r + ( k₂ + k₃ + k ₂ k ₃ )s

r1 =

(1 + k

)(1 + k

)( k r + s) s，

2 3 1

r = (1 + k 2 + k 2 k 3 )r + ( k1 + k 3 + k1k2 + k1k3 + k1k 2 k3 )s s，

2 (1 + k ){k r + (1 + k + k k )}s

2 2 1 1 2

r = (1+ k 3 )(r + (k1 + k 2 + k1k 2 )s) s．

³ k r + (1 + k + k + k k + k k + k k + k k k )s

3 1 2 2 3 3 1 1 2 1 2 3

这种研究的精确性全靠长方体的三个线度具有不同的数量级，从而我们可以忽略在他们的边角等处所必须满足的条件。如果我们令 k1、k2 和 k3 都等于 1，则有

r = 5r + 3s s，r = 3r + 5s s，r = 2r + 6ss．

¹ 4r + 4s ² 2r + 6s ³ r + 7s

如果 r=0，也就是说，如果构成各长方体的物质是一种理想绝缘体，

就有

r = 3 s，r = 5 s，r = 6 s．

1 4 2 6 3 7

如果 r=∞，就是说，如果各长方体是一些理想导体，则有

5 3

r1 = 4 s，r2 = 2 s，r3 = 2s．

在每一个事例中，如果 k1=k2=k3，则可以 r1、r2 和 r3 具有递升的数量级，从而最大的比电导出现在长方体最大线度的方向上，而最大的比电阻则出现在最小线度的方向上。

1. 〕设在一个长方形的导电固体中从一个顶角到对面的顶角开一个导电通路，设这条通路是一根用绝缘材料包着的导钱，其横向线度很小， 以致除了由导线所传导的电流以外，固体的电导并不受其他影响。

设长方体在各座标轴方向上的线度为 a、b、c，并设从原点到(abc) 点的通路的电导是 abcK。

在通路两端作用着的电动势是

aX+by+cZ，

而如果 C 是通路中的电流，则

C′=Kabc(aX+bY+cZ).

穿越 bc 面的电流是 bcu，而这就包括由固体的电导所引起的电流和通路的电导所引起的电流，或者说

bcu=bc(r1X+p3Y+q2Z)+Kabc(aX+bY+cZ)， 或 u=(r1+Ka2)X+(p3+Kab)Y+(q2+Kca)Z.

同样也可以求出 v 和ω的值。被通路的效应所改变了的各电导系数将

是

r1+Ka2，r2+Kb2，r3+Kc2， p1+Kba，p2+Kca，p3+Kab，

q1+Kbc，q2+Kca，q3+Kab.

在这些表示式中，由通路的效应所引起的 p1 等等的值的增量等于 q1 等等的值的增量。由此可见，p1 和 q1 的值不能由于在固体的每一体积元中引入线性通路而变成不相等，因此，如果第 303 节中那种旋转性起初在固体中并不存在，它是不会通过这种方法而被引入的。

图 25

〕试构成线性导体的一种构架，使它具有任意给定的形成对 称组的电导系数。

设空间被分成许多相等的小立方体，其中一个如图所示。设 O、L、M、N 各点的座标和势如下

x y z 势

把这四个点用六个导体 OL，OM，ON，MN，NL，LM，连接起来，各导体的电导分别是

A，B，C，P，Q，R. 沿着这些导体而起作用的电动势将是Y+Z，Z+X，X+Y，Y-Z，Z-X，X-Y，

而电流则是

A(Y+Z)，B(Z+X)，C(X+Y)， P(Y-Z)，Q(Z-X)，R(X-Y).

在这些电流中，沿着 x 的正方向而送电的电流就是沿着 LM、LN、OM 和 ON 而流动的那些，而所送的电量就是

u=(B+C+Q+R)X+(C-R)Y+(B-Q)Z.

同理得到

v=(C-R)X+(C+A+R+P)Y+(A-P)Z； w=(B-Q)X+(A-P)Y+(A+B+P+Q)Z；

由此，我们通过和第 298 节中的导电方程相比较就得到4A=r2+r3-r1+2p1， 4P=r2+r3-r1-2p1，

4B=r3+r1-r2+2p2， 4Q=r3+r1-r2-2p2，

4C=r1+r2-r3+2p3， 4R=r1+r2-r3-2p3．

第十章

电介质中的导电

1. 〕我们已经看到，当有电动势作用在一种电介媒质上时，它就在媒质中引起一种我们曾称之为电极化的状态，而且我们曾经把这种状态描述成由媒质中的电位移和我们设想由电介质分成的每一个体积元上的表面电荷所构成；在各向同性媒质中电位移的方向和电动势的方向相同，体积元上的正电荷出现在电动势所指向的面上，而其负电荷则出现在电动势所由开始的面上。

当电动势作用在一种导电媒质上时，它也引起所谓的电流。

喏，电介媒质也是或多或少的非理想导体，如果有例外也是很少见的，而且许多并非良导体的媒质也显示电介感应的现象。因此我们就被引导到一种媒质的状态的研究，在那种媒质中感应和传导是同时在进行着的。

为了简单，我们将假设媒质在每一点上都为各向同性，但不一定在不同点上是均匀的。在这种情况下，由第 83 节可知泊松方程变为

d (K dV) + d

(K dV) + d

(K dV) + 4πρ = 0，

(1)

dx dx

dy dy

dz dz

式中 K 是“比感本领”。

电流的“连续性方程”变为

d (1 dV) + 1 ( 1 dV) + d

( 1 dV)－ dρ = 0，

(2)

dx r dx

dy r dy

dz r dz dt

式中 r 是相对于单位体积而言的比电阻。

当 K 或 r 是不连续的时，这些方程必须被变换成适用于不连续界面的那些方程。

在一种严格均匀的媒质中，r 和 K 都是常量，从而我们就得到

由此即得

d² V

dx²

d ²V

+

dy²

d ²V

+

dz²

= －4π ρ = r dρ ，

K dt

− 4 π

(3)

ρ = Ce Kr ； (4)

或者，如果我们令T = Kr ，就得到

4π

ρ = Ce

• t

T ． (5)

这一结果表明，在任何外电动势对其内部起初以任何方式带电的均匀媒质的作用下，内部的电荷永远将以一个不依赖于外力的速率而衰减，从而最后在媒质内部将不再有任何电荷，而在此以后，任何外力都不能在媒质的任何体内部分引起或保持一个电荷，如果电动势、电极化和电导之间的关系保持不变的话。当破坏性放电发生时，这些关系就不再成立，从而内部电荷就可能出现。

关于通过一个电容器的导电

1. 〕设 C 是一个电容器的电容，R 是它的电阻，而 E 是作用在它上面的电动势，也就是两个金属极的表面之间的势差。

于是，电动势起点处的一个表面上的电量将是 CE，而沿着电动势的

方向而通过电容器材料的电流将是 E 。

R

如果带电状态被假设为是由在电容器形成其一个部分的电路中起作

用的一个电动势E所引起的，而且 dQ 代表该电路中的电流，则有

dt

dQ = E + C dE ． (6)

dt R dt

把一个电动势为 E 而包括各电极连接导线在内的电阻为 r 的一个电池接入电路中，就有

dQ = E0 − E = E + C dE ．

(7)

dt r1

R dt

由此可见，在任何时刻 t1，应有

E(= E ) = E

R (1 − e

− t₁

T1 ) ，式中T

= CRr1 ．

(8)

^{1 0} R + r

R + r1

其次，把电路 r1 切断一段时间 t2，这时 r1 为无限大，我们由(7)就得

到

- t ₂

E(= E ) = E e ^T2 ，式中T = CR． (9)

2 1 2

最后，用一根电阻为 r3 的导线把电容器的两个表面连接一段时向 t3， 则在(7)中令 E=0，r1=r3，我们就得到

- t3

CRr

E(= E ) = E e ^t3 ，式中T = ³ ．

(10)

3 2 3

R + r3

如果 Q3 是在时间 t3 内流过这一导线的总电量，则有

CR² - t1

- t ₂

- t ₃

Q3 = E

⁰ (R + r )( R + r )

(1 - e ^T1 )e ^T2 (1 - e ^t3 )．

(11)

用这种办法，我们就可以在电容器被充电一段时间 t1 然后被绝缘一段时间 t2 以后求出通过一根把它的两个表面连接起来的导线而进行总放电。如果像通常那样充电时间长得足以得到全部的电荷，而且放电时间也足以得到完全的放电，则所放的电是

CR 2 - t ₂

Q3 = E0

(R + r1 )(R + r3 )

e CR．

1. 〕在这样的一种电容器中，当起初以任意方式充电其次通过一根小电阻的导线而放电然后被绝缘时，是不会出现任何新的带电现象的。然而，在多数的实际电容器中，我们却发现在放电和绝缘以后，一个新的电荷会逐渐长成，它和原有电荷同号，但强度较小。这就叫做残余电荷。为了说明它，我们必须承认电介媒质的构造是和我们刚刚描述过的有所不同的。然而我们却将发现，由不同种类的媒质小块堆集而成的一种媒质，将

具有这种性质。

组合电介质理论

1. 〕为了简单起见，我们将假设电介质由一些不同材料的平面层所组成的，其面积为一个单位，而电力则是沿着各层的法线方向起作用的。

设 a1、a2 等等是不同层的厚度。X1、X2 等等是各层中的合电力。p1、p2 等等是各层中的传导电流。f1、f2 等等是电位移。

u1、u2 等等是部分地起源于传导而部分地起源于电位移变化的全电

流。

r1、r2 等等是对单位体积而言的比电阻。K1、K2 等等是比感本领。

k1、k2 等等是比感本领的倒数。

E 是一个电池组所引起的电动势；该电池组接在从最后一层接到最初

一层的电路中，而我们假设那电路由一些良导体构成。 Q 是直到时刻 t 为止通过电路的这一部分的总电量。R0 是电池和连线的电阻。

σ12 是第一、二层的分界面上的电荷面密度。于是，在第一层中，我们由欧姆定律得到

X1 = r1 p1 . (1)

由电位移理论得到

由全电流的定义得到

X1 = 4лk1f1 .(2)

u = p + df1 ，

(3)

1 1 dt

在其他各层中也有相似的方程，而每一层中的各量都带有属于该层的下标。

为了确定任何一层上的面密度，我们有一个形如

σ12 = f2 - f1 ， (4)

的方程，而为了确定其变化，我们有

dσ12 = p - p . (5)

dt 1 2

对 t 微分(4)并使结果和(5)相等，我们就得到例如

p + df1 = p + df2

= u，

(6)

¹ dt ² dt

或者，照顾到(3)，就有

u1 = u2 = = u. (7)

就是说，全电流在所有各层中都相同，并等于通过导线和电池组的电流。由于有方程(1)和(2)，我们也有

u = 1 X + 1

dX1 ，

(8)

¹ 4πk dt

由此我们通过对 u 的逆运算就能求出 X1，

X = ( 1 + 1 d ) ^-1 u．

(9)

¹ r 4πk dt

总电动势是

1 1

E＝a1X1+a2X2+⋯(10)



或 E = a

( 1 + 1 d ) −1 + a

( 1

+ 1 d ) −1 +



u，(11)

 1 r 4πk dt ² r 4πk dt 

 1 1 2 2 

这是外电动势 E 和外电流 u 之间的一个方程。

如果 r 和 k 之比在所有各层中都相同，则方程简化为

E + r dE = (a r + a r + )u，

(12)

4πk dt

1 2 2 2

这就是我们在第 326 节中已经分析过的事例，在那种事例中我们发现不可能出现任何残余电荷现象。

如果有 n 种物质具有不同的 r 和 k 之比，普遍方程(11)在执行了逆运算以后就将是对 E 为 n 阶而对 u 为(n-1)。阶的一个以 t 为自变数的线性微分方程。

由方程的形式可以显然看出，不同层的顺序是无关紧要的，因此，如果有若干个相同物质的层，我们可以假设他们合并成一层而并不改变现象。

329.〕现在让我们假设，起初 f1、f2 等等都是零，而一个电动势 E0 突然发生了作用，让我们求出它的瞬时效应。

把(8)对 t 求积分，我们就得到

Q = ∫

udt 1 r1

∫ X1dt +

1

4πk1

X1 +常量． (13)

现在，既然 X1 在这一事例中永远是有限的，当 t 很小时∫X1dt 就必然是很小的，因此，既然 X1 起初为零，瞬时效应就将是

X1 = 4лk1Q．

因此，由方程(10)就得到

(14)

E0=4л(k1a1+k2a2+⋯)Q，(15)

而如果 C 是用这种瞬时方式测量的体系电容，就有

C = Q E0

= 1

4π(k1a1 + k 2a 2 + )

(16)

这就是当忽略各层的电导时我们即将得到的同样的结果。

其次让我们假设，电动势继续均匀作用了一段无限长的时间，或是一直作用到在体系中建立了一个等于 p 的均匀的传导电流的时候。

于是我们就有 X1=r1p1，等等，从而由(10)就有

E0=(r1a1+r2a2+⋯)p.(17)

如果 R 是体系的总电阻，则

R = E 0

p

= r1a1 + r2 a2 + (18)

在这一状态下，我们由(2)得到

从而就有

f1 =

r1 p， 4πk1

σ12

= ( r2

4πk 2

－ r1 4πk1

)p．

(19)

如果我们现在突然用一个电阻很小的导体把两边的层接起来，E 就将突然地从它的原有值 E0 变成零，而且一个电量 Q 就将流过该导体。

为了确定 Q，我们注意到，如果 X1′是新的 X1 值，则由(13)可得

X^′ = X + 4лk Q. (20)

于是，令 E=0，由(10)即得0=a1X1+⋯+4л(a1k1+a2k2+⋯)Q，(21)

或 0 = E + 1 Q. (22)

0 C

由此即得 Q=-CE0，式中 C 是由方程(16)给出的电容。因此，瞬时的放电量等于瞬时的充电量。

其次让我们假设，在这一放电之后，连线立即被切断。这时我们将有

u=0，从而由方程(8)即得

X = X ′e

式中 X1′是放电以后的初始值。

- 4 πk₁

r1 ，

(23)

由此可见，在任一时刻 t，我们由(23)和(20)就得到

 r 

− 4 πk₁ t

X = E  1 − 4πk Ce

r1 ．

1 0  R 1 

因此，任一时刻的 E 值

 a r

- 4πk1 t a r

− 4πk 2 t 

= E ( ^{1 1} - 4πa k C)e ^r1 + ( ^{2 2} − 4πa k C)e ^r2 + ，(24)

0  R 1 1 R 2 2 

而任何时间 t 以后的放电量是 EC，这叫做残余放电。

如果 r 和 k 之比在一切层中都相同，则 E 的值将减小到零。然而，如果这一比值并不相同，让我们把各项按这一比值的递减次序排列起来。

所有系数之和显然是零，从而当 t=0 时 E=0。各系数也是按量值递减的次序排列的，而当 t 为正时各个指数也是如此排列的。因此，当 t 为正时 E 将为正 ，从而残余放电永远和原始放电同号。

当 t 为无限大时所有的项都不复存在，除非有一层是一种理想的绝缘体；在那种事例中，该层的 r1 是无限大，从而整个体系的 R 也是无限大， 而且 E 的末值也不是零而是

E=E0(1-4лa1k1C）.(25)

由此可见，当某些层而不是所有的层是理想的绝缘体时，一种残余放电可以永远地保持在体系中。

1. 〕其次我们将假设体系首先通过一个电动势 E 的长久持续作用而

或许就可以更容易地看到这一点。｝

被充了电，来确定通过一根电阻为 R0 的长期接在体系的两个边界层上的导线的总放电量。

在任一时刻，我们有

E=a1r1p1+a2r2p2+⋯+R0u=0 (26)

另外,由(3)即得

u = p + df1 ．

(27)

¹ dt

由此可见，

(R + R

) u = a r df1 + a r df 2 +

． (28)

0 1 1 dt 2 2 dt

对 t 求积分以得出 Q，我们就有(R+R)Q=a1r1(f1＇-f1)+a2r2(f2＇-f2)+⋯，(29)

式中 f1 和 f1′是 f1 的初值和末值。

在这一事例中，f1′=0，而且由(2)和(20)得到

f = E ( r1

− C)．

由此即得

4πk1 R

E a r ² a r ²

(R + R 0 ) = −

( 1 1 + 2 2 +

) + E0 CR，

(30)

4πR k1 k2

= − CE0 ∑ ∑[a a k k ( r1 - r2 )]，

(31)

R 1 2 1 2 k k

式中的求和遍及属于每一对层的这种形式的量。

由此可见 Q 永远是负的，也就是说，放电是和用来对体系充电的电流方向相反的。

这种研究表明，一种由种类不同的物质层构成的电介质可以显示所谓的电吸收现象和残余放电现象，尽管构成它的各种物质当单独存在时全部不显示这些现象。各物质不是分成层而是按其他方式分布的那种事例的研究，也将导致类似的结果，尽管计算可能是更加复杂的。因此我们可以得出结论说，在由种类不同的部分构成的物质中，可以预期出现电吸收的现象，即使那些部分是微观地小的①。

由此绝不能推断，每一种显示这种现象的物质都是如此组合而成的， 因为它可能指示均匀物质所可能具备的一种新式的电极化，而且在某些事例中这种电极化可类似于电化学极化而不那么类似于电介极化。

这一研究的目的只是要指出所谓电吸收的真正数学特性，并且指明它和热现象是多么地根本不相同，尽管初看起来二者是类似的。

1. 〕让我们取任一物质的一块厚板并在一面对它加热，这样就会引起通过它的一个热流，而如果这时我们把加了热的一面突然冷却到和另一面相同的温度并让平板自行变化，则加过热的那一面将由于体内的热传导而再次变得热一些。

① ｛罗兰和尼科耳斯曾经证明，很均匀的冰洲石晶体并不显示电吸收，Phil．Mag.xi.p.414,1881.穆索达发现，尽管单独考虑时石腊和二甲苯并不显示残余电荷，一层石腊上加一层二甲苯却显示这种现象， Wied.Ann.40.331,1890.｝

现在，和这种现象完全类似的一种电现象也可以产生，而且实际上是出现在电报电缆中的，然而它的数学规律虽然和热现象的规律精确相符， 但这却是和分层电容器的规律完全不同的。

在热的事例中，存在热在物质中的真正吸收，结果使物质变热。在电的方面造成一个真正类似的现象是不可能的，但是我们可以在一种课堂演示实验的形式下用下述的方法来模拟它。

设 A1、A2 等等是一系列电容器的内表面而 B0、B1、B2 等等是他们的外表面。

图 26

设 A1、A2 等等用一些电阻为 R 的连接物串联起来，并且使一个电流从左向右通过这一系列。

让我们首先假设 B0、B1、B2 各板是各自绝缘和没有电荷的。于是每一

个 B 板上的总电量必然保持为零，而既然各个 A 板上的电量是和对面的板上的电量相等而反号的，这些 A 板也将不带电，从而人们也就不会观察到电流的任何改变。

但是，让我们把所有的 B 板都连接起来并把他们每一个都接地。这时， 既然 A1 的势是正的而各个 B 板的势是零，A1 就将带正电而 B1 就将带负电。

设 P1、P2 等等是各板 A1、A2 等等的电势而 C 是每一个板的电容；如果我们假设一个等于 Q0 的电量通过了左侧的导线，Q1 通过了连接物 R1，余类推，则存在于 A1 板上的电量是 Q0-Q1，从而我们就有

Q0-Q1=CP1.

同理得到

余类推。

但是由欧姆定律，我们有

Q1-Q2=CP2，

P1 - P2 = R1

dQ₁ ，

dt

P - P = R dQ2 ．

2 3 2 dt

我们曾经假设各板的 C 值是相同的，如果假设各导线的 R 值也相同， 我们就将得到一系列形式如下的方程，

Q - 2Q + Q = RC dQ1 ，

0 1 2 dt

Q - 2Q + Q = RC dQ2 ．

1 2 3 dt

如果共有 n 个电量有待确定，而且如果或是总电动势或是某种等价的条件已经给定，则确定其中任一电量的微分方程将是线性的和 n 阶的。

利用这样装置起来的一部仪器，瓦尔莱先生作到了模拟一根 12，000 英里长的电缆的电作用。

当使一个电动势沿着左端的导线起作用时，流入体系中的电首先就被

用来对从 A1 开始的不同电容器充电，而只有过了相当一段时间以后，电流的一个很小的部分才会在右端出现。如果在 R1、R2 等处把一些电流计接在电路中，他们就会一个跟着一个地受到影响，而当我们向右端看过去时， 相等指示之间的时间间隔是越来越大的。

1. 〕在电缆的事例中，传导电线和外面的导体是由一个用硬橡胶或其他绝缘材料制成的包皮隔开的。于是每一段电缆都变成一个电容器，其外表面永远处于零势。因此，在一段给定的电缆中，传导电线表面上的自由电量就等于势和看成一个电容器的那段电缆的电容的乘积。

如果 a1、a2 是绝缘包皮的外半径和内半径，而 K 是比感本领，则由第126 节可知电缆的单位长度的电容是

c = K

2 log a 1

a2

． (1)

设 v 是电线任一点上的势，我们可以认为这个势在同一截面的不同部分上是相同的。

设 Q 是从电流开时以后流过了这一截面的总电量，则在时刻 t 存在于x 处和 x+δx 处的二截面之间的电量是

Q − (Q + dQ δx)，或者说 − dQ δx，

dx dx

而按照以上的论述，这应该等于 cvδx，从而就有

cv = − dQ ． (2)

dx

另外，任一截面上的电动势是- dv ，而由欧姆定律就得到

dx

• dv = k dQ ，

(3)

dx dt

式中k是导体单位长度的电阻，而dQ 是电流强度。从(2)和(3)中消去Q，

dt

我们就得到

ck dv

dt

d ²v

= dx2 ．

(4)

为了得到电缆的任意点上在任意时刻的势，这就是必须求解那个偏微分方程。它和傅里叶所给出的确定一个物质层中任意点上的温度的方程完全相同，在那个物质层中热是沿层的法线方向在流动的。在热的事例中，C代表单位体积的热容量，此量被傅里叶写成 CD，而 k 代表热导率的倒数。如果包皮不是一种理想绝缘体，而 k1 是包皮对径向导电而言的单位长

度的电阻，ρ1 是绝缘材料的的比电阻，那就很容易证明

k = 1

¹ 2π

ρ log a1

1 e a

(5)

2

方程(2)将不再成立，因为电不但被用在把导线充电到 cv 所代表的程度，而且还会以 v/k1 所代表的速率而流失。因此，电的消耗率将

• d 2Q = c dv + 1 v，

(6)

dxdt dt k1

和(3)式相比较，我们由此即得

dv d ²v k

ck dt = dx2 - k v，

(7)

而这就是傅里叶所给出的一根棒或一个环中的导热方程①。

1. 〕假如我们曾经假设当一个物体的势被提高时，它就在整个的物质内部带电，就好像电被挤压到它里边一样，我们就会得到恰恰是这种形式的一些方程。很可惊奇的是，由于受到电和热之间这种类似性的蒙蔽， 欧姆本人就抱有这样一种见解，并从而通过一种错误的见解而被引导着还在这些方程的适用性的实在原因被推测到的很久以前，就用傅里叶的方程来表示了电通过长导线而传导的正确规律。

电介质性质的机械例示

1. 〕如图所示，五根截面积相等的管子 A、B、C、D 和 P 连成一条回路，A、B、C 和 D 是竖直的和相等的，而 P 则是水平的。

A、B、C、D 的下半段充有水银，他们的上半段和水平管 P 中充有水。一个带阀门的管子把 A、B 的下端和 C、D 的下端接通，而一个活塞 P

可以在水平管中滑动。

让我们在开始时假设四根管子中的水银水平面是等高的，用 A0、B0 、C0、D0 来代表，活塞的位置是 P0，而且阀门 Q 是关住的。

图 27

现在让活塞从 P0 移动一段距离 a 而到达 P1。那么，既然所有管子的截面都相等，A 和 C 中的水银液面就将上升一个距离而到达 A1 和 C1，而 B 和D 中的水银则将下降一个相等的距离 a 而到达 B1 和 D1。

活塞两侧的压力差将由 4a 来代表。

这种装置可以用来代表受到一个电动势 4a 作用的电介质的状态。管 D 中多出的水可以看成代表电介质一侧的正电荷，而管 A 中多出的

水银则可以代表另一侧的负电荷。于是，管 P 中活塞靠近 D 的一边多出的压力就代表电介质正侧高出的势。

如果活塞可以随便活动，它就将回到 P0 并在那里保持平衡。这就代表电介质的完全放电。

在“放电”过程中，整个管子中都存在液体的反向运动，而这就代表

我们曾经假设存在于电介质中的电位移的变化。

我曾经假设管子体系的每一部分中都充满了不可压缩的液体，为的是要代表所有电位移的一种性质，即在任何地方都不存在电的真正积累。

现在让我们考虑当活塞位于 P1 时打开阀门 Q 所引起的效应。

A1 和 D1 的液面将保持不变，但是 B 和 C 的将变为相同并将与 B0 和 C0 相重合。

① Théoriedela Chaleur, 第 105 节。

阀门 Q 的打开就代表电介质中存在一个部分，它具有一个很小的导电性能，但是并不扩展到全体而形成一种导电通路。

电介质两面的电荷仍然是被绝缘的，但是他们的势差却减小了。

事实上，活塞两侧的压力差在液体通过 Q 的过程中将从 4a 降到 2a。如果我们现在关上阀门 Q 并让活塞自由运动，它就会在 P2 达到平衡，

而所放的电则显然将只是电荷的一半。

A和B中的水银液面将比原始液面高 1 a，而C和D中的液面则比原

2

始液面低 1 a，这一情况用水平表面A

2

₂ 、B2 、C2

、D2

而来表示。

如果现在活塞被固定而阀门被打开，则水银将从 B 流到 C，直到两管中的液面又回到 B0 和 C0 时为止。这时在活塞 P 的两侧将出现一个等于 a 的压力差。如果阀门被关住而活塞又可以随便活动，它就又会在 P2 和 P0 的中点 P3 上达到平衡。这就对应于当一种充了电的电介质首先被放电然后自己存在时所观察到的那种残余电荷。电介质将慢慢地恢复其电荷的一部分，而如果这一部分电荷又被放掉，则第三个电荷又将形成，但是各电荷逐个减小。在例示实验的情况下，每一个电荷都是前一电荷的一半，而等

1 1

于原电荷的 2 、 4 等等的各次放电则形成一个级数，其和等于原始电

荷。

如果我们不是时而打开、时而关住阀门，而是让它在整个实验过程中处于几乎关住而又并不完全关住的状态，我们就会有一个事例，和一种电介质的带电状况相类似，该电介质是一种理想绝缘体，但却显示一种称为“电吸收”的现象。

为了代表在电介质中存在真实导电的事例，我们必须或是使活塞有漏洞，或是在管 A 的顶部和管 D 的顶部建立一种联系。

用这种办法，我们可以构造一种机械例示来代表任何一种电介质的性质；在这种例示中，两种电用两种实在的液体来代表，而电势差则用压力差来代表。充电和放电用活塞 P 的运动来代表，而电动势则用作用在活塞上的合力来代表。

第十一章电阻的测量

1. 〕在电科学的当前状况下，一个导体的电阻的测定可以看成电学中的基本工作，正如重量的测定是化学中的基本工作一样。

这一点的理由就在于，其他电学量例如电量、电动势、电流等等的绝对测量，在每一事例中都要求一系列很繁复的操作，通常包括时间的观测、距离的测量和惯性矩的测定，而这些操作，至少是其中的某些操作在每一次新的测定中都必须重复进行,因为把一个电量单位、电动势单位或电流单位保持在不变的状态以便随时用来进行直接的比较是不可能的。

但是，人们发现，当用适当选定的材料做成的一个适当形状的导体的电阻一旦被测定了时，它就会在相同的温度下保持相同的值，从而这个导体就可以当作一个标准电阻来使用，而别的导体的电阻就可以和这个电阻相比较，而且电阻的比较是一种可以达到很高精确度的操作。

当电阻的单位既经选定时，就可以在“电阻线圈”的形式下做成这种单位的一些物质性的样品来供电学家们使用，这样，在世界的每一部分， 电阻就都可以用相同的单位来表示。这些单位电阻线圈，在目前就是可以保存、复制并应用于测量目的的那种物质性电学标准的唯一范例①。也很重要的电容的量度，由于有电吸收的干扰影响，现在还是有缺点的。

1. 〕电阻的单位可以是完全任意的，就如在雅考比的原器事例中那样。那种原器是一条确定的铜线，重量为 22.4932 克，长度为 7.61975 米，

而直径为 0.667 毫米。这种原器的一些复制品曾由莱比锡的莱瑟尔制成， 而且可以在不同的地方见到。

按照另一种方法，单位可以定义为具有确定尺寸的一部分确定物质的电阻。例如，西门子的单位被定义为一个水银柱的电阻，水银柱的长度为一米，截面积为一平方毫米，而温度为 0℃。

1. 〕最后，单位可从参照静电单位制或电磁单位制来定义。在实践中，电磁单位制是在一切的电报操作中被应用的，从而实际上被应用的唯一系统化的单位也就是这一单位制中的单位。

正如我们在适当的地方即将看到的那样，在电磁单位制中，电阻是一个具有速度量纲的量，从而是可以用速度的单位来量度的。参阅第 628 节。

1. 〕按照这一单位制来进行的最早的实际测量是由韦伯作出的，他用毫米每秒来当作了自己的单位。W.汤姆孙爵士后来采用了英尺每秒来作为单位，但是许多电学家现在已经同意采用大英协会的单位，那是一个电阻，当表示为一个速度时等于一千万米每秒。这个单位的大小比韦伯单位的大小更适用，因为韦伯单位太小。这种单位有时称为 B.A.单位，但是为了把它和电阻定律的发现者的姓氏联系起来，这种单位被称为“欧姆”。 339.〕为了记忆它在绝对单位制中的值，知道一点是很有用的，那就

是，一千万被认为是沿巴黎子午线测量的从地极到赤道的距离。因此，在一秒钟内从地极沿子午线运动到赤道的一个物体就具有一个在电磁单位制中理应代表一欧姆的速度。

① ｛作为电动势之标准的克拉克电池，现在可算是这种说法的一个例外。｝

我说“理应”代表，因为，如果更精确的研究竟然证明按照大英协会的物质标准制成的“欧姆”实际上并不是用这个速度来表示的，电学家们也不会改换他们的标准，而只会应用一个改正量①。同样，一米理应是某一地球象限弧的一千万分之一，然而尽管人们发现这一点并不绝对正确，一米的长度却并没有被改动。而是地球的线度被用一个不那么简单的数字来表示了。

按照大英协会的单位制，这一单位的绝对值原先是被选得尽可能近似地代表由电磁单位制导出的一个量的。

1. 〕当代表这一抽象量的一个物质单位已经做成时，其他的标准就可以通过复制这一单位而被制成；这是可以达到很大精确度的一个过程， 例如比按照一个标准英尺来复制英尺要准确得多。

用最耐久的材料做成的这些复制品被分送到世界各地，从而假若原始标准被失去，也不太可能在获得复制品方面遇到任何困难。

但是，例如西门子的单位是不必费什么事就可以复制得很准确的，因此，既然一欧姆和一西门子单位之间的关系是已知的，即使没有一个标准来据以复制，标准欧姆也是可以重新制成的，尽管所费的功夫比直接复制要大得多而得到的精确度要小得多。

图 28

最后，标准欧姆也可以通过最初确定它的那种电磁方法来重新制造。这种方法比根据秒摆来确定英尺要费事得多，它或许比上述的方法更不精确。另一方面，以一种和电科学的进步相适应的精确度而借助于欧姆来确定电磁单位，却是一种顶重要的物理研究，而且是很值得重复进行的。

制造了用来代表欧姆的实际电阻线圈，是用两份银和一份铂制成的导线，其直径从 0.5 到 0.8 毫米，其长度从 1 到 2 米。这些导线焊在粗壮的铜电极上。导线本身包着两层丝绸，嵌在固体石腊中，并包从薄铜外壳， 以便很容易把它调到电阻准确地等于一欧姆的那一温度。这个温度被标明在线圈的绝缘支柱上。（参阅图 28.）。

关于电阻线圈的形状

1. 〕一个电阻线圈是一个导体，它很容易被接到电路中去并从而在电路中引入一个已知电阻。

线圈的两极或两端必须做得不会因为连接方式而引起可觉察的误差。对于量值较大的电阻来说，用粗铜线或粗铜棒来做电极也就够了，电极的头上经过很好地汞齐化，而且这一头应该压在汞杯中平坦的齐化铜的表面上。

对于非常大的电阻来说，用厚黄铜块来作电极就够了，连接物应该是用铜或黄铜做成的楔子，可以插入电极的间隙中。这种方法被发现是很方

① ｛瑞利爵士和席维克先生的实验已经证明，大英协会单位只是 0.9867 地球象限弧每秒，从而它比所拟议的值约小百分之 1.3。1884 年在巴黎召开的国际电学家会议采用了一个新的电阻单位，即“法定欧姆”，它被定义为一个长度为 106 厘米而截面积为 1 平方毫米的水银柱在 0℃下的电阻。｝

便的。

电阻线圈本身是用丝绸包得很好的导线，其两端永久性地焊在电极

上。

线圈必须适当装配，以便很容易观察它的温度。为此目的，导线被绕

在一个管子上，外面套着另一个管子，这样它就可以被放到一个水容器中， 而水就可以接触它的里面和外面。

为了避免线圈中电流的电磁效应，导线先双起来然后绕在管子上，这样，在线圈的任何部分就都在导线的相邻部分中有着相等而反向的电流。当有必要使两个线圈保持相同的温度时，有时把两根导线并排在一起

然后绕成线圈。当保证电阻的相等比知道电阻的绝对值更加重要时，例如在惠斯登电桥的等臂中（第 347 节），这种方法就是特别有用的。

当最初尝试测量电阻时，用得很多的是用裸导线绕在绝缘材料圆筒上的螺旋沟槽中而制成的线圈，这种线圈叫做可变电阻器。不久人们就发现， 用这种线圈来比较电阻时所能够达到的精确度，是和利用其接线方式不比利用可变电阻器所能作到的接线方式更完善的任何仪器来得到的精确度不相容的。然而，在并不要求精确测量的地方，可变电阻器仍然被用来调节电阻。

电阻线圈通常是用那些电阻最大而其随温度的变化又最小的金属制成的。德银很好地满足这些条件，但是有些德银的品种却会逐年改变其性质。因此，为了制造标准线圈，曾经使用过几中纯金属，也使用过铂和银的一种合金，而且人们发现，在若干年内，这些东西的相对电阻在现代精确度的范围内是并不改变的。

1. 〕要得到很大的电阻，例如几兆欧姆的电阻，导线必须不是很细就是很长，从而线圈的制造就是昂贵而困难的。因此就曾有人建议用碲或硒来作为制造大电阻标准器的材料。一种很巧妙而又很容易的制造方法近来已由菲利普斯提出①。在一块胶木或磨砂玻璃上画一条很细的铅笔线。这条石墨细丝的两端被接在两个金属电极上，然后把整条细丝用绝缘漆覆盖起来。如果竟然发现这样一条铅笔线的电阻保持不变,这就将是得到若干兆欧姆电阻的最好的方法。

2. 〕有一些装置可以用来很容易地把电阻线圈接到一个电路中去。例如，其电阻按

   2 的幂次递增为 1、2、4、8、16 等等的一系列线圈，

可以串联起来装在一个箱子里。

电极用结实的黄铜块制成，适当地排列在箱子的外面，使得通过插入一个黄铜制的塞子或楔子作为旁路，对应的线圈可以排除于电路之外。这种装置是西门子引入的。

图 29

电极之间的每一个间隙都标有对应线圈的电阻值，从而如果想使箱中的电阻等于 107 ，我们只要就把 107 按二进制写成 64+32+8+2+1 或1101011。然后我们就从和 64、32、8、2、1 相对应的洞中把塞子拔出来， 而剩下 16 和 4 处的塞子。

① Phil.Mag,July;1870.

这种建筑在二进制上的方法是这样的：所要求的单个线圈的数目最小，而且可以最容易地加以检验。因为，如果我们有另一个等于 1 的线圈， 我们就可以检验 1 和 1′的品质，然后是 1+1′和 2 的品质，然后是 1+1′

+2 和 4 的品质，如此类推。

这种装置的唯一缺点就是它要求人们熟悉二进制计数法，而这通常是那些用惯了十进制记数法的人们并不熟悉的。

1. 〕为了用来测量电导而不是电阻，一个电阻箱也可以按另一种方法来装配。

各个线圈可以这样装配：每个线圈的一端都接在一块长而厚的金属上，这就形成电阻箱的一个极，线圈的另一端和在上述事例中一样接在一块结实的黄铜上。

电阻箱的另一个极是一块黄铜长板，通过在此板和线圈极之间插入一个黄铜塞子，可以把这个极板通过任何一组给定的线圈而和第一个极连接起来。这时箱子的电导就是各该线圈的电导之和。

在图 30 中，各线圈的电阻是 1、2、4 等等，塞子插在 2 和 8 处，从

而箱子的电导是 1 + 1 = 5 8 1.6。

2 8 8 ，而箱子的电阻则是 5 或

这种组合线圈来测量分数电阻的方法是由 W.汤姆孙爵士在多重弧法的名称下引入的。参阅第 276 节。

图 30

论电阻的比较

1. 〕如果 E 是一个电池组的电动势，R 是电池组和包括用来测量电流的电流计在内的连接线的电阻，如果当电池组的连线被接通时电流强度是 I，而当附加电阻 r1、r2 被接入电路中时电流强度是 I1、I2，则由欧姆定律可得

E=IR=I1(R+r1)=I2(R+r2).

消去电池组的电动势 E 和电池组及其连线的电阻 R，我们就得到欧姆的公式

r1 = (I − I1 )I2 ．

r2 (I − I 3 )I1

这种方法要求测量 I、I1 和 I2 的比值，而这就意味着要求一个有着绝对刻度的电流计。

如果电阻 r1 和 r2 相等，则 I1 和 I2 相等，而我们就可以用一个不能测

量电流比值的电流计来检验电流的相等。

但是这却应该被看成一种测定电阻的有毛病的方法，而不是一种切合实用的方法。电动势 E 不能严格地保持恒定，而电池组的内阻也非常不稳定的，因此，在一种方法中即使假设这些量在一段短时间内保持不变，这种方法也是不可靠的。

1. 〕电阻的比较可以利用两种方法中的任一种来很精确地进行；在这两种方法中，所得的结果都和 R 及 E 的变化无关。

其中第一种方法依赖于差绕电流计的应用。这种仪器中有两个线圈， 线圈中的电流互相独立，从而当使两个电流沿相反的方向流动时，他们就对指针发生相反的作用，而且当电流之比是 m 和 n 之比时，他们对电流计指针的合效应就是零。

设 I1、I2 是通过电流计的两个线圈的电流，则指针的偏转可以写成δ=mI1-nI2.

现在让电池组的电流分头流入电流计的两个线圈中，并把电阻 A 和 B 分别接在第一个和第二个线圈上，设各线圈及其连线的其余电阻分别是α 和β，设电池组及其 C、D 之间的连线的电阻为 r，而其电动势为 E。

图 31

于是，关于 C、D 之间的势差，我们由欧姆定律就得到

I1(A+α)=I2(B+β)=E-Ir，

而且，既然

就有

I1+I2=I，

I = E B + β ，I

= E A + α ，I = E A + α + B + β ，

¹ D ² D D

式中

D=(A+α)(B+β)+r(A+α+B+β).

因此，电流计指针的偏转就是

δ = E (m(B + β) - n(A + α)｝， D

而如果没有能够观察到的偏转，我们就知道括号中的量和零之差不能超过某一小量，该小量依赖于电池组的强度、装置的优劣、电流计的精确度和观察者的能力。

现在设用另一个导体 A′来代替 A，并设 A′被调节得使电流计指针仍没有显著的偏转。这时显然在初级近似下就有 A′=A。

为了确定这一估计的精确性，设在第二次观察中得到的变化了的量用撇号来区分，就有

m(B + β) - n(A + α) = D δ，

E

m(B + β) - n(A′ + α) = D′ δ′。

E′

由此即得

n(A′ - A) = D δ - D′ δ′。

E E′

设δ和δ′不是在表观上都等于零，而是被观察到彼此相等，则方程右端不会等于零，除非我们能够确知 E=E′。事实上，这种方法只是已经描述过的方法的一种修改形式。

这种方法的优点在于这样一件事实：观察到的是任何偏转的不存在； 换句话说，这是一种“调零法”，即根据观察来断定一个力的不存在的方

法，在那种观察中如果一个力和零的差值超过某一小量，它就会引起一个可以观察到的效应。

调零法在可以应用的地方是有很大价值的，但是只有当我们能够使两个种类相同的相等而相反的量一起进入实验中时，这种方法才能应用。

在我们遇到的事例中，δ和δ′是一些小得很难观察的量，从而 E 值的任何改变都不会影响结果的精确度。

这种方法的实际精确度，可以通过进行若干次分别调节 A′的观察并比较每次观察结果和所有结果的平均值来加以确定。

但是，通过使 A′从调整值偏离一个已知量，例如通过在 A 或 B 处增加一个等于 A 或 B 的百分之一的电阻，然后观察电流计指针的偏转，我们就能估计和百分之一的误差相对应的偏转度数。为了求出实际的精确度， 我们必须估计可能观察不到的那一最小的偏转，并把它和由百分之一的误差所引起的偏转相比较。①

如果必须比较的是 A 和 B，而且 A 和 B 交换了位置，则第二个方程变

成

由此即得

m(A + β) - n(B + α) = D′ δ′，

E

(m + n)(B - A) = D δ - D′ δ′。

E E′

如果 m 和 n、A 和 B、α和β、E 和 E′都近似地相等，则有

B - A =

1

2nE

(A + α)(A + α + 2r)(δ - δ′)。

这里的δ-δ′可以看成可观察的电流计最小偏转。

如果电流计的导线被做得更长一些和更细一些而总的质量不变，则 n 将按导线长度而变化，而α则按长度的平方而变化。因此，当

1  

a = 3 (A + r)2

时就将有 (A + a)(A + a + 2r) 的一个最小值。

n

− 1



如果我们假设和 A 相比电池组的电阻 r 是可以忽略的，则上式给出

1

a = 3 A；

或者说，电流计的每一个线圈的电阻应该是待测电阻的三分之一。这时我们就得到

8 A ²

B - A = 9 nE ( δ - δ′)。

如果我们让电流只通过电流计中的二线圈之一，而由此引起的偏转是

△（假设偏转确切地正比于致偏力），则有

△ = nE

= 3 nE ，如果r = 0而a =

1 A。

A + a + r 4 A 3

① 这种研究采自韦伯的关于量电流学的论文，见 G(ttingen Transactions,x.p.65.

由此即得

B − A = 2 δ − δ′ ．

A 3 Δ

在差绕式的电流计中，两个电流被调得对悬挂着的指针引起相等而相反的效应。每一电流作用在指针上的力，不但依赖于电流的强度，而且依赖于导线各圈相对于指针的位置。由此可见，除非线圈被绕得很仔细，m和 n 之比可能会随指针的位置而变，因此，在每一次实验过程中，如果预料会有指针位置的任何变化，那就有必要用适当的方法来确定这一比值。另一种调零法要用到惠斯登电桥。这种方法只要求一个普通的电流

计，而所观察到的指针的零偏转不是起源于两个电流的相反效应，而是起源于导线中电流的不存在。因此，作为观察到的现象，我们不但有一个零偏转而且有一个零电流，从而电流计线圈的不规则性或任何种类的变化都不会引起任何误差。电流计只要够灵敏，可以探测电流的存在和方向就行了，它用不着以任何方式测定电流的值或把该值和另一个电流的值互相比较。

1. 〕惠斯登电桥本质上就是连接着四个点的六个导体。借助于接在B 和 C 之间的一个伏打电池组，使一个电动势 E 作用于二点之间。另外两点 O 和 A 之间的电流用一个电流计来测量。

在某一情况下这个电流变为零。这时导体 BC 和 OB 就被说成是互相共轭的；这就意味着在其他四个导体的电阻之间有一个关系式，而这个关系式就被利用来测量电阻。

图 32

如果 OA 中的电流是零，则 O 点的势必然等于 A 点的势。现在，当我们知道 B 点和 C 点的势时，我们就可以利用第 275 节所给出的法则来确定O 点和 A 点的势，如果 OA 中没有电流的话。我们得到，

O = Bγ + Cβ ，A = Bb + Cc ，

由此即得条件式

β + γ

bβ=cγ，

b + c

式中 b、c、β、γ分别是 CA、AB、BO 和 OC 的电阻。

为了确定用这种方法所能得到的精确度，我们必须在这一条件并非确切地得到满足时确定 OA 中的电流强度。

设 A、B、C 和 O 是四个点。设沿着 BC、CA 和 AB 而流动的电流是 x、y 和 z，而这些导体的电阻是 a、b 和 c。设沿着 OA、OB 和 OC 而流动的电流是ξ、η、ζ，而电阻是α、β和γ。设有一个电动势 E 沿着 BC 而起作用。试求沿 OA 的电流ζ。

设 A、B、C 和 O 上的势用 A、B、C 和 O 来代表。导电方程是ax=B-C+E，αξ=O-A，

by=C-A，βη=O-B， cz＝A-B，γζ=O-C；

并有连续性方程

ξ+y-z=0，

η+z-x=0， ζ+x-y=0。

把体系看成由三个回路 OBC、OCA 和 OAB 构成，各回路中的电流分别为 x、y、z，并对每一个回路应用基尔霍夫的法则，我们就可以消去势 O、A、B、C 和电流ξ、η、ζ的值，而得到关于 x、y、z 的方程如下：

(α+β+γ)x-γy-βz=E，

-γx+(b+γ+a)y-az=0，

-βx-ay+(c+a+β)z=0。由此可见，如果令

α + β + γ - γ - β

D = -γb + γ + a - α， ，

-β - αc + a + β

我们就得到

ζ = E (bβ - cγ)， D

和x = E ｛(b + γ)(c + β) + a(b + c + β + γ)｝。D

1. 〕D

   的值可以写成对称式D=abc+bc(β+γ)+ca(γ+a)+ab(a+β)+(a+b+c)(βγ+γa+aβ)①，

或者，既然我们假设电池组是在 a 上而电流计是在α上，我们就可以把 a 换成电池组的电阻 B 而把α换成电流计的电阻 G。于是我们就得到

D=BG(b+c+β+γ)+B(b+γ)(c+β)

+G(b+c)(β+γ)+bc(β+γ)+βγ(b+c)。

假如使电动势沿着 OA 发生作用，而 OA 的电阻仍为α，并把电流计接在 BC 上，而 BC 的电阻仍为 a，则 D 的值将仍然相同，而由沿 OA 作用的电动势 E 在 BC 中引起的电流将等于沿 BC 作用的电动势 E 在 OA 中引起的电流。

但是，如果我们简单地摘掉电池组和电流计，而且不改变他们各自的电阻就把电池组接在 O 和 A 之间而把电流计接在 B 和 C 之间，则我们必须在 D 中把 B 和 G 二值互换。如果互换之后的 D 值是 D′，我们就得到

D-D′=(G-B)｛(b+c)(β+γ)-(b+γ)(β+c)｝，=(B-G)｛(b-β)(c- γ)｝。

让我们假设，电流计的电阻大于电池组的电阻。

让我们也假设，在原来的位置上，电流计把两个具有最小电阻β、γ 的导体的接头和两个具有最大电阻 b、c 的导体的接头连接了起来；或者换句话说，我们将假设，如果 b、c、γ、β各量是按照大小次序排列的，则b 和 c 是互接的而γ和β是互接的。由此可见，b-β和 c-γ这两个量同号， 因此他们的乘积是正的，从而 D-D′和 B-G 同号。

因此，如果电流计是连接了两个最大电阻的接头和两个最小电阻的接头的，而且电流计电阻大于电池组电阻，则 D 的值将小于二者互换时的值， 而电流计的偏转值则将较大。

① {D 是每次取三个电阻的各乘积之和，比时应略去交于一点的任意三个电阻的乘积。｝

因此，在一个给定体系中得到最大电流计偏转的规则如下：

在电池组电阻和电流计电阻这两个电阻中，应把较大的一个电阻接在其他四个电阻中的两个最大电阻的接头和两个最小电阻的接头之间。

1. 〕我们将假设我们必须测定导体 AB 和 AC 的电阻之比，而且作法就是在导体 BOC 上找到一个点 O，使得当 A 点和 O 点用一根中间接着电流计的导线连接起来，而电池组是在 B、C 之间起作用时，电流计指针没有可以觉察到的偏转。

导体 BOC 可以设想为被划分成若干等份的一根具有均匀电阻的导线， 这样，BO 和 OC 的电阻之比就可以立即读出。

我们也可以不是把整个的导体做成一根导线而只在靠近O 点处接上这样一根导线，而在每一侧的其他部分则可以采用一些其电阻为精确已知的任意形式的线圈。

现在我们将使用另外一套符号，而不再使用开始时使用的那种对称的符号。

设 BAC 的总电阻是 R。设 c=mR 而 b=(1-m)R。设 BOC 的总电阻是 S。设β=nS 而γ=(1-n)S。

n 的值是直接读出的，而 m 的值则当不存在可觉察的电流计偏转时由n 的值推出。

设电池组及其连线的电阻是 B，而电流计及其连线的电阻是 G。像以前一样，我们得到

D=G｛BR+BS+RS｝+m(1-m)R2(B+S)

+n(1-n)S2(B+R)+(m+n-2mn)BRS，

而如果ξ是电流计导线中的电流，则有

ξ = ERS (n- m) 。

D

为了得到最精确的结果，我们必须使指针的偏转和(n-m)的值相比要尽可能地大。这一点可以通过适当选择电流计的规格和标准电阻线来作到。

当我们在第 716 节中讲到量电流学时就将证明，当电流计导线的形状改变而其质量保持不变时，单位电流引起的指针偏转是正比于导线长度的，但是电阻却像长度的平方一样地增大。由此就可以证明，当电流计导线的电阻等于电路其余部分的常量电阻时，最大的偏转就出现。

在现有的事例中，如果δ是偏转，则

δ = C Gξ，

式中 C 是某一常数，而 G 是随导线长度的平方而变的电流计电阻。我们由此就得到，在 D 的表示式中，如果δ是最大值，则必须令包含 G 的部分等于表示式的其余部分。

如果我们也令 m=n，正如当我们作出了正确的观察时所应有的情况那样，我们就发现 G 的最佳值是

G=n(1-n)(R+S)。

这一结果很容易通过考虑从 A 到 O 通过体系的电阻而求得，这时要记得 BC 和 AO 相共轭，从而对这一电阻没有任何效应。

同样我们即将发现，如果电池组的作用表面的总面积已经给定，则由

于在这一事例中E正比于 B，电池组的最佳装配就出现在

B = RS 。

R + S

最后我们将确定那个 S 值，它使 n 值的一个给定改变量将引起最大的电流计偏转。把ξ的表示式对 S 求导线，我们发现它当

时有最大值。

S² =

BR

B + R

(R +

G

(1 − n))

如果我们必须进行许多次电阻测量，而所测的实际电阻具有接近相同的值，则为此目的而专门准备一个电流计和一个电池组是值得的。在这一事例中，我们发现最佳装配是

S = R，

1

B = R 2

，G = 2n(1 - n)R，

而且如果n = 1 则G =

2

1 R。

2

关于惠斯登电桥的应用

1. 〕我们已经论述了惠斯登电桥的普遍理论，现在我们将考虑它的一些应用。

可以作得最准确的是两个相等电阻的比较。

让我们假设β是一个标准电阻线圈。而我们想要调节γ使它的电阻等于β的电阻。

准备另外两个线圈 b 和 c，他们是相等的或接近相等的。把这四个线圈的电极插入水银杯中，并使电池组的电流分成两路，一路是β和γ而另一路是 b 和 c。线圈 b 和 c 是用一根导线 PR 连接的，该导线的电阻要尽可能地均匀，并且附有等分的标尺。

图 33

电流计的导线把β、γ的接头和导线 PR 上的一点 Q 相连接，并且变动接触点 Q，直到当先接通电池组电路而后接通电流计电路时观察不到电流计指针的偏转时为止。

然后交换线圈β和γ的位置，并找出 Q 点的一个新位置。如果新位置和旧位置相同，我们就知道β和γ的交换并没有引起电阻比例方面的变化，从而γ就是调好了的。如果 Q 点必须移动，这种变动的方向和大小就将显示为使γ和β的电阻相等所要求的γ的导线长度改变量的性质和数量。

线圈 b 和 c，再加上它们到零读数点的滑线 PR 上的那一段，如果二者的电阻分别等于滑线上 b 格和 c 格的电阻，那么，如果 x 是第一种情况下的 Q 点读数，而 y 是第二种情况下的 Q 点读数，则有

c + x = β ， c + y = γ ，

b − x γ b − y β

由此即得

γ 2 =

( b + c)(y − x)

β² 1 + (c + x)(b − y) ．

既然 b-y 近似地等于 c+x，而且二者都比 x 或 y 大得多，我们就可以把上式写成

γ 2 =

y − x

从而就有

β2 1 + 4 b + c ，

γ = β(1 + 2 y − x )．

b + c

当γ已经尽可能地调好时，我们把 b 和 c 换成例如电阻变为十倍的另外两个线圈。

这时在β和γ之间保留着的差值将比使用原来的线圈 b 和 c 时引起 Q 点位置的十倍大的差别，从而利用这种办法我们就可以继续提高电阻比较的精确度。利用滑线接触法来调节可以进行得比利用电阻箱更加迅速，而且还可以连续变化。

电池组绝不可以代替电流计而接在滑线上，因为强电流在接触点上的通过将损坏滑线的表面。因此，这种装配就适用于电流计电阻大于电池组电阻的情况。

当待测电阻γ、电池组电阻 a 和电流计电阻α已经给定时，奥立沃·亥维赛先生曾经证明(Phil.Mag.,Feb.1873)其他各电阻的最佳值是

b =

β = ．

关于小电阻的测量

1. 〕当一个短而粗的导体被接入电路中时，它的电阻比由接触不良或焊接不好之类的不可避免的缺点所造成的电阻还要小得多，从而就不能用按上述方式作的实验来得出正确的电阻值。

图 34

这样一些实验的目的通常是测定物质的比电阻，而且当物质不能做成又长又细的导线时，或是当既要测量纵向导电的电阻又要测量横向导电的电阻时，这种实验就常被采用。

W.汤姆孙爵士①曾经描述了一种适用于这些事例的方法，我们将把这种方法看成一组九个导体的例子。

① Proc.R.S.,June 6,1861.

这种方法的最重要部分就在于不是测量导体的整个长度的电阻，而是测量靠它两端不远处的两个记号之间的那一段的电阻。

我们所要测量的，就是其强度在导体的任一截面都均匀分布而其流动方向则平行于导体轴线的那个电流所遇到的电阻。喏，在端点附近，当电流借助于电极而被引入时，不论是焊接的、汞齐化的还是简单地压在导体两端上的电极，通常电流在导体中的分布都是不够均匀的。在离开端点一段小距离的地方，电流就变得基本上均匀了。读者可以自行检视第 193 节中的考察和图片；在那儿，一个电流从一条边上被送入了一片有着平行边的导体中，而很快就变得和两边平行了。

图 35

要比较的是一些导体在某些记号 S、S′之间和 T、T′之间的电阻。导体被串联起来，而且通过尽可能好的接法被接入一个电阻很小的电

池组的电路中，一根滑线 SVT 的两端在 S 点及 T 点和导体相接触，而另一根滑线 S′V′T′则在 S′点及 T′点和导体相接触。

电流计的导线接在这些滑线的 V 点和 V′点上。

滑线 SVT 和 S′V′T′具有很大的电阻，以致由于 S、T、S′或 T′处的接触不良而引起的电阻和滑线的电阻比起来可以忽略不计；V、V′二点要取得适当，以使每一导线通向两个导体的支路电阻之比近似地等于二导体的电阻之比。

用 H 和 F 代表导体 SS′和 TT′的电阻。用 A 和 C 代表支路 SV 和 VT 的电阻。

用 P 和 R 代表支路 S′V′和 V′T′的电阻。用 Q 代表连接器 S′T′的电阻。

用 B 代表电池组及其连线的电阻。用 G 代表电流计及其连线的电阻。

体系的对称性可以由线路图 34 看出。

图 36

电池组 B 和电流计 G 相共轭的条件，在这一事例中是①

F − H + ( R − P ) Q

= 0．

C A C A P + Q + R

现在，导体 Q 的电阻是弄得尽可能地小的。假如它等于零，条件就将简化为

F = H ，

C A

从而所要比较的两个导体的电阻之比就将是 C 和 A 之比，就像在通常形式的惠斯登电桥中一样。

在现有的事例中，Q 的值和 P 或 R 相比都是很小的，因此，如果我们选择 V、V′二点，使得 R 和 C 之比近似地等于 P 和 A 之比，则方程中的最

① {这一条件可以通过在第五章附录中给出的法则来导出。}

后一项将变为零，而我们就将有

F∶H=C∶A。

这种方法的成功，在某种程度上依赖于滑线和被测导体在 S、S′、T、T′点上的接触良好性。在马提森和霍金①所应用的下述方法中，这一条件就不必要了。

1. 〕待测的导体按以上已经描述的方式排列，其接通处要尽量完善，而所要比较的是第一个导体上 S、S′之间的电阻和第二个导体上 T′、T 之间的电阻。

两个导电的尖端或刀口被固定在一块绝缘材料上，从而他们之间的距离可以精确测量。这个仪器放在被测试的导体上，从而它和导体的两个接触点就是隔着一段已知的距离 SS′的。这些接触物中的每一个都接着一个水银杯，而电流计的一个极就可以插入杯中。

仪器的其他部分就像在惠斯登电桥中一样安排得有电阻线圈或电阻箱 A 和 C，和一根带着滑动接触器的导线，而电流计的另一个极 o 就接在这个接触点上。

现在把电流计接在 S 和 Q 上，调节 A1 和 C1 并调节 Q 的位置（即 Q1）， 使得电流计的导线中没有电流。

于是我们就知道，

XS = A 1 + PQ1 ．

SY C1 + Q1R

式中 XS、PQ1 等等代表各该导体的电阻。由此我们得到

XS =

XY

A1 + PQ1 ．

A 1 + C1 + PR

现在把电流计的电极接在在 S′上，并（通过把一些电阻线圈从一边挪到另一边）从 C 向 A 搬运电阻，直到可以通过把 Q 放在滑线的某点例如Q2 上而得到电流计导线中的电平衡。设现在 C 和 A 的值是 C2 和 A2，并设

A2+C2+PR=A1+C1+PR=R。

于是我们就和以前一样得到

XS′ = A 2 + PQ2 ．

XY R

由此即得

SS′ = A 2 − A1 + Q1Q2 ．

XY R

按同样办法，把仪器放在第二个导体的 TT′段上，并且再次调动电阻，当电极位于 T′时我们就得到

XT′ = A 3 + PQ3 ，

XY R

而当电极位于 T 时则得到

XT = A 4 + PQ4 ．

XY R

① Laboratory.Matthiessen and Hockin on Alloys.

由此即得

T′T = A 4 − A 3 + Q 3Q 4 ．

XY R

现在我们可以推出 SS′和 T′T 的电阻之比了，因为

SS′

T′T

= A 2 − A1 + Q1Q 2 ．

A 4 − A 3 + Q 3Q 4

当并不要求很大的精确度时，我们就不必使用电阻线圈 A 和 C，这时我们就得到

SS′

T′T

= Q 1Q2 ．

Q 3Q 4

一根一米长的滑线上的 Q 点位置读数，不能精确到十分之一毫米，而且由于温度、摩擦等等的不相等，滑线的电阻可能在不同的部分变化颇大。因此，当要求很高的精确度时，就要在 A 和 C 两处引入电阻颇大的线圈， 而这些线圈的电阻之比就可以比滑线在 Q 点被分成的两部分的电阻之比被测得更准确。

必须知道，在这种方法中，测定的精确度简直和 S、S′或 T、T′等处的接触的完善性完全无关。

这种方法可以叫做应用惠斯登电桥的差分用法，因为它依赖于分别作出的一些观察结果的比较。

这种方法中的精确性的一个根本条件就是，在完成测定所要求的四次观测过程中，各连接部分的电阻应该保持相同。因此，为了发现电阻的任何变化，观测系列永远必须重复进行①。

关于大电阻的比较

1. 〕当要测量的电阻很大时，体系中不同点上的势的比较，可以借助于一个精密的静电计来进行，例如借助于第 219 节中的象限静电计来进行。

如果要测量其电阻的那些导体是串联的，而且借助于一个电动势很大的电池组使一个相同的电流通过这些导体，则每一导体两端的势差将正比于该导体的电阻。因此，通过把静电计的两极先接在第一个导体的两端而后再接在第二个导体的两端，就可以测定该二导体的电阻之比。

这是测定电阻的最直接的方法。它涉及一个读数可靠的静电计的应用，而且我们必须有某种保证，可使电流在实验过程中保持不变。

四个大电阻的导体也可以像惠斯登电桥那样地接起来，而桥路本身则可以包括一个静电计的而不是一个电流计的两极。这种方法的好处就在于，为了引起静电计的偏转，并不要求任何持久的电流，而电流计则非有一个电流通过不能偏转。

1. 〕当一个导体的电阻非常大，以致用任何既有的电动势送进去的通过它的电流都小得无法用一个电流计来直接测量时，就可以用一个电容器来在一段时间内积累电荷，然后，让电容器通过一个电流计而放电，所

① {关于小电阻的另一种比较方法，见 Lord Rayleigh,Proceedings of the Cambridge Philo－sophical Society,vol.v.p.50．}

积累的电量就可以被估计出来。这就是布来特和克拉克用来测试海底电缆接头的那种方法。

1. 〕但是，测量这样一个导体的电阻的最简单方法，就是把一个电容很大的电容器充电，并把它的两个表面和一个静电计的两个极接起来， 而同时也和导体的两端接起来。如果 E 是静电计所指示的势差，S 是电容器的电容，Q 是电容器任一表面上的电荷，R 是导体的电阻而 x 是导体中的电流，则由电容器理论可得

由欧姆定律， 而由电流的定义，

由此即得

从而就有

Q=SE。

E=Rx，

x = − dQ ．

dt

−Q = RS dQ ，

dt

• t

Q = Q 0e

式中 Q0 是起初 t=0 时的电荷。同理，

RS ，

E = E0e

• t

RS ，

式中 E0 是静电计的原始读数，而 E 是在时间 t 以后的读数。由此我们就得到

R = t ，

S loge E0 − loge E

此式按绝对单位给出了 R。在这一表示式中，关于静电计刻度的单位值的知识是不必要的。

如果电容器的电容 S 是在静电单位制中作为若干米而被给出的，则 R 也是在静电单位制中作为一个速度的倒数而被给出的。

如果S是在电磁单位制中被给出的，则它的量纲是 T

T

个速度。

，而R就是一

既然电容器本身并不是一个理想的绝缘体，那就有必要进行两个实验。在第一个实验中，我们测定导体本身的电阻 R0；而在第二个实验中， 我们测定当导体和电容器的两极相接时电容器的电阻，于是导体的电阻 R 就由下式给出，

1 = 1 − 1 ．

R R′ R ₀

这种方法曾由西门子先生应用过。

测定电流计电阻的汤姆孙方法

1. 〕一种和惠斯登电桥相似的装置曾被 W．汤姆孙爵士很有好处地应用于电流计在实际使用中的电阻的测定。在这方面，W．汤姆孙爵士受到了曼斯方法的启发。参阅第 357 节。

设电池组仍像从前那样接在第 347 节的图中的 B 和 C 之间，但是电流计却接在 CA 上而不接在 OA 上。如果 bβ-cγ=0，则导体 OA 和 BC 共轭， 而且，由于 BC 上的电池组并不在 OA 中产生电流，任何其他导体中的电流强度就都和 OA 上的电阻无关。因此，如果电流计接在 CA 上，它的偏转就将保持相同，不论 OA 上的电阻是小还是大。因此，我们就可以观察电流计的偏转当 O 和 A 被一个导体接通时是否和不被接通时相同，而且，如果我们通过适当调节各导体的电阻而得到了这一结果，我们就知道电流计的电阻是

b = cγ ，

β

式中 c、γ和β是电阻已知的电阻线圈。{译按：原文如此，其意义当是“线圈的已知电阻”。}

图 37

可以注意，在电流计中并无电流的意义上，这不是一种调零法；但是所观察的是一个负效应，即当接通某一支路时电流计的偏转不变，而在这种意义上，这正是一种调零法。这样一种观察比同一电流计的两次不同偏转相等的观察更有价值，因为在后一事例中有一定的时间来让电池组的强度或电流计的灵敏度发生变化，而当我们可以随便重复某些变动而偏转则保持不变时，我们却可以确信电流是和这些变动完全无关的。

一个电流计线圈的电阻的测定很容易通过在 OA 上接入另一个电流计而用惠斯登电桥来按普通方法完成。利用现在所描述的方法，电流计本身却被用来测量它自己的电阻。

测定电池组电阻的曼斯方法

1. 〕电池组正在起作用时的电阻的测定，是困难程度更大得多的， 因为人们发现，在通过它的电流发生变化以后的一段时间内，电池组的电阻会有相当的变化。在通常用来测量一个电池组的电阻的许多方法中，通过电池组的电流强度在操作过程中是会发生这样的变化的，从而就使所得的结果很可怀疑了。

在没有这种缺点的曼斯方法中，电池组被接在 BC 上而电流计被接在CA 上。然后 O 和 B 之间的电路就被交替地接通和断开。

喏，如果 OB 和 AC 是共轭的，则不论 OB 的电阻如何变化，电流计指针的偏转都会保持不变。这可以看成在第 347 节中已经证明的那种结果的一个特例，也可以通过从该节那些方程中消去 z 和β而直接看出，那时我们就有

① Proe.R.S.,Jan.19,1871.

① Proc.R.S.,Jan.19,1871.

(aα-cγ)x+(cγ+ca+cb+ba)y=Ea。

如果 y 和 x 无关并从而和β无关，我们就必有 aα=cγ。这样就由 c、γ、α得出了电池组的电阻。

当条件式 aα=cγ得到满足时，通过电流计的电流由下式给出，

y = Ea ， =

cb + a(a + b + c)

Eγ

ab + γ (a + b + c) ．

为了检验这种方法的精确度，让我们假设条件式 cγ=aα近似地而不是准确地得到满足，并假设 y0 是当 O 和 B 被一个电阻可忽略的导体接通时通过电流计的电流，而 y1 是 C 和 B 完全断开时通过电流计的电流。

图 38

为了求出这些值，我们必须在 y 的普通公式中令β等于 0 和∞，然后比较所得的结果。

y 的普遍值是

cγ + βγ + γa + aβ E，

D

式中 D 代表第 348 节中的同一个表示式。令β=0，我们得到

y0 =

γE

ab + γ (a + b + c) + c(cα − cγ )

a + c

c(cγ - aα) y²

= y +

令β=∞，我们得到

γ (c + a)

E ，近似地，

y1 =

E

ab (aα − cγ)b ，

a + b + c + γ −

(γ + a)γ

= b(cγ − aα) y ²

由这些值，我们即得

y − γ (γ + a) E ．

y0 − y1 y

a cγ − aα

γ (c + a)(a + γ ) ．

导体 AB 的电阻 c 应该等于电池组的电阻 a；α和γ应该相等并尽可能地小；而 b 应该等于 a+γ。

既然一个电流计当指针偏转很小时最为灵敏，我们在接通 O 和 B 以前就应该利用固定的磁体把指针弄到靠近零点的地方。

在这种测量电池组电阻的方法中，电流计中的电流在操作过程中是不受任何干扰的，因此我们就可以针对任何给定的电流计中的电流强度来确定电池组的电阻，以确定电流强度如何影响电阻①。

① [在 Philosophical Magazinefor 1877,vol.i.pp.515－525 上，奥立沃·亥维赛先生曾经作为曼斯方法的一个缺点而指出了，如果方程 aα＝cγ成立，则由于电池组的电动势依赖于通过电池组的电流，故当开关合上和开断时电流计指针的偏转不可能是相同的。洛治先生描述了曼斯方法的修订形式，这是他成

如果 y 是电流计中的电流，当开关合上时通过电池组的电流是 x0，而当开关断开时的电流是 x1，此处

x = y(1 + b + ac )，x = y(1 + b )，

⁰ γ γ (a + c) ¹ b + γ

则电池组的电阻是

而电池组的电动势是

a = cγ ，

α

c

E = y(b + c + a (b + γ))。

第 356 节中确定电流计电阻的方法和这里的方法只有一点不同，那就是电路的通断是在 O、A 之间而不是在 O、B 之间，从而通过把α和β互换和把 a 和 b 互换，我们就在这一事例中得到

y0 − y1 = β cγ − bβ ．

y γ (c + β)(β + γ )

关于电动势的比较

1. 〕在装置中没有电流通过时比较伏打装置及温差装置的下述方法，只需要一组电阻线圈和一个恒定电池组。

设电池组的电动势 E 大于所要比较的任何一个发电装置的电动势，那么，如果把一个足够大的电阻 R1 插入到初级回路 EB1A1E 中的 A1、B1 二点之间，则从 B1 到 A1 的电动势可以弄成等于发电装置 E1 的电动势。如果现在把这一装置的电极接在 A1、B1 二点上，就不会有电流通过该装置。在发电装置 E1 的电路上接一个电流计 G1，并调节 A1 和 B1 之间的电阻直到电流计不指示任何电流时为止，我们就得到方程

E1=R1C

式中 R1 是 A1 和 B1 之间的电阻，而 C 是初级回路中的电流强度。

同样，取第二个发电装置并把它的电极接在 A2 和 B2 上，使得电流计 G2 不指示任何电流，就得到

E2=R2C，

式中 R2 是 A2 和 B2 之间的电阻。如果电流计 G1 和 G2 的观察是同时进行的， 初级回路中的 C 值在两个方程中就是相同的，从而我们就得到

E1∶E2=R1∶R2。

用这种方法，就可以比较两个发电装置的电动势。一个发电装置的绝对电动势既可以在静电学上借助于一个静电计来测量又可以在电磁学上借助于一个绝对电流计来测量。

在这种方法中，在进行比较的时间内没有任何电流通过其中任何一个发电装置。这种方法是波根道夫方法的一种修订形式；这是由拉提摩·克拉克先生提出的，他曾经得出了下列的各电动势的值：

功地应用了的。]

一伏特就是等于 100，000，000 厘米-克-秒单位的一个电动势。

第十二章

关于物质的电阻

1. 〕按照电在他们中通过的情况，不同的物质可以分成三类。

第一类包括所有的金属及其合金、某些硫化物以及含金属的其他化合物，此外还包括煤化焦炭形态的碳和晶体形态的硒。

在所有这些物质中，导电都是在不引起物质的分解或化学本性的改变的情况下进行的，不论在物质的内部还是在电流进入和离开物体的地方都如此。在所有这些物质中，电阻是随温度的升高而增大的①。

第二类包括称为电解质的那些物质；其所以称为电解质，是因为电流和物质变成出现在电极上的两种成分的那种分解相伴随。通常说来，一种物质只有当处于液体形态时才是一种电解质，但是某些表观上是固体的胶体，例如 100℃下的玻璃，也是电介质①。按照 B．C．布罗迪爵士的实验来看，似乎某些气体也可以被很强的电动势所电解。

在所有通过电解而导电的物质中，电阻都随着温度的升高而减小。第三类包括一些物质，他们的电阻如此之大，以致只有利用最精巧的

方法才能探测电在他们中的通过。这些物质叫做电介质。属于这一类的有相当多的当融解时是电解质的固体，有一些液体例如松节油、石油精、融解的石腊等等，还有所有的气体和蒸汽。金刚石形态的碳和非晶态的硒也属于这一类。

这一类物体的电阻比起金属的电阻来是非常大的，它随着温度的升高而减小。由于这些物质的电阻很大，人们很难确定我们勉强在他们中得到的微弱电流是不是和电解相伴随。

关于金属的电阻

1. 〕在电学的研究中，没有任何部分比金属电阻的确定有更多的和更精确的实验。在电报工作中，最重要的就是用来制造电线的金属应有尽可能小的电阻。因此在选定材料以前必须进行电阻的测量。当线路上出了故障时，故障的位置通过测量电阻就能立即确定，而现在占用了那么多人的这种测量就要用到用金属做成的电阻线圈，而那种金属的电学性质也必须经过仔细的测试。

金属及其合金的电学性质曾由马提森、佛格特、霍金、西门子等先生很仔细的研究过，他们在把精密的电学测量引入到实际工作中来的方面作出了许多贡献。

从马提森博士的研究可以看出，温度对电阻的影响在相当多的纯金属中是近似相同的 100℃时的电阻和 0℃时的电阻之比是 1.414 比 1，或者说是 100 比 70.7。对纯铁来说，比值是 1.6197，而对铊来说则是 1.458。

① {对于这一说法，碳是一种例外；而佛森诺近来曾经发现，一种锰铜合金的电阻当温度升高时是减小的。}

① {考耳若什曾经证实，银的卤化物在固态下是电解导电的，见 Wied.Ann.17.p.642,1882}。

金属的电阻曾由 V.W.西门子博士①在广阔得多的温度范围内观察过， 其范围从冰点扩展到 350℃，而且在某些事例中扩展到 1000℃。他发现， 电阻随温度的升高而增加，但是增加率却随温度的升高而减小。他发现有一个公式既和马提森博士在低温度下观察到的电阻符合得很好，也和他自己在 1000℃的范围内的观察结果符合得很好；那公式就是

1

r = aT 2 + βT + βγ，

式中 T 是从-273℃算起的绝对温度，而α、β、γ是一些常量。例如，对于

1

铂 r = 0.039369T2 + 0.00216407T - 0.2413 ②，

1

铜 r = 0.026577T2 + 0.0031443T - 0.22751，

1

铁 r = 0.072545T2 + 0.0038133T - 1.23971。

由这一类的想法可知，一个炉子的温度，可以通过观察放在炉中的一根铂丝的电阻来加以测定。

马提林博士发现，当两种金属结合成合金时，合金的电阻在多数事例中都大于按照各成分金属的电阻及其性质来算出的电阻。在金和银的合金的事例中，合金的电阻既大于纯金的又大于纯银的电阻，而且，在各成分的一定限度的比例范围之内，合金的电阻几乎不随比例的变化而变化。基于这种原因，马提森博士就建议用两份重量的金和一份重量的银的合金来作为复制电阻单位的一种材料。

温度变化对电阻的效应，通常在合金中比在纯金属中要小。

因此普通的电阻线圈是用德银制成的，因为这种合金的电阻很大而其随温度的变化很小。

银和铂的一种合金也被用来制造标准线圈。

1. 〕某些金属的电阻当金属被退火时就会改变，从而只有当一根金属丝通过反复地升到高温而不显再示电阻的永久变化时，它才能够可靠地被当作一种电阻的标准。有些金属丝即使没有遭受温度的变化也会在时间过程中改变自己的电阻。因此确定汞的比电阻就是重要的。汞这种金属是液体，从而永远有相同的分子结构，而且很容易通过蒸馏或用硝酸处理来加以提纯。W.西门子和 C.F.西门子曾经很细心地测定了这种金属的电阻， 他们引用了这个电阻来作为一种标准。他们的研究曾经得到了马提森和霍金的实验的补充。

汞的比电阻是由观察到的一根长度为l 并充有质量为ω的汞的管子的电阻按下述方式推出的。

没有任何玻璃管的内径是到处完全相同的，但是，如果把少量的汞装入管中使它占据管子的一个长度λ，而这个长度的中点到管子一端的距离

① Proc.R.S.,April，27,1871.

② {卡林达先生近来在开文迪什实验室中所作的关于铂的电阻的实验已经证明，这些表示式是和高温下的事实不一致的。西门子的关于铂的公式要求电阻的温度系数在高温下变为常量并等于 0.0021，而实验却似乎在很高的温度下指示着一个慢得多的增加率，如果不是减小率的话。见 H.L.Callendar,‘On the Practical Measurement of Tempera－ture,’PhilTrans.178 A.pp.161 －230.}

是x，则这一点附近的截面积s将是s = C 。式中C是一个相同的常量。

λ

充满整个管子的汞的质量是

w = ρ∫ sdx =ρC∑( 1 ) l ，

λ n

式中 n 是沿管子等距排列的在那里测量λ的各点的数目，而ρ是单位体积的质量。

整个管子的电阻是

R = ∫ r dx = r ∑(λ) l ，

s

式中 r 是单位体积的比电阻。由此可得

C n

1 l ²

ωR = rρΣ(λ)Σ( λ ) n 2 ，

从而单位体积的比电阻就是

r = wR n

ρl 2 1

∑(λ)∑( λ )

为了求出单位长度和单位质量的电阻，我们必须用密度来乘这个量。由马提森和霍金的实验可知，长度为一米而重量为一克的均匀汞柱在

0℃时的电阻是 13.071 大英协会单位；由此可见，如果汞的比重是 13.595， 则长度为一米而截面积为一平方毫米的汞柱的电阻是 0.96146 大英协会单位。

1. 〕在下面的表中，是按照马提森的实验①得出的电阻，R 是长度为一米而重量为一克的一个柱体在 0℃下以大英协会单位计的电阻，而 r 是一个立方厘米体积以厘米每秒计的电阻，这时假设一个大英协会单位等于0.98677 地球象限弧。

比重 R. r. 20℃下每 1℃的电阻增量百分比

金 2，银 1⋯⋯ 15.218 冷或退火 1.668 18326 0.065

100℃下的硒 晶态 6×1013 1.00

关于电解质的电阻

① Phil.Mag.,Mag,1865.

① {更新的实验已经给出了汞的比电阻的不同值。下面是在 0℃下对长度为一米而截面为一平方毫米的汞柱的电阻测定结果，以大英协会单位计：Lord Rayleigh and Mrs.Sidgwick,Phil.Trans.Part I.1883…95412,Glazebrook and Fitzpatrick,Phil.Truns.A.1888…95352,Hutchinson and Wilkes,Phil.Mag.(5).28.17.1889…95341.}

1. 〕电解质电阻的测量，由于电极上的极化而成为很困难的；这种极化导致观察到的金属电极之间的势差大于实际上产生电流的那个电动势。

这一困难可以用各种方法来克服。在某些情况下我们可以用适当材料的电极来消除极化，例如在硫酸锌溶液中用锌电极。通过把电极的表面做得比要测其电阻的那一部分电解质的截面大得多，并通过沿相反的方向交替地在短时间内接通电流，我们可以在电流的通过激起任何相当强的极化以前进行测量。

最后，通过进行两个不同的实验，我们也可以估计极化的总效应；在这两个实验中，电流在一个实验中在电解质中经过的路程要比在另一个实验中的路程长得多，而电动势则调节得使两个实验中的实际电流和他们流动的时间都接近相同。

1. 〕在帕耳佐夫博士② 的实验中，电极被做成大圆盘的形状，放在分开的扁平容器中，容器中充有电解质，另外把一个很长的充有电解质的虹吸管的两端插在两个容器中，以便把他们连接起来。用了两个不同长度的这种虹吸管。

观察到的这些虹吸管中的电解质的电阻是 R1 和 R2；然后在这些虹吸管中充入汞，测得他们的电阻是 R1′和 R2′。于是就由公式

ρ = R1 − R2 ．

R ′ − R ′

求出了形状相同的一部分汞和一部分电解质在 0℃下的电阻之比。

为了从各个ρ值推出长度为一厘米而截面积为一平方毫米的电解质的电阻，我们必须用汞在 0℃下的 r 值去乘这些ρ值。参阅第 361 节。

帕耳佐夫给出的结果如下：

硫酸和水的混合物

温度 电阻和汞电阻之比

H2SO4 ⋯⋯15℃ 96950

H2SO4+14H2O⋯⋯19℃ 14157

H2SO4+13H2O⋯⋯22℃ 13310

H2SO4+499H2O⋯⋯22℃ 184773

硫酸锌和水

ZnSO4+33H2O⋯⋯23℃ 194400

ZnSO4+24H2O⋯⋯23℃ 191000

ZnSO4+107H2O⋯⋯23℃ 354000

硫酸铜和水

CuSO4+45H2O⋯⋯22℃ 202410

CuSO4+105H2O⋯⋯22℃ 339341

硫酸镁和水

MgSO4+34H2O⋯⋯22℃ 199180

MgSO4+107H2O⋯⋯22℃ 324600

② Berlin Monatsbericht,July,1868.

盐酸和水

HCl+15H2O⋯⋯23℃ 13626

HCl+500H2O⋯⋯23℃ 86679

1. 〕F.考耳劳什先生和 W.A.尼波耳特先生①曾经测定了硫酸和水的混合物的电阻。他们使用了磁电式的电流，其电动势

1 1

变动于格罗夫电池的电动势的 2 到 74 之间，而借助于一个铜- 铁温差电

偶，他们把电动势减到了格罗夫电池电动势的

1

429000

。他们发现，在整

个的电动势范围之内，欧姆定律是适用于这种电解质的。

在含有大约三分之一的硫酸的混合物中，电阻有最小值。

电解质的电阻随温度的升高而减小。每增加 1℃时的电导增时百分比列在下面的表中：

以 0℃下的汞电阻表出的硫酸和水的混合物在 22℃下的电阻。据考耳若什和尼波耳特。

关于电介质的电阻

1. 〕关于古塔波胶和在电报电缆的制造中用作绝缘媒质的其他材料，曾经进行过许多的电阻测定，为的是要确定这些材料作为绝缘质的价值。

通常测定是在材料已经用作导线的包皮以后才进行的，而导线就被用作一个电极；电缆被浸入一个水槽中，槽中的水就被用作另一个电极。于是电流就是透过用绝缘质制成的一个面积很大而厚度很小的圆柱形包皮而流动的。

经发现，当电动势开始作用时，电流绝不是恒定的，就如电流计所指示的那样。最初的效应当然是一个强度相当大的瞬变电流，总的电量被用来把绝缘体的表面充电到和电动势相对应的面电荷分布。因此，最初的电

① Pogg.，Ann.cxxxviii.pp.280，370，1869.

流就不是电导的一种量度而是绝缘层电容的一种量度。

但是，即使在这种电流已经衰减掉以后，剩下来的电流也还不是恒定的，而且也并不指示物质的真实电导。人们发现电流至少在半小时之内还要继续减小，因此，如果过了一段时间以后再来按电流确定电阻，得到的值将大于刚一加上电池组就进行确定的电阻值。

例如，对于胡波尔的绝缘材料来说，十分钟结束时的表观电阻是一分钟结束时的表观电阻的四倍，而十九小时结束时的表观电阻则是一分钟结束时的表观电阻的二十二倍。当电动势的方向倒转时，电阻就降到等于或低于起初的电阻，然后又逐渐增高。

这些现象似乎起源于古塔波胶的一种状态；由于没有更好的名称，我们可以把这种状态叫作极化，并且一方面把它和一系列级联充电的莱顿瓶的状态相比拟，而另一方面又把它和第 271 节中的里特尔次级电堆相比拟。

如果把若干个大电容的莱顿瓶用一些电阻很大的导体（例如高更实验中的湿棉线）串联起来，则作用在这一串莱顿瓶上的一个电动势将产生一个电流，而正如一个电流计所指示的那样，这个电流将逐渐减小，直到各个莱顿瓶已经完全充电时为止。

这样一串东西的表观电阻将增大，而如果各个莱顿瓶的电介质是一种理想绝缘体，则表观电阻将无限地增大。如果电动势被取消，而把这一串东西的两端连接起来，那就可以观察到一个反向的电流，而其总电量在理想绝缘体的事例中将和正向电流的总电量相同。在次级电堆的事例中也观察到类似的效应，所不同的是最后的绝缘不是那么好，而且每单位面积的电容要大得多。

在用古塔波胶等等为包皮的电缆事例中，人们发现，在加上电池组半小时以后，若把导线和外电极连接起来，就会出现一个反向电流；这个电流将持续一段时间，并逐渐使体系还原到原来的状态。

这些现象是和由莱顿瓶的“残余放电”所指示的那些现象种类相同的，只除了极化的数量在古塔波胶等等中比在玻璃中要大得多。

这种极化状态似乎是材料的一种有向的性质；为了造成这种状态，不但要有一个电动势，而且要按照位移或其他方式而有一个相当大的电量的通过，而这种通过是需要相当的时间的。当极化状态已经建成时，就有一个内电动势在物质内部沿相反的方向而作用着；这种电动势将继续存在， 直到它已经产生了一个总量等于第一个电流的反向电流，或是极化状态已经通过物质中的真实导电而暗暗消失时为止。

我们曾经称之为残余放电、电的吸收、起电或极化的那种现象的整个理论，是值得仔细研究的，而且是也许会导致有关物体之内部结构的重要发现的。

1. 〕多数电介质的电阻是随温度的升高而减小的。例如，古塔波胶在 O℃时的电阻约为它在 24℃时的电阻的二十倍。布莱特先生和克拉克先生曾经发现，下面的公式可以给出和他们的实验相符的结果。如果 r 是古塔波胶在百分温度计 T 度下的电阻，则在 T+t 度下的电阻将是

R=r×Ct,

式中 C 是一个常数，其数值随古塔波胶品种的不同而在 0.8878 和 0.9 之间变动。

霍金先生曾经证实了这样一件希奇的事实：只有当古塔波胶已经达到了它的末温度若干小时以后，它的电阻才能达到它的对应值。

温度对弹性橡皮的电阻的影响，不像对古塔波胶电阻的影响那么大。当受到压力时，古塔波胶的电阻将有颇大的增加。

用在不同电缆中的不同古塔波胶的一立方米的电阻，以欧姆为单位， 如下表所示①：

电缆名称

红海 267×1012 到.362×1012

马尔他—亚里山大里亚 1.23×1012

波斯湾 1.80×1012

第二大西洋 3.42×1012

胡波尔的波斯湾缆芯 74.7×1012

24℃下的古塔波胶 3.53×1012

1. 〕根据第 271 节所描述的布夫实验算出的下面这个表，表示了不同温度下一立方米玻璃的以欧姆为单位的电阻。

1. 〕C.F.瓦尔莱先生① 近来曾经考察了电流通过稀薄气体的条件， 他发现电动势 E 等于一个常量 E0 和一个按照欧姆定律而依赖于电流的部分，即

E=E0+RC.

例如，使某一个管子中开始出现电流时所需要的电动势，是 323 个丹

聂耳电池的电动势，而 304 个电池的电动势就刚刚足以维持电流了。按照

电流计的测量，电流强度正比于比 304 多出的电池数目。例如，对于 305 个电池，偏转为 2；对于 306 个电池，偏转为 4；对于 307 个电池，偏转为6；如此等等，直到 380，那就是 304+76，这时偏转为 150，或 76×1.97。

由这些实验可以看出存在电极的一种极化，其电动势等于 304 个丹聂耳电池的电动势，而且直到此值为止，电动势是被用来建立这种极化状态的。当最大极化已经建成时，比 304 个电池电动势多出的部分电动势就被用来按照欧姆定律维持电流了。

因此，一种稀薄气体中的电流规律，和通过一种电解质的电流规律很相像；在电解质中，我们是必须照顾到电极的极化的。

联系到这一课题，我们必须研讨汤姆孙的结果；那就是，曾经发现， 在空气中产生一个火花所需要的电动势不是正比于距离而是正比于距离加一个常量。和这个常量相对应的电动势可以看成电极极化的强度。

1. 〕魏德曼先生和吕耳曼先生① 近来研究了电在气体中的通过。电

① Jenkin’s Cantor Lectures.

① Proc.R.S.,Jan,12,1871.

① Berichte der Konigl,Sachs. Gesellschaft, Leipzing, Oct.20, 1871.

流是用霍耳兹起电机来产生的，放电发生于充有稀薄气体的一个金属容器中的球形电极之间。放电通常是不连续的，相继放电之间的时间阶段利用一个和霍耳兹起电机的轴一起转动的镜子来测量。放电系列的像借助于一个具有分格物镜的测日计来观察；测日计被调节好，使每一次放电的一个像和下一次放电的另一个像相重合。利用这种方法，得到了很自洽的结果。经发现，每次放电的电量不依赖于电流强度和电极材料，而是依赖于气体的种类和密度，并依赖于电极的距离和形状。

这些研究证实了法拉第的下列叙述②：使一个导体的带电表面上开始出现一次破坏性放电时所需要的电张力（参阅第 48 节），当所带的是负电时将比所带的是正电时稍小，但是当一次放电确已发生时，一次在正电表面上开始的放电所放出的电却要多得多。这些研究也倾向于支持在第 57 节中提出过的假说，那就是，凝聚在电极表面上的气体层在现象中起重要的作用。而且这些研究也指示出来，这种凝聚是在正电极上最大的。

② Exp.Res.,1501.