天平的使用方法

托盘天平： 1．把天平放在水平台上，把游码放在标尺左端的零刻线处。

1. 调节右端的平衡螺母，使指针指在分度盘的中线处，这时横梁平衡。

2. 将被测物体放入左盘里，用镊子夹取砝码放在右盘里，并用加减砝码和调节游码在标尺上位置的方法，直至横梁恢复平衡。

3. 把右盘中砝码的总质量加上游码在标尺上所对应的质量数，就是被测物体的质量。

物理天平：

物理天平比托盘天平精密一些，它的使用方法基本上和托盘天平相同，只是在调节横梁平衡之前，先要调节底板水平，即调节底板上的螺钉， 使重垂线上悬挂的小锤的尖端与底板上小锥体的尖端正对。若天平底板上是水准器，则应使水准器中的小气泡停在正中央，这时就表明天平底板水平了。以后的使用步骤与托盘天平相同。

使用天平时应注意以下几点：

1. 每架天平都有一个最大秤量，被称量物体的质量不能超过天平的最大秤量，否则会损坏天平。

2. 为了保护天平，用镊子往盘里加减砝码时要轻拿轻放，不能用手直接拿砝码。

3. 保持天平干燥、清洁，不要把潮湿的物体和化学药品直接放在天平盘里，不要把砝码弄湿弄脏，以免使天平盘和砝码锈蚀，损坏天平和影响称量结果的准确。

4. 如果在使用中移动了天平的位置，就需要重新调整横梁平衡（若使用物理天平，还要先调整底板平衡）。

5. 使用物理天平时还需注意，在调节天平、取放物体、加减砝码时， 都要转动止动旋钮，使横梁升起并止动，以免损坏天平。

6. 实验完毕将天平、砝码整理好。

用例一 使用天平称量物体的质量时，能不能把物体放在右盘，砝码放在左盘？

对这个问题的回答是可以的。

如果所使用的天平没有游码，或在称量过程中没有移动过游码（游码始终在左端的零刻线处），不论被称量物体放在左盘还是右盘，只要称量步骤正确，横梁平衡，被称量物体的质量一定等于砝码的总质量。

如果所使用的天平带游码（零刻线在左端），且称量过程中移动了游码，当横梁平衡时，左盘内物体（或砝码）的质量应等于右盘内砝码（或物体）的质量加上游码所示的质量数之和，即：

m 左=m 右+m 游．

通常情况下，物体放在左盘，砝码放在右盘，则有

m 物=m 砝+m 游．

此时游码的示数是增加砝码的质量数。若物体放在右盘，砝码放在左盘， 则有

m 砝=m 物+m 游，

此时游码的示数是增加物体的质量数，物体的质量应为

m 物=m 砝-m 游.

也就是说，当物体放在右盘时，其质量数应等于砝码的质量数减去游码在标尺上所对应的质量数。

只要记住上述关系，不论物体放在左盘还是右盘，都可较准确称量出物体的质量。

用例二 天平不等臂时，怎样用来称量物体的质量？

我们可以分别把待称量物体放在左盘和右盘进行两次称量，根据两次杠杆平衡条件，分别列出方程求解，得出物体的质量。

设天平左臂长为 l1，右臂长为 l2，待称量物体的质量为 m．当物体放在左盘，砝码放在右盘时，称量出的质量数为 m1（如图 1-18 甲所示）， 根据杠杆平衡条件得：

mgl1=m1gl2，

ml1=m1l2． ①

同理，当物体放在右盘，砝码放在左盘时，称量出的质量数为 m2（如图 1-18 乙所示），根据杠杆平衡条件得：

m2gl1=mgl2，

m211=ml2. ②

ml m l

① / ②得： ¹ = ^{1 2} ，m² = m ·m ，

m2 l1

∴m = m1 • m2 ．

ml2

将两次称量出的物体质量数代入上式，即可较准确地算出物体的准确质量。

【用天平称固体和液体的质量】 实验目的学习用天平称固体和液体的质量。

实验器材 天平、砝码、体积相同的长方形木块、铁块、铝块、玻璃杯、水、适量的邮票。

实验步骤 1．用天平称固体的质量。

1. 把天平放在水平台上，观察天平的最大秤量以及游码标尺上的最小刻度值。

2. 按天平使用方法调节天平。

3. 估计被测物体的质量。将被测物体放入左盘，然后根据估计数以“先大后小”的方法，选择适当的砝码放入右盘里，加减砝码，调节游码位置，直至横梁平衡。

4. 右盘砝码总质量加上游码所对应的标尺上的刻度值，即为被测物体的质量，读出数据。

5. 用以上步骤分别称出木块、铁块、铝块的质量，并把它们的数据一一记录下来。

木块的质量： ； 铁块的质量： ； 铝块的质量： .

2．用天平称液体（水）的质量。

其步骤基本与称固体质量相同。但由于天平不能直接用来称液体，必须借助于容器，所以在称量的过程中应先称出空玻璃杯的质量，再将水注入玻璃杯，称出玻璃杯和水的总质量，用玻璃杯和水的总质量减去空玻璃杯的质量，其结果就是这杯水的质量。

空玻璃杯的质量 m 杯： ；

玻璃杯和水的总质量 m 总： ； 杯中水的质量 m 水=m 总-m 杯： . 3．用天平称轻小物体的质量。

由于轻小物体的质量常常小于天平的最小刻度值，无法用天平直接称出一个轻小物体的质量，我们就采用“聚少成多，测多算少”的方法进行称量，其步骤与称固体的质量相同。以邮票为例，不是称一张邮票的质量， 而是一次称出 100 张邮票的总质量，再用这个总质量除以 100，即得每张邮票的质量。

100 张邮票的总质量 m 总： ，

一张邮票的质量 m= m总 ： .

100

这个方法也可反过来应用，已知一个轻小物体的质量，求出一堆轻小物体的个数。即用天平称出这一堆轻小物体的总质量，再用总质量除以一个轻小物体的质量，就得出这一堆轻小物体的个数，从而避免烦琐的数数。

用例 堆仪表上用的同一规格的小零件，每只重 55 毫克，估计有几万只，手边有一架天平，你能利用它很快知道这堆零件的确切数目吗？用具体数字说明你的方法。

调节好天平，将这堆零件的总质量用天平称出，设 m 总 1156.54 克，

已知每个零件的质量为m = 55毫克 = 0.055克(注意单位要统一)代入 m总

m

=n（个数）中，即可得出确切的零件数为 21028 个。

【密度】 单位体积某物质的质量，叫做这种物质的密度。密度的

公式是ρ = m ，其中ρ表示密度、V表示体积、m表示质量。在公式中质

V

量的单位用千克，体积的单位用米 ³，则密度的单位是“千克/米 ³”。如果质量的单位用克、体积单位用厘米 ³，则密度的单位是“克/厘米 ³”。这两种单位间的关系是：

1 克/厘米 ³=1000 千克/米 ³。

密度是物质的一种特性，每种物质都有一定的密度。在通常情况下物质的密度只与该物质的种类有关，而与该物质组成的物体的质量、体积无关。

在运用密度公式时，须注意：

1．不能把ρ = m 理解为“某物质的密度与其质量成正比，与其体积

v

成反比”。

1. ρ、m、V 必须是同一物体的三个物理量，计算时一定要在同一单位制中选取它们的单位。

2. 要会进行单位换算。

用例一 根据密度公式ρ= m ，可以计算出各种物质的密度。

V

题 1 20 升煤油的质量为 16 千克，求煤油的密度。

题目中已告诉我们煤油的体积和质量，只要我们把煤油的体积 20 升换

算为 0.02 米 ³，使它们的单位统一，就可以代入公式算出煤油的密度是 0.8

×10³ 千克/米 ³。

根据这个道理，科学工作者将常用的物质密度计算出来，排成密度表供我们查用，大大方便了我们的学习和工作。

用例二 由密度公式变形可得 m=ρV，用来计算不能直接测量的物体的质量。

题 2 天安门广场上人民英雄纪念碑是用花岗岩砌成的，碑高 14.7

米、宽 2.9 米、厚 1 米，查得花岗岩的密度是 2.7×10³ 千克/米 ³，则碑的质量是多少吨？

巨大的人民英雄纪念碑是无法直接称量出它的质量的，但可以对它的长、宽、厚进行长度测量，根据体积公式算出碑的体积为 42.63 米 ³。再将体积和密度的数值代入公式 m=ρV 中，就可算出碑的质量为 115101 千

克，约合 115.1 吨。

m

用例三 由密度公式变形可得 V= ρ ，用来计算不能直接测量的物体

的体积。

题 3 一空瓶的质量为 100 克，装满水后，水与瓶的质量共为 250 克， 求瓶的容积。

解答本题时，首先应明确：瓶子装满水后其中水的体积等于瓶的容积， 求出水的体积，就得到瓶的容积。其次，本题中质量单位取“克”，则密度单位取“克/厘米 ³”，体积单位取“厘米 ³”，计算较为方便。

据题意，水的质量m水 = 250克－100克 = 150克，水的密度为1克 / 厘

米³（应熟记的），代入公式V = m水 ，得V = 150厘米³。所以，瓶的

水 水

水

容积为150厘米³。

用例四 由于密度是物质的一种特性，根据这一特性可以鉴别物质。要鉴别某物体是由什么物质做成的，只要测出某物体的质量和体积，

代入密度公式计算出它的密度，再与密度表中各物质的密度相比较，就可知道这个物体可能是什么物质做成的了。科学家阿基米德在鉴别王冠是否是纯金制成的过程中，就应用了密度这个概念。

题 4 有一件金制的工艺品，测得其重是 0.931 牛，体积是 6 厘米 ³， 问此工艺品是不是纯金的？

本题可根据G = mg，m = G 求出工艺品的质量为9.5×10^-2 千克，将质

g

量和体积代入密度公式ρ = m , 求出工艺品的密度为15.8×10³ 千克 / 米³

V

它小于纯金的密度 19.3×10³ 千克/米 ³（查表得），故这个工艺品不是纯金做成的。

也可假设此工艺品为纯金做成的，用纯金的密度计算出 6 厘米 ³ 纯金

工艺品的质量，应为 11.58×10^-2 千克。它大于已知的工艺品质量 9.5× 10^-2 千克，故此工艺品不是纯金做成的。

或者，用纯金的密度计算出质量 9.5×10^-2 千克纯金工艺品的体积， 应为 4.92×10^-6 米 ³=4.92 厘米 ³。它小于已知的工艺品的体积 6 厘米 ³， 故此工艺品不是纯金做成的。

用例五 根据物质的密度，可判断物体是空心还是实心的。

题 5 有一只铜球，体积是 60 厘米 ³，质量是 380 克，这个铜球是空心的还是实心的？

首先从密度表中查得铜的密度为 8.9 克/厘米 ³，然后运用与题 4 相同的比较法进行判断。

假设铜球是实心的，那么 60 厘米 ³ 的铜球其质量是m 实=ρ铜×V 实=8.9 克/厘米 ³×60 厘米 ³=534 克，它大于题中给出的铜球质量 380 克，故此铜球是空心球。

此外，还可以用质量不变，比较体积的方法或根据题目中给出的条件

算出铜球现在密度与铜的密度相比较的方法来判断。

*用例六 由密度概念可计算出两种金属所铸成的合金中，这两种金属的质量。

题 6 有一个用铅和铁的合金铸成的实心球，球的质量是 2700 克，球的体积是 300 厘米 ³。问球含铅和铁各是多少克（ρ铅=11.3×10³ 千克/米 ³、ρ铁=7.8×10³ 千克/米 ³）？

设球含铅的质量为 m 铅，其体积为 V 铅；含铁的质量为 m 铁，其体积为

V 铁。按照题意有：

m 球=m 铅+m 铁， ①

V 球=V 铅+V 铁； ②

因为V = m铅 ，V = m铁 ，代入②式得

铅 铁

铅 铁

V = m铅 + m铁 ； ③

^球 ρ ρ

由①式得m铁 = m球 - m铅，代入③式得

V = m铅

+ m球 - m铅 . ④

^球 ρ ρ

将④式中各已知物理量的单位统一起来，代进去，解方程即可得：合金球含铅 1130 克，含铁 1560 克．

用例七 从液体内部压强公式 P=ρgh 中看出密度是判断和计算液体内部压强的重要物理量之一。

题 7 如图 1-19 所示，相同的容器 A、B、C 内分别装有盐水、水、酒精三种不同液体，液面高度相同。容器底受到的压强大小是

（ ） A．PA＞PB＞PC B．PA=PB=PC C．PA＜PB＜PC D．PB＞PA＞PC

根据液体内部压强公式 P=ρgh，容器底受到的压强大小与液体的密度和深度有关（g 为常量）。由题意可知，三种容器中的液体深度相同，则容器底受到的压强只与它们所盛液体密度有关，因为ρ盐水＞ρ水＞ρ酒_精，所以，PA＞PB＞PC，本题应选 A。

题 8 一根两端开口的玻璃管，在下端附一塑料薄片（质量不计），

竖直压入水下 25 厘米深处（如图 1-20 所示），如果在管中缓慢地注入酒精，当塑料薄片恰好脱落时，酒精柱的高度是多少（ρ酒精=0.8×10 千克/ 米 ³）？

据题意，在未注入酒精前，塑料薄片因受水在 25 厘米深处向上的压强，而紧贴在玻璃管口上。当向管中注入酒精时，塑料薄片同时又受到酒精的向下的压强。当酒精达到某一高度，所产生的压强与水对薄片的压强相等时，薄片由于自身的重力脱落下来。由于

P 水=ρ水 gh 水，P 酒精=ρ酒精 gh 酒精，

而 P 水=P 酒精，

ρ

所以ρ gh = ρ gh ，h = ^水 h ，

水 水 酒精 酒精 酒精 水

酒精

代入数据得，h 酒精=31.25 厘米，即酒精的高度为 31.25 厘米。

用例八 据阿基米德原理的数学表达式 F 浮=ρ液 gv 排可知，密度是判断和计算浮力大小的重要物理量之一。

题 9 把静止在纯水中的实心冰块移到海水中静止时（在纯水或海水

中均不熔化），它浸在海水中的体积是增大还是减小了？

查密度表可知，ρ冰＜ρ水＜ρ海水，所以冰块在纯水或海水中均呈漂浮状态，且在纯水或海水中受到的浮力均等于冰块的重力，根据阿基米德原理 F 浮=ρ液 gV 排，不同密度的液体要对同一漂浮物体的浮力保持相等， 只有靠改变物体浸在液体中的体积大小来实现。ρ 液大则 V 排小，所以冰块移到海水后，浸在海水中的体积要减小。

题 10 把体积是 0.3×10^-3 米 ³、密度是 0.6×10³ 千克/米 ³ 的物体投入水中，当它露出水面的体积是 0.05×10^-3 米 ³ 时，它是处于上浮、下沉的过程还是漂浮在水面上不动？

要判断此时物体的运动状态，必须求出它的重力及此时所受的水的浮力，比较重力和浮力的大小，就可以进行判断了。如果浮力大于重力，物体处于上浮的过程；如果浮力等于重力，物体漂浮在水面上不动；如果浮力小于重力，物体处于下沉的过程。

据题意，物体重G 物=ρ物 gV 物

=0.6×10³ 千克/米 ³×9.8 牛顿/千克×0.3×10^-3 米 ³

＝1.764 牛顿．

物体有部分露出水面时所受到的浮力F 浮=ρ水 gV 排=ρ水 g（V 物-V 露）

=1.0×10³ 千克/米 ³×9.8 牛顿/千克

×（0.3×10^-3-0.05×10^-3）米 ³

=2.45 牛顿.

因为 F 浮＞G 物，所以物体处于上浮过程。

【密度表】 将科学家们测出的各种物质的密度编制成的表格，称之为密度表。

按物质的状态分类，密度表一般可分为：固体物质密度表、液体物质密度表和气体物质密度表。各表格中的物质密度又是按密度的大小，由大到小或由小到大的顺序排列的。

下面所列的就是部分物质的密度表。

（ 1 ）部分固体物质的密度（常温下）

（ 2 ）部分液体物质的密度（常温下）

（ 3 ）部分气体物质的密度表（ 0 ℃，在标准大气压下）

密度表反映出，每种物质都有一定的密度，不同物质的密度一般是不同的，密度是物质的一种特性。

密度表还反映出，每种物质都有一定的密度，而不是唯一的密度。如水和冰，它们的化学成分都为 H2O，是化学成分相同的物质，即同种物质， 但它们的密度是不相同的，这是因为它们所处的物理状态不同。又如同为液态的水，在 0℃时密度为 0.99987×10³ 千克/米 ³ 在 20℃时密度为 0.9982

×10³ 千克/米 ³；在 100℃时密度为 0.9584×10³ 千克/米 ³。这说明温度对物质的密度大小是有影响的。

某种物质组成的物体，它的质量是不随温度、状态的改变而变化的， 但它的体积却因为“热胀冷缩”的原因，随温度、状态的变化而改变，据

密度计算式ρ = m 可知，体积改变就会引起物质密度的变化。这说明物

V

质的密度不仅与物质的种类有关，还与该物质的温度、状态有关。课本上为了降低初学密度这一概念的难度，只讲了密度与物质的种类有关，没有讲还与什么有关。我们对“每种物质都有一定的密度”这句话，不能理解为“每种物质只有一种密度”。

物理学上建立的每个概念或得出的每一结论，都有一定的条件和适用范围，若不符合形成条件或超出适用范围，这个概念或结论就不再正确。上面密度表上注有“常温下”或“0℃，在标准大气压下”等条件就是这个缘故。

由于处于同一状态的物质的密度随温度变化而改变的大小不是很大， 在要求不高的情况下，一般均取常温下的物质密度代表处于这个状态的物质密度。

【用天平和量筒测物质的密度】 根据密度定义的数学表达式ρ

= m ，要测出物体的密度，一般需要测出物体的质量和体积。质量可以

V

用天平测出，形状规则的物体，如长方体，可量出它的长、宽、高，算出它的体积；形状不规则的物体和液体的体积，则可用量筒或量杯来测量。

使用量筒或量杯时应注意：

1. 弄清量筒或量杯的最大刻度是多少，每一格代表多少厘米 ³（毫升）。

2. 读数时视线要与液面相平。

3. 若液面是凹形的，则以凹形底部为准；若液面是凸形的，则以凸形顶部为准（如图

   1-21 所示）。

实验目的 用天平和量筒测物质的密度。

实验器材 天平和砝码，量筒或量杯，形状不规则的石块，玻璃杯， 水，盐水，细线，蜡块，细针。

实验步骤 1．用天平和量筒测石块的密度。

1. 用天平称出石块的质量 m 石；

2. 在量筒内放入适量水，并读出水的体积 V 水；

3. 把石块用细线拴好轻轻放入盛有水的量筒内，读出水和石块的总体积 V 总；

4. 根据 V 总=V 水+V 石，V 石=V 总-V 水，算出石块的体积 V 石；

5. 根据ρ 石

= m石

V石

公式算出石块的密度。

以上步骤中测得的数据和计算结果，可按下列形式记录下来。石块的质量 m 石： ；

石块放入前水的体积 V 水： ； 石块和水的总体积 V 总： ； 石块的体积 V 石： ；

石块的密度ρ石： .

也可用课本上列表的方式记录下来，再算出石块的密度。2．用天平和量筒测盐水的密度。

1. 用天平称出盛有盐水的玻璃杯的总质量 m1；

2. 把玻璃杯中的盐水倒入量筒中一部分，并读出量筒中盐水的体积

V；

1. 用天平称出玻璃杯和剩余盐水的质量 m2；

2. 根据 m=m1-m2，算出量筒中盐水的质量 m；

（5）根据ρ = m ，计算出盐水的密度。

V

以上步骤中测得的数据记录和计算结果的方法可参照测石块密度的形

式自行设计。

3．用天平和量筒测蜡块密度。

用天平和量筒测蜡块密度的方法和步骤基本上与测石块密度的方法步骤相同。所不同的是蜡块不沉入水中，无法用量筒直接测出体积，必须设法使它全部浸没水中，才能测出它的体积，常用的方法有两种：

1. 针压法。

用一细针刺入蜡块，将它浸没水中，观察水面上升的刻度，测出蜡块的体积。由于细针体积很小可忽略不计。这种方法对坚硬的物体不适用， 因为细针不能刺入坚硬的物体，用力时物体会在水中滑动而不易浸入水中。

1. 重物法。

将蜡块与一重物用细线拴在一起，如图 1-22 所示。手提蜡块上端的线头，先将重物浸在量筒内的水中，记下水面上升到的刻度数据，再把蜡块也放入水中，待重物将蜡块全部拉入水中后，记下水面上升到的刻度数， 用这时的刻度数减去上次的刻度数即为蜡块的体积。

除了用天平和量筒（量杯）测物体密度的方法外，还有许多测物体密度的方法，这些方法可以在“液体内部压强”、“大气压”、“阿基米德原理”等辞条的用例中找到。

【压力】 垂直作用在物体表面上的力叫做压力。相互接触的两个物体，当发生挤压作用时，在接触面之间存在着压力。

要注意压力和重力的区别。压力和重力是本质不同的两种力，压力是由于物体相互接触挤压而产生的，重力则是由于地球对物体的吸引作用而产生的。有时候压力的大小等于重力的大小。例如，放在水平面上的物体， 物体对水平面的压力大小就等于该物体的重力大小，但压力的大小不是在

任何情况下都等于物体重力的大小的，例如，物体放在斜面上，物体对斜面的压力大小就不等于物体重力的大小而小于物体的重力大小。

【压强】 物体单位面积上受到的压力叫做压强。用字母 P 表示压强， 用字母 F 表示压力，用字母 S 表示受力面积，则：

p = F

S

在国际单位制中，压强的主单位是帕斯卡，简称帕，1 帕斯卡=1 牛顿/ 米 ²。即当力 F 取牛顿为单位，面积 S 取米 ² 为单位，压强单位即为帕斯卡。

压强概念的引入是为了说明压力作用的效果。上述公式说明，压力作用的效果除了与压力大小有关，还与受力面积大小有关，即压力作用的效果是由压强来决定的。

上述公式还说明，在需要增大压强的时候，可以采用减小受力面积或增大压力的方法，在需要减小压强的时候，可以采用增大受力面积或减小压力的方法。

用例一 注意压力和压强的区别。

题 1 一块砖平放、侧放、竖放在水平地面上（见图 1-23），对地面的压力与压强分别为 F1、F2、F3；p1、p2、p3，则 （ ）

A．F1＞F2＞F3，p1＞p2＞p3 B．F1＜F2＜F3，p1=p2=p3 C．F1＝F2=F3，p1＜p2＜p3 D．F1=F2=F3，p1=p2=p3

因为三种情况下的压力大小都等于砖的重力的大小，所以 F1=F2=F3， 又因为平放时受力面积最大，竖放时受力面积最小，所以压强关系满足 p1

＜p2＜p3 故该题应选 C。

题 2 若上题中的砖块长 24 厘米，宽 11 厘米，高 5 厘米，重 22 牛顿， 则侧放时，它对地面的压强是多少？若平放，在它上面再叠放一块相同的砖，这时砖块对地面的压强又是多少？

当砖侧放时，压力 F1=G=22 牛，

受力面积 S1=24 厘米×5 厘米=120 厘米 ²

=0.012 米 ²

所以 p1=F1/S1=22 牛/0.012 米 ²

=1833.3 牛/米 ²

=1.833×10³ 帕斯卡．

当砖平放，并叠放另一块相同的砖时，压力F2=2G=22 牛×2=44 牛，

受力面积 S2=24 厘米×11 厘米=264 厘米 ²

=2.64×10^-2 米 ²， P2=F2/S2=44 牛/2.64×10^-2 米 ²

＝1.667×10³ 帕斯卡。

通过此题我们看出，当砖对地面的压力增大时，其对地面的压强却减小了，原因是受力面积增大了。

用例二 改变压强的方法。

题 3 有一正方形匀质铁块放在水平桌面上，若沿虚线 a 切掉右半部， 如图 1-24 所示，其余部分不动，则铁块对桌面的压力和压强如何改变？

（ ）

1. 压强减半，压力不变B．压力减半，压强不变C．压力、压强都减半D．压力、压强都不变

在此情况下，压力的大小是等于重力的大小的．现去掉右半部，即重力减半，故压力亦减半，在压力减半的同时，受力面积亦减半，故压强不变，应选 B．

题 4 在上题中，若沿虚线 b 切掉上面的一半，则铁块对桌面的压力和压强如何变化？

此时压力仍然减半，然而因其受力面积不变，所以压强减半。

题 5 一堵砖墙对地面的压强为 3.5×10⁴ 帕斯卡，在这堵墙的长度、宽度、高度三个量中，哪个量增大时，墙对地面的压强将增大？

根据压强公式p = F ，首先应考虑地面受到的压力。这堵墙的长、

S

宽、高三个量中任意一个量增大时，墙的体积、墙受到的重力和墙对地面的压力都将增大。其次考虑受力面积，如果墙的长度或宽度增大时，则墙与地面的接触面积也增大，只有高度增加时，墙与地面的接触面积不变。综合起来，当长度或宽度增大到原来的多少倍时，压力便增大到多少倍，

面积也增大到多少倍，即 F = F' ，所以压强不变。只有当墙的高度增加

S S'

时，由于墙对地面的压力增加，而受力面积不变，所以墙对地面的压强将增大。所以此题的结论是：只有高度增大时，墙对地面的压强增大。

【液体内部的压强】 液体的压强是由于液体的重力产生的。其规律是：液体内部向各个方向都有压强；深度增加，压强也随着增大；在同一深度，液体向各个方向的压强相等。不同的液体的压强还与液体密度有关。计算液体压强的公式是：

p=ρgh．

其中ρ为液体的密度，h 为液体的深度，p 为液体的压强，g=9.8 牛/ 千克。

使用这个公式时应该注意以下几点：

1. 式中的 h 是指从液体中的被测点到液面的竖直距离。

2. 公式中的各量一定要采用国际单位制中的单位，即 h—米，ρ—千克/米

   ³，P—帕斯卡。

3. 液体的压强只跟液体的密度和深度有关，而跟液体的重力和体积等无关。

用例一 液体的压强由深度和液体的密度决定。

题 1 两个相同的圆柱形容器中，装有同样多（即体积相同）的酒精和水银，问容器底受到的压强是否相同？说明理由。

因为容器相同，所以深度也相同，而 p=ρgh，故对容器底部的压强就只取决于液体的密度，而水银的密度（13.6×10³ 千克/米 ³）比酒精（0.8

×10³ 千克/米 ³）大，所以水银对容器底部的压强也大。

题 2 静止的液体内部的压强 P=pgh，如图 1-25 所示，计算 A 点的压强时，其深度 h 应该是 （ ）

1. 厘米

B．1.2 厘米

C．2 厘米

D．3 厘米

压强公式中的 h 是指液体中某点到液面的竖直高度所以本题中的 h=1 厘米，故应选 A。

用例二 通过液体的压强计算压力。

题 3 如图 1-26 所示，在边长为 a=20 厘米的箱子盖上，开一个小孔， 插上一支竖直的管子，管子高出箱盖 h=50 厘米，现将箱子装满水直至管口，求：

1. 箱盖所受的水的压强；

2. 箱底所受的水的压强；

3. 箱底所受的水的压力。

箱盖所受的压强为 p1=pgh=1×10³ 千克/米 ³×9.8 牛/千克×O.5 米

=4.9×10³ 帕斯卡；

箱底所受的压强 p2=pg（h＋a）

=1×10³ 千克/米 ³×9.8 牛/千克

×（0.5+0.2）米

=6.86×10³ 帕斯卡； 箱底所受的压力 F=p2S

=6.86×10³ 帕斯卡×（0.2 米）²

=2.74×10² 牛．

题 4 如图 1-27 所示，三个不同形状的容器 A、B 和 C，底面积都等于S，各装相同液体到相同高度 h，试比较它们的底部所受到液体的压强、压力和所装液体的重力。

首先，因为三种情形下的深度相同，即 hA=hB=hC=h，因此 pA=pB=pC=p， 所以三种情形下容器底部的压强相同。

其次，A、B、C 三个容器的底面积相同，即 SA=SB=SC=S，因为 F=pS，

所以底部所受的压力也相同。

最后，从外形上可以看出，容器的容积 VB＞VA＞VC，即水的质量也 mB

＞mA＞mC，所以，所盛液体的重力关系为：

GB＞GA＞GC．

【研究液体内部压强跟深度的关系】 实验目的研究液体内部的压强跟深度的关系。

实验器材 天平，平底玻璃管，烧杯（内装适量的水），细砂，三角板，刻度尺，角匙。

实验步骤 1．用刻度尺量出玻璃管的高度，用刻度尺和三角板量出管的外径，算出管底的面积。

1. 用角匙将少量的细砂装入玻璃管中，设法使管竖直地浮在烧杯内的

水中。用刻度尺量出玻璃管顶部到水面的距离（如图 1-28 所示），用管的高度减去这个距离得到浸入水中的管的深度 h。

1. 从水中取出玻璃管，擦干后用天平称出玻璃管和沙的质量，算出它们的重力，根据二力平衡原理，水对管底的压力大小等于管和砂的重力。

2. 向玻璃管中再加一些砂，做第二次；再向管内加一些砂，做第三次。

3. 利用三次实验依次求得三个压力及管的底面积，算出水对管底的三个压强。

4. 对三次实验的结果进行比较，看一看液体的压强与深度是什么关系，结论应是液体的压强与深度成正比。

【连通器】 上端开口，底部相互连通的容器叫连通器。如果连通器里盛有同一种液体，在液体不流动的情况下，不管连通器的形状怎样，各液面总是相平的。如果装有两种液体，在液体不流动的情况下，连通器的液面不相平，密度小的液体液面高。

用例一 利用连通器的原理制造船闸。

为了利用河水灌溉或推动水力发电机发电，常常需要在河流上修建拦河坝来提高水位。但是，拦河坝的修建却隔断了河流，影响了船只的航运。为了保持航运的通畅，人们利用了连通器的原理，在拦河坝旁边修建了船闸。

船闸是从河中隔离出来的供船只通过的通道。船闸的构造和船只通过的过程如图 1-29（甲）所示。

当船到达上游阀门时，阀门 A 打开，水从上游流进闸室。直到闸室中水面与上游水面相平时，打开闸门 C，船驶入闸室。这时关闭阀门 A 和闸门 C，打开阀门 B，水从闸室流向下游，直到闸室水面与下游水面相平时， 闸门 D 打开，船驶往下游。

船由下游驶往上游时，步骤与上述过程相反。

用例二 利用连通器的原理，制造锅炉水位计，修建过路涵洞。

锅炉里的水位要保持一定的高度，水位过低，锅炉有爆炸的危险。为了能随时了解锅炉内的水位，在锅炉上装有水位计。水位计与锅炉构成了一个连通器，如图 1-29（乙）左图所示。

当水渠流经公路时，为了不破坏公路、影响交通，常用的方法是修建过路涵洞，让水从公路下面流过再翻到面上来，如图 1-29（乙）右图所示。过路涵洞就是一个连通器。

连通器原理的应用是非常广泛的，除上述两例外，日常生活中的茶壶、喷水壶等也是利用了连通器的原理，此原理还可用来解释喷泉等现象。

用例三 根据连通器的原理，运用液体压强公式 p=ρgh 计算出液体的密度。

题 1 在 U 型管中装入两种不相溶的液体水和油（ρ油＜ρ水），当它们静止时，如图 1-30 所示。已知左管中油柱高 h1=10 厘米，右管中水面比左管中油面低 2 厘米，求油的密度。

要解决这个问题，首先要选择一个理想的水平面。本题通过油和水的交界面作一水平面 AB，根据连通器的道理，水平面 AB 以上部分中两管压强应相等。即

p 油=p 水，ρ油 gh1=ρ水 gh2，

所以 ρ油

= h2 • ρ

h1 水

因为 h1=10 厘米，h2=h1-2 厘米=8 厘米，

所以ρ 油

= 8厘米10厘米

×1.0×10³ 千克 / 米³ = 0.8×10³ 千克／米³。

【大气的压强】 由于空气受到地球的重力作用，而且空气又是能流动的，因此空气也像液体那样，在空气内部向各方向都有压强，大气对浸在它里面的物体的压强叫做大气压强，又称大气压或气压。

1654 年 5 月 8 日法国马德堡市市长奥托·格里克所做的著名的马德堡半球实验，有力地证明了大气压强的存在。

地面附近大气压的值，已于 1644 年意大利科学家托里拆利通过实验测得，它相当于 760 毫米高水银柱所产生的压强。根据液体内部压强公式 p= ρgh，水银的密度为 13.6 克／厘米 ³，将有关数据代入公式计算，结果是p=1.01×10⁵ 帕斯卡（牛顿／米 ²），即 760 毫米高水银柱所产生的压强为1.01×10⁵ 帕斯卡。由此可知表示大气压强值的单位有两种，一种是国际单位制“帕斯卡”（或牛顿／米 ²）；第二种是常用单位“毫米高水银柱”。

大气压强在我们的生活、生产中得到了广泛的应用。

用例一 用大气压来解释日常生活中的现象。

题 1 塑料挂衣钩为什么能紧紧地吸在光滑的墙上（如图 1-31 所示）？塑料挂衣钩上有一个凸形的软塑料圆盘，又叫塑料吸盘。当塑料挂衣

钩紧贴在光滑墙上的过程中，塑料吸盘和墙壁之间的空气被挤压出去大部分，因而使它们之间大气压强减小，大大小于外界的大气压强，从而使塑料圆盘受到较大的压力使它紧贴在墙上，由于塑料圆盘和墙之间的摩擦力的作用，塑料挂衣钩就被“吸”牢在墙上而不会掉下来。

如果挤压塑料圆盘的力越大，塑料圆盘和墙之间被挤出的空气越多， 塑料圆盘受到的压强越大，从而塑料圆盘与墙之间的摩擦力就越大，挂钩上挂的重物就可以多一些，“吸”在墙上的时间就长一些。反之，挂的重物少一些，且容易掉下来。

如果墙壁不是光滑的，塑料圆盘与墙之间容易漏进空气，那么塑料挂衣钩就容易掉下来或无法使用。

题 2 用玻璃管可以把瓶子中的水吸到嘴里（图 1-32 甲），这是为什

么？如果把玻璃管通过塞得很紧的橡皮塞插入盛满水的瓶子里（图 1-32 乙），再用嘴吸玻璃管，还能把水吸上来吗？

图 1-32 甲中玻璃管外的水面与外界大气相通，当用嘴吸玻璃管时，吸走了玻璃管中的空气，管内空气压强减小，小于外界大气压强；因此瓶中的水就在管外大气压的作用下，通过玻璃管进入嘴里。

与图 1-32 甲相比，图 1-32 乙中瓶口用橡皮塞塞得很紧，瓶中玻璃管外的水面与外界大气是不相通的。当用嘴吸玻璃管时，瓶中管外的水不受外界大气压的作用，所以无论怎样用力吸，都不能把水吸上来。

用例二 虹吸现象的产生和利用。

题 3 家庭中为金鱼缸换水时，常常是拿一根装满水的塑料软管，把它的一端放在金鱼缸 A 里，另一端放在低于金鱼缸的接水盆 B 里，这时金鱼缸里的水就源源不断地通过塑料软管流到接水盆里（如图 1-33），这是

为什么？

这一现象物理学上叫做虹吸现象，这根管子叫做虹吸管。虹吸现象是由于大气压的作用而产生的。

设在塑料软管最高处有一小液片 CD，则 CD 受到向左的压强为 p1，受到向右的压强为 p2，大气压强为 p0。

由于 p1=p0-ρgh1 ①

p2=p0-ρgh2 ②

比较①和②式，因为 h1＞h2，所以 p2＞p1。故金鱼缸内的水能通过塑料软管流到接水盆，形成虹吸现象。

产生虹吸现象是有条件的，第一，虹吸管内一定要灌满水，不能有空

气，否则水吸不出来。第二，虹吸管的出水口一定要低于金鱼缸内的水位， 否则也吸不出水来。如果接水盆内有水，且接水盆内的水位高于金鱼缸内的水位，则水将反过来从接水盆流到金鱼缸内。

虹吸现象在工农业生产上有着非常广泛的应用。

图 1-34 所示为某些工业装置中，利用虹吸管自动吸水的示意图。当容器中水面达到 AA’线时，水就被虹吸管自动放出。图 1-35 是农业上常用的利用虹吸管引水翻山的示意图，这种方法能较方便地解决农业灌溉的问题。

用例三 利用大气压强和液体压强，可测量液体的密度。

题 4 如图 1-36 所示是一种测液体密度的装置，B 管内为待测液体，A 管内为水．把中间的橡皮管的夹子放松，从 C 管口吸出适量空气，使两边液体沿着玻璃管上升，然后把夹子夹紧，这时 A 管中水上升的高度 h1=12 厘米，B 管中某液体上升的高度 h2=15 厘米．求这种液体的密度．

设大气压为 p0，管内的气体压强为 p，因管中抽出部分气体，故有 p

＜p0．当两液柱静止时，A 管内的压强为ρ水 gh2+p，且等于大气压 p0；B 管内的压强为ρ液 gh2+p，也等于大气压 p0，故有：

ρ水 gh1+p=ρ液 gh2+p， ρ水 h1=ρ液 h2，

ρ = h1 ρ

液 h 2 水

= 12厘米 ×1克 / 厘米³

15厘米

= 0.8克／厘米³．

【托里拆利实验】 托里拆利是意大利物理学家，他于 1644 年用实验测出了大气压的值，后人为了纪念他，以他的名字命名他所做的实验叫做托里拆利实验．

托里拆利实验过程：在一根一端封闭的长约 1 米的玻璃管内灌满水银，用食指堵住开口端，把管子倒立地插入水银槽里（如图 1-37 甲、乙）， 放开食指，玻璃管中的水银面就下降，降至某一高度时不再下降，测出此时水银柱高度约为 760 毫米，这个水银柱产生的压强就等于大气压（如图

1-37 丙）．

托里拆利实验的原理：设玻璃管内有一个小液片（如图 1-38），小液片的平面与管外水银面在同一个水平面上．当水银柱不下降时，小液片处于静止状态，这时小液片受到的向下的压强 p1 应等于小液片受到的向上的

压强 p2．由于玻璃管上端是真空，向下的压强 p1 是由水银柱产生的；又由于小液片与管外的水银面在同一水平面上，管外的水银对小液片不产生向上的压强，向上的压强 p2 只能是大气压强通过管外的水银传递给小液片的，故水银柱产生的压强应等于大气压．

如果把玻璃管的封闭端打开，管内水银面也受到大气压的作用，则由于水银柱本身的重力，管内水银将迅速下降，直到管内外水银面相平为止．

实验中，如果使玻璃管倾斜一些，管内的水银柱变长了，而管内外水银面的竖直高度差保持不变，仍为 760 毫米（如图 1-39）．由此可见，水银柱产生的压强仅与水银柱的竖直高度有关．

如果换用不同粗细、不同形状的长玻璃管进行实验，水银柱的竖直高度仍保持在 760 毫米，这表明水银柱产生的压强与玻璃管的粗细和形状无关．

做托里拆利实验时应注意：

1. 在向玻璃管内灌水银时，不要带入空气，否则实验结果将不准确（ 一般要小于大气压的真实值）。若已带入空气，可将管口向上，用细铁丝捅入，慢慢将气泡引出，或请老师处理。

2. 测量水银柱高度时，要测量管内水银面和管外水银面的竖直高度差，而不是测量水银柱的长度。

3. 水银和水银蒸气均是有毒物质，且价格昂贵，实验时应注意安全， 不要泼出来，手指破了不能用来堵管口，实验要迅速、准确，实验完毕立即将水银倒入盛水银的容器中并将盖子盖好。

用例一 用托里拆利实验的原理解决与实验有关的问题． 题 1 能否用水来代替水银做托里拆利实验？

若用水来做托里拆利实验，根据 p 大气=p 水柱=ρ水 gh，可以算出

h = p大气

ρ 水g

= 10.3米，则玻璃管长度要大于10.3米，由此可见，从理论上

说是可以用水来代替水银的，但实际操作是极不方便的．一般情况下，不用水来做托里拆利实验．

题 2 某同学在做托里拆利实验时，测得水银柱的长度为 95 厘米，玻璃管与竖直方

向成 37°角（如图 1-40），此时的大气压的值应是多少毫米高水银柱

（sin37°=0.6，cos37°=0.8）？ （ ） A．950 B．760

C．570 D．475

根据托里拆利实验的原理，只有在玻璃管竖直时，玻璃管内水银柱产生的压强才等于大气压强．因题中玻璃管不在竖直方向，故 95 厘米长的水银柱不表示此时的大气压，须将其竖直方向高度算出．h=95 厘米×cos37

°=76 厘米，换算为 760 毫米，本题应选 B．

用例二 液体压强公式 p=ρgh，不能直接用于气体．

题 3 已知空气的密度为 1.29 千克／米 ³，大气压强为 1.01×10⁵ 帕斯卡，能否用液体压强公式 p=ρgh，来求出大气层的高度（厚度）？

空气由于受地球的重力作用，在空中空气的密度分布是不均匀的，高度越高，空气越稀薄，空气密度就越小（已知条件中空气的密度是地表附

近的空气密度）．而且空气没有一定的体积和形状，也就没有一个“自由面”来确定它的高度，所以不能用液体压强公式 p=ρgh 来直接计算大气层的高度．

【大气压的变化】 大气压强是因为空气受到地球的重力作用而产生的，离地面越高空气越稀薄，空气的密度就越小，那里的大气压强也就越小．但大气压随高度的减小是不均匀的，高度越高它随高度的增加而减小的越慢．

在海拔 2000 米以内有一个近似的规律，即可近似的认为每升高 12 米，

大气压降低 133 帕斯卡或降低 1 毫米高水银柱．根据这个近似规律，如果测出了某处的大气压值，就可计算出那个地点的大致高度；如果已知某地的海拔高度，也可估算出该地的大气压的值．

除了高度能使大气压变化外，大气压的变化与天气和气候也有着密切的关系．一般地说，晴天的大气压比阴天高，冬天的大气压比夏天的高， 因此测量大气压值的变化也是天气预报的重要手段之一．

由于大气压的值不是固定不变的，即使在同一地点也常常是不同的， 为了便于比较和应用，通常把等于 760 毫米高水银柱的大气压叫做标准大

气压．1 标准大气压等于 1.01325×10⁵ 帕．在一般计算中 1 标准大气压常

取 1.01×10⁵ 帕，在粗略计算中也可取作 10⁵ 帕．

用来测量大气压的仪器叫做气压计．常用的气压计有两种，一种是水银气压计；另一种叫无液气压计．

水银气压计是在托里拆利实验中的玻璃管旁边固定一个刻度尺制成的，它的优点是测量结果准确，缺点是携带不方便．

无液气压计顾名思义是不用液体来测量大气压，它外表形状如图 1-41

甲所示，它内部构造如图 1-41 乙所示．主要部分是一个表面为波纹状的金属盒，盒内空气已经抽出，为使金属盒不致被大气压压扁，金属盒盖用钢质弹簧片向外拉着．大气压变化时，金属盒的厚度和弹簧片的弯曲程度随着变化，固定在弹簧片末端的连杆就通过传动机构带动指针旋转，从指针指示的刻度，就可以读出大气压的值．

如果无液气压计的刻度盘上标的不是大气压的值，而是高度值，那么这个无液气压计，就成了航空、登山用的高度计．无液气压计的优点是体积小，携带方便，但准确程度较差．

大气压的变化对我们的生活、生产有重要的影响．

用例一 根据大气压的变化情况估测高度．

题 1 海平面上的大气压大约是 760 毫米高水银柱，泰山顶上的大气

压大约是 533 毫米高水银柱，那么泰山的高度约是多少？

从海平面到泰山顶，大气压变化了 760 毫米高水银柱－533 毫米高水银柱=127．毫米高水银柱．根据每升高 12 米，大气压降低 1 毫米高水银柱的规律，泰山的高约为 12 米×127=1524 米．

用例二 利用改变气压可控制液体沸点高低的原理，解决日常生活中的问题．

题 2 在高山上煮鸡蛋，常常是水烧开了，鸡蛋却煮不熟，为什么？ 怎样才能把鸡蛋煮熟？

高山上由于气压低，水的沸点也降低；海拔 1 千米处约为 97℃，3 千米处约 91℃，6 千米处约 80℃，世界最高峰珠穆朗玛峰上水的沸点约为 72

℃，高山上煮鸡蛋，虽然水沸腾了，但它的温度低于 100℃，所以鸡蛋煮不熟．最好的办法是用高压锅煮，高压锅密封性好，锅内的气压可高于 1 个标准大气压，水的沸点将高于 100℃，所以能很快地将鸡蛋煮熟．

题 3 在制药业中，提取抗菌素时，要去掉溶液中的水分，但又不允许超过 80℃，否则抗菌素就会变质，想想看，有什么办法？

降低蒸发锅内的压强，使溶液的沸点降至 80℃以下，这样做既能使水分蒸发掉，又不会使抗菌素变质．

【活塞式抽水机】 抽水机又叫水泵，它是利用大气压把水从低处压到高处的．活塞式抽水机又叫吸取式抽水机，它的构造如图 1-42 所示．进水管插在井水中，圆筒内装着一个跟筒壁配合得很紧密的活塞，活塞中间和圆筒口各有一个阀门，阀门只能向上开．

活塞式抽水机的工作过程：提起活塞时，阀门 A 关闭，在大气压的作用下井水推开阀门 B 进入圆筒．压下活塞时，活塞下面的水使阀门 B 关闭， 同时推开阀门 A 进入活塞上面．再次提起活塞时，阀门 A 关闭，它上面的水经出水管流出，与此同时，在大气压的作用下井水推开阀门 B 进入圆筒．活塞不断地上下运动，就不断地把水抽上来了．

活塞式抽水机构造简单，价格便宜，操作方便，易于维修．但它的出水量小，提水的高度小，效率低．所以活塞式抽水机适用于井水不太深、供水量不太大的家庭生活用水．

【离心式水泵】 离心式水泵通常简称离心泵，它的构造如图 1-43 所示．它的主要部分是泵壳和装在泵壳里的叶轮，叶轮由电动机或柴油机带动旋转．水泵启动前必须先往泵壳里装满水，启动后叶轮高速旋转，泵壳里的水也跟着高速旋转，同时被叶轮甩入出水管流出．水被甩出后叶轮附近压强减小，比大气压小得多，井水在大气压的作用下，推开底阀经进水管进入泵壳，叶轮不停地高速旋转，水就源源不断地被抽到高处．

离心式水泵的出水量大，提水高度高，但价格贵，需与电动机或柴油机配套使用，维修复杂，要专人使用管理．它适用于工厂用水和农业灌溉．

提水工具除了已介绍的活塞式抽水机和离心泵外，还有许多种，如靠人力、畜力的水车，靠水力的水轮泵，靠电力或柴油机动力的轴流泵、混流泵等，它们各有优缺点，选用水泵时，应从实际需要出发，考虑到财力、能源和技术力量等因素，选用最适合的一种．

*【气体的压强跟体积的关系】 在温度不变时，一定质量的气体， 体积越小，压强越大；体积越大，压强越小．这就是通过大量实验而得到的气体压强跟体积的关系．

在理解这个关系时，必须注意两个条件：1 温度保持不变；2 一定量的气体，即在研究过程中气体质量不变．如不满足这两个条件，这个关系就不能成立．

我们每个人的呼吸过程正体现了这种关系，吸气时，胸腔扩大，每个肺泡也扩张，整个肺容量增大，肺内气体压强减小，在大气压强的作用下， 空气被压入肺中，呼气时，胸腔收缩，肺容量减小，肺内气体压强增大， 大于大气压强，肺内一部分气体被排出体外．

气体的压强跟体积的关系在生活、生产实际中用途很广泛．

用例一 打气筒．

打气筒的构造如图 1-44 所示，它主要有金属筒、带向下凹的橡皮盘的

活塞构成，活塞与筒壁之间有空隙．

打气筒的工作过程：当活塞向上拉时，活塞下方体积增大，压强减小， 在大气压的作用下，活塞上方的空气沿活塞与筒壁之间的间隙进入活塞下方．当活塞向下压时，活塞下方体积减小，压强增大，使橡皮盘紧抵着筒壁而使空气无法回到活塞上方，当空气压强足以顶开自行车轮胎的气门芯时，被压缩的空气就进入了轮胎．

用例二 抽气机．

图 1-45 是实验室所用的简单的抽气机示意图．

它的主要构造是一个带有抽气管的底盘与一个能与底盘密封的玻璃罩，抽气管内有一个可上下移动的与管壁配合紧密的活塞，底盘内有两个分列在抽气管两侧的阀门，阀门均开向出气口．

主要工作过程：当活塞上提时，活塞下方气体体积增大，压强减小， 由于大气压的作用，使阀门 A 关闭，玻璃罩内的空气推开阀门 B 进入抽气管．当活塞下压时，活塞下方气体体积减小，压强增大，使阀门 B 关闭， 压缩气体的压强大于大气压时，推开阀门 A 经出气口排出．这样，活塞不断地上下运动，就把玻璃罩内大部分空气抽出去了．

用例三 喷雾器．

喷雾器常用来喷洒药物，消灭害虫．图 1-46 所示是常用的背负式喷雾器示意图．

它的主要构造：由贮液筒、唧筒、空气室和喷头等部分组成．它主要工作过程：当手柄把唧筒内的活塞向上提起时，贮液筒内的药液在大气压的作用下，推开唧筒下方的玻璃球（阀门），进入唧筒内，当下压活塞时， 玻璃球被活塞下方药液压紧，药液推开空气室下方的玻璃球，进入空气室．当活塞再次提起时，贮液筒内的药液又进入了唧筒，同时空气室下方的玻璃球被压紧，空气室内的药液不能回到唧筒．这样，活塞不断地上下运动，空气室内药液不断增多，使空气室内空气体积不断减小，压强不断增大，打开喷杆上的开关，药液在压缩空气的压强作用下便从喷头喷出去．

用例四 利用压缩空气制动．

现代的火车、电车和公共汽车的制动（刹车）系统大多数是利用压缩空气制动的．

火车制动的主要构造和工作过程如图 1-47 所示．

主要构造：贮气筒、制动筒、压缩空气主路、活塞（含闸瓦）、制动阀、阀门等部分．

主要工作过程：当制动阀闭合时，主气路与大气不相通，压缩空气充满贮气筒、主气路、制动筒，活塞两边气压相等，活塞在弹簧的作用下位于制动筒左端，闸瓦离开车轮，车轮可以自由转动．当制动阀打开时，主气路与大气相通，主气路及制动筒中活塞右侧的气压降低至大气压，贮气筒中的压缩空气使阀门关闭，同时推动活塞向右移动，使闸瓦紧紧地卡住车轮，使车轮不能转动。

压缩空气不仅能用于制动，还能使许多机械如风镐、风钻工作，挖土机、推土机、起重机等的臂膀运动。

用例五 用气体的压强跟体积的关系解释一些现象。

题 1 如图 1-48 所示，瓶内装一些水，瓶盖上有个小孔，将瓶倒置后， 水为什么不会源源不断地流出？

水之所以不会源源不断地流出，是因为当少量的水流出时，水上方的空气体积增大，因而压强减小，当水面上方空气的压强加水的压强等于外界大气压时，水就不会再流出。

【浮力】 浸在液体中的物体受到液体的向上的托力，这个托力就叫做浮力。不仅漂在液面上的物体受到浮力，浸没在液体中的物体也受到浮力。浮力是液体对物体的作用力，方向是竖直向上的。

浮力产生的原因：

设液体中浸没一个正方体，如图 1-49 所示。正方体的六个面都受到液体对它的压强，由于前后、左右四个侧面的对应部分在液体中深度相同， 所受液体压强相等，作用在前后左右四个侧面的压力大小相等，方向相反， 故彼此平衡。但是，上下两个面由于深度不同，上面的压强小，下面的压强大，所以下面受到向上的压力比上面受到向下的压力要大，这样，液体对浸在液体里的物体产生了向上的托力，即浮力。浮力的大小等于向上和向下的压力差，方向总是竖直向上的。

同样道理，物体在气体中也受到浮力。测量浮力大小的方法： 1．用弹簧秤称量。

先用弹簧秤称出物体的物重 G，再把物体浸在液体中读出弹簧秤的示

数 G’，则前后两次的示数差就是物体受到的浮力，即 F 浮=G-G（’

1. 通过上下表面压力差计算。

如图 1-50）。

先由液体压强公式 p=ρgh，求出上下表面所受到的压强 p 上和 p 下， 再由压强公式 F=pS，求出上下表面的压力 F 上和 F 下，根据浮力产生的原因，F 浮=F 下-F 上，求出浮力。

1. 用阿基米德原理的数学式计算。

根据阿基米德原理，其数学式 F 浮=ρ液 gV 排，只要液体的密度及物体排开液体的体积确定，就能求出浮力。

研究浮力时，应注意一个问题：当物体跟盛液体的容器的底部紧密地

接触时（如图 1-51 所示），物体将不受到液体对它的浮力作用。

由于物体与容器底部紧密接触，物体底部没有液体，此时就没有液体压强作用到物体底部，因而就受不到液体对它的向上的压力，根据浮力产生的原因，不符合产生浮力的条件，故物体不受到浮力的作用。

浮力在日常生活、工农业生产及科研中的用途是相当广泛的，如密度计、船、潜水艇、气球和气艇等，详细内容请见“阿基米德原理”及“物体的浮沉条件”。

【阿基米德原理】 浸入液体里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它所排开的液体受到的重力。这就是著名的阿基米德原理。

阿基米德原理的数学表达式为：

F 浮=G 排液=ρ液 gV 排

式中ρ液表示物体所浸入的液体的密度，V 排表示被物体排开的液体的体积。当ρ液的单位取千克／米 ³，V 排的单位取米 ³，g 取 9.8 牛／千克时，浮力 F 浮的单位就是牛顿。

在运用阿基米德原理时，应注意以下四点：

1. 浮力的大小与液体的密度ρ液有关，而与物体本身的密度无关。

2. 浮力的大小与物体排开液体的体积 V 排有关。一般情况下 V

   排的大小等于物体浸入液体的那部分体积，不一定等于物体的体积 V 物。只有当物体全部浸没在液体里时，V 排才等于 V 物。

3. 当物体全部浸没在液体里时，由于物体的体积是一定的，液体的密度也是一定的（液体密度不随深度变化），所以不论物体浸没在液体里的深处还是浅处，它所受到的浮力是相等的，即浮力的大小不随深度的改变而变化。

4. 阿基米德原理不仅适用于液体，同时也适用于气体，即：浸没在气体里的物体受到浮力的大小，等于它排开的气体所受到的重力。其数学表达式为：F

   浮=G 排气=ρ气 gV 排。

阿基米德原理是从实验中得出的，我们就用实验来验证这一原理。实验的装置和实验过程如图 1-52 所示。

如图 1-52 甲所示，在弹簧下面挂一个金属筒，筒下吊一个石块，记下弹簧伸长后指针到达的位置。

如图 1-52 乙所示，把石块全部浸入装满水的溢水杯中，由于石块受到向上的浮力，弹簧缩短，同时被石块排开的水，从溢水杯上的溢水口流到小杯里。

如图 1-52 丙所示，把小杯里的水全部倒入金属筒内，弹簧又伸长到原来的位置，这说明，石块所受到的浮力，等于它所排开的水的重力。

阿基米德原理还可以根据浮力产生的原因推导出来。

如图 1-53 所示，一个边长为 l 的正方体，浸没在密度为ρ液的液体中， 正方体上表面距液面的深度为 h1，下表面距液面的深度为 h2 则：h2=h1＋ l。

正方体上表面受到液体向下的压强为

p=ρ液 gh1；

受到液体向下的压力为

F=pS=pl²=ρ液 gh1l²．

正方体下表面受到液体向上的压强为

p’＝ρ液 gh2；

受到液体向上的压力为

F’=p’S=p’l²=ρ液 gh2l²。根据浮力产生的原因可得

F 浮=F’-F=ρ液 gh2l²-ρ液 gh1l²

＝ρ液 gl²（h2-h1）

=ρ液 gl³。

因为正方体的体积 V=l³，当它浸没在液体中时，它排开液体的体积应等于正方体体积，即

所以，F 浮=ρgV 排。

V 排=V=l³，

用例一 用阿基米德原理可直接求出浸没在液体中的物体所受到的

浮力。

题 1 体积是 50 厘米 ³ 的玻璃塞子，浸没在煤油里，煤油对它的浮力有多大（ρ煤油=0.8×10³ 千克／米 ³）？

据题意，玻璃塞子是浸没在煤油中的，所以它排开煤油的体积就是玻璃塞子的体积、把玻璃塞子的体积 50 厘米 ³ 换算为 5×10^-5 米 ³，使它们的单位统一起来，就可直接代入阿基米德原理公式，算出煤油对玻璃塞子的浮力为 0.39 牛顿。

题 2 有一个体积是 1500 米 ³ 的气球，把它放在地面附近时，空气对它的浮力是多大（ρ空气=1.29 千克／米 ³）？

题目中之所以说明求地面附近的空气对气球的浮力，是因为空气受重力作用，离地面越高，空气越稀薄，空气的密度是变化的，指出求哪一个位置的空气对气球的浮力是非常重要的。同时也告诉了我们，题中给出的空气密度，就是地面附近的空气密度。

弄清上面的问题，就可将已知数据直接代入阿基米德公式，算出地面附近空气对气球的浮力为 18963 牛顿。

用例二 用阿基米德原理可求出浸入液体中的物体的密度和体积。题 3 一个金属球在空气中称时，弹簧秤的读数为 14.7 牛顿；浸没在

水中时，弹簧秤的读数为 4.9 牛顿。求：（1）金属球浸没在水中时受到水的浮力是多大．（2）金属球的体积是多大．（3）金属球的密度是多少．首先根据弹簧秤两次示数相减的方法计算出金属球浸没在水中时，所

受到水的浮力，即：

F 浮=G 空-G 水=14.7 牛顿-4.9 牛顿=9.8 牛顿．

然后根据阿基米德原理，求出金属球排开水的体积，即：F 浮=ρ水 gV

_排，

V = F浮 = 9.8牛 ×9.8牛 / 千克 = 1×10^-3 米³．

^排 1.0×10³ 千克 / 米³

最后再根据密度公式求出金属球的密度．

m G 空

∵ρ = V ，m = g ，

G空 14.7牛

∴ ρ =

gV = 9.8牛 / 千克×1×10^-3 米³

= 1.5×10³ 千克／米³．

题 4 有一个方木块，当它浮在水面时，露出水面的部分是它总体积的五分之二，这个方木块的密度是多大？

根据题意，当方木块浮在水面时，说明它受到的竖直向下的重力和竖直向上的浮力大小是相等的，即 G 木=F 浮．

设方木块的总体积为 V 木，由于露出水面部分为总体积的 2/5，则浸入水面以下的体积为总体积的 3/5，即方木块排开水的体积也为总体积的3/5．

3

∵G木 = ρ木gV木，F浮 = ρ水gV排，V排 = 5 V木 ，G木 = F浮 ，

3

∴ ρ木gV木 = ρ水g 5 V木 ，

ρ = 3 ρ

木 5 水

= 0.6×10³ 千克／米³．

题 5 如图 1-54 所示，一容器中装有水银和油，油在水银上面．有一个体积 V=10 厘米 ³ 的实心铜球浮在这两种液体的分界面上．问铜球浸入油和水银中的体积各是多少（油的密度ρ1=0.9×10³ 千克／米 ³，水银的密度ρ2=13.6×10³ 千克／米 ³，铜的密度ρ3=8.9×10³ 千克／米 ³）？

根据题意，铜球浮在这两种液体的界面上，处于平衡状态，则铜球的重力等于油和水银对铜球的浮力之和，即 G 铜＝F 浮 1＋F 浮 2．

设铜球浸没在油中的体积为 V1，浸没在水银中的体积为 V2，则 V 铜

=V-V2．

根据阿基米德原理：F 浮 1=ρ1gV1=ρ1g（V-V2），

F 浮 2＝ρ2gV2，

∵G 铜=F 浮 1+F 浮 2，G 铜=ρ3gV，

∴ ρ3gV=ρ1g（V-V2）＋ρ2gV2，代入数据计算得： V2=6.3×10^-6 米 ³，V1=（V-V2）=3.7×10^-6 米 ³．

用例三 用阿基米德原理可求出液体的密度．

题 6 在粗细均匀的玻璃管内盛适量砂粒，制成一只简易密度计，玻

璃管总长为 24 厘米．若把它竖直放在水中时，量得露出水面部分长为 5

厘米；若把它竖直放在盐水里，量得露出盐水面部分长为 6 厘米，求盐水的密度．

根据题意，密度计浸入水中的长度： h=24 厘米-5 厘米=19 厘米；

浸没在盐水中的长度： h’=24 厘米-6 厘米=18 厘米．

设密度计玻璃管的横截面积为 S， 则密度计在水中受到的浮力：

F 浮＝ρ水 gV 排=ρ铜水 ghS； 在盐水中所受到的浮力：

F’浮=ρ盐水 gV’排=ρ盐水 gh’S．

因为密度计在水或盐水中都处于漂浮状态，它不论在水中还是盐水中，受到的浮力都等于它的重力，即

G=F 浮=F’浮，

所以ρ水 ghS=ρ盐水 gh’S，

ρ = h ρ ，

h' ^水

代入数据得ρ盐水=1.06×10³ 千克／米 ³．

用例四 利用阿基米德原理和密度公式ρ= m ，可以判断出金属球是

V

实心的还是空心的．

题 7 铁球在空气中重 19．6 牛，若将它浸没在水中称量，弹簧秤的示数为 14．7 牛，问铁球是空心的还是实心的（铁的密度为 7．8×10³ 千克／米 ³）？

铁球浸没在水中所受到的浮力为： F 浮=G 空-C 水=4．9 牛．

根据阿基米德原理：F 浮=ρ水 gV 排，

F浮 4.9牛

V 排 =

水

g = 10 × 10³ 千克 / 米³ × 98牛 / 千克

= 0.5 × 10⁻³ 米³

因为铁球全部浸没在水中，则V 球=V 排=0．5×10^-3 米 ³．

根据密度公式：ρ = m ，m = ρV，

V

铁球的质量m 球=ρ铁 V 球

=7.8×10³ 千米／米 ³×O.5×10^-3 米 ³

＝3.9 千克，

G 球=m 球 g=3.9 千克×9.8 牛／千克=38.22 牛显然 38.22 牛＞19.6 牛，铁球是空心的．

上述解法是用相同体积的情况下比较重力的方法来判断的，还可用相

同重力的情况下比较体积或密度的方法来判断，请读者自己练习．

用例五 运用阿基米德原理和液体压强公式 P=ρgh，可计算出，在液体中放入一个浮体时所引起的液体内任一位置的压强变化．

题 8 如图 1－55 所示，高 30 厘米，截面积是 10 厘米 ² 的玻璃容器中，

盛有 10 厘米深的水．问：（1）距容器底 6 厘米处水的压强是多大？（2） 如果在容器中放入一个重 0．294 牛的木块，木块漂浮在水面上，这时距容器底 6 厘米处水的压强又是多大？

首先应搞清楚距容器底部 6 厘米处的一点，距水面的深度是多少． h=10 厘米－6 厘米=4 厘米=4×10^-2 米，代入液体压强公式得： p=ρ水 gh

=1.0×10³ 千克／米×9.8 牛／千克×4×10^-2 米=392 帕．

当容器内放入木块后，容器内水面要升高，其升高的高度可通过阿基米德原理和体积公式算出．

木块漂浮在水面上，它受到的浮力等于木块重力，即F 浮=G 木=0.294 牛．根据阿基米德原理：

F

F = ρ gV ，V = ^浮

= 3×10^-5 米³。

浮 水 排 排

ρ水g

根据体积公式V = lS，

V

l = S =

3×10^-5 米³

1×10^-3 米²

= 3×10^-2 米，

即水面升高 3 厘米，距容器底部为 13 厘米．

这时距容器底部 6 厘米处的水深

h’=13 厘米－6 厘米=7 厘米=7×10^-2 米． 代入液体压强公式求出水的压强

p’＝ρ水 gh

=1.0×10³ 千米／米 ³×9.8 牛／千克×7×10^-2 米

=686 帕．

【物体的浮沉条件】 浸在液体里的物体受到两个力的作用，一个是竖直向下的重力，另一个是竖直向上的浮力，这两个力的合力情况就决定着物体的浮沉．设物体完全浸没于液体中，

当 F 浮＞G 时，F 合方向向上，物体上浮； 当 F 浮＜G 时，F 合方向向下，物体下沉；

当 F 浮=G 时，F 合=0，物体可悬浮在液体里任何地方．

因为 F 浮=ρ液 gV 排，G=ρ物 gV 物，当物体全部浸没在液体里时，则有V 排=V 物．将此三式代入上面各情况，可得物体和液体的密度关系对物体浮沉的影响：

当ρ液＞ρ物时，物体上浮；

当ρ液＜ρ物时，物体下沉；

当ρ液=ρ物时，物体可悬浮在液体里任何地方．漂浮在液面上的物体， 它的重力也等于它受到的浮力，即 F 浮=G。这时，物体有一部分露出在水面上，V 排＜V 物。物体与液体的密度关系是，ρ 物＜ρ液，这属于从液体内部上浮的物体运动静止后的特例。

正确理解上述物体的浮沉条件，还需注意下列几个问题： 1．上浮和下沉表示了物体在浮力和重力的合力作用下的运动过程，物

体的运动方向与合力方向是一致的。而漂浮和悬浮表示了物体在浮力和重力相等时，合力为零的情况下所处的状态，即静止（平衡）状态。

1. 漂浮和悬浮的条件都是 F 浮=G，但它们是有区别的。漂浮时，物体的部分体积浸在液体里，V 排＜V 物，且ρ物＜ρ液；而悬浮时，物体必定全部浸没在液体里，V 排=V 物，且ρ物=ρ液．

2. 物体的浮沉条件主要是指重力和浮力作用在物体上的三种情况，而物体和液体的密度关系，是从这三种情况推导出来的，它使我们能方便地判断物体的浮沉，但必须注意：此密度关系仅适用于实心物体，对空心物体不适用．

3. 物体的浮沉条件对于浸在气体中的物体同样适用．如气球内充入密度小于空气的气体，如氢气、热空气、氦气等，气球的总重力小于空气对它的浮力（F 浮＞G），它就上升；若放掉部分气体，气球体积缩小，气球

受到空气的浮力小于它的总重力（F 浮＜G），它就降落．

用例一 由物体的浮沉条件判断放入液体中的物体是上浮、下沉还是悬浮．

题 1 有一质量为 5 千克，体积为 1 分米 ³ 的实心球，将其放入水中后， 该球将 ；将其放入水银中后，该球将 （填写：上浮、下沉或悬浮）．

实心球的质量为 5 千克，其重力G=mg=5 千克×9.8 牛／千克=49 牛． 其体积 V 球=1 分米 ³=0.001 米 ³．

将其浸没于水中，因 V 水排=V 球，它所受到水的浮力F 水浮=ρ水 gV 排

=1.0×10³ 千克／米 ³×9.8 牛／千克×0.001 米 ³

＝9.8 牛．

因为 F 水浮＜G，所以实心球在水中将下沉；将其浸没于水银中，因 V

_汞浮=V 球，它所受到水银的浮力F 汞浮＝ρ水银 gV 排

=13.6×10³ 千克／米 ³×9.8 牛／千克×0.001 米 ³

=133.28 牛。

因为 F 汞浮＞G，所以实心球在水银中将上浮。

本题也可先算出实心球的密度，再通过它与水或水银的密度关系得出结论。

题 2 现有壁薄内空的金属球。当球内充满氢气时能上升，如果把球抽成真空（假定球壳不变形），则该球还能上升吗？

壁薄内空的金属球，充满氢气后能上升，是因为它受到空气的浮力大于它的总重力，即 F 气浮＞G 总，而 G 总=G 球＋G 氢。现在把这个金属球抽成真空，则它的总重力变小了，G’总=G 总-G 氢=G 球，由于金属球体积不变，它所受到空气的浮力未变，根据物体的浮沉条件 F 气浮＞G’总，应能上升。题 3 如图 1-56 所示，小气球 A 下挂一小金属块，在水中某一深度悬

浮，它能否在水中任意深度保持悬浮状态？为什么？

应注意，不能因为挂有小金属块的气球可以在某一深度悬浮，就不加思索的认为它可以在任一深度悬浮。由于气球不是体积不变的实心物体， 它的体积将随外界的压强不同而变化，外界压强变大，它的体积将变小； 外界压强变小，它的体积将变大。

当气球在水中的深度变化时，受到的压强变化将引起气球体积变化， 从而导致气球受到的浮力发生变化，使原来的浮力与重力的平衡状态遭到了破坏，故气球不能在其它任意深度处悬浮。

用例二 利用物体的浮沉条件和阿基米德原理制造出密度计，可直接测出液体的密度。

如图 1-57 所示，密度计是一根密闭的玻璃管，上部粗细均匀，内壁贴有刻度纸，下部较粗，最下端装有铅粒，能使玻璃管竖直浮在水面上。

由于密度计的重力是一定的，它漂浮在液面时受到的浮力也是一定的

（ρ液 gV 排=G→V 排=G／ρ液 g），所以把它放在密度较大的液体中，它排开的液体就少一些，玻璃管浸没在液体里的深度就小一些。反之，玻璃管

浸没在液体里的深度就大一些。根据玻璃管浸没在液体里的深度就可读出液体的密度。图 1-57 中的读数为 1.30，表示这种液体的密度是水密度的

1.3 倍。

题 4 在一根表面涂蜡的细木棍的一端绕着适量的铁丝，把它放到三

种密度不同的液体里，木棍浸入液体里的情况如图 1-58 所示。这三种液体的密度哪一种最大？哪一种最小？

木棍的总重力一定，根据物体的浮沉条件，它在三种液体里受到的浮力也一定。由于在乙液体中浸入的体积最小，排开液体体积也最少，所以乙液体的密度最大，反之，甲液体的密度最小。

1

题5 有一柱形浮标浮于水面，露出全长的 2 ；若浮于酒精时，则露

1

出全长的 3 ，求酒精密度。

设浮标的长度为 h，横截面积为 S。

1

在水中则有：F水浮 = ρ 水g· 2 hS，

在酒精中则有：F酒浮 = ρ 酒精

g· 2 hS，

3

因为浮标重力一定，在水中和在酒精中所受的浮力也相同，F 水浮=F 酒_浮，故有

1 2

ρ 水g· 2 hS = ρ 酒精 g· 3 hS。

解得 ρ 酒精

= 3 ρ

4 水

= 3 ×1.0×10³ 千克 / 米³

4

= 0.75×10³ 千克／米³。

用例三 根据物体浮沉条件，把密度大于水的材料，制成空心物体， 使它能排开更多的水，达到漂浮的目的，因而可用钢铁制造船舶．

题 6 有一只空心铝球，空心部分的体积是总体积的 0.7 倍，若将此球轻轻放入水中，它将上浮还是下沉（ρ铝=2.7×10³ 千克／米 ³）？

设空心铝球的总体积为 V，

则球壳的体积为 V 球壳=（1-0.7）V=0.3V， 空心铝球的重力

G 空=ρ铝 gV 球壳

=2.7×10³×9.8×0.3V

=7.9×10³×V（牛）。

把空心铝球放入水中，它受到的浮力为F 浮＝ρ水 gV

=1.0×10³×9.8×V

=9.8×10³×V（牛），

显然 F 浮＞G 空，空心铝球在水中将上浮．

题 7 一艘装满货物的轮船总质量为 1 万吨，它从长江驶入大海．设

江水和海水中的密度分别为 1.0×10³ 千克／米 ³ 和 1.03×10³ 千克／米

³，则轮船的排水体积将减少多少米 ³？

轮船是漂浮在江面和海面的，船的总重力不变，它在江水和海水中所受到的浮力也不变，且都等于船的总重力，由于江水和海水的密度不同， 因此轮船浸入江水和海水中的体积也不同。

轮船的总质量为 10000 吨，因为 G=mg， G 总=10000×100O 千克×9.8 牛／千克

=9.8×10⁷ 牛．

在江水中，G 总=F 江浮，F 江浮=ρ江 gV 江排，

V = F 江 浮 =

9.8×10⁷ 牛

= 10000米³。

江浮 ρ g

1.0×10³ 千克 / 米³×9.8牛 / 千克

在海水中，G总 = F海浮 ，F海浮 = ρ 海 gV海排 ，

F海排

9.8×10⁷ 牛

V海排

= ρ g = 1.03×10³ 千克 / 米³×9.8牛 / 千克

= 9708.74米³。

轮船在海水中减少的体积：

V 江排-V 海排=10000 米 ³-9708.74 米 ³=291.26 米 ³。

用例四 根据物体的浮沉条件，用改变自重的方法，达到下潜和上浮的目的，潜水艇就是根据这一原理制造的。

潜水艇的横向剖面图如图 1－59 所示。潜水艇两侧有两个水舱，用向水舱里充水、排水的方法改变自身的重力，使潜水艇下潜、上浮或悬浮在水中。

题 8 潜水艇在海中潜水时排水量为 800 吨，在海面上航行时排水量

为 650 吨，潜水艇在海面航行时水上部分的体积多大？要充入多少海水才能潜入海水中（ρ海=1.03×10³ 千克／米 ³）？

排水量 800 吨或 650 吨均为被排开海水的质量，可由密度公式分别求出各自排开海水的体积。

V = m 潜 = 800×1000 千克 ＝776.7米3

^潜 1.03×10³ 千克 / 米³

V = m水下 = 650×1000千克 = 631.1米3

水下

海

1.03×10³ 千克 / 米³

在海面航行时，水上部分的体积为：

V 水上=V 潜－V 水下=776.7 米 ³－631.1 米 ³=145.6 米 ³

充入 145.6 米 ³ 的海水，潜水艇就可潜入海中。本题解法甚多，可自行练习。

题 9 一只空心球，其截面如图 1-60 所示。球的体积为 V，球腔容积

为 V ，当它漂浮在水面时有一半露出水面。如果在球腔内注满水，则

2

（ ） A．球仍漂浮在水面，但露出水面部分小于一半 B．球仍漂浮在水面，露出水面部分仍为一半 C．球可以停留在水中任何深度的地方

D．球将下沉

在球腔内注满水后，改变了自重，破坏了原来的平衡。必须再用浮沉条件或密度关系进行重新判定，本题用密度关系判定较为方便。

V

漂浮时，G球 ＝F浮＝ρ 水g 2 ，

球腔内注满水后，G 球和水的平均密度

水 ＝ρ 水

g V ，

2

m G + G

V V

ρ g + ρ g

ρ＝ 总 ＝ 球 水 ＝ 2

水

＝ρ 。

V Vg Vg ^水

根据密度关系ρ＝ρ水，可以停留在水中任意深度的地方，应选 C。此题亦有另外解法，请同学们自己练习。

题 10 有一粗细均匀的蜡烛长 20 厘米，在蜡烛底端插入一根铁钉，

使蜡烛能直立地浮于水中，上端露出水面长 1 厘米（如图 1-61 所示）。现将蜡烛点燃，问蜡烛燃烧到还剩下多长时，蜡烛的顶面与水面相平，烛焰被水淹灭（假定蜡烛燃烧时，蜡烛油全部被燃烧而不流下来，铁钉体积不计，ρ蜡＝0.9×10³ 千克/米 ³）？

蜡烛燃烧时，自重不断减小，总长度不断缩短，浸入水中的部分不断上浮，蜡烛始终处于漂浮状态，当蜡烛顶面与水面相平时烛焰熄灭，此时蜡烛的剩余部分淹没在水中，呈悬浮状态。虽然蜡烛的燃烧是一个复杂过程，各物理量都在不断地变化着，但我们可以抓住点燃前和淹灭后这两个始末状态，根据漂浮、悬浮的特征及阿基米德原理进行列式求解。

点燃前：蜡烛处于漂浮状态，设蜡烛的横截面积为 S，此时的重力为G1，受到的浮力为 F1，铁钉重为 G’。

因 F1＝G1＋G’，而 G1＝ρ蜡 g×0.2S， 而 F1＝ρ水 g×（0.2-0.01）S，所以

ρ水 g×（0.2－0.01）S＝ρ蜡 g×0.2S＋G’，

整理得ρ水 g×0.19S＝ρ蜡 g×0.2S＋G’。 ①

烛焰淹灭后：剩余的蜡烛处于悬浮状态，设蜡烛剩余部分的长度为 l， 重力为 G2，受到的浮力为 F2。

因 F2＝G2＋G’，而 G2＝ρ蜡 glS

而 F2＝ρ水 glS，所以ρ水 glS＝ρ蜡 glS＋G’。 ②

①式减②式消去 G’，得：

0.19gρ水 S-ρ水 glS＝0.2ρ蜡 gS-ρ蜡 glS

0.19ρ − 0.2ρ

整理得l＝ ^{水 蜡}

ρ水 − ρ蜡

＝ 0.01 ＝0.1（米） 0.1

蜡烛燃烧到剩下 0.1 米时，烛焰被水淹灭。

用例五 根据物体的浮沉条件，可以比较、判断浸入液体中的物体的

密度、体积、质量等。

题 11 一个体积为 0.03 米 ³ 的救生圈浸入水中时，恰能使质量为 70 千克的人（设人的密度为ρ人＝1.1×10³ 千克/米 ³）的 1/5 身体浮在水面上，问救生圈的密度ρ为多少？

设救生圈的体积为 V，因人与救生圈漂浮在水面上，则有 F 浮＝G 总。

∵G 总＝G 人＋G 圈＝m 人 g＋ρgV，

 4 m人 

F浮＝ρ 水gV＋ 5 · ρ

 ρ水g，

人

∴m g＋ρgV＝ρ

 4

gV＋

m人 

• ρ g

人 水  5 ρ

4 m人ρ水

 水

m人

整理得：ρ＝ρ 水＋ 5 ·

ρ人V V

0.8 × 70 × 1.0 × 10³

＝1.0×10³ ＋ －

1.1 × 10³ × 0.03

＝364千克 / 米³。

救生圈的密度ρ为 364 千克/米 ³。

70

0.03

题 12 如图 1-62 所示，用一根细绳将一个体积为 0.4 分米³ 的铁球（ρ ³＝7.8×10³ 千克/米 ³）与一块木块连结在一起放入容器内。木块的密度为ρ³＝0.2×10³ 千克/米 ³，体积为 5 分米 ³。若向容器内不断注入水，问：

1. 当水浸没木块的体积为 3 分米 ³ 时，绳的拉力是多少？（2）继续向容器内注水，木块浸入水中的体积至少为多大时，铁球对容器底没有压力？

   1. 设木块的重力为 G 木，绳子的拉力为 T1，此时的浮力为 F 浮。因木块处于平衡态，则有：

F 浮＝G 木＋T1，T1＝F 浮-G 木＝ρ水 gV 排－ρ木 gV 木，

T1＝1.0×10³ 千克/米 ³×9.8 牛/千克×0.003 米 ³－0.2×10³ 千克/米³×9.8 牛/千克×0.005 米 ³

＝29.4 牛-9.8 牛

＝19.6 牛。

1. 设此时木块所受的浮力 F 木浮，铁球所受的浮力为 F 铁浮，铁球的重力为 G 铁，欲使铁球对容器底无压力，则应有：F 木浮＋F 铁浮＝G 木＋G 铁，

ρ水 gV 木排＋ρ水 gV 铁＝ρ木 gV 木＋ρ铁 gV 铁，

ρ gV + ρ gV − ρ gV

V ＝ 木 木 铁 铁 水 铁 ，

木排

水

代入数据 V 木排＝0.00372 米 ³

＝3.72×10^-3 米 ³。

木块浸入水中 3.72×10^-3 米 ³ 时，铁球对容器底无压力。

【杠杆】 一根在力的作用下绕某一固定点转动的硬棒，在物理学中叫做杠杆。

图 1-63（a）中撬石头的撬棒，简易吊车的撑杆，抽水机的曲柄，都

是杠杆。杠杆不一定都是直的，也有曲臂杠杆。为了研究杠杆，需画出杠杆的示意图，通过示意图反映杠杆的结构特点和受力情况，图 1-63（b） 便是与图 1-63（a）对应的杠杆示意图。

有关杠杆的几个概念：

支点 杠杆绕着转动的点，图 1-63（b）中的 O 点。

动力 使杠杆转动的力，图 1-63（b）中的 F1。

阻力 阻碍杠杆转动的力，图 1-63（b）中的 F2。

动力臂 从支点到动力作用线的距离，图 1-63（b）中的 l1。

阻力臂 从支点到阻力作用线的距离，图 1-63（b）中的 l2。

在研究杠杆问题时，正确理解力臂的概念是个关键。力臂是支点到力的作用线的垂直距离，并不是支点到力的作用点的距离；力的作用线是通过力的作用点且与力的方向重合的直线；力臂不一定在杠杆上。

用例一 简易杠杆问题示意图的画法。

画杠杆示意图是研究杠杆问题的基础，画出正确完整的杠杆示意图应注意：

1. 根据支点的定义，确定支点的位置，根据动力、阻力的含义，确定动力和阻力。力的作用点必须画在杠杆上。

2. 用带箭头的有向线段表示力，其方向必须跟力的方向一致，并能反映各力的大小，要区另开作用力的方向和作用点的运动方向，这两者有时一致，有时不在同一直线上。

3. 在示意图上，要用字母分别标出支点、力和力臂。

题 1 画出用一支撑架悬挂重力为 G 的重物（图 1-64a）的杠杆示意图。其杠杆示意图如图 1-64b 所示，动力 FA 的力臂为 lA＝OA×sin30°，阻力FB＝G，阻力臂 lB＝OB。

用例二 日常生活中的隐形杠杆模型的表示。

在日常生活的许多问题中，并没有明显的硬棒，但能找出一个固定的转动点，可以抽象出杠杆模型，用杠杆示意图将其形象地表示出来。

题 2 图 1-65（a）是起瓶盖的起子。当起子起瓶盖时，A 点受到向上动力的作用，B 点受到瓶盖阻力的作用，在两力作用下起子绕支点 O 转动， 其示意图如图 1-65（b）所示。

题 3 图 1-66（a）是手的前臂举起铅球的实物示意图。当手臂用力， 肌肉收缩带动前臂绕肘部转动时，肘部关节 O 为支点，肌肉收缩为对前臂产生的拉力，铅球对手的作用力为阻力，图 1-66（b）即为其杠杆示意图。

题 4 图 1-67（a）表示一位小朋友用力 F 推球使球开始越过障碍物 H 的情景。在这里球也是变形的杠杆，在翻越的某个位置上，球与障碍物 H 接触点 O 为支点，小朋友推球的力为动力，球的重力为阻力，其杠杆示意图如图 1-67（b）。

用例三 杠杆问题中有关力和力臂的动态分析。

在生产和生活中，杠杆的运用常显示出动态变化，如题 4 中球刚离开地面时阻力臂较大，快越过障碍物时，尽管阻力不变，阻力臂却变小了， 类似这种非静止的、有变化过程的定性分析或定量计算，需要较高的综合分析能力。

题 5 用道钉撬来撬铁路枕木上的道钉，如图 1-68 所示。当作用在 A

点的作用力方向竖直向下时，图中哪条线是动力臂？若要使动力臂能取最大值，动力方向应怎样，此时动力臂多长？

当动力方向竖直向下时，OB 即为动力臂。当动力方向垂直于 OA，沿着AC 方向时，动力臂为 OA，且为最大值。

从该问题中看出，当杠杆所受动力方向变化时，力臂也有相应变化。题 6 图 1-69（a）中，从图示位置开始提起杠杆右端向上运动过程中，

阻力臂的大小是否变化？如有，则如何变化？

对这个问题需借助于图 1-69（b）（c）（d）来分析。图（b）为开始位置，阻力臂 lB＜OB，图（c）为杠杆转到水平位置，此时阻力臂 l’B＝OB， 继续向上转动到图（d）位置时，阻力 l’’ B＜OB。所以，拉住 A 端向上运动时，阻力臂先变大后变小。

【杠杆的平衡条件】 一般说来，杠杆平衡是指杠杆处于静止状态或作缓慢的匀速转运状态，当杠杆平衡时，动力、动力臂、阻力、阻力臂四个物理量满足关系：

动力×动力臂＝阻力×阻力臂。

这个关系式为杠杆的平衡条件，也叫做杠杆原理，其数学表达式为： F1l1＝F2l2。

【研究杠杆平衡的条件】 实验目的研究杠杆的平衡条件。

实验器材 杠杆和支架，钩码，刻度尺，线。

实验步骤 1．将杠杆的中点支在支架上，调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。

1. 在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节钩码悬挂的位置，使杠杆能在水平位置平衡，如图 1-70 所示。把支点右方的钩码重当作动力 F1，支点左方的钩码重当作阻力 F2；用刻度尺量出动力臂 l1 和阻力臂 l2；把 F1、l1、F2、l2 的数值填入下表。

2. 改变动力和阻力的大小，仿照上述方法再做两次，将结果填入表中。

1. 分析表中各次实验数据中四个物理量的关系，得到：

动力×动力臂＝阻力×阻力臂。理解上述实验要注意以下几点：

1. 该实验中动力和阻力的确定是相互的，可以互换的。实际生活中杠杆的动力和阻力有时是难以区别的，例如两个小朋友玩翘翘板，就难以区别哪是动力哪是阻力。

2. 实验中取水平位置为平衡状态，是为了测量力臂方便，因为只有在水平位置时钩码重力方向即钩码拉力方向与杠杆垂直，l1、l2 便为从支点到动力、阻力的垂直距离，即为动力臂和阻力臂。

3. 杠杆两端螺母的作用是调节杠杆在水平位置平衡，使杠杆的重心在

支点上，消除了杠杆自身重力对实验的影响。若发现杠杆左端向下倾斜， 为使杠杆在水平位置平衡，应将该端螺母调节向右，反之，将螺母调节向左。杠杆调好后，在实验操作过程中不能再作调节。

用例一 利用杠杆平衡条件来纠正实验中的错误。

题 1 某同学如图 1-71 那样做实验，调节左边钩码的个数和悬挂位置，使杠杆平衡，读出弹簧秤的示数 F1，钩码重 F2，量出由支点到这两个力的作用点的距离 OA、OB，他将所得数据直接代入杠杆的平衡条件数学式中，发现 F1·OA 和 F2·OB 两者并不相等，为什么？

因为弹簧秤的拉力 F1 的力臂不是 OA，应该是从支点 O 到拉力 F1 的垂直距离，该距离小于 OA，所以

F1·OA＞F2·OB。

正确操作可以改为：（1）保持 F1 方向不变，正确量出 F1 的力臂；（2） 或者为了测量力臂的方便，可将弹簧秤拉力方向改为竖直向下。

题 2 某同学按照题 1 中后一种修改方法重做实验，如图 1-72 所示，

将弹簧秤竖直放置使用，力的读数准确，力臂测量也正确，实验结果仍不理想，原因何在？

原因在于弹簧秤的使用不当。图示使用方法中弹簧秤的读数 F1 表示人手拉力的大小，F1 小于弹簧秤对杠杆的拉力，所以有 F1·OA＜F2·OB。在这里正确使用弹簧秤的方法应该将图示弹簧秤上下倒过来，把承挂重物的挂钩挂在杠杆右侧作用点 A 上，便可改正错误。因为如图示方法使用弹簧秤，弹簧秤对杠杆的拉力 F’还应考虑弹簧秤自身的重力 G，其关系有 F’＝ F1＋G，杠杆平衡的条件应满足（F1＋G）·OA＝F2·OB。

用例二 用杠杆平衡条件定量解决一些杠杆问题。

题 3 用道钉撬来撬铁路枕木上的道钉，如图 1-73 所示，当加在道钉

撬上竖直向下的力为 200 牛时，道钉刚好被撬动，求道钉对道钉撬的阻力。题中所讲“道钉刚好被撬起”是指阻力、动力作用在道钉撬上刚好使

道钉撬处于如图所示的平衡状态，可用杠杆平衡公式求解。数据代入公式前应先将单位统一。

从图示看出，动力臂 l1＝1.2 米，阻力臂 l2＝6 厘米＝0.06 米，根据杠杆平衡条件 F1l1＝F2l2 得道钉对撬的阻力为

F ＝ l₁ F ＝ 1.2 米

×200牛＝4000牛。

^{2 1} 0.06米

若道钉对撬的阻力达 4500 牛，仍用 200 牛的动力作用在撬的同一点上，能否将道钉撬起？

阻力增大，而动力的作用点不变，可采用增加动力臂的长度的办法。当动力方向垂直于撬向下作用时，即取动力臂

l1＝1.2 米/cos30°＝1.4 米， 此时能克服的最大阻力

F ＝ l 1 F = 1.4米 ×200牛＝4666.7牛，

^{2 1} 0 .06

该值大于 4500 牛，所以能将道钉撬起。

题 4 有一轮子直径 D 为 60 厘米，重 100 牛，停在高 h 为 12 厘米的

台阶前，如图 1-74，要使轮子越过台阶，对轮子中心轴至少要加多大的拉力？

轮子在拉力作用下克服重力作用滚上台阶，可将轮看成以轮与台阶接触点 P 为支点的变形杠杆，O 既是动力作用点，也是阻力作用点。只有当动力的方向与 OP 垂直时，动力的力臂才最大，根据杠杆平衡条件，此时动力值为最小。

取拉力 F 垂直于 OP 时，动力臂

l ＝OP＝R＝ D 1 60＝30（厘米）。

₁ 2 ＝ 2 ×

过 P 点作到重力作用线的垂直线段，该距离即为阻力臂

l 2 ＝

R ² − (R − h) ² ＝

30² − (30 − 12) ² ＝24（厘米）。

根据杠杆平衡条件公式得

F＝ l2 G＝ 24 ×100＝80（牛）。

l1 30

题 5 某同学用一根均匀的小木棒和两个小秤盘制作了一架土天平， 把待测的物体放到天平左盘，右盘放一个质量为 m1 的砝码，使天平水平平衡；然后把待测物体放到天平右盘，左盘放一质量为 m2 的砝码（m1≠m2）， 天平又重新平衡。待测物体的实际质量是多少？

物体分别放在左右两盘时，使天平平衡的砝码不一样，表明土天平为不等臂天平，设待测物体的质量为 m，支点到左边挂盘悬挂点的距离为 l1， 到右边悬挂点的距离为 l2，当待测物体放在左盘时，根据杠杆平衡条件有：

mg mlg

= l 2 ①

l1

当待测物体放在右盘时，有

m2 g = l 2 ②

mg l1

由①、②两式得：m＝

用例三 杠杆平衡问题的动态分析及计算。

题 6 如图 1-75 所示，杠杆 AB 可绕 O 转动，弧形导轨 MN 以 A 为圆心， 绳 AD 的 D 端系一滑环可在 MN 上自由滑动，在滑环从 N 向 M 滑动过程中， 杠杆保持平衡，问绳 AD 对杠杆的拉力如何变化？

设杠杆左端重物对 B 点的拉力为阻力，则阻力×阻力臂为一恒量，根据杠杆平衡条件，动力×动力臂也必为一恒量。当 AD 的 D 端由 N 滑向 M 的过程中，绳子拉力的力臂先由小逐渐变大，到达导轨 P 点（P 在 A 的竖直向下方向上）时，力臂最大，然后力臂又逐渐变小，根据杠杆平衡条件， D 由 N 滑到 M 的过程中，绳子的拉力先变小，在 P 点时为最小，然后又变大。

题 7 杠杆总长为 1.2 米，与墙壁夹角为 30°，如图 1-76 所示，在 B 点挂一重为 240 牛的物体，OB 为 0.8 米。在动力 F 的作用下，杠杆在竖直平面内缓慢向上转动至水平位置。已知动力方向始终与杠杆垂直，求这个过程中动力大小的变化。

因为杠杆缓慢转动，是个动态问题。但起始状态及最终水平时可以看

作是平衡态。杠杆向上转动过程中，由于动力始终与杠杆垂直，所以动力臂 l1＝OA＝1.2 米，是个不变的值；阻力 F2＝240 牛，也保持不变，阻力臂在开始时

l2＝OB·sin30°＝0.4 米，

转至水平位置时，阻力臂l’2＝OB＝0.8 米。

该问题由于前、后状况有异，定量计算也应分别立式后求解。杠杆在图示位置时，设动力为 F，根据杠杆平衡条件有： Fl1＝F2l2，

动力F＝ l 2 F ＝80牛。

2

1

杠杆转至水平位置时，设动力为 F’，则： F’l1＝F2l’2，

动力F' ＝ l'2 F ＝160牛。

l'1

整个过程中，动力从 80 牛，增大至 160 牛，原因是阻力臂在不断地增大。

题 8 如图 1-77，AOB 为一弯曲杠杆，AO＝BO＝1 米，在 A 点挂一质量是 5 千克，密度为 2.5×10³ 千克/米 ³ 的矿石，并使矿石浸没在水中，这时在 B 点加多大竖直向下的力可以使杠杆平衡？若取走水盆，保持这个动力的大小不变，能否用改变动力方向的办法维持杠杆平衡？

此时的阻力 F2＝G-F 浮，

m

而据V ＝ ^物 ，F ＝ρ gV ，

物 浮 水 物物

代入数据得：

V ＝ m物

物

＝ 5 ＝2×10^-3 （米³），

2.5 × 10³

F 浮＝ρ水 gV 物＝1×10³×9.8×2×10^-3＝19.6（牛）。悬挂矿石绳子的拉力 F2＝G-F 浮

=5×9.8—19.6

=29.4（牛）。根据杠杆平衡条件 F1l1＝F2l2，

其中 l2＝OA，l1＝OB·cos60°，代入数据得：

F ＝ l 2 F ＝ OA F = 58.8（牛）。

^{1 2} OB • cos60° ²

取走水盆时：F2＝G＝mg＝5×9.8＝49（牛）， 对于杠杆左侧有：

阻力×阻力臂＝49 牛×1 米＝49 牛·米，

若保持动力大小和方向均不变，则杠杆右侧有： 动力×动力臂＝58.8 牛×0.5 米＝29.4 牛·米，

显然杠杆不能平衡，左侧向下倾。若保持动力大小不变，而改变动力

方向，使动力作用线垂直于 OB，此时的动力臂为最大值，则动力×动力臂的乘积可取得最大值：

58.8 牛×1 米＝58.8（牛·米）＞49（牛·米）。

显然，只要适当改变动力的方向，使动力×动力臂的积等于 49 牛·米， 即可重新满足杠杆平衡条件，维持杠杆平衡．

【三种杠杆】 1.省力杠杆：特点是 l1＞l2，F1＜F2。使用这种杠杆能省力，但要多移动距离，常见的有撬棒、铡刀、汽水扳子、动滑轮等。 2．费力杠杆：特点是 l1＜l2，F1＞F2。使用这种杠杆费力，但可以少

移动距离，常见的有理发剪刀、钓鱼杆、缝纫机踏脚板等.

3．等臂杠杆：特点是 l1＝l2，F1＝F2。使用这种杠杆既不省力也不费力，既不省距离也不费距离，常见的有天平、定滑轮等。

用例 利用三种杠杆的特点，可以判别常见杠杆的省力情况。

题 1 比较图示 1-78 中普通剪刀、铁匠剪刀和理发剪刀的动力臂、阻力臂的长短，试说明各自的省力情况。

普通剪刀的动力臂与阻力臂基本相等，既不省力又不费力，适合家用。铁匠剪刀的动力臂远大于阻力臂，省力，能剪断铁皮等材料。理发剪刀的动力臂明显小于阻力臂，属费力杠杆，虽费力，但操作方便，剪发较快， 较整齐。

题 2 在利用铡刀铡草时，常将草往刀口前部移动，如图 1-79 所示；

工人师傅用扳手拧生锈的螺母时，常在扳手柄上加套一节管子，如图 1-80 所示。试分析这样做法的好处。

铡草时把草往前移，可以缩短阻力臂，在阻力、动力臂不变的情况下可以减小动力，达到省力目的。拧螺母时，在手柄上加套管子是为了增大

动力臂，在阻力、阻力臂一定时，动力（F ＝ l 2 F ）由于l 增大而减小,

而减小，更容易拧下螺母。

1 2 1

1

*【轮轴】 由轮和轴组成能绕共同轴转动的简单机械叫做轮轴，如图 1-81（a）所示。从图 1-81（b）可以看出轮轴实质是可以连续旋转的杠杆。轮和轴的中心 O 是支点，作用在轮上的力 F1 是动力，作用在轴上的力F2 是阻力，动力臂是轮半径 R，阻力臂是轴半径 r，由杠杆的平衡条件可知：

F2 R

F = r 。

轮半径是轴半径的几倍，作用在轮上的力就是轴上阻力的几分之一。

用例一 轮轴在生产、生活中的广泛应用。

题 1 图 1-82 的辘轳，图 1-83 的汽车方向盘，图 1-84 的自行车把手，

图 1-85 的自来水开关，图 1-86 的电风扇调速开关等都是轮轴在日常生活中的应用。

用例二 利用轮轴进行有关计算。

题 2 辘轳轴的直径是 20 厘米，从手摇臂的把手到轴线的垂直距离是

50 厘米，从井里提起重量为 120 牛的一桶水，在把手上要加多大的力？ 此题中的动力臂为把手到轴线的距离，阻力臂为轴的半径，即：

1

l阻＝ 2 ×20＝10（厘米），l 动＝50（厘米），F阻＝120牛，代入公

式F1R＝F2 r，可得F1＝24（牛）。

【滑轮】 周边有槽，能绕轴心转动的圆轮叫做滑轮，滑轮是一种简单机械，在生产、生活中有广泛应用。滑轮本质是一种变形杠杆，如图 1-87

1. ，将等臂杠杆中间部分加宽，使之变成一个绕中心轴转动的圆轮，再把圆轮的外缘加工成槽状，如图 1-87（b），这便是滑轮。

根据滑轮在使用时，轴的位置是否移动，可将滑轮分为定滑轮和动滑轮两种。

定滑轮 滑轮在使用时，轴的位置不移动的叫定滑轮。如图 1-87（b） 便是定滑轮，它实际上是一个等臂杠杆。在摩擦力不计的前提下，使用定滑轮既不省力也不费力，但是能改变力的方向。在不少情况下，改变力的方向会给工作带来方便。

用例 定滑轮应用举例。

题 1 人站在地面上升国旗，如图 1-88，建筑工人站在地面上将建筑材料向上提，如图 1-89，这些情况尽管不省力，但是却方便多了。

题 2 如图 1-90 所示，沿不同方向用弹簧秤拉住钩码，弹簧秤的示数是否相同？

三种情况中弹簧秤的示数完全相同。因为这三种情况中，砝码重力和阻力臂完全相同，支点 O（轮的轴心）到动力作用线的垂直距离都等于轮的半径，因此三种情况下拉力都等于砝码的重力。

动滑轮 滑轮在使用时，轴的位置随着被拉物体一起移动的叫动滑轮。如图 1-91 所示，动滑轮的实质是动力臂为阻力臂两倍的变形杠杆，使用动滑轮能省一半力，但力的方向不能变。

动滑轮省力原因还可以用图 1-92 来说明，因为使用动滑轮时，重物由两段绳子吊着，每段绳子承担物重的一半。

用例 关于使用动滑轮能省一半力的具体讨论。

题 1 用自身重为 10 牛的动滑轮提起 500 牛的重物，拉力 F 是多大？ 由于动滑轮有自身的重力，所以两段绳子要承受重物和动滑轮的总重

力，有

F 1 1

拉＝ 2 （G 物＋G轮）＝ 2 （500＋10）＝255（牛）。

该题计算的拉力要比物重的二分之一略大些，是因为考虑了动滑轮自重的缘故．所以使用动滑轮省一半力有如下条件：

1. 滑轮重和摩擦力必须忽略不计；

2. 动滑轮两边的绳子必须平行。

第 2 个条件需学习高中物理知识证明，初中可以用实验验证。

滑轮组 由动滑轮和定滑轮组合在一起成滑轮组。因为动滑轮省力， 定滑轮可改变用力方向，组合成滑轮组使用可达到即省力，又方便的目的。

使用滑轮组时，若动滑轮重和摩擦不计，动滑轮被几段绳子吊起，提起物体所用的力就是物重的几分之一。

关于滑轮组要注意下面两个问题： 1．在滑轮组中，承担物重的是吊着动滑轮的那几段绳子，这包括拴在

动滑轮框上的和最后从动滑轮引出去的拉绳。而跨过定滑轮的绳子，包括

最后从定滑轮引出的拉绳，只起改变作用力方向的作用，如图 1-93（a）、

1. 所示的两组滑轮组，尽管都是两个定滑轮和两个动滑轮，但是由于绳子的绕法不一样，承担物重的绳子的段数 n 就不一样，（a）图中 n＝4，

（b） 图 中 n＝5 。2．使用动滑轮、滑轮组虽然能省力，但是不省距离，如图 1-93（a）

滑轮组中将重物提高 h，人手拉绳的距离是 s＝nh＝4h。

用例一 一般的滑轮组的省力情况分析主要是看有几段绳子与动滑轮连接。

有关滑轮组的一般性问题中是用一根绳子连接动滑轮和定滑轮，在这种情况中认为同一根绳子在滑轮组的不同部位其拉力大小是相等的，如图1-94（a）所示，用一根绳子从定滑轮下面的挂勾打结后通过几个轮子最后从上面的定滑轮拉出。由于同一根绳子中的拉力大小相等，分析时可以用虚线把定滑轮部分和动滑轮部分截开，如图 1-94（b），吊起动滑轮绳

1

子的段数n＝4，如不计动滑轮重，则拉力F＝ n G物；如考虑动滑轮重

力，则拉力F

1 G ＋G ）。

＝ n （ 物 动

题 1 如图 1-95，用滑轮组提起重物，动滑轮重 100 牛，所用的拉力

是 2100 牛，货物多重？

拉力F＝2100牛，G动

＝100牛，由于F

1

＝ n （G

物＋G动

），绳子段

数 n＝3，G 物＝nF-G 动。将拉力及动滑轮重代入，得 G 物＝6200 牛。

题 2 如图 1-96 所示，物体 A 重为 40 牛，密度为 2×10³ 千克/米 ³， 如果滑轮组、弹簧秤和绳的重力及摩擦力不计，求当物体 A 的一半浸入水中时，各弹簧秤的读数是多少。

当物体A一半浸在水中时，浮力F ＝ρ gV 1

gV ，而V

m物 G物

＝ ＝ ，G

浮 水 排＝ 2 ρ水 物 物

＝40牛，ρ ＝2×10³ 千克 / 米³，代入上式，算

ρ物 gρ物 物 物

出F浮＝10牛。

拉动绳子提起重物所需拉力

1

F＝ 2 （G 物－F浮）

1

＝ 2 ×（40—10）＝15（牛）。

由于连接动滑轮和定滑轮的是同一根绳子，所以，三个弹簧秤的读数相等，都是 15 牛。

日常生活中，也有用滑轮组来拉水平地面上物体的，如图 1-97 所示，

n＝3，则拉力F＝ 1 f（f为物体匀速运动时与地面之间的摩擦力）。n

题 3 在水平地面上放一个重 1000 牛的物体，物体与地面的摩擦力为

200 牛，用如图 1-98 所示的滑轮组匀速拉动物体，拉力 F 是多大？

这种情况的处理方法完全类似于用滑轮组克服重力提起重物的思路，

这里用滑轮组的作用是克服物体的摩擦力将物体向前匀速拉动，所以 F

＝ 1 f 1 200＝100（牛）。

2 ＝ 2 ×

用例二 对个别特殊连接的滑轮组要具体情况具体分析。

题 4 用如图 1-99 所示方法连接的滑轮组匀速提起重 G＝100 牛的物

体，下面的滑轮重 G1＝20 牛，上面的滑轮重 G2＝30 牛，拉力 F 需多大？ 该题中两个滑轮都是动滑轮，没有定滑轮，分析时，一般从连接重物

的滑轮开始逐个分析，即先分析图中的 F1，后分析 F。

1

F1＝ 2 （G＋G 1），

F 1 1 1

＝ 2 （F1＋G 2 ）＝ 2 ［ 2 （G＋G1）＋G 2］，

将数据代入上式中，得 F＝45 牛。

题 5 如图 1-100 所示，放在水平台面上的 m1 重 100 牛，通过滑轮挂有重为 30 牛的物体 m2，刚好使 m1 在台面上作匀速运动，求物体 m1 与台面间的摩擦力。

从图中可以看出上面的滑轮 A 是定滑轮，下面的滑轮 B 是动滑轮，先分析滑轮 B 的情况，该滑轮受到向下的两段绳子的拉力，每段绳子的拉力均为 30 牛，则通过滑轮 A 连接物体 m1 和滑轮 B 轴的绳子中的拉力应为 F _拉＝2G＝60 牛，所以物体 m1 与台面间的摩擦力为 f＝F 拉＝60 牛。

【功】 作用在物体上的力，使物体在力的方向上通过了一段距离， 我们就说这个力对物体做了功。

做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离。判断力对物体是否做功，一定要依据这两个必要因素，只有当两个因素同时满足时，力才对物体做功。

功的计算 力对物体做的功等于力与物体在力的方向上通过的距离的乘积，即 W＝Fs，式中 F 表示作用在物体上的力，s 表示物体在力的方向上通过的距离，W 表示功。

功的单位 在国际单位制中，力 F 的单位为牛，距离 s 的单位为米， 功 W 的单位为焦耳，简称焦，符号为 J。

1 焦＝1 牛·米。

计算功的问题，常按下列程序进行：

1. 对物体进行受力分析，画出力的示意图；2．标出物体运动方向；3．观察哪些力与物体运动方向相同；4．根据做功的力和物体在这个力的方向上通过的距离，代入公式 W＝Fs 算出功的大小。

在计算人通过机械对物体做功的问题时，人对机械所做的功等于人的动力乘以动力作用点通过的距离，而机械克服阻力所做的功等于机械对物体的力跟物体在这个力的方向上通过的距离的乘积。

用例一 判断力对物体是否做功。

题 1 判断下列各种情况，力对物体是否做功。

（1）人用 100 牛的力推车，车没有推动；（2）重 1000 牛的物体沿光

滑水平面匀速前进了 5 米；（3）起重机用 1000 牛的拉力把吊起的货物平

移了 5 米；（4）小孩用 4 牛的水平拉力使重为 10 牛的木块沿水平地面匀

速前进了 1.2 米。

对物体进行受力分析，画出有关力的示意图，标出运动方向，如图1-101。

（1）中，虽有力作用在物体上，但物体在力的方向上没有移动距离， s＝0，所以 W＝0，力对物体没有做功；（2）中，物体沿光滑水平面匀速前进了 5 米是由于惯性，它在水平方向并没有受到力的作用，因为 F＝0， 所以 W＝0，没有力对物体做功；（3）中，虽有力，也有距离，但不是在力的方向上通过的距离，拉力仍然没有做功；（4）中，显然符合物理学中做功的条件，F＝4 牛，s＝1.2 米，W＝Fs＝4 牛×1.2 米＝4.8 焦，拉力对物体做了功。

用例二 用公式 W＝Fs 计算功的大小。

题 2 一个物体重 200 牛，求在下列各种情况下力对物体所做的功。

（1）人把重物匀速提高 1.5 米；（2）人用 250 牛的力把物体由静止

很快地举高 1.5 米；（3）物体在粗糙水平地面上，在拉力的作用下匀速前

进 1.5 米，已知物体受到摩擦阻力，大小为 30 牛。

1. 因为匀速，所以拉力 F＝G＝200 牛，s＝1.5 米， 则 W＝Fs＝200 牛×1.5 米＝300 焦。

这种情况即常称的克服重力做功，计算时也常直接用公式 W＝Gh，G 为物重，h 为提升高度。

1. 因物体由静止开始运动，故不是匀速提升，人举物体用的力不等于物重。根据功的定义，应取

   F＝250 牛，人对物体做的功为 W＝Fs＝250 牛×1.5 米＝375 焦。

2. 由于物体匀速前进，人的拉力 F＝f＝30 牛，所以，W＝Fs＝30 牛×1.5

   米＝45 焦。

这种情况也常称为克服摩擦做功，可直接用公式 W＝fs 计算。

题 3 用图 1-102 所示滑轮组匀速提升重 G＝480 牛的物体，所用拉力F＝300 牛，绳子的自由端被拉下了 2 米，求拉力所做的功和滑轮组提升重物所做的功。

题中拉力所做的功为： W＝Fs＝300 牛×2 米＝600 焦。

因为是匀速，滑轮组对物体的拉力即等于物重，即 F＝G＝480 牛，绳的自由端被拉下 2 米，由图可知重物上升的距离为 1 米，所以滑轮组提升重物所做的功：

W＝Gh＝480 牛×1 米＝480 焦。

题 4 图 1-103 中，物重 G＝100 牛，人拉绳子自由端的手距离定滑轮的竖直高度为 3 米，人拉绳子沿水平方向向右前进 4 米，并保持重物匀速上升，求人拉绳子所做的功（摩擦不计）。

由于人拉绳子的力的方向不断改变，且动力作用点移动的方向跟拉力的方向不在同一条直线上，所以不能用公式 W＝Fs 计算人拉绳子所做的功，但考虑到不计摩擦的情况下，人拉绳子所做的功就是定滑轮提升重物G 所做的功，所以只要求出定滑轮提升重物做的功，就得到了人拉绳子所做的功。

拉力 F＝G＝100 牛，重物上升的高度

h＝ (3米) ² + (4米)² －3米＝2米，

即 W＝Gh＝100 ×2 米＝200 焦。

题 5 图 1-104 所示的装置中，重 30 牛的物体 A 在力 F＝2 牛的作用下，以 10 厘米／秒的速度在水平平面上作匀速直线运动。问弹簧秤的示数为多大？A 物体与水平平面之间的滑动摩擦力 f 多大？在 2 秒钟内拉力 F 所做的功为多大？

弹簧秤示数就是拉力 F，大小为 2 牛，物体 A 与水平面之间的摩擦力 f

＝2F＝4 牛，要求拉力 F 在 2 秒钟内所做的功，还必须求出绳子自由端在 2 秒钟内移动的距离 s：

s＝2sA＝2vAt＝2×0.1 米/秒×2 秒＝0.4 米， 所以拉力做功 W＝Fs＝2 牛×0.4 米＝0.8 焦。

题 6 一人体重 G＝600 牛，每层楼的高度是 3 米，问这个人匀速登上

3 楼克服重力做了多少功？

错误方法：h＝3 米×3＝9 米，

W＝Gh＝600 牛×9 米＝5400 焦。

错误原因：人从地面登上 3 楼，实际只需要爬两层楼的高度。正确方法：h＝3 米×2＝6 米，

W＝Gh＝600 牛×6 米＝3600 焦。

题 7 质量为 60 千克的人牵着质量为 100 千克的马上山，若登高 30 米，问人做的功为多少？马做了多少功？若人骑在马上登上同样高度，则人和马做的功各为多少？

人牵马上山，人和马都要克服重力做功。人做功：W 人＝G 人 h

＝60 千克×9.8 牛/千克×30 米

=1.764×10⁴ 焦，

马做功：W 马＝G 马 h

＝100 千克×9.8 牛/千克×30 米

＝2.94×10⁴ 焦。

人骑马上山，人做的功为零，马则要克服人和自身的重力做功。W 马＝（G 人＋G 马）h

＝（100 千克＋60 千克）×9.8 牛/千克×30 米

＝4.704×10⁴ 焦。

用例三 比较功的大小。

题 8 图示 1-105 中，A、B、C 三个物体的质量分别为 mA、mB、mC，且mA＞mB＞mC 它们在同样大的力 F 的作用下都沿着力的方向移过距离 s，比较力 F 对三个物体做功的多少，结论是 （ ）

A．一样多 B．对 A 做的功最多C．对 B 做的功最多 D．对 C 做的功最多

根据 W＝Fs，A、B、C 三个物体受到的拉力 F 和它们在力的方向上通过的距离 s 均相同，因此所做功相等，答案应选 A。

题 9 在相同的水平推力 F 的作用下，A、B 两物体分别以 vA 和 vB 的速度在水平平面上运动，且 vA＞vB，如推力使两物体移动相同的距离 s，

推力所做的功分别为 WA 和 WB，则 （ ） A．WA＞WA B．WA＜WA

C．WA＝WA D．无法确定

题 9 与题 8 一样，F 和 s 均相同，做的功相等，故答案为 C。

从这两道题的解答可以看出，功的大小只与 F 和 s 的大小有关，与物体的质量、重力、速度大小等因素没有直接关系。

【功率】 单位时间里完成的功叫功率，它是表示做功快慢的物理量。

功率的计算 1.P＝ W ，式中 W 表示功，t 表示完成功所用时间，P

t

为功率；2．P＝Fv，F 为作用在物体上的力，v 为物体移动的速度。

功率的单位 功率的国际单位是瓦特（W），简称瓦。1 瓦＝1 焦/秒。

实用单位有千瓦（kW）和马力（HP），换算关系： 1 千瓦＝10³ 瓦，

1 马力＝0.735 千瓦＝735 瓦。

用例一 比较功率大小。

题 1 比较下列各种情况中功率的大小：

（1）甲、乙两人同在 2 分钟内分别把 50 牛的重物搬到 9 米和 12 米的

楼层；（2）甲、乙两人都将 50 牛的重物搬到 9 米高处的楼上，甲用了 2

分钟，乙用了 3 分钟；（3）甲起重机在 1 分钟内把 40 吨重物举高 10 米，

乙起重机在 2 分钟内把 50 吨重物举高 20 米；（4）甲、乙两人体重之比为3∶2，登上相同的楼层所用时间之比为 4∶3。

1. 时间 2 分钟相同，甲乙做的功分别为： W 甲＝Gh 甲＝50 牛×9 米＝450 焦；

W 乙＝Gh 乙＝50 牛×12 米＝600 焦。因为 W 甲＜W 乙，所以 P 甲＜P 乙。

1. 甲、乙两人都把 50 牛的重物搬到 9 米高处， W 甲＝W 乙＝Gh＝50 牛×9 米＝450 焦。

由于 t 甲＜t 乙，所以 P 甲＞P 乙。

1. 甲起重机做的功为：

W 甲＝G 甲 h 甲＝4×10⁴ 千克×9.8 牛/千克×10 米

＝3.92×10⁶ 焦，

其功率：P甲

＝ W甲 ＝

t甲

3.92 × 10⁶ 焦

60秒

＝6.5×10⁴ 瓦；

乙起重机做功为：

W 乙＝G 乙 h 乙＝5×10⁴ 千克×9.8 牛/千克×20 米

＝9.8×10⁶ 焦，

其功率：P乙

＝ W乙 ＝

t乙

9.8 × 10⁶ 焦

2 × 60秒

＝8.2×10⁴ 瓦。

显然 P 甲＜P 乙。

1. 由P＝

W Gh

t ＝ t 得

P 甲 = G 甲 • h 甲 • t 乙

3 1 3 9

P G h

t = × × = 8

乙 乙 乙

甲 2 1 4

即P甲 ＞P乙。

用例二 用公式计算功率大小。

题 2 在平直公路上有一辆重 1500 牛的车，某人以 1.2 米/秒的速度

沿水平方向拉车作匀速直线运动，已知车受到的摩擦阻力为 100 牛，问 2 分钟内工人做了多少功？功率多大？

因为匀速，所以 F＝f＝100 牛，s＝vt＝1.2 米/秒×120 秒＝144 米， W＝Fs＝100 牛×144 米＝1.44×10⁴ 焦，

W

P＝ t ＝

1.44 × 10⁴ 焦

120秒

＝1.2×10² 瓦。

或 P＝Fv＝100 牛×1.2 米/秒＝1.2×10² 瓦。

题 3 在 5 米深的矿井底，每分钟有 3 米 ³ 的地下水冒出来，为了不使矿井积水，至少要选用多大功率的水泵来抽水？

据题意，必须每分钟内将冒出的水泵至 5 米高处，所以，水泵每分钟将积水抽出矿井所做的功：

w=Gh=ρ水 gV 水 h

=1×10³ 千克/米 ³×9.8 牛/千克×3 米 ³×5 米

=1.47×10⁵ 焦，

水泵的功率P =

W 1.47 × 10⁵ 焦

t = 60秒

= 2.45×10³ 瓦。

题 4 图示 1-106 装置中，滑轮的摩擦不计，水平面上的物体 A 重 100 牛，当物体 B 重 10 牛时，A 物作匀速运动。问（1）A 受到多大的摩擦力？

1. 当对 A 物施加一个水平向左的拉力时，可使 B 物以 0.5 米/秒的速度匀速上升，求此拉力 5 秒钟所做的功和功率。

   1. 如图 1-107 所示，A 物水平方向受到向右的拉力和向左的摩擦力，因为匀速，所以 f= F=2GB=2×10 牛=20 牛。

   2. 如图 1-108 所示，对 A 物施加水平向左的拉力 F’时，A 物在水平方向上受到三个力的作用：F’水平向左；B 物对 A 的拉力 F=2GB=20 牛，方向水平向右；摩擦力 f，由于正压力及接触表面的粗糙程度都不变，所以仍然等于 20 牛，方向与这时 A 物的运动方向相反，即水平向右。因为匀速， A 物在水平方向上受力平衡，所以拉力

F’=F+f=20 牛+20 牛=40 牛。

由于 1 1

vA = 2 v B = 2 ×0.5米 / 秒 = 0.25米 / 秒，

所以 A 物在 5 秒钟内沿拉力方向通过的距离sA=vAt=0.25 米/秒×5 秒=1.25 米，

所以，拉力所做的功 W=F’s=4O 牛×1.25 米=50 焦，

拉力的功率P =

W = 50 焦

t 5秒

= 10瓦，

或 P=F’vA=40 牛×0.25 米/秒=10 瓦。

题 5 图示 1-109 装置中，在拉力 F 的作用下，重 30 牛的物体 A 以 5 厘米/秒的速度在水平面上作匀速运动，此时 A 物受到绳子的拉力为 2 牛， 求 4 秒钟内拉力 F 所做的功和功率。

要求 F 所做的功，必须求出 F 的大小和 4 秒钟内动滑轮移动的距离。如图 1-110，F=2F 拉=2×2 牛=4 牛，动滑轮移动速度

1

v 动 = 2 vA

= 1 ×5厘米 / 秒 = 2.5厘米 / 秒。

2

4 秒钟内动滑轮移动的距离

s=v 动 t=2.5×10－2 米/秒×4 秒=10 厘米=0.1 米，所以，拉力 F 做的

功

W=Fs=4 牛×0.1 米=0.4 焦，

拉力的功率P =

W = 0.4 焦

t 4秒

= 0.1瓦。

题 6 图 1-111 中粗细均匀的水管的横截面积 S=10 厘米 ²，管的 AB 部分长 2 米，管内装满水，在推力 F 的作用下，活塞在 5 秒钟内匀速推进了

0.5 米，求推力所做的功和功率。

一种方法，先求出水的压强，从而求出推力 F 的大小，再求功和功率。

水的深度 h = 2米×sin30° = 2米× 1 = 1米，

2

水对活塞的压强

p=ρ水 gh=1.0×10³ 千克/米 ³×9.8 牛/千克×1 米

=9.8×10³ 帕，

水对活塞的压力

F’=PS=9.8×10³ 帕×10^－3 米 ³=9.8 牛，

推力 F=F’=9.8 牛，

所以推力所做的功 W=F’s=9.8 牛×0.5 米=4.9 焦，

W

推力的功率P = t =

4.9焦

5秒

= 0.98瓦。

另一种方法，因为活塞推进 0.5 米，相当于把从管口排出的水，从水平提高到 A 点。而从管口排出的水重

G 水=ρ水 gV=1.0×10³ 千克/米 ³×9.8 牛/千克×0.5 米×10^-3 米 ²

=4.9 牛。

因为活塞推进 0.5 米把水提高的高度： h=2 米×sin30°=1 米，

所以推力 F 做的功 W=Gh=4.9 牛×1 米=4.9 焦，

W

推力的功率P = t =

4.9焦

5秒

= 0.98瓦

题 7 用图 1-112 所示的滑轮组把 500 牛的重物 A 匀速提高 2 米，拉

力所做的功为 1.2×10³ 焦。如用该滑轮组把重为 1100 牛的重物 B 在 20 秒

钟内匀速提升 3 米，则拉力的功率为多大（摩擦不计）？

为了要求提升重物 B 时拉力的功率，首先要求出动滑轮的重，再考虑

拉力 F’的大小，最后方可求出功率。

因为 W = Fs = GA + GB ×nh = （G + G

）h，

n A 动

所以动滑轮重

W

G 动 =