学生趣味 百科博览

数学乐园一线贯三星

木星和土星都在地球的外侧轨道上。木星绕太阳 1 周要 12 年，土星绕太

阳 1 周要 29 年。那么，地球、木星和土星要隔多少年，它们才能相遇一次，

或者说 3 颗星在一条直线上相贯，多少年是 1 个周期？ 解答：求它们的最小公倍数，即： 12×29=348（年）

相隔 348 年，3 颗星才相遇一次。

人体三重奏

人体有 3 个要素：体力、情绪和智力。有时体力旺盛，不易生病，有时却耐力下降、容易疲劳；有时情绪高涨、乐观向上，有时却情绪衰退、喜怒元常；有时思路敏捷、记忆力好，有时却记忆减退、判断力差。科学家通过实验，发现这三者是有周期性变化的。体力的变化周期是 23 天，情绪的变化

周期是 28 天，智力的变化周期是 33 天。这叫做“人体三节律”，就好比“人体三重奏”一样。请你想一想，当一个人出生之日起，要过多少天（或者多少年）才能恢复到体力、情绪和智力完全一祥的状态？

解答：求 3 个周期数的最小公倍数：

23×28×33=21252 天

或者化成年数（注意闰年）为 58 年 67 天。

因此，一个人相当于过 58 年（也就是虚年 60 岁）又恢复到最初状态， 开始了人生第二乐章。60 年正好是甲子年轮的一轮。

金字塔群

在数学中也有金字塔，而且还形成群落。试看以下 4 座用数字建筑的金字塔，请你分成两组，每组表示完全相同的类型。

请问几点钟？

那天早上可真不巧，本来快迟到了，想问问时间，却碰上了一个老学究。他用手托了托那副深度近视镜，对我说：“从零点起到现在的 2/5 等于从现在起到 12 点的 2/3。”这种回答真把人急死。我要是数学好的活，我真想回敬他一句：“老先生，谢谢您，您真是 12 点的 1/2 加上 12 点的 7/12。”

解答：设现在时间是 X 点，

2/5（x-0）=2/3（12-x）

2/5x=8-2/3x x=7.5

因此，那天早上是 7 点半。

后来回敬老学究的活，是这样的：

（1/2+7/12）12=13/12×12=13 点

原来是讽刺那个老学究是“十三点”。

隐形飞机

世界上已经设计出许多种隐形飞机，有一种｀B2 隐形飞机如图形状，如果从侧面看过去角度如图上所标，那么∠1 应该等于多少度？

解答：

在△DBC 中，∠C=25°，∠B=60°

∵∠4=180°-（25°+60°）=95°

∴∠3=180°-∠4=180°-95°=85°

在△ADE 中，∠A=45°，∠3=85°

∴∠2=180°-（45°+85°）=50°而∠1=∠A+∠3=130°

看门道

在公园的深庭小径里，看到一个宽 1 米、高 2 米的花瓶形的门。可是在比较热闹的地方却是 1 米宽、2 米高的长方形门。到了儿童游乐官，门却变成了不到 1.5 米的正方形门了。据公园的负责人说，这些门用的材料是完全一徉多，只不过适应不同的需要而已。那么，请你作一个几何交换：把花瓶形切成两块，变成一个长方形，把花瓶形切成 3 块，变成正方形。

解答：如图所示，可以把花瓶分别变成长方形和正方形。由于幽径深处， 游人较少，所以采用花瓶形门够一个人通过；在热闹处，游人较多，采用长方形门同时可进两人；在儿童游乐宫都是孩子，所以高度可以矮些，进 3－4 人，这样正方形门比较合适。

世界充满爱

让世界充满爱吧！如果从数学的眼光看，日常生活中也确实充满着爱。这就需要我们去发现，去理解。

宝宝有一件东西，从正面、侧面和上面看过去是 3 种不同的形状，你能不能看出其中有爱的内容？

解答：如图所示，这个图形是两个半圆的圆周（如同铁线弯成的），但两个半圆不在同一平面，成一个角度。如果画成立体图形，并稍许偏侧以后， 图形就变成一个象征“爱”的心形。

哈密顿漫游记

如果把地球看成是一个正 12 面体，而每一个面看成是一个大陆或海洋。比如：亚洲、欧洲、非洲、澳洲、南极洲、北美洲、南美洲、太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。那么，我们做一次世界漫游。要求从 A 点 出发，要不重复又不遗漏地经过 20 个顶点。为了使正 12 面体背面的顶点能看到，把立体图形稍作变形处理，而成图上面的那样。这种一笔周而复始的游戏常常称作哈密顿游戏。

那么，清你出发吧！解答：沿 1 到 20 的数字，循序前迸，即能路经 20 个顶点。

日历上的“54”

不要误会，这并不是措“五四”青年节，而是要你寻找连续 3 个日子，

其号数相加等于“54”。如果你已经找到了答案，再拭看哪 4 个连续日子相加也等于“54”呢？

解答：3 个连续日子应该是 17 日、18 日、19 日。

因为连续 3 个数，中间的数必然是前后两数和的一半。所以总数 54 被 3

除必然是中间那个日子，由此，54/3=18 为中间数，剩下的两个是 17 和 19 了。

4 个连续日子应该是：12 日、13 日、14 日、15 日。

当 4 个连续数时，必然中间两个数之和等于边上两数之和。这样 54 被 2

除就应该是中间两数的和，即 54/2=27，而 27 又是 13 和 14 两个连续数之和。所以最终的答案是 12、13、14、15。

老题新意

我们已经做了“日历上的‘54’”，假如 3 个连续日子之和为“56”或“58”，那么其答案又该是什么呢？

解答：由于“56”和“58”都无法被 3 除尽。因此要从“连续 3 个日子”

来考虑。因为“连续 3 个日子”不同于“连续 3 个自然数”，它有月份的交替，由此我们很快联想到答案是这样的：

当 2 月 27 日、2 月 28 日、3 月 1 日的时候，3 个日子之和为 56；

当闰年时，2 月 28 日、2 月 29 日、3 月 1 日，这 3 个日子之和为 58。

合唱队的难题

某校合唱队里有一个队员病了，临上台表演了，队里的指挥排了一下队伍，如果 10 人一排，有一排就少 1 人；如果 12 人一排，有一排还少 1 人；

如果 15 人一排，有一排仍少 1 人。请问这个合唱队原来一共有多少人？

解答：10、12、15 三个数的最小公倍数是 60。当 60 个队员时，10 人一排、12 人一排或 13 人一排都是正好的。因此若少 1 人时，成 59 个队员，必

然，按上述办法排队时都少 1 人。由此，原来合唱队的队员数为 60 名，但是，

不要忘记还有指挥，一共是 61 人。

这是最少可能的人数，其他解数字太大，不符合现实情况。

校庆“三十五”

校庆 35 周年了，为了庆祝这个日子，4 个同学用 35 这个数做游戏，游

戏的要求是：只能用 5 这个数字，或者只用 7 这个数字组成一个式子，其结

果等于 35。甲和乙分别用 4 个 5 和 4 个 7 组成 35，其式子如下： 甲：5×5+5+5=35

乙：7×7-7-7=35

另两个同学丙和丁分别用 5 个 5 和 5 个 7 组成 35。你知道他们是怎么列的式子？

解答：丙：55-5×5+5=35 丁：77-7×7+7=35

这 4 个式子有一个特点，都是在 5×7 这个基本式子引伸出来的。改变其

中一个数字，使它变成 1 和 11，以及 5 或 7 的失系，那么最后的式子中就可以保持清一色。

比如：5×（5+1+1）=5×5+5+5=35 5×（11-5+1）=55-5×5+5=35

7×（7-1-1）=7×7-7-7=35

7×（11-7+1）=77-7×7+7=35

四个太子

皇帝有 4 个太子，他准备把一大块土地分给他们作为领地。这块土地呈

正方形，中间有一片森林，有 4 处是产金的地方。皇上决定这样划分：每人

都包含一处产金之地。森林为 4 人公用，领地的面积、形状都完全一样。请你想想，皇帝是怎么划分领地的？

和平鸽

一个正五边形与一个正方形，边长正好相等。在它们相接的寸候，形成一个完整的“和平鸽”的图形。如果正方形顺时针转，五边形逆时针转，始终保持两条边邻接。那么各要转多少圈，才能恢复“和平鸽”的图形？

解答：这是一个求最小公倍数的问题，4 和 5 的最小公倍数是 20，因此， 每十图形它旋转的次数乘上它的边数应该等于 20 才对。这样，五边形应该逆

时针转 4 圈，正方形顺时针应该转 5 圈，又可出现“和平鸽’的图形。

邮政编码

法国通信的邮政编码用 5 位数字，中国通信的邮政编码用 6 位数字。请你估算一下，两国的邮政区域最多能有多少个？

解答：5 位数字不同的组合有 105，6 位数字不同的组合有 106 个。所以法国的邮政区域可以有 10 万个，中国可以有 100 万个。

号码锁

号码锁的 3 个拨盘上都有 0 到 9 十个数字，它能组成多少个不同的 3 位数。

解答：每一个百位数字，有 0 至 9 十种不同的十位数字。而每一个 10

位数字，又有 0 至 9 十种不同的个位数字。因此，对于每一个百位数有 10×

102=102 组合。

然而对于百位数字又有 10 种不同方式，所以一共有 10×102=103 种不同

的 3 位数。

绕口令

小牛、小叶和小陆到数学博士家里做客。数学博士请他们做绕口令游戏。每人抽签，一边读签上的题，一边迅速写下答案。

小牛的题目是：“九百九十九亿九千九百九十九万九千九百九十九，请你写下这个数。”

小叶的题目是：“有 3 个数；一百万零一千，一千万零一百，一百零一万，谁最大？”

小陆的题是：“六六零零零六六零零六，六零零六零零六六六零。两数各是多少？”

3 个人满怀信心地交上了答案，你知道答案是怎么写的？数学博士是不是满意呢？

解答：他们写的都很对，但是数学博士还不是十分满意，因为绕口令就 要快，要快就要掌握诀窍。数学博士在他们写的答案上，按数学的次序画了两条杠杠，告诉他们说：

一般的数，它的读数中最多只有一个“亿”字和一个“万”字，把这两个字当成两条杠杠，然后，把其他的数顺次填在杠杠分割开的位置里。比如小牛题目中的数，“亿”前面的“九百九十九”就写在“亿”这条杠杠的左边，“万”前面的“九千九百九十九”就写在“万”这条杠杠的左边。剩下的九千九百九十九就写“万”这条杠杠的右边。不过要特别注意：读数中有“零”的时候，可能是一十零，也可能是两个、三个或更多的零。反过来也一样，比如小陆的题目，顺次写好数字后，画上“亿”和“万”两条杠杠， 就很容易念出来了，那就是：六十六亿零六万六千零六；六十亿零六百万六千六百六十。

游乐场的门票

在山沟沟里，现在成了开放旅游热点，还建了一个大型游乐场。第一天游乐场共收门票的钱数是 6528 元，第二天收门票钱共 8483 元。问：游乐场的门票多少钱一张？第一天和第二天的游人是多少？

解答：只要求 6528 和 8483 两个数的公约数就可以了。求公约数的办法可以采用欧几里得算法：把两个数分写两边，把每次的商写在两道竖式之同， 这样，最后的结论就是公约数：

门票为 17 元一张，第一天游人 6528/17=384 人，第二天游人 8483/17=499 人。

电影院的座位

电影院是分单号和双号两个门进去。里面会场也是从中间向两边分，左边是单号，右边是双号。如果总共座位是 100 个，那么单号的总数和双号的总数各为多少？

解答：我们已经知道1+2+3+⋯⋯+100=（1+100）/2×100=5050

那么设：x=1+3+5+⋯⋯+99 为奇数和5050-x=2+4+6+⋯⋯+100 为偶数和

∵5050-x=（1+3+5+⋯⋯+99）+50 5050-x=x+50

∴x=2500 5050-x=2550

因此，单号的总数是 2500，双号的总数是 2550。

阿凡提新传

财主正在给 9 十奈戚分一筐苹果，阿凡提来了。这时财主正不知道怎么分好。阿凡提说：“我来帮帮你的忙，保证给他们平均分好，但是有一个条件，最后分剩下的给我。”财主答应了。阿凡提数了 70 几只苹果，分到最后，

阿凡提剩下的苹果比其他 9 个人分得还多。你知道阿凡提是怎么分的？他开

始倒底拿出了 70 几只苹果。

解答：把题的意思变成数学语言，就是

7△÷9=○⋯⋯□ 其中○是商数，□是余数，要求余数最大。

由于被除数为 7△，所以○只能是 7 或 8，如果是 8，那么 7△必定在 72 到 79 之间，以 79 为例，有最大余数为 7。即

79÷9=8⋯⋯7

但如果○为 7，它的最大余数应该是比除数少 1 的数，即 9-1=8，因此被除数应是：

7×9+8=71

所以答案应是：71÷9=7⋯⋯8

因此，阿凡提最初拿出 71 只苹果，平分给 9 人，每人得 7 个苹果，而剩

下的留给阿凡提，阿凡提反而得到 8 个苹果。

够你用的

世界上除了光线以外，很难找到绝对直的东西。你看：太阳是圆的，地球也是圆的，星星还是圆的。

为了解决圆的问题，就离不开圆周率。我们的祖先早就有过深入的研究。祖冲之老先生就提出了约率和密率两种：

约率=3.14

密率=3.1415929

这两个数字是怎么得来的呢？原来是由两个分式求得的：

1

约率 = 3 + 7 =

22

7 ≈3.14

密率 = 3 + 1

7 + 15 + 1

= 355 ≈3.1415929

113

粗心的麻烦

马小哈做加法算题时，把一个数写错了，个位上的 1 错写成 7，十位上的 8 错写成 3，最后所得的和是 423，正确的答案应该是多少？如果另一个加数是十位数，那么这个加数是多少？

答：由于个位上的 1 错写成 7，和就多 6；十位上的 8 错写成 3，和就少50。

∴423-6+50=467

原来正确的答数应为 467。

因另一个加数是十位数，设它为 X，而有一个加数十位为 8、个位为 1。

∴381+X=467 X=86

另一个加数为 86。

老是粗心

马小哈做乘法运算的时候又写错了，把个位上的 1 错写成 7，十位上的 8 错写成 3，结果乘积为 1422。现在知道另一个乘数为 6，并没有写错，那么正确的答案应是多少？

解答：由于十位和十位上的措芳，元形中被乘效少了 50-6-44，因此正确的答案座是 1422 加上 6 X 44-264，即 1422+6X（50-6）-1686

眼花缭乩

看市日焰火，眼花缭乩是好事；做救孛题，眼花缭乩就不是好事。不信， 下面有一道题目，清你做做看：

221221221221÷136136136136=？

解答：把 221 作力公园敷提出来，把 136 也作力公因＊提出来，就不合眼花缭乩了。

221221221221

136136136136

= 221000000000＋221000000＋221000＋221 136000000000十136000000十136000十136

= 221（1000000000十1000000十1000十1） 136（1000000000十1000000十1000十1）

= 221× 100100100 = 221 = 13×17 = 131 5

136×1001001001 136 8×17 8 8

践践板一不等式

游朱茴里的院院板，大十儿息是沉沉地茂下一端，而小十儿息是被抬到高扯，这与救孕里的不等式是多么相像！

幼儿游泳班的 8 十孩子，违寸也在游采场里玩碗践板。他 OI 之中，有 5

十女孩子，3 十男孩子。女孩子的体重都是 25 公斤，男孩子的体重都是 30 公斤。

他仍要在蹄践板上比十高低，女孩子占左也，男孩子占右也。只见女孩子坐上去一十，那也男孩子上去一十又拾茂了下来。荏臻 3 十女孩子坐在左迤板上，3 十男孩子那泡又沉沉地氏下来。远寸第 4 十女孩子再坐上去，左泡肚利了，坯剩一个女孩子没有机会再上去了。

正在这时，从别处跑来一个男孩子，他向着那 3 个男孩子，说：“我来

帮你们。”于是，第 5 个女孩子又上了左边，新来的男孩子上了右边，果然， 男孩子这边反败为胜。

女孩子们不高兴了，说：“你太偏向了。”于是，他们之间达成了一个协议：女孩子们下去 3 个，然后，这个男孩子坐在左边，与女孩子们在一道。

这样一交换阵式，却并没有改变女孩子们的境遇，那 3 个男孩子还是赢了。拭问：这个新来的男孩子的体重大概是多少？

解答：

假设：女孩子用 Y 表示（体重为 Y 公斤）； 男孩子用 X 表示（体重力 X 公斤）；

新来的男孩子用 W 表示（体重 W 公斤）。

那么，新男孩子来了以后，两次竞赛的结果可用两个不等式表示： SY＜W+3X（1）

W+2Y＜3X（2）

由（1）式，得到：W＞5Y-2X（3） 由（2）式，得到：W＜3X-2Y（4）

由（3）式和（4）式，得到：5Y-3X＜W＜3X-2Y 因为，X=30 公斤，Y=25 公斤

所以：35 公斤＜W＜40 公斤

新来的男孩子，他的体重在 35 公斤到 40 公斤之间。

地震的时刻

某地发生了大地震，房间里的大挂钟也掉在地上，长短针也都散落了， 但是钟的内部构件没有受到损坏。能不能从这个挂钟来判断地震发生的准确时刻？

答：使挂钟恢复原位，钟摆恢复摆动。同时用手表计时间，等到钟声敲 响的时候为止。由钟打几下，以及手表走的时间，可以计算出地震发生的准确时间。比如，手表计时为 20 分钟后，时钟敲了 11 点，那么地震正好发生

在 10 点 40 分。

深坑抽水

有一个 8 米的深坑，积满了水。用水泵准备把它抽干。每天白天正常班

能抽 2.5 米，但是第二天早上，又渗水增高了 1 米。这祥抽水，要抽几天才能把深坑的水抽干？如果连续工作的话，又需要几天能抽干？

解答：每天白天抽掉 2.5 米，晚上又积了 1 米，所以实际上一整天有效

的只抽掉 1.5 米。这样，第四天过后就能抽掉 1.5×4=6 米，于是第五天不

到晚上就可以抽掉8米了。这时要避免回答成8÷1.5 = 5 1 。

3

假如，连续工作，那么等于一天干 3 个正常班，可抽掉 2.5×3=7.5 米， 剩下 0.5 米只需要（0.5÷2.5）×8=1.6 小 时=1 小时 36 分，即只需 1 昼夜零 1 小时 36 分钟，即可将深坑的水抽干。由此可见，鼓足干劲比懒懒散散， 其效率是成好几倍地增长。

吉庆填字

如图，在一个“羊”字的图形中有 16 个圆圈，请你填上从 1 至 16 共

16 个连续数字，使两个羊角、羊脸，两个羊腮；各个加起来的总和都一样。

解答：由于羊脸不是单独的一个循环，而两个羊角，两个羊腮是 4 个独立的循环。因此 1 至 16 总数为 136，除 4 得 34，即每个循环的和应为 34。然后再使羊脸上 4 个圆圈的数字也等于 34。最后结果如图所示。

灯笼填字

在一个灯笼上的小圆圈中填上 1 至 9 九十连续自然数，使得上、中、下

3 个圆圈，纵向 3 个肋各自的总数都相等。

解答：实际上，这是从九宫填字演变过来的，把平面填字交成了立体填 字。拭看九官填字的第一行 6、7、2 可以放在上圆圈，第二行，5、9、1 放在中圆圈，第三行 3、4、8 放在下圆圈。再检查一下 3 个纵向肋是否满足， 正好第一列 7、5、3，第二列 2、9、4，第三列 6、1、8 符合 3 个纵向肋各自的总数。

同样的办法，可以千变万化，变成各种新颖的图形，比如：圣涎树填字的形式就是它另一个变种。

书籍的变迁

书架上 3 层分放着《莎士比亚全集》1 至 9 卷，摆放的位置如图所示。

按照阿拉伯数字的排列正好成为 3 个 3 位数。如果其中两卷对调一下，3 个

数字从上层到下层，正好是 1 倍、2 倍和 3 倍。请你拭拭看对换哪两卷？

解答：如图所示。因为从第一位数字看，要成 1∶2∶3 的倍数，必然要拿出第 4 卷，而“653”和“981”中，只有第 3 卷才行。

上下 3 层成 1∶2∶3 的排列，还有其他两种排列方式。

越活越“年轻”

这不是开玩笑，在东南亚一个岛上，那里的人从出生那天起，称 60 步。

然后过一年减一步，直到零岁。如果还继续活着，再饶 10 岁，仍然是逐年减一。以此类推，直到死亡。

有一个正常人 A 某 21 岁的时候到过那个岛上，结识一位岛上的居民 B 某，他正好在当地也是 21 岁。A 某回来后很想念 B 某，过了 21 年，A 某第二次来到岛上，遇到 B 某的儿子，恰好 B 某的儿子也是 21 岁，而那位 B 某刚刚寿终正寝。

问：按正常年龄计算法，B 某是多大岁数死的，而 B 某儿子这年是多大岁数？

答：岛上的 21 岁即为正常计算的 39 岁，所以第二次 A 某去岛上，B 某的儿子 39 岁，而 B 某正好比他儿子大 21 步，所以 B 某正好 60 岁的时候死去的。

莱氏数学游戏

俄国诗人莱蒙托夫也是一十数学爱好者，他在服役时，有一次给周围的军官做了一个数学游戏。

他让一个军官先想好一个数，不要告诉别人，然后在这个数上加 25，心算好了以后，再加上 125，然后再减去 37。把算好的结果减去原来想的那个数，结果再乘 5 并除以 2，最后，莱

蒙托夫对那个军官说：答案是282 1 。那个军官感到非常惊奇。立刻

2

又有另一个军官要求拭一遍，结果都说明莱蒙托夫计算得又快又准确。你能知道是什么道理吗？

解答：如果没预先想好的数为 X，那么莱蒙托夫的计算式是：

｛｛[（X + 25） + 125] - 37｝ - X｝×5÷2 = 282 1

2

你仔细看一下式子就发现，莱蒙托夫已经偷偷地把原数减去了，所以式子中不存在未知数，莱蒙托夫只需把早就计算好的答案说出来准没错。

至于，莱蒙托夫第二次、第三次的表演仍能够成功，那还需要下点功夫。也就是说，出题的人一边在出题，一边在计算，只要跳过那个“减去原来想的那个数”就行了。

鸳鸯阵

公元 1561 年，戚继光在敌众我寡的形势下，利用鸳鸯阵大败倭寇。鸳鸯阵是这样的：12 人为一个作战单位，最前一人是队长；次二人一执长牌，一执藤牌，用以掩护后卧前进；再次二人执 1 丈 5 尺的狼筅，用以保护牌手； 身后四人持长枪，每两支长枪掩护一牌一筅；再后二人用叉、钯、棍、偃月刀等短兵器和氏枪彼此配合；最后一名为火工。这样灵活机动，配合默契， 战斗力强。

如果 12 人最初排成两排（每排人数相当，不一定完全相同），只许 6 个人移动，而且最多只能移动两步，变成鸳鸯阵的布阵方式。问两排人数各是多少？各人位置如何移动？

解答：如图所示，第一排 5 人，第二排 7 人，只需 6 个士兵按箭头方向动一步至两步，即可变成鸳鸯阵的队形。

掷骰子

哥哥和弟弟玩掷骰子游戏。每人掷 10 次，每次说一个数，看每次两个骰子数目的和说对了几次，谁说对的多就算谁赢。哥哥每次说的数不是 6，就是 7；而弟弟说的数，不是 8 就是 9。俗话说：“八、九不离十。”你说，是不是弟弟容易赢呢？

解答：两个骰子组合的情况可以这样列出： 2=1+1

3=1+2=2+1

4=1+3=3+1=2+2

5=1+4=4+1=2+3=3+2

6=1+5=5+1=2+4=4+2=3+3

7=1+6=6+1=2+5=5+2=3+4=4+3

8=2+6=6+2=3+5=5+3=4+4

9=3+6=6+3=4+5=5+4

10=4+6=6+4=5+5

11=5+6=6+5

12=6+6

所以两个骰子数目之和为 7 时，有 6 种组合形式，这就是说，7 出现的

可能性最多，而 6 和 8 其次，9 和 10 再次，到 2 和 12 出现的可能性就非常小了。由此哥哥和弟弟相比，哥哥说的数更容易出现。尤其是掷的次数越多， 这种结论越正确。所以哥哥会赢的。

十三点

用 4 个骰子玩“十三点”游戏。因为“13”这个数是不吉利的数，所以谁要是掷骰子加起来的数目正好是“13”，就要受罚，罚跪或者罚唱歌。请你说说，为什么不用 3 个骰子或 5 个，甚至更多的骰子玩“十三点”呢？

假如规定一条，如果 4 个骰子中有 3 个是同样数目，即使总和为 13，也

可幸免。那么这 4 个骰子的数目分别应该是几呢？

解答：4 个骰子数目相加，最小是 4，最大是 24，取其中值，为（4+24）

/2=14，因此 14 是组合可能性最多的情况，13 也是比较多出现的情况。玩“十三点”游戏正是利用最大几率的原理，出规 13 的可能性大，这就容易受罚，

这样游戏才玩得下去，假如用 3 个骰子或 5 个骰子，13 这个数不容易出现， 游戏就没有意思了。

假如三个骰子是同一个数 X，另一个骰子数目为 a，那么： 3X+a=13

3X=13-a

3X = 3（4 +

1 - a

3 ）

3X = 3（4 - a - 1 ）

3

∵1≤a≤6，又0≤ a - 1 ＜4

3

∴a1=1，a2＝4 当 a1=1 时，X=4 当 a2=4 时，X=3

所以，有两种可能性避免受罚；

（1）3 个骰子均为 4 点，一个骰子为 1 点；

（2）3 个骰子均为 3 点，一个骰子为 4 点。

卡通画家

蔡先生是著名的卡通画家，他两天能画 1000 张草图。由于第二天下午他要出国讲学，他必须在一天半内画完。那么他应该找一个学生来帮忙，两个人一起来画，那个学生画画的速度起码应该几天面 1000 张？

解答：设学生画画的速度是 X 天面 1000 张，那么，学生一天可以面1000/X 张。而蔡先生每天可画 1000/2 张。两人每天能画 1000/X+1000/2 张。

1000 张图由他俩合画，必须在 1 天半内完成，于是

1000÷(1000 + 1000) = 3

X 2 2

由此，求得：X=6

学生画画的速度起码应该 6 天画 1000 张，或者面得速度更快才行。

牛肉拉面

吃也有艺术；艺术中也有数学。就拿吃牛肉拉面来说，有的人喜欢面条粗一点，有的人喜欢面条细一点。大师傅有办法，喜欢吃粗面条的对拉 8 次

就行了，喜欢吃细面条的再增加 1 次。拭问，粗面条共多少根？细面条共多少根？粗面条和细面条的直径差多少？

解答：对拉 8 次后，面条数目为 27，因为第一次是由 1 变成 2，然后才是每次乘一个 2。这样 27=128，粗面条共 128 根。细面条要拉 9 次，面条数为 28=256 根。

面条数目增加了一倍，面条的截面积也就小了一倍，可是直径的平方才

与截面成正比例，所以粗面条的直径应该是细面条直径的 2倍。

周而复始

请看下面方框图的箭头方向，表示一个数学的变换程序，你还能不能清楚表示什么意思？你还能不能找到另外一个例子？

解答：这个程序是这样的：

（30+25）2=3025

相类似的例子还有：

（20+25）2=2025

试试你的眼力

下面一些四位数，请你在一分钟内找出能被 11 整除的是哪几十？（提

示 ： 应 该 有 5 个 ） 1239，7832，5461，1784，5962，7007，3456，7614，8217，5214

解答：能被 11 整除的是下面 5 个数： 7832，5962，7007，8217，5214

这里有一个诀窍，隔一个相加其和相等的数，能被 11 整除。比如 7832 中 7+3=8+2；5962 中 5+6=9+2，所以它们能被 11 整除。

其原因是这样的。

假设有一个三位数 a、b、c

abc

× 11

abc abc aABc

其中 A=a+b，B=b+c

隔一个数相加 a+B=a+b+c，A+c=a+b+c

∴a+B=A+c

由此证明，只要隔一个数相加其和相等的 4 位数，一定能被 11 整除。2×5＝6

问题是这样提出来的：一个立方体长、宽、高分别为 a、b、h，要把它劈成两个体积、形状一样的两部分。这自然有很多种方式，比如，像切豆腐那样中间一刀，也可以侧面剖开。有一个同学独出心裁，劈

出两个方不方、正不正的五面体，居然体积、形状完全一样。于是归纳出题目上所写的结论：两个五面体可以凑成一个六面体。

请你想想，那个同学是如何巧分立方体的呢？

答：如图，从两个相对面的对角线位置劈开，就得到两个体积、形状完全相同的五面体。

虎口脱险

动物园 11 米直径的高围墙里，拴着一只凶猛的老虎。围墙中间，距圆心

东西方向各 4 米的地方各有一个牢固的桩子。老虎就是用一根 10 米长的、非常结实的皮绳拴在这两根桩子上。拴的办法是这样的：皮绳两端分别牢牢地拴在两根柱子上，绳子上有一个能够滑动的项圈，套在老虎的脖子上。这样， 老虎能沿绳子行动，但它距两个桩子的距离之和不舍超过 10 米。一天，顽皮的武小三不小心跌落到围墙里，他急中生智，与老虎周旋。他到底有没有丧生的危险呢？他应该站在什么位置最安全呢？

解答：由图示，老虎的行功是绕着一个椭圆走。

∵AC+CB=AF+FB=10 米又 AF-FB=AB=8 米

由①、②式，可得：AF=9 米FB=1 米

由此，OF=AF-OA=9-4=5 米

而OC = = = 3米

所以，东西方向，老虎离围墙最近 0.5 米；南北方向，老虎离围墙最近

为 2.5 米。武小三只要紧紧贴近围墙站，就没有丧失生命的危险。他如果沿着围墙慢慢挪到南北方向的尽头，就更安全了。

掏鸟窠

一棵老榆树上有两个鸟窠。方方搬来一个 8 米的长梯子，架在高的那个岛窠的树枝上，梯子正好与地成 60°角，接着，又架在低的那个鸟窠的树枝上，梯子正好与地成 45°角。请问两个鸟窠分别离地多高？方方蹬梯子到低的那个鸟窠，照理应比爬到高的鸟窠快一些，可是实际并没有快，为什么？

解答：根据三角函数，高的鸟窠高

8米×sin60° =

低的鸟窠离地高：

8米×sin45° =

= 6.8米

= 5.6米

由于两种情况下，梯子的长度没有变，当然方方爬梯子需用同样多的时间。假如方方想爬低鸟窠时能快一些，可以把梯子按与地成 60°角架在树枝上，这样，梯子有一部分伸出去，他实际要爬的梯子的级数少了，也就可以快了。

瞎子看瓜

有一个瞎子把 6 筐西瓜摆成一个三角形，自己坐在中间。一共是 24 只西

瓜，每排是 9 个。他每天摸一次，只要每排三个筐里的西瓜一共是 9 个，他

就放心了。没想到，他的邻居二嘎子跟他开了一个玩笑，第一天偷出了 6 个，

第二天又偷出了 3 个，一共少了 9 个西瓜，而瞎子却一点没有发现，这是怎么回事？

解答：因为二嘎子通过改变每筐里的西瓜数，而使每排西瓜总数仍保持9 个，这样瞎子以为西瓜没有丢，实际上西瓜已经少了。

下冰雹

一场冰雹，把好端端的庄稼给摧毁了。有一块庄稼地是长 40 米、宽 30 米的长方形。冰雹受害面租正好是与对角线垂直的方向的一条带状（如图所示，平行四边形 AECF 为受害面积），求对这块庄稼地来说，受害面积多大？

平行四边形 AECF 面积/平行四边形 ABCD 面积=525/1200=21/48

答：受雹的直接面积是 525 平方米，而相对于整块土 地来讲，占 21/48， 即将近但尚未到一半。

相似的国度

相似国度里有一位技艺高超的厨师，他习惯于把肉肠做成圆锥体的形状，而不是做成圆柱体的形状。因为在他们国家，大小一致并不算是美，而形状一样才符合审美的标准。

只见这位厨师操起菜刀，一会儿切得一盘肉肠片，一片一片都是椭圆形。他又切第二盘，那盆里，一片一片全是抛物形。他最后切了第三盘，那一盘， 一片一片都是双曲形。你说，他是怎么切的呢？

解答：圆锥体有这样的特鱼，如果刀的方向与母线平行，切出的是抛物形。如果刀的角度偏小，使相对的两条母线都切割掉，那么切出的是椭圆形。如果刀的角度偏大，切出的就是双曲线。图上的示意可以看得很清楚。

阿基米德的玩笑

阿基米德是古希腊的大几何学家，他有一次利用滑轮组的原理，把拴着大船的绳子塞在国王手里，国王轻轻一拽竟把大船拉动了。

阿基米德得意忘形、口吐狂言，他说：“只要给我一个支点，我就能把地球举起来。”

阿基米德能实现他的话吗？他的玩笑是否开得太过分了？

答：“真理再跨出一步，就会成为荒谬。”阿基米德的话也是如此。假如，阿基米德真能找到一个支点，而且也能找到一根足够长、足够结实的杠杆。那么，阿基米德要把地球撬高 1 厘米，他就得握住杠杆的力点走 10 万光年。10 万光年可不是一个近的路程，他要用光的速度（每秒钟 30 万公里） 走 10 万年。阿基米德怎么会有那么长的寿命呢？

爱因斯坦的舌头

大科学家爱因斯坦是“相对论”的缔造者，他在科学研究工作之余，又是一名高超的小提琴手。他的表情有时很滑稽，让人捉摸不透。世人流传一张照片就是他吐着舌头、凝视前方的形象。

有一个班级进行民意测验：

11 位同学认为表示“惊奇”，7 位同学认为这种意见也可以考虑。

6 位同学认为表示“高兴”，8 位同学认为这种意见也可以考虑。

1 位同学认为表示“幽默”，6 位同学认为这种意见也可以考虑。

1 位同学认为“惊奇”、“高兴”、“幽默”三种神态兼备。

还有 3 位同学认为是表示“无可奈何”。请问这个班级一共有多少同学？

解答：由题意，认为表示某种神态的同学，他们的意见是肯定和专一的； 而认为可以考虑的意见是模棱两可的，他们也可能同意两种意见或三种意见。表示“无可奈何”意见的，也是一种肯定意见。为此，可以用集合的办法画成如图那样的圆圈，相重迭部分就是同意两种意见的，最中间三个圆相重迭部分是表示三种神态兼备意见的人数。如果未知的人数分别以 x、y、z、p 表示，则：

x + p + z = 7

x + p + y = 8

y + p + z = 6

p = 1

求解得：x=4，y=3，z=2，p=1 总 人 数 为 ： S=11+6+1+3+x+y+z+p

=11+6+1+3+3+4+2+1

=31

所以，这个班级共有 31 名同学。

国王与小丑

小群和小岩两个人准备参加化妆舞会，他们在商店里买了一块边长为 1 米的正三角形的彩色硬塑纸。

他们两人合计了一下，最后用了最节省的办法，做了两顶帽子，一顶是国王的帽子，另一顶是小丑的帽子。

你知道他们是怎样裁剪的吗？

解答：按一般青少年头部的周长来说，大约是 50 厘米左右，所以以三角形一个顶点为圆心，以三角形边长的一半为半径，在三角形内画一个弧。这样面出的弧钱长度正好比 50 厘米略大。这里要注意，必须画弧线，卷起以后才能使帽口一周平整。由弧线分三角形为两部分，面积小的扇形部分可以做成一顶尖尖的小丑帽，剩下面积大的部分可以做成一顶上部略宽的国王帽。

圣诞老人

每年圣涎节，都可以看见出售用巧克力做成的全诞老人。有一神大的巧克力圣涎老人比另一种小的巧克力圣涎老人高一倍，样子完全相似。那么一个大的巧克力圣诞老人，从巧克力用量来讲，相当于几个小的巧克力圣诞老人。

解答：由题意，大巧克力圣诞老人在高度上是小圣涎老人的 2 倍，也就

是从长、高、宽三方面来讲，都是小圣诞老人的 2 倍，这祥，从体积来讲，

应该是 23 倍，即 8 倍。由此，大巧克力圣诞老人相当于 8 个小圣诞老人。

打土围子

甲、乙两个人做打土围子游戏。他们用一根 20 米的绳子在地上分别围成

一个长方形（或正方形），以便砌墙打土围子。甲围成的面积是 20 平方米，

乙围成的面积是 25 平方米。你知道他们分别是怎么围的？你能不能使围成的

面积比 25 平方米还大？

解答：20 米长的绳子围成一个矩形，必须长和宽之和为 10 米，设 x 为长，y 为宽，则甲可列出方程组：

x + y = 10

x·y = 20

解此联立方程组，得： y2-10y+20=0

∴y = 5±

所以，长为5 + 5，宽为5 -

乙的方法是围成一个正方形，可得面积为 25 平方米。在同样周长条件

下，正方形的面积是最大的，所以不可能围成一个矩形，其面积大于 25 平方米。但是，如果不限制形状的话，结论可在托尔斯泰的小说中找到。

郑人买袜

请你不要以为这是印刷错误，确实是去买“袜”，而不是买“履”。原来，有一个叫小郑的小朋友到商店去买袜子，售货员阿姨问他要买多大号的袜子，小郑摸了摸头，说不知道。售货员阿姨说：“那不要紧，你把手攥紧拳头。”小郑于是攥紧拳头，售货员阿姨用一双袜子围着拳头一圈，正好刚刚合适。售货员阿姨说：“这双你穿正合适。”你知道，售货员阿姨根据什么这样说？

解答：把手攥成拳头，相当于攥成一个球，袜子围它一圈，等于这个圆周长。按照一般正常人来讲，脚的长度正好等于拳头直径的 3 倍。不信你可以用尺子量一量，对不对？

节能灶

便民小吃店准备改迸妒灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直径是小蜂窝煤直径的 2 倍，3 个大蜂窝煤垒起的高度与 4 个小蜂窝煤垒起的高度相等。

假如砌的炉灶采用 3 块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？ 如果同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？

解答：假设大蜂窝煤半径为 R，高度为 b，小蜂窝煤半径为 r，高度为 a， 则：

R＝2r，3b＝4a

大蜂窝煤的体积为πR2·b，小蜂窝煤的体积为πr2·a

∴πR2· b=π（2r）2· 4/3·a

=16/3·πr2·a

即 3πR2·b=16πr2·a

由此，3 个大蜂窝煤的体积等于 16 个小蜂窝煤的体积之和，3∶16 这也是它们重量的关系。

由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所以要砌放 3 块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放 16 块小蜂窝煤的炉灶，如同图上所示的两种炉膛型式。

但是，这两种炉灶，燃烧面积是不一样的，假如炉膛内的蜂窝煤全部燃烧（令中间小孔不计），其燃烧面积应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于 16 块小蜂窝煤，燃烧表面积之和为：

SA＝4×4×（πr2+2πra）

=16πr2+32πra

3 块大蜂窝煤，其燃烧表面积为： SB＝3×（πR2+2πR·b）

=3πR2+6πRb

∵R=2r， b=4/3a

∴SB=3π（2r）2+6π（2r）4/3a

∵12πr2+16πxr·a

∴SA＞SB

由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积适中，烧得慢，省煤。

裙拖六幅湘江水

唐朝诗人李群玉在《杜丞相筵中赠美人》一首诗中有两句：“发挽巫山一段云，裙拖六幅湘江水。”真是诗情面意，情景交融，不失为妙笔。

假如美人的腰围是 65 厘米，每幅都是按图二那样折起来，做好后的水裙

如图一那祥：下摆的圆周直径正好等于 3 倍的腰围直径。而且折好后的六幅在一起正好合成一个 1/4 的圆（如图三中的实线部分）。那么，这条裙子下摆最长可达到几米？这条裙子要用多少布？

解答：从图二的折迭方式，已可以知道每一幅展开后等于原来面积的三 倍，所以六幅全展开，如图三虚线部分所示，将占大圆 3/4 的扇形面积，由此可以计算得到这个扇形的外总周长：

65×3×3=585 厘米

由图三再计算裙长：

按 1/4 来考虑，扇形中小圆周和大圆周应该是同心圆，而且所夹的角度均为 90°。

若设小圆半径为 r，裙长为 1，得到