1997 年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(文史类)参考解答及评分标准

说明：

一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.

三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题 4 分,

第(11)-(15)题每小题 5 分.满分 65 分.

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.

(16)4 (17)(4,2) (18)2 -

注:第(19)题多填、漏填和错填均给 0 分.

三.解答题

(19)①, ④

1. 本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识,考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力.满分 10 分.

解法一：将已知复数化为复数三角形式:

z = 1 + 3 i = cos π + i sin π ,

2

ω = 2

2

2 3 3

+ 2 i

2

------------2

= cos π + i sin π .

4 4

分

依题意有 zω+zω³

= (cos 7π + i sin 7π) + (cos13π + i sin13π )

12 12 12 12

= (cos 7π + cos 13π) + i(sin 7π + sin 13π)

------------8

12 12 12 12

= 2cos π (cos 5π + i sin 5π).

4 6 6

分

解法二: zω+zω³

=zω(1+ω2)

1

= ( + 2

i)(

i +

2

+

2 2

1 i)

2

i)(1 + i)

------------4

分

= 2 (cos 5π + i sin5π).

------------8

6 6

分

1. 本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识,考查运算能力.满分

   11 分.

解：设等差数列｛an｝的首项 a1=a,公差为 d,则通项为an=a+(n-1)d,

前 n 项和为

S = na + n(n - 1) d , 2

分

依题意有

n

1 S

 3 ³

1

2

• 1 S =

4 4

1

1 ₂

(5 S5 )



 3

其中 S5≠0. 由此可得

S3 +

S4 = 2

4

1 (3a + 3 × 2 d) × 1 (4a + 4 × 3 d) = 1 (5a + 5 × 4 d) ²

分

整理得

3



 (3a +

3

2

3 × 2

2

d) +

4

1 (4a +

4

2

4 × 3

2

25

d) = 2

2

------------4

3ad + 5d ² = 0



2a + 5 d = 2

 2

解方程组得

d = 0

d = − 12

分

由此得

a = 1 ,

an=1;



 5

a = 4

12

------------8

或 a n = 4 - 5 (n - 1)

32 12

------------8

= 5 - 5 n.

分

1. 本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力. 满分 12 分.

解：(Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为S ,全程运输成

v

本为

y = a· S + bv²· S = S( a

+ bv) , 4

v v v

分

故所求函数及其定义域为

a

y = S( v + bv),v∈(0, c] . 5

分

(Ⅱ)依题意知 S,a,b,v 都为正数,故有

a

S( v + bv)≥2S .

S( a

v

+ bv) - S( a

c

+ bc)

= S[(a

v

- a) + (bv - bc)] c

= S (c - v)(a - bcv). vc

因为 c-v≥0,且 a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,

所以 a a

S( v + bv) ≥S( c + bc), 且仅当v = c时等号成立,

也即当 v=c 时,全程运输成本 y 最小.

1. 本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,考查逻辑推理和空间想象能力.满分

   12 分.

解：(Ⅰ)∵AC1 是正方体,

∴AD⊥面 DC1. 又 D1F 面 DC1,

∴AD⊥D1F.

------------2

分

(Ⅱ)取 AB 中点 G,连结 A1G,FG.

因为 F 是 CD 的中点,所以 GF、AD 平行且相等,又 A1D1、AD 平行且相等, 所以 GF、A1D1 平行且相等,故 GFD1A1 是平行四边形,

A1G∥D1F.

设 A1G 与 AE 相交于点 H,∠AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角. 因为 E 是 BB1 的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,

从而∠AHA1=90°,

也即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角. 5

分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F,由(Ⅱ)知 AE⊥D1F,又 AD∩AE=A, 所以 D1F⊥面 AED.

又因为 D1F 面 A1FD1,所以面 AED⊥面 A1FD1. 7

分

(Ⅳ)∵体积 VE-AA1F=VF-AA1E,

又 FG⊥面 ABB1A1,三棱锥 F-AA1E 的高 FG=AA1=2,

面积 S

1

∆AA E = 2 S□ABB A

= 1 ×2² = 2.

2

∴V = 1 ×S ×FG = 1 ×2×2 = 4

- - - - - - - - - - - -12分.

E-AA1 F 3 ∆AA1 E 3 3

1. 本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查运算能力和分析问题的能力,满分 12 分.

解：(Ⅰ)设点 A、B 的横坐标分别为 x1,x2,由题设知,x1>1,x2>1.则点 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2.

因为 A、B 在过点 O 的直线上,

所以, log8 x1

x1

分

= log8 x 2

x2

------------2

点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2).

由于log x = log8 x 2 = 3 log x ,

log8 2

log x = log8 x 2

= 3 log x

, ------------4

2 2

分

OC的斜率

log8 2

k = log2 x1

8 2

= 3 log8 x1 ,

1

1 1

OD的斜率

k = log 2 x2

= 3 log8 x2 .

2

2 2

由此可知,k1=k2,

即 O、C、D 在同一条直线上. 7

分

(Ⅱ)由于 BC 平行于 x 轴知log2x1=log8x2,

1

即得 log2 x1 = 3 log2 x2 ,

∴x = x³ . 9

分

代入 x2log8x1=x1log8x2 得

x³log x = 3x log x .

1 8 1 1 8 1

由于 x1>1 知 log8x1≠0,

∴x³ = 3x .

1 1

考虑x1 > 1解得x1 = 3.

于是点A的坐标为( 3,log8

12 分

3) . ------------

1. 本小题主要考查轨迹的思想,考查综合运用知识建立曲线方程的能力. 满分 12

   分.

解：设圆 P 的圆心为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别

为

│b│,│a│.由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°,知圆P

截x轴所得的弦长为 2r . 故

r2=2b2 3

分

又圆 P 被 y 轴所截得的弦长为 2,所以有r2=a2+1.

从而得 2b2-a2=1. 6

分

又因为P(a, b)到直线x - 2y = 0的距离为

5 , 所以

5

d = │a - 2b│ = 5 , 8

5

分

即有 a-2b=±1, 由此有

2b² − a² = 1,

2b² − a ² = 1,

a − 2b = 1;

解方程组得

a = −1,

b = −1;

于是 r2=2b2=2, 所求圆的方程是

a − 2b = −1.

a = 1,

b = 1.

(x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1)2+(y-1)2=2. ------------

12 分

1998 年全国高校招生数学统考试题

（理工农医类）

一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分， 第（11）－（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. sin600°的值是

（A）1/2 （B）-1/2 （C） /2 （D）- /2

1. 函数y=a|x|(a>1)的图象是

1. 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程式为

（A）x2+(y+2)2=4 （B）x2+(y-2)2=4

（C）(x-2)2+y2=4 （D）(x+2)2+y2=4

1. 两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是

（A）A1A2+B1B2=0 （B）A1A2-B1B2=0

（C）A1A2/B1B2=-1 （D）B1B2/A1A2=1

（5）函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=

（A）x(x≠0) （B）1/x(x≠0)

（C）-x(x≠0) （D）-1/x(x≠0)

1. 已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π) 内α的取值范围是

（A）(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) （B）(π/4,π/2)

∪(π,5π/4)

（C）(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) （D）(π/4,π

/2)∪(3π/4,π)

1. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为

（A）120° （B）150° （C）180° （D）240

°

1. 复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是

（A） /2±(1/2)i （B）- /2±(1/2)i

（C）± /2+(1/2)i （D）± /2-(1/2)i

1. 如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0， 那么

（A）2 = +

（B）S0＝

1. 2S0＝S＋S'

（D）S02＝2S'S

1. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是

（11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有

（A）90种 （B）180种 （C）207种 （D）540

种

1. 椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上， 如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的

（A）7倍 （B）5倍 （C）4倍 （D）3倍

1. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

（A）4 （B）2 （C）2 （D）

1. 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

（A）arccos -1/2 （B）arcsin -1/2

（C）arccos1- /2 （D）arcsin1- /2

1. 在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足Sn=1/a1，那么a1的取值范围是

（A）（1，＋∞） （B）（1，4）

（C）（1，2） （D）（1，）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

1. 设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点， 圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 。

（17）(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为 （用数字作答）。

1. 如图，在直四棱柱A1C1D1－ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）

2. 关于函数F(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；

②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π/6)；

③y=f(x)的图象关于点（－π、6，0）对称；

④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。

其中正确的命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）

三、解答题：本大题共6小题；共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（20）（本小题满分10分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C 的对边，设a+c=2b，A-C=π/3，求sinB的值。以下公式供解题时参考：

sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2, sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2, cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2, cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2

（21）（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1

⊥l2，点N∈l1。以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距

离与点N的距离相等。若△AMN为锐角三角形，|AM|= ，

|AN|=3，且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线C的方程。

（22）（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

（23）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC 垂直，∠ABC＝90

°，BC＝2，AC＝2 ，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。

（24）（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x 轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

（Ⅰ）写出曲线C1的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4- t且t≠0。

（25）（本小题满分12分）已知数列{bn}是等差数列， b1=1,b1+b2+⋯+b10=145。

（Ⅰ）求数列{bn}的能项bn；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)（其中a>0，且a

≠1），记Sn是数列{an}的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1 的大小，并证明你的结论。

一、选择题

1998 年全国高校招生数学统考试题答案

（理工农医类）数学（理工类）

二、填空题

（16）16/3

（17）-5120

（18）AC⊥BD

（19）①，③ 三、解答题：

（20） 解：由正弦定理和已知条件a+c=2b 得sinA+sinC=2sinB。 ⋯⋯2 分 由和差化积公式

得 2sin(A+C)/2cos(A-C)/2=2sinB。 由A+B+C=π， 得sin(A+C)/2=cosB/2， 又A-C=π/3，得

( /2)cosB/2=sinB，

∴( /2)cosB/2=2(sinB/2)(cosB/2)。 ⋯⋯6 分

∵0<B/2<π/2, cosB/2≠0， ∴sinB/2= /4， 从而cosB/2= = /4 ⋯⋯9 分

∴sinB= /2× /4= /8 ⋯⋯11 分 （21） 解法一：如图建立坐标系，以l1 为x 轴，MN 的

垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l2 为准线的抛物线的一段，其中A、B 分别为 C 的端点。 设曲线段C 的方程为 y2=2px (p>0),(xA≤x≤xB,y>0)，其中xA,xB

分别为 A，B 的横坐标，p=|MN|。所以 M(-p/2,0),N(p/2,0)。 ⋯⋯4 分

由|AM|= ，|AN|=3 得(xA+p/2)2+2pxA=17， ①

(xA-p/2)2+2pxA=9。 ② ⋯⋯6 分

由①，②两式联立得xA=4/p，再将其代入①式并由p>0 解得 p=4, xA=1；

或p=2, xA=2。 因为△AMN 是锐角三角形， 所以p/2>xA，故舍去p=2, xA=2。

∴p=4, xA=1。 由点B 在曲线段C 上，

得xB=|BN|-p/2=4。 综上得曲线段C 的方程式为y2=8x(1≤x≤ 4,y>0)。 ⋯⋯12 分

解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2

为x、y 轴，M 为坐标原点。 作 AE⊥l1，AD⊥l2，EF⊥l2，垂足分别为E、D、F。 ⋯⋯2 分

设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)。

依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3， yA=|DM|=2 ， 由于△AMN 为锐角三角形，故有 xN=|AE|+|EN|=4。 xB=|BF|=|BN|=6。 ⋯⋯7 分

设点P(x,y)是曲线段C 上任一点，则由题

意知P 属于集合{(x,y)|(x-xN)2=x2,xA≤x≤xB,y>0}。 ⋯⋯10 分故曲线段C 的方程

y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0)。 ⋯⋯12 分

1. 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k>0 为比例系数，依题意，即所求的a,b 值使y 值最小。 根据题设， 有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)， ⋯⋯4 分

得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ①

于是 y=k/ab=k/((30a-a2)/(2+a))

=k/(-a+32-64/(a+2))

=k/(34-(a+2+64/(a+2))

≥k / (34 - 2 = k / 18,

当a+2=64/(a+2)时取等号，y 达最小值。 ⋯⋯8 分这时a=6,a=-10（舍去）。 将a=6 代入①式

得b=3。 故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。⋯⋯12 分

解法二：依题意，即所求的a,b 的值使ab 最大。由题设知

4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)， ⋯⋯4 分

即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2 ，

∴2 +ab≤30， 当且仅当a=2b 时，上式取等号。 由a>0， b>0，解得 0<ab≤18。

即当a=2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18。 ⋯⋯10 分

∴2b2=18。解得b=3，a=6。 故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 ⋯⋯12 分

1. 解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，

由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC， ∴∠A1AD

为A1A 与面ABC 所成的角。⋯⋯2 分

∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，

∴∠A1AD＝45°为所求。 ⋯⋯4 分

（Ⅱ）作 DE⊥AB，垂足为 E，连 A1E，则由 A1D⊥面ABC，得 A1E⊥AB。

∴∠A1ED 是面A1ABB1 与面ABC 所成二面角的平面角。 ⋯⋯6 分由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D 是AC 的中点， BC＝2，AC＝2 ， ∴DE＝1，AD＝A1D＝ ， tgA1ED＝A1D/DE= 。

故∠A1ED＝60°为所求。 ⋯⋯8 分

（Ⅲ）解法一：由点C 作平面A1ABB1 的垂线，垂足为 H，则 CH 的长是C 到平面A1ABB1 的距离。 ⋯⋯10 分

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A1E⊥AB， 知HB∥A1E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A1ED＝60°。

∴CH＝BCsin60°＝ 为所求。 ⋯⋯12 分

解法二：连结A1B。 根据定义，点 C 到面 A1ABB1 的距离，即为三棱锥C－A1AB 的高h。 ⋯⋯10 分

由V 锥C－A1AB＝V 锥A1－ABC 得

1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D，

即 1/3×2h=1/3×2× ，

∴h= 为所求。 ⋯⋯12 分

（24）（Ⅰ）解：曲线C1 的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s。 ⋯⋯3 分

（Ⅱ）证明：在曲线C 上任取一点B1(x1,y1)。

设B2(x2,y2)是B1 关于点A 的对称点，则有x1+x2/2=t/2, y1+t2/2=s/2。

∴x1=t-x2, y1=s-y2。 ⋯⋯5 分

代入曲线C 的方程，得x2 和y2 满足方程： s-y2=(t-x2)3-(t-x2)，

即 y2=(x2-t)3-(x2-t)+s，可知点B2(x2,y2) 在曲线C1 上。 ⋯⋯7 分

反过来，同样可以证明，

在曲线C1 上的点关于点A 的对称点在曲线C 上。因此，曲线C 与C1 关于点A 对称。

（Ⅲ）证明：因为曲线C 与C1 有且公有一个公共点，

所以，方程组 y=x3-x, y=(x-t)3-(x-t)+s 有且公有一组解。 消去y，整理得

3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有

一个根。 ⋯⋯10 分

所以t≠0 并且其根的判别式 △=9t4-12t(t3-t-s)=0。即 t≠0, t(t3-4t-4s)=0。

∴s=t3/4-t 且 t≠0。 ⋯⋯12 分

（25）（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得b1=1, 10b1+10(10-1)/2d=100。

解得 b1=1, d=2。 ∴bn=2n-1。 ⋯⋯2 分

（Ⅱ）由bn=2n-1，知Sn=lg(1+1)+lg(1+1/3)+⋯+lg(1+1/2n-1)

=lg[(1+1)(1+1/3)×⋯×(1+1/2n-1)]，1/2lgbn+1

=lg 。

因此要比较Sn 与 1/2lgbn+1 的大小，可先比较(1+1)(1+1/3)×⋯×(1+1/2n-1)与 的大小。

取n=1 有(1+1)> ， 取n=2 有

(1+1)(1+1/3)> ， 由此推测(1+1)(1+1/3)×⋯×(1+1/2n-1)> 。 ① ⋯⋯5 分

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

Sn>1/2lgbn+1。 ⋯⋯7 分下面用数学归纳法证明①式。

1. 当n=1 时已验证①式成立。

2. 假设当n=k(k≥1)时，①式成立，即(1+1)(1+1/3)×⋯×(1+1/2k-1)>

   。 ⋯⋯8 分

那么，当n=k+1 时，

(1+1)(1+1/3) ⋯ (1+1/2k-1)(1+1/2(k+1)- 1)> (1+1/2k+1)= /2k+1(2k+2)。

∴[ /2k+1(2k+2)]2-[ ]2

=4k2+8k+4k2+8k+3)/2k+1=1/2k+1>0，

∴ /2k+1(2k+2)> 。

因而(1+1)(1+1/3)⋯(1+1/2k-1)(1+1/2k+1)> 。

这就是说①式当n=k+1 时也成立。

由(i)，(ii)知①式对任何正整数n 都成立。由此证得：Sn=1/2lgbn+1。 ⋯⋯12 分

1998 年全国高校招生数学统考试题（文史类）

一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分， 第（11）－（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. sin600°的值是

（A）1/2 （B）-1/2 （C） /2 （D）- /2

1. 函数y=a|x|(a>1)的图象是

1. 已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

1. 两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是

（A）A1A2+B1B2=0 （B）A1A2-B1B2=0

（C）A1A2/B1B2=-1 （D）B1B2/A1A2=1

（5）函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=

（A）x(x≠0) （B）1/x(x≠0)

（C）-x(x≠0) （D）-1/x(x≠0)

1. 已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π) 内α的取值范围是

（A）(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) （B）(π/4,π/2)

∪(π,5π/4)

（C）(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) （D）(π/4,π

/2)∪(3π/4,π)

1. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为

（A）120° （B）150° （C）180° （D）240

°

1. 复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是

（A） /2±1/2 （B）- /2±1/2i

（C）± /2+1/2i （D）± /2-1/2i

1. 如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0， 那么

（A）2 = +

（B）S0＝

（C）2S0＝S＋S'

（D）S02＝2S'S

（10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有

（A）6种 （B）12种 （C）18种 （D）24种

1. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是

1. 椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是

（A）± /4 （B）± /2 （C）± /2 （D）

±3/4

1. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

（A）4 （B）2 （C）2 （D）

1. 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

（A）arccos -1/2 （B）arcsin -1/2

（C）arccos1- /2 （D）arcsin1- /2

1. 等比数列{an}的公比为-1/2，前n项的和Sn满足Sn=1/a1，那么a1的值为

（A）±

± /2

（B）±3/2 （C）±

（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

1. 设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点， 圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 。

（17）(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为 （用数字作答）。

1. 如图，在直四棱柱A1C1D1－ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）

2. 关于函数F(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；

②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π/6)；

③y=f(x)的图象关于点（－π、6，0）对称；

④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。

其中正确的命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）

三、解答题：本大题共6小题；共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（20）（本小题满分10分）设a≠b，解关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.

（21）（本小题满分10分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C 的对边，设a+c=2b，A-C=π/3，求sinB的值。以下公式供解题时参考：

sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2, sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2, cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2, cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2

（21）（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1

⊥l2，点N∈l1。以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距

离与点N的距离相等。若△AMN为锐角三角形，|AM|= ，

|AN|=3，且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线C的方程。

（22）（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

（23）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC 垂直，∠ABC＝90

°，BC＝2，AC＝2 ，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。

（24）（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x 轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

（Ⅰ）写出曲线C1的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4- t且t≠0。

（25）（本小题满分12分）已知数列{bn}是等差数列， b1=1,b1+b2+⋯+b10=145。

（Ⅰ）求数列{bn}的能项bn；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)（其中a>0，且a

≠1），记Sn是数列{an}的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1 的大小，并证明你的结论。

1998 年全国高校招生数学统考试题

答案（文史类） 数学（文史类）

一、选择题

二、填空题

（16）16/3

（17）-5120

（18）AC⊥BD

（19）①，③ 三、解答题：

1. 解：将原不等式化为 (a2-b2)x-b2≥ (a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， ⋯⋯4 分

移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)≤0，

∵a≠b 即(a-b)2>0， ∴x2-x≤0， ⋯⋯7 分即 x(x-1)≤0。 解此不等式，

得解集 {x|0≤x≤1}。 ⋯⋯10 分

1. 解：由正弦定理和已知条件a+c=2b 得sinA+sinC=2sinB。 ⋯⋯2 分

   由和差化积公式

得 2(sin(A+C)/)2(cos(A-C)/2)=2sinB。 由A+B+C=π， 得sin(A+C)/2=cosB/2， 又A-C=π/3，得

/2cosB/2=sinB，

∴( /2)cosB/2=2(sinB/2)(cosB/2)。 ⋯⋯6 分

∵0<B/2<π/2, cosB/2≠0， ∴sinB/2= /4， 从而cosB/2= = /4 ⋯⋯9 分

∴sinB= /2× /4= /8 ⋯⋯11 分

1. （22）

解法一：如图建立坐标系，以l1 为x 轴，MN 的

垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意

知：曲线段C 是以点N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段， 其中 A、B 分别为 C 的端点。 设曲线段 C 的方程为 y2=2px (p>0),(xA

≤x≤xB,y>0)，其中 xA,xB 分别为 A，B 的横坐标，p=|MN|。所以 M(- p/2,0),N(p/2,0)。 ⋯⋯4 分

由|AM|= ，|AN|=3 得(xA+p/2)2+2pxA=17， ①

(xA-p/2)2+2pxA=9 。 ② ⋯⋯6 分由①，②两式联立得xA=4/p，再将其代入①式并由p>0 解得 p=4, xA=1；

或p=2, xA=2。 因为△AMN 是锐角三角形， 所以p/2>xA，故舍去p=2, xA=2。

∴p=4, xA=1。 由点B 在曲线段C 上，

得xB=|BN|-p/2=4。 综上得曲线段C 的方程式为y2=8x(1≤x

≤4,y>0)。 ⋯⋯12 分

解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2

为 x 、 y 轴 ，M 为 坐 标 原 点 。 作 AE⊥l1， AD⊥l2，EF⊥l2，垂足分别为E、D、F。 ⋯⋯2 分

设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)。依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，

yA=|DM|=2 ， 由于△AMN 为锐角三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4。

xB=|BF|=|BN|=6。 ⋯⋯7 分

设点 P(x,y)是曲线段 C 上任一点，则由题意知 P 属于集合

{(x,y)|(x-xN)2=x2,xA≤x≤xB,y>0}。 ⋯⋯10 分故曲线段C 的方程

y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0)。 ⋯⋯12 分

1. 解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，

由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC， ∴∠A1AD

为A1A 与面ABC 所成的角。⋯⋯2 分

∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，

∴∠A1AD＝45°为所求。 ⋯⋯4 分

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连 A1E，则由A1D⊥面ABC，得 A1E⊥ AB。 ∴∠A1ED 是面A1ABB1 与面ABC 所成二面角的平面角。 ⋯⋯6 分

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又 D 是 AC 的中点，BC＝2，AC＝

2 ， ∴DE＝1，AD＝A1D＝ ，tgA1ED＝A1D/DE= 。故∠A1ED＝ 60°为所求。 ⋯⋯8 分

（Ⅲ）解法一：由点C 作平面A1ABB1 的垂线，垂足为H，则 CH 的

长是C 到平面A1ABB1 的距离。 ⋯⋯10 分

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A1E⊥AB， 知HB∥A1E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A1ED＝60°。

∴CH＝BCsin60°＝ 为所求。 ⋯⋯12 分

解法二：连结A1B。 根据定义，点C 到面 A1ABB1 的距离，即为三棱锥C－A1AB 的高h。 ⋯⋯10 分

由V 锥C－A1AB＝V 锥A1－ABC 得

1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D，

即 1/3×2h=1/3×2× ，

∴h= 为所求。 ⋯⋯12 分

1. 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k>0

   为比例系数，依题意，即所求的a,b 值使y 值最小。 根据题设， 有

4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)， ⋯⋯4 分得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ①

于是 y=k/ab=k/30a-a2/2+

=k/-a+32-64/a+2

=k/34-(a+2+64/a+2)

≥k/34-2 =k/18，

当a+2=64/a+2 时取等号，y 达最小值。 ⋯⋯8 分这时a=6,a=-10（舍去）。 将a=6 代入①式

得b=3。 故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。⋯⋯12 分

解法二：依题意，即所求的a,b 的值使ab 最大。由题设知

4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)， ⋯⋯4 分

即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2 ，

∴2 +ab≤30， 当且仅当a=2b 时，上式取等号。 由a>0，b>0，解得 0<ab≤18。

即当a=2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18。 ⋯⋯10 分

∴2b2=18。解得b=3，a=6。 故当a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 ⋯⋯12 分

1. （25）

（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得b1=1, 10b1+10(10-1)/2d=100。

解得 b1=1, d=2。 ∴bn=2n-1。 ⋯⋯2 分

（Ⅱ）由bn=2n-1，知Sn=lg(1+1)+lg(1+1/3)+⋯+lg(1+1/2n-1+

=lg[(1+1)(1+1/3)×⋯×(1+1/2n-1)]，

1/2lgbn+1=lg 。

因此要比较Sn 与 1/2lgbn+1 的大小，可先比较(1+1)(1+1/3)×⋯

×(1+1/2n-1)与 的大小。

取 n=1 有(1+1)>

推测

， 取 n=2 有(1+1)(1+1/3)> ， 由此

(1+1)(1+1/3)×⋯×(1+1/2n-1)> 。 ① ⋯⋯5 分

若①式成立，则由对数函数性质可断定： Sn>1/2lgbn+1。 ⋯⋯7 分

下面用数学归纳法证明①式。 (i)当n=1 时已验证①式成立。

(ii)假设当n=k(k≥1)时，①式成立，即(1+1)(1+1/3)×⋯×(1+1/2k-1)> 。 ⋯⋯8 分

那么，当n=k+1 时，

(1+1)(1+1/3) ⋯ (1+1/2k-1)(1+1/2(k+1)- 1)> (1+1/2k+1)= /2k+1(2k+2)。

∴[ /2k+1(2k+2)]2-[ ]2

=4k2+8k+4k2+8k+3)/2k+1=1/2k+1>0，

∴ /2k+1(2k+2)> 。

因而(1+1)(1+1/3)⋯(1+1/2k-1)(1+1/2k+1) > 。

这就是说①式当n=k+1 时也成立。

由(i)，(ii)知①式对任何正整数n 都成立。由此证得：Sn=1/2lgbn+1。 ⋯⋯12 分

1999 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）

试卷答案

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第II 卷 3 至 8。共 150 分。考试时间 120 分钟。

第I 卷（选择题共 60 分）

注意事项：

l.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B）用铅笔涂写在答题卡上。

1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

2. 考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

三角函数的积化和差公式sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]

一.选择题：本大题共 14 小题；第（1）—（10）题每小题 4 分，第（11）

—（14）题每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）如图，I 是全集，M、P、S 是I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是

（A）（M∩P〕∩S （B）（M∩P）∪S

（C〕（M∩P）∩ （D)（M∩P）∪

（2）已知映射f：AB，其中，集合 A={-3，-2，-1，l，2，3，4，}， 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a∈A，在B 中和它对应的元素是{a}，则集合B 中元素的个数是

（A）4 （B）5 （C〕6 （D〕7

1. 若函数 y＝f（x）的反函数是 y＝g（x），f（a）=b，ab 0， 则g（b）等于

（A）a （B）a-1 （C）b （D）b-1

1. 函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且 f（a）=-M，f（b）=M，则函数 g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a， b]上

（A）是增函数 （B）是减函数

（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M

1. 若f（x）sinx 是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是

（A）sin x （B）cos x （C）sin 2x （D）cos 2x

1. 在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ-π/3）关于

（A）直线θ=π/3 轴对称 （B）直线θ=6/5π轴对称

（C）点（2，π/3）中心对称 （D）极点中心对称

1. 若于毫升水倒人底面半径为 2cm 的圆杜形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是

（8）若（2x+ ）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）

1. 的值为

（A）l （B）-1 （C）0 （D）2

1. 直线 x+y2=0 截圆x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为

（A）π/6 （B）π/4 （C）π/3 （D）π/2

1. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为 3 的正方形，

   EF//AB，EF=3/2，EF 与面AC 的距离为 2，则该多面体的体积为

（A）9/2 （B）5 （C）6 （D）15/2

1. 若sina>tga>ctga(-π/2<a<π/2)，则a∈

（A） (-π/2,-π/4) （B）（-π/4，0）

（C）（0，π/4） （D）（π/4，π/2）

1. 如果圆台的上底面半径为 5．下底面半径为R

   ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为 1：2，那么R=

（A）10 （B）15 （C）20 （D）25

（13）已知两点M（1，5/4）、N（-4，-5/4），给出下列曲线方程：

①4x＋2y-1=0②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④

1. 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有

（A）5 种 （B）6 种 （C）7 种 （D）8 种第II 卷（非选择题共 90 分）

注意事项：

1. 第II 卷共 6 页。用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二.填空题：本大题共 4 小题；每小图 4 分，共 16 分把答案填在题中横

线

1. 设椭圆 x2/a2+y2/b2＝1（a>b>0）的右焦点为 F1，右准线为l1。

若过F1 且垂直于x 轴的弦的长等于点F1 到l1 的距离，则椭圆的离心率是 。

1. 在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植A、B 两种作物， 每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有 种（用数字作答）。

（ 17 ）若正数 a 、 b 满足 ab ＝ a+b+3 ，则 ab 的取值范围是

。

1. α、β是两个不同的平面，m、n 是平面及之外的两条不同直线。给出四个论断：①m⊥n ② α⊥β③n⊥β ④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

。

三.解答题：本大题共 6 小题：共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

1. （本小题满分 10 分）

解 不 等 式

（20）（本小题满分 12 分）

设复数 z＝3cosθ＋i·2sinθ，y=θ-argZ(0<θ<π/2)求函数的最大值以及对应的θ值

（21）本小题满分 12 分

如图，已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 ，点 E 在棱 D1D 上，截面EACD1B，且面EAC 与底面ABcD 所成的角为 45°，AB＝a

（Ⅰ）求截而EAC 的面积：

（Ⅱ）求异面直线A1B1 与AC 之间的距离；

（Ⅲ〕求三棱锥B1—EAC 的体积

（22）（本小题满分 12 分）

上图为一台冷轧机的示意图；冷轧机由若干对轧辊组成。带钢从一端输人，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（1）输入带钢的厚度为 a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ro，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（一对辊减薄率＝输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度）输入该对的带钢厚度

1999 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考答案及评分标准(理工类)

**错误！未定义书签。**说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题 4 分，第（11）－（14）题每小题 5 分，满分 60 分。

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分

（15）1/2

（16）12

（17）[9,+∞]

（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β 三．解答题

1. 本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类论的思想，满分 10 分

解：原不等式等价于

——一一一一 4

由①得 logax≥2/3

由②得 logax<3/4, 或logax>1, 由③得 logax>1/2.

由此得 2/3≤logax<3/4,或logax>1.——一一一一 8 分当a>1 时得所求的解是

{x| ≤x< }U{x|x>a}; 当 0<a<1 时得所求的解集是：

{x| <x≤ }U{x|0<x<a}.——一一一一 10 分

1. 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力，满分 12 分。

解：由 0＜θ＜π/2 得tgθ＞0。由z=3cosθ+i·2sinθ,

得 0＜argz＜π/2 及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ. 故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg2θ)

=1/(3/tgθ+2tgθ)

∵3/tgθ+2tgθ≥2

∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤ /12.

当且仅当 3/tgθ=2tgθ(0<θ<π/2 时， 即tgθ= /2 时，上式取等号。

所以当θ=arctg /2 时，函数tgy 取最大值 /12。

由y=-argθz 得 y ∈(- π/2,π/2).由于在（-π/2, π/2)内因正切函数是递增函数，函数y 也

取最大值arctg /12. 12 分

( 21）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念思维能力、空间想象能力及运算能力。满分 12 分。

（1）解：如图，连结DB 交AC 于O，连结EO。

∵底面ABCD 是正方形

∴DO⊥AC。

又∵ED⊥底面AC，

∴EO⊥AC。

∴∠EOD 是面 EAC 与底面AC 所成二面角的平面角， －－

－－2 分

∴ ∠EOD＝45°。

DO ＝ (2)1/2/2a, AC=(2)1/2a,

Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a. 故 S△EAC=(2)1/2×a2/2

4 分

（II）解：由题设ABCD－A1B1C1D1 是正四棱柱，得A1A⊥底面AC， A1A⊥AC。

又 A1A⊥A1B1，

∴A1A 是异面直线A1B1 与AC 间的公垂线。 －－－－6 分

∵D1B∥面EAC，且面D1BD 与面EAC 交线为EO，

∴ D1B∥EO。

又 O 是DB 的中点，

∴E 是D1D 的中点， D1B＝2ED＝2a。

异面直线A1B1 与AC 间的距离为(2)1/2a。 －－－－8 分(III)解法一：如图，连结D1B1。

∵D1D＝DB＝(2)1/2a，

∴BDD1B1 是正方形。

连结B1D 交D1B 于P，交EO 于Q。

∵B1D⊥D1B。 EO∥D1B，

∴B1D⊥EO

又 AC⊥EO， AC⊥ED，

∴AC⊥面BDD1B1

∴B1D⊥AC

∴B1D⊥面EAC。

∴B1Q 是三棱锥B1－EAC 的高。 －－－－10 分由DQ＝PQ，得B1Q＝3B1D/4＝3a/2。

∴VB1－EAC＝(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3/4.

所以三棱锥了－EAC 的体积是(2)1/2·a3/4. －－－－12 分解法二：连结B1O，则VB1－EAC＝2VA－EOB1。

∵AO⊥面BDD1B1，

∴AO 是三棱锥 A－EOB1 的高，AO＝(2)1/2·a/2

在正方形 BDD1B1 中，E、O

分别是D1D、DB 的中点（如右图）， 则S△EOB1=3a2/4.

∴ VB1-EAC=2 × (1/30 × (3a2/4) ×

[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4.

所以三棱锥B1－EAC 的体积是(2)1/2·a3/4.－－－－12 分。

1. 本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力，满分 14 分。

   1. 解：厚度为a 的带钢经过减薄率均为ro 的n 对轧辊后厚度为a(1-ro)n.为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位） 应满足

a(1-ro)n≤β，

即 (1-ro)n≤β/a －－－－4 分

由于(1-ro)n>O, β/a>0,对上式两端取对数，得nlg(l-ro)≤lg(β/a).

由于lg(1-ro)<0,

所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].

因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊 －－－－7 分

1. 解法一：第 k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为 1600a×(1-r)k×宽度 （其中r＝20

％），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为Lk×a(1-r)4×宽度。因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),

即 Lk=1600·0.8K-4. －－－－10 分由此得 l3=2000(mm),

l2=2500(mm), l1=3125mm)

填表如下：

－－－－14 分

解法二：第 3 对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变， 有：

1600=L3·(1-0.2),

所以 L3=1600/0.8=2000(mm). －－－－10 分同理 L2=L3/0.8=2500(mm).

L1=L2/0.8=3125(mm).

填表如下：

－－－－14 分

( 23）本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力。满分 14 分。

（1）解：依题意f(0) =0，又由f(x1)=1, 当 0≤y≤1 时，，函数y＝f(x)的图象是斜率为b0=1 的线段，故由

f(x1)-f(0)/x1-0=1 得x1=1 2 分

又由f(x2)=2,当 1≤y＜2 时，函数 y=f(x)的图象是斜率为B 的线段，故由

f(x2)-f(x1)/X2-X1=b 即x2=1+1/b．2 分

记x0=0,由函数y=f(x)图象中第n 段线段的斜率为bn-1，故得f(xn) -f(xn-1)/xn-xn-1=bn-1,

又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1；

∴xn-xn-1 =(1/b)n-1,n=1,2,⋯。

由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为 1/b，公比为 1/b 因 b≠1，得

xn= (xK-XK-1)

=1+1/b ⋯+1/bn-1=b-(1/b)n-1，

即 xn=b-(1/b)n-1/(b-1).——一一 6 分

(II)解：当 0≤y≤1，从（I）可知y＝x, 即当 0≤x≤1 时，f(x)=x 当n≤y≤n 十 1 时，即当xn≤x≤xn+1 时，由(I)可知f(x)=n+bn(x-xn)(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3⋯）——一一 8 分

为求函数 f(x)的定义域，须对 xn=b-(1/b)n-1/(b-1)(n=1,2,3⋯) 进行讨论

当b＞1 时, xn= b-(1/b)n-1/(b-1)=b/(b-1) 当 0＜b＜1 时，n→∞，xn 也趋向于无穷大。

综上，当b>1 时，y=f(x)的定义域为[0,b/(b-1));

当 0＜b＜1 时，y＝f（x）的定义域为[0,+∞] ——一一 10 分

（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。满分 14

分。

解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线 OA 和OB 的方

程分别为y＝0 和 y＝－bx，设点C（x,y），则有 0≤x<a,由OC 平分∠ AOB，知点C 到OA、OB 距离相等，根据点到直线的距离公式得

|y|=|y+bx|/ ① －－－－4 分依题设，点C 在直线AB 上，故有

y=[-b/(1+a)](x-a). －－－－6 分

由 x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a). ② 将②式代入①式得

y2[1+(1+a)2y2/(x-a)2]=[y-(1+a)xy/x-a]2,

整理得

y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0. －－－－9 分若y≠0，则(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0<x<a);

若y=0,则 b=0,∠AOB＝π，点C 的坐标为（0，0），满足上式， 综上得点C 的轨迹方程为

(1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0≠x<a), －－－－10 分

∵a≠1,

∴[x-a/(1-a)]2/[a/(1-a)]2+y2/[a2/(1-a2)]

=1(0≤x<a). ③ －－－－12 分

由此知，当〔」「工时，方程③ 表示椭圆孤段；

当a>1 时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。 －－－－14 分解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE⊥x 轴，E 是

垂足。

1. 分

BOD,

（1）当|BD|≠0 时，设点C（x,y），则 0<x<a y≠0.

由CE∥BD 得 |BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). －－－－

∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,

∴2∠COA=π-∠BOD，

∵ tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg2 ∠COA), tg(π-∠BOD)=-tg∠

tg∠COA=|y|/x, tg∠BOD = ∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).

∴[2·|y|/x]/[1-(y2/x2)]=[|y|/(a-x)](1+a), 整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a).

(II) 当|BD|=0 时，∠BOA＝π，则点 C 的坐标为（0，0），满足

上式。

综合（I）（II），得点C 的轨迹方程为

（1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a) －－－－10 分以下同解法一。

1999 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文史)

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）

注意事项：

l.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上。

1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案， 不能答在试题卷上。

2. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式

三角函数的积化和差公式

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ

=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]/2

正棱台、圆台的侧面积公式：

S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。

台体的体积公式： 其中s,s'

分别表示上下底面积，h表示高。

一.选择题：本大题共14小题；第(1)—(1O)题每小题4分， 第(11)—(14)题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

（1）如图，I是全集， M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

（A）（M∩P〕∩S

（B）（M∩P）∪S

（C〕（M∩P）∩ （D〕（M∩P）∪

（2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1， 2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是

（A）4（B）5（C）6（D）7

1. 若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b， ab≠0，则g（b）等于

（A）a（B）a-1（C）b（D）b-1

1. 函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a， b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos

（ωx+ρ）在[a，b]上

（A）是增函数 （B）是减函数

（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M

1. 若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以

是

（A）sinx（B）cosx（C）sin2x（D）cos2x

（6）曲线x2+y2+2 x-2 y=0关于

（A）直线x=轴对称（B）直线y=-x轴对称

（C）点（-2， ）中心对称（D）点（- ，0）中心

对称

（7）若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是

（A）6 cm（B）6cm（C）2 cm（D）3 cm

（8）若（2x＋ ）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2） 2-（a1+a3）2的值为

（A）-1（B）l（C）0（D）2

1. 直线 x＋y-2 =O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为

（A） （B）（C）（D）

1. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3

的正方形，

EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为

（A）9/2（B）5（C） 6（D）15/2

1. 若sina＞tga＞ctga(-

   ＜a＜ )，则a∈

（A）（- ，- ） （B）（-，0）

（C）（0， ） （D）（ ， ）

1. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=

（A）10（B）15（C）20（D）25

1. 给出下列曲线：

①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是

（A）①③（B）②④（C）①②③（D）②③④

1. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有

（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种

第II卷（非选择题共90分）

注意事项：

1. 第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二，填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线

（15）设椭圆(x2/a2)+(y2/b2)＝1（a>b>0）的右焦点为

F1，右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是

（16)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长。要求A、B两种作物的问隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种(用数字作答)

1. 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是

2. α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

三.解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（19）（本小题满分10分）

解方程 -3lgx+4=0

（20）（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn-3（n∈N）求

（al+a3+⋯+a2n-1）的值。

（21）（本小题满分12分）

设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ－argz）（0< θ1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a

（Ⅰ）求截画EAC的面积；

（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；

（Ⅲ〕求三棱B1—EAC的体积。

（23）（本小题满分14分）

下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成， 带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（1）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk， 为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中， 带钢宽度不变，且不考虑损耗）。

（24）（本小题满分14分）

如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x＝

-LB是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

1999 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考答案及评分标准(文史类)

错误！未定义书签。

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解

法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题 4 分，第（11）－（14）题每小题 5 分，满分 60 分。

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分

（15）1/2

（16）12

（17）[9,+∞]

（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β 三．解答题

1. 本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。满分10 分。

解：设(31gx-2)1/2=y,原方程化为y-y2+2=0. －－－－4 分

解得y=-1, y=2. －－－－6 分

因为 (31gx-2)1/2≥0,所以将y=-1 舍去， 由 (31gx-2)1/2=2

得 lgx=2,

所以 x=100. －－－－9 分

经检验x=100 为原方程的解．－－－－10 分

1. 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识，满分 12 分。解：由

   Sn=a1+a2+⋯+an 知

an=Sn-Sn-1(n≥2), a1=S1,－－－－ 2 分

由已知 an=5Sn-3 得

an-1=5Sn-1-3. －－－－4 分于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an,

所以an=-(an-1/4). －－－－6 分由 a1=5S1-3,

得 a1=3/4.

所以，数列{an}是首项a1=3/4，公比q=-1/4 的等比数列．－－－

－ 8 分

由此知数列 a1,a3,a5,⋯,a2n-1,⋯⋯是首项为 a1=3/4, 公比为(- 1/4)2 的等比数列。

所以 limn→∞(a1+a3+a5+⋯+a2n-1)=(3/4)/[1-(-1/4)2]=4/5. 12

分

1. 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基本知

识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力，满分 12 分。解：由 0<θ<π/2 得tgθ>0.

由z＝3cosθ+isinθ得 tg(arg z)=sinθ/3cosθ=1/3tgθ. －

－－3 分

故 y=tg(θ-arg z)

=(tgθ－1/3tgθ)/(1＋1/3tg2θ) －－－－6 分

=2/[(3/tgθ)+tgθ］.

∵(3/tgθ)+tgθ≥2(3)1/2,

∴2/[(3/tgθ)+tgθ］≤(3)1/2/3. －－－－9 分

当且仅当 3/tgθ=tgθ(0<θ<π/2)时，即tgθ＝(3)1/2 时，上式取等号。

所以当θ＝π/3 时，函数y 取得最大值(3)1/2／3。 －－－－12 分。

1. 本小题主要考查空间线面关系，二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力，满分

   12 分。

（1）解：如图，连结DB 交AC 于O，连结EO。

∵底面ABCD 是正方形

∴DO⊥AC。

又∵ED⊥底面AC，

∴EO⊥AC。

∴∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角， －－－－2 分

∴ ∠EOD＝45°。

DO ＝ (2)1/2/2a, AC=(2)1/2a,

Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a. 故 S△EAC=(2)1/2×a2/2 4 分

（II）解：由题设ABCD－A1B1C1D1 是正四棱柱，得A1A⊥底面AC， A1A⊥AC。

又 A1A⊥A1B1，

∴A1A 是异面直线A1B1 与AC 间的公垂线。 －－－－6 分

∵D1B∥面EAC，且面D1BD 与面EAC 交线为EO，

∴ D1B∥EO。

又 O 是DB 的中点，

∴E 是D1D 的中点， D1B＝2ED＝2a。

异面直线A1B1 与AC 间的距离为(2)1/2a。 －－－－8 分(III)解法一：如图，连结D1B1。

∵D1D＝DB＝(2)1/2a，

∴BDD1B1 是正方形。

连结B1D 交D1B 于P，交EO 于Q。

∵B1D⊥D1B。 EO∥D1B，

∴B1D⊥EO

又 AC⊥EO， AC⊥ED，

∴AC⊥面BDD1B1

∴B1D⊥AC

∴B1D⊥面EAC。

∴B1Q 是三棱锥B1－EAC 的高。 －－－－10 分由DQ＝PQ，得B1Q＝3B1D/4＝3a/2。

∴VB1－EAC＝(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3/4.

所以三棱锥了－EAC 的体积是(2)1/2·a3/4. －－－－12 分解法二：连结B1O，则VB1－EAC＝2VA－EOB1。

∵AO⊥面BDD1B1，

∴AO 是三棱锥 A－EOB1 的高，AO＝ (2)1/2·a/2

在正方形BDD1B1 中，E、O 分别是D1D

DB 的中点（如右图）， 则S△EOB1=3a2/4.

∴ VB1-EAC=2 × (1/30 × (3a2/4) × [(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4.

所以三棱锥 B1 － EAC 的体积是(2)1/2·a3/4.－－－－12 分。

1. 本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力，满分

   14 分。

   1. 解：厚度为a 的带钢经过减薄率均为ro 的n 对轧辊后厚度为a(1-ro)n.

为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足a(1-ro)n≤β，

即 (1-ro)n≤β/a －－－－4 分

由于(1-ro)n>O, β/a>0,对上式两端取对数，得nlg(l-ro)≤lg(β/a).

由于lg(1-ro)<0,

所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].

因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊 －7 分

1. 解法一：第 k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为 1600a×(1-r)k×宽度 （其中r＝20

％），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为Lk×a(1-r)4×宽度。

因宽度相等，且无损耗，由体积相等得1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),

即 Lk=1600·0.8K-4. －－－－10 分由此得 l3=2000(mm),

l2=2500(mm), l1=3125mm)

填表如下：

－－－－14 分解法二：第 3 对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵

点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变， 有：

1600=L3·(1-0.2),

所以 L3=1600/0.8=2000(mm). －－－－10 分同理 L2=L3/0.8=2500(mm).

L1=L2/0.8=3125(mm).

填表如下：

－－－－14 分

1. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。满分

   14 分。

解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线 OA 和OB 的方程分别为y＝0 和 y＝－bx，设点C（x,y），则有 0≤x<a,由OC 平分∠ AOB，知点C 到OA、OB 距离相等，根据点到直线的距离公式得

|y|=|y+bx|/ ① －－－－4 分依题设，点C 在直线AB 上，故有

y=[-b/(1+a)](x-a). －－－－6 分

由 x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a). ② 将②式代入①式得

y2[1+(1+a)2y2/(x-a)2]=[y-(1+a)xy/x-a]2,

整理得

y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0. －－－－9 分若y≠0，则(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0<x<a);

若y=0,则 b=0,∠AOB＝π，点C 的坐标为（0，0），满足上式， 综上得点C 的轨迹方程为

(1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0≠x<a), －－－－10 分

∵a≠1,

∴ [x-a/(1-a)]2/[a/(1-a)]2+y2/[a2/(1-a2)]=1(0 ≤ x<a). ③

－－－－12 分

由此知，当〔」「工时，方程③ 表示椭圆孤段；

当a>1 时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。 －－－－14 分

解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE⊥x 轴，E 是垂足。

（1）当|BD|≠0 时，设点C（x,y），则 0<x<a y≠0.

由CE∥BD 得 |BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). －－－－

3 分

BOD,

∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,

∴2∠COA=π-∠BOD，

∵ tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg2∠COA), tg(π-∠BOD)=-tg∠

tg∠COA=|y|/x, tg∠BOD = ∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).

∴[2·|y|/x]/[1-(y2/x2)]=[|y|/(a-x)](1+a), 整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a).

(II) 当|BD|=0 时，∠BOA＝π，则点 C 的坐标为（0，0），满足

上式。

综合（I）（II），得点C 的轨迹方程为

（1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a) －－－－10 分以下同解法一。