七、新世纪

1900 年，新世纪诱人地展现在他的面前，犹如一张白纸，一支新笔，等待他去写最精采的文章，画最美的图画。希尔伯特此时站在数学发展的最前沿，他在准备发表一篇能与这个重要时机相宜的、替纯粹数学辩护且预计新世纪数学发展方向的演说，他犹豫着该选怎样的题材。闵可夫斯基认为：“最有意义的题材，莫过于展望数学的未来，提出数学家们应当在新世纪里努力解决的问题。这样，你的讲演在往后的数十年中将成为人们议论的中心话题”。

希尔伯特一直在冥思苦想，可是直到 6 月份还未写出讲稿。已经发出的

会议日程表中就没有了他的讲演。到了 7 月中旬，他才将以《数学问题》为题的讲稿清样寄给了闵可夫斯基。闵河夫斯基和赫维茨花了整整几个星期的时间，极其审慎地研究了希尔伯特的讲稿，他们从讲稿的内容以及讲的方式上都提出了建议，认为讲稿太长了，并且要他把“每个确定的数学问题都应该能得到明确的答案，或者是肯定的回答，或者是证明该问题的不可能性” 的这段话，作为整个讲演稿的有力结尾。

8 月 8 日，星期三，上午，一位 38 岁的数学家登上了讲坛。此人中等身体，矫健敏捷，宽广的前额引人注目，已经光秃的头顶、疏落地余留着淡红色的发丝。高高的鼻梁上架着一副眼镜。不大的连鬓胡。略显散乱的唇髭下， 一张丰满的大嘴，同细巧的下巴形成鲜明的对照。明亮的蓝眼睛，透过闪亮的镜片射出纯真而又坚定的目光。这位讲演者，虽然外表朴素无华，他那刚强的品格和卓越的才智所酿成的气氛，却驱走了巴黎的炎热，吸引着每一位与会者的心。

他准备了一个法文的讲稿摘要，将它分发给听众。在当时，会议并没有

规定要这样做。大家以感谢的心情等待着讲演的开始。为了照顾不很懂德语的听众，希尔伯特缓慢地。谨慎地开始了他的讲演。

在讲演中，希尔伯特强调了决定着一门科学发展方向的问题的重要性， 考察了重大而富有成果的问题的特点，阐述了对于问题的“解答”的要求。然后他就提出讨论了 23 个个别的问题。他相信，这些问题的解决，必将大大

推动 20 世纪数学的发展。

头 6 个问题与数学基础有关，希尔伯特认为，刚刚过去的这个世纪里最伟大的成就，乃是非欧几何的发现以及算术连续统概念的明确化。关于数学基础的 6 个问题，正是在这一观点的启发下提出的。这些问题反映出最近在几何基础方面的工作对他的强烈影响和他对公理方法的效用的巨大热情。其他问题有些是众所周知的老问题，有些则是新问题，不过它们全是选自希尔伯特本人过去、现在或将来所关心的领域。最后一个问题与其说是一个问题， 不如说是对将来的一个建议。希尔伯特认为变分法这个数学领域在过去受到了不适当的忽视，他希望在下个世纪里数学家们能对这个领域给予更多的注意。他认为所提出的问题只不过是一些例子，数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各部分之间的联系。

在巴黎国际数学家代表大会的其余日子里，大卫·希尔伯特关于 20 世纪的数学问题吸引了整个数学界的想象力。希尔伯特的实际经验看来保证了这些问题都符合于他在讲演中所提出的标准；他的判断力则使人相信这些问题在今后的年月里一定能得到解决。由于希尔伯特的迅速提高的声望，一个数学工作者只要解决了巴黎问题中的任何一个，就可以使自己一举成名。后来， 那些对于解决希尔伯特为 23 个问题作出贡献的数学家们就被称作“荣誉等级”数学家。

这时，希尔伯特已开始享有一个数学家所能享有的最高声誉。从关于不变量理论登峰造极的研究——《数论报告》和深刻、丰富的类域论计划—— 广泛传播影响深远的几何基础小册子——狄里克莱原理的起死回生——变分学的重要定理——巴黎问题，外国科学院纷纷选他为院士。德国政府授予他“枢密顾问”的头衔。但是希尔伯特并没有用虚伪的谦虚来自扰，而以朴素稳重的喜悦接受了这种成功。

这时，希尔伯特的双亲还健在。长期以来希尔伯特法官对儿子的事业成功一直抱有怀疑。数学有它自己特点，作为门外汉，他不可能真正地鉴赏他儿子的这些成就；但是，希尔伯特获得了许多荣誉，终于驱散了他父亲心中的疑虑。

巴黎会议之后，希尔伯特继续研究几何学，但他的大部分时间是用于探讨分析问题。但是，在 1900 至 1901 年的一个冬日，一个名叫伊凡·弗雷德霍姆的德国年轻人发表的一篇关于积分方程的论文使他认识到：弗雷德霍姆的工作比他自己在变分学方面的工作更接近于他所追求的目标，那就是从方法论的角度达到处理分析学问题的统一途径。因此，他现在毫无反悔地放弃了自己原来的计划而以巨大的热情投入积分方程的研究。