六、临终托付遗稿

1701 年，有个叫杜德美（1668—1720）的法国传教士来到中国。起初， 他给康熙的一个儿子讲解数学，也在宫廷的蒙养斋内传授数学由于他表现出色，深得康熙帝的赏识。

杜德美在中国传入了牛顿（1642—1727）与格雷戈里（1638—1675）的三个数学公式，这是西方数学中较新的成果。

杜德美传入中国的这三个数学公式，首先是由梅瑴成把它们译入他的数学札记《赤水遗珍》一书中的。

《赤水遗珍》共有 15 篇数学札记，其中的“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法”两篇就是介绍的这三个数学公式。

这三个数学公式，如果以现代数学符号表达，设 r 为圆半径，a 是弧长， 它们相当于：

3·1²

（1）π = 3 + 4·2! +

3·1² ·3²

4² ·5!

3·1² ·3² ·5²

+ 4³ ·7!

+Λ Λ

a a ³

a 5 a 7

（2）r sin a r

= a − 3!r ² + 5!r ⁴

− 7!r 6 +Λ

a a ² a⁴ a ⁶

（3）rvers r

= 2!r − 4!r ³ + 6!r ⁵ −Λ

这三个数学公式，用我们现代数学的语言来说，叫做无穷级数的展开公式，它是一种用无穷极数表示圆周率和三角函数的表达式，它的作用是解析方法计算圆周率的问题。

这三个无穷级数的展开式，其中的（1）式是求圆周率的，（2）式是求正弦的，如果把（2）式中的 a 换成 x，且令 r=1，就会转换为现在通用的正弦的无穷级数表达式，即：

x 3 x5 x7

1. sinx = x −

3! + 5! −

7! +Λ

1. 式中的“vers”是一种三角函数的符号，这种函数叫做“正矢”，

   现已淘汰不用，因此，（3）式是求正矢的。

杜德美没有向梅瑴成介绍这三个无穷级数展开式的来源，因此，梅瑴成把它们通称为“西士杜德美法”。其实，它们中的（1）式是牛顿在 1676 年

所创，（2）、（3）式是格雷戈里于 1667 年所创，它们是早期微积分学发展中的成果，为计算圆周率和三角函数值提供了新的算法。

杜德美只传入了这三个无穷级数展开式的结果，而没有介绍它们的推导过程与理论依据，梅瑴成也没有对它们进行研究。

明安图青年时代曾与梅瑴成一起工作，并且很可能与杜德美有所接触， 因此他很早就知道了杜德美传入的 3 个公式。他怀疑杜德美有意保留了最主要的东西，于是他下决心揭示这些公式的“立法之源”。

明安图在钦天监的工作非常繁忙，除了我们前面介绍的情况之外，他在

1760 年回到北京之后，稍事休整，又开始履行钦天监的工作。

1762 年 7—9 月间，明安图和一些钦天监官员又陪同乾隆皇帝去热河， 在热河期间恰好遇上日食，很长时间没有复圆，乾隆皇帝就问明安图“复圆时刻”，明安图与其他人立即进行了细心的推算，很快就算出结果来。

明安图从热河回来以后，又继续履行其钦天监的职务。

虽然明安图在钦天监的工作这样繁忙，但是，30 多年以来，他在工作之余，还是不懈地致力于研究上述 3 个无穷级数展开式的证明方法，终于融会贯通了中国传统数学知识与刚刚传入的西方数学知识，结果不仅圆满地证明了这三个公式，同时还得到了另外 6 个公式，写出了《割圆密率捷法》的四卷草稿。

大约在 1763 年 11 月 7 日以后，明安图已经病危，准备托付后事。

明安图的儿子叫明新，字景臻，青年时代在钦天监当天文生，后来任“钦天监五官灵台郎”。他由于受到较好的教育，再加上长期工作锻炼，所以天文学、数学方面也有很好的造就。

明安图还有两个学生，一个叫张肱，字良亭，曾经在钦天监担任过夏官正职务。另一个叫陈际新，字舜五，在钦天监也担任过灵台郎，后来升任监正。他俩都精通数学，特别是陈际新为当时著名数学家，在天文学方面著有

《北极高度表》一卷。

明安图把明新叫到病榻之前，把《割圆密率捷法》手稿交给他，并让他转嘱陈际新等人说：

这部手稿是《割圆密率捷法》。里边有圆径求周，弧背求弦，求矢三种方法，原来是西洋人杜德美所著，是古今没有的数学公式。本来向同行们公开，可惜只知道它们的结果而不清楚它们的来源，我怀疑杜德美有意保留了最主要的东西。我多年以来对它们进行了研究，只是没有完成这项工作。你和同行们一定要把它完成，这是我的一个志向啊。

明安图说完以后不久，就与世长辞了，享年约 72 岁。