三、巴黎时期（1672——1676）

1672 年春，莱布尼茨身负特殊的政治使命来到了巴黎。他一方面等待时机进入政界实施他的政治目的，另一方面着手挤入知识界。

莱布尼茨作为正式理由来巴黎的事情本身毫无进展，他始终未找到机会去向法国国王奉献他的征服埃及的计划。不过，他在知识界很快就结识了许多朋友，其中包括哲学家阿尔诺马勒伯朗士，数学家惠更斯。通过与他们的哲学交往，他设法接触到两位伟大的法国哲学前辈帕斯卡和笛卡儿未曾发表的著作，而且笛卡儿的某些著作只是通过他所抄录的手抄本才得以保存。比如，笛卡儿写于 1628 年的《指导我们心智的规则》一书于 1701 年在阿姆斯特丹出版时，就是依据收藏在汉诺威图书馆的莱布尼茨的手抄本。正如人们所了解到的那样，他对笛卡儿著作细致而富有批判性的研究，对他的哲学体系有着较大的影响。

然而，在这个时期，他的主要兴趣是在数学上，特别是在惠更斯的指导下，莱布尼茨在数学史上作出了划时代的贡献。他创立了微积分学。

16—17 世纪，由于资本主义生产方式的发展，生产力迅速提高，机械的使用、航海事业的发展，遇到大量新问题，迫切需要物理学、力学、天文学等基础学科的发展，急需数学提供新的方法。然而，这个时期的大学数学家仍然停留在经院哲学的过时的传统之中，最富有成果和最具独创性的研究是由那些业余爱好者完成的。莱布尼茨就是其中的佼佼者。

莱布尼茨在研究几何学的过程中，借鉴前人的经验完成了数学革命。在莱布尼茨之前，意大利数学家卡瓦列利于 1635 年发表了《不可分连续量的几何学》一书，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分， 而法国数学家费尔马在求函数极大极小值时，其结果已接近了微积分。莱布尼茨从几何学的求积问题和求切线问题出发，发明了微积分，于 1684 年发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。1686 年，他又发表了关于积分法的著作。

微分学提供了一个决定某一量在任一瞬间变化比率的一般方法。这个量是在和另一个量的相互关系中连续变化的，因此它是另一个量的函数，值得一提的是，莱布尼茨是第一个在现代意义上使用变量的函数这个词的。微分学可以用于计算行星运行的轨道；描绘摆、波浪或颤动着的弦的运动；求出用别的方法解不了的方程；确定函数的最大和最小值，等等。

积分是微分的逆转，它在于从给定的某一瞬间的值出发重建出一个整体来。换句话说，就是增加一个维数。从一个点的变化比率出发，可以重建一条完整的线，从一条线的变化比率出发，可以重建一个它所限定的面，而且从一个面出发，就能指定出由旋转这个面所创造出来的体。这种方法实际上用来确定重心，以及诸如飞轮那样的旋转物体的惯性运动，当然也有别的更为复杂的用途。

莱布尼茨比较完整地建立了微积分的法则和公式体系，他又煞费苦心创造出了一套方便的微积分符号，如微分符号 d 和积分符号∫，这些符号至今仍在使用。

欧几里德几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学， 微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。作为高等数学的主要分支， 它不只是局限在解决力学中的变速运动问题，它在近代和现代科学技术园地

里建立了数不清的丰功伟绩。

但微积分刚刚诞生就面临着内部的争论和外部的围攻。

莱布尼茨首先是为无穷小量的逻辑尊严而苦恼。当时的数学家们一般都认为，数学的对象应该是实在的（这仅是从几何学上加以描绘的一般意义上看），他们对于那种不能拿直尺和圆规画出的“假想”的量深表怀疑，例如

• 1无穷小。诸如在某一瞬间变化的速度就显然属于这一类。而哲学家们， 如英国大主教贝克莱更是对微积分仇视万分。这些世界上当时最为著名的学者们对微积分发动疯狂的围攻，使莱布尼茨的探索受到了极大的压抑，甚至他自己都对自己成功的意义认识不足。但是科学是封锁不住的，真理是扼杀不了的，勇敢探索真理的科学家们坚持不懈地进行了多年的斗争，终于在 19 世纪上半叶把微积分的理论基础牢固的建立起来。

莱布尼茨面临的第二个苦恼是微积分的发明优先权问题。就在莱布尼茨发明了微积分之后，英国的伟大的科学家牛顿通过对力学的研究，从力学的角度也发明了微积分。尽管他们两人的工作有明显的差别，但是其本质是一回事，结果出现了关于发明微积分的优先权属谁和谁是剽窃者的大争论，这一争论在数学史上是十分有名的。

1687 年前，牛顿从未发表过有关微积分方面的任何文章、论述，但是，

他曾经把他早在 1665 年左右得到的结果陆续地告诉了他的朋友，比如 1669 年他把一篇短文《分析》送给了他的老师巴罗（英国剑桥大学教授），巴罗又把它送给了别人。

莱布尼茨于 1672 年到达巴黎，1673 年到伦敦，同了解牛顿工作的人有过联系。虽然莱布尼茨的结果是在 1673～1676 年间得出的，但是 1684 年才发表，因而有人指责他剽窃了牛顿的成果，莱布尼茨奋起反击。其后双方各持己见，互不相让。这种争论在各自的学生、支持者以及英国和德国的数学家中持续了相当长的一段时间。

为此，1715 年，莱布尼茨写了《微积分学的历史和起源》一书，书中谈了自己的思想发展。不过从历史上看，这本书不一定准确。尽管如此，牛顿和莱布尼茨各有其独特的一面，尤其是他们都受过前人特别是巴罗的影响， 并且摆脱了巴罗的几何方式的叙述，而使微积分成了一门独立的学科。

在他们去世后不久，通过调查表明：虽然牛顿的工作大部分是在莱布尼茨之前作的，但是莱布尼茨关于微积分的主要思想是他独立发明的。也就是说，从 1665—1676 年发明了微积分，牛顿（1665—1666）先于莱布尼茨（1673

—1676）制定了微积分，而莱布尼茨（1684—1686）早于牛顿（1704—1736） 发表了微积分。应该说，微积分并不是某个人独自发明的产物，而是牛顿和莱布尼茨在前人的基础上各自独立地建立起来的。比较两个关于微积分的体系，莱布尼茨的理论体系显然优于牛顿的体系，牛顿的方法基本上是几何学的，他所使用的术语令人可疑地联想到经院哲学关于点和线“流动”的莫明其妙的说法。他的符号，其中包括在字母上增加或者去掉一些点，用起来是笨拙而且困难的。相反，莱布尼茨的方法是代数学的，他所用的语言是新鲜的，而且是专门的。他把这些术语编为诸如微分、积分、坐标以及函数等等， 而且他的符号是讲究、清楚的。这种符

dx

号我们至今还在使用。它是基于用d表示差分（如在微分的符号 dy 中），用

现代的长 S 来表示和或积分。

怀疑莱布尼茨的发现实际上是独立得到的并不合情理。但是为争论所激起的民族主义热情以及有利于牛顿优先权的证据给英国的数学带来了不幸的后果。英国人继续以牛顿《原理》中的几何方法为依据，结果使自己落在了后面，使自己在一片死气沉沉中停滞了一个多世纪。这使欧洲大陆也受到一定影响，由于双方停止交流思想，使他们对于牛顿的许多工作未能深入的研究。

数学史上这个著名的事实，再一次警示人们，无谓的争论，片面强调所谓的纯洁，结果只能空耗精力，影响事业本身的进程，对此，我们要引以为训。

莱布尼茨在巴黎时期的第二个伟大的功绩，而且是最富潜力的发现，就是二进制算法，虽然实际上他并不是发现这种算法的第一个人。早在 17 世纪初，托马斯·哈里奥特就已经想到了它，1670 年卡瓦利埃里又再次提到它。莱布尼茨自己后来确信，中国人肯定也知道它，因为在《易经》的理论中已经包含它了。

二进位制系统是最简便的可能的数字记数法。我们通常用的十进位制系统中每个位数（个位、十位、百位等等）都有十个符号可供选择，在二进位制系统中就只有两个符号，一个表示空位，另一个则标志实位。如果位能够任意规定，被栅极所规定的话，那么它所要求的一切也就是一个表示实位的任意标记或符号。如果约定用 0 表示空位，用 1 表示实位，那么这个系统就会像下面这样进行运算：

虽然莱布尼茨为他自己的发现感到自豪，但是他却完全没有运用它。不像卡瓦利埃里及现代的数学家们那样，他没有把这一发现一般化为具有它自己专门定理的模数算术的理论。除了一个非常模糊的草稿之外，他没有试着去设计一种运用此项发现的计算机。我们可能感到十分奇怪，在计算机的时代中，有那么一个人既发明了计算器，又发明了二进位制算法，却不把这二者结合起来，进而提出某种大体上接近于现代计算机的东西来。但是在当时的技术条件下，一个二进位制的机器只会增加莱布尼茨的困难。为了使计算器为一般人能使用，就需要更多的轮子，就会有更大的摩擦力，进行更多的运算，而且不得不有一个特大的机器用于二进制和十进位制之间的换算。只有随着电子学的发展、二进位制系统才有可能进入它自己的时代。

莱布尼茨第三个值得自豪和骄傲的业绩是他发明的机械计算器。1673 年，莱布尼茨到英国皇家协会做了一次拜访，随身带了他的机械计算器给他们看，引起了皇家协会的极大兴趣。莱布也非常高兴，曾经想用一个刻有“超人”字样的纪念章来纪念它，而且在很久以后，他又做了一台机器，它是为彼得大帝送给中国皇帝而做的，用以证明西方具有高超的科学技术。这个计算器的前身是 1642 年帕斯卡的加法计算器，莱布尼茨经过研究把它改进，使这种手摇机械计算器不仅能进行加、减法演算，而且能完成乘法、除法、自乘以及开平方和立方运算。他还发明了大量的装置，这些装置成为后来的技术标准。他的这些计算器有一个被幸运地保存下来，现在存放在汉诺威国家图书馆中。

莱布尼茨的计算器的直接功用是很明显的，它能节省相当多的劳动，提

高会计、管理、测量、科学研究以及数学用表制作等工作的精确程度。这一切比我们现在所能估计的意义大得多。

在巴黎的时候，莱布尼茨脑子里还装满了许多别的技术方面的设想。他作了很大努力研制出一种在双马串联的马车中工作的带有两个对称摆轮的表，于 1675 年 4 月在巴黎科学院展示了这种表的模型。他的其他设想还包括有一种不用罗盘就能测定船只位置的装置；一种从单一的观察点出发就能确定物体距离的方法；一种用来推动车辆或抛射体的空气压缩机；一种能在水下航行以逃避敌人侦察的船只；一种无液气压表等等。

巴黎时期是莱布尼茨的黄金时期，但在科学发明上使许多科学家无法望其项背。现在看来，莱布尼茨之所以能在不到 30 岁就对数学、科学的发展作出如此巨大的贡献，不是因为他有什么“超人”的天才，而是在于他作为一个青年人，较少保守思想，容易接受新事物。虽然学问不多，地位较低，但是方法对头，具有宝贵的创新精神，敢于攀登前人未达到的高峰。这是人们今天最应学习的地方。

正当莱布尼茨的科学事业飞速发展的时候，一个不幸的事件发生了，打断了他的巴黎生活，就是 1672 年 12 月他的主要支持者博伊内堡去世，1673

年 2 月选帝侯也死了。莱布尼茨不得不考虑他的前途问题。1676 年 1 月他接

受了德国汉诺威法院顾问的职务，同年 10 月离开了美丽的巴黎，绕道伦敦和荷兰回到汉诺威。他在伦敦作了短暂停留。在阿姆斯特丹，他开始结识最先使用显微镜的人——列文虎克。此外，他还在海牙见到了镜片磨制工和哲学家斯宾诺沙，两个人进行了四天的热烈讨论。莱布尼茨一再要求阅读斯宾诺沙的手稿，并终于看到了他的《论理学》手稿。尽管莱布尼茨本人有点儿不愿承认，但他的思想所受斯宾诺沙哲学影响是无可怀疑的。当然他的思想确实有和斯宾诺沙截然相反和对立的方面，但这也未尝不是从反面表现出斯宾诺沙哲学的影响。