=

4 而cos²α = 3 ，含γ ⁴的一项也会消失，从而作为ω的可变部分，我们

7 7

由第 715 节就得到

8 3

 r ²

11 r ⁶ 

7 7 πnγ 3 c 2 P₂ (θ) − 7 c6 P₆ (θ) + ,

这就指示了作用在小的悬挂线圈上的一个接近均匀的力。这一事例中的线圈安排，就是在第 715 节中描述了的三线圈电流计中那两个外线圈的安排。请参阅图 50。

729．]如果我们希望把一个悬挂线圈放在两个线圈之间，而这两个线圈离悬挂线圈很近，以致相互作用着的导线之间的距离远小于这两个线圈的直径，则最均匀的力可以通过使每一外线圈的半径比中间线圈的半径大

出一个等于中间线圈和外线圈的平面间距的 的值来得到。这一点可

以由第 705 节中针对两个圆电流的互感而证明了的表示式来推知①。

① 在实际的仪器中，使电流进入和流出各线圈的导线并不是像图中所示的那样分开，而是互相尽可能合并在一起以互相抵消其电磁作用的。

第十六章电磁观测

730．]电学量的许多测量都是对一个振动物体的运动的观测，因此我

们将把某些注意力用到这种运动的本性方面，以及一些观测它的最好方法方面。

一般说来，一个物体在其稳定平衡附近的微小振动，是和一个受到正比于到一固定位置的力作用的点的振动相类似的。在我们的实验中的振动物体的事例中，也存在由空气的阻力、悬丝的阻力之类的种种原因引起的对运动的阻力。在许多电学仪器中，还有另一种阻力原因，那就是在振动磁体附近的传导电路中感应出来的电流的反作用。这些电流是被磁体的运动感应出来的，而根据楞次定律，他们对磁体的作用永远是反抗磁体的运动。这在许多事例中就是阻力的主要部分。

一个叫做“阻尼器”的金属电路有时被放在一个磁体的附近，其明确的目的就是阻碍或停止磁体的摆动。因此我们就把这种阻力称为“阻尼”。在慢振动的事例中，例如在很容易观察的振动的事例中，不论起源于

什么原因，整个的阻力都显现为和速度成正比。只有当速度比电磁仪器中的普通振动速度大得多时，我们才有关于阻力正比于速度平方的迹象。

因此我们必须研究一个物体在一个正比于距离的吸引力和一个正比于速度的阻力作用下的运动。

731．]泰特教授①对速端曲线原理的下述应用使我们能够借助于等角蜷线而用一种极简单的方式来研究这种运动。

设要寻求的是一个以均匀角速度ω沿着一个对数蜷线或称等角蜷线而绕着极点运动的一个质点的加速度。

这种蜷线的性质是其切线 PT 和矢径 PS 成一常值角 a． 如果 v 是 P 点上的速度，则

v．sina=ω.SP．

由此可见，如果画直线SP'平行于PT并等于SP，则P点上的速度的方向和

量值都将由下式给出

v =   ω SP' ．

sin α

因此 P′就将是速端曲线上的一个点。但是，SP′就是转过了一个常角π

-a 的 SP′，从而 P′所描绘的速端曲线就是和绕着极点转过一个角π-a 的原有蜷线相同的。

P点的加速度在量值和方向上由P′点的速度乘以同一因子   ω 来

sin α

代表。

由此可见，如果我们对 SP′进行同一运算，即把它绕着极点转过一个

① {在这一事例中，如果 M 是内线圈和一个外线圈的相互势能，则当利用第 705 节中的符号时，既然各线圈是对称排列的，和一个位移 y 相

角度π-a 而达到 SP″，则 P 点的加速度将在量值和方向上等于

ω2

sin2 α SP'' ，

式中 SP″等于转过一个角 2π-2a 的 SP．

ω 2

如果我们画PF使它等于并平行于SP″，则加速度将是 sin2 α PF；

这个加速度可以分解成

ω2 ω2

sin² α PS和 sin ² α PK。

其中第一个分量是一个正比于距离而指向 S 的向心加速度。第二分量的方向和速度的方向相反，而既然

PK = 2 cosαP'S = −2 sinα cosα v，

ω

这个加速度就可以写成

• 2 ω cosα v． sinα

因此质点的加速度是由两部分合成的；其中第一部分由一个吸引力μ γ所引起，指向 S 并正比于距离，而第二部分则是-2kv，即一个正比于速度的对运动的阻力，此处有

μ = ω2

cosα

sin ² α ，和k = ω sin α ．

π

如果我们在这些表示式中令a = 2 ，则曲线轨道变成一个圆，而且我

们有μ ω ² 和k = 0．

0 0

由此可见，如果单位距离上的力保持相同，则μ=μ0 而ω=ω0sina．

吸引力规律相同的不同蜷线上的角速度，正比于各该蜷线的角度的正弦。

732．]如果我们现在考虑一点的运动，而该点是运动点 P 在水平线 XY 上的投影，我们就会发现，它离 S 的距离和它的速度是 P 点的距离和速度的水平分量。因此这个点的加速度也是一个等于μ乘以到 S 的距离而指向S 的吸引力，以及一个等于 2k 乘以速度的阻力。

因此我们就有了关于一点之直线运动的完备作图法，该点受到一个正比于离某一固定点的距离的吸引力以及一个正比于速度的阻力。这样一个点的运动，简单地就是另一个点的运动的水平部分，而那另一个点是以均匀角速度而沿着一条对数蜷线在运动的。

733．]蜷线的方程是

γ＝Ce-σcotα．

为了确定水平运动，我们令

φ=ωt，x=a+γsinφ， 式中 a 是平衡点的 x 值。

如果我们作直线 BSD 使它和竖直线成一角 a，则切线 BX，DY，GZ 等等将是竖直的，而 X、Y、Z 等等则将是逐次振动的端点。

734．]对一个振动物体所作的观测如下：

1. 驻点外的标尺读数。这些读数叫做“伸长”。(2)沿正方向和负方向通过标尺上一个确定刻度的时刻。(3)某些确定时刻的标尺读数。除了在长周期的事例中以外，这一种观测是不常进行的①。

我们必须确定的量是：

(1)平衡位置上的标尺读数。(2)振动的对数减缩。

(3)振动时间。

由三次相继伸长确定平衡位置的读数

735．]设 x1、x2、x3 是观察到的对应于伸长 X、Y、Z 的标尺读数，a 是平衡位置 S 处的读数，并设γ1 是 SB 的值，则有

x1-a=γ1sina,

x2－a=-γ1sinae-πcota． x3-a=γ1sinae-2πcota． 由这些值，我们就得到

(x1-a)(x3-a)=(x2-a)2，

式中

x x − x ²

a = 1 3 2 ．

x1 + x3 − 2x 2

当 x3 和 x1 相差不大时，我们可以用

a = 1 (x + 2x + x )

4 1 2 3

作为一个近似方程。

确定对数减缩

736．]一次振动和下一次振动的振幅之比的对数，叫做“对数减缩”。如果我们用ρ来代表这个比值，则有

ρ = x1 − x 2 ，L = log ρ，λ = log ρ．

x 3 − x2

L 叫做常用对数减缩，而λ叫做自然对数减缩。很显然，

λ＝Lloge10＝πcota.

由此即得

α = cot ⁻¹ λ ，

π

此式确定了对数蜷线的角度。

在进行λ的一次具体测定时，我们让物体完成相当多次振动。如果 c1 是第一次振动的振幅而 cn 是第 n 次振动的振幅，则有

λ = 1 log ( c1 )．

n − 1 ^e

① Proc.R.S.Edin.,Dec.16,1867．

如果我们假设观测的精确度对大幅振动和小幅振动来说都是相同的， 则为了得到最好的λ值，我们应该让振动衰减到 c1 和 cn 之比和自然对数的

底e最接近时为止。这就给出一个n值，它是和 1 + 1最相近的整数。

λ

然而，既然在大多数事例中时间是很宝贵的，最好就是在振幅的衰减进行到这种地步以前取它的倒数第二组观测结果。

737．]在某些事例中，我们可能必须由两次相继的伸长来确定平衡位置，而对数减缩则已经由专门的实验定出。这时我们就有

x + e^λ x

a = 1 2 ．

1+ e³

振动时间

738．]当测定了平衡位置以后，就要在标尺的那一点上或在和该点尽可能接近的地方作个明显的记号，然后就记下在若干次相继的振动中经过这个记号的时刻。

让我们假设记号位于正向一侧和平衡点有一个未知的但很小的距离 x 处，而 t1 就是所观测到的第一次沿正方向经过这一记号的时刻，而 t2、t3 等等则是以后各次的经过时刻。

如果 T 是振动时间{也就是两次相继经过平衡位置所需的时间}，而P1、P2、P3 等等则是经过真实平衡位置的时刻，于是就有

x

t₁ = P₁ +

1

x

，t ₂ = P₂ +

2

，P₂ − P₁ = P₃ − P₂ = T，

式中 v1、v2、v3 等等是相继的经过速度，而我们可以认为这些速度在很小的距离 x 上是均匀的。

如果ρ是一次振动的振幅和其次一次振动的振幅之比，则有

1 x x

v₂ = − ρ v₁，而 v

= −ρ ．

2 1

如果三次经过是在时刻 t1、t2、t3 被观察到的，我们就有

x = t 1 − 2t 2 + t 3 ．

v1

因此振动时间就是

1

(ρ + 1) ²

1 ρ − 1

T = 2 (t 3 − t 1 ) − 2 ρ + 1 ( t1 − 2t 2 + t 3 )．

下一次经过真实平衡点的时刻是

1 1 (ρ − 1) ²

P2 = 4 (t 1 + 2t 2 + t 3 ) − 4 (ρ + 1) 2 (t 1 − 2t 2 + t 3 )

三次经过就足以确实这三个量，但是任何多次也可以用最小二乘法相合起来。例如，对于五次，就有

1

T = 10 (2t 5 + t 4 − t 2 − 2t 1 )

− 1 (t

• 2t

+ 2t

• 2t

ρ − 1   ρ

+ t ) (2 − )．

10 1 2 3 4 5

ρ + 1

1 + ρ²

第三次经过的时刻是

1 1

(ρ − 1) ²

P3 = 8 ( t1 + 2t 2 + 2t 3 + 2t 4 + t5 ) − 8 (t1 − 2t 2 + 2t 3 − 2t 4 + t 5 ) (ρ + 1) 2 ．

739．]同样的方法可以扩大到一系列任何次数的振动。如果振动很迅速，以致无法记录每一次经过的时刻，我们就可以记录每三次或每五次的经过，但要注意使相继的经过是沿相反方向的。如果振动在一段长时间内保持为规则的，则我们在这整段时间内用不着进行观测。我们可以从观测足够多次的振动以从近似地确定振动时间 T 和经过中点的时刻 P 开始，这时要注意经过中点时是向右运动的还是向左运动的。然后我们就可以接着计数振动次数而不记录经过时刻，或是把观测停一段时间。然后我们就观测第二系列的中点经过，并推出振动时间 T 和中点经过时刻 P′，这时也要注意这种经过的方向。

如果由这两组观测结果推得的振动时间 TT′接近相等，我们就可以开始通过两组观测结果的组合来进行周期的一种更精确的测定。

用 T 去除 P′-P，商数应该很接近于一个整数，其为偶或为奇由经过 P 和 P′为同向或为反向而定。如果情况并非如此，则那些观测结果是没有价值的。但是，如果结果很接近于一个整数 n，我们就可以用 n 去除 P′- P，于是我们就得到整段振动时间中的 T 的平均值。

740．]这样求得的振动时间 T 是实际的平均振动时间，它是应该加以改正的，如果我们想要由它推出沿无限小弧段的无阻尼振动的振动时间的话。

为了把观察到的时间折算成沿无限小弧段的振动时间，我们指出，在振幅为 c 处从静止到静止的振动时间通常形式如下：

T=T1(1+kc2)，

式中k是一个系数，在普通摆的事例中它是 1

64

现在，相继的各次振动的

振幅是 c、cp-1、cp-2⋯cp1-n，于是 n 次振动的总时间就是

c ²ρ² − c²

nT = T (n + k ^{1 n} )，

¹ ρ² − 1

式中 T 是由观测结果推得的振动时间。

由此可见，为了求得在无限小弧上的振动时间，我们近似地有

 k c ²ρ² − c² 

T = T1− ^{1 n} ．

1  n ρ² − 1 

为了求出无阻尼时的振动时间 T0，我们由第 731 节有

T0 = T1 sin α

= T1 ．

741．]被{一个正比于距离的力}吸向一个固定点并受到一个正比于速度的阻力的物体的直线运动的方程是

d² x

dt ²

• 2k dx

dt

+ ω² (x − a) = 0，(1)

式中 x 是物体在时刻 t 的座标，而 a 是平衡点的座标。为了求解这一方程，令

于是就得到

此式的解是

y = Ccos（

x—a＝e-kty；(2)

d² y

+ (ω ² - k ² )y = 0；(3)

dt ²

• a, 当K小于ω时；(4)

y=A+Bt,当 k 等于ω时；(5)

y = C′cosh（ + a' ），当k大于ω时。(6)

x 的值可以利用方程(2)而由 y 的值推得。当 k 小于ω时，运动是一系列常周期时间的无限多个振动，但其振幅是递减的。当 k 增大时，周期就变得更长，而振幅的减小也更快。

当 k（阻力系数的二分之一）变得等于或大于ω（离平衡点单位距离处的加速度的平方根）时，运动就不再是振动性的，而是在整个的运动过程中物体只能经过一次平衡点，在此以后它就达到一个最大伸长位置，然后就向着平衡点运动回去，它不断接近平衡点，但永不达到该点。

电阻大得使它的运动属于这种运动的电流计，叫做不摆电流计。他们在许多实验中是有用的，而尤其在电报通讯中是有用的；在电报通讯中， 自由振动的存在会完全掩盖了所要观察的运动。

不论 k 值和ω值是什么，平衡点的标尺读数 a 的值都可以利用公式

q(rs− qt ) + r( pt − r ² ) + s(qr − ps) a = ( p − 2q + r)( r − 2s + t) − (q − 2r + s) ²

而根据按相等的时间间隔取得的五个标尺读数 p、q、r、s、t 来推出。

电流计的观测

742．]为了用一个正切电流计来测量一个常值电流，仪器被调得它的线圈平行于磁子午面，并记下零值读数。然后把电流送入线圈中，并观测对应于新的平衡位置的磁体偏转角。设用φ代表这个角。

于是，如果 H 是水平磁力，G 是电流计的系数，而γ是电流的强度，

则

γ = H tanφ．(1) G

如果悬丝的扭转系数是τMH（见第 452 节），则我们必须应用改正过

的公式

γ = H (tan φ + τφ sec φ)．(2) G

偏转角的最佳值

743．]在某些电流计中，电流所通过的线圈匝数可以随意改变。在另一些电流计中，电流的一个已知分数可以用一个叫做“分流器”的导体而从电流计中引出。在其中任一种事例中，G 的值，也就是单位电流对磁体的效应，都被弄成变化的了。

让我们确定一个 G 值，在那个值下，偏转角观测值中的一个给定误差

将对应于推得的电流值中的最小误差。求方程(1)的导数，我们就得到

由此即得

dγ = H sec² φ．(3) dφ G

dφ = 2 sin 2φ．(4)

dγ 2γ

当γ值给定时，此式在偏转角为 45°时有一个极大值。因此 G 的值应该加以调节，直到 Gγ尽可能近似地等于 H 时为止；因此，对于强电流来说，不用太灵敏的电流计是更好一些的。

通入电流的最佳方法

744．]当观察者能够借助于一个开关而随时接通或开断电路时，最好适当地操作那个开关，以使磁体以尽可能小的速度到达它的平衡位置。下面的办法是由高斯针对这一目的而设计的。

假设磁体是处于平衡位置的，而且也不存在电流。现在观察者使电路接通一小会儿，于是磁体就被推得向着它的新平衡位置运动起来。然后他又断开电路。现在力就是指向原有的平衡位置的，而运动就受到阻碍。如果设法作到使磁体恰好在新平衡位置上达到静止，而观察者就在这一时刻接通电路且不再断开，磁体就将在它的新位置上保持静止。

如果我们忽略阻力的效应并且也忽略在新旧位置上作用着的总力之差，那么，既然我们希望新力在第一次作用中所产生的动能和原有力在电路开断时所消灭的动能一样多，我们就必须使电流的第一次作用延长到磁体已经运动了从第一个位置到第二个位置的距离的一半。然后，如果原有力是当磁体走过它的另一半路程时起作用的，该力就会正好使磁体停下来。现在，从一个最大伸长点运动到离平衡位置一半距离处所需的时间是从静止到静止的一个周期的三分之一。

因此，既已预先确定了从静止到静止的一次振动的时间，操作者就使电路接通一段等于这一时间的三分之一的时间，然后使电路断开同样一段时间，然后使电路在实验过程中保持接通。于是磁体就或是静止，或是它的摆动如此之小，以致可以立刻记下观察结果而不必等候摆动停下来。为此目的可以把一个节拍器调得磁体每振动一下就打响三次。

当阻力较大而必须照顾到时，规则就复杂一点，但是在这种事例中， 摆动会衰减得如此之快以致用不着对此规则进行什么改正。当必须使磁体返回它的原始位置时，电路被断开一段等于三分之一周期的时间，然后接通一段相同的时间，而最后再断开。这就会使磁体在它的原有位置上处于静止。

如果在取得了正向观测结果以后必须立即取得反向静测结果，就可以把电路断开一段单次振动的时间然后使它反向。这就会使磁体在反向位置上达到静止。

利用第一次摆动来进行的测量

745．]当没有时间来进行多于一次的观测时，电流可以用在磁体的第一次摆动中观测到的最大伸长来量

度。如果没有阻力，永久偏转角φ就是最大伸长的一半。如果阻力使一次振动和下一次振动之比成为ρ，而且θ0 是零值读数，而θ1 是第一次摆动中的最大伸长，则和平衡点相对应的偏转角φ是

φ = θ 0 + ρθ1

1 + ρ

用这种办法，偏转角可被算出而不必等着磁体在它的平衡位置上停下来。

进行一系列观测

图 58

746．]对一个常值电流进行相当多次测量的最好方法就是，先在电流沿正向流动时观测三个伸长值，然后使电路断开一段约为单独一次振动的时间，以便磁体摆回到负偏转的位置上，然后使电流反向并在负向一侧观测三个相继的伸长值，然后使电路断开一次单独振动的时间并在正值一侧重复这些观测，这样一直继续下去，直到获得了足够多的观察结果为止。用这种办法，可能起源于地磁力的方向在观测时间内的变化的那些误差就可以被消除。通过仔细地定时接通和定时开断电路，操作者很容易调节振动的程度，以使他们成为很小而并不模糊。磁体的运动如图 58 中的曲线所示，图中的横座标表示时间而纵座标表示磁体的偏转角。如果θ1⋯θ6 是观测到的各伸长的代数值，则偏转角由下列方程给出：

8φ=θ1+2θ2+θ3-θ4-2θ5-θ6．

倍增法

747．]在电流计磁体的偏转角很小的一些事例中，也许值得建议的是按照适当的时间间隔来使电流反向以引起磁体的一种摆动，这样就能增大可以看到的效应。为此目的，在确定了磁体的单次振动{即从静止点到静止点的一次振动}的时间 T 以后，电流被沿方向送一段时间 T，然后沿反方向送一段相同的时间，如此继续进行。当磁体的运动变成可见的时，我们可以按观察到的最大伸长时间来改换电流方向。

设磁体位于正伸长θ0，并设电流被沿负方向送入线圈中。于是平衡点就是-φ，而磁体就会摆向一个负伸长θ1，使得

-ρ(φ+θ1)=(θ0+φ)， 或者写成

－ρθ1＝θ0(ρ＋1)φ，

同理，如果现在把电流改为正向，而磁体摆往θ2，则有ρθ2＝－θ1＋(ρ＋1)φ，

或者写成

ρ2θ2＝θ0＋(ρ＋1)2φ；

而如果电流往返地改向 n 次，我们就得到

(−1) ⁿ θ

= ρ⁻ⁿθ

+ ρ + 1 (1 − ρ⁻ⁿ )φ，

ρ − 1

由此我们就得到φ的形式如下：

−n

φ = (θ_n − ρ θ

ρ − 1 1

) ρ + 1 1− ρ⁻ⁿ ．

如果 n 是一个很大的数以致ρ-n 可以忽略不计，则表示式变成

φ = θ ρ − 1 ．

ⁿ ρ + 1

这一方法对精确测量的应用，要求关于ρ的准确知识，而ρ就是磁体在所受阻力的影响下的一次振动和下一次振动的比值。不准量起源于一个事实，那就是避免ρ值之不规则的困难一般会大于大角度伸长的好处。只有当我们希望通过使一个很小的电流引起磁针的可见运动来确证该电流的存在时，这个方法才是真正有价值的。

关于瞬变电流的测量

748．]当一个电流的持续时间只是电流计磁体的振动时间的一个很小的分数时，电流所输送的总电量就可以用在通电时间之内传给磁体的一个角速度来量度，而这个角速度可以根据磁体第一次振动的伸长来确定。

如果我们忽略阻滞磁体振动的阻力，讨论就会变得很简单。设γ是任一时刻的电流强度，而 Q 是该电流所输送的电量，则有

Q＝∫γdt．(1)

设 M 是悬挂磁体的磁矩，A 是它的惯量矩，而θ是磁体和线圈平面所成的角，则

d²θ

A dt ²

• MH sin θ = MGγ cos θ．(2)

如果电流通过的时间很短，我们可以在这段时间内在 t 积分而不必照顾θ的变化，于是我们就得到

A dθ = MG cos dt

γdt + C = MGQ cosθ 0

+ C．(3)

这就表明，电量 Q 的通过在磁体上产生一个角动量 MGQcosθ0，式中θ0 是θ在电流通过的那一瞬间的值。如果磁体起初是处于平衡的，我们就可以令θ0=0，C=0。

于是磁体就自由摆动并达到一个伸长θ■。如果没有阻力，在摆动过程中反抗磁力而作的功就是 MH(1—cosθ1)。

电流向磁体传送的能量是

使二量相等，我们就得到

= 2 MH (1 − cos θ

)，(4)

A 1

由此即得

dθ = 2

1 θ ，

dt 2 ¹

= MG Q，根据(3)．（5） A

但是，如果 T 是磁体从静止点到静止点而振动一次所用的时间，则有

A

从而我们就有

T = π

MH ，(6)

Q = H T 2 sin 1 θ



，(7)

G π 2 ¹

式中 H 是水平磁力，G 是电流计系数、T 是单独一次振动的时间，而θ1 是磁体振动的第一伸长。

749．〕在许多实际的实验中，伸长是一个很小的角，从而就很容易照

顾到阻力的效应，因为我们可以把运动方程当成一个线性方程来处理。 设磁体静止在它的平衡位置上，设在一瞬间内向它传送了一个角速度

v，并设它的第一伸长是θ1。运动方程是

θ = Ce ^−ω1 t tan β sin ω t，(8)

dθ = Cω dt

secβe^−ω1 i tan cos(ω t + β)．(9)

dθ

当t = 0时，θ = 0而 dt

= Cω1 = v．

π

当ω1t＋β = 2 时，

π

( − −β) tan β

由此即得

θ = Ce 2 cosβ = θ1 ．(10)

v −( π−β) tan β

θ1 = e 2

1

现在，由第 741 节就有

cosβ．(11)

MH = ω2

A

= ω² sec² β，(12)

而由方程(5)就有

tan β = λ ，ω

π 1

=  π ，(13) T1

由此即得

v = MG Q．(14)

A

−λ tan⁻¹ π



θ1 = H T e π

λ ，(15)

Q = H

1

T1θ1

λ tan

e π

−1 π

λ ，(16)

此二式作为瞬变电流之电量的函数而给出第一伸长，并相反地作为第一伸长的函数而给出瞬变电流的电量，式中 T1 是观测到的在实际阻尼力影

响下的单独一次振动的时间。当λ很小时我们可以使用近似公式

Q = H T (1 + 1 λ)θ



(17)

G π 2 ¹

反冲法

750．〕上述方法假设了当瞬变电流通过线圈时磁体是静止在它的平衡位置上的。如果我们想要重作实验，那就必须等到磁体又静止下来时才行。然而，在某些事例中，我们能够得到一些强度相等的瞬变电流，而且随便在什么时刻都能得到；在这样的事例中，由韦伯①描述了的下述方法，就在进行一系列连续不断的观测方面是最为方便的。

假设我们利用一个其值为 Q0 的瞬变电流来使磁体摆动起来。如果我们为了简单而写出

− λ tan ⁻¹ π

则第一伸长是

H T e π

λ = K，(18)

θ1 = KQ 0 = α1 (say) ．

在开始的一瞬间传给磁体的速度是

(19)

v = MG Q

0 A

₀．(20)

当它返回头来沿负方向通过平衡点时，它的速度将是

v = −ve ^−λ ．(21)

其次一个负伸长将是

θ = −θ e ^−λ = b ．(22)

当磁体回到平衡点时，它的速度将是

v = v e ^−2λ ．(23)

现在，当磁体位于零点时，把一个总量为—Q 的瞬变电流送入线圈中。它将使速度 v2 变成 v2—v，此处

v = MG Q．(24)

A

如果 Q 大于 Q0e-2λ，则新的速度将是负的，并等于

− MG (Q − Q e ^−2λ )．

A 0

于是磁体的运动就会反向，而其次一个伸长就将是负的

θ = −K(Q − Q e ^−2λ ) = c = −KQ + θ e^−2λ ．(25)

然后让磁体达到它的正伸长

θ = −θ e^−λ

= d = e^−λ (KQ − a e ^−2λ )，

(26)

而当它再次回到平衡点时又把一个其量为 Q 的正电流送入线圈中去。这就会把磁体推回正方向而达到正伸长

θ = KQ + θ e^−2λ ；(27)

① 参阅 Gaussandw．Weber,ResultatedesmagnetischenVereins,1836.Chap.II.pp.34—50．

或者，把这个伸长称为第二组四个伸长中的第二伸长，就有

a2=kQ(1-e-2λ)+a1e-4λ．(28)

如此进行下去，通过观测两个伸长+和-，然后送入一个负电流并观测两个伸长-和+，然后送入一个正电流，依此类推，我们就得到一系列每组四个的伸长，其中

而

KQ =

d − b = e^−λ ，(29) a − c

(a − b)e^−2λ + d − c

1 + e−λ ，(30)

如果观测了 n 个伸长系列，我们就可以由方程

Σ(d) − Σ( b) = e −λ

Σ(a) − Σ(c)

(31)

求出对数减缩，并由方程KQ(1+e-λ)(2n—1)

=Σn(a-b-c+d)(1+e-2λ)-(a1-b1)-(dn-cn)e-2λ(32)

求出 Q。

磁体在反冲法中的运动如图 59 中的曲线所示；图中的横座标表示时

间，而纵座标表示磁体在相应时刻的偏转角。请参阅第 760 节。

倍增法

1. 〕如果每当磁体经过零点时我们就通入瞬变电流，而且总是使它增大磁体的速度，则逐次的伸长 Q1、Q2

等等将是

θ = −KQ − e^−λ θ ，(33)

2

θ 3 = +KQ − e

−λ 1

₂．(34)

多次振动以后伸长所趋向的极限值，通过令θn=－θn-1 来求出，由此我们就得到

θ = ±

1

1 − e ^λ

KQ．(35)

如果λ很小，终极伸长的值可以是大的，但是，既然这就涉及一种持续很久的实验，而且涉及λ的细心测定，而且λ中的很小误差会引起 Q 的测定中的很大误差，这种方法在数值测定中就很少有用，而必须保留着用来获得关于小得无法直接观察的电流的存在与否的证据。

在使瞬变电流对电流计中的运动磁体发生作用的一切实验中，重要的一点都在于，全部的电流都应该当磁体离零点的距离只是总伸长的一个很小的分数时通过。因此，振动时间应该比产生电流所需要的时间长得多， 而操作者应该注视磁体的运动，以便根据磁体经过其平衡点的时刻来控制电流通过的时刻。

为了估计操作员未能准时产生电流而造成的误差，我们指出，一个冲量在增大伸长方面的效应正比于

eσtanβcos(φ＋β)①

而且当φ=0 时此式有极大值。因此，由电流的取时有误而引起的误差总是导致对电流值的低估，而误差的大小则可按照电流通过时振动周相的正弦和 1 之比来加以估计。

① Gauss&Weber,ResultaledesMagnetischenVereins,1838,p,98.

第十七章 线圈的比较

一个线圈的电学常量的实验测定

1. 〕我们在第 717 节中已经看到，在一个灵敏电流计中，线圈应该有很小的半径和许多匝导线。即使我们可以接近每一匝导线以便测量它， 通过直接测量这样一个线圈的形状和尺寸来确定它的电学常量也将是极其困难的。但是，事实上，不仅多数线匝都被外面各匝所掩盖，而且我们在导线绕好以后也不能肯定外边各匝的压力会不会已经改变了内部各匝的形状。

因此，更好的办法就是通过和其常量为已知的标准线圈进行直接的电学对比来测定一个线圈的电学常量。

既然标准线圈的尺寸必须通过实际测量来确定，这种线圈就必须做得相当大，以便它的直径或周长的测量中的不可避免的误差可以和所测的量比起来尽可能小。绕制线圈的沟槽应该具有长方形的截面，而且截面的线度和线圈的半径相比应该很小。这一点之所以必要，不仅是为了减小因截面大小而作的改正，而更重要的是为了避免被外面各匝遮盖住的那些线匝的位置上的不确定性。①

我们想要测定的主要常量是：

1. 由单位电流引起的线圈中心上的磁力。这就是在第 700 节中用 G1 来代表的那个量。

2. 由单位电流引起的线圈的磁矩。这就是量 g1。

1. 〕测定 G1。既然工作电流计的线圈比标准线圈小得多，我们就把电流计放在标准线圈的内部，使他们的中心互相重合，两个线圈的平面都是竖直的和平行于地磁力的。于是我们就得到一个差绕电流计，它的一个线圈是 G1 值已知的标准线圈，而另一个线圈则是我们想要测定其常量 G1

′的那个线圈。

悬挂在电流计线圈中心的磁体是同时受到这两个线圈中的电流的作用的。如果标准线圈中电流的强度是 r，而电流计线圈中电流的强度是γ＇， 那么，如果这些沿相反方向流动的电流引起磁体的一个偏转角δ，则有

H tan σ = G 1 ' γ'−G 1γ，（1）

式中 H 是地球的水平磁力。

如果两个电流被安排得并不引起任何偏转角，我们就可以用方程

γ

G 1 ' = γ' G 1 (2)

来求得 G1′。我们可以用好几种方法来确定γ和γ＇的比值。既然电流计的 G1 值通常是大于标准线圈的 G1 值的，我们就可以适当地安排电路，使得

① ｛我没能证明这一表示式；我利用第 748 节中的符号得出，当在φ处加上冲量时的伸长和同一冲量在φ

=0 时所产生的伸长成下列比例： 式中φ被假设为很小，以致它的平方和更高次方可以忽略不计。｝

总电流先通过标准线圈，然后被分流，其中一部分γ′通过组合电阻为 R1 的电流计和电阻线圈，而其余的部分γ—γ′则通过组合电阻为 R2 的另一组电阻线圈。

于是我们由第 276 节就得到

γ' R1 = (γ − γ ')R 2 ，(3)

或者写成

 γ = R1 + R 2 ，(4)

从而就有

γ ' R 2

G ' = R1 + R2 G ． (5)

1 1

2

如果在电流计线圈的实际电阻方面有任何不确定处（例如由于温度不确定），我们就可以给它增加一些电阻线圈，以使电流计本身的电阻只占R1 的一个很小部分，从而就在最后的结果中只引起很小的不确定性。

1. 〕测定 g1 g1 就是由通过一个小线圈的单位电流所引起的该线圈的磁矩。为了测定 g1，磁体仍然悬挂在标准线圈的中心，但是小线圈却沿着两个线圈的公共轴线而被平行移开，直到在两个线圈中沿相反方向运行的电流不再引起磁体的偏转时为止。现在，如果二线圈的中心之间的距离是 r，我们就有（第 700 节）

G = 2 g1 + 3 g 2 + 4 g3 + ．(6)

1 r 3 r 4 r 5

通过在标准线圈两侧用小线圈重复进行实验，并测量小线圈的两个位置之间的距离，我们就可以消除测定磁体中心和小线圈中心的位置时的不确定的误差，而且也可以排除 g2、g4 等等。

如果标准线圈经过适当的安排，以致我们可以使电流只通过它的半数的线圈以得出一个不同的 G1 值，那么我们就可以确定一个新的 r 值，而这样一来，正如在第 454 节中一样，我们就可以消去含 g3 的项。

然而，也常常可能通过足够精确地直接测量小线圈来测定 g3，以便在计算对 g1 的改正量时用于下列方程中

g = 1 G r ³ − 2 g3 ，(7)

1 2 1 r 2

式中由第 700 节有

g 1 2 2 2 2

₃ = − 8 πα (6α + 3ξ − 2η )．

感应系数的比较

1. 〕只有在少数的事例中，由电路的形状和位置来直接计算感应系数才是容易完成的。为了达到足够的精确度，电路之间的距离必须是可以精确测量的。但是，当电路之间的距离大得足以防止测量上的误差会引起结果方面的很大误差时，感应系数本身必然就会在量值上大为减小。现在， 对许多实验来说，把感应系数弄得较大是必要的，而我们只能通过使电路

互相靠得更近来作到这一点，这时直接测量的方法就会变成不可能的了， 从而，为了确定感应系数，我们就必须把它和一对线圈的感应系数进行对比，那一对线圈安排得恰好，从而他们的感应系数可以通过直接测量和计算来求得。

这种对比可以进行如下：

设 A 和 a 是标准的一对线圈，B 和 b 是要和他们进行对比的线圈。把和 B 接成一个电路，并把电流计 G 的电极接在 P 和 Q 上，使得 PAQ 的电阻是 R 而 QBP 的电阻是 S，而 K 是电流计的电阻。把 a 和 b 以及电池接成一个电路。

• • •

设A中的电流是，B中的电流是y ，电流计中的电流是x- y ，而

电池电路中的电流是γ。

于是，如果 M1 是 A 和 a 之间的感应系数，而 M2 是 B 和 b 之间的感应系数，则当开断电池电路时通过电流计的积分感应电流是

M 2 − M1

x − y = γ S K R ．(8)

1 + R + S

调节电阻 R 和 S 直到当电池电路接通或开断时没有电流经过电流计时为止，M2 和 M1 之比就可以通过 S 和 R 之比来确定。

①［表示式(8)可以证明如下：设 L 、L 、N 和Γ分别是线圈 A、B、ab

和电流计的自感系数。于是体系的动能 T 就近似地是

1 • 2 1 • 2 1

• • 2 1 2 • •

2 L1 x + 2 L2 y

+ 2 Γ(x− y) + 2 Nγ + M1 x γ + M 2 y γ

耗散函数 F，也就是电流加热线圈时的能量消耗率的一半，等于（见LordRayleigh’ThevryofSound,vol,i,p,78)

1 • 2

1 • 2

1 • • 2 1 2

2 x R + 2 y S + 2 (x− y)

式中 Q 是电池及电池线圈的电阻。

K + 2 γ Q．

于是和任一变量 x 相对应的电流方程就有如下的形式：

d dT − dT + dF

= ξ．

dt d •

式中ξ是对应的电动势。由此我们就得到

dx d x

① 大的正切电流计有时作得只有一个相当粗的导电圆环，它足够结实，可以不用支撑而保持自己的形状。对于一个标准仪器来说，这并不是一种好的计划。电流在导体中的分布依赖于导体各部分的相对电导率。因此，金属内部连续性的任何隐蔽缺陷都可能使电的主流或是偏向圆环的外侧或是偏向它的内侧。于是电流的真实路线就变成不确定的了。除此以外，当电流只沿圆周运行一次时，必须特别注意避免电流在进入和流出此圆的途中对悬挂磁体的任何作用，因为电极中的电流是等于圆环中的电流的。在许多仪器的构造中，这一部分电流的作用似乎完全没被注意到。最完善的方法是把其中一个电极做成一个金属管，而把另一个电极做成一根同轴地放在管内的用绝缘材料包起的金属线。这样安装的两个电极的外在作用，由第 683 节可知是零。

L1x + Γ( x − y) + M1 γ + Rx + K(x − y) = 0， L2 y − Γ(x − y) + M2 γ + Sy − K( x − y) = 0．

• •

这些方程可以立即对t积分。注意到x、 x、y、 y 、γ的初始值是

零，如果写出 x—y=z，我们就在消去 y 后得到一个如下形式的方程：

• • •

A z+ Bz+ Cz = Dγ + Eγ．

(8＇)

•

接通电池以后不久，电流就会变成恒稳的，而电流z 就会消失，由

此即得

Cz=Eγ。

这就给出上面的表示式(8)，而且它表明，当通过电流计的总电量为零时，我们必有 E＝0，或 M2R—M1S=0。方程(8′)也表明，如果电流计中根本没有任何电流，我们就必有 D=0，或 M L —M L =0。］①

一个自感系数和一个互感系数的对比

756．]设把一个线圈接在惠斯登电桥的支路 AF 上，而线圈的自感系数就是我们所要测出的。让我们用 L 来代表这个自感系数。

在 A 和电池之间的连线上接上另一个线圈。这个线圈和 AF 上的线圈之间的互感系数是 M．它可以用第 755 节所描述的方法来测量。

如果从 A 到 F 的电流是 x，从 A 到 H 的电流是 y，则从 z 通过 B 而到 A 的电流将是 x+y。从 A 到 F 的外电动势是

A − F = Px + L dx + M( dx + dy)．(9)

dt dt dt

沿 AH 的外电动势是A—H=Qy。(10)

如果接在 F 和 H 之间的电流计并不指示任何瞬变的或持久的电流，既然 H—F=0，由(9)和(10)就得到

Px=Qy；(11) 从而

L dx + M( dx + dy ) = 0, (12)

由此即得

dt dt dt

P

L = −(1 + Q)M．

(13)

既然 L 永远是正的，M 就必然是负的，从而电流必然沿相反的方向通过接在 P 上和接在 B 上的线圈。在作实验时，我们有两种办法可供选择。我们在开始时可以先调节各个电阻，使得

PS=QR，(14)

这就是不存在持久电流的条件；然后我们就调节线圈之间的距离，直到在

① [方括号中的探讨采自弗来明先生对克勒克·麦克斯韦教授的演讲所加的注释；这种探讨有一种使人伤悼的兴趣，因为这是教授所发表的最后一篇演讲的一部分。在弗来明先生的注释中，实验的计划和本文所给出的有所不同，其不同在于电池和电流计交换了位置。]

接通和开断电池的连接时电流计不再指示一个瞬变电流为止。另一方面， 如果这一距离是不能调节的，我们就可以通过适当改变电阻 Q 和 S 而使他们的比值保持不变来消除瞬变电流。

如果发现这种双重调节太麻烦，我们就可以采用第三种方法。在开始时可以把装置安排得由自感引起的瞬变电流稍大于由互感引起的瞬变电流，然后我们就可以通过在 A、Z 之间插入一个电阻为 W 的导体来消除不相等性。没有持久电流通过电流计的条件并不会因为 W 的引入而有所改变。因此我们就可以通过只凋节 W 的电阻来消除瞬变电流。当这一点已经作到时，L 的值就是

P

L = −(1 + Q +

P + R

W

)M．(15)

两个线圈的自感系数的对比

757．〕把两个线圈接在惠斯登电桥的两个相邻的支路上。设 L 和 N 分别是接在 P 上和接在 R 上的线圈的自感系数，则图 61 中没有电流计电流的条件就是

(Px + L dx )Sy = Qy(Rx + N dx )，(16)

dt dt

由此即得

PS = QR，为了没有持久电流，(17)

L = N ，为了没有瞬变电流。(18)

P R

由此可见，通过电阻的适当调节，持久电流和瞬变电流都可以被消除， 然后 L 和 N 之比就可似通过电阻的比较来确定。

第十七章附录

｛测量一个线圈的自感系数的方法，在采自麦克斯韦关于电磁场的动力学理论的论文的下述节录中有所描述。该论文见 Phil,Trans,155 ， pp．475—477．

（论用一个电秤来测定感应系数）

电秤包括把四个点 A、C、D．E 两两相连的六个导体。其中一对点 AC 是通过一个电池 B 而互相连接的。相对的一对点 DE 是通过一个电流计 G 而互相连接的。于是，如果其余四个导体的电阻用 P、Q、R、S 来代表，而它们中的电流用 x、x—z、y、y+z 来代表，则通过 G 的电流将是 z。设各点的电势是 A、C、D、E。于是恒稳电流的条件可由下列各方程

求出：

Px = A − D，Q( x − z) = D − C， 

Ry = A − E，S( y + z) = E − C， 

(21)

Gz = D − E，B( x + y) = −A + C + F

对 z 求解这些方程，我们就得到

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

z P + Q + R + S + B( P + )( + ) + G( P + )( + S)

 R Q S Q R

+ BG (P + Q + R + S) = F( 1 − 1 )．(22)

PQRS

 PS QR

在这一表示式中，F 是电池的电动势；z 是电流达到稳定时通过电流计的电流；P、Q、R、S 是四个臂的电阻；B 是电池和电极的电阻；G 是电流计的电阻。(44)如果 PS=QR，则 z=0，从而就不会有恒稳电流通过电流计， 而只有当电路接通或开断时由于感应而产生的瞬变电流才能通过它，而且电流计的示数就可能用来确定感应系数，如果我们理解所发生的作用的话。

我们将假设 PS=QR，于是当过了足够的时间以后电流 z 就将变为零， 并有

F( P + Q)( R + S)

x(P + Q) = y(R + S) = ( P + Q)( R + S) + B(P + Q + R + S) ．(23)

设 P、Q、R、S 之间的感应系数由下表给出：P 对自己的感应系数是 p， P 和 Q 之间的感应系数是 h，余类推。

设 g 是电流计对它自己的感应系数，并设它不受 P、Q、R、S 的影响（因为必须如此，以避免 P、Q、R、S 对指针的直接作用）。设 X、Y、Z 是 x、y、z 对 t 的积分。当刚刚接通电路时，x、y、z 是零。过了一段时间，z 变为零，而 x 和 y 达到常值。因此，每一个导体的方程就将是

PX + (P + h)x + (k + l)y = ∫ Adt − ∫ Ddt， 

Q(X − Z) + ( h + q)x + ( m + n)y = ∫ Ddt − ∫ Cdt，

(24)

RY + (k + m)x + (r + o)y = ∫ Adt − ∫ Edt， 

S(Y + Z) + (l + n)x + (o + s) y = ∫ Edt − ∫ Cdt， 

GZ = ∫ Ddt - ∫ Edt．

解这些方程以求 Z，我们就得到

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ZP + Q + + + B( P + )( + ) + G( + )( + )

 R S

R Q S

P Q R S

• BG



(P + Q + R + S) = −F

1  p − q − r + s

PQRS

 

 PS  P Q R S

+ h( 1 −

1 1 1 1

) + k( − ) + l( +

1 1 1

) − m( + )

p Q R P R Q p S

1 1 1 1 

n( +

Q S

) + o(

S + R

)．(25)



现在设由强度｛总电量｝为 Z 的瞬时电流所引起的电流计偏转角为α。设当 PS 和 QR 之比不是 1 而是ρ时所引起的持久偏转角为 Q。另外再设电流计指针从静止点到静止点的振动时间为 T。于是，令

p − q − r

s h( 1 − 1 ) + k( 1 − 1 ) + l( 1 − 1 )

P Q R + S + P Q R P R Q

− m( 1 + 1) + n( 1 − 1) + o( 1 − 1 ) = r，

(26)

P S Q S S R

我们就得到

1

Z = 2 sin 2 α T = r

z tan θ π ρ − 1 ．(27)

当用实验来测定τ时，最好利用金肯先生在 1863 年向大英协会提交的

报告中所描述的装置来改变一个臂的电阻；利用这种装置，从 1 到 1.01 的任意ρ值都可以精确地量出。

我们先观察｛α｝，即当电流计接在电路中而各电阻已调节得不会给出持久电流，当接通电流时由感应脉冲而引起的最大偏转角｛摆幅｝。

然后我们观察｛β｝，即当一个臂的电阻按ρ比 1 的比例增大时由持久电流引起的最大偏转角｛摆幅｝，电流计起初不接通，直到电池已接通一会儿以后才接通。

为了消除空气阻力的影响，最好改变ρ直到近似地有β=2α为止。这时就有

r = T 1 (ρ − 1)

π

2 sin 1 α

2

1

tan 2 β

如果除 P 以外电秤各臂都是一些用在绕制以前双折起来的不太长的很细导线绕成的电阻线圈，则属于这些线圈的感应系数将可忽略不计，从而τ就将简化为 p/P。因此，电秤就给我们提供了一种手段，来测量其电阻为已知的任意电路的自感。

第十八章

电阻的电磁单位

用电磁单位来测量一个线圈的电阻

758．〕一个导体的电阻定义为电动势的数值和它在导体中产生的电流的数值之比。当我们知道了地球磁力的值时，以电磁单位计的电流值的测定可以利用一个标准电流计来进行。电动势值的测定更加困难一些，因为我们可以直接计算它的值的唯一事例就是当电动势起源于电路对一个已知磁体系的相对运动时的那个事例。

759．〕按电磁单位来对一根导线的电阻进行的最初测定，是由基尔霍夫①作出的。他使用了两个形状已知的线圈 A 和 A ，并根据有关各线圈之

形状和位置的几何数据算出了它们的互感系数。这些线圈和一个电流计 G 以及一个电池 B 接成一个电路，而电路的两点，即二线圈之间的点 P 和电池与电流计之间的点 Q，则用要测量它的电阻 R 的那条导线连接了起来。当电流稳定时，它就分流在导线电路中和电流计电路中，并引起电流计的某一持久偏转角。如果现在线圈 A1 被从 A2 很快地取走并被放在一个 A1 和A2 之间的互感系数为零的位置上（第 538 节），则在两个电路中都会引起一个感生电流，而电流计指针就受到一个冲击，这个冲击就引起某一瞬变偏转角①。

导线的电阻 R 根据由恒稳电流所引起的持久偏转角和由感生电流所引起的瞬变偏转角的比较来推出。

设 QGA1P 的电阻为 K，PA2BQ 的电阻为 B，而 PQ 的电阻为 R. 设 L、M 和 N 是 A1 和 A2 的感应系数。

• • ⊕

设x是G中的电流，y是B中的电流，则从P至Q的电流是x- y．

设 E 为电池的电动势，于是就有

(K +

• • d • •

R) x− R y+ dt (L x+ M y) = 0．(1)

− • • d • •

R x+ ( B + R) y+ dt ( M x+ N y) = E．(2)

当各电流为常值而一切物体都静止时,

• •

(K + R) x− R y = 0． (3)

如果现在 M 由于 A1 和 A2 的分离而突然变为零，则对 t 积分，就得到

① ｛除非条件式 M2L1—M1L2=0 近似的得到满足，不然由瞬变电流所引起的电流零点的不稳定性就会使我们无法准确地确定当接通电池电路时电流计中是否有一次“冲动”。｝

① ‘BestimmungderConstaten,vonwelcherdieIntensit(tinducirterelektrischerStr(meabh(ngt ．’Pogg．，Ann．，lxxvi

（April1849）。

由此即得

•

(K + R)x − Ry − My = 0，(4)

− Rx(B + R)y − M x = ∫ Edt = 0；(5)

• •

(B + R) y+ R x

x = M (B + R)(K + R) − R² ．(6)

• •

按照（3）将y 值用x 表示出来并代入，就有

x M (B + R)(K + R) + R²

• = (B + R)(K + B) − R ² ．

(7)

M  2R² 

= R 1 + (B + R)( K + R) + 

(8)

当像在基尔霍夫的实验中一样 B 和 K 都比 R 大得多时，这一方程就简化为

x = M ． (9)

•

x

在这些量中，x 可以根据由感应电流引起的电流计摆幅来求出。请参

•

阅第748节。持久电流x 可以根据由恒稳电流引起的持久偏转角来求出，

见第 746 节。M 或是通过按几何数据而直接算出，或是通过和已经作过这种计算的一对线圈相对比来求出，见第 755 节。根据这三个量，R 就可以按电磁单位而被确定。

这些方法都涉及电流计磁体的振动周期的测定，以及该磁体的振动的对数减缩的规定。

韦伯的瞬变电流法 760．]一个颇大的线圈被装在一个轴上，可以绕着它的一个竖直的直径而转动。线圈的导线和一个正切电流计的线圈相连接而成为一个单一的电路。设这个线圈的电阻是 R.把大线圈放好，使它的正面垂直于磁子午面，然后使它很快地转动半周。这时将出现由地球磁力所引起的感生电流，而以电磁单位计，这个电流中的总量将是

Q = 2g1 H ，(1) R

式中 g1 是单位电流下的线圈磁短；在一个大线圈的事例中，这个量可以通过测量线圈的尺寸并计算各线匝的面积之和来直接确定。H 是地磁的水平分量，R 是由线圈和电流计一起组成的电路的电阻。这个电流会使电流计的磁体运动起来。

如果磁体起初是静止的，而且线圈的运动只占磁体振动时间的一个小分数，那么，如果忽略对磁体运动的阻力，我们由第 748 节就得到

Q = H T 2 sin 1 θ，(2)

G π 2

① ｛更加方便的是反转 A2 中的电流而不是搬走线圈 A1。在这种事例中，通过冲击电流计的电量是正文中所给电量的两倍。基尔霍夫的方法曾被 Glazebrook、Sargant 和 Dolds 用来按绝对单位测定电阻。见phil．Trans．1883.pp．233—268．｝

式中 G 是电流计的常量，T 是磁体的振动时间，而θ是观察到的伸长。我们由这些量就得到

R = πGg1

1

1 ，(3)

Tsin 2 θ

H 的值并不出现于这一结果中，如果它在线圈的位置上和在电流计的位置上是相同的话。这里不应该假设情况正是如此，而必须通过比较同一磁体在不同地方的振动时间来加以检验；磁体先放在其中一个位置上，然后又放在另一个位置上。

761.]为了进行一系列观测，韦伯是从使线圈平行于子午线开始的。然后他把线圈转得北面朝向北方，并观察了由负电流引起的第一伸长。然后他观察了自由摆动磁体的第二伸长，而当磁体回到平衡点时把线圈转得正面朝向了南方。这就使磁体反冲到了正侧。这个系列继续进行，正如在第750 节中一样，而且也对结果进行了阻力方面的改正。用这种办法，就确定了线圈和电流计的组合电路的电阻。

在所有这样的实验中，为了得到足够大的偏转角，必须用铜来做导线， 而铜这种金属虽然是最好的导体，但却有一种缺点，那就是它的电阻会随温度的变化而发生颇大的变化。因此，为了从这种实验得出具有永久价值的结果，实验电路的电阻必须在实验之前和之后都和一个精心制造的电阻线圈的电阻进行比较。

韦伯的观察磁体振动之减缩的方法

762.]一个磁矩颇大的磁体被挂在电流计线圈的中心上。对振动的周期和对数减缩进行了观测，起初是当电流计线路断开时，然后是在线路闭合时，而电流计线圈的电导则根据磁体的运动所引起的感生电流在阻滞运动方面的效应推导了出来。

如果 T 是观测到的单次振动的时间，而λ是每单次振动的自然对数减缩，那么，如果我们写出

ω =  π ，(1) T

α = λ ，(2) T

则磁体的运动函数将具有下列的形式：

φ = Ce^−at cos(ωt + β) (3)

这就表示了通过观测而定出的运动的本性。我们必须把此式和动力学运动方程进行比较。

设 M 是电流计线圈和悬挂磁体之间的感应系数。它具有下列的形式：

M = G1g1P1 (θ) + G 2 g 2 P2 (θ)

，(4)

式中 G1、G2 等等是属于线圈的系数，g1、g2 等等是属于磁体的系数，而P1(θ)、P2(θ)等等是线圈和磁体的轴线夹角的带谐函数。请参阅第 700 节。通过适当安排电流计的线圈，并通过把若干个磁体按适当距离并排起来以构成悬挂的磁体，我们可以使 M 中第一项以后的所有各项和第一

π

项相比都成为微不足道。如果再令φ = 2 －θ，我们就可以写出

M = Gm sinθ，(5)

式中 G(=G1)是电流计的主系数，m 是磁体的磁矩，而φ是磁体轴线和线圈平面之间的夹角，它在这一实验中永远是一个小角。设 L 是线圈的自感系数，R 是它的电阻，而γ是线圈中的电流，则有

d (Lγ + M) + Rγ = 0，(6) dt

或者写成

L dγ + Rγ + Gm cosφ dφ = 0．(7)

dt dt

dM

电流γ作用在磁体上的力矩是γ dφ ，或者说是Gmγcosφ. 在这个实验

中，角φ是如此之小，以致我们可以假设 cosφ=1.让我们假设，当电路被开断时，磁体的运动方程是

d²φ

A dt ²

• B dφ

dt

+ Cφ = 0，(8)

dφ

式中A是悬挂仪器的磁矩，B dt 代表由空气粘滞性和悬丝粘滞性等等所

引起的阻力，而 Gφ代表起源于地磁、悬挂仪器的扭转等等的倾向于把磁体带到它的平衡位置去的力矩。

受到电流影响的运动方程将是

d²φ

A dt ²

• B dφ

dt

+ Cφ = Gmγ．(9)

为了确定磁体的运动，我们必须把此式和(7)式结合起来以消去γ结果就是

(L d dt

• R)(A

d2

dt ²

• B d

dt

C)φ + G ²m² dφ = 0，(10) dt

这是一个三阶的线性微分方程。

然而我们却没有任何求解这一方程的必要，因为问题的数据是观测到的磁体运动的要素，而我们必须根据这些要素来求 R 的值。

设α0 和ω0 是当电路被开断时方程(3)中的α值和ω值。在这一事例中，R 是无限大而方程(10)简化成(8)的形式。于是我们就有

B=2Aα0，C=A(α02+ω02)．(11)

解方程(10)而求 R，并写出

我们就得到

G 2 m2

d = −(α + iω)，式中ei = − 1，(12) dt

α + iω

R = A

α² − ω ² + 2iαω − 2α

₀ (α + iω) + α 0

2 + ω 2

+ L(α + iω)．(13)

既然ω的值通常是比α的值大得多的，最好的 R 值就可以通过令含 i ω的项相等来求出，

G ²m² 1 ω ² − ω ²

R = 2A(α − α )

+ 2 L(3α − α0

− ⁰ )．(14)

α − α 0

我们也可以通过令不含 i 的项相等来求得一个 R 值，但是由于这些项

很小，这一方程只有在作为检验观测精确度的一种手段方面才是有用的。我们由这些方程得到下列的检验方程：

G² m² {α² + ω ² − α ² − ω ²}

= LA{(α − α ) ⁴ + 2(α − α ) ² (ω² + ω

² ) + (ω ² − ω

2 )² }．(15)

既然 LAω2 和 G2m2 相比是很小的，这一方程就给出

ω ² − ω ² = α ² − α ²；(16)

而方程(14)就可以写成

G2 m2

R = 2A(α − α 0 ) + 2Lα．(17)

在这个表示式中，G 或是通过电流计线圈的线度测量来确定，或是更好地按照第 753 节的方法通过和一个标准线圈相对比来确定。A 是磁体及其悬挂仪器的惯量矩，必须用适当的动力学方法来求出。ω、ω0、α和α ₀ 通过观测来得出。

悬挂磁体的磁矩 m 的值的测定，是这种研究的最困难的部分,因为它受到温度的影响、地磁力的影响和机械磕碰的影响，从而在当磁体处于和它在振动时相同的情况下时来测量这个量就必须十分小心。

R 中包含 L1 的那个第二项是重要性较小的，因为它通常和第一项相比是很小的。L1 的值可以或是根据已知的线圈形状来计算，或是通过一个关于附加感应电流的实验来测定。请参阅第 756 节。

汤姆孙的旋转线圈法

763.]这种方法是由汤姆孙向大英协会的电学标准委员会提出的，实验由巴耳德·斯提瓦特、弗里明·金肯和本书作者于 1863 年作出①。一个圆形线圈被弄得以均匀速度绕着一条竖直轴线转动起来。一个小磁体被一根丝线挂在线圈的中心。地磁和悬挂磁体都在线圈中引起感生电流。电流是交变的，在转动的不同阶段在导线中沿相反的方向运行，但是电流对悬挂磁体的效应却总是引起一个从地磁子午面向线圈转动方向的偏转。

764.]设 H 是地磁的水平分量。设γ是线圈中电流的强度。

g 是一切线匝所包围的总面积。

G 是由单位电流所引起的线圈中心上的磁力。L 是线圈的自感系数。

M 是 悬 挂 磁 体 的 磁 矩 。θ是线圈平面和磁子午面之间的夹角。 φ是悬挂磁体的轴线和磁子午面之间的夹角。A 是 悬 挂 磁 体 的 磁 矩 。MHτ是悬丝的扭转系数。 α是磁体在没有扭力时的方位角。

R 是线圈的电阻。

① Elekt.Maasb.：orPogg．,Ann，lxxii.pp.337—369（1851）．

体系的动能是

T = 1 Lγ ² − Hgγ sin θ − MGγ sin(θ − φ) + MH cosφ + 1 Aφ² ．(1)

2 2

第一项 1 Lγ ² 表示依赖于线圈本身的电流能量。第二项依赖于电流和

2

地磁的相互作用；第三项依赖于电流和悬挂磁体之磁性的相互作用；第四项依赖于悬挂磁体之磁性和地磁的相互作用；而最后一项则代表构成磁体以及和它一起运动的悬挂仪器的那些物质的动能。

由悬丝的扭力引起的悬挂仪器的势能｛的可变部分｝是

V = MH τ(φ ² − 2φα)．(2) 2

电流的电磁动量是

dT

p = dγ = Lγ − Hg sin θ − MG sin(θ − φ)，(3)

而如果 R 是线圈的电阻，则电流的方程是

d ²T

Rγ + dtdγ = 0，(4)

或者，既然就有

θ = ωt，(5)

(R + L d )γ = Hgω cosθ + MG(ω − φ) cos( θ − φ)．(6) dt

765．]理论和实验的结果都是，磁体的主位角φ遭受到两种周期振动。其中一种是自由振动，其振动周期依赖于地磁的强度，在实验上是几秒。另一种是受迫振动，其周期是转动线圈的周期的一半，而其振幅则正如我们即将看到的那样是不可觉察的。因此，在测定γ时，我们可以认为γ实际上是不变的。于是我们就得到

γ = Hgω

R² + L²ω²

• MG ω

R² + L²ω ²

• Ri

(R cosθ + Lω sin θ) (7)

{R cos(θ − φ) + Lω sin(θ − φ)}，(8)

• Ce L （9）

当转动保持均匀时，这个表示式的最后一项很快就会消失。悬挂磁体的运动方程是

d²T dT dV

由此即得

••

• − +

dtd φ

= 0，(10)

A φ− MGγ cos(θ − φ) + MH(sin φ + τ(φ − α)) = 0．(11)

把γ的值代入并按照θ倍数的方程整理各项，于是我们根据观测就知

道

φ = φ + be ^−lt cos nt + c cos 2(θ − β)，(12)

式中φ0 是φ的平均值，第二项代表逐渐衰减的自由运动，而第三项则代表

由致偏电流的变化所引起的受迫振动。

从(11)中不含θ而必须集体等于零的各项开始，我们就近似地得到

MGω {Hg(R cos φ + Lω sin φ ) + GMR}

R2 + L2ω 2 0 0

= 2MH(sin φ0 + τ(φ0 − α)．(13)

既然 Ltanφ0 和 Gg 相比通常是很小的｛GMsecφ和 gH 相比亦然｝，二次方程(13)的解就近似地给出

Ggω  GM

R =

2L 2L 2

φ − α

1 +

gH sec φ 0 −

( − 1) tan φ0

2 tan φ0

(1 + τ ⁰ ) 

sin φ

Gg Gg

0

− ( 2L ) ² ( 2L − 1) ² tan ⁴ φ



．(14)

Gg Gg ⁰ 

如果我们现在应用方程(7)、(8)和(11)中的主导项①，

HM

我们就将发现方程（12）中的n值是 A sec φ 0 ．受迫振动的振幅c的值

1 n²

是 4 ω 2 sinφ0 。由此可见，当线圈在磁体的一次自由振动期间转动许多周时，磁体受迫振动的振幅就是很小的，从而我们就可以略去(11)中含 c 的各项。

766．]于是，在电磁单位制中，电阻就可以通过速度ω和偏转角φ来确定。没有必要测定水平地磁力 H，如果它在实验过程中保持不变的话。

为了测定 M ，我们必须像在第454节中描述过的那样利用悬挂磁体H

来引起磁强计的偏转。在实验中，M 应该很小，以便这一改正量只具有次要的意义。

关于这一实验所需要的其他改正量，请参阅 Report of the BritishAssociation for 1863，P.168.

焦耳的量热法

767.]由第 242 节中的焦耳定律可知，一个电流γ在通过一个电阻为 R 的导体时所产生的热量是

h = 1 Rγ ²dt．(1) J

式中 J 是所用的单位热量的力学单位当量。

由此可见，如果 R 在实验过程中保持不变，则它的值是

Jh

R =

∫ γ ²dt

．(2)

这种测定 R 的方法涉及电流在一段给定时间内产生的热量 h 的测定， 以及电流强度的平方 r2 的测定。

在焦耳的实验中①，h 是通过导线所浸入于其中的一个容器中水的温度

① 见 ReportoftheBritishAssociationfor1863，pp.111—176．

的升高来测定的。通过在导线中不通入电流时的另一些实验，对结果进行了有关辐射效应等等的改正。

电流的强度是用一个正切电流计来测量的。这种方法涉及地磁强度的测定，那是用在第 457 节中描述过的方法来进行的。这些测量结果也用第

726 节所描述的电秤来进行了检验，那种电秤是直接测量γ2 的。然而， 测量∫ γ ²dt的最直接的方法却是把电流通入一个带有给出正比于γ ²的读 数的刻度盘的自动力测电流计（第 725 节）中，并按相等的时间间隔来进行观测，这可以通过在整个的实验过程中在仪器每一次振动的最远点上进行读数来近似地作到①。

① ｛更加简短而同样精确的办法是在方程（6）中令 L=0 并把相应的γ值代入（11）中。｝

① ReportonStandardsofElectricalResistanceoftheBritishAssociationfor1867，pp.474—522.

第十九章

静电单位和电磁单位的比较

电量的一个电磁单位所含静电单位的数目的测定

768．]两种单位制中各电学单位的绝对大小，都依赖于我们所采用的长度、时间和质量的单位，而且他们依赖于这些单位的方式在两种单位制中是不同的，因此，按照长度和时间的单位的不同，电学单位的比值也将用不同的数字来表示。由第 628 节中的量纲表可以看出，电量的一个电磁单位所含静电单位的数目，和我们采用的长度单位的大小成反比而和所用时间单位的大小成正比。

因此，如果我们确定一个在数值上用这个数目来表示的速度，则即使当我们采用新的长度单位和时间单位时，表示这一速度的那个数目也将仍然是按照新的测量单位制来看的电量的一个电磁单位所含静电单位的倍数。

因此，指示着静电现象和电磁现象之间的关系的这个速度，就是一个有着确定大小的自然量，而这个量的测量就是电学中的最重要研究之一。为了证明我们所要寻求的量确实是一个速度，我们可以指出，在两个

平行电流的事例中，其中一个电流的一个长度 a 所受到的吸引力按照第686 节是

F = 2CC' a ，

b

式中 C、C′是以电磁单位计的电流的数值，而 b 是他们之间的距离。如果我们令 b=2a，就有

F=CC′.

现在，电流 C 在时间 t 内传送的电是 Ct 个电磁单位，或者说是 nCt 个静电单位，如果 n 是一个电磁单位所含静电单位的倍数的话。

设两个小导体被充上了这两个电流在时间 t 内所传送的电量,并把他们放在相距为 r 的位置上。他们之间的推斥力将是

CC' n²t ²

F' = ．

r 2

设适当选择距离 r，使得这个推斥力等于电流的吸引力，于是就有

由此即得

r=nt；

CC' n²t ²

r 2

= CC' ．

或者说，距离 r 必须按速率 n 而随着时间 t 来增大。由此可见 n 是一个速度，它的绝对量值是相同的，不论我们采用什么单位。

769．]为了得到有关这一速度的物理观念，让我们想像一个充电到静电面密度σ并在自己的平面内以速度 v 而运动的平表面。运动的带电表面将是和一个电流层相等价的；通过单位表面宽度的电流强度，以静电单位

计是σv，而以电磁单位计是 1 σv，如果n是一个电磁单位所含的静电单

n

位的倍数的话。如果平行于第一个表面的另一个平表面被充电到面密度σ

′并沿相同的方向以速度 v′而运动，它就将和第二个电流层相等价。由第 124 节可知，对相对着的两个表面上的单位面积来说，两个带电

表面之间的静电推斥力是 2πσσ′．

由第 653 节可知，对单位面积来说，两个电流层之间的电磁吸引力是2πuu′，此处 u 和 u′是从电磁单位计的电流的面密度。

但是u

1 v而u'

1 ' v' ，从而吸引力就是

= n σ

= n σ

2πσσ' vv' ．

n2

吸引力和推斥力之比，等于 vv＇和 n2 之比。由此可见，既然吸引力和推斥力是种类相同的量，n 就必然是一个和 v 种类相同的量，就是说它必然是一个速度。如果我们现在假设每一个运动平面的速度都等于 n，吸引力就将等于推斥力，从而平面之间就将没有任何的机械作用力。因此我们就可以把电学单位之比定义为一个这样的速度：当以这个速度沿相同的方向运动时，两个带电表面之间没有相互作用力。既然这个速度约为每秒 300

000 公里,进行上述这样的实验就是不可能的。

770．]如果电荷面密度和速度都可以被弄得很大，以致磁力成为一个可测量的量，我们就至少可以验证我们的假设，即运动的带电体和电流相等价。

我们可以假设①，空气中的一个带电表面当电力 2πσ达到 130 这个值时就开始通过火花而放电。由电流层引起的磁力是

2πσ v ．在英国，水平磁力约为0.175．因此，一个充电到最高程度并n

以每秒 100 米的速度运动着的表面将对一个磁体作用一个约为地球水平磁力的四千分之一的力，这是一个可以测量的量。带电表面可以是一个在磁子午面内转动着的非导体圆盘的表面，磁体可以放在靠近圆盘的上升部分或下降部分的地方，并用一个金属屏来屏蔽圆盘的静电作用。我不知道这个实验迄今是否有人作过①。

Ⅰ．电量单位的比较

771．]既然电量的电磁单位和静电单位之比是用一个速度来表示的， 我们在以后就将用一个符号 v 来代表它。这一速度的最初的数值测量是由

① ｛关于求出一个电阻的绝对量质的各种方法的相对优缺点，请读者参阅瑞利勋爵的一篇论文，见Phil.Mag.Nov.1882.在正文中没有讲到的一种由洛伦兹提出的很精彩的方法，曾由瑞利勋爵和西德威克夫人进行了充分的描述，见 Phil.Trans.1883，PartI,pp.295—322．读者也应参阅相同作者们的论文： ‘ExperimentstodeterminethevalueoftheBritishAssociationUnitofResistanceinAbsoluteMeasure，’ Phil.Trans．1882．PartⅡ，pp.661—697．｝

① SirW．Thomson,R.S.Proc.orReprint，Art.xix.pp.247—259.

韦伯和考耳劳什作出的②。他们的方法依据的是同一个电量的测量，先用静电单位然后用电磁单位来测量。

所测量的电量是一个莱顿瓶的电荷。它是作为瓶的电容和它的两板之间电势差的乘积而用静电单位测量的。瓶的电容通过和一个挂在远离一切物体的开阔空间中的球的电容相对比来加以测定。这样一个球的电容在静电单位制中是用它的半径来表示的。于是瓶的电容就可以作为某一长度而被求出来和表示出来。请参阅第 227 节。

瓶的两板之间的电势差通过把两板接在一个静电计的两极上来测量； 静电计的常量已经很仔细地测定过，从而电势差 E 就是在静电单位下被得知的了。

通过把这个电势差乘以瓶的电容 c，瓶的电荷就用静电单位表示了出来。

为了用电磁单位来测定电荷的值，通过一个电流计的线圈来把莱顿瓶放了电。瞬变电流对电流计磁体的效应使磁体得到一定的角速度。于是磁体就向某一偏转角摆过去，而在那个偏转角上它的速度将被地磁的反向作用所完全消除。

通过观测磁体的最大偏转角，放电中的电量就可以像在第 748 节中一样按照公式

Q = H T 2 sin 1 θ



G π 2

而用电磁单位测定出来，式中 Q 是以电磁单位计的电量。因此我们必须测定下列各量：

H，地磁水平分量的强度；见第 456 节。

G，电流计的主常量；见第 700 节。T，磁体单次振动的时间。 θ，由瞬变电流引起的偏转角。

由韦伯先生和考耳劳什先生求得的 v 值是

v=310740000 米每秒。

固体电介质的那种曾被称为“电吹收”的性质，使人们很难正确地估计莱顿瓶的电容。表观的电容随着从瓶的充电或放电到电势的测量之间的时间而变，过的时间越长则求得的瓶的电容值越大。

因此，既然求得静电计的一个读数所需的时间和通过电流计进行放电所经过的时间相比是很长的,那么按静电单位进行的对放电的估计就或许偏高，从而由此导出的 v 值也或许偏大。

Ⅱ．表示为一个电阻的“v”

772．]另外两种测定 v 的方法导致一个用某一给定导体的电阻来表示v 值的表示式；在电磁单位制中，电阻也是被表示为一个速度的。

在威廉·汤姆孙的实验形式下，让一个电流通过了一根电阻很大的导线。促使电流通过导线的电动势通过把导线的两端接在一个绝对静电计的

② ｛这一效应是由罗兰教授在 1876 年发现的。关于以后有关这一课题的实验，请参阅 Rowland and Hutchinson，Phil．Mag.27.445（1877）;Ronten，wied.Ann.40.93;Himstedt,wied.Ann.40.720.｝

两极上而静电地加以测量，见第 217、218 节。导线中电流的强度用电流所通过的一个力测电流计的悬挂线圈的偏转角来用电磁单位加以测量，见第725 节。电路的电阻通过和一个标准线圈或标准欧姆相比较而在电磁单位下成为已知。通过把电流强度乘以这个电阻，我们就得到以电磁单位计的电动势，而通过把这个值和以静电单位计的值相比较，就能得到 v 的值。这种方法要求分别利用静电计和力测电流计来同时测定两个力,而出现在结果中的只是这两个力的比值。

773．]在另一种方法中，这些力不是分别被测量而是直接互相反向； 这种方法是由本书作者所应用了的。大电阻线圈的两端被接在两个平行的圆盘上，其中一个圆盘可以活动。使电流通过大电阻的同一电动势也在圆盘之间产生一个吸引力。与此同时，在实际的实验中和原电流不同的一个电流被送入两个线圈中，其中一个线圈和固定圆盘的背面相接，而另一个则和活动圆盘的背面相接。电流在这些线圈中沿相反的方向流动，从而他们是互相推斥的。通过调节两个圆盘的距离，吸引力就准确地被推斥力所平衡，而与此同时，另一个观测者就用一个带分流器的差绕电流计来测定原电流和副电流的比值。

在这一实验中，必须涉及一种物质标准的唯一测量就是那个大电阻的测量，它必须通过和标准欧姆相比较来用绝对单位测定出来。其他的测量结果只是为了测定比值，从而是可以采用任意的单位的。

例如两个力的比值就是 1．

两个电流的比值是当差绕电流计的线圈没有偏转时通过电阻的比较来求出的。

吸引力依赖于圆盘直径和盘间距离之比的平方。推斥力依赖于线圈直径和线圈距离之比。

因此 v 的值就是通过大线圈的电阻来直接表示的，而该电阻本身则是和标准欧姆进行比较的。

用汤姆孙方法得出的 v 值是 28.2 欧姆③；用麦克斯韦方法得出的是

28.8 欧姆①。

Ⅲ．以电磁单位计的静电电容

774．]一个电容器的电容可以通过产生电荷的电动势和放电电流中的电量的比较而用电磁单位来测定。利用一个化学电池，在一个包括大电阻线圈的电路中保持一个电流。电容器通过把它的电极和电阻线圈的电极相接触而被充电。通过线圈的电流用它在一个电流计中引起的偏转角来测量。设φ是这个偏转角，则由第 742 节可知电流是

γ = H tan φ，

G

式中 H 是地磁的水平分量，而 C 是电流计的主常量。

如果 R 是这个电流所通过的那一线圈的电阻，则线圈两端的电势差是

E=Rγ，

③ ElektrodynanamischeMaasbestimmungen;andPogg.,Ann,xcix(Aug.pp.10—25，1856）．

① PeportofBritishAssoication,1869,p.434.

而在其电容为 C 个电磁单位的电容器中产生的电荷则是

Q=EC．

现在从电路中先断开电容器的电极，再断开电流计的电极，并让电流计的磁体在它的平衡位置上达到静止。然后把电容器的电极和电流计的电极互相接通。一个瞬变电流将流过电流计并使磁体摆到一个极端偏转角θ．于是，第 748 节可知，如果放电量等于充电量，则有

Q = H T 2 sin 1 θ．

G π 2

于是，作为以电磁单位计的电容的值，我们就得到

1

T 1 2 sin 2 θ

C = π R

tan φ ．

于是，一个电容器的电容就由下列各量来确定：

T，电流计磁体从静止点到静止点的振动时间。R，线圈的电阻。 θ，由放电引起的摆角极限。 φ，由通过线圈的电流所引起的常值偏转角。

这种方法是由弗里明·金肯教授在以电磁单位测定电容器的电容时应用了的②。

如果 C 是以静电单位计的同一电容器的电容，例如通过和一个其电可以根据它的几何数据来算出的电容器相比较而测定的电容，我们就有

C=v2C．

由此即得

v2 = πR c tanφ ．

T 2 sin 1 θ

2

因此 v 这个量就可以用这种办法求得。它依赖于以电磁单位计的 R 的测定，但是，既然它只包含 R 的平方根，这种测定中的误差就不会像在第772、773 节中的方法中一样对 v 的值有那么大的影响。

断续电流法

775．]如果一个电池电路的导线在任一点上被断开，并把断开的两端接在一个电容器的两个电极上，则电流将流入电容器，但其强度将随电容器二板之间的电势差的增大而减小，因此当电容器已经接收到和作用在导线上的电动势相对应的全额电荷时，电流就完全停止了。

如果现在把电容器的两个电极从导线两端断开，然后按相反的顺序再和他们接起来，电容器就会通过导线而放电，然后就将按相反的方式被充电，于是就有一个瞬变电流通过导线，其总电量等于电容器电荷的两倍。利用一种机构（通常称为“换向器”），反转连接电容器的手续可以

按相等的时间间隔而重复进行，每一个间隔等于 T．如果这段时间足以使电容器来得及完全放电，导线在每一间隔中输送的电就将是 2EC，此处 E

② Phil.Trans.,1868.p.643;andReportofBritishAssociation,1869,p.436.

是电动势而 C 是电容器的是电容。

如果接在电路中的一个电流计的磁体加了载重，从而它摆动得很慢， 以致在磁体的一次自由振动的时间内将发生电容器的许多次放电，则逐次

的放电将像一个强度为 2EC 的恒稳电流那样对磁体起作用。

T

如果现在把电容器取走而用一个电阻线圈来代替它，并调节线圈直到通过电流计的恒稳电流和那些逐次放电产生相同的偏转角，那么，如果这时整个电路的电阻是 R，则有

E = 2EC ；(1)

或者写成

R T

T

= 2C

(2)．

于是，我们可以把一个带有活动着的换向器的电容比拟为某一个电阻，而为了测量这个电阻，我们可以利用在第 345——357 节中描述了的那些不同的测量电阻的方法。

1. 〕为此目的，我们可以把第 346 节的差绕电流计法中或第 347 节的惠斯登电桥法中的任何一条导线换成一个带换向器的电容器。让我们假设，在其中任一事例中，已经先用一个带换向器的电容器而后又把它换

T

成一个电阻为R1 的线圈来得到了电流计的零偏转，于是量 2C

就可以用

一个电路的电阻来量度，此时线圈 R1 就是这个电路的一部分，而另一部分则是包括电池在内的其余导电体系。因此，我们所要计算的电阻 R 就等于电阻线圈的电阻 R1 再加上其余体系（包括电池在内）的电阻，这时把电阻线圈的两端看成其余体系的电极。

在差绕电流计和惠斯登电桥的事例中，用不着把电容器换成一个电阻线圈来进行第二个实验。为此目的而要求的电阻值，可以根据体系中其他的已知电阻计算出来。

利用第 347 节中的符号，假设电容器和换向器取代了惠斯登电桥上的导体 AC，设电流计接在 OA 上而电流计的偏转角为零，于是我们就知道， 当接在 AC 上时将引起零偏转角的那个线圈的电阻是

cγ

b = β = R1 (3)．

电阻的另一部分，R2，就是各导体 AO、OC、AB、BC 和 OB 所构成的体系的电阻，此时把 A 点和 C 点看成电极。由此可见，

β(c + α)( γ + α) + cα( γ + α) + γα(c + α)

R2 =

(c + α)(γ + α) + β(c + α + γ + α)

．(4)

在这一表示式中，a 代表电池及其接线的内阻，它的值并不能很准确地被测定；但是，通过把它弄得远小于其他电阻，这种不准确性就将只对 R2 的值有很小的影响。

以电磁单位计的电容器的电容值是

T

C =

2(R1 + R2 )

． ①(5)

1. 〕如果电容器有一个很大的电容，而且换向器的动作很迅速，则电容器可能并不是在每一次换向时都能充分放电的。放电过程中的电流方程是

Q + R C dQ + EC = 0，(6)

² dt

式中 Q 是电容器的电荷，C 是它的电容，R2 是电容器两极之间的体系其余部分的电阻，而 E 是由于电池的接通而引起的电动势。由此即得

Q = (Q0

式中 Q0 是 Q 的初始值。

• EC)e

• t

R2 C

− EC，(7)

如果τ是在每一次放电中保持接触的时间，则每次所放的电量是

Q = 2EC

1− e 1+ e

− τ

R₂C

_τ ．(8)

−

R₂C

通过使方程(4)中的 C 和γ比β、a 或α大得多，由 R2C 表示的时间可

以被弄得比τ小得多，以致我们在计算指数表示式的值时可以使用方程(5) 中的 C 值。于是我们就得到

  τ = 2 R1 + R2

τ

，(9)

R2 C R2 T

式中 R1 是为了产生等价的效应而必须用来代替电容器的那个电阻。R2 是体系其余部分的电阻，T 是开始放电和下一次开始放电之间的时间，而τ是每一次放电的接触时间。于是，我们就得到以电磁单位计的正确的 C 值：

− 2 R1 +R2 τ

1 T 1 + e

C = 2 R + R

R₂ T

_{R +R τ} ． (10)

− 2 1 2

^{1 2} 1 − e

R₂ T

Ⅳ．电容器的静电电容和线圈自感系数的电磁电容的比较

1. 〕如果一个传导电路中其间的电阻为 R 的两个点被接在一个电容为 C 的电容器的两个极上，则当有一个电动势作用在电路上时，会有一部分电流将不是通过电阻 R 而是被用来使电容器充电。因此通过 R 的电流将以一种逐渐的方式上升到它的末值。由数学理论可知，通过 R 的电流从零上升到它的末值的那种方式用一个公式来表示，该公式在形式上和表示被一个常值电动势推动着流过一个电磁体的线圈的电流值的那种公式完全相同。因此我们可以把一个电容器和一个电磁体适当地接在惠斯登电桥的两个臂上，使得甚至在接通或开断电池电路的时刻通过电流计的电流也总是零。

① ReportofBritishAssociation，1867,pp．493—488．

图 65

在图中，设 P、Q、R、S 分别是惠斯登电桥的四个臂的电阻。设使一个自感系数为 L 的线圈成为电阻 Q 的臂 AH 的一部分，并把一个电容为 C 的电容器的两极用电阻很小的导体接在点 F 和点 Z 上。为了简单，我们将假设没有电流通过其电极接在 F 和 H 上的电流计 G，因此我们必须确定 F 点的电势和 H 点的电势相等的条件。只有当我们想要估计这种方法的精确度时，我们才有必要计算当这一条件不满足时通过电流计的电流。

设 X 是在时刻 t 已经通过了臂 AF 的总电量，而 z 是已经通过了 FZ 的总电量，则 x—z 将是电容器的电荷。由欧姆定律可知，作用在电容器的

二极之间的电动势是R dz ，因此如果电容器的电容是C，则有

dt

x − z = RC dz ．(1)

dt

设 y 是已经通过臂 AH 的总电量，从 A 到 H 的电动势必须等于从 A 到 F 的电动势，或者说，

Q dy dt

d ²y

L dt ²

= P dx ．(2)

dt

既然没有电流通过电流计，已经通过 HZ 的电量就必然也是 y，从而我们就得到

S dy = R dz ．(3)

dt dt

把由(1)式推出的 x 值代入(2)中，并和(3)式相比较，我们就得到没有电流通过电流计的条件如下：

L d d

RQ(1 + Q dt )z = SP(1 + RC dt )z．(4)

正如在普通形式的惠斯登电桥中一样，没有末电流的条件是

QR=SP．(5)

在电池开关被接通或开断时没有电流的附加条件是

L = RC．(6) Q

L

这里的 Q 和RC分别是臂Q和R的时间常量，而且，如果我们通过改

变 R 或 Q 可以调节到不论是在接通和开断电路时还是当电流已经稳定时电流计中都没有电流的状态，我们就知道线圈的时间常量等于电容器的时间常量。

自感系数 L 可以通过和几何数据已知的两个电路的互感系数相比较而用电磁单位量出（见第 756 节）。这是一个具有长度量纲的量。

电容器的电容可以通过和几何数据已知的一个电容器的电容相比较而用静电单位量出（见第 229 节）。这个量也是一个长度 c．以静电单位计的电容是

c C = v2

．(7)

把这个量代入方程（6）中，我们就得到 v2 的值如下：

v² =

c QR，(8) L

式中 c 是以静电单位计的电容器电容，L 是以电磁单位计的线圈自感系数， 而 Q 和 R 是以电磁单位计的电阻。用这种方法测定出来的 v 值正如在第772、773 节的第二种方法中那样是依赖于电阻单位的确定的。

V．电容器的静电电容和线圈自感的电磁电容的组合

1. 〕设 C 是一个电容器的电容，电容器的两个面用一条电阻为 R 的导线连接了起来。设在这条导线中间接入两个线圈 L 和 L＇，并用 L 代表他们的自感系数之和。线圈 L＇用一种双线装置悬挂着，由两个竖直平面的线圈构成，二者之间有一个轴，上面装有磁体 M，磁体的轴线在两个线圈 L＇L＇之间的一个水平面上转动。圈线 L 有一个大的自感系数，而且是固定的。悬挂线圈的转动部分封在一个空盒中，以隔离由磁体的转动所引起的空气流。

磁体的运动在线圈中引起感应电流，而这些电流又受到磁体的作用， 以致悬挂线圈的平面将被磁体所偏转。让我们确定感生电流的强度和悬挂线圈的偏转角的量值。

图 66

设 x 是电容器的上板面的电荷，如果 E 是引起这一电荷的电动势，则我们由电容器的理论得到

x=CE．(1)

由电流的理论我们也有

• d •

R x+ dt ( L x+ M cos θ) + E = 0，(2)

式中 M 是当磁体轴线垂直于线圈平面时电路 L＇的电磁动量，而θ是磁体轴线和线圈平面的法线之间的夹角。

因此，确定 x 的方程就是

d² x dx dθ

CL dt 2 + CR dt + x = CM sin θ dt

．(3)

如果线圈位于一个平衡位置上，而磁体的转动是均匀的，其角速度为n，则有

θ＝nt．(4)

电流的表示式包括两部分。其中一部分不依赖于方程右端的一项，而且是按时间的指数函数的规律而递减的。另一项可以称为受迫振动；它完全依赖于含θ的项，而且可以写成

x=Asinθ＋Bcosθ．(5)

通过代入方程(3)中来求出 A 和 B 的值，我们就得到

RCn cosθ − (1 − CLn ² ) sinθ

x = −MCn

•

R²C²n ² + (1− CLn² ) ² ．(6)

磁体作用在通有电流x 的线圈L＇上的力矩，就是假设线圈为固定时

它对线圈作用的力矩的负值；它由下式给出：

• d dx

Θ = −

x dθ (M cosθ) = M sin θ dt

．(7)

把这一表示式在一次转动中对 t 积分并除以时间，我们就得到■的平均值如下：

1 M² RC²n³

Θ = 2 R²C² n² + (1 − CLn² ) ² ．(8)

如果线圈有一个相当大的惯量矩，则它的受迫振动将是很小的，而且

它的偏转角将和Θ成正比。

设 D1、D2、D3 是观测到的和角速度 n1、n2、n3 相对应的偏转角，则一般地有

P n = ( 1 − CLn) ² + R²C²，(9)

D n

式中 P 是一个常量。

由三个这种形式的方程消去 P 和 R，我们就得到

n 3 n 3

1 (n

² − n

² ) + D

(n ² − n ² ) + ³ (n ² − n ² )

1 D 2 3 2 3 1 D 1 2

C²L² = ^{1 3} ．(10)

n 2 n 2 2

n1 2

( n2

1

n

− n3 ) +

2

(n 3

n

− n1 ) +

3

(n1

− n2 )

如果n

适足以使CLn ² = 1，则 n 在这个n值下将有极小值。其他的

2 2 D

n 值应该取得一个大于 n2 而另一个小于 n2。

由方程(10)确定出来的 CL 值具有时间平方的量纲。让我们把它写成τ

2。

如果 Cs 是以静电单位计的电容器电容而 Lm 是以电磁单位计的线圈自

感，则 Cs 和 Lm 都是长度，而其乘积是

C L = v²C L = v²C L

= v²τ² ；(11)

从而就有

v² = Cs Lm ，(12)

τ2

式中τ2 是由这一实验测定的 C2L2 值①。此处作为测定 v 的一种方法而提出

① ｛由于这种方法在用电磁单位来测量一个电容器的电容方面是很重要的，我们在这里附上一种比较详细的探讨，这适用于当圆柱具有保护环时的情况。在这种测量中所应用的装置如附图所示。ABCD 是一个惠斯登电桥，电流计在 G 处，而电池在 B 和 C 之间，臂 AB 在 R 和 S 处断开，他们是一个换向器的两个极， 交替地和一个弹簧 T 相接触，而弹簧则接在电容器的中板 H 上。没有保护环的极板和 S 点相接。点 C 和点B 分别与一个换向器的两个极 L、M 相连接，这两个极交替地和固定在电容器保护环上的一个弹簧 Q 相接触。体系调节得适当，使得当换向器工作时各事件的次序如下：Ⅰ．P 接 S，电容器放电。

Q 接 M，保护环放电。 Ⅱ．P 接 R，电

容器开始充电。 Q 接M.

Ⅲ．P 接 R，电容器被充电到电势差（A）-（B）.

Q 接 L，保护圈充电到电势差（C）-（B）.

Ⅳ．P 接 S，电容器开始放电。 Q 接 L．

的这个实验，是和 W.R. 格罗夫爵士所描述的实验性质相同的，见Phil.Mag.，March1868，P.184．也请参阅本书作者对实验的评论，见该刊May1868，pp.360—363.

Ⅵ．电阻的静电量度（见第 355 节）

1. 〕设一个电容为 C 的电容器通过一根电阻为 R 的导线而放电，如果 x 是在任一时刻的电荷，则有

x + R dx = 0．(1)

由此即得

C dt

• t

x = x0e RC ．(2)

如果通过任何一种方法，我们可以在一段精确已知的时间内使电路保持接通，以允许电流在导体中流动一段时间 t，那么，如果 E0 和 E1 是一个和电容器连接的静电计在这手续以前和以后的读数，则有

RC(loge E0 − loge E1 ) = t．(3)

如果 C 在静电单位下作为一个线性量而为已知，则 R 可以在静电单位下作为一个速度的倒数而由这一方程中求出。

如果 Rs 是这样测定出来的电阻的数值，而 R■是以电磁单位计的电阻的数值，则

v² = R m ．(4)

Rs

既然 R 在这个实验中必须很大，而在第 763 节等等的电磁实验中必须

Ⅴ．P 接 S，电容器放电。Q 接 M，保护环放电。

于是，当换向器工作时，由于电量向电容器流动，将有一系列短暂的电流通过电流计。各电阻调节得使这些短暂电流对电流计的效应适足以平衡恒稳电流的效应，从而不存在电流计的偏转。为了考察这种情况下的各电阻之间的关系，让我们假设当保护环和电容器被充电时有

于是，如果 a、b、a、β、γ分别是臂 BC、AC、AD、BD、CD 的电阻，L 是电流计的自感系数，而 E 是电池的电动势，我们就由电路 ADC 和 BCD 分别得到 现在很显然，各电流是用下列类型的方程来表示的： 具有 Ae－λｔ、Be－λｔ的形式，并表示由电容器充电而引起的电流的 是从电容器开始充电时算起的时间。于是方程(1)和(2)就将包含一些常数项和一些带 e-λt 因子的项，而且后一些项必将分别变为零，因此我们就有 设 Z、X 分别是由于电容器的充电而已经流过电流计和电池的电量，而 Y 和 W 是电容器上和保护环上的电荷。于是，在从恰恰在电容器开始充电以前到它完全充电以后的一段时间内求方程(3) 和(4)的积分，并记得在这些时刻中的每一时刻都有 z=0，我们就得到（b+γ+a）Z+（b+γ）Y+γW-γX=0，

（a+γ+β）X-（γ+β）Y-γZ-（γ+β）W=0；因此，消去 X，就得到 在实际上，电池的电阻确实比β、

b 或γ小得多，使得和第二项相比第三项可以忽略不计，因此，略去电池电阻，我们就得到 如果｛A｝、

｛B｝、｛D｝代表当电容器充分充电时 A、B、D 各点上的电势，而 C 代表电容器的电容，则有 Y=C[｛A｝

-｛B｝]．但是 如果电容器每秒充电 n 次，则因此而每秒通过电流计的电量是 nZ1。如果电流计的指针保持不偏转，则单位时间内通过电流计的电量必须是 把这一关系式代入方程(6)中，我们就得到 如果知道电阻和速率，我们由这一方程就能算出电容。请参阅 J.J．ThomsonandSearle， “ADeterminationof‘v’”Phil.Trans ．1890，A，p．583．｝

很小，这些实验就必须针对不同的导体来进行，而这些导体的电阻必须用普通的方法来加以比较。

第二十章 光的电磁学说

1. 〕在本论著的若干部分中，曾经作过借助于机械作用来解释电磁现象的尝试，那种机械作用是通过占据着物体之间的空间的一种媒质而从一个物体传到另一个物体的。光的波动学说也假设一种媒质的存在。现在我们必须证明，电磁媒质的性质是和光媒质的性质相等同的。

每当有一种新现象需要解释时就用一种新的媒质来充满全部的空间， 这在哲学上绝不是多么有道理的。但是，如果两个不同科学分支的研究已经独立地提供了关于一种媒质的想法，而且，如果为了说明电磁现象而必须赋予媒质的那些性质是和我们为了说明光的现象而赋予光媒质的那些性质种类相同的，那种媒质之物理存在的证据就将得到很大的加强。

但是，各物体的性质是可以定量地测量的。因此我们就得到媒质的数据，例如一种扰动通过媒质而传播的那一速度的数值，而这一速度是可以根据电磁实验来算出的，也是在光的事例中可以直接观测的。如果居然发现电磁扰动的传播速度和光的速度相同，而且这不但在空气中是如此，在别的透明煤质中也是如此，则我们将有很强的理由相信光是一种电磁现象，而且光学资料和电学资料的组合也将产生一种关于媒质之实在性的信念，和我们在其他种类的物质的事例中通过感官资料的组合而得到那种信念相似。

1. 〕当光被发出时，发光物体就会消耗一定的能量；而如果光被另一物体所吸收，则这个物体会变热，表明它从外面接收到了能量。在从光离开第一个物体以后到它达到第二个物体以前的那一时间阶段中，光必然曾经作为能量而存在于中间的空间之中。

按照粒子发射学说，能量的传递是通过光颗粒从发光物体到被照物体的实际转移来达成的，这些颗粒携带着他们的动能，以及他们可以接受的任何其他种类的能量。

按照波动学说，有一种物质性的媒质充满在两个物体之间的空间中， 而正是通过这种媒质的各相邻部分的作用，能量才从一部分传到其次的部分，直到它到达了被照明的物体为止。

因此，在光通过它的期间，光媒质就是能量的一种承收物。在由惠更斯、菲涅耳、杨、格林等人发展起来的波动学说中，这种能量被假设为部分地是势能而部分地是动能。势能被假设为起源于媒质各元部分的形变。因此我们必须认为媒质是弹性的，动能被假设为起源于媒质的振动。因此我们必须认为媒质有一种有限的密度。

在本书所采用的关于电和磁的理论中，两种形式的能量曾经得到承认，那就是静电能量和动电能量（见第 630 节和第 636 节），而这些能量被假设为不仅在带电的物体和磁化的物体上有其存身之处，而且在观察到有电力或磁力起作用的每一部分周围的空间中有其存身之处。由此可见， 我们的理论在假设存在可以成为两种形式的能量的承受者的一种媒质方面

是和波动学说一致的①。 783．〕其次让我们确定一个电磁扰动通过一种均匀媒质而传播的条

件；我们将假设这种媒质是静止的，也就是说，除了在电磁扰动中可能涉及的运动以外，它没有别的运动。

设 C 是媒质的比电导，K 是它对静电感应而言的比感本领，而μ是它的磁“导率”。

为了得到电磁扰动的普遍方程，我们将把真实电流■用矢势■和电势Ψ表示出来。

真实电流■是由传导电流■以及电位移■的变化构成的，而既然这二者都依赖于电动强度■，我们就像在第 611 节中那样得到

• = (C +

1 K d )■．(1) 4π dt

但是，既然媒质没有运动，我们就可以像在第 599 节中那样把电动强度表示成

由此即得

■ = −■ − ∇Ψ．(2)

• = −(C +

1 K d ( d■ + ∇Ψ，(3)

4π dt dt

但是我们可以用另一种办法来确定■和■之间的一种关系，因为正如在第 616 节中证明了的那样，他们的方程组(4）可以写成

4πμ■ = ∇² ■ + ∇J，(4)

式中

dF

J = dx +

dG +

dy

dH

dz ．(5)

把方程(3)和(4)合并起来，我们就得到

μ(4πC + K d )( d■ + ∇Ψ) + ∇ ²■ + ∇J = 0，(6)

dt dt

此式可以表示成三个方程如下：

μ(4πC + d dF + dΨ) + ∇ ²F + dJ

= 0， 

dt dt dx

dx 

μ(4πC + k d )( dG + dΨ ) + ∇²G + dJ = 0， (7)

dt dt dy

d dH dΨ



dy 

dJ

μ(4πC + K )( +

) + ∇² H + = 0．



dt dt dz

dz 

这就是电磁扰动的普遍方程。

如果我们分别对 x、y、z 求这些方程的导数，就得到

μ(4πC + K d )( dJ − ∇ ²Ψ) = 0．(8)

dt dt

如果媒质是一种非导体，则 C=0，而正比于自由电荷体密度的∇2ψ 就和 t 无关。因此 J 就必须或是 t 的线性函数，或是常量，或是零，从而我们在考虑周期性的扰动时就可以完全不考虑 J 和Ψ。

① 原意如此，疑有笔误。——译者

振动在非导体媒质中的传播

784．〕在这一事例中，C=0，从而方程组变为

d² F

Kμ dt 2

d²G

Kμ dt 2

+ ∇ ²F = 0， 

+ ∇ ²G = 0， (9)



d² H

Kμ dt 2

+ ∇²

H = 0．



这种形式的方程和一个不可压缩的弹性固体的运动方程相似，而当初始条件已经给定时，方程的解可以表示成由泊松①给出的和由斯托克斯①应用于衍射理论的那种形式。让我们写出

1

V = ．(10)

如果F、G、H的值和 dF 、 dG 、 dH 的值在初时刻（t = 0）在空间

dt dt dt

的每一点上都已给出，我们就可以确定他们在以后任一时刻 t 的值如下。设 O 是我想要确定其 F 在时刻 t 的值的那个点。求出 F 在一个球面的

每一点上的初始值，并求出这些值的平均值F。也求出 dF 在球面每一点

dt

上的初始值，并设这些值的平均值为 dF 。

dt

于是，在时刻 t，O 点上的 F 值就是

F = d ( Ft) + t dF ． 



dt dt 

d dG 

同理得到

G = dt (Gt) + t

dt ，

(11)

H = d dt

(Ht) + t



dH ．

dt 

785．〕因此就看到，O 点上在任一时刻的情况，依赖于距离为 Vt 的

地方在一段时间 t 以前的情况，从而任何扰动就都是以速度 V 来通过媒质而传播的。

让我们假设，当 t 为零时，量■和■除了在某一空间 S 中以外都为零。于是，他们在时刻 t 在 O 点的值将是零，除非以 O 为心，以 Vt 为半径画出的球面全体地或部分地位于空间 S 之内。然后，O 点上的扰动就将开始， 并持续到 Vt 等于从 O 到 S 的任一部分的最大距离时为止。然后 O 点的扰动就将永远停止。

786．〕由方程(10)可见，第 784 节中表示着电磁扰动在一种非导

① “在我这方面，当考虑到真空和磁力的关系以及磁体外面的磁现象的一般特性时，我更倾向于认为在力的传递中的磁体外面，有这样一种作用，而不太倾向于认为效应只是超距的吸引力和推斥力。这样一种作用可能是以太的一种功能；因为，完全不无可能的是，如果存在一种以太，则它除了仅仅作为辐射的传送物以外还应该有别的用处。”——法拉第，ExperimentalResearches，3075。

① M é m.del’Acad. ，tom.iii.p.130，etseq.

1

电媒质中的传播速度的V这个量，等于 ．

如果媒质是空气，而且我们采用的是静电单位制，则有K = 1和

1

μ = v2

，于是就有V = v，或者说传播速度在数值上等于电量的电磁单

位和静电单位之比。如果我们采用电磁单位，则K = 1

v2

而μ = 1，从而方

程 V=v 仍然成立。

如果认为光就是在传输其他电磁作用的那同一种媒质中传播的电磁扰动，则按照这种学说，V 必须是光的速度，这是其值已用若干方法估计过的一个量。另一方面，v 就是电量的一个电磁单位所含的静电单位的倍数， 而测定这个量的方法已经在上一章中描述过了。这些方法是和测定光速的方法完全无关的。因此，V 的值和 v 的值是否相符，就可以给光的电磁学说提供一种检验。787．〕在下面的表中，把直接观测光通过空气或星际空间的速度的主要结果和比较电学单位的主要结果进行了比对：

光速（米每秒）

菲佐 314000000

电学单位之比（米每秒）

韦伯 310740000

光行差等等，以及

太阳的视差 

308000

麦克斯韦 288000000

汤姆孙 282000000

佛科 298360000

很明显，光速和单位比值是两个具有相同数量级的量。其中任何一个量也还不能说已经被测定到足以使我们能够断言一个量是大于或小于另一个量的那种精确度。应该希望，通过今后进一步的实验，这两个量的量值之间的关系将可更准确地被确定下来②。

在关系尚未完全确定时，我们这种断定两个量相等并赋予这种相等性以一种物理理由的理论，是肯定不会被目前这样的结果的对比所驳倒的。 788．〕在除了空气以外的其他媒质中，速度 V 反比于介电比感本领和

磁比感本领之乘积的平方根。按照波动学说，不同媒质中的光速反比于各媒质的折射率。

任何透明媒质的磁比感本领都只和空气的磁比感本领相差一个很小的分数。因此，这些媒质的差别的主要部分必然依赖于他们的介电比感本领。因此，按照我们的理论，一种透明媒质的介电本领应该等于它的折射率的平方。

但是折射率却对不同种类的光是不同的，对振动较快的光折射率较大。因此我们必须选择和周期最长的波相对应的折射率，因为只有这种波动的运动才是可以和我们用来测定介电本领的那些慢过程互相对比的。

789．〕迄今为止，其介电本领曾经测到足够的精确度的唯一电介质就

② CambridgeTransactions，vol.ix.pp.1—62（1849）.

是石蜡；对于固定形式下的石蜡，吉耳孙和巴克雷①得到了

K=1.975．(12)

格拉德斯通博士曾经求得了熔融石蜡对 A、D 和 H 谱线的下列折射率值：

我由此表求得，对无限长波的折射率将约为1.422．

R 的平方根是 1.405．

这些数字的差值大于可以用观测误差来说明的差值，而这就证明，在我们可以根据物体的电学性质来推定他们的光学性质以前，我们关于物体结构的理论必须大大改进。与此同时，我却认为数值的符合已经达到一种程度， 以致如果在从颇多物质的光学性质和电学性质推出的数字之间并没有发现更大的分歧，我们就可以有把据地得出结论说，K 的平方根即使可能并不是折射率的完备表示式，它至少也是该表示式中最重要的一项②。

平面波

790.〕现在让我们把注意力限制在平面波方面，我们将假设它的波前垂直于 z 轴。其变化构成这种波的所有各量都只是 z 和 t 的函数而不依赖于 x 和 y。因此，第 591 节中的磁感方程组(A)就简化为

a = dG ，b = dF ，c = 0，(13)

dz dz

或者说磁扰动是位于波面上的。这和我们所知道的构成光的那种扰动是相符的。

分别用μa、μβ和μγ来代替 a、b 和 c，第 607 节中的电流方程组就变成

① ｛下表采自 E.B.Ross 的一篇论文，见 Phil.Mag.28，p.315，1889.表中给出了“v”的测定结果，对 B.A.单位的误差进行了改正：1856WeberandKohlrausch… 3.107× 1010 （厘米每秒）

1868Maxwell… 2.842 × 1010

1869W.ThomsonandKing… 2.808× 1010

1872MeKichan… 2.896× 1010 1879AyrtonandPerry

2.960× 1010 1880Shids… 2.955× 1010

1883J.J.Thomson… 2.963 × 1010

1884Klemencic… 3.019× 1010

1888Himstedt… 3.009× 1010

1889W.Thomson… 3.004× 4010

1889E.B.Rosa… 2.9993× 1010

1890J.J.ThomsonandSearle……………………………2.9995× 1010 空气中的光速 Cornu

（1878） 3.003× 1010 Michelson（1879）

2.9982× 1010 Micheleson（1882） 2.9976× 1010

db d ²F 

πμu = − dz = − dz2 ，

da d²G 

44πμv = dz = − dz2

4πμw = 0．

， (14)







由此可见电扰动也是位于波面上的，而如果磁扰动被限制在一个方向上，璧如限制在 x 方向上，则电扰动是限制在垂直的方向或者说 y 方向上的。但是我们也可以用另一种办法来计算电扰动，因为，如果 f、g、h 是

一种非导电媒中的电位移分量，则有

u = df ，v = dg ，w = dh ．(15)

dt dt dt

如果 P、Q、R 是电动强度分量，则

f = K P，g =

4π

K Q，h =

4π

K R；(16)

4π

而既然媒质并不运动，第 598 节中的方程组(B)就变成

P = − dF ，Q = − dG ，R = − dH ．(17)

由此即得

dt

K d ²F

dt

K d²G

dt

K d ²H

u = − 4π

dt ²

，v = − 4π

dt ²

，w = − 4π

dt ²

．(18)

把这些值和在方程(14)中给出的值相比较，我们就得到

d² F

dz²

d ²F 

= Kμ dt 2 ， 

d²G

dz²

= Kμ

d ²G 

dt ² ，

(19)

0 = Kμ

d ²H 

dt ² ． 

这些方程中的第一个和第二个，就是平面波的传播方程，他们的解具有众所周知的形式

F = f1 (z − Vt) + f 2 (z + Vt )， 

(20)

G = f3 (z − Vt ) + f4 (z + Vt) ．

第三个方程的解是

H=A+Bt，(21)

式中 A 和 B 是 z 的函数。因此 H 或是常量或随时间而线性地变化。在哪一种情况下它也不能在波的传播中起什么作用。

791．〕由此看来，磁扰动和电扰动的方向都位于波平面上。因此，扰动的数学形式就是和构成光的那种垂直于传播方向的扰动的数学形式相一致的。

如果我们假设 G=0，扰动就对应于一条平面偏振的光线。

1 dF

在这一事例中，磁力平行于y轴并等于 μ dz ，而电动强度则平行于

x轴并等于 - dF 。因此磁力就位于一个平面上，该平面垂直于包含电动强

dt

度的平面。

磁力和电动强度在一个给定时刻在射线的不同各点上的值，针对一个平面上的简谐扰动的情况表示在图 67 中。这对应于一条平面偏振光线，但是偏振面是对应于磁扰动的平面还是对应于电扰动的平面，却还有待阐明。请参阅第 797 节。

辐射的能量和胁强

792.]在一种非导电的媒质中，波动中任一点上的单位体积的静电能量

是

同一点上的单位体积的动电能量是

由于有方程(20)，这两个表示式对单独一个波来说是相等的，因此，在波的每一点上，媒质的内能有一半是静电能量而另一半是动电能量。

设 p 是二者中的随便哪一个量的值，就是说，p 或是单位体积的静电能量或是单位体积的动电能量，那么，由于存在媒质的静电状态，就将存在一个平行于 x 方向的张力，其量值等于 p，同时还在一个平行于 y 方向和 z 方向的压强，而且也等于 p.请参阅第 107 节。

由于存在媒质的动电状态，就存在一个平行于 y 方向的等于 p 的张力， 以及一个平行于 x 方向和 z 方向的等于 p 的压强。请参阅第 643 节。

由此可见，静电胁强和动电胁强的联合效应就是一个沿波的传播方向的等于 2p 的压强。喏，2p 也表示单位体积的总能量。因此，在波所传播于其中的一种媒质中，存在一个沿波面法线方向的而数值上等于单位体积的能量的压强。

793．〕例如，如果强太阳光射在一平方英尺上的光能量是每秒 83.4

英尺磅，则每立方英尺中的平均能量约为 0.0000000882 英尺磅，从而一平

方英尺上的平均压强就是 0.0000000882 磅重。曝晒在太阳光中的一个扁平物体将只在被晒的一面受到这一压强，从而就会从被晒的一侧受到推斥。借助于会聚的电灯光线，也许可以得到更大得多的辐射能量。射在一个在真空中很精密地悬挂着的薄金属片上的这种光线，也许会产生一种可观察的效应。当任何一种干扰包含一些项，而各项包含着随时间而变的角的正弦或余弦时，最大能量就等于平均能量的两倍。因此，如果 P 是在光的传播过程中出现的最大电动强度而β是最大磁力，则有

K P² =

8π

μ β² = 单位体积中的平均能量。(24) 8π

利用汤姆孙(Trans.R.S.E.，1854)所引用的泡依乐(Pouillet)的数据，在电磁单位下就得到

P=60000000，或 600 个丹聂尔电池每米②。

② [在于 1877 年 6 月 14 日向皇家学会宣读的一篇论文中，J.霍普金孙博士给出了为测定各种气体的比感本领的目的而作的一些实验的结果。这些结果并没有证实在正文中得到的理论结论，在每一事例中 K 都大于

β=0.193，或颇大于英国的水平磁力的十分之一②。

平面波在结晶媒质中的传播

794．〕当根据普通的电磁实验提供的数据来计算将由每秒许多亿次的周期性扰动所引起的电现象时，我们已经使我们的理论受到了一种很严厉的考验，即使当媒质被假设为空气或真空时也是如此。但是，如果我们企图把我们的理论扩充到浓密媒质的事例中去，我们就不仅会卷入到分子理论的一切困难之中，而且会卷入到分子和电磁媒质之关系这一更深刻的奥秘之中。

为了避免这些困难，我们将假设，在某些媒质中，静电感应的比感本领在不同的方向上是不同的；或者换句话说，电位移不是和电动强度方向相同并成正比，而是由一个和第 297 节所给出的方程组相类似的方程组来

联系着的。可以像在第 436 节中那样证明，系数组必然是对称的，于是， 通过座标轴的适当选择，各方程就变成

1

f = 4π

K1P，g =

1

4π K2 Q，h =

1

4π K 3R，(1)

式中 K1、K2 和 K3 是媒质的主比感本领。因此扰动的传播方程就是

d² F + d ²F −



d²G

• d² H =

μ d ² F + d ²Ψ 



dy²

d²G

dz² dxdy dzdx K1 ( dt ²

d ²G d ²H d² F d ²G

dxdt )， 

d ²Ψ 

+ − − = K μ(

+ )，



(2)

dz²

d² H

dx²

d² H

dydz d ²F

dxdy d ²G

1. dt 2

d ²H

dydt 

d ²Ψ 

+ − − = K μ( +



)．

dx²

dy²

dzdx

dydz

1. dt 2

dzdt 

795．〕如果 l、m、n 是波前的法线的方向余弦，V 是波的速度，设令

lx+my+nz-Vt=w，(3)

而用 F″、G″、H″、ψ″来分别代表 F、G、H、ψ对ω而言的二阶微分系数，并令

k μ = 1 ，K μ = 1 ，K μ = 1 ，(4)

1 a 2 2 b2 3 c2

式中 a、b、c 是三个主传播速度，则各方程变成

(m ² + n ² −

V )F''−lmG' '−nlH ''+VΨ'' a2

V2

1 = 0， 

a

m 

− lmF' '+( n² + l ² −

b2 )G' '−mnH''+VΨ'' b2

= 0，



(5)

2

2 2 

• nlF''−mnG' '+(l

796．〕如果写出

+ m − c2 )H''+VΨ'' c2 = 0． 

折射率的平方。在后来于 1881 年 1 月 6 日向皇家学会宣读的其次一篇论文中，霍普金孙发现，如果 u∞代表对无限长波的折射率，则对烃 按照 J.J.汤姆孙的实验（见 Proc.Roy.Soc.，June20，1889）和布朗劳的实验（见 ComptesRendus，May11，1891，p.1058），在频率约为每秒 25 兆周的电振动下，玻璃的比感本领趋近于μ2．勒舍尔（WiedAnn.42，p.142）得到了相反的结论，即这种情况下的分歧大于恒稳力情况下的分歧。}

l2

V ² − a ²

• m2

V ² − b²

• n2

V² − c²

= U，(6)

我们就由这些方程得到

VU(VF''−lΨ) = 0， 

VU(VG' '−mΨ' ') = 0，

VU(VH' '−nΨ' ') = 0． 

(7)

因此，或是 V=0，如此则完全没有波被传播；或是 U=0，这就导致菲涅耳所给出的 V 的方程；或是括号中的量等于零，如此则分量为 F″、G″、H″ 的矢量垂直于波前并正比于电荷体密度。既然媒质是一种非导体，任一给点上的电荷密度就是恒定的，从而这些方程所指示的扰动就是非周期性的，从而就不能形成一种波。因此，在波的考察中我们可以认为ψ″=0。

797．〕因此，波的传播速度完全由方程 U=0 来确定，或者说由方程

l + m²

+ n 2 =

V ² − a ² V ² − b²

V ² − c ² 0

(8)

来确定。因此，对应于一个给定的波前，就有两个 V2 的值，而且只有两个V2 的值。

如果λ、μ、v，是分量为 u、v、w 的电流的方向余弦，

λ:μ: v:: 1

a2

则有

F'': 1

b2

G'': 1

c2

H'' ，(9)

lγ+mμ+nv=0；(10)

或者说，电流位于波前的平面上，而它在波前上的方向则由下列方程来确定：

l (b² − c ² ) + m (c² − a ² ) + n (a ² − b ² ) = 0．(11)

γ μ v

如果我们把偏振平面定义为通过射线而垂直于电干扰平面的一个平面，这些方程就和菲涅耳所给出的方程完全相同。

按照这种双折射的电磁理论，构成普通理论的主要困难之一的法向扰动波是不存在的，而要说明沿晶体的一个主平面而偏振的射线将按照普通方式而折射这一事实也并不需要任何新的假设②。

② {我们可以从一个不同的观点来看待入射光作用在反射面上的力。让我们假设反射面是金属性的表面，于是当光射中表面时磁力的变化就在金属中感应出电流，而这些电流就在入射光中引起相反的感应效应，使得感应力被从金属板的内部屏蔽开来，于是，板内的电流，从而还有光的强度，就会随着我们从表面向板内的进入而迅速地减弱。板内的电流是由和他们垂直的磁力伴随着的，对应的机械力既垂直于电流又垂直于磁力，从而是平行于光的传播方向的。假如光是通过一种非吸收性的媒质而传播的，这个机械力就会在半个波长以后反转方向，从而当在一段有限的时间和距离内求了积分时就会没有任何合效应。然而，当电流随着我们离开表面而迅速衰减时，由表面附近的电流所引起的效应就不会被离表面较远处的电流引起的效应所抵消，从而合效应就不会是零。我们可以计算这一效应的量值如下。让我们考虑光垂直入射在金属平板上的事例；我们把金属平板取作 xy 平面。设σ是材料的比电阻。设入射线的矢势由方程 F=Aei(pt-ax)， 给出，反射线的矢势由方程 F′＝A′ei(pt-az)给出，而折射线的矢势由方程：F″=A″ei(pt-a′z)给出，于是在空气中就有： 式中 V 是空气中的光速，由此就有： 在金属中， 从而就有，譬如说 于是就有 矢势在表面上是连续的，因此就有：A+A′=A″，平行于表面的磁力也是连续的，因此就有： 或者写成：

或者，既然 a′a 是很大的，我们就可以把此式写成： 于是，在金属中，矢势的实数部分就是

电导率和阻光率之间的关系

798.〕如果媒质不是一种完全的绝缘体而是一种单位体积的电导率为C 的导体，则扰动将不仅包括电位移而且包括传导电流；在传导电流中， 电能量会被转化为热，从而振动将受到媒质的吸收。

如果扰动是用一个三角函数来表示的，我们就可以写成

F = e^pz cos(nt − qz)，(1)

因为这一函数将满足方程

d² F = μ d² F dF

dz² K dt ²

• 4πμC dt

，(2)

如果 q ² − p² = μKn² ，(3)

传播速度是

而吸收系数是

而且 2pq = 4πμCn．

n

V = q ，(5)

p=2πμCV(6)

(4)

设 R 是一块平板的以电磁单位计的电阻{对沿板的长度而流动的电流而言的电阻}，而板的长度为 l，宽度为 b，厚度为 z，则有

l

= bzC

．(7)

入射波将穿透这一平板的部分是

− −4 πμ 1 v

e 2 pz = e

b R ．(8)

799．〕多数的透明固体是良好的绝缘体，而所有的良导体都是很不透明的。然而，关于物体的电导率越大则其阻光率越大的这条定律，却存在许多例外。

电解质允许一个电流通过，但许多电解质却是透明的。然而我们却可以假设，在光传播过程中起作用的那种迅速交变力的事例中，电动强度只在很短的一段时间内沿着一个方向起作用，以致它不能造成化合分子之间的一种完全的分离。当电动强度在另一半振动中沿相反的方向起作用时， 它就干脆把它在前一半振动中所作的事情反转过来。因此就不存在通过电

平行于 z 的单位体积中的机械力是这两个量的乘积，即 这个量的平均值用非周期性的一项来表示，并等于 把这一表示式从 z=0 积分到 z=∞，我们就得到作用在金属板的单位面积上的力 类似的考虑将表明， 当存在吸收时，将有一个力作用在吸收性媒质上，从光强的地方指向光弱的地方。在日光的事例中，这种效应看来是很小的。然而，假如吸收是由很稀薄的气体引起的，则压强梯度可能大得足以引起颇大的效应， 而且人们曾经建议这种原因就是使彗星尾被推得远离太阳的原因之一。当电振动是在赫兹实验中所产生的那样的振动时，磁力就是比日光中的磁力大得多的，从而效应就应该可以被探测出来，如果能够保持振动使它类似于连续振动的话。当存在稳定振动时，我们也得到平均值在任一点上都不为零的机械力。我们可以取上面例子中的反射波和入射波作为稳定振动的实例。记得 aa′是很小的，就知道空气中的矢势是Aei(pt-az)+A′ei(pt+az)，或者，取实数部分，既然近似地有 A+A′=0，就得到 2Asinptsinaz。电流是 磁感是 2Aasinptcosaz；从而机械力就是 而这个量的平均值就是

解质的真正电传导，不存在电能的损失，从而也不存在光的吸收。 800．〕金、银和铂是良导体，但是当被做成很薄的薄片时，它们却允

许光透过他们①。根据我用一片金箔（其电阻由霍金先生所测定）所作的实验，看来透明度比可以和我们的理论相容的值要大得多，除非我们假设， 当电动势在每半个光振动时间内反转一次方向时，能量损失比电动势像在我们的普通实验中那样在可觉察的时间内起作用时要小。

1. 〕其次让我们考虑一种媒质的事例；在这种媒质中，电导率和比感本领相比是大得多的。

在这一事例中，我们可以略去第 783 节的各方程中含 K 的项，从而各方程变为

∇ ²F + 4πμC dF = 0， 

dt

dG

∇ ²G + 4πμC

dt

= 0，



（1）

∇ ²H + 4πμC dH = 0．

dt 

这些方程中的每一个方程，都和付立叶的 TraitédelaChaleur 一书中所给出的热扩散方程具有相同的形式。

1. 〕以其中第一个方程为例，矢势的分量 F 将随时间和位置而变， 其变化方式和一个均匀固体的温度随时间和位置而变的方式相同，这时两个事例中的初值条件及边值条件要被弄得互相对应，而量 4πμC 则在数值上等于物质热导率的倒数，这就是说，等于被通过物质的一个单位立方体的热量加热一度的单位体积的数目，该单位立方体的相对两面的温度相差一度，而其他各面则不传热①。

付立叶已给出其解的热传导中的不同的问题，可以翻译成电磁量的扩散问题，不过要记得 F、G、H 是一个矢量的分量，而付立叶问题中的温度则是一个标量。

让我们考虑付立叶已经给出完全解的事例之一①，即初状态已经给定的一种无限大媒质的事例。

媒质中任一点在时刻 t 的状态，通过对媒质各部分的状态求平均值来求得，在求平均值时指定给每一个部分的权重是

πμ cr ²

−

e t ，

式中 r 是该部分离开所考虑的那一点的距离。在矢量的事例中，这个平均值可以通过分别考虑矢量的每一分量而最方便地求出。

1. 〕我们首先必须指出，在这一问题中，付立叶媒质的热导率被取成反比于我们的媒质的电导率，因此，电导率越大，在扩散过程中达到一个指定状况所需要的时间就越长。如果我们记得第 655 节中的结果，这种说法就不会显得是令人大惑不解的；那结果就是，一种无限大电导率的媒质对磁力的扩散过程形成一种完全的阻隔物。

其次，在扩散过程中造成一个指定状况所需要的时间，正比于体系的

① 参阅 Stokes’‘ReportonDoubleRefraction ，’Brit.Assoc.Report，1862，p.253。

① {维恩（wied.Ann.35,p.48）已经验证了这个结论：金属薄膜的透明度比上述理论所指示的要大得多。}

① {维恩（wied.Ann.35,p.48）已经验证了这个结论：金属薄膜的透明度比上述理论所指示的要大得多。}

线度的平方。

不存在任何一个可以定义为扩散速度的确定速度。如果我们企图通过测定在离扰动源一定距离处产生一定量的扰动所需要的时间来量度这个速度，我们就会发现，所选的扰动值越小，速度就将显得越大，因为，不论距离多大，也不论时间多短，扰动的值都将是数学地异于零的。

扩散的这一特点，把它和以有限速度进行的波传播区别了开来。直到波到达一个给定点为止，该点上是不会出现扰动的；而当波已经通过该点时，扰动就永远停止了。

1. 〕现在让我们考察当一个电流开始并继续在一个线性电路中流动时所发生的过程，设电路周围的媒质有一个有限的电导率。（试和第 660 节相比较。）

当电流开始时，它的第一个效应就是在媒质靠近导线的各部分中产生一种传导电流。这个电流的方向是和原始电流的方向相反的，而在第一个瞬间，它的总量和原始电流的总量相等，从而对媒质较远部分的电磁效应在起初就是零，而只有当感生电流由于媒质电阻的作风而消逝殆尽时，这种电磁效应才会上升到它的末值。

但是，当靠近导线的感生电流衰减时，一个新的感生电流就会在较远处的媒质中被产生，于是感生电流所占据的空间就会不断地扩大，而电流的强度则不断地减小。

感生电流的这种扩散和衰减的现象，是和热量从一部分媒质开始扩散的现象确切类似的，那一部分媒质在起始时比其余部分更热或更冷一些。然而我们必须记得，既然电流是一个矢量，而且既然在一个电路中对面两点上的电流是方向相反的，那么，在计算感生电流的任一给定的分量时， 我们就必须把问题比拟成这样一个[热传导]问题：相等数量的热和冷是从相邻的地方开始扩散的；在这种情况下，对远处各点的效应就将具有较小的数量级。

1. 〕如果线性导体中的电流被保持为恒定，则依赖于状态之初始变化的感生电流将逐渐扩散和衰减，而把媒质留在它的永久状态中，这个状态和热流的永久状态相类似。在这个状态中，我们在全部媒质中都有

∇ ²F = ∇ ²G = ∇ ²H = 0

(2)

只有在被电路所占据的各点上除外，在各该点上{当μ=1 时}有

∇ ²F = 4πu， 

∇ ²G = 4πv， 

∇ ²H = 4πw．

这些方程就足以确定整个媒质中各点上 F、G、H 的值了。他们表明，除了在电路中以外不存在任何电流，而磁力则简单地是由电路中的电流按照普通的理论而引起的那些磁力。这一永久状态的建成速度是如此之大，以致用我们的实验方法是不能测量的，也许除了在很大块的像铜之类的高度导电的媒质的事例中以外。

注：在一篇发表在波根道夫的 Annalen，July1867，pp.243—263 上的论文中，洛仑茨先生曾经根据基尔霍夫的电流方程(Pogg.Ann，cii.1857)， 通过增加某些并不影响任何实验结果的项而导出了新的方程组；这一方程组表明，电磁场中的力的分布，可以被设想成是由一些相邻单元的相互作用所引起的，而且由横向电流所构成的波可以在非导电媒质中以一个可以

和光速相比的速度而进行传播。因此他认为，构成光的扰动是和这些电流等同的，而且他也已经证明，导电的媒质必然对这些辐射来说是不透明的。

这些结论和本章的结论相似，尽管他们是用一种完全不同的方法求得的。本章中给出的这种理论，最初发表在 Phil.Trans.for1865，pp.459— 512。

第二十一章 对光的磁作用

1. 〕在电现象及磁现象和光的现象之间建立一种关系的最重要步骤，必然是某种实例的发现，在那种实例中，一组现象受到了另一组现象的影响。在寻找这样的现象时，我们必须以我们可能在想要对比的各量的数学形式或几何形式方面已经获得的任何知识为我们的指针。例如，如果我们像索末维耳夫人所作的那样企图借助于光来磁化一根针，我们就必须记得，磁南方和磁北方的区别只是一个方向的问题，从而它会立即反向， 如果我们反转了有关数学正负号之应用的某些约定的话。电解现象使我们能够通过观察氧出现在电解槽的一个极上而氢出现在另一个极上来把正电和负电区分开来；而磁学中却没有任何和电解现象相类似的现象。

因此我们就不能指望，如果我们使光射中一根针的一端，那一端就会变成具有确定名称的一个磁极，因为两个磁极并不是像明和暗那样地不同的。

如果我们让圆偏振光射在针上，让右手偏振光射在针的一端而让左手偏振光射在针的另一端上，我们也许就能指望有较好的结果，因为在某些方面这两种光之间的相互关系可以说是和两种磁极之间的关系具有相伺的形式的。然而，类似性甚至在这儿也是有毛病的，因为当两种光线互相合并时，他们并不是互相抵消而是形成一种平面偏振的光线。

法拉第是很熟悉借助于偏振光来研究产生在透明固体中的胁变的方法的。他作了许多实验，希望发现偏振光在通过内部存在着电解导电或介电感应的媒质时所受到的某种作用②。然而他并没能找到任何这种作用，尽管实验是用按照最适宜发现拉力的效应的方式装置起来的——电力或电流和光线相垂直，并和偏振平面成 45°的角。法拉第用各种方式改变了实验， 但是没有发现由电解电流或静电感应引起的对光的任何作用。

然而他在确立光和磁之间的关系方面却取得了成功，而他作到这一点的那些实验则描述在他的《实验研究》的第十九组中。我们将把法拉第的发现取作我们有关磁的本性的进一步探索的出发点，从而我们将描述一下他所观察到的现象。

1. 〕一条平面偏振的光线从一种透明的抗磁性媒质中通过；当从媒质中出来时，用一个检偏器截断它的路程，以测定它的偏振面。然后加上一个磁力，使透明媒质中的磁力方向和光线的方向相重合。于是光立即重新出现，但是如果把检偏器转过某一角度，光就又被截断。这就表明，磁力的效应就是使偏振面以光线方向为轴而转过一个确定的角度，这个角度用为了截断光线而必须使检偏器转过的那个角度来描述。

2. 〕偏振面转过的角度和下列各量成正比：(1)光线在媒质中走过的距离。因此偏振面是从它的原始位置开始而连续变化的。

   1. 磁力在光线方向上的分量。

② TraitédelaChaleur,Art.384. 通过点（α，β，γ）上的初温度 f（α，β，γ）来确定时间 t 后一点（x，y，

z）上的温度 v 的方程是 式中 k 中热导率。

1. 转动角的大小依赖于媒质的种类。当媒质是空气或任何其他气体时，还没有观察到任何的转动①。

这三点说法被包括在一个更普遍的叙述中，那就是，旋转角在数值上等于光线从进入媒质的一点到离开媒质的一点的矢势增量乘以一个系数， 而对抗磁性媒质来说，这个系数通常是正的。

1. 〕在抗磁性物质中，偏振面被转向的方向｛一般说来｝和一个电流的正方向相同，那个电流就是为了产生和实际存在的磁力同方向的磁力而必须绕着光线运行的。

然而外尔代特却发现，在某些铁磁性媒质中，例如在一种高氯化铁在木精或乙醚的浓溶液中，旋转方向却和将会产生磁力的电流运行方向相反。

这就表明，铁磁性物质和抗磁性物质的区别不仅仅起源于“磁导率” 在前一事例中大于而在后一事例中小于空气的磁导率，而是这两类物体确实性质相反。

一种物质在磁力作用下获得的使光的偏振面发生施转的能力，并不是恰好正比于它的抗磁的或铁磁的磁化率。事实上，抗磁性物质中的旋转为正而铁磁性物质中的旋转为负这一法则，是有例外情况的，因为中性的铬酸钾是抗磁性的，但它却引起负旋转。

1. 〕也存在另外一些物质，他们不依赖于磁力的施加就能在光线通过物质时使偏振面向右或向左旋转。在某些这种物质中，性质依赖于一个轴，例如在石英的事例中就是如此。在另一些物质中，性质并不依赖于光线在媒质中的方向，例如在松节油、糖溶液等等中就是如此。然而，在所有这些物质中，如果任何一条光线的偏振面在媒质中是像一个右手螺旋那样地扭转的，则当光线沿相反方向通过媒质时偏振面仍将像右手螺旋似的扭转。当把媒质放在光线的路程上时，观察者为了截断光线就必须旋转他的检偏器，而不论光线是从南或从北向他射来，旋转的方向相对于观察者来说都是相同的。当光线的方向反向时，旋转在空间中的方向当然也会反向。但是当旋转是由磁作用引起的时，它在空间中的方向却不论光是向南还是向北传播都是相同的。如果媒质属于正类，则旋转方向总是和产生或将会产生实际的磁场状态的电流的方向相同，而如果媒质属于负类则旋转方向总是和该电流的方向相反。

由此可以推知，如果光线在从北向南通过了媒质以后受到一个镜面的反射而从南向北返回媒质中，则当旋转是由磁作用引起的时，旋转就会加倍。当旋转只依赖于媒质的种类{而不依赖于光线的方向}，就像在松节油等等中那样时，光线在被反射而回到媒质中再从媒质中出来时，它的偏振将是和入射时在相同的平面上的，第一次通过时的旋转将在第二次通过时被恰好倒了回来。

1. 〕现象的物理解释带来了相当大的困难。不论是在磁致旋转方面，还是在某些媒质的表现方面，这些困难还几乎不能说已经解决。然而我们可以通过分析已经观察到的事实来给一种解释作些准备。

运动学中的一个众所周知的定理就是，两个振幅相同、振动周期相同、在同一平面上但沿相反方向转运的匀速圆周振动，当合成在一起时是和一

① ExperimentalResearches,951-954and2216-2220.

个直线振动相等价的。这一振动的周期等于圆周振动的周期，它的振幅等于圆周振动的振幅的两部，它的方向是两个点的连线，那就是在同一圆周上沿不同方向描述圆周运动的两个质点即将相遇的两个点。因此，如果一个圆周运动的周相被加速，则直线振动的方向将沿着圆周运动的方向转过一个等于周相加速度的二分之一的角。

也可以通过直接的光学实验来证明，两条沿相反方向而圆偏振的强度相同的光线，当合并在一起时就变成一条平面偏振的光线，而且，如果其中一条圆偏振光线的周相由于任何原因被加速了，则合光线的偏振平面会转过一个等于周相加速度之一半的角度。

1. 〕因此我们可以表示偏振面的旋转现象如下：有一条平面偏振光线射在媒质上。这条光线和两条圆偏振光线相等价，其中一条是右手圆偏振的，而另一条是左手圆偏振的（对观察者而言）。通过了媒质以后，光线仍然是平面偏振的，但其偏振面却向譬如说右方旋转了（相对于观察者而言）。由此可见，在两条圆偏振光线中，右手圆偏振的那一条的周相一定是在通过媒质时相对于另一条而被加速了。

换句话说，右手圆偏振的光线曾经完成了更多次数的振动，从而在媒质内部比周期相同的左手圆偏振的光线具有较小的波长。现象的这种叙述方式是和任何光的学说都无关的，因为虽然我们使用了波长、圆偏振等等的在我们头脑中可能和某种形式的波动学说相联系的术语，但是推理过程却和这种联系无关而只依赖于被实验证明了的事实。

1. 〕其次让我们考虑其中一条光线在某一给定时刻的位形。每时刻的运动都是圆周运动的任何波动，都可以用一个螺纹线或螺旋来代表。如果让螺旋绕着它的轴线旋转而并不发生任何纵向运动，则每一个粒子都会描述一个圆，而与此同时，波动的传播则将由螺旋纹路上位置相似的各部分的表现纵向运动来代表。很容易看到，如果螺旋是右手的，而观察者是位于波动所传向的一端的，则在他看来螺旋的运动将显得是左手的，也就是说，运动将显得是逆时针的。因此，这样的一条光线曾经被称为一条左手圆偏振的光线；这名称最初起源于一些法国作者，现在已经在整个的科学界都通行了。

一条右手圆偏振的光线可以按相似的方式用一个左手螺旋来表示。在图 68 中，右侧的右手螺旋线 A 表示一条左手圆偏振的光线，而左侧的左手螺旋线 B 则表示一条右手圆偏振的光线。

1. 〕现在让我们考虑在媒质内部具有相同波长的两条这样的光线。他们在一切方面都是几何地相似的，只除了其中一条是另一条的“反演”， 即有如另一条在镜子里的像一样。然而，其中一条，譬如说是 A，却比另一条具有较短的旋转周期。如果运动完全起源于由位移所引起的力，那么这就表明，当位形像 A 那样时，由相同的位移引起的力要比位形像 B 那样时大一些。因此，在这一事例中，左手光线将相对于右手光线而被加速， 而且不论各光线是从北向南还是从南向北行进，情况都将是这样的。

图 68

因此这就是松节油等等引起的那种现象的解释。在这些媒质中，当位形像 A 那样时，由一条圆偏振光线所造成的位移将比位形像 B 那样时引起较大的恢复力。于是这些力就只依赖于位形，而不依赖于运动的方向。

但是在沿 SN 方向受到磁作用的一种抗磁性媒质中，两个螺旋 A 和 B 中的一个却永远是以最大的速度旋转的，那就是当眼睛从 S 向 N 看去时看到它在顺时针转动的那个螺旋。因此，对于从 S 向 N 射去的光线来说，右手光线 B 将传播得最快；而对于从 N 向 S 射去的光线来说，则左手光线 A 将传播得最快。

1. 〕当把我们的注意力只集中在一条光线上时，螺纹线 B 就具有完全相同的位形，不论它表示的是一条由 S 向 N 的光线还是一条由 N 向 S 的光线。但是在第一种情况下光线传播得更快一些，从而螺纹线也旋转得更快一些。因此，当螺纹线向一个方向运动时，将比它向另一个方向运动时引起较大的力。因此力并不仅仅依赖于光线的位形，而且也依赖于光线各部分的运动方向。

2. 〕构成光的那种扰动，不论它的物理本性如何，是具有垂直于光线方向的矢量性质的。这可以由两条光线在干涉时在某些条件下会造成黑暗这一事实以及偏振在互相垂直的平面上的两条光线并不互相干涉这一事实来得到证明。因为，既然干涉依赖于偏振面的角位置，扰动就必然是一个有向量或矢量；而既然当偏振面互相正交时干涉就停止，代表扰动的那个矢量就必然垂直于这些偏振面的交线，也就是垂直于光线的方向。

3. 〕既然是一个矢量，扰动就可以分解成平行于 x 的和平行于 y 的分量，z 轴平行于光线的方向。设ξ和η是这两个分量，则在均匀圆偏振光线的事例中有

ξ = r cosθ，η = r sinθ，(1)

式中

θ = nt − qz + a．(2)

在这些表示式中，r 代表矢量的量值，而θ代表矢量和 x 轴方向之间的夹角。

扰动的周期τ满足

扰动的波长λ满足

n

传播速度是 g ．

nτ = 2π．(3) qλ = 2π．(4)

当 t 和 z 都为零时，扰动的周期是α.

按照 q 的为负或为正，圆偏振是右手的或左手的。按照 n 的为正或为负，光的振动方向是平面(x，y)上的正转动或负转动的方向。

按照 n 和 q 为同号或异号，光将沿着 x 轴的正方向或负方向而传播。

dn n

在所有的媒质中，当q变化时n都会变化，而且 dq 永远和 q 同号。

n

因此，如果对n的一个给定数值来说 q 的值当n为正时比n为负时

要大，那就可以推知，对于一个量值和正负号都给定的 q 值来说，n 的正值将大于 n 的负值。

喏，这就是在一种受到一个沿 z 轴方向的磁力 y 作用的抗磁性媒质中所{通常}观察到的情况。在两条周期相同的圆偏振光线中，被加速的是它

在(x，y)平面上的旋转方向为正的那一条。因此，在两条在媒质内部具有相同波长的都是左手圆偏振的光线中，具有最短周期的就是在(x，y)平面上旋转方向为正的那一条，也就是沿着正 z 轴而从南向北传播的那一条光线。因此我们就必须说明这样一件事实：在体系的方程组中，当 q 和 r 给定时，有两个 n 值满足各方程，一正一负，而 n 值在数值上大于负值。

1. 〕我们可以通过考虑媒质的势能和动能来求得运动方程。体系的势能 V 依赖于它的位形，即依赖于体系各部分的相对位置。就它依赖于由圆偏振光线引起的扰动来看，它必然只是扭转幅度 r 和扭转系数 q 的函数。它对数值相等的正 q 值和负 q 值来说可能有不同的值，而且它在自身就引起偏振面旋转的媒质的事例中或许就是这样的。

体系的动能 T 是体系各速度的二次齐次函数，不同各项的系数是座标的函数。

1. 〕让我们考虑光线可以具有恒定强度的动力学条件，也就是 r 可以为常量的动力学条件。

有关 r 方向上的力的拉格朗日方程变为

d dT − dT + dV = 0．(5)

dt dr dr dr

既然 r 是常量，第一项就是零。因此我们就有一个方程

− dT + dV = 0，(6)

dr dr

式中的 q 被假设为给定，而我们要确定的是角速度θ的值，我们将用它的实际值 n 来代表这个角速度。

动能 T 包括一个含 n2 的项；另一些项可能含有 n 和其他速度的乘积， 而其余的项则不依赖于 n.势能 V 是完全不依赖于 n 的。因此方程(6)就具有如下的形式

An² + Bn + C = −．(7)

既然是一个二次方程，此式就给出两个 n 值。由实验看到，两个都是实值， 一正一负，而且正值在数值上较大。由此可见，如果 A 是正的，则 B 和 C 都是负的，因为，如果 n1 和 n2 是方程的根，就有

A( n1 + n 2 ) + B = 0．(8)

因此系数 B 就不为零，至少当有磁力作用在媒质上时是如此。因为我们必须考虑表示式 Bn，这就是动能中含有扰动之角速度 n 的一次幂的那一部分。

1. 〕T 的每一项对速度来说都是二次的。因此含 n 的项必然含有

• •

某一另外的速度。这个速度不可能是r 或q ，因为在我们所考虑的事例中

r 和 q 是常量。由此可见它是独立于构成光的那种运动而存在于媒质中的一个速度。它也必须是和 n 有着适当关系的一个速度，就是说，当和 n 相乘时，得到的结果就是一个标量，因为只有标量才能作为一些项而出现在本身就是一个标量的 T 的值中。由此可见，这个速度必须是和 n 方向相同或方向相反的，也就是说，它必然是一个绕 z 轴的角速度。

再者，这个速度不可能不依赖于磁力，因为，假如它是和固定在媒质中的一个方向联系的，则当我们把媒质颠倒一下时现象就将是不同的，而事实却并非如此。

因此我们就被引导到这样一个结论：这个速度是和显示偏振面之磁旋转的那些媒质中的磁力不可改变地相伴随着的。

1. 〕我们迄今为止不得不使用一种语言，它或许过份暗示了关于波动学说中的运动的普通假说。然而也很容易用一种不带这种假说的色彩的形式来叙述我们的结果。

不论光是什么，在空间每一点上总是有种什么事情在进行，这或许是移动，或许是转动，或许是还没有想像到的什么东西，但它肯定具有一个矢量或有向量的本性，其方向垂直于光线的方向。这是由干涉现象全面证明了的。

在圆偏振光的事例中，这一矢量的量值保持不变，但其方向则绕着光线的方向而旋转，在波的一个周期内正好转一周。至于这个矢量是位于偏振面上还是和该平面相垂直，这种不确定性并不影响我们关于该矢量在右手圆偏振光和左手圆偏振光中的旋转方向的知识。这一矢量的方向和角速度是完全已知的，尽管这一矢量的物理本性和它在一个给定时刻的绝对方向是不确定的。

当一条圆偏振光线射在一种处于磁力作用下的媒质上时，它在媒质中的传播就受到光的旋转方向和磁力的方向之间的关系的影响。利用第 817 节中的推理，我们由此就得出结论说，在媒质中，当处于磁力的作用之下时，有某种旋转运动是正在进行着的，其旋转轴线就是磁力的方向；而且， 当光的振动性旋转的方向和媒质的磁旋转方向相同时，圆偏振光的传播速率是和该二方向相反时不同的。

一方面是有圆偏振光从中通过的媒质，另一方面是有磁力线从中通过的媒质，我们在二者之间所能追索的唯一相似性就是，在二者中都存在一种绕轴旋转的运动。但是相似性也就到此为止，因为光现象中的转动就是表示着扰动的那个矢量的转动。这个矢量永远垂直于光线的方向，而且每秒绕该方向转过一定的转数。在磁现象中，转动的东西没有可以据以确定其侧面的任何性质，从而我们就不能确定它每秒转动多少次。

因此，在磁现象中，就没有任何东西和光现象中的波长及波动传播相对应。在有一个恒定磁力作用于其内的媒质中，并不会由于该力的作用而像当有光在其内传播时那样充满一种沿一个方向前进的波动。光现象和磁现象之间的唯一相似性就是，在媒质的每一点上，存在某种东西，它具有以磁力方向为轴的角速度的本性。

关于分子漩涡假说

1. 〕正如我们已经看到的那样，关于磁对偏振光的作用的考虑，导致了这样的结论：在一种处于磁力作用下的媒质中，和角速度属于同一数学类别的某种东西形成了现象的一个部分，而它的轴线就沿着磁力的方向。

这个角速度，不可能是具有可觉察大小的任何媒质部分作为整体而转动的角速度。因此我们必须把转动设想成媒质的一些很小部分的转动，每一个小部分都绕着自己的轴线在转动。这就是分子漩涡假说。

虽然正如我们已经看到的那样（第 575 节）。这些漩涡的运动并不会显著影响大物体的可见运动，但是他们却可能会影响波动学说中光的传播

所依据的那种振动性的运动。在光的传播过程中，媒质的位移将引起各漩涡的一种扰动，而当受到这样的扰动时，各漩涡就会反作用于媒质，以致影响了光线传播的方式。

1. 〕在目前我们对漩涡的本性毫无所知的状态下，不可能指定联系着媒质的位移和漩涡的变化的那种定律的形式。因此我们将假设，由媒质的位移所引起的漩涡的变化，服从亥姆霍兹在他有关涡流运动的伟大著作① 中已经证明了的支配着理想液体之漩涡变化的相同条件。

亥姆霍兹的定律可以叙述如下：设 P 和 Q 是一个漩涡的轴线上的两个相邻的质点，如果由于流体的运动，这两个质点达到了 P′、Q′二点，则直线 P′Q′将代表漩涡轴线的新方向，而漩涡的强度则将按 P′Q′和 PQ 之比而发生变化。

因此，如果α、β、γ代表一个漩涡的强度的分量，而ξ、η、ζ代表媒质的位移，则α、β、γ的值将变成

α' = α + α dξ + β dξ + γ dξ ，

dx dy

dη dη

dz 

dη 

β' = β + α dx + β dy + γ dz ， 

(1)

γ' = γ + α dζ

dx

+ β dζ + γ

dy

dζ ． 

dz 

现在我们假设，同样的条件在一种媒质的微小移动过程中也是满足的，在那种媒质中，α、β、γ不是代表一个普通漩涡的强度分量，而是代表磁力的分量。

1. 〕媒质的一个元部分的角速度分量是

ω = 1

d dζ dη

( − )，

¹ 2 dt dy dz

ω = 1

d ( dξ − dζ )，

² 2 dt dz dx

ω = 1 d ( dη − dξ )．

³ 2 dt dx dy

我们假说中的其次一步就是一个假设，即认为媒质的动能包括形式如下的一项：

2C(αω1 + βω2 + γω 3 )．(3)

这就和下述假设相等价：媒质元在光的传播过程中所获得的角速度，是可能出现在和用来解释磁现象的那种运动的关系中的一个量。

为了建立媒质的运动方程，我们必须用媒质各部分的分量为ξ、η、ζ的速度把它的动能表示出来。因此我们就分部求积分，并得到

① {在此书写成以后，已经有人在气体中观察和测量了偏振面的旋转，参阅 H．Bec- querel.Compt,Rendus,88,p.709;90,p.1407;KundtandR(ntgen,Wied,Ann.,6,p.332;8,p.278;Bichat， Compt.Rendus,88,p.712;JournaldePhysique,9,p.275,1880.}

2C∫∫∫ (αω1 + βω 2 + γω 3

= C∫∫ ( γ η− β ζ)dydz + C∫∫ (αζ− γ ξ)dzdx

+ C∫∫ (

• •  • dγ dβ

)dxdy + C ( − )

βξ− α η

ξ dy dz

• dα dγ • dβ dα 

• η( dz − dx ) + ζ( dx − dy )dxdydz

二重积分涉及的是媒质的边界面，这个边界面可以似设为位于无限远处。因此，当探索发生在媒质内部的过程时，我们可以只注意那个三重积分。 825．〕由这个三重积分来表示的单位体中动能的那一部分，可以写成

• •

4πC(ξu + ηv + ζ w)，(5)

式中 u、v、w 是由第 607 节中的方程组(E)给出的电流分量。由此可以看出，我们的假说和另一条假设相等价；那假设就是，一个媒质质

• • •

点的分量为ξ 、 η 、 ζ 、的速度，是可能出现在和分量为u、v、w的

电流的关系中的一个量。

1. 〕现在回到(4)式中三重积分号下面的那个表示式。把α、β、γ的值代成由方程组(1)给出的α′、β′、γ′的值，并用

d d d d

被积分式就变成

dh 来代表α dx + β dy + γ dz ，

(6)

 • d

ξ dh

( dζ dy

• dη dz

  • d

) + η dh

( dξ −

dz

dζ •

dx) + ζ

d ( dη −

dh dx

dξ)．(7) dy 

在垂直于 z 轴的平面波的事例中，各位移只是 z 和 t 的函数，于是就有

d = γ

dh

d ，而上式变为

dz

d ²ξ •

d² η •

Cγ( dz2 η− dz2 ξ)．(8)

现在，就其依赖于各位移速度的情况来看，单位体积的动能就可以写

成

1 • 2

• 2 • 2

d ²ξ • d ²η •

T = 2 ρ(ξ

式中ρ是媒质的密度。

+ η + ζ

) + Cγ ( dz2 η− dz 2 ξ)，(9)

1. 〕对单位体积来说的外加力的分量 X 和 Y，可以利用拉格朗日方程（第 564 节）而由此式导出。我们注意，通过对 z 进行两次分部积分并略去边界面上的二重积分，可以证明

d ²ξ • d ³η

由此即得

∫∫∫ dz2 ηdxdydz = ∫∫∫ ξ dz2 dt dxdydz．

dT d ³η

dξ = Cγ dz²dt ．

因此力的表示式就由下式给出：

d ²ξ

X = ρ dt 2

d² η

Y = ρ dt 2

d ³η

2Cγ dz2 dt ，(10)

d³ξ

2Cγ dz2 dt ．(11)

这些力是由媒质的其余部分作用在所考虑的媒质元上的，从而在各向同性媒质的事例中必然具有由科希指出的形式，

d²ξ

X = A 0 dz2

d ²η

Y = A 0 dz2

d ⁴ξ

• A 1 dz4 +

d ⁴η

• A1 dz4 +

，(12)

．(13)

1. 〕如果现在我们考虑满足

ξ = r cos(nt − qz)，η = r sin(nt − qz) ，(14)

的圆偏振光的事例，我们就发现，关于单位体积中的动能，应有

T 1 2 2 2 2

= 2 ρr n − Cγr q n；(15)

而关于单位体积中的势能则有

V = 1 r ² (A q ² − A q ⁴ + )

2 0 1

式中 Q 是 q■的一个函数。

= 1 r ²Q，(16)

2

在第 819 节的方程(6)中给出的光线自由传播的条件是

dT = dV ，(17)

dr dr

此式给出

ρn ² − 2Cγq ² n = Q，(18)

由此就能求得用 q 表示出来的 n 值。

但是，在受到磁力作用的一条具有给定波动周期的光线的事例中，我

dq dq

们所要确定的是用γ为常量时的 dn 表示出来的n为常量时的 dγ ．求

(18)式的导数，就

(2ρn − 2Cγq² )dn − ( dQ + 4Cγqn)dq − 2Cq ²ndγ = 0．(19)

dq

于是我们就得到

2

dq = − Cq n dq

dγ ρn − Cγq²

dn ．(20)

1. 〕如果λ是空气中的波长，v 是空气中的波速，而 i 是媒质中的对应折射率，则有

qλ = 2πi，nλ = 2πv．(21)

{从而也有 dq = 1 (i - λ di )．}

dn v dλ

由磁作用引起的 q 值的改变量，在任何情况下都是它的值的一个非常小的分数，因此我们就可以写出

dq

q = q 0 + dγ γ，(22)

式中 q0 是磁力为零时的 q 值。在通过媒质的一个厚度 c 时偏振面转过的角度θ，等于 qc 的正值和负值之和的一半，其正负号应改变，因为方程(14) 中的 q 是负的。于是我们就得到

θ = −cγ dq ，(23) dγ

4π²C i² di 1

= vρ

cγ λ2 (i − λ dλ )

i 2

1 − 2πCγ vρλ

．(24)

这个分数的分母中的第二项，近似地等于当光在媒质中通过一个等于

（媒质中的）波长之半{ 1 }的厚度时偏振面转过的角度。因此它就

的 π 倍

是我们在一切事例中和 1 相比都可以忽略不计的一个量。写出

4π²C

vρ

= m，(25)

我们就可以把 m 叫做媒质的磁旋系数，这是一个必须通过观测来确定它的值的量。经发现，多数抗磁性媒质的 m 是正的，而某些顺磁性媒质的 m 则是负的。因此，作为我们的理论的最后结果，我们就有

θ = i² di

mcγ λ2 (i − λ dλ)，(26)

式中θ是偏振面的旋转角，m 是通过媒质的观测来确定的一个常量，γ是投影到光线方向上的磁力强度，c 是媒质内部的光线长度，λ是光在空气中的波长，而 i 是煤质的折射率①。

1. 〕这种理论迄今为止所经受过的唯一检验，就是在相同的磁力作用下通过相同媒质的不同种类的光的θ值的比较。

这种比较已由外尔代特先生针对为数颇多的媒质作过了①，他得到了下列的结果：

1. 不同颜色的光线的偏振面的磁致旋转，近似地服从波长的平方反比定律。

2. 现象的确切规律永远使得旋转角和波长平方的乘积从光谱的折射性最小的一端向折射性最大的一端递增。

3. 这种递增性最显著的物质，也就是具有最大色散率的那些物质。他也发现，在本身就会引起偏振面的旋转的酒石酸溶液中，磁致旋转

根本不是和自然旋转成正比的。

在加在同一论著中的补充论述②中，外尔代特也给出了用二硫化碳和木

① Crelle'sJournal,Vol.lv.(1858),pp.25-55.Tait 的英译文见 Phil.Mag.,June,pp.485-511,1867.

① {罗兰德曾经证明（Phil,mag.xi.p.254,1881），如果霍耳效应（见上卷第 303 节）在电介质中是存在的，则偏振面的磁致旋转就会产生。}

②

RecherchessurlesPropriétésoptiquesdéveloppéesdanslescorpstransparentsparl'actiondumagnétisme,4mepartie.Com

馏油作的很仔细的实验的结果；在这两种物质中，对波长平方反比定律的偏差是很明显的。他也把这些结果和由下列三个不同的公式给出的数值进行了对比：

i ² di

(Ⅰ)θ = mcγ λ2 (i − λ dλ )；

1 di

(Ⅱ)θ = mcγ λ2 (i − λ dλ )；

di (Ⅲ)θ = mcγ (i − λ dλ )．

这些公式中的第一个，(Ⅰ)，是我们在第 829 节的方程(26)中已经得

出的。第二个公式(Ⅱ)，可以通过在第 827 节的方程(10)和(11)

d ³η

d ³ξ

d ³η

d ³ξ

中不是代入形如 dz2 dt 和 - dz2 dt 的项而是代入 dt 3 和 - dt 3 的项来得出。

就我所知这个方程的形式并不曾由任何物理理论提出过。第三个公式， (Ⅲ)，来自 M.C.诺依曼的物理理论③。，在那种理论

中，运动方程含有形如 dη 和- dξ 的项①。

dt dt

很明显，由公式(Ⅲ)给出的θ值甚至并不能近似地和波长的平方成反比。由公式(Ⅰ)和(Ⅱ)给出的值满足这一条件，而且这些值也和在中等色散率的媒质中观测到的值差强人意地相符合。然而，对于二硫化碳和木馏油来说，由(Ⅱ)给出的值却和观测值分歧很大。由(Ⅰ)给出的值和观测值符合得稍好，但是，尽管在二硫化碳的事例中符合性较好，在木馏油的事例中分歧却大得不能用任何的观测误差来加以说明。

偏振面的磁致旋转（据外尔代特）

24.9℃下的二硫化碳

谱线 E 的旋转=25°28′ 24.3℃下的木馏油

ptesRendus,t.lvi.p.630(6April,1863).

③ ComptesRendus,lvii.p.670(19 Oct.,1863).

①

‘Explicaretentaturquomodofiatutlucisplanumpolarizationispervireselectricasvelmagneticasdeclinetur.'HalisSaxonum, 1858．

谱线 E 的旋转=21°58′

我们对物体分子构成的细节所知太少，以致不太可能建立联系到对光的磁作用这样的具体现象的任何理论；那要等到我们已经通过建筑在若干不同的可见现象被发现为依赖于涉及分子作用的那种事例上的归纳综合， 了解了有关一些性质的某种更确定的知识时才行，那些性质就是为了满足观测到的各事实的条件而必须指定给分子的。

以上提出的这种理论显然是一种暂时性的理论，它依据了有关分子漩涡之本性的以及有关他们受到媒质位移之影响时的那种方式的一些未经证实的假说。因此我们必须认为，和观测事实的任何符合，在偏振面的磁致旋转理论中都比在光的电磁理论中具有更加小得多的科学价值，因为光的电磁理论虽然也涉及了关于媒质的电性质的一些假说，但它却并没有涉及媒质的分子构造之类的问题。

1. 〕注整个这一章可以看成威廉·汤姆孙爵士的一个非常重要的说法的引申。他在 Proceedings of theRoy-al Society,June1856 上写道： “法拉第所发现的对光的磁影响，依赖于运动粒子的运动方向。例如，在具有运动粒子的媒质中，沿着平行于磁力线的直线而运动的粒子会被弄成沿着以该直线为轴的螺旋线而运动，然后，以这样的速度切向投影成描绘圆周，就将按照他们的运动是绕向一个方向（和磁化线圈中传导电流的名义方向相同）或是绕向相反的方向而具有不同的方向。但是，不论粒子的速度和方向如何，媒质的弹性反作用对相同的位移必然是相同的。这就是说，被圆周运动的离心力所平衡的力是相等的，而光运动则是不相等的。因此，那些绝对圆周运动或者相等，或者把相等的离心力传给起初考虑的那些粒子，由此就可以推知，光运动只是整个运动的一个成分，而且，沿一个方向的较弱的光运动和当并未传送光时存在于媒质中的运动结合起来，将与沿相反方向的较强的光运动和同一非光运动结合起来时给出相同的合运动。平行于磁力线而通过磁化玻璃传送的具有相同的性质即永为左手或永为右手的圆偏振光，将按照它的路程是沿着还是反着一个北磁极被画出的方向而以不同的速度传播；关于这个事实，我认为不仅不可能设想出和上述这种动力学解释有所不同的任何动力学解释，而且我也相信，可以阐明这一事实的任何别的解释都是不可能的。因此，看样子，法拉第的光学发现给关于磁的终极本性的安培解释提供了一种证明，并且在热的动力论中给出了一个磁化的定义。动量矩原理（‘面积的守恒性’）在兰金‘分子漩涡’假说的数学处理中的引用，似乎表明一条垂直于热运动之合角动量平面（‘不变的平面’）的直线就是磁化物体的磁轴；而且这也意味着，这些运动的合动量矩就是‘磁矩’的确切量度。一切电磁的吸引或推斥现象，以及电磁感应现象，其解释都应该简单地到其运动构成热的那种物质的惯性和压力中去寻找。这种物质是不是电，它是一种填充在分子核之间的空间中的连续流体呢还是本身也有分子结构，或者，是不是一切物质都是连续的而分子性的不均匀性只存在于物体各相邻部分的有限的漩涡运动或其他相对运动方面，这在目前的科学状况下还是无法确定的，而且或许推测它也是无用的。”

我曾经相当详细地发展了一种分子漩涡理论，见 Phil.Mag.for March,April,andMay,1861,Jan.andFeb.1862.我认为，我们有很好的证据

可以相信，磁场中有某种转动现象在进行着，这种转动是由许许多多很小的物质部分在进行着的，其中每一个小部分都绕着自己的轴线在转动，这个轴线平行于磁力的方向，而且，通过彼此之间的某种连接机制，这些不同的漩涡是被弄得互相制约着的。

然后我就试着设想了这种机制的一个可行的模型。这种尝试不能过分当真，它只是一种演示，表明可能设想出一种机制，它可以产生一种连接， 在力学上和电磁场各部分之间的实际连接相等价。为了在一个体系各部分的运动之间建立一种给定类型的联系，就需要某种机制；这种机制的确定问题永远可以有无限多种解。在这许多解中，有些解可能比别的解更加复杂和更加别扭，但是所有的解都必须满足机制的普遍条件。

然而，理论的下列结果却具有较高的价值： (1)磁力是各漩涡的离心力的效应。

1. 电流的电磁感应是当各漩涡的速度发生变化时所引起的那些力的效应。

2. 电动势起源于连接机制上的胁强。(4)电位移起源于连接机制的弹性屈服。

第二十二章

用分子电流来

解释铁磁性和抗磁性关于磁性的电磁学说

1. 〕我们已经看到（第 380 节），磁体和磁体之间的相互作用，可

以用一种叫做“磁质”的假想物质的吸引和推斥来准确地代表。我们已经指出了为什么我们不能假设磁质能够像当我们磁化一个棒时起初想像的那样从磁体的一部分经过一个可觉察的距离而运动到磁体的另一部分，从而我们就被引导到了泊松的假说，即磁质是严格地局限在磁性物质的单个分子中的，因此一个磁化了的分子就是种类相反的磁质或多或少地向分子的相对两端分开的一个分子，但是其中任何一种磁质都永远不能真正地脱离分子（第 430 节）。

这些论点就能完全确立一个事实，即磁化不是大块的铁的现象而是分子的现象，也就是说，是物质的那样一些很小的部分的现象，他们太小了， 以致我们无法用机械的手段把他们一分为二，以便得到一个和南极分离开的北极。但是，不经进一步的探索，磁分子的本性却绝不是已经确定的。我们已经看到（第 442 节），有很强的理由可以相信，对铁或钢进行磁化的动作并不是把磁性传给组成铁或钢的那些分子，而是这些分子即使在未被磁化的铁中就已经是磁性分子了，但是他们的轴线却不偏不倚地指向所有的方向，而磁化的动作则只是转动那些分子，使他们的轴线或是完全指向一个方向，或是至少偏向那个方向。

1. 〕然而，我们还没有得到有关磁性分子之本性的任何解释，也就是说，我们还没有认识到它和我们更加了解的任何其他东西的相似性。因此我们必须考虑安培的假说，就是说，分子的磁性起源于一种在分子内部不断地沿某种闭合路线进行着的分子电流。

利用一个在其表面上适当分布的电流层来得出任一磁体在其外部各点上的作用的一种确切模拟，总是可能的。但是，磁体在其内部各点上的作用，却是和电流在各对应点上的作用完全不同的。因此安培就得出结论说， 如果磁性是要借助于电流来加以解释的，这些电流就必然在磁体的分子内部流动，而不应该从一个分子流到另一个分子。由于我们不能测量分子内部的一点上的磁作用，这一假说就不能像我们可以否证磁体内部可觉察范围内的电流的假说那样加以否证。

除此以外，我们也知道，当从导体的一个部分过渡到另一个部分时， 一个电流就遇到电阻并产生热；因此，假如有普通种类的电流绕着可觉察大小的磁体部分在进行，那就会有一种经常的能量耗损来保持这些电流， 而且一个磁体也将是一个永久性的热源。人们对分子内部的电阻是毫无所知的，因此，通过把电路限制在分子内部，我们就可以断言电流在分子内运行时不会遇到任何电阻，而且我们用不着害怕任何矛盾。

因此，按照安培的学说，所有的磁现象都起源于电流，而且，假如我们能够对一个磁性分子内部的磁力进行观测，我们就将发现这种磁力和由

任何其他电路包围着的区域中的磁力服从完全相同的规律。 834．〕当处理磁体内部的力时，我们曾经假设测量是在从磁体物质中

挖出的小空腔中进行的，见第 395 节。这样我们就被引导到了两个不同量的考虑，即磁力和磁感的考虑，这二者都被假设为是在磁性物质已被取走的空间中观测的。我们并没有认为自己能够穿透到磁性分子的内部并观测分子内部的力。

如果我们采用安培的学说，我们就把一个磁体不是看成其磁化按照某种容易想像的规律而从一点到另一点地变化的一种连续的物质，而是把它看成为数甚多的一群分子；在每一个分子中都流动着一套电流，他们引起一种极其复杂的磁力分布；分子内部的磁力的方向，通常是和它的邻域中的平均磁力的方向相反的；而在它存在的地方，磁势也是一个多重函数， 其重数就如磁体中的分子数那样地大。

835．〕但是我们却将发现，尽管存在这种表现复杂性（然而这种复杂性只不过起源于许多较简单部分的同时存在），通过采用安培学说并把我们的数学眼光伸展到分子的内部，磁的数学理论却是被大大简化了的。

首先，磁力的两个定义变成了一个定义，二者都和适用于磁体外部空间的定义相同了。其次，磁力的分量到处都满足磁感分量所满足的条件了， 就是说，到处都满足下一条件了：

dα + dβ + dγ

= 0．(1)

dx dy dz

换句话说，磁力的分布和一种不可压缩流体的速度的分布具有相同的性质，或者，正像我们在第 25 节中已经表述过的那样，磁力是没有敛度的。

最后，三个矢量函数即电磁动量、磁力和电流，变得更简单地相互联系着了。他们都是没有敛度的矢量函数，而且他们是按次序一个从一个用相同的手续导出的，其手续就是求空间变化率，即哈密顿用符号∇表示的那种运算。

836．〕但是我们现在是在从一种物理的观点来考虑磁，从而我们就必须追问分子电流的物理性质。我们假设有一个电流在分子中循环不已，而且它并不会遇到任何电阻。设 L 是分子电路的自感系数，而 M 是这一电路和某一其他电路之间的互感系数，那么，如果γ是分子中的电流而γ′是另一电路中的电流，则电流γ的方程是

d (Lγ + Mγ' ) = −Rγ；(2) dt

而既然按照假说并不存在任何电阻，我们就有 R=0，于是通过积分就得到Lγ+Mγ′=常量=Lγ0，(3)

让我们假设分子电路在分子轴线的垂面上的投影面积是 A，该轴线定义为使投影面积为最大的那个平面的法线。如果其他电流在一个和分子轴线成θ角的方向上引起的磁力是 x，则量 Mγ′变成 XAcosθ．而作为电流的方程我们就有

Lγ+XAcosθ=Lγ0，(4) 式中γ0 是当 X=0 时的γ值。

因此，看来分子电流的强度完全依赖于它的原始值γ0，也依赖于由其他电流引起的磁力的强度。

837．〕如果我们假设不存在原始电流而是电流完全起源于感应，则有

γ = − XA cos θ．(5)

L

负号表明感生电流的方向和施感电流的方向相反，而且它的磁作用是在电路内部沿着和磁力相反的方向而起作用。换句话说，分子电流像一个小磁体那样起作用，它的两极是指向施感磁体的同名极的。

喏，这是一种作用，它和铁分子在磁力影响下的作用相反。因此，铁中的分子电流并不是由感应作用引起的。但是在抗磁性物质中却有一种这样的作用被观察到，而事实上这也正是由韦伯最初提出的对于抗磁性的解释。

韦伯的抗磁性理论

838．]按照韦伯的理论，在抗磁性物质的分子中存在某些渠道，而电流可以沿着这些渠道运行而不受到阻力。很显然，如果我们假设这些渠道沿一切方向而穿过分子，那就等于把分子看成一个理想的异体。

从假设分子内的一个线性电路开始，我们就得到由方程(5)给出的电流强度。

电流的磁矩是它的强度和电路面积的乘积，即γA，而这个磁矩沿磁化力方向的分量则是γAcosθ，或者由(5)就得到

XA²

− cos² θ．(6) L

如果单位体积中有 n 个这样的分子，而他们的轴线是不偏不倚地沿一切方

1

θ的平均值将是 3 ，而物质的磁化强度将是

• 1 nXA²

3 L (7)

因此，诺依曼的磁化系数就是

1 nA²

k = − 3 L ．(8)

因此物质的磁化是沿着磁化力的反方向的，或者换句话说，物质是抗磁性的。磁化也和磁化力确切地成正比而并不像普通的磁感应事例中那样趋于一个有限的极限。请参阅第 442 等节。

839．]如果各分子渠道的轴线方向不是不偏不倚地沿一切方向排列， 而是沿某些方向的数目较多，则按所有分子计算的和式

A 2

Σ = L cos θ

2

将按照从它开始测量θ值的那条直线的方向之不同而有不同的值，而这些值在不同方向上的分布将和绕通过同一点而方向不同的轴线的惯量矩的分布相似。

这样一种分布将解释由普吕克尔所描述了的那种和物体中的轴线有关的磁现象，即法拉第所说的磁晶现象。请参阅第 435 节。

840．]现在让我们考虑，如果不是把电流限制在分子内的某些渠道中， 而是整个的分子被假设成一个理想的导体，那将有什么效应呢？

让我们从一个非环形物体的事例开始；就是说，物体不是一个环或一个穿了孔的物体。让我们假设这个物体到处都被一个理想导电物质的薄壳所包围。

我们在第 654 节中已经证明，一个任意形状的理想导电物质的闭合层，本来不带有电流，当受到外磁力的作用时就变成一个电流层，其作用适足以在层的内部各点上使磁力等于零。如果我们注意到一个情况，那就可能有助于我们理解这一事例。其情况就是，磁力在这样一个物体附近的分布，和一种不可压缩流体的速度在一个相同形状的不可穿透性物体附近的分布相似。

很显然，如果另一些导电壳被放在第一个壳的内部，既然他们并没有受到磁力的作用，也就不会有任何电流在他们中被激起。因此，在一个由理想导电材料构成的固体中，磁力的效应就是激起一个完全限制在物体表面上的电流系。

841．]如果导电物体具有半径为 r 的球的形状，则它的磁矩可被证明

｛利用在第 672 节中给出的方法来证明｝为等于

− 1 r ³X，

2

而且，如果有若干个这样的球分布在一种媒质中，使得单位体积中的导电物质的体积是 k＇，则通过在第 314 节的方程(17)中令 k1=∞、k2=1 和 p=k＇，我们就能求出导磁系数；这时把导磁系数看成那一节中的电阻的倒数，即

μ = 2 − 2k' ，(9) 2 + k'

由此，关于泊松的磁系数，我们就有

k = − 1 k' ，(10)

2

而关于诺依曼的感应磁化系数，就有

k = − 3 k' ．(11)

4π 2 + k'

既然理想导电物体的数学观念导致一些和我们在普通导体中所能观察到的任何现象都非常不同的结果，那就让我们更多地考察一下这个课题吧。

842．]回到像第 836 节中那样的具有面积为 A 的闭合曲线形状的导电渠道的事例，关于倾向于使角θ增大的电磁力矩，我们就有

γγ dM = −γXA sin θ

dθ

X 2 A 2

(12)

= L sinθ cosθ

(13)

按照θ大于或小于直角，这个力是正的或负的。由此可见，一个理想导电渠道的磁力的效应，就是倾向把它转得使它的轴线和磁力线相垂直， 也就是使渠道的平面变成和磁力线相平行。

把一个铜币或铜环放在电磁铁的两极之间，就能观察到种类相似的一个效应。在磁铁被激励的那一瞬间，铜环就把它的平面转向轴的方向，但

是电流一经被铜的电阻所消灭，力也就变成零了②。 843．到此为止，我们只考虑了分子电流完全由外磁力所激起的事例。

其次让我们分析韦伯关于分子电流之磁电感应的理论和安培关于普通磁性的学说之间的关系。按照安培和韦伯的看法，磁性物质中的分子电流不是由外磁力所激起而是早已存在的，而分子本身则是受到加在在电流在其中流动的电路上的那种磁力的电磁作用的影响并被那种作用所偏转的。当安培创立了这个假说时，电流的感应现象还是未知的，从而他就没有提出任何假说来说明分子电流的存在或确定他们的强度。

然而，现在我们必须对这些电流应用韦伯对他的抗磁性分子中的电流所应用的那些同样的定律。我们只须假设，当没有磁力作用时，电流γ的原始值不是零而是γ0．当一个磁力 X 作用在一个面积为 A 而轴线和磁力线夹一角度θ的分子电流上时，电流强度是

γ = γ 0

− XA cosθ，(14) L

而倾向于转动分子以使θ增大的力偶矩是

• γ 0 XA sin θ +

X 2 A 2

2L

sin 2θ．(15)

因此，在第 443 节中的探索中令

A

Aγ ₀ = m， Lλ

平衡方程就变成

= B，(16)

X sin θ − BX² sin θ = D sin(α − θ)．(17)

电流的磁矩在 X 方向上的分量是

γA cosθ = γ

₀A cos θ −

XA ²

L

cos² θ，(18)

= m cosθ(1 − BX cosθ) ．(19)

844．]这些条件和韦伯的磁感应理论中那些条件的差别在于含有系数B 的各项。如果 BX 和 1 相比是很小的，这些结果就将趋近于韦伯的磁性理论中的结果。如果 BX 和 1 相比是很大的，这些结果就将趋近于韦伯的

抗磁性理论中的结果。

喏，分子电流的原始值γ0 越大，B 就将变得越小，而如果 L 也很大， 则这也会使 B 减小。现在，如果电流是在一个环形的渠道中流动的，则 L

的值依赖于log R ，式中R是渠道的中线的半径，而r是其截面的半径。

r

因此，渠道截面和它的面积相比越小，自感系数 L 就越大，而现象就越接近地和韦伯的原始理论相一致。然而却存在一点不同，即当磁化力 X 增大时暂时磁矩不仅将达到一个极大值，而且以后将随 X 的增大而减小。

假如有一天能够在实验上证明任何物质的暂时磁化在磁化力连续增大

② 这三种形式的运动方程是由 G.B.艾瑞爵士作为分析当时刚由法拉第发现的现象的手段而首次提出的

（Phil.Mag.,June1846,p.477）.马 程，以便数学地表示水晶的现象。这些方程由马克·枯拉和艾瑞提供出来， “不是为了给出现象的一种力学解释，而是为了证明现象可以用一些方程来加以解释，那些方程似乎有可能从一种可取的力学假设中推出，尽管还没有任何这样的假设已被作出。”

时是起初增大而后减小的，我认为这些分子电流之存在的证据就会几乎被提高到证明的等级了①。

845．]如果抗磁性物质中的分子电流是限制在一些确定的渠道中的， 而且各分子是像磁性物质的分子那样可以被偏转的，则当磁力增大时抗磁极性将是一直增大的，但当磁力很大时极性就增大得不像磁力那样快。然而，抗磁系数的很小的绝对值却表明，作用在每一个分子上的致偏力，和作用在一个磁性分子上的致偏力相比一定是很小的，因此由这种偏转引起的任何结果都不太可能是觉察得到的。

另一方面，如果抗磁性物质中的分子电流可以在分子的物质整体中自由地流动，抗磁极性就将严格地正比于磁化力，而其量值则将导致理想导电物质所占之全部空间的一种测定，而且，如果我们知道分子的数目，这个量值也将导致分子大小的测定。

① 见 Faraday,Exp.Res.,2310,＆c.

第二十三章 远距作用理论

关于高斯和韦伯所提出的对安培公式的解释

846．]按照安培公式，载有强度为 i 和 i＇的两个电路的元段 ds 和 ds＇ 之间的吸引力是

ii'dsds' (2 cos ∈+3 dr

dr )；(1)

r ² ds ds'

或者写成

2

• ii' dsds' d r dr dr

r ² (2r dsds' − ds ds')；(2)

式中的电流用电磁单位来量度。请参阅第 526 节。我们现在必须诠释

其意义的各个出现在这些表示式中的量是

dr dr d² r

cos ∈1 ds ds' ，和 dsds' ；

而应该到那里去寻求一种建筑在电流之间的直接关系上的诠释的最明显的现象就是两个电路元中的电荷相对速度。 847．］因此，让我们考虑分别以速度 v 和 v'而沿着电路元 ds 和 ds＇运动的粒子的相对运动。这些粒子的相对速度的平方是

u² = v² − 2vv'cos ∈+v'² ；(3)

而如果我们用 r 来代表二粒子之间的距离，就有

∂r = v dr + v' dr ，(4)

∂ 2 2

∂t ds ds'

dr 2 dr dr 2 dr 2

( ∂ )

= v ( ds) + 2vv' ds ds' + v' ( ds')

，(5)

∂²r

∂t ²

d ²r

= v ² + 2vv' ds²

d ²r

dsds'

d² r

+ v'² ，(6) ds'²

式中的符号∂表示，在被微分的量中，粒子的座标要用时间表示出来。

因此就看到，方程(3)、(5)和(6)中含乘积 vv'的各项包含了那些出现在(1)和(2)中的我们必须加以诠释的量。因此我们就力图

必须把其中每一表示式中的第一项和第三项消去，因为他们含有一些并不出现在安培公式中的量。由此可见，我们不能把电流解释成仅仅沿一个方向的电传递，而是在每一个电流中都要把两个反向的流动结合起来，以便含有 v2 和 v＇2 的各项的组合效应可以是零。

848．]因此让我们假设，在第一个电路元 ds 中，我们有一个以速度 v 运动着的带电质点 e 和另一个以速度 v1 运动着的带电质点 e1；而且同样， 在 ds＇中也有两个分别以速度 v＇和 v1＇运动着的质点 e＇和 e1＇。

对这些质点的组合作用来说，含 v2 的项是

Σ(v²ee' ) = (v²e + v ²e )(e'+e' )．(7)

同理就有

Σ(v'² ee' ) = (v'² e'+v' ² e' )(e + e )；(8)

以及Σ(vv'ee') = (ve + v1e1 )(v' e'+v'1 e'1 )．(9)

要想使∑v2ee'可以是零，我们就必须有e’+e’1=0，或 v2e+v12e1=0．(10)

按照菲希诺尔的假说，电流就是一个沿正方向的正电之流和一个沿负方向的负电之流的结合体，二者在运动着的电量和运动所取的速度方面都在数值上恰好相等。由此可见，(10)中的两个条件都是被菲希诺尔假说所满足的。

但是，为了我们的目的，只要一条假设也就够了：或是假设每一电流元中的正电量在数值上等于负电量，或是假设两种电量都和他们的速度平方成反比。

现在我们知道，通过使第二条导线作为整体而带电，我们可以使 e+e＇ 为正或为负。按照这一公式，即使并未载有电流，这样一条带电的导线也

会对载有电流而其内部的v²e + v²e 有一个异于零的值的第一条导线作用

1 1

以力。这样的作用从来不曾被观察到过。

因此，既然 e+e＇这个量可以在实验上被证实为并不永远等于零，既

然v²e + v²e 这个量并不能在实验上进行检验，那么，对于这些思索来

1 1

说，假设后一个量永远为零就是比较好的。

849．]不论我们采用什么假说，无可怀疑的都是，代数地计算下来，沿第一个电路的总的电荷传输应由下式表示：

ve+v1e1=cids，

式中 c 是单位电流在单位时间内所传输的静电的单位数；于是我们就可以把方程(9)写成

Σ(vv’ee’)=c2ii’dsds’．(11)

因此，(3)、(5)和(6)的四个值的和就变成

Σ(ee' u² ) = −2c²ii' dsds'cos ∈，(12)

Σ(ee'( ∂r )² ) = 2c²ii' dsds' dr dr ，(13)

Σ(ee' r

∂t

∂² r

∂t ²

ds ds d ²r

) = 2c²ii'dsds' r

dsds'

，(14)

从而我们就可以把 ds 和 ds'之间的吸引力的两个表示式(1)和(2)写成

− 1 Σ[ ee' (u ² − 3 ( ∂r ) ² )]，(15)

c2 r 2

1 ee'

2

∂²r

∂t

1 ∂r

• c2

Σ[ r 2

(r ∂t 2

− ( ) ² )]．(16)

2 t

850．]在静电理论中，两个带电质点 e 和 e'之间的推斥力的普通表示

式是 ee' ，而且

r 2

Σ( ee') = (e + e1 )(e'+e'1 ) ，(17)

r 2 r 2

此式就给出两个电路元之间的静电推斥力，如果他们是作为整体而带电的

话。

由此可见，如果我们假设两个电路元之间的推斥力满足下列，两个修订了的表示式中的任一个：

ee' [1 +

1 (u ² − 3 ( ∂r )² )]，(18)

r 2

ee'

c² 2 ∂t

1 ∂²r 1 ∂r

或 r 2

[1 +

c2

(r ∂t 2

− ( ) ² )] ①(19)

2 ∂t

我们就可以从他们既推出普通的静电力，又推出由安培确定出来的作用在电流之间的动力。

851．]这些表示式中的第一个，(18)，是由高斯①在 1835 年 7 月间发现，并被他诠释为一条电作用的基本定律的；他说：“两个电荷元在相对运动的状态中会互相吸引或互相推斥，但其方式和他们处于相对静止时不同。”就我所知，这一发现在高斯在世时并没有发表，从而第二个表示式就是被科学界得知的这种结果中最早的一种；这个表示式是由韦伯独立地发现的，发表在他那著名的 Elektrodynamische Maasbestimmungen 的第一编中①。

852．]当应用于两个电流之间的机械力的确定时，这两个表示式就导致完全相同的结果，而且这种结果是和安培的结果等同的。但是当把他们看成两个带电质点之间的作用的物理定律的表示式时，我们必须追问他们是否和其他已知的自然事实相容。

这两个表示式都包含着质点的相对速度。喏，当通过数学推理来建立众所周知的能量守恒原理时，人们普遍地假设作用在两个质点之间的力只是距离的函数，而且人们通常说，如果力是其他东西的函数，例如时间或质点速度的函数，则原理的证明是不成立的。

因此，一条涉及质点速度的电作用定律，有时曾经被认为是和能量守恒原理相矛盾的。

853．]高斯的公式和这一原理相矛盾，从而必须被放弃，因为它导致一条结论，认为能量可以借助于物理手段而在一个有限的体系中无限地产生出来。这种反驳不适用于韦伯的公式，因为他曾经证明②，如果我们假设由两个带电质点组成的体系的势能是

ψ = ee' [1 −

r

1

2c ²

∂r 2

( ∂t ) ]，(20)

则通过对 r 求此式的导数并变号而得到的质点间的推斥力是由公式(19)给出的。

由此可见，一个固定质点的推斥力对一个运动质点作的功就是ψ0- ψ1，式中ψ0 和ψ1 是ψ在运动质点的路径起点和路径终点上的值。喏，ψ

① {厄翁教授曾在很强的磁场中寻求这种效应的迹象，但是尚未发现。见EwingandLow‘OntheMagnetisationofIronandotherMagneticMetalsinveryStrongFields ，’ Phil.Trans.1889,A.p.221.}

① ｛关于这种类型的理论的论述，请参阅 ReportonElectriealTheories,byJ.J.Thomson,B.A.Report,1885,pp.97- 155.｝

① Werke(G(ttingenedition,1867),vol.v.p.616.

② Abh.LeibnizensGes.,Leipzig(1846),p.316.

不但依赖于距离 r，而且依赖于速度沿 r 的分量。因此，如果质点描绘了任何一条闭合的路径，使得它在终点上的位置、速度以及运动方向都和在起点上的相同，则在这一循环过程中总地来说将是没作任何功的。

由此可见，无限大数量的功并不能由一个在韦伯所假设的力的作用下以一种周期方式运动着的粒子所作出。

854．]但是，在他的《静止导体中电的运动方程》③这篇重要的论著中， 亥姆霍兹一方面证明了韦伯的公式当只考虑在完整的循环过程中所作的功时是并不和能量守恒原理相矛盾的，另一方面他也指出了，韦伯的公式导致这样一个结论：按照韦伯定律而运动的两个带电质点在起初可以有有限的速度，但是当彼此相距还为有限距离时，他们却可以获得无限的动能， 也可以作无限的功。

对于这种批评，韦伯①回答说：在亥姆霍兹的例子中，质点的初始相对速度虽然是有限的，但却是大于光速的，而且，动能变为无限时的距离虽然是有限的，但却是小于我们所能觉察的，从而把两个质点弄得如此靠近就可能是在物理上作不到的。因此这个例子就不能用任何实验的方法来加以检验。

于是亥姆霍兹②就叙述了一个事例；在这个事例中，对于实验验证来说距离不是太小，而速度也不是太大。一个半径为α的固定的不导电的球面被充电到了面密度为σ。一个质量为 m 而带有电荷 e 的质点在球内以速度v 而运动。由公式(20)算出的电动力学势能是

v2

4πασe(1 − 6c2 )，(21)

从而是和质点在球内的位置无关的。在这个结果上加上由其他力的作用所

引起的另一部分势能V和质点的动能 1 mv ²，我们就得到

2

能量方程

1 (m − 4 πασe) v² + 4πασe + V = 常量。(2)

2 3 c²

既然 v2 的系数中的第二项可以通过增大球的半径α并使面密度α保持不变而无限地增大，v2 的系数就可以被弄成负数。于是质点运动的加速就将对应于它的“活劲”(vis vivα)的减小，而一个沿闭合路径运动并受到像摩擦力一样永远和运动方向相反的一个力的作用的质点，就将不断地增大它的速度，而且这是没有限度的。这种不可能的结果是假设一种势能公式的必然推论，那种公式在 v2 的系数中引入了负项。

855．]但是我们现在必须考虑韦伯理论对可以实现的现象的应用。我们已经看到它怎样给出两个电流元之间的吸引力的安培表示式。一个电流元在另一电流上的势通过对两个电流元中正、负电流的四种组合求和来求得。由方程(20)，求的四个值的和，结果就是

③ Pogg.Ann.lxxiii.p.229(1848).

① Crelle’sJournal,72.pp.57—129(1870).

② Elektr.Maasb.inbesondereü berdasPrincipderErhaltungderEnergie.

• ii'dsds' 1 dr dr ，(23)

r ds ds'

而一个闭合电流在另一个闭合电流上的势就是

• ii 1 dr dr dsds' = ii' M，(24) r ds ds'

式中正如在第 423、524 节中一样，

M = ∫∫ cos ∈dsds'．

在闭合电流的事例中，这一表示式和我们已经（在第 524 节中)得到的表示式相等同①。

韦伯的电流感应理论

856．]韦伯在从安培的关于电流元之间的作用的公式推得了他自己的关于运动带电质点之间的作用的公式以后，就着手应用他的公式来解释电流由磁电感应所产生的现象了。在这一点上他是杰出地成功的，从而我们将说明可以用来从韦伯公式推出感生电流定律的那种方法。但是我们必须提到，从安培发现的现象推出的一条定律也可以说明后来由法拉第发现的现象，而这一事实却并不像我们起初所设想的那样在定律之物理真实性的证据上增加了多大的重量。

因为，亥姆霍兹和汤姆孙已经证明（见第 543 节），如果安培的现象是真实的，而且能量守恒定律也是被承认的，则法拉第所发现的感应现象是必然的推论。现在，韦伯的定律，以及它所涉及的关于电流本性的各种假设，通过数学变换而导致了安培的公式。韦伯的定律也是和能量守恒定律相一致的，只要势存在就行，而势存在也正是亥姆霍兹和汤姆孙应用该原理时所唯一要求的。因此，甚至在对这一课题作出任何应用之前，我们就可以断定韦伯的定律将能够解释电流的感应了。因此，计算证明它能够解释电流感应这一事实，就不能使定律之物理真实性的证据有任何的增减。

另一方面，高斯的公式尽管能够解释电流的吸引现象，但它却和能量守恒原理不能相容，从而我们就不能断定它将解释所有的感应现象。事实上它并不能作到这一点，正如我们在第 859 节中即将看到的那样。

857．]现在我必须考虑当 ds 在运动中而它的电流可以变化时由电流元 ds 在电流元 ds＇中引起的电流。

按照韦伯的观点，对 ds＇是它的一个元的那个导体的材料的作用，是对它所携带的电的所有作用之和。另一方面，作用在 ds＇中的电上的电动力，却是作用在它内部的正电和负电上的电力之差。既然所有这些力都是沿着二电流元的连线而起作用的，作用在 ds＇上的电动力也就是沿着这一连线的，而为了解释沿 ds＇方向的电动力，我们就必须把力投影到该方向上。为了应用韦伯的公式，我们必须计算出现在公式中的各项，所依据的假设是，电流元 ds＇是相对于 ds＇而运动着的，而且两个电流元中的电流都是随时间而变的。这样求得的表示式将包括含 v2、vv＇、v＇2、v、v＇

① BerlinMonatsbericht,April1872.pp.247-256;Phil.Mag.,Dep.1872,Supp.,pp.530—537.

的一些项，以及不含 v 或 v＇的一些项，所有这些项都乘上了 ee＇。像从前那样检查每一项的四个值并首先考虑由四个值的和值所引起的机械力， 我们就发现，我们所必须照顾到的只有含乘积 vv＇ee＇的那一项。

如果然后我们就考虑由第一个电流元对第二个电流元中正电和负电的作用之差所引起的倾向于在第二个电流元中产生电流的那个力，我们就会发现，我们所必须分析的唯一的一项就是含 vee＇的那一项。我们可以写出∑(vee＇)中被感生的四项，于是就有

e' (ve + v1e1 )和e'1 (ve + v1e1 )．

既然 e＇+e1＇=0，由这些项引起的机械力就是零，但是作用在正电 e＇上的电动力却是(ve+v1e1)，而作用在负电 e1＇上的电动力则和此力相等而反向。

858．]现在让我们假设，第一个电流元 ds 是相对于 ds＇而以速度 V 沿着某一方向运动的，并且让我们用 Vds 和 Vds＇来分别代表 V 的方向和ds 的方向之间的夹角，于是两个带电质点的相对速度 u 的平方就是

∧ ∧

u² = v² + v'² +V² − 2vv'cos ∈+2Vv cos Vd s − 2Vv' cos Vd s' ．(25)

含 vv＇的项和方程(3)中的一项相同。电动力所依赖的含 v 的那一项是

∧

2Vv cos Vd s．

关于这一事例中 r 的时间变化率的值，我们也有

∂r = v dr + v' dr

+ dr ，(26)

∂t ds ds' dt

∂r dr

式中 ∂t 指的是带电质点的运动，而 dt 指的是物质性导体的运动。如果

我们求出这个量的平方，则机械力所依赖的含 vv＇的项仍像从前那样和方程(5)中的一项相同，而电动力所依赖的含 v 的项则是

2v dr dr ．

ds dt

对 t 求(26)的导数，我们就得到

∂²r

d ²r

d ²r

d² r dv dr

dv' dr

= v ² + 2vv'

+ v'² + +

(27)

∂t ²

ds²

dsds'

ds'² dt ds

dt ds'

dv dr dv' dr

d dr

d dr d ²r

• v ds ds + v' ds

①

ds' + 2v ds d

• 2v' ds' dt + dt ² ．

我们发现，含 vv＇的项仍像从前一样和(6)中的一项相同。随着 v

的变号而变号的项是dv dr 和2v d dr 。

dt ds ds dt

859．]如果我们现在利用高斯的公式（方程(18)）来计算由第一个电流元 ds 的作用而来的沿第二个电流元 ds＇方向的合电力，我们就得到

1 ∧ ∧ ∧ ∧

r 2 dsds'iV(2 cos Vd s − 2 cos Vr cos rd s) cos rd s' ．(28)

由于这个表示式中并没有包含电流 i 的变化率的项，而且我们知道原电流的变化会对副电路发生一种感应作用，因此我们就不能接受高斯的公

① 在整个的探索中，韦伯应用了电动力学单位制。在本书中，我 。见第 526 节。

式作为带电质点之间的作用的一种真实表示式。

860．]然而，如果我们使用韦伯的公式(19)，我们就得到

1 dsds'(r dr di + 2i d

dr − i dr dr ) dr ，(29)

r ² ds dt

ds dt

ds dt

ds'

d

或者写成

i dr

(

dr )dsds'+ i

d ²r

(

dr −

d ²r

dr

)dsds' ．(30)

dt r ds ds'

r dsdt ds'

ds' dt ds

如果我们对 s 和 s'求这个表示式的积分，我们就得到关于第二个电路中的电动势的方程如下：

d 1 dr dr

dt i r ds ds' dsds'+i

1 d ²r dr

r ( dsdt ds' −

d ²r dr ds' dt ds

)dsds'．(31)

现在，当第一个电路是闭合的时，就有

d ²r

dsds' ds = 0．

由此即得

1 dr dr

1 dr dr

d ²r

cos ∈

∫ r ds ds' ds = ∫ ( r ds ds' + dsds')ds = −∫

但是由第 423、524 节就有

cos ∈

r dsds' = M．(33)

r ds．(32)

如果两个电路都是闭合的，则方程(31)中的第二项等于零，因此我们就可以把第二个电路中的电动势写成

− d (iM)，(34) dt

这是和我们已经根据实验确立了的结果相一致的，见第 539 节。

关于把高斯的公式看成起源于 从一个带电质点以常值速度传递

到另一个带电质点的一种作用的问题

861．]高斯在一封写给 W·韦伯的很有兴趣的信①中，提到了他在很久以前就从事过的一些电动力学的思索；他将会已经发表了这些思索，假如他当时能够确立了他认为是电动力学之真正关键的结果的话，那结果就是，通过考虑带电质点之间的一种作用来推出作用在他们之间的力，而那种作用不是瞬时性的，而是按一种类似于光的传播的方式而在时间中传播的。当他终止他的电动力学研究时，他并没有在进行这种推导方面取得成功，而且他有一种主观的信念，认为要想对这种传播的进行方式形成一种自洽的表示，这种推导首先就是必要的。有三位杰出的数学家曾经试图提供这一电动力学的关键原理。

862．]伯恩哈德·黎曼在 1858 年向格廷根的皇家学会提出了一篇论

文，但是随后又撤回了；这篇论文直到作者逝世以后才于 1867 年问世，见Poggendorff’sAnnalen,bd.cxxxi.pp.237—263.在这篇论文中，从泊松方程的一种修订形式

① 括进来，然而当电路是闭合的时这些项对结果并无影响。}

d² V

dx ²

d ²V

• dy²

d ²V

• dz ²

+ 4πρ = 1

α 2

d ²V

dt ²

出发，黎曼推导了电流的感应现象；在这里，V 是静电势，而α是一个速度。

这个方程和表示波及其他扰动在弹性媒质中的传播的方程形式相同。但是作者似乎避免了明白地提到扰动在其中传播的任何媒质。

黎曼所作的数学探索曾由克劳修斯①进行过检查。他不承认数学过程的可靠性，而且证明了势像光一样地传播这一假说既不能导致韦伯的公式也不能导致已知的电动力学定律。

863．]克劳修斯也检查了 C．诺依曼关于《电动力学原理》的另一篇更精密得多的论文①。然而诺依曼却曾经指出②，他的关于势从一个带电质点传到另一个带电质点的理论，是和高斯所提出的、黎曼所采用的并由克劳修斯检查过的那种理论十分不同的；在那种理论中，传播是和光的传播相像的。相反地，按照诺依曼的看法，势的传播和光的传播之间却存在着要多大就多大的差别。

一个发光体向一切方向发射光，光的强度只依赖于发光体而不依赖于被光照到的物体的存在。

另一方面，一个带电质点发出势，其值 ee' 不但依赖于发射质点e，

r

而且依赖于接收质点 e＇，而且依赖于发射时刻的质点间的距离 r。

在光的事例中，强度随光的向远方传播而减小；发射出去的势却流到它所作用的物体上而一点也不减小它的原始值。

被照物体所接受的光通常只是射在它上面的光的一部分；被吸引物体所接受的势和到达它的势是完全相同的，或者说是相等的。

除此以外，势的传送速度不是像光的速度那样相对于以太或空间为常量，而却有如一个抛射体的速度那样相对于发射质点在发射时刻的速度而为常量。

由此可见，为了理解诺依曼的理论，我们必须形成一种和我们在考虑光的传播时已经习惯了的表象很不相同的势的传递过程的表象。在高斯看来是必要的那种传递过程能否有一天会作为“可设想的表象”而被人们所接受，我无法断言，但是我自己却没有能够构造出诺依曼理论的一种自洽的思维表象。

864．]比萨的比提教授③曾经用一种不同的方式处理了问题。他假设电流在里边流动的那些闭合电路由一些电路元构成的，而其中每一个电路元都周期性地被极化，也就是按相等的时间阶段而来回地被极化。这些极化的电流元像一些小磁体那样互相发生作用，各磁体的轴线沿电路的切线方向。这种极化的周期在所有的电路中都是相同的。比提假设一个极化电路元对隔着一个距离的另一极化电路元的作用不是瞬时出现的而是在一段和二电路元之间的距离成正比的时间之后才出现的。用这种办法，他求得了

① March19,1845,Werke,bd.v.629.

① Pogg.,bd.cxxxv.p.612.

② Tü bingen,1868.

③ MathematischeAnnalen,i.317.

一个电路对另一个电路的作用的表示式，和已知为真确的那些表示式相符合。然而，克劳修斯在这一事例中也批评了数学计算的某些部分，其详情在此不赘述。

865．]在这些杰出人物的头脑中，似乎对光和热的辐射现象以及在一个距离上的电作用在那里发生的一种媒质有一种偏见或反感。确实，在一个时期之内，那些思索物理现象之原因的人们习惯于借助一种以太流来说明每一种远距作用，那种以太流的功能和性质就是要产生这些作用。他们把全部空间充上了三四种不同的以太，它们的性质只是被发明了来“粉饰外表”的，为的是使更加理性化的研讨者们不但接受牛顿关于远距吸引力的确切定律，而且甚至也接受科太斯①的教条，即认为远距作用是物质的最原始性质之一，而且任何解释都不比这一事实更容易理解。因此，光的波动学说就曾经遇到许多的反对意见，这并不是指向它在解释现象方面的失败，而是指向它的光在其中传播的那种媒质之存在的假设。

866．〕我们已经看到，在高斯的思想中，电动力学作用的数学表示导致了一种确信，认为一种关于电作用在时间中传播的理论将被发现就是电动力学的基础本身。喏，我们不能设想时间中的传播，除非是作为一种物质实体在空间中的飞行，或是作为一种运动状态或胁强状态在早已存在于空间中的媒质中的传播。在诺依曼的理论中，我们无法设想为一种物质实体的一个叫做势的数学观念被假设为从一个质点抛射向另一个质点，其方式和一种媒质完全无关，而且正如诺依曼本人已经指出的那样，其方式是和光的传播方式极不相同的。在黎曼和比提的理论中，看来作用是被假设为以一种和光的传播方式更相似的方式而传播的。

但是在所有这些理论中，很自然地会出现一个问题：如果某种东西是越过一段距离而从一个质点传送到另一个质点的，它在已经离开一个质点而尚未到达别的质点时的状况是怎样的呢？如果这某种东西像在诺依曼理论中那样是两个质点的势能，我们应该怎样把这种能量想像为存在于一个既不和某一个也不和另外的质点相重合的空间点上呢？事实上，每当能量在时间中从一个物体被传送到另一个物体时，就必然有一种媒质或物质， 而能量在离开一个物体以后和到达其他物体之前就是存在于这种媒质或物体中的，因为，正如托里拆利①所指出的那样，能量“是本性上如此稀薄的一种原质，它不能被容纳于除物体的最内在物质以外的任何容器中。”由此可见，所有的这些理论都引向一种媒质的观念，而传播就是在那种媒质中进行的；而且我认为，如果我们采纳这种媒质作为一种假说，它就应该在我们的探索中占据一种突出的地位，而且我们就应该努力构造一种关于它的作用的一切细节的思想表象，而这就一直是我在这部著作中的目标。

① NuoroCimento,xxvii(1868).

① 见牛顿《原理》一书第二版的序。