四、重返彼得堡

俄国从来没有放弃过欧拉，欧拉和彼得堡科学院一直藕断丝连，即使在柏林科学院任职期间，彼得堡也照常支付他一部分薪金。同样，欧拉虽然身在柏林，仍为彼得堡寄了上百篇论文，还不时对那里的事务提供咨询意见。尽管欧拉要负担一大家子人，但是他是富有的，除了在柏林的住宅以外，他还拥有在夏洛滕堡的一个农场。在 1760 年俄国人入侵，进犯勃兰登堡边境期间，欧拉的农场遭到抢劫。俄国将军声称他“不是对科学宣战”，给予了欧拉大大多于实际损失的赔偿。当伊丽莎白女皇听说了欧拉的损失以后，她除了丰厚地赔偿了他的损失外，又加上了一笔数目可观的款项。

1762 年叶卡捷琳娜二世（1729～1796）即位，俄国科学家的工作条件有了相当大的改善，她热情邀请欧拉重返彼得堡工作。欧拉很清楚，自己仅剩的深受白内障折磨的左眼已经绝对经不起彼得堡严寒的侵袭。不过他还是决定回去，柏林的气氛已经使他无法容忍。这位欧洲最有威望的数学家为腓特烈夜以继日地干了 20 多年，终于未能逃脱颠沛流离的命运。1766 年，59 岁的欧拉拖着虚弱的病体，偕同多病的凯塞琳娜和一大群子女，又一次长途跋涉，来到冰雪覆盖、寒风呼啸的彼得堡。

欧拉在彼得堡受到了异常隆重的欢迎，叶卡捷琳娜二世用王室成员的规格礼待这位大数学家。她专门为欧拉推备了一幢雅致而舒适的住宅，全新的家具，配备了八名仆役，还委派一名御用厨师来管理膳食。

欧拉迫不及待地投入了工作。可是，好景不长，北方刺骨的严寒和紧张劳累的工作使他左眼的视力迅速恶化。这一消息引起了拉格朗日、达朗贝尔

等许多欧洲著名科学家的不安，他们纷纷写信向欧拉表示同情和慰问，同时希望他好好休息，早日恢复健康。

按理说，欧拉是应该放下手中的工作，安心休养一阵子了。他为数学已经奋斗了足足 30 多年，取得了举世瞻目的成就；他的著作远远超过历史上任何一个最多产的数学家；特别是他为此已经献出了他宝贵的右眼。现在，如果不好好保养，他仅有的左眼又将要失明。失明意味着什么，欧拉比任何人都清楚。双目失明将使他成为生活上不能自理的残废人，将再也看不见使他神往的计算公式和几何图形，看不见亲人的脸庞和美好的世界。一句话，他将坠入黑暗的无底深渊！可是他同样清楚地知道，工作就是他的全部生命，如果生活中失去了他自己所钟爱的计算，那么活着还有什么意义？不错，失明是可以剥夺他看书写字的能力，可是夺不走他超群绝顶的才华，更休想夺走他热爱数学和献身数学的坚强决心！他平静地等待着失明那一刻的到来，但是决不向黑暗低头。他决心用加倍的努力，来回答命运对他的挑战。

在最后失明之前，欧拉总是习惯用一根石笔在一块大石板上进行演算。他双目失明以后，决定由自己口述，主要让大儿子阿尔伯特来进行笔录。从查阅资料到论文写作中所遇到的种种意想不到的不便和困难他只有用延长工作时间来弥补。

他旺盛的创作精力令年轻人都自愧不如。从他口中吐出的一字一句，慢条斯理，绵绵不绝，好似一条抽不完的丝线。这根无形的丝线把年轻人紧紧捆住，常常累得他们腰酸腿疼。大儿子支持不住了，就由大女儿接着记。这位双目失明的老人凭着超乎寻常的意志和毅力，再一次创造出令人瞠目结舌的奇迹。他的科学成果在他失明以后不但没有减少，反而增加了！除了厚厚的 3 卷《积分学原理》以及《船舶制造和结构全论》等重要著作以外，他还

用每年 800 页的惊人速度发表了近 400 篇具有独特见解的研究论文。这些论文的质量从下面这一点就可以看出：它们所赢得的各类奖金几乎成了他的固定收入。今天，当我们手捧他的光辉论著，欣赏着那丝丝入扣的深刻分析和令人眼花缭乱的精巧计算，谁会相信它们的作者竟是一位双目失明的老人呢！

毫无疑问，他那强烈的宗教信仰帮助他面临发生的一切，他并没有让自己“顺从”沉默和黑暗。他所取得的一切成就和他罕见的记忆力密切相关。维吉尔的洋洋 12 大卷、1.2 万行的国民史诗《埃涅阿斯记》（也译作《伊尼特》），欧拉虽然从青年时代以来已经不再翻阅，但他仍然能够背诵如流。如果这还不足以显示他记忆力的无比高超，那么他还能告诉你，史诗的每一页的第一句和最后一句是什么。他能不假思索地背出前 100 个素数的前 6 次幂，至于当时数学上的所有重要公式，不用说都准确无误地保存在他的记忆里。他的心算能力同样举世无双，无论是算术的，还是高等代数的，以及微积分的，甚至那些对于颇有才能的数学家在纸上计算起来都倍感棘手的问题，他都能应付自如。

作为他非凡记忆力和超群心算能力的一个例子，孔多塞讲述了这样一段故事：欧拉的两个学生曾经把一个复杂的收敛级数的和（对于变量的特殊值）计算到了第 17 项，只是在结果的第 15 位数上有一个数不一致。为了确定哪个结果是正确的，欧拉用心算作出了全部运算，他的答案最后被证实是正确的。所有这些，现在都对他大有帮助，失明对他并不是太大的问题，他能泰然自若地面对黑暗的挑战。

他失明以后还有一件事，说起来简直叫人难以置信。

在欧拉生活的那个时代，要确定船只在海上的位置是一项极其困难的工作。按照当时的计算方法，纬度的确定还比较容易，只要通过对恒星的观察就可以解决。困难的是经度的确定，它需要知道月球每时每刻相对于一个标准位置（17 世纪后半期已经被确定为英国的格林威治）的方位，这个方位需要有极高的精确度。假如角度上差一分，那么在经度上就会差半度，真是失之毫厘，差之千里。可是，要精确计算出月球的方位相当不容易，因为它牵涉到三个星球——太阳、地球和月球三者之间的关系，这种“三体问题”是数理天文学中最困难的问题之一，甚至连牛顿对它也感到非常头痛。牛顿在

《自然的哲学的数学原理》第 3 卷中用几何的方法研究过月球的运动，可惜

用这个方法制作的月球位置表所带来的位置的误差竟高达 160 公里，这几乎是船只整整一天的航程，当然满足不了战争和航运事业的需要，各国政府和科学家为它绞尽了脑汁。英国为此专门成立了“经度测定委员会”，并且设置了高达 20000 英镑的奖金来征求解答，这在当时是一个非常可观的数目。年迈的欧拉不顾自己已经双月失明，决定利用自己的分析才能对月球的位置作一次透彻的计算。他的心血没有白费，经过精心的心算、口述，加上儿女和学生们的帮助，欧拉的新方法把最后误差缩小到只有 30 公里，而且全部复杂的分析计算都是他在心里做出来的。为了表彰他的功绩，英国海军部向他颁发了巨额奖金。

但是，双目失明仅仅是灾难的开始，不幸接二连三地向欧拉袭来。

欧拉回到彼得堡 5 年以后，1771 年的夏天严重干旱，彼得堡已经有 50 多天没有下过一滴雨了，整座城市在烈日火焰般的烘烤下呻吟着，艰难地喘着粗气。傍晚时分，一间民房不慎失火，整个街区立刻像一堆干柴那样猛烈地燃烧起来，把天空映照得通红。欧拉此时正斜倚在沙发上，为一篇有关力学的论文打腹稿。等他听到外面惊慌嘈杂的响声和闻到扑鼻的焦糊气味的时候，整个住宅已经被火舌吞没。欧拉急忙站起来，摸索着向摆放自己手稿的书桌走去。不料，在慌忙之中他的脚被椅子绊住，身子重重地摔倒在地。呛人的浓烟滚滚而来，憋得他喘不过气来，他挣扎着想爬起来，可是四肢已经不听使唤了。在这千钧一发的时候，跟随欧拉多年的瑞士仆人彼得·克莱姆冲进屋去，他背起老主人转身就向外跑去。但是欧拉却紧紧抓住门框不肯放手，要让他丢下自己多年的心血去逃生是绝对不可能的。他坚持要彼得用台布把一大堆尚未付印的手稿包好带上。这时时间已经刻不容缓，大火已经吞噬了整座住宅，房子随时都有坍塌的可能。但是彼得拗不过固执的欧拉，只得遵命。当彼得背着双目失明而且有病的老主人和一大包手稿踉踉跄跄地来到院子中的时候，只听得轰隆一声巨响，图书馆倒了，整个住宅和全部家产随着冲天的火光付之一炬，唯一幸免的是欧拉的几千页尚未出版的手稿。

这场大火最令欧拉感到伤心的是烧了他的图书馆，因为那里收藏着的书籍和手稿，那是他的全部心血。后来，在奥尔洛夫伯爵的帮助下，欧拉的全部手稿都被抢救了出来。叶卡捷琳娜女皇马上补偿了欧拉的全部损失，他很快又回到工作中去了。

1776 年，当欧拉 72 岁的时候，他又蒙受了更大的损失。欧拉痛失了 40 多年来朝夕相处、患难与共的忠实伴侣——凯塞琳娜。无论是早年在彼得堡血腥恐怖的日子里，还是在柏林的屈辱环境中，无论是双目失明的悲痛岁月，还是火烧家园的不幸时刻，凯塞琳娜总是和欧拉一起分担着痛苦和忧伤，但

是多年的颠沛和操劳使她的身体越来越差，她默默地照料着偌大的家庭，使欧拉免去后顾之忧。现在，凯塞琳娜先他而去了，欧拉的内心痛苦异常，欧拉抚摸着自己刚刚出版的新书怅然若失。40 多年以来，凯塞琳娜不仅仅是欧拉生活中的伴侣，也是欧拉事业上不可缺少的助手，若不是凯塞琳娜的辛勤劳作，很难想象拥有一个庞大家庭的欧拉能够完成那么大量的工作。凯塞琳娜的去世对欧拉的打击太大了，在随后一年多的时间里，欧拉一直沉浸在痛苦之中。由于孩子众多，自己又是个行动不便的盲人。亟需一位能干的主妇来照料整个家庭，在朋友的撮合下，欧拉在凯塞琳娜去世的第二年再度结婚。他的第二个妻子叫扎洛梅·阿比盖尔·格塞尔，是凯塞琳娜同父异母的妹妹。

紧接着，为恢复左眼的视力，欧拉决定作一次手术。但是手术失败了，宣告欧拉永远失去了重见光明的希望。本来，根据医生的诊断意见，通过手术可能会使欧拉的左眼恢复视力。手术进行得十分顺利，欧拉高兴得无以复加，他心焦地计算着哪天能够重见光明。他想像着又见到了灿烂的阳光，用眼睛来“抚摸”那一个个妙不可言的数学符号。一想到这里，他就抑制不住内心的激动。可是希望又一次落空了，也许是由于医生的粗心大意，欧拉的患部发生了感染，经过一段难熬的拖延，他终于没有挣脱黑暗的无情魔掌。但是，欧拉是棵高耸入云的参天大树，一切不幸和挫折，即使如逞凶的

冰雹雷击，肆虐的风霜雨雪，也摧毁不了他旺盛的生命力，反而使他更加苍劲有力，气势非凡。面对命运的重重打击，欧拉泰然自若，依然我行我素。这位巨人以他堆积如山的伟大杰作向全世界证明：只要志向明确，意志坚强，锲而不舍，勇往直前，一个人，即使是一个盲人，同样可以创造出非凡的人间奇迹。

17 世纪在英国点燃的工业革命之火，到欧拉时代，在欧洲已经形成燎原之势。发明和工业、扩张和财富、继地理发现之后的众多科学发现，这一切都给人们以信心。黄金时代正露出曙光，人类的心灵正从沉睡中觉醒。科学家们热切地要求征服世界，去探索宇宙奥秘。伟大的牛顿逝世的那一年，欧拉刚刚 20 岁。这时候，笛卡尔的坐标几何问世已经有 90 年，微积分的建立

大约也已有 50 年，而物理和天文学的关键——牛顿万有引力定律已经在科学

界流传了将近 40 年。在这些领域，大量孤立的问题虽然已经获得解决，但是对当时纯粹数学和应用数学所面临的种种问题，却还没有来得及发动一场系统的全面的进攻。笛卡尔、牛顿、莱布尼兹所发明的强大的分析方法远没有开发到应有的极限，诱人地展现在欧拉面前的是一片广袤肥沃的处女地。

回顾欧拉巨大的工作量，我们可能在初看时会倾向于认为，任何有才能的人都能够几乎像欧拉那样轻松地做出其中的一部分。但是如果仔细地检查一下今天存在的数学，很快就会纠正我们的错误看法。因为当我们考虑到现在我们所掌握的各种方法的力量，数学及其丛林般理论的目前状况，并不比欧拉面对的状况更复杂。数学渴望着第二个欧拉，他在他那个时代，系统化并统一了乱堆着不完全的结果和孤立的定理的广阔领域，用他那挥洒自如的分析方法的力量清理了基础，把有价值的东西收集在一起。甚至今天在大学数学课程中学习的许多东西，实际上也处在欧拉留下的状态——例如，从一般的二次方程的统一观点，讨论在三维空间中的圆锥截线和二次曲面，就是欧拉的。再有，年金问题及同它产生的一切（保险、养老金等等），也是同欧拉整理成现在学习“投资的数学理论”的学生们熟悉的状况的。

甚至在创作方面，欧拉也把教授与发现结合在一起。他在 1748 年、1755

年以及 1768～1770 年所著的关于微积分的伟大论著——《无穷小分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》，立即就成了经典著作，并且在 3/4 个世纪中，继续鼓舞着想要成为大数学家的年轻人。而且，正是在他的关于变分法的著作《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书中，欧拉第一次显示出他自己已是第一流的大数学家。

欧拉作为一个通过他的著作与学生见面的教师，取得了伟大而直接的成功，正如阿拉哥指出的：欧拉成功的原因之一是他绝不妄自尊大。如果需要一些相对来说真正价值较低的著作来澄清较早的和给人以更深刻印象的著作，欧拉就毫不犹豫地把它们写出来，他不害怕降低自己的名声。

不过，18 世纪的数学同今天相比。还显得相当粗糙。在欧拉时代，微积分的基础本身还不清楚，而且从它诞生之日起就一直受到攻击；无理数的概念还模糊不清；连负数也遭到非议；复数不用说更是错误百出。像欧拉所著的《对代数的完整介绍》一书，1768 年——1769 年在俄国第一次出版，1800 年在德国再版，是公认的 18 世纪最好的代数教科书，其中就有这样的错误：

∵ a · =

∴ − 1· = = = 2

今天的每个初中学生都知道，在根式运算中，必须是以 a、b 不小于零为前提的。

当欧拉把力学分析化时，他向前迈出的伟大的一步我们已经陈述过了，我们只引证这个进展的一个细节，即学习刚体力学的学生们都熟悉欧拉对转动的分析。分析力学是纯数学的一个分支，因而欧拉在此处并不像他在其它一些偏于实际的工作中那样，一有机会就想要越出常规，跑出纯计算的无垠的领域。欧拉的同代人对他的工作最严厉的批评是：他只为美妙的分析而计算的抑制不住的冲动。他有时可能对他试图转化成计算的物理情形缺乏充分的了解，不知道它们是怎么回事。不过，今天用在流体力学中的流体运动的基本方程是欧拉发现的。当实际问题值得他费神时，他是能够很实际的。

欧拉分析的一个特点，必须顺便在这里提一下，因为 19 世纪数学的一个主要趋势与它有很大关系。这就是他认识到，除非一个无穷级数是收敛的，否则使用它是不可靠的。例如，通过长除法我们发现

1 1 1 1 1

x − 1 = x + x ²

+ x 3 + x 4 +

级数无限地继续下去。这里我们让x = 1 ，那么：

-2=2+2²+2³+2⁴+⋯⋯

=2＋4＋8＋16+⋯⋯

对收敛的研究给我们揭示了如何避免发生像这样荒唐的事情。奇怪的是，尽管欧拉了解到了处理无限过程必须慎重行事，他在他自己的许多工作中却没有遵守这条规则。他对分析的信心是如此之大，以至他有时候会找出一个荒谬的“解释”，来使一件显然是十分荒唐的事情站得住脚。

但是这一切都说过以后，我们还必须补充，就欧拉作出的具有头等重要意义的正确而新奇的大多数工作而言，很少有人能与他匹敌或接近他的成就。那些喜欢算术——也许不是一个很“重要”的科目——的人会提议在丢番图分析中，给欧拉一个与费马和丢番图本人佩戴的同样大小、同等鲜艳的

荣誉勋章。欧拉是数学通才中的第一个，也许是最伟大的一个。

欧拉不仅仅只是一个狭隘的数学家，这一点我们已经多次提到：在文学和科学的各个方面，包括分析学方面，他至少是知识渊博的。但是即使在他欣赏《埃涅阿斯记》的时候，他也禁不住会看出一个要他的数学天才去解决的问题。他那无所不在的好奇心一度甚至吞下了占星术，但是他表明了他并没有消化占星术，在 1740 年当他被命令以占星术给伊万王子算命的时候，他有礼貌地拒绝了，指出算命属于宫廷天文学家的职权范围，可怜的天文学家不得不去做这件事。

欧拉在柏林期间的一项工作表明，他是一个文笔优雅（虽然多少有点过于虔诚）的作家，这就是脍炙人口的《致一位德国公主的信》，这是为了给腓特烈的侄女安哈尔特·德苏公主讲授关于力学、物理学、光学、天文学、声学等课程而写的。这些著名的信极受欢迎，汇集成书以后以七种文字广为流传。公众对科学的兴趣并非我们有时喜欢想象的那样，是最近才能发展起来的。

英国物理学家贺拉斯·兰姆（1849～1934）说得好：“不亲自检查桥梁的每一部分的坚固性就不过桥的旅行者是不可能走远的。甚至在数学中有些事情也要冒险。”达朗贝尔更有一句人们广为引用的名言：“前进吧，前进将使你产生信念！”18 世纪的数学家正是在缺乏理论保证和逻辑支持的情况下，仅仅依靠一套明确的运算法则和数学的物理意义，勇敢地开辟前进的道路。他们对数学的方法确信无疑，分析学在物理应用上所取得的不同凡响的成功使他们陶醉，而无暇顾及数学的严密性。在他们看来，追求证明的严密性似乎是自找麻烦。“为什么要用深奥的推理去证明那些人们根本没有怀疑过的东西呢？”因此，人们正确地称这个时代是英雄的时代，而欧拉更是英雄时代里的数学英雄。他凭借威力无比的分析武器，以磅礴的气势向数学的各个领域发起猛攻，夺得了一个又一个令人惊羡的成果。他的研究足迹遍及当时科学的一切领域，范围是那样广阔，内容是那样深刻，以致于要写出他的全部发明项目都需要好几页的篇幅，而他所提出的创见至今仍然有待于我们用心研究的，还可以列出长长的一串。怪不得仅仅为整理他没有发表的文稿就使得彼得堡科学院足足忙碌了 47 年！欧拉为我们清理好场地，开辟出道路，把一切有价值的发现连接成一个整体。正是在这个基地上才建立起今天繁荣的现代数学之城。可能在欧拉著作中有个别结论在今天看来是不成熟的，甚至是错误的，但是正像白璧的瑕疵，太阳的黑子，时代的局限性毕竟掩盖不了他那光芒四射的成就。因此，大数学家高斯极其公正地指出：“研究欧拉的著作始终是各个数学领域里最好的学校，没有任何别的可以代替它。”拉普拉斯也满怀敬意地提到这位可敬的长者：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。”

1783 年 9 月 18 日，像往常一样，全家还都在睡乡之中的时候，欧拉已经摸索着起床了。老仆人轻轻地把他搀扶到花园里，坐在安乐椅上。彼得堡秋天的黎明凉气袭人，远处屋顶上的袅袅炊烟和地平线轻柔的晨雾，在早霞的映衬下把城市点缀得五彩缤纷，富有诗意。偶尔传来马车驰过的辚辚声和行人的脚步声。随着城市的苏醒，老人永不疲倦的大脑开始了一天的工作。不久前，法国的航空先驱者约瑟夫·米歇尔·蒙戈尔费埃（1740～1810）和雅克·艾蒂安·蒙戈尔费埃（1745～1799）兄弟搭乘充满热气的气球成功地飞上了天空。现在欧拉正在凝神思考，怎样用数学来描述气球冉冉上升的运

动。中午，欧拉和家人有说有笑的共进了午餐，饭后在沙发上假寐片刻。天王星是新近发现的，他思索着说出它的运行轨迹，这个结果同观测数据正好相符。老人感到有些疲乏，想稍稍休息一下。他一边喝茶，一边逗孩子们玩耍。突然，他感到一阵晕眩，烟斗从手中掉落。欧拉只来得及轻轻说出一句话：“我不行了。”这位一生奋斗不息，为数学无畏地献出了自己双目的老人，终于“停止了计算，也停止了生命。”