二、波动

机械振动在媒质中的传播叫作机械波，简称波．

当媒质中某处质点振动时，由于媒质质点间存在相互作用，从而会引起邻近的其它质点的振动；而邻近质点振动后，又会引起相邻质点的振动．这样，机械振动这种运动形式就通过媒质质点间的相互作用由近及远地传播，从而形成机械波．

由此可见，机械波的形成要有两个条件：其一是要有波源即振源； 其二是要有能够传播振动的媒质．

机械波既然是由机械振动所引起的，因此波动与振动密切相关． 振动在媒质中传播时，就媒质的每个质点来看，都以它的平衡位置

为中心作机械振动，但没有整体的定向移动，即媒质并不随波迁移．波动过程是振动这种运动形式的传播过程，也是能量的传播过程．

波分为横波和纵波两种．如果媒质中质点的振动方向与波的传播方向垂直，这种波称为横波．它所表现出来的外部形态是波峰与波谷沿波的传播方向向前推进．

如果媒质中质点的振动方向与波的传播方向在一条直线上，这种波就称为纵波．纵波表现出来的外部形态是疏部与密部相间，沿波的传播方向向前推进．

波在均匀媒质中是匀速传播的，传播的速度称为波速．波速是振动在媒质中的传播速度，它与媒质质点的振动速度不是一回事．同一种振动在不同的媒质中传播的速率不同，波长也不同；而不同频率的振动在同一种媒质中的传播速率相同，此速率仅由媒质本身的性质决定，与波的频率无关．波速 v、波长λ及频率 f、周期 T 之间的关系为：

v s λ

＝ t ＝ T ＝λf

其中 s 为 t 秒内波在媒质中传播的距离．

●波的图象问题

我们常用波的图象来直观地表现波的传播情况．图象的横坐标表示波的传播方向上媒质各质点的平衡位置，纵坐标表示某一时刻各质点相对其平衡位置的位移．

在横波图象中，我们规定，对于那些已运动到其平衡位置一侧的媒质质点，它们的位移为正，其纵坐标用相应的正值表示；而那些运动到平衡位置另一侧的媒质质点，它们的位移为负，其纵坐标用相应的负值表示．

纵波是疏密波，又如何作出它们的波形图象呢？我们是这样处理的：对于那些已振动到平衡位置前方（波传播的方向）的媒质质点，其位移规定为正，它们的纵坐标用相应的正值表示；而对于那些已振动到平衡位置后方的媒质质点，其位移规定为负，它们的纵坐标用相应的负值表示．

图 2－1 即为一列简谐波的图象．从该波的图象看，这列波的振幅 A

＝10 厘米，波长λ＝4 米，还可以判断该时刻任一媒质质点相对其平衡位置的位移和运动趋势．

在波的图象中判断每一质点的运动趋势，是根据这样的道理：即每一质点都紧紧“追随”其相邻的“前面”的质点的运动．这里的“前面” 是指波传来的方向，注意不要和波传播的“前方”相混淆．如图 2－1 中的波是沿 x 轴的正方向向前传播的，距波源 3 米处的质点 G 此刻位于平衡位置，它“前面”的质点 F 此刻已在平衡位置的下方，故质点 G 紧紧追随质点 F，将向下方运动．质点 C 此刻也位于平衡位置，而它“前面” 的质点 B 在平衡位置的上方，故质点 C 紧紧追随质点 B，将向上运动．（注意，这里说某质点向上或向下运动，实际上已假定图 2－l 为横波的波形图象．若为纵波，则应说成是向右或向左运动）．

为了对振动图象和波动图象有更深入的了解，我们来研究下面的例子．

[例 1]图 2－2 为某列横波在某时刻的波形图．该时刻 P 点的运动方向向上，经过△t＝0．02 秒，P 点到达波峰．求：(1)这列波的传播速度多大？传播方向如何？(2)图中的质点 Q 到达波峰至少要多少时间？

[分析与解](1)该时刻质点 P 处于平衡位置，这时它向上运动，经△ t 到达波峰，可见波的周期为 T＝4△t＝4×0.02 秒＝0.08 秒．由图可知波长λ＝32 米，所以波速为：

v＝ λ ＝ 32 米

＝400（米／秒）

T 0.08秒

波的传播方向向左．

(2) 由于波向左传播，可知该时刻 Q 点的运动方向向下，至

3

少要过 4 周期才能到达波峰：

△t 3 T＝0.06（秒）

′＝ 4 ·

[例 2]一列波速 v＝3.4×104 米／秒的波，某时刻的波形图如图 2—3 所示．该时刻处在平衡位置上的 C、E 点间的距离为 17 厘米．C 点从该时刻起到第一次为负方向的最大位移的时间为 2.5×10－6 秒，问质点 A 从

该时刻起到第一次位移为正方向的最大值需要多少时间？

[分析与解]C、E 之间距离为半波长，则λ＝0.34 米，波的频率

v 3.4×104 米 / 秒 5

1 -5

f＝ λ ＝

＝10

0.34米

赫兹，可知周期为T＝ ＝10 秒．

f

由已知条件可知，质点 C 从该时刻起到第一次为负的最大位移的时

间为2.5×10-6 1

4

T，可见该时刻C点的运动方向向下，则波的传

播方向与 x 轴相反，该时刻 A 点的运动方向向上，所以质点 A 从该时刻

1

起到第一次为正向最大位移的时间为 4 周期，即：

△t 1 T＝2.5×10-6 秒

＝ 4 ·

上述两个例题都说明了波的传播过程与媒质质点的振动是密切相关的．特别是波的传播方向与媒质质点的运动方向有着紧密的联系．

[例 3]一列简谐波在 t＝0 时刻的波形图象如图 2－4 所示，传播方向自左向右．已知经△t＝0.9 秒，A 点刚好第二次出现波峰，求：

  1. 该波的周期；

  2. 经多少时间在 B 点第一次出现波峰？ (3)波传播到 B 点所需的时间．

[分析与解](l)A 点此刻处在波谷，要经 1．5 个周期才刚好第二次出现波峰，故 1.5T＝△t，即 1.5T＝0.9，所以 T＝0.6（秒）．

(2)由波动图象，知波长λ＝120 厘米，故波速

v＝ λ ＝ 120 ＝200（厘米／秒）

T 0.6

t＝0 时（图示时刻），波峰在 R 处，R 点离波源 30 厘米．B 点第一次出现波峰的时刻，就是波峰由 R 点传播至 B 点的时刻，故所需时间：

t＝ sAB

v

＝ 300 − 30 = 1.35（秒）

200

(3)波在 t＝0 时刻已传播到 Q 点，再向前传播距离 SQB，这列波就传播到了 B 点，所需时间

t′＝ sQB

v

＝ 300 − 30 = 0.9(秒)

200

[例 4］简谐波沿 x 轴正方向传播，已知轴上 x1＝0 和 x2＝3 米两处的振动图线分别如图 2－5(a)、(b)所示．又知此波波长大于 3 米，则此波的传播速度多大？

[分析与解]从两个振动图线可知，x2＝3 米处的点在 t＝0 时刻自平

3

衡位置向下运动，要经 4 周期才能运动到y轴正方向最大位移处， 这时

它才和 t＝0 时刻 x1＝0 处的质点的振动情况完全一样．这就是说，波从x1 ＝ 0 处 传 播 到 x2 ＝ 3 米 处 ． 历 时

△t＝ 3 T．又从图象可知，振动周期T＝4×10−3 秒，故△t 3 4×

＝ ×

4 4

10-3 ＝3×10-3 秒，波速：

v = x2 －x1 = 3－0 = 1×103 （米／秒）．

△t 3×10-3

[例 5]图 2－6 为某一时刻海上的波浪图．波向右传播，周期为 20 秒．现有一只汽船，此时恰在 O 点．

  1. 若该汽船以 8 米／秒的速度向右或向左航行，经过 5 秒时，则该船上、下振动的位移各有多大？

  2. 若在 10 秒钟内向右或向左航行，恰好能越过第一个波峰，则船的航速分别为多大？

[分析与解](1)汽船 5 秒航行的距离为：s＝vt＝8×5＝40（米）．

若汽船向右航行，5秒时刻航行到x＝40米处，5 1

4

处质点在t＝0 1 y

时刻位于平衡位置，且向上振动，经 4 周期刚好振动到

轴正方向最大位移处．因波浪的振幅为 10 米，故此刻汽船上、下振动的位移为：y＝＋10 米

若汽船向左航行，5 秒时刻航行到 x＝－40 米处，该处质点在 t＝

1时刻也位于平衡位置，且也是向上振动的，经 周期同样刚好振动到

4

y 轴正方向最大位移处，故汽船上、下振动的位移也为：y＝＋10 米．

(2)10秒为 1 周期，经10秒波浪向右传播半个波长。汽船若向右航

2

行且在 10 秒内越过第一个波峰，它必须到达 x＝80 米处．由此得汽船航速：

v = s右 = 80 = 8（米／秒）．

右 t 10

若汽船向左航行，且在 10 秒内越过第一个波峰，它必须到达 x＝— 40 米处．故汽船航速：

v = s左 = 40 = 4（米／秒）．

左 t 10

●波的干涉和衍射问题

当几个波源产生的波在同一媒质中传播时，如果这几列波在某点处相遇，那么相遇处质点的振动将是各个波所引起的分振动的合成，在任一时刻质点的位移是各个波在该点所引起的分位移的矢量和．这就是波的叠加．

我们只讨论两个频率相同、相位相同或相位差恒定的波源所发出的波的叠加．满足这一条件的两个波源叫作相干波源，它们发出的波叫作相干波．当振动方向相同的两个相干波相遇时，在空间的某些点上，两个简谐振动相位相同，合振动的振幅最大；在另一些点上，两个简谐振动相位相反，合振动的振幅最小．换句话说，两个相干波在空间相遇时， 空间某些点振动始终加强，而在另一些点振动始终减弱，且振动加强和减弱的区域互相间隔，这种现象称为波的干涉．

一切波都会发生干涉．干涉是波特有的现象．

波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前进，这种现象称为波的绕射或衍射．

并不是在任何情况下都会发生明显的衍射现象．实验观察告诉我们，能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或小孔的尺寸比波长小， 或者跟波长相差不多．

和干涉一样，衍射也是波动所特有的现象．不但机械波，一切波都能发生衍射．以后我们将会看到，正是由于光能够发生干涉和衍射，才使人们认识到光也是一种波．

[例 1]两个振动方向始终相同的声源，与某点间的距离分别为 2 米和

  1. 米．在该点始终听不到声音，求这两个声源的频率．（已知声速 v=340米／秒）．

[分析与解]在该点始终听不到声音，这是两个频率相同而且同相的声波干涉的结果．听不到声音，表明该点到两个声源的路程差为声波半波长的奇数倍，即：

r －r ＝（2n＋1 λ n＝0、l、2、 ）

2 1

可得波长：

λ = 2(r2 − r1 )

2n + 1

则声源的频率为：

） 2 （

f = v = (2n + 1)v

λ 2(r2 − r1 )

＝ (2n + 1)×340 2×(2.5 − 2)

= 340(2n＋1)（赫兹）

[例 2]有同频率、同相位的两个声源 S1 和 S2，相距 3 米，如图 2—7 所示，一人站在声源的北方距 S1、S2 等远处的 A 点，此时听到的声音很响．测得 A 点到 S1、S2 连线的垂直距离为 4 米．这人朝东慢慢移动，声音逐渐减弱，到 B 点时几乎听不见声音．测得 A、B 距离是 1．5 米．则

S1、S2 声波的波长为多大？若此人由 B 点向正南方向移动，声音逐渐变强，那么此人向正南方至少走多远，声音变得很响？

[分析与解]连接BS1，BS2 ，已知S1S2

米，则

= 3米，由题意，知BS2 = 4

BS1 = = = 5米．

因人在 B 点几乎听不到声音，表明：

BS1 − BS2

= λ ．

2

由此可得波长：

λ = 2（BS1—BS2 ）

= 2×（5—4） = 2（米）．

设此人自B点向南走到C点处听到的声音又很响，并令CS2 ，则有：CS1 − CS2 = λ

即

− x = 2

− CS2 = λ

解得：x = 1.25（米）

BC = BS2 − CS2 = 4 − 1.25 = 2.75（米）

即此人自 B 点向正南方至少要走 2.75 米，听到的声音才又变得很响．

[例 3]半径为 45 米的圆形广场，如图 2－8 所示.在广场中心 O 处及广场圆周上的 A 点，分别安装型号相同的扩音器．从两个扩音器里发出振幅、波长、频率完全相同的声音，已知声音的波长是 10 米．有一个人沿着广场周围逆时针方向行走．当他在图中所示的 B 点时听不到扩音器的声音，经过 B 继续沿逆时针方向行走，试问他离开 B 之后到达 A 之前， 有几处他听不到扩音器的声音？

[分析与解]设当他走到圆周上的 P 点时听不到扩音器的声音，则应有：

s - s = （2n + 1 λ

(n = 1，±1，±2 )

AP OP ） 2 ，

s = （2n + 1） λ + s = (2n + 1) 10 + 45 = 10n + 50．

AP 2 OP 2

由于 0＜SAP＜2R（R 为广场半径），即： 0＜10n+50＜90，

—5＜n＜4，

可见 n 可取下列几个数中的任何一个：

－4，－3，－2,－1，0，1，2，3．

即此人在离开 B 之后到达 A 之前，共有 8 处他听不到扩音器的声音．

●思考与练习

  1. 在波的传播方向上，相距为 S 的 P 和 Q 两点之间只有一个波谷的四种情况如图 2－9 所示．设这四列波的波速皆为 v，传播方向向右．自图示时刻起，P 点首先出现波谷的是图 ．

  2. 质点 S 是上、下振动，频率为 100 赫的振源所产生的横波同时向右边的A 点和左边的B 点传播，波速为 80 米/秒．已知 SA=17.4 米，SB=16.2米，当 S 通过平衡位置向上振动时，A、B 两质点的位置是

[ ]

  1. A 在波峰，B 在波谷； (b)A、B 都在波谷； (c)A、B 都在波峰； (d)A 在波谷，B 在波峰．

    1. 一列简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻和 t+△t 时刻的波形图线分别由图 2－10 中的实线和虚线表示，波的周期为 T，且 T＞△t．以下说法中正确的是 [ ]
  1. 波向左传播，△ 3 ；

t = T

4

  1. 波向右传播，△ 1 ；

t = T

4

  1. 波向左传播，质点 a、b、c 重新回到平衡位置所需的时间为 tb

＞ta=tc；

  1. 波向右传播，质点 a、b、c 重新回到平衡位置所需的时间为 ta

＜tb＜tc．

  1. 一列简谐横波如图 2－11 所示，已知 A 点加速度为 10 米／秒 2， C 点速度方向向下，经 0．1 秒 C 点第一次达到最大位移，且 CD=20 厘米， 那么 B 点加速度大小为 米／秒 2，方向向 ，D 点的运动方向向

，波速为 米／秒 2．

  1. 一列横波，沿其传播方向相距 2 米的 P、Q 两点的振动图象分别如图 2－12 中的实线和虚线所示．已知波长大于 2 米，则该波频率为 赫兹，波长为米，波速为米／秒．

  2. 图 2—13 为一列简谐横波在传播方向上相距 3 米的两质点 P 和 Q 的振动图线，实线为 P 的振动图线，虚线为 Q 的振动图线．已知 P 离波源较近，则该波波长多大？

  3. 某横波如图 2－14 所示，沿 x 方向传播，O 为波源，OP=4 厘米， PQ=14 厘米．当波恰好传到 Q 点时，在 OP 范围内有一些质点正向－y 方向运动，这些质点的平衡位置的坐标区间是什么？

  4. 已知一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图如图 2－15 所示．

(1)分别画出t = T T T等三个时刻的空间波形图线；

4 、 2 、

(2)分别画出 x=x1、x2、x3 等处质点位移随时间变化的振动图线． 9．在图 2－16 所示的坐标系中，一列横波沿轴的负方向传播，波速

为 6 米／秒．当位于 x1=3 米处的质点 A 恰在平衡位置且向上运动时，位

于 x2=6 米处的质点 B 正处于 x 轴下方最大位移处．则这列波的最小频率为多少？若不受最小频率的限制，写出此波的波长表达式，并在图中画出与最小频率相对应的波形图象．

  1. 一列波沿 x 轴正向传播，到达坐标原点时的波形如图 2－17 所示．则当波到达 N 点时，处于 O 点处的质点所通过的路程和该时刻的位移各是多少？

  2. 在原来静止的媒质中有简谐波沿直线传来，A、B 两点相距 12米，已知 B 完成两次全振动后 A 开始振动，在图 2－18 中画出当 A 点处质点经平衡位置向下振动时的波形图（已知简谐波的振幅为 10 厘米）． 12．如图 2－19 所示，实线表示 t 时刻一列横波的波形，虚线表示

经过△t=1 秒后该横波的波形．则该波的波速多大？若该波周期 T＞l 秒，则在 10 秒内，图中原点 O 处的质点通过的路程是多少？

  1. 一列横波在 x 轴上传播着，在 t1=0 和 t2=0.005 秒时波形曲线分别如图 2—20 中的实线和虚线所示．

  1. 由图中读出波的振幅和波长；

  2. 设周期大于（t2－t1），如果波向右传播，波速多大？如果波向左传播，波速又是多大？

  3. 设周期小于（t2—t1），并且波速为 6000 米／秒，求波的传播方

向．

  1. 一列横波在媒质中传播，某时刻的波形如图 2－21(a)所示．经过△t（△t＜T）后，波形图如图 2－21(b)所示．若这列波是沿 x 轴正向传播的，则波上各质点的振动频率多大？若波是沿 x 轴负方向传播的， 则波上各质点振动的周期多大？

  2. 关于波的干涉现象，下列说法中哪些是正确的？

    (a)在两列机械波相遇的区域，必定产生干涉现象；

  1. 由两列振幅相等的相干波形成稳定的干涉图样时，振动最弱的地方一定保持位移为零；

  2. 两列振幅相等的相干波形成稳定的干涉图样时，振动最强的地方一定保持最大位移；

  3. 由两列相干波形成稳定的干涉图样时，振动最弱的地方位移不一定为零．

  1. 在图 2－22 中，S1、S2 为两个同频率的相干波源，实线和虚线分别代表某一时刻的波峰和波谷，则在 M、N、P、Q 四点中，振动互相加强的点是哪些点？振动互相减弱的点是哪些点？

  2. 如图2－23 所示，在媒质中 S1 和 S2 为两个频率相同、相位相同、

振动方向也相同的波源，相距两个波长，且 S1A=AB=BC=CS2，下列说法哪些是正确的？

  1. B 点永远是波峰；

  2. A、C 两点振动始终最强；

  3. B 点振动始终最强，A、C 两点振动始终最弱； (d)某时刻 B

    点的位移可能是零．