^{ 1}(X







NE + YSE

) − 1 (X

2

∆X



NW + YSW 







也可以类似地由已有显示设备条件，先设计所需图像地图大小(I，J)再计算

△X、△Y 的值。

根据△X、△Y 的值，利用各点坐标依次计算其在图像中的行列位置(i， j)。为了使下面填充图斑的工作省时，只写入从南向北方向的左边土壤类别值，或从北向南方向的右边土壤类别值。所有原土壤类别的字符表示全部用数字值代换，以便显示不同灰度或不同颜色。这样便形成土壤图的边界线图像(图 1)。最后，同行像元“向左看齐”，完成全图所有图斑的填充。全部转换过程并不复杂，但经验表明，由于该土壤图极为复杂，有 55 个土壤类别

加上水域和县外部分共 57 种，图斑大小不均，在转换时必须考虑多种情况。例如，若△X△Y 过大，会出现多个点落在一个像元内，或者像元包括几类交

叉处及一个象元“吃”掉了小多边形等情况，这时应以保留大数目点类别为原则。这类似于“长度占优法”。若△X△Y 过小，点间距大于一个像元，应用线变换方法补充中间像元。否则都会使变换后的土壤图与原图相比而失真。表 2 列出了 Standardsville 图幅各类型土壤所占公顷值和所占总面积的比例，其中 0 表示面积不到 1 公顷。

表 2 Standardsville 图幅中各土壤类型所占面积

显示

将代表类别的数字赋予灰度或颜色则显示出所需比例尺的土壤图像地图(图 2)

四、空间分析

利用简单的操作运算可以节省大量的手工劳动，并产生新的图像地图产品以供关心土壤资料的专家或行政人员使用。其中有些工作若用传统的方法需要繁琐的过程。

解译分析

土壤图中每一类型定义为一个土壤类别实体，并带有数字标号特征。对于不同的使用者，例如土壤学家、森林学家、农学家及规划人员，感兴趣的部分不同，因而他们需要根据不同的目的，寻找适当的土壤区域给以有意义的解释。这里所做的解译实例主要是土壤适宜性解释，利用对土壤类别的各种适宜性评价，作出对应的图像地图，使人一目了然，直观、清晰，显然优于表格、文字形式。用计算机工具连接了土壤内容，增强了解译的作用。

例如，图 3(左)用黑色表示比较适合建设带有地下室的建筑物的地区， 面积占 52％，图 3(右)用黑色表示不大适合建造带有地下室的建筑物的地区，面积占 33％。图 4 则用黑色表示较好的农田区域，那里是利于净化和吸收的肥沃土壤单元，面积仅占 13％。可以看出，这一地区农业条件不大好， 而建筑条件比较适中。

综合

将子类合并或同种性质的类别合并成大类，去掉过多的中间分界线的过程就是综合化分析。原来的土壤图过于详细，复杂的空间模式使人不能一目了然，当需要展示以及作规划作分析时，有必要将模式简单化，合并类型以突出土壤模式的重要特征。

例如，以土壤分类学的相似性为基础作综合分析，将地图中的类型用其所属土纲来标号。本实验区采用新成土、始成土、淋溶土和老成土四种土纲。图 5 中黑色为老成土区域，约占总面积 56％。类似地，也可以以亚纲或土类为准作综合，或将所有带有前缀“潮土”(Aqu-)的主要土壤亚类合并，或所有带前缀“薄层”(Hapl-)的主要土壤亚类合并等等。

派生

新数据在需要时从已存贮的数据中派生出来，是地理信息系统中常用的方法之一。这样做便于节省存贮空间，并以人工计算难以实现的速度产生出新图。

本工作中采用以横轴墨卡托投影(UTM)为基础的 200 米分辨率网格 DEM， 并派生出坡度和坡向等图。为了使土壤图与其配准，可形成分辨率完全相同的图像地图，方法不变。这样便可形成一套位置完全配准的系列图。

派生图的产生是个值得研究的问题。例如，从 DEM 产生流域边界，可以采用地形描绘方法[11]，经过离散余弦变换后提取山脊线连接流域边界。但对于高差起伏很大的地区，如西部山峰区，这种方法有其局限性，需要改进， 可以用数字化方法作补充得到流域界限。

叠加

完全配准的几个不同图幅的层面可以叠加产生出新的模式。叠加有二种类型：一种是“视叠加”，二个层面只是表面地结合并一起显示，实际在机内还是分层存在。例如，使用流域图导出每一流域内的土壤模式，使用高程图导出高程段的土壤模式等。另一种是“逻辑叠加”，将两幅地图完全变成

一幅地图，利用逻辑关系“与”、“或”、“非”等和数量关系，建立新的类别标号。如：地质、土地利用、地形的综合，形成新产品图，可与原土壤图比较。

子区抽取

分离图幅中的某一特定区域并表示出该区域的各种特征。这一工作首先要确定特定区域的依据层面，以分离的图像表示特定区域并报告区域内的土壤成分。

例如，研究某一行政区内的多种特征，只保留这一行政区内的多种叠加层面，删除所有区外内容。在这里，特定区域的选择比较随便，可利用地质信息、地形类别的某个特征区，区域比较集中；也可以选择某类土壤分布区这样较为分散的区域。

五、总 结

全部工作只是以规划和决策为目的的全美环境模型研究的一部分——州数据库地理

信息系统数字土壤数据分析。这些基本方法同样可用于其它数据(如人口调查)，以及作其它分析(如非点源水污染的研究等和用于世界其它地区)。

数字土壤数据空间分析方法容易被办公人员所掌握，而使这些工作代替繁琐的人工方法，成为地区办公室的工作一部分，例如区域规划办公室等。数字土壤数据软盘可由美国州地质调查局、大学或州级数据处理中心提供。整个工作的目的为了说明地理信息系统的基本分析方法对于某个方面的应用具有生产意义。

当前，对于地理信息系统的研究与生产水平相比属超前研究。特别在中国，推广起来实有困难，购买整套系统常是许多单位财力所不可及的，但如果省级或专区、县级单位使用一台小型微机，做一些本区的空间分析工作却并不困难，比起人工量算面积、作比较和合成要简单方便得多，而对于随时产生的派生地图就更显示出地理信息系统方法的优越性了。

参考文献

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6. 彭望录，1989，地形描绘方法在黄土丘陵沟壑地区的应用，环境遥感，第 4 卷第 1 期。

Display and Analysis of Digitized Soil Maps by Using Methods of Geographic Information Systems

Peng Wanglu J.B.Campbell① J.M.Agnello Abstract

This paper describes geographic information system methodsin there search of digitized soil maps within Greene County, Virginia,

U.S.A. There are five parts in the paper: methods of geographic information system, study area, procedure of computer display for a soilmap, spatialanalysis and summary.

This study examines some of the products that can be generated by manipulation of digitized soil maps and changes them from vector files to raster files and then the image mapsare displayed on the computer monitor. The digitized soil map can register other data. The combined data can then form the basis for extraction of new information. Examples of spatialanalysis include interpretations, generalizations,

① Dept. of Geography, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg.VA 24061U. S. A.

② Dept. of Forestry, Virginia Polytechnie Institute and State University, Blacksburg, VA

derivations, superimposition; rationalizationand so on.

Once digital data are available, such products can be produced with speed and economy. These operations play an important role in the soil analysis, and can be introduced to many lo-cal offices and agents for local use.

小流域水土保持规划地理信息系统的初步研究

刘慧平 彭望录 赵济

80 年代以来，随着科学技术的发展和社会经济的需要，各种地理信息系统如雨后春笋般地建立起来。我们在自己设备条件允许的情况下，以山西省柳林县杨家峪沟水土保持系统为例，在小型机-微机系统上作了尝试性的工作。

一.系统结构

我们以小型机和微机联机完成系统的建立和应用。既发挥了微机的作用，又可以小型机的优势来弥补微机的不足。

设计的指导思想是以微机为主，在逻辑结构上包括地理信息系统应具备的各个部分，输入子系统、存贮和分析子系统和输出子系统。输入子系统由VAX 计算机完成。数据采集的主要部分由 VAX 计算机的外部设备完成，并可直接送入微机。存贮和分析子系统由微机 IBM-PC/XT 完成。输出子系统主要由微机自动制图完成，同时也可由 VAX 外部设备直接输出。

数据采集部分主要是将模拟量转换成数字量或直接将数字量送入计算机内。可送入的信息资料包括地形图、专题图等地图资料；航空像片、卫星像片等遥感资料；测点或统计等非图像数据资料。进入计算机后，需经过整理加工，包括格式变换、编辑等。预处理的工作较灵活，可由用户根据需要自行扩展。所有的图像全部并入图像数据库备用。这个子系统由于计算机功能较强，可以输入较大工作区域的数据。对于存取，分析所需的子区域的数据， 经过 VAX 机到 PC 机的数据传输，可进入图像子数据中，与属性数据库管理系统中贮存的属性数据库一起送入应用分析程序。这一步也是用户可自行扩展的部分，如基本统计软件、预测软件和各种规划模型。最后实现硬拷贝输出， 在微机上进行计算机自动绘图。通过小型机与微机的联接，将输入小型机的数据传到微机上使用，又可通过微机软盘，使数据被其它微机系统所接受， 从而为数据共享提供了条件。

二.系统的实施

研究区是山西省柳林县，位于三川河流域的西部。北川、东川、南川汇集后的三川河流经本县，在石西乡汇入黄河。从地形上看，以黄土丘陵为主， 地形起伏，沟壑纵横。全县地势由东北向西南倾斜，地形坡度都大于 15°。降雨多以暴雨形式出现，加上农耕地占总面积的近一半，自然植被极少。在水力和重力侵蚀作用下，水土流失相当严重。目前，由于土地利用不合理， 更加剧了水土流失的严重性。因此，在全县进行区域治理和开发，制定水土保持规划十分重要。根据这一目标，我们第一阶段的任务是在全县范围内建立地形数据库和遥感影像等数据库，并选择杨家峪沟作为区域治理和开发的实验小区，建立小沟流域水土保持信息系统，解决各种形式的数据输入、格式转换、存贮、数据传输、显示输出等一系列技术问题。

研究区杨家峪小沟，其面积约 2.34km2，主沟长 2.93km。其自然条件与全县相同，对研究全县具有典型意义。

作为试验，建立柳林县小沟流域水土保持系统。框图如图 1 示。全系统分为县级和小沟流域子区二部分。县级数据库以 VAX 机存贮为主，利用其外设输入；小沟流域水土保持系统作为子区主要以微机为主，在微机上运行和输出，其大部分数据是从 VAX 库中抽取传输到微机而得到。

建立县级数据库时，数字高程模型采用 1∶1 万地形图读取高程点，分辨率为 50×50mm，所有数据被预处理成整幅文件；遥感影像采用 1986 年 6 月TM 影像及 1981 年 6 月 1∶2 万彩红外航空像片，通过图像放大、解译，最后转绘成 1∶1 万各种专题图件，经数字化进入输入子系统。原图和派生图一起成为小沟流域系统的一组信息源。另一组信息源是由全县数字高程模型取流域子区后再派生而成。

水土保持规划是以地学模型方式实现，采用具有约束条件的目标函数方法，用图件资料和关系数据库 DBASEⅢ中存贮的统计资料得到 1986-1990 年， 1991-1995 年，1996-2000 年规划的初步结果。

系统中所有图件均可既在 VAX 子系统监视器上显示，也可在微机子系统监视器上显示，并在微机外设绘图仪上绘出图件。

三.输入和输出

1. 输入子系统的建立

为了完成各种数据(包括遥感影像数据、专题图数据、高程数据以及磁带记录的矢量数据等) 的读入工作，在计算机原有操作系统的支持下，用FORTRAN 语言编写了一系列程序及系统命令，以实现系统对各种数据的要求。

1. 输入子系统的主要功能

有些数据资料可以键入方式进入计算机。预处理功能块将这些文件逐步

处理，经过格式转换，行列拼接，检查修改，内插加密，取小沟流域子图等一系列步骤，送入微机数据库。

地图信息包括地形图等高线、行政区界线、遥感解译的专题图如土地利用图、土地类型图，这些图件用数字化仪手扶跟踪的方式输入，以矢量文件方式记录，并在图形终端上进行编辑、加点加线、删改平滑等工作。最后把矢量文件变换成网格文件，为进行图形间的运算做准备。

遥感信息是 GIS 中重要的一部分，在输入子系统中设计了读取不同记录格式磁带数据的功能块，包括拷贝、转换格式、重采样、取子图等一系列预处理功能。

预处理分析程序是编写的各种功能块，可以由用户根据自己的需要继续编写程序添加功能以扩大系统。

1. 实现微机对数据的任意抽取

数据向微机传送时要考虑微机的接收能力和处理显示成图等能力，文件不能过大。以数字高程模型为例，具体作法是：

第一步，以全柳林高程图中取 92×50 大小的子图；

第二步，与土地利用图配准，配准后长宽各扩大 8 倍，并进行插值； 第三步，以土地利用图流域边界为准抽取数据；

第四步，送入微机。

类似作法，可以实现对任意范围内数据的抽取以达到不同目的的使用要求。

输出子系统

由于微机系统便宜、方便，研究微机 GIS 具有较大的普及和推广意义。这里着重探讨微机如何接收幅面较大的图像数据文件，解决存贮和输出问题。

1. 输出前的编辑处理

与地面对应的网格大小反映了数据的精度。对同样面积的区域，提高数据的精度即提高空间分辨率必然导致数据量的大大增加。对于那些很难数据压缩的图件如高程网格数据，航空航天图像等，将导致文件编辑和输出上的很多问题。

以杨家峪沟为例，网格大小对应地面 10×10m，图像大小为 512×256， 共 131 072 个象元值。由于在微机中每个象元值按整型存贮，占内存较多。

为保证原图像的制图精度，采用分幅的办法，将文件分为两个 256×256 的数据文件进行处理和显示。按这种方式，若图像范围继续加大，必须减小地面分辨率，扩大像元面积，也可以采用数据压缩的办法，对此本文不作讨论。

1. 利用 Auto-Cad 进行输出

采用 Auto-Cad 机助绘图软件包输出图件，有些问题需要注意。

首先是所占内存、运算时间、显示速度和绘图笔耗之间的关系。Auto-Cad 绘图的基本制图单位为点、线、面。若图像文件是网格数据，则只采用点和线，即：点、水平线、垂直线三种基本制图单元。上述四者的关系如表 1。

表 1

其次，根据对制图单元的选择和设计，杨家峪小沟输出图件在图形文件生成的运算速度、生成绘图文件速度和绘图速度三方面比较如表 2。

表 2

为了节省时间和减少笔耗，必须综合考虑图件类型数，绘图单元，屏幕分辨率，颜色种类等诸因素的相互关系，从而确定出输出的最佳方案。

四.小流域水土保持规划

小流域水土保持规划是在调查流域内自然状况和社会经济情况的基础上，查清水土流失现状及其危害程度，摸清进行生产建设的有利因素和限制因子，有针对性地提出水土保持措施和治理规划。这是充分利用水土资源， 促进开发治理，改善生态环境，提高人民生活水平的一项基础工作。

小流域水土保持规划所提出的方案，需要有一个不断完善的过程。这是由于进行小流域治理规划所涉及的方面较多，影响因素较复杂且因素具有可变性，所提出的方案在实施时又要受到社会其它因素(如领导和群众的可接受性等)的影响，因此要对规划方案不断进行调整。小流域水土保持是一个长期的过程，规划方案也要根据不同时期的具体情况不断完善。

小流域水土保持规划所需的资料可分为以下几大方面。

1. 自然条件图表。包括地形坡度分级图及各级坡度等级面积，土地类型图及其面积；土壤类型图及面积；各月多年平均降水量；土壤质地、养份等实验数据表格等。

2. 社会经济条件图表。主要包括：土地利用图及其面积，各地类粮食及经济作物产量产值表；人口劳力及收入现状表；农林牧副各业产值表；粮食作物及经济作物种植情况及收成表；各类农林牧副产品价格表等。

3. 治理投资表格。主要包括：坝地，梯田，水地，滩地，沟头防护，谷坊，涝地等工程投资定额表；造林种草等综合投入定额表；各治理措施中劳力投入定额表；可能的治理经费来源及数额表等。

应用 GIS 进行小流域水土保持规划，就要在 GIS 中的存贮和分析子系统中，进行针对小流域水土保持规划的模型、设计，使规划可在 GIS 中实现， 并根据模型的要求调整和加强 GIS 的其它子系统功能。

进行小流域水土保持规划需要以下几个相互关联的模型。

这是进行水土保持规划必不可少的步骤，在分析土地生产适宜性与土地利用的限制因素，以及生产潜力与利用价值研究的基础上进行的。黄土高原地区影响土地质量的因子主要有：地貌类型、地形坡度、土壤侵蚀强度、土壤水分状况、养分含量、土层厚度、质地，水源条件等。在小流域治理中， 如果区域面积较小，则地貌类型、地形坡度、土壤侵蚀强度是土地利用的主要限制因素。其它因素则与地形坡度和侵蚀强度因子具有较强的相关性，在一定条件下可选用主要影响因素进行土地质量评价。

目前对土地质量进行评价的方法可分为定量和定性两种。定量方法是在占有大量观测和实验数据的条件下，通过统计运算和模型运算产生评价等级。它在评价中减少了主观因素的影响，使评价等级比较客观，但要求数据精度高、野外工作和实验工作量大。定性法是在缺少大量实验数据条件下， 根据各评价因子的相互关系，通过地学相关分析确定评价等级。它在评价中加入了人的作用，常受评价者主观的影响。

定量评价土地质量的方法很多，其过程为：选择参评因子；给参评因子以不同权重，确定权重系数；通过计算产生评价等级。常规进行土地质量评价则以定性方法为主。目前也有将定量评价方法的部分运算引入定性评价中形成半定量的方法。

1. 治理规划模型

土地资源是农林牧生产的主要约束条件，在一定条件下表现为生产力， 其投入和产出在农业生产中存在着线性关系。因此选用线性规划的理论和方法对土地利用的结构和治理工作进行规划。

1. 线性规划的数学模型

求 Xj(j=1，2，⋯⋯；n)满足约束条件：

n

∑aij X j≤bi (或≥bi) ，(i = 1，2， ，n) (1)

i=1

n

使f(x) = ∑C j X j = max(或min)，x j＞0 j=1

方程组(1)为约束条件，f(x)为目标函数，a^{' C' , p 为已知函数，X 为可}

ij i j

行解集。

1. 土地利用和水土保持规划模型

土地利用—水土流失—经济效益有着紧密的联系。水土流失使土地瘠薄，农业生产水平降低，经济收入减少。剧烈的水土流失又是由于土地利用不合理造成的。所以，改变农业生产条件和农业生态环境，首要条件是合理利用土地，搞好水土保持，把小流域治理和脱贫致富结合起来。

选择经济收入或生产总值作为水土保持规划的目标函数，将土地利用、土壤侵蚀、状况、以及社会生产条件、农业生态平衡条件等作为规划的约束条件进行规划。

1. 派生图生成模型

进行小流域水土保持规划，各科专题图件是必不可少的。派生图生成模型是以图件作为输入信息建立 GIS 中不可缺少的模型。它是通过一幅或几幅图派生新图。派生的新图无新增界线，只是原图中类型的归并或叠加，通过一幅图的类型选择归并实现，也可通过几幅图进行叠加产生新的类型图。

上述模型是 GIS 中进行小流域治理规划的特殊模型，通过对这些模型以及对 GIS 其它子系统调用实现水土保持规划。由于其输入数据具有多样性， 运算具有复杂性，规划过程中要进行图形间的运算，因此需调用 GIS 各种功能才能进行，其关系如图 2 示。

在 GIS 中进行小流域水土保持规划，需要各大子系统的支持，并是各子系统间不断反馈、反复调试的过程。

下面以杨家峪小沟流域为例，将应用 GIS 进行小沟流域水土保持规划的调试过程所做的工作做一个简单介绍。

1. 小沟流域土地质量评价。在编绘土地质量评价图时，一般以土地类型图为基础，参考土地利用情况和坡度状况，分析影响土地质量的各因素，产生土地质量评价等级。在进行小沟土地类型的编制过程中已考虑地表植被、地形坡度等因子，因此，在评价时，借用派生图生成模型的功能，以土地类型直接归并进行。

2. 土地利用方式的结构分析。在规划之前还要对小沟流域土地利用方式的结构进行分析。小沟流域土地利用以农用为主，林地面积较小，草地为天然草被，生产力水平很低。各类土地结构如表 3 所示。

表 3 小沟流域土地利用结构表

1. 目标函数的确定和约束条件分析。小沟流域治理规划遵循的原则是： 力图做到使土地利用在经济效益、社会需求和水保效益方面达到最优；以最小的投入取得尽可能大的产出。据此，将生产总值作为目标函数，把土壤侵蚀量、土地生产力及农业生态平衡等作为约束条件，对表 3 中 8 个决策变量

进行规划。这样目标函数为：

maxf=21.09X1+84.35x2+126.53x3+171.7x4+22.0x5+30.0x6

约束条件从以下几方面考虑：

①土地总面积约束：各类土地利用面积之和为小沟流域总面积；

②粮食生产约束：在水土保持中要保证一定量的粮食生产以满足人均口粮和粮食生产指标的要求；

③治理比率约束：从全县或发展规划和可提供的经费出发，推算小沟流域在各规划时期内治理面积达到一定比例；

④侵蚀量约束：土壤侵蚀量控制于一定范围内；

⑤用地面积约束：如坝地和水域均分布于沟底，且水域淤干需一定时间；

⑥人口约束：按现行规划、人口增长率应限制于一定范围之内，则劳力增长也相应在一定范围内，从而约束了治理中劳力的投入。

上述约束条件还需在规划过程中不断完善。

1. 建立反馈系统调试规划模型。对于小沟流域水土保持规划需要使模型具有反馈功能，并设立可调参数，使规划不断完善。

五.结 论

柳林县杨家峪小沟流域水土保持系统是一项尝试性的研究工作。本文只是这一项工作的初步总结。本研究表明，在小型机微机上建立 GIS 对我国现有条件是可行的，通过一些研究单位的小型计算机采集各种数据，然后传到微机上供其它单位使用，既发挥了两种机型的优势，又解决了微机外部设备昂贵、接收多种信息难的困难，对于我国现有条件有一定的实用价值。

应用 GIS 进行小流域水土保持规划较好地解决了遥感信息和图形数据的输入问题，为数据更新提供了保障。

本研究使用了许多由遥感信息解译所得的专题图件。这些专题图件无论在精度上和可信度上都较好。如果这些专题图可在计算机内通过图像处理直接得到，那么系统的数据更新和动态监测就会大大提高。这正是我们今后努力的方向。

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A GIS for Water and Soil Conservation in a Small Drainage Basin

Liu Huiping PengWangluZhao Ji

Abstract

This paper describes a test for a water and soil conservation system at the Yangjiayu Gully, Liulin County, which is a minicomputer

＆microcomputer GIS, in Loess Plateauarea .Especially, the work of VAX minicomputer input subsystem and IBM-PC/XT microcomputer output subsystem is described in detail.

The paper includes five sections: Structure of the system, Description of the system, Input and output, Water and soil conservation and planning in a small drainage basin, and Summary.

The relation of function between water and soil conservation planning and GIS is shown in the following figure.

The experiment indicates that using GIS is a good way in water and soil conservation and Planning in a small basin. It is easy to solve the problems of the conservation and planning of as mall drainage basin with input and update of remote sensing images as an information source by capturing all kinds of data and graphic information that the research needs, adjusting and imitating a dynamic conservation and planning model of the basin.

在一般均衡框架内建立冯·杜能模式① 梁进社

一、引 言

杜能模式被认为是建立在以下基本假设之上(Wilson，1987)： (1)划一的土壤肥力条件；

(2)划一的运输成本； (3)划一的生产成本；

(4)在给定价格下无限的弹性需求； (5)单一的市场中心。

用新古典生产函数来描述生产要素的投入和产出关系(Beckmann，1972， 1987；Visser，1982)能使我们放弃假设条件(3)。本文的目标是在一般均衡的框架内建立冯·杜能模式，这样，我们不仅可以更好地理解给定价格的含意，取消第 4 个假定，而且还能据此进行比较静力分析。

为了使问题简单起见，我们除保留第 1、2 和第 5 假设外，还约定劳动力是可以自由流动的，并且是充分就业的，人口全部居住在城区内。土地为农场主经营，不存在联合生产和外部经济与外部不经济的可能性。工人的工资率是 W，资本的利息率是 I。

以下，我们将要通过建立对各种农产品的供给和需求以及供求平衡来完成此理论。

二、建立供给

假设可供选择的农产品有 n 种，第 k 种的柯布-道格拉斯生产函数是

～ ～ α ～ β ～ γ

Z_k = A k L _k K_k M _k

(1)

～ ～ ～ ～

式中， Z_k 是产量， L_k 是劳动的投入量， K_k 是资本的投入量， M_k

是土地的投入量，α、β、γ是常数，并且

α+β+γ=1 (2)

Ak 是生产系数。如果取

～ ～

Z_k = Zk M_k

～ ～

L_k = Lk M_k

～ ～

k _k = Kk M_k

即 Zk 是单位面积的土地上第 K 种产品的产量，Lk，Kk 分别是单位面积土地上劳动和资本的投入量，则有

① 本项研究为国家自然科学基金资助项目。

Zk = Ak Lα Kβ

α + β = 1- γ

(3)

记 p1，p2，⋯，pn 分别是 n 种农产品的市场价格，设 hk 是运输第 k 种单位产品在单位距离上的运输成本，r 是距市场的距离。土地经营者在距离市场 r 公里处单位面积的土地上最优地投入劳动和资本的量可据下二式确定， 即

(p_k - h_k

(p_k - h_k

∂Zk

∂Lk

∂Zk

∂Kk

= W (4)

= I (5)

这就是说，劳动的价格等于它的边际收益产品，资本的利息也等于它的边际收益产品。把

∂Zk = αA L^∂−1K^β 和 ∂Zk = βA L^∂−1K^β−



∂Lk k k k ∂Kk k k k

分别代入式(4)和式(5)，得

(p_k − h_k γ)αA_k L^α−1K^β = W (6)

(pk − hk γ)βAk L^α K^β−1 = I (7)

如果把 pk，r 固定，则式(6)、(7)只有 Lk，Kk 是未知的，故可把此二式联

∧ ∧ ∧ ∧

立求解，即得Lk ，Kk 的值，记作L_k , K_k 。然后再把L_k ， K_k 代入式(3)，

∧

即是单位土地上第k种产品的最优产量，记作Z_k 。

*用式(6)的两边分别除以式(7)的两边得：

α · Kk = W

β Lk

即 K

I

=  β · W L

(7 *)

k α I k

代入式(6)得：

(p − h γ)α^1−ββ^βA Lα +β−1 = i^β ·W^1−β

即 Lα+β−1

(p − h

IβW1−β

γ)α^1−ββ^βA

(6 *)

k k k

∧ ∧

据式(6*)可求得L_k ，代入式(7*)便求得 K_k 。

这样，我们就得出了由于生产第 k 种产品，土地使用者的地租出价函数：

∧ α ∧ β ∧ ∧

Rk = (pk - hk γ )Ak L_k K_k - W L_k - I K _k

(8)

此时，r 是变数。

我们说，可能有许多农场主在生产同一产品，处在完全竞争状态，式(8) 描述了他们的聚合行为。

土地所有者会把土地租给租价最高的经营者，那么，地主所得的地租是：

R = M ^αx (p − h γ) −

∧ − ∧ 

(9)

k  k k

Z_k W L_k I k_k 

它实际上确定了从城市边缘向外，在各个不同距离的地块上农作物经营种类。换言之，我们可以据式(9)来确定农作物的空间分布。

这个原理可由图 1 说明之，i，jk 分别代表经营 3 种不同农作物的地租出价函数。它们理应是三条曲线，只是为了简单起见，我们才用直线表示。i 的 AB 段，j 的 BC 段，k 的 CD 段出价最高。这样，它们分别对应的 OS、ST、TD 段分别种植 i，j，k 作物。将坐标系统旋转一周即是相应的杜能环，如此就确定了各种农产品的空间分布。

现在，我们记第k种农作物的空间分布是∑k，则其上的作物产量是：

∧

Sk =

∫ ∫ Z_k ds

∑

(10)

k

为面积分表达式。

我们从公式(9)知道，Σk 仅是(p1，p2⋯，pn，r)的函数，从式(6)、

∧ ∧

1. 知L_k ， K_k 也仅是(p1，p2 ， ，p n

   ，r)的函数。通过式(10)的

面积分后，Sk 则变成仅是(p1，p2，⋯，pn)的函数。这样，我们就建立了各种农产品的供给函数。

Sk=Sk(p1，p2，⋯，pn) (11)

还有另一种方法来确定各种作物空间分布和相应的产品产量及生产要素的投入量。那就是求解下面的非线性规划模式；

Max (p − h γ)Z x − W∑x L − I∑x K 

(12)

^k k k 

其中 Xk 是第 k 种作物的土地使用量，它们的总和不能超过区域内的土地总量C，即

∑ x _k ≤C k

(13)

根据库恩-塔克条件，上述非线性规划的有效解条件是：

O = ∂式(12) = (p

• h γ ) ∂Zk Wx

(14)

θLk

 k k



θLk  k

∂(12) 

O = = p

− h γ ) ^∂Zk − 

(15)

∂K  k k

∂K Ixk

k  k 

∧ ∧

整理后即是式(4)、(5)。如此可确定 L_k ， K_k 。

进一步的条件是

= 

∧ ∧ ∧

＜

xk  0 ⇔ (pk − hk γ) Z_k − W L_k − I K_k  R

(16)

≥

= 

其中的 R 即是式(9)中的 R，确定了的 Xk 就是前面的Σk。

需要指出的是，投入的劳动和资本不再是常量了，它们都随着距市场中心的远近而变化。据式(4)和式(5)有：

∧ h ∂Zk

d L_k ^k ∂L_k

dr =

(p _k − h _k

∂2 Z ＜0

γ

∂L²

(17)

∧ h ∂Zk

d K_k ^k ∂K_k

dr =

(p _k − h _k

∂2 Z ＜0

γ

∂K ²

(18)

因为 Z′＞0，Z″＜0 是新古典生产函数的基本特性。

上二式指出，劳动的投入和资本的投入随 r 的增加而减少。

三、需求

我们考虑一个收入为 Y 的住户，把他的开支划分为在各种农产品上的消费和其它一般消费，包括住房、工业产品、交通以至储蓄。令 q1，q2，⋯。qn 表示他对 P 种不同农产品的消费分量，则一般消费支出是：

G=Y-p1q1-p2q2⋯-pnqn

即 G = Y - ∑ p_iq _i

i

(19)

住户的效用函数是：

u=U(G,q1,q2,⋯qn)

= UY - ∑piqi ,q1 , q2



,q n 

(20)



∂u

取 ∂q

_i 

= 0, k = 1,2, , n

(21)

∂U ∂u

即 p k · ∂G = ∂q

(22)

便得到消费者的均衡条件。我们选择对数效用函数近似它，

 

u = aoln Y − ∑piqi  + a1ln q1 + a2 lnq 2 + + anln qn

(23)

 i 

R0+a1+a2+⋯+an=1

与式(22)相对应的关系式是：

a0 pk

Y − ∑pi qi

= ak / qk

(24)

i

整理后得：

a k Y = a 0p k q k + a k ∑piq i

i

(R0 + a k )p k q k + a k ∑piq i

i≠k

=akY

(25)

(26)

k=1,2,⋯,n

写成矩阵的形式：

(a0 + a1 )p1

a1p2

a1p3

a1pn

q1 

a1 

    

a 2 p1

(a0 + a 2 ) p2

a 2 p3

a2 pn

q2  a2 

a 3p1

a 3p2

(a 0 + a3 ) p3

a 3pn

q3  = Ya3 

(27)



∶ ∶ ∶ ∶



 

 

q 

 

 

a 

a n p1

an p2

an p3

(a ₀ + a_n )p_n  n 

 n 

→ →

用B表示左边的矩阵， q 表示左边的列向量， a 表示右边的列向量，那

么，上边的方程式可写成

→ →

B q = Y a

→ →

q = B Y a

如果用克莱姆法则对式(28)求解，则有：

(28)

(29)

q = | Bk |

^k |B|

→

(30)

其中，Bk 是把B的第k列换成Y a 所成的n阶方阵。

→

但是,| B|= p1 , p2 , pn | B| (31)

a0 + a1



− a2

a1 a1

a 0 + a 2 a 2

a1 



2 

B = a



a 3 a 0 + a3 a 

(32)

∶ ∶ ∶ ∶ 

a a a a 

 n n n n 

-

|BK|= Yp1p2

− −

p k-1pk +1

→

p n |B_K |

B_k 是把B的第k列换成 a 以后所成的n阶方阵，这样

−

q = Yp1p2

pk −1p k+1

−

pn |B_k |

p1p 2 pn | B|

−

= Y|B_k | · 1

|B| pk

−

(34)

对于给定的k， Y|Bk | 是Y，a

，a ，a ， ，a 的代数式的

−

|B|

值，也是一常数，用 bk 代之，得

0 1 2 n

q = b k

k p k

(35)

以上是我们对一个住户的讨论，如果他是具有代表性的，那么，我们可用住户总数乘以式(35)，否则，把所有住户在各价格上的需求加起来，便得到全区域对第 k 种产品的需求函数

Dk=Dk(Pk) (36)

k=1,2,⋯,n

四、供求平衡

令 S=(S1，S2，⋯，Sn)，为对几种农产品的供给向量，意味着存在一

→

个映射：(P1，P2 ， ，Pn )→ S 。

给每一个 Pi(i=1，2，⋯，n)一个增量△P，据式(6*)有

α+β−1

IβW1−β

Lk (p

− h γ)α^1−ββ^βA

(37)

∆Lα+β−

k k k

dLα +β−1

¹ = ^k ∆p

dp k k

− α1−βββA IβW1−β