八、天元术的硕果

清代数学家罗士琳（1774—1853）在他的《畴人传·续编·朱世杰条》中评论朱世杰的数学成就时说：

“汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量， 神而明之，尤超越乎秦李之上”。

清代另一位数学家王鉴在他的《算学启蒙述义·自序》中也说：“朱松庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”。

由上述二人的这两条评论来看，朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰。

《四元玉鉴》可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著，全书共分 3 卷，24 门，288 问。书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关， 其中：

四元的问题（需设立四个未知数者）有 7 问（“四象朝元”6 问，“假令四草”1 问）；

三元的 13 问（“三才变通”11 问，“或问歌彖”和“假令四草”各 1 问）；

二元的 36 问（“两仪合辙”12 问，“左右逢元”21 问，“或问歌彖”2 问，“假令四草”1 问）”。

一元的 232 问（其余各问都是一元）。

可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容， 也是全书的主要成就。

《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。

《四元玉鉴》一书的流传曾几经波折。这部 1303 年初版的著作，在 15

和 16 两个世纪都还可以找到它流传的线索。

第一：吴敬所著《九章算法比类大全》（1405 年）中的一些算题，和《四元玉鉴》中的完全相同或部分相同。

第二：顾应祥在他所著的《孤矢算术》序言（1552 年）中写道。“孤矢一术，古今算法载者绝少⋯⋯《四元玉鉴》所载数条”。

第三：周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》书首的各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会圣贤”列有“松庭《四元玉鉴》”。可见顾应祥、周述学二人都曾读到过《四元玉鉴》。

第四：清初黄虞稷（1618—1683）《干顷堂书目》记有“《四元玉鉴》二卷”卷数不符。

第五：梅瑴成（1681—1763）《赤水遗珍》（1761 年）中曾引用过《四元玉鉴》中的两个题目，可见清初时此书尚未失传。

公元 1772 年开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数学典籍，但朱世杰的著作并未被收入。阮元、李锐（1769—1817）等人编纂《畴人传》时

（1799 年）也尚未发现《四元玉鉴》。但不久之后阮元即在浙江访得此书， 呈入《四库全书》，并把抄本交李锐校对（未校完），后由何元锡按此抄本

刻印。这是 1303 年《四元玉鉴》初版以来的第 1 个重刻本。

《四元玉鉴》被重新“发现”以后，引起了当时许多学者的注意，如李锐、沈钦裴（1829 年写有《四元玉鉴》序）、徐有壬（1800—1860）、罗士琳、戴煦（1805—1860）等人，都进行过研究。其中以沈钦裴和罗士琳二人的工作最为突出。

1839 年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一书， 影响广泛。罗士琳对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题作了细草。与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心研究，每题也做了细草。

清代数学家李善兰（ 1811—1882）曾著有《四元解》（1845 年）。其后陈棠著《四元消法简易草》（1899 年），卷末附有“假令四草”的“补正草”。

日本数学史家三上义夫在其所著的《中国及日本数学之发展》一书中将

《四元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹和赫师慎分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字。

1977 年华裔新西兰人谢元祚将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于

《四元玉鉴》的论文。

朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的。

朱世杰深刻阐述了运用“天元术”——以代数方法处理几何问题的巨大的优越性。

当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（x）外，还需要增设地元（Y），人元（Z）乃至物元（U），再列写出二元、三元甚至四元的高次联立方程组， 然后求解。这就是朱世杰在他的著作中所介绍的“四元术”。

朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中的四元一次联立方程组解法推广到四元高次联立方程组，在《四元玉鉴》中举例说明了高次联立方程组的求解方法—

—消去法。

总之，朱世杰的《四元玉鉴》为推进我国古代数学的发展作出了不可磨灭的重要贡献。但是，我们在看到朱世杰的贡献时，千万不要忘了，站在他前面逢山开路，遇水搭桥的伟大数学家李冶的“凿空”之功！