学过高等数学的人都会记得欧拉常数 r（Euler’sconstant），它表

示的是一个数列的极限, 即 lim(∑ 1

I n*

), 它就是由我们下面将要介绍的18

n→∞ k =1 k

世纪瑞士最著名的数学家列昂纳德·欧拉（Leonhard Euler）于 1740 年提出的，它和 r 函数，黎曼 S 函数以及伯努利数等有密切的关系。数学大师们一直在猜想它是个超越数，但至今还不知道它是不是无理数。通过近似计算

ⁿ 1 1 1

我们可以得到r = lim （∑ − I n ） = lim （1 + + − I n ） = 0.5772156 64

n→∞

k =1 k

n→∞ 2 n

90153286060651209⋯，1972 年已利用计算机计算算出 7 千位以上。

人们对于列昂纳德·欧拉的赞美之词非常多，他被称为“无与伦比的算法学家”、“应用数学大师”、“分析的化身”、“英雄世纪的数学英雄” 等等。被称为“法国的牛顿”的数学天文学家拉普拉斯曾经说过：“读读欧拉！读读欧拉！他是我们大家的老师。”阿拉哥也曾经这样形容欧拉：“欧拉计算毫不费力，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样。”如果说 17 世纪由于创造了两千多年以来梦寐以求的微积分而被誉为天才的世纪，那么18 世纪由于数学家们把微积分大大向前推进，并且在各个数学技术领域取得了辉煌的胜利，而成为英雄的世纪。18 世纪数学英雄的最高代表就是列昂纳德·欧拉。牛顿、莱布尼兹建立的微积分为世纪数学家所掌握，向数学、物理、天文和其它各个科学技术领域开拓，取得了前所未有的进步。浩浩荡荡向数学征战的旗手欧拉，以他非凡的聪明才智、勤奋劳动和惊人毅力，把微积分发展成为拥有众多分支的分析数学。这种广义的数学分析实际上包括了对所有运动变化的定量研究。他在几何、代数上数量庞大的发明创造，导致了一些全新的数学分支的诞生。欧拉为促进数学空前蓬勃的发展耗尽了毕生的精力：先是献出了他的双目，最终是他的生命。他为人类文明建立了不朽的功勋。

欧拉是历史上最多产的数学家，他编写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，1748 年在瑞士洛桑出版了《无穷小分析引论》（两卷），这是第一部沟通微积分与初等数学的分析著作。 1755 年发表了《微分学原理》

（两卷）， 1768～1774 年发表了《积分学原理》（三卷），这对牛顿和莱布尼兹的微积分与傅立叶级数理论的发展起了巨大的推动作用。1774 年，他又发表了《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书，使变分法作为一个新的数学分支诞生了。他还是复变函数论的先驱者。在数论研究上他也作出了卓越的贡献，著名的“哥德巴赫猜想”就是从他在 1742 年与哥德巴赫的通信中引申提出来的。1766 年他双目失明后，还口述完成了《代数学完整引论》，先后有俄文、德文、法文版问世，成为欧洲几代学者的教科书。他在概率论、微分几何、代数拓扑学等方面都有重大的贡献，而在初等数学的算数、代数、几何、三角学上的创见与成就更是比比皆是，不胜枚举。人们可以在所有数学的分支中见到他光辉的名字：欧拉公式、欧拉函数、欧拉方程、欧拉多项式、欧拉常数、欧拉积分、欧拉线。发现立体几何中有名的欧拉定理和建立起今天三角学科学体系的就是这位大名鼎鼎的欧拉。不仅如此，在数学以外的许多学科还有一大串以他的名字命名的专门术语来纪念他的卓越贡献：欧拉运动学方程、欧拉流动力学方程、欧拉力、欧拉角、欧拉坐标、欧拉相关，等等。他那博大精深的学识和无穷无尽的创造力永远是人们敬慕的对象。

有人说，欧拉写他的高超论文，恰如文笔流畅的作家给他的至亲好友写信那样轻松自如；甚至有人说，欧拉能在妻子第一次和第二次催他吃午饭的不到半小时的间隙里完成一篇论文。在这里姑且不论这些说法是不是言过其实，但是从这里我们多少可以看出他那无与伦比的数学才华。多产的法国数学家柯西（1789～1857）的全集有 26 卷；德国数学家高斯的全集有 12 卷；

而欧拉的一生共创作了 886 篇论著，他的全集共有 74 卷之多。除了教科书以

外，在他工作的时期几乎以每年 800 页的速度写出独具创造性的论文。如果

考虑到他生命的最后 17 年双目已完全失明，就更加令人惊叹不止了。甚至到

了 1936 年，人们也无法确切地知道欧拉著作的数量，只是估计要出版他的全部著作需要大四开本 60—80 卷。1909 年，瑞士的自然科学协会着手收集和出版欧拉的散轶的论文时，曾经指出：“欧拉不仅属于瑞士，而且属于全世界。”当时他们得到了来自世界各地的许多个人和数学团体的经济资助。可是在俄罗斯的彼得堡（列宁格勒）发现的一大堆无可置疑的手稿，经过仔细估算过的预算费用（按 1909 年的货币计算，约合 8 万美元）给彻底搅乱了。的确，被盛誉为“数学家中的英雄”的列昂纳德·欧拉不愧为瑞士奉献于世界的最伟大的科学家。瑞士的埃米尔·费尔曼评论说：“欧拉不仅仅是历史上最有成就的数学家；而且也是历史上最博学的人士之一。⋯⋯就其声誉而言，堪与伽利略、牛顿和爱因斯坦齐名。”

一、加尔文教牧师的儿子

在瑞士北部连绵起伏的群山之中，与德、法两国交界的地方有一颗美丽晶莹的明珠——巴塞尔城，清澈美丽的莱茵河从她身边轻轻流过，好似一条丝带把城市装扮得分外妖娆。巴塞尔是瑞士的学术中心，历史上曾经产生过许多著名的大科学家，声名显赫的伯努利家族就居住在这里。1704 年 4 月 15 日，一阵阵婴儿的啼哭声打破了黎明前的宁静，巴塞尔城市居民册上又增添了一个新居民，保罗·欧拉和玛格丽特·布鲁克的儿子列昂纳德·欧拉—— 一颗即将升起的巨星降生了。

第二年，小欧拉跟随双亲迁到附近的雷欣村居住，父亲保罗·欧拉就在村子里担任加尔文教派的牧师。

其实，保罗·欧拉本人对数学颇为在行，他曾经是著名的大数学家雅各布·伯努利的高才生。可是，他自己并不想从事数学工作，而且还想要儿子长大以后和自己一样，在乡村教堂当牧师。

作父亲的只指望自己的儿子继承自己的事业，不想把孩子培养成为科学家，这类事例在科学史上屡见不鲜。像高斯的父亲要儿子当花匠；维尔斯特拉斯（1815～1897）的父亲要儿子当文官；黎曼（1826～1866）的父亲想让儿子当牧师等等。保罗这样打算倒也情有可原，因为当牧师毕竟比当科学家容易，何况收入更要优厚得多呢！因此，保罗对儿子从小就灌输了极其严格的宗教思想，什么早祷告、晚祷告，每天必做，甚至在每餐饭之前都还要大讲一通主耶稣的道理。欧拉早期的宗教教育影响了他的一生，他从来没有放弃一丁点儿他的加尔文教派的信仰。确实，当他上了年纪以后，他兜了一个大圈子又回应了他父亲的召唤，他带领全家进行家庭祈祷，通常在结束时还要做一番讲道。

但是保罗·欧拉有个不坏的“毛病”，就是在每到高兴的时候，他会抛

开天国和上帝，眉飞色舞地讲起人世间迷人的自然数和三角形来。凭着他向善男信女们布道时练就的好口才，保罗把数学讲述得绘声绘色，妙趣横生，完全将小欧拉迷住了，热爱数学的种子就这样默默地埋在了孩子的心田。

中学毕业以后，欧拉顺从了父亲的意愿来到巴塞尔大学学习神学和希伯莱语。不过他心里明白自己真正应当做的是什么。这时保罗当年的老师雅各布·伯努利已经去世，由他的弟弟约翰·伯努利接替他担任数学讲座教授。约翰本来是位医术高明的医生，后来受到他哥哥雅各布的影响改攻数学。他28 岁时出任荷兰格罗宁根大学的数学教授，并且多次夺得法国科学院颁发的研究奖，成为驰名欧洲的大数学家。数学界至今仍流传着一段有关他的轶事。为了微积分发明的优先权，约翰站在莱布尼兹一边，同牛顿产生了相当激烈的争论。但是，牛顿在他心目中仍然无可争辩地享有崇高的地位。年轻时的约翰有一次在英国旅行，遇到一个外国人。这人身体微胖，长发披肩，显然受到周围人的极大尊敬。约翰不避嫌疑上前谦逊地介绍自己：“我是约翰·伯努利。”“我，”那人冷冷地回答，“是伊萨克·牛顿。”约翰把与牛顿的这第一次意外的会见看作是自己一生中所接受的最高贵的礼物。

这时约翰虽然已经年过半百，但是精神矍铄，讲起课来旁征博引，生动而富有感情。每逢他上课，教室里总是座无虚席。欧拉也常去听约翰的课。坐在教室最前排的欧拉特别引人注目。在他高高的额头下闪烁着一对天真无邪的大眼睛。不过说他是个孩子恐怕更确切些，因为那时他的年龄最多不过十二三岁，个子足足比一般的同学矮一头，大学生们都把他当小弟弟看待，并没有把他放在眼里。可是，人不可貌相。有一次，约翰在讲课中无意间提到一个当时的数学家们还没有解决的大难题。谁知下课铃一响，欧拉不声不响地交给他一份答案。约翰看着看着，几乎不敢相信自己的眼睛。虽然欧拉的解答还称不上是真正完备的，但是他构思的精巧和大胆使约翰清楚地意识到，站在自己面前的这个瘦小的孩子，将是未来的数学巨人。这个意外的发现使约翰非常兴奋，他当即决定每星期在家单独为欧拉授课一次，帮助这个孩子尽快成长。有这样的好机会，欧拉连做梦也没有想到，心里真有说不出的高兴。欧拉为了尽可能少带问题去见老师，他把一周的业余时间都用在准备下一次课上。果然，在名师的精心指导下，欧拉的数学取得了突飞猛进的进展。他的勤奋和才能也深深的吸引了约翰的儿子丹尼尔·伯努利和尼科拉斯·伯努利，他们从此成为终身好友。

欧拉在 15 岁的时候获得了巴塞尔大学的学士学位，17 岁又获得硕士学位。父亲保罗要他放弃数学，把全部的精力都放在神学上。欧拉虽然笃信上帝，可是要他去做专职的神职人员，他从心底里不愿意。不过，他是个孝顺的儿子，不愿公然违抗父亲的意志。正在欧拉感到左右为难的时候，伯努利父子知道了这个情况，赶来为他说情。

“亲爱的神甫，您知道我遇到过不少才华横溢的青年人，但是要和您的儿子比起来，他们都相形见绌。如果我的眼光不错，您的儿子无疑将是瑞士未来最了不起的数学家。”约翰压制着内心激动的心情接着说，“为了数学，为了孩子，我请求您重新考虑您的决定。”

保罗不是个铁石心肠的人，他理解约翰，也理解儿子的心情。深孚众望的伯努利教授的一席话使得保罗认真地考虑起来。最后他改变了初衷，虽然这样做可能会给家里的生活带来困难。从此以后，欧拉再也不用等到父亲熟睡以后才偷偷起床来做他的计算，也不用再在数学书籍的外面套上一张圣经

的书皮来逃避父亲的注意。他像放出樊笼的苍鹰冲向自由的蓝天，又像饿虎扑向面前的食物。从古希腊的经典著作到牛顿的《自然哲学的数学原理》，恨不得一古脑地把它们全都嚼碎吞下。这些丰富的知识再好不过地促使他飞速成长。