 

• OR ² BOC+ OS² ． COD ．

  1. 两个图形并不一定是不同的，因为我们可以求出同一图形上每两个点之间的距离的几何平均值。例如，对于一条长度为 a 的直线来说，有

logR = loga - 3 ，

2

或者写成

3

R = ae- 2 ，

R = 0.22313a．

1. 对于边长为 a 和 b 的长方面积来说，

log R = log

1 a ²

− 6 b ²

log

1 b²

− 6 a ²

log

+ 2 a tan ⁻¹ b + 2 b tan ⁻¹ a − 25 ．

3 b a 3 a b 12

当长方形是一个边长为 a 的正方形时，有

1 π

logR = loga + 3 log2 + 3

R = 0.44705a．

- 25 ，

12

1. 一个点到一条圆周曲线的几何平均距离，等于它到圆心的距离和圆的半径这两个量中较大的一个量。

2. 因此，任一图形到以两个同心圆为边的一个圆环的几何平均距离， 如果图形完全位于环外就等于该图形到圆心的几何平均距离，但是如果它完全位于环内，则

a ² log a − a ² log a 1

log R = ^{1 1 2 2} − ，

a ² − a ² 2

式中 a1 和 a2 是环的外半径和内半径。在这一事例中，R 和位于环内的图形的形状无关。

1. 环上所有各对点的几何平均距离，由方程

a ⁴ a

1 3a

2 − a 2

logR = loga

− 2 log 1 + 2 1 ．

来求得。

¹ (a ² − a ² ) ² a 4 a ² − a ²

2

对于一个半径为 a 的圆面积来说，此式变成

logR = loga - 1 ，

4

或者写作

1

-

R = ae 4 ，

R=0.7788a。

对于一条圆周曲线来说，此式变成

R=a。

{对于半轴长为 a 和 b 的一个椭圆面积来说，有

logR = log a + b − 1 ．



2 4 

1. 〕当计算一个截面均匀而曲率半径远大于横截面线度的线圈的自感系数时，我们首先用已经描述过的方法来确定截面上每一对点的距离的几何平均值，然后再计算具有所给形状的彼此隔开这样一个距离的两个线状异体之间的互感系数。

当线圈中的电流为 1 而且电流在截面的所有各点上均匀分布时，这样求得的结果就将是自感系数。

但是，如果线圈共有 n 匝，我们就必须把已经求得的系数乘以 n2，这样我们就将得到自感系数，所根据的假设是导线的各匝填满了线圈的截面。

但是导线是圆柱状的，而且是用绝缘材料包着的，因此电流就不是均匀地分布在截面上而是集中在截面的某些部分上的，而这就会增大自感系数。除此以外，相邻导线中的电流并不是和在一条给定导线中均匀分布的那种电流具有相同的导电截面。

起源于这些考虑的各个改正量，可以用几何平均距离法来确定。他们正比于线圈中整条导线的长度，并且可以表示成我们必须乘在导线长度上以得出正确的自感系数的一个数字。

设导线的直径是 d，导线被包以绝缘材料，并绕成一个线圈。我们将假设导线的各个截面是按正方形次序排列的，如图 45 所示；而且我们也将假设，每一条导线的轴线和其次一条导线的轴线之间的距离，不论在线圈的宽度方向上还是在它的深度方向上都是 D，D 显然大于 d。

我们首先必须确定单位长度的直径为 d 的柱状导线比单位长度的边长为 D 的方截面导线在自感方面多出的量，或者说，

2log R对正方形而言

R对圆开言

= 2(log D + 4 log 2 π 11

d 3 + 3 − 6 )

D

= 2（log d + 0.1380606）。

八条最近的圆柱导线对所考虑的导线的感应作用，比对应的八条方导线对中间那条方导线的感应作用要小 2×(0.01971)①。

对于相距更远的导线来说，改正量可以忽略不计，而总的改正量就可以写成

① {为了得到这一结果，我们注意：对圆柱导线来说，平均距离是他们圆心之间的距离；对两条并排的正方形导线来说，平均距离是 ．请参阅 Mzxwell，Trans．R．S．Edinburgh，p．733，1871—72。曾经盛情地重算了这种改正量的克瑞先生发现，采用了麦克斯韦的数字，改正量是 2× 0.019635 而不是 2× 0.019671。这种工作如下：对于 8 根方截面导线有 对于圆柱导线有 由此即得 以及 这就给出总的改正量为 然而也有可能，在计算这一改正量时，麦克斯韦曾经使用比在他的论文中给出的准确到更多小数位的一些平均距离值。}

2(log e

因此最后的自感值就是

D + 0.11835)

d

L = n²M + 2l（log D + 0.11835），

e d

式中 n 是匝数，l 是导线的长度，M 是相距为 R 的两个具有线圈之平均导线的形状的电路之间的互感，此处 R 是截面上各对点之间的几何平均距离。D 是相邻导线之间的距离，而 d 是导线的直径。

第十四章圆电流

由一个圆电流引起的磁势

1. 〕由一个载有单位电流的电路在一个给定点上引起的磁势，在数值上等于该电路对该点所张的立体角；参阅第 409、485 节。

当电路是圆形的时，立体角就是一个二次锥面的立体角；而当所给点位于锥面的轴线上时，曲面就变成一个正圆锥面。当点不位于轴线上时， 锥面是一个椭圆锥面，而立体角就在数值上等于它在单位半径的球面上切出的球面椭圆的面积。

这个面积可以借助于第三类椭圆积分来表示成有限数的项。我们将发现，把它展成球谐函数的无限级数是更加方便的，因为利用这样的级数来一般地进行数学运算的简易性，不仅仅抵消了计算足以保证实际精确度的若干项时的繁琐性。

为了保持普遍性起见，我们将假设原点位于圆的轴线上，也就是说位于通过圆心而垂直于图形平面的直线上。

设 O 是圆心（图 46)，C 是轴线上我们取作原点的那个点，H 是圆上的一点。

C 为心，以 CH 为半径画一个球。圆将位于这一球面上，并将形成一个角半径 a 的小圆。

设CH=c，

OC=b=ccosa， OH=a=csina。

设 A 是球的极点，Z 是轴线上的任意点，并设 CZ1=z。设 R 是空间中的任意点，并设 CR=r，而 ACR=Q。

设 P 是 CR 和球面相交的一点。

由圆电流引起的磁势等于由一个以电流为边界而具有单位强度的磁壳所引起的磁势。既然磁壳表面的形式只要以圆为边界就行，我们就可以假设它和球的表面相重合。

我们在第 670 节中已经证明，如果 V 是由展布在球面上小圆内部的面积上的一个单位面密度的物质层所引起的势，则由一个以相同的圆为边界而具有单位强度的磁壳所引起的磁势ω就是

ω = - 1 d （rV）。

c dr

因此我们首先必须求出 V。

设所给的点位于圆的轴线上的 Z 点，则由球面上位于 P 点的面积元 dS 在 Z 点引起的那一部分势是

dS ZP

这个量可以展成下列两个球谐函数级数中的一个：

dS  z zⁱ 

c P0 + P1 c + + Pi c i + ，

dS  c c ⁱ 

z P₀ + P₁ z + + P_i zi + ，

第一个级数当 z 小于 c 时是收敛的，而第二个级数当 z 大于 c 时是收敛的。写出

dS=-c2dμdφ，

并在 O 到 2π的界限内对φ积分，并在 cosα和 1 的界限内对μ积分，我们就得到

 1 zⁱ 1 

V = 2πc∫cos a P0 dμ + + ci ∫cosa Pidμ +

，(1)



c²  1 cⁱ 1 

V' = 2π

z ∫cosa P₀dμ + + z i ∫cosa P_idμ +

，(1')



由 Pi 的本征方程就有

i(i + 1) P + d 

− μ² ) dPi  = 0

由此即得

_i dμ (1

1 1− μ ²dP

dμ 

∫ P dμ = ⁱ (2)．

μ i i(i + 1)dμ

这个方程当 i=0 时不成立，但是既然 P0=1，就有

∫μ P0dμ = 1 − μ．(3)

既然函数 dPi 出现在这一探讨的每一部分之中，我们就将用一个简

dμ

写符号P^'来代表它。和若干i值相对应的P^'值在第698节中给出。

i i

现在，通过把 z 换成 r，并用θ的同阶带谐函数分乘每一项，我们就能针对任一点 R 写出 V 的值，而不论 R 是否位于轴线上了。因为 V 必然能够被展成系数适当的θ的带谐函数的级数。当θ=0 时，每一个带谐函数都变为 1，而 R 就位于轴线上。由此可见，各个系数就是位于轴线上的一点处的 V 的展式中的那些项。于是我们就得到两个级数



V = 2πc1 − cos α + +

sin² α

r P^' (a)P (θ) +



，(4)



c² 

i(i + 1) c^{i i i} 

sin² αrⁱ 

V' = 2π r

1− cosα + +



P^' (a)P (θ) +

i(i + 1)c ^{i i i}

，(4')



1. 〕现在我们可以利用第 670 节中的方法来由一个方程求出电路的磁势ω了，那就是

ω = − 1 d (Vr)．

(5)

于是我们就得到两个级数ω=-2π{1-cosα+⋯

c dr

sin² αrⁱ

+

r P^' (a)，P (θ) +



， (6)

i ci i i 

1 c²

ω' = 2π sin² α

2 r ²

Pi '(a)Pi (θ) +

1 c i+1

+

P^' (a) P (θ) +



．(6')

i + 1 r i +1 i i 

级数(6)对一切小于 C 的 r 值为收敛，而级数(7)对一切大于 C 的 r 值为收敛。在球面上，r=c，两个级数当θ大于α时也就是在不被磁壳所占据的各点上给出相同的ω值，但是当θ小于α时，也就是在磁壳上的各点上， 却有

ω'=ω+4π(7)

π

如果我们取圆心O作为座标原点，我们就必须令α = 2 ，而两个级

数就变为

ω = −2π + r P (θ) + +

1 _i



1.3 (2s − 1) r ^2s+1 

(一)^s P (θ) +  ，(8)

1. 2s

 1 c²

c2s+1 2 s+ 1 

ω = +2π2 r 2 P1 (θ) + +

1.3

(2s + 1)

c2s+ 2 

(一) ^s P

(θ) +

，(8')

2.4

(2s + 2) r 2 s+2 2s+1 

式中所有球谐函数的阶次都是奇数①。

关于两个圆电流的势能

1. 〕让我们在开始时假设和电流等价的两个磁壳各为两个同心球的一部分，二球的半径是 c1 和 c2，而 c1 较大（图 47）。让我们也假设两个磁壳的轴线互相重合，并假设α1 是由第一个磁壳的半径在 C 点上所张的角，而α2 是由第二个磁壳

①一个圆所张的立体角的值，可以用更直接的方法得出如下：一个圆在位于轴线上的一点 Z 上所张的立体角很容易证明为

ω = 2π(1− 2 − cos α)

HZ

把这一表示式按球谐函数展开，我们就分别对应于 z 小于 c 和 z 大于c 的位于轴线上的各点得到ω的展式：

① 一个圆所张的立体角的值，可以用更直接的方法得出如下：一个圆在位于轴线上的一点 Z 上所张的立体角很容易证明为 把这一表示式按球谐函数展开，我们就分别对应于 z 小于 c 和 z 大于 c 的位于轴线上的各点得到ω的展式： 很容易证明，这些结果是和正文中的结果相一致的。

ω = 2π(cos α + 1) + (P (a) cosα − P (a)) z +

 i 0

 c

zⁱ 

• (P_i (a) cosα − P_i−i (a)) ci + ,

ω' = 2π α − (P (a)) c +

( P_i (a) cos



i z

ci+1 

+ (P_i (a) cosα − P_i+1 (a)) zi+1 + ,

很容易证明，这些结果是和正文中的结果相一致的。的半径在 C 点上所张的角。

设ω1 是由第一个磁壳在它内部任一点上引起的磁势，则把第二个磁壳搬到无限远处时所需要的功是在第二个磁壳上计算的一个面积分

M = − dω1 dS

dr

的值。由此即得

1

M

2

dω1 2πc

dr ²

²dμ ，

= 4π² sin² a c

₂  1

P ' (a )

P (θ)dμ +

c i− 1

1 2 

 1

1

1 1 ∫ 1 2

2



ci i

1 ∫μ i 

或者，把第 694 节的方程(2)中的积分值代入此式，就得到

M = 4π2sin²α1sin² α c

1 c2 P '(a

) P '(a

)P ' (a ) +

1 c ⁱ

2 2 2 c i



1 1 1 1 2

+ ² P ^'(a i(i + 1) c ^{i i 1}

)P^' (a ) + ．



①

1. 〕其次让我们假设，其中一个磁壳的轴线以 C 为心发生一次转动，以致它现在和另一个磁壳的轴线成一角度θ（图 48）。我们只要把θ的带谐函数引入到 M 的这一表示式中就行了。于是我们就得到更普遍的 M 值，

M = 4π² sin² α

sin² α c

2 1 c2 P^' (a

)P^' (a

)P (θ) +

1 2 2 2 c

1 1 1 2 1

 1

1 c ⁱ 

+ ² P'(a i(i + 1) c ^{i 1}

)P ^' (a

)P_i (θ)．



①

这就是由两个单位强度的圆电流的相互作用所引起的势能；两个电流的相对位置是，通过圆心的法线以角度 Q 相交于一点 C，从而圆周到 C 点的距离是 c1 和 c2，其中 c1 较大。

① 见前页脚注。

图 48

如果任一位移 dx 将改变 M 的值，则沿位移方向作用着的力是

X = dM

dx

例如，如果其中一个磁壳的轴线可以绕 C 点而自由转动以引起 Q 的变化，则倾向于增大θ的力矩是Θ，此处

Θ = dM

dθ

完成微分计算并记得

dPi (θ) = − sin θP^' (θ),

dθ ⁱ

式中P^'的意义和在以前的方程中的意义相同，就得到

Θ = −4π ² sin ² α

sin ² α sinθc 1 c2 P ' (a

)P ' (a )P ' (θ) +

1 2 2 2 c

1 1 1 2 1

1 c ⁱ 

+ ² P '(a i(i + 1) c ^{i i 1}

)Pi '(a 2

)P_i ' (θ)



1. 〕既然 Pi＇的值经常出现在这些计算中，下面这个前六阶的函数值表可能是有用的。在这个表中，μ代表 cosθ而 v 代表 sinθ．

P1′=1，

P2′=3μ，

P ' = 3 (5μ² − 1) = 6(μ² − 1 v² ),

3

P4 '

2

5

= 2 μ(7μ

4

² − 3) = 10μ(μ ²

− 3 v² ),

4

P ' = 15 (21μ ⁴ − 14μ² + 1) = 15( ⁴ 3 2 v² + 1 v⁴ ),

₅ 8 μ − 2 μ 8

P ' = 21 μ(33μ⁴ − 30μ ² + 5) = 21μ( ⁴ 5 2 v ² + 5 v⁴ )

₆ 8 μ − 2 μ 8

1. 〕有时用以下一些线性量来表示 M 的级数式是方便的。设 a

   是较小电路的半径，b 是电路的平面离原点的距离，而

设 A、B 和 C 是较大电路的各个对应量。于是 M 的级数式就可以写成

A 2

M = 1.2.π² α² cos θ

C3

A ²B

+ 2.3.π² a ²b(cos² θ −

C5

A ² (B² − 1 A ² )

1 sin² θ)

2

+ 3.4.π² 4 a ² (b² − 1 a ² )(cos³ θ − 3 sin² θ cos θ)

C⁷ 4 2

+

如果我们令θ=0，两个圆就变成平行的并具有相同的轴线。为了确定

他们之间的吸引力，我们可以对 b 求 M 的导数。于是我们就得到



dM A²a²  B

= π² 2.3

B2

+ 2.3.4

− 1 A ² 

4 b + 

db C⁴  C



C3 



1. 〕当计算长方形截面的线圈的效应时，我们必须把已经求得的各表示式对线圈的半径 A 和对线圈平面离原点的距离 B 求积分，并把积分展布在线圈的宽度和深度上。

在某些事例中，直接积分是最方便的，但是也有另外一些事例，那时下列的近似方法会导致更有用的结果。

设P是x和y的任一函数，并设需要求出求出的P值，此处

Pxy = ∫

+ 1 x

2

+ 1 y

2 Pdxdy．

− 1 x

2

− 1 y

2

在这一表示式中，P是P在积分限中的平均值。

设 P0 是当 x=0 和 y=0 时的 P 值，则利用泰勒定理来展开 P，即得

dP dP

1 d² P

P = P + x ⁰ + y ⁰ +

x2 0 + ．

⁰ dx

dy 2

dx²

在积分限内积分这一表示式并将所得结果除以xy，我们就得到P

的值，

1 d² P d ²P

P = P +

(x2 0 + y2 0 )

⁰ 24

1

dx²

d ⁴P

dy²

d⁴ P 1

d ⁴P

+ ( x^{4 0} + y^{4 0} ) + x² y^{2 0} + ．

1920

dx ⁴

d4⁴

576

dx²dy²

在线圈的事例中，设外半径和内半径分别是A + 1 ξ和A - 1 ξ，并设

2 2

各线匝平面到原点的距离介于B 1 和 B

1 之间，则线圈的宽度是η

+ 2 η

而其深度是ζ，这些量远小于 A 或 B．

− 2 η

为了计算这样一个线圈的磁效应，我们可以把第 695 节中的级数(6) 和(6′)中的相继各项写成下列形式：

G0 = π

B (1 + 1

C 24

2A² − B²

C4

ξ ² −

1 A²

8 C⁴

η² + )，

A² 1 2 B² 1 4B² − A²

G = 2π

1 + − 15 ξ² +

η² + ，

1 C3

24 A ² C⁴

8 C⁴

G = 3π

A²B 

1 +

1 2 25 35A²

( − +



)ξ² + 5

4B² − 3A²

η² + ，

2 C5 

24 A ² C² C⁴

24 C⁴ 

A ² ( B² − 1 A ² )

G = 4π 4 +

3 C7

π ξ ²

24 C¹¹

5 πη²

{C⁴ (8B² − 12A ²

+ 35A ² B² (5A ² − 4B² )} +

8

等等，等等；

C11

A ²{A ⁴ − 12A ² B² + 8B⁴ },

g = πa² + 1

12

πξ² ,

g = 2πa ²b

1

+ 6 π

bξ ² ,

g = 3πa² (b² − 1 a ² )

3 4

π

+ 8 ξ

(2b² − 3a ² )

π

+ 4 η

2 a2 ,

等等，等等。

G0、G1、G2 等等的量属于大线圈。在 r 小于 C 的各点上，ω的值是ω＝－2π+2G0-G1rP1(θ)-G2r2P2(θ)—⋯

g1、g2 等等的量属于小线圈。在 r 大于 C 的各点上，ω′的值是

ω' = g 1 P (θ) + g 1 P (θ) +



1 r 2 1 2 r 3 2

当通过每一线圈的截面的总电流都为 1 时，一个线圈相对于另一线圈而言的势是

M=G1g1P1(θ)+G2g2P2(θ)+⋯

用椭圆积分来求 M

1. 〕当两个圆的圆周之间的距离和小圆的半径相比具有中等大小时，已经给出的级数并不是迅速收敛的。然而，在每一事例中，我们都可以利用椭圆积分来求出两个平行圆的 M 值。

因为，设 b 是二圆连心线的长度，并设这一直线垂直于二圆的平面， 并设 A 和 a 是二圆的半径，则有

M = ∫∫ cos ∈dsds' ,

积分展布在两条曲线上。在这一事例中，有

r2=A2＋a2＋b2—2Aacos(φ—φ')，

∈＝φ—φ'，ds＝adφ，ds'＝Adφ'，

2π 2 π

M

0 0

= −4π  − 2 )F + 2 



Aa (c



式中

F,



c = ,

而 F 和 E 是以 C 为模的完全椭圆积分。由此，记得

dF = 1 {E − (1 − c² ) F}， dE = 1 (E − F)，

dc c(1 − c² )

并记得 c 是 b 的函数，我们就得到

dc c

dM =   π bc {(2 − c² )E − 2(1 − c² )F}．

db 1− c ²

如果 r■和 r■代表 r 的最大值和最小值，则

r12＝(A＋a)2+b2，r22＝(A—a)2+b2，

而如果取一个角γ，使它满足cosγ = r2 ，则

r1

dM = −π b sinγ {2F

− (1 + sec² γ )E }，

db γ γ

式中 Fγ和 Eγ代表以 sinγ为模的第一类和第二类完全椭圆积分。

如果A = a，则cotγ = b ，而

2a

dM = −2π cos γ{2F − (1+ sec² γ)E }．

db γ γ

• dM 这个量就代表当每一电流都等于1时两个平行的圆形电路之间

db

的吸引力。

有鉴于 M 这个量在电磁计算中的重要性，已经在角γ值的 60 度到 90

度之间按6′的间隔造了log（M / 4π Aa ）值的表，这种值只是c的函

数，从而也只是γ的函数。这个表见本章的一个附录。

M 的第二个表示式

M的一个有时更便于应用的表示式，是通过令c = r1 − r2 而得到的；

¹ r + r

在这种情况下，就有

① M = 8π

{F(c

₁) − E(c1

1 2

)}．

圆电流的磁力线的画法

1. 〕磁力线显然位于通过圆的轴线的平面上，而在每一条磁力线上M 值是不变的。

试利用勒让德的表来针对足够多的θ值算出

sinθ

K_θ =

sin θ

• E sin θ

)2 的值。

在纸上画出直角座标的 x 轴和 z 轴{原点在圆心上，而 z 轴为圆的轴线｝，

并以点

1 （sinθ + cosecθ）为心，以 1 a（cosecθ - sinθ）为半径

x = 2 a 2

画一个圆。对于这个圆上的所有各点来说，c1 的值都将是 sinθ．由此可见，对于这个圆上的所有各点来说，都有

M = 8π

1

和A = 64π2

M ²Kθ

a ．

喏，A 就是针对它来求了 M 值的那个 x 值。因此，如果我们画一条 x=A 的直线，它就会和圆相交于 M 具有给定值的两点。

使 M 按等差序列取一系列值，A 的值就是一系列平方项。因此，画一系列平行于 z 的直线，使他们的 x 取已经求得的那些 A 值，则这些直线和

圆相交的各点，就将是对应的力线和圆相交的那些点。如果我们令 m=8πa 而 M=nm，则有

A=x=n2Kθa．

我们可以把 n 叫做力线的指示数(index)．

这些力线的形状在本卷末尾的图版十八上给出。这是根据 w．汤姆孙爵士在他的论文<涡旋运动>①中给出一张图复制而成的。

1. 〕如果一个具有给定轴线的圆的位置被认为是由圆心和轴上一个固定点之间的距离 b 以及圆的半径 a 来确定的，则这个圆对任何一个不论什么样的磁体或电流的体系而言的感应系数 M 都满足下列的方程：

d² M + d ²M − 1 dM =

da ²

db²

a da

0．(1)

为了证明这一点，让我们考虑当 a 或 b 变化时被圆所切割的磁力线的条数。

1. 设 a 变成 a+δa 而 b 保持不变。在变化过程中，扩大着的圆在它自己的平面上扫过了一个宽度为δa 的环形面积。

如果 V 是任一点上的磁势，而 y 轴平行于圆的轴线，则垂直于圆环平

dV

面的磁力是 − dy ．

为了求出通过环形面积的磁感，我们必须计算积分

− ∫2 π aσa dV dθ，

0 dy

但是这个量代表由 a 的变化而引起的 M 的改变量，或者说代表

dM σa．由此即得

da

dM = −∫2π a dV dθ．(2)

da 0 dy

1. 设 b 变成 b+δb 而 a 保持不变。在变化过程中，圆扫过一个半径为a 而长度为δb 的柱面。｛而穿过这一柱面的力线就是那些不再穿过圆的力线。｝

任一点上垂直于这一曲面的磁力是 − dV ，式中r是离轴线的距离。

dr

由此即得

dM = ∫2 π a dV dθ． (3)

db 0 dr

对 a 求方程(2)的导数而对 b 求方程(3)的导数，我们就得到

d² M

2π dV

2π d ²V

由此即得

da ²

d² M

db²

= −∫0

= −∫0

dy dθ − ∫0

d ² V

a drdy dθ．

a drdy dθ，(4)

(5)

① Trans.R.S.Edin,vol.xxv.p.217(1869)．

d² M

da ²

d ²M

• db ²

dV

0 dy dθ，(6)

= 1 dM ，据(2)．

a da

把最后一项移到左端，我们就得到方程(1)。

当弧间距离远小于各圆的半径时两个平行圆的感应系数

1. 〕在这一事例中，我们可以由已经给出的椭圆积分当他们的模近似于 1 时的展式推得 M 的值。然而下述的方法却是电学原理的一种更直接的应用。

初级近似

设 a 和 a+c 是二圆的半径而 b 是他们的平面之间的距离，则他们的圆周之间的最短距离由下式给出：

我们必须求出由一个圆中的单位电流所引起的穿过另一圆的磁感。 我们将从假设两个圆位于平面上开始。考虑半径为 a+c 的那个圆上的

一段小弧δs。在圆的平面上离δs 中心的距离是ρ而此距离和δs 的方向成一角度θ的一个任意点上，由δs 引起的磁力垂直于该平面并等于

1

ρ2 sin θσs．

为了计算这个力在半径为 a 的圆上的面积分，我们必须求出下列积分的值：

1 π

2σs∫ 2

r₁ sinθ

dθdρ，

θ₁ r₂ ρ

式中 r1、r2 是方程

r2-2(a+c)sinθr+c2+2ac=0， 的根，也就是说，

另外并有

r1 = (a + c) sin θ +

r2 = (a + c) sinθ −

(a + c) ² sin² θ − c ² − 2ac， (a + c)² sin² θ − c² − 2ac，

sin² θ =

c² + 2ac

(c + a) ² ．

当 c 远小于 a 时，我们可以令r1=2asinθ，

r2=c/sinθ 。 对ρ求积分，就得到

1 π

2σs 2

θ1

log( 2a sin ² θ)， sin θdθ

c

π

= 2σ  θ2 − log( 2a sin² 

θ 2

2 log tan

s cos 

 

θ +

c  _θ

= 2σ log

 e

8a −

c



2 ，近似地。

于是我们就得到总的感应为

M = 4π log 8a − 2．

_ac a e c 

当距离远小于曲率半径时，任一点上的磁力和导线为直线时的磁力相近；既然如此，我们就可以（见第 684 节）利用公式

MaA-Mac=4πa{logec-loger}

来计算穿过半径为 a-c 的圆和穿过圆 A 的磁感之差。由此我们就得到，A 和 a 之间的感应近似地等于MAa=4πa(loge8a-loger-2)，

如果二圆间的最小距离 r 远小于 a 的话。 705．〕既然同一线圈上的两匝之间的互感在实验结果的计算中是一个

很重要的量，我现在就将描述一种方法，而利用这种方法，对 M 值的逼近可以进行到任意要求的精确度。

我们将假设 M 的值具有下列形式：

M = 4π

8a + ，

A log_e B

 

式中

x2

A = a + A1 x + A 2 a

y2

• A 2 ' a

x3

A 3 a2

+ A 3 '

xy²

a 2 ，

+ a −( n− 1) {x' 'A

• x ⁿ⁻²y ²A'

+x ⁿ⁻⁴ y⁴A' ' + } + ，

x2

B = −2a + B1x + B2 a

y 2

+ B2 ' a

x3

+ B3 a 2 + B3 '

xy²

a 2 + ，

此处 a 和 a+x 是二圆的半径，而 y 是他们的平面之间的距离。

我们必须确定系数 A 和 B 的值。很显然，只有 y 的偶次幂才能出现在这些量中，因为，如果 y 变号，M 的值必须保持不变。

我们也得到关于感应系数之倒易性质的另一组条件，因为不论我们把哪一个圆看成原电路，感应系数都应该是相同的。因此，当我们在以上各表示式中把 a 换成 a+x 而把 x 换成-x 时，M 的值必须仍然相同。

于是，通过令 x 和 y 的相同组合的系数彼此相等，我们就得到下列的倒易条件式：

A1=1-A1,B1=1-2-B1,

A = -A - A

，B = 1 − 1 A + A − B − B ，

3 2 3

3 2 1 2 2 3

A3′=-A2′-A3′,B3′=A2′-B2′-B3′；

(一) ⁿ A

= A 2 ( n − 2)A 3

+ (n − 2)(n − 3) A

1.2 4

• + A n ，

(一) ⁿ B

1 1

_n = − n + n − 1 A1 −

1

n − 2 A 2

• + (一) ⁿ A

n−1

+ B2 + (n − 2) B3

+ (n − 2)( n − 3) B

1.2 4

+ + B．

由第 703 节中关于 M 的普遍方程

d² M

dx²

d ²M

• dy ²

• dM a + x dx

= 0，

我们就得到另一组条件式， 2A2+2A′2＝A1，

2A2+2A′2+6A3+2A′3=2A2；

n(n-1)An+(n+1)nAn+1+1.2A′n+1.2A′n+1=nAn，

①(n-1)(n-2)A′ +n(n-1)A′ +2.3A″ +2.3A″

=(n-2)A′n，⋯； 4A2+A1=2B2+2B′2-B1=4A′2

6A3+3A2=2B′2+6B3+2B′3=6A′3+3A′2，

(2n-1)An+(2n+2)An+1=(2n-1)A′n+(2n+2)A′n+1

=n(n-2)Bn+(n+1)nBn+1+1.2B′n+1.2B′n+1．

求解这些方程并把各系数的值代入，M 的级数式就变成

①

8a  1 x x² + 3y ²

x³ + 3xy² 

M = 4πalog r 1 + 2 a +

16a ² −

32a³ + 

 1 x

3x² − y²

x³ − 6xy ² 

+ 4πa− 2 − 2 a +

16a ² −

48a ³

+ ．



当导线的总长度和粗细都已给定时试求自感系数最大的线圈形状

706．〕忽略第 705 节的改正量，我们由第 693 节就得到

L = 4πn ²α(log 8α − 2)，

R

式中 n 是导线匝数，a 是线圈的平均半径，而 R 是线圈横截面离它自己的几何平均距离。请参阅第 691 节。如果这个截面永远和它自己相似，则 R 正比于截面的线度，而 n 正比于 R2。

既然导线的总长度是 2πan，a 就和 n 成反比。由此即得

dn = 2 dR ，以及 da = −2 dR ，

n R a R

而我们就得到 L 具有极大值的条件

① {克瑞先生发现此式应为

① {克瑞先生发现此式应为

log 8α = 7 ．

R 2

如果线圈沟槽的横截面是圆形的，而其半径为 c,则由第 692 节得到

log R = − 1 ，

c 4

log 8α = 13 ，

c 4

由此即得

a=3.22c；

或者说，线圈的平均半径应该是线圈沟槽的截面积半径的 3.22 倍，以便这样一个线圈可以有最大的自感系数。这个结果是由高斯求出的②。

如果导线所绕的沟槽具有正方形的横截面，则线圈的平均直径应该是沟槽之正方截面的边长的 3.7 倍。

[附录Ⅱ

在两个同轴圆线圈这一很重要的事例中，瑞利勋爵曾在上表的应用方面建议了一个很方便的近似公式。这个适用于任意多个变数的公式见于Mr．Merrifield’s Report on Quadratures and Interpolation to the British Association，1880，而且据信是由已故的 H.J.颇尔金斯先生得出的。在现有的例子中，变数的个数是四。

设 n、n′是两个线圈上的匝数。a、a′是他们的中央匝的半径。b 是他们的中心之间的距离。

2h、2h′是二线圈的径向宽度。

2k、2k′是他们的轴向宽度。

另外又设 f（a，a′,b）是各中央线匝的互感系数。于是二线圈的互感系数就是

f(a + h，a' ，b) + f(a − h，a' ，b)

1 + f(a，a'+h' ，b) + f(a，a'−h' ，b)

nn'+ f(a，a' ，b + k) + f(a，a' ，b − k)

+ f(a，a' ，b + k' ) + f (a，a' ，b − k')

− 2f(a，a' ，b) ]

{附录Ⅲ

正方截面的圆线圈的自感

设-n 匝线圈的轴向宽度是 b 而径向宽度是 c，如果 a 代表它的平均半径，则借助于第 705 节中的级数来计算的自感，曾由WeinsteinWied.Ann.xxi.329 证明为等于

L=4πn2(aλ+μ)， 式中，把 b/c 写成 x，就有

② [这一结果可以利用第 704 节中所建议的方法来直接得出，就是说，利用在第 701 节求得的 M 表示式中的各椭圆积分的展式来直接得出。见 Cayley’sEuipticFunctions,Art ．75．]

λ = log 8a + 1 − πx − 1 log(1 + x² ) + 1 log(1+ x² )

c 12 3 2 12x ²

+ 1 x² log(1 + 1 ) + 2 (x − 1 ) tan ⁻¹ x，

12 x² 3 x

c²  8a 1 

μ = 

96a 

c − 2

log(1 + x² ) (1 + 3x² ) + 3.45x²



+ 221 − 1.6πx³ + 32.x³ tan⁻¹ x 60

− 1 1 log(1 + x ² ) + 1 x⁴ log(1 +



1 ) }

10 x²

2 x ² 

第十五章电磁仪器电流计

707．〕一个电流计就是一个用来通过电流的磁作用而显示或测量电流

的仪器。

当仪器的目的是指示一个微弱电流的存在时，它就叫做一个“灵敏电流计”。

当它的目的是利用标准单位在尽可能准确地测量电流时，它就叫做一个“标准电流计”。

所有的电流计都是依据了施外格尔倍加器的原理的；在这种倍加器中，一个电流被送入一根导线中，导线被绕好，使它多次地通过一个敞开的、里边放有一个悬挂磁体的空间，于是它就在该空间中产生一个电磁力， 而该力的强度就由那个磁体来指示。

在灵敏电流计中，线圈被安装得各匝占有对磁体影响最大的位置。因此各匝是挤得很紧的，为的是靠近磁体。

标准电流计要造得它的一切固定部件的尺寸和相对位置都可以被准确地得知，而且关于各活动部分的位置的任何小的不确定性都在计算中只造成尽可能小的误差。

在制造一个灵敏电流计时，我们要把磁体悬挂在那里的那个电磁力场弄得尽可能地强。在设计一个标准电流计时，我们希望把磁体附近的电磁力场弄得尽可能的均匀，并且希望知道用电流的强度表示出来的电磁力场的确切强度。

关于标准电流计

708．]在一个标准电流计中，电流的强度必须根据它对悬挂磁体作用的力来测定。喏，磁体中的磁量分布，以及当磁体被悬挂起来时它的磁心的位置，都是无法测定到多大的精确度的。因此就有必要很好地安排线圈， 使它在磁体在其可能的运动过程中所占据的全部空间中产生一个非常接近于均匀的力场。因此，一般说来，线圈的尺寸必须比磁体的尺寸大得多。

通过若干个线圈的适当排列，他们中的力场可以被弄得比只用一个线圈时更加均匀得多；这样，仪器的尺寸就可以被压缩，而它的灵敏度也可以被提高。然而线度测量的误差却在较小的仪器中比在较大的仪器中带来电流值方面的更大的不准量。因此人们不是通过仪器尺寸的直接测量而是通过和一个其尺寸更准确地已知的较大的标准仪器进行电学对比来确定小仪器的电学常量；见第 752 节。

在所有的标准电流计中，线圈都是圆形的。线圈的绕线槽制造得很仔细。它的宽度做得等于包皮线直径的某一倍数 n。槽边上钻有小孔，以便引入导线并抽出包皮导线的另一端而形成线圈的内连接。线槽装在一个车床上，而且有一个木轴固定在它上面，见图 49，一根长绳的一端钉在轴沿的某处，作为导线的入口。然后让整个装置转动起来，而导线就平滑而规

则地进入槽底直到槽底被几匝导线完全盖住时为止。在这个过程中，绳子已在轴上绕了几匝，于是就在第 n 匝处把一个钉子敲入绳中。绳子的各匝应该露在外边，以便计数。于是就测量第一层导线的周长并开始绕第二层。如此继续进行，直到层数合适时为止。绳子的用处在于数出匝数。如果由于某种原因而必须重绕线圈的某一部分，绳子也要倒回，以免我们记错了线圈上的实际匝数。钉子的作用在于区别每一层中的匝数。

每一层的周长的测量提供对绕线规则性的一种检验，并使我们能够计算线圈的电阻。因为，如果我们取线槽周长和外层周长的算术平均值再加上所有各中间层的周长并用层数去除这一和数，我们就将得到平均周长， 而由此我们就能推出线圈的平均半径。每一层的周长可以用钢卷尺来测量，或者更好的办法是用一个刻了度的轮子来测量，这个轮子在绕线过程中在线圈上滚动。钢卷尺上或轮子上的刻度值，必须通过和一个直尺对比来加以校准。

709．]线圈中的单位电流对悬挂着的仪器作用的力矩可以用一个级数来表示

G1g1sinθ＋G2g2sinθP2′(θ)＋⋯，

式中各个 G 系数和线圈有关，而各个 g 系数和悬挂仪器有关，θ是线圈轴线和悬挂仪器轴线之间的夹角；见第 700 节。

当悬挂的仪器是一个在中点上被挂起的长度为2l 而强度为1 的均匀纵向磁化的细磁棒时，就有

g1＝2l，g2＝0，g3＝2l3，⋯。

一个长度为 2l 的按任何别的方式磁化的磁棒的各系数值，小于它被均匀磁化时的各系数值。

710．]当仪器被用作一个正切电流计时，它的线圈是固定的，其平面是竖直的并平行于地球磁力的方向。在这一事例中，磁体的平衡方程就是

mg1Hcosθ=mγsinθ{G1g1+G2g2P2′(θ)+⋯}，

式中 mg1 是磁体的磁矩，H 是地磁力的水平分量，而γ是线圈中的电流强度。当磁体的长度远小于线圈的半径时，含 G 和 g 的第一项以后的各项可以忽略不计，于是我们就得到

γ = H G1

cot θ．

通常测量的角度是磁体的偏转角δ，它是θ的余角，从而 cotθ=tan δ。

于是电流和偏转角的正切成正比，从而仪器叫做“正切电流计”。 另一种办法是使整个仪器可以绕一个竖直轴而活动，并转动它直到磁

体的轴线平行于线圈平面而处于平衡时为止。如果线圈平面和磁子午面之间的夹角是δ，平衡方程就是

mg H sin σ − mγG g − 3 G g + ，

1

由此即得

 1 1



2 3 3 

γ = H (G 1 −

) sin σ

既然电流是用偏转角的正弦来量度的，当这样使用时仪器就叫做“正

弦电流计”。

只有当电流很稳定，以致我们可以认为它在调节仪器并使磁体达到平衡的过程中是恒定的时，正弦法才是可以应用的。

711．]其次我们必须考虑一个标准电流计中的线圈的装置。

在最简单的电流计中，只有单独一个线圈，而磁体就挂在线圈 的中心上。

设 A 是线圈的平均半径，ξ是它的深度，η是它的宽度，而 n 是匝数， 则各个系数的值是

2πn  1 ξ ² 1 η² 

G ₁ = A 1 + 12 A 2 − 8 A 2 ，

 

G 2 = 0，

πn  1 ξ² 5 η² 

G ₃ = − A 3 1+ 2 A 2 − 8 A 2 ，

 

G 4 = 0， ．

主要的改正量来自 G3 级数

G1g1+G3g3P3'(θ)

近似地变成

G g  1 g 3 2 1 

_{1 1} 1 − 3 A2

(cos

1

θ − sinθ) ．



当磁体被均匀磁化而θ=0 时，改正因子将和 1 相差最大。在这一事例

中，它变成l - 3 l

A 2

。当tanθ = 2或当偏转角为tan^-1

1 或26°34' 时，改正

2

量为零。因此有些观测者就调节他们的仪器，使得观测到的偏转角尽可能和这个角相接近。然而最好的办法是采用一个长度远小于线圈半径的磁体，以便改正量可以完全被忽略。

悬挂的磁体被细心地加以调节，使它的中心尽可能接近地和线圈的中心相重合。然而，如果调节不完善，而磁体的中心相对于线圈中心的座标是 x、y、z，而 z 是平行于线圈轴线来量度的，则改正因子是



1 +

3 x² + y² − 2z ² 

 ①

 2 A² 

当线圈半径很大而磁体的调节也作得很细心时，我们可以假设这种改正是微不足道的。

高根装置法

712．]为了消除依赖于 G3 的改正量，高根制造了一个电流计。在这种电流计中，磁体不是挂在线圈的中心上

而是挂在线圈轴线上离线圈中心的距离为线圈半径之一半的点上；用

这种方法，上述改正量就被弄成了零。G3 的形式是

① Werke,G(ttingenedition,1867,bd.v.p.622.

A ² (B² − 1 A ² )

G = 4π 4 ，

3 C7

而既然在这种装置中

1. ，那就有G = 0。假如我们能够确信悬

B = 2 A 3

挂磁体的中心恰好是在这样定义的那个点上的，这种装置就将是对最初装置的一种改进。然而，磁体中心的位置却永远是不确定的，而这种不确定

性就带来一种大小未知的依赖于G

的改正量，其形式是(1- 6 z ），式

² 5 A

中z是离线圈平面的距离中的多余值。这个改正量依赖于 z 的一次幂。

A

因此，具有离心悬挂的磁体的高根线圈就比以前的形式受到更大得多的

不准量的影响。

亥姆霍兹装置法

713．]通过在磁体另一侧的相同距离处放上第一二个和第一个线圈相等的线圈，亥姆霍兹把高根的电流计改造成了一种可以信赖的仪器。

通过把两个线圈对称地放在磁体的两侧，我们就一举而消除了所有的偶次项。

设 A 是每一个线圈的平均半径，两个线圈的平均平面之间的距离就被弄成了等于 A，而磁体就挂在他们的公共轴线的中点上。各系数是

G 4 =

16πn

1  1

A 1 −

ξ² 

₂  ，

5 5  60 A 

G 2 = 0，

G = 0.0512   πn (31ξ² − 36η² )，

G 4 = 0，

G = −0.73728   πn ，

式中 n 代表两个线圈的匝数之和。

由这些结果可以看出，如果ψ线圈的沟槽截面是深度为ξ而宽度为η 的长方形，则按截面的有限大小而进行了改正的 G3 的值将是很小的，而当ξ2 和η2 之比等于 36 比 31 时这个值为零。

因此，完全没有必要像某些仪器制造者所曾经作过的那样试图在圆锥表面上绕制线圈，因为条件可被具有长方截面的线圈所满足，而这种线圈可以比在钝锥面上绕制的线圈制造得更加精确。

亥姆霍兹双线圈电流计中的线圈装置情况，如第 725 节中的图 53 所示。

由双线圈引起的力场，以截面的形式表示在本卷末尾的图版十九上。

四线圈电流计

714．］通过把四个线圈组合起来，我们可以消除 G2、G3、G4、G5 和 G6。因为，利用任何对称组合，我们都可以消除各偶次系数。设四个线圈是属于同一球面的一些平行的圆，所对应的角度是θ、φ、π-φ和π-θ。

设第一个和第四个线圈上的匝数是 n，而第二个和第三个上的匝数是pn，于是，整个组合的 G3=0 的条件就给出

nsin2θp3'(θ)+pmsin2φP3'(φ)＝0，(1) 而 G5=0 的条件则给出

nsin2θP5'(θ)＋pnsin2φP5'(φ)＝0，(2) 令

sin2θ=x 而 sin2φ=y，(3)

并把 P3'和 P5'（见第 698 节）用这些量表示出来，方程(1)和(2)就变成4x-5x2＋4py-5py2=0，(4)

8x-28x2+21x3+8py-28py2+21py3=0。(5)

由(5)式减去(4)式的二倍并除以 3，我们就得到6x2-7x3+6py2-7py3＝0。(6)

于是由(4)和(6)就有

x 5x − 4 x² 7x − 6

而我们就得到

p = y 4 − 5y = y² 6 − 7y ，

4 7x − 6 1 32 7x − 6

y = 7 5x − 4 ， p = 49x (5x − 4)³

x 和 y 都是一些角的正弦的平方，从而必然介于 0 和 1 之间。由此可

见，x不是介于0 4 6 1之间；在第一种事例中，y介于

和 7 之间就是介于 7 和

6 4 9 4

7 和1之间而1／p介于∞和 3 2 之间；在第二种事例中，y介于0和 7 之间

1／p介于0和 3 2 之间。

4 9

三线圈电流计

715．]最方便的装置是 x=1 的装置。这时有两个线圈合而为一并形成半径为 C 的球的一个大圆。这个复合线圈上的匝数是 64。另外两个线圈

4

形成球的小圆。其中每一个小圆的半径是 7C．其中每一小圆离开第一

3

个大圆的平面的距离是 7 C。这些线圈中每一个线圈上的匝数是49。

G 的值是 240π 。

1 C

在三线圈电流计中，G1 以后第一个具有有限值的项是 G7；因此，各线圈位于其表面上的那个球的一大部分就形成一个相当均匀的力场。

假如我们能够像在第 672 节中描述了的那样在整个球面上绕满导线，

我们就将得到一个完全均匀的力场。然而，足够精确地把线匝分布在一个球面上却在实践上是不可能的，即使这样一个线圈并不受到另一种意见的反对，而那种意见就是，这种线圈形成一个闭合的曲面，从而它的内部是不可达到的。

通过把中间的那个线圈从电路中断开，而让电流在两个侧线圈中沿相反方向运行，我们就得到一个力场，它将对一个挂在场中而轴线平行于各线圈之轴线的磁体或线圈作用一个近似均匀的力，其方向沿轴线；见第

3

673节。因为在这一事例中所有奇次系数都不存在，而既然μ = 7 ，就

有

P ' = 5 μ(7μ² − 3) = 0．

4 2

由此可见，既然每一线圈上各有 n 匝导线，第 695 节中关于线圈中心附近的磁势的表示式(6)就变成

8 3  r ² 11 r ⁶ 

ω = 7 7 πn− 3 C2 P₂ (θ) + 7 C5 P₆ (θ) + ．

外电阻给定时一个电流计中的导线的适当粗细

716．]设电流计线圈的绕线槽的形状已经给定，要确定的是应该在槽内绕上一根长而细的导线呢还是绕上一根短而粗的导线。

设 l 是导线的长度，y 是它的半径，y＋b 是它在包皮以后的半径，ρ 是它的比电阻，g 是单位长度的导线的 G 值，而 r 是和电流计无关的那一部分电阻。

电流计导线的电阻是

ρ 1

线圈的体积是

R = π y2 ．

V=πl(y+b)2。

电磁力是γG，此处γ是电流强度而

G=gl。

如果 E 是在电阻为 R＋r 的电路中起着作用的电动势，则

E=γ(R 十γ)。由这个电动势所引起的电磁力是

E G ，

R + r

而我们正是必须通过改变 y 和 l 来使这个力取最大值。把分式颠倒过来，我们就发现应使

取最小值。由此即得

 ρ 1 + r

πg y² gl

ρ dy

2 π y3 +

rdl l 2

= 0．

如果线圈的体积保持不变，则有

dl + 2 l

消去 dl 和 dy，我们就得到

dy y + b

= 0．

ρ y + b = r ，

π y³ l

或者说

r = y + b ．

R y

由此可见，电流计导线的粗细，应使外电阻和电流计线圈电阻之比等于包皮线的直径和裸线本身的直径之比。

关于灵敏电流计

717．]在灵敏电流计的制造中，每一装置部件的目的都在于利用一个给定的作用于线圈电极之间的小电动势来引起磁体的尽可能大的偏转。

导线中的电流当导线离悬挂磁体尽可能近时就会产生最大的效应。但是磁体必须能够随便振动，从而线圈内部就必须保留一定的空余空间。这就确定了线圈的内边界。

在这一空间外面，每一线匝都必须布置得足以对磁体发生尽可能大的效应。随着匝数的增多，最有利的位置将被填满，以致到了最后，新的一匝所增大的电阻将消弱以前各匝中的电流的效应，而新匝所增大的效应反而较小。通过用比内部各匝更粗的导线来绕外边的匝，我们可以在给定的电动势下得到最大的磁效应。

图 51

718．]我们将假设电流计的线匝是圆形的，电流计的轴线通过各圆的中心而垂直于他们的平面。设 rsinθ是其中一个圆的半径，而 rcosθ是该圆的中心离电流计中心的距离，于是，如果 l 是和该圆相重合的导线的长度，而γ是通过导线的电流，则电流计中心上的磁力在轴线方向上的分量是

如果我们写出

则这一表示式变成γ 1 ．

x 2

γl sinθ ．

r 2

r ² = x²sinθ，(1)

由此可见，如果制造一个曲面，其截面如图 51 所示，其方程为

r ² = x²sinθ，(2)

式中 x1 是任意常数，则弯成一个圆弧的导线当位于这一曲面之内时将比位于曲面之外时产生更大的磁效应。由此就得到，任一导线层的外表面应该具有一个恒定的 x 值，因为，如果一个地方的 x 大于另一地方的 x，则有一部分导线应能从第一个地方转移到第二个地方，以增大电流计中心上的力。

由线圈引起的总力是γG，此处

G = dl，(3) x

积分遍及于导线的整个长度，x 被看成 l 的函数。

719．]设 y 是导线的半径，则其截面积将是πy2 设ρ是制造导线所用

lρ

材料的对单位体积而言的比电阻，则长度为l的导线的电阻是 πy 2 ，而线

圈的总电阻是

ρ dl

式中 y 被看成 l 的函数。

R = π ∫ y2 ，

(4)

设 Y2 是一个四边形的面积，该四边形的四个角是线圈上四条相邻导线的轴线和通过线圈轴线的平面的交点，则 Y2l 是一段长为 l 的导线及其绝缘包皮在线圈中所占的体积，其中包括必须保留在线圈各匝之间的空隙。因此线圈的总体积就是

式中 Y 被看成 l 的函数。

V＝∫ Y ²dl, (5)

但是，既然线圈是一个旋成图形，就有

V = 2π∫∫ r ²sinθdrd6θ，(6)

或者，按方程(1)把 r 用 x 表示出来，就有

喏，2π∫π

5

V＝2π∫∫ x²（sinθ） 2 dxdθ (7)

5

（sinθ） 2 dθ是一个数字量，用N来代表它，就有

0

V = 1 Nx³ − V ，(8)

3 0

式中 V0 是留给磁体的内部空间的体积。

现在让我们考虑介于两个曲面 x 和 x+dx 之间的一个线圈层。这一层的体积是

dV=Nx2dx=Y2dl，(9)

式中 dl 是这一层中的导线长度。

这就按照 dx 而给我们以 dl。把此式代入方积(3)和(4)中，就得到

dx

dG = N Y 2 ， (10)

ρ x ²

dR = N π Y 2

dx

y2 ， (11)

式中 dG 和 dR 代表由这一线圈层所引起的那一部分 G 值和 R 值。现在，如果 E 是所给的电动势，则有

E=γ(R＋r)，

式中 r 是外电路的电阻，和电流计无关，从而电流计中心上的力就是

γG = E G ．

R + r

因此我们必须通过适当调节每一层中的导线截面来使

值。这也必然涉及 Y 的变化，因为 Y 是依赖于 y 的。

G

R + r

有最大

设 G0 和 R0 是当把所给的一层不计算在内时的 G 值和 R＋r 值。于是我们就有

G = G 0 + dG ，(12)

R + r R 0 + dR

而通过针对所给层变化 y 值来使此式取极大值，我们就必须有

d

dy ·dG

G + dG G

d

dy ·dR

= 0 =

R0 + dR

R + r

．(13)

既然dx很小而最后变为零， G 0 就将近似地相同而且最后是准确地

R0

相同，不论被排除于考虑之外的是哪一层，从而我们可以把它看成一个常量。因此，我们由(10)和(11)就有

ρ x²  Y dy  R + r

π y² 1 + y dY = G

= 常量。(14)

 

如果导线的包皮方法和缠绕方法使得导线金属所占的体积和导线之间的空隙体积之比不论导线是粗是细都相同，则有

Y dy y = dY

= 1，

而且我们必须令 y 及 Y 都和 x 成正比，这就是说，任一层中的导线的直径必须和该层的线度成正比。

如果绝缘包皮的厚度是常量并等于 b，而且导线是按正方形次序排列的，则有

Y=2(y＋b)，(l5) 而条件式就是

x² (2y + b) y 3

= 常量。(16)

在这一事例中，导线的直径随其所在层的直径而增大，但增大的速度却并不那样大。

如果我们采用这两个假说中的第一个假说（如果导线本身近似地占满全部空间，则这个假说近似地成立），我们就必须令

y＝ax，Y＝βy，

式中 a 和β是常数，而且{由(10)和(11)即得}

G = N

1  1 1 ，

α ²β²  a − x

ρ 1  1 1

π α⁴β²  a x

式中 a 是一个常量，依赖于在线圈中部留下来的空间的大小和形状。

因此，如果我们使导线的粗细按照和 x 的相同比例而变，则在线圈的外线度已经达到它的内线度的许多倍以后，再增大它的外部尺寸就不会有什么好处了。

720．]如果电阻的增大不被认为是一个缺点，例如当外电阻远远大于电流计的电阻时，或是当我们的目的只在于产生一个强力场时，我们就可以令 y 和 Y 都保持不变。这时我们就有

N

G = Y2 (x − a)，

R = 1 N ρ (x³ − a ³)， 3 Y²y ² π

式中 a 是依赖于线圈内的空间的一个常量。在这一事例中，G 的值随着线圈尺寸的增大而均匀地增大。从而除了制造线圈所需的人力和财力以外，G 值是没有极限的。

关于悬挂着的线圈

721．]在普通的电流计中，一个悬挂着的磁体受到一个固定线圈的作用。但是，如果线圈可以被悬挂得足够精巧，我们就可以根据它对平衡位置的偏转来确定磁体或另一个线圈对悬挂线圈的作用。

然而，除非在电池的两极和线圈中导线的两端之间存在金属连接，我们并不能把电流送入线圈中去。这种连接可以用两种不同的办法来作到， 即利用双线悬置法或利用反向的导线。

双线悬置法已经在第 459 节中作为对磁体的应用而描述过了。悬置的

上部装置如图 54 所示。当用于线圈时，两根悬丝不再是丝线而是金属丝， 而且，既然一根能够支持线圈并输送电流的金属丝的扭力比丝线的扭力大得多，这种扭力就必须被考虑在内。这种悬置在由 W。韦伯所制造的仪器中已经被弄得非常完善了。

另一种悬置方法是利用和线圈的一端相接的单独一根导线。线圈的另一端接在另一根导线上；这根导线和第一根导线沿着同一条竖直线而向下垂着，并插入一个汞杯中，如第 726 节中的图 56 所示。在某些事例中，把两根导线的各端固定在一些可以把他们拉直的零件上是方便的，这时必须注意使这些导线的延线通过线圈的重心。这种形式的仪器当轴线并不竖直时也可以使用；见图 52。

722．]悬挂的线圈可以作为一种非常灵敏的电流计来使用，因为，通过增大它所在的场中的磁力强度，由线圈中的一个微弱电流所引起的力可以大大增强而用不着加大线圈的质量。用于这种目的的磁力可以借助于一些永久磁体或借助于一些用辅助电流加以激励的电磁体来产生，而且可以借助于软铁电枢来把它强烈地汇聚在悬挂线圈上。例如，在 W.汤姆孙爵士的记录仪器中，见图 52，线圈被挂在电磁体的两个相反的极 N 和 S 之间， 而且，为了把磁力线汇聚在线圈的竖直边上，一个软铁块 D 被固定到了磁极之间。这块铁因感应而受到磁化，在它和两个磁极之间的空隙中产生一个很强的力场，而线圈的竖直边就是可以通过这些空隙而自由地运动的， 于是，即使当通过线圈的电流非常微弱时，线圈也会受到一个倾向于使它绕竖直轴而转动的相当大的力。

723．]悬挂线圈的另一种应用就是通过和一个正切电流计相对比来测定地磁的水平分量。

线圈被悬挂得当它的平面平行于磁子午面时就处于稳定平衡。一个电流γ被送入线圈中并使它偏到一个和磁子午面有一夹角θ的新的平衡位置。如果悬置是双线式的，引起这一偏转的力偶矩就是 Fsinθ，而这个力偶矩必然等于 Hγgcosθ，此处 H 是地磁的水平分量，γ是线圈中的电流， 而 g 是线圈所有各匝的面积之和。由此即得

F

Hγ = g tan θ

如果 A 是线圈对它的悬挂轴线而言的惯量矩，而 T 是半振动的时间， 则当没有电流通过时应有

FT2=π2A。

从而我们就得到

π ²A

Hγ = T2g tanθ．

如果同一个电流通过一个正切电流计的线圈并使它的磁体偏转一个角度φ，则有

 γ = 1 tan φ．

H G

式中 G 是正切电流计的主常量，见第 710 节。由这两个方程我们就得到

H = π

AG tanθ π

，γ =

A tanθ tan φ

．

T g tan φ

T Gg

这种方法是由 F.考耳若什提出的①。

724．]威廉·汤姆孙爵士曾经制造了单一的仪器，利用这种仪器，同一个观测者可以同时进行测定 H 和测定γ所需要的那些观测。

线圈悬挂得它的平面在磁子午面内处于平衡，而且当有电流通入时就偏离这一位置。一个很小的磁体被悬挂在线圈的中心上，而且将被电流所偏转，其方向和线圈偏转的方向相反。设线圈的偏转角是θ，而磁体的偏转角是φ，则体系能量的可变部分是

-Hγgsinθ-mγGsin(θ-φ)-Hmcosφ-Fcosθ。

对θ和对φ求导数，我们就分别得到线圈的和磁体的平衡方程

-Hγgcosθ-mγGcos(θ-φ)＋Fsinθ＝0， mγGcos(θ-φ)+Hmsinφ＝0。

消去 H 或γ，我们就由这些方程得到一个可以用来求出γ或 H 的二次方程。如果悬挂磁体的磁矩 m 很小，我们就得到下列的值：

H = π

− AGA sin(θ − φ) − 1 mG cos(θ − φ) ，

T g cosθ sin φ 2 g cosθ

γ = − π

  − A sinθsinφ + 1 m sinφ ．

T Gg cos θ cos(θ − φ) 2 g cos θ

在这些表示式中，G 和 g 是磁体和线圈的主常量，A 是线圈的惯量矩， T 是振动的半周期，m 是磁体的磁矩，H 是水平磁力的强度，γ是电流强度， θ是线圈的偏转角，而φ是磁体的偏转角。

既然线圈的偏转是和磁体的偏转方向相反的，这些 H 值和γ值就将永远是实值。

韦伯的力测电流计

① {当磁棒轴线和线圈轴线成一角度θ时，作用在磁棒上的力偶是 的力，那么 ，就是垂直于该轴线的力。于是当仪器被用作一个正弦电流计时，改正量就是

725．]在这种仪器中，一个小线圈被用两根金属丝挂在一个较大的固定线圈中。当使电流通过两个线圈时，悬挂的线圈就倾向于使自己和固定线圈相平行。这一趋势受到起源于双线悬置的力矩的反抗，而且也受到地磁对悬挂线圈的作用的影响。

在仪器的普通应用中，两个线圈的平面几乎是接近互相垂直的，这样各线圈中的电流的相互作用就可以尽可能地强；而且悬挂线圈的平面是和磁子午接近互相垂直的，这样地磁的作用就可以尽可能地小。

设固定线圈的平面的磁方位角是 a，并设悬挂线圈的轴线和固定线圈的平面之间的角是θ＋β，此处β是当线圈中没有电流并处于平衡时这一角的值，而θ是由电流引起的偏转角。设γ■是固定线圈中的电流而γ■ 是活动线圈中的电流，则平衡方程是

Ggγ1γ2cos(θ十β)-Hgγ2sin(θ＋β+α)-Fsinθ=0。

让我们假设仪器被调节得α和β都很小，而且 Hgγ2 和 F 相比也很小。在这种情况下我们就近似地有

Ggγ γ cosβ Hgγ sin(α + β) HGg²γ γ ² G ²g²γ ²γ ² sin β

tan θ = 1 2 − 2 − 1 2 − 1 2 ．

F F F² F²

图 53

如果当γ1 和γ2 的符号变化时偏转角变化如下θ1，当γ1 为+而γ2 为+时，

θ2，当γ1 为-而γ2 为-时， θ3，当γ1 为+而γ2 为-时， θ4，当γ1 为-而γ2 为+时，

我们就得到

γ γ = 1 F (tan θ

• tan θ − tan θ − tan θ )．

^{1 2} 4 Gg cosβ

1 2 3 4

如果通入两个线圈的是相同的电流，我们就可以令γ1γ2=γ2，于是就得到γ的值。

当电流不是很稳定时就最好采用这种称为“正切法”的方法。

如果电流稳定得使我们能够调节仪器的扭力头的角度β，我们就能用正弦法来一举而消除关于地磁的改正量。

在这种方法中，β一直被调整到偏转角等于零为止，于是就有

θ=-β．

如果γ1 和γ2 的符号仍和从前一样用β的下标来指示，则有Fsinβ1＝-Fsinβ3=-Ggγ1γ2+Hgγ2sina，

Fsinβ2＝-Fsinβ4=-Ggγ1r2-Hgγ2sina， 以及

γ γ = − F (sin β

• sin β − sin β − sin β )．

^{1 2} 4Gg

1 2 3 4

这就是拉提摩·克拉克先生在使用由大英协会的电学委员会制造的仪器时所采用的方法。我们感谢克拉克先生提供了图 53 中的力测电流计的作图；在这种电流计中，不论是作为固定线圈还是作为悬挂线圈都采用了亥

姆霍兹的双线圈装置①。用来调节双线悬置的扭力头表示在图 54 中，悬线张力的相等通过下法来保证：两根悬线接在一根丝线的两端，丝线绕在一个滑轮上，悬线之间的距离用两个距离可变的导轮来调节。悬挂的线圈可以借助于一个对悬线轮起作用的螺旋来上下移动，并且可以借助于图 54 下部所示的滑动部件来在两个方向上水平移动，它也通过一个扭转螺旋来调节其方位，那个螺旋可以绕着竖直轴线而转动扭力头（见第 459 节）。悬挂线圈的方位角通过观察一个标尺在镜中的反射来确定，这种装置画在了悬挂线圈的轴线的正下方。

起初由韦伯制造的仪器在他的 Elektrodynamische Maasbestimmungen 中进行了描述。它是打算用于小电流的测量的，因此固定线圈和悬挂线圈都有许多匝，而且悬挂线圈在固定线圈内部所占的空间部分也比在大英协会的仪器中要大，因为后者主要是打算用作一种标准仪器，以便可以把更灵敏的仪器和它对比的。韦伯用自己的仪器作的实验，为安培公式应用于闭合电流时的精确性提供了最完备的实验证明，而且形成了韦伯的研究的一个重要部分，通过这些研究，他在精确度方面把电学量的数值测定提高到了很高的水平。

在韦伯这种形式的力测龟流计中，一个线圈悬挂在另一个线圈的内部，并受到一个倾向于使它绕竖直轴而转动的力偶的作用；这或许是最适合于绝对测量的一种仪器。在第 700 节中，曾经给出了计算这种装置之各常量的一种方法。

726．]然而，如果我们希望借助于一个微弱电流来产生一个相当大的电磁力，则更好的办法是把悬挂线圈摆得平行于固定线圈，并使它可以向着或离开固定线圈而运动。

在图 55 所示的焦耳博士的电流秤中，悬挂线圈是水平的，而且可以上下运动，而它和固定线圈之间的力则通过为了把线圈带回到没有电流时对固定线圈而言的同一相对位置而必须增加或减少的线圈重量来估算。

悬挂线圈也可以固定在一个扭秤的水平臂的一端，并且可以放在两个固定线圈之间，其中一个固定线圈吸引它，而另一个则推斥它，如图 56 所示。

通过像在第 729 节中所描述的那样来安排各线圈，作用在悬挂线圈上的力可以被弄得在离开平衡位置的一段小距离之内成为近似的均匀。

另一个线圈可以固定在扭秤臂的另一端并放在两个固定线圈之间。如果两个线圈是相似的，但是却载有反向流动的电流，则地磁对扭秤臂位置的影响将被完全消除。

727．]如果悬挂线圈具有长螺线管的形状并且能够平行于它的轴线而运动，以通过一个更大的具有相同轴线的固定螺线管的内部，那么，如果两个螺线管中的电流方向相同，则悬挂螺线管将被一个力吸向固定螺线管的内部，而只要各螺线管没有和任何管端相距很近，这个力就是近似地均匀的。

728．]当一个小线圈放在两个相等的而线度更大得多的线圈之间时，

① Pogg.,Ann.xxxviii,pp.1-10，Aug.1869 。

为了在小线圈上产生一个均匀的纵向力，我们应该使大线圈的半径和他们

平面之间的距离成2与 3之比。如果我们沿相反的方向把电流送入这些

线圈中，则ω的表示式中含γ奇次幂的各项都会消失，而且，既然 sin2α