混沌理论：不可测因素的预测

你是否有过对快速流动的水流所产生的不断变化的涡流结构不知所措的经历？你是否看到过雪茄烟袅袅升起的烟雾结果却分解为无序的旋涡？ 流体的平滑流变得混乱和无序的现象叫“紊流”。潺潺流动的溪流总是很美，然而紊流则总是令人讨厌。紊流会在管道中产生阻力，影响飞机机翼的升力。血管中的紊流甚至会干扰人工心脏瓣膜的工作。紊流一般会降低任何高速运动流体装置的效率。

尽管对流体紊流的研究长达数个世纪，然而紊流仍然是经典物理学中没有吃透的问题之一。时至今日，仍然没有人能说出加大流速时，十分平滑的管道中平稳的液体为什么会变为紊流。功率最大的计算机无法精确跟踪湍流数秒钟。沃纳·海森伯格曾提出量子理论的“测不准原理”。他在临终时宣布：“我有两个问题要请教上帝：为什么会有相对论和紊流。我确实认为恐怕只有上帝能最先作出回答。”

这些问题恐怕会把上帝难住，但一门新兴的科学也许能作出回答。这就是混沌理论。

混沌理论是设法了解许多自然系统特有的随机性和不可预测性所采用的一条原理。不可预测性的经典例子就是天气。运用所有各种知识和计算机先进技术，气象学家仍然不能准确预报一两天后的天气。原因何在？是对大气条件了解得不够全面吗？艾萨克·牛顿先生在提出著名的运动定律时，坚信宇宙是确定的。知道物体的质量和位置以及作用力，就能精确地计算出该物体任何时刻的行为。影响天气的大气层上的作用力也是这样。在能获得所有的数据的情况下，人类能准确预报各个时刻的天气。这种说法对吗？

20 世纪 60 年代初，一位文静、谦逊的气象学家爱德华·洛伦茨对这个十分重要问题作出了回答。他利用一个极其简单的仅由十几个方程组成的天气模型系统（现在的天气模型采用巨型计算机计算上百万个方程）， 演示了初始输入数据的很小变化——如温度读数变化 1％度——在极短的时间内，天气都将发生惊人变化。由于某种原因，方程对初始条件极其敏感。人们将这种现象戏称为“蝴蝶效应”。如果东京的蝴蝶振翅的话，就有理由相信会在佛罗里达州出现飓风。

在后来的研究中，洛伦兹将 12 个方程减成由主要描述受热流体对流的三个方程组成的极其简单的系统。尽管方程精确描述流体的行为，即这是确定的，但仍然对初始条件很敏感。在一定的温度下，热量输入发生很小变化都会造成流体最终运动的惊人变化。也许更重要的是，流体的行为在不断变化，是随机和混沌的。谁也无法预测流体中的某个粒子在接下来某个时刻后会在哪里出现。

“即使在遵守牛顿运动定律的简单系统中，也总是无法预测下一步会出现什么情况。”混沌理论专家伊恩·斯图尔特写下上述这段话，他还对混沌理论的全部内容作了很好的总结。混沌的原因，概括起来，就是不稳定性，一种持久的不稳定性。对一个稳定系统来说，可通过简单的线性方程描述其行为。也就是说，系统各部分互相按比例运转。冰球在冰上加速滑行就是一个简单的例子，如果冰球与其滑行的冰面之间没有摩擦力，作用在冰球上的作用力和加速度之间的关系，可用一个简单的线性方程表

示：

作用力＝质量×加速度

将作用力增加一倍或两倍，就是将加速度增加一倍或两倍。

然而摩擦力确实存在，因而整个系统呈非线性和不稳定。詹姆斯·格莱克在其所著的《混沌》一书中解释说，“由于存在摩擦力，关系变得复杂了，因为能量变化量取决于正在滑动的冰球的速度有多大⋯⋯由于摩擦力的大小取决于速度，因此无法设定一个恒定的摩擦力值。而速度也取决于摩擦力。”

计算非线性系统犹如玩牌，规则在不断地变化。对未来条件的计算和预测都不可能十分准确。不准确度由非线性度而定，确定不确定度是混沌理论的核心内容。将混沌理论称作非线性动力学科学也许更确切些。

稍加思考，就会发现到处都有非线性现象。多数自然系统（如天气和水流）都是非线性系统。摩擦力、热能、空气阻力和黏度比比皆是，它们进入自然系统会使自然系统变为非线性系统。再者，任何系统在一个以上作用力的作用下都会变成非线性系统。图 1 是在两块磁块作用下的钟摆系统。铁制的摆锤在底部有两块磁铁的上方摆动，磁铁分别对摆锤产生作用。该系统为非线性化系统。当摆锤位于两块磁铁中间时，受到近乎相等的两个力的作用。这时，钟摆运动的非线性特性表现最为明显。摆锤在非线性运动时对速度和位置的很小变化都十分敏感。在这种情况下，钟摆经过几次摇摆后，运动变得十分混乱，既有左右摆动又有前后运动，总体上没有节奏。

对初始条件极为敏感是混沌系统的特征，到底敏感到什么程度？伦敦玛丽皇后和韦斯特菲尔德学院的混沌理论专家，数学教授伊恩·珀西瓦尔以钟摆和及其吸引钟摆的磁铁为例作了解释。

在两块磁铁间每摆动一次，位置测量误差就增加 10 倍，而且根本没有例外，其敏感度之大可想而知。因此，摆动后的位置测量误差小于 1 厘米。为了在摆动四次后作出同样的预测，（初始） 位置的测量值应精确到小于一个细菌大小；摆动九次，须精确到小于一个原子。钟摆按牛顿的确定性原理运动，但长期以来对其未来行为的预测一直未能成功。

非线性及其产物（即混沌现象）确实无处不在，为什么直到 20 世纪中叶与后期才出现混沌理论呢？因为以前的科学家实际上趋于忽略非线性。他们提出的方程是对真实世界的大致估计，而为了方便起见省略了非线性因素。伽利略通过观察在斜面上滚动的小球，提出了重力运动定律，但忽略了摩擦力所产生的细小差异。他让轻重不同的物体从比萨斜塔上落下， 作自由落体运动，证明它们降落时的加速度相同，然而他忽略了空气阻力。他提出的线性方程是对真实世界的理想化描述。

他们的方法大多都能成立。只有在非线性特征极为明显时，系统才显出混沌。即使这时出现混沌也需要相当的时间，何况这种混沌微乎其微。太阳系这个例子很能说明问题。行星绕太阳公转的轨道，看上去很规则， 卫星绕各自行星运行的轨道也是这样。但太阳系由许多天体组成，它们相互之间有重力作用。因此这是一个非线性系统，有可能变得混沌。格莱克注意到了这一点，他说：“只能作一段时间的轨道的数值计算，在不确定

性开始占主导地位之前，功率很大的计算机可跟踪较长的一段时间⋯⋯时至今日，还没有任何人能确信直到行星永远脱离太阳系之后，行星轨道会越来越呈现偏心动力。”麻省理工大学的杰拉尔德·萨斯曼和杰克·威兹德姆指出关于行星速度和位置的任何计算在 400 万年后都会出现严重的误差。

因此，我们实际上本来就有不可预测的非线性系统，因为可预测性需要的精度无限的高。难道我们就只能保持对周围世界不求甚解吗？好在回答是“不”，总之，我们可利用计算机。研究混沌理论离不开计算机，犹如生物学研究离不开显微镜一样。道理很简单。计算机的功率与运行速度可达到人脑的几百万倍，真叫人难以相信。它们通过数十亿次的重复计算

（即“迭代”），就是说将某次计算的输出作为下一次计算的输入，写出非线性方程（这些方程不成比例，但能反映真实世界）。我们利用这种反馈就能观察系统随时间的变化情况。我们所看到的难觉察的变化明显地被放大了。

例如，下式的非线性方程是生物学家提出来计算动物种群的年波动情况：

X＇＝RX（1-X），式中，X＇＝某年的种群数

X＝前一年的种群数 R＝表示这一代成年动物所产生的后代数量的一个常量（种群的增长率）

这一方程成立的条件是，X 和 X＇为 0～1 之间的小数，实际种群数是这些小数的 1 万、10 万或 100 万倍。

在已形成这个反馈回路的条件下，就是说如果将一年的种群数（X）代入方程可得出翌年的种群数（X＇），同时依据 R 值大小能得出某些十分奇特的结果。假定 R 值为 1，种群数为 0.4 时，历年的变化情况如下：

第一年：X＇＝RX（1-X）

X＇＝1（0.4）（0.6） X＇＝0.24

第二年：X＇＝RX（1-X）

X＇＝1（0.24）（0.76） X＇＝0.18

第三年：X＇＝RX（1-X）

X＇＝1（0.18）（0.82） X＇＝0.15

种群数逐年递减，趋于零，或种群数濒临灭绝。实际上无论初始种群数是多大，在 R 值为 1 或小于 1 时，都将出现种群数灭绝的情况。如果 R 值为 2，种群数每年在两个不同的值之间交替变化，即出现所谓的两歧状态。如果 R 值再大，会出现更多的两歧状态，种群数在 4 个、8 个、16 个或 32 个不同值之间交替变化。令人不可思议的是，R 值为 3.57 时，各年的种群数各异，且其变化没有规则，无法计量。这一系统就处于混沌状态。

但这一系统的最终结果不是混沌。随着 R 值进一步增大，出现了奇特的两歧状态和三歧状态，然后又出现混沌。我们所得出的极其深奥难懂的复杂系统都源于一个简单的非线性方程。

计算机是研究混沌现象的极强有力的宝贵工具。计算机通过百万次的

反馈迭代产生大量的数字，同时计算机还有图表能力。如果每次迭代的各个解以空间的一个点表示，则对方程作多次迭代即可在计算机屏幕上产生的一个模型或图片。方程的所有可能解所在空间区域叫相空间。多次反复的演变结果是系统的相空间描述。这是描述方程所示的系统长期行为图。如果该方程凑巧为线性方程，则相空间描述的轨迹在屏幕上是一条简

单的曲线。如果该方程为非线性方程，且该系统中出现混沌，则就会产生缠在一起的极为复杂的盘绕的曲线图。任何两条曲线的轨迹都不相同。这种相描述叫“奇异吸引区”，是计算机抽点打印混沌系统的结果。图 2 是爱德华·洛伦茨利用简单的天气方程组得出的奇异吸引区。

纽约大学的弗兰克·霍平斯特利用一台功率很大的计算机输入动物种群方程。以上千个不同的 R 值进行数亿次迭代。他发现这个系统极其深奥难懂且极其复杂。用格莱克的话说：“先出现两歧状态，接着出现混沌， 在混沌中出现少得可怜的有序峰值，这些峰值不稳定且十分短暂。”

通过研究奇异吸引区结构，我们对混沌系统有了更多的了解。也许最令人感兴趣的发现是尽管奇异的吸引区极不规则，但有一定的秩序。研究混沌的权威人士贝努瓦·曼德尔布罗特利用对简单的非线性多项式进行计算机迭代后发现了上述现象。他所获得的奇异吸引区有着十分复杂的曲线图，他将其称为“不规则碎片形”。但令人吃惊的是这些碎片的复杂性是重复的。在一个图形内，大规模的不规则性以不断缩小的规模将自身反复再现，这种特性叫“自型性”。

赫尔格·冯·科克发现的并以其姓名命名的“科克雪片”就是一种不规则碎片型。按图 3 所示的图形顺序很容易用铅笔和纸画出“科克雪片”。首先画一个等边三角形，接着把另一个三角形的顶角对准原三角形每条边的中心，进行叠加。就得到图 3 所示的第 2 步。然后在所产生的新的小三

角形的基础上重复上述过程，可得出图 3 中的第 3 步。最后得到“褶边雪片”，其复杂性和细致程度由你确定。如图所示，逐级放大和检查都说明， 图形有自型性。

曼德尔布罗特的不规则碎片型已成为人们熟悉的一种艺术形式。如果用明亮的颜色进行复制可获得颇为壮观的景象。在描述真实世界中的偶生艺术（一种大型拼贴艺术——译注）时，就能显出不规则碎片形的重要性了。我们从奇异吸引区的不规则碎片特性，可以了解混沌系统的基本结构和其中可能隐蔽的一些次序。流体的紊流、天气的不可预测性、心脏跳动的不规则性、免疫反应的不确定性、电子系统和化学反应的随机脉变动， 甚至股票市场的起伏都可以用混沌理论来作出更好的解释。这是一个令人激动的时刻，随着功率更大的计算机的出现，不知道我们还能发现什么秘密？

（李明 译）