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移除书签第六节 初等函数的幂级数展开式
明末《崇祯历书》中已经介绍了三角函数表的编造方法，即所谓六宗、三要和二简法。这种造表法利用普通三角函数关系公式推算，相当繁琐，并且也不能算出任意角的三角函数值。此后陆续有人研究这一问题，但未取得重大突破。清初康熙年间，法国传教士杜德美（P.Jartoux，1668—1720）曾介绍三个无穷级数公式，当时称之为“圆径求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”，相当于圆周率π的展开式以及正弦和正矢的幂级数展开式：
12 12 ·32 12 ·32 ·52
π = 31 + + 2 + 3 + ，
4.3! 4 ·5! 4 ·7!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 − 1 x7 + ，
versx =
3!
1 x2 −
2!
5!
1 x 4 +
4!
7!
1 x6 − ．
6!
梅瑴成将其记载在《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》中。这些公式提供了计算任意角度三角函数值的简捷算法，受到当时数学家的欢迎。但由于杜德美没有给出这三个公式的证明，因而造成了理解上的困难。首先对此进行深入研究的是蒙古族数学家和天文学家明安图。明安图，字静庵，蒙古族正白旗人，生年不详，约卒于 1763 年。毕生在钦天监从事天文工作，曾任时宪
科五官正，晚年升任钦天监监正。他经过 30 余年的不懈努力，把中国古代数学与引进的西方数学结合起来，创造了割圆连比例法和级数回求法，终于圆满地证明了上述三个公式，并且推导出另外六个公式，其中较重要的有反正弦和反正矢的幂级数展开式：
arcsinx = 1+
1 x3 +
3!
12 ·32
5!
x5 +
12 ·32 ·52
7!
x 7 + ，
(arc vers
x) 2 = 1
2
12
x + 4!
x2 +
12 ·22
6!
x3 +
12 ·22 ·32
8!
x4 + ．
明安图的数学专著是《割圆密率捷法》4 卷。这部书在他生前未能完成，后由其学生和儿子续成出版（1774 年）。此外，他还曾参加编著《历象考成》、
《历象考成后编》和《仪象考成》等重要天文学著作，并曾两次亲赴新疆地区测绘地图，在天文学和地图测绘学等方面作出了杰出的贡献。
清代关于无穷级数的研究是一个相当活跃的领域。明安图之后，董祐诚
（1791—1823）在《割圆连比例图解》中又采用不同方法得到了关于弧、弦、矢三者关系的四个公式，简化了明安图的结果。项名达（1789—1850）在《象数一原》中，又把这四个公式简化成两个公式。项名达还和戴煦（1805—1860） 共同发现了指数为有理数的二项式定理。在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、余切、正割、余割、反正切、反正割等三角函数和反三角函数的幂级数展开式。李善兰也进行了这方面的研究，但用的是他所发明的“尖锥术”。徐有壬（1800—1860）的《测圆密率》和《造表简法》，则对于清代数学家关于三角函数展开式的研究成果，作了较为全面的总结。此外，戴煦的《对数简法》和李善兰的《对数探源》，给出了自然对数的幂级数展开式。由此可见，清代数学家已经基本上解决了初等函数的幂级数展开式问题。虽然这些成果在时间上大多晚于西方数学家的同类成果，但这都是中国数学家刻苦
钻研独立作出的贡献，并且其中用到的数学方法已经有了微积分思想的萌芽，从而为顺利接受解析几何和微积分学等近代数学知识，实现由传统数学向近代数学的演变，奠定了重要的思想基础。
这一时期关于椭圆的研究也有了新进展。项名达的《椭圆求周术》及戴煦为之补作的图解，提出了正确的椭圆周长公式：
p = 2πa (1 − 1
22
e2 −
12 ·3
22 ·42
e 4 −
12 ·32 ·5
22 ·42 ·62
e6 − )，
其中e为椭圆离心率，e2 =
a 2 − b 2
a 2
，a、b分别为椭圆长、短半轴，其所用
方法符合椭圆积分法则。并据此推导出圆周率倒数公式：
1 1 1 12 ·3 12 ·32 ·5
π = 2 (1 − 22 − 22 ·42 − 22 ·42 ·62 − )．
项、戴的这项工作是中国数学家关于二次曲线研究的最早的重要成果。
