第一章

磁学的初等理论

371．]人们发现，某些物体，例如被称为磁石的一种铁矿石、地球本身以及经过某种处理的钢铁，具有下述的性质，并称为“磁体”。

如果一个磁体在地球表面附近除地磁极以外的任何地方被悬挂起来， 使得它可以绕一个竖直轴而自由转动，则一般说来它将倾向于使自己沿着一个确定的方位，而如果从该方位上被扰动，它就将在该方位附近进行振动。一个没被磁化的物体并不具备这样的倾向，而是在任何方位上都同样处于平衡。

372．]经发现，作用在磁体上的力，倾向于使磁体中叫做“磁体轴线” 的一条确定的线和空间中一条叫做“磁力的方向”的定线相平行。

让我们假设，磁体被悬挂得可以绕一个固定点而向一切方向自由转动。为了消除重力的影响，我们可以假设这个点就是它的重心。设磁体达到了一个平衡位置。在磁体上标出两个点，并记下它们在空间中的位置。然后，让磁体达到一个新的平衡位置，并注意磁体上两个标志点在空间中的位置。

既然在两个位置上磁体的轴线都和磁力的方向相重合，我们就必须找出在运动前后在空间中占据相同位置的那条线。由不变形物体的运动理论可知，这样一条线总是存在的，而和实际运动相等价的一种运动可以通过绕该线的简单转动来实现。为了求得这条线，把每一标志点的起始位置和终末位置连结起来，并作这些连线的垂直平分面。二平面的交线就将是所求的线，它指示着磁体轴线的方向和磁力在空间中的方向。上述这种方法在确定这些方向时是不方便的。当处理磁学测量时，我们还将回到这一课题上来。

经发现，在地面上的不同部分，磁力的方向是不同的，如果注意磁体轴线指向北方的一端，就会发现磁轴所沿的方向通常是从真实经线偏开一个一定的角度的，而二标志端点的整体则在北半球向下倾斜，而在南半球向上倾斜。

磁力方向从真正北方向西的偏转，叫做“磁偏角”。磁力方向和水平面之间的夹角，叫做“磁倾角”。这两个角度确定了磁力的方向，而当磁力强度也为已知时，磁力就是完全确定的了。地面不同部分的这三个要素之值的测量，它们按照观测地点和观测时间的变化方式的讨论，以及磁力及其变化的原因的考察，就构成“地磁”科学。

373．]现在让我们假设，若干个磁体的轴线已经确定，而每一磁体指向北方的一端也已标出。这时，如果其中一个磁体是自由悬挂的，而另一个磁体被带到了它的附近，那就会发现，两个标志端互相推斥，一个标志端和一个未标志端互相吸引，而两个未标志端也互相推斥。

如果磁体是长棒形或长线形的，而且是沿着纵向而均匀磁化的（参阅第 284 节），那就会发现，当一个磁体的一端和另一磁体的一端相距很近时，力就显示得最为强烈；而这种现象就可以通过一种假设来加以说明， 即假设各磁体的相似端互相推斥，其不相似端互相吸引，而各磁体的中间

部分则没有显著的相互作用。

一个细长磁体的两端，通常叫做它的“极”。在沿长度均匀磁化的无限细磁体的事例中，两个端点就起着力心的作用，而磁体的其余部分则没有磁作用。在所有实际的磁体中，磁化都不是绝对地均匀，从而没有任何单个的点可以被看成磁极。然而，通过应用仔细磁化的细长棒，库仑却作到了两个相似磁极之间的力定律的建立（磁极间的媒质为空气）①。

二相同磁极之间的推斥力沿二极之连线，其数值等于二极强度的乘积除以极间距离的平方。

374．]这一定律，当然假设每一磁极的强度是用某种单位来量度的， 该单位的大小可由定律的叙述推知。

单位磁极是一个指北的极，而且当在空气中和另一个单位磁极相距为一个单位时，它就会以单位的力推斥那个磁极，此处单位力的定义和第 6 节中的定义相同。一个指南的磁极被看成负的。

如果 m1 和 m2 是两个磁极的强度，l 是二者之间的距离，而 f 是推斥力， 各量都以数字来表示，则有

f = m1m 2

l2

但是，如果[m]、[L]和[F]是磁极、长度和力的具体单位，则有

m 2 m1m2

f[f] = [ L ] l 2 ,

由此即得

[m ² ] = [ L² F] = [L² ML],

T2

或[ m] =

3 −1 1 ．

[L 2 T M 2 ]

3

因此，单位磁极的量纲就是长度的 2 次方、时间的（ - 1）次方和质量的

1 次方。这种量纲是和在第41、42节中用完全相同的方法确定的电荷静

2

电单位的量纲相同的。

375．]这一定律的精确性，可以认为已由库仑的扭秤实验所确立，并已由高斯和韦伯的实验以及许多磁观测站的所有观测员的实验所证实。那些观测员们每天都在进行着磁学量的测量，而假如力定律是错的，他们就会得出互相矛盾的结果。这一定律也通过它和电磁现象的定律的一致性而得到了更多的支持。

376．]我们一直称之为磁极强度的这个量，也可以叫做“磁量”，如果我们除了在磁极方面观察到的那些性质以外并不给“磁”指定别的性质的话。

既然“磁量”之间的力定律和数值相同的“电量”之间的力定律具有相同的数学形式，关于磁的许多数学处理就必然和关于电的处理相类似。然而也存在磁体的另外一些性质，他们是必须牢记的和可能在物体的电学性质方面提供某些启示的。

① Coulomb.Mé m.del'Acad.1785,p.603, 并见 Biot'sTraitédePhysique,tomeiii.

一个磁体的磁极之间的关系

377．]磁体一极的磁量，和另一极的磁量等值而导号，或者，说得更普遍一些就是：

在每一个磁体中，总的磁量（代数地算起来）是零。

因此，在一个在磁体所占之空间中是均匀而平行的力场中，作用在磁体的标志端上的力，就和作用在未标志端上的力恰好相等、反向而平行， 从而二力之和就是一个静力矩，它倾向于使磁体的轴线转到一个确定的方向上，但是并不会沿任何方向而推动整个的磁体。

这一点，可以很容易地通过把磁体放入一个小容器并把容器浮在水面上来加以证明。容器将转到某一方向，以便磁体轴线尽可能地和地球磁力的方向相接近，但是却不存在整个容器沿任何方向的运动，因此就并不存在北向力对南向力的超额，也不存在相反的超额。根据一个事实也可以证明，一块钢铁的磁化并不会改变它的重心，并不会在一些纬度上使重心沿着轴线向北偏侈。由转动现象确定的质心是保持不变的。

378．]如果对一个细长磁体的中部进行检验，就会发现那里并不具备任何磁性。但是如何在该点把磁体打断，则会发现两段物体在断点处各有一个磁极，而且这个新磁极是和该段原有的另一磁极正好相等而相反的。不论是通过磁化，或是通过打断磁体，或是通过任何别的办法，都是不可能得到一个具有不相等的磁极的磁体的。

如果把一个细长磁体打成若干短段，我们就将得到一系列短磁体，其中每一磁体的各极都和原始长磁体的各极具有接近相同的强度。这种磁极的增多不一定是能量的增大，因为我们必须记得，由于它们的互相吸引， 我们在打断磁体以后必须作功才能使各段分开。

379．]现在，让我们把磁体的各段像从前那样摆在一起。在每一个接头处，将有两个正好相等而反号的磁极互相接触着，从而它们对任一其他磁极的合作用都将为零。因此，这样重新组合起来以后，磁体就将和以前具有相同的性质，就是说，它在两端各有一极，二者相等而异号，而其二极之间的部分则不显示任何磁作用。

既然在这一事例中我们知道长磁体是由一些小的短磁体组成的，而且现象又和在未打断磁体时的情况相同，那么我们就可以认为，甚至在未被打断以前，磁体也是由一些小的粒子组成的，其中每一粒子都有两个相等而异号的极。如果我们假设所有的磁体都是由这样的粒子组成的，那就显而易见，既然每一个粒子中的磁量代数和为零，整个磁体的总磁量也必为零，或者换句话说，它的磁极将具有相等的强度和相反的种类。

“磁质”学说

380．]既然磁作用的定律和电作用的定律具有完全相同的形式，赋予电现象以单“流体”或二“流体”之作用的那些相同的理由，就可以用来论证一种或两种“磁质”的存在，它可能是也可能不是“流体”。事实上， 若只在纯数学的意义下来运用，一种磁质学说是不会无法解释现象的，如果新的规律被自由地引用来说明各个实际事实的话。

这些新规律之一必须是，磁流体不能从磁体的一个分子或粒子转移到它的另一个分子或粒子，而磁化过程则只是每一粒子中两种流体在某种程度上互相分离，这就使得一种流体在粒子的一端更加集中，而另一种流体则在粒子的另一端更加集中。这就是泊松的学说。

按照这种学说，一种可磁化物体的一个粒子，和一个已绝缘的不带电荷的小导体相仿佛；按照二流体学说，这种导体含有无限而正好相等的两种电的数量。当有一个电动势作用在这个导体上时，它就造成两种电的分离，而使它们在导体的对面两侧显示出来。按照这种学说，磁化力将以相仿的方式使起初处于中和状态的两种磁质互相分开，并使它们出现在被磁化粒子的面对面的两侧。

在某些物质中，例如在软铁或其他那些不可能被永久磁化的磁性物质中，当施感力消失时，这种磁状态将像导体的起电那样随之而消失①。在另一些物质中，例如在硬钢中，这种磁状态不易发生，而一旦发生，它在施感力被取消时也还会存留下来。

这种情况是用下列说法来表达的：在后一事例中，存在一种“顽滞力” (Coercive Force)，它倾向于阻止磁化的改变，而要增强或减弱一个磁体的性能，必先克服这个顽滞力。在起电物体的事例中，这种顽滞力将对应于一种电阻，而这种电阻和在金属中观察到的电阻不同，它在低于某值的电动势下将和完全的绝缘相等价。

这种关于磁的学说，正如关于电的对应学说一样，显然对于事实来说是太宽松的，它需要用一些人为的条件来加以限制。因为它不仅没有给出任何理由来说明何以一个物体不会因为含有更多的两种流体而不同于另一物体，而且它还使我们能够说出含有过多的一种流体的一个物体将有什么样的性质。确实，关于这样的一个物体何以不能存在，倒是提出了一种理由的，但是这种理由只是作为一种事后的想法而被引用了来解释这一特定事实的。它并不是从这一学说中自动生长出来的。

381．]因此，我们必须寻求一种表达模式，它不会表达得太多，而且也将为由新事实发展而成的新想法的引用留下余地。我想，如果我们从认为一个磁体的粒子是“极化的”来开始，我们就将得到这样的表达模式。

“极化”一词的意义

如果一个物体的粒子具有一些和物体中某一直线或方向有关的性质， 而且当物体保持着这些性质而被转动，以使这一方向反向时，如果粒子的这些性质相对于其他物体也反向，则按照这些性质来说，粒子就叫做极化的，而这些性质就叫做构成一种特定的极化。

例如，我们可以说物体绕一条轴线的转动就构成一种极化。因

为，如果在转动继续进行中轴线方向被颠倒过来，则物体对空间来说将是向反方向转动的。

通有电流的一个导电粒子可以说是极化的，因为，如果把粒子倒过来， 而粒子中的电流则相对于粒子来说仍沿相同的方向在流动，则电流在空间中的方向将是反了向的。

简短地说，如果任何一个数学量或物理量具有在第 11 节中定义了的那种矢量的性质，则这种有向量所属于的任何一个物体或粒子就可以被说成是“极化的”①，因为在有向量的两个方向或两个极上，它是具有相反的性质的。

例如，地球的两极是和它的转动有关的，从而各极就具有不同的名称。

“磁极化”一词的意义

① {参阅第 56 页的脚注。}

382．]当把一个物体的各粒子的状态说成磁极化时，我们的意思就是， 一个磁体所能分成的那些最小部分中的每一个部分，都具有某些和通过粒子的一个确定方向有关的性质，该方向叫做粒子的“磁化轴”，而且，和这个轴的一端有关的那些性质，是与和另一端有关的那些性质相反的。

指定给粒子的那些性质，是和我们在整个磁体中观察到的那些性质同一种类的，而在假设各粒子具有这些性质时，我们所肯定的只是我们可以通过把磁体打成小块来证明的情况，因为我们发现其中每一小块都是一个磁体。

一个磁化粒子的性质

383．]设体积元 dxdydz 是磁体的一个粒子。让我们假设，粒子的性质就是一个磁体的性质，该磁体的正极强度是 m，而它的长度是 ds．于是， 设 P 是空间中的任意点，它离正极的距离是 r 而离负极的距离是 r'，则由

正极在P点引起的磁势将是

或者写成

m m

r ，而由负极在P点引起的磁势将是 − r ' ，

v = m (r'-r) (1)

rr '

如果二极之间的距离 ds 很小，我们就可以令r'-r=dscosc (2)

式中 c 是从磁体画到 P 点的矢量和磁体轴线之间的夹角①，或者，在这种极限下就有

mds

v = r 2

cos c

(3)

磁矩

384．]均匀纵向磁化的棒形磁体的长度和它的正极强度的乘积，叫做它的“磁矩”。

磁化强度

一个磁性粒子的磁化强度，就是它的磁矩和体积之比。我们将用 I 来代表它。

磁体任一点处的磁化，可以用磁化强度和磁化方向来定义。该方向可以用它的方向余弦λ、μ、ν来定义。

磁化分量

磁体一点处的磁化（作为一个矢量或有向量），可以用它相对于各座标轴的三个分量表示出来。把这些分量写成 A、B、C，就有

A=Iλ，B=Iμ，C=Iν，(4) 而 I 的数值就由方程

I2=A2＋B2＋C2(5)

来给出。

385．]如果我们所考虑的磁体部分是微分体积元 dxdydz，而 I 代表这一体积元的磁化强度，则它的磁矩是 Idxdydz。将方程(3)中的 mds 代成比式，并记得

rcosc=λ(ξ-x)+μ(η-y)+v（ζ-z），(6)

① {这一轴线的正方向是从负极指向正极的。}

式中ξ、η、ζ是从点(x，y，z)画起的矢量 r 的端点座标，我们就得到由点(x，y，z)上的磁化体积元在点(ξ、η、ζ)上引起的势

A(ξ − x) + B(η − y) + C(ζ − z)



1

r 3 dxdydz

(7)

为了求出由一个有限大小的磁体在点(ξ，η，ζ)上引起的势，我们必须对包含在磁体所占空间中的各个体积元求这个表示式的积分，或者说，

V = ∫∫∫ {A(ξ − x) + B(η − y) + C(ζ − z)}

分部积分，比式就变成

1

r 3 dxdydz．

(8)

1 1 1 1 dA dB dC

V = ∫∫ A r dydz + ∫∫ B r dzdx + ∫∫ C r dxdy − ∫∫∫ r

( dx

• dy + dz )dxdydz,

式中前三项的双重积分是在磁体的表面上求的，而第四项的三重积分则是在表面内的空间中求的。

如果 l、m、n 代表从面积元 ds。向外画的法线的方向余弦，我们就可以像在第 21 节中那样把前三项的和式写成

∫∫ (lA + mB + mC) 1 ds,

式中的积分遍及于磁体的整个表面。如果现在我们引用由方程组σ=lA+mB+nC，

ρ = −( dA + dB + dC)

dx dy dz

来定义的两个新符号σ和ρ，则势的表示式可以写成

V = ∫∫ σ dS + ∫∫∫ ρ dxdydz

r r

386．]这一表示式和由一个物体所引起的电势的表示式完全相同；在该物体的表面上，有一个面密度为σ的面电荷，而在它的整个体积中则有一个体密度为ρ的体电荷。因此，如果我们假设σ和ρ就是我们曾经称之为“磁质”的那种假想物质分布的面密度和体密度，由这一假想分布所引起的势就将和由磁体之每一体积元的实际磁化所引起的势完全相同。

面密度σ就是磁化强度 I 在面积的外向法线方向上的分量，而体密度ρ就是磁体中给定点上的磁化强度的“敛度”（参阅第 25 节）。

这种把一个磁体的作用表示成由一种“磁质”分布所引起的作用的方法，是很方便的，但是我们必须永远记得，这只是一种表示一组极化粒子之作用的人为方法。

关于一个磁体性粒子对另一磁性粒子的作用

387．]如果我们像在关于球谐函数的一章的第 129b 节中那样令

d d d d

dh = l dx + m dy + n dz , (1)

式中 l、m、n 是轴线 h 的方向余弦，则由原点上磁轴平行于 h1 而磁矩为 m1 的一个磁性分子所引的势应是

V₁ = −

d dh1

m1 = m1 λ , (2) r r 2 1

式中）λ1 是 h1 和 r 之间的夹角的余弦。

其次，如果在矢径 r 的端点上放上第二个磁性分子，其磁矩为 m2 而其磁轴平行于 h2，则由一个分子对另一个分子的作用而引起的势能将是

W = m dV1

² dh2

= m1m2 (μ

= − d 2

1 2

− 3λ λ ),

1

( r ),（3）

（4）

r 3 12 1 2

式中μ12 是二轴线所夹之角的余弦，而λ1、λ2 是各轴线和 r 所夹之角的余弦。

其次让我们确定第一个磁体倾向于使第二个磁体绕其中心而转动的那

一力偶的矩。

让我们假设，第二个磁体在垂直于某一第三个轴线 h3 的平面内转过了

dW

一个角度dΨ，则反抗磁力所作的功将是 dφ dφ，而作用在磁体上的各力

在这一平面上的力矩将是

− dW = - m1m 2 ( dμ12

- 3λ

dλ2 ) (5)

dφ r ³ dφ ¹ dφ

因此，作用在第二个磁体上的实际力矩可以看成两个力偶矩之和，其中一个力偶在在平行于二磁体之轴线的平面内起作用，并以一力偶矩

m1m2 sin(h h ) (6)

r 3 1 2

而倾向于使二轴线之间的夹角增大，而第二个力偶则在通过 r 和第二个磁体的轴线的平面内起作用，并倾向于使这些方向之间的夹角减小，其力偶矩是

3m1m2 cos(rh )sin(rh ), (7)

r 3 1 2

式中(rh )、(rh )、(h h )表示各线 r、h 、h 之间的夹角①。

为了确定沿着平行于一条线 h 的方向而作用在第二个磁体上的力，我们必须计算

① 如果θ1、θ2 是各磁体轴线和 r 之间的夹角，Ψ是分别包含第一个和第二个磁体的轴线及 r 的平面之间的夹角，则有 于是作用在第二个磁体上的力偶，就和两个力偶相等价，其中一个力偶的轴线是 r，而且倾向于使ψ，增大的力偶矩-dW/dψ是 另一个力偶位于 r 和第二个磁体之轴线的平面内，其倾向于使θ2 增大的方偶矩-dW/dθ2 是 这些力偶是和由(6)和(7)给出的力偶相等价的。}

= 3 m1m2 {λ μ + λ μ + λ μ − 5λ λ λ

}，根据第133节，(9)

r 4 1 23 2 31 3 12 1 2 3

= 3λ

m1m2 (μ

− 5λ λ

) + 3μ

m1m2 λ

+ 3μ

m1m 2 λ

(10)

3 r 4 12 1 2 13

r 4 2 23

r 4 1

如果我们假设实际的力是由三个分别沿 r、h1 和 h2 方向的力 R、H1 和H2 合成的，则沿 h3 方向的力是

λ3 R + μ13H 1 + μ 23 H 2 ．

(11)

既然 h3 的方向是任意的，我们就应该有

R = 3m1m2 (μ − 5λ λ , 

r 4 12 1 2 

H = 3 m1m2 λ , H



= 3m1m2 λ 

(12)

1 r 4 2 2

r ^{4 1} 

力 R 是一个倾向于使 r 增大的推斥力；H1 和 H2 分别沿着第一个和第二个磁体的轴线而作用在第二个磁体上。

这种关于两个小磁体之间的作用力的分析，是由泰特教授在 1860 年 1

月份的 QuarterlyMath.Journ.上利用四元数分析而最初给出的。并请参阅他关于四元数的著作第二版的第 442—443 节。

特殊位置

388．](1)如果λ1 和λ2 各等于 1，也就是说，如果两个磁体的轴线位于同一直线上而且方向相同，则μ12=1，

而二磁体之间的力是一个推斥力

x R + H + H = - 6m1m 2

(13)

1 2 r 4

负号表示它实际上是一个吸引力。

(2)如果λ1 和λ2 是零，而μ12 是 1，则二磁体的轴线互相平行而垂直于 r，而力则是一个推斥力

3m1m2 ． （14）

r 4

在这两种事例中，任何力偶都是不存在的。(3)如果λ1=1 而λ2=0 则μ12=0 (15)

作用在第二个磁体上的力将是 3m1m2 ，沿着它的轴线的方向；力矩

r 4

将是 2m1m2 ，并倾向于把它转得和第一个磁体相平行。这就和单独一个

r 4

力 3m1m2 相等价，该力沿着平行于第二个磁体轴线的方向而起作用，并

r 3

和 r 相交于从 m 算起的 2/3 的长度处①。

① {在事例(3)中，第一磁体叫做“正指”第二磁体，而第二磁体则为“侧向”第一磁体。我们很容易利用公式(6)和(7)证明，假如第一磁体是“侧向”第二磁体的，则作用在第二磁体上的力偶将是 m1m2/r3。因此， 当致偏磁体“正指”时，力偶将是当它为“侧向”时的二倍。高斯曾经证明，假如力定律是和极间距离的p 次方成反比的，则致偏磁体为“正指”时的力偶将是它为“侧向”时的 p 倍。通过比较这些情况下的力

图 1

例如，在图 1 中，两个磁体被浮在水面上，m2 位于 m1 的轴线方向上， 但是它自己的轴线却垂直于 m2 的轴线。如果把两个分别和 m1 及 m1 刚性连接着的点 A、B 用一个弹簧 T 连接起来，则体系将处于平衡，如果 T 和直线m1m2 在从 m1 到 m2 的 1/3 距离处垂直相交的话。

1. 如果我们让第二个磁体绕着它的中心而自由转动，直到它达到一个稳定平衡位置时为止，则 W 对 h2 而言将是一个极小值，从而由 m2 引起的沿h1 方向的分力将是一个极大值。因此，如果我们希望利用中心位置给定的一些磁体来在给定点上沿给定方向产生尽可能大的磁力，则为了确定这些磁体的轴线的适当方向来产生这一效应，我们只须把一个磁体沿着给定的方向而放在给定点上，并观察当第二个磁体的中心位于另一给定点上时它的轴线的稳定平衡方向。于是，各磁体就必须摆得使它们的轴线沿着第二个磁体的轴线所指示的那些方向了。

图 2

设第二个磁体位于一个对它的方向而言为稳定的平衡位置上，那么， 既然作用在它上面的力偶为零，第二个磁体的轴线就必然和第一个磁体的轴线位于同一平面上。由此就有

(h1h2)=(h1r)+(rh2)，(16) 而既然力偶是

m1m2 (sin(h h ) - 3cos(h r)sin(rh ),

r 3 1 2 1 2

(17)

则当此力偶为零时我们就有tan(h1r)=2tan(rh2)，(18)

或者写作

tanH1m2 R = 2tanRm^' H 2 ．（19）

当这一位置已经被第二个磁体所占据时，W 的值就变成

m dV1 ,

² dh 2

式中 h2 是由 m2 在 m2 处引起的力线的方向。由此即得

W = −m2

(20)

因此，第二个磁体将倾向于向着合力更大的地方运动。

作用在第二个磁体上的力，可以分解成力 R 和力 H1，在这一事例中， R 永远是指向第一磁体的一个吸引力；力 H1 是平行第一磁体的轴线的。我们有

R = 3

m1m 2

4λ²

, H1 = 3

m1m2 λ1

(21)

偶，我们可以比利用扭秤更精确地检证平方反比定律。}

在本卷后面所附的图版十四中，画出了二维空间中的力线和等势面。引起这些力线和等势面的磁体被假设为两个长的圆棒，其截面由图中的两个空白圆面积来代表；这些圆棒是沿着箭头的方向而横向磁化的。

如果我们记得沿着力线是有一种张力的，那就很容易看到，每一个磁体都将倾向于按顺时针的方向而转动。

作为一个整体，位于右方的那个磁体也将倾向于向纸面上方运动，而位于左方的那个磁体则将倾向于向纸面下方运动。

放在磁场中的一个磁体的势能

389．]设 V 是由对所考虑的那个磁体起着作用的任一磁体系引起的磁势。我们将把 V 叫做外磁力的势。如果有一个强度为 m 而长度为 ds 的小磁体被摆得正极位于势为 V 的一点而负极位于势为 V'的一点，则这个磁体的势能将是 m(V-V')，或者，如果 ds 是从负极向正极测量的，则势能是

m dV ds (1)

ds

如果 I 是极化强度，而λ、μ、ν是它的方向余弦，我们就可以写出mds=Idxdydz，

dV dV dV dV

和 ds

= λ dx + μ dy + v dz ,

最后，如果 A、B、C 是极化分量，就有A=λI，B=μI，C=vI，

于是磁体元的势能表示式(1)就变成

dV dV dV

(A dx + B dy + C dz )dxdydz

(2)

为了求出一个有限大小的磁体的势能，我们必须针对每一个磁体元求这一表示式的积分。于是我们就得到

dV W = ∫∫∫ (A dx

• B dV

dy

• C dV)dxdydz dz

(3)

这就是磁体相对于它所在的磁场而言的势能的值。

在这儿，势能是用磁化分量和由外因引起的磁力的分量表示出来的。通过分部积分，我们可以用磁质的分布和磁势来表示它，于是就有

dA dB dC

W = ∫∫ (Al + Bm + Cn)VdS − ∫∫∫ V( dx + dy + dz )dxdydz, (4)

式中 l、m、n 是面积元 dS 上的法线的方向余弦。如果我们把在第 365 节中给出的磁质的面密度和体密度的表示式代入这一方程中，则势能表示式变为

W = ∫∫ VσdS + ∫∫∫ Vρdxdydz (5)

我们可以把(3)式写成

W = -∫∫∫ (Aα + Bβ + Cγ)dxdydz, (6)

式中α、β和γ是外磁力的分量。

论一个磁体的磁矩和轴线

390．〕如果外磁场在磁体所占据的空间中到处都在方向和大小上是均匀的，则各分量α、β、γ将是常量，而如果我们写出

∫∫∫ Adxdydz = lK，∫∫∫ Bdxdydz = mK，∫∫∫ Cdxdydz = nK，(7)

式中的积分遍及磁体的全部物质，则 W 的值可以写成W=-K(lα+mβ+nγ)。 (8)

在这一表示式中，l、m、n 是磁体轴线的方向余弦，而 K 是磁体的磁矩。如果■是磁体轴线和磁力■的方向所夹的角，则 W 的值可以写成

W=-K■cosc。(9)

如果磁体是悬挂着并可以绕着一条竖直轴线而转动的，就如在一个普通指南针的事例中那样，那就可以用φ来表示磁体轴线的方位角，而用θ 来表示轴线对水平面的倾角。设地磁力的方向有一个方位角δ和一个倾角ξ，则有

α=■cosζcosδ，β=■cosζsinδ，γ=■sinζ(10) l=cosθcosφ，m=cosθsinφ，n＝sinθ；(11)

由此即得 W=-K■{cosζcosθcos(φ-δ)+sinζsinθ}。(12) 倾向于使磁体绕竖直轴线转动而增大其φ角的力矩是

dW

- dφ

= -K■cosζcosθsin(φ - δ)。

磁体的势的体谐函数展式

(13)

1. 〕设 V 是由位于点(ξ，η，ζ)上的一个单位磁极所引起的势。在点(x，y，z)上，V 的值是

V = {（ξ - x） ² - （η - y）² + （ζ - z）² } - 1

2

(1)

这一表示式可以按中心位于座标原点上的球谐函数展开。于是找们就

有

V=V0+V1+V2+⋯。(2)

式中V

= 1 ，r是从原点到点（ξ，η，ζ）的距离。

r

ξx + ηy + ζz

(3)

V1 = r 3 ,

(4)

V2 =

3(ξx + ηy + zζ) ² − (x² + y ² + z ² )(ξ² + η² + ζ² ) 2r ⁵

, (5)

为了确定当磁体位于用这个势来表示的力场中时的势能值，我们必须

在第 389 节方程(3)的 W 表示式中对 x，y，z 求积分而把ξ，η，ζ和 r 看成常量。

如果我们只考虑由 V0、V1 和 V2 所引入的各项，则结果将依赖于下列这些体积分，

lK = ∫∫∫ Adxdydz，mK = ∫∫∫ Bdxdydz，nK＝∫∫∫ Cdxdydz；(6)

L = ∫∫∫ Axdxdydz，M = ∫∫∫ Bydxdydz，N = ∫∫∫ Czdxdydz；(7) P = ∫∫∫ （Bz

• Cy）dxdydz，Q = ∫∫∫ （Cx + Az）dxdydz，

R = ∫∫∫ （Ay + Bx）dxdydz (8)

于是我们就得到一个磁体受到位于点(ξ，η，ζ)上的单位磁极的作用时的势能的值

W = K

lξ + mη + nζ r3

+ ξ ²（2L - M - N） + η ²（2M - N - L）

+ ζ ²（2N - L - M） + 3（Pηζ + Qζξ + Rζn） + (9)

这一表示式也可以看成一个单位磁极受到一个磁体的作用时的势能， 或者简单地看成磁体在点(ξ，η，ζ)上引起的势。

一个磁体的中心及其主轴线和副轴线

1. 〕这一表示式可以通过改变座标轴的方向和座标原点的位置来加以简化。首先，我们将使 x 轴的方向平

行于磁体的轴线。这就等于令l=1，m=0，n=0。(10)

如果我们保持各轴的方向不变而把座标原点移到点(x'，y'，z')上， 则各体积分 lK、mK 和 nK 将保持不变，而其他的积分则将变化如下：

L'=L-lKx'，M'=M-mKy'，N'=N-nKz'；(11)

P'=P-K(mz'+ny')，Q'=Q-K(nx'+lz')，R'=R-K(ly'+mx')。(12)

现在，如果我们令 x 轴平行于磁体轴线，并令

x' = 2L − M − N ，y'= R ，z'= Q ， (13)

2K K K

则对于新座标轴来说，M和N的值都保持不变在而L' 的值则变成

1 (M + N)。P保持不变，而Q和R则变为零。因此我们就可以把势写成

2

 ξ

k r 3

3 ( η² − ζ ² )(M − N) + 3Pηζ

+ 2 + (14)

r 5

于是我们就找到了一个相对于磁体为固定的点，而当取这个点作为座

标原点时，势函数的第二项将取最简单的形式。因此我们就把这个点定义为磁体的中心，而通过中心沿着以前称之为磁体轴线的那个方向画出的轴，则可以定义为磁体的主轴。

通过使 y 轴和 z 轴绕着 x 轴而转过一个角度，该角度等于其正切为

P

M − N

的那个角度的二分之一，我们就可以进一步简化结果。这将使P变

为零，而势函数的最后形式就可以写成

ξ 3 ( η² - ζ² )(M - N)

k r ³ + 2 r ⁵

+ (15)

这就是一个磁体的势函数中头两项的最简单形式。当 y 轴和 z 轴取这种位置时，它们就可以叫做磁体的副轴。

我们也可以通过找到座标原点的一个位置来确定磁体的中心，对于那个位置来说，在一个单位半径的球面上求出的势函数第二项的平方的面积分是一个极小值。

按照第 141 节，必须取极小值的那个量就是4(L2+M2+N2-MN-NL-LM)+3(P2+Q2+R2)。(16)

由于原点位置的改变而引起的这个量的值的改变，可以由方程(11)和(12)推出。因此极小值的条件就是

2l(2L − M − N) + 3nQ + 3mR = 0

2m(2M − N − L) + 3lR + 3nP = 0 

2n(2N − L − M) + 3mP + 3tQ = 0

(17)

如果我们令 l=1，m=0，n=0，这些条件就变成2L-M-N=0，Q=0，R=0，(18)

这就是在前面的探讨中利用了的条件。

这种探讨可以和把由一个有重物质体系引起的势展开的那种探讨相对比。在后一事例中，最适宜取作原点的一点就是体系的重心，而最方便的座标轴就是通过该点的几个惯量主轴。在磁体的事例中，和重心相对应的一点位于磁轴上的无限远处，而我们称之为磁体中心的那个点是和重心性质不同的一个点。量 L、M、N 对应于一个物质体的惯量矩，而 P、Q、R 则对应于惯量积，只不过 L、M 和 N 不一定是正量。

当把磁体的中心取作原点时，第二阶球谐函数具有瓣谐形式，其轴线和磁体轴线相重合，而这一情况对于任何其他的点都是不成立的。

当磁体在这一轴线的所有各侧都为对称时，例如在一个旋成图形的事例中，包括二阶谐函数的那一项就根本不出现。

1. 〕在地球表面的所有各部分，除了两极附近的某些部分以外，一个磁体的一端总是指向北方，或者说至少是指向偏北的方向的，而其另一端则总是指向偏南的方向的。在谈到磁体的各端时，我们将采用流行的办法，即指北的一端叫做磁体的北端，而把指南的一端叫做它的南端。然而， 当我们用磁质学说的语言来叙述问题时，我们将利用“玄武”(Boreal)和“朱雀”(Austral)二词。玄磁性是一种假想的物质，被假设为在地球的北半部最为丰富；而朱磁性则是在地球的南半部更丰富的那种假想磁质。一个磁体的北端的磁性是朱磁性，而其南端的磁性是玄磁性。因此，当我们谈到一个磁体的北端和南端时，我们并不是把那个磁体和看成一个大磁体的地球相比拟，而只是表达当磁体可以自由活动时它所力图采取的位置而已。另一方面，当我们想要比较假想的磁流体在磁体中和在地球中的分布时，我们就将利用“玄磁性”和“朱磁性”这些更加夸饰的名词。

2. 〕在谈到一个磁力场时，我们将用“磁北方”一词来表示当一个磁针被放在力场中时它的北端所指的方向。

在谈到磁力线时，我们将永远假设它是从磁南方画向磁北方的，而且我们将把这一方向称为正方向。同样，一个磁体的磁化方向，用从磁体的南端画向北端的一条线来表示，而磁体指北的一端被算作正端。

我们将把朱磁性即磁体指北的一端上的磁性叫做正磁性。如果我们用m 来代表它的数值，则磁势是

V = ∑

m

( r ),

而磁力的正方向就是 V 减小的方向。

第二章磁力和磁感

1. 〕我们已经确定了由一个磁体在一个给定点上引起的磁势（第

385 节），该磁体的磁化在它的物质的每一点上都是已给定的。我们已经指明，数学结果可以用磁体中每一个体积元的实际磁化表示出来，或是用一种假想的“磁质”分布表示出来；那种磁质的一部分集中在磁体的表面上，而其另一部分则散布在它的整个体积中。

这样定义的磁势，不论所给之点是在磁体之外或之内，都是用相同的数学过程来求出的。作用在位于磁体之外任一点上的一个单位磁极上的力，像在对应的电学问题中一样用相同的微分过程来从势函数求出。如果这个力的分量是α、β、γ，则有

dV dV dV

α = − dx ，β = - dy ，γ = - dz (1)

为了用实验来测定磁体内部一点上的磁力，我们首先必须把一部分磁化了的物质弄走，以形成一个空腔，而在这个空腔中我们将放进〔测量用的〕磁极。一般说来，作用在磁极上的力将依赖于这一空腔的形状，并依赖于各个腔壁和磁化方向所成的角。因此，在谈到磁体内部的磁力时，为了避免混淆，就有必要指定测量磁力时所在的空腔的形状和位置。很明显， 当空腔的形状和位置已经指定时，空腔中放上磁极的那个点就必须被认为不再是位于磁体物质之内的，从而测定力的普通方法也就立刻成为可用的了。

1. 〕现在让我们考虑一个磁体的一部分，假设在磁体内部磁化的方向和强度都是均匀的。在磁体的这一部分中，设有一个柱状空腔被挖出， 空腔的轴线平行于磁化的方向。另外，设有一个单位强度的磁极被放在了轴线的中点上。既然这一柱体的母线是沿着磁化方向的，在弯曲的柱面上就不会有磁质的表面分布，而既然柱体的圆形端面是垂直于磁化方向的， 那里就会有一种均匀的表面分布，其面密度在负端为 I 而在正端为-I。

设柱体轴线的长度为 2b，而柱体的半径为 a，于是由表面分布引起的作用在位于轴线中点上的一个磁极上的力，就是来自正端圆盘的吸引力和来自负端圆盘的推斥力。这两个力是相等而同向的，而其合力就是

b

R = 4πI(1 - ) (2)

由这一表示式可以看出，力并不依赖于空腔的绝对尺寸而是依赖于柱体的长度和直径之比。因此，不论我们把空腔弄得多小，由腔壁上的表面分布所引起的力一般都将保持为有限。

1. 〕迄今为止，我们一直假设在挖出空腔的那一磁体部分中磁化是均匀的和到处方向相同的。当磁化并不是如此限定时，一般说来就有假想磁质的一种分布存在于整个磁体的物质中。柱体的挖除将带走这种分布的一个部分。但是，既然相似图形中各对应点上的力正比于图形的线度，由磁质体密度而来的作用在磁极上的力的改变量〔即由挖出空腔而造成的改变量〕，就将随着空腔尺寸的减小而无限地减小，而由腔壁上的面密度引起的效应则一般将会保持有限。

因此，如果我们假设柱体的尺寸足够小，以致被挖走的部分的磁化可以看成到处都平行于柱体轴线并具有常值大小 I，则作用在位于柱状空腔的轴线中点上的一个磁极上的力将由两个力合成。其中第一个力就是由磁体外表面上的磁质分布以及除所挖空腔以外整个磁体内部的磁质分布所引起的力。这个力的分量，就是按照方程(1)而由势函数导出的α、β和γ。第二个力就是沿着柱体的轴线而作用的力 R，其方向是磁化的方向。这个力的值依赖于柱状空腔的长度和直径之比。

1. 〕事例Ⅰ．设这一比值很大，或者说，设柱体的的直径比它的

a

的表示式按 b 的幂次展开，我们就有

1 a ²

R = 4πI2 b2

3 a ⁴ 

− 8 b4 + ,

(3)

这是当令 b 和 a 之比趋于无限大时就会变为零的一个量。因此，当空腔是轴线平行于磁化方向的一个很细的柱体时，空腔中的磁力就不会受到柱体两端的表面分布的影响，从而这个力的分量就简单地是α、β、γ而此处

dV dV dV

α = - dx ，β = - dy ，γ = - dz , (4)

我们将把这种形状的空腔中的力定义为磁体内部的磁力。威廉·汤姆孙爵士曾把这种定义称为磁力的“极定义”(Polardefini-tion)。当我们有机会把这个力看成一个矢量时，我们将用■来代表它。

1. 〕事例Ⅱ．设柱体的长度比它的直径小得多，以致柱体变成一

b

的表示式按 a 的幂次展开，它就变成

 b 1 b³ 

R = 4πI1 − a + 2 a 3 − 

(5)

当把 a 和 b 的比值取为无限大时，这个表示式的最终值就是 4πI。

因此，当空腔的形状是其平面垂直于磁化方向的一个薄圆盘时，放在轴线中点上的一个单位磁极就受到起源于盘子的圆形表面上的表面磁性的一个沿磁化方向的力 4πI①。

既然 I 的分量是 A、B 和 C，这个力的分量就是 4πA、4πB 和 4πC。这个力必须和分量为α、β、γ的那个力合成在一起。

1. 〕设用矢量■代表作用在单位磁极上的实际力，用 a、b 和 c 代表它的分量，则有

a = α + 4πA,

b = β + 4πB, c = y + 4πC, 

(6)

① 关于其他形状的空腔中的力。1．任意窄缝——起源于表面磁化的力是 4πIcos，并着裂缝平面的法线方向∈此处∈是该法线和磁化方向之间的夹角。当裂缝平行于磁化方向时，力就是磁力■；当裂缝垂直于磁化方向时，力就是磁感■。2．在其轴线和磁化方向成一角度∈的一个无限拉长的柱体中，由表面磁性引起的力是 2πIsin∈，并在包含轴线和磁化方向的平面内垂直于轴线。 向。

我们将把其平面垂直于磁化方向的一个中空圆盘中的力定义为磁体中的“磁感”。威廉·汤姆孙爵士曾把这一定义叫做磁力的“电磁定义”。

磁化ℑ、磁力■和磁感■这三个矢量，是用矢量方程

■ = ■ + 4π■

来互相联系的。 磁力的线积分

(7)

1. 〕既然在第398 节中定义的磁力是由磁体的表面上的和整个体积中的自由磁质引起的，而且是不受空腔之表面磁质的影响的，它就可以由磁体之势的普遍表示式直接推得，而从点 A 到点 B 沿任意曲线计算的磁力的线积分就是

B dx dy dz

A (a ds + β ds + γ ds)ds = VA - VB , (8)

式中 VA 和 VB 分别代表 A 点和 B 点的势。

磁感的面积分

1. 〕通过曲面 S 的磁感〔通量〕，定义为下列积分的值：

Q = ∫∫ ■ coscdS, (9)

式中■代表面积元 dS 上的磁感的量值，c 代表磁感方向和面积元法线之间的夹角，而积分应遍及整个的曲面，该曲面可以是闭合的，也可以是以一条闭合曲线为其边界的。

如果 a、b、c 代表磁感的分量，而 l、m、n 代表法线的方向余弦，则面积分可以写成

Q = ∫∫ （la + mb + nc）dS (10)

如果把磁感的各个分量代换成第 400 节中给出的用磁力分量和磁化分量表示出来的那些值，我们就得到

Q = ∫∫ (la + mβ + nγ)dS + 4π∫∫ (lA + mB + nC)dS

(11)

现在我们将假设求积分时所在的曲面是一个闭合曲面，并考察等式右端两项的值。

既然磁力和自由磁质之间的关系与电力和自由电荷之间的关系具有相同的数学形式，我们就可以把在第 77 节中给出的结果应用于 Q 值中的第一项。为此，我们用磁力分量α、β、γ来代替在第 77 节中给出的电力分量X、Y、Z，并用闭合曲面中自由磁质的代数和 M 来代替自由电荷的代数和 e。

于是我们就得到一个方程

∫∫ （lα + mβ + nγ）dS = 4πM (12)

既然每一个磁粒子都有两个数值相等而符号相反的极，粒子的磁质的代数和就是零。因此，完全位于闭合曲面 S 之内的那些粒子就不会对 S 内的磁质代数和有任何贡献。因此 M 的值就只依赖于被曲面 S 所交截的那些磁粒子。

试考虑磁体的一个体积元，设其长度为 s，截面积为 k2，并沿着它的长度而被磁化，使得它的磁极强度为 m。这一体积元的磁矩将是 ms，而既然磁化强度 I 等于磁矩和体积之比，我们就有

m I = k 2

(13)

设这个小磁体被曲面 S 所交截，而其磁化方向和曲面之外向法线的夹角为，则有

k² = dScosc' (14)

此处 dS 代表交截面积。这一磁体的负极-m 位于曲面 S 内部。因此，如果我们用 dM 来代表这一小磁体对 S 内部自由磁质的那一部分贡献，就有

dM=-m=-Ik2，

=-Icosc’dS。(15)

为了求出闭合曲面 S 内部自由磁质的代数和 M，我们必须在该闭合曲面上求这一表示式的积分，于是就有

M = -∫∫ Icosc 'dS，

或者，用 A、B、C 代表磁化分量，用 l、m、n 代表外向法线的方向余弦， 就得到

M = -∫∫ （lA + mB + nC）dS (16)

这就给出了方程(11)右端第二项中的积分的值。因此，该方程中的 Q 的值就可以由方程(12)和(16)求出，

Q=4πM-4πM=0，(17)

或者说，通过任一闭合曲面的磁感的面积分都是零。 403．〕如果把微分体积元 dxdydz 的表面取成所涉及的闭合曲面，我

们就得到一个方程

da db dc

dx + dy + dz = 0 (18)

这就是磁感分量永远满足的管状条件。

既然磁感的分布是管状的，通过以一条闭合曲线为边的任意曲面的磁感就只依赖于曲线的形状和位置，而不依赖于曲面本身的形状和位置。

404．〕每一点都满足条件la+mb+nc=0(19)

的曲面，叫做无磁感面，而两个这种曲面的交线叫做无磁感曲线。因此， 一条曲线 s 可以是无磁感曲线的条件就是

1 dx = 1 dy = 1 = dz

(20)

a ds b ds c ds

通过一条闭合曲线上每一点的一族磁感线，形成一个管状的曲面，叫做一个“磁感管”。

通过一个管子的任一截面的磁感都是相同的。如果磁感为 1，则此管叫做“单位磁感管”。

如果按照磁感线和磁感管来理解，则法拉第①关于磁力线和磁力管的一切议论都是数学地正确的。

磁力和磁感在磁体外面是等同的，但是在磁体物质的内部，他们却必须仔细地加以区分。

在一个均匀磁化的直棒磁体中，由磁体本身引起的磁力在磁体内部和外面的空间中都是从我们称之为正极的指北极到负极即指南极的。

另一方面，磁感却在磁体外面从正极到负极，而在磁体内部从负极到

① Exp.Res.seriesxxviii.

正极，从而磁感线和磁感管都是一些回头的或循环的图形。磁感作为一个物理量的重要性，我们当学到电磁现象时就会更清楚地看出。当磁场是用一条运动导线来加以探测，就如在法拉第的 Exp．Res．3076 中那样时，直接被测的就是磁感而不是磁力。

磁感的矢势

405．〕既然正如我们已经在第 403 节中指明了的那样，通过以一条闭合曲线为边的曲面的磁感是依赖于该闭合曲线而不依赖于闭合曲线所限定的曲面的，那就必然能够利用一种只依赖于该曲线而不涉及形成曲线之罩膜的一个曲面之画法的过程，来确定通过闭合曲线的磁感。

这一点可以通过求出和磁感■相联系着的一个矢量■来达成，这时■ 沿闭合曲线的线积分应该等于■在以闭合曲线为边的一个曲面上的面积分。

如果在第 24 节中把 F、G、H 看成■的分量而把 a、b、c 看成■的分量， 我们就得到这些分量之间的关系式

dh dG a = dy - dz

, b =

dF dz -

dH dG dx , c = dx

dF

- dy

(21)

其分量为 F、G、H 的矢量■，叫做磁感的矢势。

如果有一个磁矩为 m 而其磁化轴线的方向为(λ，μ，ν)的磁分子位于座标原点上，则由第 387 节可知，距原点为 r 的一个点(x，y，z)上的势是

• m(λ d

+ μ d + d 1

dx dy v z ) r ;

d 2 d2

d ² 1

∴c = m(λ dxdz + μ dydz + v dz2 ) r ,

利用拉普拉斯方程，此式可以写成

d d d 1 d d d 1

m dx (λ dz − v

)

dx r

• m dy (v dy − μ

)

dz r

a、b 各量也可以按同样方式来处理。由此即得

d d 1

F = m( v dy − μ ) ,

dz r

= m(μz−)

r 3

利用对称性，由此式也可求出 G 和 H。于是我们就看到，由一个位于原点上的磁化粒子在一个给定点上引起的矢势，在数值上等于粒子的磁矩除以矢径的平方并乘以磁化轴线和矢径之夹角的正弦，而矢势的方向则垂直于磁化轴线和矢径的平面，而且对于一个沿磁化轴线的正方向看过去的眼睛来说，矢径是沿着顺时针的方向画出的。

由此可见，对于任意形状的磁体来说，若在点(x，y，z)处的磁化分量是 A、B、C，则点(ξ，η，ζ)上的矢势分量是

F = ∫∫∫ ( B dp − C dp)dxdydz, 

dz dy 

G = ∫∫∫ (C dp − A dp )dxdydz, 

(22)

dx dz 

H = ∫∫∫ (A dp − C dp)dxdydz,

dy dx 

式中为了方便，用 p 代表了点(ξ，η，ζ)和点(x，y，z)之间的距离的倒数，而积分则遍及于磁体所占的空间。

406．〕第 385 节中磁力的标势或普通的势，当用同样的符号表示出来时就是

dp dp dp

V = ∫∫∫ (A dx + B dy + C dz )dxdydz

(23)

dp dp

记得dx = − dξ 并记得积分

d ² p d² p d ²p

∫∫∫ A( dx 2 + dy2 + dz 2 )dxdxdydz

当点(ξ，η，ζ)位于积分域内时的值是-4π(A)，而当它不位于积分域内时的值是零，此处(A)是 A 在点(ξ，η，ζ)上的值，我们就得到磁感之 x 分量的表示式如下：

dH dG

a = dη - dζ

 d ²p d² p d ²p d ²p 

= ∫∫∫ A( dydη + dzdζ ) - B dxdη − C dxdζ dxdydz

 

d  dp dp dp

= - dξ ∫∫∫ A dx + B dy + C dz dxdydz

 

d ²p d ²p d ²p

− ∫∫∫ A( dx2

• dy²

• dz2 )dxdydz

dV

(24)

比式的第一项，显然就是- dξ ，或者说是磁力的分量α。

第二项中的被积分式对每一体积元都为零，只有包含点(ξ，η，ζ) 的体积元例外。如果 A 在点(ξ，η，ζ)上的值是(A)，则很容易证明第二项的值是 4π(A)，此处(A)在磁体外面的所有各点上显然都是零

现在我们可以把磁感的 x 分量写成α=α+4π(A)，(25)

这是和第 400 节中给出的那些方程的第一个方程相等同的一个方程。关于b 和 c 的方程也将和第 400 节中的方程相一致。我们已经看到，磁力■是通过哈密顿算符 的应用而从标量磁势 V 推出的，从而我们可以像在第 17 节中一样地写出

• = −∇V, (26)

而且这个方程是在磁体之外或之内都成立的。

由现在的考察可以看出，磁感■是通过同一算符的应用而从矢势■导

出的，而且结果是在磁体之内和之外都能成立的。

这一算符对一个矢量函数的应用，通常将给出一个标量和一个矢量。然而，我们曾称之为矢量函数之敛度的那个标量部分，当矢量函数满足管状条件

dF dG dH

dξ + dη + dζ

= 0 (27)

时将等于零。通过求方程组(22)中 F、G、H 的表示式的导数，我们发现各该量是满足这一条件的。

因此我们可以写出磁感和它的矢势之间的关系式

■= ■,

这可以用文字表示出来，即磁感等于矢势的旋度。参阅第 25 节。

第三章

磁管和磁壳

论特殊形式的磁体

407．〕如果形如导线的一种磁性物质的细长丝到处沿纵向而被磁化， 则细丝的任一截面和该截面上平均磁化强度的乘积，叫做磁体在该截面上的强度。如果细丝在截面处被切成两段而不改变其磁化，则两个表面在分开以后将被发现具有相等而异号的表面磁量，其中每一磁量都在数值上等于磁体在该截面处的强度。

一条磁性物质细丝，如果磁化得在每一截面上都具有相同强度而不论截面取在沿轴线的何处，就叫做一条“磁管”。如果 m 是磁管的强度，ds 是它的一个长度元，而 s 是从磁体的负极向正极测量的，设 r 是这一长度元到一个给定点的距离，而 c 是 r 和长度元的磁化轴线之间的夹角，则由这一长度元在所给点上引起的势是

mdscos c = − mdr ds

r ² r ²ds

把这一表示式对 s 求积分，以照顾到磁管的所有各长度元，就得到磁管的势函数

1 1

V = m(

1

− r 2 )，

式中 r1 是磁管的正极到测量磁势所在之点的距离，而 r2 是磁管的负极到该点的距离。

因此，由一条磁管引起的势，从而还有它的一切磁效应，都只依赖于

磁管的强度及其两个端点的位置，而完全不依赖于它在二点之间的形状， 不依赖于它是直的还是弯的。

因此，一条磁管的两个端点，就可以在一种直接的意义下被称为它的两个极。

如果磁管形成一条闭合的曲线，则由它引起的势在每一点上都为零， 因此这样一条磁管不能产生任何的磁作用，而且，不在某一点上把它切断并将断点分开，它的磁化也就不可能被发现。如果一个磁体可以划分为若干磁管，而且各磁管不是形成闭合曲线就是在磁体的外表面上有其端点， 则磁体的磁化叫做管状的，而且，既然磁体的作用完全取决于各磁管端点的作用，假想磁质的分布就将是完全的面分布。

因此，磁化为管状的条件就是

dA + dB + dC = 0,

dx dy dz

式中 A、B、C 是磁体任一点上的磁化分量。408．〕一条纵向磁化的、其强度沿长度而变化的细丝，可以设想为由

一束不同长度的磁管构成，所有通过一个给定截面的磁管的强度之和，就是细丝在该截面上的磁性强度。因此，任何一条纵向磁化的丝，可以叫做

① 见 SirW.Thnomson's‘MathematicalTheoryofMagnetism,’Phil.Trans.,June1849 和 June1850,或ReprintofPapersonElectrostaticsandMagnetism,p.340.

一条“复杂磁管”。

如果一条复杂磁管在任一截面上的强度是 m，则由它的作用而引起的

势

m dr

V = −∫ r 2 ds ds

式中m为变量

= m1 − m2 − ∫ 1 dm ds

r1 r2 r ds

这就表明，除了在这一事例中强度可以不相等的二端点的作用以外， 还存在一种由假想磁质沿丝长的分布所引起的作用，而这种分布的线密度是

λ = − dm

ds

磁壳

409．〕如果磁性物质的一个薄壳是沿着到处和表面相垂直的方向而被磁化的，则任一点上的磁化强度乘以

该点的薄壳厚度，就叫做磁壳在该点的“强度”。

如果一个磁壳的强度到处相同，它就叫做一个“简单磁壳”；如果强度逐点变化，磁壳就可以被设想为由若干个简单磁壳叠加在一起而构成。因此它就叫做一个“复杂磁壳”。

设 dS 是磁壳上一点 Q 处的一个面积元，而Φ是磁壳强度，则由这一磁壳元在任意点 P 处引起的势是

dV = Φ 1 dScosc, r 2

式中 c 是矢量 QP 或 r 和磁壳正表面上的外向法线之间的夹角。但是，如果 dω是 dS 在 P 点所张的立体角， r2dω=dScosc，

则有 dV＝Φdω，

从而在简单磁壳的事例中就有V＝Φω，

或者说，由一个磁壳在任一点上引起的势，等于它的强度和它的边界在所给点所张立体角的乘积①。

410．] 同样的结果可以用另一种办法求得，那就是假设磁壳被放在任何一个磁力场中，并确定由于磁壳的放入而引起的势能。

如果 V 是面积元 dS 处的势，则由这一面积元引起的能量是

φ(l dV + m dV + n dV)ds,

dx dy dz

或者说，能量就是磁壳强度乘以由磁壳元 dS 引起的 dV/dv 的那一部分面积分。

因此，按所有这样的磁壳元求积分，由磁壳在场中的位置而引起的能量，就是磁壳强度和磁感在磁壳面积上的积分的乘积。既然这一面积分对任何两个具有相同的边界线而在二者之间并不包含任何力心的曲面来说是相同的，磁壳的作用就只依赖于它的边界线。

① 这一定理归功于高斯，GeneralTheoryofTerrestrialMagnetism,§38 ．

现在假设力场是由强度为 m 的一个磁极引起的。我们已经看到(第 76 节的引理），在边界线给定的一个曲面上求的面积分，等于磁极强度和边界线在磁极那儿所张立体角的乘积。因此，由磁极和磁壳的相互作用而引起的能量就是

φm(

而由格林定理可知，这个量就等于磁极强度和磁壳在磁极那儿引起的势的乘积。因此磁壳引起的势就是Φω

411．]如果一个磁极 m 从一个磁壳的负侧的任一点开始，并沿着空间中的一条任意路径绕过边界线而运动到磁壳正侧和起始点很靠近的一点， 则立体角将连续变化，并在过程中增大 4π。磁极所作的功将是 4πΦm， 从而磁壳正侧任一点上的势，将比负侧一个邻近点上的势大 4πΦ。

如果一个磁壳形成一个闭合曲面，则磁壳外面的势到处为零，而磁壳内部空间中的势则到处是 4πΦ；它是正的，若磁壳的正面是朝里的。因此，这样一个磁壳就对放在壳外或壳内的任何磁体都不作用任何力。

412．]如果一个磁体可以划分为一些简单磁壳，而各该磁壳不是闭合的就是其边界线位于磁体的表面上，则磁性的分布叫做“层状”分布。如果φ是一个点当从一个给定位置沿着磁体内部的一条路线而运动到一个点(x，y，z)时所穿过的所有各磁壳的强度之和，则层状磁化的条件是

dφ dφ dφ

A = dx , B = dy , C = dz ,

这样地完全确定着任一点上的磁化的这个量φ，可以叫做“磁化势”。它必须被认真地和“磁势”区分开来。

413．]一个可以分成复杂磁壳的磁体，叫做具有磁性的一种复杂层状分布。这样一种分布的条件是，磁化线的分布必须使得有可能画出一组和他们正交的曲面。这一条件由众所周知的方程

dC dB

dA dC

dB dA

A( dy − dz ) + B( dz

来表示。

• dx ) + C( dx − dy ) = 0

管状和层状磁体的势函数形式

414．]一个磁体的标势的普遍表示式是

dp dp dp

V = ∫∫∫ (A dx + B dy + C dz )dxdydz,

式中 p 代表由位于(ξ，η，ζ)处的一个单位磁极在点(x，y，z)上引起的势，或者换句话说，它代表从测量磁势之点(ξ，η，ζ)到引起磁势的磁体元所在之点(x，y，z)的距离的倒数。

这个量可以分部求积分，正如在第 96、386 节中那样

dA dB dC

V = ∫∫ p(al + Bm + Cn)dS − ∫∫∫ p( dx + dy + dz )dxdydz,

式中 l、m、n 代表磁体表面的一个面积元 dS 上的外向法线的方向余弦。当磁体是管状的时，第二项中的被积函数在磁体内部的每一点上都为

零，从而三重积分为零，从而在磁体之内或之外的任一点上，磁势都由第一项中的面积分来给出。

因此，当磁体表面的每一点上的磁化法向分量为已知时，一个管状磁

体的标势就是完全确定的，而且它是和磁体内部的磁管形状无关的。415．]在一个层状磁体的事例中，磁化由磁化势φ来确定，即有

dφ dφ dφ

A = dx , B = dy , C = dz

因此 V 的表示式就可以写成

dφ dp dφ dp dφ dp

V = ∫∫∫ ( dx dx + dy dy + dz dz )dxdydz

把这一表示式分部求积分，就得到

dp dp dp

d ²p

d ²p

d ²p

V = ∫∫ φ(l dx + m dy + n dz )dS − ∫∫∫ φ( dx2

+ dy²

+ dz2 )dxdydz

第二项为零，除非点(ξ，η，ζ)被包含在磁体内部；在那种事例中， 该项变为 4π(φ)，此处(φ)是φ在点(ξ，η，ζ)上的值。面积分可以用从(x，y，z)到(ξ，η，ζ)的直线γ以及该直线和 dS 上的外向法线之间的夹角θ表示出来，于是势函数就可以写成

V = ∫∫ r 2

φ cos θdS + 4π(φ)

式中的第二项，当点(ξ，η，ζ)并不位于磁体物质内时当然等于零。由这一方程来表示的势 V，甚至在φ突然变为零的磁体表面上也是连续的。因为，如果我们写出

Ω = 1 φ cosθdS, r

而且Ω1 是Ω在刚刚位于表面内部的一个点上的值，而Ω2 是它在刚刚位于表面外面并和前面那个点很靠近的一个点上的值，就有

Ω2＝Ω1＋4π(φ)，

或者说 V2＝V1．

因此Ω这个量在磁体的表面上是连续的。磁感分量和Ω的联系由方程组

dΩ dΩ dΩ

a = − dx , b = − dy , c = − dz

来表示。

416．]在层状磁性分布的事例中，我们也能简化磁感的矢势。它的 x 分量可以写成

dφ dp dφ dp

F = ∫∫∫ ( dy dz − dz dy )dxdydz

通过分部求积分，我们可以把这个量写成面积分的形式

dp dp

F = ∫∫ φ( m dz − n dy dS),

或者写成

dφ dφ

F = −∫∫ p(m dz − n dy)dS

矢势的其他分量，也可以通过适当的代换而据这一表示式写出。

论立体角

417．]我们已经证明，在任一点上，由一个磁壳引起的势等于由磁壳

边界线所张的立体角乘以磁壳的强度。由于我们在电流理论中将有机会涉及立体角，现在我们将解释一下立体角是怎样量度的。

定义 一条闭合曲线在一个给定点上所张的立体角，由一个球面上的一块面积来量度；球面的中心位于所给之点，球面的半径为一个单位，而所取的面积则由当矢径描绘该闭合曲线时它和曲面的交点的运动轨迹来限定。这一面积的是正是负，按照从所给点看来该面积是位于矢径路径的左侧或右侧来决定①。

设(ξ，η，ζ)是所给的点，而(x，y，z)是闭合曲线上的一个点。座标 x，y，z 是 s 的函数，s 即从一个给定点算起的曲线长度。这些座标是 s 的周期函数；每当 s 增加一个等于闭合曲线全长度的量时，正数就重复一次。

我们可以根据这样的定义来直接计算立体角ω。利用以(ξ，η，ζ) 为中心的球座标，并令

x-ξ＝rsinθcosφ，y-η=rsinθsinφ，z-ζ=rcosθ，我们通过积分就能求出球面上任意曲线的面积

ω＝∫(1－cosθ)dφ，

或者，利用直角座标，就有

ω = ∫ dφ − ∫s z − ξ [(x − ξ) dy − ( y − η) dx ]ds

0 r{(x − ξ)² + (y − η) ²} ds ds

积分是沿曲线 s 计算的。

如果 z 轴穿过闭合曲线一次，则第一项为 2π。如果 z 轴并不穿过闭合曲线，则此项为零。

418．]这种计算立体角的方法涉及座标轴的在某种程度上带有任意性的一种选择，从而它并不是只依赖于闭合曲线的。因此，为了几何学上的适当性，可以谈谈下面这种并不涉及任何曲面画法的方法。

当从一个给定点画起的矢径描绘出一条闭合曲线时，设有一个通过所给点的平面在闭合曲线上滚动，以致这个平面逐次成为曲线上每一点的切面。设从所给点开始画一条单位长度的直线使它垂直于这个平面。当平面沿闭合曲线滚动时，这条垂线的端点将描绘出第二条闭合曲线。设第二条闭合曲线的长度为σ，则第一条闭合曲线所张的立体角是

ω＝2π-σ．

这一结果可以从一条众所周知的定理推出。那定理就是，单位半径的球面上一条闭合曲线所限定的面积，以及这一极座标曲线的周长，在数值上等于球面上一个大圆的周长。这种想法有时在求一个直线图形所张的立体角时是方便的。我们的目的是要形成物理现象的一种清晰的概念。对于这种目的来说，下述的办法是更合用的，因为它并不会用到问题之物理数据以外的任何构想。

419．]设在空间中给定了一条闭合曲线 s．而我们必须求出 s 在一个给定点 P 上所张的立体角。如果我们把这个立体角看成边界线和闭合曲线相重的一个单位强度的磁壳所引起的势，我们就必须把它定义为一个单位

① ｛当要确定一条已给闭合曲线对它所张立体角的那个点是运动的时，如果我们假设矢径沿曲线的运动方向永远相同，则球上的面积可以看成正的。若当从球心看过去时该面积是位于球的一侧，即矢径端点的运动显得是顺时针进行的那一侧；它是负的，如果情况想反的话。｝

磁极在从无限远处运动到点 P 时反抗磁力而作的功。因此，如果σ是磁极向 P 点运动过来时所沿的路径，则磁势必然是沿这一路径的一个线积分的结果。它也必将是沿闭合曲线 s 的一个线积分的结果。因此，立体角表示式的正确形式，必将是按两条曲线 s 和σ来计算的一个二重积分。

当 P 位于无限远处时，立体角显然是零。当 P 逐步靠近时，从运动点看来的闭合曲线就显得是逐渐张开的，从而整个的立体角就可以设想为是当运动点靠近过来时由闭合曲线上不同线段元的表观运动来生成的。

当 P 点径由线段元 dσ从 P 运动到 P′时，我们用 ds 来代表的闭合曲线之线段元 QQ′将相对于 P 而改变其位置，而单位球上和 QQ′相对应的直线则将在球面上扫过一个面积，我们可以把这个面积写成

dω＝Пdsdσ．(1)

为了求出П，让我们假设 P 为固定而闭合曲线却平行于自身而移动了一段等于 PP′但方向相反的距离 dσ．P 点的相对运动将和实际事例中相同。

在这种运动过程中，线段元 QQ′将生成一个平行四边形的面积，其二边分别平行于并等于 QQ′和 PP′．如果我们以这个平行四边形为底而以 P 为顶点来画出一个角锥体，则这个角锥体的立体角就将是我们正在寻求的增量 dω．

为了确定这一立体角的值，设 Q 和 Q′分别是 ds 及 dσ和 PQ 之间的夹角，并设φ是这两个角度的平面之间的夹角，于是平行四边形 ds．dσ的PQ 或γ的垂面上的投射面积就将是

dsdσsinθsinθ′sinφ，

而既然这一面积等于γ2dω，我们就有

dω = Πdsdσ =

由此即得

1 sin θ sin θ'sin φXsdσ, (2) r 2

Π = 1 sin θ sin θ'sin φ, (3) r 2

420．]我们可以用γ及其对 s 和σ的微分系数来把角θ、θ′和φ表示出来，因为

dr dr d ²r

cos θ = ds ,cos θ' = dσ , 而sin θ sin θ'cos φ = r dsdσ

于是我们就求得П2 的值如下：

(4)

1 dr

dr 1

d² r

Π ² =

[1 − ( )² ][1 − ( ) ² ] −



( ) ²

r ⁴ ds

dσ r ²

dsdσ

用直角座标来表示的第三个П表示式可以由下述考虑来得出：立体角为 dω而边长为γ的那个角锥体的体积是

1 r ³dω = 1 r ³Πdsdσ

3 3

但是这个角锥体的体积也可以用 r、ds 和 dσ在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影来表示成这九个投影的行列式，而我们则必须取这个行列式的第三个部 分 。 于 是 ， 作 为 П 的 值 ， 我 们 就 得 到

Π = −

x, η − y,ζ − z,

, dη , dζ

（6）

dσ dσ

, dy , dz

ds ds

这一表示式给出П的值，而不带方程(5)所引入的正负号方面的含糊性。421．]现在，闭合曲线在 P 点所张立体角ω的值就可以写成

ω = ∫∫ Πdsdσ + ω 0 , (7)

式中对 s 的积分是沿着整个闭合曲线计算的，而对σ的积分则从曲线上的一个固定点 A 计算到点 P．常数ω0 就是立体角在点 A 上的值。如果 A 位于离闭合曲线的无限远处，则ω0 为零。

ω在任一点 P 上的值和 A、P 之间的曲线形状无关，如果该曲线并不穿过磁壳本身的话。如果磁壳是无限薄的，而 P 和 P′是相距很近的两个点， 但是 P 位于磁壳的正表面上而 P′位于它的负表面上，则曲线 AP 和 AP′必然位于磁壳边界相反的两侧，于是 PAP′就是一条曲线，它和无限短的线段 P′P 一起形成绕过边界线的一条闭合曲线。ω在 P 点的值比在 P′点的值大 4π，这也就是一个单位半径的球面的面积。

因此，如果画一条闭合曲线使它穿过磁壳一次，或者换句话说，如果它和磁壳的边界线互相穿套一次，则在这两条曲线上计算的积分

∫∫ Пdsdσ的值将是4π．

因此，当看成只依赖于闭合曲线 s 和任意曲线 AP 时，这个积分就是一个多值函数的实例。因为，如果我们沿着不同的路径从 A 移动到 P，则积分将有不同的值，全看曲线 AP 穿过曲线 s 的次数而定。

如果 A 和 P 之间曲线的一种形状可以不经过和曲线 s 相交的连续变动而变换成另一种形状，则积分在这两条曲线上将有相同的值，但是，如果它在变动中和闭合曲线相交 n 次，则积分值将相差 4πn．

设 s 和σ是空间中任意两条闭合曲线，如果它们并不互相穿套，则在两条曲线上各计算一次的积分是零。如果他们沿同一方向互相穿套 n 次， 则积分的值为 4πn．然而，也可能有两条曲线沿相反的方向而交替穿套， 以致他们不可分离地互相扭结在一起，尽管积分的值是零。见图 4．

这个积分表示着一个磁极当在一个闭合电流的附近描绘一条闭合曲线时外界对它作的功，它也指示着两条闭合曲线之间的几何学联系；正是由于高斯发现了这个积分，才使他因为自从莱布尼兹、欧勒和范德蒙德以来“位置几何学”的进步之慢而深感遗憾。然而我们现在却有些进步可以报告，这主要归功于黎曼、亥姆霍兹和李斯廷。

422．]现在让我们考察沿闭合曲线对 s 求积分的结果。方程（7)中П 的一项是

① ｛П的正负号可以通过考虑一个简单事例来最容易地得出；为此目的，一个垂直于盘面而被磁化的圆盘的事例是很合用的。｝

− ξ − xdηdz = dη ( 1 dz) （8）

r ³dσds dσdξ r ds

如果我们为了简单而写出

F = ∫ 1 dx ds, G = ∫ 1 dy ds, H = ∫ 1 dz ds,（9）

r ds

r ds

r ds

式中的积分沿着闭合曲线 s 计算一周，则П的这一项可以写成

dη d ²H dσ dξds ,

而∫ Пds中的对应项则为

dη dH dσ dξ

现在，把П的各项归并起来，我们就可以写出

− dω = −Πds dσ

= ( dH − dG) dξ + ( dF − dH ) dη + ( dG − dF) dζ

（10）

dη dξ dσ dξ dξ dσ dξ dη dσ

这个量显然就是ω的减少率，即磁势沿曲线σ绕行时的减少率；或者换句话说，它就是 dσ方向上的磁力。通过逐次假设 dσ和 x、y 及 z 轴方向一致，我们就得到磁力分量的值

α = − dω = dH − dG ,

dξ dη dζ 

β = − dω = dF − dH , 

（11）

dη dζ



dξ 

γ = − dω = dG − dF 

dζ dξ dη 

各量 F、G、H 是一个磁壳的矢势分量，该磁壳的强度为 1 而其边界线是 s．他们并不像标势ω那样是一些有着一系列值的函数，而在空间的每一点上都完全确定。

由以一条闭合曲线为边界的一个磁壳在一点 P 上引起的矢势，可以用下述的几何作图方法求得。

设一点 Q 沿闭合曲线而运动，其速度在数值上等于该点到 P 的距离； 再设第二个点 R 从一个固定点 A 开始，其运动速度的方向永远平行于 Q 的速度，但其速度的数值等于 1，当 Q 已经沿闭合曲线运行了一周时，作连线 AR，于是线段 AR 就在方向上和量值上表示由闭合曲线在 P 点引起的矢势。

放在磁场中的一个磁壳的势能

423．]我们在第 410 节中已经证明，放在势为 V 的磁场中的一个强度为φ的磁壳的势能是

dV dV dV

M = φ∫∫ (l dx + m dy + n dz )dS, （12）

式中 l、m、n 是磁壳正侧的外向法线的方向余弦，而积分遍布于磁壳的面积上。

现在，借助于磁场的矢势，可以把这个面积分变换成一个线积分，而且我们可以写出

M = −φ∫ (F dx + G dy + H dz )ds, （13）

ds dx ds

式中的积分应沿形成磁壳之边界的闭合曲线 s 计算一周，而从磁壳的正侧看去 ds 的方向应是逆时针的。

如果现在我们假设磁场是由强度为φ′的第二个磁壳引起的，我们就可以由第 416 节或第 405 节的结果直接定出 F 的值。如果 l′、m′、n′ 是第二个磁壳的面积元 ds′上的外向法线的方向余弦，我们就有

d 1 d 1

F = φ' ∫∫ (m' dz' r − n' dy' r )dS',

式中γ是面积元 ds′和第一磁壳边界线上一点之间的距离。

现在，这个面积分可以变换成一个沿第二磁壳边界线的线积分，那就

是

φ' ∫ 1 dx' ds'

（14）

r ds'

同样即得

1 dy'

G = φ∫ r ds' ds'

H = φ' 1 dz' ds'

r ds'

把这些值代入 M 的表示式中，我们得到

M = −φφ' ∫∫ 1 ( dx dx' + dy dy' + dz dz')dsds',

（15）

r ds ds' ds ds' ds ds'

式中的积分沿 s 计算一周并沿 s′计算一周。这一表示式给出由两个磁壳的相互作用而来的势能，而且正如理所当然的那样当把 s 和 s′互换时表示式是不变的。这在电流理论中是一个很重要的物理量。如果我们用 c 来代表线段元 ds 和 ds′的方向之间的夹角，则 s 和 s′的势可以写成

∫∫ cosc dsds'

（16）

这显然是一个具有长度量纲的量。

第四章

感生磁化

424．]迄今为止，我们一直把磁体中的磁性分布看成一种明确给出的研究数据。除了在曾经设想磁体被打成小块或是一些小块被从磁体取走而并不改变任何部分的磁化的那些推理段落以外，我们对磁化是永久的或暂时的问题并未作出任何假设。

现在我们必须参照磁化所能被产生或被改变的方式来考虑物体的磁化。经发现，保持在平行于地球磁力的方向上的一根铁棒，会变成有磁性， 其二极和地球的各极相反，或者说它是采取罗盘指针处于稳定平衡时的位置。

放在磁场中的任何一块软铁，都被发现为显示磁性。如果它被放在场中磁力较大的部分，例如放在一个蹄形磁铁的两极之间，则软铁的磁性变强。如果铁块被从磁场中取出，则它的磁性大大减弱或完全消失。如果铁的磁性完全依赖于它所在的场中的磁力，而当从场中取出时磁性就消失， 则它叫做“软铁”。在磁的意义上是软的铁，在字面的意义上也是软的。它很容被弄弯并得到永久的变形，而且很不容易被弄断。

当从磁场中被取出时仍保持其磁性的铁，叫做“硬铁”。这样的铁不像软铁那样容易达成其磁状态。锤击手续或任何其他种类的振动，能使硬铁在磁力的影响下更容易达成磁状态，并使它当磁化力被取消时更容易离开磁状态①。磁性上硬的铁也更难弯曲而更易于折断。

锻造、轧制、拉丝和突然冷却等过程倾向于使铁变硬，而退火过程则倾向于使铁变软。

硬钢和软钢之间的磁性差别，也像它们的机械差别一样，是比硬铁和软铁之间的差别大得多的。软钢几乎像铁一样容易被磁化和被去磁，而最硬的钢则是制造我们希望长久使用的磁体的最好材料。

铸铁虽然比钢含有更多的碳，但是却不像钢那样易于保持磁性。

假如一个磁体可以磁化得使它的磁化分布不会被它能受到的任何磁力所改变，它就将可以称为一个刚性磁化的物体。唯一已知的满足这种条件的物体就是里边通有恒定电流的一个传导电路。

这样一个电路显示磁学性质，从而可以叫做一个电磁体，但是它的磁学性质却不受其他场中的磁力的影响。我们将在第四编中回到这一课题上来。

一切实际的磁体，不论是用硬化的钢做成还是用磁石做成的，都被发现为会受到外来作用的任何磁力的影响。

为了科学的目的，区分永久磁化和暂时磁化是方便的；这时把永久磁化定义为不依赖于磁力而存在的磁化，把暂时磁化定义为依赖于磁力而存在的磁化。然而我们必须注意，这种区分并不是建筑在一种有关可磁化物质之内在本性的知识上的，它只是一种为了使计算和现象发生关系而引入的一个假说的表达方法而已。在第五章中，我们将回到物理的磁化理论上

① ｛厄翁（Phil.Trans.Partii.1885）曾经证明，当不受到振动和去磁力的影响时，软铁可以比最硬的钢保持其更大的磁性。｝

来。

425．]在目前，我们将考察暂时磁化，所依据的假设是，物质中任一粒子的磁化，只依赖于作用在该粒子上的磁力。这个磁力可以部分地起源于外界的原因，并部分地起源于附近各粒子的暂时磁化。

借助于磁力的作用而这样磁化了的一个物体，叫做被感应磁化了，而其磁化则叫做由磁化力所感生的。

由一个给定磁力所感生的磁化，在不同的物质中是不同的。在最纯的和最软的铁中，感生磁化最大，这时磁化和磁力之比可以达到 32，甚至达到 45①．

其他的物质，例如金属镍和金属钴，可以达到一种较低的磁化程度，而且人们发现，当受到足够强的磁力作用时，所有的物质都会显示极性。当磁化和磁力方向相同，就像在铁、镍、钴等等中那样时，物质就叫

做“顺磁性的”、“铁磁性的”或简称为“磁性的”物质。当感生磁化和磁力方向相反，就像在铋等等中那样时，物质就被说成是“抗磁性的”。在所有的这些抗磁性物质中，磁化和产生磁化的磁力之比都是非常小

的，在铋中仅为－

1

400000

，而铋是已知的最高度抗磁性的物质。

在结晶的、形变的和组织化的物质中，磁化的方向并不总是和引起磁化的磁力的方向相一致。相对于固定在物体内的座标轴来说，磁化分量和磁力分量之间的关系，可以用一组三个线性方程来表示。我们即将证明， 在这些方程所包含的九个系数中，只有六个是独立的。有关这一类物体的现象，叫做“磁晶现象”。

当放在一个磁力场中时，晶体倾向于转入适当的取向，以使最大顺磁感应或最小抗磁感应的轴线和磁力线相平行。见第 436 节。

在软铁中，磁化的方向和该点磁力的方向相重合，而且对于小值的磁力来说磁化近似地正比于磁力①。然而，当磁力亡大时，磁化却增加得较慢一些，而且由第六章中所描述的那些实验将可看出，存在一个磁化的极限值，而不论磁力的值是什么，磁化都不能超过这个值。

在下面的简略感生磁理论中，我们将从一种假设开始，那就是，磁化正比于磁力，并且和磁力共线。

感生磁化系数的定义

426．]设■是在物体中任意点上像在第 398 节中那样定义的磁力，而

ℑ是该点的磁化，则ℑ和■之比叫做“感生磁化系数”。用к代表这个系数，则感生磁的基本方程是

ℑ=k■(1)

系数к对铁磁性和顺磁性物质来说是正的，对铋及其他抗磁性物质来说是负的。它在铁中可高达｛1600｝，而且在镍和钴的事例中也被说成是大的， 但在所有其他的事例中它都是一个很小的量，不超过 0.00001．

力■部分地起源于被感生磁化的物体外部的那些磁体，部分地起源于物体本身的感生磁化。这两部分都满足有势条件。427．]设 V 是由物体外

① Thalén,NovaActa,Reg.Soc.Sc.,Upsal,1863 ｛厄翁（见前引文献）已经证明，这个比值可以高达 279，而且， 如果铁丝在受到磁力作用时经过摇动，则比值甚至可以达到 1600．｝

① ｛瑞利勋爵（Phil．Mag．23,p．225,1887）曾经证明，当磁 大时二者就不再成正比了。｝

面的磁体所引起的势，而Ω是由感生磁化所引起的势，那么，如果 U 是由这两种原因所引起的实际的势，则有

U＝V＋Ω(2)

设磁力■沿 x、y、z 方向的分量是α、β、γ，而磁化ℑ的分量是 A、B、C， 则由方程(1)得到

A = ka， 

B = kβ， C = kγ，

（3）

将这些方程分别乘以 dx、dy、dz 并相加，我们就得到Adx+Bdy+Cdz=k(αdx+βdy+γdz)．

但是，既然α、β和γ是由势 U 推得的，我们就可以把右端写成—kdU． 因此，如果 k 在物质中到处为常量，则上式的左端也必然是 x、y 和 z

的一个函数的全微分。用φ代表这个函数，则上式变成dφ=-kdU(4)

式中

dφ dφ dφ

A＝ dx ，B＝ dy ，C＝ dz ，（5）

因此，磁化是层状的，正如在第 412 节中定义的那样。在第 385 节中已经证明，如果ρ是自由磁量的体密度，则有

dA dB dC

ρ＝－( dx + dy + dz )，

由于存在方程(3)，上式变为

ρ = −x( dα + dβ + dγ )

dx dy dz

但是，由第 77 节就有

dα + dβ + dγ

= −rπρ

dx dy dz

因此得到(1+4πk)ρ=0

由此即得，在整块物质中应有ρ=0，(6)

从而磁化既是层状的，也是管状的。

因此，除了在物体的边界面上以外，不存在任何自由磁量。如果 v 是表面的内向法线，则磁量的面密度是

σ = − dφ

dv

（7）

因此，由这一磁化在任意一点上引起的势Ω，可以由下列的面积分求得：

Ω = ∫∫ σ ds （8）

Ω的值将到处是有限的和连续的，而且在表面的内外都将满足拉普拉斯方程。如果我们用一个撇号来区分表面外部的Ω值，而且，如果 v′是外向法线，则我们在表面上得到

Ω′=Ω；(9)

dΩ + dΩ' = −4πσ, 根据第786节，

dv dv'

= 4π kφ σ, 根据（7），

dv

= −4πk dU , 根据（4），

dv

= −4πk( dV + dΩ)，根据(2)．

dv dv

因此我们可以写出第二个表面条件式

(1 + 4πk) dΩ + dΩ' + 4πk dV = 0 (10)

dv dv' dv

由此可见，在一个以曲面 S 为边界并受到其势为 V 的磁力的作用的均匀各向同性的特体中，感性磁量的确定可以归结为下列的数学问题。

我们必须求出满足下列条件的两个函数Ω和Ω′：在曲面 S 内部，Ω 必须是有限和连续的，而且必须满足拉普拉斯方程。

在曲面 S 的外面，Ω′必须是有限和连续的，它在无限远处必须变为零，而且它必须满足拉普拉斯方程。

在曲面本身的每一点上，Ω =Ω′，而且Ω、Ω′和 V 沿法线求的方向导数必须满足方程(10)。

这种处理感生磁量问题的方法，是由泊松提出的。他在自己的论著中使用的一个量 k 和这里的 k 并不相同，而是和它有下列的关系：

4πk(k-1)+3k=0．(11)

我们在这里采用的 k 这个系数，是由 F.E.诺依曼引入的。

428．]感生磁的问题，也可以通过像法拉第那样引入我们称之为“磁感”的那个量来用另一种办法处理。磁感■、磁力■和磁化ℑ之间的关系， 由方程

■=■+4πℑ(12) 来表示。

用磁力来表示感生磁化的方程是

ℑ=k■(13)

因此，消去ℑ，我们就得到其磁化由磁力感生而成的物质中的磁感和磁力之间的关系式如下：

■=(1+4πκ)■．(14)

在最普遍的事例中，κ可以不仅是物质中各点位置的函数，而且是矢量■的方向的函数。但是在我们现在考虑的事例中，κ却是一个数字量。

如果写出μ=1+4πκ，(15)

我们就可以把μ定义成磁感和磁力之比，而且我们可以把这一比值叫做物质的磁感本领，以别于感生磁化系数κ．

如果用 U 来代表由外界原因所引起的势 V 和感生磁化所引起的势Ω合成的总磁势，我们就可以表示磁感分量 a、b、c 和磁力分量α、β、γ如下：

dU 

a = μα = −μ dx ,

b = μβ = −μ dU 

（16）



dy 

dU 

c = μγ = −μ dz , 

各分量 a、b、c 满足管状条件

da + db + dc = 0 （17）

dx dy dz

由此可见，势 U 必须在μ为常量处的每一点上满足拉普拉斯方程

d² U

dx ²

d ²U

• dy²

d ²U

• dz ²

= 0, （18）

也就是必须在均匀物质或真空中的每一点上满足该方程。

在表面本身上，设 v 是指向物质内部的法线而 v′是外向法线，如果物质外部各量的符号用一个撇号来区分，则磁感的连续性条件是

a dx + b dy + c dz + a' dx + b' dy + c' dz

= 0; (19)

dv dv dv dv' dv' dv'

或者，由方程(16)就得，

μ dU + μ' dU' = 0

(20)

dv dv'

磁体外面的磁感系数μ′将是 1，除非周围的媒质是磁性的或抗磁性的。

如果把 U 的值用 V 和Ω表示出来，并把μ的值用κ表示出来，我们就得到以前用泊松法求得的同一方程(10)．

当从磁感和磁力的关系方面来看它时，感生磁的问题是和在第 310 节中给出的那种各向异性媒质中的传导电流的问题确切对应的。

磁力从磁势中导出，恰恰和电力从电势中导出完全一样。

磁感是一个具有流量本性的量，而且像电流一样满足同样的连续性条件。

在各向同性媒质中，磁感依赖于磁力的方式，恰恰和电流依赖于电动势的方式相对应。

一个问题中的磁比感本领，对应于另一问题中的电导率。因此汤姆孙在他的 TheoryofInducedMagnetism(Reprint，1872，p.484)[《感生磁理论》]中曾称这个量为媒质的“磁导率”。

现在我们作好准备来从我所认为的法拉第观点考虑感生磁的理论了。当磁力作用在任何一种媒质上时，不论媒质是磁性的、抗磁性的还是

中性的，它都会在媒质中引起一种叫做“磁感应”的现象。磁感是一种具有流量本性的有向量，而且像电流及其他流量那样地满足相同的连续性条件。

在各向同性媒质中，磁力和磁感方向相同，而且磁感是磁力和我们曾用μ来代表之的一个叫做磁感系数的量的乘积。在真空中，磁感系数是 1。在可以受到感生磁化的物体中，磁感系数是 1+4πκ=μ，式中κ是已经定义为感生磁化系数的那个量。

**429．〕**设μ、μ′是两种媒质的分界面两侧的μ值，如果 V、V′

是两种媒质中的势，则两种媒质中指向分界面的磁力是 dV 和 dV' ．

dv dv'

通过面积元 dS 的磁感通量，沿指向 dS 的方向计算，在两种媒质中分

别是μ dV dS和μ' dV' dS．

dv dv'

既然流向 dS 的总通量为零，就有

μ dV + μ' dV' = 0

dv dv'

但是，由关于密度为σ的表面附近的势的理论可知，

dV + dV + 4πσ = 0

dv dv'

由此即得，

dV μ

dv (1 − μ') + 4μσ = 0

如果κ1 是系数为μ的媒质中表面磁化和法向力之比，我们就有

μ − μ'

4πk1 = μ'

由此可见，按照μ是大于或小于μ′，κ 1 将是正的或负的。如果我们令μ=4πκ+1 和 dμ′=4πκ′+1，就有

k = k − k'

¹ 4πk'+1

在这一表示式中，κ和κ′是由在空气中进行的实验推得的第一种和第二种媒质的感生磁化系数，而κ1 是当被第二种媒质所包围时第一种媒质的感生磁化系数。

如果κ′大于κ，则κ1 是负的，或者说第一种媒质的表观磁化是和磁

化力方向相反的。

例如，如果一个充有顺磁性铁盐之稀水溶液的容器被挂在同种盐类的较浓溶液中并受到一个磁体的作用，则容器将运动，就像是沿着和当一个磁体被悬在同一地点时所将采取的方向相反的方向而被磁化了那样。

这一点可以用一条假说来加以解释；其假说就是，容器中的溶液确实是沿着磁力的方向而被磁化的，但是容器周围的溶液却是更强地沿着同一方向而被磁化的。因此，容器就像是放在两个强磁体之间的一个弱磁体， 三者都沿着相同的方向而被磁化，从而相反的极互相接触。弱磁体的北极指向强磁体北极所指的同一方向，但是，既然它是和较强磁体的南极接触着的，在它的北极附近就有一些多余的南磁量，这就使得弱磁体显得像是沿相反的方向而被磁化了一样。

然而，在某些物质中，即使当它们被悬挂在所谓的真空中时，它们的表观磁化也是负的。

如果我们假设真空的κ=0，则这些物质的κ将是负的。然而却从来不

曾发现任何具有数值上大于 1

4π

是正的。

的负κ的物质，因此一切已知物质的μ都

κ为负从而μ小于 1 的物质，叫做“抗磁性物质”。κ为正而μ大于

1 的物质叫做“顺磁性物质”或“铁磁性物质”，或者简称为“磁性物质”。

当我们在第 832—845 节中讨论到电磁现象时，我们将考虑抗磁性质和顺磁性质的物理理论。

430．〕磁感应的数学理论是由泊松①最初提出的。他的理论所依据的， 是二磁流体假说，这是和二电流体学说有着相同的数学优点和物理困难的一个假说。然而，为了解释为什么一块软铁可以通过感应来被磁化，而却不能充以数量不相等的两种磁质，泊松就假设了一般的物质是磁流体的非导体，而且只有物质的某些小部分才含有处于自由状态从而可以服从所受作用力而运动的磁流体。物质中的这些小的磁性元，每个都含有数量恰好相等的两种磁流体，而且在每一磁性元的内部，磁流体是可以完全自由地运动的，但是磁流体却绝不能从一个磁性元转入另一个磁性元中。

因此，问题就和关于若干个小的导电物体的问题属于同一类型，那些小导体是散布在一种介电绝缘的媒质中的。这些导体可以具有任意的形状，如果它们是小的并且互不接触的话。

如果它们是一些沿着同一公共方向排列的长形物体，或者，如果它们在一个方向上比在另一个方向上更加密集，则正如泊松本人已经证明的那样，媒质将不是各向同性的。因此，为了避免无用的复杂性，泊松就考虑了这样一种事例：每一个磁形元都是球形的，而且它们的分布并不偏向于任何轴线。他假设了，物质的单位体积中所含各磁性元的总体积是κ．

我们在第 314 节中已经考虑了一种媒质的电导率，在那种媒质中，分布得有一些另一种媒质的小球。

如果媒质的电导率是μ1 而小球的电导率是μ2，则我们已经求得复合体系的电导率是

μ = μ

2μ1 + μ2 + 2k(μ 2 − μ1 )

¹ 2μ + μ − k(μ − μ )

1 2 2 1

令μ1=1 而μ2=∞，此式就变为

μ = 1 + 2k

1− k

这个量μ就是由一些理想导电的小球分布在一种电导率为 1 的媒质中而形成的复合媒质的电导率，单位媒质体积中小球的总体积为κ．

μ这个符号也代表一种媒质的磁感系数，该媒质包括一些磁导率为无限大的小球，分布在一种磁导率为 1 的媒质中。

我们将称之为“泊松磁系数”的κ这个符号，代表的是各磁性元的和物质的总体积之比。

κ这个符号被称为“诺依曼磁感系数”。它比泊松的系数更适用。 我们将把符号μ叫做“磁感系数”。它的优点在于能使我们很容易地

把磁的问题翻译成有关电和热的问题。这三个符号的关系如下：

① M é moiresdel’Institut,1824 ，p.247．

4πk

k = 4πk + 3

, k =

μ − 1 ,

μ + 2

k = μ − 1 , k =

4π

3k

4π(1 − k) ,

μ = 1 + 2k ,μ = 4πk + 1 1− k

如果我们按照塔伦①有关软铁的实验令κ=32，就会

得到κ = 134 ．按照泊松的理论，这就是磁分子的总体积和铁的总体积

135

之比。在一个空间中堆满相等的小球，是不可能作到使它们的体积和空间总体积之比如此接近于 1 的，而且也很难想像铁的这么大一部分体积都被刚性的分子所占满，不论这些分子是什么形状。这是我们之所以必须放弃泊松假说的理由之一。其他的理由将在第六章中加以论述。当然，泊松的数学探讨的价值并不会减小，因为这种探讨不是建筑在他的假说上，而是建筑在感生磁化的实验事实上的。

① Recherchessurlesproprietésmagnétiquesdufer ，NovaActa，Upsal，1863．

第五章

磁感应的特殊问题中空球壳

1. 〕一个磁感问题的完备解的第一个例子，是由泊松针对一个受到任意磁力作用的中空球壳而给出的。为了简单，我们将假设磁力的源位于球壳外面的空间中。如果用 V 代表由外部磁体系引起的势，我们就可以把V 展成体谐函数的级数

V=C0S0+C1S1r+⋯+CiSiRi+⋯(1)

式中γ是从球壳中心量起的距离，Si 是 i 阶的面谐函数，而 Ci 是一个系数。设球壳的外半径为 a2 而内半径为 a1，并设由球壳的感生磁量所引起的

势是Ω。函数Ω的形式，通常在球内空间、球壳物质和球外空间中是不同的。如果把这些函数展成球谐函数的级数并只注意包含面谐函数 Si 的各项，我们就会发现，如果Ω1 是对应于球壳内部的空间的函数，则Ω1 的展式必然是由形如 A1S0γi 的正的谐函数构成的，因为势一定不能在半径为 a1 的球内变为无限大。

在γ介于 a1 和 a2 之间的球壳物质中，级数可以既包含γ的正次幂也包

含γ的负次幂而形如A2Siri+B2Sir-(i+1)

在球壳外面，γ大于 a2，既然不论γ多大级数也必须收敛，我们就必将只有γ的负次幂，形如

B3Sir-(i+1)

函数Ω所必须满足的条件是：它必须是 1°有限的，2°连续的， 3°在无限远处变为零，4°到处满足拉普拉斯方程。

由 1°，就有 B1=0.

由 2°，当γ=a1 时应有(A1-A1)a1-B2i+1=0(2)

而当γ=α2 时应有

(A2-A3)a22i+1+B2-B3=0(3)

由 3°就有 A3=0，而条件 4°是到处满足的，因为各函数是一些谐函数。

但是，除了这些条件以外，由于有第 427 节中的方程(10)，还有另外

一些条件必须在内表面和外表面上得到满足。在γ=a1 的内表面上，有

(1 + 4πk) dΩ 2 − dΩ1 + 4πk dV = 0, （4）

dr dr dr

而在γ=a2 的外表面上则有

− (1 + 4πk) dΩ 2 + dΩ3 − 4πk dV = 0

（5）

dr dr dr

由这些条件，我们得到两个方程

(1+4πk){iA2a12i+1-(i+1)B2}-iA1a12i+1+4πkiCia12i+1=0，(6) (1+4πk){iA2a22i+1-(i+1)B2}+(i+1)B3+4πkiCia22i+1=0；(7)

而且，如果令

Ni =

1

a , (8)

(1 + πk)(2i + 1)² + (4πk) ² i(i + 1)(1 − ¹ )²ⁱ⁺¹)

a 2

我们就得到

A = −(4πk) ² i(i + 1)(1 − ( a1 ) ²ⁱ⁺¹)N C , (9)

1. i i

2

A = −4πki[2i + 1 + 4πk(i + 1)(1− ( a1 )²ⁱ⁺¹]N C ,(10)

1. i i

2

B = 4πki(2i + 1)a ²ⁱ⁺¹N C , (11)

B = −4πki{2i + 1 + 4π(i + 1)}(a ²ⁱ⁺¹ − a ²ⁱ⁺¹ )N C (12)

把这些量代入谐函数展式中，就得到由球壳的磁化所引起的那一部分磁势。量 Ni 永远是正的，因为 1+4πκ不可能为负。由此可知 A1 永远为负， 或者换句话说，磁化球壳在壳内一点上的作用永远和外磁力的作用相反， 不论球壳是顺磁性的还是抗磁性的。球壳内部的合磁势的实际值是

(Ci+A1)Siγi， 或者写作

(1+4πκ)(2i+1)2NiCiSiri．(13)

1. 〕当像在软铁的事例中一样κ是一个大数时，球壳内的磁力只是外磁力的一个很小的分数，除非球壳十分地薄。

用这种办法，W．汤姆孙爵士曾经通过把他的海上电流计封装在一个软铁管中，来使该电流计不致受外磁力的影响。

1. 〕具有最大的实用重要性的事例就是 i=1 的事例。这时就有：

N = 1

, (14)

¹ 2 a1 3

9(1 + 4πk) + 2(4πk) (1− ( ) )

2

A = −2(4πk) ² (1− ( a1 )³ )N C 

1 1 1 

2 

A = −4πk[3 + 8πk(1 − ( a1 3 

2

1. = 12πka ³N C ,

a ) )]N 1C1 ,

2 



(15)

2 1 1 1 

B = −4πk(3 + 8πk)(a ³ − a ³ )N C 

3 2 1 1 1 

在这一事例中，空壳内部的磁力是均匀的，其量值等于

1. + A

= 9(1 + 4πk) C

(16)

1 1 2 a1 3 1

9(1 + 4πk) + 2(4πk) (1− ( ) )

2

如果我们希望通过测量一个空壳中的磁力并把它和外磁力相比较而来确定κ，则球壳厚度的最佳值可由下列方程求得：

a 3

1 − ¹ =

91+ 4πk

(17)

³ 2(4πk) ²

｛这个 a1 值使 d {1 + A 1 }成为一个最大值，因此，当 (C1 + A1 ) 的

a2 dk C1 C1

误差给定时，k 的对应误差是尽可能地小的。｝这时，壳内的磁力是壳外的磁力的二分之一。

既然在铁的事例中κ是一个介于 20 和 30 之间的数，球壳的厚度就应该大约是它的半径的百分之二。这种方法只有当κ较大时才是可用的。当它很小时，A1 的值就变得微乎其微了，因为它是依赖于κ的平方的。

对于一个具有很小球形空腔的几乎是实心的球来说，我们有

2(4πk)² 

A 1 = − (3 + 4πk)(3 + 8πk) C1 ,

1. = − 4πk C ,



(18)

2 3 + 4πk ¹ 

1. = − 4πk C a ³ 

3 3 + 4πk ^{1 2} 

全部的这种探索，也可以从第 312 节中所给出的关于球壳导电的探索直接推得，只要在那儿所给出的表示式中令κ1=(1+4πκ)κ2，并记得导电问题中的 A1 和 A2 等价于磁感应问题中的 C1+A1 和 C1+A2 就行了。

1. 〕二维空间中的对应解，图解式地表示在本卷末尾的图版十五上。在离开中心有一个距离处，磁感线接近水平；图中表示的是磁感线受到一个圆柱的干扰时的情况，圆柱被横向磁化，并放在它的稳定平衡位置上。和这组曲线相正交的曲线代表等势面，其中一个是圆柱面。大的虚线圆代表一个顺磁性物质圆柱的截面，圆内那些作为外部磁感线之延长线的水平虚线代表物质内部的磁感线。竖直的虚直线代表内部的等势面，它们和外部的一组等势面也是相接连的。可以看到，磁感线在物质内部被画得较密，而等势面则被顺磁性圆柱隔开得较远一些，而按照法拉第的说法就是， 顺磁性圆柱能够比周围的媒质更好地传导磁感线。

如果把竖直的直线族看成磁感线而把水平的直线族看成等势面，我们首先就得到一个在力线中位于其不稳定平衡位置上的横向磁化的圆柱的事例， 这时圆柱会使力线散开。其次，把大的虚线圆看成一个抗磁性圆柱的截面， 圆内的虚直线和外面的曲线一起，就代表一种抗磁性物质把磁感线排开和把等势面拉近的效应，而这种物质是比周围媒质更差地传导磁感线的。

磁化系数在不同方向上有不同值的一个球的事例

1. 〕设α、β、γ是任意点上的磁力分量，A、B、C 是磁化分量， 则这些量之间的最普遍的线性关系由下列方程组给出：

A = γ1α + p3 β + q 2 γ 

B = q



α + γ β + p γ，

(1)

3 2 1 

C = P α + q β + γ γ， 

2 1 3 

式中的系数γ、p、q 是九个磁化系数。

现在让我们假设，这就是一个半径为为 a 的球的内部的磁化情况，而且物质内的每一点上的磁化都是均匀的和同方向的，其分量为 A、B、C．让我们再假设，外部的磁化力也是均匀的和平行于一个方向的，而且

它的分量是 X、Y、Z． 因此，V 的值就是V=-(Xx+Yy+Zz)，(2)

而由第 391 节可知，磁化球外面的势Ω′的值就是

V = −(Xx + Yy + Z2 ), (2)

磁化球内部的势Ω的值是

Ω = 4π (Ax + By + Cz) (4) 3

球内的实际势是 V+Ω，因此，关于球内的磁力分量，我们将有

α = X − 4 π 

β = Y −

3 A,



4 

πB, 

3 

(5)

γ = Z − 4 πC

3 

由此即得

(1 + 4 πr )A + 4 πp B + 4 πq C = r X + p Y + 

3 ¹ 3

4 4

3 3 2 1 3

4

q 2 Z,





3 πq ₃A + (1+ 3 πr₂ )B + 3 πp₁C = q ₃X + r₂Y + p₁Z,(6)

4 4 4 

3 πp 2A + 3 πq1 B + (1 + 3 πr3 )C = p2 X + q 1Y + r3 Z 

求解这些方程，我们得到

A = γ1 ' X + p3 ' Y + q 2 ' Z,

B = q ' X + γ 

_{3 2} ' Y + p1 ' Z,(7)

C = p

式中



₂ ' X + q1 'Y + γ 3 ' Z,

D' r ' = r + 4 π(r r

• p q + r r − p q

) + ( 4 π ² 

1 1 3

4

3 1 2 2 1 2 3 3

3 ) D,



D'+p ' = p −

π(q q − p r ),



（8）

1 1 3

2 3 1 1 



D' q

' = q − 4 π(p p

− q r ), 

1 1 3

2 3 1 1 

此处 D 是方程组(6)右端的系数行列式，而 D′是其左端的系数行列式。只有当系数组 p、q、γ是对称的，即当 p 式的系数等于对应的 q 式的

系数时，新的系数组 p′、q′、γ′才是对称的。

1. 〕倾向于使球体绕着 x 轴从 y 轴转向 z 轴的力偶矩①，通过考虑由一个元体积引起的力偶并对球体

求力偶矩之和来得出。结果就是

L 4 3

＝ 3 πa (γB - βC)

= 4 πa ³{p ' Z² − q

' Y ² + (r '−r ' )YZ + X(q ' Z − p

' Y)}(9)

3 1 1

如果我们令

2 3 3 2

X=0，Y=Fcosθ，Z=Fsinθ，

这就对应于一个位于 yz 平面上并和 y 轴成一个角度θ的磁力 F．如果在这

个力保持恒定时使球转动，则每转一周力对球作的功将是∫ Ldθ但是

这个功等于

4 π ²a ³F² ( p '−q ' )

3 1 1

由此可见，为使转动的球不致变成取之不尽的能源，应有 p1'=q1'；同理应有 p2'=q2'和 p3'=q3'．

这些条件表明，在原有的方程组中，第三个方程中 B 的系数等于第二个方程中 C 的系数，余类推。因此，方程组是对称的，而当相对于磁化主轴写出时，各方程就变成



r1

A = 4

1 + 3 πr

B = r2

1 + 4 πr

3 2

r



X,





Y,







(11)

C = ³ Z 

1 + 4 πr 

3 ³ 

倾向于使球体绕 x 轴而转动的力偶矩是

L = 4 πa³

r2 − r3

YZ (12)

3 (1 + 4 πr )(1+ 4 πr )

3 2 3 3

在多数事例中，不同方向上的磁化系数之差是很小的，因此，如果γ 代表系数平均值，我们就可以令

① ［系数 p 和 q 的相等可以证明如下：设作用在球上的力使它绕着一个方向余弦为λ、μ、ν的直径转了一个角δθ，若用 W 代表球的能量，则由第 436 节得到 但是，如果座标轴是固定在球中的，则转动的结果将导致δX=（Yv-Zμ）δθ， ．因此我们可以令 既然转动的球不能变成一种能源，上式右端的表示式就必须是一个全微分。于是，既然 A、B、C 是 X、Y、Z 的线性函数，W 就必然是 X、Y、Z 的二次函数，由此立刻得到所要的结果。并请参阅 Sir W.Thomson，s Reprint of Papers on Electrostatics and Magnetism,pp.480—481.］

L = 2 πa ³

3

r2 − r3

(1 + 4 πr) ²

3

F² sin 2θ

（13）

这就是倾向于使一个晶体球绕着 x 轴而从 y 轴转向 z 轴的力[力矩]。它永远倾向于使最大磁系数轴（或最小抗磁系数轴）转得和磁力线相平行。

二维空间中的对应事例已表示在图版十六上。

如果我们假设该图的上方是向北的，此图就代表受到一个圆柱的干扰的力线和等势面，该圆柱是横向磁化的，其北极一面向着东方。合力倾向于使圆柱从东向北转动。大的虚线圆代表一个结晶物质的柱体的截面，该柱体沿着从东北到西南的一条轴线的磁感系数大于它沿着从西北到东南的轴线的磁感系数。圆内的虚线代表磁感线和等势面，二者在这一事例中并不是互相正交的。作用在柱体上的合力显然倾向于使柱体从东向北转动。 437．〕放在均匀而平行的磁力场中的一个椭球体的事例，是由泊松用

一种很巧妙的方式求了解的。

如果 V 是一个任意形状的具有均匀密度ρ的物体在点(x，y，z)

上引起的引力势，则- dV 应是由同一物体的磁量所引起的势，如果物

dx

体被沿着x方向而均匀磁化到强度为I = ρ的话。因为， - dV σx在任意点

dx

上的值，就是物体的势 V 对另一值 V′的超额，此处 V′就是当物体沿着 x 方向运动了一段距离-δx 时的势的值。

如果我们假设物体移动了一个距离-δx，而且它的密度从ρ变成了- ρ（就是说，它不再是由引力物质构成的而是由斥力物质构成的了)，则

• dV σx将是由这样两个物体所引起的势。现在考虑物体的任意一个元部dx

分，设其体积为δν．它的质量是ρδν，而与此对应，就有一个移动后的物体元，其质量为-ρδν，并位于距离-δx 处。这两个物体元的效应是和一个强度为ρδν而长度为δx 的磁体的效应相等价的。磁化强度通过把物体元的磁矩除以它的体积来求得。结果就是ρδx．

因此， - dV σx就是一个沿x方向而磁化到强度ρδx的物体的磁势， dx

而- dV 就是磁化到强度ρ的物体的磁势。

dx

这个势也可以从另一角度来加以考虑。物体被移动了一个距离-δx 并由密度为-ρ的物质所构成。在物体在其两个位置上所共同占据的整个空间区域中，密度到处为零，因为，就其引力而言，两个相等而异号的密度将互相抵消。因此，剩下来的只是一个壳，一边是正物质另一边是负物质， 从而我们可以认为合势就是由这物质引起的。在外向法线和 x 轴的夹角为

∈的地方，壳的厚度是δxcos∈而其密度为ρ．因此面密度就是ρδxcos

∈，而在势为- dV 的事例中则面密度为ρcos∈．

dx

用这种办法，我们可以求出沿给定方向而均匀磁化的任意物体的磁势。现在，如果这种均匀磁化起源于磁感应，则物体内部所有各点上的磁化力也必须是均匀而平行的。

这个力包括两部分，一部分由外界原因引起，另一部分由物体磁化引起。因此，如果外磁力是均匀而平行的，则由磁化所引起的磁力挖物体内部的所有各点上也必将是均匀而平行的。因此，为了使这一方法可以导致

磁感问题的一个解， dV 就必须在物体内部是座标x、y、z的一个线性

dx

函数，从而 V 就必须是座标的二次函数。

现在，我们所熟知的 V 在物体内部是座标的二次函数的事例，只有那些物体的边界面是某些完全的二次曲面的事例，而其中这样一个物体为有限大小的唯一事例就是当物体为一椭球体时的事例。因此我们将对椭球体的事例应用这一方法。

设椭球的方程是

x2 + y2 + z 2 =

a 2 b2

c2 1

(1)

而Φ0 代表定积分

∞ d(φ² )

∫ （2） ①

于是，如果我们令

L = 4πabc dΦ0

d(a ² )

, M = 4πabc dΦ 0

d(b² )

, N = 4πabc dΦ 0 ,

d(c ² )

（3）

则势在椭球内的值将是

V = − ρ ( Lx² + My² + Nz² ) + 常量。 （4）

0 2

如果椭球是沿着其方向余弦为 l、m、n 的方向而磁化到均匀强度 I 的， 则磁化分量是

A=Il，B=Im，C=In，

而由这一磁化在椭球内部引起的势则是Ω=-1(Llx+Mmg+Nnz)．(5)

如果外磁化力是■而其分量为 X 、 Y 、 Z ，则它的势将是 V=- (Xx+Yy+Zz)．(6)

因此，物体内部任一点上的实际磁化力的分量就是 X+AL，Y+BM， Z+CN．(7)

磁化和磁化力之间的最普遍的关系，由包含着九个系数的三个线性方程来给出。然而，为了满足能量守恒的条件，在磁感应的事例中这九个系数中的三个系数必须等于另外三个系数，从而我们就应该有

A = k1 ( x + 4L) + k'3 (Y + BM) + k'2 (Z + CN), 

B = k' ( X + 4L) + k (Y + BM) + k' (Z + CN),  (8)

3 2 1

C = k'2 (X + AL) + k'1 (Y + BM) + k 3



(Z + CN),

根据这些方程，我们可以由 X、Y、Z 求出 A、B 和 C，而这就将给出问题的最普遍的解。

这时，椭球外面的势就将是由椭球的磁化所引起的势再加上由外磁力所引起的势。

438．〕唯一具有实际重要性的事例就是

① 参阅 ThomsonandTait’sNaturalPhilosophy ，§525,2ndEdition．

κ′1＝κ′2=κ′3=0(9) 的事例。

这时我们就有

A = k 1 

1 − k L X,

1 

B = k 2 , 

1 − k 2 M 

（10）

C = k 3 Z 

1 − k 3L 

如果椭球有两个轴是相等的，而且它的形状属于扁平型，则有

a

b = c =

; (11)

L = −4π(

1 sin⁻¹ e),

e3









1 − e² 

(12)

M = N = −2π( sin⁻¹ e − ) e³ e² 

如果它的形状属于细长型，则有

a = b = 1 − e²c; (13)

1 1 − e² 1 + e 

L = M = −2π( e2 −

2e³

log 1 − e)

N = −4π( 1

e 2

− 1)( 1 log 2e

1 + e

1 − e



− 1) 



(14)

在球的事例中，e=0，故有

L = M = N = - 4 π．（15）

3

在平板式的椭球的事例中，L 的值在极限下等于-4π，而 M 和 N 变

为− π ² a 。

c

在细长卵形的椭球的事例中，L 和 M 趋近于一个值-2π，而 N 趋近于一个形式

a ² 2c

• 4π c2 (log a

− 1),

并当 e=1 时变为零。

由这些结果可以看出：

1. 当磁化系数κ很小时，不论它为正为负，感生磁化将近似地等于磁化力乘以 k，而几乎和物体的形状无关。

2. 当κ是一个很大的量时，磁化主要依赖于物体的形状而几乎和κ的确切值无关，只除了作用在一个细长椭球上的纵向力的事例以外，该椭球是如此地细长，以致尽管κ很大而 Nk 却是一个小量。

1

1. 假如κ的值可以为负而等于 4π ，我们在垂直作用在一个平盘

上的磁化力的事例中就将得到无限大的磁化。这一结果的荒谬性，就证实了我们在第 428 节中给出的结论。

由此可见，只要κ很小，就可以利用任意形状的物体来作测定κ值的实验，例如在一切抗磁性物体以及除铁、镍、钴以外的一切磁性物体的事例中就是这种情况。

然而，如果像在铁的事例中那样κ是一个大数，则利用球形或扁平形的物体来作实验就是不适于测定κ的；例如，在球体的事例中，如果像在某些种类的铁中那样κ=30，则磁化和磁化力之比将等于 1 比 4.22，而假如κ为无限大，则这一比值将等于 1 比 4.19，因此，磁化测定中的很小误差将导致κ值中的很大误差。

但是，如果我们使用一块很长的卵形铁，只要 Nk 和一相比还有中等的大小，我们就可以由磁化的测定来推知κ的值，而 N 值越小则κ值将越准确。

事实上，如果 Nk 被弄得足够小，则 N 本身方面的一个小误差将不会引入多大误差，因此我们可以使用任意形状的长物体，例如长丝或长棒，而不一定使用卵形体①。然而我们必须记得，只有当 Nk 还远小于 1 时这种代换才是允许的。事实上，平头长柱上的磁量分布是和长卵形体上的分布并不相像的，因为在柱端附近自由磁是很集中的，而在卵形体的事例中自由磁的密度却和到赤道的距离成正比。

然而，圆柱上的电的分布，却确实可以和卵形体上的分布相比拟，正如我们已经在第 152 节中看到的那样。

这些结果也使我们能够理解，当一个永磁体具有细长形状时，为什么它的磁矩可以达到大得多的值。假若我们必须垂直于盘面的方向来把一个圆盘磁化到强度 I，然后就把它放置不管，则内部各粒子将受到一个等于 4 πI 的恒定的去磁力，而这个去磁力即使还不足以破坏一部分磁化，它也会很快地作到这一点，如果受到一些振动或温度变化的促进的话②。

假如我们要横向地磁化一个柱体，则去磁力将只是 2πI．

4

假如磁体是一个球，则去磁力将是 3 πI

在一个横向磁化的圆盘中，去磁力是π ² a I，而在一个纵向磁化的

c

a 2

长卵形体中，去磁力是最小的，它等于4π c2 Ilog

2c 。

a

因此，一个细长的磁体，比一个粗短的磁体更不容易失去其磁性。 作用在沿三个轴线具有不同磁系数的一个椭球上并倾向于使它绕 x 轴

转动的力矩是

4 πabc(BZ − CY) = 4 πabcYZ k 2 − k 3 + k 2 k 3 (M − N)

3 3 (1− k 2 M)(1 − k 3 N)

① {如果使用长丝，它们的长度至少应为直径的 300 倍。}

② 磁感所将有的值。}

因此，如果κ2 和κ3 很小，这个力就将主要依赖于物体的结晶品质而不依赖于它的形状，如果它的各方线度相差并不悬殊的话；但是，如果κ2 和κ3 相当大，就像在铁的事例中那样，力就会显著地依赖于物体的形状， 而物体就会转动得使自己的长轴平行于力线。假如可以得到一个足够强的然而却是均匀的磁力场，则一个细长的各向同性的抗磁性物体也会转动， 以使自己的最长的线度和磁力线相平行①。

439．]一个旋转型椭球在任意磁力作用下的磁化分布问题，曾由 J．诺依曼②研究过。基尔霍夫③把这种方法推广到了任意力作用下的无限长圆柱的事例。

在他的著作的第 17 节中，格林曾对受到平行于柱轴的均匀外力 X 作用的一个有限长圆柱中的磁量分布作出了探讨。尽管这种探讨中的某些步骤并不是很严格，所得结果却很可能大致代表了这一最重要事例中的实际磁化。它肯定很好地表示了从κ很大的柱体事例到κ很小的柱体事例的过渡，但是它在抗磁性物质那样的κ为负数的事例中却是完全失效的。

格林发现，在一个半径为α而长度为 2l 的圆柱上，距柱体中点为 x 距离处的自由磁量线密度是

px a

λ = πkXpa pl

• px

• e a

pl

e a + e− a

式中 p 是应由下列方程中求出的一个数字：

1

0.231863 − 2 loge p + 2p = πkp 2

下面是 p 和κ的一些对应值。

当圆柱的长度远大于它的半径时，柱体中点每一侧的总的自由磁量就理所当然地是

M=πa2kX。

① {这种效应依赖于κ的平方，将在第 440 节中研究的力依赖于κ的一次方；因此，既然抗磁性物体的κ是很小的，后一种力就将胜过本节所讨论的这种倾向，只有特例除外。}

② Crelle，bd.xxxvii(1848).

③ Crelle,bd.xlviii(1854).

在这些磁量中，一个量 1 pM是位于柱体的端平面上的

2

①，

a

而从总量M的重心到柱端的距离是 p 。

当κ很小时 p 就很大，从而几乎所有的自由磁都位于柱体的两端。当κ增大时 p 就减小，而自由磁就分散在离柱端较大的距离处。当κ是无限大时，柱体任意点上的自由磁将简单地正比于从该点到中点的距离，这种分布和均匀力场中的一个导体柱上的电荷分布相仿。

440．]在除了铁、镍、钴以外的所有物质中，磁化系数都很小，以致物体的感生磁化只引起磁场中的力的很小变化。因此，作为初级近似，我们可以假设物体内部的实际磁力和物体不存在时的磁力相同。因此，作为

初级近似，物体的表面磁化就是k dV ，此处 dV 是由外部磁体引起的磁

dv dv

势在表面的内向法线方向上的增加率。现在如果算出由这一表面磁化所引起的势，我们就可以用它来得到第二级近似。

为了在这种初级近似下求出由磁量分布所引起的机械能量，我们必须求出在物体的整个表面上计算的面积分

E = 1 ∫∫ kV dV dS

2 dv

现在，我们在第 100 节中已经证明，这一积分等于在物体所占的整个空间中计算的体积分

或者，如果 R 是合磁力，则有

E = − 1 ∫∫∫ kR²dxdydz

现在，既然在一个位移δx 上磁力对物体所作的功是 Xδx，此处 X 是x 方向上的机械力，而且，既然

∫ Xσx + E =常量，

就有

X = − dE = 1

d ∫∫∫ kR²dxdydz = 1 ∫∫∫ k

d．R2

dxdydz,

dx 2 dx 2 dx

而这就表明，作用在物体上的力，就仿佛使物体的每一部分都从 R2 较小的地方运动到 R2 较大的地方一样，而作用在单位体积上的力则是

1. d．R²

2. k dx ．

如果像在抗磁性物体中那样κ是负的，则正如法拉第所首次证明的那样，这个力是从磁场的较强部分指向它的较弱部分的。在抗磁性物体的事例中观察到的多数作用，都取决于这一性质。

① ｛柱体正端的圆柱面上的自由磁量 假设端平面上的密度和 x=l 时的圆柱面上的密度相同，则端平面上的磁量是 于是总的自由磁量就是 当 plα很大时，这个量就等于

船舶的磁学

441．]差不多磁科学的每一个部分，都在航海中有其用处。地磁对罗盘指针的定向作用，是在太阳和星星都隐没时确定船舶航程的唯一方法。指针对直实子午线的偏角，起初似乎是罗盘在航海方面的应用的一种障碍，但是，当这一困难通过磁力海图的绘制而被克服以后，看来磁偏角本身就很可能会帮助海员确定他的船的位置了。

航海中的最大困难，一直是经度的确定；但是，既然磁偏角在同一经度平行线的不同点上是不同的，一种磁偏角的观测和有关纬度的知识一起，就将使海员能够在磁力海图上定出自己的位置了。

但是，近年以来，人们在造船中大量地使用了钢铁，以致不照顾到船舶本身作为一个磁性物体而对指针发生的作用，罗盘的使用就是不可能的了。

正如我们已经看到的那样，确定一块任意形状的铁在地球磁力的影响下的磁量分布，即使铁块没有受到机械胁变或其他干扰的影响也是一个很困难的问题。

然而，在现在这一事例中，部题却通过下面的考虑而得到了简化。 罗盘被假设为放在船上，其中心位于船上的一个固定点，而且离任何

的铁质都很远，以致指针的磁性并不在船上感生任何可觉察的磁性。罗盘指针的体积被假设为很小，以致我们可以认为指针每一点上的磁力都是相同的。

船上的铁被假设为只有两种。 (1)按恒定方式被磁化了的硬铁。

(2)其磁化由地球或其他磁体所感生的软铁。

严格说来我们必须承认，最硬的铁也不仅能够受到感应而且会以各种方式损失其一部分所谓的永久磁化。

最软的铁也能够保持其所谓的剩磁化。铁的实际性质并不能通过它由以上定义的硬铁和软铁所合成来准确地加以表示。但是已经发现，当一只船受到地球磁力的作用而没有受到气候的任何反常作用的影响时，可以假设船的磁性部分地起源于永久磁化而部分地起源于感应，而当把这种假设应用于罗盘的改正时是可以得出足够准确的结果的。

作为罗盘变化理论之基础的那些方程，是由泊松在第五卷 Mémoires de l’Institut，p.533(1824)上给出的。

包含在这些方程中的唯一和感生磁性有关的假设就是，如果起源于外界磁性的一个磁力 X 在船舶的铁中引起一种感生磁化，而这种感生磁化对罗盘指针作用一个其分量为 X＇、Y＇、Z＇的干扰力，那么，如果外磁力按一个给定的比例而发生了变化，则干扰力的分量将按相同的比例而发生变化。

确实，当作用在铁上的磁力很大时，感生磁化就不再和外磁力成正比了，但是对于由地球所引起的那样大小的磁力来说，这种比例性的欠缺却是不可觉察的。

因此在实践中我们就可以假设，如果一个其值为 1 的磁力通过船上铁器的媒介而对罗盘指针作用一个 x 分量为α、其 y 分量为 d 而其 z 分量为g 的干扰力，则由一个沿 x 方向的力 X 所引起的干扰力的分量将是αX、dX 和 gX。

因此，如果我们假设把座标轴固定在船上，使得 x 轴指向船头，y 轴指向右舷，而 z 轴指向龙骨，如果 X、Y、Z 代表地球磁力在这些方向上的分量，而 X＇、Y＇、Z＇代表地球和船作用在罗盘指针上的合磁力的分量，

则有

X＇ = X十aX＋by十cZ＋P， 

Y＇ = Y＋dX＋eY＋fZ＋Q， （1）

Z＇ = Z＋gX＋hY＋kZ＋R 

在这些方程中，a、b、c、d、e、f、g、h、k 是依赖于船上软铁的数量、布置及其感应性能的九个常系数。

P、Q、R 是依赖于船只的永久磁化的常量。

很显然，如果磁感是磁力的线性函数，则这些方程是充分普遍的，因为它们不多不少，恰恰是一个矢量作为另一矢量之线性函数的最普遍的表示式。

也可以证明，它们并不是太普遍的，因为，通过铁的一种适当布置， 任何一个系数都可以被弄得独立于其他系数而变。例如，一根细长的铁棒在纵向磁力的作用下会获得磁极，其中每一磁极的强度在数值上等于棒的截面乘以磁化力再乘以感生磁化系数。一个对棒为横向的磁力会产生弱得多的磁化，其效应在几倍直径的距离处就几乎是觉察不到的。

如果在罗盘指针的前方在向船头方向量去的 x 距离处放一根长铁棒， 那么，设棒的截面是 A 而它的磁化系数是κ，则磁极强度将是 AκX，

ax²

而如果A = k ，则这个磁极对罗盘指针作用的力将是aX。可以假设

棒很长，以致另一个磁极对罗盘的效应可以忽略不计。

这样，我们就得到了使系数α具有任何需要的值的办法。如果我们把截面为 B 的另一根棒放得有一个端点位于同一点上，即位于向船头量去的x 距离处，而棒的长度则伸向右舷，且其远处的一极对罗盘并不发生可觉察的效应，则由这个棒引起的干扰力将是沿着 x 方向的，而且是等于

BkY x2

的，或者，如果B =

bx²

k

，则力将是bY。

因此这个棒就将引入系数 b。

从同一点伸向下方的第三根棒将引入系数 C。系数 d、e、f 可以用从罗盘右侧的一点伸向船头、右舷和下方的三根棒来引入，而 g、h、κ则由从罗盘下面的一点沿上述三个方向摆放的三根棒来引入。

由此可见，九个系数中的每一个系数，都可以通过适当摆放的铁棒来分别地加以改变。

各量 P、Q、R 不过是作用在罗盘上的力的分量，该力起源于船的永久磁化以及由这种永久磁化所引起的那一部分感生磁化。方程组(1)的一种全面讨论，以及船的真实磁学航向和罗盘所示航向之间的关系的全面讨论， 已由阿乞巴耳德·斯密茨先生在海军部的《罗盘偏差手册》(Manual of the Deviation of the Compass)中给出。

那里给出了一种研究问题的很有价值的图解方法。取一个固定点作为原点，从该点开始作一直线，其方向和大小代表着作用在罗盘指针上的实际磁力的水平部分。在船只转来转去而使它的船头逐次采取不同的方位

时，这条直线的端点就描绘出一条曲线，曲线上的每一点都对应于一个特定的方位。

这样一条曲线叫做“磁迹图”(Dygogram)，利用这种图，可以按照船只的磁学航向来给出作用在罗盘上的力的方向和大小。

磁迹图有两种型式。在第一种型式中，曲线画在一个平面上，而该平面在船只转动时是固定在空间中的。在第二种型式中，曲线是画在相对于船为固定的平面上的。

第一种磁迹图是帕斯卡蚶线，第二种磁迹图是椭圆。关于这些曲线的作图和使用，以及许多在数学家看来很有兴趣而在航海家看来也很重要的定理，请读者参阅海军部的《罗盘偏差手册》。

第六章

感生磁的韦伯理论

442．]我们已经看到，泊松假设了铁的磁化就在于每一磁分子内部的两种磁流体的分离。如果我们希望避免关于存在磁流体的假设，我们也可以用另一种形式来叙述同一理论；我们可以说，当磁化力作用在铁的分子上时，每一个分子都会变成一个磁体。

韦伯的理论与此不同。他假设，即使在加上磁化力以前，铁分子也永远是一些磁体，但是，在普通的铁中，各分子的磁轴是不偏不倚地指向各个方向的，从而整块的铁就不会显示任何磁性。

当一个磁力作用在铁上时，它就倾向于把分子的轴都转到同一个方向，这样就会使整块的铁变成一个磁体。

假如所有分子的磁轴都已摆得互相平行，铁就会显示它所能获得的最大磁化强度。因此，韦伯的理论就蕴涵了一个极限磁化强度的存在，从而关于存在这样一个极限的实验证据就是这种理论所必需的。显示着对一个磁化极限值的趋近的实验，曾由焦耳①J．密勒②以及厄翁和娄③作出。

比兹④关于在磁力的作用下沉积出来的电解铁(electrotypeiron)的实验，提供了有关这一极限的最全面的证据。

一条银导线涂了漆，在漆层上划开一条很细的纵向开口，以露出很细的一条金属。然后把这条导线浸入一种铁盐的溶液中，并放入磁场中，使开口沿着一条磁力线的方向。用这根导线作为通过溶液的一个电流的阴极，铁就会一个分子一个分子地沉积在导线的很窄地暴露部分上。然后就对这样形成的一个铁的细丝进行磁的检验。经发现，对于如此小的一部分铁来说，它的磁矩是很大的，而当使一个强大的磁力沿相同方向作用上去时，却发现暂时磁化的增量很小，而永久磁化则并不改变。沿相反方向而作用的一个磁力将立刻使细丝回到按普通方式而被磁化的铁的状况。

韦伯理论认为，在这一事例中，磁化力在每一分子的沉积时刻就把它的磁轴摆到了相同的方向上；这种理论是和观察到的现象符合得很好的。比兹发现，当电解在磁化力的作用下继续进行时，后来沉积下来的铁

的磁化强度就将较小。当各个分子肩并肩地被排在早先已经沉积下来的那些分子旁边时，它们的磁轴或许会偏离磁力线的方向，因此只有在很细的铁条纹的事例中才能得到近似的平行性。

如果像韦伯所假设的那样，铁分子本来就已经是一些磁体，则在它们的电沉积过程中足以使它们的磁轴平行排列的任何磁力，都将足以在沉积丝中产生最高的磁化强度。

另一方面，如果铁分子并不是磁体而只是能够受到磁化，则沉积丝的磁化将依赖于磁化力，其方式和一般软铁依赖于磁化力的方式相同。比兹的实验没有为后一假说留下任何余地。

① AnnalsofElectricity,iv.p.131,1839;Phil.Mag.[4]iii.p.32.

② Pogg.Ann.lxxix.p.337,1850.

③ Phil.Trans.1889.A.p.221.

④ Pogg.cxi.1860.

443．]现在我们将像韦伯那样假设，在铁的每单位体积中共有 n 个磁性分子，而每个磁性分子的磁矩是 m。假如所有分子的磁轴都已摆得相互平行，则单位体积的磁矩将是

M＝nm，

而且这就将是铁所能得到的最大磁化强度。

韦伯假设，在普通铁的非磁化状态中，各分子的磁轴是杂乱无章地沿各个方向摆放的。

为了表示这一点，我们可以假设画出了一个球，而且从球心画一些半径，分别和 n 个分子中的每一个分子的磁轴方向相平行。这些半径的端点的分布，将代表各分子的磁轴的分布。在普通铁的事例中，这 n 个点是均匀地分布在球面的各个部分上的，因此，其磁轴和 x 轴的夹角小于α的分子的数目就是

n (10 cosα),

2

而其磁轴和 x 轴的夹角介于α和α+dα之间的分子的数目就是

n sinαda 2

这就是一块从来未被磁化的铁中的分子分布。

现在让我们假设，使一个磁力 X 沿着 x 轴的方向而作用在铁上，并考虑其磁轴起先和 x 轴成α角的一个分子。

如果这个分子是可以完全自由地转动的，它就会把自己转到磁轴平行于 x 轴的位置，而假如所有的分子都是这样的，则我们将发现最小的磁化力都将足以引发最高的极化程度。然而事实却不是这样的。

各分子并不把他们的磁轴转得平行于 x 轴，而这不是因为每一个分子都受到一个倾向于保持其原始方向的力的作用，就是因为整个分子体系的相互作用引起了一种与此等价的效应。

韦伯作为最简单的假设而采用了前一种假设。它假设，当受到偏转时， 每一个分子都倾向于以一个力而返回其原始位置；这个力和一个沿原始磁轴方向作用的磁力 D 所将产生的力相同。

因此，磁轴所实际采取的位置，就是沿着 X 和 D 的合力方向的。设 APB 代表一个球的截面，球的半径以一定的比例代表着力 D。设半径 OP 平行于某一特定分子在其原始位置上的磁轴。

设 SO 按相同的比例代表被假设为从 S 向 O 而起作用的磁化力X。这样， 如果分子受到一个沿 SO 方向的力 X 和一个平行于分子磁轴之原始方向 OP 的力 D 的作用，则其磁轴将转到 SP 的方向，也就是 X 和 D 的合力的方向。

既然各分子的磁轴起初是沿着一切方向的，P 就可以是球面上随便哪一个点。在 X 小于 D 的图 5 中，磁轴的末位置 SP 可以取任意方向，但却不是完全随便的，因为磁轴转向 A 的分子将比磁轴转向 B 的分子更多。在 X 大于 D 的图 6 中，分子的磁轴将全都包括在和球面相切的锥面 TST＇中。

因此，按照 X 是小于还是大于 D，就有两种不同的事例。设α=AOP，即分子磁轴对 x 轴的初倾角。θ=ASP，即磁轴在受到力 X 的倾转时的倾角。β=SPO，即偏转角。

SO=X， 即 磁 化 力 ① 。 OP=D，即倾向于回返初位置的力。SP=R，即 X 和 D 的合力。

m=分子的磁矩。

于是，倾向于使角θ减小的由 X 引起的力偶矩就是mL=mXsinθ，

而倾向于使θ增大的由 D 引起的力偶矩就是mL=mDsinβ。

令这些值相等并记得β=α-θ，我们就得到

tan θ =

D sin α

X + D cos α

(1)

以确定偏转后的磁轴方向。

其次我们应该求出力 X 在物体中引起的磁化的强度，而为此目的，我们必须把每一个分子的磁矩投影到 x 轴上，然后把所有这些分量加起来。

分子磁矩沿 x 轴方向的分量是mcosθ。

其磁矩之初倾角介于α和α+dα之间的分子数是

n sin αdα

2

因此我们必须记得θ是α的函数并计算积分

I = ∫π mn cosθ sinαdα

(2)

0 2

我们可以把θ和α都用 R 表示出来，于是被积分式就变成

• mn 4x²D

(R² + X ² − D² )dR, (3)

它的不定积分是

• mnR 12X² D

(R² + 3X ² − 3D ² ) + C

(4)

在第一种事例中，即当 X 小于 D 时，积分限是从 R=D+X 到 R=D-X。在第二种事例中，即当 X 大于 D 时，积分限是从 R=X+D 到 R=X-D。

当 X 小于 D 时，有

I = 2 mn X (5)

1. D

当 X 等于 D 时，有

I = 2 mn 3

当 X 大于 D 时，有

(6)

① {作用在磁体内部一个磁极上的力是不确定的，它依赖于磁极所在的空腔的形状。例如力 X 是不确定的， 因为，既然我们关于分子磁体的形状及布置一无所知，那也就没有任何理由假设力是一种形状的空腔中的那个力而不是另一种形状的空腔中的那个力。于是，看样子，除非作出别的假设，我们似乎应该令X=X0+pI，式中 X0 是外磁力而 p 是我们只知道它介于 0 和 4π之间的一个常数。在铁中，I 比 X0 大得多； 由于有这种事实，这里的不确定性就更加讨厌，因为包含不确定性的那一项可以是两项之中更加重要得多的一项。｝

1 D ²

I = mn(1 − 3 X 2 ); (7)

而当 X 变为无限大时则有I=mn(8)

按照韦伯①所采用的这种理论的形式，当磁化力从 0 增大到 D 时，磁化就按相同的比例而增大。当磁化力达到 D 这个值时，磁化是极限值的三分之二。当磁化力进一步增大时，磁化不是无限地增大而是趋于一个有限的极限。

图 7

磁化的规律如图 7 所示。图中的磁化力是从 0 向右算起的，而磁化则用纵座标来代表。韦伯自己的实验给出了和这一规律符合得令人满意的结果。然而，也可能 D 值并不是对同一块铁中的所有分子都相同，从而从由0 至 E 的直线到 E 以后的曲线的过渡也可能并不像图中所示的那样突然。

444．]这种形式的理论并不能对剩磁化作出任何说明，而人们发现， 当磁化力被取消以后，剩磁化是存在的。因此我曾经想到，有必要检查再作出一条假设的后果，这条假设牵涉到分子的平衡位置可以永久性地改变的条件。

让我们假设，如果被偏转了任意一个小于β0 的角度β，磁性分子的轴线在致偏力被取消时将返回其原始位置，但是，如果偏转角β超过β0，则当致偏力被取消时磁轴并不会回返到原始位置，而是将永久性地偏转一个角度β-β ，这个角度可以叫做分子的永久取向①。

这条关于分子偏转规律的假设，并不能认为是建筑在任何有关物体之内部结构的确切知识上的，这只不过是我们由于对事情的真实情况全无所知而采取的一种追随韦伯所提示的猜想的想像方式而已。

设 L=Dsinβ0，(9)

那么，如果作用在一个分子上的力偶矩小于 mL，就不会有任何永久偏转； 但是，如果力偶矩超过了 L，那就会出现平衡位置的永久改变了。

为了追索这一假设的后果，设作中心在 O 点而半径为 OL=L 的一个球。

只要 X 还小于 L，一切情况就将和以前考虑过的事例中的情况相同； 但是，一旦 X 超过了 L，它就将开始引起某些分子的永久偏转。

让我们考虑图 8 中的事例，这时 X 大于 L 而小于 D。以 S 为顶

点作一个双锥面和球 L 相切。设这个锥面和球 D 交于 P 及 Q。那么， 如果一个分子的磁轴在它的初位置上是位于 OA 和 OP 之间或 OB 和 OQ 之间的，则它将偏过一个小于β0 的角度，从而就不会有永久偏转。但是，如果分子的磁轴起初位于 OP 和 OQ 之间，则将有一个力矩大于 L 的力偶作用在分子上并使它偏转到位置 SP 上，而当力 X 停止作用时，分子并不会回返原来的取向而是采取永久偏转的方向 OP。

让我们令

L=Xsinθ0 式中θ0=PSA 或 QSB，

于是，按照以前的假说其磁轴将具有介于θ0 和π-θ0 之间的θ值

① {麦克斯韦所真正作出的，似乎并不是本节叙述的这条假设，而是在第 445 节的脚注中论述的那种假设。}

图 8 图 9

的所有那些分子，在力 X 的作用过程中都将被弄得具有θ0 这个值。

因此，在力 X 的作用过程中，那些在偏转以后磁轴位于半顶角为θ0 的双锥面的任一片内的分子，都将像在以前的事例中一样地排列，但是， 那些按照以前的理论其磁轴将位于两片锥面之外的分子却将永久性地受到偏转，使得它们的磁轴将在锥面指向 A 的那一片附近形成一种密集带。

随着 X 的增大，属于 B 点周围那一锥面的分子数就持续减小，而当 X 变为等于 D 时，所有的分子就都已被迫离开了它们从前的平衡位置，而转到 A 点周围的锥面一带了；因此，当 X 变得大于 D 时，所有的分子就将形成锥面的一部分或密集在锥面附近了。

当力 X 被撤消时，在 X 小于 L 的事例中一切情况就都会返回原始的状态。当 X 介于 L 和 D 之间时，将有一个围绕 A 点的而其半顶角为

AOP=θ0+β0

的锥面，和一个围绕 B 点的而其半顶角为BOQ=θ0-β0

的锥面。在这些锥面内部，分子的磁轴是均匀分布的。但是，其磁轴的原始方向位于这两个锥面之外的所有分子，却都已经被驱离了它们的原始位置而在 A 点周围的锥面附近形成了密集带。

如果 X 大于 D，则 B 点周围的圆锥将完全分散，而起先形成这一圆锥的所有分子将被转化成 A 点周围的密集带，而其倾角则是θW+β0。

445．]用和以前相同的办法处理这一事例①，我们就能求得在力 X 作用期间的暂时磁化强度，此处的 X 是

被假设为作用在以前从示被磁化过的铁上的。当 X 小于 L 时，

I = 2 M X

3 D

当 X 等于 L 时，

I = 2 M L

3 D

当 X 介于 L 和 D 之间时，

① [正文中给出的结果，除了一点小小的例外，都可以按照下述的手续得出。第 444 节中的修订理论的叙述如下：一个磁性分子的磁轴，如果偏转了一个小于β0 的角β，则当致偏力被撤消时将返回其原始位置； 但是，当偏转超过了β0 时，倾向于反抗偏转的力就会垮掉而允许分子偏转到和其偏转为β0 的分子相同的方向，而当致偏力被撤消时，分子就将采取一个方向，平行于其偏转本为β0 的那种分子的方向。这个方向可以叫做分子的永久取向。在 X＞L＜D 的事例中，磁矩的表示式 I 包括两个部分。第一部分是由锥面AOP 和 BOQ 中的分子引起的，可以按照和第 443 节中的方法完全相同的方法来求出，只要适当注意到积分限就行了。参照图 8，我们按照以上的理论叙述就能求得表示式的第二部分 经过化简，这两部分就共同给出正文中的结果。当 X＞D 时，积分又是包括两部分，其中一部分正如在第 443 节中那样应在圆锥 AOP 上计算。第二部分是（见图 9） 经过化简以后，这一事例中的 I 的值和正文中所给的值在第三项上 给数值表的影响就是，当 X=6、7、8 时，对应的 I 值将是 887、917、936。这些变化并不会改变图 10 中所给的暂时磁化曲线的一般特点。图 8 的事例中的 I＇值是 图 9 的事例中的 I＇值可按类似的方式求出。]

2 X

L2 



I = M3 D + (1 − X2 ) − 

 

当 X 等于 D 时，



2 1

L2 3 

I = M3 + 3 (1 − D2 ) ² 

 

当 X 大于 D 时，

 ³ 

1 X 1 1 D (D ² − L² ) ² 

I = M + − +



− (2X ² − 3XD + L² )

3 D 2 6 X



6X ²D

6X ²D 



当 X 为无限大时， I=M。

当 X 小于 L 时，磁化服从以前的规律，而且是和磁化力成正比的。一旦 X 超过了 L，磁化就会有一个更快的增加率，因为这时有些分子开始被从一个圆锥转送到另一个圆锥。然而，随着形成负圆锥的分子数的减少，这种迅速的增大很快就会停止，而最后磁化就会达到极限值 M。

假若我们必须假设不同的分子具有不同的 L 值和 D 值，我们就会得到不同的磁化阶段区别得并非如此明显的一种结果。

由磁化力 X 引起而当该力已被撤消时才能观察到的剩磁化 I＇如下所述：

当 X 小于 L 时，没有剩磁化。当 X 介于 L 和 D 之间时，

L2 L2

I' = M(1 − D2 )(1 − X 2 )

当 X 等于 D 时，

L2 I' = M(1 − D 2 )

当 X 大于 D 时

2

1  L² 

I' = 4 M1 − XD + 

当 X 为无限大时

2

1  

I' = 4 M1 + 

如果令M=1000，L=3，D=5，

我们就得到下列的暂时磁化和剩磁化的值

剩磁化曲线在 X=L 时开始，并趋近于一条渐近线．其纵座标=0.81M。必须记得，这样求得的剩磁对应于一种情况，即当外力被撤消时并不

存在任何起源于物体本身之磁性分布的去磁力。因此，这种计算只适用于很长的纵向磁化的物体。在短粗物体的事例中，剩磁将由于自由磁的反作用而有所减小，其方式正如有一个反向的外磁化力作用在物体上一样①。

446.]在这种理论中我们作出了如此多的假设和引用了

如此多的调节常量；这样一种理论的科学价值，并不能单纯地根据它和某一组实验的数值符合来加以评估。如果它还有任何价值，那就是因为它使我们能够对一块铁中在磁化过程中出现的变化得到一种思维形象。为了检验理论，我们必须把它应用于这样一个事例：一块铁在受到一个磁化力 X1 的作用以后又受到一个磁化力 X1 的作用。

如果新力X1 是沿着和X0 的作用方向相同的方向（我们将称之为正方向) 而作用的，那么，如果 X1 小于 X0，则它将不会引起分子的任何永久取向， 从而当 X1 被撤消以后，剩磁化将和由 X0 所引起的相同。如果 X1 大于 X0， 则它所引起的效应将和 X0 不曾起过作用时的效应完全相同。

但是，让我们假设 X1 是沿负方向而作用的，并且让我们假设X0=Lcosecθ0，而 X1=-Lcosecθ1

当 X1 在数值上增大时，θ1 就减小。X1 将引起其永久偏转的第一批分子，就是形成 A 点周围的锥面之密集带的那些分子①，以及当未受偏转时有

① {试考虑这样一个事例：一块铁沿正方向受到一个磁力的作用，该磁力从零增加到个足以产生永久磁化的值 X0，然后又减小到零。很显然，按照上述的理论，由于给予某些分子磁体以永久性的取向，对于磁化力的一个给定值来说，磁化强度在磁化力减小时将比减小时将比在磁化力增加时为大．因此，铁在磁场中的行为将依赖于他的以前处理．这一效应被厄翁称为“磁滞”，他充分地研究了这种效应（见 Phil．Trans．Part Ⅱ，1885）。然而，第 445 节中给出的理论却不能解释厄翁所发现的现象的全部。因为，如果我们在上一事例中在减小了磁力之后又增大它，则针对一个值 X1＜X0 来说，磁化强度的值应该和磁力第一次减小到X1 时相同。然而厄翁的研究却表明情况不是这样。这些研究以及类似的研究的一种简短介绍，将在本书的补遗卷中给出。}

① {这里假设，在图 8 和图 9 中，P 点是位于 C 点的右方的。}

一个倾角θ0＋β0 的那些分子。

一旦θ1-β0 变到小于θ0+β0，去磁过程就将开始。既然这时θ1=θ0+2 β，去磁开始时所要求的力 X1 就将小于引起磁化的力 X0。

假如 D 值及 L 值对所有的分子来说都是相同的，则 X1 的很小增量就将把所有磁轴倾角为θ0+β0 的分子都转到一个磁轴对负轴 OB 的倾角为θ1+ β0 的位置上去。

虽然去磁并不是按一种如此突然的方式发生的，但是它却发生得相当迅速，以致给过程的这种解释模式提供了某种支持。现在让我们假设，通过取一个反向力 X1 的适当值，我们在撤消 X1 后恰好使铁块完全去了磁。

现在，各分子的磁轴将不会像在一块从来未被磁化的铁中那样完全随便地分布在一切方向上，而是将形成三组。

1. 在一个围绕正极而半顶角为θ1-θ0 的锥面内，分子的磁轴保持在他们的原始位置上。

2. 在一个围绕负极而半顶角为θ0-β0 的锥面内，情况也如此。

3. 所有其他分子的磁轴方向形成一个围绕负极的锥面，而其倾角为θ

₁+β0。

当 X0 大于 D 时，第二组是不存在的。当 X1 大于 D 时，第一组也不存在。因此，尽管在外观上去了磁，铁的状态却是和一块从来未经磁化的铁

的状态不同的。

为了证明这一点，让我们考虑一个沿正方向或负方向而作用的磁化力X2 的效应。这样一个力的第一种永久效应将发生在磁轴和负方向成角θ1+ β0 的第三组分子上。

如果 X2 是沿负方向作用的，则一旦θ2+β0 变成小于θ1+β0，也就是说一旦 X2 变成大于 X1，它就将开始产生永久性的效应。但是，如果 X2 是沿正方向作用的，则一旦θ2-β0 变成小于θ1+β0，也就是说当θ2=θ1+2 β0 即当 X2 还比 X1 小得多时，X2 就将开始再引起铁的磁化。

因此，由我们的假说可以看出：

当一块铁受到一个力 X0 的磁化时，不加上一个大于 X0 的力就不能使它的剩磁有所增加。一个小于 X0 的反向力就足以使它的剩磁有所减少。

如果铁被一个反向力所完全去磁，不加上一个大于 X1 的力就不能沿反方向把它磁化，但是一个小于 X1 的正向力却足以开始沿原有的方向而把它再磁化。

这些结果是和瑞奇①、雅考比②、马瑞安尼尼③以及焦耳④所实际观察到的结果相一致的。

关于铁及钢的磁化和磁力的及机械胁变的关系的一种很全面的论述， 已由魏德曼在他的《动电》一书中给出。他通过磁化的效应和扭变的效应

① Phil.Mag.3,1833.

② Pogg.,Ann.,31,367,1834.

③ Ann.de.ChimieetdePhysique,16,pp.436and448,1846.

④ phil.Turans.,1856,p.287.

的一种仔细比较已经证明，我们通过有关线材之暂时扭变和永久扭变的实验而导出的关于弹性和塑性的概念，可以同等适当地应用于铁及钢的暂时磁化和永久磁化。

447.]马吐西⑤发现，一个硬铁棒在受到磁化力时的拉伸，会增大其暂时磁化⑥。这一点曾由外尔泰姆加以证实。在软铁棒的事例中，磁性会因拉伸而减小。

一根铁棒的永久磁性当棒被拉伸时就增大，当它被压缩时就减小。因此，如果一块铁首先沿着一个方向被磁化然后沿着另一方向被拉伸，则磁化的方向将倾向于趋近拉伸的方向。如果它被压缩，则磁化的方向将倾向于变得和压缩方向相垂直。

这就解释了魏德曼的一个实验的结果。在一条竖直的导线中由上向下通一个电流。如果在电流正在通过或在它已经停止以后，把导线按右手螺旋方向加以扭转，则导线的下端变成一个北极。

在这儿，向下的电流对导线的每一部分沿切线方向进行磁化，正如字母 NS 所指示的那样。

沿右手螺旋方向对导线的扭转，使得 ABCD 这一部分沿对角线 AC 而被拉伸，并沿对角线 BD 而被压缩。因此，磁化方向就倾向于趋近 AC 而背离BD，于是下端就变成北极而上端就变成南极。

磁化对磁体尺寸的影响

448.]焦耳①在 1842 年发现，当一根铁棒被围绕它的一个线圈中的电流所磁化时，它就会变长。后来他②又通过把铁棒放在一个玻璃管里的水中来证明了，铁的体积并不会因为磁化而变大，从而他就得出结论说，它的横向线度缩小了。

最后，他使一个电流通过一根铁管的轴线并由管外返回，这样就使铁管变成了一条闭合的磁管。经发现，铁管的轴线在这一事例中是缩短了的。

他发现，在纵向压力下，一根铁棒当被磁化时也会伸长。然而，当铁棒受到相当大的纵向拉力时，磁化的效应却是使它缩短。在一根硬钢丝的事例中，磁化力的效应却总是使钢丝缩短，不论钢丝是处于拉力还是处于压力作用之下。长度的改变只有当磁化力还在起作用时才是存在的，没有观察到由钢的永久磁化而引起的任何长度变化。

焦耳发现，铁导线的伸长近似地正比于实际磁化的平方，从而一个去磁电流的最初效应就是使导线缩短①。另一方面，他发现，对拉力作用下的铁导线和对钢来说，缩短效应是正比于磁化强度和磁化电流的乘积而变的。

魏德曼发现，如果一根竖直导线被磁化得上端成为南极，并且由上向

⑤ Ann.dechimieetdePhysigue,53.p.385,1858.

⑥ {威拉利曾经证明，只有当磁化力小于某一临界值时，这种结论才是对的，但是当磁化力超过临界值时， 拉伸却会引起磁化强度的减小；Pogg.Ann.,126，p.87,1865．正文中关于软铁棒之行为的论述，对于小胁变和弱磁场是不成立的。}

① Sturgeon’sAnnalsofElectricity,vol.viii ．p．219.

② Phil.Mag.,xxx1847.

① {歇耳福·比德外耳曾经证明，当磁化力很大时，磁体的长度是随磁化力的增大而减小的。proc.Roy.Soc.xl.P.109.}

下在导线中通一个电流，如果导线的下端是自由的，则从上向下看去时， 导线的下端是按顺时针的方向而扭转的；或者换句话说，导线将像一个右手螺旋那样地发生扭转，如果纵向电流和磁化电流之间的关系是右手关系的话。

在这一事例中，电流的作用和由早先存在的磁化而造成的合磁化，是沿着右手螺旋的方向而围绕导线的。因此，这种扭转就似乎表明，当铁受到磁化时，它就沿着磁化的方向而膨胀并沿着垂直于磁化的方向而收缩。这是和焦耳的结果相一致的。

关于磁化理论的进一步发展，请参阅第 832—845 节。

第七章 磁学测量

449．]主要的磁学测量就是一个磁体的磁轴和磁矩的测定，以及一个给定位置上的磁力的方向和强度的测定。

既然这些测量是在地面附近进行的，磁体就总是既受到地磁的作用又受到重力的作用的，而且，既然各个磁体是用钢做成的，它们的磁性就部分地是永久磁性而部分地是感生磁性。永久磁性会被温度的变化、被强烈感应和被激烈的敲打所改变；感生磁性会随着外磁力的每一次变化而变化。

观察作用在一个磁体上的力的最方便办法就是使磁体可以绕着一条竖直轴线而自由转动。在普通的罗盘中，这是通过把磁体平衡地支放在一个支轴上来作到的。支轴的尖端越细，干扰磁力作用的摩擦力矩就越小。为了更精密的观察，磁体是用无扭转的丝线悬挂起来的；这种悬线是一根单丝或几根丝合并成的一条线，每根丝互相平行，各自负担尽可能相等的部分重量。这样一根线的扭力比同样强度的金属线的扭力要小得多，而且可以借助于磁体的方位而计算出来，而由支轴的摩擦所引起的力则不是这样的。通过转动装在固定螺母中的螺丝，悬线可以升高或降低。悬线是绕在螺丝的螺纹上的，因此当螺丝转动时悬线永远沿同一竖直线悬挂着。

悬线下面挂着一个水平的圆圈，上有刻度，叫做“扭转圆”；另外还挂着一个附有指针的镫形器，可以任意调节，以使指针和扭转圆上的任一刻度相重合。镫形器的造型使得磁棒可以放在上面，使其轴线水平，其四个侧面中的任一侧面都可以朝上。

为了保证零扭转，把一个和磁体重量相同的非磁性物体放在镫形器上，并定出平衡时的扭转圆位置。

磁体本身是一块硬淬火的钢。按照高斯和韦伯的研究，它的长度至少要是它的最大横向线度的八倍。当磁体内部的磁轴方向之永久性是最首要的考虑时，这一点是必要的。当所要求的是运动的及时性时，磁体就应该短一些，而当观察磁力的突然变化时，甚至宜于使用一根横向磁化的棒， 并把它挂得最长的线度位于竖直方向①。

450．]磁体上附有测定其角位置的装置。为了普通的目的，磁体的两端做成两个尖，而在它的下面装一个刻度图；利用这个刻度圆，就可以用肉眼读出两个尖端的位置，这时人眼应位于通过悬线和磁针尖端的平面上。

为了更精确的观察，一个平面镜被固定在磁体上，使得镜面的法线尽可能接近地和磁化轴相重合。这就是高斯和韦伯所采用的方法。

另一种方法是在磁体的一端装一个透镜，而在其另一端装一个用玻璃制成的标尺，透镜和标尺之间的距离等于透镜的主焦距。标尺零点和透镜光心的连线应该尽可能接近地和磁轴相重合。

因为这些确定悬挂仪器之角位置的光学方法在许多物理研究中是有很大重要性的，我们将在这里一劳永逸地考虑考虑它们的数学理论。

① Joule,Puoc.Phil．Soc.,Manchester.,Nov.29,1864.

镜尺法的理论

我们将假设，要测定其角位置的那件仪器是可以绕着一个竖直轴转动的。这个轴通常是悬挂仪器的一根悬丝或金属线。镜面必须真正是平面， 这样，一个毫米标尺就可以通过反射而在离镜面数米处被看到。

镜面中点上的法线应该通过悬挂轴线，而且应该是严格水平的。我们将把这一法线称为仪器的准直线(line of collimation)。大致地确定了准直线在所要进行的实验过程中的平均方向以后，在镜面前面的一个适当距离上，在略高于镜面的水平面的地方架起一个望远镜来。

这个望远镜可以在竖直平面内运动，它指向悬丝上略高于镜面的地方，另外再在视线上设立一个固定的标记，标记到物镜的距离等于镜面到物镜的距离的两倍。如果可能的话，仪器应该安装得使这个标记是在一面墙上或在其他固定物体上。为了同时在望远镜中看到标记和悬丝，可以在物镜上加一个盖子，盖子上沿着竖直的直径开一细缝。在进行别的观察时应把这个盖子取掉。然后调节望远镜，使得标记可被清楚地看到和望远镜焦点上竖丝相重合。然后把一根铅垂线调节得切近地通过物镜光心的前面并位于望远镜的下方。在望远镜下方恰好在铅垂线之后的位置上装一个具有相等刻度的标尺，使它被通过标记、悬丝和铅垂线的平面所垂直平分。标尺和物镜的离地高度之和应该等于镜面的离地高度的两倍。现在，望远镜既已指向镜面，观察者就将在望远镜中看到标尺的反射像。如果标尺上被铅垂线穿越的那一部分显得是和望远镜的竖丝相重合的，镜面的准直线就是和标记及物镜光心的平面相重合的。如果竖丝和标尺上的任何其他刻度相重合，准直线的角位置就应如下求出：

设纸面是水平的，而不同的点就投影在这一平面上。设 O 为望远镜物镜的中心，P 为固定标记：P 和望远镜竖丝相对于物镜来说是共轭焦点。设M 是 OP 和镜面的交点。设 MN 是镜面的法线，则 OMN=θ是准直线和固定平面所夹的角。设 MS 是 OM 和 MN 的平面上的一条满足 NMS=OMN 的直线，则 S 是通过反射将被看到和望远镜竖丝相重合的那一部分标尺。现在，既然 MN 是水平的，投影在图上的角度 OMN 和 NMS 就是相等的，从而 OMS=2θ。由此即得 OS=OMtan2θ。

因此我们必须按标尺的刻度来量度 OM；然后，如果s0 是标尺上和铅垂线相重合的度数，而 s 是观察到的度数，则有

S-S0=OMtan2θ，

由此就可以求出θ。我们在量度 OM 时必须记得，如果镜子是由背面镀银

t

的玻璃构成的，则竖直反射面是在玻璃前表面后边一段距离 μ 处，此

处 t 是玻璃的厚度而μ是折射率。

我们也必须记得，如果悬线并不通过反射点，则 M 的位置将随θ而变。因此，如果可能，最好使镜子的中心和悬线相重合。

也值得建议把标尺作成以悬线为轴的凹圆柱面的形状，特别是当有必要观察大的角度变化时。这样，角度就立即是按圆周测量的，用不着查正切表。标尺应该仔细调节，使得柱轴和悬丝相重合。标尺上的数字应该永

远沿同一方向从一端排到另一端，以避免负读数。图 15 代表必须和镜面及倒向望远镜一起应用的一个标尺的中间部分。

当运动较慢时，这种观察方法是最好的。观察者坐在望远镜旁，并看到标尺的像运动着向右或向左而通过望远镜的竖丝。利用他旁边的一个时钟，他可以记下标尺上一个给定的刻度通过竖丝的时刻，或是记下在给定秒数通过竖丝的标尺刻度，而且他也可以记录每一次振动的两端界限。

当运动更快时，就将不可能读出标尺刻度，只除了在振动极限的静止时刻以外。可以在标尺的一个已知的刻度上作一个明显记号，并注意这个记号的通过时刻。

当仪器很轻而力又是变化的时，运动就会如此地灵活而迅速，以致通过一个望远镜来进行的观察将成为无用的。在这一事例中，观察者可以直接注视标尺，并观察由一个灯投射到标尺上的竖丝像的运动。

很显然，既然经过镜面反射和物镜折射而成的标尺像是和竖丝相重合的，那么，如果充分照明，竖丝的像就将和标尺相重合。为了观察这一点， 房间必须遮暗，并使一个灯的会聚光线向着物镜而射在竖丝上。在标尺上， 就看到一片光亮上面竖立着竖丝的暗影。它的运动可用眼睛追踪，而它停在那儿的那个标尺刻度就可以经过注视而定下来，并且被从容不迫地读出。如果想要注意光点通过标尺上一个给定地点的时刻，可以在那儿放一根针或一根光亮的金属丝，这样当光点通过时就会看到闪光。

通过用薄膜上的小孔来代替叉丝，像就变成一个在标尺上左右运动的小光点；而通过把标尺换成一个用时钟装置使之绕水平轴面转动的上面卷有作图纸的圆筒，光点就在上面描出一条曲线，而这条曲线可以在事后被弄成可见的。这条曲线的每一个横座标对应于一个特定的时刻，而其纵座标则指示镜子在该时刻的角位置。按照这种方法，已经在丘市观测站和其他观测站上建立了连续记录地磁之所有要素的自动系统。

在某些事例中，望远镜被略去，而一根竖丝则被放在它后面的一个灯所照亮，而镜面则是一个凹面镜，它在标尺上造成竖丝的像，那是一个光斑上的一道黑线。

451．]在丘市的可携式仪器中，磁体被做成了一个管子，一端装有透镜，而另一端则装有标尺，经过调节，标尺位于透镜的主焦面上。光由标尺后面射入，通过透镜以后用一个望远镜来加以观察。

既然标尺是位于透镜的主焦面上的，来自任一标尺刻度处的光就都会从透镜平行射出，而如果望远镜是聚焦在无限远处的，它就会使标尺的像和望远镜的叉丝相重合。如果一个给定的标尺刻度和叉丝交点相重合，则该刻度和透镜光心的连线必然平行于望远镜的准直线。通过固定磁体而移动望远镜，我们可以确定标尺刻度的角度值；然后，当磁体被挂起而望远镜的位置为已知时，我们就能通过读出和叉丝相重合的标尺刻度来测定磁体在任一时刻的位置。

望远镜架在一个臂上，这个臂的中心位于悬丝的直线上，而望远镜的位置则通过仪器方位圆上的游标来读出。

这种安排对于一个小的可携式磁强计是合用的；在那种磁强计中，整个仪器都装在同一个三脚架上，而且由偶然干扰所造成的振动将很快地衰减掉。

磁体轴线方向的确定和地磁方向的确定

452．]设在一个磁体内画一个座标系；假设磁体是一个长方体，座标系的 z 轴沿磁体长度的方向，而 X 轴和 y 轴垂直于其他侧表面。

设 l、m、n 和λ、μ、ν分别是磁轴及准直线和这些座标轴之间的夹角。

设 M 是磁体的磁短，H 是地磁的水平分量，Z 是竖直分量，而δ是 H 的从北向西计算的方位角。

设ζ是观察到的准直线的方位角，a 是镫形器的方位角，而β是扭转圆上的指针读数，于是 a-β就是悬丝下端的方位角。设γ是当没有扭力时的α—β的值，则倾向于使α减小的扭力矩就将是

τ(α-β-γ)，

式中τ是依赖于悬丝本性的扭转系数。

为了确定 x 轴和准直线在 xz 平面上的夹角λx，固定镫形器，使得 y 轴竖直向上，z 轴指北而 x 轴指西，然后观察准直线的方位角ζ。然后取下磁体，把它绕 z 轴转一个π角再放在这个反了个儿的位置上，然后观察当 y 轴向下而 x 轴指西时的准直线方位角ζ′，

ζ = α + π − λ ,

2 x

π

= α − + λ

（1）

（2）

2 x

由此即得

λ = π + 1 (ζ'−ζ) （3）

^x 2 2

其次，把镫形器挂在悬丝上并把磁体放上去，仔细地调节它以作到 y 轴竖向上，于是倾向于使α增大的力矩就是

MH sinm sin( π l

2 x

) − τ(α − β − γ);（4）

式中 lx 是 x 轴和磁轴在 xz 平面上的投影之间的夹角。但是，如果ζ是观察到的准直线的方位角，则有

π

ζ = α + 2 − λ x , （5）

于是力[矩]就可以写成

MH sinm sin(σ − ζ + l

− λ ) − τ(

π )（6）

_{x x} ζ + λ x − 2 − β − γ

当仪器处于平衡时，这个量对一个特定的ζ值变为零。

当仪器永不停止而必须在一种振动状态下来加以观察时，对应于平衡位置的ζ值可以用一种即将在第 735 节中加以描述的方法来进行计算。

当扭力矩远小于磁力矩时，我们可以用δ-ζ+ιx-λx 来代替它的正弦。

如果我们使扭转圆的读数β取两个值β1 和β2，而ζ1 和ζ2 是对应的

ζ值，则有

MH(ζ2-ζ1)sinm=ι(ζ1-ζ2-β1+β2)，(7) 或者，如果我们令

ζ2 − ζ1 τ

ζ1 − ζ2 − β1 + β2

则有

τ=τ′MHsinm，(8)

而方程(6)除以 MHsinm 后就变成

σ − ζ + l

− λ τ' (

π ) = 0

(9)

_{x x} ζ + λ x − 2 − β − γ

如果我们现在把磁体翻过来，使得 y 轴向下，并调节仪器直到 y 轴确切竖直，而如果这时ζ′是方位角的新值，而σ′是对应的倾角，则

σ'−ζ'−l + λ

− τ' (ζ'−λ

π

+ − β − γ ) = 0,

（10）

x x x 2

由此即得

σ + σ' = 1 (ζ + ζ' ) + 1 τ'{ζ + ζ'−2(β + γ )}

（11）

2 2 2

现在必须调节扭转圆，使得τ′的系数尽可能接近于零。为此目的， 我们必须确定当没有扭力时的α—β的值γ此点可以这样作到：放上一个和磁体等重的非磁性棒，并在平衡状态下测定α—β。既然τ＇很小，测定时并不要求多大的精确度。另一种方法是利用一个和磁体等重的扭转棒，

l

里边含有一个很小的磁体，其磁矩是主磁体之磁矩的 n 倍。既然τ并不

改变，τ＇就将变成 nτ＇，而如果ξ1 和ξ1＇是利用扭转棒求得的ξ值， 就有

σ + σ' = 1 (ζ

+ ζ ') + 1 nτ'{ζ

+ ζ '−2(β + γ)}（12）

2 2 1 1 2 1 1

从(11)中减去此式，即得

2( n − 1)(β + γ ) = (n + 1 )(ζ 1 + ζ ' ) − (1 + 1 )(ζ + ζ' )（13）

τ' ^{1 1} τ'

既经用这种办法求出了β+γ的值，就应该改变扭转圆的读数，直到在仪器的普通位置下尽可能近似地作到

ζ+ζ′-2(β+γ)=0，（14)

这时，既然τ′是一个很小的数，而且它的系数也很小，τ′值和γ 值的微小误差就不会引起δ表示式中第二项的值的多大变化，而τ′和γ 正是我们知道最不准确的两个量。

磁倾角δ的值可以用这种办法相当精确地求出，如果它在实验过程中保持不变，从而我们可求假设δ′=δ的话。当要求很大的精确度时，必须照顾到δ在实验时间内的变化。为此目的，必须在观察ζ值的各个相同时刻对另一个悬挂着的磁体进行观察。如果η、η′是观察到的对应于ζ和ζ′的第二个磁体的方位角，而δ和δ′是对应的δ值，则有

δ-δ=η′-η(15)

由此可见，为了求出δ值，我们必须在(11)式中加一个改正量

1 (η − η' )

2

因此，第一次观察时的倾角就是

σ = 1 (ζ + ζ'+η − η') + 1 τ'(ζ + ζ'−2β − 2γ ) （16）

2 2

为了求出磁体内部的磁轴方向，从(9)减去(10)并加上(15)，即得

l = λ 1 ζ − ζ 1 η − η'+2λ - π) (17)

_{x x} + 2 ( ' ) - 2 (

使棒的两面分别朝下来重复进行实验，即令 x 轴竖直向上和竖直向下，我们就可以求出 m。如果准直线是可以调节的，它就必须被调得尽可能近似地重合，这样由于磁体并不是正好翻转而引起的误差就可以尽可能地小①。

关于磁力的测量

453．]最重要的磁力测量就是确定一个磁体的磁矩 M 和确定地磁水平分量强度的那些测量。通常这是通过结合运用两个实验的结果来进行的， 一个实验确定这两个量的比值，而另一个实验则确定它们的乘积。

由一个磁矩为 M 的无限小的磁体在磁轴正方向的延线上离磁体中心为r 处一点引起的磁力强度是

R = 2 M

r 3

(1)

而且是沿 r 方向的。如果磁体具有有限的大小，但却是球形的，而且是沿着轴线方向均匀磁化的，则上述的力值仍是准确的。如果磁体是一个长度为 2L 的圆柱形磁棒，则

M L² L⁴

R = 2 r 3 (1+ 2 r 2 + 3 r 4 +

) （2）

如果磁体是任意种类的，只要它的一切线度都远小于 r，则有

R = 2 M (1+ A 1 + A 1 +



)，（3）

r 3 1 r 2 r 2

式中 A1、A2 等等是一些依赖于磁棒之磁化分布的系数。

设 H 是任意地方的地磁水平分量的强度。H 是指向磁北方的。设 r 是向磁西方量度的，则 r 终点上的力将是向北的 H 和向西的 R。合力将和磁子午面夹一个角度，设向西量度为θ，而且

R＝Htanθ。(4)

因此，为了测定 R ，我们可以进行如下：

H

既经确定了磁北的方向，把一个尺寸不应该太大的磁体像在前面的实验中那样悬挂起来，而致偏磁体 M 则摆在悬挂磁体的正磁东方，在同一水平面内，从它的中心到悬挂磁体中心的距离为 r。

M 的磁轴要仔细地调到水平，并指向 r 的方向。在拿过 M 来以前和在把它摆好以后，对悬挂磁体进行观察。设θ是观察到的偏角，如果应用近似公式(1)，我们就有

M = r ³

H 2 tan θ; （5）

或者，如果我们应用公式(3)，就有

① 参阅论文‘ImperfectInrersion,’byW.Swan.Trans.R.S.Edin.vol.xxi(1855),p.349

1 H r ³ tanθ = 1 + A 2 M

1 + A

1 r

1 +

2 r 2

(6)

这儿我们必须记得，尽管偏角θ可以观察得很精确，磁体中心之间的距离 r 却是一个不容易准确测定的量，除非两个磁体都是固定的，而且它们的中心是用记号标明了的。

这种困难可以克服如下：

磁体 M 放在一个刻了度的标尺上，标尺沿东西方向伸向悬挂磁体的两侧。M 两端之间的中点被认为是磁体的中心。这个点可以在磁体上标出， 它的位置可以在标尺上观测，或者也可以观测其两端的位置并取算术平均值。设这个平均值为 s1，并设悬挂磁体的悬丝延线和标尺相交于 s0，就有r1=s1-s0，式中 s1 为精确地已知而 s0 为近似地已知。设θ是当 M 在这一位置上时观察到的偏角。

现在把 M 反向，就是说，把它两端颠倒过来摆在标尺上，这时 r1 将相同，但是 M 和 A1、A2 等等则将变号，因此；如果 Q2 是向西的偏角，则有

- 1 H r ³tanθ

1 1

= 1 - A + A

- (7)

2 M ¹

2 1 2 2

1 1

取(6)和(7)的算术平均值，即得

1 H r ³(tan θ

• tan θ

) = 1 + A

1 + A 1

（8）

4 M ¹

1 2 2 r 2 4 r 4

1 1

现在把 M 移到悬挂磁体的西边，并把它的中心放在标尺上刻度为2s0-s1 的地方。设当轴线位于第一位置上时的偏角是θ3，而当位于第二位置上时的偏角是θ4，则有

r1 + r − σ, r2 = r + σ `（10）

1  n(n - 1) σ² 

以及 (r ⁿ + r ⁿ ) = r ⁿ 1 + + ; (11)

2 1 2

 2 r ² 

σ2

而且，当测量作得很小心时， r 2

是可以忽略不计的，因此我们确信可

以取 r1n 和 r2n 的算术平均值作为 rn。

因此，取(8)和(9)的算术平均值，即得

1 H r ³ (tan θ

• tan θ

• tan θ

• tan θ

) = 1 + A 1 +

, （12）

8 M

或者，利用

1 2 3 4 2 r 2

1 (tan θ − tan θ + tan θ − tan θ

) = D

4 1 2 4 4

即得

1. H Dr ³ = 1 + A

2. M

1 +

2 r 2

454．]现在我们可以认为 D 和 r 是能够被准确测定的。量 A2 在任何情况下都不会超过 2L2，此处 L 是磁体长度的一半，因此，当 r 比 L 大得多时，我们就可以略去含 A2 的一项并立即定出 H 和 M 之比。然而我们却不能假设 A2 等于 2L2，因为它可以较小，而且对于其最大线度和磁轴横交的磁体来说 A2 甚至可以是负的。含 A4 的项和所有更高次的项，可以毫无问题地

忽略不计。

为了消失 A2，利用距离 r1、r2、r3 等等来重作实验，设 D1、D2、D3 等等是 D 的值，则有

D = 2M ( 1

+ A 2 )，D

= 2M ( 1

• A 2 )，等等，等等。

1 H r 3 5 2 H r 3 t

如果我们假设这些方程的可几误差是相同的（而它们也将是相同的， 只要它们仅仅依赖于 D 的测定），另外，如果不存在关于 r 的不确定性， 那么，根据当每一方程的可几误差被假设为相同时不准测量之组合理论的普遍规则，用 r-3 乘每一个方程并把结果加起来，我们就得到一个方程； 而用 r-5 乘每一个方程并把结果加起来，我们就得到另一个方程。

对 于 D r ⁻³ + D r ⁻³ + D r ⁻³ + ，

1 1 2 2 3 3

让我们写出Σ(dr-3)

并利用关于其他符号组之和的类似表示式，则两个结果方程可以写成

Σ(Dr⁻³) = 2M {Σ(r ⁻⁶ + A H

Σ(r ⁻⁸ )},

Σ(Dr⁻⁵ ) = 2M Σ(r ⁻⁸ ) + A H

Σ( r¹⁰ )},

由此即得

2M {Σ( r ⁻⁶) Σ(r⁻¹⁰ ) − [Σ(r ⁻⁸ )]² }

H

= Σ(Dr⁻³ )Σ(r ⁻¹⁰ ) − Σ(Dr ⁻⁵ )Σ(r ⁻⁸ ),

以及

A {Σ(Dr⁻³ )Σ(r ⁻¹⁰ ) − Σ(Dr⁻⁵ )Σ( Dr ⁻⁸ )}

= Σ(Dr⁻⁵) Σ(Dr ⁻⁶) − Σ(Dr⁻³)Σ(Dr ⁻⁸ )

由这些方程推得的 A2 应该小于磁体 M 的长度平方的一半。如果它不是这样的，我们就可以推想观测中有些不对头的地方。这种观测和化简的方法 ， 是 由 高 斯 在 < 磁 学 协 会 的 第 一 份 报 告 >

（FirstReportoftheMagneticAssociation）中给出的。

当观察者只能在距离 r1 和 r2 处进行两组实验时，由这些实验导出的

2M 值和A H

2 值就是

2M D r ⁵ − D r ⁵ D r ³ − D r ³

Q = = 1 1 2 2 , A = 2 2 1 1 r 2 r 2

H r ² − r ^{2 2}

D r 5 − D2 r 5 1 2

1 2 1 1 2

如果δD1 和δD2 是观察到的偏角 D1 和 D2 的实际误差，则计算结果 Q 的实际误差将是

r ⁵δD − r ⁵δD

δD = 1 1 2 2

r ² − r ²

1 2

如果我们假设误差δD1 和δD2 是独立的，而且其中每一个的可几误差是δD，则 Q 的计算值中的误差的可几值将是δQ，此处

r 10 + r 10

(δQ ² ) = ^{1 2} (δD) ²

(r ² − r ² ) ²

1 2

如果我们假设，其中一个距离已经给定，譬如说较小的那个距离已经给定，则较大的那个距离的值可以适当确定以使δQ 取最小值。这一条件导致一个 r12 的五次方程，它只有一个大于 r22 的实根,由此得到 r1 的值是

r1=1.3189Tr2。

如果只进行一次观测，则最佳条件出现在

δD =

D r

时①，式中δD 是一次偏角测量中的可几误差，而δr 是一次距离测量中的可几误差。

正弦法

455.〕我们刚才描述了的方法可以叫做“正切法”，因为偏角的正切是磁力的一种量度。

如果线段 r1 不是沿东西方向测量而是被调节得垂直于偏转以后的磁体的轴，则 R 仍和以前相同，但是，为了使悬挂的磁体可以垂直于 r，力 H 在 r 方向上的分量必须和 R 相等而反向。因此，如果θ是偏角，则有 R=Hsin θ。

这种方法叫做“正弦法”。只有当 R 小于 H 时这种方法才是可以应用的。

丘市可携式的仪器就是采用的这种方法。悬挂的磁体挂在仪器的一个部件上，那个部件和望远镜及装有致偏磁体的臂一起转动，而整体的转动就在方位圆上被测量。

仪器首先被调节，使得望远镜的轴线和磁体在未受扰状态中的准直线的平均位置相重合。如果磁体是振动的，则通过观察透明标尺的振动极限并对方位圆读数进行适当的改正来求出磁北方的真实方位。

然后，致偏磁体就被放在一个直杆上，该直杆通过仪器的转动轴而和望远镜的轴线相垂直，而且调节得使致偏磁体的轴线位于一条通过悬挂磁体之中心的直线上。

然后整个的转动仪器被调节，直到悬挂磁体的准直线再次和望远镜的轴线相重合，而如果有必要，新方位就要借助于振动极限上的刻度读数来加以改正。

改正后的方位角之差就给出偏角。在此以后，我们就像在正切法中那样地操作，只除了在 D 的表示式中要用 sinθ来代替 tanθ。在这种方法中， 用不着有关悬丝扭力的改正，因为悬丝、望远镜和磁体的相对位置在每一次观察中都是相同的。

在这种方法中，两个磁体的轴永远互相垂直，因此长度的改正可以作得更正确。

456.〕即已这样测量了致偏磁体的磁矩和地磁水平分量之比，其次我们就必须通过确定当同一磁体偏离磁子午面时地磁倾向于使它转动的那一

① 见 Airy’sMagnetism ．

① ｛在这一事例中，忽略含 A2 的项，我们就有 而当 时此式即取最小值。｝

力偶矩来求出上述二量的乘积。

进行这种测量的方法有二：动态法和静态法。在动态法中，观察的是磁体在地磁作用下的振动时间；在静态法中，磁体在一个可测量的静力偶和磁力[偶]之间保持平衡。

动态法要求的仪器比较简单，而且在绝对测量方面也比较精确，但是却要用颇长的时间。静态法几乎可以进行瞬时的测量，从而在追踪磁力强度的变化中是有用的，但是它却要求更精密的仪器，而且在绝对测量方面也不是那么精确。

振动法

磁体被适当悬挂，使它的磁轴为水平，并使它沿很小的弧而发生振动。振动用已经描述的任何方法来进行观察。

在标尺上选定一个点，和振动弧的中点相对应。把沿正方向而通过标尺上这个点的时刻观测出来。如果在磁体回到同一点以前还有足够的时间，则把沿负方向通过这一点的时刻也观测出来。继续进行这种工作，直到观测了 n＋l 次正向通过和 n 次负向通过时为止。如果振动太快而无法逐次观测，则每振动三次或五次观测一次，但要注意使观测到的通过是正负交替的。

设观测到的时间是 T1、T2、T2n+1，如果我们令

1 1

( T1 + T3 + T5 + + T2 n−1 +

1

T2n +1 ) = Tn+1 ,

n 2 2

1 (T + T + + T + T ) = T' ;

n 2 4 2n− 2 2 n n +1

则正通过的平均时间 Tn+1 应该和负通过的平均时间 T′n+1 相符合，如果点选得适当的话。这些结果的平均值被取为中点通过的平均时间。

在多次振动已经发生之后，但是在振动不再是清楚而规则的以前，观

测者应进行另一系列的观测，由此他就可以推出第二系列的中点通过的平均时间。

根据第一或第二观测系列来计算振动周期，观测者应该能够确定在二系列的中点通过时间之间的时间阶段中已经发生过的振动次数。用这一振动数去除两个系列的中点通过之平均时间之间的时间阶段，就得到平均振动时间。

然后，利用和在摆观测中所用的同一种公式，观测到的振动时间可以折算成无限小振幅的振动时间，而且，如果发现振动的振幅是迅速递减的， 就还要有一种关于阻力的改正，见第 740 节。然而，当磁体是用悬丝挂着的而振动弧又只有几度时，这些改正都是很小的。

磁体的运动方程是

d²θ

A dt ²

+ MH sinθ + HMτ'(θ − y) = 0,

式中θ是磁轴和力 H 的方向之间的夹角，A 是磁体和悬置装置的惯量矩，M 是磁体的磁矩，H 是水平磁力的强度，MHι′是扭转系数：τ′像在第 452 节中那样地确定，而且是一个很小的量。平衡时的θ值是

τ'γ

θ0 = 1 + τ' ,

这是一个很小的角，对很小的振幅值来说，方程的解是

θ = Ccos（2π t

T

+ α) + θ0 ,

式中 T 是周期，α是一个常数，C 是振幅，而且

4π²A

T² =

MH(1+ τ' ) ；

由此我们就得到 MH 的值，

4π²A MH = T² (1 + τ' )

这里的 T 是由观测定出的一次完全振动所需的时间。惯量矩 M 是针对磁体而一劳永逸地求出的；如果它有一种规则的外形，就可以通过称重和量度来求出，或是通过和一个惯量矩已知的物体相对应的动力学手续来求出。

把这种MH值和以前求得的 M 值结合起来，我们就得到

H

M² = (MH)( M ) =

H

以及

H

2π²A T² (1 + τ' )

8π²A

Dr³,

H² = ( MH)( ) =

M

T² (1 + τ')Dr³

457.〕我们曾经假设，H 和 M 在两个实验系列中保持恒定，H 的涨落可以通过即将描述的双线磁强计的同时观察来确定，另外，如果磁体已经使用颇久，而且在实验过程中并未受到什么温度变化或撞击的影响，则依赖于永久磁性的那一部分 M 可被假设为常量。然而，所有的钢质磁体都能够获得依赖于外磁力的感生磁性。

现在，当应用于偏角实验时，磁体是被放成磁轴取东西方向的，因此地磁是沿横向而作用在磁体上，从而并不倾向于增大或减小 M.当磁体是在振动中使用时，它的磁轴是南北向的，于是地磁的作用就倾向于在轴的方向上对它进行磁化，并从而使它的磁矩增加一个量 kH，此处 k 是一个必须通过对磁体进行实验来求出的系数。

有两种方法可以避免这种误差来源而不必计算 k，即适当安排实验， 使得磁体在用来使另一磁体发生偏转时和在自己摆动时都处于相同的条件之下。

我们可以把致偏磁体摆得磁轴指北，到悬挂磁体中心的距离为 r，而

1

且直线r和磁子午面之间有一个余弦 3为的夹角。于是，致偏磁体对悬

挂磁体的作用就将垂直它自己的方向，而且等于

R =

在这儿，M 是当磁轴正如在振动实验中那样指北时的磁矩，因此用不着关于感应的任何改正。

然而，这种方法是极其困难的,因为致偏磁体的微小位移将引起很大的误差，而且，由于用翻转致偏磁体的办法来进行改正在这儿是不适用的， 因此这种方法一般不被采用，除非目的在于确定感应系数。

在下述方法中，磁体在振动中不会受到地磁的感应；这种方法起源于J．P．焦耳博士①。

制备两个磁体，使它们的磁矩尽可能近似地相等。在偏角实验中，这些磁体被分别地使用，或者，它们也可以同时摆在悬挂磁体的两侧以引起较大的偏角。在这些实验中,地磁的感应力是垂直于磁轴的。

设把其中一个磁体挂起来，而把另一个磁体摆得和前一磁体相平行， 其中心位于悬挂磁体的中心的正下方，其磁轴指向相同的方向。固定磁体作用在悬挂磁体上的力是和地磁作用力方向相反的。如果使固定磁体慢慢向悬挂磁体靠拢，振动时间就会增加，直到在某一点上平衡不再稳定时为止，而越过了这一点，悬挂磁体将在反向位置附近进行振动。通过按这种方式进行实验，就能找出固定磁体的一个位置；在该位置上，固定磁体将恰好中和地磁对悬挂磁体的影响。两个磁体被联成一体，以便互相平行， 它们的磁轴指向相同的方向，二者之间的距离就是刚刚通过实验求得的那个距离。然后它们就被用通常的方式挂起来，并沿着很小的圆弧一起振动。

下面的磁体恰能中和地磁对上面磁体的影响，而既然二磁体具有相等的磁矩，上面的磁体也将中和地球对下面磁体的感应作用。

因此，M 值在振动实验中和在偏角实验中是相同的，从而任何关于感应的改正都是不必要的。

458.〕确定水平磁力强度的最精确的方法，就是我们刚刚描述过的方法。然而，整个系列的实验并不能在比一小时短得多的时间内足够精确地完成，因此，发生在几分钟的时间之内的强度变化都将观察不到。因此就需要一种不同的方法来观察磁力在任一时刻的强度。

静态方法就在于用一个在水平面上起作用的静力偶来使磁体发生偏转。如果 L 是这个力偶的矩，M 是磁体的磁矩，H 是地磁的水平分量，而θ 是偏角，则有

MHsinθ=L．

由此可见，如果 L 作为θ的函数为已知，则 MH 可以求得。

力偶 L 可以用两种方法得到，像在普通扭秤中那样利用一条悬线的扭变弹性来得到，或是像在双线悬置中那样利用被悬挂的仪器的重量来得到。

在扭秤中，磁体固定在一根竖直金属丝的下端，其上端可以转动，而它的转动可以利用一个扭转圆来加以量度。

于是我们就有L=τ(α—α0－θ)=MHsinθ，

此处α0 是当磁体的轴和磁子午线相重合时的扭转圆读数，而α是实际的读数。如果扭转圆被转动，使得磁体几乎垂直于磁子午面，从而

θ = π − θ', 2

那就会有

τ( π ') = MH(1 1

² ),

α − α 0 − 2 + θ

或者写作

− 2 θ

① Proc.Phil.S．，Manchester，March19，1867．

MH = τ(1 1

² )(

π ')

+ 2 θ α − α 0 − 2 + θ

通过观察磁体在平衡时的偏角θ′，我们可以在τ为已知时算出 MH． 如果我们只想知道 H 在不同时刻的相对值，那就既不必知道 M 也不必

知道τ。

通过在同一金属丝上挂一个非磁性物体并观察其振动时间，我们就很容易用绝对单位来测量τ。这时，如果 A 是物体的惯量矩而 T 是一次完整振动的时间，则有

τ = 4π²A

,

T2

对应用扭秤的主要反对意见就在于，零读数α0 肯定是要变化的。在由磁体转向指北的倾向所引起的恒定扭力作用之下，金属丝将逐渐获得一种永久性的扭变，因此就有必要每过一段时间就重新测定扭转圆的零读数。

双线悬置

459.]用两根金属丝或纤维来悬挂磁体的方法，是由高斯和韦伯引入的。由于双线悬置在许多电学仪器中都会被用到，我们将比较仔细地考察考察它。这种悬置的一般外貌如图 16 所示，而图 17 则代表各悬丝在一个水平面上的投影。

AB 和 A′B′是两条悬丝的投影。

AA′和 BB′是两条悬丝的上端连线的和下端连线。a 和 b 是线段 AA′和 BB′的长度。 α和β是它们的方位角。

W 和 W′是悬丝张力的竖直分量。Q 和 Q′是它们的水平分量。

h 是 AA′和 BB′之间的竖直距离。

作用在磁体上的力是：它的重量，由地磁引起的力偶，悬丝的扭力（如果有的话）和它们的张力。在这些力中，地磁和张力的效应具有力偶的性质。由此可见，张力的合力必然包括一个等于磁体重量的竖直力和一个力偶。因此，张力的竖直分量之和是沿着其投影为 O 点的那条直线的；该点就是 AA′和 BB′的交点，而其中每一条线段都是按照 W′和 W 之比在 O 点被分割的。

张力的水平分量形成一个力偶，从而它们是量值相等而方向[反]平行的。用 Q 代表其中一个力，它们所形成的力偶的矩就是

L=Q．PP′，(1)

式中 PP′是平行线 AB 和 A′B′之间的距离。为了求得 L 的值，我们有力矩方程Qh=W．AB=W′.A′B′,(2)

和几何方程

(AB＋A′B′)PP′=absin(α－β)，(3) 由此即得

L = Q．pp' = ab

h

WW' W + W'

sin(α − β)

（4）

如果 m 是悬挂着的仪器的质量，g 是重力强度，则有W+W′=mg．(5)

如果也写出

W-W′=nmg，(6) 我们就有

L = 1 (1 − n ² )mg ab sin(α − β)（7）

4 h

因此，当 n 为零时，也就是当所悬物体的重量由两条悬丝平均负担时， L 的值就相对于 n 来说是一个最大值。

为了把悬丝的张力调成相等,我们可以观察振动时间并把它调到最小值，或者，我们也可以像在图 16 中那样把悬丝的上端接在一个滑轮上，滑轮绕轴旋转直到张力相等时为止，这样我们就得到一种自动调节的装置。两根悬丝的上端之间的距离用另外两个滑轮来控制。悬丝下端之间的

距离也是可以调节的。

通过这种张力调节，由悬丝张力所引起的力偶就变成

L = 1 ab mg sin(α − β)

4 h

由悬丝张力引起的力偶矩具有如下形式： τ(γ－β)，

式中 r 是二悬丝的扭转系数之和。

当α=β时各悬丝应该没有扭转，因此我们可以取γ=α．由水平磁力引起的力偶矩具有形式

MHsin(δ－θ)，

式巾δ是磁偏角，而θ是磁体轴线的方位角。如果我们假设磁体轴线平行于 BB′，或者说假设β=θ，我们就可以既避免引用不必要的符号而又不会牺牲普遍性。

于是，运动方程就变成

d²θ

1 ab

A dt ²

= MH sin(σ − θ) + 4 h mg sin(α − θ) + τ(a − θ) (8)

这种仪器的主要位置有三。

1. 当α近似地等于δ时。如果 T1 是这一位置上一次完整振动的时间，则有

4π²A = 1 ab

₂ mg + τ + MH

1

(9)

1. 当α近似地等于δ＋π时。如果 T2 是这一位置上一次完整振动的时间，现在磁体的北端转得指向南方了，于是就有

4π²A = 1 ab

₂ mg + τ − MH

2

(10)

这一方程右端的量，可以通过减小 a 或 b 而弄得要多小就有多小，但是它不能被弄成负值，不然磁体的平衡就会变成非稳定的了。在这一位置上，磁体就形成一种仪器，可以用来使磁力方向的微小变化成为可觉察的。

因为，当θ－δ非常近似地等于π时，sin(δ－θ)就近似地等于θ－ δ－π，从而我们就得到

θ = α −

MH

1 ab mg + τ − MH

(σ + π − α) (11)

4 h

通过减小最后一个分式中的分母，我们可以把θ的改变量弄得远远大于δ的改变量。必须注意，这一表示式中的δ的系数是负的，因此，当磁力向一边转动时，磁体就向另一边转动。

1. 在第三种位置上，悬置装置的上部被转动，直到磁体的轴线近似垂直于磁子午面时为止。

如果我们令

π

θ − σ = 2 + θ' ，和α - θ = β - θ′，（12）

则运动方程可以写成

d²θ'

1 ab

A dt ²

= −MH cosθ'+ 4 h mg sin(β − θ' ) + τ(β − θ)（13）

如果当 H=H0 而θ′=0 时达到平衡，则有

• MH

+ 1 ab mg sinβ + βτ = 0, (14)

⁰ 4 h

而如果 H 是和一个小角θ′相对应的水平力的值，则有

1 ab mg cosβ + τ

H = H (1- 4 h θ' ) (15)

0 1 ab

4 h mg sinβ + τβ

为了使磁体能够处于稳定平衡，第二项中分式的分子必须为正，但是， 它越接近于零，仪器在指示地球水平分量的强度值变化方面将越灵敏。

估计力之强度的静态方法依赖于一种仪器的作用，该仪器本身对不同的力值将有不同的平衡位置。因此，在磁体上加一个小镜子，使它把一个光点投射在用时钟装置带动的一个感光表面上，就可以画出一条曲线，而由这条曲线，就可以按照我们暂时假设其为任意的一种标度来确定力在任意时刻的强度。

460.]在一个观测站中，人们利用肉眼观察或利用自动摄影法来保持一种偏角和强度的连续记录制度。在这种观测站中，偏角和强度的绝对值， 以及一个磁体之磁轴的位置和磁矩，都可以在很大的精确度下被测定。

因为，磁偏计在每一时刻给出受到一个恒定误差影响的偏角，而双线磁强计则给出乘以一个恒定系数的每一时刻的强度。在实验中，我们用δ

′+δ0 来代替δ，式中δ′是磁偏计在所给时刻的读数而δ0 是未知然而恒定的误差，从而δ′+δ0 就是该时刻的真实偏角。

同样，我们用 CH′来代替 H．此处 H′是磁强计按任意标度的读数， 而 C 是把这种读数换算到绝对单位的一个未知而恒定的因子，从而 CH′就是该时刻的水平力。

测定各量之绝对值的那些实验，必须在离磁偏计和磁强计足够远的地方进行，以便不同的磁体不会明显地互相影响。必须记下每一次观测的时刻，并把对应的δ′值和 H′代进去。然后处理各方程，以求得磁偏计的恒定误差δ0 和必须乘在磁强计读数上的系数 C．求得了这些量，两种仪器上的读数就都可以用绝对单位表示出来了。然而，绝对测量必须时常重作，

以照顾到可能发生在各磁体之磁轴和磁矩方面的那些变化。

461．]测定地磁竖直分量的方法不曾发展到同样的准确程度。竖直力必须作用在一个绕水平轴而转动的磁体上。喏，一个绕水平轴而转动的物体的不能被弄得和一个用悬丝挂起并绕竖直轴而转动的物体一样对小力的作用十分敏感。此外，磁体的重量比作用在它上面的磁力要大得多，以致由于不对称的膨胀等等所造成的一个微小的质心位移将比磁力的颇大变化对磁体的位置发生更大的影响。

因此，竖直力的测量，或者说竖直力和水平力的比较，就是磁测制度中最不完善的部分。

磁力的竖直部分通常是通过总力方向的测定而从水平力导出的。

如果 i 是总力和它的水平分量之间的夹角，它就叫做磁倾角；另外， 如果 H 是已经求得的水平力，则竖直力是 Htani 而总力是 Hseci.

磁倾角用一个“倾角针”来求得。

理论的磁倾针是一个磁体，它有一个通过其质心并垂直于其磁轴的转轴。转轴的两端作成很细的圆柱状，圆柱的中轴和通过质心的直线相重合。这两个柱状的轴端放在两个水平的平面上，可以在上面自由滚动。

当转轴取磁的东西向时，指针就可以在磁子午面内自由转动，而如果仪器调节得很完善，磁轴就将使自己沿着总磁力的方向。

然而，实际上并不能把一个倾角针调节得使它的重量不会影响它的平衡位置，因为，即使它的质心起初是位于转轴之柱状端的中心线上的，当针被稍稍弯曲或发生不对称的膨胀时，质心也会不再位于这一直线上的。另外，由于磁力和重力之间的互相干扰，一个磁体的质心的测定也是一种很困难的手续。

让我们假设针的一端和支轴的一端都被标记了出来。设在针上画了一条实在的或假想的线，我们将称之为准直线。这条线的位置在一个竖直的圆上读出。设θ是这条线和零刻度半径之间的夹角，在此我们将假设零刻度半径是水平的。设λ是磁轴和准直线之间的夹角，因此，当针在它的位置上时，磁轴和水平面之间的夹角就是θ＋λ．

设 p 是从质心到转轴在上面滚动的那个平面的垂线，则不论

滚动表面的形状如何，p 都将是θ的一个函数。如果转轴两端的滚动部分都是圆的，我们就有一个形如

p=c-asin(θ＋α)，(1)

的方程，式中α是质心到滚动部分之中心连线的距离，而α是这一连线和准直线之间的夹角。

如果 M 是磁体的磁矩，m 是它的质量，g 是重力[强度]，I 是总磁力， 而 i 是倾角，则由能量的守恒可知，当存在一种稳定平衡时，量

MIcos(θ＋λ-i)-mgp(2)

必须对θ来说有一个极大值，或者说，

dp MI sin(θ + λ − i) = −mg dθ ,

= mga cos(θ + α), （3）

如果转轴的两端呈圆柱状的话。

另外，如果 T 是在平衡位置附近振动的周期，则有

MI + mga sin(θ + α) =

4π²A

T2 （4）

式中 A 是针对转轴而言的惯量矩，而θ由(3)来确定。

在测定倾角时，用一个位于磁子午面内和向西刻度的倾角圆取一个读数。

设θ1 是这个读数，于是我们就有MIsin(θ1+λ-i)=mgacos(θ1+α)．(5)

现在把仪器绕竖直轴转过 180°，使得刻度变成向东，而如果现在读数为θ2，则有

MIsin(θ2+λ-π+i)=mgacos(θ2＋α)．(6)

从(5)中减去(6)，并记得θ1 近似地等于 i，θ2 近似地等于π-i，而λ是一个小角，从而和 MI 相比 mgaλ可以忽略不计，于是就有

MI(θ1-θ2+π-2i)=2mgacosicosα.(7)

现在把磁体从它的支架上取下并把它放在第 453 节中的磁偏角仪器上，以利用一个悬挂磁体的偏角来指示它自己的磁矩，于是就有

M = 1 r ³HD, (8)

2

式中 D 是偏角的正切。

其次把针的磁性颠倒过来并通过观察其正切为 D′的一个新偏角来测定其新磁矩 M′，而距离则和以前相同，于是

M' = 1 r ³HD',

2

式中 MD′=M′D(10)

（9）

然后再把它放在支架上并取两个读数θ3 和θ4,其中θ3 近似于π+i 而θ4 近似于-i，于是

M' I sin(θ3 + λ'−π − i) = mga cos(θ 3 + α)（11）

M' I sin(θ4 + λ + i) = mga cos(θ4 + α) (12)

由此就像以前一样得到

M’I(θ3-θ4-π-2i)=-2mgacosicosa(13) 和(7)相加，就得到

MI(θ1 − θ 2 + π − 2i) + M'I(θ 3 − θ 4 − π − 2i) = 0,

或者写成

D(θ1-θ2+π-2i)+D’(θ3-θ4-π-2i)=0(15)

由此我们就得到倾角，

i = D(θ1 − θ 2 + π) + D'(θ3 − θ4 − π) , （16）

2D + 2D'

（14）

式中 D 和 D′是由磁针分别在第一磁化和第二磁化中所引起的偏角的正切。

在利用倾角针来进行观测时，竖直轴应调节得使磁体转轴所在的那个平面在每一方位角上都为水平。磁体被磁化得 A 端下倾。把磁体放好，其转轴位于支撑平面上，而当圆的平面位于磁子午面内和圆的刻度面向东时取观测值。磁体的每一端都借助于读数显微镜来进行观察；显微镜装在一

个臂杆上，并沿着倾角圆的同心圆而运动。使显微镜的叉丝和磁体上一个记号的像相重合，然后臂杆的位置就借助于一个游标来在倾角圆上读出。于是我们就在刻度向东时得到 A 端的一个观测值和 B 端的一个观测

值。必须观测两端，为的是消除由于磁体的转轴和倾角圆并不同心而引起的任何误差。

然后把刻度转成向西，并进行更多的两次观测。

然后把磁体翻转，使它的转轴反向，并注视着磁体的另一面来再进行四次观测。

然后把磁体的磁化倒转，使得 B 端下倾，测定其磁矩并在这一状态下取八个观测值，而这十六个观测值结合起来，就给出真实的倾角。

462．]曾经发现，尽管作得极其细心，由用一个倾角圆求得的观测值导出倾角，仍和由用另一个倾角圆在同一地点求得的观测值导出倾角颇不相同。布劳恩先生曾经指出了由于转轴的椭圆性而引起的效应，并指出了怎样通过用磁化到不同强度的磁体取得观测值来进行改正。

这种方法的原理可以叙述如下。我们将假设，任何一次观测的误差都是一个不超过一度的小量。我们也将假设，有一未知的然而却是规则的力作用在磁体上，把它干扰得离开其正确位置。

如果 L 是这个力的力矩，θ０是真实倾角，而θ是观测到的倾角，则

有

L=MIsin(θ-θ０)，(17)

=MI(θ-θ０)，(18)

式中θ-θ０是小量。

显然，M 变得越大，磁针就越接近于它的正确位置。现在，设测定倾角的手续进行两次，第一次使磁化等于磁针可能达到的最大磁化 M1，第二次使磁化等于 M2，这是一个小得多的值，但仍能使读数清晰可辨而误差也还不致很大。设θ1 和θ2 是从这两组观测值推得的倾角，而 L 是对每次测定中的八个位置而言的未知干扰力〔矩〕的平均值——我们将假设这个平均值在两次测定中是相同的。于是就有

L=M１I(θ1-θ0)=MI(θ2-θ0)，(19)

由此即得

θ = M1θ1 − M 2θ 2 , L = M M I

θ1 − θ 2

（20）

M1 − M2

1 2 M

₂ − M1

如果我们发现若干次实验给出近似相等的 L 值，我们就可以认为θ0 必然是和倾角的真实值很相近的。

463．]焦耳博士近来制造了一个倾角圆。在这种倾角圆中，磁针的转

轴不是在水平的玛瑙平面上滚动而是套在两根丝线或蛛丝上。悬丝的两端固定在一个灵敏天平的两臂上。于是磁针的转轴就在悬丝的两个套儿上滚动，而焦耳博士发现，它的运动自由性是比在玛瑙平面上滚动时大得多的。

在图 18 中，NS 是磁针；CC′是转轴，这是一条直的柱状金属丝；而PCQ 和 P′C′Q′是转轴在上面滚动的悬丝。PCQ 是天平，由支持在一根金属丝 O′O′上的一个双重的弯杠杆构成；O′O′架在一个叉状架的尖齿上，成水平方向；另外天平还有一个用螺丝上下调节的平衡器，以使天平

位于 O′O′周围的一个随遇平衡的位置上。

为了使磁针当在悬丝上滚动时处于随遇平衡，重心必须既不升高也不降低。因此，在磁针的滚动中，距离 OC 必须保持不变。这一条件将得到满足，如果天平的两臂 OP 和 OQ 是相等的，而且悬丝是垂直于两臂的。

焦耳博士发现，磁针不应该长过五英寸。当它长达八英寸时，针的弯曲就倾向于使表观倾角减小一分的一个分数。磁针的转轴起初是一段钢丝，通过在一个砝码的拉伸下烧到赤热而被拉直，但是焦耳博士却发现， 有了新的悬置，就不必再用钢丝了，因为铂乃至标准金就是够硬的了。

天平连接在一根金属丝 O′O′上；O′O′长约一英尺，水平地张在一个叉子的两齿之间。这个叉子通过支撑整个仪器的三脚架上的一个圆来转动其方位。一小时可以进行六次完整的倾角观测，而单独一次观测的平均误差是一分角度的一个分数。

曾经建议，剑桥物理实验室中的倾角针应该借助于一个双像仪器来进行观察。这种仪器包括两个全反射棱镜，像在图 19 中那样装在一个竖直的刻度圆上，从而反射面可以绕着一个水平轴而转动．该水平轴近似地和悬挂着的倾角针的转轴延线相重合。磁针借助于放在棱镜后面的一个望远镜来观察，从而针的两端就可以同时被看到，如图 20 所示。通过绕着竖直圆的中轴转动棱镜，可以使画在针上的两条直线的像互相重合。于是针的倾角就可以根据竖直圆的读数来确定。

沿着倾角直线的磁力的总强度 I 可以根据在已经描述过的四个位置上的振动时间 T1、T2、T3、T4 来推出如下：

4π²A  1 1 1 1 

I = 2M +

 ₂

2M'  T1

+ 2 + 2

2 3

+ ₂ 

T4 

M 和 M′的值必须用以上描述的偏转和振动的方法来求出，而 A 是磁针绕其转轴的惯量矩。

利用悬挂磁体来进行的观测是更加精确得多的，因此通常是借助于方

程

I=Hsecθ

来根据水平力推求总力，式中 I 是总力，H 是水平力，而θ是倾角。464．〕测定倾角的手续是很麻烦的，它不适于用来确定磁力的连续变

化。用于连续观测的最方便的仪器是竖直力磁强计。这简单的就是平衡在刀口上而其磁轴近似水平地处于稳定平衡的一个磁体。

如果 z 是磁力的竖直分量，M 是磁矩，而θ是磁矩和水平面之间的小夹角，则有

MZcosθ=mgacos(a－θ)，

式中 m 是磁体的质量，g 是重力[强度]，a 是从重心到悬置轴线的距离，而α是通过轴及重心的平面和磁轴之间的夹角。

由此可见，对于竖直力的微小改变量δZ 来说，既然θ很小，将有磁体之角位置的一个改变量δθ，使得

MδZ=mgasin(a—θ)δθ．

在实践中，这种仪器并不是用来测定竖直力的绝对值，而是用来记录

其微小的变化。

为此目的，只要知道当θ = 0时的Z的绝对值以及 dZ 的值就够了。

dθ

当水平力和倾角为已知时，Z 的值由方程 Z=Htanθ0 求得，式中θ是倾角而 H 是水平力。

为了求出由 Z 的一个给定改变量所引起的偏转，取一个磁体把它放在

轴线为东西向的位置上，并使它的中心在磁偏计之东或之西的 r1 距置处， 正如在偏角实验中那样。设偏角的正切为 D1．然后把它放得轴线沿竖直方向，而其中心在竖直力磁强计之上或之下的 r2 距离处，并设在磁强计中引起的偏角的正切为 D2．那么，如果致偏磁体的磁矩是 M′，则有

2M = Hr ³D = dZ r ³D

1 1 dθ 2 2

由此即得

dZ r ³D

= H 1 1

dθ r ³D

2 2

竖直力在任意时刻的实际值是

Z = Z0

• θ dZ ,

dθ

式中 Z0 是当θ=0 时的 Z 值。

为了在一个固定观测站上对磁力的变化进行连续的观测，单线磁偏计、双线水平力磁强计和天平竖直力磁强计是最方便的仪器。

在一些观测站上，现在已在用钟表装置带动的专用纸上描绘摄影曲线，以便在任何时刻都对三种仪器上的指示形成一种连续的纪录。这些曲线表示着力的三个垂直分量对他们的标准值的改变量。磁偏计给出指向平均磁西方的力，双线磁强计给出指向磁北方的力的改变量，而天平磁强计则给出竖直力的改变量。这些力的标准值，或者说这些力在各仪器示数为零时的值，是通过对绝对偏角、水平力和倾角的频繁观测来推得的。

第八章 关于地磁

465．〕我们关于地磁的知识，是由对于磁力在任一时刻在地面上的分布的研究以及对于这一分布在不同时刻的变化的研究导出的。

任一地点和任一时刻的磁力，当它的三个座标为已知时，就是已知的。这三个座标可以在力的偏角或方位角、对水平面的倾角和总强度的形式下被给出。

然而，考察磁力在地面上的普遍分布的最方便的方法，就在于考虑力的三个分量的量值，即

X = Hcosδ，指向西北，

Y = Hsinδ，指向正西，  （1）

Z = Htanθ，竖直向下， 

式中 H 代表水平力，δ代表偏角，而θ代表倾角。

如果 V 是地面上的磁势而我们把地球看成一个半径为 a 的球，则有

X = - 1 dV ,

Y = − 1 dV , Z = dV , (2)

a dl

a cos l dλ dr

式中 l 是纬度，λ是经度，而 r 是从地心算起的距离。

关于地面上的 V 的一种知识，可以只依赖于有关水平力的观测而得出如下。

设 V0 是真实北极上的 V 值，那么，沿任一子午线求线积分，我们就得

到

v = −a∫π Xdl + V0

2

(3)

这就是该子午线上纬度为 l 处的势的值。

于是，如果我们知道每一点上的指北分量 X 的值，又知道北极上的 V 值 V0，就可以求出地面上每一点的势。既然力并不依赖于 V 的绝对值而是依赖于 V 的导数，那也就没有必要指定任何特定的 V0 了。

任意点上的 V 值可被定出，如果我们知道沿任意子午线的 X 值和整个地面上的 Y 值的话。

令

V2 = −a∫π Xdl + V0 , (4)

2

式中的积分沿所给的子午线从极点计算到纬度 l，于是就有

V = V - a∫λ Ycosldλ

(5)

式中的积分沿 l 纬度线从已给的经度λ0 计算到所要考虑的点。这种方法意味着，必须在地面上进行完备的磁勘测，以便在给定的时期知道地面上每一点的 X 值、Y 值或 X 和 Y 的值。我们实际上知道的是若干观测站上的磁力分量。在地球上的各个开化部分，这样的观测站是比较多的；在其他的部分，却有大片的地面是我们并不掌握其数据的。

磁勘测①

1. 〕让我们假设，在最大线度为几百英里的一个中等大小的国家中，在适当分布在全国各地的相当多的观测站上已经作出了关于偏角和水平力的观测。

在这一区域内，我们可以假设 V 的值能够足够精确地用公式

V = 常 量 − a(A l + A λ + 1 B l² + B lλ + 1 B λ² +



), (6)

1 2 2 1

来表示，由此即得X=A1+B1l+B2λ，(7)

Ycosl=A2+B2l+B3λ(8)

2 2 3

设共有 n 个站，它们的纬度是 l1、l2 等等而它们的经度是λ1、λ2 等等，并设每一个站上的 X 和 Y 都已测出。

令

1 1

l 0 = n Σ(l),λ 0 = n Σ(λ),

（9）

l0 和λ0 可以叫做中心站的纬度和经度。令

1 1

X0 = n Σ(X),Y0 cos l 0 = n Σ(Y cosl), （10）

于是 X0 和 Y0 就是假想的中心站上的 X 值和 Y 值，于是就有X=X0+B1(l-l0)+B2(λ－λ0)(11)

Ycosl=Y0cosl0+B2(l-l0)+B3(λ-λ0)(12)

我们有 n 个形如(11)的方程和 n 个形如(12)的方程。如果我们用ζ来代表测定 X 时的可几误差，而用η来代表测定 Ycosl 时的可几误差，我们就可以假设二者起源于 H 和δ的观测误差，并根据这一假设来计算ξ和η。

设 H 的可几误差是 h 而δ的可几误差是△，既然dX＝cosδ．dH—Hsinδ．dδ，

就有

ξ2＝h2cos2δ＋△2H2sin2δ． 同理可得

η2＝h2sin2δ＋△2H2cos2δ．

如果 X 和 Y 对由形如(11)和(12)的方程给出的值而言的改变量远远超过观测的可几误差，我们就可以断定这些改变量是由地域性的吸引力引起的，而这时我们就没有任何理由不认为ξ和η之比等于 1。

按照最小二乘式法，我们把形如(11)的方程乘以η而把形如(12)的方程乘以ξ，以便它们的可几误差相同。然后我们把每一个方程乘以 B1、B2 或 B3 中一个未知量的系数并把结果加起来，这样就得到可以求出 B1、B2、B3 的三个方程，即

P1=B1b1+B2b2,

① {读者应参阅 Rü ckerandThorpe 的论文‘AMagneticSurveyoftheBritishIsles，’Phil．Trans.，1890，A，

pp．53—328．}

η2P2+ξ2Q1=B1η2b2+B2(ξ2b1+η2b3)+B3ξ2b2, Q2=B2b2+B3b3;

在这些方程中，我们为了方便使用了下列符号： b1=Σ(l2)-nl02,b2=Σ(lλ)-nl0λ0,b3=Σ(λ2)-nλ02 P1=Σ(lX)-nl0X0,Q1=Σ(lYcosl)-nl0Y0cosl0, P2=Σ(λX)-nλ0X0,Q2=Σ(λYcosl)-nl0Y0cosl0,

通过计算 B1、B2 和 B3 并代入方程(11)和(12)中，我们可以求出勘测界限以内任一点上的 X 值和 Y 值而不受地区性干扰的影响；经发现，当观测站附近存在像大多数火成岩那样的磁性岩石时，地区性干扰就是存在的。只有在磁学仪器可以运往各地并在许多观测站上安装起来的那种国

家，这种勘测才可以作到。对于世界上的其他部分来说，我们必须满足于利用在相距很远的较少观测站的数据之间进行内插的办法来求出地磁要素的分布。

1. 〕现在让我们假设，通过这种手续，或是通过等价地绘制各磁性要素之等值线图的作图手续，X 和 Y 的

值，从而还有势 V 的值，在整个的地球表面上都是已知的。下一步就是要把 V 展成球谐函数的级数了。

假如地球在它的全部体积内都是沿同一方向而均匀磁化的，V 就将是一个一阶的谐函数，磁子午线将是通过两个对面磁极的大圆，磁赤道将是一个大圆，磁赤道的所有各点上的水平力将相等，而如果 H0 是这个常量， 则任一其他点上的值将是 H＝H0cosl′，式中 l′是磁纬度。竖直力将是Z=2H0sinl′，而如果θ是倾角，则 tanθ将等于 2tanl′．

在地球的事例中，磁赤道被定义为无倾角的曲线。它并不是球体的大圆。

磁极被定义为没有水平的点，或者说是倾角为 90°的点。共有两个这样的点，一个在北半球，一个在南半球，但它们却并不是正好对面，而且它们的连线并不平行于地球的磁轴。

1. 〕磁极就是地面上 V

   值为极大值或极小值，或为稳定值的那些点。在势为极小值的任一点上，倾角针的北端将竖直向下，而如果把一个

罗盘指针放在该点附近的任何地方，则其北端将指向该点。在势为极大值的点上，倾角针的南端将指向下方，而在该点附近，罗盘指针的南端将指向该点。

如果在地球的表面上有 p 个 V 的极小值，那就必然有 p-1 个另外的点， 在那儿，倾角针的北端是指向下方的，但是当使罗盘指针沿圆周绕该点运动一周时，指针的转动却并不是使北端永远指向该点，而是有时北端指向该点，而有时南端指向该点。如果我们把势为极小值的各点叫做真北极， 则这些另外的点可以叫做赝北极，因为罗盘指针对它们并不忠实。如果共有 p 个真北极，那就必有 p—1 个赝北极；同样，如果共有 q 个真南极，那就必有 q—1 个赝南极。同名磁极的数目必须是奇数，因此曾经流行一时的认为共有两个北极和两个南极的观念是不对的。按照高斯的意见，地球表面上事实上只有一个真北极和一个真南北，从而没有任何赝极。这两个极的连线并不是地球的直径，而且它也并不平行于地球的磁轴。

1. 〕大多数关于地磁本性的早期探索，都力图把它表示成一个或多

个磁棒的作用结果，而磁棒各极的位置则是有待确定的。高斯是第一个通过把势函数展成体谐函数的级数来用一种完全普遍的方式表示了地磁分布的人，他定出了前四阶体谐函数的系数。这些系数共有 24 个；3 个属于一阶函数，5 个属于二阶函数，7 个属于三阶函数，而 9 个属于四阶函数。经发现，为了对地磁的实际状态作出一种尚称精确的表示，所有这些项都是必要的。

试图定出观测到的磁力的哪一部分起源于外因和哪一部分起源于内因

1. 〕现在让我们假设，我们已经得到了地球磁势的一种球谐函数的展式，和地球表面每一点上水平力的方向及量值相容，这样，高斯就已经指明，如何根据观测到的竖直力来确定磁力是地球内部的磁化和电流之类的原因引起的呢，还是有某一部分是由地球表面以外的原因所直接引起的。设 V 是展成球谐函数之双级数的实际磁势。

r r

V = A1 a + + A 1 ( a) +

r

+ B1 ( a)

r Bi ( a)

−(i +1) +

第一个级数代表由地球外部的原因所引起的那一部分势，而第二个级数则代表由地球内部的原因所引起的那一部分势。水平力的观测向我们提供的是当 r=a=地球的半径时这两个级数之和。其 i 次项是

Vi=Ai+Bi

竖直力的观测给我们以

Z = dV ,

dr

而其 aZ 的 i 次项是

aZi = iAi − (i + 1)B

由此即得，由外因引起的部分是

1. = (i + 1) Vi + aZi ,

ⁱ 2i + 1

而由内因引起的部分是

1. = iVi − aZi ⁱ 2i + 1

V 的展式迄今只是针对在或接近某一年代的 V 的平均值算出的。看来这一平均值并没有任何部分是由地球以外的原因所引起的。

1. 〕关于V 的改变量展式的日因部分和月因部分的形式，我们知道得不够清楚，不足以利用这种方法来确定这些改变量是否有任何部分起源于从外界作用过来的磁力。然而可以肯定，正如斯通内先生和钱伯斯先生已经证明的那样，假设太阳和月亮是一些磁体，这些改变量的主要部分也不可能起源于太阳和月亮的任何直接的磁作用①。

① 布拉格的赫尔施坦教授曾经发现了各磁要素的一种周斯变化，其周斯为 26.33 天，几乎正好等于太阳的朔望转动，正如由太阳赤道附近的黑子的观测所推知的那样。这种根据它对磁针的效应来发现太阳的未被看到的整体转动时间的方法，是地磁学对天文学的借贷偿还的第一次支付．请参阅 Anzeiger der k．Akad．,Wien, june 15,1871.见 Proc．R．S，16，1871．

1. 〕曾经注意到的磁力的主要变化如下。

Ⅰ．较规则的变化

1. 日因变化，依赖于一天内的钟点和一年内的时序。

2. 月因变化，依赖于月球的时间角以及它的其他位置要素。

3. 这些变化并不在不同的年份中重复出现，而是受到一种周期更长的即约为十一年的变化的影响。

4. 除此以外，地磁的状态还有一种久期变化，它自从有地磁勘测以来就一直在进行着，而且正在引起各地磁要素的变化，其量值远大于任何小周期变化的量值。

Ⅱ． 干 扰 473．〕除了较规则的变化以外，各地磁要素还会受到或大或小的突然

干扰的影响。曾经发现，这些干扰在一

段时间之内会比在别的时期更强，而且在干扰较大的时期内规则变化的规律会受到掩盖，尽管那些规律在干扰较小的时期内是很清楚的。因此， 曾对这些干扰给予了很大的注意，而且曾经发现，特定种类的干扰在一天的某些时候以及在某些季节和时期更容易发生，尽管每一次干扰是十分无规则地出现的。除了这些更加普通的干扰以外，还偶然有些大干扰的时期， 在那种时期内，地磁会在一两天内受到很强的干扰。这叫做“磁暴”。个体的干扰有时会在相距很远的观测站上同时被观测到。

艾瑞先生曾经发现，格林威治的干扰的一个很大的部分，和安装在附近的土内的电极所收集到的电流相对应，而且是电流将对磁体直接产生的一种干扰，如果地电流保持其实际的方向而通过放在磁体下面的一根导线的话。

曾经发现，每十一年就有一个最大干扰时期，而且这个时期看来是和太阳黑子数目最多的时期相对应的。

1. 〕我们被地磁的研究所带入的探索领域是既深且广的。

我们知道，太阳和月亮都对地磁有影响。曾经证明，这种作用并不能通过假设太阳和月亮是磁体来加以解释。因此作用是间接的。

在太阳的事例中，部分的影响可能是热作用，但是在月亮的事例中我们却不能把作用归之于这种原因。也有可能，这些物体的吸引力通过在地球内部发生胁变而引起地球内部早已存在的磁性的一些变化(第 447 节）， 并从而通过一种潮汐作用而造成一些半昼夜的变化吧？

但是，和地磁的很大的久期变化相比，所有这些变化的数量都是很小的。

什么原因，地球外部的或其内部深处的原因，引起地磁的如此巨大的变化，以致磁极会慢慢地从大地的一部分移动到另一部分呢？当我们考虑到大地球的磁化强度完全可以和我们克服了许多困难才在我们的钢铁磁体中造成的磁化强度相比时，如此巨大的一个物体中的这些巨大变化，就迫使我们作出结论说，我们还不熟悉自然界中最强有力的作用之一，它的活动场所位于地球内部的深处，而要获得有关那种地方的知识，我们可用的手段是很少的①。

① ｛巴耳福·斯提瓦特曾经建议，周日变化是由大气上层区域的稀薄空气中的感生电流引起的，当这种空气扫过地球的磁力线而运动时，这种电流就会出现。舒斯特近来在 Phil．Trans．A，1889，p．467 上通过

第四编电磁学第一章

电磁力

1. 〕许多不同的观察者都曾注意到，在某些事例中，物体中或其附近的放电不必要地引起或破坏了他们的

磁性，而人们也对磁和电之间的关系作出过各式各样的猜想，但是， 直到汉斯·克里斯蒂安·奥斯特①在对哥本哈根的少数几个高年级学生所作的一次私人演讲中观察到连着电池两极的一根导线会影响它附近的一个磁体时为止，这些现象的规律，以及这些关系的形式却都是完全未知的。奥斯特在所标时间为 1820 年 7 月的一篇为〈关于磁体附近的电冲突效应的实验〉(Experimentacircaef-fectumConflictusElectriciinAcumMagneticam) 的论文中发表了他的发现。

关于磁体和带电物体的关系的实验曾经进行过，但是直到奥斯特力图确证一条导线被电流所加热的效应时为止，这些实验都毫无结果。然而奥斯特却发现，电流本身而不是导线的加热，才是作用的原因，而且“电冲突是以一种转动的方式而起作用的”；就是说，放在一根通有电流的导线附近的一个磁体，倾向于使自己垂直于导线，而且当使磁体绕着导线而运动时，它将永远以相同的一端指向导线。

1. 〕因此，看样子，在载有电流的导线周围的空间中，一个磁体会受到的力的作用，这些力依赖于导线的位置和电流的强度。因此，这些力起作用的那个空间，可以被看成一个磁场，而且我们可以用在研究普通磁体附近的场时已经用过的同样方法来研究它，即通过追踪力线的走向并在每一点上测量力的强度来研究它。

2. 〕让我们从一根载有电流的无限长直导线的事例开始。假若一个人设想自己立在导线的位置上，使电流从他的头流向他的脚，则一个自由悬挂在他面前的磁体将使自己在电流的作用下用原来指北的一端指向他的右手。

磁力线到处都垂直于通过导线而画出的平面，从而就是一些圆，每一个圆都位于导线的垂面内，而导线则通过圆心。如果使磁体从左向右沿其中一个圆绕行一周，则磁体指北的一极将受到一个力的作用，而这个力是永远指向磁体的运动方向的。

1. 〕为了比较这些力，假设导线是竖直的，而其电流是向下的，设把一个磁体放在一个可以绕竖直轴线自由转动的仪器上，而其轴线和导线相结合。经发现，在这种情况下，电流并没有使整个仪器以电流本身为其轴线而发生转动的任何效应。由此可见，竖直电流对磁体两极的作用是这样的：以电流为轴线，两个力的力矩是相等而反向的。设

   m1 和 m2 分别是两个极的强度，r1 和 r2 是它们离导线中轴的距离，T1 和 T2 是在两个磁极处由

格林方法的应用已经证明，这些干扰的较大部分是在地球表面上方有其起源的。｝

① 汉斯汀教授在一封信中对奥斯特的发现作了另一次叙述，见 theLifeFaradaybyDr.BenceJones,vol.ii.p.395．

电流引起的磁力强度，则作用在 m1 上的力是 m1T1，而既然它是垂直于轴线的，它的力矩就是 m1T1r1．同理，作用在另一极上的力矩是 m2T2r2，而既然没有观察到任何运动，那就有

m1T1r1+m2T2r2=0

但是我们知道，在一切磁体中都有m1+m2=0

由此即得T1r1=T2r2，

或者说，由一个无限长的直电流引起的电磁力垂直于电流并和离开电流的距离成反比。

1. 〕既然乘积 Tr

   依赖于电流强度，它就可以作为电流的一种量度。这种测量方法是不同于建筑在静电现象上的测量方法的，而且既然这种测量依赖于电流引起的磁现象，它就被称为“电磁测量制”。在电磁制中， 如果 i 是电流，则有

Tr=2i

1. 〕如果导线被取作 z 轴，则 T 的直角分量是

X = -2i y ,

r 2

Y = 2i x ,

r 2

Z = 0

此处 Xdx+Ydy+Zdz 是一个全微分，即下式的全微分：

2i tan⁻¹ y + C

x

由此可见，场中的磁力可以由一个势函数导出，正如在以前的若干例子中一样，但是在这一事例中，势却是一个具有一系列无限多个值的函数， 各值之间的公共差为 4πi.然而，势对各座标的微分系数却在每一点上有一个确定的单一的值。

电流附近的场中的一个势函数的存在，并不是能量守恒原理的一种不言而喻的结果，因为，在一切实际的电流中，都存在一种电源电能的连续消耗，以克服导线的电阻，因此，除非这种消耗的数量是精确已知的，人们就总可以推测电池的一部分能量曾被用来对一个沿回线运动的磁体作功。事实上，如果一个磁极 m 沿着一条绕过导线的闭合曲线而运动一周， 则实际作的功是 4πmi．只有在并不绕过导线的闭合路径上，力的线积分才是零。因此，在目前，我们必须认为力定律和势函数的存在是建筑在已经描述过的实验的证据上的。

1. 〕如果考虑一条无限长直线周围的空间，我们就会看到它是一个循环空间，因为它会回到自己中来。如果我们现在设想有一个平面或任意别的曲面从这条直线开始而在直线的一侧伸展到无限远处，这个曲面就可以被看成一个把循环空间简化为非循环空间的壁障。如果从任一固定点开始画一些曲线到达任一另外的点而不空穿过壁障，并把势定义为沿其中任一条曲线计算的力的线积分，则势在任一点上都将有单独一个确定的值。现在磁场就在一切方面都和一个磁壳所引起的场相等同，该磁壳和这

个曲面相重合，而磁壳的强度为 i．这个磁壳在一侧是以无限长的直线为界的。它的边界的其他部分都在离所考虑的这一部分场为无限远的距离处。

482.]在所有实际的实验中，电流都形成一个有限大小的闭合回路。因此我们将比较一个有限电路的磁作用和一个以该电路为边界的磁壳的磁作用。

许多实验，其中最早的是安培的实验而最精确的是韦伯的实验，已经证明,一个小的平面电路在远大于电路线度的距离处引起的磁作用和一个磁体的磁作用相同，该磁体的磁轴垂直于电路的平面，而其磁矩等于电路面积乘以电流强度①。如果电路被设想为用一个以电路为边界的曲面所补满并从而形成一个壁障，而且，如果把这个电路换成一个和曲面相重合而强度为 i 的磁壳，则磁壳在一切遥远点上的磁作用将和电流的磁作用相等同。

1. 〕到此为止，我们一直假设电路的线度远小于从电路的任一部分到所考察的场的部分的距离。现在我们将假设电路具有完全任意的形状和大小，并检查它在并不位于导线内部的任一点 P 上的作用。下面这种具有重要的几何应用的方法，是由安培为此目的而引入的。

设想有一个以电路为边界而并不通过 P 点的任意曲面 S。在这个曲面上画两组相交的曲线，这样就把曲面分成了一些元部分，它们的线度远小于它们到 P 点的距离，也远小于曲面的曲率半径。

沿着其中每一个元部分的边界，设想有一个强度为 i 的电流在流动， 其巡回方向在一切元部分中都和原电路中的方向相同。

在形成二相邻面积元之分界线的任何线段中，都有两个相等强度 i 的电流沿着相反的方向在流动。

同一位置上两个相等而反向的电流的效应绝对地是零，不论我们在什么方面来考虑电流。因此它们的磁效应为零。各个元电路上并不如此被中和的部分，只有那些和原电路相重合的段落。因此，各个元电路的总效应， 就和原电路的效应相等价。

1. 〕现在，既然每一个元电路都可以看成一个离 P 点的距离远大于其线度的平面小电路，我们就可以把它代换成一个强度为 i 而以元电路为其边界的元磁壳。元磁壳在 P 点的磁效应和元电路的磁效应相等价。全部的元磁壳构成一个强度为 i、和曲面 S 相重合并以原电路为其边界的磁壳， 从而整个磁壳在 P 点的磁作用就和原电路的磁作用相等价。

很显然，电路的作用是和任意画出来补满电路的曲面 S 的形状无关的。我们由此就看到，一个磁壳的作用只依赖于它的边界的形状而不依赖于磁壳本身的形状。这个结果我们以前在第 410 节中已经得到，但是了解它可以怎样从电磁的想法推得也是很有教育意义的。

因此，电路在任意点上引起的磁力，就在量值和方向上是和由一个磁壳所引起的磁力相等的，该磁壳以电路为边界而不通过该点，磁壳的强度在数值上等于电流的强度。电路中电流的方向是和磁壳的磁化方向这样联系着的：假如一个人把他的双脚站在磁壳上我们称之为正面的并倾向于朝北的那一面上，则他面前的电流将是从右向左的。

1. 〕然而，对那些位于磁壳物质之内的点来说，电路的磁势却不同于磁壳的磁势。

① {Ampère ，Théoriedesphénomènesélectrodynamiques,1826 ；Weber,ElektrodynamischeMaasbes-timmungen

（AbhandlungenderK(niglichS(chs.GesellschuftzuLeipzig,1850—1852．）｝

如果ω是磁壳在 P 点所张的立体角，当磁壳的正侧或指北侧向着 P 点时立体角为正时，则任一并不位于磁壳内部的点上的磁势是ωφ，此处φ 是磁壳的强度。在磁壳本身物质内部的任一点上，我们可以假设磁壳分成强度为φ1 和φ2 的两部分，此处φ1+φ2=φ，而所考虑的点则位于φ1 的正侧和φ2 的负侧。这一点上的势是

ω(φ1 + φ 2 ) − 4πφ 2

在磁壳的负侧，势变成φ(ω-4π)。因此，在这一事例中，势是连续的，而且在每一点上具有单一而确定的值。另一方面，在电流的事例中， 每一并不位于导线本身内部的点上的磁势等于 iω，此处 i 是电流的强度， 而ω是一个电路在该点上所张的立体角，当从 P 点看来电流是逆时针运行时立体角被取为正。

量 iω是一个具有一系列无限多个值的函数，各值的公共差是 4πi。然而，iω对座标的微分系数却在空间的每一点上都有单一而确定的值。

1. 〕如果一个细长而柔硬的管性磁体被放在一个电路的附近，则磁管的北极和南极将倾向于沿相反的方向而绕着导线运动，而且，假如它们可以自由地服从磁力，则磁体最后将绕着导线缠成一个闭合的线圈。假若能够得到只有一个极的磁体，或得到磁极的强度不相等的磁体，则这样一个磁体将绕着导线而向一个方向不停地转动，但是，既然每个磁体的极事实上是相等而反号的，这样的结果就绝不会发生。然而，通过使磁体的一个极可以绕着导线继续转动而另一个极却不能，法拉第曾经指明了如何引起磁体的一个极绕一个电流的连续转动。为了使这种过程可以无限地重复进行，整个的磁体在每一周转动中必须从电流的一侧被搬到另一侧。为了作到这一点而不打断电的流动，电流被分成了两支，而且当一支被断开以允许磁体通过时，电流就经由另一支流过。法拉第为此目的而应用了一个圆形的汞槽，如第 491 节中的图 23 所示。电流经由导线 AB 而进入槽中， 并在 A 点分支，而在流经弧 BQP 和 BRP 后在 P 点重新合并，然后电流就经过导线 PO、汞杯 O 和 O 下面的一根竖直导线而流走。

磁体(图中未画出）被安装得可以绕着一个通过 O 点的竖直轴而转动， 导线 OP 也随之而转。磁体穿过汞槽的开口，一个极譬如说北极在汞槽平面的下方，而另一极则在其上方。当磁体和导线 OP 绕着竖直轴而转动时，电流就逐渐从槽中位于磁体前方的支路转移到位于磁体后方的支路中去，于是在每一次完整的转动中磁体都从电流的一侧过渡到另一侧。磁体的北极沿方向 N—E—S—W 而绕着向下的电流转动，而如果ω、ω′是圆形槽在两个极上所张的立体角(不计正负），则电磁力在每一次完整转动中所作的功是

mi(4π-ω-ω′)

式中 m 是任一极的强度，而 i 是电流强度①。

① [这一问题可以讨论如下：参照着第 491 节中的图 23，让我们取 OP 的任一位置并引入假想的平衡电流即i 沿 BO 而 x、y 沿 OB.当连接在 OP 上的磁体被移动了整整一周时，被假设为沿 ABOZ 而运行的电流 i 对南极并不作功，因为该极描述了一条并未绕过电流的闭合曲线。然而北极却描述了一条确实绕过电流的闭合曲线，从而对该极作的功是 4πmi.现在我们必须估算电路 BPOB 中的电流 x 和电路 BRPOB 中的电流 y 的效应。北极是位于这些电路平面的下方的，它的势将是 而南极的势是 式中ωθ和ω′θ是 BOP 在两个极上所张的立体角，而ω、ω′是圆形槽所张的立体角。总的势是 由此可见，当导线从 OP 沿方向 NESW

1. 〕现在让我们力图对一个线性电路附近的磁场状态形成一种概念。

设电路对空间每一点所张的立体角ω的值已被求出，让我们画出ω在上面为常数的一些曲面。这些曲面将是等势面。每一个这种曲面都将以电路为其边界，而任意两个曲面ω1 和ω2 将在电

①[这一问题可以讨论如下：参照着第 491 节中的图 23，让我们取 OP 的任一位置并引入假想的平衡电流即 i 沿 BO 而 x、y 沿 OB.当连接在 OP 上的磁体被移动了整整一周时，被假设为沿 ABOZ 而运行的电流 i 对南极并不作功，因为该极描述了一条并未绕过电流的闭合曲线。然而北极却描述了一条确实绕过电流的闭合曲线，从而对该极作的功是 4πmi.现在我们必须估算电路 BPOB 中的电流 x 和电路 BRPOB 中的电流 y 的效应。北极是位于这些电路平面的下方的，它的势将是

■

而南极的势是

■

式中ω■和ω′■是 BOP 在两个极上所张的立体角，而ω、ω′是圆形槽所张的立体角。总的势是

■

由此可见，当导线从 OP 沿方向 NESW 转回到 OP 时，势将改变一个量- mi（ω+ω′)。因此电流所作的功就由正文中的公式给出。]{下面是求得这种结果的一种稍许不同的方法：通过各导线和汞槽的电流和一些电流相等价，那就是通过汞槽的圆形电流 i-x、通过电路 POB 的电流 i 以及通过AB、BO 和竖直导线 OZ 的电流 i.圆形电流显然不会引起使任一磁极沿着和电路同轴的圆而运动的任何力。北极在每一周中绕过电路 AB、BO 和竖直的OZ 一次，因此对该极作的功就是 4πim．如果Ω和Ω′分别是电路 POB 在磁体的北极上和南极上所张立体角的数值，则磁体和电路的势能是-mi(Ω+ Ω′)。因此，如果θ是角 POB，则在每一完整转动中对磁体作的功是

■

因此对磁体作的总功就是

■

1 ①

路上相交于一个角度 2 （ω1 - ω 2 ） 。

转回到 OP 时，势将改变一个量-mi（ω+ω′）。因此电流所作的功就由正文中的公式给出。]{下面是求得这种结果的一种稍许不同的方法：通过各导线和汞槽的电流和一些电流相等价，那就是通过汞槽的圆形电流 i-x、通过电路 POB 的电流 i 以及通过 AB、BO 和竖直导线 OZ 的电流 i.圆形电流显然不会引起使任一磁极沿着和电路同轴的圆而运动的任何力。北极在每一周中绕过电路 AB、BO 和竖直的 OZ 一次，因此对该极作的功就是 4πim．如果Ω和Ω′分别是电路 POB 在磁体的北极上和南极上所张立体角的数值，则磁体和电路的势能是-mi（Ω+Ω′）。因此，如果θ是角 POB，则在每一完整转动中对磁体作的功是 因此对磁体作的总功就是 mi{4π－（ω＋ω＇）．}

① {这一点可以推导如下：考虑曲面ω1 上靠近二等势面交线处的一个点 P，设 O 是交线上靠近 P 的一个点，

那么就以 O 为心画一个单位半径的球面。电路在 P 点上所张的立体角，将由单位球上被曲面ω1 在 O 点的切面以及由电路在离 O 点某距离处的形状来确定的一个不规则锥面所切割下来的面积来量度。现在考虑曲

本卷末尾的图版十八，代表由一个圆形电流所引起等势面的一个截面。小圆圈代表导线的截面，图的下方的水平线是通过圆电流的中心而垂直于

π

其平面的直线。图中画了24个等势面，对应于一系列相差为 6 的ω值。

它们是旋成曲面，以上述垂线为其公共轴。它们显然是扁的图形，在轴的方向上较扁。它们在电路的曲线上相交于 15°的角。

作用在一个等势面的任一点处的一个磁极上的力垂直于该等势面，并且和相邻等势面之间的距离成反比。图版十八中围绕着导线截面的那些闭合曲线就是力线。它们是根据 W.汤姆孙爵士的论文《漩涡运动》②而画出的。

一个电路对任一磁性体系的作用

1. 〕现在我们能够由磁壳理论来推论一个电路对它附近的任一磁性体系的作用了。因为，如果我们画一个磁壳，其强度在数值上等于电流强度，而其边界在位置上和电路相重合，而磁壳本身并不通过磁性体系的任何部分，则这个磁壳对磁性体系的作用将和电路的作用相等同。

磁性体系对电路的反作用

1. 〕由此，应用作用和反作用相等而反向的原理，我们就得到这样的结论：磁性体系对电路的机械作用和它对一个以电路为其边界的磁壳的作用相等同。一个强度为φ的位于势为 V 的磁力场中的磁壳，由第 410 节可知其势能等于

φ∫∫ (l dV + m dV + n dV)dS,

dx dy dz

式中 l、m、n 是从面积元 dS 的正侧画起的法线的方向余弦，而积分则展布在磁壳的表面上。

现在考虑面积分

N = ∫∫ (la + mb + nc)dS,

式中 a、b、c 是磁感分量。这个积分代表通过磁壳的磁感数量，或者按照法拉第的语言，它就代表代数地计算的从负侧向正侧穿过磁壳的磁感线的数目，这时把沿相反方向穿过磁壳的磁感线算作负的。

记得磁壳并不属于引起势 V 的那一磁性体系，从而磁力就等于磁感， 我们就有

dV a = − dx ,

dV b = − dy ,

dV c = − dz ,

而且我们可以把 M 的值写成M=-φＮ

面ω2 上一个靠近 O 点的点 Q.电路在这个点上所张的立体角，将由以 O 为心的单位球上曲面ω2 在 O 点的切面以及一个不规则锥面所切割下来的面积来量度，而如果 P 和 Q 很靠近，这个锥面就将和以前的锥面相同。因此，二立体角之差就是两个切面之间的半月形面积，而这个面积就是二切面之间的夹角的两倍，也就是曲面ω1 和ω2 的交角的两倍，于是曲面之间的交角就是

② Trans.R.S.Edin.,Vol.xxv.p.217.(1869).

如果δx1 代表磁壳的任一位移，而 X1 代表促进这一位移的力，则由能量守恒原理应有

X1σx1+σM=0

或者写成

dN X₁ = φ dx ,

现在我们已经确定了和磁壳的任一给定位移相对应的力的性质。它推动或阻碍位移，全看位移将使通过磁壳的磁感线数目增大或减小而定。

这一点对等价的电路也是成立的。电路的任一位移将受到推动或阻碍，全看位移是增大或减小沿正方向穿过电路的磁感线数目而定。

我们必须记得，磁感线的正方向就是一个磁体的指北极倾向于沿该线运动的那个方向，而当一条磁感线的方向和电路中玻璃电的流动方向之间成右手螺旋的前进方向和转动方向之间的关系时，该磁感线就是沿正方向穿过电路的。

1. 〕很明显，和整个电路的任一位移相对应的力，可以立刻就由磁壳理论导出。但这并不是一切。如果电路的一部分是可以变形以致可以独立于其他部分而移动的，我们就可以通过把磁壳分划成用可变形接头连结着的足够多的小块，来使磁壳能够发生相同种类的位移。由此我们就得出结论说，如果由于电路任一部分沿给定方向的位移而使穿过电路的磁感线数目的所增大，则这种位移将受到作用在电路上的电磁力的推动。

因此，电路的每一部分都受到一个力，促使它切割磁感线，以使电路可以包围更多的磁感线，而力在这一位移过程中作的功，在数值上就等于所增加的磁感线数目乘以电流强度。设通有电流强度 i 的电路上的一个元线段 ds 平行于自身而运动了一段距离δx，它就将扫过一个平行四边形的面积，该平行四边形的各边分别平行于 ds 和δx．

如果磁感用■来代表而其方向和平行四边形的法线成一个角度∈，则对应于这一位移的 N 的增量可以通过将平行四边形的面积乘以■cos∈来求得。这种运算的结果用一个平行六面体的体积来几何地加以表示，该平行六面体的各个棱在方向和量值上分别代表δx、ds 和■．这个量算作正的，如果当我们按照此处所给的次序指向这些方向时，指示器是按顺时针的方向绕着平行六面体的对角线而转动的①。这个平行六面体的体积等于 X δx。

如果θ是 ds 和■之间的夹角，则以 ds 和■为边的那个平行四边形的面积是 ds.■sinθ，而如果η是位移δx 和平行四边形的法线之间的夹角，则平行六面体积是

ds.■sinθ.δxcoxη=δN．现在

Xδx=iδN=ids.■sinθδxcosη， 从而

X=ids.■sinθcosη就是投影在δx 方向上的推动位移 ds 的力。

① {在这个法则中，ds 是沿 i 的方向画出的，在观察者被假设为位于平行六面体上δx、ds 和■所由出发的那个角上。}

因此这个力的方向是垂直于平行四边形的，而其量值则等于 i.ds.■ sinθ。

这就是一个平行四边形的面积，该平行四边形的各边在量值和方向上代表着 ids 和■.因此，作用在 ds 上的力，在量值上就用这个平行四边形的面积来代表，而在方向上则用平行四边形的法线来代表；法线的正向是这样规定的：当一个右手螺旋从电流元 ids 的方向转向磁感■的方向时， 螺旋前进的方向就是法线的正

①{在这个法则中，ds 是沿 i 的方向画出的，在观察者被假设为位于平行六面体上δx、ds 和■所由出发的那个角上。}

■图 22 向。

我们可以用四元数的语言来表述这个力的方向和量值；我们说，这个力就是电流元矢量 ids 乘以磁感矢量■所得结果的矢量部分。

1. 〕于是我们就全面地确定了作用在位于磁场中的一个电路的任一部分的力。如果电路被用任何方式来推动，使它经历了各种的形状和位置以后又回到原来的地方，而且电流强度在运动过程中保持不变，则电磁力所作的总功将是零。既然这一点对电路的任意循环运动都是正确的，那就可以知道，用电磁力来使一个恒定强度的线性电路的任何部分反抗摩擦力等等而保持一种连续的旋转运动，是不可能的。

然而，如果在电流进程的某一段落上，电流从一个导体过渡到另一导体，而这两个导体可以相对滑动，则产生连续转动是可能的。

当一个电路中的一个导体和一个平滑固体或一种流体的表面有一种滑动接触时，电路就不能再看成单一的强度恒定的线性电路，而必须看成两个或更多个强度可变的电路的体系了；在这样的体系中，电流是适当分配的，就是说，在 N 正在增加的电路中电流具有正方向，而在 N 正在减小的电路中则电流有负方向。

例如，在图 23 所代表的仪器中，OP 是一个活动的导体；它的一端放在一个汞杯 O 中，而其另一端则浸入一个和 O 同心的圆形汞槽中。

图 23

电流沿 AB 进入，并在圆槽中分成两部分；其中一部分 x 沿着圆弧 BQP 流动，而另一部分 y 则沿着 BRP 流动。这些电流在 P 点汇合并沿着活动导体 PO 和电极 OZ 而流向电池的锌极。沿 PO 和 OZ 的电流的强度是 x+y，即 i。

在这儿，我们有两个电路。一个是 ABQPOZ，其电流强度为 x，沿正方向运行；另一个是 ABRPOZ，其电流强度为 y，沿负方向运行。

设■是磁感，并设它的方向向上而垂直于圆槽的平面。

当 OP 沿逆时针的方向转过一个角θ时，第一个电路的面积增大

1 OP ²θ，而第二个电路的面积减小同一数量。既然第一个电路中的电流

2

强度是x，它所作的功就是 1 x.OP²．θ．■；而既然第二个电路中的

2

电流强度是—y，它所作的功就是 1 y．OP²．θ■．因此，所作的总

2

功就是

1 (x + y)OP ²．θ■或 1 i．OP²．θ■,

2 2

只依赖于 PO 中的电流强度。由此可见，如果 i 被保持为恒定，臂 OP 就被

一个均匀的力推动着沿圆周不停地转动；这个力的力矩是 1 i．OP²．■

2

如果像在北半球一样■是向下的，而且如果电流是向内的，则转动将是沿负方向的，即沿 PQBR 方向的。

492 ．〕现在我们能够从磁体和电流的相互作用过渡到一个电路对另一个电路的作用了。因为我们知道，一个电路 C１对任一磁性体系 M2 而言的磁学性质，等同于一个磁壳 S1 的磁学性质，该磁壳的边界和电路相重合，而其强度在数值上等于电流的强度。设磁性体系 M2 是一个磁壳 S2，则S1 和 S2 之间的相互作用等同于 S1 和一个电路 C2 之间的相互作用，该 C2 和S2 的边界相重合，其电流强度等于 S2 的强度；而且后一相互作用又等同于C1 和 C2 之间的相互作用。

因此，两个电路 C1 和 C2 之间的相互作用，等同于对应磁壳 S1 和 S2 之间的相互作用。

我们在第 423 节中已经考察过边界为闭合曲线s1 和s2 的两个磁壳的相

互作用。如果我们令

M = ∫s2 ∫s1 cos∈ ds ds ,

_{0 0} r 1 2

式中∈是线元 ds1 和 ds2 的方向之间的夹角，r 是它们之间的距离，一次积分是沿 s2 计算的，而另一次积分则是沿 s1 计算的，而且，如果我们把 M 叫做两条闭合曲线 s1 和 s2 的势，则由两个以 s1 和 s2 为边界而其强度为 i1 和 i2 的磁壳的相互作用而引起的势能是

-i1i2M,

而促进任一位移δx 的力 X 就是

i i dM

1 2 dx

关于由任一电路的存在而引起的作用在另一电路的任一部分上的力的全部理论，都可以从这一结果推演出来。

1. 〕我们在本章中所采用的方法，是法拉第的方法。我们在下一章中将按照安培的方法而从一个电路的一部分对另一电路的一部分的直接作用开始。在本章中我们不这样作，而是首先必须证明一个电路和一个磁壳对一个磁体产生相同的效应，换句话说，我们要确定由电路引起的磁场的本性。其次我们证明，一个电路当放在任一磁场中时会和一个磁壳受到相同的力。这样我们就能确定作用在位于任一磁场中的电路上的力。最后， 通过假设磁场是由第二个电路引起的，我们就能确定一个电路对另一电路的整体或任一部分的作用。

2. 〕让我们把这种方法应用于一个事例：一个无限长的直电流作用在一个平行直导体的一部分上。让我们假设，一个电流 i 在第一个导体中竖直向下流动。在这种情况下，一个磁体的指北端将指向一个从电流的轴线朝磁体看去的人（头上脚下）的右手。

因此，磁感线是一些水平的圆，它们的圆心在电流的轴线上，而它们的正方向是由北向东向南再向西。

设把另一个向下的竖直电流放在第一个电流的正西方。在那儿，由第一个电流引起的磁感线是指向北方的。作用在第二个电路上的力的方向， 通过把一个右手螺旋的扳手柄从最下方即电流的方向转向北方即磁感的方向来确定。这时螺旋将向东运动，就是说，作用在第二个电路上的力是指向第一个电流的，或者普遍地说，既然现象只依赖于各电流的相对位置， 两个载有同向电流的电路是互相吸引的。

用同样的方式，我们可以证明两个载有异向电流的电路是互相推斥的。

1. 〕正如我们在第 479 节中已经证明的那样，在离强度为 i 的长直电流的 r 距离处，磁感强度是

2 i r

由此可见，和第一个导体相平行并载有强度为 i′而方向相同的电流的第二个导体的一个部分，将被一个力

F = 2ii' a

r

吸向第一个导体，此处 a 是那一导体部分的长度，而 r 是离开第一个导体的距离。

既然 a 和 r 之比是一个数字量而和这些长度的绝对量度无关，两个电流的乘积当用电磁单位制来测量时就必须具有力的量纲，由此可见单位电流的量纲就是

1 1 1

[i] = [F2 ] = [M 2 L2 T⁻¹]

1. 〕确定作用在一个电路上的力的方向的另一种方法，就是考虑电流的磁作用和其他电流及磁体的磁效应的关系。

如果在载有电流的导线的一侧，由电流引起的磁效应是和由其他电流引起的磁效应同向或接近同向的，则在导线的另一侧这些力将是反向或接近反向的，而且，作用在导线上的力将从二力互相加强的一侧指向二力互相反对的一侧。

例如，如果一个向下的电流被放在一个指向北方的磁力场中，它的磁作用将在西侧指向北方而在东侧指向南方的。由此可知，二力在西侧互相加强而在东侧互相反对，从而电路就将受到一个从西向东的力的作用。

在本卷末尾的图版十七中，小圆圈代表载有向下的电流的导线的一个截面，导线放在一个指向图左的均匀磁力场中。导线下方的磁力大于导线上方的磁力。因此导线将被促使从图的下方运动向图的上方。

1. 〕如果两个电流位于同一平面内但是并不平行，我们也可以应用这一原理。设一个导体是一根位于纸面上的无限长的直导线。在电流的右侧①，磁力是向下作用的，而在其左侧则是向上作用的。对于由同一平面内第二个电流的任意短段引起的磁力来说，情况也相同。如果第二个导体位于第一个导体的右侧，则磁力将在它的右侧互相加强而在它的左侧互相反

① {电流的右侧就是一个观察者的右侧，其人背靠纸面，而电流从他的头流向他的脚。}

对。由此可见，载有第二个电流的电路将受到一个力的作用，把它从自己的右侧推向左侧。这个力的量值只依赖于第二个电流的位置而不依赖于它的方向。如果第二个电路是放在第一个电路的左侧的，则它将被从左推向右。

由此可见，如果第二个电流是和第一个电流同向的，则它的电路会被吸引；如果是反向的，则被推斥；如果它是垂直于第一个电流并向离此远去的方向流动的，则它会被迫使沿第一个电流的方向而运动；而如果它是向着第一个电流而流动的，则它会被迫使沿着和第一个电流的方向相反的方向而运动。

在考虑两个电流的相互作用时，用不着记住我们曾经力图用一个右手螺旋来阐明的电和磁之间的关系。即使我们忘掉了那些关系，只要我们始终坚持二种关系形式中的一种，我们就将得到正确的结果。

图 24 用一个右手螺旋来表示的电流和磁感线之间的关系498．〕现在让我们把在此以前已经研究过的电路的磁现象综述一下。我们可以设想电路是一个伏打电池和一根连接电池两极的导线，或是

一个温差的电装置，或是一个充电的莱顿瓶和一根连接其正、负极的导线， 或是沿着一个确定的路径产生电流的任何其他的位置。

电流要在它的附近产生磁现象。

如果画一条任意的闭合曲线并沿着整条曲线计算磁力的线积分，那么，如果闭合曲线并不和电路互相穿套，则线积分是零，但是，如果它和电路互相穿套，以致电流穿过这条闭合曲线，则线积分是 4πi，而且这个值是正的，如果沿闭合曲线的积分方向和一个沿电流流向而穿过曲线的人所看到的时针转动方向相重合的话。在一个沿着积分方向在曲线上运动着而穿过电路的人看来，电流的方向将和时针转动方向相同。我们可以用一种说法来表达这一情况，那就是说，这两条闭合曲线的方向之间的关系， 可以通过沿着电路和积分路径各画一个右手螺旋来加以表达。如果当我们穿过其中一条闭合曲线时看到它的螺纹线的转动方向和另一个螺旋的前进方向相重合，则线积分为正，而在相反的情况下则线积分为负。

499．〕注线积分4πi 只依赖于电流的流量而不依赖于任何别的东西。它并不依赖于电流所通过的导体的本性，例如它不依赖于这一导体是一种金属，一种电解质，还是一种非理想导体。我们有理由相信，甚至当并不存在真正的导电而是只有一种电位移的变化时，例如像当充电或放电时发生在莱顿瓶的玻璃中的情况那样，电的运动的磁效应也是完全相同的。另外，线积分的值 4πi 也不依赖于闭合曲线画在什么样的媒质中。不论闭合曲线是完全在空气中画出的，还是经过了一个磁体、一块软铁或任何别的顺磁性或抗磁性的物质，积分值都是相同的。

500．〕当一个电路被放在一个磁场中时，电流和场的其他组成之间的相互作用依赖于磁感在以电路为边界的任一曲面上的面积分。如果通过电路整体或其一部分的运动，这个面积分可以增大，则将有一个机械力倾向于使导体或其部分按照给定的方式而运动。

使面积分增大的那种导体运动，就是垂直于电流方向而扫过磁感线的导体运动。

图 25 用三个右手螺旋来表示的运动正方向和转动之间的关系

如果画一个平行四边形，使它的各边平行于并正比于任一点上的电流强度和同一点上的磁感，则作用在导体的单位长度上的力在数值上等于[正比于]这个平行四边形的面积；这个力垂直于平行四边形的面积，它的方向就是当从电流的方向向磁感的方向转动一个右手螺旋时螺旋中轴前进的方向。

由此我们就得到磁感线的一种新的电磁性的定义。它就是永远和作用在导体上的力相垂直的那种曲线。

它也可以定义成这样的曲线：如果有一个电流沿此线运行，则载有这一电流的导体将不会受到任何力。

50１．〕必须认真记住，促使一个载流导体扫过磁力线而运动的机械力，不是作用在电流上而是作用在电流所通过的导体上的。如果导体是一个转动圆盘或一种流体，它就将服从这个力而运动，而这种运动可能和它所载有的电流的一种位置变化相伴随，也可能不和这种位置变化相伴随。[但是，如果电流可以在一个固定的导体或导线网路中自由地选取任意路径，则当使一个恒定的力作用在体系上时，电流通过导体的路径并不会发生永久性的变化，而在某种被称为感生电流的瞬变现象已经衰退以后，人们就将发现电流的分布是和没有任何磁力在起作用时的电流分布相同的。]

①

唯一对电流起作用的力就是电动力，这种力必须和本章所考虑的机械力区别开来。

①{霍耳先生曾经发现（Phil.Mag.ix.p.225,x.p.301,1880)，一个稳定的磁场确实会使多数导体中的电流分布发生微小的变化，从而正文中方括号内的说法必须被认为只是近似地对的。}

① {霍耳先生曾经发现（Phil.Mag.ix.p.225,x.p.301,1880），一个稳定的磁场确实会使多数导体中的电流分布发生微小的变化，从而正文中方括号内的说法必须被认为只是近似地对的。}

第二章

安培关于电流的相互作用的研究

1. 〕我们在上一章中已经考虑了由一个电路所引起的磁场的本性， 也考虑了作用在位于一个磁场中的载流导体的机械作用力。由此出发，我们接下去通过确定由一个电路引起的磁场对另一个电路的作用，来考虑了一个电路对另一个电路的作用。但是，几乎就在奥斯特的发现刚刚发表以后，一个电路对另一电路的作用是由安培用一种直接的方式来最初研究了的。因此我们将给出安培方法的一个轮廓，而在下一章中再回到本论著所用的方法中来。

指导了安培的那些想法，属于种那种承认远距作用的体系，而且我们将发现，建筑在这些想法上的一种引人注目的思辨和考察的过程，已经由高斯、韦伯、F.E.诺依曼、黎曼、比提、C.诺依曼、洛仑茨以及别的人进行过，而且在新事实的发现和电理论的形成方面都得到了引人注目的结果。参阅第 846—866 节。

我所企图彻底追随的想法，是那些关于作用通过一种媒质从一部分传到相邻部分的想法。这些想法曾由法拉第广泛应用，而他们的数学形式的发展，以及结果和已知事实的对比，曾经是我在若干已发表论文中的目标。从一种哲学观点出发来对两种在原理上如此完全相反的方法的结果进行的比较，必将在研究科学思维的条件方面导致宝贵的资料。

1. 〕安培关于电流的相互作用的理论，是建筑在四件实验事实和一条假设上的。

安培的基本实验，全都是曾被称为比较力的零点法的实例。参阅第 214 节。在零点法中，不是通过向物体传送运动的动力学效应来测量力，也不采用使力和一个物体的重量或一根悬丝的弹性相平衡的静力学方法，而是使由相同的起源引起的两个力同时作用在已径处于平衡的一个物体上，而并不造成任何效应，这就表明这两个力本身是互相平衡的。这种方法对于比较电流在通过不同形状的电路时的效应来说是特别有价值的。通过把所有的导体接成一个连续的系列，我们就可以保证电流的强度在它的行程的每一点上都相同，而且，既然电流在整个行程的所有各点上几乎是同时开始的，我们就可以通过观察一个物体完全不受电流的开始或停止的影响， 来证明由电流的作用而引起的对一个悬挂物体的力是互相平衡的。

1. 〕安培秤就是一个可以绕竖直轴而转动的很轻的架子，上面装有一根形成两个面积相等的电路的导线；两个电路位于相同的或平行的平面内，而两个电路中的电流则是沿相反向流动的。这种装置的目的是要消除地磁对导线的影响。当一个电路可以自由运动时，它就倾向于把自己摆得可以包围尽可能多的磁感线。如果这些磁感线是由地磁引起的，对于一个位于竖直平面内的电路来说，这一位置就将是电路平面采取磁东磁西的方位，而电路流向则和太阳的表观运动方向相反。

通过把位于平面内载有方向相反的电流的两个等面积的电路刚性地连接在一起，就可以形成一种不受地磁影响的、从而被称为“无定向的”组合，见图 26。然而，这种装置却会受到起源于一些电流或磁体的力的作用； 那些电流或磁体离它足够近，以致对两个电路的作用并不相同。

1. 〕安培的第一个实验是关于两个相等的电流的效应的，两个电流很靠近而方向相反。一根包有绝缘材料的导线被从中间摺成双股，并被放在无定向秤的一个电路附近。当使一个电流通过导线和秤时，秤的平衡不受干扰，表明两个相距很近而方向相反的相等电流是互相中和的。如果不是用两根并在一起的导线，而是把一根绝了缘的导线放在一根金属管的中间，而电流通过导线并由金属管返回，则管外的作用不仅近似地而且是准确地等于零。这一原理在电学仪器的制造中是有很大重要性的，因为它提供了一种使电流通入并流出任一电流计或其他仪器的适当手段，可以保证电流在往来于仪器中时并不产生任何电磁效应。在实践中，一般把导线并在一起也就够了，这时必须注意使他们互相之间很好地绝缘，但是，在他们经过仪器的敏灵部件的地方，最好是把一个导体做成管状而把另一个导体做成管中的导线。请参阅第 683 节。

2. 〕在安培的第二个实验中，其中一根导线被弯上了一些小的弯曲，但是在它的每一部分，仍然和和直导线靠得很近。经发现，通过曲导线并由直导线返回的一个电流，对无定向秤并无影响。这就证明，通过导线之任一弯曲部分的电流的效应，是和通过由部分两端之连接直线的相同电流的效应相等价的，如果弯曲导线的任何部分都不是离直导线很远的话。由此可见，一个电路的任一元段都和两个或更多个分量元段相等价，分量元段和合元段之间的关系与分位移和合位移或分速度和合速度之间的关系相同。

3. 〕在第三个实验中，一个只能沿其长度的方向而运动的导体代替了无定向秤。电流在一些空间固定点上进入和离开这一导体，而且经发现， 放在导体附近的任何闭合电路都不能移动导体。

图 27

在这一实验中，导体是一根挂在架子上的圆弧形导线，可以绕竖直轴而转动。圆弧是水平的，其圆心在竖直轴上。两个小槽中注有汞，凸形的汞表面离出于槽面以上。二槽被放在圆弧下面，调节得汞面触及导线。导线为铜质，经过很好的汞齐化。电流从一个槽中通入，流经二槽之间的圆弧部分并从另一槽中流出。这样，圆弧的一部分就通有电流，而圆弧在同时又可以颇为自由地沿着它自己的方向运动。现在可以使任意的电流或磁体向这个活动导体靠近，而并不引起使它沿自身长度的方向发生运动的最小的倾向。

1. 〕在第四个实验中，和无定向秤一起，使用了两个电路；其中每一个，都和秤中的一个电路相似，但是其中之一即 C，却具有 n 倍的线度， 而另一个即 A，则具有 1/n 的线度。这些电路被放在我们称之为 B 的秤电路的两侧，并且它们相对于秤电路来说是相似地摆放的，C 到 B 的距离是 B 到 A 的距离的 n 倍。电流的方向和强度，在 A 和 C 中都是相同的。它在 B 中的方向可以相同或相反。在这些情况下就发现，只要各电路具有上述的关系，不论三个电路的形状和距离是什么，B 都会在 A 和 C 的作用下处于平衡。

既然整体电路之间的作用可以看成是由各电路元段之间的作用引起

的，我们就可以应用确定这些作用的下述方法。

设图 28 中的 A1、B1、C1 是三个电路中的对应元段，并设 A2、B2、C2 是各电路其他部分的对应元段。于是，B1 对 A2 而言的状况就和 C1 对 B2 而言的状况相似，但是 C1 和 B2 的距离和尺寸却分别是 B1 和 A2 的距离和尺寸的 n 倍。如果电磁力的定律是距离的函数，则不论其形式和性质如何，B1 和 A2 之间的作用都可以写成

F = B1 .A 2 f（B1A 2 ）ab，

而 C1 和 B2 之间的作用可以写成

F'= C1 . B2 f（C1 B2 ）be

式中 a、b、c 是 A、B、C 中的电流强度。但是nB1 = C1，nA2 = B 2 ，nB1A 2 = C1 B2 ，而a = c． 由此即得

F'= n²B .A f（nB A ）ab，

1 2 1 2

而由实验可知此力等于 F，因此我们就有

n²f（nA B ） = f（A²B ）；

或者说，力是反比于距离的平方而变的①。

1. 〕参照这些实验可以注意到，每一个电流都形成一个闭合的回路。安培所用的由电池产生的电流当然是形成闭合回路的。人们可能假设， 在导体通过一个火花而放电的事例中，我们似乎有一种形成一条开放的有限的线段的电流，但是，按照本书的观点，即使这一事例也是一个闭合回路的事例。还不曾作过有关非闭合电流之相互作用的任何实验。因此，任何关于两个电路元的相互作用的说法都不能说是建筑在纯实验的基础上的。确实，我们可以把电路的一部分弄成活动的，以确定其他电流对它的作用，但是这些电流和活动部分中的电流一起，必然形成一些闭合回路，因此实验的最终结果就是一个或多个闭合电流对一个闭合电路的整体或部分的作用。

510．]然而，在现象的分析中，我们却可经把一个闭合电路对它自己的或另一电路的一个元段的作用看成若干个分开的力的合力；那些分开的力依赖于第一个电路可以为了数学的目的而被设想分成的那些分开的部分。

这只是作用力的一种数学的分析，从而是完全合理的，不论这些力是否真正分别地起作用。

511．]我们将从考虑空间中代表电路的两条曲线之间的以及这些曲线的元线段之间的纯几何关系开始。

图 29

设空间中有两条曲线。在其中每一条曲线上各取一固定点，从该点开始在曲线上沿确定的方向测量弧长。设 A、A′是这两个点。设 PQ 和 P′Q

′是两条曲线上的线段元。

① {关于这一实验导致平方反比定律的另一种证明在第 523 节中给出，而且读者也许会觉得那证明比以上的证明更加简单和更有说服力。}

设

AP = s， A' P'= s' ，

PQ = ds，P'Q'= ds', 

（1）

并设距离 PP'用 r 来代表。设角 P'PQ 用θ来代表，PP'Q'用θ'来代表，并设这些角的平面之间的夹角用η来代表。

两个线段元之间的相对位置由它们之间的距离 r 用三个角度θ、θ' 及η来充分确定，因为，如果这些量已经给定，则它们的相对位置就像它们形成同一刚体的各部分一样的完全确定了。

512．〕如果我们使用直角座标，并设 x、y、z 为 P 的座标，x'、y'、z'为 P'的座标，并用 l、m、n 和 l'、m'、n'分别代表 PQ 和 PQ'的方向余弦，则有

dx = l, dy = m, dz = n, 



ds dx'

ds'

ds

= l', dy'

ds'

ds

= m' , dz'

ds'





= n',



(2)

以及

l（x'-x） + m（y'-y） + n（z'-z） = rcosθ， 

l' （x'-x） + m' （y'-y） + n' （z'-z） = -rcosθ' ，(3)

U'+mm'+nn'= cos ∈ ， 

式中∈是各线段元本身的方向之间的夹角，从而cos∈=-cosθcosθ'+sinθsinθ'cosη．(4) 再者

r2=(x'-x)2+(y'-y)2+(z'-z)2，(5)

由此即得

r dr = −( x'−x) dx − (y'−y) dy − (z'−z) dz ,

ds

= −r cosθ

同理可得

dr

ds

dx'

ds

dy'

ds 







dz' 

(6)

r ds'

= (x'−x)

ds'

+ (y'−y)

ds'

+ (z'−z)

ds' ,

= −r cosθ'; 

而且，对s' 求的导数，即得

d ²r dt dr

dx dx'

dy dy'

dz dz' 

r dsds' + ds ds' = -

= -(u'+mm'+nn' ),

= -cos ∈

ds ds'

• ds ds'

• ds ds' ,









(7)

因此我们可以把三个角θ、θ'，和η以及辅助角∈用 r 对 s 和 s'的微分系数表示出来如下：

cos θ = − dr , 

ds 

dr

cos θ' = −

ds' , 

d² r cos ∈= − dsds' −

dr dr 

ds ds' , 

(8)

sin θ sin θ'cos η = −r

d2 r 

dsds'

513．〕其次我们将考虑，可以用什么方式来数学地设想线段元 PQ 和P'Q'将会相互发生作用，而当这样作时，我们在起初并不假设它们的相互作用力一定是沿着它们的连线的。

我们已经看到，可以假设每一线段元被分解成一些别的线段元，如果这些分量当按照矢量加法的法则结合起来时将作为它们的合量而给出原有的线段元的话。

图 30

因此我们将认为 ds 被分解成沿 r 方向的 cosθds=α和在平面P'PQ 内沿垂直于r 的方向的sinθds=β.我们也将认为ds'被分解成沿r 之反方向的 cosθ'ds'=α'，平行于β之测量方向的 sinθ'cosηds'=β'和垂直于α'及β'的 sinθ'sinηds'=γ'。

一方面是分量α和β，另一方面是α'、β'γ'，让我们考虑二者之间的作用。

1. α和α'位于同一直线上。因此他们之间的力必然沿这一直线。我们将假设这是一个吸引力，等于

Aαα'ü'，

式中 A 是 r 的一个函数，而 i、i'分别是 ds 和 ds'中的电流强度。这个表示式满足随着 i 和随着 i'而变号的条件。

1. β和β'互相平行，并垂直于他们的连线。他们之间的作用力可以写成

Bββ'ü'

这个力显然是沿着β和β'的连线的，因为它必然位于β和β'所在在平面内，而且如果我们沿相反的方向测量β和β'，这个表示式的值将保持不变，这就表明，如果它代表一个力，这个力就没有沿β的分量，从而必然是沿着 r 的。让我们假设，当这个表示式为正时，它就代表一个吸引力。

1. β和 r'互相垂直并垂直于他们的连线。有着这种关系的电路元之间的唯一可能的作用就是一个轴线平行于 r 的力偶。我们现在关心的是力，因此我们将对这个力偶不予考虑①。

① {人们可能会反驳说，我们没有理由假设在这一事例中就不存在力，因为，例如说有一个力作用在β在， 该力垂直于β又垂直于 r'，而其方向则是当按照右手螺旋的转动使 r'绕β转过 90°时所将得到的方向，而这样的规则就指示一个力，它满足这样的条件：如果两个电路元件中有一个变号而不是两个都变号，则力将反向。假设这样的力并不存在的理由就是，力的方向将只取决于电流的方向，而不会取决于他们的相对位置。例如，如果图 30 中的 P'不是位于 P 的右方而是位于 P 的左方，则力将从电路元之间的一个推斥力变成

1. 如果α和β'互相作用，则他们之间的作用力必须写成Cαβ'ü'

如果我们反转测量β'的方向，这个表示式就会变号。因此它必然不是代表一个沿β'方向的力就是代表一个位于α和β'的平面内的力偶。既然我们不研究力偶，我们将认为它是一个沿β'方向作用在α上的力。

当然也有一个相等的力沿相反的方向作用在β'上。根据同样的理由，我们有一个力

Caγ'ü'

①{人们可能会反驳说，我们没有理由假设在这一事例中就不存在力， 因为，例如说有一个力作用在β在，该力垂直于β又垂直于 r'，而其方向则是当按照右手螺旋的转动使 r'绕β转过 90°时所将得到的方向，而这样的规则就指示一个力，它满足这样的条件：如果两个电路元件中有一个变号而不是两个都变号，则力将反向。假设这样的力并不存在的理由就是， 力的方向将只取决于电流的方向，而不会取决于他们的相对位置。例如， 如果图 30 中的 P'不是位于 P 的右方而是位于 P 的左方，则力将从电路元之间的一个推斥力变成一个吸引力。}

沿着γ'方向而作用在α，和一个力Cβα'ü'

沿着和β的测量方向相反的方向而作用在β上。 514．〕将结果综合起来，我们发现对 ds 的作用是由下列各力组成的：

X = （Aαα'+Bββ' ）ii' 沿r的方向，

Y = C（αβ'-α' β）ii' 沿β的方向，  (9)

Z = Cαγ'ii' 沿γ' 的方向。 

让我们假设，对 ds 的作用是三个力的合力，即沿 r 方向的 Rü'dsds'， 沿 ds 方向的 Sü'dsds'和沿 ds'方向的 S'ü'dsds'；于是，用θ、θ'和η 表示出来，就有

R = A + 2Ccosθcosθ'+Bsinθsinθ' cosη，

S = -Ccosθ' ，S = C'cosθ．

用 r 的微分系数表示出来，就有

 (10)



dr dr

d ²r 

R = A + 2C ds ds' - Br dsds' ,

S = C

dr ds'

dr 

, S'= -C ds 

(11)

用 l、m、n 和 1'、m'、n'表示出来，就有

1

R = −(A + 2C + B) r 2

1

(lξ + mη + nζ)(l' ξ + mη + nζ

1



) + B(u'+mm'+nn'),

(12)

S = C

r (l'ξ + m' η + n'ζ),S'= C

(lξ + mη + nζ), 



式中ξ、η、ζ分别代表 x'-x、y'-y 和 z'-z． 515．〕其次我们必须计算有限电流 s'对有限电流 s 作用的力，电流 s

一个吸引力。}

从 s=0 的 A 点延伸到使它具有值 s 的 P 点。电流 s'从 s'=0 的 A'点延伸到使它具有值 s'的 P'点。其中任一电流上各点的座标是 s 的函数或 s'的函数。

如果 F 是点的位置的任一函数，我们就将利用下标(s，0)来标明它的值从 A 到 p 的增量，例如

F（s,0)=Fp-FA．

当电路闭合时这样的[增量]函数必照为零。

设 A'P'对 AP 作用的总力的分量是 ii'X、ii'Y 和 ii'Z．于是ds'对 ds 作用

d ²X

的平行于X的分力就是ii' dsds' dsds' ．

由此即得

d² X ξ

dsds' = R r + Sl + S'l' (13)

按(12)式把 R、S 和 S'的值代入，记得

l' ξ + m' η + n'ζ = r dr ,

ds'

(14)

并按 l、m、n 集合各项，我们就得到

d² X

 1

= l- (A + 2C + B)

dr ξ2 + C dr

+ ( B + C)

l' ξ 



dsds' 



r ² ds'

1 dr

l' η

ds'

r 

m'ξ 

+ m- (A + 2C + B) r 2 ds' ξη + C r + B r 

 1 dr

l'ζ

n'ξ 

+ n- (A + 2C + B) r 2

ds ξζ + C r

• B 



(15)

既然 A、B 和 C 是 r 的函数，我们就可以写出

p = ∫∞ (a + 2C + B) 1 dr ,Q = ∞ Cdr,(16)

_r r 2 ∫r

积分是从 r 到∞计算的，因为当 r=∞时 A、B、C 为零。由此即得

(A + B) 1 = - dp , 和C = - dQ

(17)

r ² dr dr

516．〕现在，我们由安培的第三个平衡事例可知，当 s'是一个闭合的电路时作用在 ds 上的力是垂直于 ds 的，或者换句话说，力在 ds 本身的方向上的分量是零。因此，让我们通过取 l=1、m=0、n=0 来把 x 轴的方向弄成平行于 ds．于是方程(15)就变成

d² X dsds'

= dP

ds'

ξ² -

dQ ds'

+ (B + C)

l'ξ r

(18)

为了求出作用在ds的单位长度上的力 dX ，我们必须对s' 求这一表示

ds

式的积分。对第一项进行分部积分，我们就得到

dX = (Pξ² - Q) - s' (2Pr - B - C) l'ξ ds' (19)

ds (s',0) ∫0 r

当 s'是一个闭合电路时，这一表示式必为零。第一项将自动地等于

零。然而第二项一般在闭合电路的事例中将不为零，除非积分号下的量恒为零。由此可见，为了满足安培的条件，我们必须令

P = 1

2r

(B + C) (20)

517．〕现在我们们可消去 P 而求得■的普遍值了：

dX = B + Cξ ξ (lξ + mη + nζ) + Q

 

ds  2 r 

B - C m' ξ - l' η s' B - C l'ζ − n' ξ

+ m∫ 2 r ds'-n∫0 2 r ds'

(21)

当 s'是一个闭合电路时此式的第一项为零，而如果我们令

α' = ∫s' B − C n' η − m'ζds' ,

0 2 r 



β' =

s' B − C l'ζ − n' ξ 

ds',

(22)

∫0 2 r 

γ' = ∫s' B − C m' ξ − l' η ds', 

0 2 r 

式中的积分沿闭合回路 s'计算，我们就可以写出

dX = mγ '-nβ 

ds ,



dY 

同理可得

ds = nα'-lγ' ,

dZ = lβ - mα'

(23)

ds 

各量α'、β、γ'有时被称为电路 s'对 P 点而言的决定分量(deter- minants)。他们的合量被安培称为电磁作用的准线。

由方程可见，分量为dX ds、 dY ds和 dZ ds的力既垂直于ds又垂直

ds ds ds

于这一准线，而且在数值上是由以 ds 和准线为边的平行四边形的面积来代表的。

用四元数的语言来说，作用在 ds 上的力，是准线和 ds 的乘积的矢量部分。

既然我们已经知道准线和由电路 s'中的单位电流引起的磁力是同一个东西，今后我们就将把准线叫做由该电路引起的磁力。

518．〕现在我们将完成两个有限的、不论闭合与否的电路之间的作用分力的计算了。

设ρ是 r 的一个新函数，满足

ρ = 1 ∫∞ (B - C)dr, (24)

2 r

则由(17)和(20)可得

d ² d

A + B = r dr 2 (Q + ρ) - dr (Q + ρ), (25)

而方程(11)变成

dρ d² 

R = − dr cos ∈ +r dsds' (Q + ρ),

S = -

dQ ds'

dQ

, S' = ds

 (26)





利用这些分力值，方程(13)就变为

d² X

dρ ξ d ²

dQ dQ

dsds' = -cos ∈ dr r + ξ dsds' (Q + ρ) - l ds' + l'

ds ,

dρ d ²{(Q + ρ)ξ} dρ

= cos ∈ dx + dsds' + l' ds (27)

519．〕现在令

s' s' s'

F = ∫0 lρds, G = ∫0 mρds, H = ∫0 nρds,(28)

s' s' s'

F' = ∫0 l'ρds, G = ∫0 m'ρds, H = ∫0 n'ρds,(29)

这些方程在空间的任一给定点上都有定值。当各电路是闭合的时，它们就对应于各电路的矢势的分量。

设 L 是 r 的一个新函数，满足

s'

L = ∫0 r(Q + ρ)dr,

并设 M 是二重积分

∫s' ∫s' ρ cos ∈dsds',

(30)

(31)

0 0

此式当各电路是闭合的时就变成他们的相互作用势，于是(27)就可以写成

d² X d ² dM dL 

dsds' =

 − + F − F'

(32)

dsds'  dx dx 

520．〕在给定的积分限间对 s 和 s'求积分，我们就得到

X = dM - d

(L - L - L + I ),

dx dx

pp' Ap' A'P' AA'

+ FP' - FA' - F'P +F'A , (33)

此处 L 的下标指示距离 r，而 L 就是该距离的函数，F 和 F'的下标指示它们在那里取值的各点。

Y 和 Z 的表示式可以仿照此式写出。分别用 dx、dy、dz 乘这些分量， 我们就得到

Xdx+Ydy+Zdz=DM-D(Lpp’-LAP’-LA’P+LAA’)-(F'dx+G'dy+H'dz)((P- _A)+(Fdx+Gdy+Hdz)(P’-A’)(34)

式中 D 是全微分的符号。

既然 Fdx+Gdy+Hdz 通常并不是 x、y、z 的一个函数的全微分，对于其中有一个电流并不闭合的那些电流来说，通常 Xdx+Ydy+Zdz 就不是一个全微分。

521．〕然而，如果两个电流都是闭合的，含 L、F、G、H、F'、G'、H'的各项就都不存在，从而就有

Xdx+Ydy+Zdz=DM，(35)

式中 M 是两个载有单位电流的闭合电路的相互势。M 这个量表示的是当其

中一传导电路平行于自身而从无限远处移动到它的实际位置上时电磁力对它作的功。任何使 M 增大的位置变化都会受到电磁力的促进。

可以像在第 490、596 节中那样证明，当电路的运动并不平行于它自身时，作用在它上面的力仍然由一个电路对另一电路的势 M 的改变来确定。 522．〕在这种研究中，我们所曾用到的唯一实验事实就是由安培确证

的事实，那就是，一个闭合电路对另一电路之任一部分的作用力垂直于那一部分。本研究的每一其他部分都只依赖于和曲线在空间中的性质有关的纯数学的考虑。因此，利用特别适用于表示这种几何关系的一种数学方法即哈密顿的四元数方法的概念和语言，这种推理就可以用一种更加凝练得多和更加恰当得多的形式表达出来。

这一点已由泰特教授在 QuarterlyJournalofMathematics，1866 上和在他的著作 Quaternions，§399 中针对安培的原如研究作过了，而读者也很容易把相同的方法转用到这里给出的更普遍一些的研究方面来。

523．〕到此为止，我们并没有针对 A、B、C 各量作出任何假设，只除了它们是二电路元之间的距离 r 的函数以外。我们其次必须确定这些函数的形式，而为此目的，我们将利用第 508 节中安培的第四个平衡事例。在那里曾经证明，如果一组两个电路的一切线度和距离都按同一比例发生了变化而其电流保持不变，则两个电路之间的作用将保持不变。

现在，对单位电流而言的电路之间的力是 dM ，而既然此量和体系

dx

的线度无关，它就必然是一个数字量。由此可见，M 本身，即二电路之相互势的系数，必然是一个具有长度量纲的量。由方程(31)可以推知，ρ必然是长度的倒数，从而由(24)可知 B—C 必然是长度平方的倒数。但是，既然 B 和 C 和都是 r 的函数，B—C 就必然是 r 平方的倒数或该倒数的倍数。 524．〕我们所采用的倍数依赖于我们的单位制。所谓电磁单位制的名

称，是由于这种单位制和早先用于磁学测量的单位制相一致。如果我们采用电磁单位制，则 M 的值应该和分别以两个电路为边界的两个单位强度磁壳的势的值相重合。由第 423 节可知，这一事例中的 M 值是

M = ∫∫ cos ∈dsds' , (36)

积分是在两个电路上沿着正方向计算的。取此式作为 M 的数值并和(31)式相比较，我们就得到

ρ = 1 , 而B - C = 2

(37)

r r ²

1. 〕现在我们可以把电 ds'的作用引起的对 ds 的作用力的分力表示成和实验事实相一致的最普遍形式了。

作用在 ds 上的力由三个吸引力组成，即

1 drdr

d ²r

d²Q 

Rii' dsds' = r 2 ( dsds' − 2r dsds')ii' dsds'+r dsds' ii'dsds'

沿r方向,

dQ

 (38)

Sii'dsds' = − ds' ii' dsds' 沿ds方向, 

dQ

以及Sii'dsds' = ds ii' dsds' 沿ds' 方向, 

式中Q = ∫∞ Cdr，而且，既然C是r的一个未知函数，我们就只知道

Q 是 r 的某一函数。

1. 〕不必作出某种假设，Q 这个量就可以由实验测定；在实验中， 主动电流形成一个闭合回路。如果我们像

安培一样假设电路元 ds 和 ds'之间的作用是沿着他们的连线的，则 S 和 S'必然不存在，而 Q 必然是常量或零。于是力就简化为一个吸引力，其值是

1 dr dr d ²r

Rii' dsds' = r 2 ( ds ds' - 2r dsds')ii'dsds' (39)

安培在磁单位制被确定的很久以前就进行了这种研究，他使用了其数值为此值之一半的一个公式，那就是

1 1 dr dr d² r

jj' dsds' = r 2 ( 2 ds ds' - r dsds')jj'dsds' (40)

这里的电流强度是用所谓电动力学单位来量度的。如果 i、i'是用电磁单位来量度的电流强度，而 j、j'是用电动力学单位来量度的同两个电流强度，则显然有

jj' = 2ii' , 或j = 2i (41)

由此可见，电磁制中的电流单位大于电动力学制中的电流单位，二者

之比为 2比1。

考虑电动力学单位的唯一意义就在于电流之间的作用力定律的发现者

安培本来是采用了这种单位的。在建筑在这种单位上的计算中， 2将频

繁地出现；这是不方便的，而且电磁单位还有一个很大的优点，那就是它可以和我们所有的磁学公式在数值上互相符合。既然学生很难记住是不是

必须乘上或除上一个 2，我们从现在起将只使用电磁单位制，正如韦伯

和大多数别的作者们所采用的那样。

既然 Q 的形式和值对迄今作过的至少主动电流永远是闭合电流的任一实验并无影响，那么，如果我们愿意，我们就可以采用任何看来可以简化公式的 Q 值。

例如，安培假设了两个电路元之间的力是沿着他们的连线的。这就给出 Q=0，

1 dr dr d² r

Rii' dsds'= r 2 ( ds ds' - 2r dsds')ii'dsds' ,S = 0,S' = 0 (42)

格喇斯曼①假设两个沿同一直线的电路元没有相互作用。这就给出

1 3 d ²r

1 dr

1 dr

Q = − 2r , R = - 2r dsds' ,S = - 2r 2

ds' ,S' = 2r ²

ds (43)

如果我们愿意，我们就可以假设相隔一个给定距离的两个电路元之间的吸引力正比于它们之间的夹角的余弦。在这种情况下，就有

Q = − 1 , R = 1 cos ∈,S = - 1

dr ,S' = 1 dr

(44)

r r ²

r ² ds'

r ² ds

最后，我们也可能假设吸引力和斜向力只依赖于各电路元和他们的连

① Pogg.，Ann.64，p.1（1845）

线之间的夹角，那么我们就会有

Q = − 2 , R = -3 1

dr dr ,S = - 2

dr ,S'= 2 dr

(45)

r r ²

ds ds'

r ² ds'

r ² ds

1. 〕在这四种不同的假设中，安培的假设无疑是最好的，因为它是唯一可以把作用在两个电路元上的力弄得不仅相等而反向而且还沿着二电路元之连线的一种假设。

第三章

论电流的感应

1. 〕奥斯特关于电流之磁作用的发现，通过一种直接的推理导致了由电流引起的磁化的发现，以及电流之间的机械力的发现。然而，直到 1831 年，已经在若干时间内努力尝试了用磁作用或电作用来产生电流的法拉第，才终于发现了磁电感应的条件。法拉第在他的研究中所用的方法，包括了对实验的一种首尾一贯的依靠，用来作为一种考验他的想法之真确性的手段，也包括了在实验的影响下对概念的一种不断培育。在他已发表的研究中，我们发现这些概念是用一种语言来表达的；那种语言特别适用于一门新生的科学，因为它在那些习惯于已确立的数学的思想形态的物理学家们看来是多少有点陌生的。

安培用以建立了电流之间的机械作用定律的那种实验研究，是科学中最辉煌的成就之一。

整个的东西，理论和实验，就仿佛是充分成长地和全身披挂地从“电学中的牛顿”的头脑中跑出来的一样。它在形式上是完美无缺的，在精确性上是无懈可击的，而且它被总结在一个公式中，由此公式可以推出所有的现象，从而它必将永远成为电动力学中的主导公式。

然而，尽管安培的方法已被塑造成一种归纳的形式，它却无助于我们追溯指引了它的形成的那些想法。我们几乎不能相信安培果真是借助于他所描述的那些实验来发现了作用定律的。事实上，我们不免猜想他本人所告诉我们的情况①，就是说，他通过某种他不曾展示给我们的过程而发现了定律，而他在已经建立起了一种十全十美的演证之后，就消毁了借以建立这种演证的那个脚手架的一切痕迹。

另一方面，法拉第却向我们既展示了他那些成功的实验也展示了他那些不成功的实验，既展示了他那些发展成熟的想法也展示了他那些粗略的想法，而读者不论在归纳能力方面比他差了多少，却对他感到同情多于钦佩，而且会被诱使着相信，假若自己有机会，自己也将是一个发现家。因此，每一个学生都应该阅读安培的研究，把它看成叙述科学发现的风格的一种辉煌范例，但是他也应该研习法拉第的著作，以期借助于即将发生在法拉第向他介绍的那些新发现的事实和他自己头脑中那些新生的意念之间的作用和反作用，来培育一种科学精神。

也许是为了对科学有益，法拉第虽然彻底意识到了空间、时间和力的基本形态，但他却不是一个专业的数学家。他并没有被引诱着进入纯数学方面的许多有趣的研究，而假若他那些发现曾经用数学的形式展示出来， 它们是会启迪人们去进行那许多研究的。另外，他也并没觉得有责任把他那些结果挤到一种当时的数学口味可以接受的样式中去，或者是把他们用一种数学家们会钻研的形式示出来。因此他就可以随心所欲地作他的正题工作，把他的想法和他的事实协调起来，并且且一种自然的、非专门的语言把它们表达出来。

我决心撰写这本论著，主要就是希望把这些想法弄成一种数学方法的

① ThéoriedesphénomènesElectrodynamiquds ，p.9.

基础。

1. 〕我们习惯于认为宇宙是由一些部分构成的，而数学家们通常是首先考虑单独一个粒子，然后再考虑该粒子和另一粒子的关系，如此等等。一般认为这就是最自然的方法。然而，设想一个粒子却需要一种抽象过程， 因为我们的一切感觉都是和一些有广延的物体联系着的，因此，关于在一个在给定时刻存在于我们意识中的全部事物的概念，也许就是和关于任一个体事物的概念同样原始的一个概念。由此可见，有可能存在一种数学方法，在那种方法中，我们从整体进而考虑部分，而不是从部分进而考虑整体。例如，欧几里德在他的第一本书中把一条线设想成由一个点运动而成的，把一个面设想成由一条线扫掠而成的，把一个体设想成由一个曲面生成。但是他也把面定义为体的界面，把线定义为面的边沿，而把点定义为线的端。

按照类似的方式，我们可以把一个物质体系的势设想成通过某种按场中各物体的质量求积分的一种过程而求得的一个函数，或者，我们也可以

假设质量本身除了

势。

1 ∇ ²ψ的体积分以外并无别的数学意义，此处ψ是

4π

在电学研究中，我们可以利用一些公式，他们所包括的量是某些物体距离、以及这些物体中的电量或电流，或者，我们也可以利用包括另一些量的公式，而其中每一个量都在空间中是到处连续的。

在第一种方法中用到的数学手续是沿曲线、在曲面上或在整个的有限空间内部求积分，而在第二种方法中用到的则是偏微分方程和各该方程在整个空间中的积分。

法拉第的方法似乎是和这两种处理方式中的第二种密切联系着的。他从来不认为物体是彼此之间除了距离以外没有任何的东西而存在着，而且是按照距离的某种函数而相互作用着的。他把整个空间设想成一个力场， 力线一般是弯曲的，而由任一物体引起的那些力线都从该物体向一切方向延伸，其方向将受到其他物体之存在的影响。他甚至把属于一个物体的力线在某种意义上说成物体本身的一部分①，因此在它对远处物体的作用中， 它并不能说是在它不存在的地方起作用的。然而在法拉第看来这并不是一个主要的概念。我想他却或许会说，空间的场中是充满了力线的，他们的分布依赖于场中各物体的分布，而作用在每一物体上的机械作用力和电作用力则取决于连接在物体上的力线。

磁电感应现象 530．〕 1．由原电流的变化所引起的感应

设有两个导体电路，“原电路”和“副电路”。原电路中接有电池， 利用这个电池，原电流可以被产生、保持、停止或反向。副电路中接有电流计，以指示可能在该电路中形成的任何电流。这个电流计被放在离原电路的所有各部分都很远的地方，以致原电流对它的示数并无可觉察的直接影响。

① Exp.Res.，vol.ii.p.293；vol.iii.p.447

② 阅读 Faraday'sExperimentalResearches，Seridsiandii.

设原电路的一部分是一条直导线，而副电路的一部分是和这条直导线靠近并平行的另一条直导线，二电路的其他部分全都相距很远。

经发现，在向原电路中的直导线送入一个电流的那一瞬间，副电路中的电流计指示出第二条直导线中有一个反方向的电流。这叫做感生电流。如果使原电流保持恒定，感生电流很快就会消失，而原电流就显得对副电路并无任何影响。如果现在使原电流停止，一个副电流就会被观察到，它是和原电流同向的。原电流的每一变化都在副电路中引起电动势。当原电流增大时，电动势是沿着和电流相反的方向的。当原电流减小时，电动势是沿着和电流相同的方向的。当原电流不变时，不存在任何电动势。

这些感应效应会通过两个电路的靠扰而有所加强。他们也会由于把两个电路作成相距很近的两个圆形或螺线形的线圈而被加强，并且会通过在线圈中放入一棍铁棒或一束铁丝而被更大地加强。

1. 由原电路的运动所引起的感应

我们已经看到，当原电路保持不变和静止时，副电流是顽强地不出现的。

现在让原电流保持不变，但是却使原直导线向副直导线靠扰。在靠扰的过程中，将出现一个和原电流反向的副电流。

如果让原电路远离副电路而运动，就会出现一个和原电流同向的副电流。

1. 由副电路的运动所引起的感应

如果副电路被移动，则副电流当副导线靠近原导线时和原电流反向， 而当副导线离开原导线而运动时和原电流同向。

在所有的事例中，副电流的方向都是使两个导体之间的机械作用力和运动方向相反，当导线互相靠拢时是一个推斥力，当导线互相远离时是一个吸引力。这个很重要的事实是由楞次①确定的。

1. 由一个磁体和副电路的相对运动所引起的感应

如果我们把原电路换成一个磁壳，其边界和该电路相重合，其强度在数值上等于电路中的电流强度，而其朱表面对应于电路的正面，则由这个磁壳和副电路的相对运动所引起的现象和在原电路未被代换时观察到的现象相同。

531．〕所有这些现象可以总结在一条定律中。当沿正方向穿过副电路的磁感线的数目变化时，就有一个电动势在该电路中起作用，这个电动势是用穿过电路的磁感的减少率来量度的。

532．〕例如，设火车的两根铁轨是和地面绝缘的，但是在其一端却通过一电流计而互相连接，此外并假设电路通过离此端距离为 x 处的车轮和车轴而形成闭路。忽略车轴离铁轨水平面的离度，副电路中的感应就是由地球磁力的竖直分量引起的；在北半球，这一分量指向下方。由此可见， 如果铁路的轨距是 b，则电路的水平面积是 bx，而通过它的磁感的面积分是 Zbx，此处 Z 是地球的磁力的竖直分量。既然 Z 是向下的，电路的较低

① Pogg.，Ann.xxxi.p.483（1834）.

一面就应该被当作正面，而电路本身的正方向则是北、东、南、西，也就是太阳的表观昼夜运动的方向。

现在让火车开始运动起来，于是 x 就会变化，而电路中就会存在一个

电动势，其值为- Zb dx 。

dt

如果 x 是增大的，就是说，如果火车是远离轨端而运动的，则这个电动势是沿负方向的，或者说是沿北、西、南、东方向的。因此，通过车轴的电动势的方向是由右向左的。假如 x 是减小的，则电动势的绝对方向将反转，但是既然火车运动的方向也反过来了，车轴中的电动势就仍然是从右向左的，车上的观察者永远被假设为面向前方而运动。在磁针的南端向下倾斜的南半球，一个运动物体中的电动势是由左向右的。

由此我们就得到确定一根通过一个磁力场而运动的导线中的电动势的下述法则。设想把你的头和脚分别放在罗盘指针的指北端和指南端的位置上，把你的脸转向运动的前方，则由运动而引起的电动势将是从左向右的。

533．〕由于这些方向关系是很重要的，让我们再举一个例子。设有一条金属腰带绕在地球的赤道上，还有一条金属线通过格林威治子午线从赤道通到北极。

图 31

制造一个金属的大圆象限弧，其一端支在北极处的支轴上，另一端在赤道处的大腰带上滑动，追随太阳的昼夜运动。沿赤道运动的象限弧将有一个电动势从北极指向赤道。

不论我们假设地球静止而象限弧从东向西运动，还是假设象限弧静止而地球从西向东转动，电动势都将是相同的。如果我们假设地球是转动的， 则固定在空间中的一端接触地极而另一端接触赤道的一部分电路中的电动势将是确定的，不论这一部分电路具有什么样的形状。这一部分电路中的电流是从地极流向赤道的。

相对于地球为静止的电路的其他部分也可以有任意的形状，而且可以在地球以内或以外。在这一部分电路中，电流是从赤道流向某一地极的。 534．〕磁电感应的电动势的强度是完全和它在那里起作用的导体物质

的本性无关的，而且也是和载有施感电流的导体的本性无关的。

为了证明这一点，法拉第①用两根不同金属的导线做成了一个导体；二线之间用丝绸绝缘，它们被扭在一起，其一端焊接了起来。二线的另一端接了一个电流计。这样，两根导线相对于原电路来说就处在相同的状态， 但是假若一根导线中的电动势比另一根导线中的电动势更强一些，它就将产生一个电流，这是将由电流计显示出来的。然而他却发现，这样一种组合导体可以受到由感应而引起的最强的电动势的作用，而电流计并不受任何影响。他也发现，不论组合导体是由两根导线构成还是由一根导线和一种电解质构成，电流计都是不受影响的②。

由此可见，作用在任一导体上的电动势，只依赖于该导体的形状和运动，以及场中电流的强度、形状和运动。

① Exp.Res.，195.

② Ib.，200.

1. 〕电动势的另一种消极性质就是它本身并没有任何引起任何导体的机械运动的倾向，而只有在导体中引起一个电流的倾向。

如果它确实在物体中引起一个电流，则由于电流的存在，确实会有机械运动，但是如果我们阻止电流的形成，则物体并不会自己发生任何机械运动。然而，如果物体是带电的，则电动势将推动物体，正如我们在静电学中已经描述过的那样。

1. 〕固定电路中电流的感应定律的实验研究，可以用一种方法来相当精确地进行；在这种方法中，电流计中的电动势，从而还有电流，被调成了零。

例如，如果我们想要证明线圈 A 对线圈 X 的感应等于线圈 B 对线圈 Y 的感应，我们就把第一对线圈 A 和 X 放在离第二对线圈 B 和 Y 足够远的地方。然后我们就把 A 和 B 接在一个电池上，于是我们就能够使相同的原电流沿正方向通过 A 然后再沿负方向通过 B。我们也把 X 和 Y 接在一个电流计上，于是如果有副电流的话，它就会沿相同的方向通过 X 和 Y。

于是如果 A 对 X 的感应等于 B 对 Y 的感应，则当电池接通和开断时电流计将不会指示任何感生电流。

这种方法的精确性随着原电流的强度和电流计对瞬时电流的灵敏性而增加，从而实验要比那些和电磁吸引力有关的实验容易做得多；在那些实验中，导体本身必须很精致地悬挂起来。

比萨的菲利西教授①描述了一系列很有教育意义的、设计得很好的这一类实验。

(1)一个电路对另一个电路的感应电动势，和导体的截面积以及制造导体所用的材料无关②。

因为我们可以把实验中的任一电路换成另一个不同截面和不

①AnnalesdeChimie，xxxiv.p.64(1852)，andXuovoCimento，ix.， p.345(1859).

同材料而形状却相同的电路，而并不改变实验结果。(2)电路 A 对电路 X 的感应等于 X 对 A 的感应。

因为，如果我们把 A 接在电流计电路中而把 X 接在电池电路中，电动势的平衡不会受到扰乱。

1. 感应正比于施感电流。

因为，如果我们已经确证，A 对 X 的感应等于 B 对 Y 的感应，而且也等于 C 对 Z 的感应，我们就可以使电池的电流先通过 A，然后按任意比例在 B 和 C 中分流。然后，如果我们使 X 取反方向而 Y 和 z 取正方向并把它们串联起来接到电流计上，则 X 中的电动势将平衡 Y 和 Z 中的电动势之和。

1. 在一对一对地形成几何相似体系的电路中，感应正比于它们的线度。

因为，如果前面提到的三对电路全都相似，但是第一对电路的线度等于第二对和第三对电路的对应电路之和，那么，如果 A、B 和 C 是串联起来而和电池相接的，而且 X 是反向而 Y 和 Z 是正向串联在一起而和电流计相接的，则平衡将成立。

① AnnalesdeChimie，xxxiv.p.64（1852），andXuovoCimento，ix.，p.345（1859）.

1. 由一个 m 匝线圈中的电流在一个 n 匝线圈中引起的电动势，正比于乘积

   mn。

1. 〕对我们已在考虑的这种实验来说，电流计应该尽可能地灵敏， 它的指针应该尽可能地轻，以便对一个很小的瞬变电流作出一种可觉察的显示。关于由运动引起的感应的实验，要求指针具有比较长一些的振动周期，以便反映导体的某些运动而指针离它的平衡位置并不很远。在以前的实验中，电流计电路中的电动势在全部时间内都是处于平衡的，从而没有任何电流通过电流计的线圈。在现在所描述的那些实验中，电动势起初沿

②{如果一种材料或多种材料是磁性的，则这种说法不一定严格正确，因为，在这种事例中，磁力线的分布是会受到的导线中的感生磁性的干扰的。} 一个方向起作用，而后又沿另一个方向起作用，于是就先后引起两个沿相反方向通过电流计的电流，从而我们就必须证明，由这些相继的电流引起的对电流计指针的冲量在某些事例中是相等而反向的。

电流计对瞬变电流之量度的应用的理论，将在第 748 节中进行更详细的考虑。在目前，注意到一点也就够了；那就是，只要电流计指针还离它的平衡位置较近，电流的致偏力就正比于电流本身，而如果电流的整个作用时间远小于指针的振动周期，磁体的末速度就将正比于电流中的总电量。因此，如果两个电流以很快的次序通过电流计，并沿相反的方向传递相等的电量，则指针不会留下任何末速度。

例如，为了证明由原电路的接通和开断而在副电路中引起的感生电流是在数量上相等和在方向上相反的，我们可以适当安排和电池相接的原电路，以便通过按下一个电钮就可以把电流送入原电路中，而手指一松，就可以随时把电路开断。如果电钮被按下了一段时间，则副电路中的电流计将在电钮接通的时刻指示一个和原电流反向的瞬变电流。如果接触被保持，则感生电流将简单地通过并消失。如果我们断开接触，则有另一个瞬变电流沿相反方向通过副电路，而电流计指针就沿相反方向受到一个冲击。但是，如果我们只在一瞬间接通电路然后又把它断开，则两个感生电流将以如此快的顺序通过电流计，以致指针在受到第一个电流的作用时还来不及从它的平衡位置运动开一个可觉察的距离就会被第二个电流所阻止，而且由于这些瞬变电流在数量上确切相等，指针就会完全被阻止住。如果仔细地注视指针，就会看到它似乎从一个静止位置突然跳到另一

个相隔很近的静止位置。

用这种办法我们就能证明，当电路开断时，感生电流中的电量是和电路接通时感生电流中的电量确切相等而流向相反的。

1. 〕这种方法的另一种应用由菲利西在他的〈研究〉的第二个系列中给出如下。

永远可以找到副线圈 B 的许多不同的位置，使得原线圈的接通或开断在 B 中并不引起任何感生电流。在这样的情况下，两个线圈的位置被称为相互“共轭”。

设 B1 和 B2 是两个这样的位置。如果线圈 B 突然被从位置 B1 挪动到 B2， 则 B 中瞬变电流的代数和将恰好等于零，于是当 B 的运动完成时电流计指针就保持静止。

这一点是对的，不论线圈 B 是用什么方式从 B1 挪动到 B2，也不论原线

圈 A 中的电流在挪动过程中是保持不变还是正在变。

另外，设 B'是 B 的任一不和 A 共轭的位置，于是当 B 是在位置 B'上时， A 中电流的接通或开断就在 B 中引起一个感生电流。

设电流是当 B 位于共轭位置 B 时接通的，这时将没有感生电流。把 B 挪动到 B'，那就会有一个由运动引起的感生电流。但是如果把 B 很快地移动到 B'，然后把电流开断，则由电流开断所引起的感生电流将恰好抵消由运动所引起的感生电流的效应，于是电流计指针就将保持静止。由此可见， 从一个共轭位置到任一其他位置的运动所引起的电流，和由在该其他位置上的电路开断所引起的电流相等而反向。

既然电路接通的效应和电路开断的效应相等而反向，那就可以推知， 当 B 在任一位置 B'上时接通电路的效应，等于在电流通过 A 时把线圈从任一共轭位置 B1 搬到 B'的效应。

如果二线圈相对位置的变化是通过搬动原电路而不是通过搬动副电路来达成的，则人们发现结果仍相同。

1. 〕由这些实验可以推知，当 A 中的电流从γ1 变到γ2 时，在 A 从 A1 到 A2 而 B 从 B1 到 B2 的同时运动过程中，B 中的总感生电流只依赖于初状态 A1、B1、γ1 和末状态 A2、B2、γ2，而和体系可以通过的那些中间状态的性质完全无关。

由此可见，总的感生电流一定具有F(A2,B2,γ2)-F(A1,B1,γ1)

的形式，此处 F 是 A、B、γ的一个函数。

关于这个函数的形式，我们由第 536 节知道当不存在运动从而 A1=A2 而 B1=B2 时，感生电流是和原电流成正比的。因此γ只作为一个乘法因子而出现，另一个因子则是电路 A 和 B 的形状及位置的函数。

我们也知道，这个函数只依赖于 A 和 B 的相对位置而不依赖于它们的绝对位置，因此这个函数必将可以表示成构成二电路的那些电路元之间的距离和夹角的一个函数。

设 M 是这个函数，则总的感生电流可以写成

C{M₁γ ₁ − M₂ γ ₂ },

式中 C 是副电路的电导，M1、γ1 是 M 和γ的初值，而 M2、γ2 是它们的末值。

因此，这些实验就证明，总的感生电流依赖于某量 Mγ的改变量，而

这个改变量可以起源于原电流γ的变化，也可以起源于原电路或副电路的任何改变 M 的变化。

1. 〕感生电流不是依赖于某个量的绝对值而是依赖于它的改变量， 关于这样一个量的概念，是在法拉第的《研究》的早期阶段就被想到了的①。他曾观察到，当在一个强度恒定的电磁场中保持静止时，副电路并不显示任何电效应，但是，如果同样这种场状态是突然产生的，副电路中就会有一个电流。另外，如果原电路被从场中取走，或者说场被撤除，那就会有个相反种类的电流。因此，当副电路位于电磁场中时，他就在该电路中认识到一种“物质的特殊的电状况”，他把这种状况叫做“电壮状态”

① Exp.Res.，seriesi.60.

(Electrotonic State)。后来他发现，借助于建筑在磁力线上的考虑，他可以不必使用这一概念①，但是即使在他最后的《研究》中②，他还说过： “一次又一次地，关于一种电壮状态③ 的想法曾被现实强加在我的头脑中。”

显示在他已发现的《研究》中的法拉第头脑中的这一想法的整个历史， 是相当值得研讨的。在精心思维的指引下，但是没有用到数学计算的帮助， 他被一系列实验引导到了关于某种东西之存在的认识，而现在我们知道那种东西是一个数学量，而且甚至可以说是电磁理论中的基本量。但是，既然他是被一种纯实验的路线引导到这一概念的，他就认为它有一种物理的存在，尽管一旦能够用任何更加习见的思维形式来解释现像，他就是很乐于放弃这种学说的。

其他的研究者在很久以后也被一种纯数学的路线引导到了同一个概念，但是就我所知，他们谁也不曾在两个电路的势这一精化了的数学概念中认识到法拉第的关于电壮状态的大胆假说。因此，沿着这些最初把这一课题的规律归结为数学形式的杰出研究者们所指示的路线而接近了这一课题的那些人们，有时就觉得很难领会法拉第在他头两个系列的《研究》以如此奇妙的完备性给出的那些规律的叙述的科学精确性。

法拉第的电壮状态概念的科学价值，就在于它指导人们的思想去把握某一个量，而实际的现象就是依赖于那个量的改变量的。如果不对它进行比法拉第的形式更加进步得多的发展，这一概念是很难用来解释现象的。我们将在第 584 节中再回到这一课题上来。

1. 〕在法拉第的手中更加有力得多的，就是那种利用磁力线的方法；当思索他的磁体或电流时，那些磁力线一直是存在于他的心目中的，而且他很有理由地认为①，借助于铁屑来显示磁力线，就是对实验家的一种最有价值的帮助。

法拉第认为，这些磁力线不仅用它们的方向表示着磁力的方向，而且用它们的数目和密度表示着磁力的强度，而且他在自己较晚的《研究》中也指明了如何设想单位力线②，我在本书的不同部分中曾经说明了法拉第在这些力线方面认识到的那些性质和电力及磁力的数学状况之间的关系，也说明了法拉第关于单位力线和力线数目的意念可以怎样在一定的限度内加以数学的精确化。参阅第 82、404、490 节。

在他的第一系列的《研究》③中，法拉第清楚地指明了一个部分活动的导体电路中的电流方向如何依赖于活动部分切割磁力线的方式。

在第二个系列中④，他指明了由一个电流强度或磁体强度的变化而产生的现象，如何通过假设当功率增大或减小时磁力线族就从导线或磁体扩大出来或向它收缩过去来加以解释。

① Exp.Res.，seriesii.242.

② Ib.，3269.

③ Ib．，60，1114，1661，1729，1733．

① Bxp.Res.，3234.

② Ib.，3122.

③ Ib.，114.

④ Ib.，238.

我不能肯定当时他以多大程度的明晰性认识了他后来非常明白地建立了的学说⑤，那就是，当切割力线时，一个运动导体就将收集由力线的面积或截面引起的作用。然而，当把第二系列的研究⑥考虑在内时，这却显得并不是关于情况的新观点。

法拉第关于力线之连续性的观念，排除了力线在一个空间中突然无中生有的可能性。因此，如果想令穿过一个导体电路的力线数目发生变化， 那就只可能或是通过电路运动而扫过力线，或是通过力线运动而扫过电路来达成。在任一事例中都会有一个电流在电路中产生出来。

在任一时刻穿过电路的磁力线数目，在数学上是和法拉第关于该电路之电壮状态的早期观念相等价的，从而是用 Mγ这个量来代表的。

只有当在第 69、274 节中把电动势的定义弄得更加确切了以后，我们才算能够把磁电感应的真实定律述叙如下：

在任一时刻沿一个电路起作用的总电动势，是用穿过该电路的磁力线数目的减少率来量度的。

当对时间求了积分时，这一叙述就变成：

沿任一电路起作用的总电动势的时间积分，再加上穿过该电路的磁力线数目，是一个常量。

我们可以不谈论磁力线数目，而谈论穿过电路的磁感，或谈论在以电路为边界的任一曲面上求的磁感的面积分。

我们将再回到法拉第的这一方法上来。在此以前，我们必须列举建筑在其他一些考虑上的感应理论。

楞次定律

1. 〕在 1834 年，楞次①提出了由安培公式所定义的电流的机械作用现象和由导体的相对运动所引起的电流感应现象之间的下述惊人关系。叙述这样一种关系的一次更早的尝试，曾由瑞奇在同年一月份的《哲学杂志》上作出。但是在这两个事例中感生电流的方向都是叙述错了的。楞次的定律如下：

如果有一个恒定电流在原电路 A 中流动，并通过 A 的运动或副电路 B 的运动而在 B 中感生了一个电流，则这一感生电流的方向将是这样的：通过它对 A 的电磁作用，它将倾向于阻止二电路的相对运动。

以这一定律为基础，F.E.诺依曼建立了他的有关感应的数学理论①；在这种理论中，他确立了由原导体或副导体的运动所引起的感生电流的数学定律。他证明了，我们曾称之为一个电路对另一电路的势的 M 这个量，是和我已经联系到安培公式而研究过的一个电路对另一个电路的电磁势相等同的。因此，我们可以认为 F.E.诺依曼已经针对电流的感应来补全了安培曾经应用于电流的机械作用的那种数学处理。

1. 〕不久以后，一个具有更大的科学重要性的步骤就由亥姆霍兹在

⑤ Ib.，3082，3087，3113.

⑥ Ip.，217，＆C.

① Pogg.，Ann.xxxi.p.483（1834）.

① BerlinAkad.，1845andl847.

他的论文《论力的守恒》中给出了②，也由工作开始得较晚但独立于亥姆霍兹的 W.汤姆孙爵士③作出了。他们证明了，法拉第所发现的电流的感应， 可以通过能量守恒原理的应用而从奥斯特和安培所发现的电磁作用中数学地推导出来。

亥姆霍兹所取的是电阻为 R 的导体电路的事例，在电路中，有一个起源于电池装置或温差电装置的电动势在起作用。电路中任意时刻的电流是I.他假设在电路附近有一个磁体在运动，而其对导体而言的势是 V，于是，

在任一很小的时间阶段dt中，由电磁作用传给磁体的能量就是I dV dt。

dt

由第 242 节中的焦耳定律，使电路发热所作的功是 I2Rdt，而电动势 A 为在时间 dt 中保持电流 I 而消耗的功是 AIdt。因此，既然作的功必然等于消耗的功，就有

AIdt = I ²Rdt + I dV dt,

dt

由此我们就得出电流强度

A − dV I = dt

R

现在，A 的值可以是由我们任意选取的。因此，令 A=0，就得到

I = − I

R

dV , dt

或者说，将存在一个由磁体的运动而引起的电流，它等于由一个电动势

• dV 所引起的电流。

dt

在磁体从势为 V1 的地方到势为 V2 的地方的运动过程中，总的感生电流就是

∫ Idt = − 1 ∫ dV dt = 1 (V

− V ),

R dt

R 1 2

从而总电流就不依赖于磁体的速度和路径而只依赖于它的初位置和末位置。

亥姆霍兹在他的原始研究中采用了一种单位制，那是建筑在导体中由电流所生的热的量度上的。把电流的单位看成任意的，电阻的单位就是那样一个导体的电阻，即这一单位电流在单位时间内应在该导体中产生单位的势量。这一单位制中的电动势单位，就是为在单位电阻的导体中产生单位电流所要求的电动势。这种单位制的采用，要求在各方程中引入一个量a，这就是单位热量的机械功当量。由于我们总是采用静电单位制或电磁单位制，这一因子并不出现在此处所给出的方程中。

1. 〕亥姆霍兹也导出了当使一个导体电路和一个载有恒定电流的电路发生相对运动时的感生电流①。

② 1847 年 7 月 23 日在柏林物理学会上宣读。译文见 Taylor's‘ScientificMemoirs’ ，partii.p.114．

③ Trans.Brit.Ass.，1848，andPhil.Mag.，Dec.1851，并参阅其论文‘TransientElectricCurrents’，Phil.Mag.， June1853.

① {在第 543、544 节中给出的证明是不能令人满意的，因为那些证明忽略了可能发生在电流中的任何变化，

①{在第 543、544 节中给出的证明是不能令人满意的，因为那些证明忽略了可能发生在电流中的任何变化，也忽略了由于电路的运动而可能发生在动能方面的任何变化。事实上，仅仅根据能量守恒原理来推导两个电路的感应方程是不可能的，正如不利用除了能量守恒原理以外的任何原理就想推出一个具有两个自由度的体系的运动方程是不可能的一样。

如果对二电路事例应用能量守恒原理，我们就得到个方程，这可以推导如下：设 L、M、N 分别是第一个电路的自感系数、两二个电路的互感系数和第二个电路的自感系数（第 578 节）。设 Te 是由各电路中的电流所引起的动能，而其余的符号都和第 544 节中的符号相同。于是就有（第 578 节）

T = 1 LI ² + M I + 1 NI ² ,

e 2 1 I 2 2 2

σTe

= dTe σI dI1

• dTe σI dI 2

+ dTe σx, (1) dx

式中 x 是一个用来协助确定电路位置的任意类型的座标。既然 Te 是 I1、I2 的二次齐次式，就有

2T_e

= I dTe

¹ dI

• I dTe ,

² dI

由此即得

2σT = σI dTe

+ I σ dTe

+ σI

• dTe + I

• dTe

(2)

e 1 dI

¹ dI

² dI

² dl

将(2)式代入(1)式中，即得

σT = I σ dTe + I

• dTe

• ∑ dTe σx

e 1 dI

² dI dx

然而 dTe 就是作用在体系上的x类型的力，因此，既然我们假设没有任

dx

何外力作用在体系上，∑ dTe σx就将是由体系的运动所引起的动能T

dx ^m

的增量，于是(3)式就给出

也忽略了由于电路的运动而可能发生在动能方面的任何变化。事实上，仅仅根据能量守恒原理来推导两个电路的感应方程是不可能的，正如不利用除了能量守恒原理以外的任何原理就想推出一个具有两个自由度的体系的运动方程是不可能的一样。如果对二电路事例应用能量守恒原理，我们就得到个方程，这可以推导如下：设 L、M 、N 分别是第一个电路的自感系数、两二个电路的互感系数和第二个电路的自感系数（第578 节）。设 Te 是由各电路中的电流所引起的动能，而其余的符号都和第 544 节中的符号相同。于是就有

（第 578 节） 式中 x 是一个用来协助确定电路位置的任意类型的座标。既然 Te 是 I1、I2 的二次齐次式， 就有 由此即得 将(2)式代入(1)式中，即得 的增量，于是(3)式就给出 电池在时间δt 内作的功是 在同一时间内产生的热量由焦耳定律给出， 由于能量守恒原理可知，电池所作的功必须等于电路中产生的热量再加上体系能量的增量，于是就有 A1I1σｔ＋A2I2σt=(R1I12+R2I22)σt＋σ (Te+Tm), 将(4)中的σ(Te+Tm)值代入此式，即得 或者写成 感应方程就是使括号中的两个量等于零，但是能量守恒原理却只证明(5)式的左端为零，而不是各括号分别为零．感生电流的方程的一种严格证明将在第 581 节中给出。}

σ(T + T ) = I σ dTe + I

σ dTe

(4)

e m 1

dI1

² dI

电池在时间δt 内作的功是A1I1σt+A2I2σt

在同一时间内产生的热量由焦耳定律给出， (R1I12+R2l22)σt

设 R1、R2 是电阻，I1、I2 是电流，A1、A2 是外电动势，而 V 是由每一电路中的单位电流所引起的一个电路在另一个电路上的势，于是我们就像以前那样得到

A I + A I = I ²R

• I ²R + I I dV

1 1 2 2 1

1 2 2 1 2 dt

如果我们假设 I1 是原电流，而 I2 比 I1 小得多以致它并不通过感应而

在

I 中引起任何可觉察的变化，从而我们可以令I = A1 ，于是就有

1 1

1

A − I dV

I 2 =

2 1 dt ,

R

2

这是恰好可以像在磁体的事例中一样加以阐释的一种结果。

如果我们假设 I2 是原电流而 I1 比 I2 小得多，我们就得到 I1 的表示式

A − I dV

I1 =

1 2 dt

R

1

这就证明，对于相同的电流来说，第一电路在第二电路中感生

由能量守恒原理可知，电池所作的功必须等于电路中产生的热量再加上体系能量的增量，于是就有

将(4)中的δ(T■+T■)值代入此式，即得

■

或者写成

■

感应方程就是使括号中的两个量等于零，但是能量守恒原理却只证明(5)式的左端为零，而不是各括号分别为零。感生电流的方程的一种严格证明将在第 581 节中给出。}

的电动势等于第二电路在第一电路中感生的电动势，不论各电路的形状如何。

亥姆霍兹在这一论著中没有讨论由原电流的加强或减弱所引起的感应，或者说没有讨论电流对自己的感应。汤姆孙①把同一原理应用到了电流之机械值的确定上，而且他已指出，当功是由两个恒定电流的相互作用所作出时，他们的机械作用就会增加一个相同的数量，从而电池就除了反抗

① MechanicalTheoryofElectrolysis，Phil.Mag.，Dec.1851.

电路的电阻而维持电流所需要的功以外，还必须供应两倍的功②。 545．〕电学量的一个绝对测量单位制由 W.韦伯的引入，是科学进步

的量重要步骤之一。在和高斯一起把磁学量的测量提高到头等的精确方法之列以后，韦伯就在他的《电动力学测量》是不但着手奠定了确定所用单位的牢固原理，而且开始利用这些单位来在一种未之前闻的精确度下测定一些特定的电学量。不论是电磁单位制还是静电单位制，他们的发展和实际应用都得力于这些研究。

韦伯也搞出了一种电作用的曾遍理论，他由这种理论推出了静电力和电磁力，也推出了电流的感应。我们将在单独一章中考虑这一理论，并考虑它的某些较晚近的发展。参阅第 846 节。

② Nichol’sCyclopaediaofPhysicalScience ，ed.1860，Article‘Magnetism ，DynamicalRela-tionsof，’and.Reprint，

§571.

第四章

论一个电流对它自己的感应

1. 〕法拉第曾经把他的第九系列的《研究》用于由一根导线中的电流所显示出来的一类现象，该导线形成一个电磁铁的线圈。

金肯先生曾经注意到，尽管不可能通过只包括一对金属板的伏打体系的直接作用来产生一次可觉察的电冲击。但是，如果使电流通过一个电磁铁的线圈，然后使握在两只手中的两导根线的端点脱离接触，却是会感觉到一次强烈的电冲击的。

法拉第证明了，这种现象以及他所描述的另一些现象，都是由他已经观察过的电流对邻近导体的同一种感应作用所引起的。然而在这一事例中，感应作用却是作用在载有电流的那同一个导体上的，而且它更加强烈得多，因为导线本身要比其他导线所能作到的更加靠近不同的电流元。

1. 〕然而他却谈到①，“最先出现的想法就是，电是带着某种类似动量或惯性的性质而在导线中流动的”。确实，当我们只考虑一根特定的导线时，现象是和充满连续流动的水的管子的现象确切类似的。如果我们在水正流动时突然把管子的一端封住，水的动量就会产生一个突然的压强；这个压强比由水头造成的压强大得多，甚至足以把水管弄裂。如果当主通道关闭时水可以通过一个小口逸出，它就会以一个比由水头造成的速度大得多的速度射出，而如果它可以通过一个阀门进入一个室中，它就会进入该室，即使室内的压强大于由水头造成的压强。

水力扬汲机正是根据这种原理制成的；利用这种机器，可以借助于从低得多的水平面流下来的大量的水来把少量的水提升到一个很大的高度。

1. 〕管中液体之惯性的这些效应，只依赖于经由管子流过的液量、管子的长度和管子不同部分的截面。它们不依赖于管子外面的任何东西， 也不依赖于管子被弯成什么形状，如果管长不变的话。

对于一根载有电流的导线来说，情况却不是这样的。因为，如果一根长导线被从中间弯成双股，则效应是很小的；如果两股是互相离开的，则效应较大；如果导线被绕成螺绕线圈，则效应更大；如果再在线圈中放入一个铁芯，则效应最大。

再者，如果有第二根导线和第一根导线绕在一起，但是二导线互相绝缘，那么，如果第二根导线并不形成一个闭合电路，则现象仍和以前一样； 但是如果第二根导线形成一个闭合电路，则有一个感生电流出现在第二根导线中，而第一根导线中的自感效应就会受到阻滞。

1. 〕这些结果清楚地表明，如果现象是由动量引起的，这种动量就肯定不是导线中的电荷的动量，因为载有相同电流的相同导体将按照其形状的不同而显示不同的效应，而且即使它的形状保持不变，一块铁或一个闭合金属电路之类的其他物体的存在也对结果有影响。

2. 〕然而，人们的思想一旦认识了自感现象和运动物质体的现象之间的类似性，就很难放弃这一类似性的协助或承认它完全是表面化的或引人误解的。有关物质的基本动力学概念，例如能够通过它的运动而成为动

① Exp.Res.，1077.

量和能量的承受者的那种概念，是如此紧密地和我们思想形式交织在一起，以致每当在大自然的任一部分中看到一点它的踪影时，我们都会觉得面前出现一条早晚会导致问题之完全了解的道路。

1. 〕在电流的事例中，我们发现了，当电动势开始起作用时，它并不是立即产生足额的电流，而是电流将逐渐增大。在反对的电阻不能平衡它的那段时间内，电动势是在作着什么事呢？它是正在增大电流。

现在，沿着物体的运动方向而作用在物体上的一个普通的力，将增大物体的动量并向它传送动能，或者说传送由于它的运动而具有的作功本领。

与此类似，电动势的未受阻部分曾被用于电流的增强。那么，当这样产生了以后，电流有没有动量或动能呢？我们已经证明它有某种很像动量的东西，它反对被突然停止，它可以在一段短时间内作用一个大的电动势。但是，里边已经建起了电流的一个导体电路具有由于这一电流而作功的本领，而且这种本领并不能说是“很像能量”的某种东西，因为它确确实实就是能量。

例如，如果让电流自行流动，它就将继续流动，直到被电路的电阻所阻止时为止。然而，在它被阻止住以前，它将已经产生了一定数量的热， 而以动力学单位计，这一热量就等于起初存在于电流中的能量。

再者，当电流自行流动时，可以通过运动磁体而使它作功，而且由楞次定律可知，这种运动的感应效应将使电流停止，比只有电路的电阻起作用时停止得更快。用这种办法，电流能量的任一部分都可以被转换成机械功而不是转换成热。

1. 〕因此，看来一个含有电流的体系就是某种能量的所在之处；而且，既然除了作为一种运动现象以外我们对电流不能形成任何概念①，它的能量就必然是动能，也就是运动物体由于它的运动而具有的能量。

我们已经证明，导体中的电荷不能看成我们将在它上面看到能量的那种运动物体，因为一个运动物体的能量并不依赖于物体以外的任何东西， 而电流附近其他物体的存在却会改变电流的能量。

因此我们就被引导着探索在导线外面的空间中是否可能有某种运动正在进行着；那种空间并未被电流所占据，而电流的电磁效应却表现在那种空间中。

在目前，我不打算细说在一个地方而不在另一地方寻找这种运动，或是把这些运动看成一种运动而不看成另一种运动的那些理由。

现在我准备作的是检查一条假设的推论，该假设就是，电流的现象是一个运动体系的现象，其运动是由力从体系的一个部分传送到另一部分的，力的性质和规律我们甚至还不曾尝试去规定，因为我们可以通过拉格朗日针对任意连接体系给出的方法来把这些力从运动方程中消去。

在本书的以下五章中，我打算根据一个这一类型的动力学假说来导出电学理论的主要结构，而并不遵循曾经把韦伯和别的探索者们引导到许多引人注目的发现和实验、引导到其中某些是既大胆又美好的观念的那一路径。我曾经选择了这种方法，因为我愿意指明，存在另外一些看待现象的方式，他们在我看来是更加令人满意的，而同时也比那些根据远距作用的

① Faraday，Exp.Res.283.

假说来进行的方式更加和本书的前几编所遵循的方法相协调。

第五章

关于一个连接体系的运动方程

553．]在他的《分析力学》的第四节中，拉格朗日曾经给出了一种把一个连接体系之各部分的普通动力学运动方程简化为其数目等于体系之自由度的一些方程的方法。

一个连接体系的运动方程曾由哈密顿以一种不同的形式给出，而且曾经导致了纯运动学之较高深部分的巨大推广①。正如我们将发现这是必要的那样，在我们把电现象纳入动力学的范围、把我们的动力学概念纳入一种适合于对物理问题之直接应用的状态的努力中，我们将利用本章来从物理的观点对这些动力学概念作一介绍。

554．]拉格朗日的目的是把动力学置于微积分的管辖之下。他是从利用纯代数量的对应关系式来表示初等动力学关系式开始的，而从这样得出的那些方程，他通过一种纯代数的手续而推得了他那些最后的方程。某些量（表示着由体系的物理联系所引起的体系各部分之间的关系的量）出现在体系各组成部分的运动方程中，而从一种数学的观点看来，拉格朗日的研究就是一种从最后的方程中消去这些量的方法。

在追随这种消去法的步骤时是需要进行计算的思索的，从而我们在思想上必须避免动力学概念的侵入。另一方面，我们的目的却是发展我们的动力学概念。因此我们将利用数学家们的劳动，而把他们的结果从微积分的语言翻译成动力学的语言，以便我们的论述不是唤起关于某种代数运算的思维形象而是唤起有关运动物体的某种性质的思维形象。

动力学的语言已经被那些借助于通俗说法来阐述能量守恒学说的人们所大大扩充了，而且我们即将看到，以下的许多叙述已经由汤姆孙和泰特在《自然哲学》中的研究所暗示过，特别是那种从冲击力理论开始的方法。

我曾经应用了这种方法，以避免除了整个体系的运动所依赖的座标或变量以外还要显露地考虑体系任一部分的运动。无疑很重要的是，学生应该追索体系每一部分的运动和各变量的变化之间的联系，但是在求得和这些联系之特定形式无关的最后方程的过程中，这种追索却是绝非必要的。

变量

555．]一个体系的自由度数，就是为了完备地确定它的位置而必须给出的数据的个数。这些数据可以有不同的形式，但是他们的个数却依赖于体系本身的本性，从而是不能改变的。

为了明确，我们可以设想体系是借助于适当的机件而和一些活动部件连接起来的，其中每一个部件只能沿着一条直线而运动，而不能进行任何别的运动。把其中每一部件和体系连接起来的那种假想的机件，必须被想像为没有摩擦的、没有惯性的和不会通过所加力的作用而发生胁变的。这种机件的用处仅仅在于当把位置、速度和动量指定给在拉格朗日研究中显得是一些纯代数量的各量时比较容易想像。

① 参阅 ProfessorCayley’s‘ReportonTheoreticalDynamics ，’BritishAssociation,1857；并参阅

ThomsonandTait’sNaturalPhilosophy.

设 q 代表其中一个部件的位置，通过它离开自己的运动直线上一个固定点的距离来定义。我们将用下标 1、2 等等来区分对应于不同部件的 q 值。当我们处理只属于一个部件的一组量时，我们可以略去下标。

当所有变量(q)的值已经给定时，每一个部件的位置就都是已知的，而通过那种假想的机件，整个体系的位形也就确定了。

速度

556．]在体系的运动过程中，位形以某种确定的方式发生变化，而既然每一时刻的位形都是由各变量(q)的值来充分定义的，那么，如果我们知道了各变量(q)的值以及它们的速度

（ dq ，或者采用牛顿的记号· ），

dt

则体系每一部分的速度，以及体系的位形，就都将是完全确定的了。

力

557．]通过各变量之运动的适当控制，和连接的本性相容的任何体系运动都可以被产生。为了通过挪动各活动部件来产生这一运动，必须对这些部件施以力。我们将把必须作用在任一变量 qr 上的力写成 Fr，力系(F) 是在力学上和真正产生这种运动的那个力系（不论它可能是什么样的力系）相等价的（由于有体系的那些连接）。

动量

558．]当一个物体的运动方式适足以使它相对于作用在它上面的力而言的位形永远保持相同时（例如当一个力沿着质点的运动直线作用在单一质点上时），主动力就用动量的增加率来量度。如果 F 是主动力而 p 是动量，则有

F = dp ,

dt

由此即得

p = ∫ Fdt

一个力的时间积分叫做该力的冲量，从而我们可以断言，动量就是力使物体从静止状态变到一个给定的运动状态时的冲量。

·

在一个运动连接体系的事例中，位形是以依赖于各速度（ q ）的快

慢而连续变化的，从而我们不再能够假设动量就是作用在物体上的力的时间积分。

·

但是任一变量的增量δq 不可能大于q ' δt，此处δt是增量发生的

·

时间，而q ' 是速度在这段时间中的最大值。在一个体系在永远沿同一直

线的力的作用下从静止开始运动的事例中，这个最大速度显然就是末速度。

如果体系的末速度和末位形已经给定，我们就可以设想速度是在一段很小的时间δt 内传给体系的，原位形和末位形相差若干个量δq1、δq2

· ·

等等，它们分别小于q1 δt、 q2 δt等等。

我们所假设的时间增量δt 越短，所加的力就必须越大，但是每一个力的时间积分或冲量将仍为有限值。当时间无限缩短而趋于零时，冲量的极限值就定义为瞬时冲量，而对应于任一变量 q 的动量 p 就定义当体系从静止状态在一瞬间被纳入所给的运动状态时和该变量相对应的冲量。

这种认为动量可以由作用在静止体系上的瞬时冲量来产生的观念，只是作为定义动量之量值的一种方法而被引入的，因为体系的动量只依赖于体系的瞬时运动状态而不依赖于产生这一状态的过程。

在一个连接的体系中，和任一变量相对应的动量通常是所有各变量的速度的一个线性函数，而并不是像在质点动力学中那样简单地和速度成正比。

· · · ·

使体系的速度突然从q 2 、 q2 等等变成q 1 ' 、q 2 ' 等等时所需要的冲

量，显然等于若干个变量的动量改变量 p1＇-p1＇、p2＇-p2 等等。

一个小冲量所作的功

559．]力 F1 在冲量期间所作的功就是力的空间积分，或者说，

W = ∫ F1dq1 ,

= ∫ F1 q 1 dt

· · ·

如果q 1 ' 是速度 q 1 在力的作用时间内的最大值而 q 1 '' 是其最小值，

则 W 必将小于

· ·

q 1 Fdt或 q 1 '( p1 '−p1 )

而大于

· ·

q 1 ' ' Fdt或 q 1 ' '(p1 '−p1 )

· ·

如果我们现在假设冲量 Fdt无限地减小，则q 1 ' 和q 1 '' 的值将互相

·

趋近而终于和q 1 的相重合，而且我们可以写出p1 ＇ - p1 = δp1，于是所

作的功最后就是

·

σW1 = q 1 σp1

或者说，一个很小的冲量所作的功，在极限下等于冲量和速度的乘积。

动能的增量

560．]当为使一个保守体系开始运动而对它作功时，能量就会被传送给它，而体系就变得能够在达到静止以前反抗阻力而作相等数量的功。

一个体系由于它的运动而具有的能量叫做它的“动能”，而且是由使它运动起来的那些力在所作的功的形式下传送给它的。设 T 是体系的动能，并设它由于分量为δp1、δp2 等等的一个无限小冲量的作用而变成了T+δT，那么增量δT 就必然是冲量所作的功的总和，或者，用符号表示出来就是

· · ·

σT = q 1 σp1 + q 2 σp2 + = Σ(q σp)（1）

发果各位形变量和各动量都已给定，体系的瞬时状态就是完全确定的。由此可见，依赖于体系之瞬时状态的动能，可以用各变量(q)和各动量(p)表示出来。这就是哈密顿所引入的表示 T 的方式。当 T 是用这种方式表示出来时，我们将用下标 p 来区分它，于是就把它写成 Tp。

Tp 的全变分是

σT = Σ( dTp σp) + Σ( dTp σp) （2）

^p dp dp

最后一项可以写成

Σ( dTp · σt) dq

此式随δt 而减小，而当冲量变为瞬时的时终于变为零。

由此可见，使方程(1)和(2)中δp 的系数相等，我们就得到

• dTp q = dp ,

（3）

或者说，和变量 q 相对应的速度，就是 Tp 对相应动量 p 的微分系数。

我们通过考虑冲击力而得到了这一结果。利用这种方法，我们避免了考虑位形在力的作用时间内的变化。但是，体系的瞬时状态在一切方面都是相同的，不论体系是否通过冲击力的瞬时作用而从静止状态被带到所给的运动状态，或者说，不论它是否以无论多慢的任意方式而到达该状态。换句话说，各变量以及对应的速度和动量，都只依赖于体系在一个给

定时刻的实际运动状态，而不依赖于它的以前历史。

由此可见，不论体系的运动状态被假设为由冲击力所引起还是被假设为由以随便什么方式来起作用的力所引起，方程(3)都是同样成立的。

因此我们现在可以舍去关于冲击了的考虑，以及加在他们的作用时间上的限制和加在位形在各力作用时间内的变化上的限制。

哈密顿运动方程

561．]我们已经证明，

dTp = ·

dp q （4）

设体系以满足加在它的连接上的那些条件的任意方式而进行运动，于是 p 和 q 的变分就是

σp = dp σt , dt

·

σp = q σt

（5）

由此即得

dTp σp = dp · σt ,

dp dt q

= dp σq, dt

（6）

从而 Tp 的全变分就是

σT = Σ( dTp σq + dTp σp),

^p dp dp

= Σ(( dp + dTp )σq) （7）

dt dq

但是动能的增量来源于所加力作的功，或者说， σTp=Σ(Fσq)(8)

在这两个表示式中，所有各变分δq 都是互相独立的，因此我们可以令两个表示式(7)和(8)中每一个变分的系数彼此相等。于是我们就得到

F = dp r

^r dt

• dTp

dq

(9)

r

式中的动量 p 和力 F 属于变量 q ①。

有多少个变量，就有多少个这种形式的方程。这些方程是由哈密顿给出的。他们表明，和任一变量相对应的力都是两项之和。第一项是该变量之动量对时间而言的增加率。第二项是每单位变量增量的动能增加率，这时假设其他的变量和所有的动量都保持不变。

用动量和速度来表示的动能

· ·

562．]设p1 、p2 等等是在给定时刻的动量而 q 1、 q 2等等是

· ·

在该时刻的速度，并设P1 、P2 等等和q 1 、q q 2 等等是另一组动量和速度，

满足

· ·

p1 = np1， q 1 = n q 1 ，等等

·

(10)

很显然，如果p、 q 组是自洽的，则p、q给也是自洽的。

现在令 n 改变一个δn。力 F1 所作的功是

• 。

F1σq1 = q 1 σp1 = q 1 nσn（11）

·

令n从0增加到1，体系就从静止状态被带到运动状态（ q ，p），

而在造成这一运动时所消耗的总功是

· ·

( q 2 p1 + q 2 p2 +

但是

∫1 ndn = 1

)∫0 ndn

（12）

0 2

而且产生运动时所消耗的功是和动能等价的。由此即得

·

①｛这种证明似乎是有问题的，因为δq是被假设为等于 q σt

dTp

即等于 dp δt的，因此我们能够合理地从（7）和（8）推出的只是

① ｛这种证明似乎是有问题的，因为δq 是被假设为等于

1. Σ( dpr

dt

• dTp − p dq r

dT_p 

_r ) dp  = 0．

T · =

p q

1 · ·

2 (p1 q 1 + p2 q 2 + ),

（13）

· ·

式中Tp q 代表用动量和速度表示出来的动能。各变量q1 、 q 2 等等

并不出现在这一表示式中。

因此动能等于动量及其对应速度之积的总和的二分之一。

·

当动能用这种方式来表示时，我们就将用符号Tp q 来代表它。它

只是动量和速度的函数而并不包括那些位形变量本身。

563．]还有第三种表示动能的方法，而事实上这种方法通常认为是基本的方法。通过求解方程组(3)，我们可以把动量用速度表示出来，然后把这些值代入(13)中，我们就将有一个只包含速度和变量的 T 的表

·

示式。当T被表示成这种形式时，我们就将用符号T q 来代表它。这就

是动能在拉格朗日方程中被表示的形式。

· ·

564．]很显然，既然Tp 、T q 和Tp q 是同一个量的三种不同

的表示式，就有

· ·

Tp + T q − 2Tp q = 0

或者写成

· · ·

Tp + T q− p1 q 1 − p2 q 2 − = 0

（14）

由此可见，如果所有各量 p、q 和■都是变化的，就有

dTp · dTp ·

( dp

− q 1 )σp1 + ( dp

− q 2 )σp2 +

dT·

+ ( q − p d q

·

)σ q 1

dT·

+ ( q − p d q 2

·

)σ q 2 +

• ( dTp +

dq

dT·

^q )σq

dq ¹

• ( dTp

dq

dT·

• ^q )σq

dq ²

+ = 0（15）

1 1 2 2

·

各变分δp并不是和各变分δq及δ q 相互独立的，因此我们并不

能立即断定方程中每一个变分的系数都等于零。但是，我们由方程组(3) 可知，

dTp − ·

1

（16）

因此包含各变分δp 的那些项自动地等于零。

·

剩下来的各变分δ q 和δq现在全都是独立的了，因此我们就通

·

过令δ q 1 等等的系数等于零而得到

p1 =

dT·

q

·

d q

, p2

dT·

q

·

d q

, ; （17）

或者说，动量的各个分量是 T■对相应速度的微分系数。再者，通过令δq1 等等的系数等于零，就得到

dTp +

dq1

dT·

q

dq1

= 0, ;

（18）

或者说，动能对任一变量 q1 的微分系数是等值而异号的，当 T 被表示成速度的函数而不是表示成动量的函数时。由于有方程(18)，我们可以把运动方程(9)写成

F = dp1 −

¹ dt

dT·

dq ,

（19）

或者写成

d

dT·

1

dT·

F1 = ·

d q

• dq

（20）

这就是由拉格朗日给出的运动方程的形式。

565．]在以上的控讨中，我们曾经避免了考虑用速度或用动量来表示动能的那种函数形式。我们曾经指定给它的唯一显函数形式就是

T = 1 · ·

_pq 2 (p1 q 1 + p 2 q 2 + ),

（21）

在这种形式下，动能被表示成了每一动量及其对应速度之积的总和的一半。

就像在方程(3)中那样，我们可以把速度用 Tp 对动量的微分系数表示出来，

1 dTp dTp

Tp = 2 (p1 dp + p2 dp +

) （22）

这就表明，Tp 是动量 p1、p2 等等的二次齐次函数。

·

我们也可以把各动量用T q 表示出来，而且我们得到

· 1 ·

dT·

q

dT·

• q

T q = ( q 1 ·

d q

+ q 2 · +

d q

)（23）

这就表明，T■是各速度 q■、q■等等的二次齐次函数。如果我们用

① 原意如此。这句话显然讲得不够明确，学者可据上面的公式体会其真正含意。——译者

d ²T d ²T

· ·

P 代表 ^q ，P 代表 ， ，

11 · 12

d q ²

· ·

d q d q

d²T d ²T

p p

并用 Q11 代表 dp 2 ，Q12 代表 dp dp ， ；

· ·

那么，既然T q 和Tp 分别是 q 和p的二次函数，各个P和各个Q就都将只是

各变量 q 的函数而和速度及动量无关。于是我们就得到 T 的两个表示式：

2T·

q

·

= p11 q 1

· ·

+ 2p12 q 1 q 2 +

,（24）

2T = Q p ² + 2Q p p + ,（25）

p 11 1 12 1 2

各动量通过一些线性方程而用速度表示出来，

· ·

p1 = p11 q 1 + p12 q 2 + （26）

而各速度也通过一些线性方程而用动量表示出来，

·

q 1 = Q11 p1 + Q12 p2 + （27）

在刚体运动力学的论著中，对应于 P11 的两个下标相同的系数被称为“惯量矩”，而对应于 P12 的两个下标不同的系数被称为“惯量积”。我们可以把这些名称推广到现在所面临的更加普遍的问题；在这种问题中， 这些量并不像在刚体的事例中那样是一些绝对的常量，而却是变量 q1、q2 等等的函数。

同样，我们可以把形如 Q11 的系数称为 “动性矩”

(MomentsofMobility)，而把形如 Q12 的系数称为“动性积”。然而，我们并不经常有机会谈到这些动性系数。

566．]一个体系的动能是一个永远为正或者为零的量。因此，不论它

是用速度还是用动量表示出来的，各个系数必须保证没有任何的实数变量值可以使 T 成为负的。因此就有各系数 P 所必须满足的一套必要条件。这些条件如下：

各系数 P11、P12 等等都必须是正的。通过在行列式

P11 ，P12 ，P13 ，

P12 ，P22 ，P23 ，

P13 ，P23 ，P33 ，

P1n ，P2n ，P3n ，

P1n P2n P3n Pnn

中略去具有下标 1 的各项，然后再略去具有下标 1 或 2 的各项，如此类推

而逐次得出的 n-1 个行列式都必须是正的。

因此，对于 n 个变量来说，条件的个数就是 2n-1， 各系数 Q 也必须满足种类相同的条件。

567．]在这种关于连接体系动力学之基本原理的概述中，我们没有考虑把体系的各部分连接起来的那种机件。我们甚至没有写出一组方程来表明体系任一部分的运动是怎样依赖于各个变量的变化的，我们曾经把自己

的注意力限制在各个变量、他们的速度和动量以及作用在表示着各个变量的各个部件上的力上。我们仅有的一些假设就是，体系的连接适足以保证时间并不显式地出现在条件方程中，而且能量守恒原理对体系是适用的。纯动力学方法的这样一种描述并不是不必要的，因为给我们提供了这

些方法的拉格朗日及其后继者们一般都把自己限制到了这些原理的一种例示方面，而且，为了把自己的注意力集中在所遇到的各个符号上，他们曾经尽力摒弃了除关于纯数量的概念以外的一切概念，以致不仅避免了图解的应用，而且在一劳永逸地用原始方程中的符号代替了速度、动量和能量以后，就把这些概念也排除掉了。为了能够用普通动力学的语言来谈论这种分析的一些结果，我们曾经尽力把这种方法的主要方程重新翻译成了一种不用符号也能理解的语言。

纯数学的概念和方法的发展，已经使人们有可能通过构成一种动力学的数学理论来揭示出许多真理，而没有数学的训练是不太可能发现这些真理的。因此，如果我们要形成其他科学的动力学理论，我们就必须既精通数学方法又熟悉这些动力学真理。

在追随和任何一门像电学这样的涉及力及其效应的科学有关的概念和术语时，我们必须时刻记得适合于动力学这一基础科学的那些概念，以便我们在这门科学的早期发展过程中可以避免和已经确立了的东西发生矛盾，而当我们的观点变得更加明确了时，我们已经采用了的那种语言也可以成为我们的助力而不是成为我们的障碍。

第六章

电磁现象的动力学理论

568．]我们在第 552 节中曾经证明，当一个电流存在于一个导体电路中时，它就有一种作一定数量的机械功的本领，而且这是和保持电流的任何外电动势都无关的。现在，作功的本领必然是能量，不论它的来源如何， 而一切能量都是同一种东西，不论它在形式上可以多么不同。一个电流的能量不是具有存在于物质的实际运动中的那种形式，就是具有存在于由作用在位于某种相对位置的物体之间的力所引起被推动的可能性中的那种形式。

第一种能量，即运动的能量，被称为“动能”，而且在一旦被理解了以后，它就显得是自然界中如此基本的一个事实，以致我们很难设想再把它分解成任何别的东西了。第二种能量，即依赖于位置的能量，被称为“势能”；它是由我们称之为力的东西所引起的，也就是由改变相对位置的那种趋势所引起的。关于这些力，虽然我们可以承认他们的存在是一种明显的事实，但是我们总觉得，对于使物体运动起来的那种机制的每一次解释都形成我们的知识的一种实在的增加。

569．]电流只能被设想成一种运动的现象。法拉第总是力图使他的思想从“电流”和“电流体”之类字眼所暗示的影响下解脱出来，但是就连他也把电流说成“某种进行的东西，而不是一种单纯的排列”①。

电流的效应，例如电解效应，以及电从一个物体到另一个物体的传送， 都是必须有一定的时间才能完成的一些进行的作用，从而都是具有运动的本性的。

至于电流的速度，我们已经表明我们对它毫无所知；它可以等于每小时十分之一英寸，或等于每秒十万英里②。我们对任一事例中电流速度的绝对值都如此无知，以致我们甚至不知道我们所说的正方向是真正的运动方向呢还是它的反方向。然而我们在这里所假设的一切只是电流和某种运动有关。造成电流的原因曾被称为“电动势”。这一名词已经很有裨益地使用了很久，而且从来不曾在科学的语言中引起过麻烦。电动势永远要被理解为只对电起作用，而不是对电存在于其上的那些物体起作用。它永远不应该和只对物体起作用而不对物体中的电起作用的普通的机械力混为一谈。如果我们有一天能够知道了电和曾通物质之间的形式化的关系，我们或许就也能知道电动势和普通力之间的关系了。

570．]当普通的力作用在一个物体上而该物体对力退让时，力所作的功就用力和物体退让的数量的乘积来量度。例如，在水被压迫而通过一根水管的事例中，在任一截面处所作的功就用截面上压强和流过截面的水量的乘积来量度。

同样，一个电动势所作的功，是用电动势和在该电动势作用下通过导体截面的电量的乘积来量度的。

① Exp.Res.,283.

② Exp.Res.,1648.

一个电动势所作的功和一个普通力所作的功属于确切相同的种类，而且二者都是用相同的标准或单位来量度的。

作用在一个导体电路上的电动势所作的功的一部分，用来克服电路的电阻，而这一部分功就由此而转化成热。另一部分功用来产生安培所观察到的电磁现象，在那种现象中一些导体被电磁力弄得运动起来。其余的功用来增加电流的动能，而这一部分作用的效应可以在法拉第所观察到的电流感应现象中被显示出来。因此，我们对电流所知够多，可以把载有电流的一个物质导体体系看成一个作为能量之存在处所的动力学体系了；这里的能量可以一部分是动能而一部分是势能。

这一体系之各部分的连接本性是我们所不得而知的。但是既然我们有一些并不要求有关体系机构的知识的动力学研究方法，我们就可以把他们应用于这一事例。

我们首先将检查，当假设表示体系动能的函数具有最普遍的形式时将得到哪些结论。

571．]设体系由若干个导体电路组成，各电路的形状和位置由一组变量 x1、x2 等等的值来确定，变量的个数等于体系的自由度数。

假如体系的总动量是由这些导体的运动引起的，则它将被表示成如下的形式：

T = 1 · 2 · ·

2 (x1x1 ) x ₁ + + (x1x 2 ) x₁ x+

式中符号(x1x1)等等代表我们已经称之为惯量矩的那些量，而(x1x2)等等则代表惯量积。

设 X＇是所加的倾向于增大座标 x 的力，而 x 的增大也是产生实际运

动时所要求的，则由拉格朗日方程可得

d dT − dT = X'

dt ^· dx d x

当 T 代表只由可以看到的运动所引起的动能时，我们将用下标 m 来标明它，例如 Tm。

但是，在一组载有电流的导体中，一部分动能是因为这些电流的存在而存在的。设电的运动以及其运动受电运动的支配的任何东西都由另一组座标 y1、y2 等等来确定，则 T 将是这两组座标之一切速度的平方和乘积的齐次函数。因此我们可以把 T 分成三部分：在第一部分 Tm 中，只出现各座标 x 的速度；在第二部分 Te 中，只出现各座标 y 的速度；在第三部分中， 每一项都包括两个座标的速度的乘积，其中一个座标属于 x 组而另一个座标属于 y 组。

因此我们就有T=Tm+Te+Tme,

式中

T = 1 · 2 · ·

_m 2 ( x₁x₁ ) x1 + (x₁x₂ ) x1 x 2 + ,

T = 1 · 2 · ·

e

Tme

2 ( y1 y1 )y2 y 1

· ·

= (x1 y1 ) x₁ y1 +

+ + (y1y 2 ) y1 y 2

572．]在普遍的动力学理论中，每一项的系数都可以是既包括 x 又包括 y 的所有座标的函数。然而在电流的事例中却容易看到，y 类的座标并不出现在各系数中。因为，如果所有的电流都保持恒定，而各个导体也都处于静止，则场的整个状态也将保持不变。但是，在这一事例中，各座标

·

y是可以变化的，尽管各速度 y 是不变的。由此可见，各座标y不能出现

在 T 的表示式中，也不能出现在实际过程的任何其他表示式中。

除此以外，由于连续性方程的存在，如果各导体具有线性电路的性质，

· ·

则只需要用一个变量来表示每一导体中的电流强度。设速度 y1 、 y 2 等

等代表若干个导体中的电流强度。

所有的结果也应成立，如果我们考虑的不是电流而是一些柔性管子中的不可压缩的液体流的话。在这一事例中，液流的速度将出现在 T 的表示式中，但是各系数却将只依赖于确定着各管子的形状及位置的那些变量x。

在液体的事例中，一根管子中液体的运动并不直接影响任一其他管子

·

的运动或管中液体的运动。由此可见，在Te 的值中，只会出现各速度 y

·

的平方而不会出现他们的乘积，而在Tme中，任一速度 y 是只和属于它自

·

己的管子的那些形如x 的速度相联系的。

在电流的事例中，我们知道这种限制并不成立，因为不同电路中的电

· ·

流是互相作用的。因此我们必须承认一些包含着形如 y1 y 2 之乘积的项的

存在，而这就涉及某种运动着的东西的存在，其运动是依赖于两个电流强

· ·

度 y1 和 y 2 的。不论这种运动的东西到底是什么，它都不是局限在载有

两个电流的导体的内部，而是或许会扩展到各导体周围的整个空间之中。573．]其次让我们考虑拉格朗日运动方程在这一事例中所采取的形

式。设 X＇是所加的和确定各导体电路之形状及位置的座标之一 x 相对应的力。这是一个通常意义下的力，即一种改变位置的趋势。这个力由下列方程给出：

d dT dT

X' = dt

• − dx d x

我们可以认为这个力是三个部分之和，他们对应于我们把体系的动能分成的那三个部分，从而我们可以用同样的下标来区分他们。于是就有

X′=X＇m+X＇e+X＇me

X＇m 这一部分是依赖于普通的动力学考虑的那一部分，从而我们用不着留意它。

·

既然Te 并不包含 x ，T 'e 的表示式中的第一项就是零，从而它的值就

简化为

X' = − dTe

^e dx

这就是必须作用在一个导体上以平衡电磁力的那个机械力的表示式， 而且此式表明，这个力是用座标 x 的变化所引起的纯动电能量的减小率来量度的。唤起外机械力之作用的电磁力 Xe 和 X’e 相等而反向，从而是用和座标 x 之增量相对应的动电能量增加率来量度的。既然依赖于电流的平方和乘积，Xe 的值就将保持不变，如果我们使所有的电流反向的话。

X＇的第三部分是

d X'_me = dt

dTme

·

d x

• dTme

dx

量T 只包含形如的乘积，从而 dTme ·

me · y

d x

因此第一项就依赖于各电流强度的变化率，并指示一个作用在导体上的

力；这个力当各电流不变时是零，它按照各电流强度的增大或减小而为正或为负。

第二项不是依赖于电流的变化而是依赖于电流的实际强度。既然它对这些电流来说是一个线性函数，当电流变号时它也就会变号。既然每一项

·

都包含一个速度 x ，当各导体静时它就会等于零。也有一些项起源于

dTme

·

d x

·

中 y 的系数的时间变化；这些说法也适用于他们。

1. 〕既然很重要的是确定动能的任何部分是否具有包括着普通速度

和电流强度之乘积的 Tme 的形式，很仔细的对这一课题进行一些实验就是很有必要的。作用在迅速运动物体上的力的测定是困难的。因此让我们注意依赖于电流强度之变化的第一项。

如果动能的任一部分依赖于一个普通的速度和一个电流的强度的乘积，则当速度和电流同向或反向时或许最容易观察它。因此让我们取一个匝数很大的线圈，用一根很细的竖直悬线挂起来，使它的各匝都处于水平位置，而且线圈可以绕着一条竖直轴线而转动，既可以沿着线圈中电流的方向转动也可以反着电流的方向而转动。

既然当线圈中有电流时地磁水平分量的作用将倾向于使线圈绕着一个水平轴而转动，我们就将假设地磁的水平分量是借助于一些固定的磁体而确切中和了的，或者假设实验是在地球的磁极上作的。一个竖直的小镜被装在线圈上，以检测方位方面的任何运动。

现在设使一个电流沿北—西—南—东的方向通过线圈。假如电是像水那样的一种液体，沿着导线而流动，那么，在电流开始的时刻，以及在速度增大的时间内，就要求加一个力来产生液体在绕着线圈流动时的角动量，而且，既然这个力必须由悬线的弹性来提供，在开始时线圈就将沿着相反的方向即西—南—东—北的方向而转动，而且这种转动将被小镜检测出来。在使电流停止时，小镜就会有另一次运动，这一次是沿着和电流相

同的方向而转动的。

任何这种现象还都不曾被观察到。这样一种作用如果存在，它就将是很容易通过下述的特点而和已经知道的电流作用区别开来的。

1. 只有当电流的强度变化时，例如在接通或开断电流时，这种作用才会出现，而在电流不变时则不出现。

所有已知的电流的机械作用都依赖于电流的强度而不依赖于变化率。感生电流事例中的电动势不能和这种电磁作用混为一谈。

1. 当在场的一切电流都反向时，这一作用的方向也反转。当所有的电流都反向时，所有已知的电流的机械作用都保持不变，因为它们是依赖于这些电流的平方和乘积的。

假如任何这样一种作用被发现了，我们就将能够把所说的正、负电中的一种看成一种实在的物质，从而我们就将能够把电流描述成这种物质沿着一个特定方向的真实运动。事实上，假如电运动不论怎样可以和普通物质的运动相比拟，则形如 Tme 的项将存在，而且它们的存在将由机械力 Xme 显示出来。

菲希诺尔设想，电流就是相等的正电和负电在同一导体中沿相反方向的流动；按照这种假设，第二类的项 Tme 应该为零，因为属于正电流的每一项都和一个属于负电流的相等而异号的项相伴随，从而依赖于这些项的现象就将不存在。

然而在我看来，尽管我们由于认识到电流和物质性的液体流之间的许多类似性而获益匪浅，我们还是必须小心地避免作出没有实验资料保证的任何假设，而且，迄今还没有任何实验证据可以指明电流是否果然是一种实在物质的流动，或是不是一种双重流动，或电流的速度以英尺每秒计是大还是小。

关于这些问题的一种知识将至少意味着电的一种完全的动力学理论的开始；在那种理论中，我们将不是像在本书中一样把电作用看成一种由未知的原因所引起的、只服从动力学的普遍定律的现象。而是把它看成物质之已知部分的已知运动的结果；在那种理论中，不仅是运动的总效应和最后结果，而且还有运动的整个中间机制和细节都将被看成研究的对象。

1. 〕

X me

的第二项即 dTme 的实验研究更加困难，因为它涉及作用在迅

dx

速运动物体上的力的效应的观察。

图 34 所示的我在 1861 年制造的仪器，是打算用来测试这一种力的存在的。电磁铁 A 可以在一个圆环中绕水平轴 BB＇而转动，圆环本身则绕竖直

轴而转动。

设 A、B、C 分别是电磁铁对线圈轴线、水平轴 BB＇和第三条轴线 CC＇ 而言的惯量矩。

设θ是 CC＇和竖直线之间的夹角，φ是轴 BB＇的方位角，而ψ是线圈中电的运动所依赖的一个变量。

于是电磁铁的动能 T 就可以写成

· · 2

2T = A φ sin θ + B θ

· · ·

C φ cos θ + E( φ sin θ + ψ)

式中 E 是可以称为线圈中的电的惯量矩的一个量。

如果Θ是所加力倾向于使θ增大的力矩，我们由动力学方程就得到

Θ = d ²θ  · 2

· · 2 · 

B dl²

− (A − C) φ



sin θ cosθ + E φ cos θ( φ

sin θ + ψ)



令所加的倾向于使ψ增大的力Ψ等于零，我们得到

· ·

φ sinθ + ψ = γ ,

这是一个常量，我们可以认为它代表线圈中的电流强度。如果 C 比 A 大一些，Θ就将是零，而当

Eγ

sin θ =

·

(C − A) φ

时绕 BB＇的平衡就将是稳定的。

这个θ值依赖于电流强度γ的值，而且按照电流方向的不同而为正或为负。

电流通过线圈的轴承 B 和 B＇而进入线圈中，轴承通过和放在竖直轴上的金属环相摩擦的弹簧片而和电池相接。

为了确定θ的值，在 C 上放了一个纸质圆盘，一条平行于 BB＇的直径把圆盘分成两半，一半涂成红色而另一关涂成绿色。

设仪器正在转动中，当θ为正时就在 C 处看到一个红色的圆，其半径大致地表示着θ的值。当θ为负时，就在 C 处看到一个绿色的圆。

通过套在和电磁铁相连的螺丝上的螺母，可以把 CC＇调成一个主轴， 并使它的惯量矩刚刚超过绕轴 A 的惯量矩，这样就把仪器弄得对力的作用很敏感，如果力存在的话。

实验中的主要困难起源于地球磁力的干扰，它使电磁铁像一个倾角针那样地起作用。由于这种原因，所得到的结果是很粗略的，但是甚至当把一个铁芯插入线圈中，而使它成为一个强力的电磁铁时，也没有能够得到关于θ的任何变化的任何证据。因此，如果一个磁体包含着迅速转动的物质，则这种转动的角动量和我们所能量度的任何量相比都必然是很小的， 而且我们迄今还没有关于由转动的机械作用得出的关于 Tme 项的存在的任何证据。

1. 〕其次让我们考虑作用在电流上的力，也就是电磁力。设 Y

   是由感应引起的有效电动势，则必须由外界作用在电路上以平衡 Y 的电动势是Y＇=-Y，从而由拉格朗日方程就有

d dT dT

Y = −Y'= − dt

dy + dy

既然 T 中没有任何含座标 y 的项，上式中的第二项就是零，而 Y 就简化为它的第一项。由此可见，电动势不可能存在于一个载有恒定电流的静止体系中。

此外，如果我们把 Y 分成和 T 的三个部分相对应的三部分 Ym、Ye

·

和Yme ，我们就发现，既然Tm 不包含 y ，应有Ym = 0。

我们也得到

Y = − d

^e dt

dTe

·

d y

这里的 dTe 是各电流的线性函数，而这一部分电动势就等于这一函

d y

数的变化率。这就是由法拉第发现了的感生电动势。以后我们还将更详细地考虑它。

1. 〕我们由依赖于速度和电流之乘积的那一部分 T 就得到

Tme

= − d

dt

dTme dy

现在， dTme 是各导体的速度的线性函数。因此，如果T

的任何

• me

d y

项是实际存在的，那就将有可能通过只改变各导体的速度而不依赖于一切存在的电流来产生一个电动势。例如，在第 574 节的悬挂线圈的事例中， 当线圈静止而我们使它突然绕着竖直轴而转动起来时，就会有一个正比于这一运动之加速度的电动势开始起作用。当运动变成均匀的时，这个电动势将消失，而当运动减速时电动势就会反向。

喏，很少有什么科学观测是可以作得比用一个电流计来确定一个电流存在或不存在的观测更加精确的。这种方法的灵敏度远远超过用来测量作用在一个物体上的力的大多数装置的灵敏度。因此，假如任保电流可以用这种办法来产生，他们就将会被发现，即使他们是很微弱的。他们将在下述的特征方面和普通的感生电流有所不同。

1. 他们将完全依赖于各导体的运动，而一点也不依赖于场中已有的电流强度或磁力。

2. 他们将不是依赖于各导体的绝对速度而是依赖于各导体的加速度，也依赖于各速度的平方和乘积，而且他们当加速度变成减速度时也会变化，即使绝对速度是相同的。

喏，在实际观察过的一切事例中，感生电流完全依赖于场中电流的强度和变化，而且不可能在一个没有磁力和没有电流的地方被激起。既然他们依赖于各导体的运动，他们就依赖于这些运动的绝对速度，而不是依赖于速度的变化。

这样，我们就有三种检测形如 Tme 的项之存在的方法，其中任何一种方法都还一直不曾导致正面的结果。我曾经比较细心地指出了这些方法， 因为在我看来很重要的是，我们在和真实的电学理论如此关系密切的一个问题上应该获取所能得到的最大量的证据。

然而，既然迄今不曾得到有关这种项的任何证据，我现在就将根据一个假设来进行工作，那就是，这些项并不存在，或者至少是并不引起可觉察的效应。这是一条将使我们的动力学理论大为简化的假设。然而我们将来会有机会讨论磁和光的关系，以证明构成光的那种运动会出现在涉及构成磁的运动的一些项中。

第七章 电路理论

1. 〕我们现在可以把我们的注意力限制在体系的依赖于各电流强度的平方和乘积的那一部分动能上。我们可以把这种动能称为动电能量。依赖于各导体之运动的那一部分动能属于普通的动力学，而我们已经看到依赖于速度和电流之乘积的部分是并不存在的。

设 A1、A2 等等代表不同的导体电路。设他们的形状和相对位置用一些变量 x1、x2 等等来确定，变量的个数等于力学体系的自由度数。我们将把这些变量叫做“几何变量”。

设 y1 代表自时间 t 开始以来已经通过导体 A1 的一个给定截面的电量。

·

电流强度将用这个量的流数[fluxion，即导数] y 1 来代表。

·

我们将把 y1 叫做实际电流，而把y1 叫做积分电流。对于体系中的

每一个电路，各有一个这样的变量。

设 T 代表体系的动电能量。它是对各电流强度而言的一个二次齐次函数，其形式是

·

1 · 1 · ·

T = L y ² + L y ² + + M y y + ,

(1)

2 1 1

2 2 2

12 1 2

式中各系数 L、M 等等是各几何变量 x1、x2 等等的函数。电变量 y1、y2 等等并不进入表示式中。

我们可以把 L1、L2 等等叫做电路 A1、A2 等等的电惯量矩，而把 M12 叫

做两个路 A1、A2 的电惯量积。当我们想要避免使用动力学理论的语言时， 我们将把 L1 叫做电路 A2 的自感系数，而把 M12 叫做电路 A1 和 A2 的互感系数。M12 也叫做电路 A1 对电路 A2 而言的势。这些量只依赖于各电路的形状和相对位置。我们将发现，在电磁单位制中，它们是一些具有长度量纲的量。

·

对 y1 微分T，我们就得到一个量p1；这个量在动力学理论中可以

叫做对应于 y1 的动量。在电学理论中，我们将把 P1 叫做电路 A1 的动电动量。它的值是

· ·

p1 = L1 y1 + M12 y 2 +

因此，电路 A1 的动电动量就等于它自己的电流乘以它的自感系数，再加上其他电路的电流分别乘以 A1 和各该电路的互感系数所得之乘积的和。

电动势

1. 〕设 E 是由化学电池或温差电池之类的原因加在电路 A

   上的电动势，它将独立于磁电感应而产生一个电流。

·

设R是电路的电阻，则由欧姆定律可知，需要一个电动势R y 来克

服阻力，剩下一个电动势来改变电路的动量。把对应的力称为 Y＇，我们就由普遍方程得到

Y' =

dp − dT , dt dy

但是既然 T 不含 y，后一项就是不出现的。由此可见，由动势的方程是

·

E − R y = Y' =

或作

dp , dt

E = · dp

R y + dt

·

因此所加电动势就是两项之和。第一项，R y ，是反抗阻力而保持

·

电流 y 所需要的。第二项是增加电磁动量P所需要的。这就是必须由和磁

电感应无关的电源供给的电动势。仅仅起源于磁电感应的电动势显然

是 − dp ，或者说是电路之动电动量的减小率。

dt

电磁力

1. 〕设 X＇是由外界原因所引起的倾向于增大变量 x

   的机械力。由普遍方程可得

d dT dT

X' = dt

• − dx d x

·

既然动电能量的表示式并不包含速度（ x ），右端的第一项就不出

现，从而我们就得到

X' = x dT

dx

此处 X＇是需要用来平衡起源于电学原因的力的外力。通常人们把这个力看成反抗电磁力的反作用；我们将把电磁力写成 X，它和 X＇相等而反向。

由此即得

X = dT ,

dx

或者说，倾向于增大任一变量的电磁力等于对该变量每单位增量而言的动电能量增加率，若这时各电流保持不变。

如果各电流在电动势作动 W 的一次位移中由电池来保持不变，则体系的动电能量将同时增大一个量 W。由此可见，除了由于在电路中产生热而消耗的能量以外，电池还要消耗双倍的能量即 2W。这一点是由 W．汤姆孙爵士①首先指出的。请把这一结果和第 93 节中的静电性质作一比较。

二电路事例

① Nichol'sCyclopaediaofthePhysicalSciences,ed.1860,article‘Magnetism,DynamicalRe-lationsof.’

1. 〕设 A1 被称为“原电路”而 A2 被称为“副电路”。体系的动电能量可以写成

T = 1

· · ·

L y² + M y y

·

• N y ²

2 2 1 2 2 2

式中 L 和 N 分别是原电路的副电路和自感系数，而 M 是他们的互感系数。让我们假设，除了由原电路的感应所引起的电动势以外，没有任何别

的电动势作用在副电路上。于是我们就有

E = · d · ·

₂ R2 y 2 + dt (M y1 + N y 2 ) = 0

把这一方程对 t 求积分，我们就有

· ·

R 2 y2 + M y 1 + N y 2 = C, 即为常量，

式中 y2 是副电路中的积分电流。

测量一个短时间内的积分电流的方法将在第 748 节中加以描述，而且在多数事例中是不难保证副电流的持续时间为很短的。

设用撇号来标明方程中各变量在时间 t 的末时刻的值，如果 y2 是积分电流，或者说是在时间 t 内流过副电路的一个截面的总电量，则有

· · · ·

R 2 y 2 = M y 1 + N y 2 − (M' y 1 '+N' y 2 ' )

设副电流完全是由感应引起的。如果在时间 t 开始以前原电流不变而各导体都处于静止，则副电流的初值 y2 必为零。如果时间够长，可以允许副电流衰减完毕，则它的末值也为零，于是方程就变为

· ·

R 2 y2 = M y 1 − M' y1 '

·

在这一事例中，副电路的积分电流依赖于M y 1 的初值和末值。

感生电流

1. 〕

·

让我们在开始时假设原电路是开断的，或者说 y1 = 0；设在电路接

·

通时有一个电流 y1 ＇被建立了起来。

确定副积分电流的方程是

• '

R2 y2 = −M' y 1

当各电路互相并排而方向相同时，M＇是一个正量。因此，当原电路被接通时就在副电路中感应出一个负电流。

当原电路被开断时，原电流就停止，从而感生的积分电流就是 y2，且

有

R 2 y2

·

= M y1

在这一事例中，副电流是正的。

如果原电流保持不变而各电路的形状和相对位置变化以致 M 变成了M＇，则积分副电流是 y2，而

R 2 y2

·

= (M − M' ) y1

在两个电路相并排而方向相同的事例中，当电路间的距离增大时 M 就减小。因此感生电流当距离增大时为正而当距离减小时为负。

二电路之间的机械作用

1. 〕设 x 是二电路之形状及相对位置所依赖的几何变量之一，倾向于增大 x

   的电磁力就是

1 ^· dL

• · dM

1. ^· dN

X = y² + y y

+ y2

2 1 dx

1 2 dx

1. 2 dx

如果和 x 的变化相对应的体系运动使得每一个电路都像一个刚体那样地运动，则 L 和 N 将不依赖于 x，从而方程将简化为

· ·

x = y y dx

由此可见，如果原电流和副电流符号相同，则作用于电路之间的力将倾向于使他们运动以增大 M。

如果二电路是并排的而二电流是沿相同方向流动的，则 M 将由于二电路的靠拢而增大。由此可见，力 x 在这一事例中是一个吸引力。

1. 〕两个电路相互作用的整个现象，不论是电流感应现象还是二者之间的机械力，都依赖于我们已称之为互感系数的

   M。由二电路的几何关系来推算这个量的方法已在第 524 节中给出，但是在下一章的探讨中我们将并不假设有关这个量的数学形式的知识。我们将认为它已从关于感应的实验中推得，例如已经通过当把副电路突然从一个给定的位置挪动到无限远处或掷动到我们已知其 M=0 的位置上时观测积分电流而求得。

注｛开文迪什实验室有一个由麦克斯韦设计的仪器，它很清楚地例示了电流的感应定律。

这个仪器如图 34a 所示。P 和 Q 是两个圆盘。P 的转动代表原电路，Q 的转动代表副电路。两个圆盘通过一个差动齿轮而互相连接。中间的轮子携带一个飞轮，其惯量矩可以通过向里或向外移动重物来加以改变。副电路的电阻用一根绳子的摩擦来代表，绳子绕在 Q 上并用一个弹性带子来保持拉紧。如果 P 被弄得转动起来（电流在原电路中开始流动），则圆盘 Q 将向相反的方向转动（当原电流开始时副电路中出现反向电流）。当 P 的转动速度变成均匀的时，Q 就是静止的（当原电流不变时副电路中没有电流）；如果圆盘 P 受到阻止，Q 就开始沿着 P 的原有转动方向而转动（当原路被开断时副电路中出现正向电流）。铁芯的增强感应的效应可以通过增大飞轮的惯量矩来加以演示。｝

第八章

利用副电路来勘查场

1. 〕我们在第 582、583、584

   节中已经证明，原电路和副电路之间的电磁作用依赖于一个用 M 来代表的量，这是两个电路的形状及相对位置的一个函数。

虽然 M 这个量和两个电路的势事实上是相同的，而那个势的数学形式和性质我们已在第 423、492、521、539 节中由磁现象和电磁现象推出，但是我们在这儿将只字不提那些结果而从一个新的基础重新开始；这时我们除了在第七章中叙述了的那些动力学理论的假设以外不再作任务别的假设。

副电路的动电动量包括两部分（第 578 节）：一部分是 Mi1，依赖于原电流 i1；另一部分是 Mi2，依赖于副电流 i2。现在我们要研究第一部分。我们用 p 来代表它，即

p=Mi1。(1)

我们也将假设原电路是固定的，而原电流也是不变的。p 这个量，即副电路的动电动量，在这一事例中将只依赖于副电路的形状和位置，于是， 如果取任一闭合曲线作为副电路，并选定一个沿着曲线的方向作为正方向，则这条闭合曲线的 p 值是确定的。假若当初取了相反的沿曲线的方向作为正方向，则量 p 的符号将相反。

1. 〕既然量 P

   依赖于电路的形状和位置，我们就可以假设，电路的每一部分都对 p 的值有某些贡献，而且电路的每一部分的贡献都只依赖于该部分的形状和位置，而并不依赖于电路的其他部分的位置。

这一假设是合理的，因为我们现在考虑的并不是一个各部分可能而且确实互相作用的电流，而只是一个电路，也就是电流可能沿着它运行的一条闭合曲线，从而这只是一个纯几何的图形，它的各个部分是不能被设想为彼此有什么物理的作用的。

因此我们可以假设，由线段元 ds 贡献的那一部分是 Jds，此处 J 是一个依赖于 ds 之位置及方向的量。由此可见，p 的值可以表示成一个线积分

p = ∫ Jds, (2)

式中的积分要沿电路计算一周。

1. 〕其次我们必须确定 J 这个量的形式。首先，如果 ds 的方向倒转，则 J

   将变号。由此可见，如果两个电路 ABCE 和 AECD 具有一个公共部分 AEC，但是这一部分在两个电路中是沿相反方向计算的，则两个电路 ABCE和 AECD 上的 P 值将等于由该二电路合成的电路 ABCD 上的 P 值。

因为，依赖于线段 AEC 的那一部分线积分在两个分电路中是相等而反号的，从而当加在一起时将互相抵消，剩下来的只是依赖于 ABCD 的外边界的那些线积分部分。

同样我们可以证明，如果一个以一条闭合曲线为边界的曲面被分成任意多个部分，如果其中每一个部分的边界线被看成一个电路，而每一个电路的正绕行方向和最外的闭合曲线的正绕行方向相同，则闭合曲线上的 P

值等于所有各电路的 P 值之和。请参阅第 483 节。588．〕现在让我们考虑曲面的一个部分，其线度和曲面的主曲率半径

相比是如此地小，以致法线方向在该部分内部的变化可以忽略不计。我们也将假设，如果把任何一个很小的电路从一部分平行移动到另一部分，则小电路的 p 值不会有很大的变化。如果曲面部分的线度远小于它离原电路的距离，情况显然就是如此的。

如果在曲面的这一部分上画一条任意的闭合曲线，则其 P 值将正比于其面积。

因为，任何两个电路的面积都可以分成许多大小相同并有相同的 P 值的面积元。两个电路的面积之比等于他们所含的面积元数目之比，从而二电路的 P 值也有相同的比值。

由此可见，作为曲面上面积元 dS 之边界的电路的 p 值应有

IdS

的形式，式中 I 是一个依赖于 dS 的位置及其法线方向的量。因此我们就有P 的一个新表示式

p = ∫∫ IdS, (3)

此处的双重积分是在以电路为边的曲面上计算的。

589．〕设 ABCD 是一个电路，其中 AC 是一个线段元，短得可以看成直线。设 APB 和 CQB 是同一平面上相等的面积，于是小电路 APB 和 CQB 的 p 值将相同。或者说，P(APB)=p(CQB)。

由此可见p(APBQCD)=p(ABQCD)+p(APB)，

=p(ABQCD)+p(CQB)，

=p(ABCD)，

或者说，用折线 APQC 来代替直线 AC，并不会改变 P 值，如果电路的面积并未显著地改变的话。事实上，这就是由安培的第二个实验确立了的原理

（第 506 节），在那个实验中曾经证明，一个曲折的部分和一个直部分相等价，如果曲折部分的任何段都和直线部分相距不很远的话。

因此，如果代替了 ds，我们画出三个线段元 dx、dy、dz，他们是一个接一个地画出并从 ds 的起点到达 ds 的终点而形成一条连续路径的，如果Fdx、Gdy、Hdz 是分别对应于 dx、dy、dz 的线积分元，则有

Jds=Fdx+Gdy+Hdz。(4)

590．〕现在我们能够确定 J 这个量依赖于 ds 的方向的那种方式了。因为由(4)即得

J = F dx + G dy + H dz

(5)

ds ds ds

这就是一个矢量投影在 ds 方向上的那一部分的表示式，该矢量 x、y、z 在各轴上的投影分别是 F、G、H。

如果把这个矢量写成ρ，而把从原点到电路上一点的矢量写成ρ，则电路元将是 dρ，而 Jds 的四元数表示式将是

−S．udρ

现在我们可以把方程(2)写成下列形式了：

p = ∫ (F dx + G dy + H dz )ds,

ds ds ds

或作

p = −∫S．udρ．

(7)

矢量及其分量 F、G、H 依赖于 ds 在场中的位置而不依赖它被画出的方向。因此他们是 ds 的座标 x、y、z 的函数而不是 ds 的方向余弦ι、m、n 的函数。

矢量 u 在方向和量值上代表一个电动强度的时间积分，该电动强度就是当原电路突然断开时一个位于点(x，y，z)上的粒子所将经受到的。因此我们将把它叫做点(x，y，z)上的“动电动量”。它是和我们在第 405 节中在磁感之矢势的名义下研究过的那个量相等同的。

任一有限线段或电路的动电动量就是路径各点上动电动量沿该路径的分量的线积分。

591．〕其次让我们确定元长方形 ABCD 的 P 值，长方形的各边是 dy 和 dz，其绕行方向是从 y 轴方向转向 z 轴方向。

设元电路的重心 O 的座标为 x0、y0、z0，并设这一点上的 G 值和 H 值是 G0 和 H0。

长方形第一个边的中点A的座标是y0

和z0

• 1 dz。对应的G值是2

G = G - 1 dG dz + ，

(8)

⁰ 2 dz

而起源于 A 边的 P 值部分近似地是

G dy - 1 dG dydz (9)

⁰ 2 dZ

同理得到，

在B边上，H dz + 1 dH dydz,

0

在C边上， −

1. dy

1

G 0 dy 2 dydz,

x 在C边上， − H dz + 1 dH dydz

⁰ 2 dy

把这四个量加起来，我们就得到长方形上的 P 值，即

p = ( dH - dG )dydz (10)

dy dz

如果我们现在假设三个新量 a、b、c，满足

a = dH - dG ,

dy dz 



b = dF - dH , 

(A)

dz dx 

c = dG - dF , 

dx dy 

并把这三个量看成一个新矢量■的分量，则由第 24 节的定理四，我们

可把■沿任一回路的线积分用■在以该回路为边的一个曲面上的面积分表示出来，于是就有

p = ∫ ( F dx + G dy + H dz )ds = ∫∫ (la + mb + nc)dS, (11)

ds ds ds

或者写成

p = ∫T．■ cos ∈ds = ∫∫ T．■ cos ηdS, (12)

式中∈是■和 ds 之间的夹角，η是■和 dS 上方向余弦为 l、m、n 的法线之间的夹角，而 T．■和 T．■代表■和■的数值。

把这一结果和方程(3)相比较，就显然可知该方程中的 I 等于■cos η，或者说等于■在 dS 的法线上的投影。

592．〕我们已经看到（第 490、541 节），按照法拉第的理论，电路中的电磁力及感应现象，依赖于穿过该电路的磁感线数目的变化。喏，这些线的数目是用磁感在以电路为边的任一曲面上的面积分来数学地表示的。由此可见，我们必须把矢量■及其分量 a、b、c 看成我们已经熟悉的磁感及其分量。

在此处的探讨中，我们打算从在上一章中叙述了的动力学原理出发并尽可能少地求助于实验来导出这一矢量的性质。当把作为数学探讨的结果而出现的这一矢量和我们通过有关磁体的实验而知道了它的性质的磁感等同看待时，我们并没有背离这一方法，因为我们并没有把任何新的事实引入到理论中来，而是只给一个数学量加上了一个名称，而这种作法的恰当性是按照数学量的各关系式和该名称所指示的那一物理量的各关系式的一致性来判断的。

既然矢量■出现在一个面积分中，它就显然属于第 12 节所描述的那种流量密度的范畴。另一方面，矢量■却属于力的范畴，因为它是出现在一个线积分中的。

593．]在这儿，我们必须回忆关于量的和方向的正负的约定，其中某些约定已在第 23 节中叙述过。我们采用右手座标系，就是说，如果沿着 x 轴的方向放一个右手螺旋，而螺旋上的螺母是沿着正方向即从 y 方向转向z 方向而被转动的，则螺母将沿着 x 的正方向而在螺旋上前进。

我们也把玻璃电和指北磁极算作正的。一个电路或一条电感线的正方向就是正电的运动方向或它倾向于运动的方向，而一条磁感线的正方向就是一个罗盘指针的指北极所指的方向。请参阅第 498 节的图 24 和第 501 节的图 25。

我们建议学生自选一种在他看来是最有效的方法来把这些约定牢记在心中，因为要记住关于在以前是不同的两种方式中到底选用哪一种来进行叙述的规则，比记住从多种方式中选出一种方式的法则还要困难得多。

594．]其次我们必须由动力学原理导出通过磁场而作用在一个载流导体上的电磁力的表示式，以及作用在磁场中的一个导体内的电上的电动势的表示式。我们所采用的数学方法可以和法拉第①借助于一根导线来探测场的实验方法相对比，也可以和我们在第 490 节中利用一种建筑在实验上的方法已经作到的那些事情相对比。我们现在必须作的就是确定由副电路形状的给定变化所引起的对该电路动电动量 p 的值的影响。

① Exp.Res.，3082，3087，3113 。

设 AA′、BB′是两个平行的直导体，用一个形状可以任意的导电弧 C 来互相连接，并用一个直导体 AB 来互相连接；AB 可以平行于自身而在导体轨道 AA′和 BB′上滑动。

设把这样形成的电路看成副电路，并把方向 ABC 取作正方向。

设滑动部分平行于自身而从位置 AB 滑到了位置 A′B′。我们必须确定滑动部分的位移所引起的电路之动电动量 p 的变化。

副电路由 ABC 变成了 A′B′C′，因此由第 597 节可得p=(A′B′C)-p(ABC)=p(AA′BB′)。(13)

因此我们必须确定平行四边形 AA′B′B 上的 p 值。如果这个平行四边形足够小，以致我们可以忽略磁感的方向和量值在它的平面的不同各点上的变化，则由第 591 节可知，p 的值是■cosη．AA′B′B，式中■是磁感， 而η是它和平行四边形 AA′B′B 的正向法线之间的夹角。

我们可以用一个平行六面体的体积来几何地表示上述结果；该平行六面体的底是平行四边形 AA′B′B，而它的一个棱是在方向和量值上都代表磁感■的一个线段 AM。如果平行四边形位于纸面上，而 AM 的方向由纸面向上，或者说得更普遍些，如果电路 AB 的方向、磁感 AM 的方向和位移 AA

′的方向当按循环次序来看时形成一个右手系，则平行六面体的体积取作正值。

这个平行六面体的体积就代表由于滑动部分从 AB 到 A′B′的位移而引起的副电路之 P 值的增量。

作用在滑动部分上的电动势

595．]由第 597 节可知，滑动部分的运动在副电路中引起的电动势是

E = − dp （14）

dt

如果我们假设 AA′是单位时间内的位移，则 AA′将代表速度，而

平行六面体将代表 dp ，从而由方程（14）可知它就代表沿负方向BA的

dt

电动势。

由此可见，由于滑动部分 AB 在磁场中的运动而引起的作用在该部分上的电动势，用其各棱在方向和量值上代表速度、磁感和滑动部分本身的一个平行六面体的体积来表示，而且当这三个方向具有右手循环的次序时电动势为正。

作用在滑动部分上的电磁力

596．]设 i2 代表副电路中沿正方向 ABC 的电流，则当 AB 从位置 AB 滑到位置 A′B′上时电磁力对它作的功是(M′-M)iii2，此处 M 和 M′是 AB 的初位置和末位置上的 M12 值。但是(M′-M)i1 等于 p′-p，而且是用以 AB、AM 和 AA′为棱画出的平行六面体的体积来表示的。因此，如果我们用一条平行于 AB 的线来表示 AB.i2，则这条线和磁感 AM 以及位移 AA′所包含的平行六面体将表示在这一位移时间内所作的功。对于一个给定大小的位移来说，当位移垂直于以 AB 和 AM 为边的平行四边形时功为最大。因此电磁力就用以 AB 和 AM 为边的平行四边形的面积乘以 i2 来表示，而其方向沿着

这一平行四边形的法线，该法线画得使 AB、AM 和法线成右手循环的次序。磁感线的四种定义

597．]如果滑动部分的运动方向 AA′和磁感的方向 AM 相重合，滑动部分的运动就不会引起电动势，而如果 AB 载有一个电流，它也不会有沿AA′而滑动的趋势。再者，如果滑动部分 AB 的方向和磁感的方向 AM 相重合，则 AB 的任何运动都不会引起电动势，而且 AB 中的一个电流也不会使AB 受到机械力的作用。

因此我们就可以用四种不同的方式来定义磁感线。(1)如果一个导体平行于自身而沿着磁感线运动，该导体就不会受到电动势的作用。

1. 如果一个载流导体可以沿着一条磁感线而自由运动，则该导体不会有如此运动的倾向。

2. 如果一个线性导体在方向上和一条磁感线相重合，而且被迫使平行于自身而沿任一方向运动，则该导体不会受到沿其长度方向的电动势的作用。

3. 如果一个载有电流的线性导体在方向上和一条磁感线相重合，则该导体不会受到任何机械力的作用。电动强度的普遍方程

598．]我们已经看到，作用在副电路上的由感应引起的电动势 E 等于

- dp ，此处

dt

p = ∫ ( F dx + G dy + H dz )ds

（1）

ds ds ds

为了确定 E，让我们对 t 求被积函数的导数；这时要记得，如果副电路是运动的，则 x、y、z 是时间的函数。我们得到

dF dx

dG dy

dH dz

E = −∫ ( dt

ds + dt

ds + dt

ds )ds

• ( dF dx + dG dy + dH dz) dx ds

ds ds dx ds dx ds dt

• ∫ ( dF dx + dG dy + dH dz) dy ds

dy ds dy ds dy ds dt

• ∫ ( dF dx + dG dy + dH dz) dz ds

dz ds dz ds dz ds dt

d ²x d² y d ² z

• ∫ (F dsdt + G dsdt + H dsdt )ds

（2）

现在考虑第二行中的积分并按照第591节中的方程组（A）把 dG

dx

和 dH 的值代入此式。于是这一行就变成

dx

• ∫ (c dy − b dz + dF dx + dF dy + dF dz) dx ds,

ds ds dx ds dy ds dz ds dt

此式也可以写成

• ∫ (c dy − b dz + dF ) dx ds

ds ds ds dt

用同样办法处理第三行和第四行并计算含dx dy 和 dz 的各项；这时

ds ds ds

要记得

dF dx

d ²x dx

∫ ( ds dt

• F dsdt )ds = F dt ,

（3）

从而当沿闭合曲线计算时积分为零，于是即得

dy E = (c dt

− b dz −

dt

dF dt )

dx dsds

• ∫ a dz − c dx − dG) dy ds

dt dt dt ds

+ ∫(b dx - dy - dH ) dzds

(4)

dt dt dt ds

我们可以把这一表示式写成下列形式：

E = ∫ (P dx + Q dy + R dz )ds, （5）

ds ds

式中

dy dz dF

ds

dΨ 

P = c dt − b dt − dt −

dx , 

dz dx

dG dΨ 

Q = a dt

• c dt − dt

• dy , 

电动强度方程组（B）

dx dy

dH dΨ 

R = b dt

• a dt − dt

• dz ,

引入含新量ψ的各项是为了使 P、Q、R 的表示式具有普遍性。当沿闭合曲线求积分时，这些项将不出现。因此，从我们现在所面对的问题来看， 量ψ是中间性的，因为现在的问题正是要确定沿电路的电动势。然而我们即将发现，我们可以给ψ指定一个确定的值，而且它在一种确定的定义下代表(x，y，z)点的电势。方程(5)中积分号下的表示式代表作用在电路元ds 上的电动强度。

如果我们用 T．，来代表 P、Q、R 的合矢量的数值，并用∈来代表这一合矢量的方向和 ds 的方向之间的夹角，我们就可以把方程(5)写成

E = ∫T．■ cos ∈ ds（6）

矢量■就是运动电路元 ds 上的电动强度。它的方向和量值依赖于 ds 的位置和运动，也依赖于磁场的变化，但并不依赖于 ds 的方向。因此我们现在就可以不必考虑 ds 形成电路之一部分的这一事实，而只把它看成一个运动物体上受到电动强度■作用的一部分。电动强度早在第 68 节中已经定义过了。它也被称为合电场强度，也就是位于该点上的一个单位正电荷所将受到的力。现在我们已经在磁场中的运动物体的事例中求得了由一个变化的电体系所引起的这个量的最普遍的值。

如果物体是一个导体，则电动势将产生一个电流；如果物体是一个电介体，则电动势将只产生电位移。

电动强度，或者说作用在一个粒子上的力，必须和作用在一个曲线弧上的电动势仔细地区分开来；后一个量是前一个量的线积分。请参阅第 69 节。

599．]其分量由方程组(B)来定义的电动强度依赖于三种情况。其中第一种就是粒子在磁场中的运动。依赖于这种运动的那一部分力由每一方程

右端的前两项来表示。它依赖于粒子扫过磁感线的速度。如果■是一个表示着速度的矢量，而■是另一个表示着磁感的矢量，那么，如果■１是依赖于运动的那一部分电动强度，就有

■1=V．■■,(7)

或者说，这一部分电动强度就等于磁感和速度之乘积的矢量部分；这就是说，电动强度的量值用以速度和磁感二矢量为边的平行四边形的面积来表示，其方向沿这一平行四边形的法线，而法线的画法要使速度、磁感和电动强度成右手循环的次序。

方程组(B)中每一方程的第三项依赖于磁场的时间变化率。这可以起源于原电路中电流的时间变化率，也可以起源于原电路的运动。设■2 是依赖于这些项的那一部分电动强度。它的分量是

• dF ,− dG 和 − dH ,

dt dt dt

而这些就是矢量 - d■ 或- ■的分量。由此可见

dt

■2=-■(8)

方程组(B)中每一方程的最后一项是由函数ψ在场的不同部分中的变化引起的。我们可以把由这种原因引起的这个第三部分电动强度写成

■3=-■Ψ(9)

因此，由方程组(B)定义的电动强度就可以写成四元数的形式如下

■ = V．■■ − ■ − ∇Ψ （10）

当所参照的座标系是在空间中运动的时对电动强度方程组的修订

600．]设 x'、y'、z'是相对于一个在空间中运动着的直角座标系而言的一点的座标，并设 x、y、z 是相对于固定座标系而言的同一点的座标。设运动系的原点相对于固定系的速度的分量是 u、v、ω，而其角速度

分量是ω1、ω2、ω3，而且让我们选择各固定座标轴使他们在给定的时刻和各运动座标轴相重合，于是在两个座标轴中有所不同的量将只是那

σx

些对时间求了导数的量。如果 σy 代表和运动座标系刚性连接着的点的分

速度，而 dx 和 dx' 代表任何一个具有相同瞬时位置的点分别相对于固定

dt dt

座标系和运动座标系的分速度，则有①

dx = σx + dx' , (1)

dt σt dt

其他分速的方程与此相似。

由一个固定形状的物体的运动理论可知，

① 此处引用了伽利略座标变换。——译者

σx

σt = u + ω

σy

σt = v + ω

σz

₂z - ω 3

₃x - ω 1

y,



z,





(2)

σt = w + ω1 y - ω2 x

既然F是一个有向量的平行于x轴的分量，如果 dF' 是 dF 相对于运

dt dt

动座标系而言的值，则可以证明

dF = dF σx + df

σy + dF σz + Gω

• Hω

• dF

(3)

dt dx dt

dy σt

dz σt

dF

1. 2 dt

dF

把由方程组（A）导出的 dy 和 dz 的值代入此式中，并记得由（2）

应有

d σx = 0, d σy = ω

, d σz = −ω

, （4）

dx dt dx σt

我们得到

³ dx σt ²

dF' = dF σx + F d σx + dG σy + d

σy + dH σz + H d σz

dt dx σt dx σt

dx σt

dx σt dx σt dx σt

• c σy + b σz + dF

（5）

σt dt dt

如果我们现在令

− Ψ' = F σx + G dy + H σz ,

（6）

σt σt σt

就有

dF' = − dΨ' − c σy + b σz + dF

（7）

dt dx σt σt dt

由(B)可知，相对于固定座标系来说，电动强度平行于 x 轴的分量 P 的方程是

P = c dy − b dz − dF − dΨ , （8）

dt dt dt dx

把相对于运动座标系而言的各量的值代入此式，我们就得到相对于运动座标系而言的 P′的方程如下：

P' = c dy' − b dz' − dF' − d(Ψ + Ψ' )

（9）

dt dt dt dx

601．]由这一方程看来，不论导体的运动是相对于固定座标系还是相对于运动座标系而言的，电动强度都是用同一种型式的公式来表示的，唯一的不同就是在运动座标系的事例中必须把电势ψ换成ψ+ψ′。

在电流是出现在一个导体电路中的一切事例中，电动势都是沿电路计算的线积分，

E = ∫ (P dx + Q dy + R dz )ds, （10）

ds ds ds

ψ的值并不出现在这一积分中，从而ψ′的引入对积分值毫无影响。因此， 在涉及闭合电路及电路中的电流的一切现象中，我们所用的座标系是固定

的还是运动的就全都无所谓了。请参阅第 668 节。

关于作用在一个通过磁场的载流导体上的电磁力

602．]我们在第 583 节的普遍探索中已经看到，如果 x1 是确定着副电路之位置及形状的变量之一，而 x1 是作用在副电路上而倾向于增大这一变量的力，则有

dM

X₁ = dx i₁i ₂ （1）

既然 i1 是和 x1 无关的，我们就可以写出

Mi = p = ( F dx + G dy + H dz )ds, （2）

1 ∫ ds

ds ds

于是关于 X1 的值我们就有

d dx dy dz

X₁ = i ₂ dx ∫ ( F ds + G ds + H ds )ds

(3)

现在让我们假设，位移就是使电路上的每一点沿 x 方向移动一个距离δx，此处δx 可以是 s 的任意连续函数，从而电路的不同部分是互相独立地运动的，而电路则保持为连续的和闭合的。

另外，设 X 是沿 x 方向作用在从 s=0 到 s=s 的电路部分上的总力，则

和电路元ds相对应的那一部分力将是 dX ds。于是我们就将得到力在位

ds

移过程中所作的功的下列表示式：

∫ dXσxds = i

∫ d ( F dx + G dy + H dz )σxds,

（4）

ds ²

dσx ds ds ds

式中的积分是沿着闭合曲线计算的，此时要记得δx 是 s 的一个任意函数。因此我们可以按照第 598 节中对 t 微分的同样方式来完成对δx 的微分， 这时要记得。

dx dσx

= 1, dy

dσx

= 0, 而

dz

dσx = 0

（5）

于是我们就得到

∫ dX σxds = i (c dy − b dz )σxds + i d (Fσx)ds

(6)

ds ² ∫ ds ds

2 ∫ ds

当积分沿闭合曲线计算时，最后一项就变为零，而既然方程必须对一切形式的函数δx 都成立，我们就必须有

dX = i

(c dy − b dz ), （7）

ds ² ds ds

这个方程就给出作用在任一单位电路元上的平行于 x 方向的力，平行于 y 轴的和平行于 z 轴的力是

dY = i

(a dz − c dx ), （8）

ds ² ds ds

dZ = i

(b dx − a dy) （9）

ds ² ds ds

作用在电路元上的合力在方向上和量值上由四元数表示式 i2V．dρ■

来给出，式中 i2 是电流的量值，dρ和■是表示着电路元和磁感的两个矢量，而乘积是按哈密顿意义来理解的。

603．]如果导线不应该被看成一条线而应该被看成一个体，我们就必

须用一些表示着单位体积的力和单位面积的电流的符号来把作用于在线段元上的力表示出来。

现在令 X、Y、Z 代表按单位体积来计算的分力，并令 u、v、ω代表按单位面积来计算的电流的分量。于是，如果 S 代表我们将假设为很小

的导体截面，则电路元ds的体积将是Sds，而u = i 2 dx 。由此可见方程

(7)将变成

XSds ds

或作

同理

= S(vc − wb), （10）

S ds

X = vc − wb,

Y = wa − uc,（电磁力方程组）（C）

Z = ub − va 

在这里，X、Y、Z 是作用在导体的一个体积元上的电磁力的分量除以该体积元的体积；u、v、ω是针对单位面积来计算的通过体积元的电流的分量，而 a、b、c 是也针对单位面积来计算的该体积元处的磁感分量。

如果矢量ℑ在量值和方向上表示作用在导体的单位体积上的力，而■ 表示通过它的电流，则有

ℑ=V．■■(11)

[第 598 节中的方程组(B)可以用下列方法证明，此法导源于麦克斯韦教授的<电磁场的一种动力学理论>一文，见 Phil．Trans.1865，pp．459

—512。

-p 的时间变化率可以分成两部分，一部分依赖于电路的运动而另一部分则不依赖于导体的运动。后一部分显然是

• ∫ ( dF dx + dG dy + dH dz)

dt dt dt

为了求出前一部分，让我们考虑形成电路之一部分的一个弧δs；让

· · ·

我们设想这个弧是以分量为 x 、 y 、 z 的速度v而沿着导轨运动的，

导轨可以被认为是平行的，这时电路的其余部分被假设为保持静止。于是我们可以假设运动弧生成一个小的平行四边形，其法线的方向余弦是

· · · · · ·

λ,μ, v = n y− m z , l z− n x , m x− l y

v sin θ v sinθ v sin θ

式中 l、m、n 是δs 的方向余弦，而θ是 v 和δs 之间的夹角。

·

为了验证λ、μ、v的符号，我们可以取m = -1而 x = v；这时它们就

变成 0、0、-1，正如在一个右手座标系中所应该出现的那样。

现在设 a、b、c 是磁感的分量，于是由于δs 在时间δt 中的运动，我们就有

δp=(aλ+bμ+cv)vδtδssinθ。

如果我们假设电路的每一部分都以类似的方式而运动，则总的效果将是整个导体的运动，而导轨中的电流在两个相邻弧的每一事例中都互相抵消。因此，由电路的运动所引起的-p 的时间变化率就是

· ·

- {a(n y- m z) + 两个类似的项}ds。

沿电路求积分，即得

· ·

= (c y− b z)dx + 两个类似的积分。

第 602 节中关于电磁力分量的结果，可以从上面的δP 的表示式中推导出来；就是说，令弧δs 沿方向 l′、m′、n′运动一个距离δs′，就有

δP={l′(cm-bn)+两个类似的项}δsδs′。

现在设 X 是作用在弧 s 上的力的 x 分量，则对单位电流来说，我们由第 596 节即得

dX = dp

ds dx

= cm − bn]

{电磁场方程组

如果假设电流永远是沿着闭合电路运行的，我们就可以不必引入矢势而导出一些方程，而这些方程将确定电磁场的状态。

因为，设 i 是任意一条我们将假设它为静止的电路中的电流强度。由这一电流引起的动电能量 T 是

i∫∫ (la + mb + nc)dS,

式中 dS 是以电路为边界的一个曲面上的面积元。

d

由此可见，电路中倾向于增大i的总电动势即 - dt

• ∫∫ (l da + m db + n dc )dS;

dT

di 就等于

dt dt dt

因此，如果 X、Y、Z 是电动强度的分量，就有

(1)∫ (Xdx + Ydy + Zdz) = -∫∫ (l da + m db + n dc )dS; (1)

dt dt dt

但是由斯托克斯定理，此式左端等于

dZ dY

dX dZ

dY dX

∫∫ {l( dy −

dz ) + m( dz

• dx ) + n( dx

• dy )}dS

使这一积分和方程(1)的右端相等，既然包围电流的曲面是完全任意的，我们就得到

dZ − dY = − da ,

dy dz dt

dX − dZ = − db ,

dz dx dt

dY − dX = − dc

dx dy dt

这些方程，以及在比电阻为σ的导体中的各关系式

dγ dβ

4πμ = − dy − dz ,

da dγ

rπv = dz − dx , 4πω = dβ − da ,

dx dy

μ = X , v = Y ,ω = Z

σ σ σ

或在比感本领为 K 的绝缘体中的各关系式

μ = K dX , v =

4π dt

K dY , ω =

4π dt

K dZ

4π dt

一起，就足以确定电磁场的状态了。任一曲面上的边界条件是，垂直于曲面的磁感应该连续，而平行于曲面的磁力也应该连续。

这种研究电磁场的方法的一种优点就在于它的简单性。这种方法曾受到亥维赛先生的大力支持。然而它却不像正文中的方法那样普遍，因为正文中的方法即使在电流并不是永远在闭合电路中运行时也能适用。}

第九章

电磁场的普遍方程组

604．]在我们关于电动力学的理论讨论中，我们是从一条假设开始的， 那就是，一组载流电路形成一个动力学体系，体系中的电流可以看成一些速度，而和这些速度相对应的各个座标本身并不出现在方程中。由这一假设可以推知，体系的动能就其对电流的关系来看是各电流的一个二次齐次函数，其中的各个系数只依赖于各电路的形状和相对位置。假设了这些系数已由实验或其他方法求出，我们用纯动力学的推理导出了电流的感应定律，以及电磁吸引力的定律。在这种探讨中，我们引用了一个电流组的动电能量的概念、一个电路的电磁动量的概念以及两个电路的相互势的概念。

然后我们就着手借助于副电路的各种位形来勘查了场，并从而被引导到了一个在场中任一点上都有确定的量值和方向的矢量■的概念。我们把这个矢量叫做该点的电磁动量。这个量可以看成一个电动强度的时间积分，而如果把所有的电流突然从场中撤走，那就会在该点上引起这个电动强度。这个量是和在第 405 节中已经作为磁感之矢势而研究过的那个量相等同的。它的平行于 x、y、z 的分量是 F、G、H。一个回路的电磁动量就是■在回路上的线积分。

然后我们就利用第 24 节中的定理回来把■的线积分变换成了另一个矢量■的面积分；这个矢量的分量是 a、b、c，而且我们发现，由导体的运动而引起的感应现象以及电磁力的现象都可以用■表示出来。我们把■ 命名为磁感，因为它的性质和法拉第所研究过的磁感线的性质相等同。

我们也建立了三组方程。第一组(A)是磁感方程组，把磁感用电磁动量表示了出来。第二组(B)是电动强度方程组，把电动强度用导体扫过磁感线的运动和电磁动量的变化率表示了出来。第三组(C)是电磁力方程组，把电磁力用电流和磁感表示了出来。在所有这些事例中，电流都应该被理解为实际的电流，即不仅包括传导电流而且包括电位移的变化。

磁感■就是我们在第 400 节中已经考虑过的那个量。在一个未磁化的物体中，它和作用在一个单位磁极上的力相等同，但是如果物体是永久性地被磁化或是通过感应而被磁化了的，它就将是作用在一个位于物体中的扁平空腔中单位磁极上的力，空腔的平面垂直于磁化的方向。■的分量是a、b、c。

由定义了 a、b、c 的方程组(A)可以推得

da + db + dc = 0

dx dy dz

这在第 403 节中已经证明正是磁感的一种性质。

605．]不同于磁感，我们曾经把一个磁体内部的磁力定义为作用在在一个位于细长空腔中的单位磁极上的力，该空腔的长轴平行于磁化的方向。这个量用■来代表，它的分量用 a、β、γ，来代表。请参阅第 398 节。

如果ℑ是磁化强度，而 A、B、C 是它的分量，则由第 400 节得到

a = α + 4πA,

b = β + 4πB, （磁化方程组）（D）

c = γ + 4πC, 

我们可以把这些方程叫做磁化方程组，而且他们表明，在电磁单位制中，看成一个矢量的磁感■是两个矢量在哈密顿意义下的和，那两个矢量就是磁力■和乘以 4π的磁化ℑ，或者说，

■=■+4πℑ

在某些物质中，磁化依赖于磁力，而且这是用在第 426 节和第 435 节中给出的感生磁性的方程组表示了的。

606．]研究到这个地方，我们已经根据纯动力学的考虑导出了一切结果而根本没有提及电和磁方面的定量实验。我们所曾用到的实验知识，仅在于承认了一些由理论推出的抽象的量就是一些由实验发现了的具体的量，并且用了一些名词来代表他们，这些名词指示着各该量的物理关系而不是它们的数学起源。

利用这种办法，我们曾经指出了电磁动量■作为一个在空间中从一部分到另一部分而变化着的矢量的存在，而且由此出发，我们曾经通过数学的手续而推得了作为一个导出矢量的磁感■。然而我们并不曾用到关于由场中的电流分布来确定■或■的任何资料。为此目的，我们必须找出这些量和电流的数学联系。

我们从承认永久磁体的存在开始，各该磁体的相互作用满足能量守恒原理。除了服从这一原理，即认为作用在一个磁极上的力必须可以从一个势函数导出以外，我们在磁力定律方面并不提出任何假设。

然后我们就观察电流和磁体之间的作用，而且我们发现，一个电流对一个磁体的作用方式和另一个磁体对那个磁体的作用方式在表观上相同， 如果这另一个磁体的强度、形状和位置都调节得适当的话；而且我们也发现，磁体对电流的作用方式也和另一个电流对该电流的作用方式相同。这些观察不一定被假设为是和力的实际测量相伴随的。因此他们不应该被看成是提供着数值资料的，他们只不过在给我们提出供考虑的问题方面是有用的而已。

这些观察所提出的问题是，在许多方面和由磁体产生的磁场相似的由电流产生的磁场，是不是在和势的关系方面也和前一种磁场相似？

一个载流电路在它周围的空间中产生一些磁效应，他们和由一个以电路为边界的磁壳所产生的磁效应确切相同；这一事实的证据已经在第 482

—485 节中叙述过了。

我们知道在磁壳的事例中是存在一个势的；这个势在磁壳物质之外的一切点上都有确定的值，但是它在磁壳两侧的两个邻近点上的值却相差一个有限的量。

如果一个电流周围的磁场和一个磁壳周围的磁场相似，则作为磁力的线积分而求出的磁势对于两条积分曲线来说将相同，如果其中一条曲线可以通过不和电流相交的连续运动而转化为另一条曲线的话。

然而，如果一条积分曲线不能不和电流相交而转化为另一条积分曲线，则磁力沿一条曲线的线积分将和它沿另一条曲线的线积分相差一个依赖于电流强度的量。因此，由一个电流引起的磁势就具有一系列无限多个

彼此之间有一公共差的值，而特定的值则依赖于积分曲线的画法。在导体物质的内部，并不存在磁势之类的量。

607．]假设了一个电流的磁作用有一个这样的磁势，我们就开始来数学地表示这一假设了。

首先，如果一条闭合曲线并不包围电流，则磁力在这条闭合曲线上的线积分为零。

其次，如果电流沿正方向穿过闭合曲线一次，而且只穿过一次，则线积分有一个确定的值，而这个值就可以用来作为电流强度的一种量度。因为，如果闭合曲线按任何连续方式改变其形状而并不切割电流，则线积分将保持不变。

在电磁单位制中，磁力沿一条闭合曲线的线积分在数值上等于穿过闭合曲线的电流乘以 4π。

如果我们把其边为 dy 和 dz 的长方形取作闭合曲线，则磁力沿长方形各边的线积分是

dγ dβ

( dy − dz )dydz,

而如果 u、v、ω是电流的分量，则穿过该长方形的电流是udydz。

将此式乘以 4π并使它和线积分的结果相等,我们就得到一个方程

dγ dβ 

4πu = dy − dz ，



da dγ 

同理即得4πv = − E）

dz dx ， （电流方程组）（

4π2 = dβ − da ，

dx dy 

当每一点上的磁力已经给定时，这一方程组就能确定电流的方向和量值。当没有任何电流时，这些方程就和条件

adx+βdy+γdz=-DΩ

相等价，或者说，在场中没有电流的一切点上，磁力可以从一个磁势中导出。

把方程组(E)中的各式分别对 x、y 和 z 求导数并相加，我们就得到方

程

du + dv + dw = 0, ，

dx dy dz

此式就表明，分量为 u、v、w 的电流服从一种不可压缩的液体的运动条件， 而且它必然是沿着闭合的路线在流动的。

这—方程，只有当我们把 u、v、w 看成那种既由真正的导电又由电位移的变化所引起的电的流动的分量时才是正确的。

关于由电介质中电位移的变化所引起的电流的电磁作用，我们掌握的实险证据非常少，但是把电磁定律和非闭合电流的存在互相协调起来的极大困难，就是我们之所以必须承认由电位移的变化所引起的瞬变电流存在的许多原因之一。这些电流的重要性，当我们考虑到光的电磁理论时就会

被看出。

1. 〕我们现在已经确定了和奥斯特、安培及法拉第所发现的那些现象有关的各主要量之间的关系。为了把这些量和在本论著的前几编中描述了的现象联系起来，还需要另外一些关系式。

当电动强度作用在一个物质体上时，它就在物质体中产生两种电效应，而法拉第称这两种效应为“感应”和“传导”；第一种效应在电介体中最为突出，而第二种效应在导体中最为突出。

在本书中，静电感应是用我们称之为电位移的那个量来量度的。这是一个有向量或矢量，我们曾经用■来代表它，并用 f、g、h 来代表它的分量。

在各向同性的物质中，电位移和产生它的电动强度同向，并和电动强度成正比，至少当电动强度的值很小时是如此。这一事实可以用一个方程表示出来，即

• = 1

4π

K■, （电位移方程）（F）

式中 K 是物质的介电本领。请参阅第 68 节。

在并非各向同性的物质中，电位移■的分量 f、g、h 是电动强度■的分量 P、Q、R 的线性函数。

电位移方程组的形式和在第 289 节中给出的电传导方程组的形式相仿。

这些关系可以用下述说法来表达：K 在各向同性的物体中是一个标量，但在别的物体中却是一个作用在矢量■上的线性矢量函数。

1. 〕电动强度的另一种效应就是传导。作为电动强度之结果的电传导定律是由欧姆建立的，而且是在本书第二编的第 241 节中已经解释过的。这些定律总结为一个方程

■=C■，（电传导方程)(G)

式中■是一点上的电动强度，■是传导电流的密度，其分量为 p、q、r， 而 C 是物质的电导率；在各向同性物质的事例中 C 是一个简单的标量，但在其他物质中却变成一个作用在矢量■上的线性矢量函数。这个函数的形式已在第 298 节中在笛卡尔座标下给出。

1. 〕本论著的主要特点之一就在于一个学说，它主张电磁现象所依赖的真实电流■和传导电流■并不相同，而是在估计总的电荷运动时必须把电位移■的时间变化率考虑在内，因此我们必须写出

·

■ = ■ + ■ ，（真实电流方程）（H）

或者，用分量表示出来，就是

df u = p + dt ,

dg

v = q + dt , （H * ）

w = r + dh

dt

1. 〕既然■和■都依赖于电动强度■，我们就可以把真实电流■用电动强度表示出来，于是就有

■ = (C + 1

4π

K d' )■ （I）

dt

或者，在 C 和 K 为常量的事例中就有

u = CP +

1 K dP , 



4π

v = CQ + 1 K

4π

dt 



dQ 

,

dt 

（I * ）

w = CR +

1 K dR 



4π dt 

1. 〕任意一点上的自由电荷的体密度可以通过方程

ρ = df + dg + dh

（J）

dx dy dz

而由电位移的分量求得。 613．〕电荷的面密度是σ＝lf+mg+nh+l＇f’+m＇g＇+n＇h＇,(K)

式中 l、m、n 是从曲面指向电位移分量为 f、g、h 的那种媒质的法线的方向余弦，而 l＇、m＇、n＇是从曲面指向电位移分量为 f＇、g＇、h＇的那种媒质的法线的方向余弦。

1. 〕当媒质的磁化完全是由作用在它上面的磁力所感生的时，我们就可以写出感生磁化方程

■=μ■(L)

式中μ是磁导系数，它可以被看成一个标量或一个作用在■上的线性矢量函数，随媒质是否各向同性而定。

1. 〕这些关系式可以看成我们所曾考虑过的各量之间的主要关系式。他们可以互相联立，以消去其中某些量，但是我们目前的目的不在于获得数学公式的紧凑性而在于表示我们对之有所知的每一种关系。消去一个表示着有用概念的量，在我们目前的探索阶段上将不是一种收获而是一种损失。

然而却有一种结果，是我们可以通过把方程组(A)和(E)结合起来而求得的，而且是具有很大重要性的。

如果我们假设，除了在载流电路的形式下以外场中没有其他的磁体， 则我们一直保留了的磁力和磁感之间的区别将不复存在，因为只有在磁化了的物质中这些量才是彼此不同的。

按照即将在第 833 节中加以阐释的安培的假说，我们所说的磁化物质的性质是由分子性的电路引起的，因此只有当我们考虑大块的物质时，我们的关于磁化的理论才是适用的，而如果我们的数学方法被假设为能够把发生在个体分子中的过程照顾在内，则这些方法将只会看到电路而看不到任何别的东西，从而我们就将发现磁力和磁感是互相等同的。然而，为了能够随心所欲地应用静电单位制或电磁单位制，我们将保留系数μ，并记住它在电磁单位制中的值是 1。

1. 〕由第 591 节的方程组(A)，磁感的分量是

a = dH − dD ,

dy dz

b = dF − dH ,

dz

dG c = dx

dx

• dF dy

由第 607 节的方程组(E)，电流的分量由下列方程组给出：

dγ dβ 

4πu = dy − dz ,

da dγ 

4πv = dz − dx ,

4πw = dβ − da 

dx dy 

按照我们的假说，a、b、c 是分别和μα、μβ、μγ相等同的。因此我们就得到{当μ为常数时｝，

d²G d ²F d ²F

d ²H

4πμu − dxdy − dy ² − dz²

如果我们写出

+ dzdx

(1)

dF dG dH

J = dx + dy + dz , (2)

并写出①

∇ ² = −(

d 2

dx²

d2

• dy2 +

d 2

dz²

), (3)

我们就可以把方程(1)写成

4πμu = dJ + ∇ ²F, 

dx 

同理,4πμv = dJ + ∇² 

dy G,(4)

dJ 

4πμw = + ∇ ²H,

dz 

如果我们写出

F' = μ ∫∫∫ u dxdydz, 

v 

G' = μ

∫∫∫

dxdydz, 

r 

（5）

H' = μ∫∫∫ w dxdydz,

r 

就有

X = 1 ∫∫∫ J dxdydz, （6）

4π r

① 此处应用了负号，为的是使我们的表示式和应用四元数的表示式相一致。

式中γ是从体积元(x、y、z、)到所给点的距离，而积分是遍及于全部空间的。于是即得

F = F'- dX ,

dx

dX G = G'− dy ,

H = H'− dX （7）

dz

量 X 从方程组(A)中消失了，从而它是和任何物理现象都没有联系的。如果我们假设它到处等于零，J 就将也到处等于零。略去方程组(5)中各量上的撇号，该方程组就将给出■的各分量的真实值。

1. 〕因此，作为■的一种定义，我们可以把它看成电流的矢势，它和电流之间的关系类似于标势和引起标势的物质之间的关系，而且也是用一个类似的积分手续求得的。这个积分手续可以描述如下：

设从一个给定点开始画一个在量值和方向上表示着一个给定的电流元除以电流元到该给定点的距离的数值。设针对每一电流元都画了这样的矢量。这样得到的所有各矢量的合矢量就是全部电流的矢势。既然电流是一个矢量性的量，它的势也是一个矢量。请参阅第 422 节。

当电流的分布已经给定时，就存在一种、而且只存在一种■值的分布， 使得■到处都为有限的和连续的，并满足方程

Δ2■=4πμ■，S．Δ■=0,

而且在离电体系为无限远处变为零。这个值就是由方程(5)所给出的那个值，该方程可以写成四元数的形式，

■ = μ∫∫∫ ■ dxdydz

各电磁方程的四元数表示式

1. 〕在本论著中，我们曾经努力避免了任何要求读者具有四元数计算知识的推理过程。与此同时，当必要时，我们曾经毫不迟疑地引用了矢量概念。当我们有机会用一个符号来代表一个矢量时，我们曾经用了德文字母，因为不同矢量的数目是如此之大，以致哈密顿所喜爱的符号很快就会不够用了。因此，每当用了一个德文字母时，它就代表一个哈密顿式的矢量，它既表示矢量的量值又表示矢量的方向。矢量的分量用罗马字母或希腊字母来表示。

我们必须考虑的主要矢量是：

（矢量符号 分量） 一个点的矢径 pxyz

一个点上的电磁动量 ■FGH

磁感 ■abc

（全）电流 ■uvw

电位移 ■fgh

电动强度 ■PQR

机械力 ■XYZ

· · · ·

一个点的速度 ■或 p x y z

磁力 ■αβγ

磁化强度 ■ABC

传导电流 ■pqr

我们也有下列的标量函数： 电势Ψ。

磁势（在它存在之处）Ω。电荷密度 e。

磁“质”密度 m。

除此以外，我们还有指示着每一点上的媒质性质的下列各量： C．电流的传导率。

K，介电感应本领。μ，磁感应本领。

这些量在各向同性的媒质中是ρ的简单标量函数，但是在普遍情况下则是作用在他们被应用上去的那些矢量函数上的线性矢量算符。K 和μ肯定都是自轭的，而 C 或许也如此。

1. 〕磁感方程组(A)的第一个方程是

dH a = dy

dG

• dz ,

现在该方程组可以写成下列形式了：

■＝V．∇■, 式中■是算符

d d d

i dx + j dy + k dz ,

而 V 则表示应取这一运算结果的矢量部分。

既然■是满足条件 S．∇■=0 的，∇■就是一个纯矢量，从而符号 V 是不必要的。

电动势方程组(B)的第一个方程是

P = · · dF dΨ

c y − b z− dt −

现在该方程组变成了

dx ,

■=V．■■-■-∇Ψ

机械力方程组(C)的第一个方程是①■ 现在该方程组变成了

■＝■A＋e■－ｍΔΩ

磁化方程组(D)的第一个方程是a＝a＋4πA，

现在该方程组变成了

■＝■＋4πℑ

电流方程组(E)的第一个方程是

① 改正归功于 G．F．斐兹杰惹教授，见 Trans.R.S.Dublin，1883.}

dγ dβ

4πｕ = dy − dz ,

现在该方程组变成了4π■＝V．∇■

由欧姆定律可知，传导电流的方程是

■=C■

电位移的方程是

D = 1 K■

4π

既由电传导又由电位移的变化所引起的全电流的方程是

■=■+■

当磁化起源于磁感应时，有

■=μ■

为了确定电荷的体密度，我们也有e=S．∇■

为了确定磁的体密度，有m=S．■■

当磁力可以由一个势导出时，有

■=-∇Ω

第九章附录

如果电磁场中包含一些具有不同磁导率的物质，则表示式(5)一般是并不准确的，因为，在那种事例中，在两个不同磁导率的分界表面上，通常会有自由磁；这就会在矢势的表示式中引起一些项，由第35 页上的方程(22) 来表示。如果两种媒质的磁导率是μ1 和μ2，分界面两侧的矢势分量 F1、G1、H1 和 F2、G2、H2 来代表，而 l、m、n 是分界面法线的方向余弦，那么， 两种媒质的分界面上的边界条件就包括两部分：第一，既然法向磁感是连续的，就有

l( dH1 − dG1 ) + m( dF1 − dH1 ) + n( dG1 − dF1 )

dy dz

dz dx

dx dy

= l( dH 2 − dG 2 ) + m( dF2 − dH 2 ) + n( dG2 − dF2 );

dy dz

dz dx

dx dy

第二，既然沿分界面的[分]磁力是连续的，就有

1 ( dH1 − dG1 ) − 1 ( dH2 − dG2 )

μ1 dy dz μ2 dy dz

l

1 ( dF1 − dH1 ) −



1 ( dF2

• dH 2 )

= μ1 dz

dx μ2 dz dx

m

1 ( dG1 − dF1 ) −



1 ( dG2

• dF2 )

= μ1 dx

dy μ2 dx dy

n

表示式(5)通常并不满足这些边界条件。因此，最好认为 F、G、H 是由方程

∇ ²F = 4πμu

∇ ²G = 4πμv

∇ ²H = 4πμw

以及上述那些边界条件来给出的。}

｛当导体是运动的时，看来假设方程组(B)中的Ψ就代表静电势是并不合理的，因为麦克斯韦在推导这些方程时舍去了一项

• d (F dx + G dy + H dz),

ds dt dt dt

理由是这一项当沿着一条闭合回路求积分以后将变为零。如果我们把这一项加进去，则Ψ不再是静电势而是该势

F dx + G dy + H dz

dt dt dt

之和。

这一点对一个曾经吸引了很多注意力的问题有一种重要的应用；那就是一个在磁场中以角速度ω绕竖直轴而转动的球的问题，设磁场中的磁力是竖直的并等于 c．假设球的转动已经达到稳定状态，方程组(B)在这一事例中就变成

P = cωx −

dΨ dx ,

Q = cωy − dΨ ,

dy

R = − dΨ

dz

P Q R

既然球是一个处于稳定状态的导体，而且σ 、 σ 、 σ 是电流的

分量，那就有

dP + dQ + dR = 0;

dx dy dz

由此即得

d ²Ψ d² Ψ d²Ψ

2cω =

dx²

• dy²

• dz ²

这一方程通常被诠释为意味着在整个球内有一种体密度为—cω/2π的电荷分布，然而只有当我们假设■是静电势时这种诠释才是合理的。

如果我们适应着导出方程组(B)的那种研究来假设φ是静电势，而

Ψ = φ + F dx + G dy + H dz ,

dt dt dt

或者，在这一事例中就是Ψ＝Φ＋ω(Gx-Fy),

那么，既然

d 2 d 2 d 2

dG dF

( dx²

• dy 2 + dz2 )(Gx − Fy) = 2( dx

= 2c,

• dy ),

我们就看到，由于

d²Ψ

dx²

故有

d²Φ

dx ²

d²Ψ

• dy²

d²Φ

• dy²

d² Ψ

• dz²

d²Φ

• dz²

= 2cω,

= 0;

就是说，在整个球体中并不存在自由电荷的分布。

因此，在电磁场的各个方程中，并没有任何东西引导我们去假设一个转动的球体中会含有自由电荷。

用球极座标和柱座标来表示的电磁场的方程

如果 F、G、H 分别是矢势沿矢径、子午线和纬度平行线的分量，a、b、c 是磁感在这些方向上的分量，α、β、γ是磁力在这些方向上的分量， 而 u、v、w 是电流在这些方向上的分量，则我们可以很容易地证明

1 d d

a = r 2 sinθ {dθ ( r sinθH) − dφ (rg)},

1 dF d

b = r sinθ {dφ − dr (r sinθH)},

c = 1 { d (rG ) − dF};

r dr dθ

1 d d

4πu = r 2 sin θ {dθ (r sinθγ ) − dφ ( rβ)},

1 da d

4πv = r sin θ {dφ − dr (r sinθγ )},

4πw = 1

r

d

{dr (r

β) − da }

dθ

如果 P、Q、R 是电动强度沿矢径、子午线和纬度平行线的分量，则有

db = −

1. dP d

{ − (r sin θR)},

dt r sin θ dφ r

dc = − 1 { d

(rQ) − dP}

dt r dr dθ

如果柱座标是ρ、θ、Z，而 F、G、H 是矢势平行于ρ、θ、Z 的分量， a、b、c 是磁感在这些方向上的分量，α、β、γ是磁力在这些方向上的分量，u、v、w 是电流在这些方向上的分量，则有

1 dH d

a = ρ { dθ − dz}(ρG),

b = dF − dH ,

dz dρ

c = 1 { d (ρG ) − dF

ρ dρ

1 dγ

dθ};

d

4πu = ρ {dθ − dz (ρβ)}.

4πv = da − dγ ,

dz dρ

4πω = − 1 { d (ρβ) − da}

ρ dρ dθ

如果 P、Q、R 是电动强度沿ρ、θ、Z 的分量，则有

da = − 1 {dR −



d

}(ρQ),

dt ρ dθ dz

db = −{dP − dR},

dt dz dρ

dc = − 1 { d

(ρQ) − dP

dt ρ dρ

dθ}

第十章

电学单位的量纲

1. 〕每一个电磁量都可以参照基本量长度、质量和时间的单位来加以定义。如果我们从第 65 节中所给出的那种电量的定义开始，我们就可以利用包括着某一电磁量和电量的方程来得到每一个电磁量的单位，这样得到的单位制叫做“静电单位制”。

另一方面，如果我们从第 374 节所给出的那种磁极的单位开始，我们就会得到同一套量的一种不同的单位制。这种单位制和前一种单位制并不一致，叫做“电磁单位制”。

我们将从叙述不同单位之间在两种单位制中都成立的那些关系式开始，然后我们按照每一单位制作出各单位的一个量纲表。

1. 〕我们将把我们所必须考虑的主要量配成对。在前三对中，每一对中两个量的乘积都是一个能量或功。在后三对中，每一对量的乘积都是对单位体积而言的能量。

前三对

静电对

符号

1. 电量 e

2. 电动势，或电势 E

磁对

1. 自由磁量，或磁极强度 m

2. 磁势 Ω

动电对

1. 一个电路的动电动量 p

2. 电流 C

后三对

静电对

1. 电位移（用面密度来量度) ■

2. 电动强度 ■

磁对

1. 磁感 ■

2. 磁力 ■

动电对

1. 一点处的电流强度 ■

2. 电路的矢势 ■

1. 〕下述各关式在这些量之间成立。首先，既然能量的量纲是

 L² M

 M 

 T2

, 而单位体积的能量的量纲是 LT2 , 我们就有以下的量纲方程：

  

[ ] [ ]

L²M

eE =

mΩ = [pC] =  2

 T

, （1）



[■■] = [■■] = [■■] =  M （2）

 LT 

其次，既然 e、p 和■分别是 C、E 和■的时间积分，就有

e =  p  = ■  = [T]



（3）

c   E  ■ 

 

第三，既然 E、Ω和 p 分别是■，■和■的线积分，就有

 E  =  Ω  =  p  = [L]①(4)

 ■   ■   ■ 

最后，既然 e、C 和 m 分别是■、■和■的面积分，就有

 e  =  C  =  m  = [L2 ]

（5）

 ■   ■   ■ 

1. 〕这十五个方程并不是独立的，而且，为了导出所包含的十二个单位的量纲，我们还需要另一个方程。然而，如果我们把 e 或 m 看成一个独立的单位，我们就能导出其余各

①[我们也有■=[■].] 量的含有 e 或 m 的量纲。

L²M

(1)[e] = [e] = [ mT ]

 L² M

m

(2)[E] = 

 eT

 =  T 

 L² M

（3）和（5）[p] = [m] = 

 eT

 = [m]



（4）和（6）[C] = [Ω] =  e 

T 

 L² M

=  mT2 

(7)[■]

 e 

 L2 

 

=  M 

 mT

(9) [ ■] =  M 

eT 

 m 

 L2 

(10)[ ■]

=  e 

 LT

 LM 

 mT ² 

(11)[ ■] =  e 

=  M 

 L²T 

(12)[ ■] =LM 

 eT 

 mT ² 

= m

 L 

1. 〕这些量中的前十个量的关系可以利用下面的排列显示出来：

①

e ，■，■， C 和Ω

m 和p ，■，■， E

E ，■， m ， p C 和Ω，■，■， e

第一行中的各量通过一些运算而从 e 导出，第二行中各对应量也通过相同的运算而从 m 导出。可以看到，第一行中各量的顺序恰好和第二行中各量的顺序相反。每一行中的第四个量在分子上包含着第一个符号，而每一行中的后四个量则在分母上包含着该符号。

以上给出的所有这些关系，不论我们采用什么单位制都是正确的。625．〕具有一定科学价值的只有静电单位制和电磁单位制。静电单位

制是建筑在第 41、42 节中的电量单位的定义上的，而且是可以由下一方程导出的：

• = e ;

L2

此式表明，一个电量 e 在距离 L 处一点上引起的合电场强度，通过将 e 除以 L2，来求得。代入量纲方程(1)和(8)中，我们就得到

 LM  =  e ,  m  =  M 

eT² 

 L2 

 LT 

 mT ,

由此，在静电单位制中就有

 3 1 −  1 1

[e] = L2 M 2 T ¹ , m = [L2 M 2 ]

 

电磁单位制是建筑在第 374 节中关于磁极强度单位的一种完全相似的定义上的。这种定义导致

• = m ,

L2

由此，在电磁单位制中就有

 e  =  M ,  LM  =  m ,

 LT eT  mT2   L2 

 1 1   3 1 

[e] = L2 M 2 ,[m] = L2 M 2 T⁻¹,

   

由这些结果，我们就得到其他各量的量纲。626．〕

量纲表

量纲

符号 在静电制中 在电磁制中

 3 1 − 



 1 1 



电量 e

L2 M 2 T ¹

L2 M 2 

   

 1 1 −   3 1 

电动强度的线积分 E L2 M 2 T ¹ L2 M 2 T⁻² 

   

磁量  m  ^{1 1} 

 3 1 − 

  

L2 M 2 

L2 M 2 T ¹

电路的动电动量

p     

电流

C

 3 1

−  ^{1 1} 

  

L2 M 2 T ² L2 M 2 T⁻¹ 

磁势 电位移

Ω



 − 1

1 − 

 

 − 3 1 

 ■ L ² M ² T ¹

L 2 M 2 

面密度



 − 1

  

1 −  1 1 



电动强度 ■L 2 M 2 T ¹L2 M 2 T⁻² 



 − 3 1 





 − 1



1 − 

磁感 ■

L 2 M 2 

L 2 M 2 T ¹

 

 1 1 − 



 

 − 1 1 



磁力 ■

L2 M 2 T ²  L 2 M 2 T⁻¹ 

   

 1 1 −  − 3 1 

一点上的电流强度 ■ L2 M 2 T

2 L 2 M 2 T−1 

  

 − 1 1 



 1 1 − 



矢势 ■

L 2 M 2 

L2 M 2 T ¹ 

   

627．〕我们已经按照他们出现的次序考虑过这些量的配对乘积。他们的比值在某些事例中是有科学重要性的。于是就有

e

E = 一个集电器的电容

q [L]

符号 静电制 电磁制

T² 

 L 

P 电路的自感系数

 

T²  [ ]

C = 或电磁本领

 L  L  L

  

■



T² 

■ = 电介质的比感本领 K [0]

L2 

■ = 磁感本领 μ

■



T² 

 L2 



[0]

 

E

C = 导体的电阻

■

T 

R  L 

 

L

 T

L² 

■ = 物质的比电阻 γ T

 T 

 

628．〕如果长度、质量和时间的单位在两种单位制中是相同的，则电量的一个电磁单位中所含有的静电单位倍数在数值上等于某一个速度，其绝对值和所用基本单位的大小无关。这个速度是一个重要的物理量，我们将用 v 来代表它。

一个电磁单位所含静电单位的倍数

对 e，C，Ω，■，■，■来说⋯⋯⋯⋯⋯⋯v．

对m，p，E，■，■，■，来说 1 ．

v

对静电电容、介电感应本领和电导率来说是 1 。

v 2

确定速度 v 的几种方法将在第 768—780 节中给出。

在电磁单位制中，空气的磁比感本领被假设为等于 1，因此这个量在

静电单位制中用 1

v2

来代表。

电学单位的实用制

629．〕在这两种单位制中，电磁制对那些从事于电磁电报的实用电学家们来说用处较大。然而，如果长度、时间和质量的单位是在其他科学工作中通用的那些，例如米或厘米、秒和克，则电阻和电动势的单位将太小， 以致要表示出现在实用中的那些量就必须用一些非常大的数字，而电量和电容的单位又将太大，以致只有一些极小的分数才会出现在实用中。因此， 实用电学家们曾经采用了一套电学单位，这是依据一个大的长度单位和一个小的质量单位而通过电磁单位制推导出来的。

为此目的而使用的长度单位是一千万米，或者说近似地等于地球子午线的四分之一的长度。

时间的单位仍和从前一样是秒。

质量的单位是 10-11 克，或者说是一亿分之一毫克。

由这些基本单位导出的电学单位曾经根据一些杰出的电学发现者来命名。例如电阻的实用单位是“欧姆”，并且是用大英科学促进协会所发布的在第 340 节中描述了的那种电阻线卷来代表的。在电磁制中，它用一个10，000，000 米/秒的速度来代表。

电动势的实用单位叫做“伏特”，它和一个丹聂耳电池的电动势相差不大。拉提摩·克拉克先生近来曾经发明了一种很稳定的电池，其电动势几乎确切地等于 1.454 伏特。

电容的实用单位叫做“法拉”。在一伏特的电动势作用下在一秒种内流过一欧姆电阻的电量，等于由一伏特的电动势在电容为一法拉的电容器上产生的电荷。

人们发现，这些名称的使用在实用上比不断重复“电磁单位”一词并附带说明各单位所依据的特定基本单位要方便得多。

当必须测量很大的量时，可以把原有单位乘以一百万并在它的名称前加一个“兆”字来形成一个新的单位。

同样，通过在前面加一个“微”字，就可以形成一个小的单位，它是原有单位的一百万之一。

下表给出在不同时期被采用的不同单位制中的这些实用单位的值。

第十一章

论电磁场中的能量和胁强静电能量

630．]体系的能量可以分成“势能”和“动能”。由带电而引起的势

能已经在第 85 节中考虑过了。它曾被写成

1

W = 2 Σ(eΨ), (1)

式中 e 是电势为Ψ处的电荷，而求和遍及于存在电荷的一切地方。如果 f、g、h 是电位移的分量，则体积元 dxdydz 中的电量是

df dg dh

e = ( dx + dy + dz )dxdydz, （2）

1 df dg dh

从而 W = 2 ∫∫∫ dx + dy + dz Ψdx dy dz,（3）

式中的积分遍及于整个空间。

631．]把这一表示式分部积分，并记得当从一个有限带电体系的一个给定点算起的距离 r 变为无限大时，势Ψ就变成一个 r-1 级的无限小量， 而 f、g、h 就变成 r-2 级的无限小量，就可以把表示式简化成

W = − 2 ∫∫∫ (f dx

• g dΨ

dy

• h dΨ)dxdydz, dz

（4）

式中的积分遍及于整个空间。

如果我们现在把电动强度的分量写成P、Q、R而不写成-

dΨ ，

dx

dΨ dΨ



- dy 和 dz

，我们就得到

W = − 1 ∫∫∫( Pf + Qg + Rh)dxdydz ①(5)

由此可见，如果我们假设整个场的静电能量存在于场中电力和电位移不为零的每一部分中而不是只局限在可以找到电荷的地方，这个能量也将是相同的。

单位体积中的能量是电动强度和电位移的乘积的一半乘以这两个矢量之间的夹角。

在四元数语言中这就是

1

• 2 S

．■■．

①{这一静电能量表示式在本书第一卷中是根据静电力可由势函数导出的假设而推得的。当电动强度的一部分是由电磁感应引起的时，这种证明就不再成立了。然而，如果我们采取一种观点，即认为这一部分能量起

① {这一静电能量表示式在本书第一卷中是根据静电力可由势函数导出的假设而推得的。当电动强度的一部分是由电磁感应引起的时，这种证明就不再成立了。然而，如果我们采取一种观点，即认为这一部 h2 ， 则势能将只依赖于电介质的极化而不论这种极化是如何产生的.于是，既然

源于电介质的极化状态而且等于每单位体积

1

8πK

（f ² - g² + h²），则

势能将只依赖于电介质的极化而不论这种极化是如何产生的.于是，既然

f 4πk

= P,

g 4πk

= Q,

h 4πk

= R, 1

能量就将等于每单位体积 2 （Pf + Qg + Rh）.}

磁能量

①632．]我们可以利用和在第 85 节的带电事例中所用的方法相仿的方法来处理由磁化引起的能量。如果 A、B、C 是磁化的分量，而α、β、γ 是磁力的分量，则由第 389 节可知磁体系的势能是

− 1 ∫∫∫ (Aα + Bβ + Cγ )dxdydz,

（6）

积分遍及于磁化物质所占据的空间。然而，这一部分能量却将在一种我们即将求得的形式下包含动能。

633．]当没有电流时，我们可变换这一表示式如下，我们知道，

da + db + dc = 0 (7)

dx dy dz

因此，由第 97 节可知，如果正像当不存在电流时在磁现象中永远成立的那样有

α = − dΩ ,β = − dΩ , γ = − dΩ , (8)

dx dy dz

则有

∫∫∫ (aα + bβ + cγ )dxdydz = 0 （9）

积分遍及于整个空间，或者写作

∫∫∫ {(α + 4πA)α + (β + 4πB)β + ( γ + 4πC)γ}dxdydz = 0（10）

由此可见，由一个磁体系引起的能量是

− 1 ∫∫∫ (Aα + Bβ + Cγ )dxdydz = 1 ∫∫∫(α² + β² + γ ² )dxdydz,

2 8π

= 1 ∫∫∫ ■ ²dxdydz

动电能量

（11）

634．]在第 578 节中，我们已经把一个电流组的动能表示成下列形式：

1

T = 2 Σ( pi), （12）

式中 p 是一个电路的电磁动量，而 i 是在电路中流动着的电流的强度，求和遍及所有的电路。

但是我们在第 590 节中已经证明，p 可以表示成一个形式如下的线积分：

① 见本章末尾的附录Ⅰ。

p = ∫ (F dx + G dy + H dz)dx, （13）

ds ds ds

式中 F、G、H 是点(x，y，z)上电磁动量■的分量，而积分是沿闭合回路 s 计算的。因此我们就得到

T = 1 Σi∫ (F dx + G dy + H dz )ds

（14）

2 ds ds ds

如果 u，v，w 是传导电路中任一点上的电流密度的分量，而 S 是覆盖在电路上的曲面，我们就可以写出

i dx + uS, ds

i dy = uS, ds

i dz = uS, （15）

ds

而且我们也可以把体积元写成Sds=dxdydz，

于是我们现在就得到

T = 1 ∫∫∫ (Fu + Cv + Hw)dxdydz, （16）

式中的积分应该遍及于空间中存在电流的每一部分。

635．]现在让我们把 u、v、w 代换成由第 607 节中的方程组(E)给出的用磁力的分量α、β、γ表示出来的他们的值，于是我们就得到

1 dγ dβ

da dγ

dβ da

T = 8π ∫∫∫{F( dy − dz ) + G( dz − dx ) + H( dx − dy )}dxdydz,（17）

式中的积分遍及于包含了所有电流的那一部分空间。

如果我们进行分部积分，并且记得在很大距离处α、β和γ具有r ³

的数量级（而且在两种媒质的分界面上 F、G、H 和切向磁力都是连续的）， 我们就会发现，当积分扩展到全部空间时，表示式就简化为

1 dH dG

dF dH

dG dF

T = 8π ∫∫∫ {α( dy

− dz ) + β( dz −

dx ) + γ( dx

• dy )}dxdydz（18）

由第 591 节中的磁感方程组(A)，我们可以把小括号中的各量代换成磁感分量 a、b、c，于是动能就可以写成

T = 1 ∫∫∫(aα + bβ + cγ)dxdydz, （19）

式中的积分应该遍及于空间中磁力和磁感的值异于零的每一个部分。

这一表示式的括号中的那个量，就是磁感和磁力在磁感方向上的投影的乘积。

在四元数的语言中，此式可以简单地写成

-S．■■，

式中■是磁感，其分量为 a、b、c，而■是磁力，其分量为α、β、γ． 636．]因此，体系的动能可以或是表示成在存在电流的地方求的积分。

或是表示成在存在磁力的每一部分场中求的积分。然而，第一个积分是假设各电流直接互相发生远距作用的那种理论的自然表示，而第二个积分则对力图用各电流之间的空间中的某种中介作用来解释电流间的作用的那种理论是合适的。由于我们在本书中曾经采用了后一种研究方法，我们就很自然地把第二个表示式取作动能的最重要的表示形式。

按照我们的假说，我们认为动能是存在于任何有磁力的地方的，就是

说，在一般情况是存在于场的每一部分中的。单位体积的能量是

- 1 S．■■，而且这种能量是以物质的某种运动的形式而存在于空间的8π

每一部分中的。

当我们讨论到法拉第关于磁对偏振光的效应的发现时，我们将举出相信有磁力线的地方就有物质绕该磁力线的转动的理由。请参阅第 821 节。

磁能量和动电能量的比较

637．]我们在第 423 节中已经求出，强度分别为φ和φ′而又分别以闭合曲线 s 和 s′为边界的两个磁壳，其相互势能是

cos ∈

r dsds',

式中∈是 ds 和 ds′的方向之间的夹角，而 r 是他们之间的距离。

我们在第 521 节中也求得，载有电流 i 和 i′的两个电路 s 和 s′所引起的相互能量是

ii' ∫∫ cos ∈dsds'

如果 i、i′分别等于φ、φ′，则磁壳之间的机械力等于对应载流电路之间的机械力，而且方向也相同。在磁壳的事例中，力倾向于减小他们的相互势能；在电路的事例中，力倾向于增大他们的相互能量，因为这种能量是动能。

通过磁化物质的任何布置来造成一个在一切方面都和一个载流电路相对应的体系是不可能的，因为磁体系的势在空间中的每一点上都是单值的，而电体系的势则是多值的。但是通过一些无限小电路的适当布置来造成一个在一切方面都和任一磁壳相对应的体系却是可能的，如果我们在计算势时所取的积分曲线不许穿过任何一个这种小电路的话。这一点将在第833 节中更充分地加以解释。

磁体在远处的作用是和载流电路在远处的作用完全等同的。因此我们就力图把他们归之于相同的原因；而既然我们不能借助于磁体来解释电流，我们就必须采取另一种办法，即借助于分子电路来解释磁体。

638．]在本书第三编中关于磁现象的研究中，我们没有试图解释在一段距离上的磁作用，而只是把这种作用看成了一种基本的经验事实。因此我们假设了一个磁体系的能量是势能，并假设了当体系的各部分被作用在他们上的磁力所推动时这一势能是减小的。

然而，如果我们认为各磁体的性质起源于在他们的分子内部运行着的电流，他们的能量就是动能，而他们之间的力就将倾向于使他们沿一种方向而运动，以致如果各电流强度保持不变则动能将会增大。

这种解释磁性的方式也要求我们放弃在第三编中所用的方法；在那种方法中，我们把磁体看成了一种连续的和均匀的物体，其最小的部分和整体具有相同的磁性。

现在我们必须认为一个磁体含有为数虽多但却是有限的一些电路，因此它就在本质上具有一种分子性的而不是连续的结构。

如果我们假设我们的数学工具是如此地粗糙，以致我们的积分曲线不可能穿过一个分子电路，并假设我们的体积元中含有为数甚巨的磁分子， 我们就仍会得到和第三编的结果相类似的结果；但是，如果我们假设我们

的数学工具更加精致并能够用来研究发生在分子内部的一切情况，我们就必须放弃旧有的磁性理论而采用安培的理论；这种理论除了由电流组成的磁体以外不承认任何别的磁体。

我们必须把磁能量和电磁能量都看成动能并给予他们以相同的正负号，正如在第 635 节中的作法那样。

在下面，尽管我们偶尔也像在第 639 节等处那样试图使用旧的磁性理

论，但是我们却将发现，只有当像在第 644 节中那样放弃旧理论而采用安培的分子电流理论时，我们才能得到一种完全自洽的理论体系。

因此场的能量只有两部分，静电能或势能

W = 1 ∫∫∫ (Pf + Qg + Rh)dxdydz,

和电磁能或动能

T = 1 ∫∫∫(aα + bβ + cγ )dxdydz

关于作用在位于电磁场中的物体的一个体积元上的力

作用在一个磁体元上的力

①639．]设一物体被磁化到磁化强度分量为 A、B、C 的程度，并位于磁力分量为α、β、γ的场中，则它的体积元 dxdydz 的势能是

-(Aa+Bβ+Cγ)dxdydz．

由此可见，如果促使体积元沿 x 方向移动而不转动的力是 X1dxdydz，

则

X = A dα + B dβ + C dγ , （1）

¹ dx dx dx

而如果倾向于使体积元绕着 x 轴而从 y 向 z 转动的力偶矩是 Ldxdydz，则L=Bγ-Cβ(2)

和 y 轴及 z 轴相对应的力及力矩可以通过适当的代换来写出。640．]如果被磁化的物体载有其分量为 u、v、w 的电流，则由第 603

节中的方程组(C)可知将存在一个其分量为 X2、Y2、Z2 的附加的力，其中 X2 由下式给出：

X2＝uc-wb．(3)

由此可得，既起源于分子的磁性又起源于通过物体的电流的总力就是

X = A dα + B dβγ + C dγ + uc − wb （4）

dx dx dx

各量 a、b、c 是磁感的分量，而且是通过在第 400 节中给出的方程组来和磁力的分量α、β、γ相联系的：

a = α + 4πA,

b = β + 4πB,  (5) c = γ + 4πC, 

电流的分量 u、v、w 可以通过第 607 节中的方程组而用α、β、γ表

① 参阅本章末尾的附录Ⅱ。

示出来

dγ dβ 

4πu = dy − dz , 

dα dγ 

4πv =

dz − dx ,（6）

4πw = dβ − dα 

dx dy 

由此即得

1  dα

dβ dγ

dα dβ

dα dγ 

X = 4π (a − α) dx + (b − β) dx + (c − γ) dx + b( dy − dx ) + c( dz − dx)



1  dα dα dα 1

= a + b + c −



d (α ² + β² + γ ² )



(7)

4π  dx

dy dz

1. dx 

由第 403 节可得

da + db + dc = 0 （8）

dx dy dz

把这个方程(8)乘以 a 并除以 4π，我们就可以把所得结果和(7)相加， 于是就得到

X =

  

[cα], （9）

另外由(2)也得到

1

L = 4π

1

= 4π

(b − β)γ − (c − γ )β), （10）

(bγ − cβ), (11)

式中 X 是按单位体积来计算的沿 x 方向的力，而 L 是绕该轴的力矩（每单位体积）。

关于用一种处于胁强状态的媒质来对这些力作出的解释

641．]让我们用一个形如 Phk 的符号来代表对单位面积而言的任意种类的胁强，此处的第一个下标 h 表明胁强被假设作用于其上的那个面积的法线平行于 h 轴，而第二个下标 k 则表明位于面积之正侧的那一部分物体作用在位于面积之负侧的那一部分物体上的胁强是平行于 k 轴的。

h 和 k 两个方向可以相同，在那种事例中胁强就是一种直胁强。他们也可以互相斜交，在那种事例中胁强就是一种斜胁强；或者，他们也可以互相垂直，在那种事例中胁强就是一种切胁强。

各胁强不会在物体的元部分中引起任何转动趋势的条件是Phk＝Pkh．

然而，在一个磁化物体的事例中却存在这样一种转动趋势，从而在普通胁强理论中成立的这一条件是并没有得到满足的。让我们考虑作用在物体之元部分 dxdydz 的六个面上的各胁强的效应，这时取座标原点作为该元部分的重心。

正表面dydz的x值是 1 dx，这一表面上的力是

2

平行于x，(P

• 1 dp_xx

dx)dydz = 

平行于y，(P

^xx 2 dx

• 1 dpxy

X+x ,



dx)dydz = Y , 

（12）

^xy 2 dx

+x 



平行于z，(P + 1 dp zz dx)dydz = Z 

^xz 2 dx

+x 



作用在反面上的力-X-x、-Y-x、-Z-x 可以通过令 dx 变号而从这些表示式求得。我们可以用同样的方式把作用在体积元之每一其他表面上的力系表示出来，力的方向用大写字母来指示，而它的作用面则用下标来指示。

如果 Xdxdydz 是作用在体积元上的平行于 x 的总力，则有

Xdxdydz = X+x + X+y + Xx+z + X−x + X−y + X−z ,

= ( dpxx + dpyx + dpzr )dxdydz,

由此即得

d

dx dy dz

d d

X = dx Pxx + dy Pyx + dz Pzx

（13）

如果 Ldxdydz 是倾向于使体积元绕着 x 轴而从 y 向 z 转动的力矩，则

有

1 1

Ldxdydz = 2 dy( Z+y − Z−y ) − 2 dz(y +x − y−z )

= (Pyz − Pzy dxdydz),

由此即得

L = Pyz − Pzy （14）

把由方程(9)及(10)给出的和由方程(13)及(14)给出的X 及L 的值互相比较一下，我们就发现，如果令

P = 1 aα − 1 (α ² + β² + γ ²  

xx 4π  2

),

 

P = 1 bβ − 1 (α ² + β² + γ ²  

yy 4π  2

),

 

P = 1 bβ − 1 (α ² + β² + γ ²  

zz 4π  2

1 1

), 

 



（15）

Pyz = 4π bγ, Pzy = 4π cβ, 

Pzx =

1. cα, P 4π zz

1

1

= 4π

1



aγ, 



Pxy = 4π aβ, Pyx = 4π bα, 

则起源于以这些值作为分量的那一胁强系的力，将在对物体中每一体积元的效应方面是和起源于磁化及电流的力互相静力学等价的。

642．]通过令 x 平分磁力方向和磁感方向之间的夹角，并把 y 轴取在这些方向的平面上，而其方向指向磁力一边，就很容易找出以这些量为其分量的那种胁强的本性。

如果我们用■代表磁力的数值，用■代表磁感的数值，并用 2∈代表他们的方向之间的夹角，就有

α = ■ cos ∈,β = −■ sin ∈, γ = 0,

a = ■ cos ∈, b = −■ sin ∈,c = 0; 

（16）

xx =

1 (+■■ cos² ∈− 1 ■² ), 

4π 2

Pyy P

1

= 4π

= 1

(−■■ sin ² ∈−

1 ■ ² ),



1 ■ ² ),

2





P zz

Pyz

4π 2

= Pzx = Pzy = Pxz

= 0,

 （17）





Pxy

= 1 ■■ cos ∈sin ∈, 

4

1 

Pyx

= 4π

■■ cos ∈sin ∈ 



由此可见，胁强状态可以被看成由下列各量组成：

(1)一个 = 1

8π

(2)一个 = 1

4π

• 2 的沿一切方向的压强。

■■ cos² ∈的沿磁力方向和磁感方向之夹角分角线的

张力。

(3)一个 = 1 ■■ sin² ∈的沿该二方向之外角分角线的压强。

4

(4)一个 = 1

4π

■■ sin2 ∈的力偶矩，倾向于使位于该二方向之平面

内的每一物质元从磁感方向向着磁力方向而发生转动。

在流体或未磁化的固体中，磁感永远是和磁力同方向的。在这种事例中，∈=0，而当令 x 轴和磁力的方向相重合时，就有

Pxx

1

= 4π

1

■■ 2 ■ ), P

yy = Pzz

1

= − 8π

• ^{> 2} ,

（18）

而切胁强则不复存在。

因此，在这种事例中，胁强就是一个液体压强 1

8π

• 2 和一个沿着力

线的张力 1

4π

■■。

643．]当不存在磁化时，■=■，于是胁强就进一步得到简化，变成

一个等于 1

8π

• 2 的沿力线的张力和一个数值上等于 1

8π

• 2 的沿一切垂直

于力线的方向的压强。这种重要事例中的胁强分量是

Pxx

1

= 8π

1

(α² − β² − γ ²



),



Pyy

Pzz

= 8π 1

= 8π

(β² − γ ² − α² ),





(γ ² − α ² − β² ),



P = P

= 1 πβγ ,

 （19）



yz zy 4 

1 

Pzx = Pzz = 4 γα, 

1 

Pxy = Pyx

= 4π αβ 

由这些胁强引起的作用在一个媒质体积元上的 x 分力，当折算成单位体积的力时是

d d d

X = dx Pxx + dy Pyx + dz Pxx ,

= 1  dα dβ dγ  1  dβ dα 1  dγ dα

4 α dx − β dx − γ dx  + 4π α dy + β  π α dz + γ dz ,

  

dy  4  

= 1 α( dα + dβ + dγ ) +



1 γ( dα − dr ) −



1 ( dβ − dα)

4π dx dy dz

现在，

4π dz dx

4β dx dy

dα + dβ + dγ

= 4πm,

dx dy dz

dα − dy = 4πv,

dz dx

dβ − dα = 4πw,

dx dy

式中 m 是朱磁质对单位体积而言的密度，而 v 和 w 分别是垂直于y 和 z 的电流强度。由此即得

X = αm + vγ − wβ,



同理也得

Y = βm + wα + vγ, Z + γm + uβ − vα,

（电磁力方程组）（20）





644．]如果我们采用安培和韦伯关于磁性物体和抗磁性物体之本性的理论，并假设磁性极化和抗磁性极化是由分子电流所引起的，我们就能排除假想的磁质，并且在任何地方都有 m=0，即

dα + dβ + dγ

= 0 （21）

dx dy dz

于是电磁力方程组就变成

X = vγ − wβ,

Y = wα − uγ 

（22）

Z = uβ − vα 

这些就是按单位体积来看的机械力的分量。磁力的分量是α、β、γ， 而电流的分量是 u、v、w。这些方程是和已经建立了的那些方程相等同的。

（第 603 节，方程组(C)。）

645．]在借助于媒质中的一种胁强状态来解释电磁力时，我们只是在追随法拉第①的观念，即认为磁力线倾向于自己缩短而且当并排存在时就互相推斥。我们所作的一切就是用数学语言来表示沿磁力线的张力的值以及垂直于磁力线的压强的值，并证明这样假设为存在于媒质中的胁强状态实际上就能产生观察到的作用在载有电流的导体上的力。

关于这种胁强状态在媒质中被引起和被保持的方式，我们还没有肯定过任何东西。我们只曾证明，有可能设想电流的相互作用依赖于周围媒质中的一种特定的胁强，而不是一种直接的和即时的远距作用。

任何一种借助于媒质的运动或用其他方式来对胁强状态作出的进一步解释，应被看成理论的一个另外的和独立的部分，它的成立或垮台并不影响我们目前的观点。请参阅第 832 节。

在本书第一编第 108 节中我们证明了观察到的静电力可被设想为是通过周围媒质中的一种胁强状态的介入而起作用的。现在我们针对电磁力作了同样的事情，而剩下来要考察的就是，关于能够支持这些胁强状态的一种媒质的观念是否能够和其他的已知现象相容，或者说，我们是否必须认为这种观念没有成果而把它放弃掉。

在一个既存在电磁作用又存在静电作用的场中，我们必须假设在第一编中描述了的那种静电胁强是叠加在我们刚才还在考虑的电磁胁强上的。

646．]如果我们假设总的地磁力是 10 大英单位（格令，英尺，秒）， 正如在英国情况差不多是如此的那样，则沿力线的张力是每平方英尺

0.128 格令重。焦耳①用电磁铁得到的最大的磁张力约为每平方英寸 140 磅重。

附录Ⅰ

[导源于克勒克·麦克斯韦教授致克瑞斯托教授的一封信的下列注释， 对第 389 节和第 632 节来说是重要的。

在第 389 节中，由于放在磁力分量为α2、β2、γ2 的磁场中而其磁化分量为 A1、B1、C1 的一个磁体的存在而引起的能量是

− ∫∫∫ (A 1α2 + B1β2 + C1γ 2 )dxdydz,

此处的积分以磁体为限，因为在任何别的地方 A1、B1、C1 都为零。但是， 总的能量却具有如下的形式

− 1 ∫∫∫ {(A + A )(α + α ) + }dxdydz,

2 1 2 1 2

积分遍及于空间中存在磁化物体的每一部分，而 A2、B2、C2 代表磁体外面任何一点上的磁化分量。

于是总能量就包括四个部分：

① Exp.Res.3266，3267，3268．

① Sturgeon’sAnnnalsofElectricity,vol.v.p.187 （1840）；orPhilosophicalMagazine,Dec.1851．

− 1 (A α +

2 1 1

)dxdydz,

（1）

如果磁体的磁化是固定的，则这一部分能量不变；

− 1 ∫∫∫ (A α + )dxdydz,

（2）

2 2 1

而由格林定理，此式等于

− 1 (A α +

2 1 2

以及

)dxdydz,

（3）

− 1 ∫∫∫ (A α +

)dxdydz

（4）

2 2 2

我们可以假设最后一式起源于固定的磁化，从而是一个常量。

因此，看成固定磁化了的活动磁体的能量中的变化部分，就是表示式(2)和(3)之和，即

− ∫∫∫ (A 1α2 + B1β2 + C1γ 2 )dxdydz

磁体的移动将改变α2、β2、γ2 的值而不改变 A1、B1、C1 的值。记得这一点，我们就能求出作用在磁体上的力沿任一方向φ中的分量：

∫∫∫ (A dα + B dβ2

• C dγ 2 )dxdydz

¹ dφ ¹ dφ

¹ dφ

如果我们不是有一个磁体而是有一个被感应磁化了的物体，则力的表示式也应该相同；就是说，写出 A1=κa 等，我们就得到

∫∫∫ k(α dα2

• B dβ2

dφ

• γ dγ 2 )dxdydz dφ

在这一表示式中，a 代替了 a1+a2，余类推，但是如果磁化物体很小或是κ很小，则和 a2 相比 a1 可以忽略不计，于是力的表示式就像在第 440 节中那样变成

d 1 k(α ² + β

dϕ 2 ²

• γ ² )dxdydz

当一个感应本领很小的由感应而磁化的物体被带到无限远处时，磁力所作的功只是对被固定磁化到同一初强度的同一物体作的功的一半，因为当感生磁体被带走时它的强度是会逐步消失的。]

附录Ⅱ

[对于第 639 节中的由磁力引起的单位体积媒质的势能表示式曾经提

出一些反对意见，其理由是，当在第 389 节中求得这一表示式时，我们假

设了分力α、β、γ可以从一个势函数推出，而在第 639—640 节中则情况并非如此。这种反驳也波及于力 X 的表示式，它是能量的空间变化率。这一注释的目的就在于提出一些倾向于肯定正文之准确性的想法。]

{为了计算的方便，可以把作用在一块载流磁性物质上的力分成两部分：(1)由于电流的存在而作用在体积元上的力，(2)由体积元中的磁性所引起的力。第一部分将和作用在一个非磁性物质体积元上的力相同，其分量分别是

γv - βw

αw - γuu、v、w是电流的分量，

α、β、γ是磁力的分量。

βu - αv

为了计算第二个力，设想从磁性物质中切出一个细柱，柱体的轴线平行于磁化的方向。

如果 I 是磁化强度，则作用在单位体积之磁体上的平行于 X 的力是

I da , ds

或者，如果 A、B、C 是 I 的分量，则有

dα bα dα

A dx + B dy + C dz ,

或者写成

A dα + B( dβ − 4πw) + C( dγ + 4πv)

dx dx dx

因此，作用在体积元上的平行于 X 的总力就是

γv − βw + A dα + B( dβ − 4πw) + C( dγ + 4πw ),

dx dx dx

或者写成

v(γ + 4πC) − w(β + 4πB) + A dα + B dβ + c dγ ,

dx

即

vc − vb + A dα + B dβ + C dγ ,

dx dx

dx dx dx

这就是正文中的表示式。｝

第十二章电流层

647．]一个“电流层”就是导电物质的一个无限薄的层，两侧都以绝

缘媒质为界，从而电流可以在层内流动，但除了在某些称为“电极”的点上以外却不能从层中逸出，而电流就是经由那些电极而进入层中和流出层外的。

为了传导一个有限大小的电流，一个实在的层必须有一个有限的厚度，从而必须被看成一个三维的导体。然而，在许多事例中，从以上定义的那种电流层的电学性质来推出一个实在导电层或一薄层螺绕线圈的电学性质却在实际上是很方便的。因此我们可以把一个任意形状的曲面看成一个电流层。既经选定了这一曲面的一侧作为正侧以后，我们将永远假设在曲面上画出的任何曲线都是从曲面的正侧来观察的。在一个闭合曲面的事例中，我们将把它的外侧看成正侧。然而请参阅第 294 节，在那里，电流的方向被定义成了从电流层的内侧所看到的方向。

电流函数

648．]设把曲面上的一个固定点 A 取作原点，并在曲面上从 A 到另一点 P 画一条曲线。设在单位时间内从左侧向右侧而越过这条曲线的电量是φ，则φ叫做点 P 上的“电流函数”。

电流函数只依赖于 P 点的位置，而且对于曲线 AP 的任意两种形状来说都是相同的，如果曲线可以不扫过一个电极而通过连续的运动从一种形状变换成另一种形状的话。因为曲线的这两种形状将包围一个面积，而面积上不存在任何电极，从而越过其中一条曲线而进入这一面积的电量必将越过另一条曲线而流走。

如果 s 代表曲线 AP 的长度，则从左向右而越过 ds 的电流将是

dφ ds。ds

如果φ在任一曲线上为常量，则不会有电流越过它。这样的曲线叫做“电流线”或“流线”。

649．]设ψ为层上任一点的电势，则沿一条曲线之任一线段元 ds 的电动势将是

• dψ ds, ds

如果除了起源于电势差的电动势以外不存在任何别的电动势的话。 650．]现在我们可以假设，层上一点的位置由该点的φ值和ψ值来确

定。设 ds1 是交截在两条流线φ和φ+dφ之间的等势线ψ的线段元的长度，并设 ds2 是交截在两条等势线ψ和ψ+dψ之间的流线φ的线段元的长度，我们可以把 ds1 和 ds2 看成层上的面积元 dφdψ的边。沿 ds2 方向的电动势-dψ产生越过 ds1 的电流 dφ．

设层上长度为 ds2 而宽度为 ds1 的一个部分的电阻为

σ ds2 , ds1

式中σ是层的对单位面积而言的比电阻，于是就有

dψ = σ ds2 dφ，

ds1

由此即得

ds = σ ds2

dφ dψ

651．]如果层的材料在所有各方向上是同样导电的，则 ds1 垂直于ds2。在均匀电阻的导电的事例中，σ为常量，而如果令ψ=σψ′，我们就有

σs1

σs2

=  σφ ,

σψ'

而各流线和各等势线就把层面划分成一些小方块。

由此可以推知，如果φ1 和ψ1 ′是φ和ψ′的共轭函数（见第 183 节），曲线φ1 就可以是一个层中的流线，对该层来说曲线ψ1′是对应的等势线。当然，一个事例就是φ1=ψ′而ψ′=-φ时的事例。在这个事例中，等势线变成了流线而流线变成了等势线①。

如果我们已经针对任一特例得出了有关一个任意形状的均匀层中的电

流分布的解，我们就能按照在第 190 节中给出的方法而利用共轭函数的适当变换来推出另一事例中的分布。

652．]其次我们必须确定一个电流层的磁作用，这时假设电流是完全限制在层中的，没有任何电极把电流送入层中或传出层外。

在这一事例中，电流函数φ在每一点上都有一个确定的值，所有的流线都是互不相交的闭合曲线，尽管任一流线都可以和自己相交。

试考虑层上介于流线φ和φ+δφ之间的带状部分。层的这一部分是一个传导电路，它里边有一个强度为δφ的电流在φ大于所给值的那一部分层中沿正方向而运行。这个电路的磁效应，在并不位于磁壳物质之内的任一点上和一个强度为δφ的磁壳的效应相同。让我们假设，磁壳和电流层上φ值大于所给流线的φ值的那一部分相重合。

从φ具有最大值的流线开始到φ具有最小值的流线为止画出相继的流线，我们就把电流层分成一系列电路。把每一个电路代换成和它相对应的磁壳，我们就发现电流层的磁效应在任何并不位于电流层厚度之内的点上都和一个复杂磁壳的效应相同，该复杂磁壳的任意点上的强度是 C+φ，此处 C 是一个常量。

如果电流层是有界的，我们就必须在边界线上令 C+φ=0．如果电流层形成一个闭合的或无限的曲面，就没有任何条件可以确定常量 C．

653．]电流层每一侧的任一点上的磁势，正如在第 415 节中一样由下列表示式给出：

Ω = 1 φ cosθdS,

r 2

① 参阅 Thomson,Camb.Math.Journ.,vol.iii.p.286.

式中 r 是所给点离面积元 ds 的距离，而θ是 r 的方向和从 ds 的正面画起的法线方向之间的夹角。

这一表示式给出了并不位于电流层厚度之内的一切点上的磁势，而我们知道，对于载有电流的导体内部各点来说，是不存在什么矢势的。

Ω的值在电流层上是不连续的，因为，如果Ω1 是它在刚好位于电流层之内的一点上的值，而Ω2 是它在和第一个点很靠近但刚刚位于电流层之外的一个点上的值，则有

Ω 2 = Ω1 + 4πφ,

式中φ是层上该点处的电流函数。

垂直于层的磁力分量的值是连续的，在层的两侧都相同。平行于流线的磁力分量也是连续的，但是垂直于流线的切向分量却在层上并不连续。如果 s 是在层上画出的一条曲线的长度，则磁力沿 ds 方向的分量在层的负

侧为- dΩ1 而在层的正侧为 - dΩ 2 = − dΩ1 − 4π dφ 。

ds ds ds ds

dφ

因此，磁力在正侧的分量比在负侧的分量大了一个量- 4π ds 。在

一个给定的点上，这个量当 ds 垂直于电流线时将有最大值。

关于一个具有无限大电导率的层中的电流的感应

654．]在第 579 节中已经证明，在任一电路中都有

E = dp + Ri, dt

式中 E 是所加的电动势，p 是电路的动电动量，R 是电路的电阻，而 i 是

电路中的电流。如果不存在所加的电动势也不存在电阻，则 dp = 0，或

dt

者说 p 是常量。

喏，在第 588 中已经证明，电路的动电动量 p 是用穿过电路的磁感的面积分来量度的。因此，在一个没有电阻的电流层的事例中，穿过在曲面上画出的任一闭合曲线的磁感的面积分都必然是常量，而这就意味着，磁感的法何分量在电流层的每一点上都保持为常量。

655．]因此，如果磁场由于附近的磁体运动或电流变化而以任意方式发生了变化，则电流层中就会开始出现一些电流，以致他们的磁效应和磁体或电流的磁效应结合起来，将使磁感的法向分量在层的每一点上都保持不变。如果最初没有磁作用，而层中也没有电流，则磁感的法向分量将在层的每一点上永远为零。

因此，层就可以被看成对磁感来说是不可透过的，从而磁感线将在层上受到偏转，其方式和一个无限大均匀导电物质中电流的流线由于一个形状相同而用无限大电阻的材料作成的层的引入而受到偏转的那种方式完全相同。

如果层形成一个闭合的或无限大的曲面，则在其一侧可能发生的任何磁作用都不会在其另一侧产生任何磁效应。

平面电流层的理论

656．]我们已经看到，一个电流层的层外磁作用和一个磁壳的体外磁作用相等价，该磁壳的每一点上的强度在数值上等于电流函数φ．当层是一个平面层时，我们就可以把确定电磁效应所必需的一切量都用单独一个函数 P 表示出来，这个函数就是由一层展布在平面上并带有面密度φ的假想物质所引起的势函数。P 的值当然就是

P = ∫∫ φ dx' dy', （1）

式中 r 是从计算 P 的一点(x，y，z)到平面上面积元 dx′dy′所在之点(x

′，y′，0)的距离。

为了求出磁势，我们可以把磁壳看成由平行于 xy 平面的两个表面组

1 φ

成。第一个表面的方程是z = 2 c，其面密度是 c ；第二个表面的方程是

1 φ

z = - 2 c，其面密度是 - c ．

由这些表面引起的势，分别是

1 1

c P( z− c ) 和 c P + c ) ,

2 ( x 2

式中的下标表明，在第一个表示式中要把z代成z = - c ，而在第二个表

2

示式中要把z代成z + c 。按照泰勒定理来把这些表示式展开，把他们相

2

加，然后取 c 为无限小，我们就得到由层在其外面任一点上引起的磁势

Ω = − dP

dz

（2）

657．]量 P 对层的平面来说是对称的，从而当把 z 换成-z 时是不变的。磁势Ω当把 z 换成-z 时将变号。

在层的正表面上，

Ω = − dP = 2πφ （3） dz

在层的负表面上，

Ω = − dP = −2πφ （4） dz

在层的内部，如果它的磁效应起源于它的物质的磁化，则磁势将从正表面上的 2πφ连续地变化到负表面上的-2πφ。

如果层中含有电流，则层内的磁力并不满足具有一个势函数的条件。然而层内的磁力却是完全确定的。

法向分力，

γ = − dΩ = d ² P

dz dz 2 , （5）

在层的两侧以及在整个层的物质中是相同的。

如果α和β是在正表面上平行于 x 和平行于 y 的磁力分量，而α′和β′是负表面上的对应分量，则有

α = −2π dφ = −α' (6)

dx

β = −2π dφ = −β' (7)

dy

在层的内部，各分量从α和β连续地变到α′和β′。

把由电流层引起的矢势的分量 F、G、H 和标势Ω联系起来的方程组

dH − dG = − dΩ ,

dy dz



dz 

dF − dH = − dΩ , 

（8）

dz dx



dy 

dG − dF = − dΩ , 

dx dy



dz 

将得到满足，如果我们令

dP dP

F = dy , G = − dx , H = 0 （9）

我们也可以通过直接求积分来得到这些值，例如在 F 的情况{如果μ到处等于 1 则我们由第 616 节得到｝，

u 1 dφ

F = ∫∫

r dx' dy' = ∫∫ r dy' dx' dy' ,

= ∫ φ dx'−∫∫ φ d 1 dx'dy'

r dy' r

既然积分运算要在无限大的平面层上进行估计，而第一项在无限远处变为零，表示式就会简化为第二项；而通过把

• d 1

d 1

代换成

dy' r dy r

并记得φ依赖于 x′和 y′而不依赖于 x、y、z，我们就得到

= dP ，根据(1)．

dy

F = dy ∫∫

φ

r dx' dy',

如果Ω′是由层外的任何磁体系或电体系引起的磁势，我们就可以写

出

P' = −∫ Ω'

dz,

（10）

于是，关于由这一体系引起的矢势的分量，我们就将有

F' =

dP'

dy ,

dP' G' = − dx ,

H' = 0,

（11）

658．]现在让我们假设层是固定的并确定层上任意点处的电动强度。设 X 和 Y 分别是平行于 x 和 y 的电动强度的分量，则我们由第 598 节

得到｛把Ψ改成ψ）

X = − d (F + F' ) − dΨ ,

（12）

dt dx

d dψ

Y = − dt (G + G') − dy

（13）

如果层的电阻率是均匀的并等于σ，则有

X = σu,

Y = σv

(14)

式中 u 和 v 是电流的分量；而如果φ是电流函数，则

dφ dφ

u = dy , v = - dx (15)

但是由方程(3)可知，在电流层的正表面上有

2πφ = − dP ,

dz

因此方程(12)和(13)就可以写成

− σ d ²P = − d ² + − dψ

2π dydz

dydt (P P' )

dx ,

（16）

σ d ² P d ² dψ

2π dxdz = dxdt (P + P' ) − dy ,

（17）

此处各表示式的值是和层的正表面相对应的。

如果把第一式对 x 求导数，把第二式对 y 求导数，并把结果加起来， 我们就得到

d²ψ

dx²

d ²ψ

+ dy2 = 0

（18）

唯一满足这一方程并在层的每一点上都为有限和连续而且在无限远处变为零的函数就是

ψ=0．(19)

由此可见，一个具有均匀电导率的无限大平面层中的电流的感应是并不和层的不同部分的电势差相伴随的。

将这一ψ值代入并把方程(16)和(17)求积分，我们就得到

 σ dP − dP − dP' = f (z, t) （20）

2π dz dt dt

既然层中电流的值是通过对 x 或 y 求导数来得出的，z 和 t 的任意函数就将消失。因此我们将对这种函数不予考虑。

σ

如果我们也把 2π 用单独一个代表某一速度的符号R来代替，则P和

P′之间的方程将变为

R dP = dP + dP' （21）

dz dt dt

659．]让我们首先假设不存在对电流层起作用的外界磁体系。因此我们可以假设 P′=0．于是事例就变成一个不受外界作用的电流系，但是各电流却通过他们的互感而相互作用，而同时又因层的电阻而消耗他们的能量。结果由下列方程来表示：

R dP = dP , （22）

dz dt

它的解是

P = F{x, y, (z_ Rt)}

(23)

由此可见①，层的正侧其座标为 x、y、z 的任意点上在时刻 t 的 P 值， 等于一点 x、y、(z+Rt)上在时刻 t=0 的 P 值。

因此，如果在一个无限大的均匀平面层中激起一些电流然后不再影响它，财它在层的正侧任一点上的磁效应，将和使电流保持不变而使层沿其负侧法线方向以一个常速度 R 而运动时的磁效应相同。由于实际事例中的电流衰减而引起的电磁力的减弱，用假想事例中距离的增大所引起的力的减弱来准确地代表。

660．]把方程(21)对 t 求积分，我们就得到

P + P' = R dP dt

dz

(24)如果我们假设起初 P 和 P′都是零，而一个磁体或电磁体突然被磁化或从无限远处搬过来，以致使 P′的值突然从零变成了 P′，那么，既然(24)式右端的时间积分随时间而变为零，我们在最初的时刻就必然在层的表面上得到 P′=-P′．

因此，由引起 P′的那一体系的突然引入而在层中激起的电流系，恰好分布得足以在层的表面上抵消由那一体系引起的磁效应。

因此，在层的表面上，从而也在层负侧的一切点上，初电流系就产生一种恰好和磁体系在正侧产生的效应相等而反向的效应。我们可以用一种说法来表示这一情况；那就是说，电流的效应和磁体系的一个像的效应相等价，那个像在位置上和原体系相重合，但是在磁化方向及电流方向上却和原体系相反。这样的像叫做负像。

层中的电流在层的正侧一点上的效应，和磁体系的一个正像

①[方程(20)和(22)已被证实为只有在层的表面上即当 z=0 时才是正确的。表示式(23)普遍地满足(22)。从而在层的表面上也满足(22)。它也满足问题的其他条件，从而是一个解。“任何别的解必然和这个解差一个闭合电流系，这些电流依赖于层的初状态但并不是由任何外因引起的，从而它们必然很快地衰减。”请参阅克勒克·麦克斯韦教授的论文，见RoyalSoc.Proc,xx.pp.160—168．]

在层的负侧所产生的效应相等价，这时对应点的连线被层所垂直平分。 因此，由层中的电流在层的任一侧的一点上引起的作用，可以看成由

和该点异侧的一个磁体系的像所引起的作用；这个像是一个正像或负像， 随该点位于层的正侧或负侧而定。

661．]如果层的导电率为无限大，则 R=0，从而(24)式的右端为零， 于是像就将代表层中的电流在任何时刻的效应。

在实在层的事例中，R 具有某一个有限的值。因此，刚刚描述的那种像就只能在突然引入磁体系以后的最初时刻代表电流的效应。电流将立即开始衰减，而这种衰减的效应将准确地得到表示，如果我们假设两个像开

① [方程(20)和(22)已被证实为只有在层的表面上即当 z=0 时才是正确的。表示式(23)普遍地满足(22)。从而在层的表面上也满足(22)。它也满足问题的其他条件，从而是一个解。“任何别的解必然和这个解差一个闭合电流系，这些电流依赖于层的初状态但并不是由任何外因引起的，从而它们必然很快地衰减。”请参阅克勒克·麦克斯韦教授的论文，见 RoyalSoc.Proc,xx.pp.160—168．]

始以常速度 R 从他们的原始位置而沿着由层画起的法线方向运动的话。662．]现在我们已经准备好，可以考察由位于层的正侧的任何一个磁

体系或电磁体系 M 在层中感应出来的电流系了，这时 M 的位置和强度可以按任意方式发生变化。

和以前一样，设 P′是通过方程(3)、(9)等等来据以导出这一体系之

直

接作用的那个函数，则 dP' σt将是和由 dM σt来表示的体系相对应的函

dt dt

数。这个量就是 M 在时间δt 中的增量，它可以看成本身就表示着一个磁体系。

如果我们假设在时刻t在层的负侧构成了体系 dM σt的一个正像，则

dt

由这个像在层的正侧的任一点上引起的磁作用将和在 M 变化以后的最初时刻由这种变化在层中感应出来的电流的磁作用相等价；而且这个像将继续和层中的电流相等价，如果它一旦形成就以常速度 R 沿负 z 方向而运动的话。

如果假设在每一相继的时间元中都构成一个这样的像，而且它一旦形成就开始以速度 R 由层离去，我们就将得到一种像列的观念，列中的最后一个像正在形成中，而所有其余的像则正在像一个刚体那样以速度 R 而离开层。

663．]如果 P′是起源于磁体系之作用的一个随便什么样的函数，我们就可以通过下述手续来求出起源于层中的电流的对应函数 P，而这种手续不过是像列理论的符号表示而已。

设 Pτ代表 P（起源于层中电流的函数）在时刻 t-τ在点(x，y，z+Rτ) 上的值，并设 P′τ代表 P′（起源于磁体系的函数）在时刻 t-τ在点(x， y，-(z+Rτ)上的值。于是就得到

dPτ dτ

= R dPτ

dz

− dPτ , （25）

dt

从而方程(21)就变成

dPτ dτ

dP^'

=   ^τ , （26）

dt

而对τ从τ=0 积分到τ=∞，我们就得到作为函数 P 的值的

dP^'

P = −   ^τ dτ

dt

（27）

由此我们就将像在方程(3)、(9)等等中一样通过导数而得出层的一切性质。①

①{这种证明可以安排如下：设■τ是 P 在时刻 t-τ在点 x、y、-(z+R

_τ)的值，其余的符号和正文中的相同。于是既然■是 x、y、z+Rτ、t-τ

① {这种证明可以安排如下：设■τ是 P 在时刻 t-τ在点 x、y、-（z+Rτ）的值，其余的符号和正文中的相同。于是既然■τ是 x、y、z+R■、t-τ的函数，我们就有 而既然由前面的小注可知方程(21)在场中一切点上都得到满足而不仅仅是在平面上得到满足，我们就有 由此即得 但是既然 P 在任何点上都和在对平面层而言的像点上具有相同的值，我们就有 ■τ＝Pτ由此即得

的函数，我们就有

d■τ

dτ

= R d■ τ

dz

− d■ τ ; dt

而既然由前面的小注可知方程(21)在场中一切点上都得到满足而不仅仅是在平面上得到满足，我们就有

由此即得

d■ τ

dτ

= dP' , dt

• = −∫∞ dP'τ dτ;

^τ 0 dt

664．]作为此处所示手续的一个例子，让我们考虑以均匀速度沿直线而运动的一个具有单位强度的单独磁极的事例。

设磁极在时刻 t 的座标是

ξ = ut，η = 0，ζ = c + ■t．

在时刻 t-τ求得的磁极之像的座标是ξ=u(t-τ)，η=0，ζ=-(c+■(t-τ)+Rτ)，

而如果 r 是这个像离开点(x，y，z）的距离，则

r ² = (x − u(t − τ)² + y² + (z + c + ■(t − τ) + R ) ²

为了求出由像列引起的势，我们必须计算积分

- d ∫∞ dr

dt 0 r

如果我们写出Q2=u2+(R-■)2,

则有

∫∞ dτ = − 1 log{Qr + u( x − ut) + ( R − ■)(z + c + ■t} + 一个无限大的项,

0 r Q

但是当对 t 微分时后一项就会消失，因为这一表示式中的 r 值是通过在上面的 r 表示式中令 r=0 来求得的。把这一表示式对 t 求导数并令 t=0，我们就得到由像列引起的磁势

但是既然 P 在任何点上都和在对平面层而言的像点上具有相同的值， 我们就有

• τ=P 由此即得

P = −∫∞ dP'τ dτ

^τ 0 dt

Ω = 1

Q

Q ■(z + c) − ux − u2 − ■2 + R■ r

Qr + ux + (R − ■)(z + c)

通过对 x 或 z 求这一表示式的导数，我们就得到任意点上分别平行于x 或 z 的磁力分量；而通过在这些表示式中令 x=0、z=c 以及 r=2c，我们就得到作用在运动磁极本身上的各分力的值如下：

1 u  ■ u² 

X = − 4c² Q + R − ■ 1 + Q − Q(Q + R − ■) ,

665． ] 在这些表示式

1  ■ u² 

Z = − 4c2  Q

− QQ + R − ■ ．

中，我们必须记得运动被假设为在所考虑的时间以前就已经进行了一段无限长的时间。因此我们就不应该把■看成一个正量，因为不然的话磁极就必曾在一段有限的时间内穿过层。

如果我们令 u=0 而■为负，则 x=0，而

Z = 1 ■ ,

4c ² R + ■

或者说当磁极向层靠近时它就受到层的推斥。如果令■=0，我们就得到 Q2=u2+R2，

1 uR 1 u ²

X = − 4c² Q(Q + R) 和Z = 4c² Q(Q + R) ．

分力代表一种阻力，沿着和磁极运动方向相反的方向而作用在磁极上。对于给定的 R 值来说，X 当 u=1.27R 时有极大值。

①｛这些表示式可以写成更简单的形式：

X = - 1 R u ,

4c² Q R + R − ■

1 R

Z = 4c2 (1 − Q)}

当层是一个非导体时，R=∞而 X=0． 当层是一个理想导体时，R=0 而 X=0．

分力 Z 代表层对磁极的一个推斥力。它随速度的增大而增大，而最后

当速度为无限大时变成

1

4c²

．当R为零时它也具有同一个值。

666．]当磁极沿着一条平行于层的曲线而运动时，计算就变得更加繁复，但是很容易看出，像列之最靠近的部分的效应就在于产生一个沿着和磁极运动方向相反的方向而作用在磁极上的力。直接跟在这一部分后面的那一部分像列的效应，和其磁轴在某一时间以前平行于磁极运动方向的一个磁体的效应种类相同。既然这一磁体的最近磁极是和运动磁极同名的， 力就包括两部分：一部分是推斥力，另一部分是一个平行于以前的的运动方向的力，但其方向是向后的。这个力可以分解成一个阻力和一个指向运动磁极的路径的凹侧的力。

667．]我们的探讨不足以使我们能够解决那种由于导电层的不连续性或具有边界而致使电流系不能完全形成的事例。

然而很容易看出，如果磁极是平行于层的边沿而运动的，则靠近边沿的电流将被削弱。由此可见，由这些电流所引起的力将较小，从而就不仅会有一个较小的阻力，而且，既然推斥力在靠近边沿的那一侧是最小的， 磁极就会受到指向边沿的吸引力。

① ｛这些表示式可以写成更简单的形式：

阿喇戈旋转盘的理论

668．]阿喇戈发现①，放在一个旋转着的金属盘附近的磁体会受到一个倾向于使它随盘而转动的力，尽管当盘为静止时在它和磁体之间是没有作用力的。

这种旋转盘的作用起初被认为是起源于一个新种类的感生磁化，直到法拉第① 利用盘子通过磁力场的运动而在盘中感应出来的电流来解释了它为止。

为了确定这些感生电流的分布以及他们对磁体的影响，我们可以利用已经求得的关于受到运动磁体作用的一个静止导电层的结果，这时我们要用到在第 600 节中给出的相对于运动座标系来处理电磁方程的方法。然而，既然这个事例有一种特殊的重要性，我们就将用一种直接的方式来处理它；我们将从这样一条假设开始：磁体的各个极都离盘的边沿很远，以致导电层的有界性的效应可以忽略不计。

利用以前各节(656—667)中的相同符号，我们就求得｛第 598 节中的方程组(B)，将Ψ改写成ψ｝分别平行于 x 和 y 的电动强度分量

σu = γ dy − dψ , 

dt

σv = −γ dx

dt

dx 

− dψ 

dy 

（1）

式中γ是磁力垂直于盘的分量。

如果我们把 u 和 v 用电流函数φ表示出来，就有

dφ dφ

u = dy , v = - dx , (2)

而如果盘子是以角速度ω而绕 z 轴转动的，就有

dy = ωx, dx = -ωy (3)

dt dt

把这些值代入方程组(1)中，我们就得到

σ dφ = γωx − dψ , (4)

dy dx

− σ dφ = γωy − dψ

(5)

dx dy

用 x 乘(4)式而用 y 乘(5)式并相加，我们就得到

σ( x dφ − y dφ)γω(x² + y² ) − (x dψ + dψ ) (6)

dx dx dx dy

用 y 乘(4)式而用-x 乘(5)式并相加，我们就得到

σ( x dφ + y dφ) = x dψ − y dψ

(7)

dx dy dy dx

如果现在我们把这些方程用 r 和θ表示出来，此处x=rcosθ，y=rsinθ(8)

① AnnalesdeChimieetdePhysique,Tome32,pp.213—223，1826．

① Exp.Res.,81．

则这些方程变成

σ dφ = γωr ² − r dψ , (9)

dθ dr

σr dφ = dψ ．

(10)

dr dθ

方程(10)可以得到满足，如果我们假设 r 和θ的一个任意函数并令

φ = dχ

dθ

ψ = σr dχ

dr

(11)

(12)

把这些值代入方程(9)中，该方程就变成

d ²χ

( d2

• r d dr

( r dχ

dr

)) = γωr ²

(13)

用σr2 去除一下并回到座标 x 和 y，此式就变成

d²χ d ²χ ω

dx² + dy² = σ γ

(14)

这就是理论的基本方程，它表示了函数 X 和磁力垂直于盘的分量γ之间的关系。

设 Q 是由以面密度 X 分布在盘上的吸引性的假想物质在盘的正侧任一点上引起的势。

在盘的正表面上，有

dQ = -2πχ．

dz

由此可见，方程(14)的左端变成

(15)

d²χ

dx²

d ²χ

+ dy²

1

= - 2π

d dz (

d²Q

dx² +

d²Q

dy2 )．

(16)

但是，既然 Q 在盘外面的所有各点上都满足拉普拉斯方程，那就有

d²Q

dx²

而方程(14)就变成

d²Q

+ dy²

d²Q

= - dz2 ．

(17)

σ d ³Q = ωγ

2π dz³

． (18)

dχ

再者，既然Q是由分布χ所引起的势，那么由分布φ或者说由 dθ

所引起的势就将是dQ ．由此我们就得到由盘中的电流所引起的磁势的

dθ

表示式

d ²Q

Ω1 dθdz ，(19)

而关于由电流引起的磁力垂直于盘的分量就有

γ = − dΩ =

¹ dz

d ³Q

dθdz2 ．(20)

如果 Q2 是由外界磁体引起的磁势，而且我们写出

P' = −∫ Ω2 dz，

(21)

则由各该磁体引起的磁力垂直于盘的分量将是

d² P'

现在，记得γ=γ1+γ2，

γ ² =

dz² ．

(22)

我们就可以把方程(18)写成

σ d³Q − ω

2π dz³

σ

d ³Q dθdz²

= ω d ²P'

dz²

．(23)

对z求两次积分并把 2π 写成R，就有

(R d − ω

dz

d )Q = ωP' ．(24) dθ

如果用从盘轴量起的距离 r 以及两个满足

2ξ = z + R θ，2ζ = z R ， (25)

ω − ω θ

的新变量ξ和ζ把 P 和 Q 的值表示出来，则通过对ζ求积分，方程(24)就变成

Q = ω P' dζ． R

(26)

669．]当把这个表示式的形式和在第 662 节中给出的方法联系起来加以考虑时，它就表明盘中电流的磁作用是和磁体系的一个螺纹线状的像列的作用相等价的。

如果磁体系只包括单独一个强度为一单位的磁极，则螺纹线将位于一个柱面上，该柱面的轴线就是盘子的轴线，而柱面则通过磁极。螺纹线将从磁极对盘而言的光学像的位置开始。相邻螺纹之间的平行于轴线的距离将是 2π■．像列的磁效应将和螺纹线受到磁化时的效应相同，如果磁化到处是沿着垂直于轴线的螺纹线切线方向的，而其磁化强度则恰好使每一小部分螺纹线的磁矩在数值上等于该部分在盘面上的投影长度。

关于对磁极的影响的计算将是很繁复的，但是很容易看到这种影响包括以下各部分：

(1)一个平行于盘的运动方向的拖曳力。(2)一个从盘开始的推斥力。

(3)一个指向盘轴的力。

当磁极靠近盘的边沿时，这些力中的第三个力可能被在第 667 节中指出了的那个指向盘沿的力所超过①。

所有这些力都由阿喇戈观察到了，并且由他在 1826 年的 An-nales de Chimie 上描述过了。也请参阅 Felici，inTortolini’sAnnals，iv， p.173(1853)，andv，P.35；andE.Jochmann，inCrelle'sJournal，lxiii， PP.158and329；alsoinPogg，Ann，cxxii，P.214(1864)。在后一篇论文中，

① {如果 a 是一个磁极离盘轴的距离，c 是它在盘上的高度，我们就可以证明，对于很小的ω来说，作用在磁极上的拖曳力是 m2aω/8c2R，斥力是 m2aω28c2R2，而指向盘轴的力是 m2aω24cR2．}

给出了确定各电流对他他们自己的感应所必需的方程，但是这一部分作用在结果的后来计算中却被略去了。此处所给出的像方法发表在 1872 年 2 月 15 日的 ProceedingsoftheRoyal Society 上。

球形电流层

670.]设φ是一个球形电流层上任一点 Q 处的电流函数，而 P 是由展布在球面上而面密度为φ的一个假想物质层在一个给定点上引起的势，现在要求作为 P 的函数来求出电流层的磁势和矢势。

用 a 代表球的半径，用 r 代表从球心到一个给定点的距离，而用 p 代表给定点和球面上电流函数为φ的那个点 Q 之间的距离的倒数。

电流层在任何一个并不位于层物质内部的点上的作用，和一个其图 39

强度在任何一点上都在数值上等于电流函数的磁壳的作用相等同。 按照第 410 节，磁壳和一个位于点 P 的单位磁极之间的相互势是

Ω = φ dp dS．

da

既然 p 是 r 和 a 的一个-1 次的齐次函数，就有

a dp + r dp = −p，

da dr

或者写成

dp = − 1

d (pr) ，

而且也有

da a dr

Ω = − φ d ( pr)dS． a dr

既然 r 和 a 在整个面积分的计算中都为常量，就有

Ω = − 1 d (( r φpdS)．

a dr

但是，如果 P 是由面密度为φ的一个假想物质层所引起的势，则

P = ∫∫ φpdS，

而电流层的磁势Ω就可以用 P 表示出来如下：

Ω = − 1 d

a dr

(Pr)．

671．]我们可以根据第 416 节中的表示式来确定矢势的 x 分量 F，

dp dp

F = ∫∫ φ(m dζ − n dη)ds，

式中ξ、η、ζ是面积元 dS 的座标，而 l、m、n 是法线的方向余弦。既然层是一个球面，法线的方向余弦就是

l = ξ ，m =  η ，n = ζ ，

a a a

但是

dp = ( y − η)p³ = − dp ，

dζ dz

而且

dp = (y − η) p³ = − dp ，

dη dy

于是就得到

dp dp p³

m dζ

• n dη

= {η(z − ζ) − ζ(y − η)} ,

a

= {z(η − y) − y(ζ − z)} p ,

= z dp − y dp ．

a dy a dz

乘以φdS 并在球面上求积分，我们就得到

z dP y dP

F = a dy − a dz ．

同理可得，G = x dP − z dP ,

a dz a dx

y dP x dP

H = a dx − a dy ．

分量为 F、G、H 的矢量■显然垂直于矢径 r，而且也垂直于其分量

dP dP dP

为 dx ， dy 和 dz 的那个矢量。如果我们定出半径为r的球面和按照等

差间隔而表示着 P 值的那些等势面的交线，则这些交线的方向将指示■的方向，而其密度则将指示这一矢量的量值。

按照四元数的语言，就有

• = 1 V．ρ∇P． a

672．]如果作为球内的 P 值，我们假设

P = A( r )ⁱ Y ，

a i

式中 Yi 是 i 阶的球谐函数，则在球外将有

P' =

a A( r )

i+1

Yi ．

既然( dP − dP')

= 4πφ，电流函数φ就由下列方程给出：

dr dr ^r=a

φ = 2i + 1 1 AY ．

球内的磁势是

Ω = −(i + 1) 1 A( r ) ⁱ Y ，

4π a ⁱ

a a

而球外的磁势是

i

Ω' = i 1 A( a ) ⁱ⁺¹Y ．

a r ⁱ

例如，设要借助于绕成球壳状的一根导线来在壳内产生一个均匀磁力M．在这一事例中，球内的磁势是一个一阶的体谐函数，其形式是

Ω=-Mrcosθ，

式中M是磁力。由此即得

1 2 ，而

A = 2 a M

3

φ = 8π

Macosθ．

因此，电流函数和到球的赤道面的距离成正比，从而任何两个小圆之间的匝数必须正比于二圆之间的距离。

如果 N 是总匝数而γ是每一匝中的电流强度，则

1

φ = 2 Nγcosθ．

由此可得，线圈内的磁力是

M = 4π Nγ ．

3 α

673．]现在让我们确定一种绕线方法，来在球内产生一个具有二阶带谐体函数形式的磁势

Ω = −3 1 A r

a a²

此处

3

( 2 cos θ −

1 )，

2

5

φ = 4π

A 3

a ( 2 cos θ −

1)．

2

如果总匝数是N，则极点和极角距离θ之间的匝数是 1 Nsin²θ．

2

纬度 45°处的匝数最密。在赤道上，绕线方向改变，而在另一半球上的各匝是反向绕成的。

设γ是导线中的电流强度，则在球壳内部有

Ω = − 4π Nγ

5

r ² 3

a 2 ( 2 cos θ −

1)．

2

现在让我们考虑形如一条平面闭合曲线的导体，放在球壳内部的任何地方，而其平面垂直于球壳的轴线。为了求得它的感应系数，我们必须令

dΩ

γ = 1并在曲线所包围的平面上求- dz 的面积分。

喏，我们有

Ω = − 4π  2 1

2 2 

5a 2 Nz − 2 ( x

以及

+ y ，



− dΩ = 8π Nz．

dz 5a ²

因此，如果 S 是闭合曲线所包围的面积，则感应系数是

M = 8π NSz．

5a²

如果这个导体中的电流是γ′，则由第 583 节可知将有一个沿 z 方向的作用力 Z，此处

Z = γγ ' dM

dz

= 8π 5a²

NSγγ' ，

而既然此式并不依赖于 x、y、z，这个力就将是相同的，不论电路放在壳

内的什么地方。

674．]设一物体沿 z 方向被磁化到强度 I，通过把这个物体换成其形状如物体的表面而其电流函数是

φ=Iz(1)

的一个电流层，就可以把在第 437 节中描述了的由泊松给出的方法应用到这个电流层上。层中的电流将是出现在平行于 xy 面的平面的，而沿着厚度为 dz 的一个薄片运行的电流强度将是 Idz．

这一电流层在其外部任一点上引起的磁势将是

Ω = −I dV ；(2) dz

{式中 V 是当面密度为 1 时由层引起的重力势。}在球内的任一点上， 磁势将是

Ω = −4πIz − I dV ．(3)

dz

矢势的分量是

dV dV

F = I dy ，G = −I dx ，H = 0．(4) 这些结果可以应用于出现在实际中的若干事例。675．](1)任意形状的平面电路。

设 V 是由一个任意形状的而其面密度为 1 的平面层所引起的势。如果

我们把这个平面层换成一个强度为 I 的磁壳或换成一个沿其边界运行的强度为 I 的电流，则Ω的值和 F、G、H 的值将是上面所给出的那些。

1. 对于一个半径为 a 的实心球来说，

4π a ³

V = 3 r ，当r大于a时，(5)

V = 2π （3a ² - r ² ），当r小于a时。(6) 3

由此可得，如果球被沿 z 方向磁化到强度 I，则磁势将是

Ω = 4π

3

a 3

I r 3 ，在球外，(7)

Ω = 4π Iz，在球内。(8) 3

如果球不是被磁化而是沿着等距的圆周绕上了导线，设其平面相距一个单位距离的两个小圆之间的总电流强度为 I，则球外的Ω值仍和从前一样，但在球内却有

Ω = − 8π Iz．(9) 3

这就是在第 672 节中已经讨论过的那个事例。

1. 沿着给定的直线而被均匀磁化的一个椭球的事例已经在第 437

   节中讨论过了。

如果椭球被在平行而等距的平面上绕有导线，则椭球内部的磁力将是均匀的。

一个柱状的磁体或螺线管

676．]如果物体是一个截面形状为任意的柱体，两端的底面垂直于它的母线，如果 V1 是由一个和柱体的正底面相重合的面密度为 1 的平面层在点(x、y、z)上引起的势，而 V2 是由一个和负底面相重合的面密度为 1 的平面层在同一点上引起的势，设柱体是沿纵向被均匀磁化到单位强度的， 则点(x，y，z)上的势将是

Ω = V1 - V2 ．(10)

如果柱体不是一个被磁化了的物体而是在上面均匀地绕了导线，每单位长度上的匝数是 n，而且导线中通有强度为γ的电流，则螺线管外的磁势仍和从前一样是

Ω=nγ(V1-V2)，(11)

但是在由螺线管及其两个平面端所限定的空间中却有Ω=nγ(-4πz+V1-V2)．(12)

磁势在螺线管的平面端上是不连续的，但磁力却是连续的。

如果正负平面端的质心分别到点(x，y，z)的距离 r1、r2 和螺线管的横向线度相比是很大的，我们就可以写出

V₁ =

式中 A 是每一截面的面积。

A A

，V₂ =

1 2

，(13)

因此，螺线管外面的磁力是很小的，而螺线管内部的磁力则近似地是平行于轴的正方向并等于 4πnγ的一个力。

如果柱体的截面是一个半径为 a 的圆，则 V1 和 V2 的值可以表示成在ThomsonandTait，sNaturalPhilosophy，Art．546，Ex．Ⅱ．中给出的球谐函数的级数，

 1 r ²

1.1 r ⁴

1.1.3 r ⁶ 

V = 2π− rP₁ + a + 2

a P2 − 2.4 a³ P4 + 2.4.6 a⁵ I6 —

当r＜a时，

，



(14)

1 a ²

1. a⁴

1.1.3 a ⁶ 

V = 2π



r − 2.4 r ³ P2 + 2.4.6 r⁵ P4 —

，当r＞a时。(15)



在这些表示式中，r 是从螺线管的一个圆形端的中心到点(x，y，z)的距离，而带谐函数 P1、P2 等等则是对应于 r 和柱轴之间的夹角θ的那些函数。

π

其中第一个表示式对z的微分系数当θ = 2 时是不连续的，但是我

们必须记得，在螺线管的内部，我们必须在由这一表示式导出的磁力上加一个纵向力 4πnγ。

677．]现在让我们考虑一个很长螺线管，它长得使依赖于到端点的距离的各项在我们所考虑的空间部分中可以忽略不计。

穿过在螺线管内部画出的任一闭合曲线的磁感是 4πnγA′，此处 A

′是曲线在垂直于螺线管轴线的平面上的投影面积。

如果闭合曲线位于螺线管之外，则当它包围螺线管时穿过它的磁感是4πnγA，此处 A 是螺线管截面的面积。如果闭合曲线并不包围螺线管，则穿过它的磁感是零。

如果一根导线在螺线管上绕了 n′匝，则它和螺线管之间的感应系数

是

M=4πnn′A．(16)

通过假设这些匝和螺线管上的 n 匝相重合，我们就发现，在离两端足

够远的地方，螺线管的单位长度的自感系数是L=4πn2A．(17)

在一个螺线管的端点附近，我们必须照顾到那些依赖于螺线管平面端上的假想磁量分布的项。这些项的效应，就是使螺线管和一个包围它的电路之间的感应系数小于当电路在远离两端处绕过一个很长的螺线管时它所具有的值 4πnA．

让我们考虑具有相同长度 l 的两个同轴圆柱螺线管。设外面一个螺线管的半径是 c1，它上面绕有每单位长度 n1 匝的导线。设里面一个螺线管的半径为 c2，其单位长度上的匝数是 n2，于是，如果我们忽略端效应，则二螺线管间的感应系数是

M=Gg，(18)

式中 G=4πn1，(19) 而 g=πc22lxn2(20)

678．]为了确定螺线管的正端的效应，我们必须计算形成内管之端面的一个圆盘对外管的感应系数。为此目的，我们取在方程(15)中给出的 V 的第二个表示式并把它对 r 求导数。然后我们用 2πr2dμ去乘这个表示

z

式并把它从μ = 1到μ = 对μ求积分。这就给出在离正端z距离

处对外螺线管上单独一匝而言的感应系数。然后我们把这一结果乘以 dz 并从 z=l 到 z=0 对 z 求积分。最后我们再把结果乘以 n1n2，于是就得到其中一个管端在减小感应系数方面的效应。

于是我们就得到两个柱状螺线管之间的互感系数 M 的表示式，

M = 4π² n n c ² (l − 2c a)，(21)

式中

1 c + l − r 1.3 1 c ² c ³

a = ¹ − · ² (1 − ¹ )

2 c1

2.4

1. c ² r ³

1.3.5 1 c ⁴ 1 c ⁵ 5 c ⁷

+ · ² (− − 2 ¹ + ¹ +



)，(22)

2.4.6 4.5 c ⁴ 2 r ⁵ 2 r ⁷

此处为了简单用r代替了 l² + c ² ．

由此可见，在计算两个同轴螺线管的互感系数时，我们必须在表示式(20)中用改正过的长度 l-2c1a 来代替真实长度 l；在这种改正中，人们假设从每一端上切掉了一个等于 ac1 的部分。当螺线管和它的外半径相比是很长的时，就有

1 1 c ² 1 c ⁴

a = − ² − ² + ．(23)

2 16 c ² 128 c ⁴

679．]当一个螺线管有若干层导线而其直径的单位长度上有 n 层时， 在一个厚度 dr 上就有 ndr 层，从而我们就有

G = 4π∫ n²drg = πl∫ n² r ²dr．(24)

设导线的粗细是均匀的，而感应发生在一个外螺线管和一个内螺线管之间，外管的外半径和内半径分别是 x 和 y，而内管的外半径和内半径分别是 y 和 z，那么，忽略端效应，就有

Gg 4 2

2 3 3

= 3 π ln1

(x − y)( y − z )．(25)

当 x 和 z 给定而 y 可以变化时，此式有极大值的条件是

4 1 z³

x = 3 y − 3 y 2 (26)

对于一个无铁心的感应机来说，此式给出了原线圈和副线圈的厚度之间的最佳关系。

如果存在一个半径为 z 的铁心，则 G 仍和以前一样，但是 g 却变成

g = πl∫ n ² (r ² + 4πkz² )dr，

 y³ − z³

(27)



= π ln ² 

 3

+ 4πkz² (y − z)．(28)



如果 y 已给定，则使 g 有极大值的 z 值是

z = 2 y

3

12πk

12πk + 1

． (29)

当就像在铁的事例中那样k是一个很大的数时，就近似地有 2 ．

z = 3 y

如果我们现在令 x 保持不变而令 y 和 z 变化，则当 k 很大时得到 Gg 的最大值条件如下：

x∶y∶z∶∶4∶3∶2．(30)

设一个长螺线管的外半径和内半径为 x 和 y，并有一个半径为 z 的长铁芯，则它的单位长度的自感系数是

4π∫x{π∫x n² (ρ² + 4πkz² )dr + π∫ρn² ( r ² + 4πkz² )dr}n ²dρ，

y ρ y

2 2 4 2 2 2 2

= 3 π n ( x − y) (x + 2xy + 3y + 24πkz

)．(31)

680．]到此为止，我们一直假设导线具有均匀的粗细。现在我们将确定不同层中导线粗细的变化所必须遵循的定律，以求在原线圈或副线圈的一个给定的电阻值下得到互感系数的一个极大值。

设在螺线管的每单位长度上绕有 n 匝导线，而单位长度的导线的电阻是 pn2。

整个螺线管的电阻是

R = 2πρl ∫ n⁴rdr． (32)

在 R 的给定值下，G 具有极大值的条件是■，式中 C 是某一常量。

1

正比于 r ，或者说，外管的导线粗细必须和该层半

径的平方根成正比。

为了在给定的 R 值下 g 可以取极大值，应有

n² = C(r +

4πkz²

r

)．(33)

由此可见，如果铁芯不存在，则内管的导线粗细应和该层半径的平方根成反比；但是，如果有一个磁化本领很高的铁芯，则导线的粗细应该更近似于和半径的平方根成正比。

无端的螺线管

681．]如果一个物体是由一个平面图形 A 绕着一条在它的平面上而不与它相交的轴线旋转而生成的，它就会有一个环的形状。如果这个环上绕有导线，使得各匝导线都位于通过环的轴线的平面上，而其总匝数是 n，

则导线层的电流函数是φ = 1

2π

nγθ，式中θ是对环轴而言的方位角。

如果Ω是环内的磁势而Ω′是环外的磁势，则有Ω-Ω′=-4πφ+C=-2nγθ+C．

在环外，Ω′必须满足拉普拉斯方程并在无限远处变为零。由问题的本性可知它必然只是θ的函数。唯一满足这些条件的Ω′值是零。因此就有

Ω′=0，Ω=-2nγθ+C．

环内任一点上的磁力垂直于通过环轴的平面，而且等于2 1

r

式中 r 是到环轴的距离。环外没有任何磁力。

如果一条闭合曲线的形状由作为 s 之函数的它的描迹点的座标 z、γ 和θ来给出，此处 s 是从一个固定点算起的曲线的长度，则穿过闭合曲线的磁感可以通过沿曲线求矢势的积分来求得。矢势的分量是

F = 2nγ xz ,

r 2

G = 2nγ yz ,

r 2

H = 0．

于是就得到

2nγ∫s z dr ds，

0 r ds

积分沿曲线计算，如果整条曲线都位于环内的话。如果曲线完全位于环外但是包围了环，则穿过曲线的磁感是

2nγ ∫s' z' dr' ds' = 2nγa，

0 r' ds'

式中a是线性量∫s' z' dr ' ds'，而带撇的座标不是属于闭合曲线而是属于螺

0 r' ds'

线管上的单独一匝导线的。

因此，穿过包围了环的任何一条闭合曲线的磁感都是相同的，而且都等于 2nγa．如果闭合曲线并不包围环，则穿过它的磁感是零。

设有第二条导线以任意方式绕在环上，不一定和环相接触，但是却包围环共 n′次。穿过这条导线[电路]的磁感是 2nn′γa，从而一个线圈对另一线圈的感应系数 M 就是 M=2nn′a．

既然这是完全不依赖于第二条导线的形状和位置的，这些导线如果载有电流的话也不会受到作用于他们之间的任何机械力。通过令第二条导线和第一条相重合，我们就得到螺线环的自感系数

L=2n2a．

第十三章平行电流柱状导体

682．]在很重要的一类电装置中，电流是由一些截面近似均匀的圆柱

导线来传导的；这些导线或是直的，或是他们的曲率半径远远大于他们的横截面的半径。为了作好准备来数学地处理这样的装置，我们将从一个事例开始。在这个事例中，电路包括两个很长的平行导体，两端用另外的导体互相连接，而我们将把自己的注意力集中在离导体两端很远的那一部分电路上，以便他们并非无限长这一事实不会对力的分布有任何可觉察的影响。

我们将把 z 轴取得平行于导体的方向，于是，由所考虑的那一部分场中的装置的对称性可知，一切事物都将依赖于矢势的平行于 z 的分量 H．

由方程组(A)可知，磁感的分量变成

dH

a = dy , (1)

b = − dH ， (2)

dx

c=0．

为了保持普遍性，我们将假设磁感系数为μ，于是就有 a=μα，b=μ β，式中α和β是磁力的分量。

第 607 节中的电流方程组(E)给出

dβ dα

v = 0,4πw = dx − dy ．(3)

683．]如果电流是离 z 轴的距离 r 的函数，而我们写出x=rcosθ和 y=rsinθ，(4)

并且用β来代表沿着一个方向的磁力，在那个方向上θ是垂直于通过 z 轴的平面来量度的，那么我们就有

4πw = dβ 1 1 d

dr r r dr

(βr)．

考虑一个截面，由 xy 平面上的一个以原点为心而以 r 为半径的圆包围而成，如果 C 是通过这一截面的总电流，则有

C = ∫0 2πrwdr

= 1 βr．(6)

2

因此就可以看到，由分布在以 z 轴为公共轴的一些柱状层中的电流在给定点上引起的磁力，只依赖于通过介于所给点和轴线之间的那些层的电流的总强度，而不依赖于电流在不同柱状层中的分布。

例如，设导体是一条半径为 a 的均匀导线，并设通过导线的总电流为C，于是，如果电流是均匀地分布在截面的一切部分上的，则 w 将是常量而

C = πwa ²． (7)

设 r 小于 a，通过半径为 r 的一个圆形截面的电流就是 C′=πur2．由

此可见，在导线内部的任一点上，

β = 2C' = 2C r

．(8)

r a ²

在导线外面，

β = 2 C ．(9) r

在导线的材料内并不存在磁势，因为在一个载有电流的导体内，磁力并不满足有势的条件。

在导线外面，磁势是

Ω = −2Cθ． (10)

让我们假设，导体不是一条导线而是一根金属管子，其外半径和内半径是 a1 和 a2，那么，如果 C 是通过管状导体的电流，则

C = πw(a ² − a ² )．

(11)

在管内，磁力是零。在管子的金属中，r 介于 a1 和 a2 之间，我们有

1 a ²

而在管外，则

β = 2C

a ² − a ²

( r − ² )，

r

(12)

β = 2 C ， (13)

r

这个值是和电流通过实心导线时的值相同的。

684．]任一点上的磁感是 b=μβ，而既然由方程(2)可有

b = − dH ，(14) dr

那就得到

H = −∫ μβdr． (15)

管外的 H 值是

A − 2μ0 C log r，

(16)

式中μ0 是管外空间中的μ值，而 A 是一个常量，其值依赖于返回电流的位置。

在管子的物质中，

H = A − 2μ Clog a +   μC (a ² − r ² + 2a ² log r )．(17)

0 1 a 2 − a 2 1 2

在管内的空间中，H 是常量而且

2a ² a

H = A − 2μ C log a + μC(1 + ² log ² )．(18)

0 1 a 2 − a 2 a

685．]设电流由一个返回电流来补全，返回电流沿一条平行于第一条管子的导线或管子而流动，二电流的轴线之间的距离是 b．为了确定体系的动能，我们必须计算积分

T = 1 ∫∫∫ Hwdxdydz．(19)

如果我们把注意力集中在体系的一个部分，该部分介于两个垂直于导体的轴线而相距为 l 的平面之间，则表示式变为

T = 1 l∫∫ Hwdxdy．(20)

如果用一个撇号来区分属于返回电流的量，则我们可以把此式写成

2T = ∫∫ Hw'dx'dy'+∫∫ H' wdxdy + ∫∫ Hwdxdy + ∫∫ H' w' dx'dy'．(21)

既然电流在管外任一点上的作用和把相同的电流集中在管轴上时的作用相同，返回电流的截面上的 H 平均值就是 A-2μ0Clogb，而正向电流的截面上的 H′平均值就是 A′-2μ0C′logb．由此可见，在 T 的表示式中， 前两项可以写成

AC'−2μ 0 CC'log b, 和A'C'−2μ 0 CC' log b．

按照通常的方法来求这些项的积分，把结果加起来并记得 C+C′=0，

我们就得到动能T的值。把这个值写成 1 LC²，式中L是由两个导体构成

2

的体系的自感系数，我们就得到长度为 l 的那一部分体系的自感系数

L b²

1 a ² − 3a ²

4a ⁴ a 

= 2μ

log

+ μ 1 2 + 2 log 1 



l a1a1 '

2  a ² − a ²

(a ² − a ^{2 2}

a 2 

1 a

'² −3a '²

4a '⁴

a ' 

+ μ'  1 2 + ² log ¹ ．(22)

2  a1

'² −a '²

(a1

'² −a

'2 ) 2

a2 ' 

如果各导体是实心的导线，则 a2 和 a2′为零，而

L = 2μ l 0

log

b2 +

a1a1 '

1 (μ + μ' )． ①(23)

2

只有在铁导线的事例中我们才有必要在计算他们的自感时照顾磁感应现象。在其他的事例中，我们可以令μ0、μ和μ′都等于 1。导线的半径越小，他们之间的距离越大，则自感越大。两

段导线之间的推斥力 R 的计算

686．]由第 580 节，我们得到倾向于增大 b 的力为

X = 1 dL C² ，

2 db

= 2μ

l C²，(24)

0 b

而当像在空气中那样μ0=1 时，此式就和安培的公式相一致。

687．]如果各导线的长度和他们之间的距离相比是很大的，我们就可以利用自感系数来确定起源于电流的作用的导线的张力。

如果 Z 是这种张力，则

Z = 1 dL C²，



= C² μ

 0

log

2

b2

a1a1 '

dl

μ + μ'

+ ．



(25)

① {如果各导线是磁性的，则在他们中感应出来的磁性将扰动磁场，从而我们就不能应用以上的推理。方程(22)、(23)和(25)只有当μ=μ′=μ0 时才是严格正确的。}

在安培的一个实验中，平行导体是用一个导线浮桥来互相连接的两个汞槽。当一个电流从一个槽的端点流入而沿槽流到浮动导线的一端，并经过浮桥而沿着第二个槽流回时，浮桥就沿着槽而运动，以增长电流所流过的那一部分汞。

泰特教授曾经简化了这一实验的电学条件。他把导线换成了一个漂浮着的充了汞的玻璃虹吸管，这样电流在它的全程中就是在汞中流动的了。这一实验有时也被举出，以证明一个电流的位于同一直线上的两个电

流元是互相推斥的，并从而证明指示了共线电流元之间的这种推斥力的安培公式比没有给出共线电流元之间的任何作用的格喇斯曼公式更加正确。请参阅第 526 节。

但是，很显然，既然安培公式和格喇斯曼公式对闭合电路来说都给出相同的结果，而且我们在实验中只能有闭合的电路，那么实验的任何结果就都不能对这些理论中的任何一种理论更有利些。

事实上，两种理论都导致和以上已经给出的推斥力值恰恰相同的值； 在这些公式中，平行导体之间的距离 b 都显现为一个重要的因素。

当各导体的长度并不比他们之间的距离大得多时，L 值的形式就会变得更加复杂一些。

688．〕当导体之间的距离减小时，L 的值就减小。这种减小过程的极限就是当导体互相靠紧时，也就是当 b=a1+a1′时。在这种事例中，如果μ

₀=μ=μ'=1，就有

 (a + a ' )² 1

L = 2llog ^{1 1} + 

(26)

 a 1a1 ' 2 

当 a1=a1′时此式有极小值，那时就有

L = 2l（log4 + 1 ），

2

= 2l（1.8863），

= 3.7726l． (27)

这就是当一根圆柱形的导线从中间对折合并在一起时的最小的自感值，导线的总长度为 2l。

既然两部分导线必须是互相绝缘的，自感就绝不会真正达到这个极限值。通过用扁平的金属片来代替圆柱形导线，自感可以不受限制地被减小。

关于沿一个柱状导体产生一个变强度电流时所需要的电动势

689．〕当一根导线中的电流具有变化的强度时，由电流对自己的感应所引起的电动势在导线截面的不同地方是不同的，这通常既是时间的函数又是离导线轴的距离的函数。如果我们假设圆柱状的导体由一束全都形成同一电路的一部分的导线沟成，以致电流被迫在线束截面的每一部分上具有均匀的强度，则我们迄今一直使用的方法将是严格适用的。然而，如果我们假设圆柱状的导体是一个实心的物体，而电流可以在该物体中服从着电动势而自由地流过，电流强度就不会在不同的离柱距离处是相同的，而

电动势本身也将依赖于电流在导线的不同柱状层中的分布。

任一点上的矢势 H、电流密度 w 和电动强度，都必须被看成时间和离导线轴的距离的函数。

通过导线截面的总电流 C 和沿着电路而起作用的电动势 E 都要被看成变量，他们之间的关系是我们必须求出的。

作为 H 的值，让我们假设H=S+T0+T1r2+⋯+Tnr2n+⋯，(1)

式中 S、T0、T1 等等是时间的函数。于是，由方程

d² H 1 dH

dr ² + r

我们就得到

dr = -4πw，

(2)

-πw=T1+⋯+n2Tnr2n-2+⋯。(3)

如果ρ代表物质之单位体积的比电阻，则任一点上的电动强度是ρw， 这个电动强度可以借助于第598 节中的方程组(B)而用电势ψ和矢势H 表示出来，

ρw = − dΨ - dH ，(4)

dz dt

或者写成

• ρw = dΨ + dS + dT0 + dT1 r ² + dTn r ²ⁿ +

．(5)

dz dt dt dt dt

比较方程(3)和(5)中的 r 同次幂的系数，就得到

T =  π ( dΨ + dS + dT0 )，(6)

¹ ρ dz dt dt

T = π

1 dT₁ ，

(7)

² ρ 2² dt

T = π

1 dTn −1 ．

(8)

n

由此我们可以写出

ρ n ² dt

dS

dt = -

dΨ

dz ，

(9)

π dT

π ⁿ 1

d ⁿT

T0 = T，T1 = ρ

dt ，

Tn = ρn

(n!) ²

dt ⁿ

．(10)

690．〕为了求出总电流 C，我们必须在半径为 a 的导线截面上求出 w 的积分，

C = 2π ∫0 wrdr．(11)将方程(3)中的πw 值代入此式，我们就得到C=-(T1a2+⋯+nTna2n+⋯)。(12)

导线外面任一点上的 H 值只依赖于总电流 C 而不依赖于该电流在导线内的分布方式。因此我们可以假设 H 在导线表面上的值是 AC，此处 A 是要根据电路的一般形状而通过计算来确定的一个常量。当 r=a 时令 H=AC，我们就得到

AC = S + T + T a² + + T a ²ⁿ +

．(13)

0 1 n

如果我们写出

有

πa ²

ρ

= a，则a是单位长度导线的电导值，从而我们就

C = −(a dT

dt

+ 2a²

1².2²

dT

d ²T