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添加书签
移除书签八、《割圆密率捷法》的数学奥妙
明安图的《割圆密率捷法》究竟隐藏着那些数学奥妙呢？
《割圆密率捷法》共分 4 卷：
卷一《步法》：罗列出所得到的各无穷级数公式，其中公式（1）至公式
-
是杜德美传进来的三个级数，分别叫做“圆径求周”、“弧背求正弦” 和“弧背求正矢”，这三个公式前边已经列出，这里不再重复。公式（4）至公式（9）是明安图发现的六个无穷级数。这些级数都是弧、弦和正弦之间的互求问题。这六个级数也各有名称。其中的“弧背”就是弧，“通弦”就是弧所对的弦。
- 弧背求通弦
(2a)3
(2a) 5
(2a) 7
C = 2a − 4·3!r 2
- 孤背求矢
+ 42 ·5!r 4 − 43 ·7!r 6 Λ ;
(2a)2
(2a)4
(2a)6
b = 4·2! r − 42 ·4! r 3 + 43 ·6! r 5 −Λ ;
- 通弦求弧背
c3 32 c5
32 ·52 c7
2a = c + 4·3! r 2 + 42 ·5! r 4 + 43 ·7! r 6 +Λ ;
- 正弦求弦背
a 3
2 a 5
a ( r sin r )
12 ·3 (r sin r )
a = r sin r +
3!r 2 +
5! r 4
+Λ ;
- 正矢求弧背
a
2rvers
r
a 1 (2rvers )
r
12 ·22
a 3
(2rvers r )
a 2 = 2r + + +Λ ;
2! 4!
6!r
- 矢求弧背
8b (8b)2 12 ·22 ·(8b) 3
(2a) 2 = r· + + +Λ 。
2! 4·4! 42 ·6!r
如图 1，式中 r 为圆半径，C 为 AD 弧长，a 为 AC 弦长，2a 为 AD 孤长，b 为 BC 矢长。
以上，与杜德美传进来的三个合起来共九个无穷级数，后人通称“九术”。九术中以（1），（2），（3），（7），（8）这 5 个公式为主要
公式。如分别以弧度x = a 或x = 2vers a 表示，则公式（2），（3），（7），
r r
（8）即可化为现在通用的三角函数幂级数展开式（其中（2）式前已列出， 不再重复）：
versx = 1 x2 −
2
1 x4 +
4!
1 x6 −Λ ;
6!
asc sinx = 1+
1 x3 −
3!
12 ·32
5!
x5 +
12 ·32 ·52
7!
x7 +Λ ;
(arcvers
x) 2 = 21 x +
2
1 x2 +
4!
12 ·22
6!
x3 +
12 ·22 ·32
8!
x4 +Λ 。
明安图在叙述完了“矢求弧背”术之后，在结论中表述了一种以直线求圆线，以圆线求直线的思想，这种思想与西方的微积分具有相同的意义。这时西方的微积分还没有被译成中文，明安图是独立地接近了微积分。
卷二《用法》：是各公式在数学和天文学上的应用； 卷三、卷四《法解》：阐述各公式的证明方法。
证明上述九个无穷级数，需要进行极为复杂的数值计算，明安图是通过用三角变换的办法使计算简化。
明安图的三角变换方法，方便了论证，在中国数学领域中开辟了一条新的道路。
陈际新认为，明安图在杜德美所传无穷级数外独树一帜，深入地研究了无穷级数的展开，从而得到了优良的结果。
明安图在研究过程中，运用了严密的逻辑推理。他首先从“弧背求弦” 问题入手，逐步进行研究。
明安图把任意一段圆弧分成若干分弧，寻找本弧通弦和分弧通弦的关系，创立了割圆连比例法和级数回求法这两种重要的数学方法，求得并证明了上述九个无穷级数。
明安图的“割圆连比例法”就是把任意弧九等分，根据等腰相似三角形对应边成比例的关系，得出一系列比例关系式，求出相应折线的长度，然后用折线逼近圆弧，从折线与弦矢的关系导出弧与弧矢的关系（见图 5），把“割圆连比例法”用于解决无穷级数的研究，是中国数学史上的创举。
明安图在推导求证过程中，动用并且发展了我国古代初步的极限概念。一方面，他肯定弓形中的弧是曲线，而弦是直线，曲线和直线总是有区别的， 即使无限地分割下去，在极小的弓形中，弧也仍然是曲线，弦也仍然是直线， 二者不能混同起来；另一方面又指出，对弦无限分割之后，弧和弦都变得极小而彼此接近，这样就可以从中得出彼此相求的方法。也就是说，他的具体运算的着眼点在于推算无穷级数的各项系数。
级数回求法是一种求反函数展开式的有效方法。明安图的工作在数学原理方面体现的是一种曲直互通的思想，体现的是从有限到无穷的认识上的飞跃。
明安图在求证上述公式中，想了许多办法，避免繁杂的数值计算，但是仍有相当多的计算，而且十分复杂，一般的是二三十位的数值计算，多的达到三十六七位数字，然而，他的计算能力却是相当强的。
