三、数学之神

阿基米德不仅是个力学家，也是一个伟大的数学家，他在数学方面对人类的贡献也是巨大的。

是他首先发现了圆周与直径的比例π为 3.1419。在当时，人们并不知道圆周率的计算方法，计算周长时，一般沿用古人“直径为一，圆周为三”这个简单的经验进行类推，但计算圆的面积时，则使用古老的、不准确也不科学的比较法。其一是“画出圆形，在圆内紧密地摆放一粒一粒的麦子，然后与正方形中能摆放的麦粒数做出比较，用正方形的面积去确定圆的面积；另一种是取一块质地均匀的薄木板，在其上画圆并把它裁割下来，称它的重量，再与同重量的正方形做比较，以确定圆的面积。这两种方法虽然在实用上有其价值，但在理论上不够严密和准确，而且计算方法古老而笨拙。阿基米德通过长时期的思考和研究后，认为圆的直径与周长间有一固定比例，有了这个比例，就可以通过计算求得圆的面积了。这个比例是多少呢？阿基米德按照自己的思路，将圆周分割成多边形，他应用等边的 6 边形内接到圆中，得

到当时一直流行的算法“直径一圆周三”。为解决内接 6 边形的边与圆弧间的误差，继续内接 12 边形、24 边形、48 边形、96 边形、⋯⋯，内接多边形的边越多，越无限止地划出无限多的多边形，直到完全把内接多边形与外接圆重叠为止。这样量出各多边形的边长，相加之和就是圆周的长。只可惜就连阿基米德这么灵巧的手也只划出了内接 96 边形，这样他求出

圆周与直径的比例大于3 71 。然后他又用几天时间，划出圆的外切96边形

，算出圆周与直径的比例小于3 1 ，他把这个范围取做圆周率的近似值，

10 1

得到π值得3 71 ＜π＜3 7 ；即3.1409＜π＜3.1429，取其平均值，得出

圆周率π值为3.1419，与我们现在所知的π值误差极小。

阿基米德计算π值所使用的无限细分、接近圆周的办法，后人称之为“穷竭法”，这种方法一直被后人使用了 2000 多年。后人计算出的圆周率，精确度大大提高了，但使用的计算方法，仍是阿基米使用过的“穷竭法”。到了18 世纪，牛顿和莱布尼兹在这一巧妙思想方法的启发下，发明了微积分，由此奠定了高等数学的基础。因此，牛顿——这个科学界划时代的巨人曾说过：如果说我伟大的话，那也只不过是因为我站在巨人的肩膀上。

计算出圆周率π的值了，阿基米德又得出了计算圆面积的方法：圆的面

积 = 2 r·圆周长，

即 1 rπ

d = 2 r

·π·2r = πr ² 。

阿基米德不仅是第一个计算出圆面积的人，也是第一个算出球表面积是球上的大圆面积的 4 倍的人。他最得意的发现，要算是圆柱的体积了。他算出圆柱的体积等于高度与底直径相等的内含球心体积的一倍半，为此，他要求他的后人在他的墓碑上刻一个球内切于圆柱的图形，以纪念这一不朽的发现。

阿基米德对数学的贡献还表现在他发明的一种简便的计数法。

天上的星星地下的沙，可算是人们最难计数的东西了。阿基米德在《沙粒的计算》一书中写道：有人认为，如果把地球想象成一个大沙堆，并在所有的海洋和洞穴里填满沙子，一直到与最高的山峰相平，那末，这样堆起来的沙子的总数是无法表示的。的确，在当时还没有我们现在使用的阿拉伯数字，叙拉古人是用古希腊字母表示数目的，这种计数方法不但麻烦，而且有限。当时数字的极限是“一万”，如果用字母 A 表示，那么要表示“1000 万”，就要写出 1000 个 A 字，而不象我们现在只用几个零，写成 10 000 000 就行了，而且全世界的人都认识。随着科学的发展，人们对宇宙已有所认识，要想表示宇宙有多大就成了一个难题，阿基米德努力探求用最少的符号来表示很大数目的方法，终于提出一个具有重要意义的计数方法，即以“一万”作为一个大单位，在此基础上继续计数，1 个一万，2 个一万，3 个一万⋯⋯直到一万个一万，得到万万这个数，就是我们现在叫做“亿”的数，用现在的计数方法可表示为 108，阿基米德将这个数作为第一级的数，称为“首数”，在首数这个单位中又进行万万倍，得到 1016，称为“二数”，又将“二数” 万万倍，得到 1024，作为“三数”，⋯⋯在这个方法上依此类推，就可以简便地表达出无穷大的数。这就是阿基米德在《沙粒的计算》一书中告诉大家的“用我的方法，不但能表示出占地球那么大的地方的沙子的数目；甚至还能表示出占据整个宇宙的沙子的总数。这种计数方法突破了当时最大的数“一万”的局限，大大简化了计算办法，使思路更容易集中、更清晰。后人在“亿” 这个新的计数单位的基础上，又发明了“兆”做为新的计数单位。随着科学的发展和我们对未知世界的了解，又引进了“光年”这一新的计数单位表计算宇宙间星与星的距离。“光年”即光（300000 公里/秒）运行一年的穿行距离，一光年等于几乎 10 万亿公里，这么庞大的数字，能这么简单地用“光年”表示出来，并进行计算，正是得益于阿基米德《沙粒的计算》中所提出的思路和方法。